数二第6题出错了嘛

数一第六题，大家好，我们来看一下这个概率论梳理统计的解答题啊，这个解答题部分呢，其实能考的考点啊，是相对来说比较固定啊， 一般这个一般来说呢，有三个方向，第一个呢，就是关于二维连续型随机变量密度函数的转化，是吧？边缘条件联合，再一个呢，就第三章的最后一个，就是二维随机变量函数的分布，尤其是两个 连续型或者一个离散，一个连续型随机变成函数的分布问题，当然还有个重中之重呢，就是参数估计啊。好，当然这种题目呢，往往做法呢比较固定啊，这个套路性很强，这种题目呢，希望大家能能把它拿个满分啊！他说假设 x y 是 独立的 数积变量独立什么意思啊？那么我们这个题目里面啊， x y 是 个连续型数积变量是吧？它独立的话，它的初二条件就是联合密度函数等于边缘密度函数乘积，对吧？好，他说呢，而且服从正态分布啊，两个都正态分布，说 z 呢，等于 x 减 y。 大家注意， 其实在这里面大家有经验啊，如果题目中给你两个数据变量都服从正态分布，而且独立，然后题目中又涉及到这两个数据变量的线型组合，比如说我们这个里面的 x 减 y， 就算这个题目没有提醒你，你也要往这个方向去想啊，就是只要题目中告诉你两个数据变量服从正态分布，而且是独立的啊，那么将来世界的这两个数据变量的线线组合，一般来讲都可以直接写出这两个数据变量做线线组合以后的分布，你比如像我们这题目里面， z 是 很明显是个正态，对吧？两个相互独立的服从正态分布的随机变量，做幸运组和人服从正态分布，是吧？所以 z 呢，肯定是个肯定，肯定是个正态分布，那么它的期望呢？一个是期望，而它的这个两个参数啊，一个是期望，一个是方差，这个比较简单，是吧？所以 z 呢，当然就服从 z 啊，就服从参数为零。三、 sigma 方的正态分布，对吧？这个第一问很简单啊，求它写它的密度函数。那么第二问，求 z 一 到 z， n 是 来自于正态总体的样本，求 sigma 方的最大实测值量。 说啊，我们要求最大自然估计呢？首先要写自然函数，这个老一套，是吧？先要看总体是离散还是连续型数据变量，我这个总体肯定是个连续型数据变量，对吧？就是把每个样本对应的密度函数呢给它乘起来，当然每个样本对应的密度函数，这个写法跟总体其实是一样的，对吧？就这个 就这对吧。你比如说我第一个样本 z， 它对应的密度函数呢，很简单，就是把这个里面的小 z 改成 z 就 可以了。 那第二个呀，我们 z 二呢，它的密度函数呢，是把它改成 z 二就可以了，意思类推，是吧？把它统统沉起来，这个很简单啊，就是根号下，那根号下六派 sigma 方分之一，它的 n 次密啊，就是六派 sigma 方的负二分之 n 次方嘛， 对不对？然后肩膀上呢？移不动，把这个肩膀上加起来就可以了，对不对？然后呢，对它取对数，求导数，令导数等于零，算数零，对吧？那么这个取对数，哎，对，哎，注意啊，你要对谁求导数啊？ 这个求导数，人家题目中说的是对 c 个码方做估计，那你应该对 c 个码方求导数，不是对 c 个码求导数啊，要看清楚题目好，对 c 个码方算导数，那这个呢，就是负二分之 n 不 动，对吧？就是六派， c 个码方分之一再乘什么？再乘上个六派，哎， 对不对？你把这个 sigma 方当做个整体来看不就可以了吗？对吧，然后呢，再减去，注意啊， sigma 方六分之一的不动啊，对不对？然后呢， sigma 方分之一，你看就是 sigma 方的非次方，就是负的，就加上 啊，呃，这个 sigma 方的平方分之一嘛，对不对？好，然后呢，再乘上这么个常数 等于零吧，是不是？然后零它等于零，把这个 sigma 方呢，就给它解出来就可以了，那当然，这两个呢，可以消掉 是吧？就变成二倍的 sigma 方分之 n， 对 不对？然后把这个 sigma 方解出来就可以了。这两问呢啊，为什么最后考试之前还要再给大家强调一下？因为说实话啊，我们现在很多同学呢，对于概率统计这个问题啊，学的 不是很好啊，因为呢，学的不好呢，不是因为他难，是因为大家呢，可能很多同学呢，做的题目啊，比较少， 那么现在如果说你感觉概率统计这门课学的不大好的同学啊，又会抓重点啊，就刚才说了，这个解答题的考点就这三个方向，如果说你感觉学的不是很好的同学，可以把这三个方向做集中的训练 啊，那么我们这么多年考下来以后呢，也就是二五年，就是去年的这个概率统计的解答题的难度确实比较大，而一般来说呢，大部分题目都是很常规的处理啊，好，那么这个题目呢，我想讲一下。第三问， 他说呢，是否存在这个时数？ a， 对 于任意的一个数大于零，总是有这么个结论成立，很多同学看这个东西，他他都读不懂，不是什么意思啊？ 你看他说 n 虚像无穷大时，这个 c 个码估计平方就 c 个码平方的估计相当于哈减去一个常数，它的绝对值小于啊，或者大于一平方的概率是是什么？是零。其实呢，你可以把它改写成这个东西， 你看啊，是不就是，哎，这个 c 个码方的它的估计减去一个正数写的概率等于几？等于一， 对不对啊？大家还记得吗？这是什么概念啊？这是不就是个 e 概率收敛的个定义，对不对啊？这句话就翻译成这个 c 个码平方的估计啊，是不是 e 概率收敛于这个常数，他们的这个常数是几？ 是这个意思是吧？你别看这东西感觉好像挺复杂的，什么叫一概率收敛？这个小概念可以知道一下啊，你看我们在第二个里面，这个 c 个方估计搞出来以后，是不是就长这个样子，在哪呢啊？在这啊，在这在这， 对不对？大家注意，提到一概率收敛这五个字，你马上就要想到大树定律， 大数定律，然后我们在整个考研范围之内，能跟一概率收敛这五个字建立起联系，它它就是个大数定律，其他也没有啊，对不对？