26考研数学二第二题是啥

二六数学二难度测评，呃，就是说我觉得可能相对简单一点，但是也不至于此吧。 呃，哈喽，大家好，今天这个视频呢，我主要是想解析一下刚刚今年出炉的二六数学二真题，然后去年在二五的数学二真题上，我也是考到了一百三十五分。所以呢，我想结合着去年我的一个感受，然后来测评一下今年的一个难度， 通过两者的一个直观对比呢，来得出一个可能说今年的一个具体变化。呃，接下来的视频呢，就是我会通过每一道题来讲解可能我对这道题的一个具体观感，那么现在我们直接开始。 嗯，首先啊，就是他这个第一题是考了一个关于一个等价无穷小，然后第二题主要是考察了关于微分方程的一个解性质的问题。然后第三题的话是考了一个偏导数的公式的计算，然后第四题是一个关于定积分的一个物理应用， 整体来说，我觉得前三题可能来说还算比较简单。然后第四的话，我觉得可能，呃，有些同学他可能本身就对于物理应用这种东西就本身不是很敏感，所以我觉得可能大家在第四题上可能会有一些同学觉得比较泛难， 但其实第四题的这个出题思路也是在去年二五年就已经有过设计，所以我觉得如果你之前有刷呃，比较认真的去刷过二五年真题的话，其实我觉得这道题也不算很难。 然后第五题呢，主要我觉得这道题可以用一些反例来解决，所以总的来说啊，而且我刚看一下，可能他的这个反例呢，也不算很难找 呃，所以截止到现在我觉得前五题的一个难度，我觉得综合来说还算是比较可以啊。然后第六题呢，是考了一个反函数，呃，这里我觉得主要就是关于反函数的 x 和反函数的 x 的 一个对应关系， 我觉得答案能把这一点搞清的话，我觉得这道题相对来说应该也没有很难啊。然后第七题呢，我觉得可能啊，就是今年就是二六数学二的选填部分，中高数部分，我觉得相对来说最难的一道题， 然后主要涉及到了一些对称性，然后包括可能像这个第七分在几何上的意义，然后包括可能就是他在这里边的一个间隔的选举啊。综合来说，我觉得第七题还是考的一个综合量比较高的一道题，我觉得这道题可能在考场上不是很容易做出来。 然后现在部分的八题九题呢，我觉得也还算可以。然后包括第十题，其实我觉得其实用排除法也相对来说比较好出答案 啊。然后就是填空题部分啊，上来这个第十一题其实挺唬人啊，考了一个反常积分，呃，因为一般可能涉及到反常积分的题一般都不太好做，但是其实，呃，当你仔细研究过这道题的话，你发现他把那个区间拆开以后，其实他的，呃包括再去掉他的一些无关性部分以后，其实他考的还是比较简单。 然后包括其他选填题，我觉得大部分还是以计算为主，总总的来说考的还是比较直白。然后就是我们的大题部分，大题部分第一题呢，首先是一个二重积分，然后其次呢，然后十八题，它是一个关于导函数在零点的一个连续性问题。 呃，相对来说我看了一下，大概还是考的比较直白，甚至包括后边的像十九题的一个求一个旋转体的一个体积，包括二十一题的一个解对分方程的解的问题。 呃，整体来说今年的大题没有什么太多拐弯抹角的一个地方，就是总的来说就是比较直白的去让你进行计算， 但是啊，但是就是我觉得他毕竟是真题，所以我刚具体的感受了一下，我觉得他的计算量还是在那的，所以大体来说对我的感受就是可能他本身可能考的比较直白，但是他的计算量我觉得他依然不是很小。 呃，总体来说还是有一定的挑战的。呃，但是让我觉得比较呃奇怪的一个点就是他今年没有考证明题 啊，我觉得这可能是今年的一个，就是整体来说相对来说比较容易的一个点，他可能减少了可能大部分，就是很多同学来说那部分大部分人可能拿不到的分数，但是他今年好像没有这个部分 啊，所以就会导致我觉得可能像今年的这个一个命题方式呢，可能会提高大家的一个得分的一个下限，就是可能你的下限分数会得到一定的提高。 呃，而且可能像一些学的比较不错的同学，我觉得对这套试卷如果说是我们排除过程分的一些因素，可能都能拿到满分。呃，反正总的来说就是首先我觉得他计算量还是比较有的，然后就说可能是因为他没有证明题，所以会显着这套卷子相对来说比较容易一点。 但其实我觉得他对于包括一些选填的一些考察的点其实还是蛮细致的。如果说你平时像同学们平时学的比较扎实的话，其实相对来说还算是比较简单一套卷子，但是如果说你平时学的一般的话，其实我觉得还是有一定的挑战性的。

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好，作为这个数学二最难的一道题，最后一道题他说求微分方程，这个满足这个条件的解，那么你这个微分上拿到以后，我们这个地方呢，是判别类型，选择方法。但我们数学二同学他什么类型？你看出现 x， 出现 y， 出现了 y 一 撇，但是没有出现 y 啊，叫做不显含 y 的 可将解方程啊， 这就是个可将解方程，那么所以 y 一 撇就等于 p， 那 y 两撇就等于谁 p 一 撇， 然后你这个时候呢，你把它一带进去，然后这个时候再往下解就可以了。那你注意这解方程，这不是难题啊，所以这个数学二十卷子里面没有正例题，都是计算题， 那并且这个计算题也没有什么特殊的技巧，那这个时候呢，就是通过这个把它化成一阶，然后呢再来解那样一个一阶方程就可以了 啊。所以这个数二的介子，为什么同学说数二介子简单，因为里边没难题，再一个没有我们比较怕的证明题，那这个时候，所以到我们同学来讲，应该说是这个比较容易做的。

第二题，二元函数无条件极值求解？大家好，我们来看一下下面这个关于二元函数的无条件极值的这个讨论问题啊。那这个题目呢，主要是第二问啊。第一问呢，应该比较简单， 我，我们说给你个二元函数，让你算无条件极值，这样的题目应该是比较容易的，那么先算偏导数，令偏导数等于算数点，然后呢，算二阶偏导数，对吧？然后把注点带进去，得到 a， b， c 三个数，用 a c 减 b 方来做嘛，对不对？ 好，大家看，他说假设这个二元函数是可微的，满足这样个权威分，当然，你告诉我权威分，你就告诉我两个偏导数，对吧？好，你从偏导数呢来反推二元函数，这个大家是比较基础的问题啊，那么你看，这是 f 对 x 偏导数，这个是 f 对 y 的 偏导数， 那你可以把这个东西呢，直接对 x 算偏积分， y 是 常数，你可以把这个东西对 y 算偏积分， x 是 常数，这个都没有问题啊。好，那第一位呢，我们算出来以后，这个二元函数呢，就长这个样子。好，请这个请大家自己去做啊。 主要是第二位，他问这个二元函数在零零，哎，是是否存在极值啊？如果存在的话，求知不存在说明理由。 好，首先啊，我们要探讨二元函数的无条件极值要怎么办，就令偏导数等于零呗，算注点，对吧？好，令这个偏导数等于零，令它等于零，令它等于零，这个很好算，就 y 等于零，把 y 等于零带入，把它减 x， 那 么解出来以后呢，二零这个点就是唯一的一个注点， 对吧？他有可能扮演极值点的点就是二零嘛，对吧？那接下来怎么办呢？按照常规方法，那我们是不是要把这个 f 对 x 算二极偏导数， f 对 y 算二极偏导数，对，呃，不不，这个 f 对 x， y 算二极混合偏导数， f 对 y 算二极偏导数，对不对？那么你看啊，现在呢，他算出来以后， 把二零这个点代入啊，那么对 x 这个点算二阶导数是零，这就是 a， 那 么对 x， y 算二阶混合导数呢？这就是 b 啊。有时候老师要不要算 c？ 其实呢，按当然你也可以算 c， 其实不需要算了，因为你看它这个 a c 减 b 方， 对吧？那 a 你 你 c， 你 不用管了， a 是 零啊，那 b b 也是零，不就零吗？这就是问题。那我们说 a c 减 b 方大于零，取其值，小于零，不取其值等于零，是不是就无法确定，对吧？你看，我们专门就考了一个等于零这种情况 对不对？说 ac 减 b 方，如果它等于零，怎么做呢？这个时候你用这个充分条件做，就不太好处理了。那怎么办？我们在历年整体里面是不是也出现过这样类似的考察方向啊？那如果， 哎，这个 ac 减 b 方等于零了，它不好用这个充分条件来判定了，怎么办呢？这个时候呢，就要回到基本概念啊，什么叫概念？就是你看 所谓的二元函数的极值点，就是指这个二元函数在该点的函数值，比如说比它去心领域的函数值都要大，都要小啊，这个点就叫极大，这叫极小，这点对不对？那么你看，我们现在可以把这个 f 二零啊这个点给它带进去，你看啊， f 二零， x 等于二， y 等于零， x 等于二的时候，你看这是几啊？这是一，这是零，这是一，就二倍的 e 的 负二次方，对不对？ f 二零这个点长这个样子，如果二零这个点的去心领域的函数值横比二倍的 e 的 负二次方要小，那这个点呢？就用极大的点，反之就极小的点， 如果二零这个点的去心领域内，有的地方的函数是比它大，有的地方的函数比它小，是不是？它既不是极大，也不是极小，就这个意思，对不对？