等差数列前n项和公式性质与应用

一个哥哥说，这是我做过的竞赛题，看看你能不能解竞赛题。那我试试。求一个等差数列前十三辆的河，还给了这么一串柿子。 等差数列前多少项之和？求这个呀，我知道的有两个方法，如果知道首项末项，那就用首项加末项，乘上项数除阳。 如果知道首相和公差呢，就用 a e n 加上二分之 n， n 乘上 n 减一，再乘上一公叉。但是这两个公式啊，好像都不能直接用，首项不知道，末项不知道，公叉 不知道，因为三不知啊。嗯，那咱就看看怎么样才能让他们跟公十万联系。看看这个条件。三倍的 a 三加 a 五加上二倍的 a 七加 a 十加 a 十三等于二十四。 这里头都是等差数列以后，哪项加哪项。这让我想到了等差数列的一个性质，若 m 加 n 等于 p 加 q， 则 a m 加 a， n 等于 a， p 加 a q。 知道了这个性质以后，看一下三倍的 a 三加 加 a 五等于多少呢？这 a 三加 a 五可以给它写成两个 a 四相加呀。因为三加五等于四加四嘛。根据这个性质，所以我可以给它写上三乘上 a 四加 a 四，也就是二倍的 a 四 等于六倍的 a 四。然后再看二倍的 a 七加 a 十加 a 十三， a 七加 a 十三，很明显等于 a 十加 a 十啊。所以我可以把它们都换成 a 十。三个 a 十相加，也就是二乘上 三倍 a 十等于六， a 十 写成这样，是不是就清晰明了很多了？六 a 四加上六， a 十等于二十四， a 四加 a 十等于四。 到这啊，其实就能跟这个公式有联系了，犒劳一下这个公式，这个数列前十三的和就是 a 一加 a 十三乘上十三除以二， a 一加 a 十三，一加十三不就等于四加十吗？那根据这个性质， a 一加 a 十三就等于 a， 四加 a 十等于四，所以它等于四乘十三 除以二等于二十六，所以这题就必做完了。嗯，感谢你看到这里，如果你的手机还有电，就麻烦给个小心心吧。

同学们好，我们今天来梳理一下等差数列的公式以及它的一些性质。首先我们看到它的定义，如果 a n 减去 a n 减，也就意味着是后一项减前一项，它为一个常数的话， 我们称这种数列它为等差数列。如果我们的小 a 大 a 小 b 乘等差数列，那么就有两倍的大 a 等于小 a 加 b， 这就是我们所谓的等差中项。 我们的等差中项以及我们的等差竖列的定义，都可以作为判断一个竖列是等差竖列的依据。接下来就是我们的通项公式。通项公式怎么来的呢？它是通过我们的定义，用累加法推导过来的。我这里再稍微推一遍， a n 减去 a n 减一，等于一个常数 d， 那 我们知道 a 二减 a 一， 它是等于 d， a 三减 a 二也等于 d 吧，一直往下写，写到我们多写一项好了， a n 减一减去 a n 减二，也是等于 d 的。 最后一项， a n 减去 a n 减一还是等于 d？ 我 们把这里的式子，左式跟左式相加，右边呢，跟右边相加，你会发现 这个 a 二跟这个 a 二约掉了， a 三也会约掉吧。 a n 减一，跟这里也约掉了，这个 a n 减二呢，自然就跟上面约掉了，所以左边剩下了 a n 减去 a 一。 好，那么左边就是 a n 减去 a 一， 右边呢，有多少个 d？ 我 们看一下， 从 a 一 开始，一直到 a n 减一，一共是 n 减一个 d 吧，所以等于 n 减一倍的 d， 所以呢，我们就能推到 a n 等于 a 一， 加上 n 减一倍的 d。 第二个是指 a n 等于 a m 加上 n 减 n 倍的 d。 这个怎么来的呀？我们只要从任意一项开始，这里从 a 一 开始，对不对？你如果从 a 二开始，你会发现 a 三减 a 二，我们左边相加， 哎，你这时候它就不是 a 一 了，它就变成了 a 二，那这里多少个 d 呢？从二到 n 减一，它不就是 n 减二个 d 吗？所以我们如果是 m 的 话，从 a m 开始，你这里就是 m， 然后呢，这里就是 a m， 这里就是 m 这个数字。