高联平面几何经典100题

大家好，今天呢，咱们来看一道反演变换的题目啊，那么关于反演变换呢，其实最明显的特征就是 b p 乘 b q 等于某一个定值，这个时候优先考虑反演变换。那么在这个图中，咱们先看一下题啊， c 点是 ab 弧的中点， 嗯，然后呢，过这个 c h 做了一个垂直，垂直斜 ab 于 h 点。那实际上，当你读完 就是第一行这两个已知条件之后，你马上应该想到的是垂径定律。有同学说了，老师书上的垂径定律，一个是平分弦，所以垂直弦，另外一个垂直线，所以平分弦。那这个题根本就没有啊，对不对？过圆心垂直吗？那其实垂径定律的话，我想说的是什么？ 垂径定律，人家其实本质啊，核心应该是这五个什么呢？平分弧这点， c 是 弧的中点，所以是平分弧的。当然了，这个 ab 一 看就是裂弧，咱们写清楚一些平分裂弧，当然有些时候呢，也有可能是 平分优弧。一共有五个要素啊，过圆心，过圆心的话，就是要么是半径，要么是直径，对吧？过圆心，然后平分弦。 垂直弦，这个才是什么？这个才是垂径内里五个要素。五个要素，那垂径内里这五个要素怎么用呢？真正的垂径内里，我现在要告诉你了啊， 是这五个要素里头啊，我们任意的之二推三，就是任意拿出两个来，其他三个都成立，这个才叫真正的垂线定律。比如说在这个题中， 我们一是成立的，因为 c 点它就是列弧 ab 的 中点，另外还垂直于弦 ab， 对 啊 对，那由一二呢，可以推出剩下的这三个来，所以说这个 h 点，你想吧，对于这个弧来说，最重要的是什么？最重要的肯定是找圆心和半径嘛。所以垂线那里是成立的啊，肯定是过圆心的，也就是延长 c h 之后必然过圆心，想都不用想。 所以接下来咱们要确定这个圆的话，延长 c h， 然后呢？比如说圆心是点 o， 连接 o a， o b， 还有包括 o c， 那 肯定都是半径了。那接下来我们最重要的就是根据题目中已知条件， c h 等于一，嗯， c h 的 长度是一，然后 原来 o c 等于半径吧，你半径减去一，那 o h 的 长度不就是 r 减一吗？ 另外，垂径定律的话，咱不是也可以得出来， h 点是弦 ab 的 中点啊，对不对？所以 ab 长度是二倍，根号三的话，那 a h 的 长度实际上就是多长，就是一倍的根号三。因为 h 点是中点嘛，所以真正的垂径定律你要了解的话，这个题至少很容易判断这个圆心的位置，还有这个半径的。 那么接下来就是勾股定律了，对不对？在直角三角形 a h o 中，我们根据勾股定律， 斜边的平方等于 r 减一的平方，再加上根号三的平方，你说 r 等于多少啊？你自己解这个方程吧，很好解的啊，那最后 r 算出来是等于二的呀， 太好了，当我们算完这个 r 等于二之后，剩下的就很好说了。来，先把这个过程给你展现出来，半径是等于二的，另外这个二有什么作用呢？咱们还是观察一下这个三角形啊， a h o 在这样一个直角三角形中，一个一，一个二，哎，对，还有一个根号三，你根据一比二比根号三，这样有笔直，那我们六十度是不是有了？另外根据三线合一， 你这个 o a 等于 o b 吧，等腰三角形吧。所以既然是垂线，那实际上 o h 也是角， a o b 的 角平分线，所以右边也是个六十度。那其实我们就得出来了， a o b 是 六十加六十等于一百二十度， 有什么作用呢？其实我现在想问大家一个问题，你遇到圆，尤其把这个圆画完整了之后，我想问这个角是不是一个固定的纸？ a p b 这个角是原因在哪？ 因为 a p b 这个圆周角所对的弧是 u 弧 a m b 吧， u 弧 a m b 所对的圆心角是二百四十度，对啊，三百六十度减去上边一百二十度，所以二百四十度的圆心角。那么哎，圆中角是多少？圆中角等于二百四十度的一半。原来问号这个角也就是角 a p b 等于一百二十度啊，你要知道这个是一百二十度的啊，那只要知道一百二十度了，大家肯定也知道接下来怎么做了。 b p 乘 b q， 那 你说这个怎么用吗？肯定是转换成比值关系，我们构造相似来的。 所以接下来。哦，原来 b p 比上 ab 等于 ab 比上 b q， 加上中间这个角屁角 abp 是 个公共角，两组边对应成比例，且中间夹角相等。 所以说 bpa 这个三角形和 ba q 这个三角形它是相似的。那么相似我们现在取哪一点呢？就是取刚才这个 假角一百二十度对应角是谁？哦，原来 q a b 它也是个一百二十度啊。那这个题的话，到现在大家应该知道为什么是繁衍变换的题目了。繁衍变换呢，我们主要关注的，其实我更习惯上我是写成 b a 的 平方啊，就这样一个已知条件里头， 我们知道繁衍中心或者叫繁衍极，他就是点 b， 那 繁衍密，繁衍密就是最后那个乘积啊，繁衍密，繁衍密的话就是 ab 的 平方嘛，那是等于十二的 对吧？繁衍角不用多说了，繁衍角就是 b p 和 b q 的 假角啊，它是一个零度，这个比较特殊，那么它是属于哪种类型呢？你要繁衍变化的话，本身分成四类，但这个题是其中的一类。什么圆 生线的这样一个反面变化，什么叫圆呢？点 p 的 轨迹是不是说是圆啊，或者说是圆的一部分？那点 q 的 轨迹我们一会可以得出来，他的轨迹是一条线，或者说线段的 原生线。哦，原来反面变换其中一种情况。这道题考察的是原生线，因为反面变化还有另外的线生线，原生圆，还有线生圆，所以四种嘛，线好像互相导。 那么这个题你可能就好奇了，老师，为什么点 q 的 轨迹是线段啊？为什么是线呢？原因在于 b a 是 确定的呀， b a 的 位置和长度都是确定的，然后从 a 点这样一个， 哎，逆时针一百二十度，你说是不是固定的角度，所以 a q q 点只能在这条线上，懂了吧？那么接下来 他问什么？当这个点屁由 a 点运动到 c 点的过程中，点屁如果在 a 点的话，点 q 肯定也在 a 点，此时不用多说什么，咱们找中点就行了。当点屁和点 c 重合的时候，也就是说点屁此时也是 ab 的 弧的这样一个中点， 那这种情况下，点可以运动到最远的位置。对啊，因为你看嘛，点 p 只能从 a 点运动到 c 点嘛，就这样一个范围。那么咱们看中点 此时 b p 等于 ap 吧。实际上你不是说三角形 a p b 肯定相似于三角形 q a b 吗？既然它是等腰，也就是说 a p 等于谁？等于 b p， 那 所以接下来另外一个，他不也是等腰吗？对不对？所以说此时 q a 是 等于 ab 的， 那你说等于多少？题目中有了就是二倍根号三，所以说这道题的答案就是二倍根号三。所以应该学会了这道反变换的题目了吧。 好，一定要搞清楚啊。尤其是反变换最明显的特征就是说两条线段乘积等于一个定值 点， b 呢，是一个定点， p 和 q 虽然是动点，但是这个 b p 和 b q 就是 就是这个主线和从线吧，它的成绩等于一个平方，或者等于一个定值的时候，我们优先考虑方向变换。所以大家应该明白了啊，分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下期课再见！

