拉格朗日定理条件

这个视频呢，我们主要讨论一下拉格朗的中置定理求极限的适用条件，总共是分为三类，我们先看第一类， 使用拉格朗的中式定理后得到的 f 克赛一撇，如果它是趋近于非宁常数的，这个时候我们是可以放心使用拉格朗的中式定理来求极限的。例如第一个求极限，它解拉格朗的中式定理求极限 啥时候用到拉格朗日中式定理呢？就是两点处的函数值相减，就要用拉格朗式中式定理， 所以说这个相当于是两点处的函数值相减，因为它相当于是哪个函数相当于是函数 f x 等于 a x t x x 在两个点处，第一个点就是 x 一，叫 x 减一分之一。第二点是 x 加一分之一，这是 x r。 所以说拉格朗的中式定理形式，你用它的后，用它的话，那就是 f x 减去 f x e 等于 f 可塞一撇乘以 x r 减去 x e， 其中这个可塞呢，它是介于 x 一与 x r 之间的。 接下来我们用拉格朗中式定理来求这个极限啊，如果这个极限如果说不用拉格朗中式定理的话，那会非常的困难。原式呢，它就等于 limit x 取景于无穷 x 平方乘以 f 克赛一撇。首先我们看 f x 一撇是谁？ f x 一撇呢？就是 octant x 修道一加 x 平方分之一嘛，那 f 克赛一 就是把这个 x 换成可赛就行了，也就是说一加可赛平方分之一，然后乘以两点处的函数相减，那就是 x 一减去 x 二减去 x 一嘛。在我们这样的话，就是 x 一减去 x 二，我拿前面的减去后面的嘛， x 减一分之一，减去 x 加一分之一， 这个样子，对吧？那现在我们来看，这是我们的 f 克赛一撇， f 克赛一撇，因为我们的 x 是趋近于无穷的，那我们的克赛呢？ 可赛它是介于谁？介于 x 减一分之一与 x 加一分之一的之间的？ x 减一分 分之一与 x 加一分之一，是不是都趋近于零？那这样的话，我们的可塞是不是也是趋近于零的？可塞趋近于零，那这个极限实际上就是一，也就是说 f 可塞一撇，他是趋近于一的，那这样的话，我们直接把它划掉，这是个非宁长数，可以直接带进去，对吧？ 接下来我们算剩下的极限，那就好算了，厘米 x x 仅用无穷， x 平方乘以 x 减一，乘以 x 加一分之 x 加一，减去 x 减一，那就是二。这样的话，抓大头啊，这个抓大头是 x， 这个抓大头是 x， 也就是说我们的分母是 x 平方，分子呢？是二， x 平方整体极限就等于啊， 这个是第一类情况啊。第一类情况用拉格朗人中式定理，比其他好多办法可能会简单很多，这个确实很快。 第二类，我们如果说使用拉格朗的终极定理后，你得到的这个 f 可塞一撇，它是趋近于零或者是无穷的，这个时候呢，你就要考虑加倍定理了， 因为你趋近于零或者是无穷的话，那你你这个 f 可塞一撇是不能直接带进去的，你直接带零或者带无穷，这个就不对，在求极线里面，对吧？ 好，我们现在来看一下这个题怎么做？这个题是哪一部分？用拉格朗书的定点是不是上面的分子部分分子它的函数相当于是 f x 等于 cosine x， f x 一撇呢？等于负的三引 x， 那 f 科三一撇就是负的三引可塞。所以说我们的原式它就等于 limit x， 区间由零正的时候， x 的四方分之负的三 可算，乘以 x 减去 times x， x 减去碳 x x。 这个等价无选项我们是很熟悉的啊，它是等价无选项，是负的三分之一 x 的三次方。这样的等价无选项有六个啊，六个比较常用的在我笔记上都有，我们来看一下 这几个啊，这几个是需要大家来记住的。好吧，一定要记住啊，记住会加快你的运算速度。我们刚用的是哪个？刚用的是这个吗？ 那我们接着说。那剩下的地方就是负的三音可赛，你发现 x 是趋近于零的， x 是取景于零证的，对吧？