数学三答案2026最后一题过程

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同学们大家好，欢迎大家走进金城课堂，我是金城考研侯老师，今天又和大家一起来分享关于二零二六最新的考研真题的考后的解析。 那么今天内容我主要是分三块，第一块就是今天我们考的最新的我们的考研数学真题的一个解读，已经整体的难度以及我们的一个考试情况。那么第二块就针对数学三，我们做一个部分题目的一个真题解析。 第三就根据我们最新的专题，我们二零二七以及二零二八我们的考研学生怎么去备考我们的考研数学，我们做一个整体规划， 接下来我们先看一下我们的我们的一个整体情况，那么这边我是接选了我们的升数学三的专题，我接选了一部分， 比如说我们第一个题考的是间期线，这个题是非常常规的，而且这个题在我们基层考研的暑期我们的测试上已经考过了，就是问有没有水平，有没有铅直，就这是一个常规考题。那么我们整个数三试卷，其实我们选择的第 十题，这个题考的是什么？一个无记性，是不是有无记性就考你的是这个答案是选的是 d， 那么这个题其实如果直观去正这个不等式，还是有一定难度的。但如果大家可以赋值法，对于他说对于任意的 m 和 n， 如果同学们可以赋，比如 m 和 n 分 别都等于一，我们可以快速求出答案，所以这个题大家要注意一下，我们可以快速的去赋值， 这是关于我们的选择。那么填空其实整个数三相对考的还是比较基础的，那么第一道其实我们前面真题已经考过了，就是让你去算 我们的积分，那么你只需要对这个 x x 减一把，它配方就可以了，就这个可以配方其实就是 x 减二分之一的方，然后 x 方减 x， 然后再减去四分之一， 然后你再乘上 x 减二分之一，它让你去算这种积分零到一上，很明显你只需要把它看作 t， 这就是负一到正一上，这是一个 g 函数，这是二次方，这是一次方，所以积分是零，那么这个极限是一个非常常规的通分就可以了。那么对于这个连散性，其实这道题问一下， p 的 取值范围就在这个开区间内， 在零到二这个开区间内，那么这个题其实我们在金城考研暑期讲义上讲过，和它基本上是完全一样的题目， 就是考你是霞积分还是无穷积分，然后霞点是零，又是无穷积分，所以你要拆成零到一，一到正无穷去算，那么为方程的特解，那这一块我没有给出题目啊，因为是刚考完，所以我还在整理中，那么这个解答案是对的哈。 那么对于二次型的题目啊，让你算下 a 加 b， 你 只要抓住二次型的质是一就可以了，那么概率题目也是相对比较常规的， 所以我们填空题其实相对是比较常规的。其实整个我们今年的二零二六的考研数学，那么数学三的难度是一定会比二零二五简单，因为整个二零二六我们的解答题其实是没有证明的， 就是说我们还是以计算为主，相比二零二五是偏简单的，但是我们还是考察是以什么基本功，比如大题考的什么密级数展开，还有偏导数、求导数以及导函数是不是连续，包括极值、重积分，都是非常常规的题目， 所以就是整个我们今年的一个考试情况，就数学三，我只说数学三，那么数学三其实难度是比二零二五是要简单的，但是大家注意一下，简单并不代表你可以拿高分，就是说我们很多题目计算，大家注意下，尤其是刚刚说的，你像我们的这个 第十题，包括我们的第四个填空，考的是一个一个经济经济学应用买正就是买那个，那个就是经济学应用，问一下这个平均购买的花的平均消费 就是买的正这个，这个经济学应用里面那个题目，其实那个题还是有一点点小小小的难度的，这就考的是一个平均值问题， 那么填空其实相对来说比较常规，那么解答题，呃，还是一计算，比方说这个二十题计算，大家注意下，虽然给了区域是对称性，但可以有轮换对称性，但是这个轮换对称性我们一般不会用，你直接用什么，直接用我们的 x 型区域去算会比较快一点， 所以这是我们整个的一个考试情况。那么针对我们最新的二零二六的考研数三专题，我们可以看一下，简单的回顾我们的压体情况，比如说我刚刚讲到这个极数展开，你看我们考的是二阶 x 方，这是个常数，这个算出来是四分之一， 这个二减 x 方展开密级数，其实你看看我们的领读的直播，讲的是它基础的课程，讲的是它展开密级数，完全是一样的，后边的积分是个常数，是四分之一，其实不影响你的答案。 那么包括我们刚刚这个间期线 x e 的 x 分 之一，针对 x e 的 x 分 之一，我们特意考了这个 x e 的 x 分 之一， x 一 的 x 分 之一，所以前面只多了一点点函数，所以这是类似，这是我们的题目非常非常相似的，这就是我们整个二零幺六我们的押题，那么包括我们的刚刚讲到这道题，问一下 h f 一 撇 x， 问 f 一 撇是不是连续给了一个变现积分，大家可以看到我们也搞给我们，在我们的进程的测试里面， 我们可以也给出一个变相积分，让你求导数，证明导数连续，大家可以看一下，完全是一样的， 就是说我们也是给你变相积分，我也是问你导数，证明导函数连续，这都是非常非常相似的题目，所以你不能说啊，完全一模一样。那么何老师一定就是说不能保证跟你完全一模一样，但是我能保证你考点我们的题目相似度是绝对高度相似的。 比方说刚刚讲的这道，那么阿克泰特的 x x p 四方，那我们也讲过我们自己，我们的首席讲义上也是阿克泰特的 x 方 lo lo 等加成 x 方，所以完全相相类似的就基本上都是一模一样了。问 off 的 范围，我们整体考的是 p 的 取值范围，这都是我们的一个整体的情况， 那么以及我们的概率的最后一个题考的是什么？考的是最小值的指数分布，最小值的可加性， 所以我们和我们这个题完全是一样，这个应该是完全一样，然后还要求什么？求期望，所以我们今天也是考，你求期望，求方差，求最大。私人估计 是完全一样的吧，考的确实就是个结论。所以今天中午考完之后，有同学说，那何老师我数学一百五稳了，他说，老师你先不要回我消息，下午考完之后我们我只你再回我，我绝对稳了。 所以我不知道。同学们，呃，这个同学当然是考复旦的，学习也是非常不错的，所以他为什么敢说这句话？就因为我们在精神课堂上都讲过类似的题目， 至少我一眼拿到这个题目我一看非常非常熟悉，包括我们数三的盖，数三的现代。我们今今天考的是什么？求吉他关足，证明 r 发一 r 吉他关足，并考你音式分解矩阵。 a 等于记成 h， 那 么这个是我们 在二零二六金城暑期和春季班响应上原题。但是我们今年的最新真题还就只多一问，算 a 的 十四方， 那么只要用什么 a 等于哎 g h， 那 a 方呢？就 g h g h， 然后你把它算出来，这个式子其实是一负一零一，然后规范法，那么 a 的 三次方呢？就是 g h， 然后就是这个数字哈，就是 j 乘它 h， 相当于里面，相当于这个就变成了 j 一 负一零一， 然后 h j h， 然后这个你先乘这里得到什么？得到一个 a 的 三 等于 j 一 负二零一 h， 那 么以此类推， a 的 十， 那么正好就是这一负九零一 h， 把算出来就行了。这一本题算 a 的 十四方，不允许用对角化，因为这个矩阵是不能对角化的，大家可以去算一下，它是不可以对角化的， 所以这就是我们今天的数三真题，这是我们在暑期和春季给的奖励上的题目，它只多了一问 a 的 十四方。 那么这是我们整个的一个考试的情况，就是我只做了部分题目，大家看到我只做部分题目，我没有做完整，所以今天我也只是拿我们的数学三我们做一个专题分析，那么通过二零二六的专题可以发现我们的特点还是重三斤， 所以基础题占的比例很大，而且今年没有出现证明题，所以都是考大家计算能力，所以大家计算能力要突出， 就是在有限时间内你要拿高分。所以对于二零二七考研的同学来说，同学们，从现在开始你还是要第一抓三基。何为三基？就是基本概念， 第一叫基本概念，第二叫基本理论，第三叫基本方法， 就是概念理论和方法，然后再加上它的应用。所以通过今年的数三专题，那么大家还是要关注和经济学相关联的一些应用。 我们今年的选择题第四题就考到，就是说啊，一个公司啊，他的一个证券价格是多少，证券价格是多少少，然后买的就是买了多少股，买了买了多少份额，让你算平均的消费是多少， 这是我们今年的哈，就是和证券买证券给股票类似的，就是每股多少钱，然后买了多少股，让你算下平均价格。大家还是要会经济学应用，有数三同学可能大部分都是商科，但是有些同学可能也没学过金融，大家还是要注意一下， 所以对于二零二七，二零二八的同学，大家还是要注意，思想不变，就是三基和计算为主， 那么证明题大家还是要关注泰勒公式相关的证明，虽然说二零二六没有考证明，我们二零二五，二零二四，二零二三都考了证明题 大家一定要清楚。所以针对我们今年的考研数学，如果同学发挥的比较好的话，可以赶快准备好你的复试，把复试准备起来，千万不要等，如果等成绩一出来，你再准备复试，那是有点晚的，所以现在如果你你自我评分评分的比较好，那么你就准备我们的复试课， 如果你觉得啊你的分数还是有冲一冲的可能性的，那你还是要动起来。那么对于二零二七，二零二八同学，我们以三基和计算为主，按照我们的学习计划正常的推进我们的学习， 这是我们整个今年的一个整体情况，虽然说今年整体难度不大，那么明年的话，难度我们其实这几年还是比较平稳的，只是说今年少了证明题， 那么以计算为主，所以难度比二零二五是相对来说是低减的，但是说也没有想象那么简单，大家还是要按部就班的去准备我们的学习， 那么我今天主要是讲数三，那么数一数二同学们还可以更多的关注我们金城考研数学课堂， 我们在后续的直播，包括我们的营销里面，大家可以关注我们对我们对数学一二三完整的专题解读，那么同学们可以扫一下我们精神考研的公众号， 那么可以关注一下我们对二零二六整个专题的进解读情况，包括我们后续的专业课，像我们的金融，四零八法术等等， 大家可以关注，我们都会在这两天会做一些我们的直播，以及大家索取我们完整版答案，都可以扫码加我们这个群，关注我们晋城考研的公众号，这是整个的二零二六的数学的情况，那么请同学们及时关注我们晋城考研，谢谢大家。

二十六年春新版三年级数学寒假作业来了，老师已经整理好了完整版三十天带答案最后十页，包含下册的预习知识，每天一夜开学逆袭黑马。

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这个视频回答一些学生的问题，对于多选择题，如果我只蒙一个选项的话，我应该是蒙 abc 的 哪一个？ 或者有一些学生问，对于最后一个多选择题，我应该是选三个还是选两个呢？这个视频呢，我们就逐一解答。好。大家好，我叫潘老师。我们先看一下历年多选择题的情况呢，前三年 他是两个选项的情况比较多，最近的三年三个选项的情况呢，是比较多的，所以最近的高考建议呢，选三个。 好，我们再来看一下，从这个表格可以得到以下这几点一点，对于最后一题的情况下，最近的三年都是选三个的，所以在一些预考，有一些学霸呢， 在 a、 b、 c、 d 里面发现了某一个选项是错的，则毫不犹豫的选择剩下了三个选项，就是基于这样一种考虑了。 所以如果最后一个你在犹豫选两个还是选三个的时候呢？从数据来看，建议选择三个好。接下来看第二点，我们可以发现，所有的选择题都没有出现 a、 b、 c、 d 的 情况，所以在高考考场上，别灵光一闪，我直接把全部都给选上了，这样子 是不是就差不多只有我一个人做对了，建议别这样子啊，然后多选的全部都选的情况下呢，是很少的，包含作业、月考在内，基本上，呃，等你毕业了都没能遇到几个啊。 对于最后一个问题，我只蒙一个选项的情况下，应该蒙哪一个？这里呢有个建议，对于前两个呢，建议蒙 c， 对于最后一个，我是建议懵逼的，因为这样子的争取率呢，是最高的。

