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嗨,同学们大家好,欢迎来到开老师的数学小课堂,我是最懂你们的开老师。今天啊,我们要一起学习的是同步小学数学六年级下册第六单元的第一课时,叫做认识成正比例的样和正比例图像。 我们之前呢已经学过比例了,那什么又是正比例呢?哎,我们通过下面这道例题来了解一下。首先第一道例题, 一辆汽车呢,在公路上行驶,行驶的时间啊和路程,如下表所示,我们可以看一下这个表格里面啊,第一页是时间,第二页呢就是路程了, 观察表中的数据,你有什么样的发现?那我们来看一下。首先啊,最直观的就是这个时间和路程从前往后一直在增加,对吗?时间呢,每次多了一个小时,路程呀,每次多了八十千米,哎,这个算一下是能看出来。 然后呢,我们就说路程呢,是随着时间的变化而变化的,那么类似这样的样,我们就把它叫做相关联的两个样。好,那除此之外还能够发现什么呢? 哎,既然提到路程和时间了,我们自然就联想到路程的基本公式,也就是路程等于速度乘以时间。那反过来,是不是可以根据时间和路程求一下速度呀?好比如说,第一页数据, 一小时走八十千米,那速度就是八十千米每小时。那么第二页数据呢,两小时走一百六,那么速度呢? 还是八十?第三个三小时走二百四,二百四除以三依然是八十。好,后面几个我们快速的算一下,你会发现都是八十,也就是说呀,这个汽车他在行驶的过程当中,速度其实就没变过,对吗? 好,其实到这啊,我们就已经把正比例的样给说出来了,那正比例到底是什么呢?我们来看一下课本上的定义,正比例的含义啊,在这道题里面,我们说路程和时间,首先是两种相关联的样,这个刚才老师说了,其中一个样变化,另外一个呢,也随着变化。 然后当路程和相对应的时间的比的比值总是一定的时候,这个比值是谁啊?就是我们刚才说的速度一定求出来是八十,没有变过,对吗?好,那么行驶的路程和时间就成正比例的关系, 而行驶的路程和时间就是正比例的样子。好,这个是课本上关于正比例的一个定义,看起来是不是有点长,有点啰嗦,对吧?所以老师啊,把它精简一下,抓住其中的关键点,说白了就三个字, 哪三个字呢?这三个字商,一定,只要这两样商是一定的,我们就说他们这两样是成正比一的样,这里面呢,再加上后面这两句话, 你大我大,你小我小,这个是什么意思呀?也就是说成正比一的两个样之间有这样一个关系,一个样变大,另外一个呢,跟着要变大,一个样变小呀,另外一个跟着要变小。好,所以在这里面关键点还是前面这个。 那接下来呢,正比一的样还可以用字母来表示,用字母怎么表示呢?既然是伤一点啊,我们就把这两个字母写成笔直的形式来,比如说这个样子, y 比上 x 等于 k, 这个 k 呢,就相当于是最后求出来这个商,这个商一定要是不变的。而前面那个 y 和 x, 我们就说是乘 正比例的样样了。好,那说完了正比例的含义,那接下来我们回到刚才那道题,接着来看后面这一问, 刚才那道题里面的几组数据啊,我们还可以用下图中的点来表示。好,这个图同学们能看懂吗? 其实就是我们以前在数队里面所学的图,对吧?好,横轴呢,表示的是时间,纵轴呢表示的是路程,那在这里面点 a 就表示一个小时我走了八十千米,而这个点 b 呢,就是五个小时走了四百千米, 那其他每一个点是不是都是一样的,对吧?好,老师快速的说一下。比如说这个点,那么横轴呢,对应的是两小时,纵轴对应的是一百六十千米,所以他对应的就是两小时走的一百六十千米。好,接下来这个点呢,三小时走了二百四十千米,到这个点, 四小时走了三百二十千米,后面依次雷推,六小时走了四百八,这个呢,七小时走了五百六十千米。好,这个都比较简单,就是我们以前所学的书队的基本知识。那接下来呢?老师啊,要把这些点 连起来,看看,你能发现什么?好,我直接顺势粘起来,你会发现是不是正好就变成一条直线了,而且这个直线呢, 经过零点,当然这个零点啊,我们一般把它叫做圆点。