北师大版五年级上册数学数学好玩练习

亲爱的同学们，大家好，我是辽宁省沈阳市大东区教师进修学校的崔莎老师，很高兴能与大家一同学习。 今天我们走进北师大版五年级上册数学好玩这一部分，这节课我们一同探索图形中的规律。 我们先来玩一个摆小棒的游戏，请每位同学利用手中的小棒拼成四个三角形，看看需要几根小棒。 我用了十二根小棒拼成了四个三角形，我只用了九根小棒就拼成了四个三角形。我发现我拼的三角形之间有公共的边，这样用的小棒根数就少。 像这样连拼在一起，三角形个数与三角形的小棒根数之间有什么关系呢？今天我们来一起研究此类图形中的规律。 像笑笑这样摆十个三角形需要多少根小棒呢？请大家看学习任务单一，先摆一摆，画一画，再填出小棒的根数。 二、猜想小棒根数与三角形个数之间的数量关系。验证规律。 我发现一个三角形用三根小棒，两个三角形用五根小棒，三个三角形用七根小棒，每增加一个三角形就增加两根小棒，所以十个三角形用了二十一根小棒。 对这个发现你们有什么想说的吗？这个规律必须得知道，上一个图形用了几根小棒， 我发现两个三角形用了三加二根小棒，三个三角形用了三加二乘二根小棒， 所以十个三角形用了三加二乘九根小棒。那么我发现小棒的根数等于三加二乘三角形的个数减一的差，这里的三表示第一个三角形用的小棒根数。 二乘三角形的个数减一的差，表示除去第一个三角形的三根小棒后，每多摆一个三角形，小棒就增加两根。所以十个三角形用三加二乘十减一的差，等于二十一根小棒。 我还有不同的发现，因为两个三角形有一条公共边，所以小棒的根数是三乘二减一等于五根。 三个三角形有两条公共边，小棒的根数是三乘三减二等于七根， 以此类推。十个三角形有九个公共边，所以三乘十减九等于二十一根。我是这样想的，把每个三角形都当成三根小棒， 然后减去中间公共边。多算的小棒，用三角形的个数减一，就是多算的小棒的根数， 最后小棒的根数等于三角形个数。乘三减三角形个数减一的差。 大家发现的都很好，能从不同角度发现规律。除了用图形和语言来描述规律，我们还可以怎样更加清楚地概括规律呢？ 那么，请根据你的发现写一写， n 个三角形需要多少根小棒呢？ 我总结的规律是， n 个三角形需要三加二乘 n 减一的叉根小棒。 我发现的规律是， n 个三角形需要三 n 减一的叉根小棒。 这两个算式整理后都等于二 n 加一。像这样用字母可以更加简洁地表示出了这种图形的规律。 笑笑，接着摆下去，一共用了三十七根小棒，你知道他摆了多少个三角形吗？ 我是这样想的，以第一个三角形为基础，用了三根小棒以后，每摆一个只用两根小棒。 三十七减三的叉除以二等于十七个，所以一共摆了十七加一等于十八个三角形， 我用的是方程解决这个问题。解设一共摆了 x 个三角形，三加二乘 x 减一的叉等于三十七， x 等于十八，所以一共摆了十八个三角形。 像这样，我们知道了小棒的根数，反过来求三角形个数的问题可以用方程来解决。我们再来看看这一组图形， 请同学们仔细观察每一个点阵中点的个数，你发现了什么？请你说一说，画一画。第五个点阵有多少个点？是怎么排列的？ 第一个点阵有一个点，第二个点阵有四个点，每行都有两个点，有两行。 第三个点阵有九个点，每行都有三个点，有三行。第四个点阵有十六个点， 每行都有四个点，有四行。我发现后面一个点阵比前面的点阵多一行一列，下面一个点阵就有二十五个点，因为每行都有五个点，有五行。 我的想法是，第一个点阵有一个点，可以表示成一乘一，第二个点阵有四个点，可以表示成二乘二， 第三个点阵是三乘三，第四个点阵是四乘四，第几个点阵就是几乘几，所以第五个点阵就是五乘五。 回答得很准确，按照这样的规律画下去，我们要如何表示发现的规律呢？ 第 n 个点阵中点的个数用算式 n 乘 n 来表示， 是的，用数字、字母等符号表示，规律更具有概括性。那么还是这个点阵，其实我们还可以从不同的角度来观察，你还会有一些新的发现， 你又发现了什么新的规律呢？我是从拐弯的角度划分的， 第一个点阵是一个点，第二个点阵是一加三等于四个点，第三个点阵是一加三加五等于九个点。第四个点阵是一加三加五加七等于十六个点。 根据图中拐弯的划分方法，每次增加基数个点，这些都是从一开始连续的基数相加，第几个图形就是几个连续基数相加， 所以第五个图形就是一加三加五加七加九等于二十五个点。每行画五个点，画五行， 我是从斜线的角度划分的，第一个点阵是一个点，第二个点阵是一加二加一等于四个点。 第三个点阵是一加二加三加二加一等于九个点。第四个点阵是一加二加三加四加三加二加一等于十六个点。 第几个图形就从一加到几再回到一，每个点阵都是斜着划分的，具有对称性，所以第五个图形就是 一加二加三加四加五加四加三加二加一等于二十五个点。画法按照斜着的规律，从一画到五，再画到一。 你们观察的都很好，刚刚我们从不同角度发现了不同的规律，那接下来同学们在横向观察，你还有哪些发现呢？ 我发现规律虽然不同，列出的算式也不同，但结果都相同。 我们可以看出一加三加五等于一加二加三加二加一等于三乘三等于九。 同学们观察的很仔细，根据这些发现，你能快速算出下面的算式吗？ 结果是八十一，这个算式和我们研究的点阵中的规律是一样的， 可以看成是九行九列的点阵。所以一加二加三加四加五加六加七加八加九 加八加七加六加五加四加三加二加一等于九乘九等于八十一。 通过这些点阵，我们找到了他们隐含的规律，也找到了一些快速计算的方法， 同学们的收获可真多。在这一课中，我们通过摆三角形和点阵中的规律两部分内容， 同学们在观察中看清，倾听时听清，质疑里问清，表达中说清，操作时做清，思考时想清。 经历了探索规律的方法，探索、归纳、猜想、解释、验证的过程。希望同学们在今后的学习中能够学以自用。 课后请同学们完成像这样摆十个正方形需要多少根小棒？ 这节课就上到这里，同学们再见！

同学们好，我是双峰小学程老师，今天我和大家一起学习的课程是尝试与猜测。 在上课之前，请同学们先准备好纸笔、尺子等学习工具， 准备好了吗？在中国古代，有许多有趣的数学问题，鸡兔同笼就是中国古代有趣的数学名题之一， 大约在一千五百年前，孙子算经中就有这样的记载， 书中是这样叙述的，今有智兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问智兔各几何？ 课间中标注出拼音的字，读智就是野鸡的意思，谁能理解？提议说一说，这里讲的是一个什么样的数学问题呢？ 笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有三十五个头，从下面数有九十四只脚，问笼中鸡兔各有几只？ 这么大的数据，同学们尝试猜测肯定会有一定的困难，我们先把它化难为易，从简单入手，找出规律，再来尝试猜测，解决这个问题好吗？ 我们看到简单版笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有九个头，从下面数有二十六只脚，鸡和兔各有几只？请大家再把题目读一遍， 读完题后你都知道了什么？ 鸡和兔一共有九个头，鸡和兔一共有二十六条腿，球分别有几只鸡和几只兔， 非常好观察的很仔细，发现了题目中的关键信息，还有补充吗？还有两个隐藏条件，谁细心发现了？ 因为每只鸡和兔都只有一个头，一共有九只鸡和兔，还有每只鸡有两条腿，每只兔子有四条腿，真棒！这个隐藏条件你们发现了吗？ 请先猜一猜，鸡兔可能有几只呢？或者可能只有一种动物吗？ 不可能都是鸡，因为如果都是鸡，就会有十八条腿，而题目中是二十六条腿， 也不可能都是兔子，如果都是兔子，就会有三十六条腿，而题目中是二十六条腿，应该鸡和兔子都会有， 我猜测鸡有两只，兔子有七只， 这是它们的猜测，我们来验证一下，如果鸡有两只， 那么它的腿就有二乘二等于四条，肚子，就会有七只，腿，就会有四乘七等于二十八条，合起来一共就是三十二条腿，对吗？还有其他同学来猜猜吗？ 我猜测鸡有七只，兔子有二只，这也是它的猜测，我们也来验证一下。 鸡有七只，那么腿就有二乘七等于十四条，兔子就有两只，腿，就有四乘二等于八条，合起来一共就有二十二条腿，对吗？也不对。 那么大家刚才有这么多猜想，但是这么多种猜想听起来却完全没有头绪，让人不知道从何下手。那我们要怎么把这些猜想过程有序的整理出来呢？ 老师，这里有一张表格，我们先一起来看看这张表格谁看懂了它？ 左边这一列表示鸡有几只，中间这一列表示兔有几只， 最后一列表示的是腿一共有多少条。