复变函数前四章作业

各位同学大家好，欢迎大家来到复变函数速成课。在接下来的三个小时里，我会和大家一起去学习复变函数的考点内容，争取让大家用最短的时间学会这门课的知识，顺利通过期末考试。 现在开始，请同学们跟着老师的上课节奏，认真学习每一章节的考点知识，课后再通过每一章节配套的讲义和题库及时巩固练习，相信通过这三个小时的学习，同学们都可以轻松通过期末考试。 我们的复习课主要包括以下几个考点，首先就是复数及其运算，主要是复习复数的概念以及相关的加、减、乘、除运算。学习复数的三种表示方法。这一部分很多同学都在中学阶段有接触，我们主要是通过复习加深我们的印象， 虽然内容不难，但却是整个课程的基础，贯穿我们后面的学习过程。第二章，复变函数与解析函数以及调和函数三者之间的关系。其中 c r 方程以及根据调和函数求出解析函数是这部分的难点，是考试经常涉及的考点。 第三章是复变函数中的初等函数，这一章存在诸多公式，内容不难，但需要同学们通过题目勤加练习，从而加强对公式的记忆。 第四张，复变函数中的级数。这一张要求同学们掌握负数列极限的球法、收敛的判别方法以及收敛半径的计算方法。如果同学们还记得高数部分的级数知识，这一张内容就会学起来相对简单。第五张是关于积分的学习，重点是解析函数的高阶导， 这里考试的时候一定会出大题，希望同学们可以认真听讲，掌握好这部分知识。第六章流数是考试的重中之重，考点有三个，孤立起点、流数和流数的计算规则。 这部分十分重要且难度较大，希望同学们要认真学习这部分内容，并且课后一定一定要去题库里多加练习，直到完全掌握。 第七章流数在定积分计算上的应用主要涉及两个方面，一个是对十积分进行计算，另一个是对我们前面讲过的所有求积分的方法进行一个总结。 这部分出题的套路会比较固定，大家只需要牢牢掌握这些公式方法，考试的时候根据情况进行套用就可以了。第八章中涉及德尔塔 t 函数的内容比较简单，同学们记住即可， 重点是在复利页变换，主要需要同学们牢记复利页变换对。第九章拉普拉斯变换考试时一般会出一道利用拉普拉斯变换且微分方程的题，这就要求我们对常见的拉普拉斯变换对以及拉普拉斯变换的性质非常熟悉。 最后一张映射是选学内容，内容不多，只需掌握简单映射的变换方法以及通过常见的映射公式计算出映射函数就可以了。 其实复变函数一共就有这么多考点，而且难度不大，解题都有一定的套路。平时上课掌握的不够好的同学也不用紧张， 只要跟着老师一起学完这三个小时内容，一定可以轻松通过考试。那话不多说，接下来跟着老师一起进入具体章节的学习吧！今天我们先来学习第一节 复数及其运算。这一节的主要内容有复数的几何表示、复数的计算以及复数的方根。主要是一些选择和填空题，只有复数的方根涉及到一部分计算题。首先我们来看第一个部分复数的概念与几何表示。 在高中的时候呢，我们学过，对于任意实数 x、 y， 我们称 z 等于 x 加 i， y 或 z 等于 x 加 y， i 为复数， 其中 i 为虚数单位，并且规定 i 方等于负一 x、 y 分别称为实步和虚步。大家需要记住实步和虚步的字母表示方法。 有了 x 和 y， 我们可以把复数用平面直角坐标系表示。这时复数的几何表示方法， x 轴为实轴， y 轴为虚轴。 两周所在平面称为负平面或 z 平面。其中复数 z 可以用向量 o， p 来表示。大家可以看这张图，其中向量的长度称为 z 的模或者绝对值，其数值等于根号下 x 方加 y 方， 而以正时轴为始编，以表示 z 向量 op 为中边的角的弧度数。 c 塔称为 z 的浮角，记作 r， g， z。 当这个 c 塔的范围在副派到派之间时，称为浮角。主持也叫主浮角， 因为我们看到的这个项链是不知道他转了多少圈。也就是说，我们看到的佛脚可能是 say 他，也可能是 say 他加二 k 派，这个就记作大写的 r、 g， z， 其中 k 是任意整数。