开了你重新开头就行了哦，我听得到好好的。好同学们，大家好，同学们大家好，欢迎大家走进金城考研直播间，我是金城考研侯老师。大家进我们的直播间，我是金城考研侯老师。 今天约我大家一起来分享一下关于二零二六最新的数学一二三整体完整版的解析。因为昨天前天我也讲了我们的一个简版的解析， 所以今天我是讲的是完整版解析，所以同学们可以看一下你的过程和答案。那么其实整个二零二六的考研数学，无论数学一二三，其实难度都比二零二五要低的，因为今天我会讲数一数二数三， 难度其实都是比我们二零二五要低的，无论数学一二三，那么这也给大家对二零二七考研的同学我们提了一个方向，所以对于二零二七考研同学，大家还是要重三斤重，我们的计算，所以按部就班去学习就可以了。 那我们先我们先看一下数学一，今天我会讲一二三，哈，我们先看数学一，那么整个数学一其实还是以计算为主，虽然考到了证明题，那证明题相对来说比二五二四二三都要简单一点， 我们可以看一下我们的选择，那么选择题这个题我们数三数二都有一个，这是共同题目，我们可以看一下， 那么他呢，就算的是一个偏导数问题，引函数求导，这是一个常规的考题，答案是 a， 所以 这个你只需要按照引函数求导公式就可以了，这个没有任何难度。那么第二个极数题目收敛域，这是我们春季基础班， 我们春季基础班一直讲的最常规的题目，其实你只需要把它当做一个数项，比方说我当做一个数项就是密文， 然后你用什么，你用根直判别法，让根号下小于一，你去解 x 的 范围，你会得到我们的开区间，即为答案。因为端点值肯定都是发散的，那么整个数学一选择题有点难度的是第三题， 这个题是有难度，所以同学们做这个题还是有点难度的，那么他给的是一个概念题目，其实我们已经从二四二五二六连考了三年，像第一题，他说一边减一边增，他说一边减一边增， 他一定是极小值吗？其实他没有说连续，所以 a 其实是缺连续性的，那返利很多，比方说返利很多，那么你这边减，你这边增， 如果这个点我就补到这个实心上，那么这就是这就不是极值了，所以这样的选项哈，我们返利很多，我只是给了一个，那么下面这个他说如果 f 零是极小值，会不会一边减一边增？ 那么我们集值的充分条件是什么？给条件判集值，所以这是有集值判条件，所以这个直观告诉你也是有问题的，所以他说如果是集值，他说一定是注意，他说一边减一边增，我这边给大家一个例子，看下大家这个例子， x 不 等于零的时候，负 x 方加一，说明它是这样的图形，大家可以去看一下， x 取零，它是一，也就是这样的一个图形， 那么我把它放到这儿，那么这个零就是极小，这这个零就极小值，所以左边不是减 左边，他并没有满足左边减右边增吧。那么其实这个题的 c 和 d， 那 么到底就是他是凹，还可以推他，还是他可以推凹，这个题和二零二五的真题非常像， 注意这道题哈，我们书上也有这个题，那么如果它是凹的，那很明显，如果它是凹的，那么按照我们的这个曲率问题，我按照我们的捷径，就这是咱这一点是 x 一 x 二， 这是一个一，你会发现啊，那这个斜率一定看看 x 的 斜率，就这个斜率啊一，一和 x 的 斜率是不是要比一和 x 一 斜率大，所以相当于什么意思啊？说明这个 一和 x 斜率要大于等于它，那么你把符号拿过去，那说明 x 减一小于等于它，那么这就说明这个函数是单增的，所以这个题应该要选 c， d 选项，我可以举出例子，它是有问题的，所以这个题有很大问题。 d 选项我给出一个绝对式函数，你会发现，如果 x 大 于零，这个很是一， 如果 x， 如果 x 小 于零，那这个也是增的，但是它不整个图像不是凹的，所以这个题我觉得非常容易出错， 所以这是数二、数一本年我们考的这个选择题容易出错的题目。那么第四题，这是我们春季基础班给过的原题，这个我可以说原题，那么这只是考一个什么啊？考一个一个求，这是一个求半球一个追， 然后他来想，所谓的区域，你用求坐标就可以了，你用求坐标其实就可以了，所以这个题没有任何难度。那么限行代数， 那么题目很常规。第一个题，所谓置换矩阵，其实什么什么叫置换矩阵？就是说白了什么就是有一挨债，就是这种相乘的 换行得到矩阵，所以称为置换矩阵。那么他说如果 a 为置换， a 心 a 逆，是不是置换？所谓置换，按照题目说，就单个矩阵左乘乘行， 那么这样的矩阵，但是你会发现，呃，这样的行变换得到矩阵，行列式是负一，所以你不知道个数，你只能叫若干个， 所以行列式它是每个行列等于负一，如果是基数个，最后就是负一，偶数个就正一，所以你取逆的话也是置换。你取星的话有问题，因为 a 星和 a 的 关系，由这 a 乘 a 星的 a 的 行列式乘 e， 所以 a 星就等于 a 的 行列式乘 a 逆，也就等于正负 a 逆 你不确定是几个一几个负一，所以 a 星它未必置换。同样的 c 和 d， 你 不确定符号，所以是不可以选的，所以这是有问题的。 那么这个题考的比较基础，下面这个这个题整体考过一次了，和他几乎一模一样，他说 a 的 列有 b 的 列表示，那相当于什么意思？相当于就是说 a 的 列 等于啊， b 的 列乘上一个大矩阵，就这是 a， 这是 b， 就这个意思吧，说明 a 等于 b 乘 c， 就是 这个 c 一定是存在的，那么你会发现，根据这个式子，那我两边都成了一个 x 吧， 如果这个有解，就如果是这个有解，说明这个也有解，说明 说明 b x 就是 这是 b y 吧，所以 b y 等于贝塔也有解，所以如果 a x 等于贝塔有解，所以 b y 等于贝塔一定也有解，这个肯定是不会有问题的。真题是除过的哈，那么 这一道其实还是真题，也是不止一次考了啊。这是我们春季和暑期上的原题，这个二次型是原题，一个字都没改，那么二次型矩阵很简单，这三个， 那么它等于负一，就说明什么？这个标准型等于负一，这个图像表示圆柱， 说明这里面三个数有一个是零，两个都是负的，所以 a 只能是负四， a 只能是负四，那么另外两个只能是负六， 所以很明显，所以这个特征根的话，把它拆开就可以了。这是我们春季和暑期讲的原题，所以这个题对于数 a 来说，其实没有什么太多难度。 那么下面这一道，那么平方的期望就等于方差加期望的平方，所以这是一个除等函数白送的分数，这是一个初中数学题目。 那么下面这个第九题，这个题，他说 x 的 分布，他告诉你期望和方差，那么你自然可以想到正态分布，那么 y 了，那你会发现他的求导是多少？他的求导不就是 a 小 f a y 加 b， 如果这边，如果这边是正态分布，那么这个他的期望，他的期望就会变成什么？期望必须里面哈期望，他就变成 就是你，你，你可以把它看到什么大范，就是相当于这个 f 正态分布，也就是 f 正态分布。密度函数是谁？密度函数就是根号下二 pi 分 之一，你可以用它 sigma， e 的 负两 sigma 方， x 减 m 有 方，它的小 f 是 它，小 f 是 它吧，那这个小 f 和它什么关系？多一个 a 就是 根号下二 pi sigma， 然后 e 的 负两 sigma 方，这是里边就是 a y 减 mu 的 平方就变成它了密度函数，那么你看它移一下嘛，那这个式子，这不就是 e 的 负，这是 a 分 子 sigma 的 平方，然后上面都是啊，上面就是， 这是 a y， 这是哈 a y a y 减 mu， 然后 y， 这是 a y 加 b 减缪，你逮住一下，这是 a y 加 b 减缪，这个式子，这是 a y 加 b 减缪，那么这是不是 这是 a 分 子相当于 y 减缪减 b， 所以 这是 y 减去， a 分 子缪减 b， 所以这就是期望，所以这是期望，这是方差，那么他告诉你什么？哎，这个期望是零，这个方差是一，你可以解出来我们的 a 和 b， 所以 这个题大家可以尽快的就是快速的把它做出来就可以了。 那么这一道和数三是同样的，他让你算的谁啊？他告诉你随机变量 x 的 分布率，那么他问你一下，就是是不是具有无记忆性，你先算出来 x 大 于 m 的 概率，这个好算，可以算出来是二分之一二的 m， 三 m， 那 么在这条件下， 那么这就是二分之一变成他了，他只问你这个数你和谁啊？二分之一 二的 n， 三的 n 到底有什么关系？如果是相等就是无记性， 就是 b， 如果不相等就是 d， 那 你会发现，就看什么，就看看你这个式子到底是等还是不等。很明显，你做个一式分解，它是大于的， 所以这个考的是一个相对来说，这是一个排序不等式，所以这是一个排序不等式。这个题还是有点计算量的哈，这个题还是有一个计算量，同学们有问题的话，可以把你的问题啊输入我们聊天区域上，我会看一下大家的一个留言， 大家清楚啊，这是关于我们的，这个就是整个的我们的选择，我们数学一，其实难度并不算大，数学一难度并不算大，我们的选择， 那我们填空，我们可以看一下，其实这个题你也可以带入特殊式，往里带，把数往里一带，答案立马就出来了，就是你不需要太按旧版去证明这个排序不等式，你往里带答案其实也是一样的，答案其实也是一样的。 那么填空题，那么第一个，那么这是一个外积，外积就是一个行列式，然后再算散度，所所谓散度就是第一个分量对 x 求导，第二分量对外求导，第三个对内求导，相加就行了，这是一个函数，这是一个函数， 大家清楚了，大家一定要清楚，这是关于这个散度问题， 下面那这个题是我们最最基础的题目，送分的，没有任何难度，那么直接通分，那么通分一下，然后补一个 x 方，就加一个 x 方减 x 方，为什么加减 x 方？因为后面这一项提供一式，前面这一项还可以提供一式，所以第一个极限 就是零，第二个极限就是二分之一，我们可以到答案就是二分之一，所以这也是相对来说比较常规的题目，大家一定要会哈，一定要会。 那么对于下面这个，那么这是一个，这是一个参数方程，这块我们数二考的会更多一点，数一考的少一点，所以这一道也是送分题， 算二阶导数，先算一撇，利用列式法则两百度替求导数，然后再算一次就行了，所以这个没有任何难度啊，没有任何难度，这是关于 我们的这一个，那么下面反差积分，反差积分，我们数三考的数二，数三考的都是连散性的题目，我们数学一考了一个计算，计算就更不用说了，那到后面分不积分 x 往后拿答案就出来了，所以这个没什么难度， 所以这都是常规考题。那么下面这一道，那么这个题其实我们这几年现行来说，我们二五二四考的都比二六几难一点，他说两个矩阵啊，第一个矩阵特征根的最大特征，特征根 比 b 的 最大，最大特征根是要小的或 a 的 取证范围。那么这个题的 a， 你 算的特征根来自于什么？第一个是一，还有下面两个矩阵， 所以 a 特征根很容易算，那 b 特征根的话，我们也容易算出来，所以得到 a 有 三个， b 有 三个，然后你排个顺序，他告诉你 a 的 特征根的最大的，小于 b 的 最大的，所以两种情况，然后两种情况我们最后合并成答案就行了， 所以这是这个，这个题也是容易出错的哈，所以这个题大家注意一下，我们对于书一来说，有点就是容易容易出错，这是关于十五题， 那么十六这个题送分题，他说他独立，就是 c、 o v 等于零，然后就可以算出来啊，乘积的期望等于期望的乘积，然后我们可以算出来 e x、 y， 这个没什么难度，所以这是数学一 那么数学一的大题，第一题我们数二数三都有共同题目，这个题白送你的分数哈。有先算出极值数点，然后算 abc 啊，一个 abc 加平方。是 啊，小于零，不是大于零就是，所以这个题是速记分数。这个题我们从春季到暑期到冲刺一直在考，大家大家都要会， 那么这个题关于偏导数这个题也不出意外，我们一直在考，那么这句话告诉你什么，第一个是 f 对 x 偏导数，第二个 f 对 外偏导数， 因为题目说小 f 三节导数连续，说明什么？说明这两个的二节导数也是连续的，说明他俩与顺序没关系，因为只要混合片到连续，与顺序没关系，所以他俩相等，他俩相等的话，你就得到什么， 你把 x y 都看成 m， 你 就得到这样的一个式子，其实你化解一下，也就是它的导数等于零，所以它就等于 c， 它就等于 c， 所以 这就画出一个长微分， 就是说你这个题考的意思就是说混合边倒数与次序没关系。那么接下来他告诉你三个出式条件，你看三个出式条件， 因为你是二解方程，所以可以解除 c 一， c 二，也还可以把这个 c 解出来，就是先算出来 f 一 y f 一 星，得到三个乘数，然后代入三个出式条件得答案。所以这是一个长横的题目，这一类题目数一特别喜欢，数二也特别喜欢，所以我们一直在这样考，大家 大家要要明白哈。那么十九题这个题考的其实是简单的，比二零二五要容易多了。二零二五的那个曲线积分还是相当麻烦，他给的就是一个椭圆， 然后从 a 到 b， 然后这个区域不封闭，你需要补一个线，那么你补一个，你得减一个，那么第一个椭圆就是半椭圆的面积，第二个算进积分，两个合并就是答案， 就一个是面积，一个定积分，所以这个没什么难度，这个相比二零二五哈要难，要难度要降很多。 那么证明题，那么二零二五的证明题是考的是一个凹凸性的不等式，那个题是清华大学考研原题，所以那个题是有一定难度的。那我们二十六的这个考研这个题目，这个题目倒更加简单一点，第一问，他说 f 单增这个题目，这个题目倒更加简单一点，第一问，他说 f 单增的话，再负一到， 那么在负一到零上，它就小于 f 零，那么至零到一上大于 f 零，所以你有了这个式子叫负一到零小于零到一，说明这个区间 他就小于两倍的，所以 a 肯定大于零，所以 a 肯定大于零。那么第二问，你会发现这个式子他可他要求二阶导数等于零，所以你会发现 f 一 等于零， f 负一也是零， f 零也是零，所以他有 三个零点，所以它有三个零点，那么大 f 两横撇至少有一个零点，所以这个题是相对来说比较常规的。 那么现行代数题目，这道题其实是二零二五数三的整体的改编，考的完全一样，让你证明解答完组对它行出的变换，然后你就你会得到什么啊？正好前两个行简化阶梯，所以前两个解答完组， 那么第二个他让你去做因式分解，把 a 给它做分解，那么 a 看，这是 r 法一 r 二，那这是第三个，第三个就是负 r 法一加 r 二，第四个 r 法一减 r 二，正好可以因式分解， 所以这就是 a 等于 j h， 其实考的是什么？限行表示，这种题我们在暑期和春季两次都讲过了，其实它就是改编二零二五的考研数学三，那么关键是算 a 方， a 等于 j h a 方，我们运用 结合里先算中间这个 h j h j 是 它，那么你再平方一下，它的平方就是负二，那么 a 的 十四方，那这就是它的九四方，它的负九， 所以就乘一下几位答案就可以了。这是这个题目，就这个题。