其实数学家们也不是每次都能猜准的，不过他们会根据具体的情况不断的调整自己的想法，最后找出答案， 而把这些猜字的结果有序的写在表格中，这样的方法叫列表法，下面我们就要用列表法试着来解决这类的问题， 请同学们先用尺子画好表格，再利用表格有序的尝试与猜测，到底有多少只鸡和兔子？准备好了吗？开始吧！ 同学们，完成好了吗？我们来看看这位同学的想法吧。 鸡是一只，这时兔子就是八只， 腿的条数就是一乘二的鸡加上八乘四的鸡，等于三十四条，和二十六条不相符，所以想法错误。 接着我又猜，鸡是两只兔子，七只腿的条数就是二乘二的鸡加上七乘四的鸡等于三十二条。也不对， 所以我猜鸡是三只，兔子是六只，腿的条数就是三乘二的鸡加上六乘四的鸡等于三十条。不对。接着我猜鸡是四只兔子，五只 腿的条数就是四乘二的鸡加上五乘四的鸡等于二十八条，不对。接着我猜鸡是五只兔子，四只腿的条数就是五乘二的鸡加上四乘四的鸡等于二十六条 腿，条数就是二十六条。所以我确定鸡是五只，兔子是四只。 刚才这位同学一步步地尝试与猜测，从一只鸡开始，尝试一只一只地进行调整。我们把这种列表法叫做逐一列表法。 你们觉得这种列表法有什么优点呢？是的，能够做到不重复，也不会有遗漏。 爱因斯坦曾经说过，提出一个问题比解决一个问题更加的重要。所以看完刚才同学们的汇报，你有什么想法和问题需要和大家交流呢？ 我观察这个方法，发现有时腿多了，腿多了说明什么呢？这位同学提的问题真棒，你们思考一下，腿多了是说明什么呢？ 是的，腿多了就是兔子多了，因为的兔子腿很多。腿多了或者少了，怎么调整呢？ 腿多了就减少兔子肢数，腿少了就应该增加兔子肢数，因为兔每增加一只鸡就减少一只腿的总数，就增加两条 腿的数量。为什么每次都会增加两条？ 一只兔比一只鸡多两条腿永远不变，只要按照顺序尝试下去，腿的条数都会增加两条。 同学们真棒！我们理清楚了这么多的问题，刚才我们注意到逐一列表法的优点，那么他有没有什么缺点呢？ 从一只鸡开始猎取，如果数据较大，猎取的次数就会越多，花的时间也会越长。 是的，看来我们当数据很大的时候，我们就不能应用主义列表法，那我们还有没有其他的办法呢？我们可不可以跳一跳试一试？让我们来看看下面这位同学的想法吧！ 我是这样想的，我先尝试猜测，鸡有鸡，有一只兔子就是八只，而腿的条数就是二加三十二等于三十四条，离二十六条相差较远。 我就猜测鸡有四只，兔就是五只，腿的条数就是八加二十等于二十八条，低于二十六条，只要减少两条，鸡再增加一条就可以。所以鸡有五只，兔有四只，腿的条数就是十加十六等于二十六条。 真不错，我们也给这种列表法取个名字吧，就叫它跳跃列表法， 验证后调整幅度会缩小，而且更加的方便快捷，我们可以 大家非常聪明，其实我们在用逐一列表法和跳跃列表法的基础上，还可以选择从中间的数据进行尝试和猜测。 我们来看看这位同学的想法吧。我第一次就先取九只的，中间五就是鸡，五只兔四只腿的条数就是十加十六等于二十六条，一下就是对了， 这个方法取的是中间数，我们就叫做取中列表法。 回顾我们刚才的解析思路和方法，首先根据已知信息进行尝试与猜测， 然后进行计算和验证，最后分析进行合理的调整。老师把整个过程记录下来， 你们在这么短的时间内就想出了这么多种列表法，解决鸡兔同笼的问题，你们非常的了不起。对比这三种方法，你最喜欢哪种列表法呢？理由是什么？ 我喜欢跳跃列表法，因为跳跃列表法可以快速的找到正确答案。我喜欢逐一列表法，虽然比较麻烦，但是能做到不重复，不遗漏。 我喜欢曲中列表法，因为曲中列表法不管数据是多少，只要先曲中就可以让我快速的知道是应该增加还是减少。 刚才我们运用列表的方法解决了简单的嫉妒同僚问题，并且在表格中发现了规律。那么你能不能运用列表的方法以及刚才发现的规律来解决孙子算经中的嫉妒同僚问题呢？ 既有智兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问智兔各几何？请同学们仔细读题，选择你喜欢的列表法试一试开始吧！ 好了吗？我们一起来看看这位同学的想法吧！ 我是用曲中列表法完成的，因为有三十五个头。我先假设，有鸡有十八只，兔就有十七只腿，就是十八乘二加十七乘四，经过计算等于一百零四， 离九十四条腿多了十条。我接着猜测，鸡有二十二只，兔有十三只 腿，就是二十二乘二加十三乘四，经过计算等于九十六条腿，还多了两条，我再减少一只鸡的数量，这时鸡有二十三只，兔有十二只，经过计算，腿有九十四条，正好合适。 还有哪些同学也是用的这种方法？你们认为这种方法有什么优势呢？是的，只要我们能够根据实际情况做到准确的增减变化，就可以很快的得到答案。 同学们，数学的问题一定要抓住数学的本质，这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅代表兔。鸡兔同笼这个问题后来被其他数学家发现， 善于研究和学习的数学家又把它转变成了龟鹤问题。你们想想说一说，这里龟鹤问题和我们今天说的鸡兔同笼问题有联系吗？ 是一样的意思，龟就相当于兔都是四只脚，鹤就相当于鸡都是两只脚。 是的，如果我们不叫它鸡兔同笼，也不叫它龟鹤问题，我们还可以给他取很多很多的名字，比如鸭狗问题，猪鹅问题等等等等，都可以用类似的思想方法来解决问题。 这些方法你都学会了吗？下面就运用我们所学的方法来解决一些生活中的基督同笼问题吧。请看题，乐乐的储蓄罐里有一角和五角的硬币，共二十七枚，总值五点一元。 一角和五角的硬币各有多少枚？这是一个硬币问题，请你用列表的方法来解决问题，开始吧！ 好，时间到，完成好了吗？我们一起来分享一下。 我是用跳跃列表法来做的，先猜测，一角有一枚，五角就有二十六枚，总之就是零点一元加十三元，经过计算等于十三点一元， 发现比五点一元多了八元，所以我猜测一角有十七枚，五角就有十枚， 总数经过计算等于六点七元，还多了一点六元。这次我猜测一角有二十一枚，五角就有六 枚，总数经过计算等于五点一元，正好合适，所以一角有二十一枚，五角有六枚。 真棒！这位同学经过三次的尝试与猜测就解决了问题，你们通过几次尝试找到了答案呢？ 同学们时间过得真快，这节课到这里就快结束了，让我们一起来回顾一下本节课。我们首先了解了数学名题基督同笼问题， 接着我们又分别用逐一列表法、跳跃列表法和曲中列表法解决了简单的几度同笼问题。我们还会用这些方法解决数学名题。我们还了解到数学上这样类似的名题有很多很多。 同学们，数学自古以来就是我国历史上的璀璨明珠，在我们生活中无处不在，我相信同学们只要敢于尝试与猜测，并且不断的实践验证，调整创新， 任何问题都能迎刃而解。今天的课我们就上到这里，同学们再见！

同学们好，我是辽宁省实验中学阳光小学的任丽丽老师，很高兴能与大家一同学习。 今天我们一起走进北师大版五年级上册数学好玩中的尝试与猜测一课。 同学们，你们听过鸡兔同笼问题吗？鸡兔同笼问题出自我国古代数学名著孙子算经，今天我们共同研究这道数学名题吧。 鸡兔同笼有九个头，二十六条腿，鸡兔各有几只？从这道题里，你能获取哪些数学信息？ 鸡和兔在一个笼子里有九个头，说明鸡和兔一共有九只， 还知道它们的腿数一共有二十六条。这道题跟腿数有关，引含的数学信息是，一只鸡两条腿，一只兔子四条腿， 鸡兔各有几只？怎么解决这个问题呢？我来猜一猜，可能鸡三只，那兔子就是六只， 计算一下腿数，一共是三十条腿多了，我再猜猜，鸡两只，兔子七只呢？腿数是三十二条还是多？ 再试试五只鸡四只兔子，验证一下，正好二十六条。这回猜对了， 这位同学用猜想和验证的方法找到了答案，但是他是随意猜想的，有没有更好的办法呢？ 我是这样做的，画了一个表格，第一列是鸡的支数， 第三列计算腿的总条数。鸡和兔一共有九只，假设有一只鸡应该有八只兔子， 鸡的腿数加上兔子的腿数等于三十四条，不符合。提议。接下来，假设鸡两只，兔子就是七只，腿数是三十二条，还是不符合。按顺序一个一个的试， 鸡三只，兔子六只，鸡四只，兔子五只，验证一下都不符合。再试试鸡五只，兔子四只，正好是二十六条。 这位同学能够进行有序的数学思考，把他的猜想在表格中按顺序依次列举出来。仔细观察表格，你还发现了什么？ 我发现表格中数的变化是有规律的，鸡增加一只，兔子减少一只，总腿数就减少两条。 想一想，为什么鸡增加一只，兔子减少一只，总腿数就减少两条呢？ 因为一只鸡比一只兔子少两条腿，多了一只两条腿的鸡少的是一只四条腿的兔子，所以总腿数就减少两条。 有了这个规律，列表就太方便了，我还能再往下写，鸡六只，兔子三只时，腿数是二十四条， 鸡七只，兔子两只，腿数就是二十二条。只要按照这个步骤做下去，不管头数和腿数是多少，都能解决。 