好,在这里面呢,我们就可以得到成正比例的两样,他画出来的一个图像就是一条直线。好,那接下来我们再来看第三问, 那这条直线有什么用啊?来,我们现在根据图像来判断,这辆车二点五小时行驶了多少千米?还有行驶四百四十千米又需要多少个小时?如果没有这个图 五,我们最基本的方法是什么呢?哎,就是利用路程、时间、速度三者之间的关系,一个一个去计算。那当然对于这道题来说,算起来也不麻烦,对吗?因为我们已经知道了,速度就是八十千米每小时,那么二点五小时呢,乘以八十求出来就是对应的路程, 而四百四十千米需要多长时间?我们用四百四十除以八十求出来的就是时间了。好,但是现在有了这个图像之后啊,这道题做起来就更简单了,我们完全可以从图像里面直接把答案看出来。 那怎么来看呢?我们来看一下。首先呢,先来看第一问,二点五小时行驶多少千米?我们首先啊,需要在这个图像上找点,找什么样的点啊?找时间对应是二点五小时的点,那也就是说他的横坐标应该是二点五小时,对吧?好,那我们来看 看一下,那是不是就应该是这个点?好,然后往上我们就得到了应该是图像上的这个点。 好,那接下来再看一看,这个点的纵坐标是多少呢?好,我们来可以看到纵坐标呢,往这边做一条水平的直线。 好,然后相交的这个点就是纵坐标了,那么我们可以看到那个点应该是多少呀?应该是二百,因为这里面一小格代表的是四十,你从一百六十的基础上往上加一格,加四十就可以了。好,那么到这这个答案我们就快速的看出来了,根本不需要算 好,那么后面一个呢?行驶四百四十千米是不是也是一样的道理?好,我们先找到纵轴上面四百四十这个点, 然后呢做水平的直线。好,接下来呢,找到的是图 五项上的这个点,然后再看一看这个点他对应的纵轴上的数是多少,那么再向下做一条数值的直线。好,相交的这个点就是我们要找的时间了,在五和六的正中间,那也就是五点五小时, 是不是很简单呀,对吧?好,所以有了这个图像之后啊,我们再解类似这样的题的时候,就起到一个事半功倍的作用了。好,那接下来呢,我们来总结一下关于正比的图像。 正比的图像,首先是一条经过圆点的直线,这个刚才老师提到了这个圆点,其实就是那个零点。好,从图像中可以直观的看出两种量的变化情况,这是其中一个作用。 好,接下来呢,还有一个作用,就是我们刚才说的不用计算,有一种样的值,可以直接找到对应的另一个样的值。好,这是正比例图像的两种用法。好,那接 接下来呢,我们来看一看今天的几道课后练习题。首先第一题张师傅生产零件的情况,如下表,好,这个表格里面呢,这一栏代表时间,这一栏代表生产零件的个数。第一问, 写出几组相对应的生产零件数量和时间的比,比较比值的大小。好,我们随便找几组,比如说这组,那么就是二十五比一,还有呢,比如说这一组五十比二。 好,紧接着再来一组一百比四。好,这一组我就先不看了,我直接看这组二百比八好,当然同学们也可以自己在底下把这五组比都算一算。接下来呢,我算一算,他们最后的结果,也 就是他们的笔直。好,二十五比一,不用多说了,太好算了,等于二十五,五十比二呢,也是二十五,一百比四,这个大家应该背过,等于二十五, 最后二百比八算出来也是二十五好,那么这个笔直的大小是不是一目了然, 都相等对吗?哎,到这就和我们前面所说的正比例的定义演习起来了。这两样首先是相关联的样,你变我也变,然后呢,他们的笔直还一定,那自然而然就是 正比例了,对吧?好,然后接下来我们再来看一下第二题,一种彩带每米售价五元,购买两米、三米、四米等等,各需要多少元?那好,第一个,这个太简单了,相当于小学二年级的数学题。来,我们直接把这个 单价五元带你去算一下是不是就可以了?好,单价是五元,那你买两米的时候呢?二五一十三米呢?三五十五, 四米四五二十五米,五五二十五。好,这个表格就填完了,接下来我们再来看一下第二个呢,考的是正比一的图像了,对吗? 我们现在啊,要在下图中描出彩带总价和长度所对应的点,再按照顺序连起来。