注意，这个本题算 a 的 十四方，不允许对角化哈，因为这个题 a 是 不可以对角化，你可以验证一下， a 的 特制向量找不到四个，所以不允许对角化， 这是这个。那么最后一个题，这个题是我们在冲刺和九月班两次考试考过的一个性质， 那么他考的是一个指数分布，要估参数，那么他若出现开个时候停值开是一，那么寿命就是最小值了，所以他考的是什么？最小值的分布，这个大家可以背公式的最小值具有可加性。注意，这个题啊，给的是 均值，是 c 塔，剩余参数是 c 塔分子一和二零二二一样给大家捉迷藏， 二零二也是这样考你的哈，所以这是均值，不是参数。然后给出我们的最小值，最小值的可具具有可加性的。那么期望和方差很好说，期望和方差，期望等于蓝本的分之一， 方差等于蓝盆的方分之一。所以如果要想无偏性， a 就是 n， 那 么第一加就是 c 叉方，那么这个题大家注意一下。那么下面这一问，求最大的自然估计值，给出了自然函数，对自然函数取对数，求导数即为答案， 所以这是我们整个数学一，所以整体来说，数一的难度是比数二，是是比去年数学一要低的，大家注意一下，这是我们今天的数学一，大家可以关注一下，可以关注一下我们的这个群，大家可以扫一下， 就扫这个群，可以领取数学一的完整版。这题解析还可以扫群领我们的复试班的优惠券，如果你觉得你数学考的比较好啊，没问题，那么大概率进复试，或者稳进复试，或者是有可能进复试，你都可以 扫码领一下我们的群，然后领就是进一下群，领一下我们的优惠券，可以要索取我们的真题解析，包括数学，包括英语，包括专业课，那么这是数学一的，那么再我们再说一下数学二，我们可以看一下啊，我们看数学二， 那么数学二真题其实相对来说也比去年简单。第一个等价无穷小，很好说，因为这个就是三分之一 x 方，所以只要把它等价掉， 那么这个函数是奇函数，其它就是 x， 因为下面就是 x， 三次方，我不需要要三次方，其实我不需要要，所以你会发现就是 b 等于负一， a 一定是三分之一，很 快就看出来了。那么第二个非奇次的解，要想还是非奇次，必须系数和等于正一， 那么它是其次，什么？它的系数要相等，什么？莱曼塔等于两缪，所以得到什么二，莱曼塔加缪是一，莱曼塔等于两缪，答案就是 b， 所以 这也是送分题， 所以这是常规，最常规的哈，那么这个和数三数一完全相同，引韩入求偏导数没什么难度， 那么这个和我们二零二五的四五二非常类似，它考的是这样的一个物理学应用，就是这是负一，这是正一，这有一个质点在这，在零一处，你会发现，因为你这个是关于 y 轴对称的， 是不是？所以它沿着 x 轴方向的引力肯定是零，我们只需要考虑圆沿着 y 轴方向的引力， 所以你会发现，那么你给它分割就行了。比方说我对它取 x， 加到它 x， 它的引力这个引力就是它 g m 一 m 二，然后 r 方，然后你只考虑 y 轴， y 轴是不是考虑一个 c， 它叫口算仪 c， 它 考三 c 的 就是往外一种上，考三 c 的 就是它，所以我们就给出了引力，然后在负一到正一上去积分，在负一到正一上去积分， 那么你会发现这是个偶函数，所以就是两倍的零到一上，所以这个题其实和二零二五基本上没什么区别的，基本上没什么区别，所以这个是物理学应用。那么下面这一道和数一是同一个题目，那么 a 却连续性， 那么 b 的 话，你是不可以这样推的，因为我们讲的是极致点的什么什么条件不允许反推，所以 b 你 肯定有问题，那么 d 也举出反例，其实 c 选项考的就是二零二五的那个证明题的， 这个二零二五刚考过凹凸性，有一个隔线斜率的一个对比，所以就这个题又来了，所以这个题算是有难度的一个选择题，大家要清楚哈。那么这个题和数三一样，反时针的 等于原函数求导的倒数，注意倒数关系就可以了，所以这个题是送分数的话，没什么难度，那么重积分。其实这个题大家可以注意一下，如果这种题你不会算，你可以赋值，比如说你就把 f 赋成一，你看答案哪一个是等于一， 很明显，这句话就告诉你什么，这句话就告诉你，本来积分区域是正方形，我可以关于 y 等于 x 对 称，你可以只算一半。 所以如果我的 i 从一到二 n 窄，从一到二，这都是二 n 等分，那二 n 等分的话，那这就是四 n 方，那么我可以算成两倍的它。注意这个两和四分之一约掉是不是二分之一啊，所以 这个很好看，很好看。所以这个题其实就是一个定积分定义。说白了，这个题你也可以把 f 负乘一，你去求一下 f 乘一，看看哪一个是对的， 大家清楚了哈。大家可以看一下，看哪个是对的，把四个数去对比一下，大家都清楚了， 那么这个题和数一是同一同一个题目，就是说这个题就相当于什么意思？ a 是 谁啊？ a 是 若干个 这种行出等变换的矩阵的乘积，这种行出等变换，大家注意它的行列式是负一，你不知道有多少个，所以到底是正还是负，你是看不出来的。 因为 a 型等于 a 的 行列是乘 a 逆，因为你不知道是奇数个，是偶数个，所以这个题只能答案选 b， 因为这些出动矩阵，它的逆也是它本身。 因为行，因为 a 型等于行列式，乘逆行列式，因为你不确定个数，所以它只是说用若干次，没说奇次，奇数和偶数， 那么这个题和数三是一样的，这句话就说明什么？说明方程组有解， a， x 等于 c 有 解，然后你化增广矩阵，所以你让增广矩阵制等于系数矩阵制，所以 a 和 b 都等于负一就出来了。 那么下面这个题也是和数三是同一个题啊。那么这句话一次分解就是 a 减 b 的 方， 那么 a 减 b 的 方等于零，三次方更是零，所以它对，那么特征根只有零。也对，那么因为平方是零，所以它的质只能是一，所以它有两个 线圈换等电压，所以错的是 d， 那 么它俩 a 和 b 一定不能都为对角形，你可以反证，如果 ab 都为对角形，那么 a 减 b 就是 它 a 减 b， 平方是零，说明这里这两个对角线元素是相等的，所以 a 和等于 a 就 等于 b， 就 矛盾了。 所以这个题和数三是同一个题目啊，同数三是同一个题目，大家一定要明白啊，一定要明白。 那么下面这题这个数算是一样的，那么这个积分既是无穷积分，也是瑕积分，所以拆成零到一，一到正无穷，那么零到一上，那么这个是一，这个等加乘 x， 所以 x p 减一， p 要小于这个 p 减一要小于一，收敛 p 小 于二， 那么这个呢？ x 趋无穷，这个是二分子派， x p 加一， p 加一，大于零才行。呃，大于一才行，所以 p 大 于零，所以以范围就可以，就可以了，所以这是我们的连散性。至于这个考的还是相对比较基础，二零二五是数个数， 那么这一道和数学一一样哈，就是通分一下，然后填项或者泰勒公式就可答案。那么这种题说话的常克趋离半径， 我今年一年考了多少次取离半径，模考一，模考二都在考，取离半径考的都几乎是同一个答案，那么背公式就可以了，取离半径，取离倒数，所以只要算出来歪一撇，歪两撇就是答案，所以这一块没有什么难度。那么下面这一道考的是 全会分，这个题改编的是二零二四数学一，所以大家注意，数学一二三，大家可以交叉去算，改编的是二零二四数学一，那么你只要算出求导数就可以了，这个没什么难度。这是这个题更加简单，平均值嘛，就是积分除上长度， 你只要算出积分值，然后分不积分，分一次即为答案，所以这就是题，是送分的哈，包括下面这个题，这个题和数三是相同的， 那么它的规范型是，它说明质是一，说明这个质就是一，这个是二次性聚合质哈，说明 a 的 质就是一， a 的 质等于一。呃，两行两列成比例，两行两列成比例， 大家听说啊，两行两列乘比例，所以算出来 a 和 b 都等于一，所以初二的选词填空讲起来说还是比较好的哈，比较好的。那么解答题重积分计算，这个重积分其实是有一个对称性，它是考的是这样的，一个圆 半径是根二，根二，然后这是 y， 等于绝对值， x 就 这个区， 很明显区域关于 y 轴对称背极函数，关于 x 是 偶函数，所以两倍的第一， 那么第一上就相当于第一，那么第一用极坐标四十五到九十度，然后画画下就可以了，那么三次的好说，只要算出它，那么只要算出它的话，其实说明什么？分不积分？分两次， r 方三， 只要是算一个啊方合起来就分不清，分两次，把答案做出来记为答案就可以了，这个没什么难度哈，那么这一个和数差是一样的，算 f 一 撇 x 就是 这个是要想对它求导数，你先做化元法，把它化成里边不能有 x 的， 然后你可以算导数，那么对于零这一点，零这一点你用定义，所以得到 f 的 解析式， 然后问你导航是连续吗？就问你上面这个极限是不是下面的值，所以看上面的极限是不是下面的值是就连续。所以这个题二零这个题改编的是二零二零的数二， 都是考试的原题哈，二零二一说就是这样考你的。所以今年的真题更多的像我们很多或者另一年真题的一个堆积，就是把另一年真题几个题挑了一挑就挑，组合成我们今年的考题，那么下面这个题数一数三都有同一个题目， 然后算注点，几位答案，然后算成 a 型 b 方，这个我不说了哈，那么这一个题 他说这个 m 是 拐点，所以先算拐点吧，啊算出来一撇两撇，他拐点等于零，所以 x 方 x 等于三分之根号三，所以确认一下它是拐点，那么拐点的话相当于这个图像要这样画了， 那么这个图形肯定是单调递减的，是这个意思吧，那么它如果等于零的话，你会发现这个图形它它缺求导数是它， 其实它就是一个单的单调递减的函数，你看一减是等于它的，也就是说它应该是这样减的，它左边左边小于零，小于零是不是凸函数啊？ 你看看 y 零这个题哈，你会发现这个题它的 y 零是一正无穷，是零，也就是说 看一下他说他的两撇哈，在左边是二阶导，小于零，小于零是凸， 大于零是凹，哎，就是说他应该是这样，他就这样，然后继续这样，继续这样，然后这个拐点在这，这个拐点就在这，这就是四分三分子根号三 四分之三，然后这有个直线，它问你这个区域就是这不是 o m 吗？ 然后算算体积呗，体积等于多少？左边的你可以合一下，就左边是个圆锥，左边是个锥体，你可以用左边这个锥体， 左边这个锥体左边就是个锥体，加右边的曲线，曲线就是 p f 方圆锥三分之一底，面积乘高，然后你一加，再出答案就可以了。所以这个题还是以日常的计算为主哈，还是日常的常规计算为主。 那么下面这这个方程常微分这个方程，所以我令 y 一 撇等于 p x， 没有 y 吗？往里面就是 p x 一 撇，然后得到一个什么，得到一个奇次方程，你把奇次方程解出来，得到它，然后带入这个出式条件，就得到什么，得到一个这个方程，化解一下，就是它，就是这是第一个 e 结，这是第二个 e 结，这是一个变量，可分离，然后你再给出答案。 所以这个是我们相对来说也是比较常规的计算。所以今年考试啊，数二还是计算为主的。那么最后一个题和数一数三完全相同，改编我们二零二五的数学三，那么证明极大的完足， 然后你把它出等列 b 出等，按着列排行编号，所以得到 r 发一 r 二极大的完足，这个好说，然后把矩阵分解， 分解相当于这个第三个可以写成负二发一加负二，二发一减二发二，所以后面三个，所以分解倒是好说。那么关键是 a 的 十四方算 a 方的话，我们用结合里先算中间， 中间，然后平方的话是他二三，四方的话就是负二，那么十四方就是负九，所以我们用的是一个类似于一个规律法的思想去算，算出来 a 的 十四方，这就是负九，所以我们用的是一个乘法的真题， 整体来说肯定是比二零二五简单的哈，那么我们还是要说一下，大家可以看一下，那么考的好的，大家可以扫一下，领一下我们的真，我们的复试班的优惠券， 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那 么 a 加 b 的 质小于等于二分之三小于等于一点五，那 a 又不等于 b， 所以 只能是是一，说明它有两个，所以错的是它。 那么如果 ab 都为对角形，那么 a 减 b 也是对角形，那 a 减 b 的 平方也对角形，说明它都是零，说明 a 就 等于 b 与它矛盾，所以 c 也是对的， 所以 c 也是对的，所以这个好说，那么这个题更好说了。两个独立同分布算 x， y 小 于等于一，那么相当于是像这个提分就行了， 积分就行了，所以领导者我们去用 y， 领导二分之一去积分，这个没什么难度。送分题哈。下面这个他说他俩独立相关系数，相关系数等多少等于斜方差，除以标准差，那么斜方差你先算一下，那么 还有两个标准差，所以这个题都是以常规的计算，而且告诉你独立了，所以 x 独立，所以我们很多都很好算的，所以这个没什么太大的难度哈。那么第十题和数一是最后一题是一样的，这个题有计算量，考的是什么？无记忆性原理 就是说到底有没有记忆性，如果有记忆性，如果无记忆性，这叫无记忆性。是 b， 那 么有记忆性就是 d， 这叫有记忆性， 就到底有没有记忆性，那么你要算出什么概率？就是这个概率， x 大 于 m 概率，我们好说就是从 m 加一开始算出来，那么 x 大 于 m 加 n 的 概率，也就是同理，它像除就是它，所以考的什么，它和二分之一倍的 二的 n 加三的 n 分 之一，它俩什么关系？它俩是等号还是大于号？ 其实在考场上大家可以赋值，比如 m， n 都是一，你可以赋这个数，那如果你对吧，你赋这个数，如果你不用赋，那么你可以做差一时分解，这是一个排序不等式，就是看我可以证明他，他大大一等于他。