通过有序的列表，我们发现了鸡兔同笼问题蕴涵的规律。鸡增加一只，兔子减少一只，总腿数就减少两条。有了这个规律，按顺序列表就方便多了。 我还有新的想法，因为增加一只鸡，总腿数就减少两条，所以鸡的数量越多，总腿数就越少。那么，想让总腿数变少的话，岂不是增加鸡的只数就可以啦？ 老师，我是从兔子一只，鸡八只开始按顺序列表的。因为一只兔子比一只鸡多两条腿，所以增加一只兔子减少一只鸡，总腿数就增加两条。 也就是说，兔子变多时，总腿数就变多了。那么，想要把总腿数变多，增加兔子的数量就可以了。 同学们真善于发现和总结。鸡增加一只，兔子减少一只，总腿数就减少两条。兔子增加一只，鸡减少一只，总腿数就增加两条。 所以，想要减少总腿数，就增加鸡的数量，减少兔子的数量。想要增加总腿数，就增加兔子的数量，减少鸡的数量。 找到了这样的规律，我们试着解决一下孙子算经中的原题吧。 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几盒。你知道这道题的意思吗？ 就是鸡和兔在一个笼子里，从上面数有三十五个头，从下面数有九十四条腿，问鸡兔各有几只？跟刚才的问题一样，就是树变大了， 你能解决这个问题吗？我还从有一只鸡开始，一个一个的试，兔子三十四只，计算出腿的条数是一百三十八条。鸡两只，兔子三十三只，腿的条数是一百三十六条。 鸡的只数增加一，兔子的只数减少一，总腿数就减少二。按这个规律写下去，当鸡二十三只，兔子十二只时，腿数正好是九十四条。终于成功了， 按顺序试这么多次，太麻烦了，有没有简单点的办法呢？ 我想到了简易的方法，大家看，假设鸡一只，兔子三十四只时，腿是一百三十八条， 一百三十八比九十四大了很多，一定是兔子太多了，应该大量增加鸡的只数，减少兔子的只数 就没必要按顺序写了，鸡的只数直接写十，试一试，兔子就是二十五只，计算出腿是一百二十条，腿数还是多很多，鸡还应该再增加一些。 鸡增加十只，兔子就得减少十只，算出腿是一百条。差不多了，再调整一点就可以了。 鸡二十五只，兔子十只呢，计算出腿九十条，比九十四少了，腿少了，这回得增加兔子的只数，减少鸡的只数了。 鸡减少一只，试一试，腿数是九十二条，很接近了。再减少一只鸡，增加一只兔子，腿数正好是九十四条。 这位同学省略了很多步骤，快速简易的解决了问题。当假设得到的腿数比实际腿数多很多的时候，就不用按顺序依次列举了， 可以大量增加鸡的数量，减少兔子的数量，腿数很接近的时候，再做细微调整。 如果在调整过程中得到的腿数比实际腿数少了，那就增加兔子的肢数，减少鸡的肢数。还有一位同学也有他的想法，我们一起看看吧。 我是这样想的，一共有三十五只动物。假设鸡和兔的只数差不多，我从鸡有十七只，兔有十八只开始尝试计算出腿有一百零六条， 一百零六条与九十四条就非常接近了。腿多了一点，增加鸡的只数就可以了。 鸡二十只，兔子十五只，试一试，腿数一百条，还多一点。再细微的调整，鸡增加两只，兔子减少两只，腿数九十六条，接近了，再增加一点。 鸡二十三只，兔十二只，腿正好九十四条。 原来有这么多种尝试的方法呀！我发现不管用哪种方法，调整起来都是有规律的。鸡和兔总数不变，增加几只鸡 就得减少几只兔子。腿多了，就增加鸡的肢数，减少兔子的肢数。腿少了，就增加兔子的肢数，减少鸡的肢数。调来调去可真有趣啊！ 同学们真会学习和思考，总结得非常全面。三种方法都是利用这个规律分析和调整数据， 像这样在表格中按顺序依次列举，称为逐一列表法。 当数量较大时，要经历多次尝试才能得到答案。我们可以利用规律大幅度的调整数据，就能省略很多步骤。这种方法称为跳跃列表法， 还可以从鸡和兔的数量差不多时开始尝试，再去调整，还能更快地接近正确答案。这种方法称为曲中列表法。 有了这些经验和方法，你能帮助乐乐解决他在存钱过程中遇到的问题吗？ 乐乐的储蓄罐里有一角和五角的硬币，共二十七枚，总数五点一元。一角和五角的硬币各有多少枚？ 这道题给了一角和五角硬币的总枚数和他们的总前数和鸡兔同笼问题一回事啊。列一个表格，第一列是一角的枚数，第二列是五角的枚数，第三列是他们的总值， 一角和五角的硬币，共二十七枚。我用取中列表法假设一角十三枚，五角十四枚，一乘十三加五乘十四等于八，十三角等于八点三元， 比五点一元多很多，应该多减少五角的枚数，增加一角的枚数。 我调整一角二十枚，五角七枚，总值五点五元，多了一点点一角枚数，再增加一五角六枚，正好五点一元。 我们用列表法不仅解决了孙子算经中的鸡兔同笼问题，还成功地帮助乐乐解决了储蓄中的困惑。这节课你有哪些收获呢？ 今天我们从一道历史名题鸡兔同笼问题开始， 经历了从无序的猜想到有序的思考。通过在表格中按顺序进行尝试和猜测，不仅学会了有序的解决问题， 还找到了鸡兔同笼问题蕴涵的规律，并能利用规律分析和调整数据。 当遇到数量较大的问题时，我们还探索了更优化的解决办法，使列表过程更简化。用解决嫉妒同笼问题的思路和方法，还能解决生活中很多类似的问题， 如停车场里求汽车和三轮车数量问题、篮球场上求投篮个数问题等等。留作作业，同学们课下去探索和研究吧！ 今天的学习内容在教材第九十九页和一百页， 这节课就上到这里，同学们再见！

五年级上册本是大版数学寒假作业练习音填空、判断、选择、计算、解决问题应用题强化。这款数学寒假作业一本共有四十六页， 依据课本知识帮助学生寒假打卡复习、巩固、培优提升。共有二十二套练习寒假努力点，开学高起点。课后附有参考答案供参考。

亲爱的同学们大家好，我是辽宁省沈阳市沈河区马关桥小学的林巧翠老师，很高兴能与大家一同学习。 今天我们一起走进北师大版数学五年级上册小数除法这一单元，就让我们共同开启今天的数学之旅吧！ 淘气和笑笑一起去买牛奶，甲乙两家商店都有出售，从途中你发现了哪些数学信息？还会提出什么数学问题呢？ 通过观察情境图，我发现的数学信息是，假商店牛奶买了五袋，一共十一点五元。乙商店牛奶买了六袋，一共十二点六元， 其中五袋和六袋是牛奶的数量，十一点五元和十二点六元是牛奶的总价。我提出的数学问题是哪家商店的牛奶便宜？ 我们在发现数学信息时，就应该像这样从整体上去关注数学信息之间的相同之处，并把数学信息进行梳理， 能够用总价、数量这样的词来概括情境当中的信息，从而提出有价值的数学问题。 比较同种商品的价格是我们生活中经常遇到的问题，那么我们可以怎样来解决这个问题呢？ 我们可以分别算一算甲乙商店每袋牛奶的单价在进行比较。那么首先我们来看甲商店每袋牛奶的单价怎么列示呢？ 大家看，假商店五袋牛奶十一点五元，十一点五元是总价，五袋是数量，根据总价除以数量等于单价列的算式是十一点五除以五。 请大家观察这个算式和我们之前学习的除法有什么不同呢？ 以前我们学习的是整数除法，今天我们要来研究的是小数除法，那么我们能不能借助以前所积累的学习经验来解决这个新问题呢？ 请大家仔细思考完成学习任务一中的内容， 同学们完成了吗？我们一起来看看淘气和笑笑是怎样做的吧！我是根据圆角分与小数的关系，把小数除法转化成整数除法进行计算的。 十一点五元等于一百一十五角，一百一十五角除以五，结果是二十三角等于二点三元，所以十一点五除以五等于二点三元。 我是根据元角分与小数的关系，利用除法口算的方法来计算的。十一点五元等于十元，加上一点五元，十元平均分成五份，每份是二元。 一点五元等于十五角，十五角平均分成五份，每份是三角，也就是零点三元。二元加上零点三元等于二点三元， 所以十一点五除以五等于二点三元。答甲商店牛奶每袋二点三元。 同学们请看，这两种计算方法都是把小数除法转化成以前学习过的内容再来算的，这种转化的数学思想特别重要，会为我们以后的学习带来很大的帮助。 其实这道题还可以利用圆角分与小数的关系，用列竖式的方法来计算，我们一起来看看下面这位同学是怎样算的吧！ 利用圆角分与小数的关系，我是用列竖式的方法来做。十一点五除以五，十一元平均分成五份，每份是二元于一元，再把五落下来 一点五元，也就是十五角。十五角平均分成五份，每份三角三五十五，十五减十五等于零。 这里的三表示的是三角，为了清楚的表示三角，所以要在圆和角的中间点上小数点，商的小数点与被除数的小数点要对齐。 同学们，这里的十五表示什么呢？三又表示什么呢？接下来就让我们带着这样的思考，借助硬币分一分的过程，再次理解这道数式吧。 同学们，请看十一点五元，可以摆十一个一元和五个一角，先分十一元，平均分成五份，每份是二元， 分出去了十元，还剩一元， 剩下的一元不能继续分，该怎么办呢？