泉州初二数学几何压轴题

八、上数学压轴系列之几何中的折叠问题关于折叠问题，只需要记住一句最核心的话，折叠本质上就是轴对称变换。根据之前学过的轴对称变换的概念，即把原图沿着某条直线对折， 得到一个和它完全重合的新图形的变换过程，就叫做轴对称变换。那我们就可以知道，折叠前后的两个图形应该是完全一样，也就是全等。比如把三角形 a、 b、 c 沿着 a、 c 折叠成三角形 a、 b 撇 c， 那 这两个三角形应该是全等的。 有了全等这个基础，就能直接推出三个解析时可以秒用的结论。结论一，折叠前后两个图形的对应边相等。 比如左图中三角形 abc 折叠成三角形， ab 撇 c 后，原来的 ab 和折叠后的 ab 撇就是对应边，所以 ab 等于 ab 撇，原来的 bc 和折叠后的 b 撇 c 也是对应边，所以 bc 等于 b 撇 c， ac 是 这两个三角形公共边，自然也是相等的。 结论二，折叠前后两个图形的对应角相等。同样的例子，原来的角 b 和折叠后的角 b 撇是对应角，所以角 b a、 c 和折叠后的角 b 撇 a、 c 也是对应角，所以角 b a、 c 等于角 b a、 c。 结论三，折痕是折叠前后两个图形对应点连线的垂直平分线，对应点就是折叠后重合的点。比如这里的 和 b 撇，他们的连线是 b、 b 撇，而折痕 a、 c 就是 b、 b 撇的垂直平分线，意味着折痕 a、 c 垂直于 b b 撇，折痕 a、 c 平分 b b 撇，也就是说 b 到 a、 c 的 距离和 b 撇到 a、 c 的 距离相等。 ok， 以上就是折叠问题中最关键的几个结论，我们来做一道题，看看如何应用在三角形 a、 b、 c 的 距离和 b 撇到 a、 c 的 距离相等。 ok， 以上就是折叠问题中最关键的中点， ok， 以上就是折叠问题中点 d 边的中点 连接 b、 d 把三角形 b、 d、 c 沿 b、 d 翻折，得到三角形 b、 d、 c 撇，把这个三角形沿这条边翻折，得到这个三角形。所以根据折叠的性质，我们知道这俩三角形应该是什么全等。还有一组条件，若 a、 d 等于 a、 c 撇等于二， 这条边和这条边相等，都等于二， b、 d 等于三。求 b、 c 边的长，让我们求这条绿色线的长度，同学们可以暂停视频先思考一会， 一起来看一下。根据题干当中的条件，点 d 是 a、 c 边的终点，所以 d、 c 和 a、 d 边相等， 它也等于二。我们又知道三角形 bdc 和三角形 bdc 撇是通过翻折得到的，所以根据翻折的性质，对应角相等，对应边相等，所以这俩角相等， dc 和 dc 撇也相等，所以 dc 撇 也等于二。哎，那这样子我们就又有了一个重大的发现，同学们看这条边，这条边，这条边，它们都是等于二的吧。 所以这个三角形 a、 d、 c 撇原来是一个等边三角形，既然它是一个等边三角形，那么这个角它就等于六十度。那刚才根据折叠的性质，我们又知道这俩角相等，所以它们分别也都是六十度。 现在让我们求的是 bc， 那 根据翻折的性质， bc 和 bc 撇是相等的，所以假如我们能求出这条线段的长度，那也是可行的吧。 那接下来这条线段，或者说这条线段到底应该怎么求呢？如果同学们仔细听了我们刚才对于这个折叠问题的描述，那么我相信大家一定能够想到一条辅助线，就是什么 连接 c c 撇，连完以后，我们就能得到这个 c c 撇和 b d 是 垂直的焦点呢，我们把它记作 m 点。 原因前面我们也解释过了，折叠的本质是轴对称变换，所以折叠后除了得到对应边相等，对应角相等，那么折痕是对应点连线的垂直平分线。 这个结论很多时候都是解析的关键。比如说对于这道题，假如同学们能够想到连接 cc 撇，那么这道题基本上就已经结束了。 看，连完以后，这里出现了一个直角，那么有了这个直角，我们再能求出 c 撇 m 和 b m 的 长度，那么根据勾股定律，很快就能算出这个 bc 撇的长度吧。 这里等于六十度，这里是直角，那这个角它就是三十度，那根据三十度所对的直角边是斜边的一半，所以 dm 它就等于一， 那 dm 等于一。利用勾股定律，我们又能算出来这个 c 撇 m， 它就等于根号三。再看 b d 的 长度，我们又知道它是等于三的，那 dm 等于一，所以 b m 等于二。这样的话，在直角三角形 c 撇 b m 当中，两条直角边的长度都有了， c 撇 b 的 长度也就出来了啊。 c 撇 b， 它是等于根号下 c 撇 m 的 平方，再加上 b m 的 平方，算出来等于根号 七，所以这道题我们要求的这个 bc 的 长度，它就等于根号七。好，那通过这道题呢？希望同学们对于这个折叠问题的常见结论一定要牢牢掌握， 尤其是这个第三条折痕式对应点连线的垂直平分线，很多时候都是我们解题的突破口。 ok， 那 这节课就讲到这里，拜拜。

恋爱可以不谈，但是数学必须每天都学。我之前的视频给大家分享过两个做辅助线的技巧，一个是一线三垂直，一个是构造手拉手。大家在看题目的时候，顺便给大家推荐一本我橱窗的书，这本书的特点是特别的全， 每一个套路讲的特别详细，比如说这个幺二三四五模型，前面是对模型的介绍，紧接着是例题，如果例题没有看太懂，后面还有便是训练，每道题都有详细的解析答案，就连学校不讲的这些公式套路全部都有。如果你懒得去后台下单，也可以直接私信我说简购啊，给我来一本。