因为我做差， 所以这个题还是有一定计算量，所以这个题大家可以复制，可以快速得到答案。这是关于我们的这一个，那么同样这一道，那么这个这个题很容易哈，这个可以一神分解。 所以把 x r 分 c 看到 t 奇函数是零，所以这是送分的。这个题数三考过了，当时考的是概率， 也是有积分思想。二零二四，那么这个题和数一数二类似，通分，然后通分一下，然后添一个，看成的，加一个，减一个，因为后面和前面极限都存在，答案就出来了，所以常规的极限题，那么 反正积分和数二是同一个题，那么把它拆成狭积分、无穷积分，狭积分我们只关心等价同连三，这个是一，这是 x， 所以 这是 x 的 p 减一，它要小于一，所以 p 小 于二，那么同样 x 趋正无穷的时候，那么这个是二分子派，这是 x， p 加一， p 加一要大于一，所以 p 大 于零，然后合并一下，就为答案零到二之间。 所以这个题也是常规的哈，反成积分的题目。其实数三以前都是考逆计算，我们今年考了一个连散性。 下面这一道常规方程，求特征，特，特征之零啊，这个零和二，所以其次通解特解，然后带着出式条件算答案，所以这都是相对来说比较常规的。 那么矩阵 a， 他 说二次型的规范型，说明质是一啊，这个矩阵正好对称，所以它是二次性矩阵，质就是一，质是一的话，矩阵两行两列乘比例，答案很很好算， 所以这是一个常规的题目。这个题没什么记，没什么计算能力哈，下面这一道，那么它在独立，它在独立，就 c o v 等于零，可以算出来方差和它的关系，所以直接算答案就行了。 所以数三我们的选填还是以计算为主，而且数三这次大题也没有考到，证明大题。第一个，这个题我讲的原题，我从领读讲到春季讲到暑期，我都是举它二 g x 方，那么把这个 a 算出来，这个常数 a 哈，常数 a， 先把设设设设出 a 吧，先把它 a 设出来， a 设出来，然后两边把 a 解出来，先解除 a， 给出分数，然后给出 a。 之后嘛，这个式子我们用间接法，二减 x 平方分之一等于二减 x 分 之一导数，然后去求导， 注意收敛欲必须要给我哈，然后你会发现带入之后，带入之后，哎，这个手相和，这个四分之一可以约掉，所以写成它收敛欲不要忘，所以这个大家注意一下，第一，收敛欲不能忘，第二，把常数给他约掉。 标准答案一定会约掉的，因为题项确实是约，可以可以约掉，大家注意细节哈，大家注意细节，那么下面这一道和数二是同一个题，改变二零二零的真题。二零二零数二考的，那么算 f 一 撇 x， 当 x 不 为零的时候，对它求导数，它求导的话，先做画圆，保证里面没 x 就 可以求导数，那如果等于零的话，用定义 定义算到数，所以得到 f 边解析式最常规的算法。然后问一下导航程序是连续吗？你只要问，告诉我上面极限是不是，下面是就连续，不是就不连续。 所以这种题哈，数二考的会频率更高一点，百分之七十频率，数三考的少一点哈，但这是常规考题，那么极值一二三都有这个题目。求助点算 abc， 这个没什么难度 没什么难度哈，那么重积分。这个题其实很简单，很简单，一个重积分 就是一个正方形区域，这个题你也不用轮换垂直性，直接使用 x 型区域，就先对 y 积分，把 y 拿到后面底 y 方，所以得到二分之一， 然后这是负二分之三，负二分之一相对它，所以这样只背一个公式就可以了，那这就是这不是刚考过的吗？一减一加 x 方，分之一反双去函数， 那么二加 x 方，那么也一样也是反双去函数的变形。这个题哈，我们在二零二四数学，数学一就考过了，而且二零二三的选择题也出现过了， 所以直接被答案清了，这个题不需要急坐标，急坐标反而麻烦了，大家清楚了哈，所以这是一个相对来说比较常规的考题，比较常规的考题，那么现在概率和数一完全一样，那么证明解答完之后，二零二六和二零二五没什么区别， 就是先把它出等行变换化成行简化阶梯，正好前两个是阶梯， r 大 于 r 二，后两个可以进行表示，所以矩阵分解就出来了， 那么积分分解就出来了，大家清楚了哈。那么算 a 方的话，算 a 的 十四方，算 a 的 十四方。你这样，这个题不 a 不 能对角化，大家注意一下， a 不 能对角化，因为 a 特等项量只有三个线用完的，你不信你试试。那么你可以结合算 h j， h j 是 它， 那么三次方的话，再算个 h j 又来了，一就变成负九， 所以用归类法的思想， g h 已知代入就是答案， g h 已知代入就为答案。所以这个题可能这一问上要注意，我们用的是一个归类法的思想，算 a 等于四方，用归类法思想算 a 等于四方。那么最后一个题，我们 九月半和十一月份两次考试哈，都考过了，他说开始一的时候，呃寿命就最小值， 最小值的分布，那么最小值是具有可加性。这个题注意一下，我们说的是均值是 c， 它猜出是 c， 它分之一，所以被答案也能背得出来。最小值可加性，所以 c 四 c， 它分之 n， 那么要想无偏估计，那么要想无偏性期望等于它本身，那么 a 就是 n 方，叉就是 c 吗？ c 的 方，那么这个求最大向量估计值，由向量函数对向量函数求导数，就是取呃对手求导数解答案非常常规的题目， 所以数学三我们今年是没有出证明题的，大家清楚了哈，数学三，那么这个数学一二三完整版的答案，大家可以扫码可以获取一下，可以扫码获取一下完整版答案，就扫这个码可以获取一下， 大家注意，最后我还是放在了马上，大家注意一下扫码，第一，扫码的第一个好处就是获取我们的真题解析，不仅仅数学，还有英语，还有政治，还有金融， 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夯实数学三基，抓我们的计算，抓我们的基本功，也预祝大家都能在未来的考试中里面都能一战成硕。这是我们今天的一个直播， 大家可以领取我们的福利，那么今天的直播我们就到此结束，谢谢大家，谢谢大家。

大家好，我是杨光老师。现在我们讲一道考研题，这道题是考研数学一二零二六的第三大题。总第二十题。 已知科道函数 f x 严格单调递增，而且 f x 从负一到一的定积分等于零， g a 等于 f x 从零到一的定积分。第一小问要求证明 a 大 于零。 第二小问设大 f x 等于 a， 乘以括号一减 x 方，加上 ft。 关于 t 从一到 x 的 积分上限函数， 证明至少存在一点可 c 属于开区间负一到一，使得大 f 在 可 c 点处的二阶导数值等于零。 这道题有两个小问，第一个小问显然是要用对伸区间上既有函数的这个积分性质来做， 上课的时候老师应该都讲过第二个小问，我的第一反应是同济 教材有一道课后题刚刚好，可以认为是它的一个前置题型。结果翻了一下，发现同济八版的第三章第一节的第八题改了，改成类似于上面我们这道作业题的形式。 这道题大家可以做一下，但是不用那么复杂。下面这道题是同济七版的高等数学教材题型。三点一的第八题， 大家看，已知 f x 在 b 虚线 ab 上二节可导，而且 f x 一 等于 f x 二等于 f x 三，其中 a 小 于 x 一 小于 x 二小于 x 三小于 b， 证明 在开区间 x 一 到 x 三内至少有一点可 c， 使得 f 在 可 c 点处的二阶导数等于零。 这道考研题的第二个小问和下面这道题的解法有关，所以我们先看一下下面这道题的基本解法。 已知 f x 在 b 区间 a b 上二阶可导， 而且 f x 一、 f x 二和 f x 三相等，其中 a 小 于 x 一 小于 x 二小于 x 三小于 b。 然后要求我们证明在 x 一 到 x 三这个开区间内，至少有一点可 c， 使得 f 在 可 c 点处的二阶导数等于零。 和这个结果类似的最接近的定律就是鲁尔定律，但是鲁尔定律只涉及到一节导函数的情形，所以我们想， 如果在一节导函数的基础上，再用一次鲁尔定律，就可以得到二节导数的相关结果。所以有可能需要用到多次鲁尔定律得出这道题的结论。 由于所有条件都满足，在 b 区间 x 一 到 x 二上，应用一次洛尔定律可以得出至少存在一点一特一，使得 f 在 一特一处的导数等于零。 同理，在 b 区间 x 二到 x 三上，应用洛尔定律可以得出至少存在一点一特二，使得 f 在 一特二点处的导数等于零。也就是说，在这两点处的切线是水平的，从图形上很容易可以看出来。 于是我们可以继续对 f x 的 导函数再用一次络尔定律，区间是 b 区间一特一到一特二， 于是就可以得出至少存在一点可 c 属于开区间一特一到一特二。这个开区间一特一到一特二显然包含于 x 一 到 x 三开区间， 使得在可 c 点处 f x 的 导函数在可 c 点处的导数，也就是 f 在 可 c 点处的二阶导数等于零。这样这道题就得到了证明。 我们考虑一下这道题的解析思路。在第二小问中， 题中给出了一个函数大 f x， 并且要求证明至少存在一点可 c 属于负一到一开区间，使得大 f 在 可 c 点处的二阶导数等于零。这个问题和前面这个问题 非常像，这里 f 是 小写，在考研题中 f 是 大写。 于是我们可以大概划一个区间，这是负一，这是一。然后猜想应该就是用三次罗尔定律得出这个结论。 先用一次罗尔定律得出至少存在一点一特一，使得大 f 在 一特一点处的导数等于零。 然后再用一次罗尔定律得出至少存在一点一特二，使得大 f 在 一特二点处的导数等于零。然后再用一次罗尔定律得出至少存在一点可 c， 使得大 f 的 一阶导函数在可 c 点处的导数，也就是大 f 在 可 c 点处的二阶导数等于零。 根据前面这个例子，我们就需要找三点， x 一， x 二， x 三，使得大 f x 一 等于大 f x 二，等于大 f x 三。 然后在这个基础上使用两次鲁尔定律，再使用一次鲁尔定律，就可以得出最后的结果。 如果大家能够把这种基础的经验在考研之前掌握好，那么考研的时候就有更大的概率在短时间内解决这道题。 于是我们接下来的任务就是找这三点，使得这三点出的大 f x 的 函数值相同。然后我们观察大 f x 具体的形式， 对于这个积分上限函数，显然从一到一的积分就是零， 然后 a 乘以括号一减 x 方，当 x 等于正负一的时候，它是零。于是我们很自然的就想，这个大 f x 当 x 得一的时候，值就是零。那么大 f 在 比如说左端点负一点处的函数值是否也是零？是不是存在某一个点 x 二，使得大 f 在 x 二点处的函数值也是零？ 如果下面这两条不成立，那我们就需要找三点，这三点处的大 f 的 函数值可能都不是零。这个问题就比较麻烦， 所以我们感觉这个猜想大概率是正确的。也就是说，我们现在想证明大 f 负一等于零，以及再找一点 x 二，使得大 f 在 x 二点处的函数值等于零。 讲到这，也许有同学会感觉出来哦，为什么上课的时候我听不懂老师讲的课，或者说跟不住老师的节奏？就是因为 很有可能老师在按照思考的过程去讲这道题，但是你总是喜欢像看题解一样，看老师把整个的过程给你从前到后写出来。实际上， 各位的高数老师应该也提过这个事情，我们的思维过程经常和最后写的这个过程是相反的。 前面我讲的这一部分内容，如果有学生配合的话，大概应该是这样的。我问，要想证明大 f 在 可 c 点处的二阶导数等于零， 我们在前面的练习中，什么地方见过这种类似的形式？同学们就喊鲁尔定律， 因为它用导数，而且显然不是拉格朗日中之定律的形式，那就是罗尔定律的形式。 然后再问，应该用几次罗尔定律可以证出大 f 在 可 c 点处的二节导数等于零，然后同学喊三次。为什么呢？因为这种问题我们做过，比如说我，我们哈理工的学生，这道题也都做过， 然后大家能想象吗？感兴趣的同学，你现在暂停自己尝试着再往前推，能不能把 这三个点中的另外两个找出来，而且能不能把 a 大 于零给证明出来？ 注意到，当 x 等于正负一的时候，大 f x 的 第一部分，也就是小 a 乘以括号一减 x 方恰好等于零。我们接下来考虑大 f 在 负一点处的函数值是否为零。 现在我们把 x 等于负一带进去，发现带 f 负一等于零，加上一到负一， f x 的 积分等于负的负一到一 f x 的 定积分，结果就是零。 然后我们还要再找一点 x 二，使得大 f 在 x 二点处的函数值等于零。然后我们要找 x 二，使得大 f 在 x 二处的函数值等于零。 现在我们观察大 f x 的 形式以及原题，发现有一个 a 等于小 f x， 关于 x 从零到一的定积分这个条件没有用上，也就是说 有没有可能取一些特殊的点，可以在大 f x 形式中把大 f x 和小 a 建立起额外的联系。 于是我们就令小 x 等于零，那么大 f x 就是 a 乘以括号一减零就是 a， 加上一到零 f x 的 定积分，结果就是 a 减去零，到一 f x 的 定积分就是 a 减去 a 等于零。 这我们就找到了三点，一个是负一，一个是零，一个是正一，使得大 f x 在 这三点处的函数值相等。于是就可以利用三次鲁尔定律证明出最后的结论。 也就是说，这道题的第二小问和第一小问的关联不是很大，我们即使不看第一小问，也能够把第二小问推出来。要想很容易的做出第二小问，除了分析之外，这道题应该做过。 