几何图形的运用七年级上册

本视频耗时一个月精心制作而成，总时长四十二分十六秒，带你一口气复习完七上最后一张， 期末考试又要来了吧，今天我们进行七上最后一张几何图形初步所有知识点总结以及重点题型梳理，我们一起来学习。关于我们几何图形初步，这里呢给大家分两个大板块，一个是我们的立体图形，一个是我们的平面图形。 关于立体图形，这里呢重点要讲什么呢？重点我们来学正方形的这个展开图啊，展开图这里呢是我们一种题型，而且还是有一些难度的，我们一起来学习正方体的展开图呢，请记住，一共有十一种， 那么这十一种呢，我们来分门别类的进行总结啊。我们这十一种展开图可以分为一四一型、二二二型、三三型以及一三二型， 什么意思啊？我们第一行有一个，第二行有四个，第三行有一个，这叫一四一行， 那么一四一行呢，一共有这样的六种，你怎么去记这六种呀？我们首先呢，这里啊站一号位，然后我们这四个呢排列好，接下来下面这一个呢，你可以在一号位，二号位，三号位和四号位都可以依次来一遍，这样不就出现了四个了吗？ 对吧？那么剩下的我们就可以来动一动第一行的，第一行的你可以把一号位动成二号位， 然后我们第二行的呢，你不能从一号位直接开始了，为什么？因为会有重复啊，所以直接从二号位和三号位开始，那一共就这样的六种，剩下的全部都是重复的了，这是我们的一四一型啊，这个也是最多的一种形式， 那我们剩下的就可以把这四个呢，让他哎减少一个，变成一三二型。那关于一三二型，这里的三和二啊，是固定的 啊，我们只需要让这个上面有一个的再占一号位，二号位和三号位，所以一共是这样的三种， 记住了吗？那剩下的我们的二二二型和三三型呢，各自只有一个，只有二二二三三这种排列的啊，这我们特殊来记就可以了，一共是十一种的展开图，大家按照规律去记，就不会记错了，那这里呢就会有题型总结了，请听老师的大招啊。 我们现在在判断展开图的时候呢，有两句话啊，可以快速帮我们判断出来，叫做一线不过四填凹七弃之。什么意思？ 我们一条线上这个展开图，你看无论是哪种形式，都没有超过四个的吧，对吧？最多就是四个小正方形了啊，所以说一旦出现了比四多的，那一定不是你的展开图，然后还有一些特殊的形状，比如说出现了我们的填字格， 如果有这种形式的，那一定不是我们的展开图啊。同理，如果出现了我们的这种凹字形，出现了我们这种七字形，这都是我们非展开图，而且比较常考的啊，看到这些特征之后呢，直接判断他不对就可以了。 好吧，那关于我们的展开图这里呢有一个非常非常重要的题型，叫做什么呢？我们判断啊，对立面 告诉你展开图了，来问你们啊，这个小正方形，它的一个对立面应该对着哪个啊？那么这会就特别考验孩子的什么呀，一个空间想象能力， 如果你但是有的小孩呢，刚开始就是他想象不到我怎么去找那个对立面，不可能考试的时候现场折一个，那是不可能的，对吧？其实也是有技巧有大招的啊，叫做两句话，同行隔一个，一行 z 两端来，记住老师，这个大招非常好用， 比如说举个例子，比如说我们同行隔一个，举一个例子，那这个小圈圈和这个小圈圈，那么这两个正方形在折回去之后，他就是一个对立面， 这就满足我们的同行隔一个，所以如果这两个面在同一行上，只要他中间隔着一个，这就叫做两个对立面，同理这里也是啊， 这个圈圈和这个圈圈，那就是同行隔了一个啊，所以这就叫我们的对立面，这是判断同行的那一行呢？如果不在同一行，叫做一行 z 两端，你去找这个 z 去啊，什么意思？比如说我们来看 这里呢，画一个 z 字形，那么 z 的 头跟 z 的 尾，这就是我们的一个对立面，这两个面呢，它没有在同一行上，对不对？所以你就不用套 同行隔一个了，咱们套的就是一行 z 两段，他是我 z 的 头和 z 的 尾，这就是我们的对立面，这个大招在解决问题用起来还是非常好用的，大家一定要记住这两句话啊。那么剩下的呢？还有一种类型，就是我们的三式图， 这个也是也很考验咱们孩子的一个空间想象能力啊。这个你就主要是你从你的这个主视图以及你的俯视图，你看到了什么样子，你就按照什么去画 好吧，尤其是涉及到一些什么，一些这个测试图，或者叫左视图和俯视图的时候，你就要去想象，你站在了这个物体的左面，你站在了这个物体的上面，还是有一些空间想象能力的。那这里老师提醒一点，如果你在你的视线当中，你能看得见的这些线呢？你就画成实线， 如果说有一些线，你是看不到，他也真正存在的啊，你从你的这个仕图里面并没有看到，那这种呢，一定要画成虚线，他也是存在的，只是你当下没有看到而已。好吧，画成虚线啊， ok， 那 关于三仕图这里呢，有一种比较难点的题型，就是已知告诉了你某些仕图，比如说告诉了你的主仕图和俯视图，举个例子 告诉了你这些仕途，让你给我判断这一堆小正方体，它到底有多少个，甚至让你判断最多多少个，最少多少个。这种题型应该已经见过了吧，还是有些难度的啊，今天老师教你一个大招去解决问题， 后面我们也会有这个这种题的，给大家重点讲解啊，叫做什么呀？叫做我们的地基法。哎，什么叫地基法？你可以想象一下，就类似于你搭房子，先铺好一个地基，然后一层一层一层往上去盖，怎么去盖？一会遇到题目，老师带着大家重点的来学习， 好，这是我们的立体图形部分，接下来呢，来到我们的平面图形部分，平面图形我们初一上学期啊，两个重要的线跟角， 这里首先上来呢，就会有特别多的概念变息类的啊，非常非常易错，一会我也会给大家去分享一些题目啊，大家好好去听。那关于我们线的概念之这个我们里面的易错点呢，会涉及到三种， 一个叫做我们的直线，一个叫做我们的射线，一个叫做我们的线段。这三种线之间啊，他的端点情况，延长线情况和表示情况，以及还有一个点再给大家总结，还有他的一个长度能否背肚梁的一个情况， 这是我们在考试当中比较啊，容易能够遇到的。来给大家画画这三种线啊，什么叫直线？你这样直直的划过来，没有任何的端点去限制，这叫我们的直线，所以直线是零个端点啊，并没有端点， 射线呢？射线你想象一下是从一个点发射，对吧？发射的感觉啊，所以射线呢，还是有一个端点的从这发射出去的，好吧，这里有一个端点， 线段呢，哎，线段呢，就是我们可以能够量出来它到底是多长，是两个端点在限制你啊，所以线段的左右两边都是有各有一个端点，所以线段是有两个端点情况。 然后接下来我们来看延长线，因为线段呀，是两头都堵住你了，所以你想要想做他的延长线是能够做出来的，对吧？比如说我们这样直接延长，哎，就能做出来延长线， 那或者说我这样来反向延长也能做出来延长线，所以说我们的线段呀，哎，既有延长线，又有反向延长线， 那射线呢，就是这样的，因为射线本身我在这一点发射出去之后，就已经是无限延伸了，我还需要借助外界的力量来帮我去延长吗？不需要了，所以说射线这里是没有延长线的，但是 因为这一头啊，有端点在堵着他啊，所以我们这一头还是能够画出来什么反向延长线的，所以说射线是有反向延长线，没有延长线，然后最后来到了直线，直线自由的很呀，没有任何的端点去限制他， 对不对？我想往右延伸就往右延伸，我想往左延长就往左延长，不需要借助外界力量。所以说啊，他没有延长线，也没有反向延长线。记得了， ok， 那 么剩下的我们来讲一讲表示啊，我们这三种线呢，都有两种表示方法， 你就可以理解为咱们一个人，他有可能有多个名字，对吧？他有个正名，还有个小名。那比如说我们的这个直线在表示的时候呢，可以用两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示。 那如果我们用两个大写字母来表示的时候，比如说我可以叫做什么呀？叫做它的直线 a b， 在这啊，直线上任意取两个点，注意这两个点你别堵住它了，因为我们的直线是没有端点的，那可以叫做直线 a b， 也可以叫做直线 b a， 这里是没有顺序的差异的 啊，都表示的是这条直线，但射线呢，射线你再给他起名字的时候就有限制了，因为射线本身是从一个点发射出去的，那你再给他起名字的时候啊，第一个字母呢，表示的一定是它的端点，这个你不要反了， 也就是说射线 a b 和射线 b a， 它俩不一样，代表的不是同一条射线。 ok， 那 么剩下就是我们线段，哎，线段呢，是有两个端点是限制的， 你可以叫做它的线段 a b， 你 也可以叫做线段 b a 啊，就没有顺序的差异了，都是表示这同一条线段。 最后我们来讲一讲这个长度的问题，也是我们考试高频的考题。来，我想问问大家，我说孙悟空在天上画了一条十万八千里的直线，你觉得这句话对不对 啊？有人上来可能觉得对了，在我们数学角度这句话是不对的，因为我们说直线是无限延长的，哪怕你足够长有十万八千米，但是呢，我们的直线在十万八千米的基础上还可以无限延长啊，也就是你在描述直线的时候，你不能说它的长度 到底有多长，他的长度呀，是不可以被度量的。好吧，你不能告诉我这条直线到底有多长，限制住他，这个考试特别特别易错，一定注意了。 然后接下来射线，同理，虽然有一个点在限制了我的发展，但是我另外一头很自由呀，我可以无限延长，对吧？所以射线这里也不需要啊，去给他讲长度，他的长度也是不能被度量的。 好，那么剩下就是我们的线段了，线段呢，它就有所限制了，两个端点卡住了我，对吧？它的长度呀，还是可以被度量出来的，所以你可以告诉我说这条线段有多长，比如说刚才那句话 啊，说孙悟空在天上画了一条十万八千米的线段，哎，这个就对了，好吧， ok， 这是我们的一个基本概念啊，关于它的一个区别，也是咱们考试比较爱考的 概念，变式类的一个题目。好，那么剩下的两个基本事实很简单，我们要考这两个基本事实就是考两点，确定跳直线，两点之间线呢，最短 你给他取一个啊，这种题做的时候小孩没有做错的好吧，亲啊，要记住啊，那么我们还有关于线和角这里呢，咱们学了一些尺规作图，做一条线段等于已知线段，做一个角等于已知角，这两个尺规作图非常简单， 当然我们尺规作图呢，也是在我们的新课标当中啊，我们要这个在新中考当中也是要重点去考的啊，所以后面呢也会给大家出专题啊，将我们的尺规作图。好，接下来关于我们的线段的中点， 线段的中点呢，类比于角，就是我们角的什么角平分线啊，这些在做的时候呢，概念类的也不难啊，就是有小小的易错点。比较难的就是什么呀，这里就题型，什么题型啊，我们就涉及到双中点题型， 还有我们角这里呢就是双角平分线题型，这两种题型呢是有什么是有大招可以帮着大家去解决的， 考试的时候非常快的，能够做出来题目，很节省时间，一会老师给大家进行分享。好，那我们角度的基本的定义，这啊啊，这个比较简单，没什么难度啊，我们在这个表示角的时候呢，是有四种方法，注意这四种方法呢，有的会有限制， 那如果我们表示用三个字母啊，三个大写字母去表示这里呢，叫什么呀？这叫我们的万能方法，你所有的角都可以这样去表示， 什么方法呢？就是我以这个角的啊，这个顶点 o 放在中间的位置，然后在角的啊，这两条射线上任意取一个字母，一个取 b， 那 你可以称为角 a o b， 也可以称为角 b o a 描述的都是这个角， 这是我们的万能方法，所有的角都可以用三个大写字母去表示。还有一些比较简洁的方法，比如说呀，我这个这个点 o 这里呢？我不在边上取点了，我直接叫做角 o， 可以 吗？这个图里面是可以的 好吧，但是它有一些小小的限制。什么限制？如果说呀，我从这个 o 这发射的不止一个角了，因为你现在叫角 o 就 描述不清楚了，角 o 到底是代表的这个角 还是这个角还是这个角嘞？咱说不清了，对吧？所以这种情况下，你必须用三个字母来表示了啊。 