那么你看啊，现在我们简单分析一下，比如说这是 x， 这是 y 啊， x 去二， y 去零啊，不就在这吗？ 不是这儿，这个点是吧？它的函数值是这个二，呃，这个二比利的负二四方，对吧？现在我们说你要去探讨说这个这个点啊， 这，这我们从平面和空间上结合来看，这是二零这个点。说，你要想探讨这个点的去心领域的函数值的情况，我感觉啊，这个点的去心领域的点是不多了，去了， 对吧？太多了呀，那你怎么去研究他的这个点的去心领域内所有点的函数值呢？一般来讲啊，这种情况呢，我们先挑一些特殊的点分析分析，哪一点特殊呢？哎，你比如说，你看啊，比如说呢，我这个点在这，你看啊，你看啊，比如说在这 什么意思呢？就是在 x 等于二的时候啊，这个在 x 等于二的时候，你看 x 等于二，然后呢，就相当于哈，你看你比如说 x 等于二， y 曲线零， 对吧？是不是在二的这个去心领域内，对不对？只不过呢，是在 x 等于二，在一根直线上，对吧？在二零的旁边，我就看看这这个点的函数是怎样哈， 你看这个时候，二 y 把 x 等于二，把它带进去，二减一就是一啊，就是一加 y 平方，加二加上 y 的 平方，对不对啊？再乘它一的负二次方， 对不对？哎，那你看，这个是不是很明显比二倍的一的负二次方要大，那你 y 除以零呢？你这个 y 平方肯定大于零，哎，加个二大于二，哎，对不对？哦？说明什么？就说明在二零 这个点的去心领域的点，如果它刚好在 x 等于二这根直线上，它对应的函数值，也就说它在这，对吧？哎，它对应的函数，但夸张一点啊，它对应的函数值就应该比二零这个点的函数要很大， 是不是？好，那你自然就想到。那，那如果我，我来看，那这些点呢？在二零点的旁边，这些点在 x 轴上，就是外去零的时候，是吧？ 就是 x 趋向于二， y 等于零的时候，那么这个时候呢？这个二啊，不是，不是，不是。这个零啊，对吧？就是 f x 零把零带入，对吧？就是 x 减一的平方加个一，再乘上 e 的 负 x 方， 对不对？哎，那你说这个东西它是不是比二倍的 e 的 负二次方要大呢？对吧？那你看啊，这个呢，其实就等于 x 平方减去二， x 加一，加一就加二呗，对吧？乘上 e 的 负 x 方， 对吧？当然这个就变成了一个一元函数，是吧？那它是不是比二倍的一的负二 x 方大呢？不知道不知道，我试一下呗。我假设这个一元函数叫 fine， 可以 吧？可以啊，完全可以啊，你看这个时候， 这个来，我把这个 fine 倒一下，倒一下啊，前倒二 x 减二，后不倒，对吧？再来个前不倒 后导。 e 的 负 x 方，是不是填个符号，对不对？然后你看，它就等于 e 的 负 x 方，把它提出来，哈， 对吧？就是二 x 减去二，减去 x 平方，加上二 x 平方再减二，对吧？就等于这个 e 的 负 x 方程拿掉，对吧？再加上四 x 拿掉，是吧？是不是再减去个四， 对不对？好，你看，你把这个符号一提，它没了，减变成加。呦，减呢？你看啊，它变什么呢？是不是负一的负 x 方乘上 x 减二括号的平方 是不是？好，你看， x 如果趋向于二的时候，那这个肯定不等于二。哎，它不等于二呢？这不大于零吗？这不小于零啊，这个是大于零不小于零吗？哎，什么意思？就是说我这个函数 five 啊，它是不是个严格的减函数？ 那沿着减函数，那说明什么？沿着减函数说明什么？哎，你看啊，现在，对啊，我现在把这个这个 y 幺零带入以后，把它看做一个关于 x 的 一元函数。这个一元函数既然是个沿着减函数，说明什么呢？ 这就说明了在二的右侧。哎，对啊，你二这个点的函数等于几啊？你看啊，刚才说了这个二这个点的函数值，那 来啊，那对这个函数来说，又因为我写一下啊，那 far 等于几呢？ far 把它带入呗。 far 不 就是刚才说说这么答案吗？就是四减， 就是二倍的 e 的 负二次方嘛，对不对？注意啊，这个函数现在是个严格减函数，对吧？那因此当我的 x 大 于二十，这个 far x 是 不是就比二倍的 e 的 负二负二次方要小？当 x 小 于二十一个减函数啊，这个东西是不是比它大？ 什么意思啊？就是说这些点它在二零点的去心领域内，如果在 x 轴上的话，假如说它在这个二零这个点的右边，就是在 x 大 于二的时候，是吧？ 它对应的函数值比二零这个点的函数要小，如果在二零点的左边呢，就 x 比二小的时候呢，它对应的函数值将比二倍的 e 的 负二次方向又怎么样？又大，说明什么？ 这就说明二零这个点的去心领域内，是不是有的地方比这个点的函数的大，有的地方比它小，所以这个点既不是极大之点，也不是极小之点， 就这么个逻辑，是吧。所以这种问题啊，大家还是要关注一下，如果说你从来没有做过这种问题，我都没有见过这样的问题，如果万一考到，那你可能在短时间内很难找到思路。这个题目呢，希望大家重点关注下第二问啊。第三题 即作标记下二重积分计算。大家好，我们就来看这样一个二重积分计算的题型啊，这个二重积分计算呢，是数一、数二、数三，尤其是数二数三的解答题的重要考法啊。那这个近几年的二重积分的考察呢？总体来说呢，难度并不是很大。 那么最关键呢，抓住一点，这个二重积分的核心问题就是计算的核心问题啊，关键就是个化简，这点很关键啊， 如果说你发现这个二中基本好像没有什么太多化简的空间，可能你没有能看到这个层面，你的运算量就比较大。那这个化简呢，主要是这么几个方面啊，当然第一个呢，主要是利用的是对称性， 这个对称性我们常见就两个基对称性，轮换对称性对吧，如果说你的积分与关于某个坐标轴对称的，一般就考虑 y 的， x 对 称的，一般就考虑轮换对称性， 对不对？这是一个当然有，有些时候呢，也可以通过什么利用形形公式啊，对吧，甚至一些这个平移啊，当然这个二中积分换元法呢，有些同学可没有学过也无所谓，但几乎研究生考试里面没有要求啊，我觉得对称性是我们化简的主要的考法，那么 你把这个化解的工作结束以后接着干嘛？接下来就选择合适的坐标系，然后选择合适的积分，顺序的进行处理。那么在直角坐标系下来，可以先记 x， 也可以先记 y， 而极坐标系里面一般都是先记 r， 后记 c 叉。 一般来说呢，你根据这样一个基本的逻辑往后去推进呢，一般来讲问题应该不大啊。啊，还有同学比较担心说，哎，老师，我这个万一二中积分的积分率很复杂，我画不出来怎么办？ 一般来说呢，呃，复杂的这些区域啊，两种啊，两个说法，第一，如果你画不出来，大部分人他也画不出来，说明这个图呢，能不能画出来跟你做这个题其实影响不大，这是第一。第二个呢，你要记住一些常见的所谓复杂曲线，等于这个大家可以自己去整理一下，比如说这个双纽线啊， 心形线啊，心脏形线，百线，什么夜行线对吧？啊，什么三叶玫瑰线，这些东西我们在真题都考过的啊，大家呢，在把真题做完了，应该这样的，所谓的复杂曲线应该都是见过的啊，但如果说考到一个复杂的区域，你也没有背过，你画也画不出来，这个时候呢， 哎，当然也有也有一定的技巧去画它，对吧？但是呢，大部分情况呢，你画不出来呢？其实对这个题目解析呢，作用啊，或者是它的这种影响也不是很大，这个呢，大家不用太过担心啊。好，咱们来看这个题目， 他说呢，假设 f x， y 在 这个单位，单位圆上连续说这个二元函数长这个样子，那你求这个积分，这个考法也是非常常见的一种操作啊，大家看，首先你要明确一点，我二重积分的计算的结果是不是个数字， 对不对？所以说，实际上你，你看咱们这个二元函数 f， x， y 实际上就等于 e 的 x 方加上 y 方再减去个 a 吗？ 对不对？那么你要求这个二元函数积分，那行啊，那这个二元函数函数积分，那你看，这个时候来，我先打个草稿，那这个 f x， y 的 积分 是吧？那么你看啊，它就应该等于，等于什么呢？等于 e 的 x 平方加上 y 平方减 a 这个整体的 a 积分， 是的吧，好，那么你看它就等于就等于 e 的 x 平方， y 平方次方好，算积分，再减去个，那这个 a 算积分， 这个 a 是 个数字，对吧？那么这个 e 算积分嘛？很明显就是我这个积分域的面积，面积不是这个 pi， 哎，对吧？ pi 平方不就 pi 嘛，对吧？那关键是不是还是要算一下这个 a， 对吧？如果你这个 a， 当然你前面这个我们好做，稍微等会哈，那这个地方肯定把这个 a 算出来，对不对？那 a 你 不算出来的话，你将来你这个结果你肯定算不出来啊，对不对？那么怎么算？ a 就是 我们这个题目的一个 可能最最难的一个地方哈，但是这个问题呢，大家平时跟你应该也见过这样的操作哈，你看这个 a 的 什么 a 就 等于这个二 b 的 y 平二 x 平方啊，二 x 平方加上一啊 f x y， 再比上变什么呢？比上这个 x 平方加上 y 平方加上这个 e 嘛，算积分对不对？ 好嘞啊，这个 f x 等于什么？