银川二中的学生平时都写什么作业

哈喽，各位同学，我是婷婷老师，欢迎大家来到婷婷老师的视听奖系列，那么在本节视频当中，婷婷老师想跟大家分享的是银川二中二零二五到二零二六学年高二十二月月考数学试卷当中的典型题目。 ok， 首先是选择题部分来看，第一道题目已知 a n 是 等比数列，并且 a 三等于二， a 五等于十，然后想计算 a 七等于多少， 那么在这道题目里边呢，其实他考察到的主要是等比中项啊，或者说呢，可以认为是下标和性质。我们知道在等比竖列里边呢，如果是存在着 m 加 n 等于 p 加 q， 然后这几个数值都是对应着等比竖列当中的下标，也就可以推导出 am 乘以 an， 应该是等于 ap 乘以 a q， 那么在这道题目里边呢，他给了三个下标，分别是三五七，三加七，正好是等于五加五的，我们也就可以利用到刚才说到的下标和性质，然后得到 a 五的整体平方，一定是等于 a 三乘以 a 七，那么这样子的话呢，也就能够得到 a 七，应该是 a 五方比上 a 三 代入数值之后呢，得到的应该就是五十。所以第一道题目它的正确答案应该就是四 d 选项，非常简单啊，送分题。 接下来呢，再看第二道题目，双曲线方长 x 方减二分之外方等于一左焦点 f 到其中一条近近心的距离应该等于几 啊？那么在这道题目里边呢，其实我们是可以考虑把这个焦点坐标进行表示，然后再套用点到直线距离公式，应该是能够得到最后结果的。当然，如果大家呢，已经记住了这个二级结论，那相信这道题的答案应该也是秒出的， 这个距离应该就是对应着双曲线里边的 b， 那 b 的 值是等于根号二的，所以这道题目的正确结果应该也就是二 b 选项。 ok， 接下来呢，再看第三道题目， 那么这道题目呢，他考察到的是椭圆方程的对应特征方程， x 方比二 m 减三，加上外方比三减 m 等于一，表示焦点在横轴上的椭圆，那么 m 的 范围应该是怎么样的？ 我们知道，如果一个方程它表示的是焦点在横折上的椭圆，那么肯定是存在着 a 大 于 b， 并且都是大于零的啊，当然， a 方跟 b 方两个分母也都得是正值， 所以在这个里边呢，我们也就可以类比得到，二 m 减三一定得是大于零的， 三减 m 同样得是大于零的，并且焦点在横轴上，得保证 a 方是大于 b 方的，所以呢，也可以再得到二 m 减三是大于三减 m， 那 么通过连立这三个方程，也就能够得到 m 应该是大于二小于三。那么第三道题目，它的正确结果应该也就是 a 选项。 ok， 接下来呢，再看第四道题目，那么这道题目呢，它的条件是经过点二到三，并且跟椭圆有相同焦点双曲线的标准方程应该是怎么样的？ 那么首先呢，我们可以把这个椭圆方程转化成标准形式啊，这样子的话呢，好观察它对应的 a、 b， c 等于几。两边同除四十五，也就能得到它是 x 方比九加上 y 方比五等于一，那么这样子的话呢，也就能够得到它对应的这个 c 应该是等于二的，焦点呢，也同样是在横轴上，双曲线跟它是有相同焦点， 意味着双曲线方程当中的 c 呢，也同样是等于二的，说明在这个选项里边呢，我们得找到哪些方程里边的 a 方是等于 c 方，也就是等于四的。 所以首先呢，是可以排除掉这个里边的 a c d 选项，然后呢，排除法就可以锁定 它的正确结果应该是二 b。 当然我们也能够尝试验证一下，如果把这个点呢带到双曲线方程里边啊，这个等式依然是成立的，说明二 b 选项应该就是没有问题的。 ok， 接下来呢是第五道题目，已经知道 a n 满足 a 一 等于三分之一， a n 加一分之一减 a n 分 之一是等于二的，然后呢，想计算得到这个 a 十等于几。 