有了佛脚和磨长的概念，我们可以用其他方 法来表示复数。当我们利用直角坐标和即坐标系的关系，我们可以得出第二种复数的表示方法， z 等于 r， 乘以 cosita 加 isita 之和， r 是摩长， sayta 是浮角。同样的，利用欧拉公式可以得到复数的指数表示方式。 they 等于 r 倍的 e 的 isita。 同学们要牢牢掌握这三种表示方法，以及他们之间的相互转换。下面我们来看例题一， 已知复数 z 等于一减根号三 i 求 a z， 也就是主辅角。做这种题，我们首先可以先取 x 和 y 的绝对值，并对齐取反正七指算出角度，这个题的角度是三分之派。接着看 复数 z 在第几象限，因为 z 在第四象限，根据浮角定义，是从正十轴开始到向量中边结束，所以最后 x 是负三分之派。这里如果 z 在第二象限，看图像，我们就可以知道我们求出的角度是负十轴与象量的夹角。 那么根据定义，除俯角，最后等于派减三分之派，也就是三分之二派。这里有一个知识点，当负数在一二象限时，俯角的范围是零到派。当负数在三四象限时，俯角的范围是零到副派。 下面我们来看例题二，这里要求将复数 z 化成三角表示式和指数表示式。首先我们要求 z 的模长，也就是 r 等于根号下 x 的平方加 y， iphone 等于四。接着求辅角 cta。 和我们上面讲的例题类似，同学们可以自己试着求一下这个辅角。这里大家看图。负数在第三象限，当我们取 x 和 y 的绝对值，求得的反正切值仍然是负十轴与向量中边的夹角， 因此 c 塔等于派减六分之派。因为在第三象限最后得到的符角一定是负的，所以要加个负号。 最后俯角是负六分之五派，根据摩长和俯角我们可以得到三角表示式和指数表示式。 z 的三角表示是为 z 等于四倍的 cosine 负六分之五派加 sie 负的六分之五派，指数表示是为四倍的 e 的负六分之五派 i。 同学们， 这里要会算不同上线的符角值。下面我们来看例题三，他给出了一个复数，要求我们化为三角表示式和指数表示式。这里有的同学们可能要问，给出的不已经是三角表示式了吗？为什么还要写？ 这里同学们要仔细看一下，和爱在一起的不是撒引，而是 cosine， 所以它不属于三角表示式，需要我们将撒引变为 cosine， cosine 变为 saying。 同时我们也要注意萨引和扣萨引中间一定要是加号才是三角表示式，否则也需要变换。 这里根据三角函数公式，我们可以得出撒引五分之 pa 等于 cosine， 十分之三 pa。 当我们转换成标准的三角表达式后，发现模长 r 等于 语一，自然指数表示是也就写出来了。下面我们来看例题四，让我们求方程 z 加 i 的模长为二所表示的曲线。这道题有两种方法，第一种方法就是直接利用记合法 方程 z 加 i 等于二可以写成 z 减负 i 等于二，那么就是表示所有与负 i 距离为二的轨迹，也就是中心为负 i， 半径为二的圆。 在常规的 x y 坐标轴上表示的就是圆心 o 为负一，半径为二的圆。方法比较常规，如果同学们无法理解及合法，建议使用第二种方法，但会麻烦一些，我们设 z 等于 x 加 i y， 然后合并同类项，原方程变为 x 加 y 加一倍的 i 的摩长为二，利用摩长公式计算，根号下 x 方加 y 加一方等于二，或者是 x 方加 y 加一方等于四，这个和我们几何法得到了结果是一样的。 第二部分我们来讲复数的运算，这里有一些知识，我们高中已经学过，大家再来复习一遍。首先我们说一个概念，我们把十不相同而虚不绝对值相等，符号相反的两个复数称为共额复数，记作 z 上面一个横杠。 下面我们来说两个复数的运算法则。加减法比较简单，是对应的十不相加减，虚不相加减，而乘法则是利用乘法分配率依次相乘。 这里我们前面提到过， i 方等于负一除法则需要利用公额负数的概念，将分母的负数乘以他的公额负数化为整数， 分子也同时乘以分母的公额复数。