等于 e 的 x 平方次方加 y， e 的 x 平方加 y 平方次方减 a 嘛，对不对？来，就这个题，我觉得出的挺好的， 不难，但是呢，跟我们平时念的这些题目呢，有点像，但是它又不一样，有点小区别，因为原来是很脆弱啊，这稍微变呢，他感觉看起来就很痛苦，是吧？变这个东西 是不是？那么你看，我们经常碰到这样的结构，说，你把这个二乘七分如果一记出来，将来呢，是不是就能构造一个关于 a 的 一个方程，就可以把 a 解出来嘛， 对不对？好，那你看啊，哎，那问题是这个这个积分咋记呢？哎，我说啊，时时刻刻抓住一点，二乘积分计算的重点在于简化，对不对？那你看，咱们现在这个圆呢，是个单位圆，这个单位圆比较有特色，它既关于 x 轴对称，又关于 y 轴 对称，当然也关于 y 的 x 对 称，是吧？所以这个题目呢，既有对称性，轮换对称性都有可能会用到，对不对？但是我讲，我觉得这个题目既有对称性，用的空间不大。 虽然这个积分率呢，它关于坐标轴对称，但是这个背记函数不管是对 x 还是对 y 来说都是偶函数。 反正我认为你这个基偶性能化碱的前提，或者能化碱的本质是为基函数的存在，这个偶函数我觉得作用不大，是吧？哎，但是我们可以考虑下轮换对称性，你看这个轮换对称性，你看这个积分率，是不是很明显是关于 y 的 x 对 称的， 对不对啊？好，那这个时候呢，就要想到，哎，它就等于二分之一倍的。什么二分之一倍？这个去 d 好， x 平方加上 y 平方加一，二， x 平方加一，然后 e 的 x 平方加上 y 平方，次方紧推加什么？加上 x， y 对 调，就是 y 方加 x 方加一，二倍的 y 方 加一，乘上 e 的 y 方加 x 方，是不是减去 a？ 哦，这么来的，是吧，它就有化解的空间了。那么关于这个二重积分的轮换对称性这里面呢，我想跟大家最后再啰嗦一遍，虽然讲过很多遍，但是呢，到目前为止还是有很多同学不懂啊。 我觉得这个轮换对称性啊，你要分成两个层面来理解，如果，哎，比如说我们第一个，比如说我随便写个去 d 啊，随便写的哈，随便写的，比如说在这个去 d 上对 f， x， y 算二乘积分，现在你把这个二乘积分的 x y 对 掉，大家注意， 不管这个二重积分的背积函数积分率长什么样子，你把 x y 对 掉，变成了个新的二重积分，这个新的二重积分的结果跟原来这个二重积分的结果，它一定是相等的 啊，就相当于你换了个积分变量，那积分的结果没变呢？这两个一定是相等的，对不对？那么这两个积分率是什么关系呢？这两个积分率第一跟第二关于 y 等于 x 对 称， 这两个概念啊，就这两个区域，关于 y 等于 x 组成就相当于。从几何上看，你可以这么想，你把 x y 对 掉呢，就相当于把这个积分区第一相对于 y 等于 x 翻过去了，你一定要有这样的思维啊，你比如说我们去年考试是不是也考过这样的问题？ 例如，你看这呢，哎，有这样个语文，哎，这呢也是个语文。两个两个圆，这个半径是一样的啊。比如说打个比方，这是一啊，这是一。好， 你看构成了这样一个区域啊，这这个区域呢？可能，呃，我重新画一个吧。这这个区域呢？容容易给大家引起误解，你比如说我就，我就画个正方形区域吧，打个比方而已啊，你看这个正方形区域呢？你看，我可以从中间一分二， 对不对？这个是第一区域，这个是第二区域，对不对？你看在第一区域上对 f x y 算积分和第二区域上对 f y x 算积分，怎么样？它一定是相等的， 那一丢一的思维，对吧？你现在就把这个 x y 对 掉，对吧？ f x y 变成 f y x 第二变成第一，这是第一个层面的问题。第二个层面是，如果这个积分去第一，它本身就关于 y 等于 x 对 称， 关于 y 等于 x 对 称，那么此时道理是一样的，你现在把这个 x y 对 掉， 对吧？ x y 对 调，它变成个新的二乘七分，这个新的二乘七分的结果跟原来这个结果肯定是相等的。但是你看你我，我敢讲，你把 x y 对 调，从几何意 义上看，或者从几何上看，就是把这个积分率啊，相对于 y 的 x 翻过去了，因为你这个积分率本来就是关于 y 的 x 对 称的，你翻过去是不是现在没翻？毕竟还是第一吧， 对不对？是不是？所以说呢，你看啊，我此时如果我还是在一个正正方形区域，你看这个区域，我把它看成个这个正方形区域是个第一啊，或者是叫地区吧，好吧，叫地区 叫地区，对不对？那你看在地区上对 f、 x y 算积分，是不是？在地区上对 f、 y x 算积分怎么样？相等？那因此它就等于这两者合了一半，相加除二呗， 这两个相加是不是你就把倍增函数加起来就可以了？是不是说这里面呢，是两个层面的问题。第一个呢，就是我们有些时候这个积分域它本身就关于 y 的 x 对 称， 对吧？有些时候呢，这个积分域呢，它没有关于 y 的 x 对 称。而且呢，有一点哈，有些时候你这个，哎，你比如打个比方，就是我们这两个正方形区域，它是关于 y 的 x 对 称的。 比如说我要求你在这个正方形区域上对 y 减 x 的 平方算二分之七分，它确实等于二分之一倍的 y 减 x 的 平方算积分，加什么？ x， y 对 掉 x， y 的 平方算积分，它有用吗？没有用吗？ 对不对？他有些时候虽然你的积分率真的是关于 y 的 x 对 称的，但是你直接去用轮换对称性作用不大呀，轮换对称性要想能使用成功，是不是要保证这个 f x y 加上 f y x 就是 这两个函数？呃，我这个函数啊，这两个变量一对调，跟原来相加，要能化解才行， 你不能化解有什么用呢啊？对不对？所以说呢，这里面啊，两个层面的问题啊，你看啊，比如说就我举这个例子， 你现在你要你要是在直接在这样个正方正方形区域上用什么？轮换的性质性，我觉得作用不大，那怎么办？就把它切分成第一第二这两个区域，对不对？那你看，你切分成第一第二这两个区域，以后，大家看啊，算积分，再加上第二区域算积分， 对不对？而你要知道这个区 x 减 y 的 平方算积分怎么样？它是不是相等的， 对吧？哎，你看就用上面这个理论，是吧？把它分成两个部分对不对？把这个第二区域对 y 减 x 平方取积分，把 x y 对 掉，积分的结果没变吧， 对不对？那么这个区域呢？从第二翻起来，第一，所以说将来它其实就等于两倍的第一区域 y 减 x 平方的积分，因为这个 x y 的 平方跟 y 减 x 平方是相等的嘛，对不对？说这么做要更简单吧， 是不是啊？所以我觉得这个轮换对称性的理解啊，我觉得很关键。但是咱们这个题目，它这个你两个函数相加， 就把这个函数加上 x y 对 掉，它确实它可以化解，你看它就是二分之一倍的，你这个这东西呢，那这是个公因子，相当于你一提变成什么这个四倍的 x 平方， 这不是这个二 b 的 x 平方加上二 y 平方，你看啊，别人说这个东西就是 x 平方加上 y 平方加一，然后二， b 的 x 平方加上二， y 平方再加二，然后 e 的 x 平方加上 y 平方四方再减一嘛，算积分， 对不对？然后你看啊，这个时候它跟它就消掉了呀， 对不对？是不是就变成了这样的积分，对不对？好，你看，这个时候它就变成了 d 区域上对 e 的 x 平方加上 y 平方四方也是一个嘛，再减去个 a 倍的溢算积分， 对不对？ a 倍的溢算积分，那不就是就是什么？这不就是面积呗，对不对？所以它就等于去 d 上对 x 平方加上 y 方的二等积分，再减去 拍，对不对啊？好，那你看啊，咱们现在这个，呃，目标呢，你要求这个二元函数的积分，哎，对不对啊？你看啊，这个时候呢，呃，他就等于， 不就等于这个吗？你看啊，这个说来吧，那你看这个，接下来我就把这个积分把它记出来喽，是不是？哎，其实你看，咱们现在你要求的求的这个函数的二等积分啊，就这个玩意呢，这个 就是你这个二元还是二分之一分，是不是就等于这个 e 的 x 平方加 y 平方次方在单位圆上减去派 a， 其实也就等于，那不就等于这个东西吗？ 对不对？所以我们这个题目的答案其实就等于 a 吧，对不对？那 a 等于什么呢？那，那，那到了这你就要算这个二分之一了，这个二分之一我觉得没有什么太多难算的地方， 记住在西北，对吧？就是零到二 pi d c t， 零到 e， e 的 r 平方次方 r， d r 再减去 pi 吧，对不对？这个怎么算？把这个 r 往这放就可以了，凑一分就可以了，对不对？那么算出来以后啊， a 就 等于这么个答案， pi 加一分之一减一 pi， 对 不对？因此这个二乘之分就等于这个答案。所以呢，这个题目呢，说来说去有个核心问题， 就是对二乘积分的简化匀算，希望大家呢要引起足够的重视啊，这种题目很重要啊，所以你要能把这个呃理论要想明白并熟练的应用到这个题目里去，我觉得还是不容易的啊。

