幂指数对数函数的思维导图

呃，好，我们上节课呢，主要讲了三部分的东西啊，那我们逐一的来看一下。首先第一版块呢，是一个蜜函数啊，蜜函数的定义啊，形如 y 等于 x 的 r 四方。 嗯，然后这个地方啊，你要注意这个，呃， x 呢，这个自变量是做了一个底数啊，底数是自变量 x， 然后他的指数呢，是一个长数二法，对吧？他的系数都是一啊，要去严格匹配这个形式啊，他才是一个密函数，对吧？ 那这里边我们要研究的密函数，比如他可以取这个指数二是一，然后二，呃，然后服一，这样的对不对？那其实比如说是一的时候呢，就是 y 等于 x， 是我们之前的一个正比例，对吧？ 那外等于 x 平方是之前的一个抛物线，外等于 x 的负一次方呢，是一个反比例，对吧？这些都是呃，我们在初中 讲过的啊，那到了高中以后啊，我们又引入了这样两一个，大家可以看一下啊，外等于 x 的二分之一次方，对不对？好，那这个图像啊，大家一定要把它给记下来啊，是这样一个形式对不对啊？ x 三次方一定要背下来啊，然后第二个的话，它是外等于， 哎哎，他的图像是这个样子的，对不对？那这里边呢，我要重点强调一下这两个函数啊，这两个函数强调他的定义域啊，原因是什么啊？首先他的指数啊，这个阿尔法，这个指数是一个负的， 负的意味着什么呀？取倒数对不对？那你这个定义于 x 的范围呢，就不能等于零，对吧？注意啊，指数出现负的，他的这个定义与 x 呢，就不能得零了。还有这个指数你出现了一个，哎，分母指数的分母出现了二，这是个 偶数，对吧？那就意味着你要开偶次方根啊，你要开偶次方根的话，你的定义率 x 就得大于等于零，对吧？所以这个指数出现了复数，指数的分母出现了偶数的时候呢？你的这个定义 就一定要小心啊。另外就是指这个蜜函数他图像的一个性质啊，比如说你看这些蜜函数，他是不是都横在哪啊？横过第一象限，对吧？那他还横过定点一，对不对？横过第一象限，横过定点一， 我们再看，那，那就看他在第一向前的增减性，对吧？那这个增减性呢？是由阿尔法的正负决定的，阿尔法正， 他在第一向前就增，阿尔法负，他就在第一向前减，比如说我们的这个外等于 x 负一次方，他是一个负的，对不对？他在第一向前就是一个单调减，而且注意啊，负的时候他就是一个双曲线，行 啊，大概的轮廓可以记一下，然后第三个啊，还有一个图像规律，就在这个 x 等于一这条直线的右边啊，这个密函数它是什么呢？指大图高，你看它的指数， 哎，一二三，是不是指数越大图像越高啊？这个要记下来，密函数在 x 等于一的右侧，指大图高啊。呃，另外这个密函数他的一个， 呃，就是这个机油性，怎么判断啊？他这个机油性呢，是要看他这个指数，把它看成一个 pbq 的形式啊，这个 pq 呢？不能再越分了。 嗯，那我们先看这个 q 啊，这个指数的这个分母，如果他是一个偶数啊，比如说 y 等于 x 的二分之三，如果他是一个偶数，他是不是肯定要经过开偶词方根啊？ 那你的这个电音域肯定大于等于零了，那就不对称，对不对？那就飞机飞藕，只要他这个分母是个藕，他就肯定藕树，他就肯定飞机飞藕。那现在啊，如果我保证他的一个分母是个鸡了， 那我只需要让他这个看这个分子啊，看这个分子分子，比如说，哎，你看分子是一个机，那他整个含整个密函数呢，就是一个机函数，如果他的分子是个偶，那他整个密函数呢？就是一个偶函数了啊，那这个地方大家要会判断啊。好，第二版块是指数的运算， 指数的运算这块啊，呃，如果这个嗯呢是一个基数的话，也就是，呃，比如说这个 a 取谁都行啊，因为正数、负数零都有基词方根，对吧？你负数也可以开基词方根啊，但是如果你这个嗯是一个偶 数的话，你这个 a 啊，就必须大于等于零的，因为我们啊，就要你要开偶次方根啊，开偶次方根的话，你这背开放数必须大于等于零，对吧？好，那然后这个公式， 公式的话，你看这几个公式啊，这几个公式我们把它背下来啊。呃，说一下，就这个吧，呃，就是你的这个 a 啊，如果你要是先偶次方， aa 是先偶次方，再开偶次方根啊，再开偶次方根啊，它结果呢，应该等于一个 a 的绝对值， 这个你当做一个特例来记啊。呃， a 的偶次方啊，再开偶次方跟等于 a 的绝对值啊，其他的都直接等于 a 嘛，对不对？