我们的 x 一是不是这个 x x， 二是不是 ten x x， 当 x 趋近于领证的时候，那这两个地方都趋近于领证呀？ 因为探测 x 跟 x 是等价无穷小嘛。那这样的话，我们的可塞是介于他俩之间的，那我们的可塞肯定也是趋近于宁震的，可塞取景于宁震，那复的塞音可塞肯定也就是趋近于宁了。 那这个时候把零是不能直接带进去的，不能直接带进去我怎么办？用夹逼定理，用夹逼定理来做，我们先把这个带进去啊，带进去整个式子可以化为 limit x 区间，零证的时候 x 分之三 a 可算 我们的客赛，因为我们的 x 区间是零正的，在 x 属于零到二分之派这个区间上，我们知道一个 不等式，呃，比较常用的啊，这大家在其他题目中也会遇到的，那就是 sine x， 它会小于 x， 再小于 tens x， 那这个怎么记住？其实你记住它的图像，那你一定很熟悉啊， tens x 图像呢，是这个样子，对吧？这是 y 等于 x 的，这是 tens x， 这是 x 三， x 呢，是这个样子。 所以说谁大谁小， tent x 最大嘛。接下来是 x， 接下来是散一 x， 把图像记住，那你这个不等式就完全记住了啊。我说这个的意思是因为我们的 x 是小于 tent x 的，这样的话，我们的可在 它也是大于 x， 小于它也是 x 的，因为这相当于是 x 一，这相当于是 x r 嘛。 我们用到的是谁？用到的是三引可散，而我们的三引在零的二分之派上是不是单调递增的这个函数？所以说我的三引可散是大于三引 x， 小于三引 tint x x， 我们要求的是三元客赛比上 x 的极限，我们把它这个比上 x， 那这个取景于多少？这是不是取景于一等加五胸小嘛？这是不是也取景于一的？为什么？因为 sine tens x 等加五小就是 tens x， tens x 等加五胸小就是 x 嘛。所以说这个极限还是一， 那你中间这个极限极限趋近于谁？ u 加 b 定，你可知它也是趋近于一的，所以说我们这个极限就等于一。 嗯，我们前面是不是少了个三分之一， 对吧？把这个三分之一加上啊，这个三分之一放到这，那这样的话，这个极限就等于三分之一啊，这个就对了。然后再往下看第二个例题啊，第二个例题就是 f c 三一撇趋近于无穷的时候， 对于他来说，这个拉浪人中定理肯定是用在我们的分母部分，分母部分求到我们的 f x 是谁？ f x 相当于是 x 的 二零二四次方，那 f x 一撇呢？它就等于二零二四乘以 x 的二零二三次方吧。 所以说我们的圆极线，它就等于 limit x 趋近于郑无穷的手 f 可赛一撇二零二四 四乘以可赛的二零二三次方，然后再乘以谁 x 减去 x 减一嘛，这个相当于我们的 x 一，这个相当于我们的 x 二，没有问题吧？然后看分子，分子是 x 二零二三次方，这个可以不用动。 现在这两相减实际上相当于是一，那把它消掉。那因为我们的 x 是趋近于正无穷的，那我们，呃，可塞的范围呢？ 可赛是不是大于 x 减一小于 x 的？那 x 减一是取景于正无穷的， x 也是取景于正无穷的。那你中间这个可赛呢？它肯定也是取景于正无穷的，没有问题吧？ 没有问题，那可赛的奥尼奥赛斯棒也是取景于正无雄的，那这个时候不能直接带进去，对吧？所以说考虑假币定点， 它呢，就等于 limit x 平行于正无穷二零二四分之一乘以可塞分之 x 的二零二三次方，对吧？实际上我们需要算的就是可塞分之 x， 这个极限是多少？ 嗯，注意啊，这个不是趋近无穷的，这是二零二三啊，二零二三就是相当于是几次方几次方，这个不影响。呃，里面的这个东西啊。 那这样的话，我们知道可赛这是他的范围，那 x 比上可赛 是不是就应该是大于 x 比上 x 小于 x 比上 x 减一的？没有问题吧？