22年高考数学最后一题的图怎么画

十二月份湖南高一赢得英才大连考，这次的平均分只有四十多分，到底是题目非常非常难， 难道平均分只有如此之低，还是学生的质量在下降？这也是一个要思考的问题。这个视频带你走进赢得英才大连考最后一道题到底难不难 来，他是给了一个新定义，前面很多很多文字说明了这个符号和一个那个迷你的符号啊，迷你的符号，这两个符号他的意思，这个意思就是说取这里面最大的那个 好用解析式表示这个东西。首先我们看一下这里面的结构，一个是这个指数函数，一个是依次函数，对不对？只要找到它们俩相等的点，然后利用函数的增减性，竖形结合，轻松秒杀， 都不带啰嗦的。你看 x 等于一的时候，这里就是二，这里也是二， x 等于一，然后这里是二的话就是四，哎，这里刚好二，也可以 再画住图像，这个是增函数横过零一是吧？这里这个是也是一个增等，并且它们在一的时候和二的时候是相等的啊， 这里一相等，二相等，取一的时候对应的是四，看到没？ 很明显在小于二的时候啊，小于一的时候， x 小 于一的时候，看它在它的上方，是不是？ 所以应该取这个。 x 小 于等于一的时候就是这个，还有 超过了这个二也是，你看超过了这个二，也是这个指数函数，在这个一次函数的上方，或者是 x 大 于等于二， 都是取这个，那么在一到二之间，它高于它，简单了，是不是 x 大 于一，小于二十分，自然解析式 就这个搞定了，并求出这个的不等式的解集。大于三你看了，大于三还不好做吗？当 x 大 于等于二的时候， m x 就 等于什么二的 x 方是大于等于四的，是不是符合吧？ 肯定大于三，所以大于等于二的部分都可以。如果是一到二的话， x 大 于一小于二时，那么它就等于二， x 这时候又大于三，那么 x 就 大于二分之三。 一的时候是二，小于一的时候啊，就会小于二，永远都小于二，那就没有了。所以就是大于三啊，大于二分之三， f 三往上都可以啊，你看写完了，这是他第一问好做不？很好做吧。第二问完全是送分，求 f x g x 的 最小值等于这个形式表达式， 那不简单吗？这个意思是取它们俩里面的最小的，是不是有可能它小，有可能它小，那就分情况呗，是吧。 这个大于等于 g x 的 时候，那么左边就是 f x， f 就是 g x， 左边就是 g x， 是 不是？那看这里， f x 加上 g x， 它大于等于它，那就直接去，去绝对值，直接去绝对值，由于外面有个符号，所以减去 f x， 加上 g x 除以二等于什么？ 是不是左边等于右边？没问题吧？若 f x 小 于 g x， 那 这个迷你就是 f x， 因为它小一点，取它这里取它。再看这个， 这是 f x， 反过来了，反过来了，这里减就是加，是吧？我都不用怎么去想了啊。加就是减，反过来了吗？除以二，那不就是 f x 吗？ 整完了送分吗？难吗？哼，太简单了，好看。第三问，直接不跟你啰嗦了啊，你看 g x 等于这个东西，加上这个东西加 b 加二，减去这个的绝对值里面的，你看长得差不多，是不是 刚做完第二问，就是一个过渡吧，是吧？从初中我们做压轴题开始，就有这样的一个惯用手法， 这一问就是一个过渡，也就是说，我要在这里面找到 f x， 找到 g x， 看谁等于 f x， 谁等于 g x， 你 看，这是减法，只要这里面的和外面的是一样的， 不变的，就是 f x 变了，相反号的，那就是 g x， 是 吧？由于这个，我们先给它变一下啊，二分之一 g x， 因为它没有除以二嘛，对不对？这个二分之一的 g x 就是 除以二，等于二分之二分之。这个东西啊，我就不抄了，这么多好，我们去找不变的， 那么 f x 就 等于什么？ f x 等于什么？不变的，你看 x 平方没有变漂亮， 然后这个正二是不是没有变？正二是没有变的啊，正二是没有变的，还有一个没有变的啊，你们细心观察啊，你看了，这是减一，这里改成了加一，虽然前面有一个符号，但是这里改成加一，你看，这里是负 x， 是 不是 出题人有点阴险啊？这里看到没有，这里也是负 x 是 没有变的，这三项是没有变的。再看，这里是二的 b 次方 x， 这里负的是不是变了吧，你看，所以 g x 就 等于二的 b 次方 x， f x 都给你弄出来了，也就是说，也就是说 二分之一 g x 等于二分之一的这个，那么 g x 等于什么？ g x 就 等于两倍的，是不是两倍的这个啊？这里没有二分之一吧，所以 g x 就 等于两倍的这个迷你型 f x 等价转化成这个样子，那么它要怎么样？大于等于二， 也就是正这里面的最小值是大于等于一的，这里面的最小最小都是大于等于一的就可以了。是不是我只要判断出这两个在哪里啊？在一到三上都是大于等于一。 两边的这个大于等于二啊，两个大于等于二，所以里面的都大于等于一就行了。先搞定这个简单的它的对称轴啊， f x 对 称轴是什么？对称轴是负二分之， b x 等于二分之一，所以 f x 怎么样？在一到三上怎么样？是不是单调递增啊？那么又就 f x m i n 最小值就等于 f 一 了是吧？把一带进去，你看 等于二吧，这个的最小值都等于二，我们要判断的是什么？这里面的两个都要怎么样？大于等于一就行了，这是两倍的，它大于等于二，所以这里面的大于等于一就行了。符合吧，这个就不用看了，其实跟这个没有关系，我们要求的是 b 对 不对？ 所以只要满足它是大于等于一就行了。好，现在看它 g x 等于这个东西， g x 来等于二的 b 次方 x， 这是一个什么函数？这是一个依次函数啊，各位，依次函数啊，因为二的 b 次方是不是大于零？ 指数啊，这是指数啊，是不是肯定大于零的嘛？所以它是怎么样？所以 g x 怎么样？在一到三上也是什么单调递增的吧？我的天呐，是不是所以它的最小值 就等于 g 一 啊？我天，就等于什么二的 b 次方加 b 啊， x 等于一啊，就这个，我只要满足这个怎么样？大于等于一就行了。 是不是只要 b 满足这个大于等于一就 ok 了？这是个什么东西啊？好，太上老君急急如律令令。 h b 等于 二的 b 字方加 b 这个函数，你看你看出来没有？这个变量，这是指数函数底数是二的 单调递增的吧，这个怎么样也是单调递增的吧，是不是啊？ h b 在 他的定义内都是单调递增的，对不对？单调递增的，且 什么时候等于一就行了。你看，猜一个猜零或一是不是？ b 等于零的时候是不是等于一啊？ h 零等于一对不对？ b 取零的时候，这里是一一加零啊。所以怎么样，只要 b 大 于等于零， 这个值就会大于等于一，因为它是增函数。做完了，各位，就这样做完了，整道题就是一个什么思想？ 等价转化的一个思想，看到没有？这里一个过渡啊，然后利用函数的增减性，轻松拿捏，十分的自然啊，各位，你学会了没有？ nice。

开口向上， a 为正，开口向下， a 为负。开口越大， a 越小。开口越小， a 越大。 ab 一 号轴在右， ab 同号轴在左，左加右减 b 来变上加下减 c 出现。

