射线与平行线的思维导图怎么画

让我们通过思维导图来快速高效的过关七年级数学下册第五章相交线与平行线的整张知识 这里我们用两条平行线被第三条直线所截的模型图做本章的中心图。第一部分的知识是相交线，两直线相交。两条直线相交成四个角， 对顶角相等，零补角互补。垂线一，垂直是相交的特殊形式，两条直线互相垂直，可知夹角是九十度。 反之，两条直线相交，夹角是九十度，可知这两条直线互相垂直。二、在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 三、基本事实，垂线段最短。三线八角， 两条直线被第三条直线所结成八个角，包括四对同位角，两对内错角、两对同旁内角。 第二部分的知识是平行线的判定方法。首先是平行功底的推论，如果两条直线都 多与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即若 a 平行， cb 平行 c， 则 a 平行。 b 方法一，同位角相等。两直线平行。方法二，内错角相等。两直线平行。方法三， 同旁内角互补，两直线平行。第三部分的知识是平行线的性质， 性质一，两直线平行。同位角相等。性质二，两直线平行。内错角相等。性质三， 两直线平行，同旁内角互补。第四部分的知识是命题定义，判断一件事情的语句叫做命题组成 提设和结论两部分。真假，真命题提设成立，结论一定成立，假命题提设成立不能保证结论一定成立。 第五部分的知识是平移一、平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同。二、对应点的连线 平行或在同一条直线上且相等。我们这就通过思维导图 把相交线与平行线这张的知识都归纳出来了。所有的知识点在图中条理清晰，一目了然，你掌握了吗？

那么在生活中都有哪些平行的例子呢？同学们可以试着来举出几个例子，比如在这里大屏幕上就有平行线， 第一个是我们过马路时的斑马线，那么斑马线每两条斑马线之间都是相互平行的， 那这是火车的铁轨，两条轨道也是互相平行的。那最后是动物园的围栏，围栏上的栏杆也都是互相平行的。

hello， 大家好，从二零二六年春季学习开始，我会陆续在抖音继续更新系列视频，会以专题的方式呈现出来啊。这是第一个专题，叫做相交线与平行线专题，也是我们旗下很多版本里面都会涉及到的一张。 每次专题课我都会有一个配套的讲义，和录制的视频是完全同步的， 然后说一下这个讲义的一个使，说明你拿到这份讲义之后，需要配合抖音视频去配套使用。视频里面我会从基础知识讲解到判定与性质的一个综合应用，再到拐点问题的推导证明。最后每个专题都会有一个通关测试， 里面的所有题目都有主题讲解，你可以自己先预习对吧？照着课本自己学一学，再把题自己先做一遍，再来听视频。你也可以直接当成听课一样，打开一个视频之后自己跟着做笔记。 好，如果需要电子版的可以留言七七专题啊。不过因为马上要放寒假了，可能我录视频的时间就没有那么多，尽量在寒假放假之前把第一个专题更新完毕，方便同学们寒假学习。 好，我们先看第一部分啊，是相交线。来，我们先看一下基础知识。第一点，他说当两条不同的直线只有一个公共点的时候，我们就成这两条直线相交， 这个公共点叫做他们的焦点。其实很好理解。来，我们现在画图示意一下，现在画两条直线，一条是直线 a， 一 条是直线 b。 在期上最后一章我们学习了，是吧？这个两条直线直线的表示方法可以用两个大写的字母，大写的字母 a、 b 也可以用一个小写的字母，那我们在这省点事，用小写字母表示。 现在有两条直线， a 和 b， 它们相交，这是交点，那我们把交点记作 o 点， 那这种情况就叫做两条直线相交，这个 o 点就是这两条直线的一个交点。非常好理解啊，我们不多说好，然后看第二个，引出了一个邻补角的概念，我们先看一下它的定义， 他说如果有两个角，这两个角呢？有一条公共边，而且另外一边互为反向延长线， 具有这种关系的两个角叫做互为零补角。那你看这个概念，他是说的对吧？互为零补角，也就是说角一和角，如下图，角一和角二，他们两个就是互为零补角的。怎么去理解这个概念啊？ 邻补角，邻补角，那从名字上入手的话，就是相邻的补角，你抓住这个，那就会判断了相邻的补角。你看下面这个图里面，角一和角二是不是相邻的？它俩加起来是一百八十度，所以角一和角二就是邻补角。 