韦达定理关于y的公式

我们今天来讲到非对称维达定律该怎么解决？首先我们要明白什么是非对称的维达定律，所以我们看到对称式它是怎么样的好，这里我们举了几个例子， x 一 减 x 二的绝对值， x 一 方加 x 二方， x 一 分之一加上 x 二分之一等等。像这类式子呢，我们把 x 一 x 二互换位置以后啊，发现这个式子怎么样？它是没有任何变化的，对不对？我们就称这种呢，具有对称性，这样的式子呢，我们就称为对称式。 那像这种式子出现在题目里面，我们只需要怎么样利用韦达定律就可以去求解就可以了，对不对？非对称式呢，就很好理解了，就比如我们的二 x 一 加上三倍的 x 二，以及后面这等等的一些好，当然还有个分式，这种类型的， 我们 x 一 x 二去互换位置以后，你发现这个式子怎么样？它的结果是改变了，像这种它不具有对称性的式子呢，我们叫它非对称性。 这种问题啊，我们一般不能直接去怎么样使用我们的伟大定律啊，要需要进一步的配凑啊，或者说做一下处理，我们才可以用伟大定律来写吧。 我们来看看我们题目中常见的主要是有三种类型的，第一种类型，比例型， x 一 比上 x 二，它等于一个定值的话，我们该怎么去处理好？看到我们的处理策略， 我们设 x 一 比上 x 二等于 m， 然后我们只需要取它的倒数相加，就能变成 x 一 x 二分之 x 一 加 x 二的平方减去一个二。那么最后一步怎么来的？我们这里写一下， 它应该直接等于我们通分，就是 x 一 x 二分之 x 一 的平方加上 x 二的平方，然后呢，我们上面要配成一个什么完全平方，然后需要减去两倍的 x 一 x 二吧， 当然你这里的话用伟大定律的 a 分 之 c 去代入也可以，但是呢，我们直接化成长数不是更简单吗？ x 一 x 二分之 x 一 加上 x 二的平方， 然后减去二就可以了，此时我们非对称型的伟大定律，你看看到了这里它是不是对称型的呀？ x 一 x 二以及 x 一 加 x 二这两项都可以直接使用伟大定律吧。 看到第二种情况， x 一 等于 m 倍的 x 二加 n。 像这种线段的呢，我们用到了我们之前学竖列的时候构造竖列来构造一个我们这里的呃情况， 它原理是利用待定系数法构造比例 x 一 等于 m 倍的 x 二，加上人可以变成 x 一 加 k 等于 m 倍的 x 二加 k， 然后呢，我们只需要把这个除过去之后，哎，你发现怎么样，它就是一个比例的式子，对不对？我们下面有一个具体的例子。看到这里 啊，转化为了这种形式之后呢，你再怎么样用第一种比例型不就可以了吗？这里它不就是个比例式吗？ 转换完之后变成了 x 二加 k 分 之 x 一 加 k， 对 不对？它等于 m， 然后我们只需要算 m 加上 m 分 之一，那么它就变成了 x 二加 k 分 之 x 一 加 k， 再加上一个 x 一 加 k 分 之 x 二加 k， 我 们把它通分，就等于 x 一 加上 k， 然后呢，再乘以 x 二加上 k， 分 子就变成了 x 一 加 k 的 平方，然后加上一个 x 二，加上 k 的 平方打开，那么分子它展开之后就变成了 x 一 x 二，然后再加上 k 倍的 x 一， 加上 x 二，最后再加上一个 k 方。我们的这一项以及这一项都可以直接使用韦达定律吧。 然后我们的分子呢，我们同样把它展开， x 一 的平方加上 x 二的平方，然后再加上一个二 k 倍的 x 一 加 x 二， 然后再去加上一个，这里一个 k 方，后面的 k 方就是二倍的 k 方，对不对？我们这一项可以，这一项可以，这一项呢，也是可以使用的吧，这一项怎么办？我们利用前面去配一个完全平方公式嘛， 所以我们这里可以把它写成 x 一 加上 x 二括号的平方，再减去我们的两倍的 x x 二吧， 所以这里写成我们的 x 一 加 x 二括号的平方，减去两倍的 x 一 x 二就可以了。所以到这里为止，你会发现它怎么样？每项这里用负 a 分 之 b， a 分 之 c， 负 a 分 之 b， 然后 a 分 之 c， 负 a 分 之 b 都可以直接使用韦达定律吧，而且它也变成了什么我们所谓的对称式。 我们来看到一个具体的例题，一个很简单的例题，我们来看一下已知抛物线 c y 方等于四 x 过焦点 f 的 直线 l 交抛物线 c 与 ab 两点， 并且呢，这里告诉我们 af 向量它等于三倍的 f b 向量，所以它们向量有这个关系吧，我们得把 af 以及 f b 向量去表示出来。这里我们 f 点的坐标是已知的是一零，我们设 a 点为 x 一 y 一， 然后呢， b 点我们就设为 x 二 y 二， 我们三倍的啊， f b 等于 af， 那 我们把 af 向量去表示出来， af 向量就等于 f 的 横坐标一减去 x 一， 然后呢，零减去 y 一， 就是负的 y 一， 还有一个我们的 b f f b 向量，这里是 f b 的 话，就是 b 减 f x 二减去一，然后还有一个 y 二，那此时呢，我们的 a f 等于三倍的 f b， 那 横坐标也是三倍，重坐标呢？也是三倍，我们就会得到一个式子。 好，我们把它写到旁边， a f 的 横坐标一减去 x 一， 它应该等于三倍的括号 x 二减一，还有 y， 同样也是吧， y， 那 么就是负的 y 一 等于三倍的 y 二，所以呢，我们这里就能得到这么一个式子，对不对？ 然后呢，我们经过直线与这个双直线与这个双曲线的连力，能得到一个二次方程吧，我们来连力一下，我们把它写到这里，我们的直线我们怎么去设？先把 抛物线写下来， y 方等于四 x， 这里的直线我们是不是已知一个点一零，那我们就设直线， x 等于 m 倍的 y， 再加上一个一， 只要我们的 x 为一， y 就 为零，对不对？那我们去连累之后，我们可以得到我们的，你这里也可以去削 x， 这里可以削 y 吧，我们这么设的话，你当然得削 x， 削 x 方便一点嘛，所以它就变成了我们的 y 方减去四 m y， 然后再减去一个四等于零。好，我现在得到了一个这个设置， 然后呢，我通过这里，你这里有没有关于 y 呢？有，是不是负 y 一 等于三倍的 y 二吧。所以我们这里看到第一种方法，这就是我们的方法一， 我能得到一个负 y 一 等于三倍的 y 二。现在有一个什么式子啊？ y 平分减去四倍的 m， y 再减去四等于零。 我们这个 y 一 y 二分别是 a 跟 b 的 什么重坐标嘛？也就是说 a 点跟 b 点的重坐标吧。那我们这个方程呢，是这条直线，这条直线与什么与抛下去连立的，所以我的 y 一 y 二当然是这个方程的两个根了，这里很明显它是个比例关系，对不对？ 我们可以写成 y 一 啊， y 一 比上 y 二等于负三，那么比例关系我们肯定不能直接去使用伟大定律，然后把这个我们需要的斜率算出来吧。那怎么办？我们得通过变形比例关系，怎么变形呢？我们只需要去令他们的倒数相加就可以了。所以负三加上 负的三分之一，就等于 y 一 比上 y 二，加上呢？ y 一 分之 y 二，我们通分一下就是 y 一， y 二分之 y 一 方，再加上 y 二的平方，就等于 y 一， y 二分之 y 一 加上 y 二，括号的平方减去两倍的 y 一 y 二吧。公式记不住没有关系，同学们自己去推导一遍就可以了。所以 y 一 y 二分之 y 一， 加上 y 二括号的平方再减去一个二。 那么现在我们知道了， y 一 加 y 二以及 y 一 乘 y 二，都能从这个式子里面推出来吧。我们从这个式子能知道，我们的 y 一 加上 y 二等于负 a 分 之 b 就是 四 m， 然后 y 一 乘以 y 二呢，等于 a 分 之 c， 就是 负四。我们带到这个式子里面来看看， 所以我们左边它是负三加上负三分之一，那么这里就是负三分之九变，最后变成了负三分之十，就等于我们 y 一 y 二是负四， 负四分之四， m 的 平方十六， m 平方再减去一个二，所以呢，就能把 m 平方算出来，等于我们算一下 三分之十，这里是三分之六，负三分之四。