欧联平面几何四大定理。

厉害炸了，二零二五年重庆模考的这道解三角形压轴题出的实在是太好了，它是一道平面几何味道非常浓的题目，第一问中规中矩，第二问开飞机。如果高考也出这种风格的题目，得分率 一定相当惨淡。但其实呢，解析的核心思想正是研究几何问题的底层逻辑，具体是什么呢？来，咱们先看题 好，题目呢，给了一个平面四边形 a、 b、 c、 d。 知道呢， a、 b、 b、 d、 c、 d 全是一， 这段等于一，这段等于一，这段还是一。说白了，三角形 a、 b、 d。 三角形 d、 b、 c 两个等腰三角形 点 e 呢？在线段 c、 d 上知道 a、 d 等于 a、 e 三角形 a、 d、 e 第三个等腰，以及 b、 e 等于 b、 c 第四个等腰。你看四个等腰三角形，有没有一种梦回初衷，平面几何的感觉？ ok， 那 咱们先看第一问，知道呢，角 b、 c、 d 七十五度，求 d、 e 来，这个角七十五度，求这段的长啊。这个第一问呢，还是比较简单的，有这么多等腰加上一只角，那么其他的角基本上都能算出来 来。咱们呢，先看到三角形 b、 e、 c。 好，等腰三角形，这个角七十五度，那这个角七十五，这个角三十。然后呢，看到三角形 d、 b、 c 来，腰长为一的等腰三角形，这个角呢，七十五，这个角七十五，去掉三十，剩四十五度， 菱角呢，依然是三十度，然后这个角一百零五度，那么到此为止， d、 e 的 长就可以求了。三角形 d、 b、 e 当中三角一边是已知的，那用一下正弦定力就可以了吧。来就是 d、 e 比上三四十五度，它呢就等于一只边一再比上三一百零五度 好了。所以呢，第一，三四十五度除以三幺零五度， 二分吃根二算一百零五度呢，就是算六十度加四十五度啊，能背下这个结果是最好的，四分吃根六加根二啊，数呢，大家自己算一下，应该是根三减一。 ok， 那咱们继续来看第二问，这一道出的非常非常精彩的题目，它呢，给了这么三个角角， a d， b 角 b d， c 角 b c， d。 来标一下，这个角阿尔法 这个角贝塔这个角伽马。那么不难注意到，作为同一个等腰三角形的顶角和底角，贝塔和伽马之间必然有等量关系，事实上，角 dbc 也是伽马， 所以呢，贝塔加上两倍的伽马，一百八十度等于派对吧。好，接下来呢，有两小问。第一问呢，让你证明阿尔法，贝塔伽马之间满足这么一个比较复杂的等量关系。第二问，求二倍阿尔法加贝塔等于几？ 哎，我相信呢，很多同学看完题目呢，是没啥想法的，就是四个等腰三角形，犬牙交错，纵横疆胡。然后呢，这三个角之间看上去也没有什么关系，而这个式子给的又比较复杂，也看不太出来具体是怎么算出来的， 对不对？好，所以接下来请大家认真听好这道题，我是如何分析的？其实呢，我根本就没有管这两个问题，只是把图形分析了一遍，然后我就知道出题人到底想干嘛，以及这道题应该怎么做。 那这个图形怎么分析呢？来，就是一开始说过的几何问题的底层逻辑。首先得先分析一下每个点是如何确定的， 来，我重复一遍。首先要分析这个图形当中每个点是如何确定的， 这样不是分析怎样加辅助线。有的同学呢，为啥几何学的不好，你总是想辅助线怎么加？这件事情根本不重要，重要的事情，第一件应该是每个点在几何上是怎样被确定下来的。 ok， 那 具体怎么分析呢？来，咱们就按照这个图形的生成顺序。好，先看三角形 a、 b 定， 你看，这是一个等腰三角形，腰长已知，那么这些条件能把这个三角形完全确定下来吗？ 好像不行吧，角 a、 b、 d 的 大小可以变化，所以如果角 b 确定了，整个三角形才是确定的，对吧？当然，这道题呢，没有给角 b， 它给的是这个角阿尔法，那也可以，阿尔法确定了，整个三角形也是确定的。 好了，所以呢，阿尔法确定 a、 b、 d 三点就确定了，这是这三个点的确定方式。好的，那接下来呢，是点 c， 这里呢，有一个等腰三角形 d、 b、 c 来，只根据等腰三角形点 c 能确定吗？哎，也不行吧，这个角的大小也可以变化。题目已知这个角是 b， 它，所以呢，如果 b 它确定了， 才能使得这个等腰三角形 d、 b、 c 是 确定的，那么与此同时，点 c 也就确定了，这是点 c 的 确定方式。 好，现在呢， a、 b、 c、 d 四点都确定了，只差最后的点 e。 关于点 e， 咱们知道 a、 d 等于 a、 e， 那 各位同学，根据这个等幺三角形点 e 能确定吗？ 哎，这个是可以的，因为其他四点都确定了，你就以点 a 为圆心， a、 d 为半径，画这么一个圆，那么和 d、 c、 e 相交，点 e 自然就确定了，对吗？好，所以呢，根据 a、 d 等于 a， e， 点 e 自然就确定了。 但是接下来关于点 e 还有一个条件， b， e 等于 bc， 这也是点 e 满足的一个限制，对吧？ 哎，那这个事情呢，就非常有意思了，点印已经确定下来了，但是他还满足其他的限制条件，那么从这个条件出发，一定能得到等量关系。 什么意思呢？那我换一个角度给大家解释一下啊，就是如果咱们无视掉 a、 d 等于 a， e 只看 b， e 等于 b， c， 只看这个等腰点 e 能否确定，也可以吧，以 b 为圆心， bc 为半径，做这么一个圆，点 e 也能确定下来。 好，所以这道题目当中呢，点 e 有 两种确定方式。 那么接下来关键的问题来了，请大家仔细听，好啊，假设呢，我保持 a、 b、 d， d， b、 c， 它俩都是等腰三角形，那么在此基础之上，这两种方式确定的点 e 一定是同一个点 e 吗？ 哎，这个事情呢，不一定，为啥呢啊？我把这个点 e 呢记作点 e， 一， 这个点 e 记作点 e。 二来，咱们来到这个图上画一下，你看， a， d 等于 a， e， 点 e 呢，大概在这里，这个是 e， e， bc 等于 b， e。 好，这个 e 二，大概在这里。所以你会发现，这个图形如果随便画的话， e 一 e 二大概率是不重合的，对吧？但是呢，在这个图形上，两个点 e 偏偏就重合了，各位同学，这能说明啥？ 这就说明呢，这个阿尔法角和贝塔角是不能随意变化的。比如说，如果阿尔法等于四十度，那么贝塔角必须得是某个确定的度数，才能使得这两个点是重合的， 对不对？或者呢，比如说阿尔法是三十度，那么贝塔也不能随意变化，它必须也得是某个确定的度数才能使得这两点重合。 那么换句话说，这两个点重合，其实就说明了阿尔法和贝塔之间必然存在着某种等量关系。 好了，所以这道题的第三问，你们来看一下，求二倍阿尔法加贝塔的值，研究的就是它俩的等量关系，对不对？那么上面这个问题又是干嘛用的呢？ 哎，非常简单，就是出题人呢，在提示你，直接求这个式子不太好求，你可以先把阿尔法、贝塔、伽马之间的等量关系算出来，再利用这个式子消去伽马，就能得到阿尔法、贝塔之间的等量关系。理解了吗？ 好，在这里面呢，最重要的一个思想是什么呢？就是如果在几何上某个点有两种确定方式，那么这两种确定方式必然会引出等量关系，理解了吗？ ok， 所以 接下来呢，咱们就把这两个点重合这件事情写成一个等式。