各位家长好消息啊，今年数学二比较简单，只考了现在证明题在这里呢，祝愿咱们各位家长孩子都能一百二十加，我是考研蔡老师，去年呢也帮助了五百六十一名同学在复试及调剂过程中低分上岸。

好，各位同学，大家晚上好，那今天呢，我们大家进行了一天的考试， 然后呢早上考的是综合，下午考的是英语，想必这会呢大家已经很累了，但是呢今天呢我们做这个解析呢，目的想给大家呢来简单的介绍一下 我们的今天的这个题目的设置，还有难易程度，进行一点 了解就可以。好了，那今天呢，我们用这个十来分钟的时间呢给大家呢主要介绍三个内容，第一个内容呢就是二零二六年答案对照表，让大家呢对一下自己的答案，看 好的怎么样，对不对，看哪些题目做的比较好，哪些题目做的不太好，大家呢对一下答案就知道。第二部分呢就是难度的一个简单的分析， 简单的分析第三部分呢就是新增题型解说，就说有些题型呢，以前压根就没有出现过，我们自己平时练习的时候呢，也没有练习过，那这种题目呢，我们碰到的时候呢，它的特点是什么？我们应该从哪方面去着手 来，那我们呢先来讲第一部分，就是这个答案对照表，让大家呢简单的对照一下自己的答案啊，没有其他意思，主要就是对照一下来第一个答案， 这是二零二六年真题答案表，大家看一下，如果大家还记得答案的话啊，可以把 这个答案对一下，就看自己哪些题是做对的，哪些题是没有做对的，做到心中有数嘛，对不对，做到心中有数，虽然说年后答案也会出来，但是呢咱们呢 这会呢对一下答案呢，做到心中有数，就相当于给自己估个分对吧？给自己估个分好了，看一下，看一下， 你看啊，第一题，第二题，第三题，第四题、第五题、第六题、第七题，一直到第二十五题，你记得哪些题目的答案，你就自己对一下啊，自己对一下 好了，对，咱们有同学说的好啊，如果说是你需要这答案的话，你截个图可以不？截个图就可以了。行了，那我们继续朝下说啊，继续朝下说 来，下面呢，我们来看这个难易度分析。难易度分析，首先呢，我们来看一下啊，今年的这个知识点大概都考了几道题目？ 第一个就是术语式，术语式就是实数匀算和这个整式分式。我们考了五道题目，考了五道题目，方程函数不等式考了四道题目，平面几何考了一道题目，解析几何考了两道题目。然后呢，立体几何考了 一道题目，排列组合考了，还有概率排列组合加概率考了四道题目，数据分析没有考，就那个方差了，平均除了还有频率分布，脂肪图等等没有考，没有考好了，大家会发现一个问题啊，通过我们这个知识点，这个所考的题目数量，我们会发现 数与式考的比较多，往年其实考不了这么多，往年的数与式呢，顶多三到四道题，但是今年考了五道题，考了五道题。并且大家会发现，今年数与式部分的题目，尤其是那么一两道题目，计算量比较大，计算量比较大， 计算量比较大，大家做起来可能比较费劲，打眼一看，哎，觉得这题简单，我做过，但是你做着做着做着，你会发现有点算不下去了， 有点算不下去了。第二个就是方程函数不等式，方程函数不等式这个地方呢，每年出题数量就是四道题左右，就是四道题左右，但是方程函数不等式呢？这个地方呢，今年新出了一个知识点，就这个周期数列 啊，不是周期数列，周期函数，周期函数还出了一个偶函数，还出了一个偶函数。这个地方呢，它是这么多年新增的一个考点，新增的一个考点， 然后呢？输入列，输入列，中规中矩啊，比较简单，就两道题，两道题，应用题，应用题，今年没有出难题。这六道应用题呢，咱实话实说，大家呢，在平时做题的时候呢，都有所涉及，都有所涉及，相对来说比较简单。平面几何 就一道题，就一道题，对吧？就两个正方形拼成那个题，就一道题，解析几何两道题，两道题。而立体几何呢， 近两年都是一道题，近两年都是一道题，前年去年，今年都是一道题。排列组合加概率四道题，四道题。好了，那我们通过这个题型设置，我简单的给大家说一下啊，今年的一个 题目的一个难易度情况，今年题目呢？这个问题求解析，跟去年比起来 是有点难的，是有点难的，我说的是问题求解析，就是底下带选项的题目，跟去年比起来是有点难的，但是条件出现判断题，跟去年比，他是比较简单的，至少没有那么多的坑，至少没有那么多坑。并且你会发现今年的条件出现判断题，拿到题目之后，你至少能找到 入手的这个切口，所以今年的条件重新判断题，他去比去年来说简单。而从整体卷子上来说，从整体卷子上来说，今年的题目比去年的题目要简单一些，简单一些， 没有去年题目那么难，没有去年题目那么难。好了，那接下来呢，我给大家呢，把今年啊，新增的这个题型呢，简单的给大家说一说。新增的题型给大家说一说。然后呢，我们先来看 这个题，这是今年考试的第四题。这道题呢，其实呢，就是今年比较难算的一道题目，比较难算的题目，很多同学拿到这道题的时候，你会发现，其实呢，它是有思想的， 他是有思想的，对吧？拿到这个题目的思想是什么呢？就是列项。当然有些同学老师我压根就没看出来这列项，如果你没有看出列项来，这道题目呢，那就走不下去了， 那就不用管他了。如果这道题你都没看出列项来，再朝下计算，就会计算量比较大，那这个题目就没法入手了。然后呢，这个题目，如果说，我说，如果说啊， 你看出来这是列项了，看出来是列项了，就是把一个项变成两相对，不对，看列项来了，再朝后面算的话，我算了一下啊，计算量还是有的，计算量还是有的，这道题你要算出正确选项来，挺不容易的。挺不容易的， 为什么说挺不容易啊？你想啊，这个题目首先第一步得列项，但列项呢，他不好列，列项呢，他不好列。列完项之后呢，你发现他的计算量很大，很多同学做着做着做着呢，可能就坚持不下来了。说呀，可能我这个方向是错的，怎么可能会有这么大的计算量呢， 但这道题就是后期的计算量，确实很大，但是呢，如果说啊，大家通过列项把这个题目如果破解了的话，其实后面的你按照这个题目的那个做题方法，一步步朝下算就可以了， 这是一个什么呢题目？并且这个题目大家可以看到它的顺序，它是第四题，它是第四题，这个顺序比较靠前，突然间在这么靠前的这个顺序上考了这么一样，这么一道计算量比较大的题目，我觉得 对大家来说挺难的，对不对？大家觉得挺简单，但是算大半天还算不出结果来，我觉得对大家的心态也可能会造成一定的影响。这道题目呢，我先说一下啊，他选 b， 刚刚不是给大家答案了吗？这道题选 b， 这道题选 b， 这道题选 b。 好 了，这道题选 b， 可以 吧，大家知道就行了啊，这道题提出来了，是不是有有点记忆了？来，下一道题，下一道题就这个第十二题， 第十二题，第十二题是周期数列，哎，周期函数怎么又数列了？周期函数，周期函数，这个周期为二，这个周期为二呢？ 这个地方呢，很多同学不知道，他不知道周期为二的函数应该怎么去操作，可能这个题目读完之后，碰见这个周期为二，都觉得这道题是个难题，然后呢，还出现了一个偶函数， 还出现一个偶函数，这两个呢，都是之前很少出现的考点，一个是周期函数，一个是偶函数，都很少出现，尤其是偶函数，这是第一次出现啊，这是第一次出现啊，对吧？这道题呢，其实呢，我先说一下啊，你要对这个知识点比较熟悉的话，比较熟悉的话，这道题目 就简单，这道题目就简单。如果这道题目呢，对这个知识点不熟悉的话，我觉得这道题啊，放到大家手里 就是一道难题，就是一道难题，因为这个知识点你不知道呀，很多同学拿到这个什么呢？周期数列二，什么是周期数列啊？对不对？周期函数啊，蒙了，然后呢，看一个偶函数，偶函数更不敢朝下做了，对不对？更不敢朝下做了。好了，这个题啊，我先说一下，选二点五，选二点五， 选二点五，这个题目呢，就还是那个定义的问题，来再说下一道题，下一道题，这个题，这是第十五题， 这是第十五题。好了，有同学把答案改错了，是不是？把答案改错了？你要相信自己的第一感觉，有时候呢，你发现自己的第一感觉做出来题是正确的，结果呢，越改越不是那回事了，对不对？如果这道题对你来说是一道难题啊，你就跟着自己的第一感觉走就可以了。好了，来 继续说这个第十五题，第十五题呢，是这么一道题，是这么一道题，这道题呢， 大家呢，其实是碰见过这种类型的题的，对不对？碰见过这种类型的题的，但是呢，大家碰到的这种类型的题啊，它只有什么呢？ ab 两个点，没有这个 c 这个点， 没有 c 这个点。如果这个题目呢，只有 ab 两个点，没有 c 这个题的点的话，我说没有 c 这个点的话，这个题目大家应该是能做出来的，对不对？能做出来的其实就是一个非常非常简单的排列组合题，对不对？但这个题目呢，它的难点在哪里？就难点就多了这么一个 c 点， c 点这个题就变成了一道比较难的题了，就比较难的题了。很多同学拿到这个 c 点的时候，不知道该怎么去处理，不知道该怎么去处理，可能这个题目 就做错了，就做错了。好了，那这道题目呢，咱就说一下这道题，选 a， 选 a， 大家知道答案就行了啊，今天我们的目的呢，就是让大家什么呢？看一下我们这个考试， 呃，这个答案，让大家对自己的一个什么呢？