那么其实在这一张里边呢，需要大家慢慢的渗透一种思维方式啊，也就是我可以把某一个字母或者是某一个关于 n 的 式子看成是全新数列当中的第 n 项。 所以在这道题目里边呢，如果说大家对于这个关系式比较迷糊的话呢，我们可以做一下等价转换，不妨就把这一项看成是 b n， 然后把这一项呢看成是 b n 加一啊，分别对应着竖列 b n 当中的 d n 项跟 d n 加一项， 那么这样子的话，也就能知道这两项相减始终是等于常数二的，也就应该能证明出竖列 b n 它应该是一个等差竖列，并且它的公差呢，应该是等于二的。 同时呢，结合这个 a 一 也能知道 b n 的 首项 b 一 应该也就是 a 一 分之一，应该也就等于三， 那么这样子的话，结合等差的通项公式，我们也就能够进一步确定，竖列 b n， 它就等于首项加上 n 减一，然后再乘上一个公差 代入数值也就是三加上二 n 减二化简之后呢，我们得到的应该也就是二 n 加一。 而刚才呢，我们是把这个 a n 分 之一看成了 b n， 也就等同于是存在着一个这样子的等式，所以两边在同时取倒数，也就应该能够得到这个 a n 的 通项公式，应该就是二 n 加一分之一。 而在这道题目里边呢，它希望计算的是 a 十，所以我就直接把这个十呢代入到这个 a n 的 通项公式当中，也就能够得到 a 十，它是等于二乘十加一整体分之一， 化简之后呢，得到的应该也就是二十一分之一。那么第五道题目的正确结果应该就是 a 选项同样是非常简单的，只要大家呢能够具备一个转化思维，就可以很容易的攻克这道题目。 ok， 接下来呢，是单选择题的第六小题，已经知道元 c 一 方程是 x 加三的整体，平方加外方等于一。 首先呢，通过两个圆的方程，我们是能发现对应的圆心坐标分别是负三斗零跟三斗零动圆 p 跟这两个圆一个内切一个外切即动圆，圆心的轨迹是 m， 那 么 m 的 方程应该是怎么样的？ 那么为了方便各位同学更加直观的分析，我们先来上图。其实在圆锥曲线里边呢，我们应该见过了很多类似的问题啊，其实经验呢，也就是如果看到了两个点正好是关于圆点左右亦或是上下对称的， 可以优先考虑是不是有可能对应着圆锥曲线的两个焦点，也就是可以重点探讨这个点 p 和两个点的距离之差异，或是距离之合是不是等于横定值。 那么这样子的话呢，结合圆锥曲线定义，也就可以比较方便的确定出它的轨迹方程。那在此之前呢，不妨先假定这个动圆屁的半径是等于小儿的啊，他说这个圆和这两个圆，一个是内切，一个是外切， 必定跟这个大圆是内切的，跟这个小圆是外切的。结合两个圆相切的相关原理，也就能确定这两个圆的圆心距应该是等于半径之差，而这两个圆的圆心距应该是等于半径之和， 这个大圆的半径是等于九的，所以我们也就可以得到点 p 到 c 一 的距离应该就是九减 r， 同样也能够知道点 p 到 c 二的距离应该是等于 r 加一啊，第二个圆它的半径正好等于，并且呢也能够得到 c 一 c 二，这两点之间距离应该是等于六的，那么这样子的话呢，也就可以确定 p c 一 加上 p c 二应该就是等于十的，而这个数值一定是大于两个定点之间距离也就是大于六的。 那么这样子的话呢，也就能确定动点 p 是 满足椭圆定义的，也就是存在着二 a 等于十， 而 c 是 等于三的，当然 a 应该就是等于五的，这样子的话呢，也就能确定 b 方是 a 方减 c 方应该就等于十六，并且这个椭圆焦点应该在横轴上，所以也就可以确定出 p 点的轨迹方程，应该就是 x 方比二十五加上 y 方比十六等于一，从而呢，也就可以确定这道题目的正确答案应该是 c 选项。 