那么这两个点重合怎样写成等式呢？ 来非常简单，看，回到这个图形，其实呢，就是 d e 加 c， e 等于 d c 啊，为啥是这个式子？因为你看一下这个图形，这个图形上 e 一 e 二不重合，所以呢， d e 一 加 c， e 二就不等于 d c， 所以呢，这个式子就可以表示出 e 一 e 二两点重合，听懂了吗？ 好，那么接下来呢，就把这三条线段用什么阿尔法、贝塔、伽马给它表示出来。来，咱们先看定义 啊，定义呢，得放到三角形 d a e 当中去求，为啥是这个三角形？因为呢，在这个图上定义就是 d e e， 它是由三角形 a， d， e e 确定的，所以应该放到这个三角形当中来求。定义好，咱们呢，把它单独画出来 来，等腰三角形，这个角阿尔法加倍，它想表示第一，那就得先把 a、 d 给它求出来，而 a、 d 呢，可以放到等腰三角形 a、 b、 d 当中， 腰长为一底角阿尔法。想求 a、 d， 那 么在这里呢，做一个高 来，各位同学看一下，这个 a、 d 的 一半应该就是一乘上 cosine 二法。就是在这个直角三角形当中， a、 d 的 一半比上一应该是 cosine 二法，所以一半就是一乘上 cosine 二法， 那么整个 a、 d 就是 二倍的 cosine 阿尔法。好，那么接下来呢，想求 d， e 还是在这里做一个高来看一下 d， e 的 一半，你看啊， d， e 的 一半 比上斜边， a， d 就是 阿尔法加贝塔的领边比斜边，它就应该是 cosine 阿尔法加贝塔，对吧？所以呢，这个定义，二倍的 a、 d 乘 cosine 阿尔法加贝塔， a， d 呢，是二倍 cosine 阿尔法， 所以呢，第一就应该是四倍的 cosine 阿尔法，再乘上 cosine 阿尔法加贝塔。哎，各位同学就是这个式子。等号右边的部分看到了吗？ 那咱们继续再来看 c， e， 它呢，得放到三角形 b， c， e 当中求这个三角形， 呃，依然是等腰三角形，底角是伽玛，那咱们先把腰 b、 c 给它求出来，放到等腰三角形 b， d、 c 当中 啊，底角是伽玛，腰长为一，那么一样的做一个高 啊，这个一半呢，就应该是一乘上 cosine 伽玛，所以呢， bc 就 应该是二倍的 cosine 伽玛， 然后呢，还是往这个地方做一个高这个一半跟之前一样，应该是 b c 乘上 cosine 嘛，二倍 cosine 嘛，再乘 cosine 嘛，二倍 cosine 方干嘛？那么整个 e c 再乘二四倍的 cosine 平方干嘛 啊？这一说，右边的 d c 提米值等于一，哎，各位同学看一下，这个式子和要你证明的这个式子完全一样，只是把四倍 cos 方格码放到了右边，发现了吗？那这一问就做完了 哎，所以你看，只要你在一开始能分析出，根据这两点重合，能得到这么一个等量关系，那么剩下的思路就会一帆风顺，没有任何卡点，对不对 啊？当然了，如果你不像我这么思考这道题呢，也不是一定做不出来。比如说，有的同学呢，可能对这个式子的感觉特别好， 对照图形就能看出来，每个部分分别表示什么含义也没问题。但是如果你能在一开始像我这么去分析，那么动笔计算之前，你就可以骄傲的宣布，这道题我已经拿下了，这是解析最好的状态。 所以呢，其中的关键再次强调一遍，像这种几何条件非常多的题目，大家呢，可以去看一下其中每个点是如何确定的，同一个点如果有两种确定方式，那么一定有等量关系，学会了吗？ 那证明完了，第二问第三问呢，就是水到渠成的事情了，之前说过了，根据这个式子把伽马削掉就可以了 啊，这里呢是 cosine 方伽玛，咱们呢，先用一下降密公式啊，变成二分之一，加上 cosine 二倍伽玛，要编呢，照抄 好，这里是一减二负一，再减去二倍的 cosine 二倍伽玛要编照抄， 那么这个 cosine 二倍伽马根据这个式子就是 cosine 派减贝塔，负 cosine 贝塔，好，所以这里呢，改一下啊， 负 cosine 贝塔，前面呢变成加号，那么到此为止呢，和伽马已经没有关系了，就是根据这个式子求二倍二法加贝塔，接下来呢，就进入了三角恒等变换的范畴， 那么大家要知道，做三角恒等变换其中一个最关键的思想叫做消角思想， 就是这道题目当中呢，现在出现了这么几个角，阿尔法贝塔，阿尔法加贝塔以及最终要求的二倍阿尔法加贝塔， 好，总共有四个角，咱们要想办法消去其中一些角，也就是把这四个角用数量尽可能少的角给它表示出来。 这里呢，不难发现，所有的这些角都可以用二法和二法加贝塔来表示，这个角呢就是二法加贝塔减二法，这个角呢就是二法加贝塔加二法， 好，所以呢，把这里的 cosine 贝塔换成是 cosine 二法加贝塔减二法，右边呢，不动 来这里呢，打开括号，全都移到右边啊！首先呢，会有一个二倍的 cosine alpha 加贝塔 cosine alpha 移到右边变成减号 四倍的 cosine 阿尔法 cosine 阿尔法加贝塔减去二倍的 cosine 阿尔法 cosine 阿尔法加贝塔上一个二倍 cosine 阿尔法 cosine 阿尔法加贝塔啊，这边呢，还有一个二倍的三阿尔法加贝塔，三阿尔法移到右边变成减法 好了，那么这个式子体出二可以用一下余弦合角公式，二倍的 cosine 二法加上二法加贝塔， 也就是二倍的 cosine 二倍二法加贝塔，那咱们想求的这个角就有了， 二呢？处到左边 cos 二倍阿尔法加贝塔，负二分之一。然后呢，大家自己确定一下二倍阿尔法加贝塔它的范围，那么余弦负二分之一，这个角只能是三分之二 pi， 那 么这道题就做完了，看懂了吗？ 好了，所以通过这道题呢，就是想给大家说一下其中最关键的一个题目，怎样去分析几何图形。 第一步，先看一下每个点的确定方式，那么像这种有两种确定方式的点，背后一定隐藏着等量关系，学会了吗？ ok， 那 这道题就说到这里。

七年级的同学和家长看过来，我们今天开始给大家分享旋转问题，旋转问题的话难度还是比较大的啊，好，我们一起来看一下这个题目。说如图一，这个图说 o 为直线， ab 上面的一点做射线 oc， 使得这个角呢是一百二十度，那他边边上这个就是 六十，对不对？补角，好，将一个直角三角板如图摆放，就如图一摆放，这条直角边呢刚好贴着这条线 ab， 现在说将图一当中的三角板绕着点， o 绕着这一点呢，说速度，以 五度每秒的速度逆时针方向，所以我们旋转问题一定要关注一下他的旋转方向啊，非常重要以及速度是什么，那 ok， 他 就是往这个方向 旋转的，并且刚刚前面说这个是一百二十度，那我我们就能算出来他的角 b o c 是 六十度。 好，现在说在旋转一周的过程当中，这个一周什么意思？其实就是说整个运动时间的范围给我们了，一周是不是多少？一周是三百六十度呀，对吧？速度是五，算出来其实是七十二秒，也就是说在一周过程当中七十二秒以内， 什么时候 o q 恰好平分这个六十度的 b o c， 那 让我们来求这个梯值。