函数的零点问题九大题型

函数零点问题绝对是高中数学的重灾区，但更是你们提分的黄金区，看似他千变万化，实则万变不离其宗。 那这节课咱一节课把零点的七大题型给大家讲的明明白白的，让你跟别人拉开更大的差异好不好？好好，那么零点一共是三个大的考向，七大题型哪三个大的考向呢？第一个， 首先大家得知道零点的概念是什么，以及零点的存在定力， 这两个就可以考你两个题型，待会说。第二个叫做零点的区间分布问题。第三个，跟零点有关的个数问题，那个数里面比如说可能会牵扯到第一个，哎，让你去求个数啊， 对吧？或者说我已知个数，这都是你大家应该见到过的吧？已知个数，我让你给我求个字母 a 啊，字母 b 啊，字母 c 求差问题。第三个，超级重点，也是难点，叫什么 复合型的一些问题，复合函数零点问题，对吧？最后一个就是零点的一些综合最值问题，那七大题型在哪里？我们一个一个看， 第一个，零点概念，第二个存在定力，第三个，区间分布，第四个，第五个，第六个，第七个，一个一个把它往后过，这是我们今天的重点好不好？好好，先来说第一个 叫做题型一，跟零点概念有关的问题。我先问大家什么叫零点？复习一下， 说白了他有几个等价，把这几个等价植入到你脑海里就可以了。第一个，零点等价于方程的根， 等价于图像，你所研究的这个图像 与 x 轴交点得啥？横坐标，对了，零点不是点，零点是横坐标， 横坐标，同时你发现这几个等价让你把题做不出来，还可以继续对它进行转化，可以把它转化成你所 familiar， 就是 你所熟悉的 两个函数图像焦点问题，图像的焦点， 你要把这几个等价深深的根植于你的脑海里面，这是零点问题，不断的在转化的过程中，我们要用到的。比如说第一个比较简单的题目来了，我让你给我求， 求什么？求一 x 乘以 line x 等于一，求这个方程的根， 求方程的根，你会求吗？或者我就直接给你说，让你求它的零点，有几个不是零点问题吗？概念是吧？求方程的根，方程的根，直接解，不会解， 那怎么办？转化，转化成图像与 x 轴交点的横坐标，这个 是吧？是的，图像，或者把 e 挪过去，整个函数图像与 x 轴交点，你会画它吗？不会，你不会画它的图像。 那怎么办呢？继续转化，转化成你所熟悉的两个函数图像的焦点，你所熟悉的是 e x 和 line x， 你 俩先成一块，是必须让它分开，是的。来，把一个搞过来，把 line 搞过来，还是把 ex 搞过来？搞谁把 e 的 搞谁搞？ e x 等于 e x 分 之一，它可以写成一分之一 x， 我 可以看成这个叫做 y 一， 这个叫做 y 二，我所熟悉的两个函数图像的交点问题， 就等价于方程的根吗？对不对？他这里求根，比如说求根的个数，你给我求一下这个根的个数有几个？ 嗯， line x 图像长这样，一分之一 x 图像长这样，你俩交点一共有一个，这个交点的横坐标 x， 使得咱俩相等，就是我方程的根， 对吧？他，你看这个根，你如果函数两边能解出来，我们一般都解出来了，如果解不出来，他不就不会让你求根了，就是根的个数问题了，是吧？是的，有几个？ 一个一个根就完了。这是第一个零点的几个等价以及概念的一些考察，没有问题吧？没有。好，接下来我们来看第二个叫零点存在定力是怎么考察大家的？那在看他的题型之前，第一件事复习一下什么叫零点存在定力， 还记得吗？记得，胡老师用大白话给你讲一下，把它翻译成通俗易懂的语言。首先他说有一根函数 是连续不断的，这个函数中间没有断开， ok， ok。 比如说举个例子，这个函数，那么我要研究的是 a 到 b 这一段，我如果发现啊， fa 和 f b 的 值乘以小于零了，我就说在你俩之间一定是存在至少一个零点的， 至少一个零点这个事大家能理解吗？你想啊， a 的 y 值和 b 的 y 值小于零一乘，说明他俩 y 值怎么了？ 相异异号吗？异号，一个 y 值从正的要到负的，或者从负的到正的必然要经过 x 轴吗？图像必然要与 x 轴相交，那你必然至少有一个零点存在吧？对，起码有一个吧，这叫零点存在定律。 我们来看一下在题目中一般怎么考察大家的，他会是有些关键词出现的，比如说题目说，哎呀，有唯一零点， 对吧？或者题目说有零点，或者说存在零点，至少有一个零点，这都是零点存在。这里的考察，你现在识别题型，好吧，好，来看题。研究的是二次函数，在某个区间上有唯一零点，这个二次函数 先模拟图像吗？能画图的把图先大概画出来，是吧？二次函数开口朝上，嗯，他的典型的特征。对称轴是不是还可以求出来来？对称轴是几，能求就求吗？负则二分之 b 等于应该是一。 ok， 题目说在二到三上，那二到三肯定是在对称轴的右边了吧？那你想二到三内有唯一零点，你跟我说把二三放哪去？二在二放到这来，三能放到这吗？不行吧，三必须得放到 这里来，是吧？你俩之间是不是才有唯一零点？对，所以我怎么去保证呢？来告诉我， 在二是负的，三是正 f 二的值必须得小于零，同时 f 三的值大于零，去交集同时满足， 行不行？行，来，把二往金带，把二往金带，所以说这是 b， b 小 于零，同时把三往金带。 九减六是三加 b 大 于零，所以说 b 大 于负三，这两个结果取交集，所以说 b 属于负三到零，这就零点存在定力考察的题型。 零点昨天定要考察大家，在你们考试中其实不会考，很难考的，你更难的题型是在我们后面的题目当中，咱们一个一个带着大家往下讲，好不好？好，来，我们接下来看第二个考法，叫做区间分布，是怎么考你的 题型三，区间分布问题，区间分布问题，只需要大家抓住这几个字就可以了，只要你在考试的过程中叫做端点值一号， 那题目一般怎么考你呢？比如说这道入门级的题目，他说，哎呀，这个函数在下列区间中一定包含零点的，是哪个区间就哪一个区间，至少有我这个函数中的一个零点吗？包含我零点了， 核心就是端点值一号。什么意思呢？就是我把这个区间带入选项去给他验证， 只要保证这两个值带进去的 y 值是一号的，说明你俩之间就有零点，就有零点。那如果带进去是同号的，那不一定吗？我就看 b 选项 排除答案就可以了。对，这是这种问题的做法，叫端点值一号，会了没有？会了，那就很简单，我带大家做一遍吧。比如说我第一个把二分之一带进去， f 二分之一往前带， 这是多少？六？六加一是七，减去四分之一是四分之二十七。你不知道他是谁无所谓，你想算也可以算，反正他是一个正值。 我用的是一号吗？对不对？来，我再带一下 f 一， f 一 的往直往进带三减一加一，你不算出来无所谓，你是一个正正的，所以没用， 是吧？对，你看这是正正，那这个是不是正了？对，判断二分之三就可以了。 f 二分之三来往进带二分之三分之三。 嗯，二分之三分之三，几二二减去四分之九加一，二加一， 这肯定是个正值吧。哎，他肯定是一个正值，那你得到的 y 值也是一个正值，该下一个了，是吧？是的， f 二的值往进一带应该是二分之三减四加一， 这俩加起来是二分之五吧？对，这是二分之八吗？对，是吧？所以这是一个负值，一正一负 有零点，那你俩之间存在零点。因此本道题目答案选的是 c， 这是区间分布问题的入门级考法。 咱们今天讲的这几种呢，只是个开胃菜，在我们考试当中真正拉开差距的是更复杂的、更刁钻的其他的一些问法和考法。那胡老师把每一种都给大家配套了同类型题目的专项训练。嗯，你听会了不代表你会了，一定要去做刻意练习。