好，那我们还有两种呢，用我们的阿拉伯数字，或者用我们的希腊字母来表示啊，我们可以标一个一角一标个阿尔法，叫做角阿尔法，这个也很简洁，后续我们到了初二初三，几何学的比较难，角比较多的时候，可以用这种方法去表示。 它也有一个小小的限制啊，就是我们尽量不要跨角去标注，比如说还是这样的图， 你可以说这个叫角一可以的，但是呢，哎，你这个如果叫做角一的话，就不太啊， 不太对了，你跨角标注就不规范好不好，注意这个小小的限制啊。 ok， 这是我们一些关于线和角的基本知识。 那题型这里重点会给大家讲什么呀？像涉及到我们的双中点和双角平行线，以及我们线段的计算和角度的计算，是咱们期末考当中的占分大项，接下来呢，我们一种一种题型给大家进行梳理，一定要认真听。 好，我们先分享一道啊，期末必考题，叫做我们的展开图的问题，我们来看啊，这里告诉你，展开图呢，我们像要剪掉一个小正方形，那么剪掉之后呀，就能够拼成正方题了， 对吧？问，剪掉的这个小正方形不可以是谁？这里就可以很快用老师的大招我们来看啊，什么大招？因为你打眼一瞧就发现了什么，立刻发现了一个填字格。 老师刚才给大家讲了，你如果要判断是否为展开图，当出现填， 出现凹，出现七这种图案的呢，那都不是我们的展开图。 所以你要想减掉啊，变成我们的展开图，一定要在这个田字格里面去选出来一个，减掉一个，让他不不能变成我们的田字格，所以你可以选一，可以选二，可以选三啊，我们的前三个都正确， 好吧，一定要把它分开，所以这个题啊，我们不可以的，就是我们的四 d 了，你如果把这个四减掉了，那你就把田字格留下了，留下田字格还能变成展开图吗？ 一定不能了好吗？记住老师的解决方法啊，看到田，看到凹，看到七字形的都要给他叉掉，这种都不是我们的展开图，你学会了吗？ 好，接下来我们来分享一道找对立面问题。这种问题呢，一属于咱们期末必考。二、很考验咱们家娃的什么空间想象能力，有的小孩就跟老师说，老师，我真的想象不到他是怎么去折的啊，你考试的时候也没办法，我立刻给你拼起来呀， 怎么办也是有解决方法的，好吧，学会今天老师这个大招啊，让大家立刻啊了解我们的对面问题，叫做同行隔一个 哎，一行 z 两端 什么意思？如果大家在找我们对立面的时候，处于同行的呢，你可以来中间隔一个，它旁边这俩就是对立面， 如果在同行找不到了，找什么呀？找不同行的啊，在不同行的呢，我们就来画 z 字形， z 的 这两端啊，就是我们的一个对立面，比如说这， 比如说这道题呢，就考察的咱们跟学的一个对立面学在这。首先你同行隔一个能找到吗？显然找不到， 对吧？同行最多留两个，你怎么去隔呢？找不到，那找不到了怎么办？我们来画 z 在 一啊，一行画 z 字形，注意，我们这个 z 呢啊，就能找两端， 这个 z， 你 可以横着画，竖着画都可以啊，反正画这种正规的。我们的 z 型画完之后呀，这就是我们的两头啊，我们现在这个学跟我们的广啊，它就是一个对立面啊，选我们的 c 选项啊，老师的这个大招还是非常好用的啊，同学们一定要记住，你学会了吗？ 接下来呢，我们来学习一道难题，突破啊，这种问题呢，是带图案的，这种题啊，小孩碰到了就更头大了，我不带图案的都想不明白，你现在还给我带图形了，哎呦，这可怎么去整啊， 别急别慌，也是有方法的。我们来看问图中的立方体展开之后，应该是下图当中的哪一个，我们来观察一下这个立方体。这个立方体呢，给我带了啊，这三个点，而且这三个点的面呢，分别都是什么呀？这叫离面， 相邻的面并没有相对啊，看似是在考你邻面的问题，实则仍然是考对立面的问题，你只需要让他们不是对立面是不是就可以了，因为不是对立面的话，那不就是邻面了吗？ 对不对啊？所以我们来看一下 a、 b、 c、 d 当中有没有两个小点点是对立面的呀？如果有，赶紧给我叉掉啊！又回到老师，今天啊，教你那个大招叫什么呀？你如果在同一行里面去判断，叫同行隔一个， 如果是在不同行里面去判断，叫做一行 z 两端。 好的，我们来观察一下现在这三个圈圈啊，是在这，那我立刻就扫到了，什么，这是在同一行，哎，同行隔一个，所以它们两个变成对立面了，那怎么办？就不对了， 因为你需要点点是同啊，是里面。接着我们来看 b 同里呀，哎，同行隔一个，这两个又是隔了一个，哎，又变成什么对立面了，所以不对。 好，我们来看 c 选项， c 选项呢，仍就是我们这两个点点是在同一行啊，同行隔一个，又变成我们的对立面了，所以他也不对啊，那只剩下四 d 了。四 d， 我 们来观察一下这里，现在呢，发现，哎，无论是同行 不是隔一个的这种关系，无论是一行，他也没有最两端，对吧？所以这个呢，他们都不是对立面，那就是我们的平面了啊。所以这道题应该选我们的四 d 选项，你学会了吗？ 好，今天我们来分享一道什么呢？用地基法来解决我们的最多最少啊这种小正方体的问题，这个问题对于孩子们来说是一个难点啊，一起来学习一下老师这个方法啊。 说若一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成的，如图，分别是它的左式图和俯式图。问该几何体用的小立方体的个数是 m， 问 m 的 一个最小值， 当然有的题也会问你最大值，其实同理的啊，这种问题怎么去做呢？一个大招叫做递级法，就是你无论给了你什么仕途，你先帮我把俯视图判断出来， 那么这个题比较简单的是俯视图直接给你了，有的题也是告诉你左视图，告诉你主视图，让你自己呀，先把俯视图啊确定了， 一旦确定了俯视图，开始干什么？打地基，盖高楼啊，因为你的俯视图如果长成这样子，说明呢，你至少底上，哎，每一块上都得有一个啊，小正方体 b g 搭好了，接下来根据我们的左式图在一一去匹配。左式图呢，第一列你看到了两个，哎，哪里代表他第一列啊？你想象一下你这个人啊，站到了左边去看，这里是代表他的第一列，对吧？第一列，如果你看到了两个，说明这呢？哎，要给我改成二了，一个就不够了。好， 第二列呢，你是看到了三个，第二列是这里看到的，你在这如果想看到三个的话，说明什么呀？说明至少啊，这上边要么是这个，要么是这个，得是有三个小立方体， 对不对？所以这里二选一就可以了，因为咱们本身问的就是最小，好吧，你随便选一个，比如选它 是三个，好吧，然后接下来呢，我们的这个第三列你看到了一个，那么第三列呢，就是我人站到了这，刚刚好有一个，哎，这一个就能够帮我把左视图的这个确定好了，所以我们最小的情况就是他了啊，二加三，再加上一二三四， 答案就是九，这是我们最小值，是九个。如果老师给你变形一下，你能不能告诉我 m 的 最大值，好，最大值是多少？大家可以在弹幕里面啊，去把你的答案写出来。 怎么去求它的最大值啊？最大值呢？就是我现在，哎，不选择其中一个摆三个了，我让啊，这两列啊，都摆上三个，并不影响我的左视图吧，也没有影响你的俯视图吧，对吧？啊，所以我们现在在九的基础之上呢，又增加了两个，所以它最大值呢？是十一， 你学会了吗？好的，同学们，谁又在这种关于概念变式类的题上面给我做错了， 说的是不是你啊？今天老师呢，把这里线与角这常考到的啊，概念辨析类都给大家总结到这里了，我们一起来学习一下，期末拿掉啊，学会这三分，我们来看啊。现在呢，给了大家十种说法，关于线和角的一一去分析， 圈一过两点，有且只有一条直线没问题，对吧？两点就是确定一条直线，所以圈一是对的。 好，第二个，第二个非常非常高频考啊，你今天一定一定要记住，它说连接两点的线段叫做两点之间的距离，比如说，老师，看着没毛病呀，你来分析一下啊，这什么意思呀？说你连的这条线段叫什么呀？叫距离， 是线段叫距离吗？你距离应该说咱俩离多远，对不对？所以你应该说线段的长度啊，一定注意啊，这个，这原话说的是这个线段的长度 叫做距离啊，你说这条线段有五厘米长，代表这两个点呢？距离是五厘米，明白了吧？啊，这个一定要记住了，那么圈三两点之间线段最短没问题，这也是刚才给大家讲过的基本的原理啊。圈四在线段射线直线当中直线最长， 这是不是我说的刚才你总结的那个长度问题啊？注意，直线跟射线，你能用长度去度量我吗？ 啊？换句话，你能用多长多长就能限制住我吗？你并不能，我的长度是可以无限延长的 好不好？所以你进行长度比较的时候不能去比啊，因为它长度就是无限延长，你没法度量出来，你怎么去比较呢？所以圈字不对啊，因为射线跟直线啊，他你都不要去谈长度的概念了，他们都无限延长， 记住这一点好，那么五跟六是一样的啊，说画直线 ab 等于三厘米，你能给我画出一条直线是多长吗？你画不出来啊？好吧，一定注意，这是错的啊，我们 直线的长度是无限延长的，那它不可以被度量的，你能说画一条线段是三厘米啊？好，圈六延长直线 o a 来这条直线，还记得老师刚才讲过的吗？ 它有没有延长线？它有没有反向延长线？它木有啊，因为本身人家就是无限延长的，所以圈六也不对，圈七两条射线组成的图形是角。哎呦，我说老师没毛病啊，这不是两条射线 o a 和 o b 吗？ 你这个画的是对的，我们的定义是什么呀？我们定义是指的有公共端点的两条射线，对吧？你看，我随便给你画一条射线，这叫 o a， 这画一条射线叫做 b c， 他能组成角吗？显然不能啊，所以指的是有公共端点的两条射线组成图形，叫做角啊，加上公共端点来。第八个，说，角的大小呀，与边的长短是有关系的，有吗？ 换句话讲，这个还怎么去考？还去考你？我拿着一个放大镜，我去观察这个角，哎，这个角就被我放大了，对吗？一定注意。不对，它跟角的长短没有关系 啊，我脚的大脚跟我脚的扩张有关系。我很快给大家举一个反例，比如说呢？来，我们第八个的反例举到这。我说呀，我这里两条射线，你看现在呢，这个脚呢，大概扩张的是这个样子，对吧？我再把这个边啊给你写长一点。 这里还有个角叫做角，也是 a o b， 明显哪个角大呀？是不是我上面画的这个角一比下面这个角二更大一些，对吧？跟长短并没有关系。而且呀，我们说这个角的啊，角的一边是什么呀？是一条射线，它本身就是无限延长的呀， 对吧？跟长短并没有关系啊。来第九个，因为平角的两边组成了一条直线，所以一条直线就可以看成一个平角，有人又觉得没毛病了，这不就是吗？ 对吗？一定注意。不对，你怎么能把两个概念给我混为一谈呢？啊？这个概念叫做线，这个概念叫做角，线能变成角呀，啊？角能变成线呀，不对的啊，你只是你的眼睛看着像啊，为什么像呢？因为我说呢， 比如说老师画的这是一条直线，而角是什么呀？角是有公共端点的两条射线啊，所以我这里点个点叫做 o 啊，这里呢，有一条射线，叫做 o a， 这里有一条射线啊，叫做 o b， 只不过这两条射线呢，哎，互为反向延长线了。所以啊，我们刚好构成了一个什么平角，明白了吗？二者概念啊，是不是同一个什么平角，明白了吗？二者概念啊，说周角是一条射线，同理， 角跟线就不是一回事好不好啊，不能做一些对比啊。所以我们现在正确的只有圈一和圈三啊，只有两个，这道题选我们的 a 选项，好吧，你学会了吗？ 好，关于我们线与角这里的一种难点问题啊，就是我们的一个技术问题啊，小朋友们就记不明白了，没有方法。今天老师教给大家一个招，叫做什么呀？打枪法， 哎，我们就可以很快把这种技术问题呢搞懂。我们来看啊，铁路上的火车票啊，是根据两站距离的远近而设定的， 距离越远票价越高啊，符合我们的常识。那如图呢，这就是一条这个火车线路图， a、 b、 c、 d、 e 呢？是五个火车站。而且告诉我呢，每两站间的距离呀，都不一样 啊。问，这段铁路上一共有多少种不同的票价，票价是怎么规定的呀？人家说了，票价是根据我们这个两站之间的距离，那你就要看一看啊，每两站之间有多少种不同的距离，是不是就有多少种不同的票价， 那每两点之间的距离都不一样。