考试情况有一个简单的把握就可以。第二个呢，我就想说什么呢？ 咱们今年考试的这么一个，各个地方的这个选项的一个个数对不对？选项的一个个数，比如说应用题了，几何了，排列组合，概率了等等。然后呢，再告诉大家今年的新题型有哪些？ 新题型哪些？但是从总体上来说，今天题目的今年题目难度呢？他跟去年比是简单的，是简单的。 今年题目难度跟去年比是简单的，是简单的，没有那么难，没有那么难，对不对？最起码这个什么呢？每一道题目他好入手， 他好入手，至于能不能算出来对不对，那可能看大家能不能找到合理的方法了，但是最起码总比你拿到题目的时候，不知道这个题目怎么下手要强多了。今年的题目呢，跟二四年、二五年比起来，要简单一点点，要简单一点点。 好了，来，那今今天呢，我简单的啊，给大家就说这么多，因为今年的整体题目难度系数跟去年简单一点点，但是题目的设置跟往年都一样，就那些题型对不对？就那些题型。 好了，大家看一下有什么问题需要我给大家答一下的，有什么问题需要帮大家回答？回答的 好的，没问题，再看一下答案，记住了吗？ 是，今年确实是题目放水了，放水了部分题目，你会发现简单的让你觉得，哎，平时怎么没有练过这么简单的题，怎么会这么简单，对不对？ 好了，这个二十二题我简单说一下，二十二题我个人感觉是有争议的，是有争议的，因为那个题目呢，它到底是选 c 还是选 e？ 选 c 的 话，就是说那三个成绩的这个占比都是一比，一 比一的情况下，就是他们占比都是一的情况下，那就应该选 c， 如果不知道占比的情况下，就应该选 e。 对， 我们认为这道题是有争议的，这道题是有争议的，至于选 c 还是选 e， 得等明年的 大纲出来，或者说等明年大家考完试之后，我们大概就知道，哎，这个题选 c 还是选 e 了。今年这个题目我个人认为是有争议的啊，我个人认为 暂且这道题呢，大家就认为自己选 c 还是选 e 都可以认为是正确的，这明年春季出来到处看对不对？我认为是有争议的，这会给大家确切的结果，不好说 你选的 e 啊。好，那你就认为你做的是正确的。明年看这个题目大纲出来看给的是什么样的一个标准答案，这在等标准答案，因为我们在理解题的时候，我们认为这道题是有争议的，是有争议的。 好了，那看大家还有什么问题吗？还需要带我帮大家去解答什么样的数学问题，还有什么想问的，都可以，咱们可以。这题真无聊。对， 今天这道题啊，其实我个人认为啊，你要说话你就把这话说准确了，对不对？给人产生的误解挺多，产生误解挺多的，对不对？所以给人感觉这道题感觉做起来会有点争议，会有点争议，但是还是啊，大家呢， 保持一个很好的心态吧，我觉得这已经考完了对不对？已经考完了就无所谓了对不对？至于那个标准答案是多少，只能听这个考试中心的，对不对？咱们说的不算，咱们说的不算 是，所以什么觉得怪怪的，证明什么呢？他就存在争议嘛，就大家觉得读这个题的时候可能在思想上可能有不同的理解，对不对？可能有不同的理解， 路程选的是第一，你选的是说的第一题吗？第一题是不是 第一题的话应该是。我看啊，是第一题，第一题应该是不是第一题不是第一题，你说那个路程问题是吧，我看看啊，这路程问题 一百零五呀，路程问题选的一百零五那个答案是正确的，你说的是正确的，说的是正确的，没有问题是正确的，一百零五那个答案是正确的。 好了啊，那今天呢，咱们就这样了，对吧？给大家呢对一下答案，给大家简单说一下今年题目的一个变化情况对不对？难易情况就可以了。然后呢，大家呢？今年考了一天了，也特别累对不对？晚上洗洗。然后呢，早点休息可以吧，可早点休息， 数学不是还没考吗？这是管理类联考啊，数学啊，管理类联考，数学不是大家的这个数一数二数三的，数学是管理类联考，数学管理类联考，数学今天考了，今天考了， 行，好了啊，今天咱们就讲这么多，大家呢，今天呢，好好休息一下，已经考完了，对不对，就坐等成绩。哎，希望大家蒙的都是正确的啊，蒙的都是正确的，明天呢？我明年呢，我们都一战成硕 啊，我们这个有这个题目呢，到时候联系一下我们老师就可以，我们这个题目还有解析还有答案都出来了，都出来了，对，到时候呢，关注一下我们这个老师的这个微信，还有朋友圈什么的都可以， 那大家有问题可以留言啊。英语二，明天考试的同学，咱都不听了好吗？明天考试的同学，咱都不听了啊，咱就是今天 就是管理类的同学，我们来听一下，可以记住今天这两天考试已经考完的同学来听一下，明天考试的同学，不要影响自己的心情啊。那么先看我们的完性填空啊，大家来看是不是考的这个话题啊，那么完性填空里面呢，不断涉及了话题的中心词呢，包括 self respect， 那 么自我尊重，自尊是吧， worth 价值，还有 esteem 自尊这样的单词，那么大概一个话题呢，就是目标的认同 和评价呀，自尊呀，这个话题，那么我认。呃，我看了一下，大致看了一下，就是从网上现在留出来的一些题目啊，玩行的难度呢，就是没有像我们一零一一二那三年似的那么难， 也就是说近些年的玩行填空呢，我觉得难度呢是没有太大变化的啊，起码相比于业， 相比于阅读的话呢，我们这个完形填空是没有加大难度的，跟往年相比啊，起码跟我们前十年的完形填空相比，那么今年的完形填空呢，是没有加大难度的，或者说难度呢，基本上是相当的，那么大家也可以讲一讲 就是你的感受啊，有同学会翻译啊，一会我们再来说翻译啊。那么完性填空的话呢，就是他考察的点呢，一直都是固定的啊，就是比如说考察菌类的并列关系啊，或者是转折关系啊，还考连词呀，考动词介词。 呃，就是这个内容呢，是不变的啊，有几个 b 呀？这个我不知道哈，咋没红花词呀？那你猜的红花词是对的吗？ 嗯，翻译只剩下十五分钟，字写的不好会扣很多分吗？那么主要还是看你的内容翻译的对不对啊，就是字迹呢，是其次的，主要还是看你的内容翻译的对不对啊，就是完形填空做到最后没有时间了，是不是？其实完形填空没有难度很大我觉得， 那么接下来看我们的第一篇阅读理解啊，那么第一篇阅读理解呢，在讲英国图书馆的情况的，是不是英国图书馆的现状的？那么这个的难度呢，我觉得还是比较中等的啊，也就说完全填空呢，不算难呃，不算，说特别难，当然也不算简单， 正常情况下咱们四篇阅读啊，阅读理解啊，说错了啊，正常情况下呢，咱们四篇阅读理解，前两篇呢难度相对是比较简单一点的，后两篇难度相对比较大一点，是吧？但是呢，一上来呢，你会发现，这四篇阅读理解就是每一篇它是都挺有难度的。 四篇阅读理解，每一篇都听听，有难度。第一篇，以上来讲英国图书馆的情况，那么关于英国这个图书馆的情况呢？在往年我们是没有考到过的，但是非常巧啊，去年英语一的第四篇阅读理解是讲到了就是图书馆的，讲到了图书馆跟那个 呃无形文物的，无形文物的收藏两者之间的关系。所以呢，我非常建议大家，如果现在听课的同学啊，如果现在听直播的同学，有明年备考的同学，非常建议大家一定要看一下。 就是大家备考的时候，考英语二的同学一定要做一下英语一的题，因为有好多话题都是相通的，这个话题，英国图书馆现状，那么在往年的英语一的第四篇阅读理解就考的这个内容， 英语出答案了没啊？那英语呢？目前还没有答案，还没有出全呢，可以关注一下我们的估分小程序。完性填空还好，感觉最后一篇阅读理解有点难。是的，完性填空的难度是比较正常的啊， 第四篇阅读最难，对的，第四篇阅读最难，那么第一篇就给大家讲到这里，大家还有印象吗？关于第一篇阅读理解，那么关于这个阅读理解给大家的建议就是明年备考的同学啊，咱们二七级的同学，备考的时候，考英语二的同学也要做一下英语一的题，起码要读一下英语一的 阅读理解的原文，因为话题是相通的啊，那么接下来看一下我们的第二个话题啊，阅读理解二啊，它的难度呢，也是有一定难度的，中等或者说中等偏难的一个难度，它的主题呢是 ai。 那 么关于 ai 这个话题呢，一直是近几年咱们 别管是英语一还是英语二的阅读理解，长盛不衰的一个话题，常考的话题基本上每年都会考讲 ai 工具的使用的啊，那么其中在咱们的冲刺 a 六的那个模考卷里面呢，完全也是讲的人工智能工具的一个使用，这个内容 和咱们模考卷的难度差不多吧，都是有难的，有简单的啊，咱们模考卷有的时候呢，四篇都挺难的，有的时候两篇难，两篇简单就给大家设置的不一样，但是咱们模考卷里面是有一些题，我们是 就是切能够切中一些话题的，就比如说咱们 a 六的这个，这应该是我们的 a 六的第四篇阅读理解讲 ai 工具的， 那跟我们今天考到的第二篇阅读理解的话题非常非常非常的像啊，还有这里面的 transformative force， 那 变格性的力量， 去年英语二也有考这个，是吧？变格性的技术，变格性的力量就是明年被考的同学呢，一定要关注 ai 这个话题，每年基本上每年都会考，不管是阅读理解还是新题型里面都有考到过啊。 