八上几何题解压书写

八、上数学压轴系列之几何中的折叠问题关于折叠问题，只需要记住一句最核心的话，折叠本质上就是轴对称变换。根据之前学过的轴对称变换的概念，即把原图沿着某条直线对折， 得到一个和它完全重合的新图形的变换过程，就叫做轴对称变换。那我们就可以知道，折叠前后的两个图形应该是完全一样，也就是全等。比如把三角形 a、 b、 c 沿着 a、 c 折叠成三角形 a、 b 撇 c， 那 这两个三角形应该是全等的。 有了全等这个基础，就能直接推出三个解析时可以秒用的结论。结论一，折叠前后两个图形的对应边相等。 比如左图中三角形 abc 折叠成三角形， ab 撇 c 后，原来的 ab 和折叠后的 ab 撇就是对应边，所以 ab 等于 ab 撇，原来的 bc 和折叠后的 b 撇 c 也是对应边，所以 bc 等于 b 撇 c， ac 是 这两个三角形公共边，自然也是相等的。 结论二，折叠前后两个图形的对应角相等。同样的例子，原来的角 b 和折叠后的角 b 撇是对应角，所以角 b a、 c 和折叠后的角 b 撇 a、 c 也是对应角，所以角 b a、 c 等于角 b a、 c。 结论三，折痕是折叠前后两个图形对应点连线的垂直平分线，对应点就是折叠后重合的点。比如这里的 和 b 撇，他们的连线是 b、 b 撇，而折痕 a、 c 就是 b、 b 撇的垂直平分线，意味着折痕 a、 c 垂直于 b b 撇，折痕 a、 c 平分 b b 撇，也就是说 b 到 a、 c 的 距离和 b 撇到 a、 c 的 距离相等。 ok， 以上就是折叠问题中最关键的几个结论，我们来做一道题，看看如何应用在三角形 a、 b、 c 的 距离和 b 撇到 a、 c 的 距离相等。 ok， 以上就是折叠问题中最关键的中点， ok， 以上就是折叠问题中点 d 边的中点 连接 b、 d 把三角形 b、 d、 c 沿 b、 d 翻折，得到三角形 b、 d、 c 撇，把这个三角形沿这条边翻折，得到这个三角形。所以根据折叠的性质，我们知道这俩三角形应该是什么全等。还有一组条件，若 a、 d 等于 a、 c 撇等于二， 这条边和这条边相等，都等于二， b、 d 等于三。求 b、 c 边的长，让我们求这条绿色线的长度，同学们可以暂停视频先思考一会， 一起来看一下。根据题干当中的条件，点 d 是 a、 c 边的终点，所以 d、 c 和 a、 d 边相等， 它也等于二。我们又知道三角形 bdc 和三角形 bdc 撇是通过翻折得到的，所以根据翻折的性质，对应角相等，对应边相等，所以这俩角相等， dc 和 dc 撇也相等，所以 dc 撇 也等于二。哎，那这样子我们就又有了一个重大的发现，同学们看这条边，这条边，这条边，它们都是等于二的吧。 所以这个三角形 a、 d、 c 撇原来是一个等边三角形，既然它是一个等边三角形，那么这个角它就等于六十度。那刚才根据折叠的性质，我们又知道这俩角相等，所以它们分别也都是六十度。 现在让我们求的是 bc， 那 根据翻折的性质， bc 和 bc 撇是相等的，所以假如我们能求出这条线段的长度，那也是可行的吧。 那接下来这条线段，或者说这条线段到底应该怎么求呢？如果同学们仔细听了我们刚才对于这个折叠问题的描述，那么我相信大家一定能够想到一条辅助线，就是什么 连接 c c 撇，连完以后，我们就能得到这个 c c 撇和 b d 是 垂直的焦点呢，我们把它记作 m 点。 原因前面我们也解释过了，折叠的本质是轴对称变换，所以折叠后除了得到对应边相等，对应角相等，那么折痕是对应点连线的垂直平分线。 这个结论很多时候都是解析的关键。比如说对于这道题，假如同学们能够想到连接 cc 撇，那么这道题基本上就已经结束了。 看，连完以后，这里出现了一个直角，那么有了这个直角，我们再能求出 c 撇 m 和 b m 的 长度，那么根据勾股定律，很快就能算出这个 bc 撇的长度吧。 这里等于六十度，这里是直角，那这个角它就是三十度，那根据三十度所对的直角边是斜边的一半，所以 dm 它就等于一， 那 dm 等于一。