你记这个特例，然后你开，开成绝对值之后呢，你再去分类讨论，对吧？再去去绝对值， 那这个的话， a 的负的 n 分之 m 次方啊，记住啊，负数呢，就是取倒数，对不对？那分母这个 n 呢，就是开 n 次方根啊，把这个记下来就可以，这个 m 呢就是正常的 m 次方。 好，那我们这个密的运算呢，就从初中的整数范围啊，扩充到了他的这个指数呢，可以是十数的范围了，对不对？同底数密相乘啊，是底数不变，指数相加除的时候就指数相减吗？对吧？密的密呢？指数相乘，然后这个机的密呢，你就可以各自密了。 好，呃，然后我们再来看第三个板块，就是指数，呃，函数了啊，指数函数的定义呢，就是形如 y 等于呃， a 的 x 四方啊，这里边的这个时候换了啊蜜函数和指数函数，你要你要， 然后区分开啊，指数含出的话，底数是一个长数，然后他的指数呢，是一个变量 x 了，我们规定这个底数呀，你得大于零，不能等于一对吧，这个也要记下来啊，我们再看他的图像，他的图像呢，我们根据他底数 a 的一个范围呢，给他做了，你看 a 大于一， a 和零一之间啊，呃，要区分开这两个图像啊，大的时候呢就增，小的时候，呃，小于一的时候就减，对不对？那他的定欲，你看定欲都是 x， 谁都可以取得到直欲，通过图像可以看到啊，直欲弄直欲只能取零到 中午穷，对吧？好，他横过定点啊，横过定点，注意这个点啊，是零一对不对，而密函数是一对不对，要做区分啊，单调性不说了啊，大的时候增，小的时候减啊，对称型啊，这个课本上 也有啊，你的这个底数一个是 a， 一个是 a， 分之一啊，当这个底数这个互道的时候啊，底数啊，底互道，那你的图像呢？应该是关于外对称啊，外轴对称，底数互道，图像关于外对称啊，把它背下来。 那我们再说一下这个指数函数的一些图形啊，第一个题型呢，就是，呃，我们在比较一些呃，指数函数的底的一个大小的时候，可以看看图像啊，我们看第一项线 有一个规律，叫做底大图高啊，第一项先底大图高，图越高，这个底越大啊，底越 aa 是越大。我们再说呀，横过定点问题啊， 比如说这个形式啊，这个形式我们怎么呃，我给大家举一个具体的例子吧，我觉得可能有的人有点看不懂啊，二 ax 加三，呃，然后再加上一呃 一吧，比如有这样一个这样一个这个指数型的函数啊，呃，我说他横过一个定点，什么意思呢？就是，呃，你的 a 无论取何值啊，你的 a 无论取何值，他都会横过一个点， 你想你的 a 取不同的值，他画出来的图像应该是不一样的，对不对？但是他都横过一个定点，那到底这个应该怎么算？他怎么算他的定点问题呢？你非常简单啊，你只需要让这个 a 的这个指数等于零就可以了， 你只需要让那 a 的指数等于零，也就是 x 等于负三啊，你只要 x 等于负三的时候啊，你，你想他一定是零次密了，对不对？零次密的话，那无论这个 a 取何值，这个系数是不是这个这项数都得一，然后再乘个二，再加个一，是不是？所以你注意啊，这种 横过定点问题，你只需要让这个指数部分等于零就可以了啊。然后下一个是第三个题型，是密比大小，他有三种情况啊， 比如说你看这种情况是密的底数相同，你看底数都是一点七，你就可以抽象成一点七的 x 次方，对吧？抽象成这样一个指数函数单调递增，那 x 越大，对应的函数值就越大，那肯定是三大于二点五呀，对不对？ 好，那第二种情况，指数相同，你看，哎，指数相同的话，那变的是底，那么就底是 x， 指数永远是跟二，对吧？抽象成这样一个密函数了，他大于零，那在第一项线呢？单调递增， 那单量递增的话，就是七肯定大于六呀，对不对？就又出来了。那第三个，如果底数和指数都不相同，那我就要借助中间值。我们一般啊，可以拿 他和和跟七区比较，比如说一点三的，呃，零次方和一点七的这个，呃，这个次方啊，零次方，这不就是一吗？对不对？呃，他们两个去比较的话，也是抽象成一个底数相同的一个指数函数，那零点三大肯定就大，对吧？单调递增吗？因为 然后这个零点九的三点一四方，你也可以和零点九的零四方，也就是这个一去比，对不对？那你这是可以抽象成一个外等于零点九的 x 四方，他是一个单调递减的，就 x 越大外越小，那就这么比出来了，接住一个，中间这一个比一大，一个比一小，对不对？ 好？呃。