这里都是一些高中的知识，比较简单， 下面我们来看两道例题。第一问是 z 一加 z 二，就是把对应的实步虚步相加，最后实步是五减三等于二，虚步为负，五加四等于负一， 而 z 一比 z 二的值，就是利用共额负数将分母化减，分子分母同时乘以分母的共额负数，负三减四，二后化减，得出答案。例题六，已知负数 z， 求 z 的三十次方 减 z 的五十一次方加 z 的八十次方。这种题同学们要注意，一定要先把 z 化减，还是用同样的方法，分子分母同时乘以分母的共额复数一加二， 最后化减的结果为 i。 这个时候我们可以得出 z 的一次方就是 i， 二次方是负， i 三次方是负 i 四次方就是一，五次方又是 i， 它是不断重复的。 所以我们可以找到规律， z 三十次方是四乘七加二，也就是相当于 z 二次方为负一。 同理， z 五十一次方等于四乘十二加三，也就是 z 三次方为负二， z 八十次方就是一，最后结果那就是负二。当两个负数 为指数形式时，我们需要掌握乘法和除法公式，这个地方只要记住公式就可以了，比较简单， z 一乘 z 二就是对应的模值相乘，幅角相加， z 一除 z 二就是对应的模值相除，幅角相减。 我们看一下例题，问 z 一乘 z 二和 z 一除 z 二的指数形式。首先把 z 一和 z 二化为指数形式，这里先把它们化成了三角表示式，是为了方便求出辅角 c 塔。 这里同学们要注意，一定要画成标准的三角表示式才可以，也就是中间一定要是加号，而和 i 相连的一定是三引函数。如果不是，可以利用三角函数的对称性，以及前面 讲过的三引和扣三引的转换公式进行化减，得到结果后按照公式进行计算即可。最后我们来讲一下复数的方根，这里同学们可以先看一下方法，我们结合例题来进行学习。 这里我们求一加 i 开四次根号。首先我们将一加 i 转换成三角，表示是为根号。二倍的扣三以四分之派，加 i 三以四分之派。然后设欧米伽等于 row 倍的扣三以 five 加 i 三以 five 也等于 r 倍的扣三以 set 加 i set 的 n 分之一次方，这里 r 是摩长， set 是浮角。接着我们要记住 ro 等于 r 的 n 分之一次方， five 等于 n 分之 set 加二 k， pi 集中， k 是从零到 n 减一，这里 n 表示的是我们需要求的几次方根。对于这道题就是四，那么这里 r 等于根号二， ro 等于根号二的四分之一次方，也就是二的八分之一次方。 接着算 five， 将 k 分别取零一、二、三带入即可得到四个 five 值，对应四个欧米伽值。最后答案就是这四个欧米伽值。这种题方法固定，同学们记住做法就可以了。 本节课我们复习了复数的概念以及相关的加减乘除运算，学习了复数的三种表示方法，同学们一定要熟练掌握这三种表示方法之间的相互变换。最后要学会计算复数方根的方法。

我们来看一下的第二题啊，他说何处可倒，何处解析，这其实考的是科学里面方程，前面这个是 u 的位置， u 加 vi 吗？ u 是等于二 x 三次方的， v 呢，是等于 三万三次的，这时候要算偏 u 偏 x、 偏 u 偏外、偏 v、 偏 x 偏微偏外。 pupx 是等于二三六 x 三 pu py 呢是零， pvpx 呢是零，这是等于 九 i 方的。注意是 u 对 x 是等于微对外，这是科技的外放成， u 对 y 呢，是等于负的微对 x， 这俩是零等于零成立的。先说六 x 方要等于九外方，满足这个式子的时候，只有这个 y 等于正负三分之根号六 x 只有这两条线， 所以是在这种满足这个科技的方程上面是可导的，只有这两条线的话，是处处不解细啊。 如果你发现这个科技对面方程是个横等式，那就解析了。再看这个题，这个题是 x y 方， u v 呢，是等于 x 方 y 类似的， u 对 x 等于 外方，微对外呢？ u 对 x 要等于微对外吗？