hello， 大家好，欢迎跟着冯老师一起学数学。今天我们来看一道列方程及其实际运用的题目，也是一道倍数问题。首先我们还是来先读题， 服装厂有若干名工人，走了十名男工之后，男工的人数是女工人数的二倍，又走了九名女工，男工的人数是女工人数的四倍， 问，原来服装厂有多少名工人？读完这道题之后，我们发现这道题出现了变化， 其中第一次呢，游走了十名男男工，第二次呢，又走了九名女工，他们就出现了两个倍数关系。那这道题目因为出现了变化，所以呢，建议大家一定是去列一个表，把他们的前后关系列清楚，再来分析这道题目。 这样子的话，我们就画出一个表啊，男女的人数是在这个过程中发生变化的，而整个呢，我们说有一个最开始的一个过程，然后呢，走了十名的和走了九名女工的 列好之后呢，我们需要把这里的对应的每一种情况给它表达出来，那我们一般呃，这种题目比较复杂，我们可以用未知数方程来做的话，就需要设出一个未知数。设未知数呢，一般我们会根据倍数关系中的一份数来设， 那这里如果我们抓住男工人数是女工人数的二倍，那女工人数就设为 x， 那 女工的 x 呢？ 一定要看清楚是最初的女工还是走了十名男工以后的。这个前提是走了十名男工以后的男工是女工的人数的二倍，那我们设的是这种情况下的女工为 x， 那 这为 x 之后呢，我们就可以对应去把最初的女工和男工的都分别能够表示出来， 因为此时男宫是女宫的两倍，那所以这个时候男宫就是二 x， 这个前提呢是走了十名男宫的，那最初的男宫是不对应二 x， 就 应该要加一个十，而女宫在这个过程中是没有任何变化的，那女宫原来也为 x， 接着又走了九名女工，又走了九名女工，那我们可以看到女工从这个基础上又走了九名女工，那就变成了 x 减九。而男工呢， 在这个过程中知识没有发生变化，那所以之前这里的男宫是二 x， 那 在这的话他还是二 x， 那 我们把它分别表示出来之后去列方程，那方程的话就可以根据这个等量关系，男宫人数是女宫人数的四倍， 就是这样子的。最后这种情况，男宫是女宫的四倍，那对应我们把数据给他代应进去。最后就是这一个啊，男宫的是二 x， 女宫呢是 x 减九的四倍，就用它乘四 等量关系列出来，最终解出这个方程即可解出来的这个位置数。 x 呢，是我们设的女宫 啊，是在走了十名男工之后的这个女工人数，也是最初的这个女工人数，男工的话对应对应带到这个二 x 加十里面去算出来，再把女工和男工加起来，就是原来这个厂里面 工人的总人数了。这道题我们就讲完了，关注冯老师学数学不迷路哦！

hello， 各位同学，我们在上节课呢，学习了集合的并集，本节课我们将要学习的是集合的反转大系补集。 补集呢，也就是我们要研究的是剩下的世界， 还是我们三个小老师。在我们认识反转世界之前呢，我们要认识的是我们的形容地图，全集， 全级 u。 什么是全级 u 呢？就是我们要研究的最大的那个范围，我们通常用 u 来表示整个班级，整个超市。在数字游戏里面，我们经常把实数及 r 当做全级， 锁定我们的目标捕集 c u i。 补集就是除了你剩下的全部， 那我们可以看到它有一个全集 u 全集 u 就是 把 i 去掉，取它剩下的部分。什么是补集啊？ c u i 全集 u 里面把 i 挖掉，剩下元素组成的集合，我们就叫做补集， 即做 c u i 叫都做 i 在 u 中的补集。 如何找到补集呢？记住这把镰刀，形象记忆啊，这个 c 呢，就像一把镰刀，把 i 从 u 里面切掉，剩下的就是补集，剩下的就是补集。 有限级我们是数得清的，我们叫有限级，像点名一样，把 u 里面有的，但 i 里面没有的给它列出来。无限级是数不清的话，树走，把树轴上， 在树轴上把 i 涂黑，没涂黑的那部分就是补级了。 第二部分，乌萨奇的一些小公式，我们可以看到 i 并上 c u i 是 等于全集， you 把你 a 和剩下的补集拼起来就是整个世界了，一块都不能少。 第二个，势不两立公式， i 交 c u i 是 等于空集的，是等于空集的。 c u i 是 什么？ c u i 是 去掉 i 剩下的部分， 剩下的部分，而我们的 i 加 c u i 等于空集，那这个 i i 集合里面，我们有一个隐藏元素空集，而这里面呢，我们也有一个隐藏元素空集 啊，你在里面，我就在外面，我们绝对是没办法碰面了。反转再反转公式， c u c u i， 敌人的敌人就是朋友，外面的外面就是里面， 这里面。你看我们这里呢？ i， 先把 i 去掉，取 i 剩下的部分，然后又要把剩下的部分给去掉，取什么？取 i 这个部分， 所以外面的外面就是里面了，又变回你自己了，我们来看全集到底是谁？我们来帮帮集 性质音看错，大老板，全集又全集又呢？等于一二三四五集合， i 是 一二求 c u i 求 c u i， 也就是说去掉 i 是 不是去掉 i 里的元素， 哎，里面有谁呢？有一和二，我们把一二划掉，喊成三四五小八就错啊，即不能跑到 u 的 外面去补集，是在全集 u 的 范围内讨论的， u 到五就结束了，正确答案是三四五 陷阱。二，无限极画竖轴搞反方向。比如 u 呢，是一个实数， r i 呢是等于 x， x 大 于三的求 c u i 求 c u， i 是 大于三的大于三， 那我们这里呢，就要取到它，相反呢，去掉大于三的内容不就行了？ 去掉大于三的内容，且我这里是实数，什么是实数啊？所有的数，所有的数，我们都叫实数，是不是？ 然后直接说了 x 直接小于三不就行了？那这里我们要注意的是，我们要注意还有一个等于呢，因为我们这一直说了是 x 大 于三，并不包含三，是不是？所以我们要把 它等于号，给它带上空心圈的补集变成实心点，实心点补集变成空心点。 a 是 大于三，不含三，所以补集是小于或等于三的。 那空集的补集又是谁呢？空集的补集，那 ceo 空集，那把没有挖掉，还剩什么呢？如果你什么都不挖， 那就剩下来原来的全部了呀，就变成了空级又的本身了。而去掉你的全级呢？就变成了空级了，就变成空级了。 我们来看一下我们的专属小任务， 拿出一张全家福的照片，这就是一个全集。 u， 用手指遮住你自己，你就是集和 a， 你 遮住它之后，你看到的剩下的人呢？就是补集了。 记住，补集就是除你以外的全世界，除你以外的全世界。 来到这呢，小八乌萨奇和奇已经陪我们把集合的所有员秘密都解开了，带上这些知识点，去考场上拿满分吧！

哈哈哈哈哈哈 哈哈。