希望同学们也能够记住我们的 a n 的 通项公式，它都可以化成依次函数的形式， p， n 加上 q， 并且我们知道这里的 p 呢就是它的公差 d。 好 看到第二个前 n 向和的公式， s n， 它等于 n 倍的 a 一 加上二分之 n， 括号 n 减一 d， 当然它也等于二分之 a 一， 加上末项乘以项数。 如果知道这个式子，你会发现你把 a n 呢直接带进来，就变成了前面这个式子。这里我就不再去推导我们的前一项和公式它是怎么来的了，我们这个公式你会发现它是一个关于 n 方的一元二次方程， 我们可以写成 a 倍的 n 方加上 b 倍的 n， 它是一个不含有常数的一元二次方程，并且这里的公差 d， 它是等于二 a 的。 所以我们以后如果看到是一个一次函数，我们就知道它是一个什么等差速列，如果它的前项和呢，是一个不含常数的一元二次方程呢？它就是一个等，也是一个等差速列，对不对？下面我们看到一些常用的等差速列性质，第一个我们刚刚讲过， 第二个呢，如果下标和相等，那我们的像素和它也相等，这个是我们小题里面特别喜欢考的一种性质。 第三个，若 a m， 它是等差速列，公差为 d， 则 a k a k 加 m， a k 加二 m， 它也是一个等差速列，并且此时它的公差呀，为 md。 我 们这里稍微推导一下。我们知道 a k， 它可以写成 a 一 加上 k 减一倍的 d， 我 们的 a k 加 m 呢？它等于 a 一 加上 k 加 m， 减去一倍的 d 吧。那我们最后一个 ak 加二 m 等于 a 一 加上括号 k 加二， m 倍的减一倍的 d。 好， 我们看看，他说这三项也乘等差数，对吗？我们把前面两项相减，你会发现等于什么呀？等于 m 倍的 d 对 不对？我们这两项相减会得到好，你 a 一 肯定是消掉了 k 减一倍的 d， 你 k 减一倍的 d， 还要怎么样？多一个 m 倍的 d 吧。 所以它们相减之后等于 m 倍的 d， 这两项相减呢？你会发现也是 m 倍的 d， 对 不对？所以它们仍然乘什么啊？等差竖列，并且公差为 m 倍的 d。 往下看，竖列 s m s 二 m 减 m s 三 m 减 s 二 m， 它也是一个等差数列，这个数列同学们可以自己验证一下，但是同学们一定要注意，千万不要记错啊。我们的 s m s 二 m s 三 m， 它这个呢，不会去乘等差数列，很多同学把它记成了这种形式，它应该是怎么样 等距的啊？乘等差应该这么讲，我们看到下一个 s 二 n 减一，它等于两倍的 n 减一倍的 a n， 它很好的把 a n 与 s n 连立起来了吧？那它是怎么来的？我们推导一下我们的 s 二 n 减一。我们根据前面讲的呃，前项和冲项公式， 它应该等于二分之，我们的项数就是二 n 减一项吧，然后乘以首项是 a 一， 然后末项呢，它应该是 a 二 n 减一， 再结合一个性质，下标和相等。那么像素和相等，我们的 a 一 加上 a 二 n 减一，他们的下标和是不是刚好二 n 呢？所以我们这一项呢？哎，他是不是可以写成括号 a n 加上 a n， 这两项的和应该是相等的吧。所以呢，这里应该是两倍的 a n 跟下面约一下 就变成了 a n 吗？所以它就等于二倍的 n 减一倍的 a n， 那 么我们就推完了最后一个性质，等差速列。 a n 的 前因项和 s n， 那 么 s n 比上 n， 它也为等差速列。 这里我们看看 s n， 我 们知道它可以写成 a 倍的 n 方加上 b 倍的 n 的 形式吧。我们知道一个不含常数的一元二次方程，如果表示的是前因项和，那么它 b 为等差速列，我们把它除以 s n， 你 看看 s n 比上 n， 它不就变成了 a n 加上 b 吗？这个是什么？它是不是一个一次函数？我们刚刚这里讲到过，如果它是个一次函数，那么它必然是一个等差数列，对不对？ 所以呢，我们的 s n 比上 n， 它仍然是一个等差数列。下面我们看到一些相关的题型，等差数列的基本量是什么叫基本量？我们的等差数列里面，不管是等差数列通向公式还是前向和通向公式， 你都会含有 a， e 以及 d 以及 n 嘛，当然 a n 也可以 sn 呢，这些呢，都叫它的基本量。