微对外刚好是 x 方， u 对 y， u 对 y 的是 r x， y 等于注意负的微对 x， 而 v 对 x 应该是负的 r x y 是吧， 飞的时候就得到了二 xy 等于负的二 xy 一过来就是四， xy 等于零， x 等于零，或者是 y 等于零， 再带到前面去， x 方等于外方，所以只能是 x 等于零， y 等于零了，就这一个点，可倒， 处处不解析。 再看下第四题的起点啊，不解心。 对于这种多项式来说，其实只是看分母为零就行，他本身没有意义，肯定是不可倒的，但是就是不解析的了， c 等于零，注意，这个 c 方加一等于零，小心点啊，这个 c 等于的是正负 i， 所以应该有三个零正负 i， 后面这个呢，一个是 z 等于负一，然后 z 等于正负 i， 提示一下， c 的三次方如果减二十七分之一，这个起点应该有三个 小心点。然后这种像这种直接求导，就先高速把自己换成 x， 求导方式完全一样。看第八个帖子，说说，这个是解析函数，想确定一些参数，这个呢是 m， 这个呢是 n， 那既然是解析的话，就应该有 u 对 x， 我们来算一下， u 对 x 应该是二 n x y， u 对 y 呢，应该是三 m 外方再加上一个 n， x 方 微对 x 等于三， x 方加上一个 l， y 方微对歪，微对歪的话，应该是 r l x y， 注意是 u 对 x 要等于为对外，这俩相当， 又说 n 和 l 是相当的，然后呢，这两个注意是互相反数的，又说 you 对 y 是等于负的，为对 x， 是吧？ 这要是个横等式，这样一对比的话就出来了， n 和 l 都应该是等于负三的， m 是等于一的开始。第第二个啊，他说 u 加 iv 是解析的，共乐也是解析的，这个 f 共乐的话，其实就是 u 减去 iv。 那我们来看一下，既然解析的话，就应该满足的是克系的面方程，可以说 u 对 x 等于微对 yu 对 y 呢，是等于负的，微对 x 这事对于 f 来说啊，对于 f 来说，那对于 f 公告来说，小心一点啊，应该是 u 对 x， 这时候的 v 是负 v 了， v 对外就等于 u 对 y 呢，是等于负的，那就应该是正的。这时候微对 x， 这两个你看一眼， 现在就有什么呢？就有微对 y 是等于负的，微对 y， 自然的微对 y， 一五七九二倍的等于零吧，所以微对 y 的倒数是零。 类似的，微对 x 倒数是零，所以这四个 u 对 x 是零，有对外是零，也说 uv 和 xy 都没关系，那就是常数了。就常数 来看下十二题啊，他修解的方程，这个记下来就行了。 c 等于 k 派，跟使者是一样的，这个 c 是等于 k 派加上分之派。 第三个小心点啊，现在是解方整，现在是一 z 等于负一，这个 z 是大的乱负一，所以是小的乱负一，再加上一个二 k 派，哎，刚好是 ipad 加上一个二 k 拍，嗨的，这个呢，你可以写成了赛音。 c 加上一个四分之派，又刚好二位的得令，所以对应的是 c 加四分之派要等于 k 派， 这等于 k 拍减四分之拍。第十五题主要利用两个公式啊，一个是大的 long 等于小的 long， 再加上一个二 k 拍，哎，小的 long 是主值啊，这是主值。 而小的 long z 是怎么处理的呢？需要把 z 的摩长和胡椒组织算出来，那就是 long r 再加上一个 ifaita fat 是胡椒组织。 所以我们来看一下大的 low for i 呢，应该是小的 low for i 再加上一个二 k 派，嗨，而小的 low for i 摩长是一 角度呢，是负的二分之派，所以应该是差一点乱一是零啊。 再看一下第二个 log， 就是负三加上一个四 i， 首先呢，应该是小的 log 负三加上一个四 i， 这是主指，是吧，我们算一下主指，主指应该是单独的塞下来一个主指啊， 需要他的摩擦是等于五的角度，注意是在第二相线 一字不变，二加三减，所以应该是等于他可参见的四除以负三再加上一个派，所以这直接就是乱 五，再加上一个 i c 弹对应的拍减去 happy 弹进了四除以三的，这是他最后再加上一个二 k 拍 a 就可以了， 这样写的是吧。