25年天津高考数学立体几何评分细则

在开始之前呢，我们要先搞清楚几个非常基本的概念，到底什么是洁面问题，所谓的洁面问题就是指一个平面呢，与某一个几何体相交， 所有的胶线构成的平面，能够将几何体分成两个部分，那么我们就称这些所有的胶线所构成的这个平面呢，就叫几何体的结面， 而几何体的结面，它拥有一个非常显著的特征，那就是能够将几何体一分为二。 什么叫做一分为二呢？我们来看两个简单的图形，对于左边的这个图形， 我们可以发现，虽然说我们在其中啊连接出了一个三角形的平面，但是这个平面并没有将长方形分割成两个部分，所以呢，他不是结面， 而右边的这个三棱柱则不然，这个三角形啊，完完全全彻彻底底的将三棱柱分成了两个部分，所以啊，这个平面就是三棱柱的结面， 也就是说结面最大的特点，一定要将几何体分开成两个部分， 那么我们如何得到结面呢？想要得到结面，我们的方法呢叫做交线法，那什么是交线呢？ 如果结面与几和其某一个平面相交，它就一定会在该平面的棱上呢产生两个节点。 我们来看前面的这个图，这个三角形的平面呀，与前面的平面相交，产生了一个点 d， 产生了一个点 f， 这两个点就是截断的过程之中所产生的点，我们称之为节点，那么把节点连接起来，就能够构成一条交线， 如果呀，我们将每一个相交平面上两个节点全都顺次的连接起来，就一定能够得到结面， 所以我们最关键的任务就是如何找到节点。 我们作图的主要依据以下四个方面的内容。第一， 不重合的两个平面相交，一定会产生一条交线，这是我们解决问题的核心观点，因为只有结面与平面相交，才能够产生节点，才能连接成交线。 第二，如果一条直线上有两个点在一个平面之内，则这条直线上所有的点一定都在平面之内，这是立体几何之中的一个基本事实， 也是我们解决洁面问题的首要原则。所谓的首要原则就是我们最优先考虑的一个情况，就是通过各种各样的手段， 想方设法的在同一个平面之内找到两个节点，就可以找到这个平面之内的交线。 第三，如果一条直线平行于一个平面，则过这条直线的平面与平面相交，交线呢，一定平行于该直线，这其实就是线面平行的性质， 我们将这个原理称之为照镜子原理。什么叫做照镜子原理呢？镜子呀，一般都是对着我们存在的一个平面， 所谓的照镜子原理就是指我们要在相对的平面之内去找平行线，那到底是哪个相对的平面呢？就是我们先确定一条交线，在这条交线对着的平面之内去找他的平行线。 最后一个原则就是一条直线如果与平面相交的话，交点呀，要通过平面内直线相交的方式才能够体现出来。这句话是什么意思呢？ 比如说某个平面与某个直线呢，处在相交的状态，我们知道这个平面与直线相交，它一定有一个焦点， 但是这个焦点它究竟在哪一个位置是值得商去的，尤其是呀，我们选择手工画图的时候，比如说你将这个焦点画在这个位置 说的通，你画在呢稍微靠下的一个位置呢，也似乎能说的通，这样的话就导致了我们是没有办法通过视觉上直接确定这个焦点的位置的。 那么我们想要找到这个焦点，最简单的办法就是在平面之内找一条直线，与平面外的这条线相交，那么他们的焦点就是我们想要的这个焦点， 而这个焦点呀，如果他不是位于廊上的，那么你就要通过延长线的方式才能够找到这个焦点。 这里我们虽然用了很多的语言来描述这四个基本原理，但是呢，梳理起来这四个原理啊，其实非常的简单，我们先通过一个简单的例题来说明一下这个原则是怎样进行应用的。 现在呢，有一个长方体，我们需要过图中的三个点来做出长方体的结面。 首先我们进行第一个原则来观察有没有哪一个平面之内出现了两个节点，那很明显 下表面之中是拥有两个节点的，所以啊，我们的第一件事就是将这两个节点呢给他连接起来，形成一条交线， 这样的话我们在下表面之中找到了一条交线，此时我们能不能使用照镜子原理呢？因为呀，与下表面平行的平面是上表面， 能不能在上表面之中找这条蓝色线段的平行线呢？答案是不可以的，因为上表面之中现在他没有点，所以我们不能把目光集中在上表面上， 我们观察这个位置呀，他有一个点，这个点我们把它看成左边平面的一个点， 我们就可以想这条蓝色的线段，我们将其延长之后，他势必会与左边的平面相交。 那刚才我们说了，这个焦点呀，一定要通过延长线的方式才能够得到，所以我们可以将这个棱呢进行延长，那么延长之后就会产生一个焦点， 这样的话左平面之中就拥有了两个节点，我们将这两个节点给他连接起来， 就在左边的平面之中确定了一条直线，现在我们在观察前边的平面， 前面的平面啊，显然拥有了这个节点以及这个节点，我们将他们两个给连接起来，就又得到了一条交线。 好图形做的这个时候呀，我们就可以使用照镜子的原理，我们注意观察前表面之中啊，有这样一个线条， 而在他正对着的后表面之中有这样一个 节点，由线面平行的性质，我们知道后表面之中一定有一条线与这条线是平行的，那么我们只需要过这个点找到这条平行线就可以了， 那么我们找到这个平行线，他与这个棱呢相交于点 n， 现在右表面之中也有了两个焦点，那这两个焦点我们顺次连接起来，就构成了一个完整的结面，这个结面准确的将长方形分割成了两个部分。 我们再来看一个问题，把这个问题看完之后呢，我们重新回顾我们的做题原则，我们观察呀，在这个长方体之中有这样三个点，我们还是要过这三个点呢，做出一个结面， 我们马上就能够发现一个问题，这三个点呀并不在同一个上下左右的几何体表面上， 也就是说我们并不能像刚才一样通过将两条线连接起来的方式呢，去找到某个平面上的交线。 那如果这个时候呀，我们随机选择两条线进行连接，这两个点所连接形成的这条线呀，他必然会与下表面相交， 而这个时候就要想到刚才我们所说的原则，相交的那个焦点，你一定要通过线线相交的方式给他确定出来。 所以我们在连接这两点之后，需要在下表面之中找一条线与这条虚线呢呈现出相交的趋势来， 那这条线怎样在下表面之中进行确定呢？嗯，这个原理非常的简单，我们可以啊这样做， 然后呢把这个点与这个点呢给他连接起来，这个时候呀就能够构成一个准确的三角形。 由于啊这个时候下表面之中就产生了两个节点，也就是说这个点与这个点 他们都在下表面之中，那么我们将这两个点给他连接起来，就可以找到 棱上的一个节点。此时呀我们注意观察，在下表面之中就产生了一条交线， 在这边的这个表面之中呢也产生了一条交线，所以呢接下来我们只需要使用照镜子的原理，比如说这条线吧， 他所对的平面，他所对的平面上面有这样一个点，我只需要过这个点去做这条直线的平行线， 或者说过这个点来做这条线的平行线都是可以的。好，我们选择呀做这条线的平行线，那你看过这个点做出来的平行线跟他相交于这 就导致了这边的这个平面也有两个节点，我们将这两个节点连接起来就形成了一条交线。 接下来呢，我们还需要过这个点来做这条线的平行线，他就与前边的表面呢相交于这个点， 最后呢，我们将这两个点给他连接起来，就顺次的得到了这个长方形的结面。 现在我们再重新回顾一下刚才我们所说的四个原则，第一原则，我们就是想方设法的找交线， 而在作图的时候呀，首先就要看是否在一个平面之内呢，拥有两个点，要是有两个点的话，你就直接把它连接起来，然后通过延长或者是照镜子的原理去找其他的交线， 如果没有两个点，那你就需要任选两个点，通过延长线的方式在某一个平面之内找到点，然后呢回到原则二重新开始即可。 我们再来看一个小问题，在这个长方体之中， ab 的 长度呢是等于四的， bc 的 长度呢是等于三的， m 与 n 呀，分别是棱的中点点， p 呢是在对角线之上的，并且呢 a 一 p 这个位置呀等于三，那毫无疑问这个位置呢，它就是等于二的。 现在要求我们过 m， n， p 这三个点， m， n， p 这三个点呀，做一个结面，问这个结面是几边形， 我们非常容易观察到 m， n 呀，他们在同一个平面之内，所以我们第一步就是将 m n 进行连接。 考虑到呀，上表面之中有一个点 p， 那 如果我能够在上表面之中再找到另外一个点，将这两个点连接起来，就能够在上表面之中找到一个新的交线， 所以啊，我们需要将 m n 扩展到与上表面相交的状态之中，那么这个相交一定要通过延长线的形式实现， 我们可以将这里的 m n 给他延长，再将 a 一 b 一 给他延长，就可以在上表面之中找到这条交线。 首先呢，延长，现在找到了这样一个点，那现在我要做的事情啊，就是把 p 点与 f 点进行连接， p f 给它连接之后呀，就在这个棱上找到了一个点，自然呢，这个 p g 呀就是一条交线， 但是呢，我们发现呀，点 p 其实并不在棱上，我们需要将 p g 进行延长， 而他在延长的时候，我们就会遇到一个问题，那就是我们不知道他延长之后呀与棱的焦点究竟产生在哪个位置，到底是这里还是 这里，亦或者是这里呢？这里呢，我推荐呀，使用如下的方式，相对而言呢，是比较简单的，那就是我们在上表面之中啊，建立一个平面直角坐标系， 我们以这个位置呢作为圆点， o 以这个位置呢作为 x 轴，以这个位置呢作为 y 轴。 我们观察 mb 的 长度呢，是等于二的点， n 呢是中点，那就意味着这个位置与这个位置呀是相等的， 而这个直角三角形与这个直角三角形呢，他们就是全等的，也就意味着 b e、 f 呢，他等于二， 那么我们就能够确定 f 点的坐标，它的横坐标等于零，而纵坐标呢是等于六的。 这里的第一点呢，它的横坐标呀是等于三的，而纵坐标呢等于零 点 p， 由于这个位置，它的长度是三，我们知道总长呢，它是等于五的。 而这个角呀，它的正弦值是等于对边比上斜边的，对边呢是三，斜边呢是五，也就说这个角的正弦值 cos 它呢等于三比五， 而 cos 它呢，是等于四比五的。那么我们过点 p 啊，向着 y 轴去做一个垂线， 这个位置的长度自然就等于三乘以 cos 它也就是五分之四，那这个线段的长度呢，就等于 三乘以一个 cos 它也就是五分之三。那么我们就能够确定点 p 啊，它的横坐标是五分之九，而纵坐标呢，是五分之十二。现在呢，我们来算 p f 的 斜率 k p f， 它等于六减去五分之十二，比上一个零减去五分之九，就等于负二。而 d， e、 f 的 斜率呢，等于六减零，比上一个零减三，也是等于负二的。 就意味着这三个点呢，是在同一直线上的。也就是说，我们如果延长 pg 的 话，它最终呢，会经过第一这个点， 所以说我们将它延长，这个延长线呢，是从这个位置伸出的。那么这个时候呀，我们过下表面的 m 来做第一 g 的 平行线，把这条线做上，然后我只需要在连接这里的 d， h 以及 g 和这个点，就找到了这个结面。所以啊，最终这个结面呢，它是一个五边形。 在本题之中，最关键的就是确定 p g 的 延长线是经过这个第一点的。 我们再来看一种问题，在棱锥之中如何去做结面？ 如图呀，有一个正四棱锥，现在要求我们去过点 b， 做与这个棱啊异地垂直的平面。 如果我要过点 b 啊，做与棱垂直的平面， 那就意味着我做出来的这个平面之中的任何一条线与 d、 e 呢，都拥有垂直关系。 所以啊，我只需要先过点 b， 做与 d、 e 垂直的一条线，那么就可以找到这样一个焦点， 那我又如何将这条线扩展成一个平面呢？哎，这个问题啊，就需要我们去研究这个几何体的特点， 几何体它必定是一个正四棱锥，它的下表面呀，是一个正方形，我们知道正方形的对角线呢，是互相垂直的， 也就是说 a、 c 与 b、 d 啊，它们是互相垂直的，而顶点在底面上的投影啊，正好是底面的中心。 我们假设底面的中心为 o， 我 们把 o 跟 e 连接起来，这个位置呢，一定会产生一个焦点， 而 a、 c 呢，它是垂直于 e、 o 的， 换而言之就是指 a、 c， 它是垂直于平面 b、 d、 e 的， 那也就意味着 a、 c 呢，它是垂直于 d、 e 的。 