ok， 接下来呢，再看第七道题目，已经知道椭圆方程是 x 方比十二加上外方比六等于一，以及椭圆内部的一个点坐标是一到二，那么以点 p 为中点的斜所在直线斜率应该等于几？ 呃，那么在这道题目里边呢，我们主要是存在两种方法啊，第一种方法是可以把这个直线方程用点斜式进行表示啊，当然可能得考虑它的斜率是否是存在的， 然后呢，再连立直线跟椭圆方程啊，然后得到韦达定力，然后呢，再把这个终点的横纵坐标用 x 一 加 x 二， y 一 加 y 二进行替换，这样子一来呢，也就能够反解得到这个直线斜率 k 应该等于几？ 那么第二种方法相对来说呢，会更加快捷一些。我们知道，在圆锥曲线里边呢，如果涉及到了直线跟曲线相交 有弦的中点坐标以及所在直线斜率，那么这个时候呢，我们就可以考虑使用点差法。那相信大家呢，也已经记住这个结论了啊，如果说直线 a b 跟椭圆是相交的点， p 对 应弦的中点，我们也就可以得到 k， a b 乘以 k， o p 是 等于负的， a 方分之 b 方。那么结合 p 点坐标，我们可以首先确定 o p 这两点连线斜率应该就是二减零比上一减零也就应该等于二。 而结合椭圆方程， a 方等于十二， b 方等于六，所以这边呢，化简之后得到的应该就是负的二分之一， 把这个斜率带入到这个等式当中，我们也就可以直接计算出 ab 这两点连线斜率，当然 也就是要求的这条直线斜率，它应该也就是等于负的四分之一。那么这样子的话呢，也就能锁定第七题的正确结果，应该是 c 选项。 那么大家呢，只要观察到他出现了点叉法的两个关键特征啊，第一有终点坐标，第二涉及到了直线斜率。那么这个时候呢，直接套用结论啊，相信大家是可以在十秒钟之内锁定最后结果的。 ok， 接下来呢，再看单选择题的最后一题，第八题， 已知抛线 c 方程是外方等于八倍的 x， 焦点是 f 过 f 的 直线跟抛物线交于 ab 两点，下列选项当中，结论正确的应该是哪一个？那同样先来上图， 首先呢，结合他给到的抛物线方程，是能确定出 p 的 值应该等于四，并且呢，也能知道焦点 f 坐标是二到零，准线方程应该是 x 等于负二， 那么 a 选项呢，自然就可以排除掉啊。紧接着再来看二 b， 他 说 a f 的 长度等于八，也就可以确定 x 一 应该等于十。 我们知道，在抛物线里边，点到焦点距离可以转化成点到准线距离，所以 a f 自然可以表示成为 x 一 加上二分之 p， 也就是 x 一 加二， 令它等于八，是可以反解得到 x 一 等于六，而非等于十。这样子的话呢，也就可以排除掉二 b 选项。接下来呢，再看 c 选项啊，它说 a f 乘以 b f 的 最大值是等于十六的， 在这个选项里边呢，婷婷老师想跟大家分享两种不同方法。第一种方法比较常规啊，是连立直线跟抛物线方程尾答带入，然后验证这个选项是否成立。那么第二种方法呢，是可以利用抛物线当中的焦点弦的二级结论， 也是可以快速判定这个选项的。首先我们知道 af 可以 表示成为 x 一 加二，同样的也能够得到 bf， 等同于是 x 二加二， 那么这样子的话，也就能确定出 af 乘以 bf， 等同于是 x 一 加二，再乘以 x 二加二， 也就应该等于 x 一 乘以 x 二，加上二倍的 x 一 加 x 二，然后再加四。那么通过观察这个形式呢，我们是能发现啊，可以尝试带入伟大定律，也就势必需要先设直线方程，然后把它跟抛物线方程进行连立。 那么在我设直线方程之前，考虑到这条直线可能跟横轴是互相垂直的啊，但是它的斜率肯定不会等于零啊，必定不会是一条水平直线。 