所以这个题最终就被我转化成问啊，有多少条线段，就有多少种不同的距离，也就是多少种不同的票价了，对吧？其实这就是数线段问题啊。那么数线段问题呢？你看一看，我们现在是一二三四五， 有这样的五个点，怎么样去打枪呢？你想象一下，你站在这里啊，这每个点上的都有只小鸟，你去打他啊，你可以怎么打到你？首先二，这你是不是能打到一只小鸟，这里又打到一只，这里打到一只，这里打到一只，也就剩下的这四个点，你都会被打到一只小鸟，那一共是不是四只 啊？所以从 a 出发的 a、 b， a， c， a， d， a， e 啊，就是咱的四条线段啊。同理啊，你把枪放在这儿继续打小鸟啊，剩下的三个点都能被我打到， 然后呢？把枪放到这里是两条，然后把枪放到这，只能打到一这里一只小鸟了，加到一起呢，就是我们的十啊，所以我们数线段问题呢，十种不同的线段就对应十种不同的距离，也就是十种不同的票价。好，那么这题还没完啊，老师快速给大家来一个辨识。 现在呢，还有一种问法，不是问你票价了，而是问你车票， 我问你现在有多少种不同的车票？什么叫车票呀？大家都坐过车吧啊？车票上会写什么呀？会写你的这个出发地是哪里？你的目的地是哪里，对吧？比如说你从 a 出发，你要去 b， 那 你的车票呢？可能写的是 a 杠 b， 那反过来讲，你如果说，哎，从 b 出发，再回到 a 呢？那你的车票上写的是什么？是 b 杠 a？ 你 思考一下，这两种车票长得一样吗？ 长得一样吗？比如说我们从北京到上海，车票长的是啊，应该写的北京杠上海， 对吧？你从上海回北京呢？那应该是上海 to 北京两种不同的车票啊。所以我们如果给你改成车票问题了，你把这个线段数完呀，还没有完还得干什么？还得给他 double 一下，给他乘以二啊。因为 线段 a b 和线段 b a 你 在数线段的时候认为是同一条，但是我现在在这个描述票价的时候，它就不是一条了。 a 杠 b 和 b 杠 a 票价啊，这个，这个车票是两个。好吧，所以我们现在车票问题呢，就改成有二十张不同的车票了啊，这种问题你彻底学会了吗？ 好，今天给大家分享一道期末必考题，关于我们线段的计算问题啊，这种问题呢，一旦看到我们的题干之后，立刻想到我教你的题眼方法啊，怎么去做？说，点 c 是 线段 a c 的 什么中点？ e 是 线段 ab 的 中点，那我们来看一看啊，条件，在图上标一标 d， 如果是中点，说明这两条线段啊是相等的，然后我们的 e 呢，是 ab 的 中点 啊， e 是 ab 的 中点，说明我们的 ae 和我们的 b e 也是相等的。如果告诉咱， a c 比上 bc 等于什么呀？等于二比三啊，我这里写成二份，这里是三份。 好，一旦在看到这种问题，就是我教你的啊，解决的体验叫做什么呢？记住我们的大招啊，看到这种笔直赶紧给我干嘛？射出来 见比射参，射出来参数怎么去？射两份你就射成二 x， 三份就射成三 x。 好 吧，记住咱们的大招叫做见比射参，然后已知 c e 长的是十二。接下来让我们去求 d e 的 长度啊，求 d e 是 多长，这种问题怎么办啊？我们来教教大家解， 看到比值呢，我们来进行射啊，射 a c 长为二 x， 那 么所以我们的 bc 长就是什么呀，就是我们的三 x， 那 现在整个线段 ab 长，你是不是会表示了，对吧？所以我们的 ab 长就是等于 ac 加 bc， 二 x 加上我们的三 x 就是 五 x。 好 了，有了总长，你的终点啊，它分的一半的线段就都可以表示了，对吧？来，因为啊， d 是 线段 ac 的 终点，我就不抄了。 然后呢，又告诉咱们， e 是 线段 a b 的 中点。好吧，大家把这句话抄下来，有了中点之后呢，我们就可以来表示一半了啊， a d 就 会等于我们的 c d 等于啥？等于二分之一的 a c， 因为 a c 是 两个 x 啊，它的一半呢啊，就是一个 x， 同样的 a e 就 会等于 b e 的 一半，因为 ab 是 五个 x 呀，它的一半就是二分之五 x。 好吧，你看看啊，这里是 x x， 然后呢啊，这里是二分之五 x， 那 你已知的这个十二是不是可以用含 x 代数式来表示了？这样不就列出来方程了吗？对吧？因为 c e 啊， c e 啊，咱们知道是等于 a e 减 ac 的， 看图啊， 那等于什么？ a e 是 我们的二分之二 x， 那 减完是二分之一 x g 是不是得到我们的二分之一 x， 就是 这个十二，所以 x 求出来是二十四 x 求完还没完，人家让你求的线段 d e 的 长，那我们来看一下 d e 呢，是不是我们的 a e 减去 a d， 对 吧？所以最后我们要求的这个 d e 长呀， 就是 a e 减去我们的 a d， a e 呢，是咱的二分之五 x， 不 用着急算出来啊。 a d 呢，是我们的 x， 所以 是二分之三 x， 那 也就等于二分之三乘以我们的二十四， 约分十二乘以三三十六，所以我们的最后答案的定义呢，就是三十六啊。今天教你比较好的方法就是见笔设参，一旦在线段计算或者后面我们要的角度计算问题， 看到笔直之后，把我们这个分数给我设出来，就很快能解决了。好，这个题大家学会了，接下来先不要走，再来教你个更厉害的大招。这还是我们的什么问题啊，这个问题也有特征，什么呀？终点，终点，这叫什么呀？这是咱们的 双中点问题，双中点还有双角平行线，一定是我们线与角这一张期末必考的题，有非常好的大招让大家去学习啊！请记住老师四个大字叫做去重留半， 什么意思啊？后面再看到我们双中点问题，你就看一看 d 是 不是 ac 的 中点，把 ac 给我写在这， e 是 不是 ab 的 中点，你把 ab 给我写在这儿，接下来干什么？去重留半，你把重复的字母给我去掉。 哎，剩下留下了谁？留下了 b 和 c， 所以 留下的呢？取一半啊，就是二分之一的 bc， 这就代表我们双中点组成的线段长，因为 d e 是 这俩双中点，说明 d e 长呢，就会等于去重留半。哎， d e 就 等于二分之一的 b c， 超级好用这个大招，那接下来我们来验证一下。我们来看 bc 呢，是咱们设的三 x， 你 看二分之一乘以三 x， 不 就是二分之三 x 吗？在这呢对不对？所以这个结论一定成立啊！后面再看到两个啊，终点问题，如果这两条线段有公共的字母， 直接把公共字母去掉，留下的这两个字母取一半，就是两个终点之间的一个距离啊，你学会这个大招了吗？ 来分享一道我们的期末易错题，叫做我们的双中点问题。什么叫双中点问题啊？当我们后面看到啊，给你描述两个点，比如说 e、 f 是 按某两条线段的什么中点，这不就出现两个中点了吗？顾名思义，双中点问题。 还记得刚刚给大家分享的双终点问题的解析大招吗？请给我打四个字，叫什么？去重留伴，这个大招非常好用，一定要学会了。什么叫去重留伴啊？我们现在呢，因为 e 呀，是 a c 的 终点，你把 a c 给我写在这， f 呢，是 bc 的 中点，你把 bc 给我写在这，然后把重复的字母呢去掉，只留下谁了，只留下我们的 a b 了。所以现在啊，就能得到我们双中点之间的距离，就等于留下的一半，就是二分之一的 a b。 这题就已经做对一半啊，双中点问题很快啊，节省我们的时间，叫做两个中点之间的距离，就等于去重留半。好，既然等于二分之一 a b 了，那我们只需要算算 a b 是 多少， e f 是 几，就可以做出来了。 我们来看啊，现在告诉我的是点 c 啊，在直线 a b 上来，大家读题一定要会读关键词，把直线请给我赶紧勾出来， 在直线 a b 上，如果 a、 c 是 四厘米， b， c 是 六厘米啊，那我们就通过这两条线段长，你是不是得帮我确定一下 a b 长呀，一旦有了 a b 长， e f 不 就搞定了吗？那我们啊，画一下图试一试 这个问题呢，他是没给你画图的，对吧？所以接下来还记住老师教大家的一句话，在你的这个初中几何问题里面，给你的几何题没有画图，那百分之九十五以上都是要干嘛？分类讨论的，所以记住四个字，叫做无图有坑 就等着你往坑里跳呢啊，一定注意，没给大家图的大概率都是要进行分类讨论的，而且呢，也跟我们是一样，跟我们直线，这印证了，对吧？他并没有在线段上去限制你，而是在直线上限制这个让你自由的啊，去发挥，找那些点去让我们画一下图啊。说 a c 等于四， 先随便画吧，反正在这 a b 上呢， a c 是 个四厘米，对吧？ b c 呢是个六厘米。哎，你在找 b 的 时候，我现在好像就找到了不止一种 b 了， 为什么呢？因为我现在啊，可以在哎右边找一个 b， 让这是四厘米，这一边这是那个 b， c 是 六厘米，是不是也是可以的，对吧？所以用这样的两种情况，在这两种情况下，咱们要求的谁啊？先求 ab， 那 这个 ab 呢，就是四加六啊，是十厘米， 那么这个 ab 呢，是六减四啊，就是我们的二厘米，好吧，一个十，一个二，然后接下来我们去重留，什么留半呀，所以结果就是十二的啊，一半十的，一半是五，二的一半是一，所以这题选我们的四 d 选项 做出来啊，就会非常快了，请记住四个字，再来一遍，去重留伴，你学会了吗？好，继续啊，给大家分享一道我们的双角平行线问题，跟我们的双中点问题的解决方法是同理的，记住我的四个大字，大招叫什么啊？去重留伴啊，我们一起来看。 现在又告诉我，这个 o、 d、 o e 分 别是什么呀？分别是两个角的角平分线，对吧？所以你直接把这个角 a、 o c 写下来，把这个角 b、 o c 写下来，把重复的射线 o c 给我勾掉，就是剩下的这个角的一半，剩下了 a 跟 b。 那 你看你的 o a 跟 o b 组成谁啊？这是不是就组成我的角 a o b 了？好吧，用老师的结论啊，那现在两条角平分线组成的这个角 d、 o e 就是等于去重留半啊，就是等于二分之一的角 a、 o b。 有 了这个结论，简直不要太爽了啊，因为结论可以直接秒了，因为人家告诉你角 d、 o e 呢，是六十四度， 求谁啊？求这个角 a o b， 那 么 a o b 不 就是它的二倍吗？对吧？二倍一百二十八度，太简单了 好吧，啊，通过这个视频呢，老师给大家快速的证一下，为什么啊？会去重留半？我们来看啊，因为 o、 d、 o e 分 别是角平分线，如果是角平分线的话啊，那么这两个角相等，比如说我们都标为阿尔法，那如果 o d 是 我们的这个角平分线的话，这两个角相等，我们都标为贝塔。 好的，你看整个大的 a、 o b 是 不是两个阿尔法加上两个 beta 呀，对吧？哎，小的角 d、 o e 呢， 是不是一个阿尔法加上一个 beta 呀？所以它们之间一定会有一个角 d o e 等于角 a、 o b 的 一半啊，这是我们去重留半就是这样来的， 所以后面但凡在看到了双中点问题，还是双角平行线问题，直接把这两个线段或这两个角拿出来重复的勾掉啊，然后剩下的留一半，简称去重留半，你学会了吗？