好，然后乘以一个四，负三分啊，就是三分之十六，再除以十六，就等于我们的三分之一，所以 m 最后算出来正负三分之根号三， 所以呢，我们就算完了。好，直线斜率的。呃， ab 的 斜率，我们这里注意啊， m 并不是我们的斜率，对不对？ m 是 什么？我们是设了 x 等于 m， y 分 之一嘛，所以 m 是 斜率的倒数，所以我们的 k a b 啊，它就等于 我们的根号三分之三，所以是正负，然后呢，上下同乘一个根号三，就变成了根号三，所以直线 ab 的 斜率有两个答案，根号三以及负根号三。 第二种方法，我们刚刚第一种方法怎么样？是把它化成一个比例型再来算，对吧？我们现在不把它化成比例型，我就直接硬算，可以吧，我们的 y 一 加上三倍的 y 二，它等于零。 如果我去用求根公式把我们的 y 以及 y 二求出来，然后呢，再带进来算，它是不是也可以去结？这种方法它比较直接对不对？我们也比较暴力嘛。那么根据求根公式，我们应该能知道，两个根应该是二分之二分之负 b， 负 b 就是 四 m， 然后 加减我们的根号， b 方十六， m 方再加上一个 c， c 就是 加上十六嘛，所以我们 y 一 y 二就求出来了 y 一， 如果我们等于我们这里约掉一个二吧，就是二 m， 然后再 减去一个，提取一个十六开根号变成四，再约掉了二，就是二倍的根号 m 方，然后再加上一，那我们的 y 二呢？就是二 m， 然后加上一个二倍的根号 m 方， 然后再加上一。好，我们直接把 y 一 y 二带到这个式子里来也是可以的吧。所以此时我们就会得到一个式子，然后二 m， 然后减去二倍的根号 m 方，再加上一， 然后呢，加上我们三倍的 y 二，就是六 m， 然后加上一个六倍的根号 m 方，加一等于零，那我们整理一下，就变成了八 m， 然后移到右边去，就变成了 八 m 等于负四倍的根号 m 方，加上一。好，我们约掉一个四，那么左边就变成了二 m 等于负的根号 m 方，加上一。注意，我们这里二 m 怎么样？它是等于一个负数的，不说明我们的 m 它一定是小于零的， 所以我们这里能把两边同时平方呢，然后能求出来，我们的 m 方它是等于三分之一的，但是我们这里有一个二 m 它是等于一个负数的，所以 m 小 于零嘛， 通过这个式子我们就能知道 m 它是小于零，对不对？所以呢，我们的 k 它此时求出来应该就只能等于负的根号三了。那语文老师为什么跟我们第一问，呃，第一种情况求的不一样呢？它有两个答案。 你这里注意了，我们是认为这个是 y 一， 这个是 y 二，对不对？如果你此时他是 y 二，而他是 y 一 呢？你的 m 此时呢，就要为正的。同学们，第二种情况自己去算一下，还有一个 根号啊， k 它等于根号三的时候，是我们的 y 一 跟 y 二互换一下就可以了。这个呢，就是我们的方法二，它虽然计算啊比较直接，但是呢，第一个计算过程稍微的麻烦一点。第二个呢，你还得去讨论一下我们根的正负性，会呃，很容易遗忘，对不对？ 那接下来我们看到第三种方法，我们的方法三，方法三，它其实也很简单，现在有的是 y 加上三倍的 y 二等于零，对不对？ 可不可以把它看成 y 一 加上 y 二，再加上两倍的 y 二等于零呢？为什么这样看？因为此时我们的 y 一 加 y 二，它是可以直接用表达定律的吧， y 一 加 y 二，它就等于四倍的 m， 所以呢，我们这里能得到一个 四 m， 它等于我们的负二 y 二。把呃，二 y 二移到右边去，那我们把 y 二写成正的吧，所以呢，我们就能得到两倍的 y 二，等于负的四倍的 m。 还有一个什么呀？还有一个 y 一 乘以 y 二的 g， 我 们是没有用的吧， y 一 乘以 y 二，我们可以怎么看？ 我们通过前面这个式子，我们是不是能把 y 二用 m 表示出来？我们可以直接变成 y 二，它应该直接等于两边除以二吗？就是负二 m 对 不对？那我们 y 一 啊，它是等于负三倍的 y 二， 所以 y 一 乘以 y 二，就等于负三倍的 y 二平方。好，我们前面又写了 y 二，它是等于负二 m 的 吧，这么直接带入，那平方就是 四 m 方，再乘以负三，就是负十二倍的 m 方，那我们 y 一 乘以 y 二还是等于什么？等于我们的负四，对不对？所以它直接等于负四，然后我们就能得到 m 方，它是等于三分之一的呀，那我们的 k 呢？当然同时求出来也是正负根号三 这三种方法，同学们看看自己更喜欢哪种方法就去用哪种方法。好吧，那前面这两种类型啊，比例型以及直线型，我们就讲到这里为止， 他的模式还是比较固定，下面我们来看到我们最麻烦的一种啊，大笔执行，什么叫大笔执行呢？就是啊，上面一串比上怎么样？下面一串让我们来看看。 他的处理方法就很多了，第一个和机互化，第二个呢啊，等等等等一些方法，我们来讲一个例题，分别用一些方法来看看怎么去写。看到例题如图，椭圆 e 啊，给了我们它的左右顶点分别为 a、 b、 m 点，它是负一零，并且斜率为 k， k 不 等于零，它直线于椭圆，交于 c、 d 两点，那他说既 a、 d 的 斜率为 k 一， 然后呢， c、 d 的 斜率？第二个啊， bc 的 斜率，不好意思， bc 的 斜率为 k 二，那我们就证明 k 一 比上一个 k 二为定值，那么我们需要去把 k 一 以及 k 二的斜率给表示出来吧，要设的先写出来，我们先设直线 lcd， 我 们为 y 等于 k， 括号 x 减去负一就是加上一，然后呢，我们再设我们的 c 点为 x 一， y 一， d 点呢，就为 x 二， y 二， 这三个是我们需要的东西，对不对？我们去把直线与椭圆连立一下，我们 y 等于 k 倍的 x 加上一，还有呢，四分之 x 方 加上 y 方等于一，我们通过应解定律是可以能直接得出 x 一 加上 x 二，当然我们不要直接写 x 一 加 x 二的弦哈，我们先把 x 一 加 x 二写到旁边， 我们能知道 x 一 加上 x 二，我们把它化成我们要的那种形式，我们就能把 x 一 x 二去直接写出来，它就等于一加上四 k 方，分之， 我们这里就是负的八 k 方，然后呢， x 一 乘以 x 二，我们也能写出来吧，一加四 k 方减去四，然后再通过 x 一 加 x 二 以及我们的 x 一 乘以 x 二，再把我们的呃连利之后的数字带回去嘛，就是变成了一加四 k 方，括号 x 方，然后呢，再减去一个负的，就变成加上一个 八倍的 k 方 x， 然后再加上我们的常数四 k 方，减四等于零。好，我们连利的就写完了，并且我们的得态也能写吧。 德塔，我们写到旁边吧，德塔等于四倍的 a 方 b 方。好，我们这里直接就用上面的连列的式子把它写下来，也可以同学们自己去算一下，它写出来等于十六倍的括号， 我们一加上三 k 方就好了。那我们现在需要的，呃，主要是这两个东西我们是需要，对不对？德塔，我这里不知道需不需要，我先把它写出来都能写， 然后我们要干嘛？我们要去算它的斜率之比为定值。那我们现在能把 k 一 去算一下 k 一 是什么呀？是我们 ad 的 斜率对不对？那我们 a 点有吗？ a 点这里我们也是未知的，对不对？ a 点好像是已知的吧， a 点是什么呀？左顶点这里的椭圆是直接告诉我们的，所以 a 点它是负二零，然后呢？ b 点它是二零。好，那我们现在它 k 一 是 ada， 这里知道 d 呢？我们已经设了， 就是我们用 y 二减去零，比上我们的 x 二减去负二，就是加上二。还有我们的 k 二呢？ k 二是 c d c 点，我们这里设了 x 一， 呃， y y 一 对不对？所以是 y 一 减零，就是 y 一 比上一个 x 一， 再减去二吧。那我们现在能把 k 一 比上 k 二去表示出来，就是 y 二比上 x 二加上二， 然后再比上一个 k 二，就是乘以它的倒数了 y 一 分之 x 一 减去二。现在让我们求证这么一项，它为定值，现在肯定是想把它化成全部是 x 或者全部是 y， 然后最好是希望我们直接能用什么我们的伟大定律带路才是最好的吧。 