我们想要过点 b， 做与 d、 e 垂直的平面， 那想要找到第二条线，我只需要过这个焦点，找到 a、 c 的 平行线就可以了， 这两条线是相交的，并且都与 d、 e 垂直连接，他们就找到了这个结面。 所以呢，接下来呀，我们的作图就非常的简单了，首先呢，把 ac 给他连接起来，找到 ac 的 终点。 然后呢，将 e 与这个中点进行连接，让 e、 g 与我们做出来的这条红线呀，交于 h 点。 接下来呢，过 h 点去做 a、 c 的 平行线与两个侧棱产生这样两个交点。 然后呢，把这两个交点呀，与刚才产生的这个点以及起始这个点进行连接，就得到了这个结面。我们再来看一个问题，如图所示的四棱锥之中， ab 呢与 cd 啊处在平行关系之上， ab 呢与 bc 呢是垂直的。二、 ab 是 等于 cd 的 点 e 点 f 呢是棱的中点，要求我们过 b、 e、 f 三点做出一个结面。 对这种棱锥中的结面问题啊，我们其实遇到最大的障碍啊，就是没有办法使用照镜子原理。 那既然没有办法使用照镜子原理啊，我们还是遵循我们的主要原则，那就是观察到底有没有哪一个面当中呢，拥有两个焦点， 比如说这里的点 b 和点 e， 他 们都位于下表面，我们就可以啊，先把 b、 e 呢给他连接起来。 在题看之中，明确告诉我们， ab 与 cd 是 平行的，并且 cd 的 长度呢，是 ab 长度的二倍。 当我们将这个 b、 e 给它连接起来的时候，你很容易发现一个问题，那就是此时 ab 的 长度与 d、 e 的 长度呢是相等的，并且呢，它们还是平行的，那也就意味着 这个四边形呀，它是一个平行四边形。在我确定了它是一个平行四边形之后呀，也就是说现在的 b、 e， 它一定是平行于平面 p、 a、 d 的。 那么我如果过 b、 e 做出了这个结面，结面与 p、 a、 d 相交，交线就一定与 b、 e 平行， 这就是我们的原则。三，也就是线面平行的性质。虽然不能照镜子，但是呢，并不妨碍我们使用这个性质。也就是说，交线它必须要跟 b、 e 保持着一个平行关系， 而与 b、 e 平行，就必须与 a、 d 平行。由于点 f 呀，它是中点， 你要做 a、 d 的 平行线，那你势必需要在这个边上找到一个中点，我们把它给连接起来，这呢就是这条交线。 接下来的任务呀，就变得非常的简单了，顺次连接所有的节点，就找到了这个结面。 我们再来看一个小问题，说在这个四棱锥之中啊， ab 与 cd 呢是平行的，并且 ab 的 长度大于 cd 的 长度。 问哪个选项是正确的？ a 选项说不存在平行四边形的结面， b 说呢存在唯一的平行四边形结面， c 呀说存在两个， d 说存在无穷多个， 那我到底能不能找到平行四边形的结面呢？这个问题啊，其实呢是非常容易确定的， 由于 ab 的 长度是长于 cd 的 长度的，那么我们就可以在 a 点以及 b 点的上方 找到一条线 ef， 并且让 ef 的 长度与 cd 的 长度呢是相等的，而且我们还可以保证 ef 呢与 ab 啊是平行状态。 在这种情况下，如果我们连接这个四边形，由于这个位置与这个位置平行且相等，那就意味着这一定是一个平行四边形。 在确定了这个平行四边形之后呢，现在我们就可以这样去想啊，那就是如果呀，我把 c、 d 的 长度就是这个位置呢，稍微往上挪一挪， 这个 e、 f 这个线呢，也往上挪一挪，是不是还是可以保证它们等长且平行的，那就意味着我们还可以继续得到平行四边形的结面。 那么我把这个不停的向上挪，他也不停的向上挪，只要让他俩平行且相等，得到的结面呢，永远都是平行四边形，那就意味着它存在着无穷多个平行四边形。 再来看一个小问题，如图呀，在这个直角呢，是一个直角， 而且告诉我们 ab 与 bc 以及 a a 一 啊，它们三个的长度呢，都是相等的， 点 p 呢是中点，让我们判断过点 p， 并且呢与 a c 一 平行的平面，能不能是一个等腰梯形？ 这个题的意思就是让我们过点 p 做一个平面，这个平面呀，只要与 a c 一 平行即可。 现在我们就可以想我们的原则三，那就是你要做一个平面，与 a c 一 是平行的，那么就意味着交线一定与 a c 一 平行。 那我不妨呀，先随意找一条线，让它与 a c e 是 平行的，比如说这里的 k f 这条线， 那现在我只需要过 k p f 来做洁面， 就一定满足与 a c e 平行这样一个基础条件。我们发现呀，前表面有 k 也有 p， 我 们就可以将这两个点呢给它连接起来。 前表面之中呢，就产生了一条交线。假设啊， k 是 中点， 那就意味着这个时候的 k p 与 a 一 b 一定是平行状态，因为在这种状态之中，我们去做图啊，它相对而言呢，要容易的多的多。 那么我现在采用照镜子原理，是不是只要过这个 f 点来做这条蓝线的平行线 就可以了，我们把这条线呢给他做出来，接下来只要在连接这个位置，就一定能够做出一个结面。 现在呀，我们优先来判断这个最为特殊的结面，他到底是不是等腰梯形。 此时的 k p 呢，与 fl 啊，一定是平行的，而且呢， fl 的 长度是短于 k p 的， 那它就一定是一个梯形。 由于呢，这个位置是中点，这个位置是中点，这个位置也是中点，那就意味着这个直角三角形与这个直角三角形啊，他们是全等的直角三角形， 从而就导致了 k、 f 与 p、 l 呢是相等的，那么我们得到的恰好是一个等腰梯形。 再来看一个问题，在这个值，三根柱中， a、 b 与 a、 c 呢是垂直的，并且呢，这三条棱的长度呀，都等于三 点， m 呢，是 b 一 c 一 上的三等分点，并且呢，靠近 b 一， 让我们呀做 m a、 c 这个结面，并且呢来求这个结面的面积。 我们很容易发现呀， m 点与 c 点呢，都在我们正面对的这个平面 b、 b， e， c， e、 c 之中，所以啊，我们先将它们两个给连接起来。 现在我们观察 a、 c 这条线， a、 c 这条线呀，它与 a、 c、 e 是 平行线， 那就意味着我们过 ac 做出来的结面，他的交线呀，必定与 ac 是 平行的， 也就是说，接下来我只要过 m 点去做 a 一 c 一 的平行线就可以了，我们把这个平行线给他做出来，接下来呢，再顺次连接 d 点和 a 点，就找到了这个结面。 确定了结面之后呢，我们来求这个结面的面积，那由于啊， a、 c 的 长度呀，它是等于三的，而 dm 的 长度呢，它是等于一的。 又由于啊，这个四边形呢，它是一个直角梯形， 所以我们现在只需要去求 a、 d 的 长度就可以了。 a a 一 的长度呢，等于三， 而 d a 一 的长度等于二，那就意味着这个高呢，它正好等于根号十三，所以这个梯形的面积啊，就等于 上底加下底乘以高，再除以一个二，所以啊， s 呢就等于二倍的根号十三。 最后呢，我们再来看在某些个不规则的几何体当中，我们如何呢去做出它的结面，这里啊，我们主要采用的是原则四，也就是延长相交的原理。 在这样一个四棱台之中，让我们去过 a、 b、 p 三点呀，做一个结面， 那由于 a 点以及 b 点它们在同一个平面之内，那么 ab 呢，就是其中的一条交线， 而这个交线呀，他一定是与上面的平面相交的，那么我们就需要呀延长 a b， 再在上表面之中呢，找一条线也给他延长，就能够确定焦点， 在确定这个焦点之后呢，上表面之中还有一个点 p， 我 们把他们两个给连接起来，并且呢去给他延长，就得到了上表面的交线， 这样的话呢，这条胶线与前表面以及后表面都产生了两个节点，把这些个节点给他顺次的连接起来，哎，就找到了最后的结面。 最后呢，我们做一个简单的总结，做这种洁面问题的时候呀，嗯，第一我们要记住前面我们所讲的四个原则。第二呢，这四个原则并不是死的原则，而是要灵活的进行应用。 第三呀，我们也要补偿一部分的练习题，练习题做多了，自然就是无他为首熟耳的感觉了。

来看第五节简单几何体，那么本小节的话，我们将会认识柱体、锥体以及球体的特点，以及它们的表面积和体积的计算。 首先我们先来看多面体啊，那么在日常生活中啊，很多的一些空间的物体啊，有些是规则的，有些是不规则的，对吧？那么很多有些都是我们的几何体的这种组成，对吧？很简单的一个道理，我们比如一个景观，它是一个底面，它是一个长方体， 对吧？我们呢，可以在长方体上面堆积一个锥体 啊，形成这样的一个比较好看的一个形状，对吧？所以呢，在生活中，我们经常能见到很多几何体的一些组合，那这几何体啊，我们可以分成以下类型，一个是多面体啊，一个是旋转体。 那么首先我们先来看一下多面体啊，多面体就是由若干个平面构成的这样的形状，所以呢，像这样的都是多面体，对吧？其中每个面叫做多面体的面啊，相邻的两个面的公共边叫做多面体的棱啊，这个我们前面见到过了啊， 棱与棱之间的点叫做顶点啊，所以呢，像这都是我们常见的一些多面体啊，你看这个上面是一个三角形，四边形，五边形，对吧？这是一个锥体啊，它都是多面体啊。 好，那我们首先来看柱体啊，那多面体上下全都是全等的多边形啊，然后呢，而且呢，他们的面和面之间是相互平行的，其余的面都是平行四边形的，这样的面，我们叫做这样的一个体，叫做多面体，为 棱柱体啊，棱柱体，那棱柱体的话，首先我们最常见的就是这种四边形，对吧？构成的棱柱体啊，四面的棱柱体，它是一个什么？ 至少是一个长方体吧，对吧？特殊点就是他的，他的什么特殊点？这个正方点，对吧？所以两个互相平行的面称作棱柱的底面，然后呢，旁边的叫侧面啊，然后呢，他的叫侧棱，对不对？这都是我们常见的一些概念啊， 那不同平面上的两个点的连线称作对角线，所以呢，这就是我们的体对角线，看到没有啊，好，那么两个底面间的距离称作高啊，所以这就是他的高 啊，所以他的侧棱正好和他的高相等啊，这对于我们这个长方体来说啊，正方也是一样，他的侧棱和他的高正好相等，因为他正好是垂直于底面的啊， 好，那么底面为三角形，四边形、五边形等等啊，分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱，对吧？那一般来说我们可以把它记作什么呢？三角形， a、 b、 c 杠， a 撇， b 撇， c 撇。四棱柱， a， b， c 杠， a 撇， b 撇， c 撇， d 撇，对吧？ 那一般来说侧棱垂直于底面向我们的长方形就是垂直于底面的，我们叫直棱柱啊，他不会歪歪扭扭的。那反过来，如果像这种打斜的有没有见过？我们刚刚是见过这种类型的图形啊？我们这讲前面的证明题的时候，是不是见到过这种图形？ 这种叫什么柱？叫斜棱柱啊？斜棱柱它是打斜的啊，好，那如果底面为正多边形，它叫做正棱柱啊，多边形是个正三角形啊，对吧？像正四面体啊， 等等啊，都是正的图形啊，正四面体不属于正四面体，是正棱锥的啊，那个不行啊，像我们的这个正方体就是一个正棱柱，对吧？嗯， 好，那正龙柱的特点，第一个底面是平行的，而且呢是全等的多边形，而且侧面也是全等的矩形啊，侧棱相互平行，并且垂直于底面，而且侧棱相等，侧棱与高勾相等啊，对吧？所以这就是正龙柱的一些基本的特性啊。要知道 啊，那我们把这个棱柱啊可以展开，就说我们可以把这个图形啊，是不是相当于箱子把它给拆开，那么这个时候可以把它展开成一个侧面肌啊，所以呢，它的展开图是一个什么形状？是一个矩形啊， 它的上下两条对边的长度就是这条边的长度啊，或者说下面这条边的长度就是底面的这一个周长 c， 对吧？然后呢，他的两个侧边的长度正好对应的是他的高，对吧？对应的是直棱柱的高，所以我们可以将棱柱进行展开，形成这样的一个棱柱的侧面展开图啊。 好，那么有了侧面展开图之后，我们实际上是很好的去表达它的侧面积，表面积还有体积啊，我们来看一下，侧面积就应该是底面这个周长乘上它的高吧，是不是这是它的这个侧面的这个矩形的面积，所以是 c h， 好，表面积就应该是 c h 加上两个底面的面积，对不对？