上一节我们一起学习了第六章节第二小节直线、射线和线段的相关内容，那本节的话，我们一起来看一下第三小节最后一节角的相关知识。学习角的相关知识的时候呢，我们首先明确一下本节课学习的目标，一共是有三个。 第一点，首先我们需要知道角和角平分线的概念，了解与角和补角它的相关内容，掌握角的表示方法，能够用正确的符号来描述角，这里面主要是考察大家的抽象能力。 第二点，学会比较角的大小，认识角的度量，单位角度质，并且能够进行简单的换算，会计算角的和差，这里边主要考察大家的运算能力。第三点，掌握与角和补角的性质， 并能应用这些性质解决相关问题，也就是考察大家的应用能力以及推理能力。 好，我们先学第一个知识点，学第一个知识点的话，主要是基本的角的概念及其表示方法。角的概念的话呢，我们一般分为动角和静角，静态的角它的含义是什么呢？我们一起来看一下。 首先大家可以看到这个角，这就是一个正常的角，角，它里边包含到顶点和两条边，所以说有公共端点的两条射线就叫做角， 那这个公共端点的话，刚才我们已经说过了，是角的顶点。另外呢，两条射线分别就是角的两条边， 就像这个图片展示的一样。其次，我们需要掌握什么叫动角，动态的角也可以看作有一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，起始位置的边叫做角的中边， 那我们下边也有对应的图片，大家可以看一下。像这个图形里边，我们看到它的始边在下方经过旋转到了中间这个位置构成了一个角，那它的端点的话，其实也是它的顶点。 同样我们需要掌握两个特殊的例子，比如平角，当角的矢边和中边在一条直线上时，形成的平角，就像这个图形一样，这个图形我们可以发现这个角旋转了一百八十度。 其次我们再看另外一个，就是当角的齿边和中边重合时，就形成了周角，周角的话代表这个角度数是三百六十度，就像这个图形一样。 你接着我们看一下角的表示方法，一般我们怎么去表示不同的角呢？比较简单的就是像这个角一样， 可以用三个大写字母来表示，比如这个图片当中角的表示就是角 a、 o、 c， 或者可以直接用一个大写字母表示，就像角 o。 那 如果说遇到多个角在一块的话，怎么来表示呢？特别是我们如何去表示这些小的角呢？就需要加弧线， 用数字或小写希腊字母表示。比如角 a、 o、 b， 你 可以记作角一角 b、 o、 c， 可以 记作角二角 d、 o、 c， 可以 记作角二法，这个是有关角的基础的表示方法。其次我们来学习一下角度制及其换算， 这里边主要考察大家的运算能力。角的度量单位的话呢，我们一般把一个周角三百六十等分，每一份都是一度的角叫做一度。 把一度的角六十等分，每一份叫做一分的角记作一分。把一分的角六十等分，每一份叫做一秒的角记作一秒，就这样来写的，所以我们知道了角的度量，单位是六十进制的。 其次，角度制一般指的是以度分秒为单位的角的度量制，叫做角度制。 下面不同的角度质之间怎么进行换算呢？哎，比如我们看一下，一度就等于六十分，一分等于六十秒， 那一度等于多少秒呢？等于三千六百秒。其次，一周角的话是等于三百六十度，一周角是用两个平角构成，所以一周角等于二平角，等于四直角。 接着一平角等于一百八十度，一平角等于二直角，婴儿一直角是等于九十度。 好，这个是从大变，这个是由大单位变为小单位的换算。那如果说我们从小单位变成大单位，怎么进行换算呢？就是一分等于六十分之一分， 然后一秒怎么换成度呢？一秒等于三千六百分之一度，这个是小单位变成大单位之间的换算。 所以我们也可以得到一个结论，就是大单位转化为小单位的时候呢，可以用乘法乘以它们的进度制。如果小单位变成大单位时，需要除以它们的进度制。 比如我们来看一下这个比较十七度十八分与十七点一八度的大小。很多同学看到这两个度数，可能默认他们相等，其实他们不相等，因为他们的单位不一致，所以需要先把单位统一。 我们可以把十七度十八分转化为度数十七度十八分呢？首先十七度保持不变，可以照着抄一下。十八分可以写成度的形式，也就是小化大，需要除以它的帧值，也就是十八 乘上六十分之一度等于十七度，加上零点三度等于十七点三度。所以我们可以比较十七点三度是大于十七点一八度的。婴儿可以得到一个结论，十七度十八分是大于十七点一八度的。 好，接着我们来学第三个知识点，有关方向角的。那什么叫方向角呢？方向角就是用角度和方向表示方位的角。在平面图上，方向规定为上北下南，左西右东，这个是默认规定的，大家需要牢牢记住。 第二点，方向角的形成。其实在一般过程中，方向角是由第一个方向，也就是我们以正南或正北为角的，使边向第二个方向正东或正西转动所形成的角。 第三方向角的表示，一般指的是以正南或正北的方向为基准，再加上偏东或偏西的角度，比如北、偏东等等。第四点，角的比较。 脚的比较的话，我们联想上一节学到的线段的比较，其实同样是两种方法，一种是度量法，一种是叠合法。度量法其实很简单，我们量线段的时候，可以用直尺，带有刻度的直尺来测量，那量角的话，我们可以使用到我们的量角器， 所以说度量法指的就是用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小，就是把两个不同的角放在一块进行比较它们大小。叠合法指的是把它们的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小。 比如我们看到下边这三个不同的图形，第一个图形里边，我们可以发现 这个红色的这条边是比白色这条边要低的，所以说角 aob 是 大于角 a 片、 o 片 b 片。 那我们观察中间这个图形，发现它们是完全重合的，所以这两个角是相等的。第三个图形呢，红色的这条边是大于白色这条边的，所以角 aob 小 于角 a 片、 o 片 b 片，这是三种不同的表示形式。 第五，我们一起来看一下角的和与差。我们看到这个图里边 a o b 还有 a o c。 通过观察我们可以知道角 a o c 是 角 a o b 与角 b o c 的 和记作，角 a o c 等于角 a o b 加角 b o c。 那怎么表示差呢？我们同样可以看到角 a o b 这个小的角是不是等于角 a o c 外边这个大角减去角 b o c 的 差， 也就记错，角 a o b 等于角 a o c。 减去角 b o c。 或者是角 b o c 就 等于角 a o c 减去角 a o b， 这是它们的表示形式。第六点，你需要掌握角度的计算，其实就是利用加减乘除。 加的话指的是度与度相加，分与分相加，秒与秒相加，秒满六十，向分进一，分满六十。向度进一讲的是同单位进行换算。 第二，减，度与度相减，分与分相减，秒与秒相减，同样是同单位，那秒相减如果不够的话呢？同样向分借一 分相减，如果不够的话，需要向度进行借乘。指的是度、分、秒分别与倍数相乘。秒满六十，向分进一，分满六十。向度进一 除，指的是度、分、秒分别与除数相除，度除不进，向分转化，分除不进，向秒转化。 第七点，我们来看一下角的平分线。那什么叫角的平分线呢？一般的我们指的是从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 这里的话，其实我们需要注意的是，角的平分线一定是在角的内部，不可能在角的外部表示，形式的话，就像这个图形角 a o c 一 样， o b 显然是角 a o c 的 平分线。 所以说我们可以得到一个结论就是角 aob， 你 看这个小的角是不是等于上面这个小的角，然后它等于总体这个大角的二分之一，也就是角 aob 等于角 b o c 等于二分之一角 a o c。 当然或者可以表示为角 aob 等于二倍的这两个小角，也就是二倍的角 aob 和二倍的角 b o c。 好，最后一点，我们需要掌握一下与角和补角的相关内容，通过我们这个表格，把所有的知识点给大家做了一个罗列， 既有定义图式，数学语言，还有相关的性质。学习与角与补角的话呢，首先我们先从与角开始，与角的定义指的是什么呢？如果两个角的和等于九十度， 当然九十度代表其实就是直角，就说这两个角互为余角，简称为这两个角互余，其中一个角是另外一个角的余角。 图式的话，就像这两个不同的角，我们给大家放到一块，是不是把一个直角给它拆分为两个不同的角？ 数学语言的话呢，指的是，若角一加角二等于九十度，则说角一是角二的余角，或者角二是角一的余角，也或者角一与角二互为余角， 那性质指的是同角或者等角的余角，它是相等的，这里边的同角指的是同一个角，等角指的是度数相等的角。 下面我们来看一下补角。补角的定义指的是如果两个角的和等于一百八十度，一百八十度代表就是平角， 就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另外一个角的补角，其实相当于把一个平角呢分成两部分，分别为角三和角四， 所以他的数学语言指的是，若角三加角四等于一百八十度，则说角三是角四的补角，或者角四是角三的补角。 这个先后顺序是没有要求的，或者可以写为角三与角四互为补角，那同样可以得到一个性质，叫做同角或等角的补角是相等的。以上讲解的是有关第六章节第三节 有关角的相关内容，我们把所有内容给大家简单过了一下，如果对你有帮助，可以点个关注，期末记得来报分，记得点赞关注哦！

hello， 同学们，上一周我们一起学习了几何图形的相关内容，那本节我们一起来学习直线、射线和线段它们三者之间的相关内容。 首先我们要知道什么叫直线，那直线的基本事实指的是什么呢？直线指的是经过两点，有一条直线，并且有且只有一条直线， 减数为两点，确定一条直线，这就是直线的技术概念。其次，我们要知道直线的表示方法和它的特征。 表示方法的话有两种，一种是直线上表示任意两点的大写字母来表示。第二种呢，用一个小写字母来表示。我们来看这个图，你看我们既可以用直线 ab， 也可以用直线 b a， 它是没有先后顺序的。 接着我们来看特征，特征的话一共有三点特征，首先直线他是没有端点的，所以可以向两端无限延伸，那第二个特征的话就是向两个方向无限延伸。第三点，没有长短，所以两条直线是没有办法比长短的。 接着我们来看点与直线的位置关系，其实只有两种，比如说点在直线上，就看这个点 a 在 直线 l 上，当然也可以说直线 l 经过点 a。 第二种呢，点不在直线上，比如说点 a 在 直线外， 也可以说成直线 l 不 经过点 a 或点 a 不 在直线 l 上。 第四，直线相交，当两条不同的直线有一个公共点时，呈这两条直线相交，这个公共点呢，叫做他们的交点。比如我们看到 m、 n 两条直线相交于点 o， 那 么点 o 的 话就是这两条直线的交点。 接着我们再来学习射线，射线的定义指的是什么呢？射线指的是直线上的点和它一旁的部分叫做射线，这一点叫做射线的端点。 那表示方法跟直线其实差不多，也是有两种，一种是用射线的端点与射线上另外一点的大写字母表示。第二种用一个小写字母来表示，那他的图示的话，就像这个图，你看 o 是 他的端点，而 a 呢，是射线上的一点， 所以这个射线可以用射线 o a 表示啊，或者可以用射线 l 表示。那能不能用射线 a o 表示呢？不能的，为什么？因为 o 是 射线的端点 啊，这个射线的端点一定要写在前面。第二，射线也具有三个特征，第一个特征有一个端点，就像我们看到这个图示点 o 就是 射线的端点。第二呢，它是有方向的，为什么？因为射线是沿着 o a 的 方向然后移动。 第三点无法度量，因为射线的另外一端可以无限延伸。接着我们来看线段，那线段的含义指的是什么呢？直线上两点及两点之间的部分就叫做线段，那这两点的话叫做线段的端点。 其次，表示方法也是有两种，一种的话是用表示端点的两个大写字母来表示。第二种用一个小写字母来表示。 第三，我们来看这个图，你看 o 和 a 就是 线段上的两个端点，所以这个既可以叫做线段 o a 或者线段 a o， 这里的话 a 和 o 是 没有先后之分的， 或者是用小写字母 l 表示，也就是线段 l， 那 他也有三个特征，一，有两个端点，比如说端点 o 和端点 a。 第二呢，不可以延伸，因为端点是固定的，这个是线段的相关内容。 接着我们来学习线段的画法及长短的比较。