所以在这个时候呢，我们也就可以采用到一个设方程技巧，也就是把这个直线 ab 的 方程形式表述成为 x 减二是等于 t 倍的 y 减二，也就等同于是 x 等于 t y 加二， 然后把这条直线方程跟抛物线进行连立啊，我们写在最上方，消掉这个里边的 x， 也就得到了外方是八倍的括号， t y 加二， 括号打开之后呢，也就是外方减八 t y， 然后减十六是等于零的，那么这样子的话，也就可以确定出 y 一 加 y 二是等于八 t， 而 y 一 乘 y 二应该是等于负十六。 所以在刚才的这个关系式当中，我们又可以把这个 x 一 跟 x 二分别用 y 一 和 y 二进行替换， 然后呢，再把括号打开，应该也就能够让这个式子当中出现， y 一 加 y 二， y 一 乘 y 二。那么把这个 x 一 x 二替换之后呢，这个式子等同于是替倍的 y 一 加二再加二，也就是加四，然后乘以替倍的 y 二再加四。括号打开之后呢，也就能够进一步得到，它是 t 方，乘以 y 一 乘 y 二加上 四， t 倍的 y 一 加 y 二，然后再加十六。把这个伟大定律带入到这个关系式当中，我们也就能够得到，它是 t 方，乘以负十六，然后加上 四， t 乘以八 t， 然后再加十六。化解完之后呢，得到的应该就是十六倍的 t 方加十六。所以我们也就可以确定出 这个式子整体必定是大于等于十六，意味着它的最小值应该等于十六，而非最大值， 所以同样是能够排除掉这个 c 选项的。这是第一种方法，当然它的计算量呢，是稍微大了一些。 ok， 那 接下来呢，婷婷老师再介绍第二种方法，用到了抛物线里边关于焦点弦的二级结论啊。当然前面的过程是一样的， 也是可以利用抛物线定义，把 a f 表示成为它， b f 表示成为它，然后括号打开之后呢，也就能得到它整体是 x 一 乘以 x 二，加上二倍的 x 一 加 x 二，然后再加四。 那么在 power 键里边呢，我们知道，如果 a b 是 对应着交点弦啊， a 点的横坐标是 x 一， b 点横坐标是 x 二，我们是能够得到 x 一 乘以 x 二等于四分之屁方，也就是等于四的， 所以这一项应该等于四，两者进行相加，应该是等于八的，也就等同于八加上二倍的 x 一 加上 x 二， 那么因为这两项相乘是个横定值，我们想研究它这个式子的整体范围啊，应该是可以考虑用到基本不等式，也就是这个整体大于等于八加上二倍的 二倍的根号下， x 一 乘以 x 二，根号里边等于四开方之后呢，应该就是二，也就等同于是八加八，也就等于十六。 那么取等条件呢，应该是当前仅当 x 一 等于 x 二，也就是 a b 正好对应通径，才能够让这个等号成立。 那么这样子的话呢，也就可以确定出 a f 乘以 b f 应该是存在着最小值等于十六，而非最大值也是能够排除掉这个 c 选项的。 当然，如果说各位同学呢，还记得焦点弦的另外一个结论，我们也是能够比较快速的判定 a f 乘以 b f 的 最小值的。 其实呢，也就是那个 a f 分 之一加上 b f 分 之一等于 p 分 之二，也就是等于二分之一，那么这两者相加呢，同样借助基本不等式，必定是大于等于二倍的根号下， a f 乘以 b f 在 整体分之一，然后把这个二呢除到这边来，然后在两边同时平方也就能够得到 a f 乘以 b f 整体分之一一定是小于等于十六分之一， 从而呢，也就能确定 a f 乘以 b f 一定是大于等于十六的，因为这个乘积呢，它不可能是一个负值，所以这样子的话呢，也是可以排除掉这个 c 选项的，那么接下来呢，再看我们的 d 选项， 那么在 d 选项里边呢，他想判定角 a o b 是 不是一个钝角？