我们来看一下这个三星联考的第十九题，为了解题方便，我是把第一问和第二问用到的图都画，已经画出来了。好的，接下来我们开始读一下题目。已知椭圆，它的离心率等于二分之二， f 一 f 二分别是左右交点 a b 是 c 上位于 x 轴上方的两点啊， x 轴上方两点有这边和这边啊，上方两点， 然后，然后直线 a f 一 与直线 b f 二是平行的关系，然后 a f 二与 b f 一 交于点七点啊，交于交于点 p， 当这个 a f 一 垂直于 x 轴的时候， p f 一 等于四分之三倍的根号二。求这个椭圆的方成。本题考察的是椭圆椭圆里面的蝴蝶啊，蝴蝶模型。所以呢，这个如果你熟悉这个，那就很很容易，你不熟悉的话可能就很难。好，首先咱们来看一下第一问，怎么求这个方程， 怎么求这个方程？嗯，当这个，当这个 a f 一 它垂直于 x 轴的时候， 确定 x 的， 又因为什么呢？因为 a f 一 和 b f 二是平行且相等的啊，我们就可以知道四边形 a b f 二， f 一 为矩形。 然后我们再根据这个离心率啊又这个离心率等于 c 除以 a 等于二分之根号二，这个 a 方呢，等于 b 方加上 c 方，所以我们可以得到 abc 的 关系， a 比上 b 比上 c 等于根号二比一比一。这个怎么弄法呢？这个你可以在草稿纸上啊，在草稿纸上画个直角三角形， 这是 a， 这是 b， 这是 c。 现在知道这个是等于根号二，这个就是二啊。根号 m， 这是二 m， 那 这个呢？就是根号 m， 说明，说明他们三边的比例关系是根二比一比一啊，这样的 好，得到这个比例关系之后呢，我们就可以设啊，设这个 c 就 等于 t， 则这个 b 呢，就等于根号二 t 根二 t， 所以我们可以得到 f 一 f 二，它等于啥呢？就等于二 t 等于二， c 等于二 t 嘛。这个 b f 二是通径的一半，通径的一半通径是 a 分 之二 b 方，所以呢，通径的一半就是 a 分 之 b 方，它等于啥呢？就等于根号二分之 t 下了， 那就等于二分之根号二 t。 然后再看这个 p f 一 啊， p f 一， 这时候这个长度是刚好等于对角线的一半， 等于二分之一 b f 一。 所以说我们可以得到这个 b f 一， 这个长度等于多少呢？等于四分之三倍的根号二的两倍，那就是二分之三倍的根号二。然后用勾股定律，勾股定律， b f 二的平方 加上 f 一 f 二的平方是等于 b f 一 的平方，这是勾股定律。那我们就可以得到啥呢？就是二分之根号二 t 的 平方加上二 t 的 平方就等于呃，二分之三倍的根二的平方就是二分之九。 这左边是二分之一梯方，加上四梯方就是二分之九，梯方就是二分之九梯方等于二分之九，所以梯方等于一，这梯呢，就等于一，梯是正的吧，梯等于一，那所以这个 a 呢，就等于根号二梯，根号二，这个 b 呢，等于梯等于一啊，所以椭圆的方程就出来了， 椭圆的方程就是 x 方除以二，加上 y 方除以一，等于一。就这样写的话，就会比较简便哈，比较简便。然后接下来看一下第二问， 第二问，你可以采用设点，也可以采用设线，如果我们采用设线，设设线的长度在做的话就比较容易一点。咱们来看一下具体是怎么操作的啊？我们直接看第二问，看这个图，如果我们设这个 a f 一 f 二，这个角是二法，这个角是二法，我们可以用，我们可以推出 a f 一 等于什么？ 我们可以设角 a f 一 f 二，这个角是等于二法，这个 a f 一 这个长度呢？假如说它是等于 m 吧，然后这个 a f 二呢？我们就可以知道它是等于二 a 减去 m， 那 就是二倍的根号二减去 m。 算了，我们用二 a 减 m 吧， 带个字母，因为我们要推导一个公式出来啊，减 m， 这个 f 一 f 二呢？实际上等于二 c 啊，二 c。 然后在这个三角形里面用余弦的里 cosine 角 a f 一 f 二等于什么呢？等于 a f 一 的平方 加上 f 一 f 二的平方，减去 a f 二的平方除以两倍的 a f 一， 再乘以 f 一 f 二， 那也记是什么呢？那也记是 cosine 二法。等于 a f 一 的平方就是 m 的 平方，加上 f 一 f 二，就是四 c 方，再减去二 a 减去 m 的 平方，比上比上二乘以二 c， 再乘以 m， 我 们画一下就会得到 这个 m 等于 b 方，比上 a 减去 cosine 二法，那也就是一比上根号二减去 cosine 二法。 那如果我们延长延长这个 a f 一， 它会交这个椭圆于什么东西呢？交这个椭圆于 q 吧，这个 f 一 q 角 q f 一 f 二是等于什么？等于拍减去二法，等于拍减二法，所以这个 q f 一， 那实际上这个长度它会等于啥呢？它就等于，呃， 根号二减加上根号二减去 cosine 拍减去阿尔法分之一，等于根号二加上 cosine 阿尔法分之一。推导的过程跟前面是一样的，那这一步呢？如果有没有听懂的学生啊，你自己去推一下啊，自己去推一下， 好的，就得到这个东西啊，得到这个东西。好，接下来我们来说一下啊，我们延长一下这个 b f 二，假如说延长到 k 这个点啊， k 这个点由对称性，我们会发现这个 a f a q 和 b k 是 一样的啊， b k 是 一样的，而且 a f 一 就等于 k f 二，这个 q f 一 呢，就等于 b f 二， 所以我们就直接可以这样写，由对称性，由对称性可以得到这个 q f 一， 它就是等于 b f 二等于多少呢？就等于根号二加上 cosine 二法分之一。 如果我们令这个 b f 二等于这个 n 啊，等于 n， 这个 n 就 等于根号二减去 cosine 二法分之一。 然后我们注意了 m n 和 m n 的 关系，他们同时取倒数相加，就等于二倍的根号二啊， m 分 之一加上 n 分 之一等于二倍的根号二，这个关系很重要，接下来要用到的啊，要用到的，这样的，好的， 咱们继续啊，接下来我们要设限处理啊，实际上这前面呢就是公式，如果你要是你要知道这个交半角公式的话啊，就非常的简单啊，非常简单。那接下来我们就设 好那，那前面呢，我们就是为了得到这样一个重要关系，得到这样一个重要关系，那接下来我们就看一下怎么样采用四线的方法来搞定这个题目，我们接下来就是设， 现在知道的就是 a f 一 是 m， 这个 b f 二是 n， 现在知道这个东西，嗯，我们可以设到这个 p f 一， 这是我们求到这个，这个等于 x p f 二，这个我们要求的这个是等于 y 啊，这是 y， 然后我们看一下这个 a p 等于啥？有，这边有个 x， 这边有个 y， 这个 a p 等于啥呢？我们首先利用椭圆的定义，这个 a f 一 加上 a f 二是等于二 a， 所以 这个 a f 二是相当于二 a 减 m， 然后 a p 就是 二 a 减 m 再减 y， 所以 这一个就可以写出来了，是二 a 减 m 再减 y， 同样这个 b f 二加 b f 一 等于二 a， 那 现在这个是 n， 这个就是二 a 减 n， 二 a 减 n， 然后这个 b p 呢？就等于二 a 减 n 再减 x， 所以 这个就等于二 a 减 n 再减 x， 这是 b p， 所以 a p 就 等于二 a 减 m 减 y 呢？二 a a 是 根号二，就是二倍的根号二减去 m 再减 y， b p 等于啥呢？ b p 就 等于二 a 就是 二倍的根号，二减去 n 再减 x。 然后我们注意到这个蝴蝶模型，这个三角形是相似的啊，八至相似三角形，这个 a f 一 p 相似于三角形， b p f 二相似，所以说我们可以得到这一个比例关系，所以这个 a f 一 比上 b f 二等于啥呢？