而且这要注意一个概念啊，你不能说啊，这两个角有公共边，相加是一百八十度，就是零步角，这不对，我给你画一个，你比如说，呃，咱们先来一个角 a o b 吧， 我告诉你，这个角 aob， 它是个一百二十度，角 aob 等于一百二十度。我再画一个角 aob 的 角平分线，射线 o c o c 平分 角 b o c， 那 本来是一百二十度，它一平分，是不是角 b o c 就是 六十度，角 b o c 等于六十度。 那你看此，在这个图里面，角 a o b 与角 b o c， 它们是不是有公共边儿？都是都有 o b 这条边儿，而且相加是一百八十度，但是你会发现它们并不是邻布角， 所以你不能说有公共边，相加是一百八十度就是零补角，还得有一个非常重要的限制，就是另外一条边不为反向延长线才行。好，这是零补角的一个基本概念。我们再看第三个对顶角的概念， 对顶，对顶角的概念比较简单啊，他说有公共顶点其中一条边，其中一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角， 你看这个概念会觉得很晕，但是你看图会觉得非常简单，你看它下面画了一个图，就是两条直线相交吗？直线 a、 b 和直线 c、 d 相交于了这个 o 点，那什么叫对顶角呢？还是你可以从名字入手，对顶角，对顶角，就是两个角对着顶， 你看他图里面的角一和角三就是对顶角，这不是对着的吗？对吧？相对着的对着，在这顶着对顶角，那同样的道理，二和四也是对顶角， 其实你就会发现，我们有了这个图形之后，会帮助我们去理解它的一个概念。我现在随便画一个来，你看啊，随便画一个，两条直线相交，这是直线 a， 这是直线 b， 我 标个一二三四，一二三四。根据我们刚才学的， 那这里面的对顶角是谁和谁呢？是不是就是角一、角二、角三与角四也是对顶角？刚才不是还学了一个邻补角吗？你去看看这个图里面有没有互为邻补角的， 是不是角一与角四、角一与角三。当然你角二与角三、 角二与角四，这是不是都是互为零不角？好，然后我们再看一下上面啊，对顶角有一个非常非常重要的性质，叫做对顶角是相等的，对顶角永远是相等的。那为什么呢？ 从图里面看也比较形象，你能感觉到这个一和三，这两个角应该是相等的，对吧？如果角一变大十度，那角三应该也会跟着变大十度， 你可以想象一下，你用过的那个剪刀，是不是就有这种类似的图形？那我们来证明一下为什么啊？来，你看他，他说角一加角二等于一百八十度，这没问题，一和二是零不角互为平，角二和三相加，是不是也是一百八十度？ 二和三也是互为零不角，那一加二是一百八，三加二也是一百八，我不就能说明角一等于角三吗？ 就叫做同角的补角是相等。角一和角三，它都是角二的补角，所以角一和角三就相等， 这是对顶角相等的一个简单的证明啊。一定要记住这个结论，对顶角是永远相等的。 好，我们学了上面这些基本概念之后，来做一做题，看看你有没有理解啊。第一题，他说下列图形中角一与角二是对顶角的事， 从形式上入手的话，那一 a 肯定不对呀， b 也不对，是吧？这儿没挨着，这个角没挨着，那四 d 也不对，这两个角明显就不相等，你得是一个角的两条边，是另外一个角两条边的反向延长线才对。 好，那你看是不是 c 选项啊？两条直线只要一相交，形成一个叉字型，那对着的角就是对顶角。再来看第二题，他说下列各组角中是邻补角的一组式， 邻补角就强调相邻且互补。那我们看一和三，这不是，这是对顶角。三和四，这也不是，没有相邻。 c 选项二和三，哎，这没问题，所以这个题选 c 吧。 好，第三题，下列语句中正确的是 a 选项相等的角一定为对顶角， 这不一定啊，对吧？谁说相等的角一定是对顶角？你在这随便画两个九十度，他俩怎么可能会是对顶角呢？ 所以 a 肯定是不对，而 b 选项不是对顶角的角一定不相等，这也不对啊，你看我刚才画的这两个角，这个是角 a， 这是角 b， 他 俩就相等， 对吧？也不是对顶角，但是他俩相等，所以我举了一个反例来反驳他。那二 b 选项也就错了， c 选项他说不相等的角一定不是对顶角，这句话你想想对不对？ 不相等的角一定不是对顶角，是不是没问题啊？你这两个角都不相等，你怎么可能是对顶角呢？你如果是对顶角，那你这两个角一定会相等，所以你不相等的角就一定不是对顶角。这句话没问题。我们再看一下四 d 选项， 它说有一个公共顶点和一组公共边，并且和为一百八十度的两个角互为邻补角。 