比较难受的是，如果有同学直接用的最新的同济八版教材，他把这道简单题给替换成了稍微难点的，类似于上面的这个题型，不知道各位同学是不是都有耐心把上面这种题给做过， 现在我们分析一下第一个小问，要求我们证明小 a 大 于零，其中小 a 是 f x 从零到一的定积分， f x 可导，而且严格单调递增这个条件现在还不知道怎么用，于是我们看负一到一 f x 的 定积分等于零这个条件， 一看到它，我们就想积分区间。关于原点对称 f x 的 奇偶性知不知道？不知道，但是至少我们有这样的一个结论，上课的时候老师肯定都讲过， 于是我们可以尝试着把它划一下，也就是说把这两个式子之间建立起一定的关联。于是我们分析第一个小问， 从负一到一 f x 的 定积分。根据定积分的性质，就等于是 从零到一 f x 加上 f x 的 定积分，然后等于从零到一 f x 的 定积分。 我们可以用这种方法做，也可以做变量代换。等一下我会给大家都说一下， 然后它就等于是 a 加上零到一 f 负 x 关于 x 的 定积分，同时 f x 从负一到一的定积分又等于零， 于是可以得出 a 等于负的零到一 f 负 x 的 定积分。 现在我们想证明小 a 大 于零，其实就是想证明这个定积分小于零， 接下来就不是很好想了。我们注意到原题的条件中，函数 f x 可导以及严格单调递增这两个条件似乎没用上， 也许就是通过他们可以把最后的这个结果给挣出来。如果有同学在这卡住了，没关系，你可以直接考虑第二个小问。 如果第二个小问和第一个小问的关联不是很大，甚至像这道题几乎没关系，我们仍然可以把第二小问答对，然后这一部分有时间再去思考。 由这个式子也可以得出，从零到一 f 负 x 的 定积分等于负 a。 然后我们还是需要挖掘已知条件，想办法证明小 a 大 于零。 可导性好像利用不上，严格单调低增能不能利用上？我们考虑一下。有的教材上面没有区分严格单调低增和单调低增，很有可能在这里就会产生困扰。我们写一下这个概念， 如果小 f x 在 某一个区间上严格单调递增， 首先要求小 f x 在 区间 i 上有定义，那我们干脆就把这个区间给取成是负一到一 b 区间。那么对于任意的 x 一 x 二属于负一到一 b 区间，而且 x 一 小于 x 二， 当 f x 严格单调递增的时候，就有 f x 一 严格小于 f x 二，注意这个是严格小于号。然后我们把这个区间大概画一下，这是负一，这是一，这是零。 要想利用严格单调递增这个条件，就需要找两点，这两点怎么找？比如说这是 x 二，这是 x 一， 它们之间应该有一定的大小关系，然后写出这个结果。 这个如果大家能想到，其实我们只需要在开区间零到一内取一个 x， 那 么在开区间负一到零内， x 就 有一个对称点是负 x。 我们可以尝试着把 f 负 x 和 f x 作比较，为什么？就是因为这个公式中有 f x 有 f x， 再问大家什么情况下有 f x 一 等于 f x 二， 就是当 x 一 等于 x 二的时候，这个情形我们尽量避免，因为原题 说了小 f x 严格单调递增，所以我们不要引起混乱。 于是接下来我们可以说任取 x 属于零到一左开右闭区间，那么负 x 属于负一到零左 b 右开区间，而且负 x 严格小于 x， 根据 f x 严格单调递增，可以得出 f 负 x 严格小于 f x， 这里 x 是 属于这个区间。 然后怎么做？大家想， 我们根据 f x 严格单调递增以及前面写过的一些式子的形式，把这个结果给写出来， 然后整个这道题都涉及到积分，是不是我们可以考虑利用定积分的性质，在这个不等式两边分别积个分呢？ 于是从零到一 f x 的 定积分小于从零到一 f x 的 定积分，然后这个 f x 的 定积分就是负 a， 从零到一 f x 的 定积分就是 a 一 项可以得出二 a 大 于零，于是 a 就 大于零，这样第一个小分也得到了证明。 虽然没有同学配合，不能把这个视频录成老师问，学生答，老师问学生答的形式，一步一步的引导出最后的结果，但是我尽可能的按照这样的思维录制这段视频，大家可以把视频暂停， 然后根据你刚才看视频的印象，自己从后往前推一下，看看能不能把刚才我的这个思考的过程还原。 如果你能的话，这个就是小孩子学人说话的最重要的模仿的过程， 如果你不习惯这样做，那就说明你的学习能力以及学习成绩还有很大的提高的空间。我从疫情之后才开始学着做幻灯片以及录视频， 在这个过程中一直在思考线下教学和线上教学各自的优缺点。 我的目标不是用网课来代替线下教学，而是希望对线下教学做一个补充。也就是说 我们的目标不是和线下课堂老师的讲课进行竞争，而是希望合作。比如说，如果在线下，老师花了一小节课的时间给你讲这道题，显然 是不符合学校的教学进度，教学规划的，所以大家在线下课堂应该听不到我前面的这种分析和讲解。 但是线上的话，我们有充裕的时间，大家可以快速的去听一下这个分析，但是如果你能能够正常的速度听一下，也许收获更大，你在听的时候可以不断的去思考和反思。 然后我们考虑一下如果是线下课堂老师会怎么讲， 我们把这个过程完整的写一下证明。第一个小问，想证明小 a 大 于零，由定积分的性质 可以得出，负一到一 f x 的 定积分等于负一到零 f x 的 定积分加上零到一 f x 的 定积分。 由于零到一 f x 的 定积分等于 a， 它就等于是负一到零 f x 的 定积分加上 a。 同时根据已知条件，负一到一的定积分就是零， 然后我们把它换一下，换成零到一的积分。于是我们可以令 x 等于负 u， 那 么 u 就 等于负 x， 然后 dx 等于负 du， 当 x 等于负一的时候， u 等于一，当 x 等于一的时候， u 等于负一。所以 从负一到零 f x 的 定积分就等于是从一到零 f 负 u， 然后负的 u 把这个带进去啊，等于这样的定积分，然后它就是零到一 f 负 u 的 定积分，于是就是零到一 f 负 x 关于 x 的 定积分， 这样就得出结论， a 就 等于负的 从负一到零 f x 的 定积分 等于负的从零到一 f 负 x 的 定积分。 这个是我们前面写过的一个结论。呃，显然我们也可以直接用刚才我们说的公式来做，也就是说对称区间上 奇偶函数有这样的一个积分性质，如果 f x 在 负 a 到 ab 区间上是可积函数或者连续函数，那么有这个结论，所以我们可以说 由定积分的性质可以得出。 呃，这个性质可以写一下，就是从负 a 到 a f x 的 定积分等于从零到 a f 负 x 加上 f x 的 定积分， 然后我们可以把 这个小 a 给取成是一，就可以得出 负一到一 f x 的 定积分，也就是零等于零到一 f x 的 定积分，加上零到一 f 负 x 的 定积分， 就是 a 加上零到一 f 负 x 的 定积分，从而 a 等于负的从零到一 f 负 x 的 定积分。 第二种方法更简单一些，但是如果我们用第一种方法把这个正一下的话，我们可以很容易的想到 f 负 x f x 它们之间有一定的关联，于是有更大的概率能够利用好严格单调递增这个定义。 然后我们说，对于任意的 t 属于零到一左开右闭区间，有负 t 属于负一到零左闭右开区间，而且负 t 严格小于 t， 由 f x 严格单调递增， 可以得出 f 负 t 严格小于 f t， 于是由定积分的不等式性质可以得出，从零到一 f 负 x 的 定积分，也就是从零到一 f t 的 定积分。小于从零到一 f t 的 定积分。 从零到一 f t 的 定积分，就是从零到一 f x 的 定积分，也就是 a。 这里其实关键的是中间这个，大家在考试的时候时间紧张，不一定非得写得像我这么详细。 然后 f 负 x 从零到一的定积分，前面我们做出来了， 好吧，这没写啊，这也没写，那我们补充上就是从零到一 f 负 x 的 定积分等于负 a， 这个也是补一个从零到一 f 负 x 的 定积分等于负 a， 于是它就等于是负 a， 即 a 大 于负 a， 二 a 大 于零，因此 a 大 于零。第一个小问证出来了， 接下来我们证明第二个小问。首先我们要说明大 f x 的 二阶导函数存在，而且大 f x 以及大 f x 的 一阶导函数要满足罗尔定律的条件。于是我们就说有已知 小 f x 可导。我们尝试着把大 f x 求个导数，结果发现大 f x 的 一阶导数是负二 a x 加上小 f x 的 二阶导数是负二 a 加上小 f x 的 导数，显然这些都存在，故大 f x 二阶可导， 从而大 f x 以及大 f x 的 一节导数都怎么样都可导，而且连续，也就是说它们都满足 罗尔定律的前两个条件。而且我们还要 说明，大 f 在 负一点处的函数值等于零，也就是说大 f 负一等于一到负一 f x 的 积分等于负的负，一到一 f x 的 积分等于零 f 零是多少等于 a， 加上注意，这是一到零 f x 的 积分等于 a 减去零到一 f x 的 积分，于是就是 a 减 a 等于零， 大 f 一 带进去显然等于零。也就是说，我们得出大 f 负一等于大 f 零等于大 f 正一， 这样前两次鲁尔定律的条件就都满足。于是我们说由鲁尔定律 至少存在一点一特一属于负一到零开区间，使得 大 f 在 一特一点处的导数等于零。至少存在一点一特二属于零到一开区间，使得 大 f 在 一特二点处的导数等于零，而且显然一特一小于一特二。 后面我们再说明一下大 f x 的 一节导数在一特一到一特二 b 区间上面连续这个 b 区间是包含于开区间零到一的， 在开区间一到一到二内可导， 而且但 f 在 一特一点处的导数等于，但 f 在 一特二点处的导数等于零。于是我们再用一次罗尔定律 可以得出至少存在一点可 c， 这个可 c 属于开序间一特一一特二。当然这个开序间一特一一特二，包含于开序间负一到一，从而可 c 就 属于开序间负一到一，使得 但 f 在 可 c 点处的二阶导数等于零，这样就证明出了这道题。 这里有个问题漏了一个 d x， 现在加上 总结一下这道题的前置知识点是对称区间上既有函数的这个积分性质，以及这样的一个简单的练习题。 第一个小问的关键是要能够利用严格单调的已知条件比较 f 负 t 与 f t 的 大小关系， 其中 t 属于零到一左 b 右开区间，从而得出和积分有关的不等关系，进而推出 a 大 于零， 这是 a 等于负的 f 负 x 的 定积分的第一种推导方式，这是第二种推导方式， 根据它们可以得出这个定积分等于负 a， 然后比较一下第一个小问，得出来 第二个小问。要想证明至少存在一点可 c， 使得大 f 在 可 c 点处的二阶导数等于零，大概率需要用到三次罗尔定律。 首先我们需要把大 f x 的 二阶导数求出来，并且确定它确实是二阶可导的，于是罗尔定律的第一条和第二条都满足。 然后我们再由大 f 负一等于大 f 零等于大 f 一 等于零，可以得出前两次罗尔定律的第三个条件满足。 然后由大 f 在 一特一和一特二点处的一阶导数相等，而且等于零，可以得出第三次鲁尔定律的第三条满足。于是我们根据三次鲁尔定律就可以证明出第二个小问的结论。 感谢各位同学的认真学习，感觉有收获的话可以点赞关注，后面还会给大家带来更优质的内容，点赞越多更新越快，谢谢大家！

各位同学大家好，欢迎来参加咱们今天的专题解析课程，我是定位老师好，那今天的课程呢，我们主要分为三个部分，第一部分关于考研数学整体命题趋势的总结，第二，考研数学整体的权威的解析。第三 关于的咱们二六届，二七届后面如何来进行复习，来给大家做一个介绍。那么首先呢，总体的趋势，咱们今天考完了之后呢， 很多同学在这个给老师说啊，今天的这个考试的难度的不如去年啊，今天这个难度的略微的要低一点，甚至有同学很自信的说，我今天有可能考了满分啊， 这个说明大家这个复习的还是不错，甚至呢，还有咱们这个呃，出的八道题里面有原题啊，那个信心单说的大题是原题。 那么总的来说，数一数三的特征呢？是差不多啊，就是注重基础，注重计算啊，所以呢，大部分的题目呢，还是一些比较常规的，什么求极限了是吧，求导数啊，但是题目的计算量还是有点大啊，部分题目有点计，计算量有点 大，而呢，重点还是比较突出的，因为今年的冷门相对来说还是少一点啊。当然呢，数学一的比数二数三的略微的要难一点，因为咱们数学一的考了一个罗尔定律的证明题，而数二数三的同学其实是 没有考啊，所以呢，数一的略微的比数二数三的难度要大一点啊，因为今天是咱们考研的四十周年，为了让大家心情呢愉悦一点，所以呢，他不像三十周年的时候他出的那么难啊，四十周年出的还是 比较基础一点啊，所以呢，这就代表了咱们目前这个考研的一个趋势，主要就是初试的时候把一些重点的内容考察，那么你具备的一定的能力，那么最后呢，主要就是看复试，所以呢， 咱们通过今年的这个考试来看的话，大家进入初试的还是比较简单，但是呢，你能不能过进入复试，这个就看大家后面的复试的准备情况怎么样。所以呢，不要掉以轻心啊，不要得意忘形。