那这里我们根据直线啊， y 等于 k 倍的 x 加一，把 y 变成 x， 所以呢，它最后第一种方法我们就出来了。 第一种方法，我们先把它化成都是我们需要的，或者说只有一种未知数的，我们把 y 二，它就变成了我们，我们先把它通一下分吧， x 二加上二， 然后另外一个 y 一 y 一， 此时它就是我们把 k 写到前面来，然后就是 x 一， 再加上一，对不对？ 然后分子呢？我们的 y 二，它是 k 倍的 x 二，再加上一，然后再乘以一个我们的 x 一 减去二。好，我们这里会发现呢，它并不是一个对称的，我们没有办法直接使用伟大定律吧，我们把它展开看一下， 那么展开之后，我们就等于我们上下都有 k， 你 发现 k 它是约掉了，其实对不对？所以变成了 x 一， 然后 x 二，然后再减去两倍的 x 二，再加上 x 一， 然后最后还要减掉一个二 分母呢，同样也是 x 一 乘以 x 二，减去啊，加上我们的两倍的 x 一， 这里是两倍的 x 一， 再加上一个 x 二， 加上二，对不对？好，我们看到这里，这里呢，又有 g 的 形式啊，后面呢，又有和的形式，对不对？那我们如果碰到这种，我们会考虑我们的第一种方法， 我们的和积互化。什么叫和积互化呀？就是我们把积它化成我们的和的形式。如果我把 x 一 乘以 x 二，化成 x 一 加 x 的 形式，我是不是可以跟后面去进行一呃一点点计算，对不对？ 那我们的 x 一 x 二，它怎么样去化成 x 一 加上一个 x 二呢？我们如果啊，它的关系不明显， 我们是可以看成 x 一 乘以 x 二，它可以画成我们 number 被的 x 一 加 x 二，然后呢再加上一个没有的形式，我们是朝着这个方面去画的。 那我们来看看我们这里应该怎么去画。我们 x 一 加 x 二，它是需要乘以一个数，然后我们 x 一 加 x 二，它的分子是负八 k 方， 然后呢，我们的 x 一 乘以 x 二呢？它有一个 k 方，是多少？是四 k 方吧，所以我得先乘一个二负二分之一，你才能把它变成四，对不对？好，我们先来一步步来吧。我们的 x 一 加上 x 二，我们先乘以一个负二分之一，此时呢，它变成了多少？一加四 k 方，分之 四 k 方，没问题，对不对？我们还要变成什么？还有一个减四，我们减四，那我们能不能直接去减四看看？我们如果直接减了四之后，你会发现呢？你这里变成了负的，呃，十负的一十二 k 方吧，负一十二 k 方 跟我们的 x 一 乘以 x 二不一样，对不对？那我们现在看看，我们 x 一 乘以 x 二，它是等于一加上四 k 方分之 四 k 方，然后再减去一个四，我们从下面反的往上推，看看我们这里需要加上多少才能变成四 k 方，也就是说我们这个负四直接不要，但是呢，我又不想出现新的 k 方，对不对？那我们直接加上一个， 呃，加上一个多少比较合适啊？只能加上一个四，对不对？你加上四之后，你这个负四才会消掉嘛？我们加上四，看它变成多少，它就等于一加四 k 方分之。 这边还有个十六 k 方，加起来就是二十倍的 k 方吧。你看看，他与这个式子还差了五倍，所以我第一个式子再乘一个五 a， 他 不就刚好等于第二个式子了吗？所以我们乘以二分之五就可以了，负二分之五就可以了，所以它这里变成了二十倍的 k 方， 此时呢，它就相等了，对不对？那我们现在就知道，我们的 x 一， 然后乘以一个 x 二，它应该等于负二分之五倍的 x 一， 加上 x 二，然后再减去一个四，就可以了吧。 然后现在我们这个式子就可以接着往下写了，它就等于我们的负二分之五倍的 x 一 加 x 二，然后减去四，再减去两倍的 x 二，加上 x 一， 再减二。 比上一个负二分之五倍的 x 一 加 x 二，同样减去一个四，再加上两倍的 x 一， 再加上 x 二，加上二。到这里呢，同学们再自己去化简一下，这里的化简就应该比较简单了，负九倍的 x 二， 然后再减去三倍的 x 一， 减去十二，那我们的分母就是负三倍的 x 二，然后减去 x 一， 再减去四。你看看是不是每一项支笔都是三，所以整体它的笔呢，就为三为一个定值。 这个呢就是我们所谓的和积互化，我们一般会把积的形式化成和的形式啊，可以经过啊，可以进行一系列的计算，最后呢我们就能求出来它的比值为一个定值， 好合计互换。同学们如果不喜欢的话，我们接着往下看，看懂我们要讲的第二个方法。方法呢，我们叫做配凑半代换。什么叫做配凑半代换呢？因为我们这里有一部分是可以用维纳丁力的吧？好，这里是可以使用，对不对？我们这里呢是有一部分可以使用，我们这里通过配凑的话，也是有一部分可以使用。好，我们来配凑一下， 我们写到下面来吧，我们的 k 一 比上 k 二，是不是可以写成我们的 x 一 乘以 x 二，然后减去两倍的括号， x 一 加上 x 二。 你原来只有减了两倍的 x 二嘛？然后你这里减了两倍的 x 一， 你得加上两倍的 x 一 吧。原来题目里有一个 x 一， 所以你变成了加上三倍的 x 一， 再减去一个二。好，我们分母也要去 配凑一下，我们的分母配，这里有个问题要注意哈，我们的 x 一 乘以 x 二。好，那我们这里你是加上两倍的呢？你是用后面这个配凑还是用前面这个配凑？注意，我们如果直接使用前面的配凑，就是加上 x 一， 加上 x 二，对不对？你这里是不是需要加上一个 x 一， 然后呢再加上 x 二？注意我们这里需要用的是这个配凑，你如果去使用后面的两倍的括号 x 一 加上 x 二，你看看你原来是加了一个 x 二，对不对？所以你这里要减掉一个 x 二， 你上面是 x 一 多少倍的吧，你下面却出现了 x 二，这里是我们不想看到的，我们只想看到怎么样，它是一致的嘛？上面是 x 一， 那我下面呢？当然也喜欢是 x 一 了， 所以我们把能带入的接着去带入，好，我们就往下写，等于我们的 x 一 乘以 x 二，就是一加上四 k 方分之四 k 方，减去四啊，这里是减四， 然后再减去两倍的一加上四 k 方，分之我们的负八 k 方，再加上三倍的 x 一， 减二，对不对？我们不能带的就不带了，然后分母呢，一加四 k 方分之四 k 方，减四， 然后再加上一加四 k 方分之负八 k 方，再加上 x 一， 再加上二，这里呢，我们分子分母同时乘以一个一加上四 k 方，它就等于我们的四 k 方减四， 然后再加上我们的十六 k 方，然后呢再加上三倍的 x 一， 括号一加 四 k 方，对不对？然后再减去一个二减去八倍的 k 方。分母。我们同样也来化解一下分母，化解其实是一样的嘛， 四 k 方减四，然后这里只要减掉一个八 k 方，然后加上 x 一 倍的一加四 k 方，然后呢加上二，再加上八 k 方。 这里化简同学们应该就没有问题了，我们只要进行一个合并同类项就可以了吧，最后他就等于十二倍的 k 方，十二倍的 k 方加上三倍的 x 一 挂一加四 k 方，然后呢，再减去一个六，那我们的分母合并一下就变成了 四倍的 k 方加上 x 一 倍的一加四 k 方，再减去一个二，看看它这里是不是每项之比都是三呢？所以它最后的比值求出来也等于三，这是我们的第二种方法，配凑半带换第三种方法，我相信同学们应该最喜欢这种方法了。不用动脑的 求根公式，我们暴力计算什么意思啊？我们通过求根公式去把 x 一 x 二给求出来吗？我们这里通过求根公式我们能知道我们的 x 啊，算出来它是等于我们的二加上八 k 方分之， 我们负 b 负八 k 方，加减根号得它吧。好，我们这里令 x 一， 它为二，加八 k 方分之负八 k 方，减根号得它，那我们的 x 二呢？就等于二加上八 k 方分之负八 k 方，加上根号得它。 我们把 x 一 x 二加上根号得它，我们把 x 一 x 二，它就等于我们 第一个 x 一 乘以 x 二。你当然能使用微大定律的呢，我们还是要使用微大定律，对不对？我们一加上四 k 方分之四 k 方，减四， 然后再减去一个我们两倍的 x 二，好，减去两倍的 x 二二加上八 k 方分之负八 k 方，加上根号得它， 然后再加上一个 x 一， 二加八 k 方分之负八 k 方，减去根号。