就等于 a p f 一 比上 p b。 然后我们把数据带进来哈，数据带进来解除 x y， 然后 a f 一 就是 m 比上 n， 它就等于啥呢？ a p a p 就是 二， a 减 m 减 y 比上 p f 二，那就是 y， 它就等于啥呢？就等于 p f 一， 就是 x 比上二， a 减去 n， 再减去 x， 这样的啊，好，我们用前两个四指就可以得到 y， 我 们用第一个四指和第三个四指就可以得到 x。 好， 我们分别把 x， y 和 y 解一下， n 分 之 m 就 等于 y 分 之二， a 减去 m， 再减个一，这个一呢移过来，那就是 n 分 之 n， 这样呢， 所以呢，我们就可以得到这个 y， 它是先等于 m 加上 n， 上面就是 n 倍的二。 a 减去 m， 这个 a 呢，我们知道它是等于根号二的啊，这是二倍的根号二，所以这个 y 它就等于 m 加上 n， 上面就是 二倍的根号二。 n 减去 m n， 我 们再解一下这个 x， 就是 利用这个一和三去解下这个 x。 同样的方法，我们就可以得到这个 x， 时间等于 m 加上 n， 上面是二倍的根号二。 m 减去 m n， 得这样一个东西， 所以这个 p f 一 加上这个 p f 二，它实际上就等于 x 加上 y 等于啥呢？等于 m 加上 n， 上面就是二倍的根号二。 m 加上二倍的根号二 n， 所以 我可以把二倍的根号给它提出来。二倍的根号二， m 加上 n， 再减去 m n 再减 m， n 就 减二 m n， 就 这样了。 整理一下，它等于啥呢？就等于二倍的根号二，再减去啊。二倍的 m n 给它除下来，我们就可以得到是 m 分 之一加上 n 分 之一分之一。有这样的一个东西，因为我们刚刚已经求出来这个 m 分 之一加 n 分 之一等于个啥了， 已经求不了这个东西了，所以说我们就可以得得啥呢？这个就等于二倍的根号二，再减去二倍的根号二，那就二分之二呗，就是二分之三倍的根号二，所以他们两个加起来是个定值为二，为二分之三倍的根号二。 这个第二问就可以证出来了。第二问得证， 第三问是一个常规的啊，是一个常规的。他说 g 点 p 的 轨迹为伽马动直线 y 等于 k， x 加 m 与伽马交于 m n 两点。求 o m n 面积的最大值为多少？ 我们看一下它的轨迹到底是什么啊？它的轨迹到底是什么？嗯，他说了 这个，他说了这个什么呢？ ab 都要在 x 轴的上方， ab 都要在 x 轴的上方两点，所以这个 p 点呢？这个焦点 p 肯定在 x 上方，所以 p 点的轨迹是上半椭圆啊，椭圆的上半部分，下半部分取不到 p f 一， 加上 p f 二， 等于二分之三倍的根号二，是大于这两个定点之间的距离大于二，是不是？那所以 p 的 轨迹 为椭圆，又因为这个 y p 呢要大于零，所以其轨迹为椭圆的上半部分。 椭圆上半部分。 我们看这个方程是什么？假如方程二 a 一 是等于二分之三倍的根号二，所以这个 a 一 呢，就等于四分之三倍的根号二。 然后这个 b 一 的平方就等于 a 一 的平方。减 c 方等于多少呢？等于八分之九，减去一等于八分之一。所以同样的方程 可以写出来等于啥呢？等于 x 方除以八分之九，加上 y 的 平方除以八分之一，那就是八 y 的 平方，这个可以写成九分之八哈，九分之八 x 方， 八 y 方等于一等于一，那也就是它是这样的上半部分。 然后他说了有一条直线 y 等于 k， x 加 m， 一 条直线 y 等于 k， x 加 m， 与它交于 m n 两点，这是 m， 这一个是 n， 然后就是 o m n 面积的一个最大值，这就是一个常规的啊，常规的我们求出限长啊，求出点到直线的距离，直接把面积保出来不就行了吗？ ok， 选场什么球呢？我们来看一下啊。我们可以设 设这个 m 点是 x 一， 多少 y 一， 这个 n 点呢？是 x 二，多少 y 二这样，然后连立直线的曲线哈，连立 y 等于 k x 加上 m 和九分之八 x 方加上八 y 的 平方减一等于零，我们就可以得到。啥东西呢？就得到这个 九分之八 x 方，再加上八倍的 k x 加上 m 的 平方，再减个一等于零。先二次再乘数，再一次就是八 k 的 平方，加上九分之八乘以 x 方，再加上十六 k m x 再加上八 m 的 平方减个一等于零， 这个判别式要大于零。然后我们就可以求出这个弦长，这个弦我来给你写一下啊， x 一 加上 x 二 就等于呃，负的八 k 方加上九分之八，上面是十六 k m x 一 乘以 x 二，就等于八 k 方，加上九分之八， 上面就是八 m 的 平方减个一，所以它前长呢，就是 m n 这个长度就等于根号下一加上 k 方乘以乘以这个根号下一加 k 方，乘以根号下 x 一 加上 x 二的平方，减去四倍的 x 一 x 二这样的一个东西，所以它等于啥呢？它就等于 根号下一加 k 方，这这个是八 k 的 平方，加上九分之八，上面就是负的十六 k m 的 平方加上九分之八，上面是四倍的， 是被的八 m 方，再减个一，等于这个八 k 方加上九分之八给它开出来，上面就是根号下一加上 k 的 平方。 呃，我们可以先搞个四出来，搞个四出来就是二，根号下两百五十六除以四是六十四，六十四 k 方 m 方再减去， 减去就是八 m 方减一再乘以八 k 方加上九分之八， 这个等于个啥呢？就是直接算一下啊，六十四 k 方 m 方减去角过六十四 k 方 m 方，再加上九分之六十四 m 方， 减去八 k 方，再减去九分之八，所以它就等于啥呢？就等于八 k 方加上九分之八，这个直接这个九分九分八提出来，九分之八提出来，那剩下一个九 k 方加上一加上 k 的 平方，乘以， 乘以啥呢？就乘以就是负的九分之六十四 m 方，再加上八 k 方加上九分之八这样的一个东西，所以呢，就是八 k 方加上九分之八。然后，然后我们来看一下这个 d， 这个 o 到 m n 的 距离， 这个距离假如说是 d， 这个 d 等于啥呢？这个 d 就 等于上面这个绝对值是 m， 下面是根号下一加上 k 的 平方，这 d 就 算好了，所以这个 s 三角形，这个 o， m n 就 可以写出来了，等于二分之一 m n 再乘一个 d 等于， 嗯，相乘的时候，这个这个和这个就可以约掉啊，可以，这个可以约掉，那我们就可以得到啥呢？可以得到二分之一和二也约掉了，所以就等于八 k 的 平方加上九分之八， 然后根号下根号下负的九分之六十四 m 的 平方，再加上八 k 方加上九分之八，再乘以绝对值 m， 如果我们把 m 写到里面去啊，写到里面去，就可以得到啥呢？ 根号下 m 的 平方乘以负的九分之六十四， m 的 平方加上八 k 方，再加上九分之八，比上八 k 方加上九分之八，这个呢，我们就可以用基本不等式了，把这个可以看成常数，用基本不等式，那利用基本不等式，我们把负的九分六十四给它提出来， 就是根号下负的九分之六十四。啊，不是，不是负的九分六十四了啊，九分六十四提出来，那就是三分之八吧。