那这节课咱一节课把零点的七大题型给大家讲的明明白白的，像这种大家都见过吧， 这就是跟二次有关的区间分布问题，咱一个一个来讲，来看看这种问题从哪些方面去下手好不好。好好，先看第一个，他说这个方程呢，在下列条件中，符合下列条件，让你求对应的 m， 也就说这个方程跟他一搭，跟他一搭，跟他一搭，跟他一搭，让你求对，那 m 的 值嘛，对吧？对，来第一个。人家说，哎呀，我得有俩正根呀。 如何去保证他有两个正根？就是它大于有两个根。有两个正根， 这两个根能不能相等不？不行啊，怎么不行？两个相等的根也叫两个正根？根是零啊。他没有说这两这个根是零吗？啊？这个根，这根是零吗？不是。这根是零吗？还是只是零？ 这是两个相等的根，叫做 x 一 等于 x 二，能行不？咋不行啊，你又没有说不能为两个一样的根啊。我可以啊，是吧？是来根长成这样子行不行？ 行不行？一个根在这，一个根在这。首先得保证两个根吧？对，咋不一定啊，他不是两个根吗？不是正根，我一个一个保证呀，是不是两个根？ 是不是两个根？对，你是不是先得保证两个根？先得出现两个根，你再去保证个正嘛，不就完了吗？对，是不是？那这是不是两个根？是，这有什么可纠结的？来，怎么保证两个根 就是他怎么了？大于等于零，大于等于零，我现在有两根了。对，我怎么去保证他有两个正根呢？拿什么去保证韦达定律？这是我们初中学过的两个正根。拿韦达定律去保证， 得保证这根都在零的右边。韦达定律说的是啥呢？说的是 x 一 加 x 二大于零， 还有一个是 x 一 乘以 x 二。你应该先保证的是这个，他俩是正的吗？对，说明你俩乘起来不得是正的吗？那他俩一乘是什么？ a 分 之 c 是 不是叫 m？ m 得大于零？ 那 m 大 于零了，可能是同正，可能是同负的，你得保证是同正的，我再保证你俩一加大于零，那不就同正了吗？是的，是吧，那他俩一加等于负的 a 分 之 b 不 就他吗？应该是三减 m 大 于零， 这同时成立就可以了。所以这三个结果取的是交集。这些问题我就不带大家解了，因为解法比较简单，主要是带大家分析下核心思路。好吧，所以你看，从第一道题题目里面我们已经分析出来了这种问题。我的突破口。第一个突破口 啊，我们会用到什么问题？会用到的他是吧？根的分布问题。第二个还会用到什么叫维达定律 啊？就是这几个，我全给你总结好，几乎后面用的就是这几个，从他下手就可以了。第一个没有问题吧？没有好，第一个过了，第二个同理，你也就会了。要的吗？正根都会了，负根你不会吗？第三个题目说两个根都小于一，你告诉我第一件事，先保证什么？ 有两个根，你再保证这两个根都小于一吗？是这意思吧？是的，先保证两个根。来，我先给你画图，两个根 是不是两个根？两个相等是根行还是不行？行，是不是两个根？是的，所以第一件事保证谁嘚它大于等于零。第三个， 我只需要保证嘚它大于等于零就可以了。没完，这两个根都要小于一，所以我得把一放到这，是吧？是的，这不根吗？这不 x 等于一吗？把一放到这啥意思？ 嗯？怎么保证把一放到这说明一的值一定得是什么值？正值来，把一往进带叫做 f， 一 的值得大于零，完了没有？ 能不能保证两个根都小于一？对了，你一在这是大于零的，它不能保。你这个式子推过来，它不一定在这，有可能一在这 对他也大于零。你得保证一大于零的同时得在对称轴的右边得去求 x 对， 把 x 对 求出来，等于负的二 a 分 之 b 得保证他小于一小于一 是吧？是的，所以从这道题目里面我们再次总结出来，你看为答。哎，对称轴用不了，第三个用谁？除了有对称轴之外，还有谁？ 还有题目给你的值？比如说参考值一呀，二呀，三呀，这些参考值 对吧？参考值对应的一些 y 值的正负问题，这叫参考值，题目给你的吗？是吧？好，从这些方面开始去入手的。来第三个会了啊，我们再来看下一个，比如说第五个怎么做？第五个题说一个根大于一，一个根小于一，说明几个根？ 两个根，两个根，第一件事要干嘛？德尔塔大于等于零，你在这里面挑吗？对，现在保证德尔塔吧，一个根图像长这样， 这是 x 一， 这是 x 二，一个根比一大，一个根比一小，说明 x 一 在你俩之间吗？是吧？是来，先保证两个根叫做德尔塔大于等于，不能等于零，不能不能， 如果等于零的话，两个根是一样的，咋可能一个大于一，一个小于一嘞，是吧？所以嘚瑟大于等于零，够了不？不够。然后呢？还要保证啥？保证一个根大于一，小于一，嘚瑟大于零只能保证两个根，你不能保证大于一和小于一吧，是吧？那就一在你俩之间呗。 那一怎么样在你俩之间呢？参考值，看参考值题目给你。参考值就是一吗？一的什么问题？一的正负问题。参考值的正负问题，对吧？我得保证 f 一 的值小于零同时成立。 其实这道题啊，德尔塔你都可以不用保证一个二次函数一的值小于零了，他肯定有两个根啊。 哦，是吧？是的，所以有的人说，哎，胡老师，我就写个他就可以了。可以，你严格来说，你把嘚瑟弄出来了，他对于你的答案不影响，你不知道你就一个一个列吗？列完之后他就对的吗？ 行不行？行，咱们今天讲的这几种呢，只是个开胃菜。在在我们考试当中，真正拉开差距的是更复杂的，更刁钻的其他的一些问法和考法。 那胡老师把每一种都给大家配套了同类型题目的专项训练。嗯，你听会了不代表你会了，一定要去做刻意练习。

大家好，何老师在这里精选了十五道函数零点问题的常考题型，含括了函数零点问题的常用方法，希望能帮助大家去解决函数零点问题中的一些疑点和难点。 包含像函数零点的易错点，对吧？零点存在定的应用，那方法呢？就像图像法对吧？还有换元法等等， 这题型呢？当然也包括那些求函数参数的取值范围，符合函数的零点等等这些大家做起来都比较头疼的一些典型的题型，当然还有这里的核心方法和思想。 那首先我们来看比较简单的这个，第一个就是函数的零点的概念问题，其实上函数零点不是点，这个大家一定要知道。 那首先我们来看第一个例题，让我们求这个函数的零点来我们知道零点不是点，那零点是什么呢？根据函数零点的概念，就是使得这个函数 f x， 它等于零的这个 x 的 值就叫函数的零点，那我们求这个不就是解这个 log 以三为底的括号 x 减一，后面减个二 等于零，里面这个 x 的 数值是不是就好了？那现在看一下我们解这个对数方程，那我把这个二它移过去就是 log 以三为底的谁 x 减去一是不是等于二？ 有指数和对数的关系，我们知道这里的 x 减一是不是应该等于三的平方，对吧？那我们看一下，把这个一移到右边，这个 x 是 不是就应该等于十？ 所以这个很简单，这个主要的易错点就是你要知道函数零点不是点，它是一个具体的数值， 那这是我们从代数的角度，当然咱们也可以从这个图像的角度，那就是这个函数图像与 x 轴交点的横坐标啊，就是这个函数的零点啊。不管从哪个角度去理解，你要知道一点，就是零点， 不是一个点。然后我们再来看第二个，这也很简单，但是呢，这又是一个易错题型，什么叫易错题型呢？只是有些同学他忽略掉了题目中要求的，比如说定义域，或者说像后面他有一个区域范围， 你忽略掉定义域或者他的取值范围，那你就无形中扩大了这个解的个数，会导致错误。所以像这种题型，我们上来之后干的第一件事情，只要你去先求定义域， 这个题就不容易出错，对吧？这里有根号，那被开方数大于等于零，所以这里的 x 是 不是小于等于负二，或者 x 是 大于等于二，是这个函数的什么 定义域？那你所解的零点，他必须得在这个定义域里面，对吧？那现在我们来看一下， x 平方减一，他能等于零吗？他是不是就不能等于零？所以说，那他的零点是不是只能是由后面这部分得到零点，那就是 根号下谁 x 的 平方减去四是不是等于零？解出来看一下这个你两边可以同时平方，我们解出来 x 是 不是应该等于正负二， 所以他只有两个零点，而不是四个啊？解出来四个零点的同学呢，就是因为没有去求定域，导致这个结果错误的，所以这是第一个易错点，虽然简单， 但你要拿满分，必须避开这个易错点。然后我们再来看一下这个第三个例题，就是分段函数的零点，那分段函数我们知道，我们在去求它的零点的时候，是不是一段一段地求来？