好,那这个点呢,不难找,比如说第一组数据, 长度为一米的时候,总价是五元。好,我们来看一下,横轴代表的就是长度,纵轴代表的是总价, 用数对来表示呢,就是一逗号五,我们直接在这个格子图里面找点就可以了。好,那么这五个点老师直接就把它标出来了,那接下来呢?再按顺序连接起来,其实到这啊,同学们应该都已经能看出来了, 肯定又是正比的图像,又是一条经过原点的直线,对吗?好,所以我们连起来应该是这个样子。当然,既然是直线,其实后面我们还可以怎么样无限延长,只不过屏幕没有那么大,老师啊,就先换到这里了。好,那接下来第三问, 购买彩带的总价和长度是否成正比例?你是根据什么来判断呢?那我们刚才其实已经有图像了,那从图像是不是就能看出来是正比例啊?对吧?他符合正比例图像的一个基本特点呀,经过原点,而且是一条直线。好,同时呢,我们还可以从正比例的定义入手,看一看他们的笔直是否一定。 这面两个样,一个是长度,一个是总价。好,两个相关人员的样,你变我也变。然后呢,求一求,他们的笔直能用总价处于长度,其实后面就不用再算了,对吗?一眼就能看出来了, 五比一等于五十比二等于五十,五比三等于五,等等等等。其实这个总价比长度算出来的就是谁啊,不就相当于是单价吗?而这个单价变了没有, 从头到尾都是五元一米,单价没变,也就相当于这个笔直。一定,那么自然他俩就是一个正比例关系了。 所以啊,判断正比例关系,我们有两种不同的途径,第一种,根据定义判断,求二者之间的笔直是否一定。第二种啊,如果有图是最好的,直接看一眼图,立马就知道是不是正比例了。好,那么接下来我们再来看第四问,根据图像判断,购买三点五米的彩带需要多少元? 如果没有这个图呢,我们需要计算,一米是五元,三点五米呢?三点五乘以五算起来是不是也不麻烦,对吧?等于多少呢? 等于十七点五元。如果有了这个图呢?怎么来看啊?三点五在哪呢?三和四的正中间? 好,然后呢,向上画一条竖直的直线,先找到这个点在哪里?好,那应该是图像上的这个点。接下来呢,对应的纵轴呢, 我们再做一条水平的直线连起来,应该在这里,对吧?从这一面我们能看出来,这是在三四的中间,那这个点就应该在十五和二十的中间,那么十五和二十的中间是几呢?算下十五和二十的平均数是不是就可以了?求出来,当然也是十七点五元, 只不过这道题相对来说就没有前面我们那道例题算起来方便了,对吧?这道题直接用算数法,比从图里面去计算 要简单一些好。所以啊,这两种方法因题而异,根据不同的题目选择不同的方法,看哪一个最合适,有哪一个好。那么接下来我们再来看一下今天的最后一道题。第三题, 一根弹簧呢,挂上物体重量不超过二十千克,这个时候呢,长度会伸长,这个也比较好一些,对吧?弹簧是被拉长了,然后呢, 物体的质量与身长的长度如下也有一个关系,我们来看一看。首先第一栏呢,是物体的质量好,从两千克一直到二十千克,弹簧呢,身长的长度是用厘米来表示的,零点五厘米,一厘米,一点五厘米,一直到五厘米。 第一问,在图中描出物体质量和弹簧深长长度所对应的点,再按照顺序连起来。好,这个比较简单,还是 按照数对的这个基本方法,直接从图里面找就可以了。好,我们把这个点描一下,然后呢,顺势连起来,当然还是经过原点的,所以到这啊,其实根据图我们就已经能够得出来了,他俩之间又是一个正比一的关系,对吧?好,那接下来第二个, 工体的质量与弹簧生产的长度是否成正比例?那不用多说了,图里面已经看出来了。当然呢,如果你觉得不放心,你还可以呢,根据正比例的定义,再去比较一下, 求一,求他俩之间的笔值是否一定。那比如说我用这个二除以零点五求出来是几啊?等于四, 那对应呢,四除以一也是四,六除以减五呢?还是四,后面的都是四。所以啊,无论是从图像还是从定义,我们都能够判断他俩之间就是一个正比例的关系。 好的,接下来第三问,根据图像判断,如果挂上质量是五千克的物体,弹簧应伸长多少厘米?要是弹簧深长四厘米,应该挂上多少千克的物体? 