这个极限在 x 区间正无穷的时候，它肯定是区间一的， 那这个极限在取经正无穷的时候，他也是趋近于一的，所以说中间这个极限肯定也是趋近于一的。既然他趋近于一，那把他带进来，相当于是一的二零二三次方，对吧？他不是相当于一的无穷次方，你懂我意思吧？ 所以说你可以直接算里面的这个极限啊，外面这是有限的。不，他不是无限的，他不是无穷的，所以强调的强调这外面不是无穷的。意思就是说这个，那这样的话，这个极限就等于二零二四分之一。 再看第三种情况，第一种我们说能算，第二种我们说趋近于零或者说无穷的时候，利用夹逼定理还能算。当然也有情况你趋近于零或者说无穷的时候，你用夹逼定理也求不出来极限。这种情况下拉格朗的重视定理，他是失效的。 你没有办法用拉格朗的中指定理来算啊。比如说这个例子接， 那肯定是对分子用拉格老师终身定理。我们的 f x 是谁啊？是不是 cosine x？ 那 f x 一撇呢？就等于 for the star 音 x 圆式呢？它就等于 limit x 区间于零正这个分母不用动， x 平方分靠 x 平方分之口算二， x 减去口算 x， 那就是 f 可算一撇。负的三音可算乘以二 x 减去 x 嘛， 这个相当于 x 一，这个相当于 x， 二嘛，这个是 x， 对吧？那这个消掉一个，那你得到的是 limit x 取经于零证的时候，负的三二音可算比上 x， 当然你这个可算，你看一下这个范围可算，它是介于 x 与 r x 之间的，因为我们的 x 是取经于零证的，所以说它肯定是大于 x， 小于 r x， 对吧？那你这个时候 散引可散，是不是也是大于散引 x 小于三引二 x 的，没有问题吧？ 那它比上 x， 这比上 x， 这也比上 x， 这也比上 x。 这个极限是趋近于一的，这个极限是趋近于二的呀， 那大于一，小于二，这没办法处理。中间这个极限到底是几？不知道？不知道，那这个时候就没办法了啊，拉个老人终身定理，你做不到。所以说 我们考虑其他的办法啊。其他的办法，这个也很简单啊，大家都会用洛比达嘛，它的形式比较简单。原式呢，它就等于另一面是 x 区间于零，正二 x 分之。 cosine r x 呢，就是负二倍的三引二 x， 然后再加上三 x 嘛，这个时候用等加无小就行了啊。这个用等加无小负四 x， 这加上 x 呢，就是负三 x， 得到的是负到二分之三，这就 ok。 好，这道题就讲到这。

这道题你还在用泰勒等价代换来解吗？今天教你们秒杀大法拉格朗日终值定力球极限视频最后有例题，务必看到最后哦！假如我们会了拉格朗日终值定力球极限，你看这不就是口算题吗？ 接下来我们来了解一下原理。将基本公式带入函数，你看这两个从复合函数作差变成了内层函数作差，外层函数的 f 跑到求导的地方去了。从繁化减。海绵宝宝这个符号是什么东西？怎么算？他叫克西，需要用加逼定理来算。 我们假设克西在 g x 和 h x 之间，当 x 极限趋近于 a 十， g x 和 h x 相等，有没有感觉克西被夹在中间，所以克西与他们相等。上题目看到外层函数相同，都是一直接拉内层函数做 差，外层函数求导克西在两个内层函数之间，并且 x 趋近于零，得克西等于零，带入克西等于零，再化减，结果就出来。简简单单接下来是为大家准备的例题，有什么问题的小伙伴们在评论区评论哦！