我们可以把一元换成十个一角， 再把五角落下来 一点五元等于十五角，继续分十五角，平均分成五份， 每份三角 三五，十五没有剩余。最后的结果是每份为二元三角，也就是二点三元，商的中间要加上小数点， 同学们，你们理解了吗？接下来我们再看下一位同学的方法，他也是列数式计算的，我们一起听听他的想法吧！ 十一点五除以五，我是按照整数除法的法则进行计算，从高位除起，先算十一除以五。商十二除到哪一位商，就写在那一位上面。 二写在个位上，二五一，十，十一减十等于一，把十分位上的五落下来。 这里的十五表示十五个零点一，用十五个零点一除以五等于三个零点一就是零点三。在十分位上写三三五，十五，十五减十五等于零。 大家请看这个三是零点三是三个零点一，别忘了在三的前面点上小数点，商的小数点与被除数的小数点要对齐，所以十一点五除以五等于二点三元。 同学们，听了这位同学的想法，你还有哪些新的收获呢？我们现在来回顾一下刚才的学习过程。我们是如何来求出假商店牛奶每袋多少元的呢？ 首先要分析提议，找出等量关系，列出算式，多种方法计算。 同学们可以利用转化的数学思想来解决问题。如果在列数式计算小数除法时，可以按照整数除法的法则进行计算。 需要大家注意的是，商的小数点与被除数的小数点要对齐。 接下来我们就运用这样的学习方法，一起来算一算以商店牛奶每袋多少元， 根据总价除以数量等于单价，以商店每袋牛奶的单价列示为十二点六除以六。请同学们试着来完成学习任务二吧！ 我们一起来看看下面这位同学是怎样做的吧！ 十二点六除以六，我是按照整数除法的法则进行计算，从高位除起，先算十二除以六。商是二，除到哪一位商就写在那一位上面，二写在个位上。二六十二，十二减十二，没有余数， 再把十分位上的六落下来。这里的六表示六个零点一，用六个零点一除以六，每份是一个零点一，在十分位上写一，一六得六，六减六等于零。为了表示一在十分位上 就要对齐倍数数的小数点。在商的位置点上，小数点也就是二点一，所以十二点六除以六等于二点一元。答，乙，商店牛奶每袋二点一元。 甲，商店牛奶每袋二点一元，二点三大于二点一。现在你知道哪家商店的牛奶便宜了吧？ 以商店牛奶便宜。原来在我们的生活中，有许多地方都需要我们精打细算。 同学们，通过刚才的学习，我们了解到，在列数式计算小数除法时，可以按照整数除法的计算法则进行计算，但要注意商的小数点与被除数的小数点要对齐。 下面请同学们带着这节课的收获，运用这样的方法一起来完成学习任务。三、同学们，请看一下你的答案和老师的一样吗？ 再次强调，在列数式计算小数除法时，可以按照整数除法的计算法则进行计算，注意商的小数点与被除数的小数点要对齐。 请同学们继续完成学习任务。四、下面请一位同学给大家讲讲这道题的思考方法吧。 通过观察情境图，我发现的数学信息是，袋鼠的跳绳一共长八十二点五米， 要做十五根跳绳。数学问题是袋鼠做的跳绳平均每根长多少米？ 想求出这个数学问题，实际上就是求把八十二点五平均分成十五份，每份是多少用除法来计算，八十二点五除以十五等于五点五米。答，袋鼠做的跳绳平均每根长五点五米。 通过观察情境图，我发现的数学信息是，小兔的跳绳一共长八十二点五米，要做二十五根跳绳。数学问题是， 小兔做的跳绳平均每根长多少米？想求出这个数学问题，实际上就是求把八十二点五平均分成二十五分，每分是多少用除法来计算， 八十二点五除以二十五等于三点三米。答，小兔做的跳绳平均每根长三点三米。 同学们，今天我们一起研究了除数是整数的小数除法，我们可以按照整数除法的计算法则进行计算，但要注意商的小数点与被除数的小数点要对齐。 我们在遇到新问题时，可以想办法转化成已经学习过的内容，这样新问题就可以迎刃而解了。 这节课就上到这里，同学们再见！

同学们好，我是辽宁省大连市金浦新区星河小学的于苗苗老师。 今天我们一起来学习北师大版数学五年级上册第七单元谁先走的？第二课时，上节课，我们设计出公平的游戏规则，帮小明和小华解决了谁先走的问题。 今天淘气和笑笑也遇到了一个问题，我们一起去看看吧。爷爷要去看比赛，可是只有两张票，淘气和笑笑谁能跟爷爷一起去呢？ 这有一个瓶盖，扔出后，着地时盖面朝上，我去盖面朝下，笑笑去。笑笑想啊，扔瓶盖有两种可能，应该是公平的。 请同学们猜想一下，淘气的这个扔瓶盖的办法公不公平呢？ 我认为公平，这个和硬币差不多，都有两个面，一种可能是盖面朝上，另一种可能是盖面朝下。笑笑和淘气的机会是均等的，都有可能去， 我认为这种办法不一定公平。我觉得瓶盖和硬币好像有点不一样，我发现他有一面重一些，有一面轻一些，跑起来后，盖面朝上和盖面朝下的可能性也许不相等呢。 同学们都说出了自己的想法，那么抛瓶盖到底公不公平呢？有什么好办法？我们来做一个抛瓶盖的试验怎么样？ 请大家拿出课前准备好的瓶盖。同桌两人合作完成二十次游戏，可以每人各抛十次。一人抛瓶盖时，另一个人在表格中画正字，记录游戏的结果。 注意在抛的时候尽量保证每次的用力和抛的高度差不多，别太低了，也不用特别高。明白了吗？开始吧， 大家的试验都结束了，我们一起来交流交流。先来看看第一组两对同桌的游戏结果， 我和同桌一共泡了二十次，盖面朝上九次，盖面朝下十一次，两种情况的可能性很接近。 可是我和同桌的游戏结果是，盖面朝上七次，盖面朝下十三次，两种情况的可能性相差比较大。啊 啊，你们的游戏结果不太一样。老师将第一组和第二组八位同学的游戏结果汇总在一起，再来看看你们发现了什么？ 从这两组的汇总数据上看，概面朝上和概面朝下的可能性相差有些大了。 对呀，当游戏次数从二十次增加到八十次时，盖面朝上和盖面朝下的可能性相差就比较大了。 接着看第三组四位同学的游戏结果，盖面朝上十一次，盖面朝下二十九次，再和前两组的数据汇总在一起，两种可能性相差又大了。 同学们猜想一下，如果老师出示第四组四位同学的游戏结果，将前四组的数据汇总在一起会怎么样呢？ 我猜想，如果汇总四组同学的游戏结果，概面朝上和概面朝下的可能性相差会更大，是这样的吗？我们一起来看一看。 第四组的游戏结果是，盖面朝上十五次，盖面朝下二十五次，四组数据汇总在一起，盖面朝上五十六次，盖面朝下一百零四次。 确实是盖面朝下的可能性比盖面朝上的可能性大很多啊。 现在老师把剩下的八组同学的游戏结果也呈现出来，再把全班的游戏结果汇总在一起，你们能发现什么？ 我发现了，每个小组的情况基本是一致的，都是盖面朝下的次数多，盖面朝上的次数少。而且从汇总数据看，盖面朝下的次数比盖面朝上的次数多多了。 我还发现，抛的次数越来越多，两种情况的差距就越来越明显。看来我的这个抛瓶盖的办法不公平。同学们说得对， 试验数据越多，两种情况的可能性相差就越大。你们想一想，为什么盖面朝下的可能性大呢？ 我发现这个瓶盖的构造不均匀，一面重一面轻，所以在抛瓶盖的过程中，盖面朝下的可能性比盖面朝上的可能性大。 你们真是太善于观察了，这个瓶盖质地不均匀，盖面质量重，所以瓶盖的重心总是偏向盖面。 当然，盖面朝下的可能性就要大一些，盖面朝上的可能性就会小一些了。 同学们抛瓶盖时，盖面朝上和盖面朝下两种可能性都会出现，只是可能性不相等。 所以，抛瓶盖这个游戏是不公平的，不能决定淘气和笑笑谁能跟爷爷去看比赛，需要制定公平的游戏规则才可以。 其实啊，像这样和游戏公平有关的事情在生活中经常遇到，让我们一起来解决实际问题吧！ 第一题，淘气和笑笑决定用抛图钉的方式来决定谁去看球赛。先猜一猜，这个游戏公平吗？ 我猜想不公平，这个图钉一面大一面小，抛起来后面积大的那面肯定先落地。 我也猜想不公平，这个图钉一面重一面轻，抛起来后重的那面肯定先落地呀！ 同学们的猜想对不对呢？那就动手试验验证一下吧！ 请同桌合作抛图钉，每人重复抛十次，一人抛图钉时，另一个人还是画正字记录结果。 抛的时候一定要注意安全，不要被图钉扎伤。老师将各个小组的试验数据汇总在一起，说一说这个游戏公平吗？ 我认为这个游戏不公平。每组的事业结果基本是一致的，都是地面朝下的次数多，地面朝上的次数少。从汇总数据看，地面朝下的次数要比地面朝上的次数多多了。 同学们抛图钉时有两种可能性，一种是钉面朝上，一种是钉面朝下。从试验数据看，钉面朝下的可能性大，钉面朝上的可能性小，所以抛图钉这个游戏不公平。 刚才通过试验验证了我们的猜想，知道了抛图钉的方式不公平，钉面朝上和钉面朝下的可能性不相等。 看来只有制定公平的游戏规则，才能决定淘气和笑笑谁去看比赛。第二题， 奇思和妙想做摸球游戏，每次任意摸一个球，然后放回，再摇匀，每人摸十次， 摸到白球，妙想得一分，摸到黄球，奇思得一分，摸到其他颜色的球，二人都不得分。