那么大数定律里面，我们重点要关注的就是心清大数定律， 大家还记得心清大数定律的内容吗？他说随机变量 x 一， x 二到 x 三，独立同分布，独立同分布， 期望存在的期望等于 mu 啊，而它每个期望都是一样的吧，通风木啊，对吧？那么如果满足这样的条件，它的前项的算术平均值啊，将一概率收敛于这个期望， 对不对？那你看我们现在这个 sigma 这个平方的估计啊，搞出来是这么个答案，对吧？你看啊，这个呢，你三分之一，先不用管它，它是不是可以关注一下，它是 n 分 之一乘上这个东西， 对不对？是不是？我们可以重点关注一下 z 一 的平方， z 二的平方，一直到 z n 的 平方， 原来你 z 一 到 z n 是 独立同分布的，那么你平方以后还是独立同分布的，毫无疑问，对不对？它从什么分布就同 z 的 平方的分布，哎， 对不对？那么根据而，而且它期望存在吧，你看啊， z 的 平方的期望等于方差加期望的 平方，对不对？那么 z 的 方差刚才说了， z 是 什么分布啊？ z 是 个，是个正态分布啊，对不对啊？参数是，哎，这字写的很清楚啊，这三倍的 sigma 方，方差是三倍的 sigma 方，再加个零，哎，就是三倍的 sigma 方吗？ 对不对？所以说这个东西它是独立同分布，期望存在，根据新清大学的这个根本不用推啊， 根本不用推，直接套这个结论就好了，因为这个结论可以直接用的呀，对不对？因此它的前项的算术平均值将一概率收敛于什么期望就是三倍的 sigma 方，对不对？那么这还有个三分之一吗？这将一概率收敛于几？把这个三分之一去掉呗， 对不对？所以说这个东西其实就一概率收敛于 sigma 方，所以说这个 a 是 谁？ a 不是 别人就是 sigma 方 啊，所以这个问题呢，大家可以稍微关注下啊，说这个一概率树立呢，我们几乎没有考过，算是一个冷门的考点，大家可以做个一般性的掌握就可以了啊，那么重点把前两位掌握就可以了。数二第六题， 微分方程的几何应用。同学们，好，我们继续来看下面这样一道微分方程的几何应用的问题，那么这样的问题呢，尤尤其是数二的同学啊，当然数一数三呢，有可能会考到，尤其是数二啊，要把它作为一个重点来备考啊。那我们从历年考研政策来看呢，这块内容呢，考的频率很高， 那么微分方程部分呢，你要数一数二来看，本来有两个考点啊，就是从应用型层面来看啊，一个是几何应用，一个是物理学应用，那我个人觉得呢，物理学应用考解答题的可能性比较小，大家要重点关注下几何应用， 这里面的往往要跟，比如说跟微分方程啊，对吧？呃，这个不是，这个跟我们前面讲的这个定积分的几何应用啊，微分方程的算通解问题啊，对不对啊，但是甚至跟导数的几何应用进行结合啊啊，就这个东西呢，不难，但是挺综合的啊， 假设 m 是 曲线， y 等于 f， x， 这个就是你可以随便画一下啊，这个反正我这个 y 等于零。好，这个 m 点的切线呢，就在这 它交，那切线的我可以算一下啊，切线方式就用点斜式，大 y 减小 y 等于 y 一 撇，大 x 减小 x， 是 吧？它与 y 的 交点就是 p p 的 坐标呢，很明显，零 y 减 x， y 一 撇就把大 x 点成零就可以了，是不是好，它的条件呢？就是 m p 等于 p o， 就是这两个是相等的，对吧？这是我们列方程的一个核心问题，这很简单嘛，对吧？就把题目读懂就可以了。那么 m p 呢？就 m p 点的距离就根号下，你看这个，这是 x y 本来应该是根号下 x 减零的平方加上这个 y 减去 y 减 x y 一 撇的平方，对吧？ 其实其实说到底，不就是根号下 x 平方加上 x y 一 撇的平方吗？等于这个 m o m o 呢，就是 x 平方，再加上。 呃呃，对 p o 啊，对 p o 啊，对 p o 对 p o 的 话，那就是这个 y 减去 x y， 就 这儿吧， 这点距离嘛，对吧？我可以写一下，就根号下 x 的 平方加上这个 x， y 一 撇的平方就等于什么呢？就等于这个呀，就等于 x 或者 y 减去 x y 一 撇的绝对值符号 是不是这么来，然后这里两边平方一下就变成这么个十字，是吧？好，现在把这个微分方程列出来以后，怎么去解这个微分方程呢？我说关键问题是啊，你要第一当然肯定是一阶微分方程，是吧？关键是你要能评价这个微分方程的 类型，怎么办？这个呢，我觉得你可以把它稍微化个减哈，你看，就 x 平方加上 x 平方， y 撇的平方就等于 y 的 平方加上 x 平方，这个 y 撇的平方再减去 r x y 二呃，二 b 的 x y y 撇，对吧？这两个其实可以消掉，对不对？那你看，很明显，这个 y 的 一撇就可以写成这个 x 平方，减去 y 平方，除上负二 x y， 就 可以写成二 b 的 x y 分 之 y 平方减 x 平方，是不是就变成这么个形式， 对不对？好，变成这个形式以后，它是什么类型啊？属于 e j v n 方程里面的什么类型？我说判定类型很关键啊，我们 e j v n 方程里面公共考点就三个变量，可分离奇四型异阶型，是吧？这个很明显，它是个这个奇四型 v n 方程。 那奇四型 v n 方程呢？典型结构是形容 y 撇等于否 y x， 或者是 y 撇等于否 y 加 s， 对吧？那这个时候呢，你把它稍微处理一下，你比如说把它稍微处理一下，就 y 撇等于。比如说我分子分母同除 x 平方，变成 y 比 x 的 平方，再减一除上二倍的什么 y 比 x， 对 不对？那么其四型微分方程求通解的典型结构，或者它的一般性的操作就是换元啊，令 y x 等于 u， 对 不对？