婷婷老师呢，也同样给大家提供两种不同思路啊。第一种思路也是相对来说比较常规， 其实呢，我们要想验证这个角到底是不是钝角，是可以借助到向量知识的，如果说它是钝角，一定就存在着向量 o a 乘以向量 o b 是 小于零的， 所以我们只要能够表示出这个数量积，然后再验证啊它这个结果是不是一个负值，也就可以判定 d 选项是不是成立的。那么 结合 a 点坐标是 x 一 y 一， b 点坐标是 x 二 y 二，我们也就能得到向量 o a 坐标呢，同样是这个东西，向量 o b 坐标呢，也同样是这个东西， 也就可以得到向量 o a 乘以向量 o b 是 x 一 乘以 x 二，加上 y 一 乘 y 二。 那么在这个地方呢，我们就不要考虑连立方程，然后回答带入啊，直接借助刚才讲过的二级结论， x 一 乘以 x 二是等于四分之屁方，而 y 一 乘 y 二是等于负的屁方啊。当然前提是 ab 对 应交点弦。所以直接把两个结论带入到这个关系式当中，也就能得到它是 四分之一倍的屁方。减屁方，也就是负的四分之三倍的屁方，屁方显然大于零，也就能确定这个数量积必定是小于零的，并且这个假角肯定不会是一百八啊，所以也就能确定角 a o b 应该就是一个钝角，那么 d 选项应该就是没有问题的，这是第一种方法， 那么第二种方法呢，其实我们不需要做过多计算啊，直接大概想象下这个图像，也就能验证它是否是成立的。其实呢，就利用到了抛物线里边交点弦的另外一个二级结论，如果一个圆是以 ab 为直径的，那么这个圆跟准线必定是相切关系。 而我们通过图像呢，又能观察到这个圆点应该是在这个圆的内部，所以圆点和直径的两个端点连线所形成的这个角度必定是一个钝角。 ok， 那 综合以上，也就能确定第八道题目的正确结果应该就是四 d， ok， 那 介绍完单选择题部分之后呢，进入到我们的多选择题部分来看。第九道题目， 竖列 a n 前 n 项和是 s n， 并且知道 s n 等于负的 n 方加七 n， 下列说法当中正确的选项应该是有哪些的？那么在这道题目里边呢，考察到的主要是 a n 跟 s n 关系啊，大家呢，能否顺利地根据 s n 的 表达式得到 a n 的 通项公式， 或者说呢，也能够应用数列的函数特性去探讨这几个选项。那么在这里呢，婷婷老师用以上的两种方法给大家来做举例分析。首先是第一种方式， 我们是可以根据 a n 等于 sn 减， sn 减一，顺利地推导出 a n 的 通项公式，然后再验证它的增减性啊，包括验证二 b 选项。 我们知道，在竖列当中， a n 跟 s n 是 可以用一个分段函数进行表示的，原理呢应该就是当 n 等于一的时候， a 一 应该是等于 s 一 的， 当 n 大 于等于二的时候呢， a n 是 可以表示成为 s n 减 s n 减一的，所以我们就可以分成三步来求解 a n 的 通项公式。首先第一步求解一下这个 a 一 a 一 呢，应该就等于 s 一 代入到这个关系式当中，也就应该是负一加七，也就应该是等于六的。而当 n 大 于等于二的时候呢，我们是能知道这个 a n 应该是 s n 减 s n 减一，也就是等于负的 n 方加七， n 减去括号里边呢，应该是负的 n 减一的平方加上七倍的 n 减一，那么最后化简得到的应该也就是负二 n 加八。 第三步，只要再验证一下这个 a 一 能不能也用这个通项公式来做整体表示就可以了。显然， 当这个里面的 n 等于一时，它的结果跟 a 一 的实际数值是完全一样的，说明 a 一 同样符合这个通项公式。