那这个呢,又是让我们从图里面去找了,对吗?好,还是像刚才一样,直接找对应的点就可以了,然后把这个点的横坐标或者送坐标给他读出来。那首先呢,第一个挂上质量是五千克的物体,我们来看一下,质量是五千克的物体在哪呢?在横轴上这个点。 好,那接下来呢,我们做一条竖直的直线,这样呢,就找到了这个点,对应的图像上就在这个位置, 那接下来呢,我们再来看一看它对应的纵坐标是多少,那么长度是不是就出来了?好,做一条水平的直线。好,那这个点是不是就找到了?应该是在一和一 点五的中间,对吗?好,然后我们算一下,相当于算一和一点五的平均数就可以了,应该等于多少?应该等于一点二五,好,那接下来呢,第二个, 第二个呢,要是弹簧深长四厘米,应该挂上多少千克的物体?那这时候你会发现题目上给的图啊,已经不够用了,四厘米已经超过题目里面 这个三点五厘米了,对吗?所以我们需要怎么办?我们需要把这个表格接着再往上画一些,然后呢对应的 横坐标呢,也要接着再往右边来一些,好,然后画出来,接下来呢,我们就可以把这个直线在往右上端延长,然后就能找到这个点了,对吧?好,最后呢找到这个数是多少呢?应该是十六千克,当然如果没有这个图, 我们也可以计算,通过什么计算啊?我们刚才说了,他们之间的笔直是一定的,对吗?所以呢,你可以对比一下,这个长度为四厘米的时候,整个这个重量是长度的四倍,所以呢, 最后求多少千克?我们用四厘米再乘以四,是不是也能求出来?好,所以两种不同的方法根据题目来选择好,那这道题呢,我们就做完了, 所以总的来说呢,这节课我们所学的就是一个正比例,以及他图像。相对来说啊,这一部分内容并不难,更多的呢是为我们后面的内容做铺垫的。好同学们,我们这节课内容呢,到此就告一段落,我们下节课再见。

哎,同学们好,冯老师好好,请坐下 看这一体机。今天我们学习的内容是正品图像。首先我问大家,图像什么意思? 生活中各种各样图像,比如说拍张照片,图片对不对?数学中的图像我们知道哪些? 有几张?呃,折现统计图,折现统计图,哎,一个图不错,还行, 你说方形统计图?对呀,善行统计图,都是统计图。除了统计图还有呢,我们来看好不好?这是一条直线,上面有很多一点点一点可以表示, 比如说这是零,往这边来,知道说一二三等等,这些自然数对不对?往左边数, 负一、负二、负三,每天有很多,你看非常公平,把所有的整数,甚至于小数和分数都能在这个直线上 表示出来,你看这就是个线,你除了像这种一条直线,还有两条直线,我们数学上把这条直线通常叫做这条横线, 横横肘,那这条就叫做动肘。看,这两条直线构成了一个方格图,如果我在这个方格图上 秒一个点一,他表示一个数,两个数,一个一个数,一个数表示一个什么数数?对对对,第一个一就是 横,走上这个一表示第一列,第二个一表示重,走上这个叫第一好,是不是?可以?我们学过确定位置也是一个图形,对不对?来,我请一个同学,分别在图上描出这五个点, 会吗?来,宝贝,你上来,用你的手秒出来。嗯,好,我把他刚才秒的点秒出来。 是不是这样的五个点是想一想连成一条线,什么线?线段?线段是不是直直的?哎呀,真神奇,数学,你看 他的形是这样的漂亮。那今天我们要讨论的是照比例图像, 他又是一个什么样的图像?我们来研究这样一个题目, 这里有两种数据给了大家,你可以看不清上面的数据,因为比较小,可以看你这个。但是这里有三个要求,我们先抬头看啊。第一个要求是判断这两个表 中的两个量是否成正比,为什么要判断呢?然后还说说你那个图上方格纸横轴和 正动作所表示的含义。第三个就是在你的方格图上面描出相对的点,并且连接起来, 明白吗?好,这样,嗯,我们时间关系呢,请大家小就不叫小组,叫同桌,两个同学商量一下子,一人换一个好不好?你选择谁?我选择你同桌的两个同学。好,现在开始。 嗯, 秒点压,你要想清楚啊,秒出三个点压要连起来呢, 对不对?看要求,要求在大马路上, 朱墨轩很认真,很细心。