那这个 y 撇呢？就等于 u 乘上 x u 撇，这个代入方程是不是就变成这么个形式？ 那奇次性微分方程一旦换元以后，马上就变成变量可分离型微分方程，对吧？把这个二 u 分 之一加 u 方除到左边来，把 x 拿到右边去就可以了嘛，对不对？所以你看这个积分应该很好奇，你看给你试一下啊，就是二 u 分 之一加上 u 平方 d u 等于什么呢？因为这个 d u 撇是 d u d x， 哎，对不对？然后呢，就等于这个 x 分 之一 d x， 对 吧？这儿填个符号，两头取积分，对吧？这这个把把它往后放，就是路由什么 e 加上 u 方，对不对？等于负的路由，再加个 c， 加个路由 c， 是吧？然后呢，它这个这个呢，就可以合并成这样个结构，把这个合并成这样个结构，就等于负的，而这落于什么 c 除上 x， 那 因此呢，此时一加上落于 u 方， 就等于正负 c x 就是 c， 除 x 就 正负 c 除 x 呗，对不对？那么也就是什么，这个一加上 y 平方， x 平方等于 c x， 对 吧？你可以把方程两边同时乘上 x 平方，是不是变成这么个十字， 对不对？就这么简单的问题。然后呢，你有这个曲线啊，过四三这个点，他给了你一个出数条件，把四三带入，把 c 解出来就可以了。所以你看这里面啊，给定的就是一个 这个，这个这个圆，圆心在八二啊，八分之二十五，零的半径为八分之二十五的圆，对不对？就变成这 这个，呃，这么一个我们常见的一个结构哈，好，那就你把这个 f x 算出来了，并求出 f x 的 基值。好，那你看啊，现在呢，我们现在这个算出来以后，它这个 x 平方，因为 y 大 于零嘛，这就相当于我虽然是个圆，但是我们只取上半圆，对不对？哎，这个呢，其实啊， 来我就把它拆掉了啊，这个 y 呢，是不是就变成这么个形式，对不对？当然有人说，老师，那我就算极值的话，那是不是求导数，令导数等于零，算住点，哎，也可以，也可以啊，但是你这个题目呢，没有必要啊， 又该说了，这个东西呢，是不是个圆心在八分之二十五零啊？那圆心在八分之二十五零，半径是八分之二十五的圆周，本来麦是这么画的，对吧？但是我们只取上半圆周，你从几何意义上你， 你显然能看得出来是八分之二十五，这个点取大值啊，对不对啊，就很简单道理，所以说呢，当然他没有记小值是不是？所以这个题目呢，关键还是你要算出这个， 这个就列出啊，这个微分方程，去解微分方程就可以了，所以这样的题目呢，不难。但是这样的题目，哎，我觉得区分度还是有的，那很多可能基础基本功啊，不是很扎实的同学不一定能做得出来啊。 好吧，希望大家呢，在考前回归到基础问题，回归到常考问题，把这样的题目去练一练，去做一做， 你也可以做个有心人啊，把我们在比如说近十年，近十五年之内，整体里面数一、数二、数三考过的所有的涉及到微分方程，几何应用的所有考题，拿出来做一个集中的训练，我觉得是非常有必要的啊。 数三第六题，同学们，好，我们就来看这样一个概率统计部分的解答题。这个概率统计部分啊，从解答题的考法上看啊，它往往是比较固定的。这个考法呀，题型都是比较固定的，而且总体来说难度也并不是很大， 主要是三个方面。第一个呢，就是我们这个第三章的二维连续型随机变量函数的一些转化边缘联合条件，对吧？再一个呢，就是随机变量函数的分布的问题。 再一个呢，就是第七章的参数估计啊，就如如果说啊，哎，你感觉这一块学的不是很好的同学，其实很简单，因为他这个，呃，考法就是很固定啊，我们就抛开这些表现的问题，直击考点 啊，就是你可以把近十年、近十五年之内数一数三考的所有的概率统计的解答题，把它做集中的训练，我觉得就可以。 那么咱们这个题目里面既涉及到参数估计，又涉及到这个随机变量密度函数的一些处理啊，好，他说呢， x 是 个参数为 c， 它分之二的指数分布，哎，它的这个密度函数当然是有了，对吧？很简单，他说呢，在大 x 的 小 x 条件下， y 的 密度函数， 那将来肯定又有用，是吧？你看它这个里面，其实已知边缘条件，我就可以算联合密度函数，对不对？那简单，联合等于边缘乘上个条件， 对不对？好，那么你看把这个 x 大 于零，且这个 y 怎样？我，呃，且 x 大 于零小于 y 的 时候啊，这个，把这个条件密度跟这个 边缘密度把它怎么样？把它沉起来吧，对不对？沉起来以后呢，就长这个样子，是不是？就是你 x 大 于零且 x 大 于零小于 y 的 时候，是不是就 这个零和密度啊？长这个样子，对吧？那只要不在这个圈里面，其他都是零，对吧？这里面啊，其实有个非常非常细节的问题啊，这个呢，考试呢，一般来说也没有在这个地方太过难为你哈。 其实呢，这里面啊，我们从解析里面来看，这个密度函数算到这，其实呢，有点问题，他没算完。其实啊，为什么？他为什么没算完？你看啊，我们这个零和密度是不是用边缘乘条件密度得到的，对不对？那我问你，你这个所谓的其他是指哪？ 你看我们现在算出来说， x 大 于零，小于 y， 那 x 大 于零，小于 y， 这是 y 对 x， 哎， 对不对？就这样一个区域里面是 theta 平方分之二， e 的 负 theta 分 之 y 加 x 方，对不对？其他地方是零，这是零，这是零，这是零，对不对？其实并不然， 为什么？大家注意啊，我们这个联合密度，它是用边缘乘条件得到的，对不对？大家想啊，我们现在说你这个这个这个这个条件密度啊，它要想存在，是不是？显然 x 要大于零， 对不对啊？因为你 x 小 于零，他根本就没有条件密度，你怎么好用边缘乘条件等于联合呢，对不对？