你认为从哪几个口袋里摸球是公平的？你们是怎么想的呢？ 我是这样想的，其中已知的数学信息，摸到其他颜色的球，二人都不得分。说明除了摸到袋子里的白球和黄球，其他颜色的球都不计分，可以忽略不看， 只看白球和黄球即可。同意，要想使游戏公平，必须是每个袋子里白球和黄球的数量一样多才可以。 oh， 只有白球和黄球的数量一样，两人才能获得同样的分数。我们一起来看这四个口袋，只有左手第一个袋子和第三个袋子，袋子中白球和黄球的数量一样， 所以从这两个口袋里摸球是公平的。同学们，通过这节课的学习，你们有什么收获呢？ 通过这节课的学习，我知道了我们可以根据生活经验和事业数据，设计对双方都公平的游戏规则。 同意，判断游戏规则是否公平，要看代表双方的事件发生的可能性是否相等，如果相等，则游戏规则公平。如果不相等，则游戏规则不公平。 我还知道了，在遇到不能确定游戏公平性时，可以通过试验收集数据，用数据来帮助我们判断。 收集数据时要尽可能多一些，数据越多，我们的判断就会越合理。 同学们在进行判断之前，用实验的办法主动关注数据，让数据成为我们判断的重要依据。 还要表扬同学们的是你们的认真思考，积极反思。这些都是我们学习数学的良好习惯，希望同学们能用数学的眼光看待生活中的问题，做出合理判断。 这是今天的课后作业，请同学们认真完成。这节课我们就上到这，同学们再见！

各位同学，大家好，我是来自辽宁省沈阳市沈河区六一学校的杨淑玲老师，很高兴能和大家一起学习。 今天我们学习的是北师大版数学五年级上册第一单元小数除法中的调查生活垃圾。 随着环保知识的普及，人们逐渐意识到要想保护我们的环境，就要减少垃圾的排放，并做好垃圾分类工作。 为了了解身边的生活垃圾的产生情况，五年一班和五年二班的同学们进行了调查，让我们一起去看一看， 你发现了哪些数学信息。根据五年一班的调查汇报，我们发现一个人四周可产生约三十点八千克生活垃圾。 根据五年二班的调查汇报，我们发现这个小区周一到周五共产生生活垃圾约三点五吨，周末每天产生生活垃圾约一点三吨。 你们也有同样的发现是不是？那么根据图中的数学信息，你能提出哪些数学问题？我们看看大家都提出了什么数学问题。根据五年一班的调查，有的同学提出这样的两个问题， 一个人平均每周产生多少千克生活垃圾？一个人平均每天产生多少千克生活垃圾？根据五年二班的调查，提出的问题是，这个小区周一到周五平均每天产生多少吨生活垃圾？ 与平时相比，这个小区周末每天要多产生多少吨生活垃圾？ 你们真的很善于提出问题，我们来看这几个问题，哪些问题用我们之前学习过的知识经验可以解决？哪些问题用我们之前学习过的知识经验还不能解决？ 对，确实如你们所说，第一个、第三个问题是我们已经学习过的，可以解决 第二个问题和第四个问题，用我们之前学习过的知识经验暂时还不能解决。那么我们今天就一起来探究这两个问题的解法。 我们先来解决第二个问题，需要哪些信息呢？一个人四周可产生约三十点八千克生活垃圾。一个人平均每天产生多少千克生活垃圾， 应该先求什么再求什么呢？请你独立完成学习任务。单上学习任务一的第一题都算出来了，是吗？让我们来听听这两名同学的算法。 我先算四周共有多少天，再算一个人平均每天产生多少千克生活垃圾，列式为三十点八除以四乘七的积。因为我要先算四周共有多少天， 所以先计算括号里面的四乘七等于二十八，再算一个人平均每天产生多少千克生活垃圾。用三十点八除以二十八等于一点一千克。 我先算每周产生多少千克垃圾，再算一个人平均每天产生多少千克生活垃圾，列式为三十点八除以四除以七等于七点七除以七等于一点一千克。 这两名同学用了两种方法解决了问题，都列出了带有小数除法的综合算式。因为是解决同一个问题，所以这两个算式的结果相等。那么这两个算式还有什么不同之处呢？ 这两个算式的运算顺序不一样，左边的算式是小数连除法，按照从左到右的顺序计算。右边的算式因为有括号，先算的是括号里面的。而且我还发现三十点八除以四除以七等于三十点八除以四乘七的积， 这不就是除法的性质吗？一个数除以两个数等于这个数除以这两个数的积。 你可真善于观察和发现。虽然他们的方法不一样，但无论哪种方法，我们在分析数量关系和计算算理时都和整数是一样的。 而且我们还发现，整数除法的性质在小数除法中也同样适用。 通过刚才的计算，我们知道一个人平均每天产生的垃圾达一点一千克，这是多么惊人的数量啊！所以同学们，平时我们要节约资源，清扫垃圾时做好垃圾分类，以保护我们的环境。 下面我们再来解决这个问题，需要知道哪些信息呢？这个小区周一到周五共产生生活垃圾约三点五吨， 周末每天产生生活垃圾约一点三吨。与平时相比，这个小区周末每天要多产生多少吨生活垃圾？请你完成学习任务一的第二题。 我先算周一到周五平均每天产生多少吨生活垃圾，用三点五除以五等于零点七吨。 再算与平时相比，这个小区周末每天要多产生多少吨生活垃圾？用一点三减零点七等于零点六吨。 我是把上面的分布算式列成一个综合算式，一点三减三点五除以五。 先算周一到周五平均每天产生多少吨生活垃圾。也就是先算三点五除以五等于零点七，再算一点三减零点七等于零点六吨。 你们每次都把思路说的这么明白，这真是学习数学的一个好习惯。 同学们，你们发现了吗？这两名同学的思路一样，只是分别用了分布计算和综合计算的方式来解决问题。他们都先求出小区周一到周五平均每天产生的生活垃圾， 在与周末每天产生的生活垃圾进行比较，所以在综合算式中，要先算三点五除以五。 下面请同学们仔细观察这三个综合算式，它们都是小书混合运算。让我们一起来回忆这三个综合算式的计算过程。你觉得小书混合运算的运算顺序是什么？ 我发现小数混合运算的运算顺序是先算乘除法，后算加减法。如果有括号，要先算括号里面的。如果只有乘除法或只有加减法，按照从左到右的顺序计算， 老师相信你们一定也发现了。也就是说，小数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序一样。对于小数混合运算，你们都掌握了吗？ 那现在请你完成学习任务二算一算，与同伴说一说运算顺序都算完了是吗？来和正确的结果比一比吧， 看一看你的计算是否正确。这两道题都有括号，所以都要先算括号里面的，之后都变为小数除法，大家在计算时要注意仔细认真， 看来你们掌握的真不错。我们再来看学习任务三的第一题。 近年来，网上购物方便了人们的生活，但产生了大量的快递纸箱。据统计，每回收零点四千克的快递纸箱，大约能减少十六千克水和木材的消耗。 如果回收八十四千克的快递纸箱，大约能减少多少千克水和木材的消耗。 每回收零点四千克的快递纸箱大约能减少十六千克水和木材的消耗。我先求一千克快递纸箱能减少多少千克水和木材的消耗， 再求回收。八十四千克的快递纸箱大约能减少多少千克水和木材的消耗？列示为十六除以零点四乘八十四，等于三千三百六十千克。 我先求八十四千克，里面有几个零点四千克，再求回收八十四千克的快递纸箱大约能减少多少千克水和木材的消耗？ 列示为八十四除以零点四乘十六，等于三千三百六十千克。 你们分析的头头是道，借助小书混合运算再一次帮助我们解决了问题。 快递行业方便了人们的生活，但也带来了大量的纸箱垃圾，所以同学们，我们要告诉爸爸妈妈理性购买，并做好快递纸箱的回收。 我们再来看学习任务三的第二题，淘气家九月每天预定三袋纯牛奶，按批发价共付八十五点五元，这样每袋比零售价便宜多少元？认真思考，自己列施解决吧！ 我是这样想的，先算出九月份一共预定多少袋牛奶，用三十乘三等于九十袋，再算出批发价，每袋牛奶多少元。 用八十五点五除以九十等于零点九五元。最后算出批发价，每袋牛奶比零售价便宜多少元。用一点一减零点九五等于零点一五元。 我是列一个综合算式来计算的，一点一减八十五点五除以三十乘三的积，按照小数四则混合运算的运算顺序计算，最后等于零点一五元。 我和他的想法略有不同，九月份有三十天，我先算出每天预定牛奶花了多少元，也就是八十五点五除以三十，等于二点八五元。每天预定三袋牛奶，再求预定每袋牛奶多少元， 最后算出批发价，每袋牛奶比零售价便宜多少元，列示为一点一减八十，五点五除以三十除以三，通过计算最后等于零点一五元。 对于需要三步计算的小书混合运算，你们也分析的这么清楚，真要为你们点赞！其实不管是几步的运算，在分析数量关系和运算顺序上都和整数是一样的。 同学们，这节课我们学习了小书四则混合运算的运算顺序，你学会了什么？是怎么学会的？ 这节课我们在解决问题中知道了小数四则混合运算的顺序和整数四则混合运算的顺序是一样的，都是先算乘除法，后算加减法，有括号，先算括号里面的 如果只有乘除法或者只有加减法，按照从左到右的顺序计算。 正如大家所说，这节课我们在解决问题分析数量关系的过程中，利用学习整数四则混合运算的方法，探究出了小数四则混合运算的运算顺序， 知道小数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序一样。 这种转化的数学方法在第一年就帮助我们学到了很多知识，今后我们还会用这种方法学习更多的数学知识。 请大家下课后完成课后练习单中的内容，这节课我们就上到这，同学们再见！