第一个我们先解在 x 小 于等于一时，它的零点， 那就是我令这个三 x 方减去二，是不是等于零？然后这个怎么解呢？你看一下，我们把这个移过来，它就是三的 x 方是不是等于二？ 这个 x 现在出现在了一个指数的位置，我们要把单独的 x 解出来，要给它两边同时取对手，取以谁为的对手，这个你可以取以三为的对手， 都是可以的。那咱们来看一下，我们以取两边同时取以三为底的对数呢？它就是 log 以三为底的三的什么 x 方是不是等于 log 以三为底的 i 二，对吧？然后呢，现在我们来看下左边这个是不是一个对数横等式，它是不是就是 x？ 所以 我们的 x 它就等于 log 以三为底的什么 为底的二，对吧？那现在我们来看一下，这是 log 以三为底，二，这里是不是有？这里是不是有？然后我们再解，当 x 大 于一的时候， x 大 于一的时候，我们是不是要看这个？那我们给它解就是一减去 log 以二为底的括号， x 加上一，是不是等于零？ 然后呢，我们把这个移过来，我们来看一下，那是不是就是 log 谁 log 以二为底的括号 x 加上一，是不是要等于一？来？ 那根据指数和对数的关系，我们这个就是 x 加上一，是不是应该等于二的 一次方？那我们解出来 x 是 不是等于一？那你这个 x 等于一，我们现在看一下，在这段是 x 是 不是大于一，所以这个一我们是取不到的，所以在 x 大 于一时候，它是没有零点的， 所以中上我们只有一个零点，就是当 x 小 于等于一的时候，这个它的零点是 x 等于 log 以三为的二。所以这个题只有一个答案，就是 c 选项，而这个 b 选项呢，就是一个易错选项。 好了，那这个完了之后，那接下来我们再来看一下我们这个函数零点的存在性定力的一个问题。这个题型呢，其实也很简单，那么我们复习一下函数零点的存在性定力 说的什么？一个连续不断的函数在某个区间 a 到 b 上，若有 fa 乘以 f b 小 于零，那我们就说这个函数在 a 到 b 这个区间上至少存在什么一个零点，所以说那我们由这个零点乘以定力，我们就可以去判定某一个函数在某个区间上它是不是 有零点。那首先我们来看一下这些函数呢，无特殊说明他都是什么连续的，这第一个、第二个，那我们现在是不是就要看他给这区间哪一个区间上有零点，就是看这个区间两个端点带回去函数值是不是一号的。 但是这里有一个小小的问题，就是比如说这个零这个点能不能往这个函数里面去带是不能的，不能，这里面我们就要用到一个极限和趋近的思想， 什么意思呢？比如说零因为不在这个定域里面，你不能往回带，所以我们就说当 x 趋于零的时候，这个函数 f x 看一下，当 x 趋于零的时候，我们这个 f x 你 看一下它是不是趋于富无穷的， 对吧？然后我们再来看一下，这个是不能往回带的，我们就要用这样的思想去描述它到底是正还是负。然后我们再来看一下，一是可以往回带的，因为 f 一 等于几？ f 一 它就等于谁，是不是等于一，这是不是大于零呢？当 x 趋零的时候呢？你趋负无穷，当 x 等于一的时候，函数值大于零，说明在零到一之间，它一定有什么， 有零点，对不对？那一次 b、 c、 d 这三个我们判断一下，它都没有零点，这个为什么要去专门讲这个题呢？就是因为同学这个 a 选项， 当我们这个零不能往回带的时候，很多同学就不知道该怎么去操作了。好了，我们再来看第五题，第五题这个就很简单，我们只需要把它每一个区间两个端点往回给它带，是不就行了 啊？这些都在这个定义范围内的，你给他带第一个，你就是带 f， 谁一分之一， f 一 分之一，这个带回去是不是一，对吧？减去一个 e 的 平方分之一加上二，这个肯定是大于零的，对吧？然后我们带 f 一， f 一 带回去，咱们来看这是个零，是吧？这个是不是负一加上一个二是不是也是大于零呢？那继续带好了，接下来是不是带 f 二， 那带什么？看他给我们区间这个端点就行了。把 f 二带回去，这个是不是负的？ y 二减去一个几四加上二，对吧？这个很显然小于零的 f 一 带进去，函数值大于零， f 二带进去函数值小于零，那一到二之间必有零零啊，这个函数是连续的啊，这个我们一般无特殊说明的时候，我们这里这些函数都是连续的。

ok， 那 么我们今天继续接着去看我们函数零点综合题型的一个总结，其中题型考的是我们的嵌套函数的零点问题，那这种问题出现一般都在我们的填空或者选择的压轴题，他的这个做题思路会比较复杂， 需要用到两次函数零点的判断，因为他复合了一个函数，所以呢，今天老师结合这两道题目，把我们嵌套函数的零点的做题步骤以及 应该注意到的点给大家讲清楚。首先我们去看这类题目要做的零点问题，我们上个视频已经讲过了，它的做题方法非常简单，就是画图，那我们先把这个题目的图像给它画出来，那么我们画出了这道题目的图像，它长这样，那我们要注意，在做这种零点问题的时候，画图一定要去把题目中的 对应的点特殊点，包括特殊点的值的 y 值一定要给它标出来，这样的话，为了我们方便后面的判断，那对这种嵌套问题，我们的做法第一个肯定是换元，我们令我们复合的这部分等于一个 t， 也就是说令 f i 等于 t 的 话，所以呢，原函数零点是变成了 f t 等于一个 a， 有 五个零点五个根，那也就是说我们 f t 等于 a， 是 不是要有五个零点，就说这两个函数，一个是 y 等于 a， 一个是 y 等于 f t， 它们两个是不是要五个焦点才行？那现在呢，我们画出了 f x 图像，要画出 f t 的 图像的话，非常简单，我们只需要让变成 t 就 可以了， 那它的自变量变成 t， 所以 这个图像自然就变成了 f t 的 图像，那我们发现了 f t 等于 a， 要有五个焦点，那是不可能的， 你发现它最多有一、二三三个焦点。我们的 t 等于 f x， 让 t 等于 f x 的 时候，画完圆之后，我们此时要做的就是观察 f t 等于 a 有 五个根的 a 的 值范围。 那现在第一种情况，假设我们的 a 是 大于三时， a 大 于三的时候，我们不妨去画一下 a 的 值， a 在 这个地方，那我们发现它与 f t 是 不是最多有两个焦点。也就是说圆函数的话，当 y 等于三的时候，我们对应的这个 x 我 们可以算出来。把三带入到第一个式子中，让它等于三，那我们算出来 lo in x 绝对值等于一，那 x 绝对值等于一，那 x 要么等于正一，要么内负一等于负一的时候，我们发现它对的这块的值是不是应该是一个 e 分 之一，然后呢，对应这块的值应该是一个 e， 所以呢，我们知道了 t 一 跟 t 二的一个大小，那就是当 a 等于三时，我们的 f t 等于 a 有 两解，这两解分别是 t 一 和 t 二。 那此时我们知道了 t 一 它是大于零并且小于一分之一的，我们的 t 二呢，等于大于一的，这我们同时再去判断一下我们的 t 的 这样一个 所对的 x 就 可以了。那判断 t 所对的 x， 那 非常简单，我们只需要把这个图再给它画一遍，那么此时我们只需要把 x 的 t 给它变成 x 即可。因为我们知道了 f x 等于 t， 我 要算出来 x 的 值才是这个函数的零点。所以呢，我们定 f x 等于 t 一， t 一 是零到一分之一的，那我们画一个零到一分之一的值，我们看一下它与 f x 有 几个交点，那就是几个 x 的 根了。那此时的话呢，我们画出来这个是 y 等于一个 t 一 t， 它是零到一分之一之间的，它比 e 小。 