我们来看看，利用这些基本量是能够解决绝大多数的问题。看到第一个题目， 已知公差为一的等差数，那我们知道 d 它等于一， a 五的平方等于 a 三乘以 a 六，若该数列的前任相和 sn 等于零，他问我们 n 等于多少，也就是问我们前多少项和为零吧， 我们来算算。通过这个式子呢，我们是可以把 a 一， 他们 d 这些算出来， a 五的平方， a 五，它就等于什么 a 一 啊，我们的 a 一 加上四倍的 d， 它的平方呢？就等于 a 三， a 三是 a 一 加二 d 吧，然后 a 六括号 a 一 加上五倍的 d， 我 们把它展开，就等于 a 一 方 加上我们的五倍的 a， 二倍的 a 就是 七倍的 aed， 再加上一个十倍的 d 的 平方。好，左边展开，就是 a 一 的平方加上八倍的 aed， 再加上十六倍的地方，我们约一下 aed 方式约掉了，这里呢？八倍的，我们把它移过来吧，变成一倍的 aed 就是 aed， 然后这边的十倍的地方就是加上 六倍的地方，它应该是等于零的。我们这里两边同时约掉一个 d， 所以 a 一 加上六 d 好， 六 d 它等于零。 题目里给了我们 d 是 等于一的，所以从这个式子呢，我们能把 a 一 算出来， a 一 它等于负六，它说 s， n 等于零了，那我们的 s n 它是等于 a e， n 加上二分之 n， 括号 n 减一，这里 d 等于一。我就不写了，我们把 a e 等于负六带进去，就是负六倍的 n 加上二分之一倍的 n 方，再减去二分之一倍的 n 吧，他说等于零，那我们这个 n 是 不是可以直接算出来，我们把这个式子稍微化简一下好，两边同时乘以一个二， 就是 n 方。然后呢，减去十三倍的 n 等于零，所以 n 等于零，或说 n 等于十三， n 等于零显然是不行的吧，我们 n 必须大于等于一，所以这里选到 d 选项。像这个题目呢，就用到了我们的基本量法，你把每个条件都翻译成 a 一 与 d 去计算就可以了。看到第二个 竖列， a n 加一分之二是等差竖列，并且 a 一 等于 a 三等于负三分之一，让我们求 a 二零二四，它的值。 我们通过 a 一 等于一以及 a 三等于负三分之一，是不是可以把这个等差数的第一项以及第三项算出来呢？我们假设这个数的它为 b n 好 了，所以我们的 b 一， 它就等于 a 一 加上一分之二就等于一， 那么 b 三呢？就等于 a 三加上一分之二。我们算一下， a 三是负三分之一，负三分之一加上一就是三分之二。二比上三分之二，它就等于三， 我们第一项是一，第三项是三，它是不是差了二两个 d？ 所以 二 d 它等于二，那它的公差 d 就 自然等于一了。所以我们的 b n 就 能算出来吧， 它等于 b 一， 加上 n 减一倍的 d。 我 们刚刚算了 b 一， 它是一， n 减一啊，这个 d 呢，它也是一，所以它等于一，加上 n 减一。它先让我们求什么？求 a 二零二四，你 a 二零二四，你是不等于先把 b 二零二四算出来呀？我们的 b 二零二四就等于 a 二零二四，加上一分之二。好，我们带进去，它的通项公式你都求出来，你还求不出来吗？我们把二零二四带进去，就是二零二四，刚好就等于二零二四，所以呢，我们的 a 二零二四，它就等于二零二四分之 二，然后减去一，就等于这里是幺零幺二分之一吧，就等于负的幺零幺二分之幺零幺幺。那么这个题目呢，就做完了，我们看到下一种题型，等差数列的判定与证明。 我们证明 a n 是 等差数列，通常有几个方法，第一个定义法，也就是意味着我们的后一项减去前一项，它等于一个常数吧。那第二个等差中项， 第三个呢？当然你直接求出多项公式也是没有问题的，或者说你求出前 n 项的和公式也是可以证明的。我们看到这个题目已知多项 a、 n 的 各项均为正数。首先它这个正数 g、 s、 n 为前 n 项和从下面的一、二、三中选出两个条件。另外一个为结论，让我们去证明它。 我们这里随便选两个吧，我就选一二，然后去证明三，可以吧？