再来看一下十八题啊，这个直接就是欧拉公式啊，然后 e 乘以 e 的负的二分之排 i， e 后面，这应该是抠散音负的二分之排加上一个矮背的散音 负的二分之派，所以应该是等于负的 ei 的， 这个呢，就是一样， e 的现在是四分之一加上了 ipad 嘛，应该是等于一的四分之一。 提出来，剩下那个 e 的四分之派 i 呢？可以写成了扣赛音四分之派，加上海贝的赛音四分之派，赛就等于 的四分之一，这是二分之个和二，再加上一个二分之个和二 i 翻的 a 小一点，这应该是 e 的 a， 注意是大的乱三，所以应该是 e 的 a， 这应该是小的乱三，再加上一个二 k 派 a， 所以应该是 e 的负的二 k 派 还有一的，哎，乱三接着写，用欧拉公式，这地方现在是抠赛呀，乱三，再加上一个矮背的赛呀 love that。 最后一个 e 的 i 大的乱，主要用的公式是 a b 等于 e 的 b， 大的乱 a 一加 i， 所以接着写一的 i， 这应该就是小的了。一加 i 再加上一个二，可以拍 i 小的落一家应该是 lon 各行二模长，再加上角度对应的是四分之派 这样一个结果，所以 i 乘进去啊，有个 e 的负的四分之派减去一个二 k 派，还有一个 e 的，哎，乱 三号二，所以这地方可以写成了一的负的四分之派减去二可以拍后面应该是扣三 l l 二，再加上海贝的散音 log l 二这样一个结果。

下面再看第五个，这两个看一下啊，他有个散一扣散的，这时候十有八九是利用间接展开的啊，泰勒或者是罗朗，是吧？这时候我们来直接看一下这个呢，注意他七点明显是 c 等于这个地方 我们展的话，其实就是 q 赛一，一减四分之一应该等于一一减去二的结成一减四分之一的平方，然后呢加上一个四的结成，这应该是一一减去 c 的 四字方，这样一直下去，你会发现无现象，所以呢，这是个本性的啊， 那对应的没有这种的，我需要找的时候，直接找的是 z 减一分之一，前面的系数没有这么一项，所以系数 c 负一是为零的，小心点。 再来看这个一样的做法，这方后面的这个赛 c， 第一项是 c 分之一减去三的结成 c 的分之一的三次方， 这样一直下去成完之后呢，第一项是 z 减去刚好是六分之一，有个 z 分之一再点点点，所以 c 负一应该是 z 分之一，前面这个系数 z 减零分之一在零点处的流数啊， c 等于零的时候起点，这时候 我们来看一下，明显应该是等于的是负的六分之一的。再来看第七个题目，这个的起点应该是 z 乘以三 z 等于零的地方，一个是 z 等于零，还有个 z 等于 k 派，是吧？ 这时候呢，我们来看一下，对于这个后面这个 cind 来说，这个 k 派，我们来看一下啊，对于这个 cine c 来说，赛运 k 派明显是等于零的，但是一求导之后呢，会变成 co sand， 这时候在 k 派的时候就不等于零了，是吧？所以他其实对于赛 c 来说只是一级的极点， 那前面还有一个 z， 特别一点 k 如果等于零的时候，你说这时候对应的 z 等于零这个起点来说，前面是一级的，后面是一级的，和这一块就是二级的起点，是吧？如果 k 不等于零的时候， 前面不是起点，后面的对应的应该只是一个一级的啊，一级的。所以这个流数我们来算一下，如果是在零处的时候， 注意，由于是个二级的二级的话，我们先给他其性消掉，先乘个 z 的方，把这个其性给他消掉，然后求的是一阶倒数，最后呢再另这个 z 等于零。我们来 来看一下啊，求一个倒数之后，相当于就变成什么呢？就变成了 sen d 方分支，一个 sense 减去一个 d 倍的 cose and z。 对于这个一级的来说呢，我们直接就是简单了，上面分子不动，下面这个 z 乘以三 z 去求导，是吧？