利用勾股定律，我们又能算出来这个 c 撇 m， 它就等于根号三。再看 b d 的 长度，我们又知道它是等于三的，那 dm 等于一，所以 b m 等于二。这样的话，在直角三角形 c 撇 b m 当中，两条直角边的长度都有了， c 撇 b 的 长度也就出来了啊。 c 撇 b， 它是等于根号下 c 撇 m 的 平方，再加上 b m 的 平方，算出来等于根号 七，所以这道题我们要求的这个 bc 的 长度，它就等于根号七。好，那通过这道题呢？希望同学们对于这个折叠问题的常见结论一定要牢牢掌握， 尤其是这个第三条折痕式对应点连线的垂直平分线，很多时候都是我们解题的突破口。 ok， 那 这节课就讲到这里，拜拜。

今天这道八上几何题真的超级难，好，我们来看题。首先他给了我们一个等腰三角形 a、 b、 c、 d 点在 a、 c 边上，并且角 a、 b、 d 和角 b、 a、 c 之间有这么一个关系， 然后一点在 b、 d 上，并且 b 一 等于 ab， 接着再过一点做 ab 边的垂线。题目问，若 b 积等于二十四，三角形 ac 的 面积等于八十五点五，让我们求 bc 的 长度。 好，我看原视频这个同学他用了四组全等，虽然说是略微麻烦了一丢丢啊，但是我经常跟你们说，不管黑猫白猫，抓到老鼠就是好猫，所以说这位同学的做法还是值得肯定的。 那接下来我就跟大家分享一下我的解法。首先这个角度关系明显是在提醒我们需要倒角， 那可以看到角 d、 e、 f， 它是三角形 b、 e、 f 的 外角，所以角 d、 e、 f 减去角 e、 b、 f， 也就是角 abd 了，它也等于九十度， 那也就是说角 d、 e、 f， 它和角 b、 a、 c 是 相等的，那它们俩的补角自然也是相等的了。如果再想到 b、 e 等于 ab 这个条件的话，我们是可以考虑延长 c a， 然后再过 b 点做垂线的， 这样我们就得到了角 b a、 h 等于角 bo f， 然后就能证明三角形 bo h 和三角形 bo f 全等了，全等之后就得到了 bo h 等于 bo f。 好，那接下来再怎么走呢？我们的数据都在 bc 这条边上，而我们的辅助线在上面，那我们如何让上下两个部分产生联系呢？这里就需要认真思考一下了， 不知道你们注意到了没有啊？ b f， 它在直角三角形 b、 f、 g 中，而这个三角形斜边 b、 g 的 长度是已知的，还有一个角 f g 也算是比较显眼吧，因为它也是等腰三角形 abc 的 底角嘛。 这里我是这样想的，如果我们继续延长 a h， 并且令 h k 等于 f g 的 话，然后再连接 b、 k， 那这个三角形 b、 h、 k 就 和三角形 b、 f、 g 全等了，所以我们就得到了 b k 的 长度是二十四， 然后还有角 h b、 k 等于角 f、 b、 g。 可以 看到这个角 k， 它和贝塔是互余的关系，所以这个角 k、 b、 c 它应该是九十度的。 而又由于 ab 是 等于 a、 c 的， 你们看斜边中线是不是出来了呀？也就是说 a 点现在是 c k 的 中点。 如果我们连接 k、 g 的 话，那三角形 c、 k、 g 的 面积就等于三角形 a、 c、 g 的 两倍了。 而由于这个三角形 k、 b、 g 是 一个等腰直角三角形，所以它的面积也能算，然后我们把它俩一加，不就是这个大三角形 k、 b、 c 的 面积了吗？ 其中一条直角边 b、 k 的 长度我们已经知道了，现在要求另一条直角边 b、 c 的 长度，那这个是不是用面积法就行了？最后算出来 b、 c 是 等于三十八点二五的，你学会了吗？