这条视频我给大家分享拉格朗日终止定理证明不等式问题。首先对于拉格朗日终止定理做简教回顾。假设 fx 满足两个技术条件，首先在 b 区间 a 到 b 内连续，在开支间 a 到 b 内可挡， 则至少承载一点可惜属于 a 大 b 之间，使得 f 可惜的导数等于 f， b 减 f， a 除以 b 减 a， 也可以写成 f b 减 f， a 等于 f， 可惜的导数乘以 b 减 a。 从几何意上来讲，这个函数是连续的，并且可导。我们把这个两个端点连接起来构成一条直线，那在这个区线上必然存在一个切线，和这条直线是平行的。回到我们带证明的不等式问题，首先 第一种方法，我们可以构造两个函数，分别是 x 减至 low， e 加 x 和 lore e 加 x 减至 x 除以 e 加 x， 分别内置两个函数进行求导，之后根据单调性进行求解，在此不做展开。而重点探导拉格朗日终止定理证明这个不等式问题。 对于拉格朗日终止定理，证明这个不等式，我们要出现 fv 减去 fb 的形式，如果出现了 fa 减 fb， 我们就可以构造函数 即为 fx， 其中 x 就属于我们做叉的这个区间内， 这个上面这个狮子就可以利用拉格朗日进行转换。 左边这个式子，我只需要证明右边这个式子满足对应的不等式就可以了。所以在这里面最关键的一点就是我们要出现插纸的形式，然后跟着插纸的形式来构造对应的函数和对应的区间。 所以我们回答这个问题。对于这个问题， lori e 加 x， 对于这个式子，它不是插纸的形式，我们马上就可以做出插纸的形式，因为 lorry e 加 x 减去 loane 一，因为 loane 一是等于零的，所以对于这个式子和上面这个式子是一样的，这里面就出现了插纸的形式，也就相当于是 这里我们可以记住 fa， 这里记住 fb， 那这里的 f 的解析室，也就是我为了区分一下 ft， 可以就叫 loin t， 这个七的范围就属于我们两个做差，这个一加一是相当于我们这里的 a， 这个相当于我们的 b， 所以的话七的范围就属于我们的一 到一加 x。 接下来我们就可以利用这根函数， 利用拉格朗日中指定理进行转换，这个是我们这个题目的思路，那接下来我们来正式的证明这个 问题。首先我们够大的函数 f t 等于 log t， 其中我们 t 的范围就是属于一到一加 x， 因为这个 ft 是连续写可导的，所以的话我们马上就可以进行 利用拉格朗日终极定理，所以的话也就是 f 一加 x 减去 f 一，也就 是我们这两个端点取值，然后等于 f 可惜的倒数乘以这两个做差也就变成了 x。 接下来我们把这个柿子我们带进去，也就是变成了 laui 一加 xf 一，也就是两个零的等于 f 可惜的倒数， 他的导数就是七分之一，我们把这里米带也就是变成了可惜分之 x， 其中这个可惜是属于我们的范围。 it 老按一加 x 属于上面的范围，我知 需要，我只需要证明 x 除以 x 除以可惜属于这个范围就可以了，在此我们可以构造一个新的函数， 记做 f。 可惜，我这里面一定是通过可惜属于这个范围来确定这个范围，在这里面我们把 x 就当成一个长量了，在这里面是比较关键的一点，这个可惜的范围是属于 这里面，我们把可惜当做变量，是关于可惜的一个反比例函数，因为 x 是属于 x 是大于零的，所以这里面就是单调递减的， 所以的话我们的 s x 处以可惜的范围，在一的时候是取得最大值，在我们 一加 x 的时候取得最小值，所以 x 处于可惜的范围在这范围之内。因为这两个尺子是相等的，所以 loin 一加 x 的范围就是小如 x， 大如 x， 一加 x， 这个就是我们那个老人公职经理证明这个不等式问题的详细求解。在这里面最关键的一点，首先是构造 什么呢？函数，同时这个函数所在的区间还有一点就是必须要出现叉尺的形式，这种方法比我们第一种方法要简单很多，你学会了吗？