所以说这个所谓的其他你要注意啊，严格上讲，我们现在只探讨 x 大 于零的时候，换句话讲，就在 y 轴的右侧啊，除了这样一个三角形区域之外，这个地方是零， 但是你 x 小 于零的时候，这个零和密度严格上讲你根本就没算，对不对？因为你小于零的时候，那你还能用这个条件密度来乘吗？你不好乘哎，你没有条件密度，哎，对不对？那怎么办呢？当然其实是零啊，你要是这个有兴趣的同学啊，你可以自己去试， 又用尾，你看你要是写个很严严格的理由的话，那 d 哈，在这个 g 这个区， d 上 c， theta 的 平方分之二， e 的 负 theta 分 之 x 加 y， 这个二乘积分啊，它其实就等于一。 这个二乘积分啊，就等于一哈。杨老师，你没算，你怎么知道它等于一，你不信你试一下呗，它肯定等于一，不是一，这个题目它就出错了啊。 啊？他等于一，那我们说联合密度函数在整个区域上，在整个全平面上的二分之一是等于一的，现在在这个区域上积分就已经等于一一了，说明什么？这就说明在其他地方的积分应该等于零， 哎，对不对？那么你既然在其他地方这个积分等于零的话，是不是我就可以认为除了这样一个区域之外，其他区域的二元函数我就可以写零， 对吧？但是其实密度函数并不为一，我们说密度函数呢，只要第一个非负，第二个在整个全平面上的二重积分等于一就可以了。你比如说我在有一个点，它的密度函数是一百，行不行？这也可以啊， 也可以，但是呢，为了方便起见，因为你除了这样一个区域之外，其他的区域算二重积分都是零的话，那我就让其他其他的区域啊，这个零和密度就等于零， 对吧？所以有了这个东西做跑站，我就可以写其他地方是零，这个其他比刚才这个其他的范围要更广。它就是在整个全平面上，除了这个区之外其他地方 啊，这是个细节问题啊。好，这是联合密度，肯定有用啊。好，他说呢， c 大 这个参数 x y e x n y n 是 来自总体的样本，哎，你看它这个样本的取法跟我们一般的不大一样，它这个总体是个二维连续型随机变量，对不对？好，所以让你算它的 最大矢量，估计我现在主要我这个总体现在是个二维连续型数学变量，对不对啊？那么你写这个矢量函数怎么办？还是一样的，我就把每个样本对应的密度函数把它撑起来，对吧？他这个每个样本的跟总体的密度是一样的呀，它总体密度，这不就这个吗？在这 对不对啊？说每个样板，你比如说 x 一 y， 它的密度函数是什么？就是不就这个呗，那不就是，那就这啊，就是 f x 一 y， 对 吧？这道道理是一样的。比如说 x 一 大于零小于 y 一 的时候是什么？ c 它平方分之二， e 的 负 c， 它分之 y 一 加 x 一 四方，其他地方是零， 对不对？那么第二个样本 x 二 y 对 应的密度呢？就一样的，把这个里面的 x 一 y 一 改成 x 二 y 二，对不对？以此类推。然后呢，把它统统存起来 啊，如果每个样本的样本值都满足大于零小于 y 这样一个条件的话，就是把它统统存起来，只要有一个样本的样本值，不满足这个条件，那自然函数均可取零， 这个大家很熟悉吧，对不对？当然就谈不上最大，我们是不是要关注的就是什么时候能让他取得最大就可以了？ 这个是最大自然估计法的实际含义，就看什么时候能让这个自然函数取取最大值呗，对不对？所以我们就考虑当这个 x 大 于零小于 y 的 时候，对这个自然函数取对数 啊，绝对数，然后求导数，这个很容易啊，求导数呢？你对 c 大 求导数，这个没了，这个是不是 c 大 分之负二 n， 对 吧？这个呢，就是加上 c 大 平衡分之一，后面这一堆是个常数，对不对？然后令导数等于零，把它算住点就可以了，所以说最大自然估计的结果就长这个样子，对 不对啊？其实啊，它这个呢，也可以写成什么呢？最大自然估计的结果，这不就二分之一倍的，那你把这个 n， 你 把它乘进去，其实就就是什么 x 吧，再加上 y 吧， 是不是也可以写成这个形式，是不也可以，是吧？嗯，好，这是第一问，这是最大私人估计的结果，这个应该是很轻松的啊， 看第二位，让你去算一下这个第一问，这个估计的方差啊，那么现在你要算这个估计的方差怎么算好？大家看现在啊，我觉得，当然这个方法呢，也并不是就是唯一的啊，你看，你要算这个方差，那就这个， 我觉得你可以把这个二分之一先把它往前提嘛，对不对？往前提变成四分之一，对不对？四分之一是不是 d x 八再加上 y 八， 是不是？但是，哎，你要注意这里面这个 x 八和 y 八呢？它这个独立吗？哎，不独立是吧？那现在怎么就算这个方差呢？那我们就可以直接去用方差的运算公式把它拆开嘛，对不对？好，它就等于 四分之一倍的 d x 八，再加上 d y 八，再加上两倍的 x 八和 y 八的斜方差。这里面就用到统计量的数字特征，大家记得这几个公式吧，样本均值的期望等于总体期望， 样本均值的方差等于总体方差的 n 分 之一，那么样本方差的期望就等于总体方差，对不对？就这个呢，它就等于四分之一倍的，就是 n 分 之一倍的 d x， 再加上 n 分 之一倍的 d y， 再加上两倍的，哎，这个地方，你这个，呃，来啊，这不就是 n 分 之一倍的 c 个码，求和 i 从一到 n y i， 对不对？好，来，我们可以把这个后面这个呢，可以稍微处理一下哈，这个 n 分 之一， n 分 之一可以往前提变成 n 方分之一， n 方分之一，这不就 n 方分之二吗， 对不对？然后你看这个呢，其实不就是 x 一 加上 x 二一直到 x n， 是 吧？这个呢，是 y 一， 这么写要好看一点哈， y 二一直到 y n， 知道吧？那你看接下来怎么办呢？这个呢，我觉得你可以这么想哈，就你看这个 x 一 跟 y 一 算斜方差， 哎，就变成什么呢？