这里还有一个关键点，说的是 o q 所在直线，他没有说是 o q 这条射线， 或者说比如说其他的题目。哎， o q 到底是线段射线还是直线，这个都区别很大啊。这个就如果说像是直线的，那我们就要注意了， 有多种情况啊，所以这个就是我们的关键点。先来看一下说旋转过程当中这个三角板，三角板旋转的话，是不是相当于三边同时在转啊？转到图二的这个位置，说这个 o q 呢，要刚好所在线恰好平分它，那是不是 o q 是 不是可能 运到这里？刚好是在它内部的时候，是不是？那现在这三角板是不是大概是这个位置呀？我们待会画图啊，先把分类给分明白了。好， 在这种情况下，是不是在继续旋转啊？旋转过后，这个 o q 是 不是有可能在反向延长线上？哎，三角板转到哪里了？是不是转到这里了？这里是一个垂直 q， 跑到这里了，是不是？它的反向延长线，是不是同样的也是平分这个 b o c 的 呀？在这一周过程当中，只有这两种可能。好，我们把它图形给画出来。 这种题目的话非常重要啊，那个画图一定要结合着图形来，不然的话角度容易计算错误。好，现在我们三角板说，第一种情况， o q 是 不是跑到这里？ q 点在这里，这个在 o 点的地方是直角， 那这个三角板是不是转到了现在的这个位置啊？ p o q。 好， 这是我们第一个图，再来看一下第二个图，先把它图给画好了啊，然后再一起去计算。我之前说的，为了避免错误，我们是先把图画全了， 分类分明白了啊，然后再一个个往里面去填充，去计算就可以了。好，第二个图，刚刚说的是在它的反向延长线上，其实这个 o q 呢，是到了这里，直角是在这里。好， p o q 是 到了这个位置， 它的反向延长线是不是也是平分这个 b o c 的？ 因为说的是直线嘛，那 ok， 这两种情况下，我们分别把这个时间 t 给算出来，那这个时间 t 跟什么有关？ 直线梯就是三角板在旋转呀，也就是说是我们这个 o q 或者 o p 或者 p q 三条边同时在旋转，是不是？但是我们现在只要研究这个 o q， 所以 我只要看 o q 的 初始位置是不是在这个位置，在转的过程当中是不是转到这里了，所以它是不是 这个时候是存在着一个旋转角啊？所以我们的旋转角是什么？就是从初始的位置 o q 初始位置，比如说 q 一 撇吧， 从初十位置旋转到停下来的这个中边的位，开始的时啊和终点的中。好，这个角就是我们的旋转角，只要我把这个旋转角求出来，然后除以速度，是不是？就时间来看一下这个 这一边的话，他开始的这一边同样的也还是在这里，但是这个时候呢，他是从这里是转了一大圈过来的，所以我只要把这一大圈的角度算出来，除一个速度是不是就可以了？那这个计算的话就相对容易啊。好，先来看第一种情况，我们要分类一下啊，分类 第一个是当 o q 直接平分角 b o c 的 时候，好，第二个呢是当 o q 反向延长线，所以我们就是当 o q 延长线， 延长线平分或者所在直线啊，都行。平分角 b o c 的 时候， 反向嘛，加上两个字，好， ok， 这个时候我们来求绿色的这个旋转角，那现在刚刚前面说的是平分是不是？那我们平分是不是就得到了 这两个角是相等的？刚刚说 boc 是 六十嘛，那这个比如说角一和角二，那这个时候我们角一是等于角二是等于什么？二分之一角 boc， 那 boc 是 不是就等于前面的一百八？减去 aoc 这个一百二， 那我们算出来是等于三十的，那现在旋转角是什么？ o q， 旋转角把它角度算出来，旋转角为 q o q 一 撇 o q， 它呢是等于什么？刚好横跨了这个直角加上角二，所以它是等于九十。加上角二 等于九十加三十等于一百二十度，那时间 t 就 有嘞，是等于一百二十度，除以速度五等于二十四秒。好，这是第一个。再来看一下第二个，一样的啊， 这个角跟这个角，角一跟角二是不是还都是三十啊？所以我们直接写角一等于角二是 等于三十。那现在再来观察一下，看看我们的旋转角横跨哪些角，是不是横跨了这个九十，以及从这里到这边是不是刚好一百八，还缺了这一块？ a o q， 这一块是不是？其实我们可以用三个角来表示，这比如说是角三， 现在来看一下，这条线是延长线过去的，那角二跟角三是不是相等？是对顶角啊？对顶角是相等的，所以我们角三是等于角二的，等于角二，它也是等于三十。那这个时候 o q， 旋转角， 旋转角是等于什么？是不是九十加上角 a l b 平角一百八再加上角三啊？所以等于九十加一百八，再加上三十，给它算出来是三百度转了一大圈。 ok， 所以呢，我们的 t 是 等于多少 t 呢？是等于 三百度除以一个五，就算出来是六十秒，或者说你可以直接这样啊，你只要把这个角算出来，然后用周角三百六减去，它是不是也是可以的呀？因为这里看好了，这个是 这个是多少？这个是角平分线，对吧？这是角平分线，角二杠三十，那它就是六十呀，是不是？ 好？所以呢？直接用三百六减六十，然后除以五啊，也是一样的，所以这一题答案的话，就这两个二十四和六十，这两个二十四秒或六十秒，那么这题你学会了吗？

动直线过定点问题第五个题目，定点题目写成这样形式，然后就可以得出它过定点，这是斜率，这是定点点斜式的写法。直线的方向向量与法向量， 已知经过 ab 两点的直线的方向向量为 e 二分之一，求 c 的 值等于多少。什么是直线方向向量？含义是与这条直线平行的非零向量， 那么我们把它看成直线，就可以看直线求 ab 的 斜率， ab 的 斜率就是它。那么这个看成哪两个点呢？看成零点和 e 二分之一点， 那么它的斜率二分之一，减零以及减零，然后算出来 c 等于二，答案选 c。 第七题，两条直线平行及应用 两条直线平行，斜率相同，斜率相同，我们可以算出 a 是 等于正负二的，当 a 等于二的时候，符合题目要求。当 a 等于负二的时候， a 等于负二时，和这个是相等的， 相等就重合与题目矛盾，这里面考充分必要条件。在讲这个题之前，我们先看一下我画圈这个推论，最后得出结论是它 a 一 乘以 a， 二加 b 一 乘以 b， 二等于零。 根据我们前面刚做的推论，算出 m 等于正负一，也就是它可以推出它，但是后面这个是不能推出它的。那我们得出结论，这个就是 充分不必要条件。题型九交点是多少？就解这个方程组解出的是四三，答案就是 b 项。

今天我们来讲一道关于几何平面图形的题，如图，加三角形 a、 b、 c 绕点 c， 按顺时针方向旋转三十度，得到角三角形 a 撇 b， 撇 c， 求角 b、 a、 c 的 度数。 首先他说将角三角形 a、 b、 c 绕点 c， 按顺时针方向旋转三十度，所以 c、 b 就 变成了 c， b 撇 c， a 就 变成 c、 a 撇不叫变成，就转到了，转到了，然后所以这里就 角就等于三十度。 那还有哪个角呢？是三十度呢？ 我们要求还有哪个角是三十度，也可以标起来了。 c、 b 转到了什么？因为 c、 b 转到了 c、 b 撇，所以旋转了三十度，然后 c、 a 又选到，就是旋转到了 c、 a 撇，所以都是旋转三十度， 然后这里直角符号，所以是九十度。我们要求 角 b 撇 a， 撇 c， 为什么呢？他叫我们巧求角 b、 a、 c 啊，因为角 b、 a、 c 就 等于 角 b、 a 撇 c， 因为因为这两个三角形都是一样的， 我们知道三角形的内角和是一百八十度， 我们减，我们要求角 b 撇 a， 撇 c， 就 用一百八十减去九十，加三十 等于一百八十减一百二十等于六十， 所以这里就等于六。你们知道角 b 撇 a， 撇 c， 等于六十度， 所以角 b、 a、 c， 就 也就是也等于啥？ 角 b、 a、 c 等于 六十度。