那么这样子的话呢，也就能够确定出 a n 整体的通项公式就一定是负的二 n 加八， 也就可以确定二 b 选项应该是没有问题的。结合这个通向公式的形式啊，我们能发现它是关于 n 的 一次函数，并且它的斜率是负值，说明这个函数一定是单调递减的， 那么这样子的话，也就能确定竖列 a n， 它应该是一个递减竖列，而非递增竖列，那么 a 选项应该就是不对的。 当然，验证 a n 的 增减性，大家也可以通过 a n 加一减 a n 这个差值到底是比零大还是比零小，也能够知道它是递增还是递减的，核心原理其实是一样的。 第二种方法呢，是可以根据 s n 表达式的函数特性，然后验证 a n 到底是递增还是递减的。我们知道，如果一个竖列，它的前 n 项和是关于 n 的 二次函数，并且是没有常数项的，那它对应的应该就是一个等差的前项和。 那么根据等差数列的求和公式，我们也就能知道啊，这个 s n 应该是可以表示成为 n 倍的 a 一 加上二分之 n， 乘以 n 减一倍的 d， 再稍微的整合一下啊，括号打开，然后合并同类项，应该就可以得到它是二分之 d 乘以 n 方，然后加上 a 一 减二分之 d， 再乘上一个 n， 我们这个二次项系数对应的应该就正好是二分之 d。 而结合停条件，也是能发现这个二分之 d 是 等于负一的，从而也就能确定等差竖列，它的公差应该是等于负二的， 公差小于零，自然就能确定啊，这个 a n 一定是单调递减的，也是能够排除掉这个 a 选项的。 ok， 那 接下来呢，再分析这个 c 选项，他说当 n 大 于四的时候， a n 是 小于零的。既然已经得到了 a n 的 通项公式，我们也就不妨考虑。如果现在呢，令 a n 小 于零，也就可以得到负二， n 加八 应该是小于零的，也就可以等价得到二。 n 是 大于八的，也就可以得到 n 应该是大于四的，意味着单 n 大 于四时， a n 就 一定是小于零的。那么 c 选项呢，应该也是没有问题的。 接下来呢，再看四 d 选项，它说单 n 等于三，亦或是单 n 等于四时， s n 可以 取得最大值。 在判定这个选项的时候呢，我们也是存在着两种不同方法，第一种方法也同样是可以结合 s n 关系式的函数特性，研究这个二次函数式的最大值由谁来对应。那么其实我们现在呢，可以把这个 s n 的 表达式做一下整理啊，应该是可以把它写成 负 n， 再乘上一个 n 形式，它对应的刚好是二次函数式当中的两根式啊。说明， 如果我现在呢，考虑这个二次函数图像，它跟横轴的两个焦点，那么两个焦点的横坐标分别就是零和七，自然就能知道它图像的对称轴方程应该是二分之七， 而二分之七呢，不是对应正整数的。所以也就可以考虑哪个正整数距离对称轴是更近的， 自然就能确定谁才对应着 s n 的 最大值。那么基于三根四到对称轴距离是完全相等的，也就自然可以确定，当 n 等于三，或者是当 n 等于四时， s n 就 应该可以取得最大值，因为它的图像呢，是开口向下的。 这是第一种方法啊，相对来说呢，非常简单。那么在这道题目里边呢，我们也可以使用菱向变号法研究 s n 的 最大值。 其实呢，它的原理非常简单啊，我们说如果 s n 取得最大值，那它肯定就是大于等于 n 减一，对应的前项和，也就是大于等于 s n 减一，同时呢，它也一定是大于等于 s n 加一的。 我们现在呢，其实可以把这个不等式再做进一步处理啊，比方说把这一项挪到这个不等号的左边来，左边也就可以得到 s n 减 s n 减一，那它对应的应该就是 a n 啊，所以这个不等式等同于 a n 是 大于等于零的， 同理，这个不等式把它进行一项，然后两个 s 进行相减，也就可以等价得到 a n 加一是小于等于零的。 