看这道题，咱们看这道题，前两问比较简单，不说了，直接看第三问。这道题是一个八年级的一个探求题，三角形勾股定律，这块三角形考了个手拉手， 直接看第三问，拓展延伸在括号二的基础上，那还得看看括号二，括号二它俩是等腰直角三角形，这个是九十度一个洞点。这个简单，我们在括号二就能知道。有两个三角形全等 拉手吗？有两个三角形是全等，那咱们迁移一下，就得在括号三这找到那两个全等的三角形。简单了，把图放一下，当 bc 等于三， cd 等于六的时候， bc 等于三，那这个不行，画多了是不是得画到三 三，这对在三这个位置，这个直接求四边形 a、 c、 d、 e 的 面积。直接求四边形 a、 c、 d、 e 的 面积，那这个四边形 a、 c、 d、 e 的 面积，它等于啥呀？它等于三角形 a、 c、 d 的 面积，然后加上三角形 a、 d、 e 的 面积， 咱们就把这俩三角形的面积求出来就行。这里 c、 d 等于六，然后的话这个 bc 等于三。那我们直接就可以做高了呗，支到底。然后的话，把这个过点 a 做垂直三角形 a、 c、 d 的 高就算出来了，是不是？所以咱们先把这个高给做出来，做个垂线呗， 过点 a 的 一条垂线，描个点好， a、 g 就是 它的高， a、 g 就是 它的高。 看着有点长，看着有点长，咱们连一下，这回应该行了，这回应该行了。好， 然后的话由括号二嘛，根据括号二的条件，那肯定是还得是手拉手找全等，所以说咱根据括号二，咱把这个 c、 e 也给它连上 ce 连上的之后，那咱们根据括号二就有这个全等条件嘛。哪两个三角形全等？三角形 a、 c、 e 和三角形 e， a， b， d 全等， a、 b、 d 全等，能得到的就是啥？就是 c e 等于 b， d， 三加六得九， ok 吧？太简单了，然后的话咱就往里弄数呗。先求这个 a g， 先求这个 a g， 这个 a g 等于啥呀？ bc 是 三，那这个就是二分之三，对吧？这是垂直的，这个四十五度等腰直，所以这个也是二分之三。 c e 是 九， cd 是 六，我可以直接勾股定力，求求这个第一。勾股定力求第一， 那第一是不是应该等于根号下 c、 e 的 平方加上 c、 d 的 平方， 等于根号九方加六方？整理一下，九方加六方，八十一加三十六，是不是八十一加三十六，等于三倍的根号十三，这三倍的根号十三就是 d e 的 长， d e 的 长。知道 d， e 的 长了，我们还可以求 a e 或者是 a d 的 长，因为它不是个等腰值吗？对不对？它不是个等腰值吗？这个是四十五度，这个是四十五度。这块这个是直角，用不用推一下？ 这块是直角，用不用推一下？说一下吧，说一下这块这个角，这俩全等了吗？这个点和这个点相等， 对吧？那这块这个角他就等于四十五度，减这个点，这块这个大角等于四十五度，加上这个点，所以这俩角相加还是得九十度，所以这个角是九十度，这才能用勾股定律，这才能用勾股定律。 然后的话，现在我已经知道 d e 是 多少了，我想求这个 a e 是 多少？ a e 和 d e 是 根号二倍的关系，根号二倍的关系是啥呢？是这个 a、 e 等于二分之根号二倍，或者是它除以根号二。 谁除以根号二？是这个或者这么写吧，根号二倍的 d、 e 等 a， e 等于 d， e， 那 d， e 知道了，那 a、 e 它就等于啥呀？这个 a、 e 等于根号二分之一倍的，这个 d、 e 也那个分母有理化，二分之根号二倍的 d， e， d， e 是 三倍，根号十三，三倍根号十三，然后就乘呗，对不对？那它就等于啥？等于二分之三倍的根号二十六。 这就是 a、 e， a， e 还得 a， e 乘 a、 e， 然后再除二，是不是就是三角形 a、 d、 e 的 面积？ 然后就来吧，三角形 a、 c、 d 的 面积加上三角形 a、 d、 e 的 面积，三角形 a、 c、 d 的 面积等于二分之一乘以 c， d 二分之一乘以 c、 d， 然后再乘 ag。 三角形 a、 d、 b 的 面积，那它等于二分之一。 a、 e 乘 a、 e。 也可以用 a、 e 乘以 a、 d 往里弄数，是不是二分之一乘六？乘二分之三，加 二分之一乘二分之三倍，根号二十六的平方也行，那咱就再乘一个二分之三倍的根号二十六。数我就不算了，数我就不算了。它等于啥？等于四分之一百三十五。