德塔，最后呢，还要减掉一个二， 然后分母我们同样也代入。一加四 k 方，分之四 k 方，减四，然后再加上一个 x 二，对不对？加上一个二加八 k 方分之 负八 k 方，加上根号得它，然后呢，再加上一个两倍的 x， 一 就是二，然后二加八 k 方，分之 负八 k 方减去根号得它，最后加上一个二。不要看到这个式子觉得很麻烦，它其实，呃，算起来挺简单的，我们分子分母同乘一个什么二加八 k 方，所以呢，分子第一下就变成了八 k 方啊，八 k 方减去八， 然后这里就变成了加上十六倍的 k 方，对不对？再减去二倍的根号得它，然后呢，再减八 k 方，再减根号得它 减去四，再减去十六倍的 k 方。好，我们分子就画完了，分母也来画一下，八 k 方减八，然后再加上啊，减去八 k 方，加上根号得它， 再减去一十六倍的 k 方，减去两倍的根号得它加上四，再加上一个十六倍的 k 方，我们来看看它有哪些可以约掉的。首先我们来看平方 八 k 方正的十六负八 k 方负的十六方向怎么样？ k 方它其实都已经约掉了吧，我们来看它常数负八负四，就变成了负十二，然后还有得它减去三倍的根号得它，没问题吧？这是分子， 然后分母也是一样的呀，这里约掉了，对不对？然后呢，这两项也约掉了，我们看到常数负八以及正四就变成了负四， 那还有得它呢？一个正得它，一个啊，两个负得它，就是我们只要减去一个根号得它就可以了，所以这里的比，我们看看十二比上四，它是不是三，然后这里也是三，所以最后的比值呢，它也是三，你会发现这个题目他暴力求根计算 反而怎么样？会比较简单嘛？好，我们接着看到下一种方法，维达消元，这种方法什么叫维达消元？我们通过维达定律是可以得到这么个式子，对不对？ 我们这个 k 一 比 k 二，它里面是有两个未知数吗？一个 x 一， 一个 x 二，那我们通过维达定律能得出的这个东西，我们可不可以把它进行一部分的消元呢？ 我们通过第一个式子，我们是可以得到我们的 x 二，它是等于一加上四 k 方分之负八 k 方减掉 x 一 嘛？ 然后呢？所以我们的 k 一 比上 k 二好，我把能带入的就带入吧， x 一 乘以 x 二，当然我们是用伟大定律了，一加上四 k 方分之四 k 方，然后减去四， 然后呢？接下来怎么办？我们减掉我们的两倍的 x 二，两倍的 x 二是什么呀？不就是两倍的一加上四 k 方分之负八 k 方减 x 一 嘛，然后再加上 x 一 减二，那么此时我们的把 x 二不就消掉了嘛，对不对？ 然后分母也是一样的，一加上四 k 方分之四倍的 k 方减四，然后这里是加了一个 x 二，八就是加上一加四 k 方分之负八 k 方减 x 一， 再加上两倍的 x 一， 再加上二。 这里的计算过程我就不再去重复的计算了，同学们可以自己去算一下。其实这里也是一样的，上下同乘一个什么，一加上四 k 方， 所以最后它就变成了十二倍的 k 方，然后再减去六，再加上我们三倍的括号一加上四 k 方。好，还有一个 x 一， 不要漏掉了。然后分母呢？ 四倍的 k 方减去一个二加上一加上四 k 方倍的 x 一， 所以这里每项的比值他也是三，所以说我们算出他的比值也是个三。这个呢，就是利用韦达定律，我们消掉一个圆啊，把 x 一 消掉，或者把 x 二消掉都是可以的。这就是我们第四种方法，韦达消圆法，或者呢下一种方法，我们的 五种方法。第五种方法是我个人比较喜欢的，我们的先猜后正。什么叫先猜后正呢？就是我们把它的答案先去猜出来嘛，怎么猜？我们只要取特殊值就可以了。我们第一种情况啊，假设， 假设我们的 k 它不存在，可以吧？ k 不 存在的话，那我们 c 点跟 d 点的横坐标都是负一吧， 你把它 x 带到负一，我的 y 是 不是就能求出来呢？那我们求出来 c 点，它的坐标应该是二分之根号三，它的重坐标，那么 d 点、 d 点也能求出来喽？负一，负的二分之根号三， 我们的 a 点跟 b 点是不是已知的呀？ a 点它是我们的负二零， b 点呢就是二零。 所以此时我们两个的斜率是不是都能直接求出来？我们的 k 一， 它就是 a、 d 的 斜率嘛？我们用 a 点跟 d 点去把斜率算一下，我们用 a 减 d 好 了，就是零减去负二分之根号三，就是二分之根号三， 比上我们的负二减去负一，再比上一个负一吧，就等于负的二分之根号三，没问题吧？这就是我们第一个的斜率。那我们再算一下 k 二， k 二是什么？是 bc， 好， 我们看到 bc 这两个，我们用 c 减 b， 二分之根号三比上一个负一减去二，就是负三，所以呢，等于负三分之一倍的二分之根号三，没问题吧？ 所以他让我们求 k 一 比 k 二，你看看 k 一 比上 k 二，我们这里是不是符号都约掉了，二分之三也约掉了，就等于三嘛？所以我们就猜想我们的 k 一 比 k 二，它是等于三的，对不对？下面呢，我们就来证明好下证， k 一 比上 k 二等于三，这证明过程我要证什么？要证我们的 k 一 比 k 二等于三， 也就是证明我们的 x 一 x 二减去两倍的 x 二，再加上 x 一 减二比上我们的 x 一 乘以 x 二加上 x 二，再加上两倍的 x 一 加二等于三吧，也就是我们接着 呃，往下写，就是我们可以推的到，我们把它乘一下 x 一 x 二减两倍的 x 二，再加上 x 一 x 二，它应该等于三倍的 x 一 x 二，然后呢， 再加上三倍的 x 二，加上六倍的 x 一， 再加上六，我们要证这么个东西对不对？是不是这个就是我们需要证的呀？记证记证，我们把它化简一下， 我们这里化简之后能得到一个两倍的 x 一 x 二，然后呢，再加上一个五倍的 x 一， 加上 x 二。你看看这里是不是可以直接使用韦达定律加上八等于零，那我们是不是把韦达定律带入就可以了呀？然后你这里带入一下，我们来算一下吧。 x 一 一啊，我们再写一个记证，我们两倍的，我们带进去，就是一加上四 k 方分之八， k 方减去八，然后再加上 x 一 加 x 二，注意乘以五一加上四 k 方分之 负的四十倍的 k 方五八四十嘛，然后再加上通下分一加四 k 方分之八加上四八三十二倍的 k 方等于零。好，我们分母，然后合并一下，一加四 k 方分之八， k 方 减八，然后减四十倍的 k 方，很显然它是等于零八，所以我们就得证了， 所以呢，这个题目就证完了。 k 一 比 k 二，它确确实实是等于三的。第六种方法，曲线代换，我们的曲线代换，它有一个要求的，我们看到这里，我们首先 k 一 比 k 二，它是这种形式对不对？我们在没有把 y 一 y 二化成 x 之前吗？ 它的特点是什么呀？非对称分式中的变量 x 部分形成了平方差的形式，那么就构造平方后呢，直接带入曲线。 好，我们平方之后， k 一 比上 k 二的平方，你这里是不是等于 y 平方？那我们后面 x 是 不要管的，那我们此时我们前面带的是什么？我们前面的方法是带直线嘛，把 y 变成直线带入对不对？因为我们的 y 它是等于我们。呃，这里是 忘了 k x 加 b 的 形式对不对？我们通过 y 的 这种形式把它带入换成 x 嘛，那我们平方之后呢，就可以直接带入曲线，所以此时我们要求的是什么？ k 一 方比上 k 二方，它等于我们的 y 二方，括号 x 一 减二的平方， 比上我们的 y 一 方，括号 x 二加上二的平方，对不对？我们的曲线是什么呀？我们 x 方啊，四分之 x 方加上 y 方等于一， 所以呢，我们这里能求出来，我们通下分吧，四倍的 y 方，它是等于四，然后减去 x 方，所以呢，我们四倍的 y 一 方，它就等于 四减 x 一 的平方吧，就等于二减 x 一， 然后再乘以二加上 x 一， 没问题吧？ 同样，我们的四倍的 y 二平方，就等于啊，二减去 x 二，再乘以二加上 x 二，我们把它直接代进来。我们为什么把四写到前面？无所谓的，你这里是一个笔嘛，所以你这个四肯定是消掉的，所以它接着往下写，就等于 我们的二减 x 一， 然后在啊前面上面是二，不好意思。