好，那么接下来呢， 这个具体的一些高频考点，大家可以的简单的看一眼，好吧，简单的看一眼， 那我就不给大家一个个的去列了，说明我们考研试卷它的重点还是非常非常突出的，那么接下来大家比较关注的就是我们考完了之后想对答案啊，所以呢，我们接下来呢给大家把这个答案呢一个个的对一下，当着我们说整个考试题呢， 他其实出的门的是比较少，但是有两个可能略微有点创新啊，第一个就是 有一个现行代数的选择题，考到了一个置换矩阵啊，这个实际上考试大概是没有，但是呢，他在这个四题里面把这个置换矩阵的定义啊，给大家这个列了一下，这个就是比较新颖啊，但这个概念其实你读完题目给你的语言的描述应该还是能理解的，而那概率的大体 啊，该题的那个岁数上的那个大题呢，略微有点新颖，但如果你能够把这句话读清楚，这个题呢，其实可以转换成那个最值的分布啊，然后呢，那个估计那部分其实也不难，因为他已经给你把四项函数都写出来了。 好，那接下来我们就一个个来看啊，首先第一个就是考引函数求导啊，这个去年数二数三的考过，并且比这个难啊，因为数二数三的去年那个题是带有变现积分，而我们这个题实际上是没有啊，当在详细的解答过程，大家可以啊去关注咱们这个公众账号啊 啊，回复的一张陈述，最后呢，大家可以在里面的去领取咱们这个啊数一数三的这个完整的解析过程。好吧，好，这是第一个第二题， 数二的第一题呢，他是考察的是关于这个等价无穷小啊，实际上呢，这个大家只要把他的泰勒公式写出来啊，用这个的等价无穷小，这个是很好找的啊，实际上你只要把他的泰勒公式写出来，那么整个等价无穷小应该不会特别难。 好，这是这个数二的第一题啊，数三的第一题的渐近线啊，就是给了一个极其简单的表达式，让大家去找有没有水平渐近线，有没有这个牵直线线。 那么数二的这个题呢，可能啊，数一的这个第二题可能略微有点灵活啊，因为它这里面出现负一的 n 次方，是吧，那么你在做的时候呢，你可以的考虑 啊，可以考虑的，比如说你把这个 n 等于基数啊， n 等于偶数，你把它的瘦脸半径啊，你给他求出来，最后呢，找他的公共部分啊，找公共部分，这个也可以啊，好，这是这个题。 然后呢，接下来的数二的第二题啊，这个题目呢，实际上是零九年的考试题的改编啊， 这个是零九年考试题的改变，这个我记得应该是在考前密训课程里面，咱们那个讲一下，有一个类似的题啊，零九年数学二的选啊，这个选择还是填空题啊？应该是选择题吗？考了一个怪的歧视非歧视解的性质。 那接下来的这个数一的第四题啊，三乘积分，你看人家多好啊，都不需要你算，对吧？他不让你算，他让你把这个三乘积分啊， a b 选项是写成这个注坐标对吧？ c d 选项就是你把它写成啊，求坐标，都没让你把这个三乘积分算出来，你看多好啊。 好，接下来的这个说的第四题啊，这个是去年考过吗？是不是去年考过，今年又考了？就是这个啊，引力的大小啊，引力的大小，去年考的，好像是做工吧，是不是做工啊啊，今年的考了，只是考了一个引力啊，万有引力啊，实际上比去年这个题略微还要简单一点。 好，这是数学三的第四题，考了一个平均购入价格啊，考了个平均值啊，这个积分的平均值啊，这个最后结果是选 d 啊， 然后呢？这个数一的第三题啊，数三数二的第五题啊，这个呢？实际上从这个长相来看啊，这个经常给大家说嘛，从长相来看啊，这个大概率不会选 ab 的， 肯定不会选 ab 的 啊，是关于这个图形啊，你就画它的图形，考察这个啊，单调性，还有这个凹凸性，他的这么一个关系啊， 好，有这个可以有这个凹凸性，你就画图啊，可以去得到这个。这个实际上是什么？实际上就是这个割线的斜率嘛，对不对？你看割线的斜率是单则是单减嘛。 好，接下来这个选择题啊，这个选择题啊，这个就是关于这个方程组解的关系啊。好的，这个题目的条件是列向量由 b 的 列向量现性表示啊，这个两个 矩阵它的向量能够现性表示，你只要把它写成矩阵的形式嘛。好，那来判别这个非奇式向量方程组它是否有解 好，然后呢？反函数求导是吧？反函数求一阶导啊，求函数值啊，反函数求函数值，还只是让你求反函数的一阶导，还没让你求二阶导。这个是不是暑假集训讲过？是不是暑假集训的讲义上的？差不多啊，这个题目呢？差不多 好，接下来的新奇代数的啊，新奇代数的这个数学一的，它是考察这个二次啊，这个化二次行为标准型啊，化二次行为标准型，然后呢和二次曲面这个结合起来啊，你只要把它化次行为标准型，然后呢根据正负惯性指数， 然后呢和这个圆柱面啊，圆柱面是什么？代表的是这个，有这个化成标准型之后，他有一个特征值是零，对吧？啊？两个大于零，一个等于零，相当于就是正惯性指数为二，负惯性指数为零啊，然后那你可以用特征值 啊，可以用特征值通过证券信息变化啊。好，那么接下来的这个应该是咱们在应该是密押三套卷里面啊，应该是在密押三套卷里面，这个找过一个类似的 啊，就是在之前应该是二零一零年是吧？就是把这个二冲积分呢，写成了两个 c 个码。求和啊，之前呢是在二一年嘛？在二一年呢，也是数一数二的，是把定积分写成一个求和，我们这个是写成两个求和。 好，这个数一的第五题，数二的第八题啊，这个呢是就是所谓的创新，是吧，出现了一个所谓的 置换矩阵啊，所谓的置换矩阵其实它定义写的很清楚啊，就是单位进驻单位矩阵经过若干次互换两行若干次啊， 互换两行出道行变化，是吧？互换两行得到了矩阵啊，好呢，根据这样一个定定义呢，大家去这个考虑，下面这个相当于就是由它是否能变成下面中间的哪一个 好，然后呢，这个矩阵方程有几啊？ a b 等于 c 有 几，就是系数矩阵的值等于真管矩阵的值，根据两至相等，最后呢出等变换，把这个参数给它求出来。 好，然后这个题呢，略微可能略微的复杂点啊，主要是把这个移过来之后，你可以把它配成一个 a 减 b 的 平方等于零 啊， a 减 b 的 平方等于零，然后呢平方等于零，这个时候呢，可以考虑和这个字呢啊，结合起来就是这个应该是，好像是二四还是二三年考过啊，你 a 的 平方等于零，那你 a 的 字加 a 的 字小等于 n， 根据这个字 啊，这个根据平方等于零，根据这个字的来去推导啊，最后呢不正确的是谁啊？应该是这个 d 选项 啊。好，接下来呢就是算概率啊，这个很简单，独立了吗？是吧，独立同分布，把这个二维的概率密度写出来，然后呢用二重积分来去算这个概率 啊，这都是技术题啊，技术阶段你学完了就应该能做出来啊，这个应该是我们冲刺班讲过吧，还记得吧？冲刺班讲过啊，使得他的最小啊，使得他最小啊，然后呢，这个做法有很多啊。 好，这是这个第八题啊，你可以用高等数学的四题来做啊，但是它实际上是个结论啊。 好，第九啊，这个第九题啊，第九题呢，就是给了一个分布函数，然后呢，这个是分布函数，然后呢，你去算，根据这个七万方差啊，你去算这个 a 和 b 的 值。 好，接下来数三的第九题啊，数三第九题呢，这个就是根据啊。呃，这是正态分布啊，这个二项分布，然后呢独立，然后呢？要你算这个相关系数啊，你就按照相关系数的定义啊，把五个参数啊，把五个 这个有关的数的给它算出来啊，最后呢，带入这个相关系数公式就可以了啊，计算量可能略微有点大啊，这个题稍微算起来会多一点。 好，第十题的是关于的这个条件概率吗？对吧？这个条件概率转换成无条件概率啊，从这个长相来看，这个肯定不选 a b 吗？对不对？估计的。因为 a b 差不多， cd 差不多吗？大概率就有 cd 啊，所以呢，你把这个 这个左边算一算啊，把左边算一算，算一算之后呢，其实这个就是这个作为条件这个事件的概率啊，稍微的划一下减，但这里面呢，会用到这个极数的知识啊，因为它是个离散型，算概率。 好，接下来呢就是填空题啊，填空题呢，它这里面考了一个项链机，是吧？两个项链项链机，项链机算完之后呢，再算一个项度啊， 所以呢，这就是所谓的冷门啊，今年这个冷门考的不是很多了啊。今年冷门考的不多，就这个算是一个冷门好，然后呢，这个啊，这个 啊，这个以前的数学三的同学很少考，但今年是考到了这个反差积分的比较派表法是吧，你把这个零到众无穷分成零到一，一到众无穷啊呢？分别利用比较派表法 啊，也就是找背接函数的什么等价无穷小啊是吧，非零因子极限先求啊，用比尔判别法来做。这个应该比我们在冲刺班讲的那个题要简单很多啊。这个好像是暑期讲义上有一个暑期讲义啊，那个集训讲义上面应该是有一个选择题，和这个是差不多的 好。然后呢，这个计算，定积分的计算啊，定积分的计算，零一区间，你看这个地方是不是有个 x 减二分之一啊啊，所以呢，你应该要记住啊，应该是零 t 等于 x 减二分之一，做一个换元，然后呢，搞出个这个对称区间是吧？搞出个对称区间，然后利用记忆我背心字来算，这个会比较简单 啊。极限的计算是吧，这个无穷减无穷啊。然后呢，这个啊，数学三的这个历史二题啊，这个也是一个无穷减无穷啊，不知道他为什么要搞一个不一样的啊，其实做法差不多啊，这个呢，可能略微看起来复杂一点，但这题实际上就松分的啊。 好数一的参数求二阶导是吧，常规题吧，技术阶导是不是都做过啊？参数求导 啊。然后呢，取的半径啊，取的半径把取的算出来啊，这个算取的实际上是不就是这个？我记得是点题班讲过吗？是不是点题班讲过啊？引函数啊，引函数，求取律，求取律，然后有了取的之后求取的半径，实际上就是考引函数，求一阶导，求二阶导嘛。 二十四题啊，反差积分，这也没啥说的，分布积分，是不是分布积分法啊？然后呢，说的第十四题啊，这个应该是，我记得是咱们那个 密钥三套卷啊，在密钥他三套卷的好像是卷一吧，好像是卷一里面啊，他给这个条件就是对 x 的 偏导在零零是派对 y 的 偏导的。是等于三吗？ 然后呢？再考一个什么？是不是考一个符合函数是吧？这个记在一的导数就是符合函数求导这个密奥三套卷里面的差不多的一个题啊，就是数可能略微改了一下。好，这个第十四啊，微分方程的，求解啊，二阶长细数非奇是线线微分方程的求解啊，五分。 好数一的第十五题啊，线形代数的，这个就把特征值求出来嘛，把特征值求出来，然后呢，把最大的特征值算出来之后，他小于他，然后呢，把这个的范围的给他求出来。 好，第十五啊，第十五的平均值嘛，就是积分除以积分区间的长度嘛，这个好像是一三年，一四年当时的数三的， 初二的啊，初三的，初二的，初二的好像是一四年考的，初三好像是一三年考的，然后今年的就都考了啊，这个是初二的积分除以积分区间的长度啊，其实就是考定积分的计算。那么数学三的也有一个啊，数学三的也有一个。 好，这个概率的这个题啊，概率的这个题啊，这个就是薄松分布嘛，薄松分布啊，这个的独立啊，根据这个独立呢，大家去化解啊呢？最后去算这个期望啊，离散型的，离散型的算期望 好，这个先行代数的啊，这个先行代数的，这个这个是规范型，规范型告诉大家什么呢？就是特征值里面一个正两个零嘛，说明他的字啊，他的字是一，他的字是一，他的字也是一嘛，因为这两个句子的字是一样， 那他的字是一，说明任意两行对应成比例嘛，你不就可以把 a b 解出来嘛。好，然后呢？这个时期啊，这个时期， 这个十七题的，这就交换积分次序嘛，是吧？给你的直角坐标估计算不出来，这个呢，估计要变成一个极坐标啊，是吧？估计要变成个极坐标来算啊，这肯定是要交换积分次序啊，但他应该是直角坐标变极坐标 啊。然后呢？接下来第十七啊，这个十七，这个十七的是这个这一问啊，我记得吧，给你这么一个等式啊， 你要求 f 怎么求啊？是不是令他为 a 啊？令他为 a 啊，那把这个 a 解出来， a 解出来，这个 f 有 了啊，只说这个题呢，再加了一问啊，再加了一问，你求出 f 之后，你把 f 的 展开嘛，对吧？把它套公式给它展开就行了嘛。 啊？这个卷展开是考大题啊，这个比较大家比较头疼的是求和没考，他考的是展开，但是是两个题变成一个的啊。 好，接下来这个第十八啊，这个第十八，第十八的数一的这个第十八题呢？呃，其实就是这个 f 的 对 x 偏导是这么多吗？ f 对 外的偏导是这么多 啊，实际上这种题大家从技术阶段到强化阶段到充实阶段其实都做过啊，对 x 偏导等于它，对外的偏导等于它啊，然后呢，我们接下来呢，是不是就根据二阶混合偏导相等，然后呢，就可以算出这个第一问 啊？算出这个第一问之后，对任意 u 它都是个常数嘛，对吧？这个是常数，所以得把这个条件带进去嘛，把这个条件带进去啊，带进去之后你可以把这个 c 来解出来 啊，把 c 解出来之后，最后得到一个微分方程，因为一般只要是求函数表达式的题，基本上能确定它都是用这个微分方程来做啊。 好，接下来的这个数二数三的十八题啊，这个第十八题呢？这个应该是数学二的吧。数学二的二零年考过啊，数学二的二零年考过 啊，实际上这个地方就换元嘛，应该得到一个分段函数，对吧？啊，那求导数判判并判别这个导函数在零这点是否连续啊，暑期还记得吧，暑期集训营的奖励上一样的题啊。 好，接下来的这个集时啊，数一数二数三的都考了这个二元函数无条件集时啊，已经连续考了若干年啊，从二一年开始是吧？二零年嘛，还是从二零年开始？这几年几乎每年都有啊，无条件集时啊，这个基础阶段，强化阶段，冲刺阶段啊， 基本上呢，都是讲过这种啊，并且讲的还比这个难是吧，我们还讲过啊，通过这个别的知识来求函数表达式，这个呢，是直接给你表达式啊，然后呢，数一的这个十九啊，为什么说数一的这个也不难呢？因为去年啊，那个 曲面积分是吧？去年考的那个曲面积分啊，那个曲面积分这个比较难，得分率比较低啊，但今年这个考的是曲线积分，实际上我们在考前大家其实都已经知道今年要考曲线积分啊，只是不确定他到底是考斯托克斯还是考平面曲线啊。这个就补线吧， 对不对？