我刚才是不是在前面讲基本知识给你们画过这个图，对吧？你比如说这是个一百二十度，简单的画一下，然后这是角平分线，这是六十度，然后标一下吧， a o b c， 你 看这个角 a o c 与角 a o b， 它这两个角就会符合四 d 选项。说的有公共顶点 o 啊，而且还有公共边 o a， 而且和还是一百八十度，但是它俩不是互为零角，所以四 d 选项不对啊。然后看最后一个题，第四题， 两条直线 a、 b、 c、 d 相交于点， o、 o、 a 平分，角 e、 o、 c。 第一问，他说如果角 e、 o、 c 是 六十度，问我角 b、 o、 d 是 多少度， 那如果角 e、 o、 c 是 六十度的话，角 a、 o、 c 是 不是就是一半啊？因为你 o、 a 平分嘛，那角平分线把这个角平分，角 a、 o、 c 是 不是就是一半，它就是六十度的一半，就是三十度？ 那你说角 b、 o、 d 是 不是就一定会等于角 a、 o、 c 啊？为什么呢？因为它俩是对顶角。第一问就结束了，大体的话，我写的过程会稍微的简单一点啊，该讲的我会讲字少写一点。然后看第二问， 都说，如果角 e、 o、 c 比上，角 e、 o、 d 等于二比三，让我去求角 b、 o、 d 的 度数。 教教给你一个小技巧，做到这种角度之比是几比几的，我们要用方程的思想去解决问题，它是二比三，那我就设角 e、 o、 c 等于二 x 度， 角 e、 o、 d 等于三 x 度，它设二比三，那我就是二 x 三 x， 它如果是三比四，那我就是三 x 四 x 对 应这个系数不要动。 好，那我们在图里面标一下啊，这是二 x 度， e、 o、 d 是 个三 x 度，你会发现它俩相加是不是一百八十度啊？所以我就可以列方程，二 x 加三 x 等于一百八十度，那 x 是 不是就等于三十六度呢？ 我知道 x 等于三十六度之后啊，那上面这就不用加度了是吧？ x 等于三十六度之后，他让我求谁呢？他让我求角 b、 o、 d， 我 看看 b、 o、 d 在 哪，它在这儿。角 b o d 是 等于角 a o c 的 角 a o c， 它是不是等于二分之一倍的角 c o e， 它其实就等于 x， 就 等于三十六度嘛， 对吧？所以，因为对顶角相等，所以角 b o d， 它就等于角 a o c 等于三十六度。这个题就结束了。好，这就是我们相交线与平行线的第一讲， 介绍了两条直线相交以及邻补角和对顶角的一个基本概念，希望同学们能够掌握。我们第二讲，再见。

三、动手操作实践应用一、下面是光明街区，一下面是光明街区的示示意图。第一小题，新建的江海街 经过光明新村，且与幸福街平行，与幸福街平行又要经过光明新村，其实 请把它在图中画出来，并标出路名。其实就是考过点，过点做幸福街的 平行线，过点做平做另一条线的平行线。怎么做？ 先与这条这一个直角边三角尺到直角边，与这条边重合，另外随便找一个 直。嗯，一条直线保证是直线，用直尺也可以这个点重合。另外一个与左边紧靠， 沿着左边这一个三角池顶靠，要按紧一点，不能动，左边不能动，只能右边动。沿着沿着这条线上下滑动，才能保证始终是平行的。预留一点作图的位置， 这一这一条街，他说请请在图中画出来，并标出路名，叫江海街。二、白鹭湖的形状是一个长方形，图中给他的给出了他的两条边， 请你把他画完整，因为他给出了两条边，我们就可以不需要量，不需要量他的长度就可以画出来，当然量了更稳当。 我们可以本来是用直角边去靠他的一边去与他重合，但是这里有点弯曲，不好处理。我们也可以用他的零刻度线，他也有那么长，只要能保证 这个零刻度线与上面是完全重合的。重合的，那么我画的这条线就和零刻度线是垂直的，因为零刻度线和这个边是垂直的。同样的道理，还是用零刻度线与他重合， 左边与他左边与左边，这里刚好留一点余地 画图，这样画出来的自然就是一个长方形，可以不用量量他的长度，当然这里也量出来了，刚好就是两厘米量，长度更稳当，因为这里垂直了，这里垂直且平行，这边又垂直且平行， 我们就能保证对边相等，对边相对边平行，又是直角的情况下，他必然就是一个长方形。 为了满足生产用水需求，造职场要新建一条供水管道，从白鹭湖取水 从白鹭湖取水。造职场从白鹭湖取水，又要管道。最短就是点到直线之间，点到线段之间。垂线段最短，也就相当于过点 过造纸厂这个点，做白路虎最近的这条边做垂线，如果画的不够直，我们可以把它 向下移一点，然后把它画直，向向下平移重合，也能保证它是垂直的。这样设计的依据是什么呢？从 直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。五单元有许多概念 需要去理解并且记忆，否则很多填空题就很麻烦。