所以呢，我们画出来这样一个图像， y 等于 t 一， 它与 f x 的 交点，我们发现它只有一个 x 根，也就是说 x 有 e， x 有 e 解，再去画 f x 等于 t 二， f 等于 t 二， t 二的话，它是大于 e 的， e 是 一个比 e 大 的值，那就是说，我们画出来一个 y 等于比 e 大 的值，比 e 大 的，它有可能有三个根，有可能有两个根，那也就是说，我们推出来，你看，我们随便画一个三个根的，就假设 e 在 这个地方， y 等于一个 t 二， t 二比 e 大， 如果它在这个地方，它对应的 x 根是不是只有三个了？一个、两个、三个，那所以加上我 f x 跟 t e 的 这个一个 x 是 不是一共四个减？如果呢，你的 t 二在这个地方， t 二如果是大于三，那也就是说我们观察一下它有多少个根了？ t 二如果大于三，你发现它是不是有两个根， 两个根，一个是这个，一个是这个，有 x 的 焦点，所以呢，再加上 f x 等于 t 的 一个根，是不是一共有三个解？那也就是说它不管怎么样，它都不可能有五个解的啊？所以呢， f x 等于 t 二，我们推出来 x 有 三解或两解，所以呢，我们推出来此时的情况是不是就舍去了？那就是说 f x 呢？等于 f， f f 等于 a 的 话，是最多有三解或三解或四解，两个加起来就行，有三或四解直接舍去了，这是 a 大 于三的时候， a 大 于三的时候，分析清楚之后我们再去看，同理我们再去看。当 a 如果是大于二， 小于等于三，当 a 如果是大于二，小于等于三的时候，我们可以把这个 a 给它画出来，也在第一个图像中去判断一下这个图像 a 是 不是跑到下面来了？那你发现了，此时的话它有几个 t， 是 不是有三个 t， 把原来这个擦掉，此时它有三个 t， 能把三个 t 标出来，那也就是说这有一个 t t 一， 这有一个 t t 二，这有一个 t t 三，把原来的给它擦掉。当 a 在 它们之间的时候，我们说了这个 f t 等于 a， 是 不是有三节 t 一、 t 二、 t 三，也是 t 一、 t 二、 t 三，并且呢，我们可以得到 t 一、 t 二、 t 三的一个趋势范围，那也就是说我们的 t 一 它是在负一到零之间的， 我们的 t 二它是在一分之一到一之间的。然后呢，我们的 t 三是不是在一到一之间的？让我们同理再去判断 f x 分 别等于 t 一、 t 二、 t 三的根的个数是不是就可以了？那假设我们的 f x 等于 t 一， 我们分析它它它有几个解是不是就可以了？ 那就是说在第二个图形中去判断了，把原来的给它擦掉。在第二个图形中去判断，我们把原来的擦掉之后，去判断一下它有几个根就可以了。那也就是说我们得到了啊， t 一 t 一 是负一到零的，那我们先把 t 一 画出来，负一到零的 t 一 画到这个地方， f i 等于 t 一 的话，是不是只有一个根？那我们推出来有异解，异解在这个地方， x 一， 当 x 二，当 t 二是一分之一到一，那 f x 等于 t 二，我再画一个一分之一到一之间的 t 二，将它长这样， y 等于 t 二，你发现它是不是也只有异解 x 二有异解，当 t 三在一到一之间， f x 等于 t 三， t 三呢？我们画一到一之间的话，那也就是说他要有五个解的话，必须此时是不是有三个解才能满足情况？你看这种情况是可以的，对吧？那满足三种情况，我们必须要有一下线，怎么样？我们只取满足三个情况，有三个这种情况，他有三个根的情况。比如说我们画出来，他是不是一定要与原函数有三个交点才可以？那 假设满足三个交点，我们观察下这个 t 的 范围， y 等于 t 三，这是对应的是 x 三，你看他有三个 x 三， x 四、 x 五，这样的话，是不是刚好满足条件它就握根了？那满足这个条件的话，那也就是说我们 y 等于 t 三，必须要与我们 f x 三个交点，那也就是说它必须比我们这个值要大，必须把比二大，并且呢比上面这个三的值是不是要小？所以呢，它可以等于三，等于三有三个交点，那所以它必须要大于 二，那此时我们的 t 三要与 f x 有 三个交点，我们的 t 三必须要大于二才可以，并且呢要小于等于 e， 那 也就是说我们的 a 是 要大于 f 二，并且要小于等于 f e 才可以。因为我们的 a 是 等于 f t 的， 这样我们把需要把它带进去弄会得到我们的 a 的 取值范围，就是 a 大 于捞引二加二小于等于三，所以呢，我们 a 的 取值范围就是捞引二加二到三的 b 区间。然后呢，其他情况呢，我们可以去分类讨论一下，按照我们刚才所讲的这个方法， 发现了他只有这一种情况满足题，所以我们最终结果就是捞以二加二到三之间。 ok， 这个就是我们欠套零点所考察的一个方法，需要我们把两个图像画出来，分别去把一个 t 当做自变量，或者把 t 当做这个 y 转换成图像焦点进行求解就可以了。 ok， 我 们来看一下这道题，这道题目已知 f x 等于它，并且呢，让我们算方程 f f x 等于二，这明显是一个嵌套的一个函数，让我们算它所有根之积等于多少。同样呢，我们先用画图把它的图像给它画出来。 ok， 首先我们画出来 f x 图像，那首第一步也是一样，我们先去换元，令我们 f x 等于一个 t， 那 所以这个方程等于二的根就可以变成了 f t 等于二的 根。我们可以先求出 t 的 所有值，再画一个图，令它的极变量变成 x， 把 x 的 值给它求出来就可以了，这就是说欠道函数它的一个解体的方法。所以呢，我先把这块的 x 变成一个 t， 我 们先观察一下， 那就是说我们的 f t 要等于二，此时这个图像是不是自然就变成 f t 图像 f t 等于二的话，我需要去画一个 y 等于 f t 与 y 等于二的一个焦点，我们观察一下 t 的 去值， 也就是说画一个 y 等于二的曲值，假设呢，它在这个地方， y 等于二， t 等于多少？不妨我们算一下，它是不是有两个焦点，明显的一个，两个焦点，一个是 t 一， 一个是 t 二，那 t 一 的范围，我们大概可以去算一下它的值， t 一 呢，大概在这个地方，那也就是说，令我们的这个 log 以二为底， x 绝对值等于一个二，我们就可以算出来了。所以此时的话，我们会得到的是 log 绝对值，以二为底， x 对 数等于一个二，此时我们算出来 x 一 等于我们的 t 一， 那这应该是 t 了，那它的变量是 t， 所以呢，我们的 t 一 等于负二的话是四分之一， t 二等于正二呢，应该是一个四，所以呢，得到了 t 一， 在这个地方四分之一， t 二在这个地方等于一个四。 ok， 那 接着我们再去画，也就是说 t 一 t 二分别就是这个方程的 f t 等于二的两个根，所以此时我们把它对应的 x 根求出来就不可以了。 第一个根呢，就是 f x 要等于 t 一， 我们解出来所有的 x 就是 这个方程的根。第二也是这样， f x 等于 t 二，我们解出来所有的 x 也是这个方程的根，两个加起来就是所有的根了。 ok 啊，那现在呢，我们再去把这个 图像画一遍，并且呢，让它的自变量变成 x 就 可以了。比如说我们画出来这个图像，我们此时让它的自变量变成 x 就 可以了， 它这边 x， 那 就 f i 等于 t 一， t 一， 我们刚算了，是不是等于四分之一了？把四分之一写到这儿， t 二，我们也刚算了，是不是等于个四了？我们把四写到这 儿，那问题就变得非常简单了呀，那就是说 f i 等于四分之一，解出来的所有 x 就是 这个方程的根。 f x 如果等于一个四，解出来的所有 x 也是这个方程的根，那我们只需要去把所有 x 给它标出来就可以了。 f i 等于四分之一的时候，我们画一个 y 等于四分之一与它交点， 你发现在四分之一的时候，歪定四分之一时候，它是不是有四个 x 四个根？所以把四分之一往第一个式子中一带，那也就是说我们让负的 a 平方减去二， x 是 不是等于四分之一？