然后呢，我们二加上 x 二，再乘以我们 x 一， 然后减二。 啊。的平方，再比上一个，我们 y 一 方就是二减 x 一， 再乘一个二加上 x 一， 然后呢，再乘一个 x 二加二的平方，看看有没有能消掉的。我们这里有个 x 一 减二，对不对？跟他是不是能消掉一项？好，我们消不消之后， 呃，其实问题都不大，我们可以写成，我们把上面写成多少啊？写成二减 x 一 吧，这样的话会稍微好看一点。二减去 x 一 的平方，可以吧？那我们就把它来消一下， 我们下面这一项就没有了，然后上面这个平方去掉了，还有呢，我们这里一项也是可以消的，对吧？所以我们这里也消掉去，这平方就没有了，那就变成了二减 x 二 乘以二减 x 一， 然后比上一个二加 x 一， 再乘一个呢？二加上 x 二，然后我们把它们乘开就可以了。分子乘开 四减去两倍 x 一， 再减两倍的 x 二减去二。括号 x 一， 加上 x 二吧，然后再加上 x 一。 x 二。我们的分母同样的操作， 四再加上两倍的 x 一 加 x 二，再加上 x 一。 x 二，我们根据伟大定律啊，把它带进去，我们 x 一 加 x 二， x 一 乘 x 二，带进去之后，四减去两倍的 括号，我们 x 一 加 x 一 加上四 k 方分之负八 k 方，然后呢，再加上一加四 k 方，分之四 k 方，减四。比上一个四，加上两倍的括号，一加四 k 方分之负八 k 方， 然后呢，再加上一个一加四 k 方，分之四 k 方，减四。好，我们去画一下减分子分母，同乘一个一加四 k 方，对不对？所以就变成了四，然后加上十六倍的 k 方， 然后再加上一个十六倍的 k 方，然后呢？减去四 k 方啊，加啊，最后是减这里哈，同学们要注意，这里是加，不好意思。加上一个四倍的 k 方， 然后再减去四分母，同样来画一下减好，我们乘一个一加四 k 方四，加上十六倍的 k 方， 然后呢，这里是减去十六倍的 k 方，然后再加上一个四 k 方，减四。再合并一下，就等于这里是三十二，然后加四，就等于三十六倍的 k 方，然后呢？没了吧，分数三十六倍的 k 方， 然后我们的分母再比一下，这里约掉了，对不对？就是四倍的 k 方啊，所以它比完了等于九， 注意我们这个九它是什么呀？ k 一 比 k 二的平方嘛，所以呢，我们最后 k 一 比上 k 二，它应该直接等于三，对吧？这个就是我们的曲线代代换，直接把曲线带进去之后，经过化简就能求出它的值。 接着我们看到第七种方法，第三定义转换，我们知道椭圆的第三定义也在椭圆上有一个动点，看到两个长轴的端点的直线的斜率之积为定值，等于负 a 方分之 b 方， 那么就把它写一下，我们这里能得到 k a c 乘以我们的 k b c， 它等于负的 a 方分之 b 方， 我们的 a 方是四，对不对？ b 方呢？是一，所以等于负四分之一。这让我们求的是什么呀？让我们求的是我们的 k 一 比上 k 二吧。 我们的 k 一 比 k 二，也就是 k、 a、 d 比上我们的 k、 bc， 对 不对？我们这里的第三定义有 a、 c 有 bc， 但是呢，我们这里是有 a、 d 有 bc 的 吧？我们这里 bc 是 不是可以转换一下，我们把它换一下就变成了 k、 a、 d。 好， 我们的 bc 换成 a、 c， 我 们来写一下，我们通过这个式子是能得到我们的 k、 b、 c， 它是等于 负四分之一，再乘以一个 k a、 c 分 之一，没问题吧？所以呢，这里 k、 bc 就是 负四分之一， 然后乘以 k、 a、 c 分 之一啊，我们整理一下，我们把 k、 a、 d 放到分母，然后把负四分之一拿上来，就变成了负四，比上一个 k、 a、 d 分 之一，再乘以一个 k、 a、 c 分 之一嘛？好，我们这里 a、 d、 a、 c 这两条直线的斜率分别要去表示一下。我们的 a 点是知道的，负二零 c 点呢？ x 一 y 一 d 点，我们前面都射过了吧？ x 二 y 二， 所以呢，我们这里就能把它们两个的斜率求出来。我们的 k、 a、 d， 它就等于 y 二比上 x 二加二。还有个 k、 a、 c， 它就等于 y、 e 比上 x 一 加上二，对不对？ 所以呢，我们带进去能得到负四比上一个我们 k、 a、 d 分 之一，就是 y、 e 一分之 x 一 加二，乘以 y 二分之 x 二加二吧。好，我们再变一下形，就等于负四倍的。我们 y 一 乘以 y 二 比上 x 一 加二，然后呢， x 二加上二，对不对？到这里它不就变成一个对称型的微大定律了吗？然后我们直接把它带进去可以了， 后面的计算相信同学们应该会算了吧。这里分母乘开啊，有 x 一 乘 x 二， x 一 加 x 二分子呢，我们直接用直线带进去就可以了，最后我们就能求出它是个定值。 好，下面的计算我就不写了。那还有别的方法吗？当然是有的，还有一个特别简单的方法。方法八，我们的方法八是什么呀？ 我们的蝴蝶定律。蝴蝶定律呢？我这里还没有讲到，我是准备下几个再讲的。我们如果知道蝴蝶定律这个概念，我们就能知道，我们的 k 一 比上 k 二，它其实直接就等于我们的 m b 比上我们的 m a， m 是 负一到 b 的 距离是三，然后 m a 的 距离呢是一，所以最后他就等于三。这个定律我们下节课会讲啊，同学们有兴趣的话，下节课学完之后再回来看一看。好，那么今天的东西讲的有点多哈，内容比较长，希望同学们能够有所收获。感谢收听，再见！

今天我们所要讲解的题目是伟达定律，伟达定律呢，作为我们中考当中的必考题，往往我们同学接触比较多的是以下两公式， x 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b， x 一 乘 x 二等于 a 分 之 c。 但是呢，我们在考试当中它不会考这么简单， 不会给你一个一月二次方程，直接问你以下两个公式的一个值，它往往考察的是一个推导形式，比如说 x 一 方加 x 二方， x 一 分之一加 x 二分之一这样的式子。 那我们用常规方法去做题是需要一定的推导时间，还需要一定的计算量和时间呢。那么我们在这里就讲解的是伟大定律的二期推论。各位同学把公式记在笔本章，我们只需要将 a、 b、 c 写出来代入计算就可以了。 那么我们来看一道例题，若二法贝塔是关于一二次方程的两式根，且二法分之一加贝塔分之一等于负的三分之二，问我们 m 的 值。那么常规方法的话，我们要套用两个原始公式结合推导。 那么在这里我们学习了韦达定律的二级推论，可以直接套用我们的公式去做题。二法分之一加贝塔分之一等于负的 c 分 之 b， a 是 一， b 是 负二， c 是 m， 直接代入。可以得到我们的答案， m 等于负三结束。 同样我们再来看一道题目，若一元二次方程， x 方减去二， x 减四等于零的两式根为阿尔法贝塔，问我们阿尔法方加贝塔方的一个值，直接套用我们的公式，阿尔法方加贝塔方等于 a 方分之， b 方减二 a c， a 是 一， b 是 二， c 是 负四，直接代入我们的公式，求得我们最后的答案是十二。更多技巧请关注主页。