三分之八，这是 m 的 平方，再乘以 m 的 平方乘以负 m 的 平方，然后再加上 加上八分之九， k 的 平方，再加上八分之一， 比上啥呢？比上八 k 的 平方加上九分之八。 ok， 这一项啊，就利用这样一个进步的词，就是 a 乘以 b， 根号 a 乘以 b， 小 于等于二分之 a 加上 b， 那 所以这个四就是小于，等于啊，小于等于这个三分之八乘以二分之 m 的 平方，加上负 m 的 平方加上八分之九 k 的 平方，再加上八分之一，然后再除以啊，除以什么呢？除以八 k 的 平方加上九分之八。好的，我们来看一下，具体等于多少啊？具体等于多少， 那就是等于这两个，反正约掉了。约掉了，那也就是 分子上面是三分之四，再乘以八分之九，再乘以 k 的 平方加上九分之一，应该是这个样子的。然后下边是啥呢？下边就是八倍的 k 的 平方，加上九分之一，正好约掉啊，正好约掉。那整理一下，看等于多少？ 等于六十四分之。我看一下哈，六十四分之四就十二等于十六分之三，所以三角形 o、 m、 n 的 面积最大值， 面积最大值为十六分之三，取最大值时， 这个 m 的 平方是等于负的， m 的 平方加上八分之九， k 的 平方再加上八分之一。用这个记公式啊。好的，这就是第十九题。这道题比较难。

选双解三角形只会出简单题了？二零二五年扬州高三期中就把解三角形放到了最后一题，十九题考的呢，还是不太常见的三角形的内接等边三角形，学过的方法几乎都用不上，但是那又如何？ 压轴题本来就应该考察思维能力，用我讲过的通解思维照样可以做，如果一种考法没见过就不会做，那大概率是你的思维能力出现了问题，而命题人就是根据通解思维给出题的，所以把这套思维方法学会，自然就会解析。 那这道题呢，总共有三小问题干，当中呢，只有一个条件，散 b 等于根三散 c， 它呢，自然可以转化成 b 边等于根三乘 c 边。 好，我呢，先简单的说一下每一小问在思维上最关键的要点。第一问呢，就是一个简单的方程问题，关键呢是对于其次方程的理解和处理。 第二个呢，就是一个简单的函数思想，关键呢是对于自由变量的选举 这一说。最难的第三个依然是一个函数思想，同时得加上对图形的几何分析。 也就是呢，咱们之前讲过的去分析每个点是如何确定的，所以你看，都是咱们讲过的思想。所以呢，不要说题目新题目难就不会做，应该是你的思维能力不到位才不会做。 ok， 好了，那接下来呢，咱们先来看第一问好。这问呢，说 a 方减 c 方等于二 s 除以三 a， 求空三 a， 那 么这里呢，出现了面积，肯定得先转化成边和角这一道分母上呢，出现了三 a， 所以呢，这么转化 a 方减 c 方，它等于二倍的二分之一 b， c 乘三 a 啊，底下呢，除以三 a， 那 么三 a 和三 a 约掉 a 方减 c 方等于 b c， 接下来呢，看一下得到的这两个方程， 有没有发现全都是其次方程，你看这里呢， b 和 c 都是一次的，这里 a 方 c 方 b， c 都是二次的，那如果你对其次方程理解的非常到位，现在已经可以骄傲的宣布，这道题已经拿下了， 来给大家呢做一个简单的分析。首先呢，咱们讲过，其次方程如果能解的话，应该能解出什么东西， 就是未知数的比，也就是 a 比 b， a 比 c， 那 么一个三角形，如果三边比确定了，根据余弦定律， cosine a 自然能求出来，对吗？啊，那么接下来这个方程组能解出来吗？ 哎，是可以的，因为呢，现在有两个方程，三个未知数 abc， 但是呢，咱们讲过，其次方程天然自带未知数解一的功效，所以呢，相当于两个方程两个未知数，而且次数不超过二次，肯定能解出来。 那么接下来第一个方程不需要解，它就是 b， b， c 等于根三， b 和 c 的 比已经有了，然后呢，代入这个方程， a 方减 c 方就是根三 c 再乘 c 根三倍的 c 方， 所以呢， a 方就是 c 方，加上根三 c 方，根三加一乘 c 方好两边开方， a 和 c 的 比就有了， 不过呢，这个地方不着急开方，根号下根三加一，实在是不好看，咱们呢，先往后算，如果将来必须得开方，咱们再算开方，这也是一个小小的计算技巧。 ok， 好， 接下来呢，咱们求一下 cosine a 来余弦定例， b 方加 c 方减 a 方除以二， b， c 全都变成 c， b 呢是根号三 c b 方三 c 方加 c 方， a 方呢？在这里啊， 根三加一倍的 c 方底下是二根三 c 再乘 c， 那 么分子分母上全都有 c 方，约掉 二根三分吃三加一，减根三减一，这两个约掉，然后呢，分子分母再约掉一个根号三二分吃根三减一，顺利拿下。 ok， 其实呢，像这道题目啊，即便你对其次方程没有什么理解，就把这个式子带入到这个方程去做一个消元的过程，一路莽下去，照样也能做。 但是呢，怎么讲啊，如果你在简单题目上思考得越透彻，越清晰，那么做难题的时候就会越简单。所以呢，不要说简单题能做出来就可以了，把简单题思考清楚了，也是提升思维能力的一种方式。 ok， 那 咱们再来看第二问，那饮食条件呢？依然是体干当中的 b 边等于根三乘 c 边， 再加上呢，第二问的面积等于二分之三九， a 方的最小值好，九最值，说明呢，是一个动态问题，得用函数思想把 a 方表示成某个变量的函数。那么咱们先处理一下，这个面积肯定还是转化成边和角 这一道，已知的是 b 边和 c 边，所以呢，自然转化成二分之一 b 边乘 c 边乘三 a， 它等于二分之三。二和二呢，约掉 b 呢，换成根三 c， 也就是根三， c 方乘三 a 等于三 好根三约掉 c 方乘三 a， 它等于根号三。哎，所以你看得到的是 c 边和角 a 之间的等量关系， 那就意味着 c 边和角 a 有 一个变量，确定了，另一个变量自然就确定了，它俩可以互相确定。 同时呢，根据这个条件，那只要 c 边确定了， b 边也就确定了好了。所以到此为止， b 边 c 边角 a， 三角形两边加角，确定，整个三角形就完全确定了，对吗？所以呢，这里的 a 方 一定可以表示成关于 c 边的函数，或者表示成关于角 a 的 函数，因为这两个变量只要有一个确定了，整个三角形就是确定的。 所以接下来呢，咱们只要考虑一下，那到底是前面这个函数还是后面这个函数，那就得预判一下，哪个函数计算量更小，就用哪个函数。那为此呢，咱们先把 a 方表示出来 啊，用 b 边 c 边和角 a 来表示，那就是余弦定里， b 方加 c 方减二 b， c 乘空三 a 啊，先把 b 边呢换成根三倍的 c 边，这里是三 c 方加 c 方四 c 方，再减去二乘根三 c 乘 c 二根三 c 方乘空三 a。 好，提出 c 方啊，提出一个二 c 方吧，二 c 方乘上二，减去根三倍的空散 a 啊。那么接下来呢，咱们考虑一下啊，是把 c 边换成角 a， 还是把角 a 换成 c 边？ 你想啊，如果把角 a 换成 c 边，那么这个地方呢，知道的是散 a 等于 c 方分之根号三， 那么 cos a 应该是正负根号下一减三平方 a 有 正负有根号，感觉上不会太好算，对吧？