费马点求最值！一定是我们初二几何最值问题当中考频最高但得分极低的一类最值问题。 这类问题如果一旦再遇上加权费马点，可以说百分之九十五的孩子都拿不到分来。同学们，今天薛老师带你用一道题，彻底通透初二阶段常考的费马点三种形式。好吧，我们先来一起读下题。题目是这样做的， 他说 a、 c、 b 呢，这个角度等于六十度， a、 c 边等于四， b， c 边等于二倍根号三。好题目呢，最后求的是 p a 再加 p b 以及根号二倍 p c 啊，根号二倍这个边，这三个边之合的最小值应该等于多少？ 徐老师已经把初二考试中所涉及到的所有最值类压轴题型进行汇总总结，再结合往年考试真题，优中选优，整理成了初二最值必考十大题型，练完考试轻松拿下最值专题。需要的家长我发您一份。 好来，同学们，哎，我们在学习这个加权费马点之前呢，我们先来简单学习一下最基本形式的费马点，它是如何构造的。好吧，来，我们先看第二幅图来。第二幅图呢，同样是在三角形 a、 b、 c 当中呢，哎，它的内部有一个 p 点， 求这个 p 点到三个顶点距离之和的最小值等于多少，也就是我们的 b p 加 c， p 加 a， p 的 最小。 我们观察会发现哈，此时三个边的比值正好为一比一比一，对吧？那什么又叫做加权费马点呢？哎，就是当其中一个边、两个边或者三个边系数不为一的时候，你看， 比如说 pc 的 系数为根号二，这个时候呢，我们边的系数发生了加权，它就变成了我们的加权费马点。好，这个是我们的加权费马点，这个是我们最基本形式的费马点，它们的构造方式呢，很相近哎，略微角度有所不同哈。来，我们先来学习第一个最基本的， 那么我们观察一下 b p、 a p、 c p 这三个边，它是什么共顶点的，那如何去求最小值呢？来，我们联想到我们之前学习过的将军一马，将军一马是通过做轴对称，把我们的边转移成这样的 首尾相连的折线段之和最小值，对吧？然后呢，哎，根据两点之间线段最短，找到我们的最小。 那么将军印码是通过做轴对称，那我们的废码点呢？另一种方式通过旋转，那如何旋转呢？我们来分析一下。 首先你可以观观察到哈，此时我们有三个三角形，一个是 a b p， b c p 和 a c p， 那 么这三个三角形我们都可以旋转啊，你随便选择一个，但是呢，都是往大三角形 abc 的 外部去旋转。好吧，那比如说我选 a c p 啊，怎么转呢？来旋转的度数跟我们的比值有关系，比值不一样，度数就不一样。那么如果你看系数没有发生任何变化， 那这个时候呢，我们就转六十度啊，我们来试一下会怎么样？转六十度，你看，哎，先把 c p 绕着 c 点往外转六十度， 这个是我们的细点。好，再把 ca 也绕着 c 点往外转六十度。 ok， 这是我们什么？这是我们的 m 点，再连接细 m， 你 会发现这两个三角形，它不就是全等的吗？好，我把这个边设为小 a， 这个边呢，也是小 a 对 应边相等嘛，对吧？哎，全等对应边相等好，这个边为 b， 这个边为 c， 那 这个对应边也是为 c， 那 中间的旋转度数又等于六十度来，所以连接 p t， 我们就会发现有两个腰相等，中间又有个六十度，他应该是最特殊的等边三角形，那么三个边都应该相等等于 c， 你 看，所以这个时候呢，我们往外转六十度，就把我们三个共顶点的线段转移成了 首尾相连的线段，然后呢，最后根据两点之间线段最短，找到我们的最小值 啊，不就出来了吗？对吧？好，这是我们的最基本形式的费马电哈。总结一下，哎，就是把三角形往外转，因为这个时候边长没有发生任何变化，所以呢，我们转六十度，那如果加权费马点系数不为一， 那怎么办呢？好，来，我们来分析一下哈，那么如果系数不为一，你看这个系数为根号二。根号二，大家熟悉吗？ 哎，看到根号二，我们应该立马想到，学了勾股定你之后，咱们在直角三角形当中来，如果只要出现哪个特殊角，就一定会有根号二这个系数产生， 哎，只有一个，就是等腰值四十五度，对吧？它的比值为一比一比根号二，你看，没有，一比一比根号二，所以这个时候哈，哎，我们的根号二是我们的长边，对吧？这个一份是我们的短边，那我要去构造根号二倍的 p c， 那么这里面的 pc 边对应出来就应该是我们的直角边，对吧？短边嘛，根号二倍的短边，这个整体才是我们的 斜边，大家听懂没有？好来，所以呢，哎，根号二倍的 pc 应该是等腰直的斜边， pc 边呢，应该是我们的腰，就是我们的直角边。 好来，所以这个时候呢，我们分析出来了，应该转多少度呢？应该转九十度啊，转九十度，好，我们一起来转一下，那 p c 正好在 a c p 这个三角形当中啊，当然也在 b c p 当中啊，你随便转哪个三角形都可以啊，比如说我转 a c p 转多少度呢？ 转九十度，而且呢，往外转九十度好，转九十度，你看 c p 往外转九十度， 对吧？好，我的 a c 边呢，也往外转九十度啊，转了九十度之后， 这个是我们的 c 点，这个是我们的 m 点来连接线，那么这个时候它们俩全等的啊，全等的好来，这个边我是为小 a， 那 么这个边也是小 a 啊，这个边为小 b， 这个边呢也是为小 c， 只是中间呢，由之前的六十度转成了九十度啊，连接 pt， 你 看 等腰值不就出来了？