我们再来看一下第二题，那么第二题的话呢，他要求的是当 alpha 平方加 beta 平方取到最小值的时候，求 k 的 值，那么这里呢，除了利用了韦达啊，我们还要去求一个最值，所以很明显是控制韦达定律的应用啊。 那么首先先来去凑这个维达，那么凑维达这个很简单，对吧？这个都可以得到这个阿尔法加贝塔的平方减去两倍阿尔法，然后带入刚刚第一小问，带到了维达，经过化简计算，就得到了四 k 方减二， k 减四，那么这个很明显是一个关于 k 的 一元二次方程， 也就是二次函数，对吧？那么二次函数呢？我们一般清一色的把它进行配方啊，配成我们的顶点式，好，这时候呢，我们一般清一色的啊，那简单了， 我们知道这是个抛物线，对吧？所以他画出一个开口向上的抛物线，那么最低点呢，肯定是四分之一的时候，取到最小值是负的四分之一百六十一， 那对不对呢？对，对吧？我们在第一小问当中啊，已经知道了， k 是 算到小于等于负四，或者 k 大 于等于五的，那你说他哪来的 k 等于四分之一呢？根本就没有，对吧？我们只是从负 这个负四还有这个五上面去进行了，那么假如说这块地方是负四啊，假如说这块地方是五，对吧？假如这块地方呢，是四分之一的话，那么我们图像上能描述出来的啊， 还有这一块，那么最小值肯定不在四分之一上去，对吧？那么最小值应该在什么上去呢？哎，那很明显，要么就是负四上去，要么就是五上去， 那谁更低一点呢？啊？那么简单一点的话，那就是把负四和五一起带进去，看看哪个数字更小，那哪个就更低，对吧？那我们也可以通过什么这个抛物线的这个对称轴的方式去进行 啊，我们发现只要离对称轴越近，对吧？那么它的值就会，那你看啊，显然负四到四分之一的距离和五到四分之一的距离，谁大谁小啊？那五离 四分之一啊，更圆，对吧？四离四分之一更近，那么越近的越小，所以他应该是在负四时取的最小，对吧？负四时取，所以呢，他信号呢，就应该把负四给带进去 耶，他怎么是把五带进去啊？看来这里边写错了，应该是把负四带进去，这样结果应该会 更小，那我们试一下，假如他题目改成负四的话，那么我们带进去，当然这个带到这一块其实也不太好，对吧？最好是带到这一块，那带到这一块就是四乘以负四的平方，就是六减 二，乘以负四，再减掉四十，这个就是六十四啊，再加上八再减去四十，对吧？就七十二，减四十等于三十二啊，那么自己改一下，改成负四就可以了。

初三同学必会伟大定律，我们来看这一道题，方程的两根为 m n， 求 m 方加 n 方，两根的平方和那运用完全平方公式，我们知道 m 方加 n 方就等于 m 加 n 的 平方减去二 m n， 那 两根之和和两根之积去哪里找呢？对了，就到圆方程这个一元二次方程当中。好，来看那 两根之和我们知道就等于负 a 分 之 b 就 等于负八，两根之积 m 乘 n 就 等于 a 分 之 c 等于十。好，那圆式子我们把它变形， 运用完全平方公式，就等于 m 加 n 的 平方减掉二 m n， 我 们就可以把 m 加 n 和 m 乘 n 整体代入了负八的平方减去二乘以十 等于六十四，减二十，答案等于四十四。好，这道题你会做了吗？会做之后艾老师给大家出了一道变式训练，变式我们学习才有效果。请把具体的答案打在评论区。

同学们，这个世界上有两种咸鱼，一种咸鱼就是考了他自己会翻身，还有一种咸鱼他考了，哈哈哈，直接考服了， 并不是因为他没有加油，那是因为他没有学伟大定力。好，我们一起来看下后面这道题，看下伟大定力怎么帮我们翻身。 设 x 一 x 二是关于 x 的 一元二次方程， x 的 平方减去二乘以括号， m 加一， x 加上 m 的 平方加二的两个实根，并且 括号 x 一 加上一，括号乘以括号 x 二加一，括号等于一十三，求 m 的 值，我们一看，啊哈，这个地方， s 一 加一乘以 x 二加一括号，是不是他就直接可以写成 x 一 x 二加上 x 一 加上 x 二，再加上一，对不对？是不是直接就可以这样写了？哎嘿，那这个什么一元二次方程里面的根对不对？这就直接可以表达成为伟大定律，伟大定律是里面是怎么写的？一个一元二次方程的根， x 一 乘以 x 二，它会等于 a 分 之 c， 对不对？那么 x 一 加加上 x 二，它会等于负 a 分 之 b， 是 不是？你一定要记住这个，这个公式叫伟大定律， 这个考得太频繁了，考到了这个基本上就是属于送分题，一定要记住啊，那么有没看？哎，对于这个 一元二的方程来说， a， a 等于几？ b 等于几？ c 等于几，是不是那么 a 就 会等于一，对不对？这是一嘛，对不对？ b 就 会等于负二和 m 加一，对不对？ 是不是？那么 c 呢？就会等于 m 的 平方加二，对不对？ 这是一加二的三个系数嘛，就 a b c 嘛，对不对？哎，那我们就知道， x 一 x 二等于 a 分 之 c， 哎，那以一为底对不对？ c 是 m 的 平方，加二对不对？那才是 m 的 平方加二，对吧？没错吧， a 一 加上 a 是 二，它就等于负 a 分 之 b， 对 不对？那 b 等于多少？ 一等于负二，负二负 m 加一对不对？ ok， 把它给它就等于二， m 加二，对不对？哎，那我们把这个 带到这个里面去拿， x 一 加一括号 s 二加一括号，他就会等于 s 一 s 二加上 s 一 加上 s 二，对不对？再加一对不对？哎，那我们就可以知道 a 乘以二等于多少？等于 m 的 平方加二，对不对？再加上 a， a 一 加上 a 是 二，等于这个对不对？那就等于 m 二， m 加二，对不对？再加一对不对？好，我们来整理一下啊，那就会等于 m 的 平方加二 m 再加上五，对不对？哎，它会等于多少呢？在这里看它等于十三，对不对？ 那我们就 m 的 平方加上二 m 啊，负三移过来，五减十三等于负八，对不对？等于零，对不对？哎，这个方程你会解吗？最常用的十字相乘法对不对？ 一二负八等于可以写成二和四嘛，对不对？这里是正好嘛，对不对？那就是这样子，对不对？四减去负二等于二嘛，那我们就可以写成 m 减二乘以 m 加四嘛，对不对？括号， 那么 m 就 会等于二或 m 等于负四，对不对？对吧？那我们就把它写成为 m 一 m 二也可以写成为 m 等于二或 m 等于负四嘛，对不对？哎， 那么就可以得得到这个 m 的 值了，对吧？哎，那我们这里面想刚刚我说的这个问答定理， x 一 乘以二十二等于 m 分 之 c， x 一 加 x， x 二等于负二 a b， 哎，这是个定理，一定要记住哎，但是它怎么来的呢？ 是不是怎么来的？好，那我现在记住啊，把它拆下来哈，然后把它擦掉啊，擦掉了，我们来证明一下这个未知数。 我们都知道，公式嘛， x 一 x 二，它是不是等于 r 分 之负 b 加减根号 b 的 平方减四 a c， 对 不对？ 是不是？这个是我们的公式，在我们滚被它滚瓜烂熟了对不对？那么 x 一 乘以 x 二还会等于多少？等于二， a 分 之负 b 加上根号 b 的 平方减去四 a c， 对 不对？ 括号再乘以一个二 a 分 之负 b 减去 减号 b 的 平方减四 a c， 对 不对？好，这是什么？哈哈。哇，这是平方差公式啊，这么好玩对不对？好，分母乘分母乘四 a 平方， 对吧？那分子两个分子，它们是平方差公式，等于负 b 夸的平方减去加号 b 的 平方减四 a c 夸的平方，对不对？那它就会等于 四 a 的 平方， b 的 平方减去，把 b 的 平方减四 a c， 对 吧？哎，那就等于四 a 的 平方，对不对？ b 的 平方减去 b 的 平方加上四 a c， 对 不对？ 拆掉过后一定要变，前面有个负号哈，一定要变号，那他，那他这个跟那个下掉了，对不对？四根四下掉了，哎， a 也给他降一个，对吧？那就得 a 分 之 c， 对 不对？大家看，证明出来了吧， x 一 乘以 a 十二等于 a 分 之 c， 是 不是？这就是伟大功伟大定律的一部分，我们证明出来， a 十一乘以 a 十二等于 a 分 之 c， 嗯，好记，记下来啊，记下来，我把它擦掉啊。 哎，那 s 一 加上 s 二，它会等于多少啊？这个 r 分 之负 b， 加上记号 b 的 平方，减四 a c， 对 不对？再加上一个 二 a 分 子负 b， 加上减号 b 的 平方，对不对？减四 a c， 对 不对啊？就是前面是加的对不对？后面是减，对不对？这两个 对，减， ok， 我 们都是同样的分母，对不对？好，减二 a 对 不对？那就是负 b 加上根哈， b 的 平方减四 a c 再减去，对吧？ 减，我们把这个括号去掉哈，就减 b， 再减去 b 的 平方，减四 a c， 对 吧？哎，这两个根， 这两个平方根里面 a 是 一模一样的，对不对？我们把它消掉，那它就会等于二 a 分 之负 b， 负 b 负二 b， 那 它是不是就会等于二跟二约掉 a 分 之负 b， 对 不对？等于负 a 分 之 b a， 这是不是伟大定律的第二部分又证明出来了，就是 x 一 加 x 二等于负 a 分 之 b， 对吧？记住，记住了，就是这么来的。受一点是不是？但是你，你记住这个伟大的你，特别对于我们初中生，我们中考的时候，这个是常考的，常考的就是送分的，知道不？好，记住了哈。