我们得到了两个根，得到了这两个根，我们算出来， 因为他让我们算，所以根之积，所以在这我们不必要去算出来它的根，我们只需要根据伟大定律是不是就可以了？我们知道了，这肯定有一个 x 一， 这肯定有一个 x 二，并且呢， x 一 乘 x 二，我们是可以知道的，我们用一个什么韦达定律是不是就可以了？等于一个 a 分 之 c， a 分 之 c 刚好是四分之一。同理，我们接着去往下看，这是不是也有两个根？ x 三和 x 四， 那就是说它是绝对值对数的这样一个形式。我们知道 s 三乘 s 一定是等于一的，在这你发现我们的 x 三乘 x 四等于一，那这个是谁的根？这个是不是就是我们绝对值绕二为底？ x 绝对值等于一个四分之一的时候，我们可以把这两个解出来。你的 x 三 x 相乘肯定是等于一的，因为它是 翻折上去的，翻折变化即为定，此时是不是已经得到四个零点了？现在呢，我们再去观察 f x 等于四的时候啊，这是我们的第一种情况，第一种情况等于四分之一的时候，第二种情况 f x 等于四的时候呢，我们去带一下，看他有几个根，那么 y 零四，话说 y 零四画出来，他是长这样，长这长这个样子， y 零四的话，明显与你的 f x 只有两个根。我们画出了 x 五 x 六， x 五在这一块， x 六是不是在这一块？那你发现 x 五 x 五乘 x 六是不是也等于一？因为它也是关于我这个绝对值对准住翻折上去的，取同样的 y， 它的 x 所有的乘积都等于一，所以呢，我们知道绕以二为底， x 位数如果等于一个四的话，我们解出来的 x 五乘以 x 六是刚好也等于一， 所以我们就得到了这个 f x 所有的 g x 一 乘以 x， 二乘以 x， 四乘以 x 五乘以 x 六，就等于 四分之一。乘以一乘以一等于四分之一，所以它的积就等于四分之一就可以了。那这个题目如果人家幻想问我们这个方程有几个零点，我们是也可以判断出来它是有六个零点，这个就是我们这种题目的做题方法啊，希望大家下去认真总结。 ok， 我 们的 第五个就是我们函数零点的只对变化，那我们先看第一个题，他说 x 零是他的一个唯一零点，所以呢，我们直接去使用 f x 零等于零， 把它带进去呢，也就是说我们会得到 e 的 x 零分之一，减去一个 x 零的平方，乘以 lo in x 零等于零，那相当于是我们已经有了这个方程，让我们算的是 e 的 x 分 之一乘以 lo in x 零的值等于多少？这样的话呢，我们只需要进行一个化简就可以了。 所以呢，我们会得到的是 e 的 s 零分之一就等于 s 零平方乘以 lo in s 零，我们两边同除 s 零的话，会得到 s 零分之一。乘以 e 的 s 零分之一就等于 s 零。乘以 lo in s 零，这时我们只需要去凑一个同 相同的类型，其实我们只需要去同构一下就可以了，同构我们需要把这个 x 零变成 e 的 捞引 x 零。乘以捞引 x 零，这边呢，则变成了 e 的 x 零分之一乘以 x 零分之一。也就是说，我们会得到的这样一个函数，只需要令这个函数等于 我们的 g x 等于一个 e 的 x 方乘以 x 就 可以了，因为它是一个单调递增的这样一个函数，所以这个式子我们就可以写成 g x 零分之一等于 j 捞引 x 零，它是单调递增的话，只需要让它的磁变量 x 零分之一等于捞引 x 零即可。 所以呢，我们两边取个对数就可以了，那就是 e 的 捞引 e 的 x 零分之一等于一个 e 的 x 零等于 x 零，所以原式就变成了 x 零。乘以一个 x 零分之一等于一，这个就是我们的第二种函数的零点指定互换，需要去构造一个函数进行求解。 ok， 那 么第二个我们可以留作练习，我们可以告诉你答案，他的答案是一个，这个题答案是一个三， 这样下去可以当做练习进行处理。最后一个就是我们二次型复合函数的零点问题，这个做题方法也比较固定，那也就是说我们能因式分解，先因式分解，再数形结合，再画图，让我们再去画图进行求解，根据我们刚才的嵌套函数，零点进行求解就可以了。那首先我们需要去把这个题目的图像画出来， ok， 我 们先画出来了 f x 图像，那现在呢，我们的做法就是先因式分解，那就是说 y 的 零点，也就是说我们的 f x 零方减去三倍的 f x， 再加上二等于零的方程的根。所以呢，我们可以先去令 t 等于 f x， 所以 这个方程就变成了 t 方减三， t 加二等于零。此事的话呢，我们可以因式分解，那变成了 t 减二，乘以个 t 减一等于零， 减二减一，所以呢，我们得到了 t 一 是不是等于个二， t 二是不是等于个一？那跟刚才一样，那也就是说 t 一 等于二， t 二等于一，所对应的所有的 s 都是它的根，那也就是说我们可以得到 t 一 等于二， f x 等于 t 一 等于二的所有的 x， 就是 这个方程的根了。我们通过这个原理的话，我们画一个 y 等于二的图像与 f x 进行交点就可以了。 y 等二的话，发现有几个交点啊？是有几个 x， 原值对应是三个 x 一 x 二 x 三，所以呢，我们推出来这个是不是根三个根，然后同理呢，我们再去判断 f x 等于 t 二， f i 等于 t 二， t 二是一，那 f x 等于一的时候，我们再去画一个根， 当 y 等于一的时候，刚好在这个地方能发现它有也有三个根， x 三 x 四 x 五在这 x 六是不是在这？这，所以也有三个根对应的它的零点个数是不是三加三是不是等于六个根，所以它零点个数是六个零点，这个跟我们刚才的复合型 嵌套函数零点算法是一模一样的。我们先要进行一个因子分解，通过因子分解把它转换成 f x 与 t 的 这样一个关系，这样的话呢，我们再根据图像画出对应的 t 与 f x 图像的交点，交点有几个对应的 x， 那 它就方程就有几个对应的根。 ok， 大家下去可以拿这道题进行一个练习，它含餐也是一样。那么我们这个视频就讲到这里，这个视频讲的几种方法都比较复杂，所以下去一定要去认真去 求解，把我们这一块的内容进行总结。 ok， 至此我们零点的所有内容已经完全部结束了，后面我们继续更新三角函数部分内容有问题同学欢迎在评论区跟老师进行交流，那么我们下个视频再见。

ok， 那 么我们今天一块去看一下函数部分的最难的一个模块叫做函数的零点综合，那这部分很多高三的同学到目前为止把这一块内容还是不能够完成的掌握，所以呢，我们高一在学这块的同学， 一定要刚开始把这块的题型总结好，并且把对应的原理搞清楚，这样我们在高三就会游刃有余一些。 ok， 那 么首先这视频我们主要从函数零点的综合题型，包括零点存在性定力， 零点的个数与零点个数的求餐问题，以及我们等直线求解零点的合击的曲值范围和最后我们的嵌套零点问题，以及后面常考的一些关于零点的一些综合类型。 所以呢，这个视频比较全面，并且呢老师也会花三期进行更新，所以呢，对这块有问题并且想系统学习的同学一定要点赞关注，并且收藏老师的视频。 ok， 废话不多说，我们先看第一个题型，第一个题型我们先讲的是零点存在性定力， 我们得了解它的原理，它的原理呢，实际非常简单，也就是我们的 f x 如果在这个区间 ab 上是一个连续不断的曲线，并且呢满足我们的 fa 乘以 f b 小 于零，在区间端点的函数值符号相反， 那么我们可以推出来函数 f x 在 这个区间内至少有一个零点，我们可以画图来进行理解，比如说我们现在告诉我们这个区间 ab， 我 们画一个连续不断的函数 f x， 假设呢，我们的 f a， 它的值是小于零的，假设我们这块是 f a， f a 小 于零，并且呢 f b 是 大于零的， 这样的话呢，我会在 a b 中存在一个点 c， 使得 f c 等于零，这个实际上就是我们对零点存在性定义的理解。