说 p c p 为我们什么直角边？幺，那么根号二倍的 p c 不 就是我们的 p t 这个斜边吗？ 那么所以这个边就是根号二倍的 c， 哎，同样把它转移成了首尾相连的折线段之合，求最小，那么根据两点之间 线段最短，连接 bm， 就是 我们最小值啊，最后去求 bm 就 可以了，那如何求呢？接下来就是解三角形了，找一下有没有特殊角呢？这里面当然有啊，你看这个角高度，这角是六十度， 这个角也是九十度，那么它不就是一百八角，一百五十度啊。 a c 边等于写这个为四啊， dc 边，这个边等二倍，根号三，那这个边也是为四，大家看到没有？ 四二倍根号三一百五，那么所以看到一百五补出来零补角就应该等于三十度，哎，再过 m 点做垂线，用勾股去求就可以了啊，这个是 f 点，这个为四，三十度，对边等于斜边一半，这个为二呀。 啊，这边为二倍根号三，求 bm 是 不是斜边用勾股吧，这个边就应该是我们的四倍根号三，这个直角边又为二，所以 bm， 哎，等于他的平方四倍根号三的平方就是四十八，再加二的平方四等于多少？根号下五十二等于根号下四乘以十三等于二倍，根号 十三。最最终答案呢？等于二倍根号十三。好，这道题呢，我们还可以继续变形啊，可以继续变形，怎么变形呢？哎，变形是多少？变成把这个根号二变成根号三， 大家可以思考一下，如果变成根号三，那么还是一样的往外转，那转多少度呢？根号三，来，我们想到什么？同样是在什么？在一个咱们的等腰三角形当中， 他的顶角，哎，顶角等的等于一百二十度，好，这两个角呢，等于三十度，哎，对于这个凸三角形，我们的比值也知道为一比一比根号三，你看到哎， pc 为幺，哎，如果是根号三的话，根号三被 pc 同样是我们的 b 边啊，所以呢，我应该什么把这个 pc 往外转一百转，这里是一百二十度， 对吧？这是我们的系列好连接。 ct 又出来了吗？它为一百二，那么所以这个边是根号三倍的 pc， 听懂了吗？好，这是我们的加权费码。点来关注徐老师数学满分不迷路！

各位同学家长大家好，我们今天来学习全等的辅助线构造接长普短法。 好，首先我们来读题目，那第一题的话，是一个问题提出，所以它的难度会小一些。好，我们把题目的条件标在我们的图上， a， b 等于 a， c 有 一条边，还有两个垂直， a， c， p 等于 abp。 好， 那这样子我们就很容易发现三角形 a， c， n 会全等于三角形 a， b m， a s。 好， 那这样子我们就可以得到 c， n 等于 b m。 那问题呢，是问这三条线段的数量关系。那做到这样子的题的话呢，我们先从这里面找出一条最长的线段，我们会发现是 c n 最长，而 c， n 被我们转化成了 b m。 从图上看， 那 b m 又可以写成 mp， 加上 p b。 好， 所以就是这道题的答案。 好，我们再来看一下第二问， 把等腰三角形换成了一个等边三角形，并且给了一个六十度，还是判断三条线段的一个关系。 好，那当我们六十度出现的时候呢，我们就想着说，我们是要去截长补短，那当六十度这个条件再加上的时候，等啊，我们的补短好就会变成一个等边三角形， 我们把 d c 延长，延长多长呢？跟 b t 一 样长， 延长 d c 至 h， 使 b d 等于 d h， 那 这样子我们就可以得到三角形 b， d、 h 是 一个等边三角形， 而我们的 a、 b， c 也是一个等边三角形，那就出现了两个等边三角形，绕着 b 手拉手的一个模型，所以我们就可以很快地得到三角形 a， b， d 会全等于三角形 c， b h。 好，那所以我们就可以得到 a 蛋是跟 c h 相等的。好，我们还是从里面找到最长的那一条 b 蛋啊。 b 蛋由于等边的原因，咳 咳咳， 转化成了 d h 长，而 d h， 而 d h 又可以写成 dc 加上 c h， 所以 就是 c d 加上 a d。 好，那刚才我们是用到了一个补短的一个方法， 那这对这道题来说，还有没有别的方法呢？我们会观察到这个六十度的角， 它的两边分别为 b、 d 和 c d。 那 刚才我们是以 b、 d 为边构造等边，那我们想，我能不能去以 c、 d 为边构造呢？ 来试一下看 c d 六十度，那我们就去截取一个 t m， 那这样子我们就可以得到三角形。 c d， m 是 等边三角形，那它就可以看成是 c 旦 m 和 a c b 绕着 c 的 一个手拉手，那就可以很快地得到两个三角形全等。 我们还是去找到最长的边 b d， 它可以分成 b m 加上 m d， 而 b d 啊， b m 是 跟 a d 相等的， 有全等可得， m d 就 等于 c d。 好， 也可以得到我们的答案。 所以，嗯，在遇到几何题的时候，大家可以尝试一下一题多解。 那有的同学会说，呃，我能不能在上面去构造一个等边象形和 abc 手拉手呢？首先，如果这样子去构造的话，我们会发现 这个六十度我们没有用上，那我们没有办法去证明这个小的等边，小的三角形是一个等边三角形。