因为他们俩相等，所以是二倍的这个面积啊，好，体积，体积应该是底面积乘以高嘛，所以应该是棱柱体的底面积乘以它的高，所以是 s d 乘以高啊， 所以棱柱的计算的公式还是比较基本啊，可以通过这个直观的图形能够快速的反映出来啊。 好，我们来看一道例题啊，已知一个正四棱柱啊，它的底面为二，高为三，我们要去求它的表面积和体积。首先，表面积怎么求？表面积是不是应该是 s 侧加上两倍的 s 底，那么 s 侧应该是多少？ s 侧 侧面积应该是等于底面的周长， 对吧？底面的周长，然后呢，乘以它的高吧，是不是应该是等于 c h 的， 对不对？那底面的周长是不是应该是 它的底面的边长为二，所以周长是不是四个？二， 是不是应该是二乘以四？ 好，高是几？高是三，所以乘以三， 所以它应该是二乘以四，乘以三，对吧？ 好，那接下来侧面积求完了。底面呢，是不是两个这样的面积之和，所以应该是，所以 s 底是不应该是两个这样的面积？上面还有一个吗？ 对吧？所以应该是二的平方是它的面积吧，虽然是二的平方，好几个呀，乘以二两个，对吧？所以这里算出来是三八，二十四，二十四， 这里应该是三个二，相乘等于八，所以答案应该是三十二啊。没错，所以它的表面积三十二啊。好，体积，体积应该是底，面积乘以高，底面积是四，高是三，所以是十二的立方厘米啊。 好，来看第二题啊，某农场为了改善水利设施，需要修建一条横截面为等腰梯形啊，它的这个横截面是 a， b， c， d 这个等腰梯形啊，这个灌的水渠， 那么如图所示，水渠的长度为四百米啊，就一直往下伸长，然后深度是一点五米啊，渠底的宽度是一米，渠面的宽度是 两米。好，第一问，要去求的是修筑水渠需要挖多少平方米的土，这个应该怎么做？是不是要考虑去求它的体积啊？那么体积是不是它是底面积乘以高啊？ 这是它底面积好高，是不是向这边无限延伸？不是，无限延伸长度是四百米， 对吧？所以呢，我们先要去求底面积，底面积是梯形的面积公式，上底加下底的和乘以高除以二，所以应该是 ab 加 cd 这一段加这一段的长度的和 乘以它的高高是一点五吧。上，我们看看这个条件啊，是不是一点五，深度是一点五吗？就这一个东西是一点五吗？好，乘以高除以二，乘以二分之一，算出来等于二点二五啊， 这是底面积好乘以高的四百，所以求出来的结果是几等于九百米啊？九百平方米，所以你要把这个面积填充完毕，需要九百平方米啊。 好，这第一小问，我们来看第二小问，什么意思？如果需要在水渠的底部和侧面铺设水泥板啊，注意清楚，它的意思是底部，所以它需要铺哪里？需要铺这个地方？底下还有两个侧面 啊，底部和侧面去铺这个水泥板，那么它需要铺多少的面积？那就是求这些面积嘛。那来看一下，首先它的表面积啊，怎么去求？ 那我们是不是要先要去求这个 a d 的 长啊？因为我需要知道侧面嘛，那 a d 的 长，这里它是一，这个是二， 所以 d 的 长是不应该是通过这个关系，应该是 c d 减去 ab， 对 吧？它是个等腰梯形嘛，它图形大概是这样子的啊，这是 a b c d？ 好， 那么这是做一条垂线段嘛？这是一，那你来想，这个长度是一，这个长度是二，所以呢， 中间这个数一，那么这两边是各占一，所以 d 一 的长是不是总长的两边的一半是不是二分之一，所以等于二分之一乘以二减一等于零点五啊？好，所以 d 等于零点五，那么 a 又是知道的 勾股定律， a、 d 等于根号二点五啊。所以我们要求的这个表面积怎么求？ 应该是侧面，它是不是有两个侧面，左边一个，右边一个，那也就说我只要求出了一半，求出了一边的面积，乘个二不就行了吗？所以左边的应该是 a、 d 的 长度 乘以多少？是不是乘以四百？乘以它的长度是四百，所以左边的求完了，那右边是不是一样的，是不是乘以二， 对吧？所以是两倍的 a d 乘以 h。 好， 底面是不是也要也要去铺啊？水泥？所以呢，底面是不是 a b 还是乘以？这个长度？是不是加上 a b 倍的 h， 是不是也是 a b 乘以四百？所以通过这样的一个运算，我们就求出了这个结果啊，算出来是约等于幺六六五平方米啊，所以答案等于需要铺大约一千六百六十五平方米的水泥啊。 所以这就是一个应用，通过对几何体的理解，我们可以把这个问题给处理出来。 好，那么我们接下来看锥体啊，能锥，那能锥的话就是他的顶部啊，会收缩在一点上面，对不对？那这个时候能锥有个什么点叫做顶点 点屁点屁点屁都是他的顶点好，旁边的是他的，什么是他的侧棱，对不对？这些是他的侧棱，是不是侧棱？ 好，那测棱的话，这个时候我们说如图所示， p a， p b， p c。 顶点到底面是有个高度啊，所以是有个 p o 啊，看到没有，所以 p o 是 它的高啊， 我们在以前学的不是棱锥。我们以前学过什么锥啊？我们以前是学过圆锥啊，其实本质上是一样的啊， 圆锥它是一个什么体啊？它是个旋转体，它不是多面体，但本质上是一样的，都收缩在了一个点上，对吧？它底面是个圆的时候就是圆锥嘛，所以棱锥和圆锥啊，本质上这个问题是表达同一个问题的一个点啊，所以我们这里通过棱锥认识清楚啊。 好，那么楞锥的记法，那就把它顶点体现出来了啊，所以呢，三楞锥记作 p a b c， 四楞锥记作 p a b c d， 五楞锥记作 p a b c d e 啊，所以这是楞锥的表达式啊， 好，棱锥可不可以展开呢？肯定是可以的啊，我们可以把这个棱锥啊，展开成这样的一个形状，所以此时我们可以得到啊，这个投影在底边上，这里有一条线，这条线 h 一 撇，我们可以叫做它的母线啊， 这个线我们叫做母线啊，这个也可以叫它斜高啊，这一点的话，其实在我们的这个做题过程中可能用的也不算特别多啊，所以了解一下就可以了啊，那注意这个 h 一 撇和它的高， 对吧？就和它里面这个高线啊，你不能认为是相等的啊，它们之间是有有一定的距离的差距，是不是？它们是构成了一个三角形， 对吧？这是 h 一 撇，对吧？这是它的高啊， ok， 好， 那么正棱这有什么样的特点呢？第一个，各条侧棱相等，斜高相等，就刚刚说这个，这个斜高 h 一 撇，而且侧面全是等腰的三角形啊， 顶点到底面的中心的连线是正楞锥的高啊，正楞锥的高，好，正楞锥的高，斜高，还有斜高所在的这个底边上的投影啊，它构成了一个直角三角形啊， 那么正楞锥的高，侧楞、侧楞和底边上的这个投影，它就是一个直角三角形，对吧？所以我们如果需要去计算的话，就完全可以用直角三角形的这些里面的理论把它给算出来啊， 所以这就是正棱锥的基本性质。好，我们来继续往下看，如果把侧棱的侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，那么就可以把它得到这种侧面展开图嘛，对吧？那我们就可以去研究它的侧面积了， 那这个时候，对于正棱锥来说啊，它的侧面积侧面展开图是由各个等腰三角形构成的啊，都是等腰的三角形，对吧？所以我们可以直接得到它的这个公式啊。第一个，正 棱锥的侧面积应该是二分之一 c h 一 撇， h 一 撇是什么？是刚才的这个斜高嘛？对不对？那它的面积是不应该是什么？ 应该是底面的周长，因为每个底面是不都要去乘以，你看，每个底面都要去乘以这个 h 一 撇，乘以二分之一，就是构成了每个三角形的面积，那把它的周长合并起来，不就是它的一个完整的侧面积吗？对不对？ 同理，表面积应该是底面侧面积加上底面积啊，底面积是一个一个矩形， 对吧？对于正棱锥来说是个矩形啊，所以就可以把它算出来了。好，体积公式，注意啊，这里你不需要知道为什么，但你要知道，正棱锥的体积是底面积乘以高的一的三分之一倍，也就说它是正棱柱的正好的多少？三分之一 乘上三分之一倍，所以这是它的体积公式啊，所以我们这样就求出来了这个棱锥的一个计算的表达式啊。 好，那通过一个例题来反馈一下，如图所示，正四棱锥，好，它底面边长为四，所以它底面是一个正方形啊，对不对？斜高 p 一 等于二倍根号五，这个长度是二倍根号五。 好，要去求正四棱锥的表面积和它的体积啊，那它的表面积应该是什么？ s 表 等于 s 的 侧面积加上 s 的 底面积，对不对？那 s 的 侧面积是不是应该等于二分之一的？ 应该是他的周长吧，周长是不是里面是四？四加四加四加四是不是？四乘四的平方等于十六，是不是应该是二分之一乘以十六加二分之一乘以十六，然后呢？乘以什么？乘以二倍根号五吧， 对吧？好，还要去加上它的底面积，底面积是不是应该是多少？应该是四个平方就十六吧，所以表面积就求出来了啊。 啊，二分之一乘以十六乘以二倍根号五，对吧？然后底面积是十六，所以答案应该是十六倍根号五加上十六。 好，然后去求它的体积，那么求体积的话，我们要去求高，那根据这里的直角三角形关系，大家看这里 poe 是 不是构成了直角三角形，所以可不可以根据勾股定律去求解？ 那这里是二倍根号五， o e 的 长度应该是底面边乘一半吧，对不对？它是个矩形嘛，啊，它是个正方形嘛，所以呢？底面变成了一半， o e 应该等于二吧， 所以这条边是不应该是二倍根号五的平方减去二的平方，对吧？所以它应该是多少？ 应该是，这里是二倍根号五的平方，应该是四乘五等于二十二十，减去它 是不等于十六，所以斜，所以这个直角边这个高的平方等于十六，那高就应该等于四了，对不对？所以 p o 的 平方等于十六，那么 p o 等于四，所以体积应该是三分之一的底乘以高啊，所以答案等于三分之六十四啊， 所以这道题就是一个非常典型的锥体的应用的问题啊。好，接下来我们介绍柱体啊，圆柱体，那圆柱体的话，它是一个旋转啊，对不对？可以看成绕一条弧线旋转形成的旋转体啊，那么圆柱体的话，我们首先要知道的是它的 底面，这个没问题啊，平行于轴的线，我们称作母线啊，圆柱的母线，平行于这条轴的线，就这条线我们叫做圆柱的母线啊，比如说 a a 一 就是它的母线， 好，母线绕这个轴旋转一周所得的这个面叫圆柱的侧面啊，对吧？好，两个圆心之间距离的高叫做高，对吧？长度为高，所以呢，圆柱我们可以叫做 o o e 啊，用两个 圆心所连线表达这个圆柱，所以这是圆柱体的一个特点啊。 那么圆柱体我们来看下性质，第一个，两个底面的半径相等，而且是平行的圆啊，平面平行于底面的横截面与底面的相同的圆啊，都是相同的吧，对不对？然后母线平行啊，且相等，都等于它的圆柱的高， 所以我们要求圆柱的高，你知道母线它就是高。第三个，过轴的结面是长为圆柱的高，然后宽为底面的矩形。什么意思？这个我们画个图来理解一下。好，这是一个圆柱， 什么叫它的结面？我拿着一把横的大刀切一刀，那么切出来的是中间这个这个矩形， 对吧？所以它是一个长为圆柱的高，宽为底面圆的直径的矩形， 所以这就是它的一个结面的特点啊。好，那圆柱体啊，我们可以怎么样，也可以展开嘛？拿个剪刀，这里一剪一展开，它又形成了一个什么矩形吧，是不是？所以我们通过侧面展开图的关系来去推导它的圆柱体的侧面积、表面积和体积公式。 请看圆柱体的侧面积公式，应该是二 pi r 乘以 h， 怎么理解？二， pi r 是 不是底面的这个圆的周长？我们刚刚棱柱体是不是底面的周长？那圆柱体只不过改了形状而已啊，但是思想是不一样的，所以底面的周长就应该是 圆的周长公式二， pi r 好， 它的高是不是 h， 这里高是不是 h， 所以侧面积我们就写出来了啊。然后是表面积，表面积的话，是不是除了侧面积之外还要加上两个底面圆，所以还要加上两个 pi 二平方啊？ 好，体积公式，底面积乘以高，所以是 pi 二平方乘以高，所以这就是圆柱体的三个表面积，平啊，侧面积，还有这个体积的公式啊， 所以掌握这些公式能够算算对就可以了啊。这一块内容还是我认为比较基础啊，就是主要是你能够把这个，呃几何体的图形的面积啊，求对体积求对就可以了。好，我们来看例题四啊，已知圆柱的底面的直径为六，然后高为十， 我们要去求圆柱的表面结合体积，那我们来通过刚刚的讲解就可以快速把它求出来了啊。