你现在条件是什么？你现在 a n， 首先它是等差数列，并且我根号 s n， 它也是等差数列，让我们去求证 a 二，它等于三倍的 a 一。 首先我们的 a， n 是 等差数列，对不对？后面的条件是什么呀？根号 s n， 它也是等差数列， 我们这里又是 n， 又是根号 s n， 所以呢，我们通过 a n 等它数列，得把它前项和求出来吧。我们的 s n， 它应该等于 a 一 n 加上二分之 n， 括号 n 减一倍的 d， 对 不对？当然我们可以写成写成 a 倍的 n 方加上 b 倍的 n 的 形式了。我为什么要这样写呢？因为他说了根号 s n 是 等差数列，那意味着我的根号 s n， 它是一个什么依次函数吧？ 你只有它是依次函数的时候，你才能说明它是个等差数列啊。那我们想想看，如果 s n 等于 a 倍的 n 方加 必备的 n， 我 去开根号，他能变成一次函数吗？我们这里并开不出根号，对不对？原因是什么？你这里多了一个必备的 n 呢？所以我们这里的 b 他 应该就等于零。那 b 是 什么呢？我们的 s n 他 如果写成一元二次的形式，我们应该写成 二分之一倍的 d n 方，对不对？然后再加上 a 一 减去二分之 d 倍的 n 吧。那就意味着我们这里的 a 一 减去二分之 d， 它应该是等于零的。所以呢，我们的 a 一， 它就等于二分之 d。 这里让我们证明的是什么？ a 二它与 a 一 的关系吧。 我们的 a 二，它是不是等于 a 一 加上 d 啊？我们知道 a 一 它是等于二分之 d 喽，所以这里加起来应该是二分之 d， 加上 d 就 等于二分之三倍的 d， 它是不是刚好 就等于三倍的 a 一 呢？因为我们的 a 一 它是等于二分之 d 的 吗？那么这个题目呢，我们就证明完了，另外几种呢？同学们可以自己去尝试的证明一下，你可以选一、三去证明二，也可以选二三去证明一。好，我们接着看到下一种题型，等差数列项的性质。第一个，已知在等差数列 n 中， 若 a 八，它等于八，并且告诉了我们一个等式吧，他问我们 s 十三等于多少？看到这个等式，它不就是一个关于对数的一个公式的应用吗？我们的对数的真数，它相乘是可以写成相加，所以呢，我们的 log 二，括号二的 a 一 次方，一直乘到二的 a 十一次方，它可以写成 log 二，然后呢，二的 a 二次方，一直到最后 log 二二的 a 十一次方吧。 我们这里的 a 一 a 二 a 十一，可以怎么样全部拿到前面来，然后呢， log 二它就等于一，所以这里它应该直接等于 a 一， 加上 a 二，加上 最后到 a 十一，它等于二十二，它其实想告诉我们的是什么呀？就是从 a 一 加到 a 十一，它是等于二十二的，那从 a 一 加到 a 十一，我们看看它的下标和 第一项与最后一项，他是不是 a 十二啊？加起来等于十二，一加十一吗？第二项呢， a 二加上 a 十，也是一个十二的和吧？那这里有多少个 a 六呢？我们看看 a 一 加上 a 十一，等于两倍的 a 六，然后从二到十也是两倍的 a 六吧，一共他是有十一倍的 a 六等于二十二，那我就能把 a 六求出来喽， a 六就等于二， 最后他让我们求的是什么？ s 十三 s 十三，它这里还告诉了什么 a 八吧，我们来看看 s 十三它怎么表示出来。你当然可以写成 a e n 加上二分之 n， 括号 n 减一倍的 d 了， 那这里有个什么问题，你的 a e 与 d 并没有求专门选择用第二个公式等于二分之首项加上末项，首项是 a 一， 然后末项呢？ a 十三，然后再乘以项数十三，相对不对，你会发现 a 一 加 a 十三，它是不是等于多少啊？ 它这里的下标和是十四吗？所以是不是等于 a 八加上我们刚刚求出来的 a 六啊？所以呢，它可以写成 二分之括号， a 八加上 a 六，再乘以十三。好，我们现在就好算了，我们的 a 八，它是八，对不对？然后 a 六呢？它是二再乘以十三，这里就是十除以二，然后就是五五再乘以三 啊，五再乘以十三，就是六十五。