等腰三角形、全等三角形、直角坐标系以及含有特殊角的直角三角形，这些都是八年级上册数学中的重要内容，它们不仅自身有着关键的知识点， 更常常综合在一起，以压轴题的形式出现在试卷的最后部分。接下来我们就一起看看他们是如何相互结合，形成综合问题的。由这个已知条件，我们知道什么？我们知道 ab 等于 ac 的， 而且这个角是一个直角，这说明 abc 是 一个等腰直角三角形。 现在是要求点 b 的 坐标，那点 c 的 坐标我们知道是二二负二。充分利用已知条件， 那我们做过 c 点做 c h 垂直于 x 轴，那很显然我们就知道这两个三角形是全等三角形， 为什么？因为 a、 c 等于 ab， 而且这个角和这个角是互补的，不余，都相加起来得九十度。 而在这个直角三角形里面，这个角加上这个角也是九十度，所以很自然就可以推出这个角等于这个角。又因为这个是这两个都是直角三角形，所以根据 a、 a、 s 就 可以判定 这两个三角形都是怎么样的。是全等三角形，所以很快就知道这个 a 点的坐标是多少。 因为 o a 就 可以推出 o， a 是 等于 c h 的， c、 h 长度是二，那 o a 的 长度也是二 o a， 所以 o a 长度是二，所以 o a 点的坐标是负二零，那知道 a 点的坐标，那 a、 h 的 长度是多少？ a h 的 长度是四吗？知道 a、 h 的 长度，那就知道 ob 的 长度， ob 的 长度也是四，所以 b 点的坐标是什么？ 零四，好，很快就可以解。解答出第一个 好，那看第二点， c、 a、 c、 b 分 别交坐标轴于 d、 e。 求证 三角形 a、 b、 d 和 c、 b、 d 的 面积分别相等。看一下，要求这两个部分面积相等，那我们现在知道什么？它们有个公共的底边 b、 d， 那 我们只要证明它们的高相等，那自然它们的面积就相等了。是不是 它们像这个三角形 b、 d、 a 的 这个面积，这个高度，这个高度是多少？是二嘛？就是 o， a 嘛，它的高就是 o， a 就 二。然后呢，这边这个三角形它的高是哪一个？就 c 点到 y 轴的这个距离嘛，也是二， 所以现在它们的高一样，所以它的面积就自然而然就相等了。好，这第二问也解决了。 连接 d， e， 求证 b， d 减 a， e 等于 d e， 那 就是说在 b、 d 上剪起截掉一段长度是 a、 e 的 一段，假设在这一点 m， 使得最后要证明什么？要证明这个 d、 m 和 d、 e 相等就可以了，是不是？那我们最好是要把 am 连接起来，是不是？连接起来以后，因为我们之前挣过 这个角角一和这个角角二是相等的，是不是？那很容易就可以证什么这两个三角形全等，因为 ab 又等于 ac， 现在 接起的这一段 b、 m 是 等于 a、 e 的， 所以这两个三角形全等一全等，我们就可以证出什么 a， m 等于 e、 c， 又因为 这一个角 o、 a、 d 是 等于角 c 都是四十五度，因为刚才我们这里 正出来全等这个角和这个角四十五度嘛，因为这里是一个直角，所以这个角等于这个角也是四十五度。又因为根据他们的坐标，我们都就知道这个 d 点正好在 a d 的 中点嘛， d 点是 a d a c 的 中点，所以 a d 又等于 c d， 所以呢就可以证明这个 a d o 和 b d e 是全等的，一全等我们就可以证明出 dm 等于 d 一， 所以最后就可以证明出 b d 是 减去 a 一 等于 d 一 的。整个解析思路就是这样子自己去写，这样子能够加深自己的印象。

终点中线是初中几何中非常重要的知识点，学完全等三角形考察他们的题型也是非常多的。今天再带大家学习一个几何模型，倍长中线模型。什么是倍长中线呢？ 给了一个三角形 d 是 bc 边上的中点，连接顶点就是中线。我们延长这条中线 a、 d， 使它的长度呢增加一倍到一点，我们再连接 b、 e 或者是 c、 e， 这就是基本的倍长中线的辅助线做法。这样呢，我们就形成了一个八字全等结构，因为 d 是 中点，那 b、 d 就 等于 c， d， a， d 呢，又等于 d， e 加上一组夹角，对顶角相等 s a s， 那 这两个三角形就是全等的。全等之后呢，我们还能得出几个结论，对应边 a、 c 就 等于 b、 e。 