先画个示意图。 好，那首先求表面积，把它展开，应该是一个矩形 啊，它是个矩形，矩形的话，它的底它的长应该是圆的，就底面圆的周长嘛，所以应该是派地 高就正好知道高，是吧，所以这就是它的面积啊，所以 s 表 等于 s 的 侧面积加上两倍的 s 底，底面都是圆啊，相同的圆，所以是两个相同的相加嘛，所以是二倍的啊，所以应该等于好侧面积的话，应该是派地。他题目给了直径是六码，所以是六派 乘以十，十是他的这个高，加上二倍的底面的面积，应该是派二平方，直径是六，半径是三，所以是三的平方，那么这里是六十派加上十八派，所以等于七十八派 啊，记得要带单位啊。题目给的是厘米，所以是厘米的平方。好体积公式 v 应该等于底面积乘以高 s 底乘以高 h， 它应该等于好底。面积的话，前面求过了，应该是九派吧，是不是九派 乘上高是十，所以应该等于九十派厘米的立方吧，这里应该是， 是吧，所以这道题啊，这套公式啊，公式没搞错，正确写就可以了啊，所以答案是这个啊，没错，好，这是例题式的学习， 我们继续往下看。锥啊，圆锥体，旋转体可以构成圆锥啊，圆锥，其实我们以前是见过圆柱，圆锥应该是很熟悉的啊，所以呢，这些基本的概念应该很清楚。首先这样的几何体是圆锥啊，绕它旋转，然后有一个顶顶点，对吧？ 啊，这里圆锥有个底面还是一个圆，然后呢，侧面它是一个扇形啊，对不对？好，母线还是一样的，高也是有的，所以这个三角形依旧存在， 对吧？顶点连线，然后呢，与这个底面半径还有这个母线构成三角形依旧存在，它和圆柱是一样的，都有的啊，那对于圆锥来说，我们要认识它性质。第一个平行于底面的结面都是圆啊，我们来画一下 圆锥中平行于底面的结面，这些结面它都是圆啊，是这个意思，高，垂直于底面的圆且过圆心，它的高垂直于底面的圆且过圆心。 o 啊，第三个轴结面是个等腰三角形啊，它的，它的腰就是它的母线长， 对吧？腰就是母线长，高是圆锥的高啊，底边长是底面圆的直径，所以它的轴洁面就这个洁面画出来就这个样子，所以这两个都是母线，对吧？这个长度是底面的直径， 这个轴洁面的高就是它的高啊，所以这就是我们说的这个圆锥的基本性质啊。 好，那圆锥侧面展开，它是一个扇形啊，所以侧面积它是扇形的面积公式啊，那么这里已经给了它是等于二分之一的 cl， 这个 c 它是什么呢？这里的 c 啊，它是这个扇形的弧长啊，扇形的弧长我们可以推导完之后得到它结果应该是 pi r l， 因为这个弧长正好是二 pi r， 对 不对？ c 是 不是等于它的二 pi r， 所以 这里带入进去之后，正好就是 pi r l， 所以 圆锥的侧面积公式就是去求这个扇形的弧长对应的这个扇形弧的面积啊。 好，体积公式我们这里直接给出来啊，它的体积应该等于它的这个对应的圆柱的一的三分之一啊，所以是三分之一的底乘以高，所以棱锥和 棱柱是三分之一的关系，圆锥和圆柱也是三分之一的关系啊，所以是三分之一的底面积乘以高。好，我们来看个例题啊，已知圆锥的轴结面是等边三角形来，轴结面是个等边三角形， 四四四，那要去求它的表面积和体积，那通过这个轴结面，我们是不是可以知道它的母线 是四，然后底面的直径圆的直径 为四，对吧？所以呢，我们是不是要把它打开来写， 求它的表面积是不是套表面积的公式，对吧？是不是应该是 pi r l 加上 pi r 平方，对吧？就是我们把它的圆圈画出来啊？好，它一展开来之后是不是这样子的， 所以这个面积加上底面积就它的表面积啊，所以我们先去求它的底面积，底面积应该是 pi r 平方嘛， r 应该等于二，所以是四 pi， 对 吧？ 好，侧面积应该是 pi r l， 那 这道题的 pi 啊，这道题的 r 是 等于几？ r 是 不应该等于 里面的这个二是不是等于二？然后呢，这个它的母线是不是四，所以呢，是，应该是二乘以四等于八， 对吧，所以答案应该是八派加上四派，所以一共是十二个派啊，那么这是它的表面积好体积公式，它应该是三分之一的底，面积乘以高，所以是三分之一的四派，高度的话应该用勾股定来求吧，是不是这个是四啊？我们重新画一下， 这个是四，那么这里是不是应该是二，这个是四，所以根据勾股定律，它应该是等于二倍根号三吧， 所以它的高度应该是二倍根号三，所以答案应该是三分之八倍的根号三。 pi 的 立方厘米啊，好，这是一个圆锥的立体的应用啊， 好，最后我们来看下球体啊，球体我们是很熟悉的，球体是一个半圆绕着它的直径旋转一周得到的一个球啊，那么球体的话，它的半圆弧，首先呢曲面是一个球面啊，对不对？那球面围成了几个几个球体呢？我们剪成球啊， 其中半圆的对应的这个圆心称为球心啊，那么球心到球面上的任意点的连线，我们叫做球的半径，对吧？那一般来说，我们球啊以圆心为标记，所以呢，圆心为 o 的 球，我们叫球 o 啊， ok， 好， 那球的话，我们可以怎么去理解呢？首先用个平面去结，它的结面都是圆啊，不管你怎么去结都是圆，但是呢，经过球心的结面所折的圆叫大圆 啊，那不，经过这个得到的圆是个小圆，看到没有？如果我们在下面这里结一刀，那么这里形成的圆他不如他的大圆大，对吧？所以这里会构成一个三角形的关系啊， 对吧？小二，大二，大二是球的半径，小二是半径的半径，然后这个 d 是 两个心的距离啊，所以这就是一个图形的示意啊。 好，当我们这个结面不经过球心的时候，它有这样的一个特点啊，就构成了一个三角形的关系，对吧？小二应该等于根号下的大二平方减去 d 的 平方，所以这就是球体的特征啊，我们要认识清楚。 好，那球体的公式我们直接给出来啊，表面积公式是四派二平方，体积公式是三分之四派二派二立方啊，这两个公式大家把它背下来， 嗯，怎么推导你不需要知道啊，背下来啊，以后等你长大了啊，学更高级的数学以后，你就知道他怎么推导了啊。今天我们可能还讲不了，所以呢，你先把这样公式背下来，能够用好就可以了啊。 好，那我们来看一道例题，已知球的一个球结面半径为三，球心与该球结面的距离为四。好，我们来画个矢图， 好，假设这是球的一个结面，他是个小圆，对吧？那球心在这里，他与球鞋面的结面的距离应该是四， 他的半径是三，所以他通过这个时候可以求出他的球的半径，这个球的半径是不是应该是五？ 共五定零吗？三四五，对不对？好，那这个时候求的半径知道，求的表面积和体积是不是都知道？所以这道题很简单啊，所以求出来求的半径是五，所以表面积四派二平方，所以答案是四派乘以二十五等于一百派的平方厘米。 好，体积公式，三分之四派二立方，所以是三分之四派乘以五的立方，所以是三分之五百派立方厘米啊，所以这道题就考到了这个球，它的结面和球的关系啊，通过勾股定律构造出半径的关系。 好，这是例题题的讲解。 ok， 那 本章书我们就讲这么多啊，那我们学习了例题几何，对吧？我们先从空间中的平面，直线的关系出发啊，概念出发，然后得到的是直线直线的位置关系，直线平面的关系，平面平面的关系，然后我们这里面这两个数字里面有八大 判定以及性质定律， 所以这一块是我们的重点，对吧？然后最后我们介绍了简单几何体的一些应用啊，包括像球表面积啊，球体积，对吧？对于棱柱、棱锥、圆柱、圆锥，还有球体的基本应用啊。 好，那我们这里就学完了整个课程的内容啊，感谢同学们观看，再见。

高一的同学们要注意了，立体几何初步是高中几何的入门，想拿高分就要抓准考点，避开坑。今天咱快速梳理一下核心内容。 第一，空间几何体的结构与计算，得认清棱柱、棱锥、圆柱、圆锥这些常见的几何体的特征，比如棱柱上下底面平行且全等。棱锥只有一个底面，重点是表面几何体积， 圆柱侧面积是二 pi r h， 圆锥是 pi r l。 体积公式记牢，底面积乘高，棱锥呢，要多乘一个三分之一，千万不要忘记了。 第二是三式图与直式图。三式图遵循长对正、高、平、齐、宽相等。易错点是俯视图搞反左右直观图用斜二测法，平行于 y 轴的线段长度减半，还原时需加倍，别记反比例。 第三，空间点线面关系。这是重点，需掌握线线平行相交意面，还有线面、面面的位置关系，背熟判定与性质定律。比如线面平行要满足线平行于面内一线，且线在面外。 第四，平行与垂直证明线面平行，常找中位线或平行四边形面面平行呢，需要证明一个面内两条相交线平行于另一个面， 在垂直证明中线面垂直，要证线垂直于面内两条相交线面面垂直，则找一个面内的线垂直于另一个面。 我们再说说经常会踩的坑。一是混淆意面直线和相交直线。意面直线是既不平行也不相交的直线，别把不在同一平面的相交线算进去了。 二是证明时忽略相交条件，比如线面垂直必须找两条相交线，两条平行线可不行。 另外，体积计算的高是垂直底面的距离，不是斜线的长度，画三式图的时候看不见的轮廓线要画虚线，这些细节直接影响得分。 记住这些例题，几何基础题就稳了。关注我，每天分享一个数学提分的小技巧。

好，接下来我们来学习第九章关于立体几何的知识，我们在以前的数学的学习中学习过了几何的内容，对吧？几何图形，那么当时学习的我们基本上都是以平面的图形为主，我们学习过三角形的性质， 学习过四边形啊，特别的四边形，像平行四边形，矩形，菱形，还有正方形等等，梯形这样的一些啊，四边形的性质，我们还学习了圆的图形，对吧？ 那我们接下来学习的这个几何啊，要做一个小小的升级，我们不再是研究平面上的图形，而是研究立体的图形，所以立体的图形。 同学们，好，接下来我们来学习第九章关于立体几何的知识。我们在以前的数学的学习中学习过了几何的内容，对吧？几何图形，那么当时学习的我们基本上都是以平面的图形为主，我们学习过三角形的性质， 学习过四边形啊，特别的四边形，像平行四边形，矩形，菱形，还有正方形等等，梯形这些的一些啊，四边形的性质，我们还学习了圆的图形，对吧？ 那我们接下来学习的这个几何啊，要做一个小小的升级，我们不再是研究平面上的图形，而是研究立体的图形， 所以立体的图形，这个时候我们的很重要的一个元素不再是线和点了，而是面， 而且呢，我们会研究的主要是一些基本的平面，所以立体几何的重要元素，它是有点、线、面三个不同的基础的维度组合起来的，所以呢，我们接下来一起来看一下立体几何的相关知识。 本章书我们首先要认识的是空间中的直线与平面，那么这里重点会引入平面的概念啊，那么接下来就会介绍的是像直线和直线的位置关系，直线和平面在空间中又有什么样的位置关系，以及平面和平面的位置关系。 然后呢，我们会介绍简单的几何体，那么几何体中包括了像我们的圆柱体，锥体，对吧？还有呢棱柱体 啊，以及球体等等这样的一些简单的几何体的性质，那我们会认识它的表面积啊，或者说体积的球法啊， 好，那么这就是我们的整个重难点啊，那重点的话是我们的平面的球解，对吧？这个空间中的平面以及直线直线的位置关系，直线平面的位置关系，以及平面平面的位置关系， 还有我们刚说的像表面积和体积的求法啊。那首先我们先来学习第一小节关于平面啊，首先我们来看一下平面的特征， 我们知道构成空间的基本要素，刚说的点、线、面三个重要的元素，那么在平面几何中我们主要学习点和直线。那么接下来我们认识平面啊， 数学中的平面它是有平，对吧？平面它不是曲面，不是弯曲的，所以呢，它是具有平和无限延展的特征。我们一般来说用小写的希腊字母像，而法 贝塔、伽玛等等这些希腊字母来表示平面，当然我们也可以用多边形的顶点的字母来表示平面，比如说我们可以画一个三角形，那么这个三角形所在的平面我们就可以用它的三个顶点 a、 b、 c 来表示了，对吧？ 或者说我们也可以用四边形 a、 b、 c、 d 啊，它的四个顶点的 a、 b、 c、 d 字母来表示，对吧？当然我们可以简化既作 a、 c 啊，这个对角线也可以表达整个平面的特点，所以这就是一个完整的平面的特征以及它的表示 啊。