但是呢，如果把这里的 c 方 换成是三 a 分 叉根号三，来看一下得到的这个式子 啊，这里的二乘上根号三作为系数放到前面，后面呢，剩一个三 a 分 吃二减去根三倍的空三 a。 那 么接下来呢，就把这坨柿子的最小值求出来就可以了，而这个最小值在之前的视频当中求过很多次了，还有印象吗？ 来，咱们呢，再说一下这个方法啊，还是呢，用反推的思想，我们就把要求的这坨式子设成 t 好， 那么当成是一个关于角 a 的 方程，只要这个方程有解就可以了。为此呢，先整理一下啊，散 a 呢，乘过去 t 倍的散 a， 负根三 cosine a 挪到右边，加根三倍的 cosine a， 它等于二。 好，左边呢，使用辅助角公式，根号下替方加根三的平方乘上 cosine a 加 sine， 它等于二，那么两个正数相乘等于二，各位同学想一下，一个数越大，另外一个数肯定越小，对吧？ 现在呢，要求的应该是 t 的 最小值，所以就需要根号下替方加三是最小的，所以这个正弦得是最大的，正弦最大等于一， 所以呢，根号下替方加三就大于等于二，算出来 t 大 于等于一。好了，所以呢，带回到这个式子，这个部分，大于等于一，整体大于等于二倍，根三又一次拿下了，看懂了吗？ 好，另外呢，我知道啊，有的同学呢，这一问，在考场上选择了用边去做计算，然后呢，算了很久，死活都没算出来。 这个情况呢，也不能说不正常，就是自由变量选错了。但是呢，你要知道啊，一旦你意识到这种方法算不下去，就应该赶紧换成另外一个函数，不要在一棵树上吊死，多换几棵树去试一试，说不定就活了呢， ok， ok， 那 来到最难的第三问，这问呢，就得有个图了，来，先看一下条件啊，知道呢，角 a 六十度， c 边等于一，这个角六十度， c 边等于 b， 边等于根三， c， 那 就是根三。 所以呢，此时三角形 abc 两边加角确定，这个三角形完全确定，其他的边和角想求的话都能求出来，但是也不着急求，如果后面用得上，咱们再求。 ok， 好，接下来呢，给了 p q、 r 分 别在边 a， b， b， c， c， a 上，并且呢， p q 等于 q， r 等于 r， p 说白了就是一个等边三角形，三边全都相等，来简单的画一下， 好，求这个等边三角形面积的最小值，那说白了就是求边长的最小值嘛，咱们呢，先把边长设成 x。 好，那么作为一道压轴题的最后一问，我觉得最重要的就是把思路怎样思考给大家说清楚，而不是只扔一个解法就完事了。所以接下来我先花点时间讲一下，拿到这道题目，我是怎么分析的，大家重点把这一趴给他听懂。 ok， 好，那么既然求最小值呢，这道题肯定还是一个动态图形问题，其中呢，三角形 a、 b， c 是 完全确定的，但是等边三角形的大小是可以变化的，对不对？ 好，所以呢，肯定还是函数思想，得把 x 表示成某个或者某些变量的函数。但是这道题的难点在于，它不像第二问那样，谁是自由变量非常清晰。 所以此时呢，咱们先来分析一下，先分析啥呢？先分析一下自由变量的个数，这道题目当中到底有几个自由变量？ 好，这里呢，这么分析啊，就是 p、 q， r 三点当中起码有一个点是自由变量，对吧？比如说呢，咱们先假定啊，点 p 是 自由变量，好，我让点 p 可以 自由移动，那么接下来我把点 p 的 位置固定下来放在这里， 那么咱们看一下，当点 p 确定下来之后，那么能使得 r q 两点也是确定的，来告诉大家，这个是可以的，为啥呢 啊？比如说点 r 这个点它在线短 a c 上啊，假设呢，我把点 r 放在这里， 那么各位同学，只要 p r 两点确定了，根据等边三角形，点 q 自然是确定的，对吗？ 好，但是有一个问题啊，就是点 r 自由移动的时候，根据等边三角形确定出的点 q 不 见得能落在线段 b c 上，对不对？但是呢，这道题要求点 q 必须在 b c 上， 所以你看，当点 r 在 运动的时候，点 q 也会跟着运动，那么很明显，点 r 必须运动到某个确定的位置，才能使得根去等边三角形得到的点 q 恰好落在 b c 上。 所以呢，这就说明，只要点 p 确定了， q r 两点必须也得是确定的，因为这里呢，会有两个限制条件，等边三角形以及点 q 在 b c 上，两个限制条件就能确定两个变量。 好，所以呢，从这里分析，这道题呢，只能有一个自由变量这一说，到底选谁作为自由变量，等会咱们再讨论。总之，这道题只有一个自由变量，所以这个 x 可以 表示成单变量的函数，理解了吗？ 啊，那么接下来咱们看一下，把 x 表示成哪个变量的函数？呃，在解三角形的问题当中呢，常见的自由变量无非就是三种边 角点，所谓的点指的就是渐信用点的坐标来解析，那么考虑到等边三角形，它呢会有三个六十度的角 转化角呢，比较方便，所以我个人会优先选择用某个角作为自由变量表示 x， 如果不行的话，咱们再尝试其他的自由变量，那么选哪个角呢？ 这道三角形 abc 的 三个角全是确定的，三个六十度也是确定的，所以呢，就只能选比如说这个角啊，或者呢这个角，或者呢这个角，那么类似的这些角看上去地位都差不多，咱们呢随便选一个 好，比如说咱们设角 a p、 r 等于 theta， 那 么接下来就是要用 theta 表示出 x， 对 吧？但是呢，你会发现好像没办法直接把 x 给它算出来， 比如说你用三角形 a、 p、 r 来算的话，这个三角形当中三个角都是确定的，但是 a、 p、 a、 r 这两条边不知道没办法直接求出 x， 对 吗？ 好，所以此时呢，咱们的思路可以调整一下，就是你可以把 theta 和 x 都看成是变量，把刚才说的两个限制条件等边三角形以及点 q， 在 b、 c 上 把这两个限制条件转化成关于 theta 和 x 的 方程，再通过解方程求出 x。 就是说白了，咱们从小学开始一直都是这么解题的一个东西，如果能直接求就直接求，不能直接求怎么办呢？先把它用方程表示出来，再解方程就完事了，能理解吗？ 好了，所以呢，想得到方程，咱们用一下刚才的两个限制，第一个等边三角形，那么三条边呢，都是 x， 然后说这个角 pi 减三分之 pi 减 c， 它 三分之二派减 c， 它。然后呢，这个角派减 c， 它减三分之派三分之二派减 c， 它。接下来这个角派减三分之派减去三分之二，派减 c， 它应该等于 c， 它 好，那么再往下什么角 b 角 c 之前说过了，想求的话都可以求，但是那个数不是特别美好，所以咱们先分析到这里，如果后面必须要求的话，再把它求出来， ok， 行，所以呢，第一个限制，等边就用完了，但是只用这一个限制肯定是不够的。这道题呢，咱们之前分析过，是因为有两个限制点， q 在 bc 上，所以才有一个自由变量。那么接下来第二个限制， q 在 bc 上如何使用呢？ 呃，非常简单，你就先把它变成一个等式，其实呢，就是 b q 加 q， c 等于 a 边， 你看，如果 q 不 在 bc 上，这个等式显然不成立，对吧？