好，那有同学说，呃，我可以根据四点共圆，因为这两个角都是六十度，可以得四点共圆 好，然后就可以得到 ab 蛋和 ac 蛋是相等的啊。如果有同学会四点共圆的话，你可以尝试一下这种做法， 如果你不会也没有关系，因为这个是初三的知识点。呃，我们的前两种的辅助线构造已经可以很好的解决这个问题。 好，那我们来再看一下第三问。 此时没有等边，只有一个等腰的存在， a b 等于 a、 c， 但是它有告诉很多的角度，比如说 e、 a、 b 是 六十度， e， a、 c 是 二十度，那这样子的话，我们就可以得到角一和角二相等，等 于五十度。另外 e、 b、 c 等于三十度。好，当我们发现这个六十度出现的时候，我们还想着说用它继续去构造一个 等边三角形，我们延长 a b， 使 a h 等于 a e， 那 这样子我们就可以得到 a、 h， e 是 等边三角形。 把度数标上去，那因为我们可以得到角一是五十，再加上三十是八十，所以我们可以得到这个角三，这个角就是二十度， 那么角四这个角就是四十度。好，那他问的是 a e、 c， 那 会发现我们构造的等边跟这个问题还没有关系，所以我们继续去构造。 因为我们这里有一个四十度角，那么我们在这个地方也构造一个四十度角，那这样子旁边就是二十度，这个我们管它叫 m， 我 们就说截截取， 我们就说在 b e 上 取点 m 是 角， m， s， e 好， 也等于四十度，那这样子的话，我们就可以得到 a m 等于 m e， 那 又因为 a h 等于 h e， 且存在二十度的夹角，所以我们就可以得到三角形 h a m 全等于三角形， h e m 把边连接，那因为我们得到两个蓝色三角形是全等的，所以这两个角它们都是三十度。 好，那到现在还是跟我们的问题没有关系。好，那你认真结合图我们来观察， 因为这个地方有一个二十度角，而题目中他也有告诉我们这个二十度角，还有就是 a h 等于 a e， 那 目前我们如果要去正全等的话，已经有一条边和一个角了，所以再加一条边的话，我们就可以正得两个象形全等。那么 a c 和 am 是 否相等呢？我们已知的是 a c 等于 ab， 所以问题就会转化成 ab 和 am 是 否相等呢？那因为这道题是比较多角的存在，那我们通过倒角就会发现二十度，八十度， 那么这个角也是八十度，所以确实会发现 ab 是 等于 am 的。 好，那这样子思路就跑通了，来写一下步骤。 因为角 a b m 等于角 a m， b 都等于八十度，所以 ab 等于 a m 也等于 a c， 所以 我们就可以正得三角形 a h m 全等于三角形 a e c s s。 好， 那这样子 a e c 也可以得到 他的度数为三十度。所以这道题中有非常多辅助线的构造，当你 辅助线添加完之后，就会出现我们呃比较熟悉的全等模型。好，所以在全等这一节学习的过程中，呃，基础的模型大家一定要做呃掌握牢固。 然后第二个阶段呢，就是需要我们自己来添加辅助线，构造我们所熟知的模型。

八、上数学期末必考易错题全等三角形的角分线模型这是一道压轴真题， a d 平分角 b a c 角 b， a， c 等于四十度角， b 等于一百度 d， e 等于 db， 求证 ab 加 c， e 等于 ac。 这道题考的是角平分线模型的三种辅助线，应用这个视频， 老师彻底教会你这三种模型的辅助线构造，再配合我整理的初中几何必刷题，包含了经典的压轴题型， k 字模型、手拉手模型的构造等， 给孩子练习，轻松搞定压轴题，我们一起来看这道题要占的是线段之间的和差辈分关系，那我们应该想到的就是截长补短这种辅助线，又结合 题目中有角平分线，那应该先复习一下角平分线。经典的三种对称型的全等，第一种叫 做角平分线，垂两边，角平分线的点往一边去做垂线，那我应该马上往另外一边去做垂线，构造一对对称型的全的，那第二种叫做角平分线，垂中间角一边上一点向角平分线做的垂线，那我应该顺势延长， 也可以构造出一对对称型的全等。那么第三种就是角平分线，斜两边，那我们在角的一边去找了一段 o m 这条线段，那我不妨在角的另外一边去 截取一段和 o m 相等，那么此时也可以构造出一对对称型的全等。那再回过头来看题目，这里没有垂直，那肯定用的就是第三种模型，那我不妨就在 a、 c 上去截取小 a 或者小 b， 那 由于左边是角平分线，那肯定截的就是小 a。 在 a c 上去截取一段 a f 等于 ab， 那 么此时连接 d、 f， 那 由于三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 f、 d 中 边是相等的，角是角平分线各分得二十度，中间又有一条公共边，所以这两个三角形用的是边角，边形的全等，那全等了以后，咱们将小 a 转化到底下了，那我只需要证明 f、 c 和 e、 c 相等 即可。要证明两条线段相等，又在两个三角形中，是不是就只需要证明这两个三角形依然全等？那只需要找条件。