补线，这是个椭圆嘛，椭圆的一部分啊，你就用补线法补线的时候，我们其实这个在我记得好像是点题班给大家讲过，你补线最好补直线，是不是你就补一个直线啊，用高用格林公式就可以了。 好，这个数学一的啊，比较长啊，证明题啊，数学一的同学考了一个证明题啊，数二数三的其实没有考啊。 啊，这个这个等于零啊，那 a 的是半个区间上的积分，然后你证明 a 大 于零啊，所以说你就把这个啊，可以考虑用积分区间在线，可以把它写成两倍的零到一上这个 f 加 f 负 x 的 积分啊， 通过这个单调性啊，通过 f x 严格单调递增啊，或者你再来看这个 a 啊，是大于零的啊，这个的一看就罗尔定律嘛， 对不对啊，这个肯定就是对导函数，用罗尔定律，找三个点的函数之相等，找三个点的函数之相等，然后呢？用三次是吧，是不是用三次罗尔定律啊，这个点很好找是吧？一啊，负一啊，零啊，应该是这么去找 好接下来的这个数二的第二是题啊，这个的就是旋转体的体积吗？但这个题可能有点计算量啊，因为你从这个结果来看不太友好，是吧？所以我们这里题型还是常规的题型，当然，这题呢，他有一个拐点，是吧？有一个拐点，你要把这个拐点求出来啊要把拐点求出来 啊，拐点求出来之后你就可以求出 x 零嘛。好，那这是第一项线嘛，是吧？呃，这个第一项线无界区域嘛？无界区域他应该就是个反差积分嘛，这个也讲过这题的第二问，这个应该是讲过第一问的常规题嘛，找拐点。 好，接下来数三的第二次题的。这个常规的啊，这就是一个极坐标嘛。啊，然后呢？这个，呃，这个不是极坐标，这个直角坐标吧。 啊？这个可以出微分嘛，是吧？这个外，先对外积分嘛？先对外积分啊，然后再对 x 积分， 这个应该也属于比较常规的啊，这个比较常规的一个二乘积分的计算。好，这是第二次啊， 然后呢？这个数学二的第二次一题考了一个二阶微分方程。这个二阶微分方程的啊，微分方程的，求解嘛， 画圆是吧？啊？零 p 零 y 的 导数。好，接下来的这个线形代数的啊，这个线形代数这个题实际上是不和去年那个大题差不多啊， 和去年那个大题差不多。这也是我们钻石卡学员在考前发的密押三啊，这个考前必做八套题里面好像是第五套吗？讲过一个 啊，这个基本差不多啊，然后呢？也都是十次方，是吧？我们这个题也是十次方。他这个第一问看起来是正面题，其实是计算题啊。就是你找极大信息无关注嘛，是不是找极大信息无关注，而把其余的项呢，用极大信息无关注来表示出来 啊？所以这题呢，咱们这个状式来讲呢，应该做的比较好啊，因为基本上就是原题了。好，然后呢，概率呢？这个比较难的就这个大题了啊，概率呢？大体稍微难度要大一点 啊，主要就是你要把这个画的要想清楚，他现在有 n 个原件吗？然后每个的都是这个指数分布啊，所以呢，我们就假设他们的寿命是 x 一 x x n， 有 n 个原件，有 n 个寿命，每个寿命服从这个均值啊，你没有发现他有点像二零二二年那个题啊？ 有点像二零二二年是吧？均值就是七万，等于这么多，那么参数呢啊，指数分布的参数就是那 c 塔分之一嘛，对不对？好，那么现在呢？说啊， k 等于一 啊， k 等于一是什么？就是我现在有 x x x n， 有 n 个原件，寿命是 x x x n， 而那 k 等于一呢？说失效的原件的寿命啊，就是有一个原件嘛， 他说试验直到出现 k 个原件失效，是停止， k 等于一是吧？ k 等于就是出现一个原件，出现一个原件，它失效这个时候的停止， 然后呢，这个寿命是 t 啊，失效原件的寿命你知道是哪一个失效吗？其实你不知道，但是我们知道他一定是什么，一定是这 x e x x n 中间最小的那个， 对不对？所以呢，他这个 t 呢，应该就是 x x x n 最小的那个，也就是迷你，是吧？就是迷你啊。 好，这是二四年吧，应该还记得吧。二四年考过啊，二四年在大题考过，我们在那个点题班吧，我记得点题班最后一个题啊，这个给大家看过啊，给大家看过，然后没有讲，因为和二四年那个题差不多，二四年的是什么？是均匀分布，再给他换成一个指数分布， 所以它就是 x x x n 中间最小啊，就是迷你也就是最值的分布嘛，然后呢，你就利用最值的分布是不可以把它的密度求出来，密度求出来之后，你看这个是一样 的，是吧？所以关键就是把这个 k 等于一 t， 这个 t 到底是什么意思，你要翻译清楚 啊， t 等于就是有一个原件失效，对不对？这个时候就停止， 然后呢，这个寿命是 t， 这个 t 是 什么呢？肯定是这 n 个中间这个时间最短，寿命最短的那个，对不对？因为你肯定是寿命最短的那个出现了 啊，原件的失效了吗？啊，所以这个 t 的 应该是 x 到 x n 中间最小的那个，然后呢，这个第二问呢，他把四项函数都给你了吗？对不对？四项函数给你了，你这个找最大四项，估计不就是取对数求倒，倒数等于零就行了吗？ 对吧？倒数等于零就可以了啊，所以到最后就可以把这个结果就可以算出来啊，这个有点新颖啊，以后可能有同学没法把这个文字性描述的条件翻译成数学式啊，所以这个题呢，估计得分率呢，要稍微的低一点。好，这就是关于咱们这个 啊，今年这个考试题呢，就给大家解析到这啊，总的来说，根据大家的反馈，考的都还是不错的，所以呢，不管怎么样，大家都要准备复试啊，因为估计绝大部分同学应该都是能过初试的啊。 绝大部分同学过初试应该问题不大，主要就是看你的复试就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就这么多啊。最后祝二六届的同学啊，一战成硕。

考完天塌了！二六届广州临蒙数学试卷答案来了，你觉得这次难度如何呢？

各位同学大家好，欢迎来参加咱们今天的专题解析课程，我是丁勇老师好，那今天的课程呢，我们主要分为三个部分，第一部分关于考研数学整体命题趋势的总结，第二，考研数学整体的权威的解析。第三关于的咱们二六届，二七届后面如何来进行复习，来给大家做一个介绍。 那么首先呢，总体的趋势，咱们今天考完了之后呢，很多同学在这个给老师说啊，今天的这个考试的难度的不如去年啊，今天这个难度的略微的要低一点，甚至有同学很自信的说，我今天有可能考了满分啊， 这个说明大家这个复习的还是不错，甚至呢，还有咱们这个呃，出的八套题里面有原题啊，那个先前大家说的大题是原题，那么总的来说，数一数三的特征呢？是差不多啊，就是注重基础，注重计算啊，所以呢， 大部分的题目呢，还是一些比较常规的，什么求极限了是吧，求导数啊，但是题目的计算量还是有点大啊，部分题目有点记，计算量有点 大，而重点还是比较突出的，因为今年的冷门相对来说还是少一点啊。当然呢，数学一的 比数二数三的略微的要难一点，因为咱们数学一的考了一个罗尔定律的证明题，而数二数三的同学其实是没有考啊，所以呢，数一的略微的比数二数三的难度要大一点啊。因为今年是咱们考研的四十周年， 为了让大家心情呢愉悦点，所以呢，他不像三十周年的时候他出的那么难啊，四十周年出的还是比较基础一点啊，所以呢，这就代表了咱们目前这个考研的一个趋势，主要就是出事的时候把一些重点的内容考察，那么你具备的一定的能力，那么最后呢，主要就是看复试，所以呢， 咱们通过今年的这考试来看的话，大家进入初试的还是比较简单，但是呢，你能不能过进入复试，这个就看大家后面的复试的准备情况怎么样。所以呢，不要掉以轻心啊，不要得意忘形。好，那么接下来呢， 这个具体的一些高频考点，大家可以的简单的看一眼，好吧，简单的看一眼， 那我就不给大家一个个的去列了，所以呢，我们考研试卷他的重点还是非常非常突出的，那么接下来大家比较关注的就是我们考完了之后想对答案啊，所以呢，我们接下来的给大家把这个答案呢一个个的对一下，当着我们说整个考试题呢， 他其实出的门的是比较少，但是有两个可能略微有点创新啊，第一个就是 有一个现行代数的选择题，考到了一个置换矩阵啊，这个实际上考试大纲是没有，但是呢，他在这个四题里面把这个置换矩阵的定义啊，给大家这个列了一下，这个就是比较新颖啊，但这个概念其实你读完题目给你的语言的描述应该还是能理解的，而那概率的大体 啊，概括的那个术语上的那个大体略微有点新颖，但如果你能够把这句话读清楚，这个题呢，其实可以转换成那个最值的分布啊，然后呢，那个估计那部分其实也不难，因为他已经给你把四项函数都写出来了。 好，那接下来我们就一个个来看啊，首先第一个就是考引函数求导啊，这个去年数二数三的考过，并且比这个难啊，因为数二数三的去年那个题是带有变现积分，而我们这个题实际上是没有啊，当然详细的解答过程，大家可以啊，去关注咱们这个公众账号啊 啊，回复的一张出数。最后呢，大家可以在里面的去领取咱们这个啊数一数三的这个完整的解析过程。好吧，好，这是第一个第二题， 数二的第一题呢，他是考察的是关于这个等价无穷小啊，实际上呢，这个大家只要把他的泰勒公式写出来啊，因为这个的等价无穷小，这个是很好找的啊，实际上你只要把他的泰勒公式写出来，那么整个等价无穷小应该不会特别难。 好，这是这个数二的第一题啊，数三的第一题的渐近线啊，就是给了一个极其简单的表达式，让大家去找有没有水平渐近线，有没有这个铅直渐近线。 那么数二的这个题呢，可能啊，数一的这个第二题可能略微有点灵活啊，因为它这里面出现负一的 n 次方，是吧，那么你在做的时候呢，你可以的考虑啊，可以考虑的，比如说你把这个 n 等于基数啊， n 等于偶数，你把它的收敛半径啊，你给它求出来，最后呢，找它的公共部分， 找公共部分，这个也可以啊，好，这是这个题。然后呢，接下来的数二的第二题啊，这个题目呢，实际上是零九年的考试题的改编啊，这个是零九年考试题的改编，这个我记得应该是在 考前密训课程里面，咱们给讲一下，有一个类似的题啊，零九年数学二的选啊，是填空题啊，应该是选择题吗？考了一个怪的歧视非歧视解的性质。 那接下来的这个数一的第四题啊，三乘积分，你看人家多好啊，都不需要你算对吧？他不让你算，他让你把这个三乘积分啊， a b 选项是写成这个注坐标对吧？ c d 选项就是你把它写成啊，求坐标，都没让你把这个三乘积分算出来，你看多好啊。 好，接下来的这个数的第四题啊，这个是去年考过吗？是不是去年考过，今年又考了？就是这个啊，引力的大小啊，引力的大小，去年考的好像是做工吧，是不是做工啊啊，今年的考了，只是考了一个引力啊，万有引力啊，实际上比去年这个题略微还要简单一点。 好，这是数学三的第四题，考了一个平均购入价格啊，考了个平均值啊，这个积分的平均值啊，这个最后结果是选 d 啊， 然后呢？这个数一的第三题啊，数三数二的第五题啊，这个呢，实际上从这个长相来看啊，这个经常给大家说嘛，从长相来看啊，这个大概率不会选 ab 的， 肯定不会选 ab 的 啊，是关于这个图形啊，你就画他的图形，考察这个啊，单调性，还有这个凹凸性，他的这么一个关系啊， 好，有这个可以有这个凹凸性，你就画图啊，可以去得到这个。这个实际上是什么？实际上就是这个割线的斜率嘛，对不对？你看割线的斜率是单则是单减嘛。 好，接下来这个选择题啊，这个选择题啊，这个就是怪这个方程组解的关系啊。好的，这个题目的条件是列向量由 b 的 列向量现形表示啊，这个两个 矩阵它的向量能够现形表示，你只要把它写成矩阵的形式嘛。好，那来判别这个非奇式现形方程组它是否有解 好，然后呢？反函数求导是吧？反函数求一阶导啊，求函数值啊，反函数求函数值，还只是让你求反函数的一阶导，还没让你求二阶导。这个是不是暑假集训讲过？是不是暑假集训的讲义上的？差不多啊，这个题目呢？差不多 好，接下来的新奇代数的啊，新奇代数的，这个数学一的，它是考察这个二次啊，这个化二次行为标准型啊，化二次行为标准型，然后呢和二次曲面这个结合起来啊，你只要把它化次行为标准型，然后呢根据正负惯性指数， 然后呢和这个圆柱面啊，圆柱面是什么？代表的是这个，有这个化成标准型之后，他有一个特征值是零，对吧？啊，两个大于零，一个等于零，相当于就是正惯性指数为二，负惯性指数为零啊，然后那你可以用特征值 啊，可以用特征值啊，通过正交信息变化啊。好，那么接下来的这个应该是咱们在应该是密押三套卷里面啊，应该是在密押三套卷里面，这个找过一个类似的 啊，就是在之前应该是二零一零年是吧，就是把这个二冲积分呢，写成了两个 c 个码。求和啊，之前呢是在二一年嘛？在二一年呢，也是数一数二的，是把定积分写成一个求和，我们这个是写成两个求和。 好，这个数一的第五题，数二的第八题啊，这个呢是就是所谓的创新，是吧，出现了一个所谓的 置换矩阵啊，所谓的置换矩阵其实他定义起来很清楚啊，就是单位进驻单位矩阵经过若干次互换两行，若干次啊， 互换两行出道行变化，是吧？互换两行得到了矩阵啊，好呢，根据这样一个定定义呢，大家去这个考虑下面这个啊，相当于就是由他是否能变成下面中间的哪一个 好，然后呢，这个矩阵方程有几啊？ a， b 等于 c 有 几？就是系数矩阵的值等于真管矩阵的值，根据两质相等最后的初等变换，把这个参数给它求出来。 好，然后这个题呢，六位，可能六位的复杂点啊，主要是把这个移过来之后，你可以把它配成一个 a 减 b 的 平方等于零 啊， a 减 b 的 平方等于零，然后呢平方等于零，这个时候呢可以考虑和这个字呢啊，结合起来就是这个应该是，好像是二四还是二三年考过啊？