有这么一个定理，如果你真的知道，老师就送你一个字，牛掰！那他是谁呢？没错，就是传说中的拉格朗。最近很多同学随口就来拉格朗日秒他，泰勒永远的神全方，你怎么看？问题来了，你真的会吗？别慌，老西来教你。根据条件等式，我们拎 l 等于 x 加二，外加上南不达贝的 x 加二万，加 x 减八，然后找到 x 项的系数一不打二，万不打令他等于零。找到外的系数二，二不打 二，拉 x 令他等于零。找到拉不到的系数令他等于零。从而得到关于 x y 拉不到的三个方程。解方程得 x 等于二， y 等于一，所以带入答案就等于四。哎，是不是有点意思了？那拉格朗日究竟是降维打击还是华而不实呢？你怎么看？评论区告诉我。

恋爱脑带你学高数之拉格朗日终止定力，在函数连续且可导的一个区间内，至少有一个点的斜率与区间首尾相连的直线一致。我的意思是，在人生这段旅途中， 你一定会遇到一个跟你斜率相等的人，陪你一起走下去，度过余生。听懂了吗？

看到拉格朗日中指定里这几个字，脑海中一定要出现这个公式。这里的 b 指的是区间的右端点值二，这里的 a 指的是区间的左端点值零。 要想求出可赛，就得解出 f x 的一阶导，以及 f b 和 f a。 f x 的一阶导就是对 x 方减 x 减二进行求导，所以 f 撇 x 等于二， x 减一，而 f b 等于 f， 二的值等于二。方减二减二等于零， fa 等于 f， 零的值等于零，减零减二等于负二，所以 f 平可塞就等于二倍的可塞减一等于零，减 负二除以二减零等于一。从中求出可赛等于一，可赛等于一，正好属于区间零到二内，所以可赛是一。

大家好，有一段时间没有讲高等数学了，有很多同学怀疑杨老师是不是不更新高等数学了，看答案肯定是否定的啊，我还是要继续更新高等数学。那今天我就来讲一讲拉格朗日中制定理证明的两种方法。 其实关于拉格朗日定理证明的话，主要是构造封面上这样一个函数，并且为什么要构造这样一个函数？把这点了解清楚了，这个拉格朗日中制定理就非常好理解了 呢。在讲拉格朗日中制定理之前的话，先要讲他的基础就是罗尔中制定理，罗尔中制定理呢，又是由费马定理证明出来的，任何一本高等数学的教材上都有详细的讲解， 并且这个罗尔中治定理啊，非常好理解。他的前提一样啊，在什么某一个函数 fx， 这就是函数图像啊，他在 b 区间上是连续的，在这一段上必须是连续的，然后在开区间上任何一 这个点呢，都是可导的，可以求导。并且第三点在区间端点处的函数值相当在这个图像上实现，就是 fa， 等于 fb， 咱们都写出来了，知道就可以。也就是说这两个端点 a 点和 b 点是一样高的，它的函数值一样 行。那结论是什么呢？罗尔中指领里的前提分三条， b 区间连续开区间刻道，并且端点值相等。那么结论就是在区间 a 到 b 这样一个开区间内，至少存在一个点可在，使得可在点这个处导航数的值是等于零的。 那么看图像，其实你也能看出来什么意思啊，他的几何意义指的就是如果你满足这三个前提，满足这个卢尔众定理的前提，他的函数在 a 到 b 上至少存在一个点，至少存在一个点的点 p 啊， 使得曲线在某一个点处需要有水平的切线。肯定是这样的，并且有的人可能说，老师我如果就是一条水平的线呢？这个 fx， 那任何一个点的位置，他的导航数字值都是等于零，也就是说水平缺陷吧。那有同学说了，老师你画这个图像是不是凑巧啊，他有两个极致点，那如果我画了一个，他只有一个极致点呢？ 一个机制点，你看这个点的屁数，它是不是水平的切线呀？也就是说导航数的值等不等于零，肯定等于零啊。所以说罗尔中指定理非常容易理解，那既然有了罗尔中指定理，那接下来再来讲解拉格朗日中指定理就非常简单了。 拉格朗日中制定理呢？前提大概一样，但是少了一条。他的前提指的是什么？在 b 区间上是连续的这个函数，并且在开区间内是可导的， 前两个条件一模一样，但是他不需要两个端点相等啊，也就是说你看 a 一点和 b 一点，他说了相等吗？不一定，含数值一个高一个低，或者相等都可以啊。