由于第一位的全等，咱们看到 b、 d 和 d、 f 是 相等的，而题目又告诉我们说 d、 f 是 等于 d、 e 的， 那所以已经有一对对应边是相等的，那么又有一对是公共边，那接下来 我们再来看角度的条件还没有用，这里是一百度，这里是二十度，那所以这个角由于内角和就应该是六十度，那由于全等三角，它的对应角应该也是六十度，那又会发现 b、 d、 c 是 一个平角， 那所以我可以知道它旁边的这个角也是六十度，而这个角 c、 d、 e 其实和角 b、 d、 a 是 对顶角，那它应该也等于六十度，那所以在这两个三角形中，边相等，角相等，又有一条公 公共边，那么这两个三角形也是边角，边形的全等，那我们可以继续把条件写出来。这里我们用到的是角 b、 d、 a 等于角 f、 d、 a， 那 么经过倒角的计算，我们就可以得到角 f、 d、 c 等于角 c、 d、 e 都等于六十度。 而又由于边相等，我们又得到 d、 f 等于 d、 e， 而 d、 c 和 d、 c 是 公共边，所以我们可以证得三角形 d、 c、 f 是 全等于三角形 d c e 的 边角，边形的全等，那所以就可以证得 e c 是 等于 f c 的。 而本来我们的 a c 是 等于 a f 加上 f c 的， 那么由于 a f 等于 ab， 而 f c 等于 e c， 所以 a c 就 等于 ab 加 e c， 你 听懂了吗？

初二期末必考的手拉手九大结论，今天明天老师一次性带大家彻底掌握考试，遇到必定多拿二十分。 前提条件， abc 是 一个等边三角形， a、 d、 e 也是一个等边三角形，并且 b、 a、 e 在 一条线上，那左手拉左手 b 拉 d， 右手拉右手 c 拉 e 来第一个结论，三角形 a、 b、 d 全部全等于三角形， a、 c、 e 呀， 好，这里是 a、 b、 d， 这里是 a、 c、 e， 这是我们熟稞熟的经典结论了，只要拉上了手，就有全等。为什么标下条件啊？ ab 等于 a、 c， a、 d 等于 a、 e。 这个大角是我们的六十度加上六十度一百二，这个大角也是六十度加六十度一百二，所以第一个必定全等，全等的依据是 s、 a、 s。 再来看，大家会发现这个大三角形被 a、 c 这条边是不拆成了一个 f 出来，就会产生 a、 b、 f 和 a、 f、 d 这两个三角形一大一小。然后我们看这个 a、 c、 e 啊，这 a、 c、 e， 它也被拆成了上面这一个大的，被这个 g， 这个点底下这个小的。 那你看这个大的跟这个小的有什么区别？全能吗？来看这个 a、 b、 f 跟 a、 c、 g。 全能吗？ a、 b 等于 a、 c， 你 这有六十度，我这都是六十度，还缺一个条件。别忘了啊老师，这个顺序其实就是大家的证明顺序，包括大家在做题的时候，他也是一二三四给大家选项了之后你一定是从前往后，因为上一个很可能给你，下一个是提供条件的，是台阶。 咱们上一问正出了 a、 b、 d 全等于 a、 c、 e， 现在你有俩条件，缺一个，那你看看上一问能不能给你提供一点条件，我们会发现哦，这个小角 跟这个小角是上一问全等中的对应角，就能用上了。第二个全等就用上了，在一个三角形中去看判定依据啊，两个角一个边，边是夹边，所以它是 a s a 全等，这大的 和这大的全等了，那剩下的这个小的呢？也就是我们第三个 a、 f、 d 和这个 a、 g、 e， 它俩呢？也自然全等了。你想证明的话，那可以是用一样的 说，那我这圈也等于这个圈哦，你这个边也等于这个边，你这俩还都是六十度，也可以用 a s a 去中。 接下来我们看第四个结论， b、 o、 c 是 六十度，这个小角是六十度。 手拉手必备的，就无论这题是什么样的三角形，只要是两个等腰三角，不一定是等边啊，只要是两个等腰三角形共顶点，并且拉上手了。大家记住，必须有两个经典的结论，第一个是拉手之后形成的三角形全等，第二个就是 拉手线啊，拉手线是谁呀？我 b 拉上 d 了，如果我管 b 跟 d 交左手的话，那这个右拉右 c 打上 e 了。 拉手线的夹角必定等于什么？必定等于你这个等线段的夹角。一开始你不是等腰三角形吗？你这不有一个顶角吗？等线段的夹角为啥呢？其实它更本质的呢是旋转等，我们到这个初三的时候会学，那现在呢，咱们怎么去挣这两个角相等？ 就是这学期我们学的经典的倒角模型，当你不知道怎么倒角的时候，你就去瞄角的两边， 大家看啊，那你说我描 o 的 两边，我去描这 a 的 两边，你看围成什么图形？是围成一个八字，八字的结论是这个加这个，等于这个加这个， 那它俩还什么关系啊？相等啊，所以呢，那这俩自然也相等。你说这个结论咱是怎么导出来的？咱是用了全等加八字， 如果你发现这道题说万一没有八字呢？有没有可能？也有可能，如果用的不是八字，那一定是四边形内角盒，你碰到过吗？来第五个三角形， a、 f、 g， 我 如果把这个 f g 这块给连上了，说它是等边三角形，大家看怎么整？上面这几个结论，我要用到哪一个？ 要用到这两个边相等，这两个边是第几个结论的？是不是第二个结论的？这两个三角形 a、 b、 f 和 a、 c、 g 是 不全等于角是多少度？假角是六十度， 于是有一个角是六十度的。等腰三角形是等边三角形，所以我们也用到了一个全等，加上我们等边三角形的判定，用的是两边一角。好，第六个， f g 平行于 b 一， f g 平行于 b 一， 那是不是得看同位角内角啊？