我们来看完了第一个支点之后，然后我们来看一下啊，点和平面的关系啊， 那么考虑到直线和平面都可以看成无限个点组成的点的集合，哎，这个没问题吧，能理解啊，我们把无数个点组合起来，可以构建出一条直线，当然也可以构成一个平面，所以呢，我们可以有以下的特点啊，当点 p 在 直线 l 或者平面 r 缝内，你看点 p 在 直线 l 或者点 p 在 直线 r 反内的时候，我们可以用集合的这种关系啊，元素和集合的关系是属于和不属于的关系嘛？所以呢，我们可以写 p 属于直线 l 以及 p 属于平面 r 反， 那反过来，如果点它不在直线上，或者说这个点不在平面内，它就表示为不属于，所以此时 p 不 属于 l 以及 p 不 属于 r 反。 所以用这样的一个记号，我们就能够知道点和直线或者说点和平面他们的一个基础的位置关系了。好，这就是一个重要的基本表达啊。 那么接下来我们来学习一下公理啊。啊，公理的话，大家知道它和定力啊，是要有一点点区别的啊，公理是我们认识数学，或者说认识我们这个社会，认识我们这个世界的一个 什么公认的道理，他不需要证明啊，就是说我们是认识这个东西之前，我们首先要承认他的存在，如果你不承认他的存在，那你不要去啊，我们没有办法去讨论后面的东西啊。所以呢，对于我们来说，首先要认识这些东西是必然存在，而且要承认 这些事实，所以呢，我们来看一下在立体几何中的一些重要功力。第一条 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，什么意思？我们来看下图，你看 abc 三点显然不共线嘛，很直观的看到， 所以呢，这个三点构成的这个平面阿尔法，它是有且仅有一个的，所以你找不到第二个平面 经过这三点了啊。当然我们把这句话说的更加的明确，直观一点，可以说不共线的三点可以确定一条平面啊， 所以通过这个图，我们是非常直观的可以认识这一个问题啊，那就是公理一啊，经过不在同一条直线上的三点，尤且只有一个平面啊。好，这是第一个问题， 我们来看公里二，如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 哎，这个怎么去理解呢？我们来看一下，当一条直线上的所有点都在这个平面内的时候，我们称这个直线他就是在这个平面内，对吧？或者说这个平面经过这条直线， 因为直线和平面都是由什么构成的？都是有点构成的，是不是刚说到这个问题，所以直线 m， 它在平面内的所有的这个点啊，这个直线 m 它在平面阿尔法内，所以我们是可以写成 m， 它和阿尔法集合和集合的关系， 对不对？是不是子集的关系啊？对吧？那当这个直线不在平面内的时候，我们就可以记忆做的是 m， 它不是阿尔法的子集， 对吧？所以他并没有公共点啊，那么如图可以看出来这个问题啊，所以呢，这就是一个直线 ab， 那 他两点都在这个平面内，所以这个时候直线上他的所有点啊，都会在这个平面内， 对吧？好，那么点 c 的 话，是直线外的一点，他也可以是这个直线上的啊，也可以是个平面上的，对吧？所以呢，不一定说啊，直线他经过这个平面，或者说平面是经过这个直线，或者说直线属于这个平啊，是这个平面子极 啊，那你不能够说所有点都在平面内，那不在直线上的点就不在这个平面上，不可以，你看这个点 c， 它在这个平面内，但是呢，它是不在这个直线上，所以呢，这个地方大家搞清楚它的逻辑关系啊。 ok 啊，这是第二条公里啊， 那么由公里一和二我们可以得到一些推论，我们来看一下，第一条推论，经过一条直线和直线外的一点，有且仅有一个平面，好，经过一条直线 和直线外的一点，有且仅有一个平面的第一条推论。第二个经过两条相交直线，有且只有一个平面，对吧？来，大家想一下，两条相交直线他们只能构成一个平面 啊，你就想嘛，第一个 l， 一， 它能够确定无数个平面。 l 二，它能够确定无数个平面，但是它们异相交之后，只能够锁定它们公共的一个平面，对吧？所以这个时候平面它有且只有一个啊， 好，第二个，经过两条平行线，有且只有一个平面。哎，这个也是一样的啊，这个道理 哎，两颗平行线，对吧？本来这个第一条直线 l， 它可以有无数个平面 l 一， 第二个直线也可以有无数个平面，但是都要经过这个两条直线，那么此时这个平面没有多的，只有一个啊， 好，这是第二个啊，第三个推论啊，所以我们可以通过公里公里二来得到一些重要的推论啊。 好，来看公里三，如果两个平面有一个公共点，来看一下，我们这个图像中，阿尔法它是一个平面，贝塔它是个平面，那此时有一个公共点，那么它只 有一条，对吧？它们有且只有一条经过该点的公共直线，所以这个直线是不是 l， 对吧？经过该点，那这个点是点 a 吧，是不是？所以呢？我们把这样的直线啊，称作两个平面的交线啊，后面我们会去研究这个交线啊。 所以你来看，当平面阿尔法和平面贝塔相交于直线 l 的 时候，我们可以用数学的集合语言中的什么运算啊？是不是交集的运算？阿尔法和贝塔相交等于 l 来表达这个运算的结果， 所以此时我们就能确定他的关系啊，所以这是第三条重要功力啊。 好，那我们来看一个例子啊，判断下列说法是否正确。首先，第一个，经过三个点，有且只有一个平面， 来，这句话是不是典型的错误？我们的公里一怎么说呢？是经过三个不在同一条直线上的点，对不对？所以这个点它要有限制。大家想，如果我是一条直线 l， 那 么它的上面有三个点， a 点 b、 点 c， 那 这个时候 这三个点都在直线 l 上，它经过的平面是不是有无数个？我是不是可以这么画，对吧？我是不是还可以这么画？ 所以平面它有多少个？是不是有无数个，对吧？你可以绕了这个地方，绕了这个 l， 它直接旋转嘛？大家想是不是相当于是一个杆子，然后呢？这个东西让绕到上面去旋转，所以你可以转出无数个平面出来，所以第一个显然是错误的。 我们来看第二条，如果直线 l 与平面阿尔法有三个公共点啊。直线 l 与阿尔法有三个公共点，那么 l 属于阿尔法 l 是 它的子集，对不对？这个应该没问题啊，有三个公共点了， 对吧？这个没问题啊，所以第二个正确啊，满足公里。第三个，用三角板的一个顶点与桌面接触，我们来看一下啊， 什么意思？假设这里有个桌面，好，这有个三角板，好，这是一个直角三角板吧？假设它是一个，对不对？这是一个直角， 那这个时候它是不是这个意思？就是拿那个三角板的顶点与它接触，那这个时候公共点，假如这个平面阿尔法，这个三角板是 a、 b、 c， 好， 那我就拿 c 点去他接触了，那公共点是不是 c 点？所以两个平面，你看三角板是不是一个平面，然后呢？这个阿尔法是个平面，他说这两个平面只有一个公共点，对，还不是还是不对 啊？只有一个公共点，对还是不对？赶快想，肯定是不对的吧。你想这个平面它具有个什么性？这个平面它具有无限的 延展性吗？所以呢，你这个三角板是我们的一个实物，但是呢，它所在的平面是不是应该是无限的延伸的？所以这个时候是不可以把这个平面补充完整一点，是不应该是这样子的啊？当然这只是一个部分啊， 所以这个平面与它是一个什么？它有几个共点？是不是有无数个共点？它们是不是会有一条交线？这条交线啊？这个点 c， 它是经过它的交线，对不对？所以这条线我们把它称作两个平面的交线， 交线上的点就有无数个，所以呢，它不止一个公共点，所以第三句话也是错误的。好，我们来看第四句话，经过直线 m 和 a 和一个点 a 的 平面有且只有一个。 好，那如果是一个直线 l， 对 吧？好，平面外的一点啊，直线外的一点 a， 那 这个好像没问题哦，是不是有且只有一个， 对吧？经过直线 m 和点 a 的 平面有且只有一个，这么说是没问题的。但是我们有一个非常特例的情况，当我的 a 点刚好在直线 l 上， 这个时候是不是又出问题了？他的平面是不是又可以画无数个，对不对？你可以打横着画，也可以打竖着画。所以呢，第四个也是不对的啊，这个点 a 不 能在 点 a， 不 能在平啊，在这个直线上，所以他只有在平面啊，在这个直线外的时候，他们的平面有且只有一个啊，所以第四点是错误的，所以答案应该是正确啊，错误，正确，错误，错误。 ok， 好， 那么这是例题啊，也是我们对于平面的基本概念的一道例题的讲解啊。那么我们第一小节学到这里，同学们再见。

高考数学，你要想突破一百二，有三个题不能丢分，争取一分都不能丢。这三个题分别是三角函数于几，三角形， 第二个第几，几何，第三个概率统计。这三个总体考的难度没有那么大。我前面呢，已经把 咱们全国各地的三角函数做一个统一的解读，立体几何呢，也做一个统一解读。这两个题啊，全国考的相似度还是比较大，相互的参照哈。下面几天呢，我将给大家详细的拆解概率统计。概率统计啊，就得 按省份来准备了，因为各个地方差异特别大，北京每年必考，但只考概率统计，涉及比较少。全国卷统计概率穿插的高，一卷二卷都是这样，天津卷不考答题，上海卷时考时不考，所以不太一样哈。希望大家关注 我后续对概率的一个解读。概率和统计太容易拿分了，你为什么统计概率题不会做呀？你当初对知识点理解没有那么透彻，概率统计我给大家讲 不好，入门好深入。我说没有难题你可能会反驳我哈，我跟你讲，没有一个难题，所有题都是你看不透那个知识点，后续我会分省给大家去解读统计和概率这将近二十分的高考卷。

哈喽，朋友你好，我是让数学思路变得更加清晰的大鹏老师。今天这个视频啊，我们来学习一下二零二四年新高考一卷的第十七题，我们来读题说，如图，在一个四棱柱 p 杠 a、 b、 c、 d 中， p a 垂直于底面， a、 b， c、 d。 好， 这个侧棱和底面是垂直的，我们标一下， 然后告诉我们， pa 等于 ac 等于二啊，这个长度是二， ac 长度也为二， bc 是 一， ab 是 根号三，这个长度是一，这个长度是根号三。第一问，如果已知 ad 和 pb 是 垂直的啊，这个边 和 pb 和它是垂直的，让我们来证明 ad 和这个面是满足线面平行的。那么首先我们来回顾一下线面平行的判定定律， 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线两者平行，则线面平行。所以线面平行的判定主要是找什么 线线平行。而我们又说过，直观图的画法呢，是利用斜二侧画法，那么斜二侧的画法中有一条要求就是平行关系不改变。所以给大家强调一下， 平行关系啊，是可以用肉眼观察出来的，但是垂直是不可以的。你来看这个图， a、 d 这个线和 p、 b、 c 这个面里哪条线看起来像平行？ b、 c 对 吧？那就是给你一个方向，你看看 a、 d 和 b、 c 是 否平行，你要证明一下。 同时还要强调一下，由于现在新高考呢，大体量变少了，每道题的分值变高了，所以在书写的过程中一定要注意规范书写， 避免因为步骤书写不规范导致的丢分。好吧，那我们来看一下这个题的第一问，该怎么来做啊？那核心知识点很明显了，线面平行的判断题里吗？难度不大，两颗形的水平。那么首先注意啊，这个题告诉我了， a d 和 p b 是 垂直的， 这个和这个垂直。那我还知道 ad 和谁垂直， ad 是 不和 pa 垂直，为什么？因为 pa 垂直于底面，所以 pa 垂直于底面就能任何一条线，因此 pa 和 ad 垂直。好，我们来写一下，因为 pa 垂直于面 abcd， 并且 ad 包含于面 a， b， c d， 所以 我们可以得到第一件事就是 pa 和 ad 两者垂直，对吧？ pa 和 ad 垂直。好，那你看，那如果现在我们已知了 pa 和 ad 垂直， a d 还和谁垂直？还和 p b 垂直吧，那 a d 是 不是垂直于 p a b 这个面啊？因为它垂直面里两条相交直线，对不对？所以我们来接着写。此时呢，因为 a d 垂直， p a， a d 还垂直 p b， 然后呢， p a 交 p b 与点 p， 那 么此时三推一，我们可以得到 a d 垂直于面 p a b， 对 吧？