导数也很简单，刚好是 一去除以这是三 z 加上一个 z 背的扣三 z， 把 z 等于 k 派给他带进去，所以最后等于负一的 k 字方除以 k 派的。 注意这个扣三 a k 派啊，扣三 a k 派是上等于负一的 k 四方的啊。来看看第九题，这个 计算积分的其实用的是留数定理，也说先找出这个 c 这内的起点，这个函数的起点起点其实就一个 z 等于零，是吧？那我们把这个留数算一下，在零处的算 c 比上 z 在零的， 这个显然得通过这个三 c 给他展开三 c 比 c 的话，我们展开看一眼啊，他其实就变成了 z 减去三的结成 z 的三次方点，一点下去除以 z， 这其实上是一个可去的是吧？没有 c 负一对象，所以 c 负一等于的是零，所以最后的积分等于二派 i 乘以这个起点处的留数，刚好等于的是零的。再看第二个，这个起点是 c 等于一，这个地方， 我们来看一下这个起点处的流数， e 的二 z 去除以 z 减一的平方，注意他是一个二级的，那二级的话呢，我们先把其性消掉， z 减一的平方乘以 z 减一的平方， e 的二 z 消掉以后呢？求个 一级倒数是吧？刚好就变成二倍的一的二， z 在 c 等于一处的值就等于二倍的一方，所以最后积分 i 就等于二派 i 乘以二倍的一方的。 再看第三个，从表面上看呢，这个起点是 z 等于零，但是有可能 m 是一个负的啊，那就没有起点了，是吧？记分为零了，但是我们可以行上算一下，把这个一减扣三， c 除以 z 的 m 四方，这个在 零点的流数，我们按道理算的话呢，可以，由于有扣赛，这种赛呢，我们肯定是要通过间接展开了一点扣赛， c 除以 z 的 m 四方，把这个扣赛写开，应该是一减去二的接成 c 的平方，然后这样子算是吧，再加上一个四的接成， 然后 d 的四次，这样子整理一下，就变成了第一项。什么呢？这个一抵消掉了，会变成了一个二的结成，这地方可以变成了一个是 c 的二减 m， 然后下面应该是减去四的结成 c 的，这是四减 m， 这样点两点负一的 n 加一次，其实有个二 n 的结成，然后 c 的二 n 减去 m， 这个铜像一直下去，是吧？下面我们想算这个 f 在零的流数，相当于是找 c 分之一前面这个 系数，这个系数怎么找呢？我们来通向看一眼，这个要想出现 z 分之一种像意味的写在这里了，意味着 z 的二 n 减去 m 要等于 z 负一这个地方，所以意味着二 n 减 m 要等于负一的。 反过来呢， n 其实对应的就应该是二分之 m 减一，那我们带去这时候的 c 负一就好说了， c 负一其实就是负一的，本来 n 就是二分之 m 减一，再加一，再去除以一个二 n 二， n 刚好是 m 减一的结成分之一，这 就是系数。如果满足这条件的话，但是我们来看一眼啊，这时候通过来看的话， m 应该满足这个条件， m 就意味着应该是二 n 加一的，所以 m 必须得是一个基数才行， 这是第一点。我们再看，为了保证这个有 z 负一对象，我们打头的这一项， z 的二 n 减 m， 这个地方二减 m， 这个地方，这个二减 m 必须得小于零才可以，所以呢，对应的其实 m 得大于二， 所以我的条件出来了，在 m 大于二并且 m 是基数的情况下， c 负一，才有这样一个式子。也说留数。这样写了啊， f 在零的留数会等于什么呢？ m 如果大于二，并且呢 m 是一个基数的话，就是 c 负这负一的，这是二分之 m 加一，是吧。然后除以 m 减一的结成分之一， 所以 m 如果小于等于二或者 m 是偶的，这时候柳树没有那一项是零，最后的积分就等于二派，哎，去乘以这个地方就可以了，是吧？