好，我们继续来学习橡胶线与平行线专题课的第二讲特殊的橡胶，其中垂直的情况，我们先看基础知识。我们说如果两条直线相交形成四个角，对吧？你随便画两条直线，它是不都是有四个角？ 这四个角里面只要有一个角是直角，那其实剩下的三个角也会跟着是直角。你可以自己去画一下图，感受感受。 如果有一个角是直角，我们就说这两条直线是互相垂直的，既作 a 垂直于 b 垂直于的符号。这么去写啊，一个竖线，然后一个横线垂直于 两条直线。如果互相垂直，那其中一条就叫做另外一条直线的垂线，焦点叫做垂足。下面有一个图，他说直线 ab 和直线 c、 d 两条直线互相垂直，垂足就是 o。 这个垂足我们在小学的时候其实也学过，就不多说了啊，这就是垂直，比较简单。然后下面这个补充，我们重点看一下，他说垂直的定义，既是判定，也是性质，什么意思呢？这句话 你看他后面跟了一个解释啊，就是说角 b、 o、 c 等于九十度。我们看左边这个图，如果告诉我角 b、 o、 c 等于九十度，我们就可以推出来 ab 和 cd 这两条直线互相垂直。反过来， 如果你告诉我 a、 b 和 c、 d 这两条直线垂直，我也能推出来角 b、 o、 c 等于九十度，这就叫做垂直的定义，既是判定，也是性质。给我垂直，我能推九十度，给我九十度，我能推垂直。 在做题的时候，如果题干里面他说啊，因为题干里告诉我 a、 b 垂直于 c、 d。 如果你做题需要用到这个角是九十度，你可不能直接说 啊，他题干里有垂直啊，我就默认他是九十度，你得给他写一步，你得说因为 ab 垂直于 cd， 所以 角 b、 o、 c 等于九十度。然后在这我们再讲一下这个符号，上面两个点，下面一个点，这是因为的意思， 就是汉语里面因为的意思，上面一个点，下面两个点，这叫所以啊，不知道的记一下。因为 ab 垂直于 cd， 所以 角 b、 o、 c 等于九十度。好，第三个。 哎，关键你看我标了一个五角星回线的，基本是十，在同一平面内过一点，尤其只有一条直线与已知直线垂直。这句话感，感觉有点绕，来，我们读一遍啊，在在同一平面内。 那有的同学可能会说，什么叫在同一平面内啊？你比如说你的桌面，这就是一个平面，但是如果说你的桌面和你的地面，这就是两个平面，不同的平面， 他有一个前提要求是在同一个平面里边过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。我们来画图理解一下。好，现在在 我指上这个面里边有一条直线，是我集成直线 a， 他 说过一点，那假如说这个点在这 a 点啊，在直线外 过直线外一点，我想做一条直线与直线 a 垂直，那是不是目测就只能这么做一条？大概 对吧？你是不是做不出来别的了，就只能做一条，我们再换其他的情况。如果这个点 a 在 直线上呢？也就是说直线 a 经过这个点 a， 那 我是不是也只能做一条， 对吧？你是做不出来其他直线与已知直线垂直的，所以我们总结一下，就说在同一个平面内过一点，尤其只有一条直线与已知直线垂直过的，这一点可以在直线内， 也就是说可以让这条直线经过这个点，在直线上，也可以在直线上， 也可以在直线外。 因为后面有一句话跟这句话长得非常非常像，所以在这我们先着重强调一下， 必须，必须要加上在同一平面内，这是前提，如果没有这句话，那后面就是错的啊，前提在同一平面内过一点，这一点可以在直线上，也可以在直线外，尤其只有一条直线与已知直线垂直。然后第四句话，垂线段的一个性质， 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单的就说成垂线段最短。下面的给的图就是这个意思，现在有一条直线 l， 一 条直线上是不是有无数多个点？现在呢？直线外一点有一个点 p， 我 连接这个点 p 与直线上所有点， 是不是会形成无数条线段？这无数条线段里面，垂线段是最短的，也就是你看到的这条 p o 垂直于 l， 这条垂线段是最短的，而且只有一条垂线段。 