所以说拉格朗是正式经理，和罗尔正式经理，他的关系是什么？ 其实那个罗尔中治硬理就是拉格朗日中治硬理，一种特殊情况，当断点制一样的时候，就变成了罗尔中治硬理了，这个大家理解就可以。 那结论是什么？当你满足前两个条件，在 b 之间连续开之间可倒，那么我们就可以得出一个结论来，则在区间 a 到 b 内部至少存在一个点，可在使得可在出。这个导航数的值等于什么？等于 ab 连线，你看呀，导航数的值，你说 这个等号右边是什么东西？等号右边不就是 a 和 b 之间这条连线的斜率吗？原来 ab 连线的斜率是这个意思啊，那么如何理解又如何？那么关于拉格朗日中日定律如何理解又如何证明呢？我们先来看几何意义啊，看这个图， 他这个几合一非常容易理解，函数 fx 如果满足前两个条件，必须要连续开圈，可导这样一个前提下，那么此时函数 fx 在区间 ab 之间某一点处，至少某一点啊，肯定是存在缺陷于 ab 这条直线是平行的，你看图 c 点 是不是有这样一条跟 ab 平行的切线啊？那么到了这个地点是不是也有一条平行的切线啊？至少存在一条平行的切线的，跟 ab 平行。 那么现在要证明的话，需要跟之前的罗尔正定理结合起来，罗尔正制定理，它需要增加一个条件，这个括号三条件叫什么？叫端点值必须相等。 大家想一个问题啊，你现在呢，已经学过罗尔众志定理了，还可以把罗尔众志定理当成以这条件来用了。那么现在罗尔众志定理你如何能够让这样一个图，也就是拉格朗日众志定理这样一个图变成罗尔众志定理？ 其实也就是说，关于这个函数，如何能够让 a 点出他这个函数的值和这个 b 点处函数的值原来是不一样的，变成一样其实好理解，看好了，同学们啊，这个 fx 是这条黑色的图像，大家都知道 我写一个东西，现在告诉我是什么，首先看好了啊， y 等于什么呀？ y 等于 kx。 哦，我现在有点理解什么意思了，我们构造这样一个函数就行了。大家不理解的就是后边为什么要有这样一个东西呢？其实很好理解，看 好了啊，嗯， y 等于 kabab 的话，其实很好。求 ab 之间的旋律，然后 x 减去 a， 那根据点斜式的话， y 应该减去什么？ y 应该减去 fa， 那写到右边去的话，实际上啊， ab 这条直线他是谁呢？ ab 这条直线实际上就是，嗯， kb 是谁？ kb 实际上根据两点之间斜流公式，他就是 b 减 a 分之 fb 减去 fa 好新过道这样一个函数，那么再来个 x 减 a， 再把这个原来的负 fa 移到等号右边去，变成了加 fa 了。 哦，那我清楚怎么回事了，实际上我只需要由原来这样一个黑色的图像怎么样？原来这个黑色的 frx 这样一个图像剪去这条直线的图像，不就把它拉平了吗？ 所以我直接减去这条直线的图像了啊，好， f x 减去这个 y 就是减去等号右边这一部分，所以到后边的话，实际上你可以构造出什么形式来？相间以后，你后边可以减去这个 fa， 也就是说，我们只需要让原来这个 f x 再减去谁啊？减去这条倾斜的直线 ab 减去这条 ab 之后的好处就是原来 a 点和一点水平了，那后边减去这个 fa 的话，实际上就是减去谁了？减去这条直线的解析室了。 那现在看好了啊， fx 好说吧， fx 他在 b 区间肯定呀，还是连续的，然后在开局间呢，还是可以求导的，并且请大家仔细算一下，这个大 fa 和大 fb 新构造的 这样一个函数等于谁？要注意啊，后边是加了一个减去 iphone 的小 iphone 等于多少等于零啊？你看是不是必须连续开机箱可导，并且端点之相等？ 所以罗二中制定里三个条件满足了吧。三个条件满足了，那结论是什么？结论就是在 a 和 b 这样一个内部，至少存在一个直科赛，怎么样啊？