所以我们现在呢，要想研究这个 s n 的 最大值，也就可以列出刚才的两个不等式。第一个 a n 大 于等于零。第二个 a n 加一小于等于零。相邻两项它的正负会发生变化，那通常情况下，它就对应着 s n 的 最大值，亦或是 s n 的 最小值，这个方法我们就称之为零项变号法。那么在刚才的 b 选项当中，已经是判断出了这个竖列的通项公式， 直接代入到这个不等式组当中，我们也就能够得到，第一个不等式等同于负二， n 加八大于等于零。第二个不等式等同于负二倍的括号， n 加一再加八小于等于零。 通过连立这个不等式组，我们也就能得到 n 呢，一定是大于等于三，并且小于等于四。当然 n 又只能取到正整数， 所以在这个区间里边呢，正整数应该就只有三和四，意味着当 n 等于三，亦或是当 n 等于四时， s n 才可以取到最大值， 从而也就可以确定出这个 d 选项同样是没有问题的。综合以上，也就可以锁定本道题目的正确结果，应该是 b、 c、 d 这三个选项。这是我们的第九道题目啊，其实相对来说呢，也是比较基础的，但是综合性比较强。 ok， 接下来呢是第十题。已知椭圆 c 方程是 x 方比九加上 y 方比八等于一，左右焦点分别是 f 一、 f 二， f 一 呢，坐标是负一到零， f 二坐标是一到零点， p 是 椭圆上的一个动点，并且 m 点坐标是一到负一，那么其实结合这个点坐标啊，结合椭圆方程，应该能发现这个点是在椭圆内部。下列结论当中哪些成立？ ok， 先来画图。首先这个 a 选项呢，应该是非常简单的啊，我们知道这个三角形周长应该是等于这一段加这一段，然后加上这一段 f 一 f 二是对应二 c， 也就是等于二的， 而 p f 一 加上 p f 二，考察到的是椭圆定义应该等于二 a， 所以 也就能知道这个三角形周长如果用大 l 进行表示，应该就是二 a 加二 c， a 应该等于三 c 是 等于一的，也就是等于六，加二，也就是等于八，所以 a 选项呢，显然是没有问题的。 那么紧接着二 b 选项，他说这个三角形面积的最大值是等于二倍根号二的。那么在这个地方呢，其实我们可以把这个三角形的面积表示成为底乘高除二，也就是二分之一乘以二 c， 然后再乘以点 p 的 纵坐标的绝对值。 不妨假定 p 点坐标就是 x 零 y， 也就是再乘以 y 零的整体绝对值。化简完之后，也就是 c 倍的 y 零的绝对值 c 等一，也就直接等同于是 y 零的整体绝对值。 而我们又知道，当点系在椭圆上移动的时候呢，这个外零必定是大于等于负 b， 也就是负的二倍根号二。小于等于 b， 也就是小于等于二倍根号二， 自然就能确定出外零的绝对值一定是小于等于二倍根号二，也就说明这个三角形面积的最大值应该就是二倍根号二，那么对应条件呢，应该就是点 p 跟上下顶点重合，所以 b 选项同样是没有问题的。 接下来呢，分析 c 选项，他说存在着点 p 使得 p f 一 垂直于 p f 二，那么在这个地方，我们可以先假定这个角度是 c， 它当点 p 在 椭圆上移动的时候， c 它角随之会发生变化， 而当点 p 跟上下顶点重合时， theta 可以 取到最大值。所以我们也就不妨分析，当 theta 取得最大值的时候呢，这个角如果是钝角啊，就意味着当点 p 在 移动过程当中，应该是能够找到对应位置，使得 p f 一 刚好跟 p f 二互相垂直。但反过来，如果 c 它的最大值它是小于九十度的啊，说明在椭圆圆轴上应该是找不到。这样子，一个点 p 使得两条直线互相垂直。 