了解了这个内容的话，我们可以进行一些推论。 那么第一个比较常用的推论就是，如果我们的 f x 是 一个连续不断并且具有单调性的函数，则我们的 f x 在 区间 a b 内有且只有一个零点，那反之也依然 ok。 那 对这个零点穿线定律的应用，我们在第一次月考中，他一定会出到这样一个题目，这个题目的做法也比较简单，我们只需要去根据它的定义 告诉我们，让我们算 f x 等于它的零点所在的区间，我们只需要把 abcd 这个区间端点值给它带进去，看它的端点值的符号相反还是相同，如果相反的话，那就有零点，如果相同，那就没有零点。所以呢，不妨我们去带一下告诉我们， f 一 等于 f 一 等于八十一乘以 lo 一， 减去一个三分之一的 一减三，那就是负二次方。所以前面我们知道 lo 八十一， lo 一 等于一个零，那这个就变成了零减去，后面还有个减八十， 零减去三分之一的负二次方，那就是三的平方，那它明显是一个小于零的。同理的话，我们再算出 f 二 f 二等于八十一乘以捞引二，再减去一个三分之一的负一次方，再减八十。 那么此时知道了八十一乘以捞引二，再减去三分之一的负一次方，减三再减去八十，那此时我们知道了捞引二大概是一个零点六九，所以呢，这个式子 f 二也是小于零的， 那对于这些比较常考的值呢，我们需要把它记住，烙印二，零点六九三。对于 f 三的话，同理我们继续进行代代值即可，那就是八十一乘以烙印三，再减去一个 三分之一的零次方，那就是一再减去八十一，再减去八十，所以这个就变成了八十一乘以 lo in 三减去八十一，同时我们需要把它提出来，那就变成了 lo in 三减去一个一。 lo in 三，我们知道它大概是一个一点零一大于一的，所以这个式子它明显是大于零的， 所以我们可以知道我们的 f 二是，所以我们知道了 f 二乘以 f 三，它是一个小于零的，所以我们的零点就在二到三内选择 b 选项。同理，第二个也比较简单，大家可以自己去尝试一下。 ok， 这个就是我们零点存在性定律，在我们第一次月考中的一个考试题型的一个方法，大家一定要去掌握清楚。并且呢对一些常见的数字，我们需要把它记清楚，比如 l 二和 l 三。 对于第二个题型，我们要看的是零点个数与零点个数求差，那这类问题的做题方法也比较固定，他实际上考察的就是我们对图形的一个掌握，也就是我们比较常说的数形结合。 如果这块我们要养成一个良好的做题习惯，在做这块的题目时候呢，一定要把对应的图像给它画出来，如果说你有这种画图的好习惯，那你做这块的题型会比较简单，如果没有赶紧迅速去培养这块的特点，实际上考的就是我们的图形变化，你得会画图形，并且呢应用的比较多的实际上就是我们的翻折变化， 也就是我们 y 等于 f 绝对值 x 和 y 等于我们的 f x 绝对值，这两个图像你要得会画，所以第一个 f 绝对值 x 的 话，我们的画图方法比较简单，那也就是我们去左 留右右翻左，这个左右指的是 y 轴的左右，所以 y 等于绝对值 x， 那 也就是说去下留上下翻上。掌握了这两个原理，实际上我们就可以把对应的图像画出来，利用 我们三个相等关系进行判断。什么相等三，哪三个相等关系呢？那也就是说我们 f x 等于零， f x 的 零点问题， 它就等于 f x 方程的根，同时呢也等于 f x 与 f 轴交点的横坐标图像交点。有了这三个等量关系，再结合图形的变换，我们一定是可以把这种零点个数，包括零点个数求差，以及后面我们的求解曲式范围，各种题型进行一个掌握。所以呢，这块 重点实际上就是画图。那下面我们结合这两个题目去看一下这些题型到底应该具体怎么操作呢？首先我们看第一个题，告诉我们 f x 等于它，若 f x 恰有三个零点，恰有三个零点，让我们算 m 的 取值范围。那做这种题，首先第一个就是我们的画图了， 在画图之前，我们可以观察一下这个 f x 等于一个 x 幺零零的时候是它减去 m， 在 x 幺零零的时候也是小于减去 m， 那 所以不妨 我们如果令我们的 j x 等于一个这个分段函数，把参数先给它去掉二 x 加一，就是再减去一个一，在 x 小 于等于零的时候，它是一个图像，然后在 x 在 零的时候呢，我们令它是一个 lo in x， 这样你发现 f x 的 零点实际上就是 j x 减去 m 的 零点， 我们把 f x 的 零点就转换成了 g x 减去 m 等于零的根，在这我们把它转换成了方程 g x 减 m 等于零的根了， 你就说我们要把它转换成函数成的根，进而转换成图像的焦点，那它等于零的根的话，我们是不是只需要去算出我们 j x 等于 m 这两个图像的焦点？这个也是我们做这类题的一个非常重要的方法，把零点问题给它转换成我们的图像焦点问题，那一定要去记好笔记。 所以呢，此时我们只需要去画出 js 图像，在画图像的时候，大家一定要去注意以下几个点，就要把 它的区间间断点以及在间断点处的函数值，包括一些最大最小值对称，如果是二次函数，它它的对称轴的最高最低点也要给它算出来，这样会让我们的图形更加的准确易用我们的判断， ok， 那 我们先去画的是 s 大 于零的图像，那它是一个 g i 图像，是 low s low s 单调递增， 在 x 加零的时候，它是个全图像，长这样，然后当 x 小 于零的时候，我们先画二 x 加三的绝对值，然后把这个二 x 加三的绝对值减一，就是向下整体平移一个单位，那二 x 加三的话，让它等于零，我们会得到 x 等于一个负的二分之三， 并且呢它的斜率是一个二，所以它是单调递增的，我们画出来它的对称图像，此时你不要着急，我们现在画的是我们的这个二， x 加三的一个图像要整体去化解，我们是不是需要去把它向下平移一个单位才可？ 那此时我们知道了，我们当 x 等于零的时候，我们这块的值是一个三，那所以向下平移一个单位，我们得到的 在 x 等于零处的值，它就等于一个二，并且呢，最低点是不是变成了负一了？所以我们只需要画出 y 等于 m 和 y 等于 j x 两个图像的交点即可。此时呢，我们知道 y 等于 m， 它是平行于 x 轴的一条直线，那不妨把 y 等于 x， y 等于 m 给它画出来， 拉住 y 点 m 进行平移。我们此时只需要让 y 等于 m 与我们的 j 图像有三个交点即可。那当 y 等于二的时候，我们发现它刚好恰有三个零点，因为在 s 等于零的时候，它是可以取到二。然后向下平移的过程中，是不是一直会有三个交点？ 当临界点是，当 y m 等于负一的时候，此时只有两个零点，那所以呢， m 的 范围是大于负一，并且小于等于二可以取到二。所以呢，这个题就选择我们的二 b 选项。 所以呢，对这种题目的话，我们只需要去画出题目中的图像，并且把它转换成我们的图像焦点问题是不就可以了？当然，在确定关系的时候，一定要搞清楚他间断点处的这个可取等的条件到底在什么地方取到即可。那么第二道题大家掌握这个方法之后，是不是就可以快速去求解了？ 要求 g x 的 三个零点，那所以我们先把 g x 转换成 f x， 减去二分之 m 等于零，有三个交点，所以呢，我们只需要画出 f x 等于二分之 m 平方有三个交点是不就可以了？ 那 f x 图像一画与二分之 m 平方有三个交点，这个问题解决，那所以问题就在于关于画出 f x 的 图像，不妨去画一下。当 x 小 于零的时候，我们知道了它是一个整体带绝对值的，并且是 lo x 减一。 那我们是不是先去画 loi x 的 图像， loi x 图像画出了之后呢？ loi x 减一，左加右减向右平移一个单位，此时呢，不要忘记它是有间极限的 平移过来长这样给它整体带绝对值，我们去下留上下翻上， 这个绝对值是给 s 整体带绝对值， i 减一整体带绝对值，那也就是说我们去左留右右翻左，那也就是说取到的是我们蓝色的部分，其他多余的我们就给它擦掉了。老师主要给我们展示这个画图的过程。 s 在 零的时候，我们知道它是一个 开口向上的二次函数，并且呢，它的对称轴是一个一在零处取二，但是它是一个开的，所以呢，我们只需要去画在零处取二，二在这个地方它是一个空心的，在一处的时候，我们带进去发现它等于个一 这样一个二次函数模型，把左边的图像给它画好一些，一定要去标出关键位置的函数值，这样的话有助于我们理解图像，那此时的 f x 的 图像我们已经画出来了，我们只需要去画出 y 等于二分之 m 方的图像，那么 y 等于二分之 m 方图像，它也是一条直线，所以呢，不妨画出来，我们只需要让这个 y 等于二分之 m 方 要大于一小与二是不就可以了？此时我们可以解出来我们的 m m 要么是大于根二小于二，或者呢，我们的 m 要大于负二小与负根二，此时我们的 m 范围就可以写成负二逗，负根二并上一个根二，逗二 得开去减。 ok， 这个就是我们对于函数零点个数基，根据零点个数去求解参数取值范围问题的一个详细的过程。像下去，对这两个题型一定要去认真研究，尤其是对于画图，一定要去认真去思考。 三个呢，就是我们等值线问题，去求解零点和积的取值范围。这里我们需要了解两个原理。第一个就是对于我们的这种 y 等于整体带绝对值的函数，比如说 log 以 a 为底 x 对 数， 那么此时不管 a 大 于零还是 a 小 于零，不管是 a 大 于一还是 a 大 于零小于一，它们之间是有一个定值的，对这两个定值一定要去搞清楚。第一个定值就是我对这个 图像进行研究，会得到它的图像，比如说我们假设它画一下它长这样，它是 a， 是 一个大于一的， 那也就是说如果对这个绝对值的绕 a x 的 话，我们需要去研究，比如说 y 等于一个 e， 我 需要去研究的是对应两个 x 的 一个关系， 比如说 x 一 乘以 x， 如果这是 log， 如果这 log 以 a 为底 x 的 话，这是一，所以它们之间的关系就可以得到你的 x 一 乘以 x 二是一个定值， 对吧？我们的 x 一 乘以 x 二，它一定为一个定值。如果它是这个题呢？你发现你的 x 一 乘以 x 二，它一定等于一个一的，它的原因就是因为你发现我们两个 y 绝对值 y 相等，所以在 x 一 的时候，它应该取的是负的， 跟这个 x 二取的这个值刚好是相反数。相反数对于对数而言呢，我们刚好是分之一或倒数的，所以它们两个相乘一定是等于一的。那对于平移过后的，或者说对于一些 这块不是一的值呢？我们知道它的 x 一 y x 一 乘 x 二，它一定是一个定值，这一点我们要搞清楚。然后第二个就是呢，何为定值？这个是皆为定值。何为定值的意思就是说对于我们 有对称性的这样一个函数，比如说我们比较常见的二函数绝对值的，是不是啊？可以 x 在 绝对值的我们都具有一个对称性，这个对称性我们会决定的是你的取 y 取同一个 y y 值的话，它的 x 相加一定是一个定值。比如说我们举个例子， 举个非常常见的二函数轴对称，可以说它具有轴对称的这样一个函数，有轴对称性的函数。关于 x 等于 a 对 称的话，我们给 y 等于随便一个值吧， y 等于 m， 发现它与这个就对阵线的函数交于两个根 x x 二。此时的话呢，你的 x 一 加 x 二，它是一个定值，并且这个定值是一个二 a。 对 于取值范围包括定值问题的话，我们常用的实际上就这两点，大家一定要把这两点至少搞定，搞定这两点我们在做题中呢，就会非常的简单，比如说我们看一下这道题也是一样，告诉我们 f x， 它是一个分段函数，并且呢 a、 b、 c、 d 互不相等， 且 f a 等于 f b 等于 f d， 说这个东西我们让它等于一个 m， 实际上它就是一个等值线问题了，就是我们此时这说的这个等值线就这意思， 并告诉我们让我们算 a 加 b 加 c 加 d 的 几何位，那也是让我们先画 f s 图像，这个题目前面是一个零到十的时候，我们知道它是一个 log x， 并且呢在 x 大 于十的时候，它是一个绝对值的这样一个 e 函数。 ok， 那 我们可以画出来这个题目的图像，说在零到十的时候，它是一个绝对值的这样一个 e 函数。 ok， 那 我们可以画出来这个题目的值等于 一后呢，我们给它去下留上下翻上，我们会得到它的图像长这样，并且呢在实处的值取到的是一， 当 x 大 于等于十的时候，此时这应该是大于十，大于十，当 x 大 于十的时候，它的图像呢是一个 e， 三是带绝对值的 e， 三带绝对值的话，让它等于零，我们发现 x 是 等于十二，并且呢取绝对值我们会得到向上去翻折就可以了。 ok， 这样我们就我们对应 f x 的 图像， 画出来 f i 图像，它说有四个根，并且 f a， f b 等于 f c 等于 f d， 让我们算 a 加 b 加 c 加 d 的 虚数范围，那我们先找出能有四个根的时候，我们让这个式子等于一个 m， 比如说我们令我们的 f a 等于 f， b 等于 f， c 等于 f， d 等于 m， 那 要有四个根的话， m 的 取值范围是不是可以算出来？这个根？我们刚讲的第二题型是不是有点类似？那 m， 我 们知道他一定在零一之间，并且我们可以把 abcd 的 值给他标出来，那此时这是 a 从小到大经排列 abcd， 所以呢，根据上面的原理，我们可以知道我们的 c 加 d 是 不是一个定值等于中间这个对数是二倍，那 c 加 d 是 等于二十四，并且呢， a 乘 b 呢，也是一个翻上去的，所以呢，我们会得到 a 乘 b 等于一个 一。对于这种具有性质的基定或核定这个性质的，我们画完图之后，一定要把它所做的这个区间给它写出来， 得到这个关系式，先给它写出来，所以再去看。题目上咱算的是 a 加 b 加 c 加 d， 此时的话呢，我们可以去写它，我们知道了它就可以写成我们的 c 加 d 是 二十四，再加 a 加 b b， 我 们知道它等于一个 a 分 之一，就是说二十四加上 a， 再加上 a 分 之一，把它转换成一个只含有一个未知量的函数关系即可。所以此时只需要去算出 a 的 取值范围，那我们去研究一下 a 的 范围在哪里，就是说 a 最大的 a 最大，是不是取到一，最小取哪它不能取到零，原因就是因为我们在实处这个间断点，它最高是一， 你要比这个小，所以一定要让他比这个 y 等于一的时候，这个值是不是要大才行，他的下限比这个值大，比如说老师先画一下这个值，应该在这个地方你比这个值要大，这个 x 是 多少？那我们不妨去求一下，那也就是说我们只需要让 log x 等于负一是不就可以了？而且它是翻上去的，对吧？所以这个根我们只需要让 log x 等于一个负一，那我们知道 x 等于十的负一次方十分之一，所以我们知道这个根就是十分之一，所以我们只需要让 a 大 于十分之一，并且小于一即可了。 这样呢，我们画出 a 加 a 分 之一的图像， a 加 a 分 之一，它是一个对勾函数，那我们直接去画它在十分之一到一上的图像是不就可以了？它长这样在一处取到最小值 二，我们只需要画出十分之一到一上是不就可以了？十分之一在这个地方，所以呢，它的十分之一处取的最大，把十分之一带进去，它是一个十加 十分之一，那就是十分之幺零幺，最小是一个二，所以呢，我们得到它的这个值域是一个二到十分之幺零幺之间，那么所以我们就可以得到我的二十四加上 二就是他的最小，最小等于一个二十六。二十四加上一个十分之幺零幺就是他的最大，他的最大等于十分之 两百四，那就是三零幺三四幺，这是他的最大值，这是他的最小值。 ok， 那 此时我们发现只能选择的是 c 选项， ok， 这个就是我们对于基定还有核定的一个应用，对于有这样的性质，一定要去把对应的这个关系先给他写出来， 把题目中所含有的这样一个曲式范问题给它转换成只含有一个位置这样的函数关系问题，但在做这个函数关系的时候，一定要去注意它定义的曲式范围，这个非常重要，需要数形结合进行思想。 ok， 那 么这个题就讲到这里，大家下去可以拿这个题进行一个练习，这个题也是比较难的， 看你能否能把它做出来。 ok， 那 么我们今天先去讲前三道题型，后面呢？我们继续去看后面的题型，有问题的同学呢，来在评论区跟老师进行交流。