就变成拆开吧，就是 x 一 跟 y 一 算斜方差，对不对？加上 x 一 跟 y 二算斜方差，因为它们之间是样本啊，那肯定是独立的嘛，相互之间是独立的，对吧？所以你 x 一 跟 y 二算斜方差，那肯定就是零呗，对不对？好， x 一 跟 y n 算斜方差也是零。 同理，我这个 x 二是不是只有跟 y 二算斜方差才有点用，对吧？好，你们就就加上什么呢？ x 二跟 y 二算斜方差，一直到什么 x n 跟 y n 算斜方差， 对不对？因为你要知道，我这里面 x 一 y n x 二 y n x n y n 都是跟总体同分布，就跟总体 x y 同分布的这个 这个样本吧，对吧？所以说，此时呢，它的斜方差，每个跟总体 x y 的 斜方差应该是相等的吧，对不对？所以说，其实啊，我又把它拆掉了，它其实就等于 n 倍的什么？那是不是就等于 n 倍的 n 倍的总体里面这个 x y 的 斜方差，哎，这不就可以了吗？ 对不对？好，那接下来干嘛？接下来是不是要算一下这个 x 的 方差， y 的 方差， x 跟 y 的 斜方差，哎，对不对？ 好，那这个 x 的 期望。哎呦，你看，我们这个题目里面也说过了，这个 x 它是个指数分布，是吧？它既然是指数分布的话，那它的期望是什么？ number 分 之一就是二分之四的平方， 对不对？这是期望和方差，这个 x 的 期望方差有了，那这个 y 呢？那你要算它的方差怎么算呢？好，刚才说了啊，咱们这个题目里面是不是已有的条件是什么？是不是这个？来，来看这啊，第一问，里面，是不是我们把这个 x y 的 联合密度算出来了， 对不对？那么你有了 x， y 的 联合密度是不是可以算 y 的 边缘密度？是不是？那 y 的 边密度怎么算啊？那就先算一下 y 的 边密度函数啊，就等于这个呗，你看 这个地方，这个 y 的 边缘密度是等于负无穷大到正无穷大，对 f x， y 里面对 x 乘以分， 对不对啊？当然注意啊，我们说这个零和密度函数，如果是个分区域二元函数，它算出来的边缘密度函数肯定是个分段函数，就是我们这个地方呢，对外的边缘密度肯定是个分段函数，你既然要 使得它是个分段函数，肯定要讨论自变量小 y， 是 吧？这个小 y 怎么讨论呢？这很简单啊，你从负无穷到正无穷，对 x 取积分的时候，要你 y 小 于零的时候，它肯定记不到啊， 对不对？ y 大 于零的时候，从负无穷到正无穷，也就从 y， 而从 x 从零积到什么 y 呗，对吧？背记函数是 theta 平方分之二 e 的 负， theta 分 之 x 加 y 次方 d 就 可以了，对不对啊？这个积分应该是很好记的啊，所以我们现在就把这个来啊，把这个呃 y 它的密度还是算出来了，就这么答案嘛，对不对？就长这个样子， 对不对？好，有了 y 的 边缘密度就可以。算什么？算期望？它是负无穷到正无穷， y 乘上密度算积分， 说是负无穷到正无穷，其实也就是零到正无穷，零到正无穷，把它乘上个 y 乘积分，所以啊，这个计算量一点都不大，你会觉得计算量很大，你看这个 c 幂乘二是常数，你再乘个 y 的 话，其实不就把 c 幂分之 y 当做一个整体看，换个圆就可以了，很好算啊。 好，那平方的期望呢？平方的期望就是这个 y 平方乘上密度函数在负无穷到正无穷的积分，是不是？我们可以把 y 的 方差算出来，对不对？好，可以了啊，然后还算什么？还要算一下这个 x 跟 y 的 斜方差，斜方差，那就等于乘积的期望，减去期望的乘积 啊，这两个期望是有的，对不对？算一下 x 乘 y 的 期望，这怎么算？这个是叫二维连续型随机变量的函数算期望这套公式，富无穷正无穷，富无穷正无穷。把这个 x y 乘上 x y 的 联合密度函数算二乘七分就可以了。这种的啊， 是不是？哎，然后呢，算出来以后，这个呢，是等于四大平方，然后呢，我们可以把斜方差算出来嘛，对不对？所以说呢，你把它带入以后，将来它的方差就等于二 n 分 之四大平方，这个呢，第二个我觉得还是一个比较常规的一个操作， 但是呢，这里面需要大家对随机变量的数字，它真的计算要很熟，当然算期望算方差呢，可能更多的啊，是小题目里面可能会用到，对吧？但是呢，这个题目呢？哎，解答题里面也考过，你看我们去年二五的真题也考过这样的问题，对吧？ 所以呢，这个期望方差的计算，如果在解答题里面碰到，往往就是涉及到随机变量函数的期望的计算问题。这个你只要能套得住，能能记得住公式，直接去套公式就可以了，应该是个比较基础的问题。

what 去啊？ my god 不是 你，而是我。分手我还要留恋什么一。

三十六个同学围成一个正方形来，老师这画了一个正方形的示意图出来，四个顶点都站人，我们来给他画上四个顶点，这里有一个，这里有一个，这里还有一个，这里有一个， 还有一条信息相邻，两人之间的距离相等。 one， 每条边占了多少人？同学们，一共是三十六个同学，那围成一个正方形占了几条边呢？四条边，那用三十六除以四，一条边就占了九人， 怎么不对呀，三十六同学占成四边，平均分成四份，那确实是九人呀， 你重复了哪里？重复了四个零点，四个零点大，看这个零点在这条边里面算了，还在哪条边算了，这条边算了，是不是？所以这里对还是错啊？这个方法错的，拿同学们想 顺着这个思路来，三十六除以四等于九人算的是哪里？那你的确可以分成四条边，对大看， 这里算的是这边站的人，然后再加个一，然后再看这条边站的人，然后再来。哎，老师，换几个颜色，你看啊，这样你就能看明白了。 能看懂吗？能看懂了吗？那也就是说把三十六人平均分成四份，这里的九人指的是 一个顶点，到这就是这个，这一端站人，这一端站不站？不站一共几人？