那么现在不妨假定椭圆的上顶点是 a， 然后我们连接这个里边的 a f 一 和 a f 二，结合椭圆的几何性质，我们知道这段长度应该等于 b， 这段长度等于 c， 这段长度应该是等于 a 的， 并且这个角正好是对应着现在 theta 角的一半，也就可以得到 tan 二分之 theta 应该是等于 c 比 b， 也就是一比二倍根号二化简完之后呢，应该是四分之根号二， 而这个正切值一定是小于一的，说明现在的二分之 theta 一定是小于四分之 pi， 也就说明当 theta 取得最大值的时候呢，它一定是小于二分之二。也就说明当点 p 在 椭圆上移动的时候，这个角度最大才能够取到一个锐角，那显然就不存在点 p 能够令两条直线互相垂直， c 选项应该就是不对的。 当然在这个里边呢，婷婷老师也给大家提供第二种方法。其实呢，我们通过考虑这个垂直条件啊，应该能发现 f 一 f 二对应定点， 这段线段长度是个横定值，如果是存在着点 p 满足这个垂直关系啊，说明这个 p 点应该是在以 f 一 f 二为直径的一个圆周上， 所以我们也就只需要探讨这个圆周和这个椭圆是否是存在焦点的，也就可以验证能不能找到这样子的一个点 p。 而以 f 一 f 二为直径的圆的标准方程啊，应该是 x 方加 y 方等于一， 把它跟椭圆方程 x 方比九加上 y 方比八等于一，那么通过连立这个方程，我们是能够得到 y 方等于六十四，而这个 x 方呢，应该是等于负的六十三。 显然我这个结果一定是不成立的啊，说明这个圆周跟这个椭圆应该是没有交点的，意味着应该是找不到这样子的一个点 p 能够令两条直线互相垂直，所以也是能够排除掉这个 c 选项的。 接下来呢，再分析四 d 选项，它说 pm 加上 p f 一 的最大值是等于七的， 那么这种题呢，也是平常在做题的时候非常常见的，一般情况下呢，是可以考虑把这两段线段放在同一个三角形当中，然后借助三边关系研究它整体的最小值亦或是最大值。而通常情况下，取得最值的条件应该是三点共线。 所以现在呢，我们可以先行尝试把这三点进行相连啊，然后形成一个封闭的三角形，结合三边关系，也就可以得到 p m 加上 p f 一， 一定是大于第三边，也就是大于 m f 一。 但是我们可以发现， 如果这三点是在这个地方或者是 p 点在这个地方， 我这个里边的不等号是不能变成等于号的啊，说明我们现在选择的这个三角形可能就不是很合适，意味着我们得通过某种办法去换掉某条边啊。当然，相信大家呢，可以发现啊，这个里边 存在着 p f 一， 又有一个 p f 二，就可以联想到椭圆定义啊，这两者相加呢，正好是等于二 a 的， 也就是等于六的。如此一来，我们也就可以把这个 p f 一 替换成为六减 p f 二， 原来的 p m 加上 p f 一， 也就等同于是 p m 减 p f 二，然后再加六。而这两段线段是可以放在另外的一个三角形 p m f 二当中来进行分析的，那么在这个三角形里边，我们就存在着两边之差的绝对值是小于第三边的。 当然，如果这三点是共线关系，我这个里边的不等号是能够变成等于号的，比方说当点 p 是 在 m f 二的延长线上啊，当然也得在这个椭圆圆周上，我们也就可以得到 p m 减 p f 二，应该正好是等于 m f 二， 如此一来，也就能够得到整个式子应该就小于等于 m f 二， 再加六，而 m 点到 f 的 距离应该正好等于一，也就是一加六应该就正好等于七。那么取等条件呢，应该是三点共线，所以也就可以确定 d 选项同样是没有问题的， 那么综合以上也就可以锁定本道题目的正确结果应该是 a、 b、 d 这三个选项。