另外呢，对应角的这个角和这个角是相等，它们又是一组内错角，那是不是 a、 c 就 平行于 b、 e， 所以说 a、 c 和 b、 e 是 平行且相等的。这里面我们也可以不连接 b、 e， 连接 c、 e。 结论也是一样的，解题时要根据题干条件决定连接哪边。这个呢，是最基本的被长中线的结构， 我们把它叫做基本型，很容易识别，考试时有可能不直接这样考，那就有了第二种变形，如图呢，给了一个图形，依然告诉我们 d 是 bc 的 终点， 但这次他没有给出中线 a、 d， 而是在 a、 b 边上任意一点 e 给了我们这样一条线段 d， e， 我 们给他取个名字叫内中线吧。此时我们依然可以沿用倍长中线的思路，延长 e、 d， 使得 e、 d 等于 df。 同时呢，我们连接 f、 c， 同样能够构造八字全等结构，那这两个三角形呢，也是全等的， b、 e 和 f、 c 也是平行且相等的，这种呢，我们把它叫做倍长中线的中点型，或者是类中线型。 还有一种呢，就是给了两条平行线中间加一条线段，知道他的中点连接到一条平行线，那么我们可以延长这条线段与另外一条平行线相交，也是可以得出这两个三角形全等的结论。这个我们就把它叫做中点加平行线形。不过这里的辅助线 不是倍长，而是延长相交。做题时我们要严谨一些，我们来做道题，如图 d 呢，是 bc 的 中点线段， b e 交 a c 域点 e 交 ad 也点 f， 又告诉我们 a e 等于 ef， 让求 a、 c 等于 b f， 证明两条线段相等呢。首先我们要考虑三角形全等，但是这两条线段好像也没办法在两个全等的三角形中。 题目中又给了两条线段相等和一个中点，大家看一下，我假如遮住上面这一部分，这个图形熟不熟悉， 是不是就是我们刚才讲的内中线的倍长类型？刚好这个 b、 f 就是 两个全等三角形的一条边。我们尝试一下延长 f d 到 g， 使得 f d 等于 d g 连接 c g， 马上我们就能得出三角形 b、 d、 f 是 全等于三角形 c d g 的， 那么 b、 f 就 等于 c g， c g 和 a c 刚好就在一个三角形中，证明它们俩相等就行了。因为全等对应角，角一和角二是相等的。 同时 a、 e 等于 e f， 那 么角三呢，就等于角四，角一和角三呢，又是对顶角，那么这四个角都是相等的，等角对等边，那么 a c 就 等于 c g 也就等于 b f 了，得正下课。

继续说题，这道题也是前边几问比较简单，咱们就不说了，直接说第四问弱点， m 在 线段 cd 上， m 在 线段 cd 上 连接 mpme， 直接写出 mp 加 m， e 的 最小值，那这里边我把这个图画完了，我把 m 标一下，也不用太费话，将军印马是不是？好，这个就是 m 点， 这个图是咋做的？这个原图在这我给它画完了，我是做了这个 e， 因为 e 它是一个定点，对不对？我是做了一个 e 关于 c d 的 一个对称点，一撇又过，这个一撇 做 bc 的 垂线点到直线，点到直线距离，是不是点到直线距离垂线段最短，那么这个时候当和 p 三点共线的时候，三点共线的时候就是它最短的时候。 因为这个 m 是 在一撇和 e 它的这个垂直平分线上，所以 m 到一撇的距离等于 m 到 e 的 距离， m 到一撇的距离等于 m 到 e 的 距离，它也挺有意思，它这个时候想让咱们求 cp 是 多长， cp 是 多长， 那这个就容易了，对不对？咱先把这个些已知条件，咱先往上标一标，提提已知了，这个是九十度，这个是六十度，这个是三十度，是不是还告诉了 ac 等于六， a c 等于六，这是六十度，那这一圈都是六十度，不是，这一圈都是六，都谁是六呢？这个 a c， e， c， e 等于 a， c 等于 a， e， 撇 都等于六，这一圈，对吧？然后的话，那么咋求这个 c p 呢？咋求这个 c p 呢？ 打到角就行，因为这里边这个 c 一 撇是已知的，是不是？咱们要在这的话，能知道点这个这个特殊角三十度，六十度，咱这就成了，是不是？那也简单呐，这块这个是垂直的， 是不是？这块这个是垂，这块这个是垂直的，对不对？