好，我们现在得到了 a d 和 p a b 面垂直，那么得到这个垂直关系再往下怎么办呢？ 那我们是不是可以得到了 a d 垂直于 ab 啊，对吧？ a d 垂直于 p a b 这个面是不是垂直面里任何一条线，对吧？所以因为 a d 垂直面 p a b， 并且 ab 包含一面 p a b。 二推一，可以得到 a d 垂直于 a b。 好，他俩垂直。那我们还知道谁和谁垂直？注意啊，这个边长关系太明显了，一比二，比根号三老大，对吧？所以是不满足勾股，勾股定律啊，又因为 ab 方 加 bc 方等于 ac 方，所以 ab 和 bc 还是垂直的。 那你看吧， ad 和 ab 垂直， bc 和 ab 垂直，则 ad 平行， bc 很 重要。那你看，你不是找到 ad 和 bc 平行了吗？最后下结论吧，对吧？三、推一，因为 ad 平行 bc， bc 包含一面 pbc， ad 不 包含一面 pbc， 所以 推出 ad 平行一面 p b c。 哎，这个题的第一问轻松解决，对吧？所以你要明白啊，证明线面平行其实核心就是找线线平行，你找到线线平行了，哎，这就不远了，对吧？好， 这题第一问轻松解决。那么再往下我们来看一下本题第二问，第二问，说什么呀？换了，对吧？已知 a， d 和 d， c 垂直了，这个角是直角 啊， a， d 和 d， c 垂直，并且根本二面角说 a 杠 c p 杠 d 的 正弦值是七分之根号四上，那就是 acp 这个面 和 d c p 这个面，它俩所形成的二面角是七分之根号四。那么求 ad 的 长好，那还是一样，我们先把已知的边标一下， pa 已知， ac 已知， 然后 bc 是 一， ab 根号三。那所以在这里面你发现 ad 和 dc 的 边我是不知道的，但是底面直角我找到了，这个是个垂直关系，对吧？那这个题第二个呢？我们有三种做法，第一种做法，定义法啊，我们把这二面角的平面角做出来，可以，第二个 用面积来表达二面角的对称值也可以，对吧？投影面积比上圆面积也可以。第三个就间隙了。 那这个题其实用定义法是比较简单的啊，但是间隙呢，也不是很难，但是很多孩子考试时候会选择用间隙吗？所以我们用间隙来给大家去讲，好吧，那这个题的间隙不难吧，底面已经有直角了，然后 p a 还跟底面垂直，对吧？所以这个题除去底面之外的一个点，我们就是 p 点吗？那 p 点坐标 横纵 x 方向和 y 方向坐标跟 a 是 一致的，然后这方向是二嘛，对吧？所以此时我们可以以 d 为原点， d， c， d， a 所在直线分别为 x 轴、 y 轴，然后竖的方向设为 z 轴，对吧？我们来写下过程啊。那么此时我们来写 e t 得 e， t 得建立空间，直角坐标系 d 杠 x y， z 入图所示。 好，那你看，如果说你系完接完之后，这个题，我刚才我说了你有两个边，你都不知道啊，那不知道怎么办？不知道，我们设呗。此时我们可以设 d， a 的 长度是 t， dc 的 长度呢？为 s， 可以 吧？我们来写一下设 d， a 的 长度是 t， dc 的 长度是 s， 那 你看角 a， d， c 是 九十度吧，那两个直角边一个是 t， 一个是 s， 斜边是二啊，满足勾股定律吧，则什么 t 方加 s 方等于四， 对吧？ 好，那再往下二面角得用起来啊。那二面怎么用？分别求两个面的法向量。那你求法向量之前怎么办？你得知道面里两条已知向量，那你想知道已知向量怎么办？你得知道这个面里的点，对不对？所以我们先一个个来啊。我们假设先求这个 a， p， c 这个面吧，所以我们设 面 p a， c 的 法向量 向量 m 等于 x 一 y 一 z。 好 了，那你这个设完之后，你是把点标一下呀？ a 点， p 点和 c 点，对吧？那一个来先标 c 点吧， 这个长度是 s 啊，所以 c 点落在 x 轴，那 c 点坐标就是 s 零零，然后 a 点落在 y 轴，所以 a 点坐标 零 t 零 p 点坐标零 t 二。 好了，标完了，那这三个点标完之后再往下干嘛呀？要表示 a c p 面里的两条已知向量，来写一下。那我们设吧两个向量，一个是 ap 向量，一个是 ac 向量， 那 ap 项链就是 p 点减 a 点呗，就应该是零零二，对吧？ 还有谁？ a c 项链， a c 项链是什么？ c 点减 a 点吗？ s 负 t 零 s 负 t 零。好，写完了，那再往下我们就常规方法去写吧，对吧？那你反向量得跟这两个向量垂直数量就等于零，列两方程，对吧？好，来写，则此时 向量 m， 垂直向量 ap， 向量 m， 垂直向量 ac， 可以 得到向量 m 和向量 ap 的 数量积等于零，向量 m 和 ac 向量的数量积也等于零。然后列方程吧，上面那个应该是二倍的 c 一 等于零，下面呢，就是 x s 倍的 x 一 减 t 倍的 y 一 等于零，然后就可以得到向量 m， 那 很明显，向量 m 的 这方向肯定是零了。二，这一等于零嘛，对吧？那这是啥意思？ s x 一 等于 t 一， 让他是 t 是 不就可以了？ 所以我们这 m 坐标是是啥？ ts 零好了，我们写完一个，对吧？平面 abc 反向量算完了，那再算另外一个平那个平面吧， dpc， 对 吧？ dpc 其实更好算来写吧。设 平面 dcp 的 反向量 向量 n x 二 y 二 z 二。好了，那么你看 dcp 去了两个向量吧， d p 向量和 d c 向量就可以了呗。因为这两个向量起点都是坐标原点，所以向量中点坐标即为向量坐标，对吧？来写 d c 啊 s 逗号零，逗号零，对吧？ d c c 点坐标吧， d p d p 向量零 t 二。 好了，两个向量写完了，那再往下还是一样的，反向量和这两项垂直数量低等于零列方程，对吧？好，套路，都是一样的来直接写就可以了。则 向量 n 垂直于 d c 向量，向量垂直于 dp 向量推出 s 向量和它的向量积也等于零啊， 然后向量和 d p 的 向量积也等于零啊。然后写吧， s x 二等于零， t y 二加上 二 z 二也得零。然后写向量 n 的 坐标， 首先 s x 二等于零，那么横坐标 x 方向就是零，对吧？那 t y 二等于负二倍的 z 二，我们让 y 二是二，让 z 二是负 t 是 不可以，所以乘积都是 二 t 嘛，这乘以到二 t 好 了。两个方程写完了，那两个方程写完之后还怎么办？建立方程嘛，我们知道正弦值嘛，那正弦值是不可以求余弦值来写？设 二面角， a 杠 c p 杠 d 的 大小是 sine， 因为 sine sine 七分之根号四十二，所以 cosine sine 的 绝对值就等于根号下 e 减去 sine sine 的 方。这我就不算了啊，七分之根号七。 那再往下就列方程吧，则 cosine sine 的 绝对值就应该等于什么？上面是数量积加绝对值吧。 向量 m， 向量积比上 m 的 摩擦乘以 n 的 摩擦，完事了，对吧？那此时的分子是啥呢？ 这俩互算一下吧，二 s 吧，分子是二 s 分 母呢？ 根号下 t 方加 s 方乘以一个。什么？根号下四加 t 方， 但是注意， t 方加 s 方是谁啊？是四，在这写着呢，前面有的，所以这块是四 k 根号，四 k 根号是几二？二和二上面是不是约掉了，那它就是谁， s 比上根号下 四加 t 方等于谁？七分之根号七，那化简吧。 七 s 等于根号加二十八加七 t 方，根号约掉，这边变四十九， s 方约掉个七，这没了，这剩四，这剩个七，对吧？则 t 方加四 等于七 s 方，对吧？ s 方又是谁啊？四减 t 方， t 方加四等于七倍的四减 t 方， 所以左边是八 t 方，右边是二十八，二二二十四，所以 t 方等于三， 因此解得 t 根号三 a d 长以为根号三这个题目轻松解决，对吧？所以你看这个题如果用空间向量来做的话，计算量也没有很大， 对吧？你把两个面反向量一算啊，然后呢？通过正弦值求得余弦值，列方程解出这个 t 的 参数值就可以了，因为 t 方加 s 方等于四，可以消掉一个变量。 ok， 好 的，我们来看一下本题给大家拓展的知识点是什么？那就是法向量的速算技巧。如果你能掌握法向量的速算技巧，你在算这个题时，你的速度会非常快， 因为这个题要算两次法向量，你用技巧去算，能够帮你节约双倍的时间。好吧，那把这技巧交给各位啊。我们说法向量在算的时候呢，核心就是在平面内要找到两条已知向量，法向量跟这两个向量垂直， 对吧？然后列两个方程，设其中一个参数为一个特殊值，然后解的这个反向量的值就可以了，因为反向量不止一条嘛。那现在我们假设平面内给了两条向量，一个向量坐标是一、二三，另外一个向量坐标三、四、五，这两个向量是平面内的两条向量，我们想求这个平面的反向量，怎么办？ 就三句话，第一句话，向量上下写两遍，第二句话，先捺后撇再相减。给大家解一下什么意思？ 第一句，项链上下写两遍，你这不俩项链吗？这个项链写两边，这个项链写两边，分别写在上和下，那么注意了， 谁写上谁写下，无所谓，对吧？你看，一二三，一二三写两遍，三四五，三四五写两遍，你把三四五写上面啊，三四五，三四五，一二三一二三，可不可以一样可以的，谁写上谁写下无所谓，但总之你要写两遍，上下写两遍了， 首尾去掉留中间。什么意思？把第一列和最后一列给我干掉，不管第一列和最后一列长成啥样，没有了，没有了啊，直接划掉，就看中间这 八个数。先捺后撇再相减。啥意思？我们都知道这是撇，这是捺，对吧？捺是啥呢？就先算他俩，再算他俩交叉相乘，明白了吧？先捺后撇，就是先算捺的这个方向，再算撇的这个方向， 然后再相减，得到就是这个维度来看吧。所以此时反向量第一个方向的坐标应该是啥？二乘五减去三乘四， 第二个方向呢？ y 方向呢？一乘五减去三乘三，你看啊，不说错了，三乘三，乘一减五啊，因为先拿后撇嘛，第三个方向，一乘四减去二乘三， a 乘四减二乘三，所以这个反向量就是负二四负二，轻松解决，对吧？所以用这个技巧来算前面的反向量，他会更快啊，算前面的会更快。好吧，好了，那以上呢，就是本题给大家讲讲了所有内容了，感谢同学的观看，我们下个视频再见。

我们高考的地铁几何啊，呈现了三个特别大的规律，嗯，未来三年的高考的高中生一定要注意哈，地铁几何原先不是一个特别难的题， 是可以说是送分的题哈，但是近几年考试的趋势呢，呈现了三大规律，让你得分不是那么容易得了哈。第一个点，大家注意哈啊，地铁几何呈现一个越来越难的趋势， 因为这些几何本身是用代数来解几何，它几何特征有时候不好找，特别是全国卷，你要从二零二一二二二三二四二五这么做过来，你会发现它的几何特点越来越难代数化。 所以大家还要小心哈，不要只把地铁几何当成一个套路题，它的几何关系特别重要，特别是近三年大家高考的同学一定要深挖几何关系。第二点，毫无疑问啊，不用怀疑，地铁几何一定是可以间系的， 所以很多同学就特别高三，特别纠结，老师，我几何法不太行，我怎么办呀？高三你就不用纠结了，你就直接全部间系就完了。 高一马上高一下就要学了，高二呢啊，已经学完了对吧？高三正在复习，我觉得高一高二你们可以去 练一下几何法，练几何法的目的不是希望你在考场上用几何法不好想，是希望你能够更好的发现几何特征，用几何来促咱们的坐标系的解法。第二点哈，第三点， 高考越来越在这个题上考察计算，因为咱们高中没有纯计算，你要说纯计算啊，就在这个题计算，这样的计算的 难度不大，但是很复杂，很容易出错，所以一定要用我说的三步分离，先把所有的坐标第一问，第二问，第三问都在图上标好，统一算坐标，然后再统一算哈。 所以高考这个立体几何这个题啊，这个命题知识我给你解读完了哈，我希望大家还没学的，正在学的，在复习的，一定要从这三个维度去认真复盘立体几何。第一个，立体几何呈现越来越难，不是那么容易打分， 不是一个纯套路题，一定要深挖几何特征。有点像解析几何了是吧，他本来就是解析几何嘛，是吧。第二点呢， 要注意，呃，高三强化间隙，别想着就间隙就行了。高一高二学的时候呢，你可以练练几何法，用几何来促进你间隙。第三个呢，这个题一定要学会三步分离，希望能够启发到各位高中生。