有 a 的 平方等于零，那你 a 的 字加 a 的 字小等于 n 啊，根据这个字 啊，这个根据平方等于零，根据这个字的来去推导啊，最后呢不正确的是谁啊？应该是这个 d 选项 啊。好，接下来呢就是算概率啊，这个很简单，独立了吗？是吧，独立同分布，把这个二维的概率密度写出来，然后呢用二重积分来去算这个概率 啊，这都是技术题啊，技术题的，你学完呢就应该能做出来啊，这个应该是我们冲刺班讲过吧，还记得吧？冲刺班讲过啊，使得他的最小啊，使得他最小啊，然后呢，这个做法有很多啊。 好，这是这个第八题啊，你可以用高等数学的四题来做啊，当然它实际上是个结论啊。 好，第九啊，这个第九题啊，第九题呢，就是给了一个分布函数，然后呢，这个是分布函数，然后呢，你去算，根据这个七万方差啊，你去算这个 a 和 b 的 值。 好，接下来数三的第九题啊，数三第九题呢，这个就是根据啊，呃，这是正态分布啊，这个二项分布，然后呢独立，然后呢？要你算这个相关系数啊，你就按照相关系数的定义啊，把五个参数啊，把五个 这个有关的数的给他算出来啊，最后呢，带入这个相关系数公式就可以了啊，计算量可能略微有点大啊，这个题稍微算起来会多一点。 好，第十题的是关于的这个条件概率嘛，对吧？这个条件概率转换成无条件概率啊，从这个长相来看，这个肯定不选 a b 嘛，对不对？估计的，因为 a b 差不多， c d 差不多嘛，大概率就有 c d 啊，所以呢，你把这个 这个左边算一算啊，把左边算一算，算一算之后呢，其实这个就是这个作为条件这个事件的概率啊，稍微的划一下减，但这里面呢，会用到这个极数的知识啊，因为它是个离散型，算概率。 好，接下来呢就是填空题啊，填空题呢，它这里面考了一个项链机，是吧？两个项链项链机，项链机算完之后呢，再算一个项度啊， 所以呢，这就是所谓的冷门啊，今年这个冷门考的不是很多了啊。今年冷门考的不多，就这个算是一个冷门好。然后呢，这个啊，这个 啊，这个以前的数学三的同学呢，很少考，但今年是考到了这个反差积分的比较判别法是吧，你把这个零到正无穷分成零到一，一到正无穷啊呢？分别利用比较判别法， 也就是找背接函数的什么等价无穷小啊，是吧，非零因子极限先求啊，用比尔判别法来做这个应该比我们在冲刺班讲的那个题要简单很多啊。这个好像是暑期讲义上有一个暑期讲义啊，那个极刑讲义上面应该是有一个选择题，和这个是差不多的 好。然后呢，这个计算，定积分的计算啊，定积分的计算，零一区间，你看这个地方是不是有个 x 减二分之一啊啊，所以呢，你应该要记住啊，应该是零 t 等于 x 减二分之一，做一个换元，然后呢，搞出个这个对称区间是吧？搞出个对称区间，然后利用记忆我背心字来算，这个会比较简单 啊。极限的计算是吧，这个无穷减无穷啊。然后呢，这个啊，数学三的这个历史二题啊，这个也是一个无穷减无穷啊，不知道他为什么要搞一个不一样的啊，其实做法差不多啊，这个呢，可能略微看起来复杂一点，但这题实际上就松分的啊。 好数一的参数方程求二解导是不是都做过啊？参数方程求导 啊。然后呢，取的半径啊，取的半径把取的算出来啊，这个算取的实际上是不就是这个，我记得是点题班讲过吗？是不是点题班讲过啊？引函数啊，引函数，求取律，求取律，然后有了取的之后求取的半径，实际上就是考引函数，求一阶导，求二阶导嘛。 二十四题啊，反差积分，这也没啥说的，分不积分是不是分不积分法啊？然后呢？说的第十四题啊，这个应该是，我记得是咱们那个 密钥三套卷啊，在密钥他三套卷的好像是卷一吧，好像是卷一里面啊，他给这个条件就是对 x 的 偏导在零零是派对 y 的 偏导呢，是等于三吗？ 好呢，再考一个。什么？是不是考一个符合函数是吧？这个记载一的导数就是符合函数求导。这个密押三套卷里面的差不多的一个题啊，就是数可能略微改了一下。好，这个第十四啊，微分方程的求解啊，二阶长细数非其次线线微分方程的求解啊，五分。 好，数一的第十五题啊，现现在数的这个就把特征值求出来嘛，把特征值求出来，然后呢？把最大的特征值算出来之后，他小于他，然后呢把这个的范围呢给他求出来。 好，第十五啊，第十五的平均值嘛。啊，就是积分除以积分区间的长度嘛，这个好像是一三年，一四年，当时的数三的， 初二的啊，初三的，初二的，初二的好像是一四年考的，初三好像是一三年考的，然后今年的就都考了啊，这个是初二的积分除以积分区间的长度啊，其实就是考定积分的计算。那么数学三的也有一个啊，数学三的也有一个。 好，这个概率的这个题啊，概率的这个题啊，这个就是博松分布嘛，博松分布啊，这个的独立啊，根据这个独立呢，大家去化解，然后呢，最后去算这个期望啊，离散型的，离散型的算期望 好，这个先行代数的啊，这个先行代数的，这个这个是规范型，规范型告诉他叫什么呢？就是特征值里面一个正两个零吧，说明他的字啊，他的字是一，他的字是一，他的字也是一嘛，因为这两个矩阵的字是一样， 那它的知识一说明，任意两行对应成比例嘛，你不就可以把 a b 解出来嘛。好，然后呢？这个十七啊，这个十七，这个十七题的，这就交换积分次序嘛，是吧？给你的直角坐标估计算不出来，这个呢，估计要变成一个极坐标嘛，是吧？估计要变成个极坐标来算 啊，这肯定是要交换积分次序啊，但他应该是只要坐标变极坐标啊。然后呢？接下来第十七啊，这个十七，这个十七的是 这个这一问啊，我记得是给那个钻石卡选基础圈呢，就讲过啊，还记得吧，给你这么一个等式啊，你要求 f 怎么求啊？是不是令他为 a 啊？令他为 a 啊，那把这个 a 解出来， a 解出来，这个 f 有 了啊，只说这个题呢，再加了一问 啊，再加了一位，你求出 f 之后，你把 f 的 展开嘛，对吧？把它套公式给它展开就行了嘛。啊，这个卷展开是考大题啊，这个比较大家比较头疼的是求和，是不是他求和没考，他考的是展开，但是是两个题变成一个的啊？ 好，就像这个第十八啊，这个第十八，第十八的数一的这个第十八题呢？呃，其实就是这个 f 的 对 x 的 偏导是这么多吗？ f 对 y 的 偏导是这么多 啊，所以说这种题大家从技术阶段到强化阶段到充实阶段其实都做过啊，对 s 偏导等于它，对外的偏导等于它啊，然后呢，我们接下来呢，是不是就根据二阶混合偏导相等，然后呢就可以算出这个第一问 啊？算出这个第一问之后啊，对，任意 u 它都是个常数嘛，对吧？这个常数，所以得把这个条件带进去嘛，把这个条件带进去啊，带进去之后，你可以把这个 c 的 解出来啊， 把 c 解出来之后，最后呢得到一个微分方程啊，因为一般只要是求函数表达式的题啊，基本上能确定它都是用这个微分方程来做啊。 好，接下来的这个数二数三的十八题啊，这个的十八题呢？这个应该是数学二的吧，数学二的二零年考过啊，数学二的二零年考过 啊，实际上这个地方就换元嘛，应该得到一个分段函数，对吧啊，求导数判判并判别这个导函数在零 z 点是否连续啊，暑期还记得吧，暑期急需人的讲义上一样的题啊。 好，接下来的这个积值啊，数一数数三的都考了，这个二元函数无条件积值啊，已经连续考了若干年啊，从二一年开始是吧？ 二零年嘛，还是从二零年开始？这几年几乎每年都有啊，无条件及时啊，这个基础阶段，强化阶段，冲刺阶段啊， 基本上的都是讲过这种啊，并且讲的还比这个难是吧，我们还讲过啊，通过这个别的知识来求函数表达式，这个呢，是直接给你表达式啊，而呢数一的这个十九啊，为什么说数一的这个也不难呢？因为去年啊，那个 曲面积分是吧？去年考的那个曲面积分啊，那个曲面积分这个比较难得，分率比较低啊，但今年这个考的是曲线积分，实际上我们在考前大家其实都已经知道今年要考曲线积分啊，只是不确定他到底是考斯托克斯还是考平面曲线啊。这个就补线吧， 对不对？补线，这是个椭圆嘛，椭圆的一部分啊，你就用补线法补线的时候，我们其实这个在我记得好像是点题班给大家讲过啊，你补线最好补直线，是不是你就补一个直线啊，用高用格林公式就可以了。 好，这个数学一的比较长啊，证明题啊，数学一的同学考了一个证明题啊，数二数三的其实没有考啊 啊，这个这个等于零啊，好的， a 的是半个区间上的积分，然后你证明 a 大 于零啊，所以说你就把这个啊，可以考虑用积分区间在线，可以把它写成两倍的零到一上这个 f 加 f 负 x 的 积分啊， 通过这个单调性啊，通过 f x 严格单调递增。然后呢，你再来看这个 a 啊，是大于零的啊，这个的一看就罗尔定律嘛，对不对啊，这个肯定就是对导函数，用罗尔定律，找三个点的函数之相等，找三个点的函数之相等，然后呢，用三次是吧，是不是用三次罗尔定律 啊，这个点很好找是吧？一啊，负一啊，零啊，应该是这么去找好 接下来的这个数二的第二次题啊，这个呢，就是旋转体的体积吗？但这个题可能有点计算量啊，因为你从这个结果来看不太友好，是吧？所以我们说你题型那是常规的题型，当然这题呢，他有一个拐点，是吧？有一个拐点，你要把这个拐点求出来啊，要把拐点求出来 啊，拐点求出来之后，你就可以求出 x 零嘛。好，那这是第一项线嘛，是吧？呃，这个第一项线无界区嘛，无界区他应该就是个反差积分嘛，这个也讲过这题的第二问，这个应该是讲过第一问的常规题嘛，找拐点。 好，接下来数三的第二次题的这个常规的啊，这就是一个极坐标嘛，是不是应该是一个直角坐标嘛？ 啊，这个可以出微分嘛，是吧？这个外，先对外积分嘛，先对外积分啊，然后再对 s 积分， 这个应该也属于比较常规的啊，这个比较常规的一个二乘积分的计算。好，这是第二次啊， 然后呢，这个数学二的第二次一题，考了一个二阶微分方程啊，这个二阶微分方程的，求解嘛？ 画圆是吧？啊？零 p 零 y 的 导数。好，接下来的这个线形代数的啊，这个线形代数这个题实际上是不和去年那个大题差不多啊， 和去年那个大题差不多，这也是我们钻石卡学员在考前发的第二三啊，这个考前必做八套题里面好像是第五套吗？讲过一个 啊，这个基本差不多啊，然后呢？也都是十次方，是吧？我们这个题也是十次方，他这个第一问看起来是正面题，其实是计算题啊，就是你找极大的信息无关注嘛，是不是找极大的信息无关注，而把其余的下面用极大的信息无关注来表示出来 啊？所以这题呢，咱们这个状元选的应该做的比较好啊，因为基本上就是原题了。好，然后呢，概率呢？这个比较难的就这个大题了啊，概率呢？大体稍微难度要大一点 啊，主要就是你要把这个画的要想清楚，他现在有 n 个原件嘛，然后每个的都是这个指数分布啊，所以呢，我们就假设他们的寿命是 x e x x n， 有 n 个原件，有 n 个寿命，每个寿命服从这个均值啊，你没有发现他有点像二零二二年那个题啊？ 有点像二零二二年是吧？均值就是七万，等于这么多，那么参数呢啊，指数分布的参数就是那 c 乘分之一嘛，对不对？好，那么现在的说 k 等于一， k 等于一是什么？就是我现在有 x x x n， 有 n 个原件，寿命是 x x x n， 而那 k 等于一呢？说失效的原件的寿命啊，就是有一个原件嘛， 他说试验直到出现 k 个原件失效时停止， k 等于一是吧？ k 等于，就是出现一个原件，出现一个原件，它失效这个时候的停止， 然后呢，这个寿命是 t 啊，失效原件的寿命你知道是哪一个失效吗？其实你不知道，但是我们知道他一定是什么，一定是这 x e x x n 中间最小的那个， 对不对？所以呢，他这个 t 呢，应该就是 x x n 最小的那个，也就是 mini， 是 吧？就是 mini 啊。 好，这是二四年吧，应该还记得吧。二四年考过啊，二四年在大题考过，我们在那个点题班吧，我记得点题班最后一个题啊，这个给大家看过啊，给大家看过，然后没有讲，因为和二四年那个题差不多，二四年的是什么？是均匀分布，再给他换成一个指数分布， 所以呢，它就是 x x x n 中间最小啊，就是迷你也就是最值的分布嘛，然后呢，你就利用最值的分布是不可以把它的密度求出来，密度求出来之后，你看这个是不一样 的，是吧，所以关键就是把这个 k 等于 t， 这个 t 到底是什么意思，你要翻译清楚 啊， t 等于就是有一个原件失效，对不对？这个时候就停止 啊，然后呢，这个寿命是 t， 这个 t 是 什么呢？肯定是这 n 个中间这个时间最短，寿命最短的那个，对不对？因为你肯定是寿命最短的那个出现了 啊，原件的失效了吗？啊，所以这个 t 的 应该是 x 到 x n 中间最小的那一个，然后呢，这个第二个呢？他把四项函数都给你了吗？对不对？四项函数给你了，你这个找对数，求倒倒数等于零就行了吗？ 对吧？导数等于零就可以了啊，所以呢，最后就可以把这个结果就可以算出来啊，这个有点新颖啊，以后可能有同学没法把这个文字性描述的条件翻译成数学式啊，所以这个题呢，估计得分率呢，要稍微的低一点。好，这就是关于咱们这个 啊，今年这个考试题呢，就给大家解析到这啊，总的来说，根据大家的反馈，考的都还是不错的，所以呢，不管怎么样，大家都要准备复试啊，因为估计绝大部分同学应该都是能过初试的啊， 绝大部分同学过初试应该问题不大，主要就是看你的复试就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就非常非常关键。好，那我要讲的内容就这么多啊，最后祝阿六届的同学啊，一战成硕。

咿呀咿呀咿呀 咿呀咿呀咿呀。