九人加一，二加一，那所以这一条边多少人？ 九加一，这里还有一个人，所以如果顺着这个思路来写的话，这个地方还应该要九加一等于十人。两个算式解决问题。听懂的举手。 这是殷老师讲的第一种方法，也是同学们特别容易出错的方法。这把三十六平均分成四份的九人，他的九不是指的是这条边一共的人，而是指的是 这一端站人，这一端站不站？不站，所以最后算一条边的人还要加一。那想还有没有另外的方法呢？有三十六减四点，为什么要用三十六减四呢？ 这是个顶点，就是四个线。哦，我明白了，三十六减四等于三十二人，也就说你们把这四个顶点干嘛？抛开了？抛开你们先不管，它容易迷惑我们。算不算？不算。哦，我明白你的意思了，把这个擦掉。啊，那，那现在的三十二人算的可能是来帮一下，说的就是这个。哟， 这里我还没有算，这个地方还要用三十二来除以几四等于八人，这里就是八人，对不对？这个里面八人算不算两边的还要还要干嘛？算上，那就是八，加二等于十人。 杜班长，殷老师特别表扬大家。魏班，知道我为什么要表扬大家吗？不知道，因为我讲了这个方法，你们马上想到了这个方法。嘿，刚刚老师想的是这一端不算，你们想的是直接把四个角都拿走，两端都不算，那一端不算。待会加一，两端不算，待会加多少？二，聪明，还有没有方法呢？ 大家想，这是个正方形，然后这四端都要一站人。那正方形它是一个什么形状？环形，那是不是在环形路上直数啊？在环形路上直数棵树等于这个数。这里大家看我们写这个地方来啊， 换一个颜色，当四四个人的时候有几个间隔？四个？四个间隔那五个人的时候几个间隔五个？好，这里老师不用往下列去了，你看嘛，一二三四，八个人的时候几个间隔？ 八人几个间隔？对，八个人，八个间隔。数一下嘛？一二三四五六七八。一棵树等于间隔数，那这里的人数等于间隔数。这里一共有多少个同学？ 三十六个同学，三十六个同学就有多少个间隔？三十六个间隔。三十六个间隔。那一条边多少个间隔？除以四多少个间隔？一条边九个间隔，一条边，九个间隔？ 一条边九个间隔。大咖，那这里就是九个间隔，这是属于两端都在，是不是嘛？是不是？大咖下面三人两个间隔，然后四人 三个间隔。而四十有多少个间隔？九个间隔？九个间隔，多少人？十人，所以这九加一等于十人。好，这一种方法要复杂一些，它复杂在哪里？ 它要想环形就这样数。对，它想环形就这样数，就去想想间隔出来对不对？是不是？对。好，这是这一个方法，它也是一种方法，明白了吗？好，这道题其实方法还有很多。

我们刚才说那个习惯的问题啊，在一二年级一定一定要抓三个特别重要的习惯，审题、画图、写过程。我们一个一个说审题，在一二年级，他的题干一般都不会太长。审题我们一般是这样子的啊，我举一个具体的例子，读题至少读两遍，第一遍干嘛？第一遍通读， 小明、小红，妈妈去摘什么什么，然后怎么怎么样。孩子大概对这个东西有一个整体的认识，知道发生了什么事情，然后要让干什么，要求什么，这是第一步。第二步干嘛去圈划重点， 很多家长也要求你圈重点啊，圈重点啊，但是孩子根本不知道什么是重点呀，什么是重点，主角数量关系问题，这些都是关键，让他圈出来。有的家长说，我也这么教给孩子的，孩子圈的乱七八糟，在这里面有一个问题是什么？是任何的学习都需要时间的积累，没有天生孩子就会审题的， 所以你才让他审两次题，他就能圈对，怎么可能呢？给孩子一段时间好不好？给他时间，你圈错了，他都圈了，你也值得表扬。刚才说了，你要表扬他过程，而你不要去看他有没有圈对呀， 一点一点的来，这是审题，起码这一步就先做了。如果这些做了，孩子还是不理解，那就用第三招了。干嘛让孩子把这道题复述一遍？就是这道题，你用自己的话说一遍，你跟我说 啊，他发生什么事情，要解决什么问题。我们让孩子当然是基于思维课的基础之上啊，一周让孩子完完整整的搞懂搞透，一道题就五周的时间，很多孩子的变化 天翻地覆，进步非常非常大，所以这个事情慢一点，你要投的理念就是慢就是快，慢下来，搞扎实，这是最最关键的，数学开窍的关键 就是慢下来，搞扎实，过脑子，这是审题啊。其次呢，我们还是得教给孩子一些画图的方法。对于一年级的家长，我们让孩子你无论画什么图都行， 一般情况下，我们要画的更具象一点，不要用线段图，一般我们用这种圆圈图啊，长条图啊，慢慢的让孩子自己去画。那二年级开始，我们开始教给孩子更多的画图的方法，比如说线段图，因为我们在整个小学以后，经常用到大饼图、火车图、箭头图等等等等多种方法。 坦白说，这个东西就得学呀，你不学怎么办呀？人的学习是在发生什么事情啊？是你在让生长你脑子里的神经元，当你学会一个东西，有经验了，他开始发臭脚，啾啾啾啾啊，连在一起了啊，你练的越多，学的越多，他就越来越粗壮，以后遇到这种题，他就能马上就知道我应该用什么方法解决，但是 他一开始脑子空空如也，你没有学这些东西，他自然就不会呀，很容易理解。那第三个是什么？第三个写过程，这次期中考试你就可以狠抓这一个，都非常非常管用啊，他一定能帮助孩子，至少去十分让孩子写过程。很多小朋友他是不留痕迹的，真正的去写过程，把过程写出来，他就很难犯错了，留痕迹啊，比如说这边的， 我们二年级的很多小朋友，干算，三乘七，二十一，二十一加七，完了二十六了，就是你真的写出来四七二十八，或者是你再写出来，把这个过程写出来，他就很难犯错了。所以审题、画图、写过程真的非常非常关键啊，大家一定要重视起来。