啊，复变函数论，这是非常有名字的一个理论了，也是一大分支啊，在大学里是一种啊。大学课程。 那么研究复变数的这个函数的性质以及应用的一门学格。这是这么一个学格，他也是分析学的一个重要分支，也叫负分析。那么形容 x 加 iy。 那这里呢？ x y 为实数，也叫实步。那个小 i 呢，是虚步，它也。它的呃， i 呢，它 i 的平方等于负一，也就是括号 i 等于根号负一啊，所以说开不了方，所以把它命名为 i， 叫虚数。那他的这个数的称为负数了，整个统称成 复数。复数呢，早在十六世纪就已经出现了啊，十六世纪已经出现了， 它起源于求代数方程的根。在相当长的一段时间内呢，复数不被人们所接受。直到呃十九世纪才阐明复数是从已知量确定出的。呃数学实体。 那么以负数为次变量的函数叫做负变函数。 对复变函数的研究，嗯，是从十八世纪开始的。那么三十到四十年代呢？嗯，欧拉曾利用密集艺术详细讨论过呃初等复变函数的性质，并且得出 著名的欧拉公式。也就是 e 的 i x 乘方。嗯，等于 cosin s x 加上 i c x。 那么一七五二年，大朗贝尔在论述流体力学的论文中呢，考虑负函数， 嗯， f z 等于 u 加上 iv 的导数。存在的条件下啊，导出了关系，是偏右比成偏 x， 等于偏位比成偏外。嗯，偏位偏右呢，比成偏外呢，等于负的偏位比成偏 x。 欧拉在一七七七年提交圣彼得堡科学院的一篇论文中呢，利用十函数计算负函数的积分也得到 到了关系。是一。因此呢，一是有时也被称为啊当拉贝尔欧拉方城。到到后来呢，呃，更多的被称为克西黎庙方城。在这一时期，那个拉布拉斯也研究过复函数的呃 积分。但是呢，以上三人的工作都存在着本质上的局限性，因为他们把 f， c 的实步和虚步分开考虑，没有把它看成一个基本的实体。 呃复变函数论的发前面发展呢，是在十九世纪。首先呢，科西的工作为单复变函数论的发展奠定了基础。那么他从一八一四年开始致力于复变函数的研究， 完成了一系列的重要论著。他把一个复变函数 fc 是做复变数 c 的一元函数来研究。他首先证明复数的代数运算与极限运算的合理性，引进了复函数连续性的概念。 接着呢，给出了复函数可导的充分必要条件，也就是可惜里面方程。他定义了呃复函数的积分， 得到了复函数在无基点的区域内，积分值与积分路径无关的重要定理， 从而导出著名的科技积分公式。 f z 等于二拍 f 分之一，然后后边是积分符号，然后分子是啊 fs 分母式啊嘎啊，然后是可惜减 z， 然后乘以 dj。 这个可惜呢啊。还给出了复函数在几点处的啊留数的定义，建立了计算留数的定理。 他还研究了多支函数，为立马面的创立提供了理论依据。 那么紧接着，阿贝尔和亚克比创立了椭圆函数理论，也就一八二六年给实现的啊。这样给这个复变函数论就带来了新的升级了。一八五一年，那么黎曼的博士论文就单复变函数的一般理论言理论基础， 第一次给出了单指解析函数的定义，那么指出了十函数与负函数等 少数的基本差别。他把单值解析函数推广到多值解析函数，阐述了啊，现在的成为离慢面的概念，开辟了多值函数研究的方向。 那么黎曼呢？还建立了啊保形映射的基本定理，奠定了啊复变函数几何理论的基础。 瓦尔斯特拉斯与柯西林曼不同，他摆脱了复函数的几何直观，从研究秘籍术出发，提出了复函数的解析开拓理论。 这样就他引入了完全解析函数的概念。那么他在呃椭圆函数论方面也有很重要的工作。那么十九世纪后期，复变函数论 得到了迅速发展。在相当一段时间内，那么科西、黎曼、瓦尔斯特拉斯这三位主要的奠基人的工作被他们各自的追随者继续研究。那么后来科西和黎曼的思想被融合在一起， 而沃尔斯拉斯的方法逐渐从科西黎曼的观点推导出来了。人们发现沃尔斯拉斯的研究途径不是本质的，因此不再强调从密集术出发考虑问题。 这是二十世纪初斗士。那么二十世纪以来呢？呃，复变函数论又有很大的发展了，形成了一些专门的研究领域。在这方面做出角度工作的是瑞典数学家米塔列夫勒。那么法。还有法国数学家 拿来皮卡啊，皮莱尔啊，珀莱尔啊，弗兰树叶加，哎纳瓦尼纳，德国树叶加啊，比布巴赫，以及苏联树叶加啊，微款啊、这个。拉弗兰及耶福等等。