你先看到哪一个？哎，内错轻松解决。根据第五个，你看一环扣一环，根据第五个，你是整边三角形，所以你这必然是六十度，那我这也是六十度。内错角相等，两只线平行。好，我们这里用的是内错。 第七个。从第七个开始上难度了啊，同志们可能会考到选择填空的压轴题，也可能会考到大题的压轴题。说如果你连上 o a， 你这必然是角平分线， o a 平分这 f、 o g， 那 我怎么正呢？这两个角相等呢？大家会想到什么？其中的一条路就是角平分线的判定。 角平分线的判定说的是什么？你要想正，这个是角平分线，你就过这上面的点，这里上面有，除了这 o 还有谁？也只有这个 a 了，咋着？向两边做垂，过 a 向这边做垂，假设这是 m， 过 a， 向这边做垂，好，这是 n， 我 要证出来。 am 等于 an 的 话， 根据角平分线的判定，你在角的内部，你到角两边的距离还相等了，那你就在角平分线上，那我怎么证明 am 等于 an 呢？这里的方法非常多，我们可以用法一 全等。什么意思啊？你看一下 a m 跟 an 四角形有没有全等的，这时候你会看到了 abm 和 acn， 你 去证吧，轻松就能证出来。这老师不说了。 第二个方法是迷你老师想重点给大家拓展的，因为它非常快，而且这个方法呢，在整个初二初三经常会被用到，就叫面积法。 a m 咱是向谁做垂的？咱是向整个 b、 d 这个边做垂的，它就相当于咱们第一个三角形，这 a b d 这三角形 b、 d 边上的高， 那你 an 呢？你是向 c e 做垂的，就是跟它全等的这个三角形 c e 边上的高。那你 b、 d 跟 c e 是 不是对应边？是对应边吧，你面积相不相等？你全等了，面积相不相等还相等，那你对应边上的高呢？是不自然就相等了，所以咱用面积法就能做出来了。两种方法分享给你啊。 好，接下来第八个，第八个跟第九个咱挣一个就行了。一个意思，第八个说的是，来，再往这擦一下， o b 等于 o a 加 o c。 来看一下这三条边， o b、 o a、 o c， 这是米老师之前讲过的什么鸡爪子鸡爪图，而且它的关系还是求和，所以你可以往哪里去想？这思维也非常多，你可以往截长补短上去想。 好，这是第一个思路，第二个思路还可以往哪去想？还可以往构造旋转全等去想。什么叫旋转全等？ 当有等腰三角形存在的时候，你就可以转，对吧？你就绕着一个点转，那第三个就是说我就从等边三角形的性质，你这题不是有等边三角形吗？我就够等边三角形，非常多的思路啊。 然后很多同学的难点就在于说我不会走第一步，那现在米老师就告诉你如何走第一步，第一步就是你要选三角形， 无论你用什么方法，你得选出目标三角形来，因为啥？因为你无论构造谁跟谁全等，你是不是都要转移边？转移角， 那你转移谁呀？你不要转移你这些目标边、目标角吗？对不对？好，所以你就要关注他们仨所在的三角形， 而且条件比较多的。为什么？因为你要构造全等，是不需要等线段，需要等角啊，你要当然关注条件多的，大家的选择其实非常多，当选择非常多的时候，我一般会选择小的那个，因为小的那个接上节就可以了，如果你选大的，可能还得补。来吧，大家看看它们都围成哪些三角形？ 你比如说这个 o a 是 我们的目标边， o c 是 我们的目标边， a c 是 不是一组等线段？是非常好的一个构造跟它全等的一个三角形啊？这三角形 a、 o c 可选 好，那看还有谁可选？你看这个 o b， 这个 o a 也是我们的目标边，那 b a 呢？是不是等线段？哎？它跟它的地位有什么区别吗？没什么区别，三角形 o a、 b 可选，别的还有吧？别的就没啥，就这俩。那这俩选哪个？我选小的，是不是它小一些，其实它都可以做出来，我选小的，这个好。然后第二步，假如说我们是从截长补短的，这是我的等线段， 所以你要构造跟我全等的话，你，你得有这条边，你得有跟我相等的这条边，那就是 bc 和 ab。 这么多方法，咱们选哪个呢？那这样吧，因为如果说我选这个截长补短的话，大家可能说我在谁上截呀？或者说我在谁上补啊？方向特别多，那咱们这个题结合它是等边、三角形以及未来旋转全等，会是我们的压轴难点，咱们就讲旋转。 接下来咱们看这个三角形，我要转它，我绕着谁转，绕谁呢？ 绕着等线段的端点转就行了。你比如说 c， 这是不是有一组等线段， c a 等于谁？ c a 等于 c b， 我 就可以绕它转，当然你绕着 a 转行不行？哎，也行，你说这辅线到底咋做呀？老师，你先把图转过去，你自然就知道辅线怎么做了。来，大家先转，说我 c a 转到这转了多少度？ 是不转六十多，于是你这个 co 就 得怎么样？是不是绕着它转也转多少度也转六十多？ 你发现，那我转六十度，我这个 o 点假设是点 p， 转到六十度之后，这个 p 点是不是正好落在 b o 上的呀？你是不会纠结这个问题， 那它是不是一定落在为什么？因为你这样的话就会把 o a 带到这儿，这不正好截长不短的那个方向，所以它一定落在这儿。接下来你就看一下你这辅线如何描述能让你有这个权能。 这个描述方法也非常多，比如说我们这个第四问，说正了这个角是六十度了，那我就直接结这个三角形，是不一定是等边三角形啊？因为这两个粉色的相等，这还是六十度，是不一定等边三角形，那我就直接结，结谁？