好，那么接下来从这个等式出发，一定可以转化成 x 和 c 它，咱们呢，具体的来算一下啊 啊，首先呢，这里的 b q 可以 放到三角形 p b q 当中这条边是 x， 这个角已知角 b 也是确定的。用一下正弦定理， x 比上三 b， 它呢就是 b q 比上三三分之二 pi 减 c， 它有没有问题？好，所以呢，这个 b q x 乘上三三分之二 pi 减 c， 它再除以三 b， 然后呢， q c 就 放到三角形，而 q c 当中，一样的啊， x 比上三 c， 它呢，应该是 q c 比上三 c 它，所以呢， q c x 乘上三 c， 它比上三 c， 它等于 a 边。那么各位同学看一下，整个这个方程当中，什么 a 边三 b 三 c 都是确定的，对吧？所以呢，这个方程就是 x 和 c， 它之间的函数关系，看出来了吗？ 好，那么接下来呢，就只剩计算了。来，首先呢，这里的散 b， 咱们呢，先变成根三倍的散 c 好 去分母，同乘根三倍的散 c， x 乘上这里呢，是一个三三分之二 pi 减 c， 它加上这里去分母，剩一个根三倍的散 c， 它 啊，右边呢，就是根三倍的 a 乘三 c。 然后这个地方呢，做一个小小的转化啊，根据正弦定律， a 比三 a 等于 c 比三 c， 所以呢， a 乘三 c 就是 c 乘三 a 好， c 边呢是等于 a 边等于三分之派三 a 二分之根三，所以右边算出来二分之三。 ok， 那 到此为止， x 和 theta 的 关系就有了。接下来把这坨式子整理出来就完事了。 来，散三分之二派 cosine theta 二分之根三 cosine theta 减 cosine 三分之二派 cosine theta 就是 加二分之一 cosine theta， 再加上根三倍的 cosine theta 二分之一加上二根三乘 cosine theta 啊，右边呢，是二分之三。那么海氏对这坨式子使用辅助角公式，先算一下系数啊，根号下二分之根三的平方四分之三加上这坨的平方四分之十三加四倍根三 啊，应该是一个四加根三，对吧？ 好，后面呢，乘上三 c， 它加反它等于二分之三。 那么算到这里呢，就和第二问一样的啊，这两个东西相乘为定值，正弦越大， x 越小，正弦最大为一，所以呢， x 的 最小值这坨呢，除过去 二倍根号下四加根三分之三。好了，边长的最小值有了，那么等边三角形的面积，四分之根三乘边长的平方 啊，最小值呢？大家自己算一下。 ok， 好， 最后呢，应该是一个二零八分之三十六，根三减二十七，这道题就拿下了，我说清楚了吗？ 好，所以呢，其实对于这样一道题目来讲呢，我可以只把这个过程给你们讲一遍，展示一遍，相信各位同学也能看懂。但是我个人觉得这种想法对于不会做这道题的同学来讲没有什么帮助， 一定得把这道题分析上的要点说清楚，为什么只设出一个变量 theta 就 可以了？顺便呢，咱们从几何上分析出来了，这道题只能有一个自由变量，那么接下来为什么会用 bc 这条边去寻找 x 和 theta 之间的等量关系？ 因为呢，怎么发现就是这道题之所以只有一个自由变量，是有两个条件限制的，一个是等边三角形，另外一个是点 q 在 b c 上。如果你也能把这些东西分析清楚，自然也能想到同样的思路。 好，那么最后一个小问题啊，一定会有同学问说，老师，那点 q 在 b c 上是一个限制，那么点 r 在 a c 上应该也是一个限制吧？ 哎，是的，但其实呢，这个限制咱们已经用过了，正是因为点，而在 a c 上，咱们才能算出这个角是 c， 它能理解吗？好的，那这道题就说到这里。

近年来热度最高的两道解三角大题，你认为哪一题的难度和解析思路复杂？

数学零基础，三分钟我们搞定数学高考压轴正题！好，我们来看一下这是一卷的多选的最后一个，我们来看下这道题目的话，其实， 哎，读起来的话是比较简单的，题目条件给的非常少，但是题目的选项判断是非常复杂的，在这样子的问题中，我们学会要干什么？要引入特指法， 特指法的话能够帮助我们节省大量的时间，否则我们一个一个的去证明 a、 b、 c、 d 的 话，我们将会非常麻烦。好，我们来看一下特指法该如何应用好。首先对于第一位是不是我们翻一下条件， 他给了一个面积，面积公式给了一个啊括号的关系，还有一个括号和塞的关系，是不是我们就要注意了，背角公式我们得记得是不是背角公式等于什么？一减二倍 三 a 方，是不是？那我们就替换出来就是一减二倍的三 a 方加上一减二倍的三 a 方，加上二倍三 a、 c 是 不是等于多少？等于二， 刚好两个一约掉，是不是？结论呢？就是什么三 a 方加三 a， b 方等于三 a、 c， 所以 a 选项可以直接判断好，这里特制法来了，我们都知道三引 c 是 等于什么，它是不是等于三引 a 加 b 对 不对？我们展开出来是什么？三 扣，然后呢？扣塞是不是？所以我们会发现这个式子中有个什么样的哎，有个什么样？比较关键的地方就是我们可以直接判断其中的括号以内是不是等于三引 a， 考三引 a 是 不是等于三引 b 对 不对？我们把它赋值之后呢，会发现 a 这个式子是相等的题目，他又没有其他要求，那我们就可以这么改， 对不对？那其实就是说我这个式子是符合题目条件的，那在这样的情况下，我们称之为什么？你看三等于括，我们称之为什么？互余吗？ 是不是？如果我们能在这里判断出互余的话，那么这个题就非常好做，我们就知道角 c 原来就是什么九十度，是不是角 c 等于九十度？哦，你就说就明白了，角 c 等于九十，那三以内 c 我是 知道了，对不对？可三以内 c 也知道了，对吧？三以内 c 等于什么？ 三以内 c 是 不是等于二等于一固定值？ cos 以内 c 呢？等于什么？零？好，那我们就知道了哦，在这个式子中，是不是 cos 以内 c 乘 cos 以内 b 乘以一等于四分之一，所以 cos 以内 a， cos 以内 b 等于四分之一。 而且我刚刚还说了， cos 以内 a 可以 换成什么？ cos 以内 b， 是 不是 cos 以内 b 呢？可以换成 cos 以内，所以这个式子呢，也表达了 cos 以内乘以 cosb 是不是也等于这个四分之一，对吧？也是四分之一。那么再来看面积公式，那么这里的面积呢，我们可以标一下了，小 c 边小 b 边小 a 边直角三角形，所以直接应该是 a 乘以二分之一等于四分之一， 所以 ab 等于二分之一。有三引 b， 三引 a， 还有 a 乘 b， 那 我们第一时间想到的是什么正弦定律吗？小 a 小 b 除以三引 a， 三引 b， 是 不是就等于二乘二？二是不是等于多少？ 是不是 a 比三 a， 我 们要记得它是什么？它是我们二 r 的 定义吗？是不是？所以得到什么四 r 的 平方等于二，对不对？所以我们的二 r 等于多少？根号二， 有了这个东西，是不是我们最终三引 c 就 知道了，因为他要让我们算什么 ab 边， ab 边就是小 c 吗？是不是？