然后的话给他这块做过来对称了，这能不能研究出是垂直的？ 这能不能研究出来？如果要是研究不出来的话，咱就把这个 e 给它连接上看一下，连接一下这个。好嘞，那咱就倒一下呗，看看都得多少？是不是？ 这个 e 和 e 撇是对称的，所以说这个 e 撇和是相等的，没有问题，对吧？然后咱再看这个 cpcmp 这个角，因为它这块的话不是 角平分线吗？ c d 是 角平分线，稍等一下， c d 是 角平分线，所以这个角就是四十五度， 那这个角也是四十五度，这个角也是四十五度，这个角还是四十五度，没有问题了吧， 对不对？所以这块这个就是九十度，太简单了，对不对？也就是说是啥呢？一撇一，一撇 p， 它垂直于这个 bc， 不是？一撇 p 垂直于 bc， 然后的话一撇 p 还垂直于 cm， 那 这个时候的话，它俩就是平行的，是不是它俩就是平行的，谁平行呢？这个 m e 和 bc 是 平行的，这些咱都能推得出来，对吧？都能推得出来，那现在的话，角 b 是 三十度，角 b 是 三十度， 那它对应的是谁呀？谁是三十度？是不是角？ c e 撇 p， c e 撇 p， 这个角对应的就是三十度，为啥对应的它是三十度呢？它是 c e m c e m 这个角就是三十度，因为 c e 和 b e 还相等，这也是三十度， 它俩还平行， m e 和 bc 还平行，那么它就是三十度， 它是三十度，它也是三十度。 ok 了，它是三十度， c e 是 六，三十度角所对的边等于斜边一半，所以 cp 等于三， cp 等于三。 ok， 咱们整理一下步骤，不写了，咱就说一下得了。是不是 这里边的话我先知道怎么的最短先做一点的一个对称点，然后的话过这个一撇做 b c 的 垂线，我还能导出来一撇也是垂直的，所以这里边有一个关键的步骤，是不是咱们能得出是平行 bc 的？ 平行 bc， 然后的话 c e 它还是啥呀？ c e 它还是这个中线。直角三角形，斜边中线等于斜边一半。 也就这个题用了直角三角形，俩性质全给用了。直角三角形，斜边中线等于斜边一半，和直角三 角形中三十度所对的边等于斜边一半。 ok， 是不是剩下的话就是一个倒角了？他是三十度，他也是三十度，这两个是全等的，或者是说对称的，他是三十度，那么这个 c 一 撇， m 也是三十度， 这又是垂直的三十度，角所对的边等于斜边一半， c 一 撇等于六，完事。

好，我们来看一下，这是中山市一中八年级上册最近周考的一道压轴题， 这是非常常见的一类题目，就是解几何 几何图形的一一类长线的常见的一类题目。 好，我们读一下题。 在三角形 a、 b、 c 中， ad 是 平分角 b、 a、 c 的， 所以这个角是等于这个角， 角 a、 b、 c 是 等于两个角 c， 角 b 是 等于两个角 c， 然后求证 a、 c 是 等于 a、 b 加 b、 d。 方法一，如图在 a、 c 上截取一段 a、 e， 这一段 a 一， 使得 a 一 是等于 ab 的， 然后呢，连接 d 一， 就可以得到这两个三角形是全等的。 这两个三角形全等。为什么？因为这边等于这边，这边是公共边，然后因为角平分线，这个角等于这个角。根据 边角边，这两个三角形自然就全等了。这两个三角形一全等，就得出 b、 d 是 等于 e、 d 的， 然后呢，还有这个角等于这个角， 这个角等于这个角。然后因为提议又给出角 b 是 角 c 的 两倍关系，所以这个角自然也是角 c 的 两倍关系， 这个角又是三角形 e、 c、 d 的 外角，所以这个角加这个角等于这个角，所以就可以得出角 c 等于这个角 e、 d、 c， 那就可以得出 e、 d 是 等于 e、 c 的。 最后就可以推出 a、 c 是 等于 a， e 加上 e、 c， 也自然就是 a、 c 是 等于 ab 加上 b、 d 的 好看。方法二， 方法二采取的是补短 a、 b 作为较短的一条线，所以首先把延伸 a、 b 到一，使得 b、 e 的 长度是等于 b、 d 的， 然后 也可以证明出这两个三角形是全等的。为什么？因为这里有一条公共边，然后呢， 这个角等于这个角，还有哪个条件？