呃，然后第三篇阅读理解，看一下这个话题啊，第三篇阅读理解呢，我觉得是有难度的， 就是在前面两篇的基础上呢，难度又加大了一点啊，讲的是什么呢？意大利的高铁，大家看我在后面括号括了一下，不是印度的铁路，有多少同学读着读着感觉是印度的铁路呀，再讲意大，意大利的高铁的。那么这个话题呢，在之前都没有考到过 英语一跟英语二，一零年以后都没有考到过，但是在一零年之前呢，有考到过铁路啊，英语一也有考到过铁路啊，英语一的二一年的第四篇文章考到过铁路，铁路运营商跟乘客之间的 一个矛盾，还有在零几年的时候，我们也有考过关于铁路的，铁路运营商遏制了托运商的咽喉。 所以呢，咱们往年的题以及英语一的话题是值得咱们英语二的同学在备考的时候来参考一下的啊。多加阅读，对大家来说不仅扩展词汇量，而且呢，扩展大家的话题量是没有没有什么害处的啊，反正是， 呃，今年英语二的难度与去年相比是怎么样的啊？我觉得跟去年的难度，呃， 相当差不多，去年的难度去年也是比较难的，是不是大家？大家当然做了去年的题，可能觉得去年的题没有那么难，但是呢，当时做的时候，去年在做的时候都是有难度的， 那么我一会会整体的给大家总结一下啊。先给大家说一下阅读理解的话题，那么接下来看咱们阅读理解的第四篇话题啊。第四篇话题呢，讲的是芝加哥接到的节日没落的情况， 关于节日的话题呢，或者说关于借道的话题，在往前，在往年呢，咱们从来没有考到过，所以呢，这是一个特别特别新鲜的一个话题，但是呢，从这个主题里面大家也看到出来了，也符合咱们常见的出现问题、分析问题、解决问题的这种阅读理解是不是？但是呢，它确实是挺有难度的。 那么最后呢，整体的再给大家来总结一下啊，咱们这四篇阅读理解呢，还是符合前两篇的难度比较中等，后两篇的难度比较难，尤其是第四篇。那么咱们这四篇阅读理解里面呢，没有说特别简单的。 什么叫特别简单的呢？就是一看我基本上特别顺畅的，就能直接把答案做出来，基本上没有那样的啊， 那么我觉得这四篇阅读理解他的一个特点啊，第一个，第三点我还没有来得及写啊。那么第一个特点呢，我觉得是， 呃，原文呢，我们基本上是能看懂在讲什么的，起码这个主题作者的立场你是能看懂的，但是呢，做对，完全把这个题目做对，或者说比较顺畅的把题目做对呢，是有难度的，存在多个强干扰选项。咱们一个题有四个选项， 往年的题呢，可能你是在两个选项里面纠结，但是今年的题的一个特点，尤其是第四篇文章的特点，你可能会在三个选项里面纠结来选哪一个。大家来说一说，你考过的同学是不是有这个特点啊，就是特别的纠结，两个选项之间不知道来选哪一个了。 那么接下来第二个特点呢，紧跟时事，比如说这个高铁的话题啊，还有呢话题呢，可能与往年英语一的话题呢存在重复，所以给大家的一个备考建议呢， 就是可以有时间的时候呢，可以多读一读跟时事相关的英语的文章，基本上咱们考研的阅读的文章呢，都是来自于上半年或者是前一年的内容啊， 还有呢，大家也可以参考一下，其实起码就是近五年英语一考过的一些话题也适用于英语二，只不过英语一的话题呢，可能比较偏抽象一点，用词呢，稍微难一点，但是话题是一致的啊，因为都是我们该关注的内容。呃，对，看同同学们都 都说了。是的，强干扰选项好多立正题好多立正题。选主旨词的多吗？选主旨词的多好多立正题，不仅包括不仅是今年，去年的题也是啊，立正题考察的 就是比例呢加大了。去年英语一跟英语二都是例政题，考察的比例给加大了。往年呢，再往前呢，可能一篇文章里面最多只出一个例政题，但是呢，去年出现了一种情况，就是一篇文章里面他可能出俩例政题，而且呢，还有那种隐含的例政题， 题干中你看不出来是一个例证题，但是回到原文中域定位，你发现它就是一个数据，数据本质上就是一个例子，或者说你把题干回到原文中域定位原文中直接告诉你了，这就是一个例子。这种引含的例证题，他考察的比例是加大了的，从去年开始就有这个特点啊， 有同学说答案公布一下可能要今天稍微晚一点的时候啊，现在因为刚刚考完两个小时，就是答案还没有完全收集到啊。 呃，强干扰选项特别强哈，对的，强干扰选项特别强。呃，那么接下来给大家的备考建议我刚才说了啊，我明年二期考研的同学给大家的备考建议啊，那么第一个呢，一定要重视基础， 重视基础你起码要保证呢，我一眼就能看出来这个句子是在讲什么，也就是说你的词汇跟长难句的基础要打牢。那么第二个呢，有时间的时候呢，大家可以读一些 就是时事型的英文的文章。那么第三点呢，起码近五年的英语一的阅读理解呢，大家有时间的时候呢，起码原文你可以看一下，因为话题考察的是比较一致的内容。 好嘞，我看一下大家还有没有什么问题啊？嗯，是难还是不难？难了啊，前两篇难度是比较中等的，后两篇呢，是都有难度的，尤其最后一篇。 那么这四篇的一个特点就是选项特别特别的纠结，不仅两个选项之间纠结一个，甚至可能在三个选项里面纠结一个，大家来看一下，你是不是有这样的情况啊？ 好了，阅读理解我们讲到这里，那么接下来看一下我们的新题型，那么新题型呢，也是特别有难度的，那么咱们今年考的新题型呢，是一个信息匹配，就是一个人说了多句话，要把人物跟观点给匹配起来的，这种信息匹配或者说叫多项对应啊。 那么在往年呢，咱们这种信息匹配多项对应呢，就是那种连连看，就是无脑选。但是今年首先说这个话题，考环境类的话题，这也是往年没有考到过的啊，就是植物种子的重要性，个别昆虫可能会危害自然环境，这是我捕捉到的一些关键词啊。 那么往年这类题呢，都是一个连连看啊，直接就是，直接就是原文出现什么选项的元素复现的。但是今年的新题型呢，它的总结性比较强，很多时候呢，不能直接找到元素复现，关键词呢，不太容易找到。 就是你找到了这个人物，他说的关键词呢，不太容易在选项里面直接能够对应。也就是说新题型 信息匹配这一类呢，它的概括总结性，它的同意替换的特点加强了。所以这个新题型呢，也不是说能够轻易的得满分的，也非常考察大家的词汇量以及对于信息的解读能力。 嗯，我来看一下啊，新题型好像也很难似的。呃，新题型像小标题，还得概括意思。对的 对的，他的总结性是比较强，往年这类新题型，咱们就是无脑作，直接就能够得十分的，是不是今年没想到他变得这么难了啊，谁都没有想到这个问题啊，有纠结的选项是不是？ 好了，那么说完了新题型，接下来大家可以接着留言啊，那么接下来说一下我们的翻译的部分啊，那么翻译呢，相对来说是比较简单的，讲穿衣对人们心理的影响，大家觉得翻译，大家觉得翻译的难度怎么样呢？我稍微看了一下原文，我觉得 就是起码大家原文呢，绝大部分是都能看得懂的，就是原文是相对比较简单的，那么你是否能够翻译成比较通顺的句子，而且你是否有时间翻译成比较通顺的句子，这就有难度了。 就是虽然原文比较简单，但是大家在翻译里面想要得一个高分还是不容易的，为什么呢？因为你在阅读理解，还有新题型比较难，那么你留给翻译的时间呢，可能就相对的 少一点了，是不是时间比较紧张了？其实翻译还是相对比较简单的，原文是比较简单的啊，那关键就在于你有没有足够的时间留给翻译，哪怕你留给翻译二十分钟的时间，那你直接写出来也能够得一个不错的分数了， 阅读太耗时间了是不是？哎，同学也是这么说了，翻译不太难的，所以就看大家这个时间的分配，考试的时候时间的分配是否合理了啊。好嘞，这是翻译，大家可以接着留言啊。 新题型没有时间做了是吧？新题型是有难度的啊，那么接下来看一下咱们的小作文。小作文就是正常的难度啊，但是它的话题呢，比较新颖，有介绍的信息，也有咨询的信息。但是这是介绍什么呢？不是 不是，你自己的一个东西介绍给别人是介绍什么呢？假设你的朋友杰克给你分享了，呃，他一家在中国旅行的一个视频，一个 video， 是 吧？那么请给他写一封邮件啊，告诉他，就是他给你分享了一个小视频。你不经常跟朋友分享一个小视频吗？你看到了一个搞笑的视频分享给你的朋友了是不是？ 哎，我们也经常这么做，你看这个小作文多么贴近我们的现实生活呀。那么你写了这个小作文之后呢，给他写一封信，第一个告诉 告诉他你对这个视频的感受。第二个呢，希望了解更多关于他们旅行的细节。这不，跟你跟你的闺蜜，你跟你的好哥们分享了一个视频一样的，或者说你的闺蜜，你的好哥们分享给你一个视频了，然后你会说，哇，好搞笑呀。然后接下来你就会问，哇，你们当当时这是在做什么呀？ 跟我们现实生活一模一样的是不是？所以呢，我，我虽然给他界定了一个介绍信啊，介绍你自己对这个视频的感受， 你要介绍什么样的感受，你就夸这个视频好，夸这个视频有意义就行了。你大概可以套一个什么样的模板呢？大概可以套一个推荐信。推荐信是不是一直在夸一个物好呀， 你大概可以可以套用推荐信的模板，推荐一个旅游景点呀，推荐一本书，推荐一个电影，一道菜，一首音乐呀，大概你可以套用这个模板来说来来，介绍你内心对他这个视频的欣赏的这种感 感受啊。