最后呢，我们又讲了一个指数型的一个复合函数啊，呃，有两种，一个是 y 等于 a 的 fx 方，还有一个是 y 等于 f， 括号 ax， 那这两种函数我们要求职狱的话，都可以通过设计还原， 比如说举个例子啊，呃，举一个，西湖随便编一个吧，就这个这个复合的啊，他是由一个指数函数和一个二次函数复合，那我们就说 t 啊，你把这部分说成一个 t， 你看设 t 等于 x， 平方减二， x 加三，好，设完 t 之后，这是一个二次函数，对不对？你一定要先写出 t 的一个范围，这个你应该会是吧？二次函数求求 t 的范围啊。好，有了 t 的范围之后呢，你就可以去求，哎， 哎，变成这样一个了啊，因为这个指数都变成 t 了吗？他不就是一个指数函数了，对不对？好，这个指数函数你就可以结合他的一个图像， 呃，根据 t 的范围啊，这是 t 和 x 啊，根据 t 的一个范围，你去找到它，对应外的范围就出来了啊，就出来了，好，嗯，这个的话 啊，这个第二种的话，其实也可以给大家举个例子啊，比如说，嗯，我们可以二的 x， 呃，当然他会没有我。我想我讲的这么直白啊，你要自己去提炼啊，比如这样一个函数啊，这样一个函数，他你就可以把 t 设成二的 x 次方，对不对？二的 x 方，那这样你的函数就可以变成了 t 方减三 t， 然后加四，对不对？但是你要先求出 t 的一个范围，通过 t 的范围， 然后再去找到，这样对应一个 t 和 y， 这样是一个二次函数的关系啊，就可以找到外的外的函数值了，对不对？好，以上就是这些。

函数图像平移的规律， 这个上加下减长竖项，这个左加右减自变量，这个方法很简单，它一切函数都这样， 这上加下减长竖项，这左加右减自变量，这个方法很简单的，一切函数都这样。

高中数学主要内容一、函数与方程代数函数与方程是高中数学的基石，它们贯穿了整个数学体系，也是解决实际问题的重要工具。函数部分，学生将深入学习一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、逆函数以及三角函数等基本概念、性质、图像及应用。 通过这些学习，学生不仅能够掌握函数的基本运算与变幻，还能理解函数在描述现实世界变化规律中的重要作用。方程部分则侧重于解一元一次方程、一元二次方程、分式方程、五理方程以及方程组等解决方程问题的过程， 实质上是利用数学语言对实际问题进行建模与求解的过程，培养了学生的逻辑思维能力和问题解决能力。二、解析几何与立体几何解析几何是数学中的一大分支，它将代数与几何紧密结合， 通过坐标系将几何问题转化为代数问题来解决。在高中阶段，学生将学习直线圆的方程及性质，掌握直线与圆、圆与圆之间的位置关系，以及圆锥曲线的定义、标准、方程及性质。此外，通过解析几何的学习，学生还能培养数形结合的思想，提高解决问题的能力。 立体几何则研究三维空间中的图形与性质。学生将学习空间几何体的结构特征、表面积与体积的计算方法，以及空间直线平面的位置关系与性质。通过立体几何的学习，学生不仅能够提升空间想象能力，还能掌握处理三维空间问题的方法与技巧。 三、概率与统计概率与统计是现代生活中不可或缺的数学工具。在高中阶段，学生将学习概率的基本概念、性质及计算方法，掌握古典概型、几何概型等常见概率模型。同时，学生还将学习统计的基本思想、 方法及初步的数据分析技能，包括数据的收集、整理、描述、推断等，通过概率与统计的规律性，提高数据处理与决策能力。 四、数列与极限数列是高中数学中另一个重要概念，他研究的是按照一定规律排列的一列数。学生将学习等差数列、等比数列的定义性质 通向公式及求和公式，并通过这些学习掌握数列的地推关系、求和技巧以及在实际问题中的应用。 极限则是数学分析的基础。虽然在高中阶段只进行初步介绍，但他为学生打开了通向微积分世界的大门。五、导数及其应用导数是微积分学的基础概念之一，他描述了函数在某一点附近的变化率。在高中阶段，学生将学习导数的定义、 性质及计算方法，掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。此外，学生还将学习导数在函数单挑性、极值最值以及曲线切线等问题中的应用，初步感受微积分在解决实际问题中的强大力量。