今天我们一起来学习北师版五年级数学上册数学好玩的第二课时图形中的规律。我们用小棒来摆三角形的时候，这里有几根小棒，你能用它们摆出几个三角形呢？ 会发现用六根小棒可以摆出两个三角形， 那这样摆的话，可以用更少的小棒摆出更多的三角形。比如我们上面的只增加了一根小棒，就多出来了一个三角形， 那像这样的话，摆十个三角形一共需要多少根小棒呢？ 像笑笑这样摆十个三角形最少需要多少根小棒？我们可以通过列表来试一试。 在表格当中，我们最上面一行表示的是三角形的个数，下面这一行表示的是小棒的根数。摆一个三角形需要三根小棒， 摆两个三角形需要五根小棒，三个三角形需要七根， 四个三角形需要九根，五个三角形需要十一根。继续六个三角形是十三根小棒， 七个三角形，十五根小棒，八个三角形是十七根小棒，九个三角形总共用了二十一根小棒。 那从上页的表中你发现了什么呢？每多摆一个三角形就增加两根小棒。 第一行是我们三角形的个数，从右往左分别是一、二、三、四、五、六、七、八、九、十一个三角形是三根小棒， 两个三角形是五根小棒。在第一个三角形的后面增加了两根，也就可以写成三加二。 三个三角形是七根小棒，在两个三角形的基础上面往后又增加了两根，或者也可以看作在第一个三角形的基础上面增加了两个二，三加二乘二。 摆四个三角形的话，是需要九根小棒，在我们第一个三角形的基础上面，后面增加了三个二、 三加二乘三，五个三角形。十一根小棒在第一个三角形的后面增加了四个二、三加二乘四， 六个三角形。十三根小棒在第一个三角形的基础上面向后增加了六个二、 三加二乘六。摆八个三角形的话，是十七根小棒，在后面增加了七个二，九个三角形。十九根小棒往后面增加了八个。二， 十个三角形，二十一根小棒后面增加了九个二。 除此之外，我们还发现摆两个三角形需要的小棒数比六少一是五，摆三个三角形需要的小棒数比九少二，那以此类推。 五根小棒可以看作两个三角形，少一，二乘三减一，三个三角形的可以看作三乘三再减二。四个三角形可以看作四乘三减三， 五个三角形，五乘三减四，以此类推到十个三角形的话，就是十乘三再减九。 笑笑接着摆下去，一共用了三十七根小棒，你知道他摆了多少个三角形吗？ 第一种方法我们可以第一个三角形用了三根以后，每摆一个只用两根。我们可以从三十七里面减掉第一个三角形的三根，等于三十四根 以后每摆一个只用两根，用三十四除以二，等于十七个。也就是我们第一个三角形的后面是十七个三角形，那总共就是十七加一，等于十八个。 第二种方法，去掉最前面的一根小棒的话，相当于摆每个三角形都只用了两根小棒，所以先从三十七里面减掉我们最前面的一根等于后面的三十六根， 三十六除以二等于十八个，也就是我们共摆了十八个三角形点阵中的规律。 这是一组点阵图，仔细观察可以帮我们发现一些规律。 观察每个点阵中点的个数，你发现了什么？第一个可以看作一乘一，第二个点阵是二乘二，第三个点阵三乘三，第四个点阵四乘四， 那第五个点阵的话就是五乘五，那从不同的角度观察，我们会发现一些新的规律。第一个点阵图是一个点，第二个点阵图我们可以将它看作一加三。 第三个点阵图像这样来划分的话，可以看作一加三，再加五。第四个点阵图，一加三、加五，再加七。 换另一种角度斜着来看的话，第二个点阵图可以看作一加二，再加一。 第三个点阵图，一加二、加三、加二，再加一。第四个点阵图，一加二、加三、加四，再加三、加二、加一。 那接着画一画，说一说。 以我们上面的这种观察角度，继续往下画一画的话，分成一加三、加五、加七、加九， 斜着来观察的话，可以看作一加二、加三、加四、加五，再加四、加三，加二加一。 那通过这节课的学习，你有什么收获呢？摆连续的三角形时，每多摆一个三角形，就要增加两根小棒，摆 n 个三角形，需要小棒的根数就是 n 乘二，再加一。 如果已知所用小棒的个数求摆三角形的个数时，可以用小棒的根数减一的叉再除以二。那今天我们这节课到这里就结束了，感谢大家的支持！

亲爱的同学们，大家好，我是辽宁省沈阳市和平区南京一校长白岛二分校的龚文哲老师，很高兴能和大家一同学习。 今天我们一起学习北师大版五年级上册第三单元倍数与倍数中找质数一课。 通过前面的学习，我们在理解倍数与因数的基础上，探索了二、五、三倍数的特征，还体会了找一个数的因数的方法。今天让我们继续开启探索之旅吧！ 上节课，我们用十二个小正方形，可以拼成一乘十二、二乘六和三乘四这三种长方形。 我们还学习到十二的因素，就是这三种长方形的长和宽，也就是十二的因素有一、二、三、四、六和十二。 这节课我们用找因素的活动经验继续拼一拼。如果用两个、三个或者更多的小正方形来拼长方形，分别可以拼成几种长方形呢？ 请你用小正方形拼一拼，并填一填学习任务一中的表格吧！ 填好了吗？我们一起来看一下吧！我用两个小正方形拼，只能拼成这一种长方形。长是二，宽是一，面积是一乘二等于二，二的因数是一和二。 我用三个小正方形拼，也只能拼成一种长方形。面积是一乘三等于三，三的因素是一和三。 我用四个小正方形拼，可以拼成一乘四和二乘二这两种长方形。四的因素是一、二和四。 我用五个小正方形拼，只能拼成一乘五这一种长方形。五的因素是一和五。 我用六个小正方形拼，可以拼成一乘六和二乘三这两种长方形。六的因素有一、二、三和六。 我用七个小正方形拼，只能拼成一乘七这一种长方形，七的因数有一和七。 我用八个小正方形拼，可以拼成一乘八和二乘四这两种长方形，八的因数有一、二、四和八。 我用九个小正方形拼，可以拼成一乘九和三乘三两种长方形，九的因数有一、三和九。 我用十个小正方形拼，可以拼成一乘十和二乘五两种长方形，十的因数有一、二、五和十。 我用十一个小正方形拼，只能拼乘一乘十一这一种长方形，十一的因数有一和十一， 你填对了吗？观察表格，你有什么发现呢？我发现有的数的因数只有两个，如二、三、五等。 有的数的因素不止两个，如四、六、八等。是不是可以根据因素的个数来给它们分分类呢？ 你挺善于发现的。那么根据这些数因素的个数可以给它们怎样分类呢？ 可以按照每个数的因数的个数给它们分成两类，一类是只有一和它本身两个因数的数，还有一类是有两个以上因数的数。我们可以做一张分类表，这样会更加的清晰。 现在请同学们在学习任务二中分一分填一填吧， 都填好了吧，我们一起来看一看。只有一和它本身两个因素的数是二、三、五、七和十一，有两个以上因素的数是四、六、八、九、十、十二。 像这样的数还有吗？我想到了十三只有一和十三两个因数，十七也只有一和它本身两个因数，而且像这样只有一和它本身两个因数的数还有很多个。 我也想到了，像十、四、十五，它们的因数肯定不止两个，而且这样的数也有很多个， 同学们，我们将它们分成了两类，你知道它们叫什么名字吗？其实像第一栏中这样的数就是质数，像第二栏中这样的数就是核数。 你能说一说什么叫做质数，什么叫做核数吗？一个数只有一和它本身两个因素，这个数叫做质数。 一个数除了一和它本身以外，还有别的因素，这个数叫做和数。 说的很准确，我们在用小正方形摆长方形的过程中得到数据，通过观察分类，得到这一类数的共同特点，理解了什么是质数，什么是和数。 现在请你认一认，填一填。一至十二中，哪些是质数，哪些是核数呢？ 填好了吗？我们一起来看一看，我来回答。在一至十二中，质数有一、二、三、五、七、十一，因为它们只有一和它本身两个因素。 和数有四、六、八、九、十十二，因为他们除了一和他本身以外，还有别的因素。 我不同意你的看法，我没有把一填进去，我觉得一不属于质数，因为他的因素只有一个，既不是两个，也不是两个以上，所以一既不是质数，也不是和数。 说的很有道理，一的确比较特殊，它既不是质数，也不是核数。通过刚才的学习，我们认识了质数与核数，你掌握的怎么样了呢？我们一起来练一练， 请你独立完成学习任务。三、开始吧， 我们一起来看一下。我来回答。二十七等于三乘九，所以二十七除了一和它本身外，还有因数三和九，所以二十七是和数。 二十三的因数只有一和二十三，所以它是质数。