还剩零点四大题型，十分钟带你快速搞定，尤其是最后一个题型，一定会出成高一高三的压轴题，四节课的讲义和课后习题我都整理好了，大家一定要先领取再听课，点击我的主页这里群聊，添加真人助教就可以领取。那我们开始啦， 我们来看到第二个题型哈，二分法，就其实这个点呢，他不会在高考考，但是呢，他会在高一的时候考，给大家详细的讲一讲， 根据已给的数据，在精确度为零点一的要求下，这个方程的一个近次解可以为多少？而先要把这个方程给它转化成零点型问题， 也就是三的 x 方减 x 减四等于零的，也就是这样一个方程，它的零点问题哈，那么对于这样一个方程，你首先第一步你要去确定它的区间是不是一点五到一点七五之间。 好，我们去另一个 f x， 它是等于三 x 光减 x 减四，现在转化成去求 f x 的 零点问题， 那么我们先要去带这两个端点值为多少？ f 一 点五哈，大家去带一下，带进去呢，它是约等于负零点 三零四，它是小于零的，而此时 f 一 点七五，它带进去，它是约等于咱们的一点零八九是大于零的。 ok， 那 咱们的零点肯定是在一点五到一点七五之间的，但是我的精确度要求是零点一，精确度是什么意思嘞？这是我的区间长度啊，它是不能超过这个精确度的， 这里的区间长度一点七五减一点五，他是等于零点二五的，他明显要大于零点一，所以说你要继续去换， 第二步就是说我要去把这个区间给他一分为二，我去寻找他们俩的中点二分之一点五加上一点七五哈，算出来就是等于一点六二五的。 那么下一步我们就是要去看 f 一 点六二五，它算出来等于多少？它约等于零点三三六，哎，它是大于零的，那么你就可以再去缩范围，我们这里是小于零，这里是大于零，则我们的零点一定是在一点五到一点六二五之间的， 但是你看他的区间长度是多少，是不是减了之后等于零点一二五， ok， 他 又是干什么的？他又是大于零点一的，所以不行，我还要继续去缩小这个区间长度，所以第三步我继续去缩小找他们俩的中间点，也就是二分之一点五加上一点六二五哈， 算出来嘞，它是等于一点五六二五的。好，我们再去带一下 f 一 点五六二五带进去，算出来它是约等于零点零零二五的，它又是大于零的， 那你感情好哈，我们再来看一下区间长度，就是我现在的零点缩小了，肯定是在这一段和这一段区间，因为一个小于零，一个大于零，对不对？所以零点肯定是在 一点五到一点五六二五之间的，那么此时我看一下它的区间长度，算出来来是等于零点零六二五的，它明显小于零点一了，所以说我们就可以近似在这个区间之内， 那么零点你取在这个区间之内的都是 ok 的。 那我们来看一下 abcd 选项哈，是不是可以选咱们的 c 选项啊？ 我们来看到第三个题型哈，利用零点去确定参数的方位，已知一个函数，它在区间内存在零点。 ok， 我 们来观察一下这个函数，首先第一坨它是单调递增的， 其次第二坨 x 方，它在零到正无穷上肯定也是单调递增的。所以说两个单调递增的它加在一块，肯定整体上都是单调递增的，这个常数不改变单调性哈。 那么此时嘞，我一个单调递增的函数，他说在咱们的一二上存在零点，他问 m 的 取值范围为多少？ 那么此时是不是有 f 一 一定是小于零的， f 二他一定是大于零的就可以了哈。我们 f 一 算出来，他是等于 log 二一也就是等于零的，再加上一个一，再加上一个 m， 它小于负一。 第二个 f 二，它是等于 log 二二也就等于一的，再加上四，再加上 m， 它是大于零的，也就是 m 它是大于负五的。综合起来，咱们的 m 是 在负五到负一之间的，选谁呢？是不是选 b 选项啊？ 然后再给大家补充一下哈，如果说这个函数它是单调的还是单调减？题目它没有告诉你，那么它在一二上存在零点， 这时候嘞，只要使得 f 一 乘上 f 二，它小零就可以了，这说这两个值啊，它是异号的，那么我就不管说它是竖着穿下去，还是说上面穿下去都是可以的，它都是会存在零点的哈。 我给你们整理了一百招高中最常用的公式和二级结论，像你们在网上很难找到了，唐帅，不但是泰勒展开是路北达法则我都给你们写的很清楚，一定要进我的主页这里群聊领取。 第二，你在添加了我们的真人助教之后呢，可以每天查看四条学习方法现在的朋友圈，当你不想学习的时候，看看朋友圈就会特别有动力。第三， 我还会额外送给你一个学习打卡群，在节假日的时候有打卡活动，前五十名我会免费送出礼物，上暑假我就送出了五十本北大文创。我是北大堂，我们下期再见。

还剩零点四大题型，十分钟带你快速搞定，尤其是最后一个题型，一定会出成高一高三的压轴题。四节课的讲义和课后题型我都整理好了，大家一定要先领取再听课。点击我的主页视频群聊，添加真人助教就可以领取。那我们开始啦！ 好，我们先来看到第一个题型，求零点所在区间。第一句话呢，他说已知 a 是 零点。注意了，同学们，这是第一个考点，这是零点啊，零点他是一个数字，而不是说一个点的坐标， 那么此时呢，你看这一个函数，它是单调递增的，那么如果他有零点呢？只有可能有一个，就是刚好他穿过去的时候， 那你再来看我另一下，二的 x 次方减八等于零，此时二的 x 次方等于八，而八嘞，它是等于二的三次方的，则此时 x 等于三，那么三就是它唯一的一个零点，那么此时我的 a 是 不是等于三呢？ ok， 第一句话给大家用掉了。第二句 则函数零点所在区间为，这时候给它写成三， x 加洛 x 减五。我们来观察一下这个函数哈，你会发现，哎，这一个它是单调递增的哎，这一个它也是单调递增的。 ok， 它是一个完全单调递增的函数， 那么他如果经过零点，他就只有一个零点，对不对？所以说我们现在要去找这个零点所在的区间在哪里，那么你思考一下哈，怎么去找嘞？一定是说我找到哎，我小零，还有咱们的大零，这两个点就可以了。 因为零点问题，它有一点像一个扯面问题，只要你扯到一端，它是小零的，另一端是大零的，那么这一段里边它一定是存在一个零点的，一定是它突破了 x 轴一次的哈，所以说我们要去找这样两个点， 这时候呢，你可以怎么带？你先带一下一二吧，因为零这里是带不进去的哈，因为它的定义域是不在零这里的，所以说你去带一下一二 f 一 带进去就是三加论一就是零减五等于负二的好，它此时是小于零的， 而 f 二嘞， f 二是等于六加洛二减五也就等于一加洛二，洛二是等于零点七的，所以说这里肯定是大于零的，所以你看，一个小于零，一个大于零，则此时我们的零点所在区间肯定是在一二里边的。所以选 b 选项。 我给你们整理了一百招高中最常用的公式和二级结论，叫你们在网上很难找到了。唐水不但是泰勒展开式，洛比达法则我都给你们显得很清楚， 一定要进我的主页这里群聊领取。第二，你在添加了我们的真人助教之后呢，可以每天查看四条学习方法，现在的朋友圈，当你不想学习的时候，看看朋友圈就会特别有动力。 第三，我还会额外送给你一个学习打卡群，在节假日的时候有打卡活动，前五十名我会免费送出礼物，上暑假我就送出了五十本北大文创，我是北大堂，我们下期再见！