所以我们的 c 比三引 c 也是等于二二的，是不是得出来小 c 边呢？就是二，二乘以三引 c 等于根号二， 是不是？所以 b 选项也是对的？好，那再看 d 选项， d 选项是很简单的， a， c 方加 b， c 方勾股定力，是不是？小 a 方加小 b 方应该等于什么？小 c 方应该等于二，所以 d 是 错的。好， c 选项倒出来也非常简单的。三 a 加三 a 加三 a， b 怎么算呢？是不是两边进行平方， 对吧？三 a 方加上三 a 方加上二倍的三 a 乘以三 a b 等于四分之六， 是不是？三 a 方加三 a 方等于多少？等于一，是不是？怎么判断的？我们可以换掉其中一个吗？对不对？三 a 可以 换成可三 a 方， 是吧？那就是什么一了吗？对不对？那这里呢？固定是二乘以四分之一，对不对？一加上二乘以四分之一，判断出来 c 选项对的，所以这个题选择 abc 是不是？这就是特指法的魅力，我们只要能提前去判断题目，又没有要求说这个方向盘是长什么样子，如果我们提前能判断出这个互余的条件，那我们就得到了 c 式直角，那么做这个题就会非常的快速。哎，同学，你学会了吗？

hello， everybody 让我们来看一下十二月二十二号这一道高考数学冲刺的每日一题， 今天为大家带来的是一道关于圆的填空压轴，大家可以先暂停看一下题干，感受一下这个题目的难度。如果对我们这个系列比较感兴趣，可以点赞加关注加收藏，下次再看，不迷路。 而我们要去求任意一个三角形的外接圆的面积，你别管别的，对于这个三角形，对于我们这个圆圆而言，它的面积肯定是等于什么的， 等于我们的啊， pi。 而二方的也说我们的主要目标就距离在聚焦在什么求这个半径上面，因为 pi 我 们是不用管它的。但问题就来了，三角形的外接圆 半径该如何求？好像不是特别容易，但是注意到这个题干给到了一个背景，是什么呀？是一个平面直角坐标细的背景是吧？而也就而这三个点 是不是这三个点， abc 三个点，它是既被我们的曲线 x y 加一等于零经过，也被我们的曲线 x 方加 y 减四等于零经过。而我们知道，在我们的平面直角坐标系中，任意一个圆，它都是可以用圆方程来表示出来的， 那我们不妨设它的一般方程为多少？设圆为 这里就 x 方加上 y 方，再加上得 x， 再加上 y， 再加上 f 等于多少？等于零。那么此时此刻，我们只要能够把这个呃圆方程中的得 e， f 这三个参数给解出来，那么我们就可以用标准式把这个圆的什么呀，把这个圆的半径给求出来了。 这就是结合了平面直角坐标系中之后，对我们圆的半径做的最好的 呃，解读方法。但是问题来了，这里得 e、 f 三个参数，该怎么去解呢？那我们就来想一下， 因为我们知道圆是经过 a、 b、 c 三点的，而 a、 b、 c 的 三点同时在哪里？同时在我们这两条曲线上，那么也就是说我们可以把这两条曲线 把这三个东西怎么样黏腻起来啊？我们可以把这三个东西同时黏腻起来，是不是？那么怎么去黏腻？我们看这里有 x 方也有外方，要说 x 方或者外方是可以被带掉的， x 或者 y 也可以被带掉，那带谁比较合身？你看啊，这里 x 方可以直接有现成的是吧？我们已知 x 方它是等于四减 y 的， 我们这里同样呢，我们就 x 都把 x 带掉， x 还等于多少？等于我们的负 y 分 之一，那么 我们就可以把我们原原来的原方程中的 x 方给带成四减 y， 把我们的呃 x 给带成负 y 分 之一，也就是说相当于把我们所有的 x 全部都化成 y， 而且是选择性的去化，而不是一下子集中性的有呃， 全部异古拉往里面去是吧？把 x 全部都当负外分之一往里面带，把 x 全部都当四减 y 里面带。哎，这样是行不通的，我们要选择性的去进行处理，从而我们就令 这里的 x 方等于四减 y， 然后呢，异 y 它等于 e 乘以负外分之一 是吧？所以圆方程等于多少？从而我们的圆方程它就是等于我们的四减 y， 再加上我们的 y 方，再加上得倍的负二分之一，再加上 y， 再加上 f 等于零，是不是？但是只是这样一个式子，我们把它处理出来，好像得 e、 f 这三个数，它没有对照值，也许我解不出来，那怎么办？ 我们注意到啊，我们还是那句话，这 abc 三个点，它既被我们这既在我们这个外接圆圆的三角形的外接圆上，也是同时在什么呀这两条曲线上面的。所以我们不妨连立 我们的啊， x 方等于四减 y， 就 把这两条曲线连接起来， x 方等于四减 y 和 x 等于负二分之一，所以我们就可以得到一个式子，就是 y 的 三次方，或说是四减 y 等于负二分之一，这样可以进行化简，可以得到的是 y 的 三次方减四， y 的 平方 加一等于零，是吧？然后呢，我们再拿这个式子有 a、 b、 c 同时在这样的式子上面，或 a、 b、 c 也同时在这样的式子上面，那我们就综合来进行比对一下就可以了。但是上方的式子它没有三次项说明什么，而但有个负二分之一，所以我们对上方的式子还可以进行一个怎么样？ 还可以进行一个转化，把把它升一下次。所以像同时乘个 y， 我 们可以把它变成多少？变成我们的四减 y 乘 y， 再加 y 方，再加上，再减得， 再加上 e 外方，再加上 f， y 等于零，是吧？然后呢，此时我们就得到两个式子要去进行比对，一个是我们照搬过来的 y 的 四次方， y 的 三次方减去四外方再加一等于零。还有一个是多少？还有一个是啊， 这里是 y 的 三次方， y 的 平方乘外就是 y 的 三次方减去 啊，再加上我们的 e 减去一倍的 y 方，再加上 f 减四减 f 加四倍的 y 啊，那再减得等于零，然后呢，一一对应，我们就可以得到， e 减一它就等于负四， 然后呢， f 加四它就等于多少？ f 加四等于零，然后呢，负得等于多少？等于一，从而 e 等于负三， f 等于负四，得等于多少负一。所以我们的圆方程， 所以我们的 r r 圆它就等于多少。 r 圆的方， 它就是等于四分之的方。加一方减去四 f， 这个圆方程我都不用把它还原出来了。等于多少等于等于四分之二十六，等于二分之十三。哎，应该叫这样 r， 所以 我们的 s 圆就等于多少等于 pi， r 方等于二分之十三。 pi。 好， 这就这个题目还是比较曲折的啊，需要一定的理解是吧？我既需要 对我们留我们这一个双曲线的平面直角坐标系背景去联系到我要联想到我要设圆方程， 也需要去联想到我要去把这个两个双曲线的方程连立起来之后，和我们化简之后的圆方程进行一一对应的比较，从而把我的 e、 f 的 的 e、 f 三个参数值求出来，最后去用我们的 圆方程中常用的半径的求 o 解的那个用参数求圆半径的方法把我们的半径求出来，而外界半径又怎么样处理出来了？这也是我们今天的内容，还是有一定的难度的，需要理解。如果有想有什么 想法或者困惑，对于这个题目的，可以在评论区留言或者后台私信大家友好交流。如果对我们这个系列比较感兴趣，可以点赞加关注加收藏，顺便转发给你觉得有需要的小伙伴，大家一起每天变得更强！今天就到这里拜了个拜！