嗨，小朋友们大家好，我们来看这道题，一个数乘二错写成了乘五，结果多了十二，问这个数是多少？ 小朋友们，我们要记住一个原则，乘法的本质是加法。我们来看一个数乘二， 实际上就是两个相同的数相加，那这个数我不知道，我们用，我们用方框来表示，那一个数乘二，就是两个相同的数相加， 那一个数乘二错写成了乘五。读到这里我们知道，实际上这是一道典型的错中求解题目，那乘二错写成了乘五，乘五就是五个相同的数相加， 三个，四个，五个。哎，五个相同的数相加，那结果怎么样呀？结果多了十二，那我们来看多的是哪一部分呀？哎，是不是多的就是这些呀？ 多了这三个方框对不对？那这三个方框是十二，那我们能不能求出来一个方框是几啊？哎，用十二除以这三个方框， 五个减两个，哎，十二除以三，那得出来是四，那一个方框是四，那我们把这个数假设成方框，那这个数就求出来了是几啊？是四，你学会了吗？

填空题总丢分怎么办？其实呢，填空题并不简单，任何一个空拉出来，他就是一道解决问题，特别是像这种题，不仅考察孩子对知识的掌握情况，而且还考察孩子的读题能力以及读图能力，其实他的综合性还是挺强的。一起来看这道题。 二零二五年是中国人民抗日战争暨世界反法希斯战争胜利八十周年，幸福小学举办了爱国主义知识竞赛，成绩分为 abc 三个等级。乐乐根据六年级学生参加竞赛的成绩，绘制了下面两幅统计图，不完整。 结合两幅统计图中的信息，可知这次六年级共有多少人参加竞赛。在扇形统计图中， a 级所占的百分比是多少？结合这两幅图我们来观察，知道了乘级得 a 级的有六十人，得 b 级的有一百二十人。 那么扇形统计图里边还知道了 b 级的人数所占的百分比是百分之六十。那么根据 b 级的人数以及他所占的百分比，我们能不能求出来 参加竞赛的一共有多少人，也就是单位一呢？总人数乘乘积 b g 的 分率就等于 b g 的 人数，那么倒过来， b g 的 人数除以它所对应的分率就等于单位一，也就是六年级的人数， 所以用一百二十除以百分之六十等于二百人。那这次六年级共有二百人参加竞赛，那么在扇形统计图中， a 级所占的百分比是多少呢？已经知道了总人数，还知道了乘级得 a 级的是六十人， 其实也就是求六十人是二百人的百分之几，所以用六十除以二百等于百分之三十，那么扇形统计图中 a 级所占的百分比就是百分之三十。 条形统计图这里 c 级的人数还不知道根据 a 级和 b 级所占的百分比，我们能不能求出来 c 级所占的百分比呢？所以用单位一减百分之六十加百分之三十的和等于百分之十， 再用总人数乘 c 级的百分率就等于 c 级的人数二百乘百分之十等于二十人。那么 c 级的二十人在条形统计图中补充完整， 根据一格表示十人，所以二十人。就这样的两格乘积为 c 级的人数是二十人。通过这道题的解答呀，我们再次发现填空题真的不简单。

速算版数学二年级上册第五单元两位数加减两位数进位加和退位减 d t 二，买三十四个蓝色羽毛球和二十八个白色羽毛球，问一共买了多少个羽毛球？第一种方法，十位和十位进行计算， 三十加三十等于五十。个位和个位进行计算，四加八等于十二，那五十再加上十二就等于六十二。或者我们把二十八先拆分成二十和八，那我们先加二十，得到五十四， 接着五十四，再加八。五十四加八的时候注意一下，五十四先加六，就可以凑整成六十 六十，再加上剩下来的二等于六十二。同样的，我们用计数器来拨一拨，填一填，看看这个计算过程有什么不一样的地方。先在十位上拨三颗珠子，个位上拨四颗代表三十四，接着我们加二十八，先加二 十位上加二等于五，也就是五十四，接着在个位加八，那加八的时候注意一下，这里呢，四加八就等于十二，我们要满十进一，所以这里十二呢，我们只能留两个，剩下来的十个呢，要去掉，往十位上进一个。 十位上本来是五，现在就变成了六，所以五十四加八就变成了六，所以五十四减三十六。 我们先从十位开始，五十减三十，还剩二十，但是后面呢，四减六不够减，所以我们要从二十当中借一个十给这个四， 也就是变成十四减六得到八，那前面还剩一个十，所以十加八等于十八。那第二种， 我们还是先把三十六拆分一下，拆成三十和六，先减去三十，得到二十四，再用二十四减去六，得到十八，再用计数器拨一拨，填一填，先拨入五十四，减去三十，把十位上去掉三个。 接着呢减六，但是个位只有四个，不够减，所以我们要从十位上借一个，以一当十。那这里十加四就等于十四个，十四个减去六个，还剩下八个， 那十位上还剩一，所以结果就是十八。我们来填一填五，十四减三十等于二十四，二十四减六等于十八。接着我们看练习九的第十一小题，找规律填数，第一个 六十变成五十五，再变成五十，再变成四十五，这里每次都减少五个，所以下一个就是四十，再下一个三十五， 最后就是三十。第二小题十八到二十四加了六，二十四到三十也增加了六， 三十到三十六也增加了六，最后面还是加六加六，那三十六加六等于四十二，四十二加六等于四十八，四十八加六等于五十四。再下一题，九十到八十一减九，八十一到七十二减九，七十二到六十三减九， 那后面还是减九，所以六十三减九等于五十四，五十四减九等于四十五，四十五再减九等于三十六。接着是思考题，这种类型呢是属于砖墙，那有时候呢是加法，有时候是减法。这里七加八等于十五， 八加十五等于二十三。所以从底下往上依次是两个小砖块相加，等于上面靠中间的方块， 所以十五加十四就等于二十九。那左边三十八已经算好了，我们算右边二十三加二十九等于五十二。接着三十八加五十二等于九十。再来看右边的 十九，分成十四和五，所以我们从上往下开始减，那八十三分成四十七和多少呢？我们就需要用八十三减去四十七等于三十六，再用三十六减去十九等于十七，十七减五等于十二，二十八减十四等于十四。