那么接下来你希望了解更多关于他们旅行的一些细节。这是这就是一封类似于咨询信的哈，你们当时做了什么呢？你们是怎么做的旅行的？旅行的攻略呀，大概是这个内容啊。 嗯，来我看一下，同学们写的什么啊？ 呃，小作文，小作文比较新颖，只能说是啊， 小作文比较新颖，因为要介绍自己看了这个视频之后自己内心的感受，就是描述这种心理活动的，总是很难的。咱们英语二爱考这种，人家英语一不考这种，像英语二之前就这就这种情感类的信件吧。 英语二呢，考过，比如说咱们二零一二年的考过投诉信呀，还考过感谢信呀，就这种情感类的信件，道歉信呀，都特别的不好写。这个呢，就是表达自己内心这种欣赏的态度，也算是一种情感类的信件啊。 嗯，小作文主要和时态有关系。是的，和时态有关系。介绍再来一次中国可以吗？嗯，再来一次中国的话呢，你可以在最后一段里面可以跟他提一下，就欢迎你 下一次有时间继续来中国旅游，中国还有更多好看的风景可以和你分享。可以的，推荐经典中国文化。主要想不起来 video 是 啥 啊，还以为是日制旅行礼化。嗯，就是大家考试的时候呢，可能会受到各种主客观因素的影响。平时会的呢，可能到考试的时候真的一下子可能就是大脑卡壳了，想不起来。 但是呢，如果你这个主题写对了啊，就是两方面啊。这封信有两个要求，第一个要求呢，就是介绍自己内心对他这个视频的一个一个态度，当然你就是一个欣赏的态度，夸他就可以了。第二个呢，再提那么一两个问题，两三个问题问一下他就是。 嗯，关于旅行的时候你们去了哪呀，你们玩的开不开心呀？你们在旅途的过程中印象最深刻的事情是什么呀？稍微问一下这个就行了。啊。 啊，能不能写，希望了解你们去中国时候吃的美食，给我推荐推荐。当然没问题，非常好，因为他们去旅行了，你就可以说你们旅行的时候吃的什么好东西啊，其实你就带入你自己就行了，你的好朋友，你的好闺蜜，你的好哥们给你分享了一个他旅行的一个视频。 那他给你看了这么一个小视频你会说什么呀？哇，你的旅行好棒呀，我好羡慕呀，你的旅行好开心呀。接下来你是不是会问他一些旅行的一些细节呀？你们当时吃的啥呀？你们都去的哪呀？你们都怎么做的攻略呀？花了多少钱呀？住宿住的怎么样呀？ 问这些都可以，都没问题啊，如果我下次也想去没问题，不跑题的啊。好嘞，小作文呢？那么接下来呢，再给大家说一下这个大作文呢。大作文的一个话题呢，是关于 儿童户外活动的看法的调查。这是一个静态的注状图，关于儿童户外活动。那么儿童的户外活动呢？有什么满足求知呀？促进互助，强身健体，增强亲子互动。 那么这是一个静态图，大家要描述占比啊，占比图叫 bar chart， 另外呢，它是一个镜静态图，你要描述占比，不能描述上升下降的趋势。那么这两个占比里面大家明显的能够看到前两项。 求满足求知跟促进互助他俩是相差不大的，是不是？我不知道我拿到的这个图准不准确啊？大概应该是对的啊大概应该是对的啊，就是他两个相差不大，后面两个呢也相差不大。一个静态的柱状图，你首先呢， 你首先要知道是一个静态的，静态的柱状图不能写成就是趋势上升下降趋势的这种动态图啊。 呃，难度呢？我觉得就是正常的难度，每年的每年的大小作文它的难度都不会有什么变化啊。那么这个难在哪儿呢？满足求知。有同学说好奇心不会写， curiosity 不 会写是吧？那求知的话，想要获得知识，你能写吗？ 你起码一个 gaining 或者是 obtaining knowledge。 这大概也可以啊， 满足求知，求知就是好奇心了求知就是好奇心了，满足好奇心，那就是满足求知。一样的意思啊，一样的意思。 那么促进互助，互相帮助是不是？ mutual help， mutual help， mutual assistance， 然后接下来强身健体。呃， build physical health， 强身健体。那么最后一个增强亲子的互动， mother 或者是 parent child interaction， communication 都行。那么前面的别管是促进呢还是增强呀，你用甚至于用 promote 都可以，但是这个大家要注意什么呢？你写的时候，你看这四项里面满足，促进，强身，还有增强，它都是动态性的词， 所以你写的时候那个主语你记住后面你有没有加 ing 了呢？比如说增强亲子关系， promoting parent child， parent child interaction， 你 有没有加一个 ing 呢？得加一个 ing 是 不是 第二个？好像不是。是吗？那我可能拿到的在细节上有差异啊，大概是这么一个表格啊，如果大家觉得我拿到的这个我也是从网上各种渠道给搜索到的，如果大家觉得我这里面哪个地方呢？跟你们考的你们记忆中的有点差异的，大家可以告诉我啊。 第二个增强观察力是吗？那我可能就拿到的错了。好了，考虑了半天没加。那你如果是做主语的话呢，你得加 i n g 啊，如果做宾语的话呢，也得加 i n g。 如果是你用在 to do 里面就加动词原形就行了啊， 有的没加 i n g 扣几分呀？这不好说啊，没有加 i n g， 因为这只是一个小点，一个小点，你说老师怎么扣分呢？老师可能会集合几个点一起来扣分。满足好奇心是不是？满足好奇心，满足求知欲， 一样的意思啊，我一会回去我再精进一下这个表格好吗？第二个是观察力啊，谢谢大家啊。 好了，那么关于这种呢儿童户外活动的这个话题呢？其实如果你做了看了我们的作文预测，作文预测里面是不是还有挺多的呀？ 你看这个作文预测里面，我们的作文预测读不了作文的第八篇，某市年轻人周末主要休闲活动调查，这里面就有 自我提升是不是？然后接下来图表作文的第十篇里面也有，你看，身体健康，形体管理跟刚才的强身健体有关系，接下来社交跟亲子之间的互动是不是也有关系啊？ 还有我们的综合性大作文的第一篇户外活动的时间，这里面直接给了大家户外活动，你看一下你有没有 有没有练习到这篇啊？还有我们综合大作文的第七篇，全民健身的热潮，你看健身热潮，这不就强身健体吗？这个主题词咱们就有啊。那么最后呢，还有青少年健身方式的多样化， 社交需求又有了，是不是这个地方健康管理跟健康也相关，坚持运动健身方式呢？都是相关的。那么咱们最后呢，给了大家四十篇的作文预测，其中 前面的三十篇呢，都是大作文的，后面的十篇是小作文的，前面三十篇大作文还是跟我们今年考的大作文有非常非常多的相关性的，是不是大作文难度还行啊？那 酱辣火腿卷，你说那个没有加 i n g 扣不扣分？会不会掉档？不会，那么一个小点不会掉档的啊。加强观察力， enhancing the observation ability 没问题。 或者说你不加这个 ability 也可以，加这个 ability 也没有问题。增强观察力。可以这么写啊，三个原因，父母观念，技术进步，政府政策，没问题。可以的。大作文原音不会写。想了半天讲， 想了半天写了个双减政策，注重软实力。双减的政策，哎，我觉得是可以的，当然你得把这个双减写对，双减的政策就会让 有了双减的政策，就是儿童有了更多的户外活动的时间了，可以的。嗯，还有注重软实力。注重软实力的话，比如说求知欲，就大家说的好奇心，这也算是软实力的一种，可以的。 the outdoor activities of the children。 那 么最好写 children's outdoor activities。 最好用撇 s 啊，因为是有生命的，咱们都用撇 s 来表示所属关系。是不是 看的网上 ai 和燃油车，新能源车白背了。你为什么不看我的预测呀？为什么不看我的呀？以后要相信我好吗？ 你看一下，就是大家可以再找出来，我们给大家的就是二五，就是今年给大家的我们的招生老师或者是课程老师、班主任老师给大家的作文预测里面，其中图表作文的第八篇，第十篇，还有综合性大作文的第一篇，第七篇， 还有第十篇，都是在讲跟健身、户外运动相关的话题的。有五篇啊， 写成了小学生词汇水平，但是没有错别字，这种一般能拿几分呢？ 如果没有错别字的话呢，又不跑题。然后呢，你得满足这几个特点啊，第一个呢，没有拼错的单词，第二个呢，你的语法是正确的，第三个不跑题，第四个你的格式是正确的。什么叫格式胜是正确的呢？ 三段式啊，每段开头呢，空三到五个字母，满足了这四个要求之后呢，哪怕词汇写的简单一点啊，起码也能得九分，当然还有字要能识别出来，不能字写的太差啊，起码也能得九分了啊。好嘞，大家还有没有什么问题？ 几个错的单词扣一分。其实阅卷老师在阅卷的时候，他根本没有时间数你一共错了几个单词，而且呢， 你第一段错一个，第二段错一个，第三段错一个，他看不出来的，他可能就中间挑几个来看，中间挑几句话来看，或者说开头挑几句话来看，你写的那个错别词他可能根本没有看到呢？