首先我们在数学当中经常会听到一个词叫做尺规作图，那么尺规作图到底指的是什么呢？在数学中我们经常限定用无刻度的尺尺和圆规作图，这个就叫做尺规作图。 二、线段的画法。首先可以用测量法，特别简单，就是我们先度量出已知的线段，比如线段 a 的 长度，再画一条等于这个长度的线段。第二可以用尺规作图法，假如说我们现在没有带有刻度的尺子怎么办呢？可以用圆规和没有刻度的尺尺。 首先我们先用直尺画一条射线 a 系，再用圆规在这个射线 a 系上截取 a， b 等于 a 就 可以画出，就像这个图一样， 这就是尺规作图。接着我们来学习第三线段的比较。线段比较的话，有两个方法，一种叫做度量法，其实就是拿度量尺分别测量出两条线段的长度，当然单位一定要相同， 再根据长度的大小呢来判断这两条线段的长短关系。第二种叫做叠合法，叠合法指的是把其中一条线段移动到另外一条线段上面，做一个比较。 叠合法也有一个速记口诀，叫做共端点同方向叠一起比长短。当然我们发现这两个方法其实就是竖的比较和形的比较，哪个是竖的比较呢？就是度量法。哪个是形的比较呢？就是叠合法，放在一块进行比较。 那叠合法呢？我们来看一下这个表格，你看假如 ab 和 cd 呢，他用不同的长短来表示，那放在一块我们是不是可以很清晰的得到对应的结论？ 这里边列出了三个不同的情形，然后后边有三个对应的结论，大家可以看一下。接着我们来看第五个知识点，线段的基本知识点及两点间的距离。 首先，线段的基本事实指的是两点的所有连线中线段最短及两点之间线段最短，这个大家一定要记住，这是它的性质。 第二，两点间的距离。首先，两点之间的距离，它的定义指的是什么呢？连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离，那性质具有存在性、最短性和唯一性，这是两点间距离的性质。第六，我们要学习线段的和差。 同样给大家列出的一个表格比较直观，你看在这个表格里边，我们已知条件是 a 是 大于 b 的， 所以我们用图形来表示，你发现 a 和 b 相加，是不是就是 a 系的长度呀？ 那画法的话就是用圆规先在射线 a、 e 上截取线段 ab 等于 a， 再在射线 b、 e 上截取线段 b， c 等于 b， 然后可以得到一个结论，就是 a， c 是 等于 a 加 b 的， 下边这个的话是作差，它的原理是一样的，大家可以看一下。 接着我们要学习本节课的最后一点，就是第七点，线段的终点及等分点。首先，线段的终点指的是什么呢？你需要了解它的定义，它的定义指的是把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的终点。 其实现段的终点的话，我们需要知道一条线段的终点只有一个。第二，看这个图示，你看在这个线段 ab 当中， m 点就是线段 ab 的 终点， 所以说我们可以得到 am 是 等于 mb， 然后等于二分之一 ab 的， 即 ab 等于二倍的 am 等于二倍的 mb。 那 学习了终点之后呢，我们需要知道什么叫等分点，等分点指的是线段除了有终点外，还有三等分点，四等分点等等，如图所示。你看下面这两个图，就是三等分点和四等分点的图示。 假如 m n 将线段 a b 平均分成了三份，那么 m n 就是 线段 a b 的 三等分点，那我们由此可以得到 a m 等于 m， n 等于 n b， 是 不是哎？这些小的线段，然后等于三分之一， a b 等于总体线段的三分之一。 另外再看这个，这个是四等分点。四等分点呢，我们也可以发现，下边小的线段是相等的，也就是 am 等于 mn 等于 np 等于 pb。 每个小的线段相等之后呢，每一个小的线段等于总体线段的四分之一，也就是等于四分之一 a b。 好， 以上是有关第六章节第二小节直线射线和线段的相关内容，如果对你有帮助，可以点个关注，期末记得来报分。

孙老师一讲，豁然开朗，你肯定想不到，小学二年级的木棍重叠问题，能够变化成七年级角度计算的一个经典小模型。叠角问题。好，在讲例题之前，我们先复习一下小学二年级的知识，两根小木棍的重叠问题， 咱比如说第一根小木棍长十厘米，下面这根长八厘米，那他们俩要想绑在一起，需要一段重叠，这个重叠部分，比如说是一厘米吧， 请问绑好之后，从最左边到最右边一共长多少？那你小学你都会十加上八减掉一厘米，那总长度就要减一厘米， 那这个跟咱们七年级的角度有什么关系啊？我画了第二个图，这个黄色的角，咱们假如说是七十度，然后这个蓝色的角呢？咱们就把它当九十度吧。 啊？如果他们俩没有重叠，你看现在这个红色画阴影的部分是重叠的吗？如果没有重叠，那他们这样，你看就是这样的， 这是七十，这是九十，那一共合起来就是一百六了。但是现在这个蓝色的往上转缩进去了，比如说吧，往里边缩了三十度， 那从最上面到最下面一共多少度呢？就应该是七十加上九十减掉三十，对吧？往里边缩进去，就从这往里边转了三十度，那这个 角度计算原理和我们小时候这个线段重叠是一模一样的。而到七年级这种东西，我们称它叫 叠角啊，但它的原理是通的。好，现在咱们看七年级的题啊，如图，角 a o c 是 阿尔法角， b o d 是 贝塔，你看这像不像？这不就是一个 alpha， 一个 beta， 然后它在中间这个 cod 区域产生了一个重叠叠角吗？第一问，如果 d o c 是 伽马， 让我们求 a o b， 那 a o b 就是 最大这个角吗？它不就是 alpha 加上 beta 减掉一次重叠吗？ 如果你识别出来叠角，你会算的非常快啊，我也可以用角度和差挨个推一遍。你比如说这个大角是贝塔，上面是伽马，那下面这个角就是贝塔减伽马，然后你再加起来 a o b 是 阿尔法，再加贝塔减伽马也可以，但这个就慢一些了啊。 所以说用叠角，两个大角减去中间部分，就是全部的角，会非常快啊。所以说用叠角，两个大角减去中间部分，就会非常快啊。那有了第一问的前提，第二问，角阿尔法加贝塔减伽马， 再加上 d o c， d o c 就是 伽马，就是阿尔法加贝塔。你在图上怎么去理解呢？ a o b 是 这个全部的角加上这个重叠的角，那不就相于阿尔法和贝塔吗？ 它又是全部，还多了一个重叠，那就是全部的 a o b 再加一个重叠。所以说通了啊，叠角会非常快。第二种反过来了，它还是 a o c 是 阿尔法， b o d 是 贝塔，它又给了我 a o b 是 m。 你熟悉了叠角，你马上就意识到阿尔法加贝塔是比 m 大 的，为什么会大？因为它们多了一个重叠，那重叠这个角 d o c 就是 阿尔法，加上贝塔减 m。 当然有人这样推，他老是想不出来。那你还可以怎么办呢？我就记一个公式， 就是 r 法加上贝塔减掉重叠等于全部，也就是 r 法加上贝塔减去重叠，重叠就是角 d o c 嘛，那等于这个大角就是 m， 你 看一样的把 d、 o、 c 换过来，那 d、 o、 c 不 就等于 r 法加贝塔减掉 m 一个道理啊。 所以你把二年级的两个小木棍重叠连一起来，阿尔法加贝塔比全部的多，多了谁呢？多了一个重叠，所以减掉重叠就是这个全部，那这个重叠就是阿尔法加贝塔减掉 m 了。第二题已知 a、 b、 c 是 四十五， d、 b、 e 也是四十五，两个四十五又产生了 重叠，也就是 d、 b、 c。 试判断 a、 b、 e 和 d、 b、 c 之间的数量关系。你如果想到了叠角，马上就出来，这是一个大的全部的角， 角 a、 b、 e 是 怎么得到的？它其实是两个四十五，四十五加四十五，但是并不能完全相加，因为你有重叠部分，要减掉角 d、 b、 c 了， 等于九十度，减角 d、 b、 c， 这就是他们俩的关系， a、 b 一 和 d、 b、 c 的， 但你也可以移过来，角 a、 b 一 加上角 d、 b、 c 等于九十度啊。注意啊，我这是直接算的，这个算式，你推的话，你可以写一步啥，因为我把等式关系列出来，角 a、 b 一 等于角 abc， 加角 d、 b 一， 减角 d、 b、 c。 所以 代入 这个叠角的整张关系是可以直接使用的啊。我们就是能从图上看出来，就像我们看这个两个小木棍就直接得到而已，不需要再证明直接用啊。当然我也展示一下，如果你没看到这个叠角，你也可以做，但是麻烦一些，你比如说我设 d、 b、 c 是 x， 那下面就是四十五减 x， 上面也是四十五减 x， 那 这个时候角 a、 b、 e 就 变成了 四十五减 x 加 x， 再加一个四十五，减 x 也能做多少？这就是九十度减 x， 那角 d、 b、 c 又等于 x， 对 吧？也出来，他们的和也是九十度，但这个就麻烦了啊。所以为啥把叠角单独挑出来，说他比射参会更快一些？ 你马上能识别出来。第三个，两个三角板在 o 这个地方重合了，你看，这是一个九十度，三角板自带的，这也是一个九十度，这又是一个叠角模型啊， 而且给了我 a、 o、 d 等于这个度数，让我求 b、 o、 c， 你 用上了叠角就非常快。叠角的基本等量关系是什么呢？角 a、 o、 d 是这个大角，它是等于两个九十度九十度加九十度减掉重叠部分是 boc， 减角 boc， 那 你 aod 多少？一百一十八度十七分，等于一百八十度减角 boc， 那马上 b、 o、 c 出来，角 b、 o、 c 就 等于六十一度四十三分了，那就非常简单了啊。还有种方式，老师我硬算 a、 o、 d 是 一百一十八度十七分，哎，这里边有个九十度，所以我可以先把 b、 o、 d 算出来。可以， 我算出来 b、 o、 d 之后，再用 c、 o、 d 这个九十度再减它，就得到 b、 o、 c 也行，但是你对比一下，挨个去算这里边的每个角就麻烦了啊。 所以叠角模型，它的优势在于，一旦出现等量关系非常明显，用了之后会很快答题啊，光听不练手痒痒，我们准备了十三面的配套训练和视频，完美配合，快来领取吧！关注梳理黑板，现在下课！