都上高中了，维达定律还不会来，赶紧看过来！维达定律这两个基本的咱要知道。另外呢，它的变形形式，这五个是考试的时候常常出现的高频的考点啊，这五个咱一定要背会 它，记住没有呀，这几个考试的时候常常出，赶紧点赞转发，让咱家的宝贝学起来！

好朋友们，今天呢，我们来讲一讲一元二次方程当中的维达定理哈。我们在学了一元二次方程的时候，然后很多时候如果题目当中告诉你方程的根，但是不一定要把它的根求出来，我们可以根据它根与系数之间的关系来进行一个计算。那首先可能很多同学因为对于这个维达定理不是特别清楚，因为属于我们学校里面选修知识，所以我们首先来讲一下这个什么是维达定理啊？ 在一个值一元二次方程 a x 平方加 b， x 加 c 等于零中， a 不 等于零，告诉你 x c x 二是方程的两个实数根，那么我们就可以知道这两个根的和和，两个根的极跟它的系数之间是有什么关系的。那么首先方程 x c x 是 方程的两个实数根，那么首先就隐藏着它的根的判别是必须大于等于零的， 当它大于等于零的时候，那我们根据一元二次方程公式法，我们就会知道 x 方程的两根是等于二， a 分 之负， b 加减，根号下我们 b 平方减 c， c， 那就什么就可以说一个根是 x 一 等于二， a 分 之负， b 加根号下 b 平方减 c， c 好。 另外一个根 x 二等于二， a 分 之 负， b 减，根号下 b 平方减 c c， 那 我们可以直接把它相加，就可以得到 x 一 加 x 等于负的 a 分 之 b， 好， 把这两根相乘，可以计算出得 x 一 乘以 x 等于 a 分 之 c， 那 这个就是我们的微答定律。那很多时候我们在计算啊，特别是我们这种 填空题的时候，那么我们用维达定律来计算就比较简单，比方你看一下这道题啊，他告诉你方程的，他是两个这个方程的两个时数根，要求这个代数式的值， 那么那有很多朋友他想直接把它方程根去求出来，当然也是可以的，只是说计算呢，稍微要复杂一点。那你想一想，那如果我们利用维达定律，你看会不会更简单呢？当然有人说，老师这里有 x 一 平方的嘛，那 x 一 平方只有，呃，加六 x 一 加四 x 二，那又没有 x 二的平方，那我们怎么来算呢？ 有的时候我们知道有根，那我们除了可以用维达定律以外，它既然是方程，是它的根，那我是不是也可以把它直接带进去，那有根必带入，那我就说 x 一 是这个方程的根，那我们就知道 x 一 的平方加二 x 一 减二零二四，它也是等于零的， 当然 x 二带进去也是符合的，只能说这个里面没有 x 二的平方，所以我们就可以不用带入。那你看这个 x 一 平方加二 x 一 减二倍 x 一， 那我们就可以知道 x 一 平方加六 x 一， 加 四 x 二，好把 x 一 平方用这个代进去啊，就是二零二四减去二倍 x 一， 加上六倍 x 一， 再加四倍 x 二，那就等于好，这个合并一下就是二零二四加上四倍 x 一， 加四倍 x 二，那你看四倍 x 一， 四倍 x 二，是不是可以把四提出来，就等于二零二四加上四倍 x 一 加 x 二， 那我们就知道 x 一 x 二是这个方程的两个根，那我们根据根与系数之间关系就可以知道两根之合是等于负的。 a 是 一啊， 一是我们的二，所以负的一分之二，那么也就是负二，那我们是不是就可以直接带进去了？就等于二零二四加上四乘以负二，那就等于二零二四加负八啊，就是减八了，那就等于二零一六，那你看这道题是不是就等于二零一六？那我们就算出来。

让我们看一看这套卷的椭圆大题啊，那我们来看一看这个，他说离心率等于二分之一，对吧？所以这个时候怎么样？ a 分 之， c 等于二分之一，对吧？那这个时候我们就知道了这个 a b c 的 一个关系，这个 a 呢，应该等于 二 c， 所以 b 呢，应该等于根号三 c 啊，那么好，咱们再看啊，这个时候点 a 和点 b 分 别为椭圆的左右顶点啊， c 为上顶点，所以 a 的 坐标啊，是不是就可以用？怎么样？负二 c 都零，那么 c 的 坐标呢？上顶点零到根号三 c， 对吧？他就说了啊，这个 c a 向量乘 c， b 向量等于负四，所以这个时候怎么样说？正好借助这个坐标啊，把这个向量给它算出来啊，那这个时候这个 c 就 能出来了啊。那好，咱们看 c a 向量， c a 向量呢，用 a 的 坐标减去 c 的 坐标啊，那么应该等于怎么样？负二 c 负的根号三 c， 对 吧？哎， 然后呢，这个 c b 向量， c b 向量应该等于怎么样？二 c 负杠三 c， 那 么 c a 向量乘以 c， b 向量应该等于负四倍的 c 方，然后再加上三 c 方啊，应该等于负 c 方，那么负 c 方呢，它等于负四，对吧？所以这时候 c 等于什么？ c 应该就等于二啊， c 等于二，那 a 呢，等于四， b 呢等于二倍，根号三啊，那么椭圆的方程我们就出来了啊，它应该等于怎么样？十六分之 x 方加上十二分之外方等于一。我们一起看一看这个题啊，那么这条直线 l 等于 m y 加三，所以它 b 过三到零应该在这个里面啊，然后呢，这个时候怎么样与椭圆交于 m n 两点， 咱们随便画一个，比如说 m 在 这，好，然后他就说了怎么样直线 a m 的 斜率为 k 一， b n 的 斜率为 k 二，对吧？那么 a m 这条直线啊，在这 b n 的 这条直线呢？在这，那他们两个的斜率啊，分别为 k 一 和 k 二， 那好，这个时候我想表示这个 k 一 和 k 二，那这时怎么样？我们是不需要 a m b n 这四个点的坐标，那么在这个一问当中，我们已经知道了点， a 的 坐标呢，应该是负四零点， b 的 坐标呢，应该是 四到零，对吧？那么这时候我们是不是要 m n 的 坐标， m n 的 坐标怎么样？我们是不是需要将这条直线和第一个这个椭圆啊连立起来啊？来求，然后后面呢，我们表示出这个 k 一 和 k 二来，写出这个比值来，我们再看一看啊，那个伟大定律到底怎么用？我们假设 m 的 坐标为 x 一， 外一点 n 的 坐标呢？为 x 二，外二， 我们将这个 m n 和这个椭圆连立啊，十六分之 x 加上十二分之外方等于你，然后这条直线呢，是 x 等于 m y 加三， 我们将这个代入对，代入上面，顺便去一下分母啊，同时乘以这个四十八啊，那么这个时候它应该等于三倍的 m 方， y 方加上六， m， y 加九， 再加上四倍的外方，对吧？减去四十八等于零，对吧？我们整理一下这个式子啊，应该等于三 m 方加上四乘以外方，再加上十八倍的 m y， 再怎么样？再减去二十一等于零，那么这时候这个式子可能不太好解啊，所以这时候我们选择给它定义，对吧？外一加外二应该等于怎么样？三 m 方 加上四分之负十八倍 m， 对 吧？然后呢，外一乘外二应该等于三 m 方加四 分之负的二十一，我们这个目前北大定律这部分啊，就高一段落，然后我们开始表示这两个斜率，对不对？那么 k 一 等于什么？ k 一 啊，应该等于 y 一 比上 x 一 加四，对吧？那么 k 二呢？应该等于 y 二比上 x 二减四，对不对？所以这个时候 k 一 比 k 二，应该等于他们两个消除，对不对？等于 y 一 乘以 x 二减四比上啊， y 二乘以 x 一 加四， 对吧？好，我们北大地理写的是 y 的 啊，所以这个时候怎么样？我们将 x 替换掉，替换掉，那么这个时候 k 一 比上 k 二 应该等于怎么样？上面是 y 一， 我们把 x 二换掉的话应该是怎么样？ m y 加三，对吧？啊？也就是 m y 二减一，然后下面啊，我们把它再代入的话，应该是 y 二乘以 m y 一 加上七， 好，这个时候怎么样？我们把它打开啊，等于 m 倍的 y 一， y 二加上七倍的 y 二， 那么到这个地方啊，正常情况下，是不是我们可以选择把北大定给带进，对吧？