所以这个题目呢，我们选到 b 选项，它就是我们一些等差数列的基本性质的应用。看到等差数列的前 n 项和的性质，第一个是等差数列 a n、 b n， 前 n 项和分别为 s、 n、 t、 n， 若对于任意的 n 属于正整数，都有 s n 比上 t n 等于二， n 减三，比上四， n 减三，它问的是什么呀？ b 三加 b 十三分之二，加上 b 五加 b 十一分之 a 十四的值。好，看到这里我们要注意，你看看它的分母是 b 三加上 b 十三八，这里呢， b 五加上 b 十一，它们两个的下标和是不是都是十六啊？所以呢，我们这里有 b 三加上 b 十三，它等于 b 五，加上什么 b 十一，当然它就等于什么两倍的 b 八，可以吧？所以呢，我们这里的分母它都可以化成 b 八的形式吧， 所以原式让我们求的就是什么 a 二比上什么两倍的 b 八，再加上 a 十四，比上两倍的 b 八，我们合并一下，就是两倍的 b 八分之 a 二加上 a 十四吧。 an 呢，它也是个等差数列，所以我们的 a 二加上 a 十四啊，它等于多少？这里是十六吗？是不是等于两倍的 a 八呀？所以最后它就变成了两倍的 a 八比上两倍的 b 八，当然就等于 a 八比上 b 八喽，它告诉了我们什么？ 告诉了我们 s n 比上 t， n 等于二， n 减三，比上四， n 减三。还记不记得我刚刚讲的一个公式， s 二 n 减一，它是等于 n 减一倍，二， n 减一倍的 a n 的， 对不对？所以我们要求的 a 八比上 b 八，你这里 n 等于八，那不就是 s 十五吗？不就是等于 s 十五比上 t 十五，我们把 n 等于十五带进来，就等于二乘以十五，减去三比上 四乘以十五，再减三吧，就是等于我们算出来三十减上三，二十七比上六十减去三， 就是五十七，最后呢就是五十七分之二十七，能不能化解一下？能约掉一个三，对不对？上面是九，下面是一十九，所以是九比上十九。选到 c 选项， 这里呢，就是利用到我们刚刚这个性质，以及我们等差数列啊通向公式里面的一些性质吧。这一项这里以及这个式子的应用。当然你不想用式子的话，你用基本量 或者说别的一些方法也是能去算出来的。看到第二个题目，已知等差数列 n 共有二 n 加一项，这里意味着它是什么呀？基数项吧，其中基数项之和为二百九，偶数项之和为二百六十一，则 a n 加一的值为多少？那我们看看 基数项和为二百九，我们怎么表示呢？我们一共是二 n 加一项，我们第一项是 a 一， 然后 a 二，我大概写几项，后面呢？我们的 a 二 n 项， 然后 a r n， 然后加上一项吧，一共是二 n 加一项。那我们基数有哪些？从 a 一 a 三一直到 a r n 减一，我们基数 一共是 n 加一项吧，那我们的偶数项呢？不就是 n 项吗？并且我们知道基数项的首项末项都是知道的，偶数项呢？首项末项也是知道， 所以我们基数项的和我们怎么去表示？我们只用二分之 a 一 加上最后一项 a 二， n 加一，多少项啊？一共是 n 加一项吧，它就等于二百九，对不对？ 然后偶数项我们二分之首项是 a 二，然后末项是 a 二 n， 一 共是 n 项，它等于二百六十一。来看看这两个式子，你最后要求的是什么呀？ a n 加一对不对？但是这里并没有 a n 加一啊，我们来观察一下， 你可以发现 a 一 加上 a 二， n 加一，以及 a 二加上 a 二， n 加二吧，所以他们都可以表示什么呀？两倍的 a n 加一嘛，那么第一个词就会变成了二分之两倍的 a n 加一， 再乘以 n 加一，等于二百九。第二个是指呢？二分之二倍的 a n 加一乘以 n 也等于二百九吧，啊，等于二百六十一，不好意思，这里不是二百九了，二百六十一，那我们两个式子相减，用上面的式子减，下面的式子不就变成了 a n 加一吗？刚好就等于二十九吧，所以这里选到 b 选项。这里主要用到了什么？我们一些 奇偶的问题，对不对？你要求出它的象数，以及我们刚刚求的啊下标和相等，那么象数和呢？它就相等，把它转变成了 a n 加一。好，那么今天的就讲到这里，感谢同学们收听，再见！