好，然后第五句话，我又画了一个重点符号啊，直线外一点到这条直线段的，到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。那这句话看起来很普通啊，为什么要重点说一下呢？ 你注意他一般如果给你考这句话会怎么考？他会把这个得长度这三个字去掉，你再来读一下这句话啊， 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，这么说有什么不对呢？ 想想你给它缩缩句，缩完句以后就变成了垂线段， 叫做点到直线的距离，或说叫做距离。那垂线段它是一个图形，它怎么可能叫做距离呢？咱们说距离是长度，对吧？距离五厘米，五米五个单位长度，这叫距离，你不能说垂线段是长度， 垂线段的长度才叫距离，垂线段不是距离，所以啊，必须要加上垂线段的长度，叫做点到直线的距离。没有这三个字，那这句话就是错的。 所以我画五角形的这些句子，你要把它背过，而且要理解，这一张里面经常会出这的一个判断题， 再读一遍啊，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。你比如说，如果上面这个屁点，哎，就是用上面这个图，这个屁点到直线 l， 它的距离是多少呢？我就过屁点做一个 p o， 垂直于 l， 垂直为 o， 然后我用 刻度尺去量一下这个线段 p o 的 长度，就是这个点 p 到直线的一个距离。 好，学了这些基本知识之后，我们来做几道练习题巩固一下啊。第一题，他说运水厂要从点 p 修建一条管道的通向河边，为了节约材料，修建了管道 pm， 看 pm 是 垂直的。这么做的原理是什么？ 是不是垂线段最短呀？对吧？因为你可以，你可以向别的地方做呀，但是你不做，你为什么做个垂线段呢？因为垂线段是最短的，你只要看到这，在这一本书里面看到什么为了节约材料呀，为了这么走，最近的那都是垂线段最短。第二题， 这角 b、 a、 c 等于九十度， ad 垂直于 bc， 下列结论中错误的 a、 a 选项，他说 a、 c 垂直于 ab， 这没问题啊，九十度嘛，九十度推垂直。二、 b 选项，点 c 到 ab 的 垂线段是线段 c、 a， 这也没问题。 哎，你线段 a、 b， 那 c 到这条线段的距离不就是过 c 点做一个 c， a 垂直于 a、 b， 这就是垂足吗？对吧？ a 就是 垂足，所以二 b 选项也没问题。 c 选项，点 a 到 b、 c 的 距离是线段 a、 d。 你 看看这句话丢什么了？线段 a、 d 的 长度 又把长度给丢了。四、 d 选项，线段 c、 d 的 长度是点 c 到 a、 d 的 距离没问题，所以这个题错误的选 c 啊。然后第三题 abcd 四个点在直线 l 上，点 m 在 直线 l 外， mc 垂直于 l， 如果 m a 是 五厘米， mb 是 个四厘米， mc 是 个两厘米，他问我， m 到直线 l 的 距离，距离是垂线段的长度，那是不是就是 mc 的 长度啊？那 mc 是 二，所以这个题就选 a 解决了。 好。第四题考察了一个等面积法，这是经常做到的啊。他说 ab 是 个五， ac 是 三， bc 是 个四，前面角 a、 c、 b 是 个九十度，做了一个 cd 垂直于 ab， 他 问我，这个 c 到直线 ab 的 距离， c 到直线 ab 的 距离，是不是就是线段 c、 d 的 长度呀？线段 c、 d 的 长度，那我怎么去求这个线段 cd 的 长度呢？这就要用到一个等面积法，你想想， 对于这个三角形 a、 b、 c 来说，它的面积我是不是可以用二分之一底乘高去表示？那我既可以表示成二分之一乘上 a， c 乘上 bc， 因为它是两个直角边相乘，再乘二分之一，就是这个直角三角形的面积，我也可以用二分之一，我让 a b 当底儿， 那 cd 就是 高倍，所以我就能得到这么样一个等式，我把两边的二分之一同时约掉，那左边就是 a， c 是 三乘上 bc 就是 四，等于 ab 是 个五乘上 cd。 那我们整理一下啊，就是五倍的 cd 等于十二，那 cd 一 算就是个二点四，或者写成五分之十二都可以。这就是一个等面积法，我用不同的底和高去表示这个三角形的面积，然后得到我直角三角形斜边上的高。这是一个经常的考，经常考的考点， 如果不会的第一次听到，整理一下。好，这就是我们平行线与相交线专题的第二讲垂直。下个视频，我们继续去讲第三个，下个视频，再见。