至少存在一个直科赛，使得大 f 片 可赛是等于零的。大 f 片可赛不就相当于你等哈右边球倒吗？那其实也就是小 f 片 可赛正好等于谁？正好等于他啊，因为右边这一部分化学这一部分求导的话，只剩下谁了，只剩下这个斜率了，减去这个 b 减 a 分之 fb， 减去 f， a 等于零。那实际上移向之后不就是这个 fp 二克赛等于 b 减 a 分至 fb 减 fa 吗？所以说罗尔政指定里现在应该知道怎么证明了吧，关键就是要构造这样一个辅助的函数。 这个辅助函数怎么构造出来的？我们其实可以这么来，立即原来你这个 fx 有这样一个向上的趋势吧，从 a 点到 b 点之间， a 和 b 这两个点他不一样高，如果一样高的话，就可以利用已经学过的罗尔众指定里了。 那怎样让 a 点和 b 点这两个点一样高，或者说函数值一样的，只需要减去 ab 直线的解析室，就构造出这样一个函数来了，现在是不是就很好理解了？最后结合一下鲁尔称定理，很好证明。其实我要讲两种方法，另外一种方法就是反推分析的方法。数学分析的方法呢？ 我们从结论向一个条件去套就行了。现在你是不是想证明这个东西啊？你想要证明？嗯，这个 f 我写一下吧， b 减 a 分之， fb 减去 fv， 注意，这是一个长数啊，它实际上就是 ab 两点连线的斜率减去 f 片 可在等于零。注意，这个可在呢，是开卷 a 到 b 内部的某一个自变量的值吧。你想证明他等于零，其实相当于 要证明谁啊？其实相当于要证明的。就是我继续写了啊，其实相当于要证明的。就是看好了 fb 减去 fa， 我再抄一遍， b 减 a 分之，然后减去 fxix 等于几啊？ 这个 x 等于可赛等于零。那我为什么要写成这样一种形式呢？其实好理解，同学们，他的原函是我相信大家都是理解的吧。你说括号里头这样一个 原函数好找吗？就是说某一个函数求到以后得到中考里头这样一个函数其实好找啊，他的原函数其实就是 fx 本身他的原函数，因为他本身是一个 kb， 是一个长数啊，是一个已知的长数么？长数？他的原函数不就是乘一个 x 吗？所以后边乘一个 x。 哦，原来他的原函数是这么回事啊。现在已经找到原函数了啊。那么找到这样一个原函数之后的话，那就更好了，我们现在构造这样一个函数啊，另大 fx 等于谁？等于 b 减 a 分之 fb 减去 f ax， 这个实际上就是谁啊？这个斜率就是 ab 之间的斜率，那么其实这条直线我想说明的是跟 ab 这条直线它是平行的关系，我们用这样一个平行的直线再减去 ffx 和用 ffx 减去这样一个平行的直线，你说本质上有区别吗？没有区别，只是 相反数而已，对吧？两个，这两个这是相反数的关系啊。所以接下来应该清楚了，把由分析的方法，逆退的方法得出来这样一步，那么 得完这样一步之后的话，现在你应该想到对于大 f 这样一个函数来讲，还是利用罗二冲击定力。为什么？你看好了啊？因为 我这个 fx 我简写了，大 fx 在 a 到 b 这样一个 b 区间是连续的，然后呢？在开区间呢？是可导的，并 且你可以算一下吗？这个大 fa 和大 fb 分别是多少？并且这两个端点值相同相等。我们算一下啊，这个大 fa 你也带入，把 x 等于 a 带入，最后整理一下，可以得出怎样的直来啊？得出来的是 b 减 a 分之 afb 减去多少？减去 bfa， 并且这个 fb 算出来同样的，这他俩长得一样啊，现在清楚了吧？对于大 fx 这样一个函数来讲， d 区间连续开区间科的，并且两个端点制一样，现在是不是又可以利用罗尔正治定理了？所以说罗尔正治定理在 内部 a 到 b 内部至少存在一个点可赛，使得谁啊？使得这个大 f 片它是等于零的，那实际上也就相当 等于什么？