第二章平面解析几何初步初步里面主要讲二十三个题目， 大家看一下，先看知识点，这里面知识点的直线的斜率给它的范围是这个区间范围，还有就是 k 等于它的阿尔法和斜率的公式是等于它的， 还有这五种形式，你看这种这样看一下啊，暂停一下，你把笔记做一下，还有是这个特别重要， a 制的时候写的相乘等于负一，这个特别重要，两点之间距离公式，点到直线距离公式， 两条平行线之间的距离公式，跟这个一样，待上呀，待上等于零的时候， 大家暂停一下，这个地方看我放小一点，尤其是哪一个是这个结论怎么推出来的？我这推的大致有过程啊，根据面积相等，这 m a b o 这个四边形的面积，四边形，四边形，哪四边形面积呢？四边形 面积就是 m m a o m a o b。 那 第一个题目，这个倾斜角，这个倾斜角我们刚说的是它，它算出来是根号三乘以六十多。 第二个题目，这里面的斜率是这样的，所以答案选它。 第三题，这个两条直线相交，大家看一下这边这个图，看一下这个下面这个，那么他这里面可以可以无限的向上过， p 点看过 p 点向向上走，所以这里面 是变大的二分之三到正无穷，那这个地方呢？是负四斜的，然后向上向外轴靠近的话就是负无穷，所以答案选 c。 这个题说有点难度，大家把这个题活人认真的看一下啊， 好看这一个，这个他告诉你过定点，然后用二 b 角公式看一下 b 角公式会吗？然后算出来他的斜率是他，然后答案就出来了。

第四小节认识平面和平面的位置关系，那么类比于直线与平面的位置关系，我们对于平面和平面在空间中的位置关系也是有常见的以下几种来看一下。实际上相交和平形两种， 那么根据公里三我们可以知道，两个平面有一个公共点的时候，这两个平面相交于一条直线 a， 那 么这条线我们叫做它的交线，对吧？ 所以这是一个比较普遍的面和面相交，那除了面和面相交之外，还有一种特殊的就是面面平行啊，那他们两个平面没有任何的交点和交线啊。 好，那一般来说，这个时候我们通过图像就可以知道啊，把它转化成几何圆，阿尔法和贝塔相交于直线 l， 所以 是不是形成了这样的一个交线， 以及阿尔法和贝塔的平面如果是平行的关系，他们的交集就是空集啊，里面没有任何的元素，所以这就是位置关系的一个几何语言的表达。 好，那接下来我们来看一下对他的平面的平行的判定性质，以及平面平面垂直的判定和性质啊。首先来看平面平行，如果两个平面 里面的交线都与另外一个平面平行，那么这个时候这两个平面平行转化成几何与圆。请看，如果 m 和 n 都是贝塔里面的直线， m， n 相交于点 p， 这个时候 m 如果平行于阿尔法，且 n 平行于阿尔法，那么我们就说贝塔这个平面它与阿尔法也是平行的，所以这就是我们说的面面平行的判定定比啊 好，那么通过一个例题我们来认识一下，证明，如果一个平面内两条相交直线都平行于 另外一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行啊，实际上他把这个定律把，要我们证明这个东西就和我们刚刚给出来的判定定律啊，多了一步。什么东西？他说都平行于另外一个平面内的两条直线 好多了一点，其实本质上是一样的。请看，那我们可以假设已知 m 是 属于阿尔法， n 属于阿尔法以及 m 一 撇和 n 一 撇属于贝塔啊，就两个平面嘛，好，它们的交点 m， n 相交于点 p 以及 m 垂直平行于 m 一 撇， n 平行于 n 一 撇，对吧？它与平面外的另外两条直线啊，平面这个平面外的另外平面的两条直线都平行吗？是不是？那这里我们要证明的是阿尔法和贝塔是平行的关系啊，请看， 因为 m 平行于 n 一 撇， m 一 撇， m 一 撇属于贝塔， m 又不属于贝塔，所以 m 这个直线是不是平行于这个平面？ 这是线面平行的一个判定嘛。好，同理， n 是 不是也可以做到这样的一个判定啊？ n 平行于 n 一 撇， n 不 属于 n 一 撇啊， n 不 属于贝塔，但是 n 一 撇属于贝塔，所以 n 是 不是也可以平行于贝塔呀？ 所以根据我们刚刚说的，两条直线都与另一个平面平行，而且这两条直线属于一个平面，它们相交，所以根据面面平行的判定就能得到阿尔法和贝塔是平行的。 好，所以这道题充分使用到了咱们前面讲到的判定定理来进行完成啊。先要通过线面平行证明 m 和贝塔平行， n 和贝塔平行，然后呢， m， n， 它们属于阿尔法的平面，且相交于点 p， 那此时根据面面平行的关系，是不是就可以得到 alpha 和贝塔是平行的？所以这就是面面平行判定定律的一个重要的应用啊。 好，那我们来看一下性质定律，那已知两个平面平行有什么样的性质呢？请看啊，如果两个平面平行同时呢和第三个平面相交，那么这里来看一下。看图形， 他是不是阿尔法和贝塔是两个平行的平面，然后呢，有一个交线叫做伽马，这个伽马横穿过来是不是相当于一刀截断，对不对？截出了阿尔法上的交线 m， 截出了 n 啊，贝塔上的交线 n， 所以 我们得到的结论是什么？结论是 m， n 两条交线是相互平行的。 来，这就是我们的结论，看明白了吗？好，那满足这样的一个两条交线平行又有什么样的一个应用呢？我们来看一道例题， 好，他让我们证明，如果一条直线与两个平面，两个平行的平面中的一个平面垂直，那么他与另外一个平面也垂直， 所以这个图形不是原始图形，这个图形是我们，我们就是补充了证明之后的一个图形啊。我们先来看原始图形，比如说这是一个平面，阿尔法好，这是一个平面，贝塔好，有一个直线，它与 阿尔法平行，这是 l 就是 l， 它与阿尔法平行啊，垂直，说错了啊，垂直 l， 他 与阿尔法垂直，然后呢，阿尔法他与贝塔的平面是平行的，那我们要去证明的是什么？证明的是 l， 他 也是垂直于贝塔的 啊，这是我们要正的一个思路啊，要正的一个问题啊，那我们要给出一个思路，怎么去做呢？我们的做法是这样子的， 我们过这个直线 l 做两个平面，请看，分别过直线 l 做平面，伽玛和平面 far 啊，这个 far 和这个表达式是一样的啊， 它只不过这个字体的不同啊，所以表达是同一个。那么伽玛，请看伽玛，它与阿尔法相交于直线 m 这里，对吧？伽玛与贝塔相交于直线 m 一 撇在这里， 好，然后呢，这个斐，它与阿尔法它们之间的关系是什么？是不应该是相交于 n？ 好， 斐与贝塔相交于 n 一 撇，好，这它都是它们的交线，就是面和面的交线，我们全部都列出来了， 那么由于阿尔法和贝塔是平行的，两个平面平行，所以它们的什么平行啊？