你没法说结 o p 结 cp 对 不对？你在这说结 o p， 所以 我就结 o p 等于 o c， o p 等于 o c， 于是你看你这个 o c 是 不是产生了一个，现在是不是就已经产生一个截长的效果了，它就已经挪到这来了？我产生了一个等边三角形 o c p， 我 还产生了一个截长的效果，我只要证什么？我是不是只要证这个 b p 是 不是等于这个 o a 就 好了？ b p 等于 o a 吗？ 那我怎么正？ b p 等于 o a？ 正线段相等全等，我就看这样做。这个等边三角形之后，产生了一个截长的效果之后，这俩三角形能不能全等？一旦全等了，那就好了， 来屡条件吧。第一个条件， c b 等于 c a。 第二个，等边三角形，是不是 c p 等于 co 两组边了，就差啥了？ 你不可能第三组边，第三组边是你要正的相等是不一定差角，我一定是要关注一下你这个小不点假角等不等于我这个小不点假角等不等？当然等，因为你得出它是等边三角形之后， 那这个角自然就是多少度。六十度，两个六十度减去中间公共部分是不剩下的，就相等了。两个点点就相等于是 s a s， 我 就正出了这两个三角形全等， 最后三角形 c， b， p 全等于三角形 c， a， o 全等的依据是 s a， s。 好 了，这你也证出来了， b p 等于 o a 了，那 o a 在这转移到这， o， c， 咱转移到这，是不是一加第八个出来了，那第八个出来了，第九就出来了，第九就是反方向， o e 等于 o a 加 o d 就是 完全把那个大的啊变成反回来这个了。好，九个结论你学会了吗？跟着问题走，数学不用愁。

有关于直角三角形斜边上的中线性质，是八上期末考试必考的一类题型，那么我们很多同学在做几何题的时候，习惯于记模型，看到中线就备长，那么很多题目不是这样来考的， 它是围绕着我们基本图形的基本性质判定定底来考察。很多同学之所以填不出辅线，是对教材当中的知识概念、公式定律掌握的不够透彻。为此我把图中数学教材当中二十九章的知识点的知识导图， 需要的家长我分享给你，我们一起看一下这个题。如图，在三角形 a、 b、 c 当中，这个 a、 d 是 三角形的中线角 b， 这个角是三十度，那么角 a、 d、 c 这个角是四十五度，现在让求角 a、 c、 b， 让求这个角的度数。 那么这样一道题，我们很多同学在做的过程中是什么？很多同学去背模型，一看到中线就想到去背长，就延长 a、 d， 使得 这里到 e 吧，使得 d， e 等于 a、 d， 那 么再连接 c、 e， 构造全等三角形，三角形 e、 d、 c 和三角形 b、 d、 a 全等，这样来做是可以构造全等三角形，就是我们说的这个三角形 a、 d、 d 和三角形和这个三角形 e、 d、 c 这两个三角形通过这样的倍长是可以做成全等三角形，但是对我们求这个角没有用，因为我们这样的 做这样的一个辅助图，这两个给定的这两个特殊角没有用起来，一个三十度，一个四十五度，在证明这两在得到这两个三角形全等的过程中，这两个条件角根本没有办法用起来，这就是我们说的 无效的辅助线，如果你的辅助线添加没有办法加条件和目标进行强关联的话，那么这样的辅助线是无效的，所以我们不能一味的去记题型，去背模型没有用，那我们看看除了这个中线还有什么概念？这个 a、 d 是 中线的，那 d 点就是 bc 的 中点，那么这里有一个三十度的角，很容易联想到直角三角形， 斜边中线问题，且这个直角三角形当中还有一个特殊角，三十度角，我们通过这样的考虑是可以将那个我们说的条件用起来，斜边中线就把中点的问题连起来，这是一个条件。第二个特殊角三十度角用起来，所以我们这个题的辅助线应该怎么做？做一个 直角构造一个直角三角形，它是要构造一个直角三角形，那么这个直角三角形首先要将这个地点，这个中点，这个点用起来，所以要围绕着 b、 c 边为斜边来构造，要围绕着这条边 b、 c 这条边为斜边来构造直角三角形， 因为这是斜边上的中点，那么且这有一个特殊角三十度角，所以我们这个辅助线就呼之欲出了。过 c 点做 ab 的 垂线，交点为 e， 再连接什么 e、 d， 把它连起来就好，那我们看看，这样我们就构造了一个直角三角形 r、 t 三角形 e、 b、 c， 那 么这里就有将条件就都用起来了，这是三十度角，那么这个角是多少？这个角角 e、 c、 d 是 不是就等于六十度角？那么看看我们的目标角，我们要求的目标角 abc 是 不是等于角 e、 c、 d 加上角 e、 c、 a 啊，那么这个 e、 c、 d 是 六十度，那么我们接下来的目标是要求它，我们只需要求出角 e、 c、 a 等于多少，就是说求这个角等于多少度，那 大家可以大胆的猜测一下这个角为多少度。我们现在还有一个条件，这个四十五度没有用，可以猜测这个角 e、 c、 a 就 等于四十五度，那怎么来求出来等于四十五度？我们围绕着我们构造的这个特殊角度的直角三角形来看，这个角是三十度，那么这个角是六十度， 这个角是六十度，这个 e、 d 是 斜边直角三角形的斜边，斜边上的中线等于斜边的一半，所以有什么这个 e、 d 等于 b、 d 等于 dc， 还等于 ec， 这个 e、 c 是 什么？