好，然后讲一下今天的提单，然后讲今天提单之前先说几个点哈。第一个， 呃，第一个就是，嗯，先说一下日常的一个，嗯笔袋里头背的笔吧，因为今天的话也是跟晚腐班强调了一下。嗯，我也说这个事。第一个我不需要，不需要你就是尤其现在很多女生喜欢各种样式的笔， 我直接跟他们明说的，我不需要你喜欢多少的笔，你笔袋里头你只给我准备几种笔就行。第一种 两只自动笔，一只零点五，一只零点七的，因为你当你几盒开的那一刻开始，那你就大量需要需要自动笔了，所以自动笔的话保留两只，一只零点七，一只零点五，然后笔袋里头两只自动笔，然后两盒笔芯， 笔芯的话一盒零点七，一盒零点五，但是零点七和零点五的笔芯一个是 h b 的， 一个是二 b 的 啊，这是笔袋里头备的四样东西，然后像黑笔， 黑笔的话备上，备上三三支或者是到五支左右吧，反正我个人建议。反正是我个人建议吧，就比如说像小米的聚能写， 像这种的话反正用完咱就扔，用完咱就扔就完事了，没必要说是像，有些笔咱还得换笔芯，对不对？然后红笔的话背上两支都两支红笔， 这就笔袋里头这些东西就够用了，然后备一块橡皮笔袋里头这些东西就够用了，什么其他的，什么花里八哨的，因为我见有些有些有些同学的笔袋里头放一些什么明星的卡片，还有放一些乱七八糟东西，你放那东西不是说不是说不能放， 没用，明白了吗？跟考试没用。如果说你考试时候把明星的卡片放在桌子上，哎，你看着他的卡片，他能，他能保佑你数学啊，能上到一百一，能上到一百一十五，那随便，对吧？你又保佑不了你，这些东西你放那干嘛？对不对？ 然后准备一套，准备一套套尺啊，准备套套尺，就是套尺尺子，然后三角板一套，然后带圆规的这种一套，明白了吗？谁借也不好使，谁借也不给借，一定要把它保存好了，知道吧？ 这就够了，因为几盒一开，这些东西都是常备的，不要笔袋里头装乱七八糟东西，你说笔袋里头这种笔，那种笔装上一堆东西，嗯，笔袋，咱笔袋不是炸药包， ok， 好，然后第二件事，就是第二个，就是咱们讲这个之前先搞清楚两个知识点，第一个与角， 第二个补角。首先什么是与角？与角就是两个角的两个角之间，两个角的和为九十度。什么是补角？补角就两个角的和为 一百八十度。举个例子，比如说角一与角二互余互余，那他俩互余说明什么？角一加角二等于九十度。如果说他说角一和角二互补，那就角一加角二等于 一百八十度。 ok， 这是第一个知识点啊，这是第一个知识点。 好，接下来我们看题，铅笔啊，自动笔，橡皮。 首先我们先看它给出第一个条件，角 a、 o、 b 等于九十度啊，那我们铅笔是把九十度给它标注出来， 然后他说角 boc 等于 x 度好，我们先看 boc， boc 等于 x 度好。我们是不是开始标注好？标注完以后我们继续，他说角 o d 平分角 a o c o d 好， o d 平分角 a， o c。 我 这个画完以后是这条三条，三条线是不一样的，一样的点都都点，两个点也这条边，平分角这两条边，或者我可以这标一个角一和角二，那现在是角一等于角二。 好，那我们继续他说角，他说角 c o d 的 度数，我们看 c o d 好， c， o d 的 话， c o d 是 不等于二分之一的角 a， o c， 那 这个角等于 x 度，那这个角，这个大角，这个大角是不就等于九十度减去 x 度， ok， 好。 然后的话，现在角，他现在问的是什么角？ c o d， c o d 是 这个角，这个角是二分之一的它，所以说它是不是整体是乘以二分之一？那我们重新找条件，是不是这道题是不是选 a 了 啊？这道题我们就搞定了，一定要记住，全程是铅笔，铅笔，铅笔，各位，铅笔， 好，然后我们再看第五题。第五题的话，锐角的补角一定是钝角，没毛病，因为补角是不是一百八十度，这个角为小于九十度，那另一个他的补角是不是一定是大于九十度？那这道题是直接 a， 我 们是不是就搞定了？ 好，那我们把它写上啊， a， 这个也是 a， 好，然后我们再看第八题。第八题他说，首先他先看他问题问的是什么正确的说法， ok， 我 们先看第一个射线 a， b 和射线 b， a 是 同条射线。 no， no， no， 错了，为什么？因为他没有说同一个平面的。首先第一个，咱们先不管他是不是同一条，咱们先搞明白一件事，他没有说同一条平，同一个平面内，他已经就错了，明白了吗？比如说这条射线在我的脸上画着呢， 这条射线对吧？啊？在白痴脸上画着，对吧？ 那两条是不是同一条？肯定不是呀，为什么？因为他两条射线都不在同一个地方。所以首先第一个，这像这种题，他必须有一个什么同，同一个，同一平面内，明白吗？必须有一个同一平面内， ok， 然后的话我们再看射线 ab， 射线 ab， 它是不是以 a， 它是以 a 为固定点往 a 上面走的， ok， 而射线 b a， 它是以 b 固定点往 a 上面走的， 那这他们两个人是不是同一条射线？不用管他，明白吗？我们先先先，首先这个先，就像这种填空题，要就这种选择题，我们先去把条件先去看条件，因为他，呃，葛老师一定要记住哈，像这种 类型的选择题，他的题的错误的点他会很明显，明白吗？错误点会很明显。 好，首先我们先看第二个，两点之间线段最短，没毛病，对吧？两个点之间是线段最短，没毛病，所以它是对的。好，然后我们再看第三个啊，第三个，这个是有一点问题啊，这个是多打了一个三十八哈，多打了个三十八。 首先他说三十八度十五分和三十八点十五、三十八点一五度相等，他是不相等的，因为分分他的净率也是六十。明白，所以说他十五分的话，他等于多少度？等于十五，除以 六十，最后求出来是多少度才是他的度，所以他们两个实物是不一样的， ok 了吧？单位不一样，好吧，好，然后我们再看第四个，画直线 ab， 首先直线 他右手 ab 是 什么线段？牛头不对马嘴，他也是错的， ok， 好， 继续看第五，第五个， 已知三角形，已知三条射线， o a o b o c， 若角 a o c 等于二分之一角 a o b， ok， 那 我们看，他说那么射线 o c 是 a o b 的 平分线，我们首先画个图，对吧？首先他俩谁大？是 a o c 大？ 好，我们先给他画一个 a o c a o c， 我是 不画出来了，他说了， 哦， a o c 啊， b o c a o b 大。 哈，好，那我们先给他画出，你看 a a o b， ok， 然后这里是 a o c， 把 c 画这里，那这种情况下是不是 o c？ 因为它现在是不是 a o c 等于二分之 a o b， 那 是不是现在它角平分线？没毛病，但是 它没有说什么，没有说这条线的位置，我这条 o c， 我 可不可以画到这个位置上？ 那现在的话，我们再看那 o c 的 话，我可不可以画到这个位置上？那 a o c 是 不等于二分之一的 a o b 是 不也是可以的？所以 o a o c， 它没有说什么，它没有说 o c 在什么 o c 线在在这个 a o b 的 角角内，明白了吗？所以说它这道题它是有漏洞的，如果它换一个方式，换一个方向，它说的是它直接说 o c 是 a o b 的 角平分线，角 a o c 等于二分之角 a o b， 那 没毛病，因为它已经确定角平分，它已经确定了这条射线的位置了，明白吗？ 但他现在说的是什么？说的是 a o， 他 说是 a o c 等于二分之一 a o b， 那 现在 o a o c 是 不还可以在它们的外边，对不对？ a o c 在 这里， a o b 在 这里， 是不也可以走二分之一的一个路线，所以这道题他是错的，所以这道题目前是只有一个两点之间距离线段最短，那是不只有 a， 那 这道题我们是不是就搞定了？ ok， 好， 然后我们继续看第九题。 第九题他说 c 是 a， b 上一点， d 是 a， c 的 中点， ok， 我 们先找见 d 是 a、 c 的 中点， ok， 也就说 a、 d 是 不等于 c、 d， 那 我们继续看，他又给出是什么 c、 b， c、 b 等于二分之三的 c、 d， c、 b 等于二分之三的什么 c、 d。 好， 来了，那我们现在首先我们先观察 d、 d 是 不是它的终点，对不对？那现在他说 c、 d、 c、 d、 c、 b， 那 c、 b 我 可不设为，呃，我们看设谁为 x， 好 吧，嗯， c、 d 看一下啊， c、 b 等于二分之三的 c、 d， 啊，看错题了， c、 d， ok， 那 c、 d 是 不是 x？ 这样是不是 x？ 那 c、 b 呢？ c、 b 这里是不就是二分之三 x， ok， 那 就是 x 加 x 加二分之三， x 是 等于 ab 的 十点五，我是不求出 x， 以后这道题 bc 我是 直接就搞定了。就这道题我们是不就不用讲了吧？ 好，然后我们看一下第二题。第十四题。第四题的话，首先他说在停同条直线上， aoc 等于 aoc 等于五十度， o、 d 平分角 a、 o、 c， 那 是不二十五，二十五度是不出来了，他问的是 b、 o、 d。 这道题是不很简单，补角的话，五十，这是不是一百三十，加上二十五是一百五十五度，这道题是比较简单。好，我们直接过了，好吧， 好，接下来我们看一下第十八题。第十八题，这道题是，今天我们先看一下吧。好，第十八题我们看题， 他说如图，欧式欧式直线 ab 上一点，然后 o d 平分角 a o c， ok， o d 平分角 a o c。 好， 我先给他标注上是两点，两点，两点，也就是这个两点的线是这两条两点线的角平分线。 大家给出角 a o c 等于六十度，那它是不就是三十和三十，对吧？它要求的是谁？它要求的是角 a o d， a o d， ok， 直接出来了， b o c， b o c， ok， 好，那 b o c 的 话，我们直接是给出的 b o c 的 话，是不是跟 a o c 互为补角，对吧？好，所以这道题的话，它是有一定的，它是有一定的一个步骤，明白了吗？首先解 有题可得。好，老师只告诉大家一个点，一定要记住，只要看见平分角，必须必然要出二分之一。 ok， 有 题可得。我，首先我们先看 o d 是 平分， 平分角 a o c。 好， 我们先看第一小题，他又给出是什么？给出是 a o c， 角 a o c 等于六十度， 所以因为他这其实看见没有，有平分了，所以说我是必须要出来的。他问的是 a o d， 所以 角 a o d 是 不等于二分之一。角 a o c， a o c， 这时我们是不才能出二分之一乘以六十度，一定要记住，只要出来角平分线，第一时间我们必须要出什么？出二分之一的， ok 了吗？好，然后的话， 嗯，然后后边的话，他他剩下的后边我就不说了哈，因为这道题我们上面有解析，解析自己看就行，后边步骤没有什么太多的要求，但是我老师主要讲一下，这个，明白了吗？叫平分线的话，你必然要出二分之一的，听明白了吧？ 好，然后我们再看第二小题，第二小题我们看一下角 a o d， 角 a o d， 因为现在的话，这两个三十度就没用了啊，这两个三十度没用了啊，这样，因为这两个三十度，现在两个三十度的话是第一小题的条件，我们就跟我没关系了，现在它大题条件是只有一个角平分线， 我们再看角 a o d 和角 d o e 互余， a o d 和 d o e 互余，说明什么？说明角 a o d 是 不是加角 d o e 是 不是等于九十度了， 这也是一个条件，明白，你必须得，你必须得这道题，如果这道题是有步骤分的哈，你必须把这个条件转换出来，因为互余，所以什么这个角加这个角等于九十度， ok， 呃，我再说一下哈，不走的话看解析就好。好吧，老师只讲一下关键点，拿分的关键点。首先因为拿分的话，因为它互余，所以角 a o d 加上角 d o e 等于九十度，只只转化出来条件继续，所以角 a o e 等于九十度，这也是转化条件，这个，这就是这个条件，转化条件，没有这个条件，你不走分直接会扣的， 记住，一定要记住这个，明白了吗？然后我们再看后边的，且角 a o d 等于三分之一，我们先找 a o d 等于三分之一角什么 a o e， ok， 那 这时是不就出来了，对吧？又因为它，所以是不是角 a o d 是 不等于三分之一乘以九十度是不等于三十度，我们就可以出条件了。 ok， 好， 我们再看他问的什么 c o e c o e 的 话，因为有角平分线，看见没有？这道题有角平分线，所以说现在 a o d 等于九十度，那 c、 o、 d 是 不？ a、 o、 d 等于三十度， c、 o、 d 是 不也等于三十度？ 那角 c、 o、 e 是 不就等于九十度？减去什么？减去二倍的角， a、 o、 d 等于三十度，一定要记，这道题的重心在于这里。 ok， 注意注意，看见弧于九十度出来，只要见到九十度，第一时间先先确定角两直线垂直，或者是这个角等于九十度。这道题问题就在于这里。 ok， 细节的话看解析好吧？ 好。然后的话，二十题，二十题，这道题它就一个重心，就一个重心， e、 f、 e、 f。 因为这道题首先我们先看它给出来的是什么？这道题它给出来的是 ab， ab 等于二十，是 ab 的 长度告诉了，然后它告诉了 cd 是 不等于四， 这个时候我们再去观察，他会说什么？