两个平面平行，那么它们这些交线 是不是应该是对应的 m 和 m 一 撇，还有 n 和 n 一 撇也应该是平行的，对吧？好，又因为 l 这个直线啊，它题目给的是垂直于 r 法嘛？看到没有？ l 垂直于 r 法，所以 l 是 不是垂直于 这个 r 法里面的任意的直线，所以 l 是 不是垂直于 m， 且 l 是 不是垂直于 n， 对吧？是不是这个没问题吧？所以呢，你来看， m、 n， 它们分别与 m 一 撇和 n 一 撇平行这里，所以 l 垂直于 m， 那 么 l 是 不当然也会垂直于另外的两条 线 m 一 撇和 n 一 撇，这个有没问题？想一想啊？想一下，你看， l 在 这里，好， m 在 这里，它是垂直的， n 在 这里是不是也是垂直的， 对吧？那好，我把这个 m 往下划一点，是不是有一个 m 一 撇平行线嘛？这里是有个 n 一 撇平行线嘛，所以呢，根据 什么？这个是不是看着可以看到这个同位角啊，对吧？两平行线所截的线是不是得到一个同位角啊？所以这两个角是不是也是九十度啊？对不对？所以我们就证明出来了， l 它也垂直于 m 一 撇， l 它也垂直于 n 一 撇， 所以这个线它与另外两个交线是垂直的，而且这两个交线它正好是要证明这个贝塔面中的两个交线， 所以 l 垂直于贝塔啊，所以这道题啊，就是绕了一个大弯，但是本质上还是回到了这个面面平行的一个性质啊。 ok， 好， 这是 我们说的这个问题啊，所以呢，用好性质定律，我们就能推出两个平面是垂直的啊，那两个这个交线是平行的啊，所以这个关系是很重要啊。 ok， 好，然后我们来看一下第三点，关于二面角啊，什么叫二面角？就是两个面所夹的角啊，我们来看一下平面内的一条直线，把这个平面分成两个部分，然后呢，其中每个部分都称成为半平面，好，从一条直线出发的两个半平面所成的角称作 图形，称为二面角啊，然后呢，这个条直线称作二面角的棱啊，然后呢，这两个面称作二面角的面，所以呢，我们画出了各种各样的这种二面角的图形， 对吧？你看这两个是不是相当于像一本书啊？我们把书放在那个地方，这样一翻一页，是不是有点像，所以这样的图形啊，就是二面角的面，对吧？ 好，那二面角怎么去表示呢？请看，当二面角的这个棱它为 l， 它的两个面分别为阿尔法和贝塔时，我们可以怎么记？我们可以记作阿尔法 l、 贝塔啊，中间用一个横杠来表示。 当然，如果我们可以画成这样的一个形状，那此时它可以给到两个顶点，一个是 a， 一个是 c， 那 么它的公共线交线是不是应该是 b、 d， 所以 你可以写成的是 a、 b、 d、 c， 那 么这就是一个二面角的一个关系啊。 好，那怎么去测量，或者说怎么样去把这个二面角的大小给找到呢？我们来看一下，如图所示，在二面角阿尔法 l， 贝塔的上面棱 l 上找一点 o， 分别从这个点 o 做两个面的垂线射线嘛，是不是 o a 和 o b？ 那 这个时候这个角它所成角的最小角的大小就称作平面的二面角了啊， 所以我们这里就可以通过这个图形看到这两个平面所夹的这个所成的这个二面角的大小啊，这个角应该是角 a、 o、 b， 它的大小就是阿尔法 l 和贝塔的二面角的大小啊， 所以通过这样的一个表达形式，我们就把二面角给正式的表示出来了啊。好，当然我们规定啊，当两个二面角的半面重合的时候，二面角是零度 啊，这个角零角是零角嘛，对吧？当二面角的两个半平面构成一个面的时候，它是个平角，就相当于这本书啊，刚好翻开变成一页纸了，是个平角。所以呢，我们二面角的范围，它是从零到派，就是零到一百八十度的啊， 对吧？很特殊的，当我们这本书翻到垂直的角度，就两个面刚好垂直的时候，他正好叫做直二面角 啊，所以这就是二面角的这个角度的大小的范围啊，零到一百八十度。好，那我们来看一下这道题啊。已知二面角阿尔法 l 贝塔是一个锐角好 面，阿尔法中的一个点 a 到棱 l 的 长度就它距离等于二， 对吧？然后呢，到这个点， a 到贝塔的距离为一啊，到贝塔，这里写反了，到贝塔的距离为一啊，到贝塔的距离是 a c 等于一，到阿尔法的距离为二， 对吧？这个这个面才是 r 法，所以别写错了，这个是二，这个是一。好，那实际上这个二面角是不是应该就正好是角 abc 啊？是不是这个角的大小？ 那这个图形，你看 a 到 c 是 应该是垂吧，垂直吧，是不是它它的距离嘛？所以呢，我们说可以把这个画成一个直角三角形， a、 b、 c。 好， 那这里的话，他说这条线是一，这条线是二，所以这个角是不是应该是三十度的夹角，对吧？ 三十度角所对的直角边等于斜边的一半，这是我们在三十、六十、九十三角形中一个结论。或者你可以说正弦吗？上引的三十度 等于二分之一，对吧？所以知道边长是一比二，直角边与斜边的比值是一比二，那么这个角的夹角一定是三十度，所以二面角的大小正好是三十度啊， 对吧？那这道题我们还要先去做一个事情，就要先去说明它是二面角，怎么说明？首先，过 a 点做 ab 垂直于 b 点，对不对？过 a、 c 垂直 于这个贝塔啊，过 ab 垂直于 l， 过 ac 垂直于这个贝塔， 那么垂足为 c， 此时连接 bc， 这个时候我们才能够构造出这个三角形，所以呢，这个三角形啊，是我们需要去构造的啊，长度是已知的，那 ac 它是垂直于这个贝塔的啊， l 属于贝塔， ac 就 垂直于 l， 那垂直于交线，对不对？然后 ab 又垂直于这个交线，所以呢， ab 交 ac 于点 b 啊， ab 交 ac 点 a 啊，在这里，所以呢， l 是 不是垂直于这个面？ abc， 对吧？ l 是 不是跟这个面是垂直的关系？因为一个直线与平面中的两条线都垂直，所以这个直线就会垂直于这个面，好，它垂直于这个面， bc 是属于这个平面的吗？对吧？然后呢， l 垂直于 b c， 所以 我们就说明了二面角，对吧？找到了这个点，然后呢，这是一个垂线，都与这公共的线垂直，所以这个角属于不同平面的两个角， 对吧？所以两个线属于不同平面，与他的交线都是垂直的，而且相交于点 b， 那 么所成的这个角就是二面角，所以前面这一大段都是在去说二面角的一个证明， 对吧？我们把这个步骤叫做找二面角 啊，所以呢，很多时候我们要花很多的心思去找到这个二面角啊，这是在去做二面角问题的时候要去注意的点啊。 好，我们来看例题四，证明，如果一个平面二，一个平面伽马垂直于二面角，这里是阿尔法 l 和贝塔的棱 l， 然后呢， o 垂直 且与两个半平面分别交于 a o 和和 b o o a 和 o b 在 这里，那么我们要证明 a o 和 o b 它是它的这个平面角啊，就是要去找说明它是它的二面角吗？的平面角怎么找呢？来看一下， 这里给出的第一个条件是平面伽马垂直于这两个面，所以这个时候是两个面之间的关系是垂直的。 那这个时候我们怎么去做呢？因为他们的交线啊，都是 o a 和 o b 嘛，对不对？这里面和面的交线是 o a 和 o b。 好， 所以呢，我们就能得到，因为 l 垂直于这个面，所以 l 是 不是垂直于这两个 直线，对吧？ l 垂直过平面，所以垂直于平面内两条直线。好，那此时这个时候 l 它是它的两个这个阿尔法和贝塔的这个交线吗？好，那这个时候它是不是垂直，它是不是垂直？所以这个角 正好就是他的一个二面角的平面角，所以本题啊，他为我们提供了一种思路寻找二面角平面角的方法啊，通过这个交线与什么与两个 直线垂直，而且这两个直线与是属于不同的面的，对不对啊？这个题目他巧妙在哪里？他够他专门给出了这样的一个平面旮旯，这旮旯相当于是个工具， 对不对？相当是个工具。然后呢，让我们把 l 和两个属于 r， 属于这伽马里面的 a o 和 b o 两条线都找到， 是不是？所以 l 和它垂直，那么这个时候就构造出了这个二面的关系啊？所以这是例题四，我们要认识到的基本问题。 好，那么总结一下，一般的在一个二面角的问题中啊，至少有一个不大于九十度角，那么我们就说这个二面角啊，称为两个平面所成的角，对吧？所以它的范围是 零到九十度啊，对吧？这个时候范围可以找到啊，零到九十度，因为有一个是，如果它是，比如一个角是四十五度，另外一个就一百三十五度，所以呢，它总是能找到一个锐角的范围内的啊？ ok， 好， 我们再来看一个例子，好，它是正方体，要求的是平面 a， 然后是 b、 e、 c、 d， 这个面， 它与底面 啊，它与底面所成的角。好，那这个时候我们要先要去找这个二面角了，怎么去找这个二面角是非常关键的一个问题啊，你能够说明清楚， 对吧？你能够把这个角为什么是二面角说明清楚，找到了，那么这道题就直接能得到，对吧？求角不难，找角难啊，我们来看一下。首先我们可以说 a、 d 垂直于 a、 e a 这条线 是道交线嘛？是不是？所以这条线垂直于 a， a， ad 又垂直于 ab， 所以 我们就说 ad 垂直于这个最里面这个面嘛， 是不是？好，那么 ad 垂直于里面这个面， ad 是 不？当然垂直于这个线，对吧？垂直于这个 a、 b 一 对不对？然后呢， a、 b 找到了， ab 找到了这里，那 ad 是 不是也会垂直于 ab？ 因为 a、 d 垂直这个平面嘛，所以 a、 d 它既垂直于 a、 b 也垂直于 ab， 所以 这个时候两个面的两个线都与它的交线垂直， 所以角 b、 a、 b 一 撇是二面角的 平面角，也是我们要求的两个面所成角啊，所以显然它是四十五度，对吧？好，这道题不难啊，就是通过这个说明就可以把它完成了。 好，那么接下来我们来看一下面面垂直的判定啊，刚刚是平行，我们来看判垂直的判定啊，啊，它的结果是这样子，如果一个平面经过另外一个平面的垂线啊，你看阿尔法 啊， ab 垂直于贝塔，那么阿尔法要经过了这个贝，这个 ab， 所以 此时我们就可以判定什么呢？这个阿尔法它与这个面是垂直的， 对吧？经过了一个面的垂线，我们就可以直接说两个面是垂直的啊，所以判定很简单。 好，来看个例子，如图所示，角 a c b 是 九十度，这个角底面是个九十度啊，然后呢？ p 是 平面 abc 的 外面的一点，而且它题目给的是 pa 垂直于底面 abc 啊， pa 垂直于 a b c， 我 们要证明 pa 垂直于面 p b c。 好， 怎么证？想一想 啊，怎么证？这个 p a c 垂直于这个面 p b c。 那我们刚刚这个面面平面面垂直的判定怎么说的？这我们如果找到了某一个面的垂线，然后另外一个面经过这个面的垂线，是不是另外一个面经过了这个面的垂线？那此时我是不是就能说明这两个面是一个垂直的关系？ 哎，那我们就要往这个思想上去靠啊。那观察一下这个图形，题目给了一个垂直，是 a c 垂直于 b c， 是 不是我们有 a c 垂直于 b c， 这题目的角 abc 等于九十度，给的条件吗？那这个是垂直，然后呢？这里又有一个 pa 垂直于面 a b c， 那 pa 垂直于这个底面说明什么？底面中的随便找一条线是不都和这个 pa 垂直？这是线面垂直的一个性质， 对吧？那好，你看 pa 垂直于底面，那 pa 是 不是垂直于 ac？ pa 是 不是垂直于 bc？ 所以 pa 是 不是也可以垂直于 bc？ 因为 p h 在 里面，那你来看，它满足垂直，它满足垂直。所以你看 b c 这条线啊，它是不是和 p a c 这个平面垂直的呀？ 所以它们两个是不能推 b c 垂直于面 p a c 啊，这是用了什么呀？是不是用了我们刚刚说的线面垂直的一个判定关系啊？ 上一个小节还记不记得，对吧？一个线与平面中的两个相交直线垂直，所以线面垂直，所以 b c 垂直于 p a c， 那 么得到了什么关系？你看 b c 其中 b c 是 不是应该是面 p b c 的 一个组成部分， 对吧？所以这个时候，这个时候这两个面它们之间是不是，是不是，应该是什么？应该是垂直的吧， 对吧？为什么？因为一个面的垂线找到了另一个平面，经过他的垂线，所以必然垂直啊，所以这就完成了一个证明啊。 所以这思路我们再来看一下完整的作答。好，首先角 acb 九十度，所以 ac 垂直于 bc 啊。好，又因为 pa 垂直于底面，那么 pa 垂直于 bc， 所以 bc， 它既垂直于 ac， 又垂直于 pa， 所以 bc 是 不是垂直于这个左边这个面？ 好，那么又因为 bc， 它是一个左边这个面的交线，它又经过这个面 pbc， 所以 根据面面垂直，面面垂直的判定。那么最后我们是判断了 pac 和 pac 是 垂直的。 好，所以这是例题六啊，通过这个例子，非常典型的说明了面面垂直判定的应用类问题啊。 好，那最后一个是第八个定律了啊，面面垂直的性质，那我们来看一下，如果两个平面是已知垂直的，那么在两个平面内啊， 垂直于交线的直线都垂直于另一个面。好，这句话说的绕口，我们来看一下几何解读。好，阿尔法和贝塔是已知两个面垂直交线是 c d， 对 不对？那么如果阿尔法里面有一个线叫 ab， 这个 ab 啊，垂直于交线，那我就可以推出 ab， 它不仅垂直于交线，它还垂直于顶面， 能理解吗？是不是这个意思？那反过来这个 b 一 是不是也可以垂直于面阿尔法？所以这就是两个面垂直的性质定律啊。好，我们来看第七题，已知阿尔法和贝塔，它们是垂直的两个平面，然后呢点 a 属于阿尔法， 且 ab 呢，是垂直于贝塔的啊，就这个 ab 的 直线是垂直于贝塔，而且垂直为 b， 那 我们要证明什么呢？我们要证明这个 ab 啊，这条直线啊，他在阿尔法内， 这道题啊，我们应该怎么去做呢？其实这道题正面出发是很难证明的，对吧？我们没有办法去说明 a b 正好在那平面内，但是呢，我们可以利用一个反正反的思想，就是我们可以怎么说呢？我们可以说如果若 a b 他 不在这个 r 反内， 然后呢，推出 矛盾的情形， 这样子就能说明出我们需要的东西啊，所以这就是我们的证明的思路，那我们来看一下啊， 好，那假设阿尔法和贝塔相交于 l 的 直线，那我们可以假设 ab 啊，它不属于阿尔法，那这时我们就画出了一条线，对吧？