三十度角所对的直角边等于斜边的一半，那所以我们这个三角形 e、 d、 c 是 什么？是等边三角形，这个三角形就是等边三角形了，这个 e、 d 和 d、 b 就 这两条边 d、 e 和这个黄边这两个边相等，那么这个角等于多少度？ 这个角是不是三十度？这个两个三角形为等腰三角形，那么这个角为三十度，那么我们这样得到这个 e、 b、 d 就是 一个等腰三角形，等腰三角形，那么这个角 d、 e、 b 是 不是就等于我们的角 b 等于三十度，这个角等于三十度。那么在三角形我们看看这个三角形 a、 b、 d 当中四十五度角，是不是这个三角形的外角？一个内角是三十度，那么这个小的角是不是就是十五度？三角形 d、 e、 b 又是三角形 a、 e、 d 的 这个三角形的外角，那这个角是不是也是十五度？ 我们这个三角形 a、 e、 d， 它是不是个等腰三角形？就得出这个三角形 a、 e、 d 是 等腰三角形，那这个 a、 e 是 不是和这个 e、 d 相等？ a、 e 和 e、 d 相等，那么 a、 e 是 不是和 e、 c 相等？因为我们这里的 e、 c 是 等于 ed 的， 那现在由于 a、 e、 d 是 a、 e 又等于我们的 ed， 所以是不是推出我们的 a、 e 等于 e、 c？ 那 在这个直角三角形当中，这个直角三角形这两个边相等，那是不等？要直角三角形，那这个角就是四十五度，那所以我们的目标这个角求出来四十五度，那最后要求的是不是就是六十度加上四十五度，最后等于一百零五度，这就是我们要求的目标是一百零五度。 所以在做我们的几何题的过程中，一定是因地制宜，根据题目给定的模型。好，这个题给大家分享，这里让我们一起做更少的题，提更多的分。

八、上期末必考的压轴题一定有等边三角求值问题。很多孩子一遇到几何压轴题，哎呀蒙了，完全靠大运了，怎么能想到这个思路，完全试来试去，试来试去，一不小心连上了，那就结束了。但实际上，几何一定是逻辑性特别强的，它是有章可循的。 比如说我们在做题的过程里边，你遇到了等边三角形，你能想到什么样的考点？ 这些才是真真正正让你把一道压轴题解出来的一个法宝。比如说，你看今天这个小题，它真正引起你思路串联的就俩字，哪呢？他说， 如图所示，有一个等边三角形 a、 b、 c， 它里边知道 b， d 等于 c， e 的 二倍，而且 d， a， e 等于的是一个三十度，你的 d、 e 等于的是三。那么他问你 c 到 e 的 距离等于的是多少？ 那么你在这个题目笼统的读完题之后，甭管你会不会做，你首先要标记出来一个东西，哪呢？他告诉你了， b、 d 等于二倍的 c、 e。 养成一个好习惯，我是你的几倍，我和你的比例是什么？第一步一定要设参， 所以你把质假设为 x， 这是个二， x， 这是你通往成功的第一步小阶梯。那么第二个， 这里边还有一个中间，有的还说这里边中间还有个三十度，然后这个边得三，目前你是用不上的。那么我们刚才说这道题关键的两个字是什么？是等边？ 等边？他有什么样的特点？如果我在这里点个小点点的话，他至少可以保证的是 a 到 b 的 距离和 a 到 c 一 样。 那么你有了等边了，你又发现我通过原题中的摸索出不来，那就想到我们有一句关键的词，叫做共顶点、邻边等，必然要做选砖。 那么共顶点在哪？顶点在 a 邻边等， a、 b 等于 a、 c 夹角，在这里边有特别巧妙得的是个六十度。但凡是共顶点、邻边等，一定第一步做旋转，你转的时候，你可以转 a、 b、 d， 可以 转你的 a、 e、 c， 随便比如说 我把你的 a、 b、 d 绕着你的 a 点旋转六十度，阿尔法等于阿尔法， a、 b 等于 a、 c， 那 么 a、 b、 d 的 三角形和 a、 c、 d 撇，它们之间的关系全等。 那么全等了之后，干嘛使的？对应的边相等，对应的角相等，那你坐到这，你看，原来这得三十，整个得六十，所以这个小角也等于三十度。 那么同时你在转的过程里边，你发现转完了之后，这个边和这个边也一模一样， 如果咱们把它一拈，是不立马就可以看到这两个三角形全等，这不就 s、 a、 s 吗？非常容易就可以出来个全等。 那全等于有什么用？你的三终于派上用场了，他得三，他也得三，那么这个题目就由原题中剥离出来了。原题没用啦，他最后要问的是 c、 e 得几？ c、 e 就 得 x， 变成了我在这个三角形里边儿， 一个边得二 x， 一个边得 x， 加角得一百二十度。我问第三个边得三的话， x 得几？那么你遇到这样的问题，就知道，所有几何里边，如果遇到一百二十度，一百三十五度，一百五十度，他的辅助线永远是延长做垂直， 那么一百二延长六十度，三十六十九十的三边儿比一，比根，三比二，就一个非常简单的勾股定律，二， x 的 平方加根号三的， x 的 平方得九，那就完了，你在这里边就可以得到 x， 最终等于七分之三倍的根号七， 这个题就可以解决了。所以你看关键的任何一个压轴题，它一定有个关键词，这个关键词和你的解析之间的桥梁是什么？就是关键词和解析中小技巧模型是什么，你能不能想到？你看明白了吗？关注我，最会教初中数学的女老师。