他说 c、 d 在 c、 d 在 线段 ab 上运动， e、 f、 e、 f 分 别为谁？ a、 c ok， 也就是说 e、 e 是 不是为 a、 c 的 终点？ f 呢？是为 b、 d 的 终点，画个圈。 ok， 这两条边是不是相等？ b、 d 终点？那紧接就来了，它在线段 ab 上， c 是 不在线段 ab 上运动，它说判断 ef 的 长度是否会发生变化。 那首先我先问你个问题， ef 是 怎么来的？ ef 是 不就等于什么？看这里， ef 是 不等于 ec， ec 加上 cd 加上 d、 f 得来的，这个没有问题吧。好，然后我们再看 ec 等于什么？ ec 是 不等于二分之一的 a， c 是与不是？ e， c 是 不等于二分之一的 a、 c。 因为 e 是 a、 c 的 终点， a、 c 是 不等于二分之一的 a、 c 没毛病吧？继续， d、 f 是 不等于二分之一的 b、 d 加上 c， d 加上 d、 f、 d、 f 是 不等于二分之一的 b、 d， ok， 没问题吧？好，我们继续。它是不是就等于二分之一的？什么 a、 c 加上 b、 d 加上什么 c、 d？ 是 不是已经告诉是不等于四？是不加上四？没问题吧？我们继续。那首先问一个问题， a、 c 加上 b、 d 等于什么？ a、 c 加上 b、 d 是 不就等于？那是不等于二分之一的？什么 a、 c 加上 b、 d 是 不就等于 ab 减四？ ac 加 b、 d 是 不等于总长度减去这个四是不减四，再加上四，那是不就等于二分之一？什么？ ab 是 不等于二十减去四加上四， 那是不？最后等于多少？是不等于十二？他是，他是不是一个固定值？他是一个长竖向，是不是固定值？所以这道题我们就 ok 了。好吧，解析，然后看解析步骤，看解析，好吧，然后我们视频只讲思路，好吧， 然后二十一题，我只说一遍，这道题你给我写错的，呃，周六日找你算账，好吧， 好，然后我们看一下，我看一下还有哪道题哈。呃，这三道题，这三道题也是去看解析步骤，明白了吗？一定要记住看解析步骤，因为解析步骤的话， 嗯，解析步骤的话，基本上老师已经把该拿的分知道吧，哪些拿分？因为一定要记住，我多一次我都不会写啊，明白了吗？把该拿的分我们都拿上就完事了。好吧，主要讲一下这道题，最后一个，这个题，这个题 第四大题，第四题。好，第四题，首先我们先看题，他给出来的，先看他给出来的大题条件，一定要记住，先看给出来大，因为大题条件它是固定条件， 第一条它给出是什么？ o b， o c， o d 是 三条， o b， o c， o d 是 三条射线。 ok， 没问题。第二个， o b 平分角， a， o e， o b 平分角。什么？ a o e 大 体条件。好，大体条件，我给他用这个的标上， ok， 这是不是出来了？也就是这个两个点的线，是不是这两个点线的一个平分线？好，我们继续。 o d 平分角， c o e， o d 平分角， c， o e， ok， 那 现在我轻轻的写一下，好吧，是不？角一是不等于角二， 这两个角是不相等的。好，那我们现在已经大题条件标完了， ok， 好， 标完以后我们继续，我们看他给出的小题条件。第一个， a o b 等于七十度， a o b 等于轻轻的哈， 七十度标注。好，我们继续。好，我们继续。 d， o e， d o e 等于 二十度。是铅笔标注，那它等于二十，那它是不也等于二十？ ok， 然后会发现什么？看 aob 是 不等于角？ boe， 它等于七十，它等于二十，它等于二十，那它是不就等于三十？因为这是角平分线，这个角等于这个角， 这个角等于七十，这个大角是不也等于 b o e 是 不也等于七十？他俩确定了，那是他是等于三十了， ok， 思路我们就过完了，好吧，然后的话，步骤看解析，我再说一遍。步骤看解析，听懂了吗？ 好，那我们现在第一小题搞定了。好，我们把条件差了，为啥呢？因为这个条件是第一小题的条件，跟第二小题没有关系。明白， 我们继续看第二小题。第二小题他给出的是什么？ a o e 等于一百三十六度，我们先看 a o e 等于一百三十六度，那很明显的，这个角是不是就出来了？一百三十六除以二等于多少？一百三十六除以二是不等于六十八度， 因为这角平分线嘛，对吧？ a o b 等于 b o e 嘛？角平分线嘛？然后继续，问题又来了， o a 垂直 c o c o o a 垂直 c o 这是不直角了？直角的话，那这个角是不减，它出来了没有？这个角得多少度？我们看一下，这个角是不等于九十度？减，它是不等于二十二度？ ok， 二十二。知道了，问题又来了，来看 a o b 是 不等于 b o e， 它等于六十八，那这个大这个角看见没？这个角是不也等于六十八？六十八减二十二等于多少？是不等于？嗯， 四十六，对吧？那四十六除以二，这俩角数就出来了，是二十三，二十三。这道题是不又起火，又搞定了，是不又搞定了，明白了吧？又搞定了，解析，看步骤，哎，步骤，看解析， ok， 好，然后我们继续。第三小题，我的图呢？嗯，稍等一下啊，这样好讲题， 嗯，这样是不就能看见两阶梯了？然后我们把它叉了，好，继续把图留下。继续，我们先看它给出来条件，叫 d o e 等于二十度，叫 d o e 等于二十度，它是不等于二十度？出来了，好，它，然后继续，那它等于二十，那它是不也等于二十？ ok， 然后它先给出个条件看看。看条件啊， a o e 这个大角， a o e 加上角什么？ b o d 等于二百二十度， 缺啥？只要只要测这个角，你看 a o e 加 b o d 等于二百二十度，是不是没有？没有无头苍蝇了？教你个方法，来这里给他上个 x， 那 这个角是不就是 x 加上四十， 对吧？ a o、 b 是 不等于 b o、 e 吗？那我现在可不可以测 b、 o、 c 为 x 度， 对吧？那则 a、 o、 b 是 不就等于 b o、 e 是 不等于 x？ 加两个二十度是不加四十，那现在是不就搞定了？那 a、 o、 e 等于什么？ a o、 e 是 不等于二 x 加上八十， 对吧？那 b、 o、 d 等于？说吧， b、 o、 d 是 不是 x 加二十？那它们都加在一起是不等于二百二十度了，这道题不就搞定了？你求出 x 以后，这道题是不就全完事了， ok 了吗？这道题比较简单，明白吗？就没事干，你给老师，老师给你给大家建议，没事干，就像这种题，把 x 带进来玩就行了。 ok， 好，然后今天只讲思路，明白吗？因为这个的话，呃，因为大家这几何题，几何图形题都没有开吗？然后今天的话，就是先把思路我们先捋明白了，明白了吧？嗯，好嘞。

孙老师一讲，豁然开朗。今天进入新专题，也是本学期最后一个专题角度计算。有了线段计算的方法基础，我们接下来要做的 就是发扬光大，锦上添花。在进入角度计算推理专题讲解之前，我们还是把整个专题的逻辑做一个介绍。 那么角度作为线段之后的第二个专题，他的难度会比线段上一个台阶会多很多元素啊。你比如说第一个基础知识板块角度呢？他有个单位，他不像线段，相当于就这个长度， 那这里边的单位的换算和度数的计算属于到基础知识了。然后和线段一样，角度中也存在大量的等量关系，而且他的等量关系更多，他增加了互余和互补。而平分， 我们线段里面也有，线段里边叫线段中点，而角度里边叫角平分线，所以它的等量关系会比线段多。然后常规的计算推理推理的方法和线段非常像， 你要想办法把题目条件和等量关系在图上做标注。那么标注的时候的技巧，我们也去画弧线，但是弧线不交叉不重叠，但他因为是角度，是旋转的， 他是一个从内到外，小角在内，大角在外，这么画弧线，最后实现错落有致，条件你也标上去了，等量关系你也标了，而且还不拥挤。然后利用等量关系，你就能直接算角度的大小。这是我们讲常规计算的 那例色，是另外一种类似于线段里面的无图必有坑，角也分为内外部分内讨论，当几何题没给图的时候，我们就要考虑分类讨论，这个时候就不是点在左右，而是设陷在角的内外了。 然后重头戏仍然是设餐，那你设一个餐和设双餐方向都是通的。 我们的目标仍然是选择合适的角度去设，参考用你设的未知数去表示其他角度，这个题就很快出来了。最后，角度里面还有一种特殊的等量关系，我们称它叫叠角， 它很类似于小学生学的两根小木棒重叠绑在一起，那么总长度等于两根小木棒减去重叠长度。而叠角类似于一个黄色的角 和一个蓝色的角，他们中间有一个重叠部分，那这个大大的角应该是等于黄色加蓝色减去 重叠的角，所以它是一个特殊的等量关系。好，第一部分我们还是从最基础的角的度量单位开始学起啊。如果你已经学过，你可以划过去啊。 那角的度量单位最常见的就是度，那比度更小点的，我们称它叫分，再更小点的叫秒。那这三个单位一出来，你就感觉它和什么很像，和那个时钟时间啊，小时分秒。 而恰巧他们之间的净率，你像一小时等于六十分，一分等于六十秒，这个净率也是模仿时间的，因为我们在规定一度等于多少的时候，他就是类似于圆盘啊。 我们将一个周角三百六十等分，每一份就是一度的角，记作一度， 再把一度的角在干嘛呢？这时候就不是三百六十等分了，是六十等分，每一份叫做一分的角，记作一分，打一个撇啊。 然后把一分的角再六十等分，每一份叫做一秒的角，记作一打两撇读一秒啊。所以它是根据这个时钟和角的定义来的，那这背后的历史来源你可以自己用 ai 搜索一下，很好查。 下面一个角 a 的 度数是四十八度、五十六分、三十七秒，那他就记作四十八度、 五十六分、三十七秒，度分秒第一到具体的单位换算和计算了啊，那还是一样，我们抓一个东西，一度等于六十分，一分等于六十秒，你就跟那个十分秒对应上。 那第一个，十八度十五分等于多少分？十五分和这个分是一样，不需要再画，只需要把十八度变成分，也就是十八乘六十，再加上这个十五分就够了，等于一零九五。 第二个注意，你看这个区别，这是十八点一五度，这是十八度。十五分，他不一样，这个零点一五也是度，所以他要想变成分是整体十八点一五乘六十。 你看这两个区别啊，分分我不用动，加十五，十八度本身乘六十，那我点一五也是度，所以我整体乘六十，算出来是一千零八十九分，不一样啊，所以你别光看数字了，它这个含义不一样。第三个， 十八点一五度等于多少度？多少分还是一样，这个度是相同的，那整数度就仍然是十八度，只有多少需要换成分呢？就这个零点一五度不满一度嘛。那零点一五度等于多少分呢？ 从度到分成六十，零点一五成六十等于九，那就是九分，所以这就是九分。它类似于小学的， 你比如说一点五米等于一米，多少厘米呢？你是把零点五米不够一米的单独画成多少厘米 这个意思。第二个，二十五点七二度等于多少度？多少分？多少秒。那还是一样，我先找相同的单位。二十五度嘛，整数够就是二十五度。那零点七二度我要把它化成分和秒，它等于多少分呢？ 从度到分成六十零点七，二乘六十等于四十三点二，那也就是四十三点二分。这时候你就发现了， 他分里边还带小数。没关系，我层层递进，这四十三分是够整分的，这四十三还剩多少呢？零点二分再把它换成多少秒，还是乘六十零点二乘六十十二秒， 所以单位换算，抓住它整体带的是什么单位，然后相邻单位之间的净率都是六十。要区分这个小数和这种写法不一样啊。第二，这种题一般当填空题啊，用来口算的啊，我就不写那个解决这种我直接算了。 好，以他为例，四十九度三十八分加六十六度二十二分。那我们本能的，你把分和分加起来嘛，三十八加二十二刚好是六十分，四十九加六十六是一百一十五度。 这个时候你可别停在这个状态啊，满六十要干嘛？进一啊？所以六十分刚好等于一度，那也就是一百一十六度了。第二个，一百八十度减七十九度十九分，这时候你发现度好减，我这个分他没有啊，咋办呢？ 没有，就跟小学的计算一样，不够你找前面借。所以我可以多写一步，我先把一百八十度变成一百七十九度，六十分跟他反过来，你看，反过来了， 借一，当六十，再减七十九度十九分，等于刚好一百七十九度，减七十九度，还剩一百度六十分减十九分，还剩四十一分。第三个 前面两个已经给我们方向，就是度和度在算，分和分在算。那一样啊，二十二度十六分乘五，我也把度乘了五，再把分成五分开算， 那二十二乘五是一百一十度十六分成五，这是八十分。没关系啊，中间过程我就写在这，然后我满足 满六十进一，那八十分往先进一个，一百一十一度还剩二十分。这么写没问题啊，因为这是中间过程帮你推理的。那有了乘法，除法就一样啊，先把一百八十二度除以四， 这个时候你会发现一百八十二除以四，他除出来是个小数，能除的进啊，我就先写小数了， 是四十五点五度，三十六分除以四是九分。那为什么不能写这个格式啊？你看下这，你要么是整数的度和整数的分，要么是整体就带一个度，这可以放小数。 你不能又放小数的度，又带整数的分，因为这个点五度他也可以换成分，所以统一下格式干嘛呢？四十五度我留下来零点五度 写旁边多少分？他不就是三十分吗？乘六十是三十分吗？那三十再加这个九分，就是三十九分。当然这个题算法不止这种啊，但是这样写是比较舒服的啊， 你甚至还可以怎么思考。一百八十二度除以四不好除，只有一百八可以除，我可以改成一百八十度，然后这个两度给谁呢？给下面这个分。 两度是一百二十分吗？那加起来就是一百五十六分除以四，这时候你看一下，把两度换过去，一百八十除以四，四十五度，一百五十六除以四三十九分也可以啊，关注梳理黑板，现在下课。