那这个时候 a 它属于阿尔法的，那关于这个交线是不可以做一个垂线，所以 a c 是 不是垂直于 l， 对吧？过 a 点做 a， c 垂直于 l， 垂直为 c， 所以 a c 和 ab 是 不是相交于点 c 啊？要点 a 啊？ 好，那因为阿法和贝塔是垂直的，所以刚刚的性质定律怎么说？两个面垂直，如果其中一个面中的一个交，一个面中的一条线垂直于交线，那么这条线是不垂直于底面，这是我们刚刚的性质的应用，对吧？ 所以我们是不是得到了 a c 垂直于底面贝塔？好，那又因为我们刚刚说题目中有一个条件， ab 是 不是垂直于贝塔的，所以这个时候我们的 ab 和 ac 是 不是应该是一个平行线的关系， 对吧？因为两条线都垂直于贝塔，它不可能产生相交啊，对吧？大家想这个图形， 你看这个是 a c， 这个是 a b， 这显然不合理嘛，它如果平行的话，就必然会有个交，就必然是不相交的，对不对？那这个时候 a 和 a 点不是不在一起了吗？所以它不，它和这个情况是不是正好是矛盾的， 对吧？是不矛盾的，它是交在同一个点上，这个时候怎么分开了呢？所以呢？它与 a、 b、 a、 c 相交，矛盾，所以我们这个假设啊，是不成立的。就说我们通过 假设它的反面找到了一个矛盾点，出现来去说明假设不成立，那假设不成立，假设的对面就必然成立。如果假设对面不成立， 对吧？那也这个问题就就就不对了，所以不可能的啊。所以假设不成立，那么假设的反面就肯定成立，所以 ab 它就属于阿尔法，所以这个 ac 就是 ab， 它不是一个斜的线， 所以这道题啊，有一定难度，但是呢，我们可以通过这样的一个思想认识清楚这种证明的问题的一种想法啊，这也是给我们未来去做很多证明题啊，提供了一种重要的思路，对吧？好，那么这是立体期的学习啊。好，那么我们第四小节讲到这里，同学们再见。

题型时与直线有关的对称问题，他看到右边这个图像，我们很容易算出 a 点的坐标是二零 b 点坐标是零负三分之四。 题目中告知我们这条直线关于 x 轴对称，那么我们现在看到 ab 片这条直线，它的关于 x 轴对称的点 b 片就是零三分之四。 在此时我们知道 ab 撇的两个点，这两个点我们可以用两点求出斜率， 负三分之二斜率啊，那我们再随便找一个点，此时直线方向就写出来了点到直线的距离公式。第十一题目，套公式就行了啊，这个也没有任何难度。第十二题， 这个是两条平行线之间的距离公式还是套公式？放大一点，大家看一下，公式我写出来了，画圈里面就是了，然后算出来，答案是它，答案选 d。 与距离有关的最值问题， 这是我们初中时候学的叫将军一马的类似的一种题目。他问我们 p a， p b 最小， p a 加 p b 最小，那我们这里面像照镜子一样，这个 l 直线就是镜子。然后寻找关于 l 这条直线对称的点， a 撇，这很容易算出来， a 撇的坐标是四二， 不会算的同学可以看这个地方，这两个方程就出来了一二二，然后知道这两个点两点之间距离公式，就算出来是十。他问说表示一个曲线， 表示的曲线是一个圆，我们现在对这个进行推导，就我们初中的完全平方公式， 那推导完之后，这个是不是就是圆的，它半径的平方，那半径就等于它， 我们知道根号里面肯定必须大于零的，不能等于等于零，圆就不存在了，所以解出来之后就这个值，所以答案选二 b。 第十五题，圆的标准方程和一般方程。 这个题目他告诉我们焦点是 m， 我 们把 m 点这个很容易算，然后他说是圆心，圆心那就是它， 然后他告诉半截是它。送分题答案选 r， b 啊，直线告诉我们圆，告诉我们它们的位置关系，让我们看一下圆心到直线，它的根据距离公式算出来是它， 他是小于半径的，说明他们一定是相交，是气体。圆的切线问题，他问这一条切线 我们明明叫 l， 这个 l 他的方程是多少？我们知道他过的这个点是二负二，我们现在还缺斜率， 那我们知道 ac 的 这个点是 a 点啊，我们知道 ac 的 斜率很容易求出来两点坐标嘛，都知道 c 的 它的坐标是多少，圆心就是一负一， 那么 a， c 的 斜率不就出来了吗？那么切线的斜率就出来了，因为两条直线垂直斜率相乘等于负一的，那么直线方向也就很容易写出来。

好，平面几何到底难不难呢？我觉得得从两个角度去分析。首先呢，针对平面几何本身来说，肯定是相当难的，对吧？因为平面几何从几千年前一直发展到现在，已经非常成熟了。 如果有的人觉得不难，我建议你看一本书啊，就是牛顿写的那本叫自然哲学的数学原理，你可以看看上面的平面几何题，你能不能看懂啊，你就知道到底平面几何难不难了。 那么为什么我说要从两个角度去看呢？那第二个角度就是现在我们初中生学的这个平面几何，他到底难不难呢？ 我可以告诉大家，一点都不难。为什么呢？因为我们都知道，如果你真给初中生啊，去做那种真正的平面几何难题的话， 他肯定是做不明白的，因为包括我们成年人也做不明白呀，对吧？这解释了为什么说到高中以后，为什么就不学平面几何了，而要学立体几何。那为什么不会把这个平面几何的这个难度再拔高一些，让那些高中生去做呢？ 很明显他做不出来啊，他只能利用一些竖形结合，比如说向量去解决这种几何问题。他很难用纯几何思维去解决了，因为难度很大， 但是初中不用考虑这种情况。为什么呢？因为那些专家们已经很贴心的给我们降低了难度，把这个平面几何啊，难度降在一个很低的程度。 那有些人说，那为什么我还是学不会呢？我感觉初中平面几何也挺难的呀，哎，那是因为你没有把这个模型给掌握呀，对吧？那些专家说白了也是为了省事，哎，就从平面几何大量的这个知识中啊，给我们筛选出一些很简单很典型的一些模型， 哎，把这些模型呢，简化成这个平面几何题，让你去做，但是这时候很多同学说，那我还是做不出来，很简单，专家没有把这些模型去告诉你啊，你不知道是什么模型， 所以说，你要是真想把这个初中几何学好，我个人建议你就去买一本这个跟初中几何模型有关的辅导书，哎，上面呢，会把那些专家们，呃，所选出的那些几何模型呢，帮你汇总出来， 哎，每个模型呢，给你总结个四五道题，六七道题，哎，你就针对一个模型，你就去练，对吧？练完以后呢，这个模型你就彻底掌握了， 然后你到考时候就会发现，你做的题啊，绝大多数我不敢说百分之百，但是百分之八十或甚至九十以上吧，哎，都是你练过的这些模型，哎，你都做过了，那你还愁做不出来吗？对吧？哎，所以说，真正的这个平面几何难度确实是相当大， 但是呢，针对我们的初衷几何，哎，专家们省事了，他不会把这个难度给你无限的拔高， 只是，哎，帮你简化了这个初衷几何，让你去做起来呢，很简单。为什么呢？因为他是从模型中筛选出来的，哎，你就照着模型往上去套，一般来说，大多数问题咱就都能解决。

这个视频我们开始动脚专题，主要来介绍一下做动脚这些题需要用到的公式。公式一，目标角等于七十角，加速度乘以时间。公式二，目标角等于七十角，减速度乘以时间。公式三，目标角等于七十角，减速度和乘以时间。 公式四，目标角等于七十角，加速度和乘以时间。公式五，目标角等于七十角，减速度差乘以时间。公式六，目标角等于七十角，加速度差乘以时间。