速算版数学二年级上册第五单元两位数加减两位数不进位加不退位减。第一个例题，买三十五个黄色乒乓球和二十四个白色乒乓球，问一共买了多少个乒乓球？ 那我们就要用加法来进行计算，这里呢，我们有不同的计算方法。我们先看第一种， 我们可以先把十位和十位相加，三十加二十等于五十，然后再去看个位，五加四等于九，五十加九就等于五十九，所以这道题的答案就是五十九。我们再看第二种方法， 第二种方法呢，先把第二个数二十四拆分一下，把它分成二十和四， 那我们先加二十，三十五，加上二十就等于五十五，五十五，接着再加上四，就等于五十九。先拨一拨，再填一填，看看我们用计数器能不能算出这道题的答案。先拨好三十五， 十位上拨三颗珠子，个位上拨五颗珠子，接着我们加二十四，十位上是二，所以我们先拨两颗，那也就是加二十等于五十五，接着再拨四， 所以五十五加四就等于五十九。接着是减法的，我们也先拨一拨，填一填，说一说， 那三十五减二十四，首先拨上一个三十五，那减去二十四，先看十位，十位减二，那我们就得去掉两颗珠子，那也就只剩下一颗珠子了，所以就等于十五。 接着呢，再从个位拨出四个珠子，一二三四，把这四个去掉，那也就是从十五当中减去四，还剩十一。这里小茄子问我们，三十五加二十四和三十五减二十四，计算方法有什么相同的地方？ 我们都是十位和十位相加减，个位和个位相加减，也就是计算的时候数位一定要对齐进行计算。

你好，豆包。哎，你这纸晃的厉害，字都看不清。先把第十二题对准点，我再帮你看 好第十二题。你把用最简单的方法引导他去理解这一道题，不要告诉他答案。好，那现在看第十二题，六加八加八，这里面有几个八呀？四个八 不对哦。再数一遍，六加八加八，八出现了几次？一次，两次，三次，是三个八，不是四。你看八，一个八，两个八，三个八，四个八。 不对，六加八加八加八，是一个六和三个八。数八的时候就数八出现的次数，一次两次三次，所以是三个八，那六比八少几？八减六等于二，所以要是把六变成八就多了二， 那式子可以看成四个八减二，这样就和题目里的形式对应上了。现在再数一遍，八的个数保证是三个哦，就是四个八。你错了，你看一二三四， 别着急，咱们换个方法。你看六加八加八加八，把六当成八，是不是就多算了二，那四个八是八乘四，多算了二就得减去，所以是八乘四减二，现在再数，原来的八有三个。那你仔细仔细看一下这一题的 一二三四。好，先看六加八加八加八，这里八出现了三次，六是单独的，那我们可以把它变成八乘四减二，因为四个八是三次。你给我骗人。别撒谎啦，就是四个八， 那咱们一个一个数，六是单独的，然后八八八，这是三个八，加上六不是八，所以总共是三个八和一个六，不是四个八。要是硬说四个八，那多出来的那个八从哪来的？六和八不一样，不能算成八， 所以是三个八，我数出了，我数出来就是四个八，就是数了四个八。是你逗我爸没看清，你现在仔细看一下。 一行，咱们再二三四一二三四就是四个吧。 行，就算按四个八来。四个八是八乘四，可原来的式子是六加八加八加八，比四个八少了二，所以是八乘四减二，这样第一个括号填八，第二个填四，第三个填二，结果就对了。现在知道怎么变的了吧？ 是你肉包眼睛花了，我就是四个八，我挑不过你。 好好好，就按你说的四个八，那四个八是八乘四，原来的式子六加八加八，八，咱们可以看成八乘四减二，因为多算了二，所以减二，这样结果就对啦。不管几个八，只要结果对就行。咱继续往下做，别纠结啦。

就算是学霸这种陷阱题，能够看出陷阱的十个里边也就有俩，点个赞，齐老师包教包会， 在这个图形当中啊，有几个平行四边形，有几个梯形？首先它很复杂，你如果直接去数，孩子经常会数乱，数多了或数漏了，所以咱们得有顺序，今天教你两步法，让孩子乱中有序。我们先来看看基本图形， 在这个复杂的图形里，基本图形啊，就是三角形，一共有几个呢？先标个序号，一二三四五六，它一共有六个基本图形。那么接下来我们就要用分类数的方法， 为了保证顺序不乱，先从第一个开始。如果就是由基本图形来看的话，都是三角形， 不是平四，也不是梯形，那就舍掉了。那么接下来我们就要把两个图形放在一起，就是组合而来。那么怎么才能保证不乱呢？我们要按顺序，比如第一个和第二个， 他俩就能组成一个平行四边形，注意画一条横线，代表他俩组合在一起。记住我的方法，掐尾巴，接着数， 这个尾巴是二，所以接下来还是拿二来开头。二和三组合在一起，是一个平次。掐尾巴，三和四组合在一起是一个平次。掐尾巴，四和五组合在一起，五和六组合在一起，注意下边画横线。 所以两个图形组合而成的平行四边形，一二三四五。为了保证不乱，先在旁边写一个五。接下来就是用三个图形组合在一起，依然是掐尾巴，一二三。 我们画一条横线，它组成了一个梯形，接下来掐住老二。第二个从二开始，二三四 二三四也是一个梯形，接下来从三开始数，三四五 三四五组成了一个梯形，最后是四五六，所以三个图形组合在一起组成的是梯形。一二三四有四个，先标成一个四，接下来分类数啊，就得把四个图形放在一起， 从第一个开始，一二三四，它组成了一个平行四边形，记得画一条横线，接下来从下一个开始数就是二二三四五 是平行四边形，再往下数是从三开始，三四五六 也组成了一个平行四边形，所以四个图形组合在一起，平行四边形是有三个，所以在这写一个加三。接下来就开始是五个图形组合在一起了，一二三四五，它组成了一个梯形。 接下来从第二个开始数，二三四五六组成的也是一个梯形， 所以五个图形组成的是梯形，一共有两个，我们加一个二，接下来就剩一种情况了，把六个图形组合在一起， 那么一二三四五六，就这一种是一个平行四边形，所以在这里加一个一，我们来做个计算吧。五加三加一，一共是九个平四 四加二，一共是六个梯形。采用分类数的方法不错，不乱顺序思维也就练到了，听懂的点个关注吧！