沈老师一讲，豁然开朗，有两队人马打成一团，如何快速区分？请穿上红衣服与绿衣服，在角度里边就是射双餐。第六，射双餐。 什么情况下设双餐？往往是因为未知的角太多，而且你大概能分为两组角啊，这之间很复杂，不好表示，所以我想要设两种未知数。好，以这个题为例啊，如图，从点 o 引出来六条射线，这个线很多了， 且 a、 o、 b 是 八十五度。好，先标了，这是个单独的角，八十五度， e、 o、 f 这个角就比较大了，大的角我们标往外标是一百五十五度， 然后给了 o、 e、 o、 f 是 两根角平分线， o e 平分 a、 o、 d 在 这， o、 f 平分 b， o、 c 在 这。 没了，让我们求 cod， 你 看这个数，这两个相等的角不知道，这两个呢，也不知道。中间这个 cod 呢？也不知道，那不知道的太多，而且整个转一圈三百六，这种感觉，所以我想到去设餐， 而且一设它们两个，你发现你光设了 x， 你 影响不了这儿，因为你这个 c、 o、 d 也不知道，搞不过去，所以我把它们俩也设作 y， 那 这个时候角 c、 o、 d 就 出来了，那 c、 o、 d 不 就是一百五十五减 x 减 y 吗？对吧？而且我还得到啥， 整个一圈三百六，因为只有三百六才能把这个八十五，一百五十五用起来。一圈三百六，它等于啥呢？是一百五十五加 x 加 y 加八十五，我写在这啊，幺五五加 x 加 y， 再加八十五，整个这一圈等于三百六，这个时候谁出来了？ x 加 y 出来等于一百二， 那够了，那 c、 o、 d 你 刚好是一百五十五减 x 减个 y， 也就是说角 c、 o、 d 等于一百五十五度，减 x 减 y 不 就是一百五十五减一百二等于三十五吗？ 所以我实现什么效果？第一，我设两个差，第二，我用上了整体思想。啥叫整体思想？就是我并不需要算出来 x 是 多少， y 是 多少， 他们俩具体多少你算不出来的，但是这个整体的和是一百二是确定的。好，下面我来写一下格式啊。 由于我们是从平分开始的，两组平分又是同样的属性，所以可以同时写出来，不用分开写啊。因为 o、 u、 f 分 别平分这两个角，所以好注意省个事，不要只写了相等，只写相等，你一会还得再设一遍。把相等和设同时写， 直接设两个相等的 v x， 另外两个相等为 y， 然后下一步干嘛呢？不着急求 cod 啊，因为 cod 最后算是用了一个三百六，从图上得到三百六，直接写等量关系。 因为 a o b 转圈加 a， o e 加 b， o f 加 e， o f 等于三百六从图上得到的等量关系，所以代入就把 x 和 y 的 方程给列出来了，那自然就得到 x 加 y 等于一百二十度了。最后一步 角 c、 o d 就 出来了啊，还是一样把等量关系写出来，等于角 e o f 减 角 d o e 减角 c o f， 也就是一百五十五度，减 x 减 y， 自然就等于三十五度了啊。所以总结，什么时候考虑到射双参两个字母？就是当你射完它们俩之后，你发现 你这个角不知道这两个，你更不知道你很难搞的时候，我干脆是设两个， ok， 当然这个题设一个也行啊，但我觉得不够简洁，我试一下啊，你比如说这是 x， 设完 x 之后，我直接用三百六减八十五减它，减它，然后把它用 x 表示出来也可以，它多少呢？ 你算出来应该也是一百二十减 x 也行，那这边也是一百二减 x， 那 这也能出来， ok， 但我个人喜欢吃两餐，舒服快。第二题， b o c 在 角 a o b 外部 a o c 和 b o c 互为补角啊，这个条件你暂时不好用啊，因为 a o c b o c 啥都不知道啊。 然后 o d 平分 a， 我 先把平分给划， o d 平分 a o c o e 平分 b o c。 注意，大的这个关系往外划，小的往里边划，这样错开啊， 好，没条件了。下面看两个问题啊，哎，你会发现，第一小问是等于百度让你求 d o e， 第二小问等于 n 度，也让你求 d o e， 说明这个 d o e 和这个 a o b 啊，之间一定有关系的。 ok， 好， 回到这个图上啊，我先把这个相同给用上，那啥都不知道，我肯定选射 x x 啊，对吧？而且这个 b o d 也不知道，因为他不知道你这个大小就没法表示，所以我再设一个， 我再设一个，这不就都能表出来了吗？这一半 c o d 就 变成了二 x 加 y， 那 a o d 也是二 x 加 y， ok， 然后你看第一问的条件，如果 a o b 一 百度，那角 a o b 等于啥？根据我的色差， 那不就是二 x 加二 y 吗？二 x 加二 y 等于一百度，那 x 加 y 不 就等于五十吗？ 然后你会发现，哎，直接出来了， d o e 不 就是一个 s 一个 y 吗？那角 d o e 就 等于 x 加 y 等于五十度，非常舒服就出来了。 那第二位你有了第一位的铺垫，第二位其实没变化，就这个题，你甚至把第一位位不做，直接干第二位，把 a、 o b 换成 n， 但是你这个差的关系没有变啊。二 x 加二， y 等于 n 度，那 x 加 y 不 就等于二分之 n 度吗？那 d o e 一样的出来，还是 x 加 y， 因为图没变，就等于二分之 n 度结束。当然这个题这句话他没用上啊，不影响，反正我能做出来，用它呢？其实能把 x y 给算出来。第一问啊，能，其实能算出来，这是没必要了，我已经算出来设两个三，非常舒服了。 第三题，如图， a o b 一 百二十度啊，你从这个图上你能看到它是一个，整个三百六十度， 也比较舒服。然后来了 d o f 是 三分之一 a o d， 这是 d o f 这个数， a o d 我 就不要标了，我标谁呢？我标 a o f， 它们俩是一个一比二的关系，因为 d、 o f 占三分之一嘛，那么 a o f 就 占三分之二，还有 bo e 是 bo c 的 三分之一。类似啊， bo e 是 一份，那么 c o e 就 得占另外的两份。你可以标这样两个线做个标记啊， 然后求 a o f 加上 c o e。 如果你的分数计算比较好，你其实也能口算出来啊，但不好写格式。咱们干嘛呢？用设参 设，他是 x， 那 他就是二 x， ok， 你 可以用一个差，你比如说三百六减其他一堆，然后呢，除以三这一份，这是两份。那我更喜欢设两个差， y， 这是二 y， 这样一标等量关系非常明显的，整个一圈是三百六十度，那也就是 三 x 加上三 y， 再加六十，再加一百二，等于三百六了，那口算都出来了， x 加 y 等于 六十度，那 a o f 刚好多少？二 x 角 a o f 加上角 c o e 是 等于二 x 加二 y， 那 不就是一百二十度？格式我不再写了，因为跟前面的题非常像啊。最后做总结， 设两个参的好处在哪？第一，两种隔得比较远的角度，他们之间内部有关系，这个时候我选两个参就很容易表示，然后等量关系写写也很顺，最后求的也很顺。 最后，我们设参的核心目标是能把题目中所有的角用这些参表示出来，只要你能表示出来，一定会有等量关系，让你去列方程就就能算出来了。 至于你是能不能算出来一个 x 或者是一个 y 不 重要，我只要能算出来一个式子，哪怕它是 x 加 y 够用就行。所以我们也称这种叫整体思想设，而不求我设了 x， 但我并不一定非要知道 x 是 多少啊，我整体计算， 光听不练，手痒痒。我们准备了十三面的配套训练和视频，完美配合，快来领取吧！关注，树立黑板，现在下课！

大家好，我是陪娃学数学的老爸，今天来分享一道七年级数学几何图形的题目。 这道题常规解法是需要我们通过空间想象将表面展开图还原成正方体，从而确定各点的位置关系。但是如果实在想象不出，我们也是可以利用平面图形进行解答的。 这道题是已知正方体的表面展开图，问，折叠成正方体后，距离顶点 a 最远的点是哪一个？ 如果我们能够通过空间想象将展开图还原成正方体，并确定各点的位置，那么就可以找出与 a 点相对的 c 点距离 a 点是最远的。 但是这样的想象还原对孩子来说还是有一定难度的，而且各点的位置也不一定能匹配的准， 那我们看一下能不能利用平面的图形进行解答。正方体中， a 点对角的点是离 a 点最远的，这个点所在的三个平面与 a 点所在的三个平面是没有重叠的， 也就是只要找到不包含 a 点的三个平面，他们的焦点就是离 a 点最远的点。 我们可以在平面展开图上找一下对应的面。很明显，图中已经给出了一个包含 a 点的面，他下方的这个面在折叠后肯定是不包含 a 点的。 再看一下绿色的两条边折叠后是重叠在一起的，所以绿边下方的平面折叠后也是不包含 a 点的。 再继续分析，粉色的两条边在折叠后也是重叠在一起的，那么粉边下方的平面折叠后就是包含 a 点的。同样，红色两条边折叠后是重叠在一起的，红边下方的平面折叠后包含 a 点， 那么剩下的一个平面就是折叠后不包含 a 点的平面。我们找一下这三个橙色平面的焦点，就是离 a 点最远的点， 因为折叠后蓝色的两条边是重叠在一起的，所以找到 c 点就是三个橙色平面的交点，也就是离 a 最远的点。还有一种解法，正方体的顶点可能会在表面展开图的不同位置， 我们将 a 点在图中的其他位置也标出，观察他与其他点的距离关系。 根据各条边重叠的对应关系，粉边和红边相交处就是 a 点的另一个位置，这样就可以看出 b、 c、 d、 e 中 c 点离 a 点是最远的， 但是我们还要确认一下有没有其他位置的 c 点离 a 点的距离会近一些呢？ 因为蓝色边折叠后重叠就找到了 c 点的另一个位置，此处的 c 点离 a 点的距离也是比 b、 d、 e 点更远的，这样也就确认了 c 点离 a 点最远的。结论， 这三种解题方法，第一种需要完整准确的空间想象，后两种是在平面图形上找对应关系， 你更喜欢哪一种呢？以上就是对这道题的分享，希望对大家有所帮助。