二十九的因数只有一和二十九，所以它也是质数。 十一的因数只有一和十一，所以十一是质数。九是三的倍数。九除了一和它本身还有因数三，因此九是和数。 三，十三是三和十一的倍数一定有因数三和十一，所以三十三是和数。 十四的个位上是四，所以十四是二的倍数。十四一定有因数二，因此十四是和数。二十五的个位是五，所以二十五是五的倍数，一定有因数五，所以二十五是和数。 九十九除以十一等于九。九十九除了一和它本身外，一定还有因数十一和九，所以九十九是和数。 说的很好，我们可以根据二、三、五的倍数的特征来判断这个数中是否含有因数二、三和五。 如果还无法判断，还可以用七十一、十三等比较小的质数去试除看有没有因数七十一、十三等。 只要找到一个一和它本身以外的因素，就能判断这个数是何数，除了一和它本身找不到其他因素，这个数就是质数。 掌握了判断一个数是质数还是和数的方法，我们来做个小游戏吧， 游戏的名字叫做猜猜我是谁。有两个数字，它们的和是十，它们都是质数，它们的基是二十一，它们是谁呢？请你完成学习任务四、猜一猜吧！ 同学们，猜出来了吗？我们一起来看一下这两个数的和是十。 我们可以先列出哪两个数相加等于十，再来算一算它们的乘积，发现三加七等于十，三乘七等于二十一，而且三和七都是质数，满足提意，所以这两个数是三和七。 我有不同的思路，因为两个数的和是十，有不少组合，所以我先看第二个条件，这两个数都是质数，而且积是二十一。 我先列出哪两个数相乘等于二十一，然后再来算一算他们的和。因为三乘七等于二十一，三加七等于十，而且三和七都是质数，所以这两个数是三和七。 我们可以像第一名同学那样，列取出所有合适十的数，然后找到符合要求的质数。 还可以像第二名同学一样，用更简变的思考方法，直接想二十一的一对因数，这样的因数只有三和七，或一和二十一， 三和七正好满足提议。同学们，关于质数和核数，智慧爷爷还有一个小知识要和大家分享，我们一起来听一听吧！ 同学们，你知道吗？任何一个大于一的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的成绩， 如十二等于二乘二乘三，三十等于二乘三乘五，像这样，每一个整数都分解到不能再分解为止 句数。被称为自然数的数根，除了在数学领域中具有极其重要的地位外，在密码技术中也起着关键作用，广泛应用于金融、电子商务和网络安全中。 听了智慧爷爷的分享，我们知道了字数在我们的生活中真是大有用处， 而且任何大于一的整数，要么是字数，要么都可以写成几个字数相成的形式。课后请你也试着写一写吧！ 同学们，通过这节课的学习，我们借助用小正方形摆长方形的过程中得到数据，通过观察分类找到这一类数的共同特点，理解了质数与和数的意义， 知道了一既不是质数也不是和数，我们还学会了判断一个非零自然数是质数还是和数的方法。 请同学们课下完成课后练习单中的内容，今天的课我们就上到这里，同学们再见！

同学们好！我是辽宁省沈阳市和平区四经街第一小学的朱昆老师，很高兴与同学们共同学习今天的数学课。 上节课，我们学习了倍数与因数，学会了用乘法或除法找一个数的倍数。这节课我们将运用已有的知识经验，共同探索非零自然数范围内的二五的倍数的特征。 在学习前，请你准备一张百数表，一个计算器，你们准备好了吗？赶快开始我们的探索活动吧！ 首先，我们来探索五的倍数的特征。现在请同学们拿出你的百数表，圈一圈，圈出所有五的倍数，看一看五的倍数有什么特征？说一说，和同伴说说你的发现。 同学们，在百数表中你圈出了哪些数？又发现了什么呢？看这名同学是怎么说的。 我用乘法的方法找到百数表中所有五的倍数，五乘一等于五，五乘二等于十，五乘三等于十五，五乘四等于二十五乘五等于二十五， 这样画下去就圈出所有五的倍数。经过观察，我发现五的倍数都分布在了第五列和第十列上， 这一列个位上的数是五，这一列个位上的数是零，所以我猜想个位上是零或五的数是五的倍数。 他真有数学眼光，不仅关注了数的特征，还关注了数的分布情况。你们也有同样的发现吗？ 是的，五的倍数个位上不是零就是五，这仅仅是同学们的猜想，那对于百数表以外更大的五的倍数也具有这样的特征吗？ 数学是门严谨的学科，想知道猜想是否正确，还需要进一步的验证。 接下来，请你举出更大的数来验证刚刚的猜想，我列出的大数是三万五千三百六十五、五百二十、两万四千六百八十和七百六十五， 他们的个位上不仅有五，而且有零，用计算器将他们都除以五，发现上都是整数，没有余数，说明他们都是五的倍数。验证了刚才的猜想是正确的，个位上是零或五的数是五的倍数。 说的有理有据，再看看这名同学的验证过程有什么不同？我是逆向思考的，列出的大数的个位上都不是零或五， 经过计算器的计算，将他们除以五后，得出的商都是小数，说明他们不是五的倍数。也进一步验证了只有个位上是零或五的数才是五的倍数。 大家看这两名同学，通过正反两方面的验证得出结论，个位上是零或五的数是五的倍数，这也就是五的倍数的特征。 现在请同学们回忆，刚才我们是用怎样的方法探索五的倍数的特征的呢？ 是的，首先我们仔细观察摆树表中所有五的倍数，得到了初步的猜想。接着我们做了充分的验证，最后总结出了五的倍数的特征，这就是我们在探索活动中所用到的探索方法， 赶快用这样的方法去探索一下二的倍数的特征吧！ 请同学们借助百数表自主探索并验证总结。同学们做好了吗？你是如何探索的呢？ 我是这样做的，首先在百数表画出了所有二的倍数，经过观察，我发现二的倍数也都分布在列上，个位上都是二、四、六、八、零， 所以我猜想个位上是二、四、六、八，零的数是二的倍数。接下来，我又列取出百数表以外的大数进行验证， 写出了二百二十二、二百八十四、五千五百五十六、三百六十八、七百四十这些数在验证中将它们除以二后，发现上都是整数，所以说它们肯定是二的倍数， 从而我验证了自己的猜想，得出结论，个位上是二、四六八零的数，是二的倍数。 这名同学很会迁移学习，向我们详细的介绍了自己的探索过程，他的分享你看懂了吗？你也是这样做的吗？没错，个位上是二、四六八，零的数，是二的倍数的特征。 现在请你仔细看看你的摆树表，你还有什么新的发现，相信你一定看到了。摆树表中有一列数字被圈画了两次，说明它们既是二的倍数，又是五的倍数， 他们个位上的数也有特点，都是零。由此我们总结出了二五的共同倍数的特征，那就是个位上是零的数，既是二的倍数，又是五的倍数。 同学们不仅利用合适的学习方法探索出二的倍数的特征，还掌握了二和五共同倍数的特征，真是了不起， 看在我们探索出的数学规律中有没有相同点呢？没错，他们都有个关键词，个位。这也是我们判断一个数是否是二或五的倍数的法宝。 那么为什么只看个位呢？让我们一起走进数学链接了解一下吧！同学们，好，我是笑笑，为什么判断二的倍数只看个位就行了呢？让我来告诉你们吧！我们可以从数的意义上来分析这个问题， 举个例子，请看五百三十六这个数，十位上的三表示三个，十是三十，十里面有五个二，十是二的倍数，那么三十也是二的倍数，所以呀，不用看十位， 再看百位上的五，表示五个，一百是五百。我们知道一百是二的倍数，那么五百也是二的倍数，所以也不用看百位啦。 通过分析数的意义，我们发现整十整百的数都是二的倍数，所以不用看十位，百位同理，千位、万位等更高数位上所表示的数也都是二的倍数，所以就都不用看。想要判断一个数是否是二的倍数， 我们只需要看个位就可以了，同学们，你们明白了吗？ 通过笑笑的介绍，相信大家明白了，为什么判断一个非零自然数是否是五的倍数，也只看个位就可以了，让我们对二五的倍数的特征有了更深刻的理解。 其实在数学中，像二、四、六、八这样的数是二的倍数，也叫偶数。像一、三、五、七这样的数，不是二的倍数，也叫奇数。偶数就是人们常说的双数，奇数也就是单数。 奇数、偶数在生活中都有广泛的应用，你有注意到吗？快来看看吧！ 我们身份证号码倒数第二位代表性别，奇数代表男性，偶数代表女性。 在铁路系统中，进京方向的列车车次为偶数，离京方向的列车车次为奇数。只要同学们用数学的眼光去看，生活中处处有数学。 同学们通过刚才的学习，我们探索出了二五的倍数的特征，以及他们共同倍数的特征，认识了奇数和偶数，感受到了奇数、偶数在生活中的应用。 那么你们对这些知识掌握的怎么样呢？让我们一起练一练吧！第一题，在下面的数中找出五的倍数和基数，并与同伴交流，你是怎么判断的？ 我是这样判断的。通过这节课的学习，我知道了五的倍数的特征， 个位上是零或五的数，是五的倍数。