然后之后怎么样化减这个式子？但是这道题我们会发现，怎么样？这个成是可以直接带进来的，对不对？但是这个这个外一啊和这个七外二，我们是不是不能直接怎么样？把和或者直接带入，对不对？所以这个地方啊，我们就要用到了这个非对称的北大定力啊， 它并不是完全都是对称的啊，那么这个时候怎么办呢？我们可以选择，比如说啊，我们把上面的这个外一换成怎么样？换成这个三 m 方加四啊，分之八 m 减去这个外二，当然你也可以把下面这个换掉了，都可以都可以我们把它 替换进来，也就是怎么样后半部分大家都写成 y 二的结构啊，前半部分呢，因为乘积是可以往里边带的啊，所以这个时候我们看一看，它应该等于 m 倍的 y 一 y 二，然后加上七倍的 y 二，对不对？上面是 m 倍的 y 一 y 二，然后怎么样？减去 三 m 方，加上四分之四，负十八 m， 然后加上 y 二，那么这个时候右侧这两个是不是都是 y 二？然后这个时候怎么样？我们可以将这个 y 一 乘二再带带入啊？这个时候我们进行化解，我们来看一看，那么它这个地方啊，应该等于三 m 方，加上四， 上面把 m 带进去，负的二十一 m， 然后加上七个 y， 这个地方呢也是三 m 方，加上四分之负的二十一 m， 然后加上怎么样？十八个 m 再加上 y， 那 上面我会发现怎么样？他算完之后得负三 m， 那 负三 m 跟这个负二十一 m 比是一比七， y 二和七 y 的 比是不是也是一比七啊？所以最后它的比例应该就是一比七，那么这道题我们就说完了。

韦达定律啊，堪称解一元二次方程的兜底神器，课本上呢，只讲基础公式，老师呢，也没带大家深挖规律，但是有些学霸却把它练成了抢分神器。 就像这道中考真题，很多孩子呀，压根不知道咋用韦达定律来解它。别慌，老师今天呢，就用核心的变形技巧，带你彻底搞懂韦达定律。好，我们来看题。 若 x 的 一个一元二次方程的两个根是阿尔法和贝塔，求阿尔法的平方减二倍阿尔法再加二倍贝塔的值。好，这里面涉及到了两个根，同学们 时光回到了很多很多年前，我上初中那会呢，韦达定律，在教材中他就叫韦达定律，但是现在啊，他取了一个更加接地气的名字叫， 叫啥呢？根与系数关系定律，所以说他所研究的就是我们的 x 一 x 二这两个实根与系数，比如说这里的 一，这里的负四，这里的负二零二零之间的关系。那什么关系呢？给大家简单的推导一下啊！首先我们都知道，根据公式法，可以把两个根用求根公式表达出来， x 一 呢是 二 a 分 之负 b 加上根号 derta， b 方减 c c x 二呢是二 a 分 之负 b 减去根号 derta， b 方减 c c。 大家去研究一下这两个根的和来， 自己推导一下是什么，它俩一加正根号和负根号抵消掉，是不是就变成了二 a 分 之负 b， 负 b 负二 b， 整理一下就是负 b 除以 a， 对 吧？这是我们根与系数关系的第一个定律，两根之和。好，再来看第二个，两根之积等于什么呢？分母乘分母是四倍的 a 方分子乘分子来观察一下啊，负 b 加根号 乘以负 b 减根号是啥呀？平方差公式对不对？是不是它的平方就是 b 方减去根号，负根号是不是减去 derta， 对 吧？那 derta 化解一下呢？就是 b 方减去 b 方减四 a， c 除以四倍的 a 方， 然后大家看好了啊， b 方减 b 方，没了负负得正是不就是四 a c 四四 a a 约掉。所以答案是什么？对，答案就是 a 分 之 c。 好， 以上看到的这两个就是什么？就是咱们的根与系数关系定律。 所以说在很多题目中呢，我们都会用到这根据系数关系定律，譬如说你现在看到了这个题来读题，它这里面有阿尔法，有阿尔法，有贝塔，对不对？有同学呢，就想了，阿尔法的平方减去二倍的阿尔法减贝塔来，同学们，这个叫什么？ 两根之差，它跟我们的两根之和两根之积有点距离，对不对？所以说这样的一个题目呢，我建议大家不要忙着变形，而是去观察这个平方向， 平方向阿尔法是它的一个根呀，知解回带咱们来试一试。所以说第一步呢，解，把 x 一 等于阿尔法带入圆方程得到什么呢？来，阿尔法带进去啊，阿尔法方减四倍，阿尔法减二零二零等于零。 好，那么有了它，咱们就可以整理一下用什么降次的思维，阿尔法的平方就等于四倍阿尔法加上二零二零， 对吗？然后呢，这个式子咱们就可以写一下原式，各位，降次以后呢，就变成四倍阿尔法加二零二零，就是它吗？再减去二倍阿尔法，再加上二倍的贝塔 来，四倍阿尔法减二倍阿尔法是，二倍的阿尔法加贝塔来。各位什么两根之合吧，对吧？好，再加上二零二零。 两根之合呢，是负的 a 分 之 b， 像这个题的话， a 等于几呢？ a 是 一， b 是 负四，所以说就是一分之负的负四，一定要带对符号哦，所以答案是正四。那么 所以阿尔法加贝塔等于负的 a 分 之 b 等于正四，你要自己把这个 a 和 b 找到算一下，那么所以原式 就等于什么呢？二倍的正四加上二零二零。所以说答案是二零二八。评论区的你告诉我关于伟大定律，你还想知道什么题呢？

记着，你们家孩子其实是非常有创造力的，我觉得你应该去鼓励这种做法，让他呢天马行空的去想象，去做，将来呢，肯定差不了。今天呢，给大家带来一道初三的二次函数的代数题， 难度不大啊，但是呢，有一个别样的入手角度，感兴趣呢，咱们一起玩一玩。如果 m n 是 一元二次方程的一个实数根，那么多项式巴拉巴拉，它的值是多少呢？ 他告诉我们 m n 是 方程的根，那我们就有一个想法，把 m n 给它带进去，就会形成关于 m 和 n 的 两个式子，对吧？ 但是呢，你看，形成这个式子里面，这里面有点问题，有个 m 方，那好办，这个 m 方，我们可以把 m 带进去，确实有 m 方，这里面还有 m n 呢，马上会想到什么， 哎，伟大定律，伟大定律有两根的积嘛，所以它其实是好解决的，对吧？但是呢， m 方带进去它怎么办呢？你又不要别的东西，你除了 m 方，还有还有一个减 m 呢，可是现在这里后面是 n 了，对吧？不好处理。 但其实你琢磨琢磨，当你没有思路的时候，你就写写啊，不管什么，你先写出来再说，对吧？比如说，我刚才说到了，我们想到的是 m 为 方程的根，对吧？因为看到 m 了，所以我们会把 m 给它带进去， m 方减 m 减五等于零得到这个式子，那可是这个时候怎么用它呢？没思路。那我们先把别的处理一下，至少 m n 可以 快速的先得到它的结果是多少，对吧？哎，又因为 m 乘以 n， 我 们知道等于 a 分 之 c， 所以 它等于负五，那么同时 m 加 n 呢，就等于一，我们给它变形一下 m 方，等于我们把 m 和五给它移向，移过去，变成 m 加五。 这时候发现了没有， m 方其实可以用 m 加五来替代的， m 方是二次项，现在 m 的是一次项，是不是相当于给降次了，对不对？ 这个地方呢，我们用了特别重要的它的一个功能叫做降次，所以这个圆是 m 方，减去 m n 加 n 加一，它自动的变成了 m 加五，对吧？ 减去 m n 加 n 加一，这时候你再看负的 m n， 我 们已经能搞定了啊，就剩下一个 m 和一个 n， 这不巧了吗？ m 加 n 刚好就是一呀， m 加 n 等于一，加上五，再减去 m n 等于 负五，是吧？然后再加上一等于十二。题目呢，说实在的也不是很难，但是呢，可以给大家提个醒，你看，当你面对一个方程的时候，难道他就是方程吗？ 其实他还告诉你了， m 方他就等于一个一次项，我们可以给他等量代换，换成一次项，对吧？这就是他别有意思的地方，可以根据他灵活去应用。就像我们手里拿了块橡皮，难道他只能插汉字吗？ 对不对？难道他就不能给他削成一个艺术品吗？对吧？有的小孩呢，拿小刀把橡皮削来削去的，最后削成一个小玩具， 这也是一种发明创造啊。所以呢，如果你的孩子是拿着不同的东西可以干很多事的，记着，你们家孩子其实是非常有创造力的，我觉得你应该去鼓励这种做法，让他呢天马行空的去想象，去做啊，将来呢，肯定差不了啊。好嘞，今呢咱就到这吧，好，拜拜。