眼睛立体几何也能压轴心，想出题能不行吗？这是一道水题，但是考场上手已经算废，最后考生在考场上会感叹，原来小丑是自己。我们再来讲一下，这是一道立体几何， 只要质量很高的，计算量也很大的一个压轴题，是昨天才考的二零幺六成都一镇的十八题。 前两位嘛，很简单，也是非常常规的，按照题目看上去，第三位也是很常规，但是往下算，你才会发现这个题不是那么想的简单，甚至 考场上考生很少有做出来的。我们就来看一下是什么题目。在菱形 a、 b、 c、 d 中，将三角形 a、 c、 d 翻折至三角形 a、 c、 e 连接 b， e、 d， e 就 成四棱锥 e a、 b c d e a， b c、 d。 要证明线面平行，只需要证明线线平行啊，很明显 a、 d 平行， a、 b、 c 的。 所以第一问基本上解决了，就怎么规范答题对吧？第一问，怎么规范答题？自己写不会去看参考答案，这 主页群或者我们数学复制群都发了电子版的，自己去看规则。我重点讲的是第三位，而第二位证明平面，证明面面垂直，也要转换成证明线面垂直，我们来看一下，而根据反折的不变线，比如这个取一个 o 点连接它证明的是 ace 垂直于 b、 d、 e， 对 吧？只要是菱形，马上想到对角线互相垂直平分，说明这很明显就有个 a、 o 垂直于 b、 o 而反折的不变线 a、 o 是 垂直于 o、 d 的， 所以 a、 o 垂直于 o、 e。 搞定，是不是就可以证明了 a、 o 垂直于平面， b、 d， a、 c 在 这个面上又垂直了？同样的 规范书写自己去写了，我们是不是就证明了线面垂直了？好，所以这第二问也解决了，规范书写自己去看参考答案第二问看参考答案 第三位，哎，也是很常见的，这。而第二位是我们证明了线面垂直了，就相当于是 a、 o 垂直于这个面，平面 b， d， e， 所以 要间隙，只需要在这个面上找一个直角就行了。而 a、 o 垂直于 o、 b 的， 我们很明显这是 x 走， 这个是 y 轴，这个垂直拉上来，这个是 z 轴， a 间隙没问题。这也是很多考生的想法，但是这个我们往下做这个就会发现并不是那么简单。看好了，继续往下， 只要若 ab 垂直于 a e， ab 垂直于 a e， 销量可以写，数量就为零， ab 等于根号，我们不妨设这个为 a， 这个为 b， 对吧？在四棱锥一， a， b， c， d 的 体积不大于三分之一，与这个高有关了。求平面 a、 c、 e 与平面 a、 d、 e 夹角的余弦值的最大值。好，我们就开始来进系三、首先由二只 a、 o 垂直于平面，平面 b、 d、 e 顾客建立，我们在先描述一下，在顾客 以顾客以以什么为 x 轴， o a 向量为 x 轴，然后或者 o a 向量的正方向 o， b 向量，然后还有我们这个标一个字母，我们再标一个 h 嘛，这是做 o h， 我 们先在上面做做 o， h 垂直于平面，下面这个面是 abc， 对吧？然后我们在前面描述了做，这就是 o， a， o， b， o、 h 向量分别为 x、 y、 z 正方向 建立如图所示的空间直角坐标系。建立如图所示的空间直角坐标系，空间直角 坐标系，对吧？这就变成了 o x， y z 诶，今晚系没问题，开始来设点啦。设 a 点就是 a 零零， b 点就是零 b 零，对吧？这个 e 点不知道，设 e 点为， 我看一下，这就是因为这一点，在 y z 面上 x 还是等于零的，比如这个 t， 这个记为 h， 其中 h 肯定要大于零。现在 t 不知道我们从图像是看不出在左边还是右边的，我们不要盲目的设 t 大 于零，我们现在不知道 其中 h 大 于零是不是这儿射出来了，然后我们这儿写，因为 a、 b 等于根号，就推出 a 方加 b 方等于二这一个关键信息，把它标上，一会儿可能用到，是吧？ a 方加 b 方等于二了，然后这个三零锥的四零锥的体积不大于三分之一，也可以写这些是抓分列。然后还有 a、 b 垂直 a， e， 我 们先写这个嘛，所以咱把 a b， a、 e 出来了，数好 a、 b 相呢，就变成了负 a， b 零， a， e 相呢，就等于负 a t h。 你 看这个题，难点就是现在设的参数很多， 参数很多，就考生就会迷茫，迷茫好，我们找。因为 a、 b 垂直于 a、 e， 就 推出这对应相乘的和 a 方加上 b t 等于零，这是不是又得到一个式子啊？ 个四则我们等会儿肯定要用到的，所以我们只要得到它。但很多考生翻译到着，哎，就开始好，还有个体积嘛，我们只要数好四零锥， 锥子还是没写慢立 e， a， b， c， d 的 体积为 等于三分之一 s 四边形，我们来看 s 菱形，我们再写菱形， s 菱形 a， b， c， d 再乘以高，高就是 e 的 这个重坐标， 横坐标，重坐标 z 坐标再乘以 h， 所以 再代减就是三分之一，菱形的面积就是二分之一乘以 a 乘以 b， 乘以四，四个了嘛，就 就是对角线乘积的一半，或者我们就是二分之二， a 乘以二， b 再乘以 h， 这样就化进就变成了三分之二 a、 b h， 对 吧？好，因为为小于等于三分之一，就推出二 a、 b h 小 于等于 e， 则有得的一个条件，我们把它圈上，这些可能后面都要用到，也是我们的抓分点，能写多少先写多少。 好，没有计算一下现在是不是完了，但很多同学倒折就会漏东西，在隐藏了一个东西，你没有发现啊，菱形翻折的不变形，这个 o e 是 不等于 o d 了，你没有翻译出来，所以这个点就是可能会漏掉的，如果漏掉着，你肯定考场上 做不出来，对吧？漏翻译漏的条件就是，而 o e 等于 o d 等于 b， 所以 就得到 e， o e 就是 零的平方就等于零， t 方加上 h 方等于 e， 是 不是得到啊？等于 b 方 就得到这个条件。这就是我们的第四个狮子，但这个狮子为了因为我们现在参数很多，这就相当于我们有个三角换元法，如果只要你想到三角换元法，写后面写起来稍微顺色，所以分顺理在这能不能想到三角换元 还可以顺利做下去。但如果常规往下写，就后面会大部分人会卡住，而常规如果不换圆不换圆，则后面会卡住，卡住很多考生， 是不是很多考生啦？所以我们就设三角换圆，顾客设 库克，设 t 等于必背。我们这儿是塞，可省略塞它嘛，必背可省略塞它 h 就 等于必背，塞， 塞它是不必背，塞塞它，只要换了圆。下面我们就开始往下写，就这个条件，如果你翻译不出来，这是非常重要的。很多考生这都没翻译出来，这是非常重要的，很多考生这都没翻译出来，就会消远，消不了。常说很多好，下面这儿要写 a c e， 就 要写 a e 和 c e。 看一下 a c e 就是 a o e 嘛。所以我们写 o a 向量和 o e 向量， 要求法向量，我们写 o a 向量，就是我们刚刚写的 a 零零， o e 向量就等于负 a o e 向量往下 e 零没有飞，就是零 t h， 对 吧？我们要设法向量设平列，这个是 o a e 的 一个法向量， 一个法向量 m 相等于 x e y e z e， 所以 我们就套路。所以 o a 向量乘以 m 向量 等于零，这个是 o e 向量乘以 m 向量等于零，就推出数量就为零了，对吧？我们只要稍微拿下点，只要占到线了，那么只要数量就为零。其实交叉赋值法这代点就变成了 a x 一 等于零了嘛？ a 不 等于零，就推出 x 一 等于零。下面其实交叉赋值法我们写的话，大题也写下 y t y e 加上 h， z e 等于零。交叉赋值，我们只需要令 令 y e 则就等于 h， 就 可以推出 m 向量就等于零， h 则是移过去负 t， 这叫交叉负值法，对吧？当然你用其他套路也可以 好得到一个的反向量，我们再来求另外一个的反向量，另外一个的反向量是平面 a d e 好 a d e， 我 们要找 d 的 坐标，我们就写 d 的 坐标，而 d 的 坐标是零，负 b 零，所以 d a 向量就等于这个是 a a b 零了嘛。还有我们这个是 a e 向量，我们刚刚写过的，再挪一下， a e a e 负 a t h a e 向量等于负 a t h。 同样的设法向量设 平面，这个是 d a e 的 一个法向量， n 向量等于 x r y r z r 则就可以写了。然则是 d a 向量乘以 n 向量，数量就为零， a e 向量乘以 n 向量数量就为零。就推出同样交叉赋值吧。这是不是一个 b， 一个负 a， 那 么我们等会儿可以写 ax 二加上 xy 二加上 h z 二等于零，对吧？交叉赋值我们在另，这个是 x 二等于 b 就 可以推出，但咱们要 等会要优化，因为这下面复杂了嘛。我们在表格纸上，先在表格纸上 x 二等于 b， 这代减就是 x 二等于 b， y 就 等于负 a。 带入第三个次序，就是负 ab 减去 a t， 对吧？在负 a b 加上 h z l 等于零，移过去 h z l 就 等于 h z l 就 等于正的了嘛。除过去 h 分 之 a 倍 b 加 t， 所以 咱就得到 n 向量，就等于这个变成了 b 负 a， h 分 之 a 倍， b 加 t。 你 看这个参数很多，所以为什么前面要换元，这是常规操作，下面我们就来换元，把这些向量优化，这就是三角换元的好处，其实就是简化计算量， 简化计算量，这就是三角换元这的操作，三角换 元，减化计算量。所以我们咱就来看一下 m h 是 啥？我们刚刚试了， h 是 必备剩余 c 它，所以咱优化为咱就可以 m 向量，我们写出来就是零，必备塞盈 c 塔，然后这个 t 必被扩展， c 塔就是负必被扩展 c 塔。你看，同时出一个 b， 就 可以得到 m 向量，等于零塞盈 c 塔，这就是负的 函数形式。随着优化的过程，草稿纸上这就我们三角换元，这样我们就可以如果直接用三角换元写下去，咱就得到令 y e 等于塞盈塞特，就可以推出 m 向量，就等于零塞盈塞特负的 函数形式。这就草稿纸上的，对吧？草稿纸上，你看是不是三角换元得到它了？同样的，下面这个 n 项呢？在草稿纸上， 草稿纸上这个 b 还是这个照写 b 负 a， 对 吧？但是这个乘以 h， 说明咱同样乘以 h 就是 b h， h 是 b 倍乘以 c 它，所以这 b 方乘以 c， 它减负 ab 乘以 c 它，然后这就变成 a 倍 b 加上必背括号塞他，对吧？同时出一个 b， 就 变成必背塞赢塞他，负 a 背塞赢塞他，然后再就变成 a 背 e 加括号塞他。你看，这就有优化的过程，所以第二个写的时候，这就我们优化了，就推出我们这就复杂令， 这个是 x， r 等于 b 倍赛赢 c， 它就可以推出 n 向量等于 b 倍赛赢 c， 它负 a 倍赛赢 c， 然 a 乘以一加 a 乘以 e 加 cosine sine 是 不是得到它了？好，得到它，我们又继续往下，继续往下，就是射它的二面角了吧？要是我们问什么射什么射平面 a， c， e 与平面 a d， e 的 夹角。射平面 a， c， e 与平面 a d， e 的 夹角 为哈法则，括号音哈法就等于括号音 m 向量和 n 向量，它两个法向量的夹角的绝对值套出来就套公式，就变成了 m 的 模和 n 向量的模， m n 数向量数量级的绝对值，对吧？你看我们就可以简化很多了，所以再代减就等于 很长的，就等于 m n 向量的模， c 方加括号，这就为一，你看是不是就没了？这就相当于少一些参数。下面呢？ m n 的 数量级零乘，它没了，这都有负的，负的负，负得正，就可以写成 a 倍赛盈 c 塔， a 倍乘以平方 cot， 对 吧？然后再减去看一下，则乘以 cot， 则是零乘以 cot。 负 cos 它乘以它 a 倍乘以平方 cot 则没问题。然它乘以它是 a 倍 cosine cot， 再加上这 a 倍 cosine 平方 c， 它，对吧？乘开 a 倍 cosine 平方 c， 它这移过来， a 倍乘以 c， 它乘以 a 倍 cosine c， 它这化简就刚好是 a 了嘛？这就刚好是 a， 提出 a 来，就是 e 加 cosine c， 它，所以刚好写成 a 倍 e 加 ctrl c， 它是吧？ a 背一加 ctrl c， 它下面还要算这个的模，我们再算一下就行了，这样就变成你看，而且我们找，很巧的是，这个和这个是不一样了，说明咱们等会写出来就变成了 b 背，我们先不换颜色。 b 方乘以赛盈平方 c 塔加上 a 方乘以赛盈平方 c 塔再加上 a 方乘以 e 加上括号乘以平方 e 加这个平方。在外面 括号乘以 c 塔的平方。看到这了，所以这个整体除去啊，意味着这个和这个余没点到，这个和这个其实是一样的，我们就整体除下来，这就是计算 一个小积啊。上面就变成一了，下面这就变成这，刚好可以写成 a 方加 b 方乘以 c 加 c 它，而 a 方加 b 方就是二。我们找前面写过的吗？跑哪去了？找 a 方加 b 方等于二，所以上面就刚好可以写成 二倍赛赢平方， c 除以 a 方乘以一加上括号乘以 c 的 平方是不再加上一了。好，划到这一步，我们下面就开始来操作， 就根号下，这么我们找你看，这是一加括号乘以 c 的， 而 c 方是不是一减括号这平方差，这又要想到平方差，所以上面就是二倍 一减括号一加括号乘以一减括号一加括号约掉个，就变成一减括号乘以 c 的 分子， a 方乘以一加上括号乘以 c 的， 再加一 分之一。所以你看放缩是不是得到这个词了，到这一步，我们则已经现在则直接往下算，不行了，直接往下， 这是受阻，我们就要回来看一下还有什么条件没用到，说明咱就要反思看好了，我们找这条件，这个条件首先这个 l a b h 小 一点， e 没用到，还有一个数量级为零，就是这个条件，我们没有充分用到它，对吧？没有充分用到它，我们就带进来看得到什么，所以我们就把它补充上。这个我们 先不写啊，这儿就可以推出咱三角换元了嘛，代点就变成了 a 方，加上 b， t 就 变成了这个英文没三角换元再找我们或者写到后面，所以这儿就变成了 a 方加上 b 方乘以括号乘以负的 b 方分之 a 方，而 a 方又可以消掉， b 方又可以消掉，我们目标干 在剩不剩 a 方了，我们只要就消 b 方，所以根据目标来的，只要我们想的是可以消 a 方，可以消 b 方，但我们只要消的是 b 方，就变成了负的是负 b 方。我看一下， b 方是二减 a 方，负 b 方就是 a 方减二分之 a 方， a 方减二分之 a 方。是不是 a 方减二分之 a 方现在得到它了嘛？好，然得到它之后呢？我们又继续，这儿是不是有个括号 c 啦，有个省 c 啦，就得到它整体代言了？所以这儿就可以等于 根号下二倍 a 方乘以一，加上括号减二分之 a 方， a 方减二分之 a 方，再乘以二倍一减去 a 方减二分之 a 方，再加 一，对吧？一是在内部的分之一。好，我们就可以往下化减了，这样就变成了根号下，同时乘个 a 方减二，前面 a 方分之二的二， a 方减二，提出来二倍 a 方减一， 那上面这个就变成 a 方减二，减 a 方就是负二，对吧？负二再加上一分之一，对吧？我们就把它化简下，这就可以直接约掉个它了。这个符号调过头来好写，就变成了根号下 这个一照写。或者我们先把它写下来嘛，只要等会再约，再就变成 a 方乘以一减 a 方分之 二，再加上一分之一，对吧？ a 方乘以一，减 a 方分之二，再加一。所以下面我们的目标你看，转换成 a 方于一就点错了，是不是要分析 a 方乘以一减 a 方的最值，所以还有哪个条件没用到？还有我们这二 a、 b、 h 小 于等于一 没用到，对吧？二， a、 b、 h 小 于等于一没用到。而且我们只要也说明一下，方程 c 大 的绝对值小于等于一的，只要是可以推出 a 四小于 b 的， 它是正确了吗？ a 四小于 b 的， 然后只要 a 小 于 b 的 话，那么我们只要肯定可以得到 a 四小于 b， 我 看一下， a 小 于 b， 只要就得到 a 方小于 b 方，我们要推 a 的 值， b 方等于二减 a 方， 所以我们稍微退一下， b 方等于二减， a 方要大于，这是 b 方大于 a 方，就推出 a 方小于一的，所以推出 a 是 小于一的，所以这是一个正数，因为等会儿正负方向会 考虑我们，咱也可以推出它来。是不是推出 a 小 b， b 方等于二减 a 方大于，是不是推出 a 小 于一，好得到它二。 a、 b、 h 小 于等于一，我们就画一下。 另一方面在我们要它另一方面，因为二 a、 b 乘以 h 小 于等于一，就推出二， a b 乘以 h， 就是 必被 塞盈塞塔小于等于一，是不是必被塞盈塞塔小于等于一了？而我们刚刚这是得到可塞盈塞塔的关系，我们这是塞盈塞塔，是不是有 c 方加可方等于一了？所以这就推出二 a b 方 乘以乘以平方 c 则直接平方，二的平方等于四， a 方 b 方就是 b 的 四次方，乘以四平方 c， 它就是以减 cosine 平方 c， 它小于等于一，是不是小于等于一了？代减化减去推出 四 a 方， b 的 四次方乘以一，减去四 a 方 b 的 四次方乘以 cosine 平方 sine 小 于等于一，是不是小于等于一啦？好，我们再推一下 cosine 平方 sine 在 这跑哪去了？ cosine 平方 sine 就 等于 b 的 四叉，或者我们从重推了嘛？这就 b 的 四叉乘以 cosine 平方 sine 是 等于 a 的 四次方的，对吧？所以我们则也可以推出它来，我们则 分界线则是不 b 的 四叉，换个颜色写在这嘛。大家则看则是， 咱就推出 b 的 四次方乘以 cos 平方 c， 它是等于 a 的 四次方的，所以咱就可以 b 的 四次方乘以 cos 平方 a 的 四次方了嘛。所以咱就推出四 a 方乘以 b 的 四次方，减去四 a 方乘以 a 的 四次方小于等于一，我们目标是 a 方，就把 b 方消掉。所以咱要先 化简一下，只要提出个四 a 方来，就平方差 b 方加 a 方乘以 b 方减 a 方小于等于一，进一步就推出 a 方加 b 方是一个二，所以这就是把 a 方乘以 b 方， b 方就可以换成二减 a 方减 a 方小于等于一， 所以咱进一步就推出其二减二， a 方提出来就是十六倍 a 方乘以一，减 a 方小于等于一，所以你看这移过去就小于等于十六分之一， 对吧？小于等于十六分之一，那么这个导拐大于等于，再导拐小于等于，对吧？所以我们就得到括号小于等于， 看一下是不是括号。对了，我们写的是括号小于等于一，除以根号下十六分之一乘以二，倒过来了吗？其实就是一除以十六分之一乘以十六二六二六十二，三十二加一三十三分之一。或者我们这样写 免得太突兀，就是二除以十六分之一加上一，就变成了根号三十三分之一，就等于三十三分之，根号三十三，对吧？所以最大值是个三十三分之，根号三十三了。则故最后再答一下， 咱就这个打一下嘛，我就不写啊，你看，这就是我们暴力间隙。这个其实就计算量说邪气很顺手，那是因为咱三角换原则比较 啊，简化了计算量，如果不三角换元，后面这个参数超级多，你就会迷茫，所以考场上你就会把手算废，都可能算不出答案来。所以我们讲平时要优化这个题，在这个地方，三角换元是非常经典，就是关键的 简化计算，从理论上常规操作可以往下做的非常关键的一步在砸，如果你砸卡住了，是不是不行了？这就是我们用暴力间隙砸考生最容易想到的方法，来跟大家讲下， 下面我们来看一下，因为这出题人一开始说他不行，但后来发现是小丑，是我们自己了嘛。说明就来看一下参考答案的做法也是值得学习的，参考答案应该在最后面，在关键，其实辅助线倒不重要，关键是参考答案转换成这个角，你看它是设 角， a， m， c 等于 c， 它这个体积公式用等体积转换法才是等体积， 前面那些不是关键的，等体积转换法就可以得到 c 乘以 c， 它小于等于二分之二，则就得到 c 塔的范围，然而它就把后面的所有条件都转换成这个 c 塔。怎么转换呢？我们找其实在解这个直角三角形中，因为这是 中点，很重要，这是一个直角三角形了嘛，只要设这个为 theta， 这个就是二分之 theta， 是 不是 a 就 可以用二分之 theta 来表示了，然后我们这个 b 能用余弦定力。在一个三角形中，你看只要法向量前面还是一样的操作，这无非就是你看 e， 它还是用这参数方程， 参数方程来写，然后到后面法向量到很正常，这法向量也是正常的，到这它求的法向量，我们这还同时乘一个 a 倍一加 cosine 啊，法一样的道理，在三点钟，你看 a 可以 用它来表示了吗？哦，这个 b 是不是这运用这个关系可以用它来表示了，然后再用括号，这就是我们用传统方法来做括号，括号是不是得到它也可以用它来表示了？所以我们只要往下写，全部与括号关代减 c， 它全部转换为 c， 它的函数，这就是消为单角的函数，它目标消 为单一三角函数求最值， 所以这个想法只是不容易想到，这是出题人给出的参考答案的解答吗？那么暴力间隙呢？其实也可以，只是暴力间隙跑哪去了？这是题目，我们只要在这暴力间隙，还是 我们再回顾一下，只要要问，我不讲，对吧？如果要问都有问题的，没必要看这个视频，他这个视频是对减脂声音才要求看的，在我们前面得分点还是很正常的，只要进戏大家会，对吧？进戏翻译条件， a b 等于二， a 方加 b 方等于二没问题。 这个垂直得到 a 方加 b， t 等于零也没问题，对吧？得到它我们这样还漏了标二后面中途漏的时候擦掉它嘛，我们又把它标回来，这体积二， a b h 小 于等于一没问题，但得到这些条件怎么用？还最容易漏掉的就是方子的不变形， o e 等于 o， d 等于 b。 如果咱没有想到，后面肯定消不了元，想到了之后，如果常规消元呢？后面参数很多，很容易迷茫，这也是我们关键还是三角化元，所以本期两种结法都有这个 三角换圆，换了圆之后，我们下面则就怎么挖掘。你看这个条件， a 方加 b t 等于零， a 方加上 b 方 cosine x， 它等于零， cosine x， 它居然可以转换成 a 方小于单角单，我们这是小于单一边 a 的 关系， 关系来做的对吧？那同样 r a b h 则要平方，因为是 c 方加括方等于一，是不是则要平方来化了平方在下面 r a b 则等于一化解， a 化解刚好整体得到我们的目标，如果没有得到目标，则其实也可以算，无非则就是 一元二次可以求 a 的 范围再去解，转换成二函数，它就求出 a 方的范围。单一三角函数吗？知道范围，这个也是关于关于 a 函数问题， 所以转换成了函数问题，二次函数问题去分析，实在不行，我还可以暴力求大，这不也可以做了，这就我们整个题的思路，计算量不小， 对吧？咱对于考场上来说很容易做出来的，因为考生时间是有限的，这是上个概率大题的咱们这个题，所以我们不要小瞧他，眼睛 立即就会也能压住，那是我们感受，就相当于你看到的表面，不代表他笨，真正的本质。我们这个题最主要的是学间隙啊， 三角换元那个处理操作还有参考答案，我们只要构造辅助线等体积转换法也是我们要学的东西，转换成单一三角函数去做出题人的 思路也是值得我们学习的。那暴力进行呢？我们也要计算，拿下去怎么去分析法？向量怎么去优化，它有分式怎么办？走是不是都可以学一下？好，这个视频就给大家讲到这，拜拜。