你经过整理之后，就相当于这个小 fpxa 就是等于 b 减 a 分之 fb 减去 fa 的。然后呢？拉格朗是总经理，我们就挣完了。所以有两种方法，一种是直接构造函数的方法，另一种方法呢，是分析的方法，两种方法都是非常巧妙的， 对吧？那最后呢，我们还是讲一道题，讲这道题之前的话，还是说一下拉格老师中间的比经常用这两种形式啊，都非常好理解，只不过是把这样一个竖着写的形式写成了横着写的形式了，对吧？ 那么后边这种形式主要是用在微分和求导一些证明题上，然后前头的话，常见的问题，其实大部分用的都是左边这种形式，注意这个可在是 a 到 b 开圈内部的某一个点，大家知道就可以。那现在要看了，证明这样一个常用的不等式 啊，这个不懂事非常重要。那么怎么去证明这样一个不懂事呢？我跟大家说一下啊，你看这个位置有几个不懂号啊？有两个不懂号，实际上是连续吧，三个量连续用了两个不懂号，这样一个连续不懂。也就是说 a 小于 b 小于 c 这样一个形式，并且 abc 之间都是有某种联系的， 那这种情况下大概率用的就是拉格朗瑞总经理非常有技巧性的啊，这样一个题目，那看了，我们可以构造这样一个函数，假设 ft 等于捞 nt， 显然因为 x 是个正数吧，所以说这个 ft 他在哪啊？在一到一加 x 这样一个一圈内，是符合什么定理的？符合拉格朗日中指定理的。嗯，符合拉格朗日充定理，因为 他在这样一个内部是怎么样的？在必须间是连续的，开间是可导的，并且他就符合拉格朗日中制定理了吧。那既然符合拉格朗日中制定理的话，那接下来写下 l n e 加上 x， 实际上你可以理解为 l n e 加 x 再减去零，这个零其实就是 l n e 啊，你看是不是从一到它，哦，那会非常好理解。再来看它等于什么？它实际上就是等于 f， 一加 x 再减去这个 f 一等于什么？在一到一加 x 内部存在某一个值吧，这个值我们写，为什么 写为科赛啊？注意啊，此时这个科赛在哪呢？在一一到一加 x 之间，反正是某一个数字就行了。然后算一下啊，他是应该乘的是一加 x， 再减去一十 就是乘 x 本身就行了。那最终的话，他求导非常容易啊，他求导就是七分之一，那 f 片可赛不就是，嗯，可赛分这 x 嘛，因为后边成了个 x 行圈一这个式子还是非常有用的。那继续来写， 大家要注意一个问题啊，这个地方，哎，那我清楚了，因为什么？因为你这个科三，他是这样一个数字，对吧？他是在一到一加 x 之间的，所以，因为他们三个都是正手，所以反过来，那就是一加 x 分之一小于 可赛分之一，小于一分之一，那再乘一个 x 呗，因为 x 是一个正数，所以实际上相当于一加 x 分之 x 小于可赛分之 x 又小于 x 本身。请告诉我这一部分是谁呀？根据圈一，这个 是字，实际上他这个圈一就是捞啊，一家 x 证明完了吧。所以这道题还是很重要的，一定要记住这样一个重要的不懂事啊，分享课堂知识，感受书杰之美。我是杨帆老师，下节课再见！

大家好，现在我来给大家介绍微分中指定理的第二个，也是最重要的拉格朗日中指定理，他是这么说的，一个函数在一段 b 区间上连续在开区间上可倒的话， 那么在这个区间内一定存在这么一个值，使得下面这个等式是成立的，那我们就来证明它。首先我构建一个函数， gx 是这个样子的， 很明显啊， gx 符合在 b 区间上连续在开区间上可导，那么我们观察发现啊，两端的函数值是相等的， 那这样的话，明显对 gx， 我们就可以利用我们已经证明过的罗尔定理，在区间上 一定存在一个直科赛，使得 g 科赛一瓶是等于零的。那我们现在对 gx 求导， 然后带入存在的这个值和赛，我们就会得到好，得到这个等式之后呢，我们把 b 减 a 给乘过去，这就是我们证明之后的拉格朗日中制定理，你听懂了吗？