还有 这个角等于这个角和这个角是两倍角的关系，是不是因为这里等于这里，所以这个角一是等于角 e、 d 等于角 e、 d、 b 的 这两个角是相等， 又因为角 b 又等于这个两倍的关系，所以这个角 e 和角 c 又是相等的，所以根据什么 aas 是 不是 aas 就 可以证明这两个三角形是全等的，是不是？好， 那我们看一下这道题，下面这个第二小问的这个解析思路。 在下面四边形 a、 b、 c、 d 中， e 是 b、 c 上的一点，然后 e， a 是 等于 a、 d 的， 然后角 d， c、 b 是 等于两倍的角 b 的， 然后角 d、 a、 e 加上角 b 是 等于九十度的 探求 dc， 还有 c、 e 还有 b、 e 之间的关系， 那我们通过这个图，这通过这个图我们可以大胆的去预测，怎么样呢？我们先说解析思路，预测出 b、 e， 它是有可能是怎么样的？等于 c、 e 加上 d、 c 的 是不是？好，那我们怎么样去证明这它们之间的关系呢？ 通过我们刚才的这个上面的这些例子的解析思路，我们怎么样在 b 一 上弦起一段 等于 cd？ 好， 假设我们在这里 取一点 f， 使得 ef 是 等于 c、 d 的， 这里等于这里。因为 a、 e 之前给我们的条件有 a， e 是 等于 d、 e 的， 那我们接下来的重任就是什么？证明这个等于这个 就可以证明这两个三角形全等，是不是这两个三角形全等，最后证明这两个三角形全等，就可以推出 a、 f 等于 e c， a， f 等于 e、 c， 然后 b、 f 等于 a、 f 不 就可以完美的证明出 b， e 等于 e、 c 加上 c、 d 了吗？ 那怎么样去证明这两个三角形全等呢？这里就是解的关键了。好，我们来说一下这个过程， 因为呢， e、 a 是 等于 d、 e 的， 所以这两个角是相等，对不对？这两个角相等， 那这三个角怎么样呢？这三个角加起来就一百八十度嘛，那就可以证明得出两个角 e、 a、 d 加上角 a、 e、 d 是 等于一百八十度， 又因为什么？又因为角 d、 a、 e 加角 b 等于九十度，所以 两倍的角 d、 a、 e 加上两倍的角 b 等于一百八十度。好，根据等量带货就可以得到什么 角 a、 e、 d 就 等于两倍的角 b 又等于。刚才什么又等于角 c， 是 不是这是提议给的？得到这里以后， 又因为什么？ 这个三角形 d、 e、 c 的 外角角 d、 e、 b 等于什么？角 a、 e、 d 加上角 a、 e、 f 角 d、 e、 b 同时也是等于什么？角 c 加上角 e、 d、 c。 因为所以我们就可以得到什么就可以得到角 a、 e、 f 等于角 e、 d、 c 是 不是因为刚才我们证明出 a、 e、 d 是 等于角 c 吗？这两个不就这两个相等不就消掉了吗？是不是就可以证明出来 a、 e、 f 等于角 e、 d、 c 了吗？所以这两个角一等， 所以三角形 e、 d、 c 全等于三角形什么 a、 e、 f 然后我们就可以证明说什么所以 a、 f 等于 e、 c 这两个角这两个边相等，还有呢， 角 a、 f、 a、 f、 e 等于角 a、 f、 e 就 等于角 c 嘛， 脚 a、 f、 e 同时又等于什么？等于等于脚 b 加上脚 f、 a、 b， 这是因为他们外角的外角的关系是不是外角和的关系，所以又因为角 c 又等于两倍的角 b 嘛， 所以就可以得到什么，就可以得到角 b 等于角 f a b 了。所以 a f 等于 f b， 所以 就可以得到 b e 等于 b 等于 f b 加上 f f e 同时等于 c， d 加上 c e 嘛。好，这道题 很有意思哈，如果说其他同学他还有其他的方法的话，可以挑战一下，在评论区写出你们的答案。好，这道题就这样子。

八上数学最难的四十八个几何模型全部吃透，逆袭班级前三。八上数学四十八个几何模型一， a 字模型、鸡爪模型，腋下两角合等于上下两角合。 八字模型，三角形中五大模型见八字除对顶，剩余的两角之合会相等。飞镖模型也叫燕尾型、双角平分线模型。三个结论完整版分享！