所以我在以上这些数中找出了个位上是零或五的数，也就是五的倍数了，他们是，四十五、八十七、十五、九十五。 接着我来找基数，我们知道像一、三、五、七这样的数，不是二的倍数，也叫基数。二的倍数的个位上是二、四、六、八、零， 那么不是二的倍数的个位上就是一、三、五、七、九这些数啦。看，我找到了这些级数，他们是，四十五、五十三、七十五、八十九、九十五。 是的，我们可以根据五的倍数的特征和基数的特征来进行判断，相信同学们都已经出色的完成了。那么二五的倍数的特征在生活中是怎样应用的呢？ 让我们看看练一练的。第二题，食品店运来八十五个面包，如果每两个装一袋，能正好装完吗？如果每五个装一袋，能正好装完吗？为什么这道题你怎样思考呢？ 我用八十五除以二，等于四十二袋于一个，也就是说每两个装一袋，还剩一个不能正好装完。 我和你的想法不一样，每两个装一袋，能不能正好装完，其实就是判断八十五是不是二的倍数，八十五的个位上是五，它不是二的倍数，因此每两个装一袋不能够正好装完。 受力的启发，我想第二个问题也不需要计算，直接看八十五的个位上是五， 是五的倍数，所以我推理每五个装一袋，能正好装完。我再验算一下，八十五除以五等于十七袋，正好装完，没有余数。看来，八十五真的是五的倍数。 是的，判断一个数是否是五的倍数，不用计算，只看这个数个位上的数就可以了。真是太方便了， 同学们能够在交流中互相启发，并对自己的推理进行验证，解决了实际问题。你们可真会学习。我们来看第三题， 三做一做八加五等于十三，合一定是基数。试着说一说判断的理由，换一个算式试试看，试着做一做吧！ 我将八加五计算出来，等于十三，这个算式中，八是偶数，五是奇数，他们的和十三是奇数。因此，我初步判断偶数加奇数的和是奇数。 接着，我又举例进行了验证，看这两个算式，六加十五等于二十一，中六是偶数，十五是奇数，最后他们的和二十一也是奇数。 在七加十二等于十九这个算式中，也体现出了相同的规律，因此，偶数加奇数的和一定是奇数。 我在你的基础上又列出出了两个不同的算式，十加八等于十八， 十是偶数，八是偶数，它们的和十八也是偶数，说明偶数加偶数等于偶数。 在七加九等于十六中，七是奇数，九是奇数，它们的和十六是偶数，说明奇数加奇数等于偶数。同学们不仅说明了判断的理由，还举例验证，非常严谨。 同学们请注意观察。像偶数加偶数，奇数加奇数这样的算式就称为同类相加，它们的和都是偶数，而奇数加偶数这样的算式称为异类相加，它的和是奇数， 我们可以归纳总结为，同类为偶，异类为基。你听懂了吗？ 到此，课堂就接近尾声了，本课你都学到了什么？你又是怎样学到的呢？ 在观察、猜想、验证、总结的探索活动中，我掌握了二五的倍数的特征，在练练中，我学会了如何判断一个数是否是二或五的倍数。 我认识了基数偶数，感受到了基数偶数在生活中的应用。 是的，这节课我们也掌握了探索一个非零自然数倍数特征的方法，初步形成了推理意识。 课后大家可以尝试探索三的倍数的特征。这节课我们就上到这里，同学们再见！

亲爱的同学们，大家好，我是大连经济技术开发区新城小学的庄赛文老师，很高兴能与大家一同学习 这节课，我们一起走进北师大版数学五年级上册第七单元可能性的第一课，谁先走？ 最近一段时间，老师发现同学们在课余活动时非常迷恋此类游戏，看小明和小华准备开始对弈了，可是却难以决定谁先走， 你能替他们想个办法决定谁先走吗？淘气和笑笑是这样想的，我们来听一听。 抛硬币，正面朝上，小明先走，反面朝上，小华先走。头头子点数大于三，小明先走。点数小于三，小华先走。 你认为他们的方法公平吗？我认为抛硬币的方法是公平的，一枚硬币带数字的是正面，带花的是反面。 抛硬币时正反两面出现的机会是一样的，所以抛硬币的方法对小明和小华很公平。这位同学不仅得出了结论，还分析出为什么得此结论。 因为正面朝上和反面朝上的可能性相同，抛硬币时不是正面朝上就是反面朝上，所以小明和小华先走的机会均等， 因此这个方法是公平的。那么头头死的方法呢？ 我觉得头头子的方法不公平。头头子时，点数大于三的数有四、五、六三种可能。点数小于三的数有一、二两种可能。 点数大于三的可能性比点数小于三的可能性大，因此这个方法不公平。 是啊，大于三比小于三多一种可能性，小明和小华机会不均等，所以这个规则就不公平。 那么你能修改笑笑的方法使他对双方公平吗？ 可以这样修改，头头子时，点数大于三，小明先走。点数小于或等于三，小华先走。因为点数大于三有四、五、六三种可能。 点数小于或等于三有一、二、三三种可能，大于三和小于等于三的可能性相等，因此这个方法对双方公平。 同学们，这样修改可以吗？哦，你也觉得可以？是的，点数大于三和小于等于三的可能性相等，这就表示很公平。还有别的修改办法吗？ 我的规则是，点数是奇数时，小明先走，点数是偶数时，小华先走。 基数有一、三、五三种可能，偶数有二、四、六也是三种可能，两种情况可能性相等，所以这种方法公平。 这两名同学说的方法都是公平的，因为这两种方法让小明和小华都有三种可能，也就是可能性相等，他们的机会是均等的，所以方法是公平的。 刚才我们通过判断抛硬币和投头子的方法是否公平，明白了一个公平的游戏规则，就是要让双方机会均等，我们在自己设计方案时也要注意这一点。 下面请你再设计一个方案，使他对双方公平。我们来听听同学们的想法， 可以让他们抽签决定，一张纸条上写先，一张纸条上写后抽到写先字纸条就先走， 抽到写后字纸条的就后走。因为是随机抽取，小明和小华抽到先字纸条的机会是均等的，所以这个方案对双方公平。 把这四个球放入袋中摇匀，摸到红球，小明先走。摸到白球，小华先走。 刚才笑笑提到了摇匀，为什么把球放进袋子里还要摇一摇呢？ 因为摇完之后，球在袋子中就更均匀了，这样才更公平呀。 那么笑笑设计的方案公平吗？笑笑的这个方案是公平的，你看桌子上的红球有两个，白球也有两个，既然个数相等，把这四个球在袋中摇匀了，摸到红球和白球的可能性是相等的， 所以摸球的方法是公平的。石头剪刀布，谁赢了谁先走。石头剪刀布在我们生活里经常用到，那它到底公不公平呢？ 石头剪刀布，顾名思义，我们在出手时可以随机出石头、剪刀和布。当小明出石头时，小华可能出石头、剪刀布。 在这三种手势中，石头能战胜剪刀，剪刀能战胜布， 不能战胜石头。如果出的一样，就是平手，要重新再来一次，所以这时的结果分别为，平手，小明赢，小华赢。 当小明出剪刀时，小华可能出石头剪刀布。这时的结果分别为，小华赢，平手，小明赢。 当小明出布时，小华可能出石头剪刀布。这时的结果分别为，小明赢，小华赢，平手。 看，小明赢有三种可能，小华赢也有三种可能，因为规则是谁赢了谁先走，所以小明和小华先走的可能性相等， 因此石头剪刀布的规则是公平的。刚才我们设计出了抽签摸球石头剪刀布的方案， 通过分析可能性大小以及猎取出所有的可能性的方法，分析出这些方法都是公平的。明白了，只要让游戏双方的机会均等，这就是一个公平的规则。 下面我们就带着今天所学做一下题型吧。括号一，假转盘是笑笑设计的，请你确定规则使游戏对双方公平。 我确定的游戏规则是这样的，转到蓝色，一方先开始，转到黄色，另一方先开始。双方站的面积大小一样，时针知道的可能性相同，所以这样就公平了。括号二， 椅转盘是陶器设计的，请你确定。规则使游戏对双方公平。 因为黄色的两块和蓝色的两块加在一起的面积相等，所以我们可以确定规则为，转到蓝色，一方先开始，转到黄色，另一方先开始，这样他们先走的可能性相等，规则就是公平的了。 括号三，请你也设计一个转盘，并确定一个对双方都公平的游戏规则。这里有两幅作品，请你听一听，看一看。 我把转盘平均分成四份，转到红色，一方先开始转到绿色，另一方先开始。红色的大小和绿色的大小是一样的。时针指到红色和绿色的可能性相等，所以我的转盘是公平的。 我把转盘平均分成了八份，转到红色和黄色，一方先开始，转到绿色和蓝色，另一方先开始。红色和黄色。扇形加在一起的面积与绿色和蓝色扇形加在一起的面积相等， 所以他们可能性相等是公平的。同学们，通过这节课的学习，你有什么收获？ 首先，我们提出了用抛硬币和投头子的方法，帮助小明和小华决定谁先走， 然后通过分析双方可能性大小的方法来判断提出的方法是否公平。使双方可能性相等的方法就是公平的方法。 最后，设计出对双方公平的规则，只要让游戏双方的机会均等，这就是一个公平的规则， 在此过程中提高了大家的归责意识，同时从各种方法中判断双方的可能性大小，提高了我们的推理意识。相信大家也感受到了数学与生活是密切相关的。 课后，请同学们完成课后练习单上的课后作业。好了，这节课我们就上到这儿，同学们再见！