是不是 他也不会说几个单词错了就会看一遍，他会整体的，可能第一段看这么一两句，第二段看一两句，然后呢，整体的来看一下，给你定一个档，给你定一个分数。 翻译和小作文说了吗？说了翻译比较简单，小作文的话呢，也比较常规。有两个单词写错了，划了上面添加，在上面添加会扣分吗？不会。 给明天考试的同学的建议，快点写，做好时间分配的策略。阅读越往后越有难度，千万要把握好时间。明天不会有同学考阅读了 明天不会有同学考阅读了，明天考考高数和专业课的同学要注意你的时间的分配好吗？明天要考试的同学你就别听这个直播了哈， 我没空，四个字母顶格写了，空一行可以吗？当然可以，没有问题。碰到难度大的先放放，别硬科，把后面的能拿分的全都拿了。是的，这是非常实用的一个给大家的建议。 阅读和完型说了吗？说了完型难度不大，难度正常，跟往年跟前面十年考察的一样。然后阅读前两篇难度比较中等，后两篇比较难。整体看下来呢？我觉得阅读的是挺有难度的，起码不比去年的阅读简单。 大作文超出的字数多会扣分吗？大作文超出字数不会扣分的。你大作文写满答题纸都不会扣分的。因为阅卷老师他在阅卷的时候一定会有一种心理，就是只有能力强的同学，只有能力强的同学他才会就是写满答题纸。 所以大作文抄分了。大作文就是字数抄了，而且抄的有点多，没问题的，不会扣分。明天什么学生考试呀？明天，明天就是考高数的同学，或者说考两门专业课的同学要考试呀。 好嘞，大家来看一下你还有没有什么问题，如果没有问题的话，我需要接着回去给大家做解析了。 哪里看英文前面的内容来晚了就看到了大作文，一会马上就会生成视频，你在招生老师的朋友圈差不多就能看到 阅读的答案。在哪里啊？我马上回去给大家解析好吗？我们今天稍微晚一点的时候呢，大概哦，大概十点，这会七点半，大概十点左右，差不多我估计着就能出就是简易版的答案了。但是如果大家想要详细的解析，还有详细的原文的话呢，可能要等到明天的上午。 我预测分数线呀。哈哈，我不太能够预测这个内容呀。翻译的难度怎么样？翻译。翻译。没啥难度，翻译挺简单的。但是呢，如果大家有觉得翻译比较难的，可能是因为你给翻译留的时间太少了。 那我们再见好吗？我赶紧去给大家写解析好吗？我给大家去后台录入。后台录入我们的答案好吗？拜拜。

考研数学一个反直觉的点呢，就是你学会做题方法其实并不难，比如等加无穷、小洛必达法则、泰勒公式，你学会之后就能做。反而是基础概念是最难掌握的，比如极限的概念，比如积分二重积分的真正定义，这些最基础的内容其实是最难去理解含义的。很多考生到了后期，虽然知道有的题的做题方法怎么做，但是对于为什么用这种方法是不 理解的。比如今年数学二真题的第五题，考察了一元函数几何应用的极致与凹凸性，这就是基本定义和性质。我们接触的大多数考研数学题目呢，只需要你会做题方法，而不需要去掌握概念。 但真题难的部分就在于基本概念和基本理论的考察，大约占了试卷的百分之三十。对于刚接触考研数学的二期考研同学来讲呢，为什么觉得考研数学刚开始这么难，是因为你们一开始接触的正是考研数学最难的部分，也就是基本概念和基本理论。为什么大家的做题情况会在强化阶段 会稳定呢？因为这个阶段我们学习的是做题的基本方法，做题方法在接受方面的难度远远小于你去学一些基本概念和 基本理论。在基础阶段呢，我从做考研分享以来，我唯一推荐的一本书就是五中祥老师的考研数学基础篇，因为这本书就是以基本概念和基本理论为主，没有那么多花里胡哨的做题方法。因为对于刚开始接触考研的同学来说呢，首先，基础阶段不需要掌握这么多方法。 其次呢，基础阶段接触的东西多了，你会抓不住重点。我当时在用这本书的时候呢，我就记得很清楚，里面就是拿一些真题为例，让你去掌握一些基本概念，跟着吴老师走，你会发现前期运行的比较丝滑，你会发现真题其实也不过如此。当然，书里例题的那些早年真题呢，跟现在真题的难度肯定是有很大的差距的。 但这就是二十七考研数学限阶段应该做的，可以说咱们过一遍基础篇就可以直接开强化了。有很多同学在问六六零什么时候做，大家可以看一下我往期的视频，我一直跟大家推荐 基础结束快速进入强化阶段。强化阶段呢，咱们再去做一些六六零或者我强烈推荐的严小题，已经有无数的粉丝验证过了，这个规划没有任何问题，而且非常高效，只要你强化跟的武忠祥老师，那就不存在有基础不够，没法进入强化的问题。 同时呢，李咏乐老师的先行代数技术篇也是可以一起购入的，这样可以优惠一些。好的，今天二期考研数学第一条视频就到这里，后面呢，我会持续更新二期考研数学规划，祝大家一年之后呢，顺利拿下。

发生了一些变化，咱们来说啊，数二的，数二的，也有一些值得讲的题，但是听整体来说，难度并不算大，但是他有一定的技巧性啊，还是有一定的 综合型好，咱们来说一下啊，第一题，不用说了啊，这比较简单，咱们就不说了，直接过了啊。第一题，嗯，第二题，这微方程，这也不说了啊，简单的咱们就不说了，咱们说稍微有点难度的啊，适当说点有点难度的，太简单的咱们就简单一过就行了啊， 那么前两题难度都不大啊，虽然说是有点难度，但是难度都不大啊，他跟二四年到二五年基本持平啊，没有太大的变化 啊，这是这个，嗯，第三题，也不说了啊，这难度都不大。第四题，这个是前面看过啊，基本上是整体的原题。第五个，这个树一说过了啊，再也不说了，嗯，你可以听树一那个。 第六个，这就是反函数哎，简单说一下就行了啊，这没啥说的。那么你看，首先人家说 g 和 f x 是 反函数，那 g 零那谁，那就是它的 y 的 零，它的 x， x 的 外的零呢？就是 f 多少等零， f 一 等零，那就是等于吹一，它就等于 x， 那 么 g x 一 撇，或者是 g 零一撇，那就等于 f e e 撇分之一。哎，这一算就行啊，都很简单。不说了，这个有价值的题，就这个。第七题啊，这是二重积分的一道题，考的是二重积分的第， 哎，这个题是有一点点难度的啊，咱们来看一下，是函数 f x y 在 区域哪儿？ x 大 等于零，小等于一，外大等于零，小是个正方形的区域。哎，正方形呢，考定义是非常合适的，对不对？正方形区域考定义是非常完美的，人 家还说了，且 f x y 等于 f y x， 也就是说这个区域这两个区域 还是关于 y 等 x 对 称。哎，并且函数关于 y 等 x 也对称，那就可以二倍啊，这种是可以二倍的，这就是什么？这就是基友性的推广，也就是积分区域关于某条线对称，并且函数关于这条线也对称，那就可以二倍啊，这没啥问题，可以二倍的。 那咱们来看一看啊，它原来的定义，它应该这样，那直接等于厘米，它 n 去无穷大，那么 i 从一到 n， 哎，这个是 g， 从一到 n， 它都是 一二零到一，嗯，这是没问题的，那都可以是到 n， 嗯，好，那这是 f， n 分 之二乘以 f， n 分 之几乘以 n 平方分之一，都是正对，人家输，他输了什么？输了？关于它对称， 那你得利用对称线，对不对？那第一问没用上啊，哎，那咱们就把它按照你可以等于上面的二倍，也可以等于下面的二倍，对不对？那么如果等于上面的二倍，那就是厘米，它 n 趋无穷大，那么啊，等于上面的，上面的，那就是。假如说啊， x 从零到一，那 i 从一到 n， 那 么 g 就 不一样了， g 是 从谁？从 i 到 n， 因为它是，这是 y 的 x， 那 g 的 等于 x， x 是 i， 嗯，那就是 f n 分 之 i， n 分 之 j 再乘以 n 平方分之一，嗯，这是可以的啊，没什么问题。那么多少二倍，哎，这是上面的，你也可以下面的，对不对？ 那么一看二倍的，这两个都不满足啊，都不满足，这是什么？这是二 n 分 之 i， 哎，那如果等于二 n 分 呢？二分之，这样就是分成二 n 分， 那应该是厘米的 n 去了 i 从一到二 n， 那 么 g 从一到二 n， 然后 f 二 n 分 之二，哎，还有二 n 分 之 g 再乘以多少？那是二分，那就是二 n 分 之一，再乘以二分之四平方分之一，那这样是对的啊。哎，这样也是可以的，没问题。 好，那么同样他可以二倍，嗯，好，他二倍可以分成，也可以分成上，可以分成下。哎，好，那如果是用第二这一段呢，对不对？那你也可以。 哎，他可以，谁也可以 x， 嗯，好，他还用上面那部分吧，还是 x 再看有没有。那就是二倍的厘米的 n 去无穷大，那么 i 从一到二 n， 那 g 呢？ g 就 从多少 i， 对 不对？ 到 n， 这上面这一部分，那是 f 二 n 分 之 i 乘以 i 二 n 分 之 g 再乘以四 n 平方分之一。 好，那如果等于下面这个部分呢？下面这个部分呢？就这样写。等于二倍的厘米到 n 去的，那么 好，那就是 i 从一到二 n， 那 么下面这一部分，下面这一部分 x 从零到一，没有问题。 i 从一到二 n， 那 y 呢？ y 从零到 i， 那就是 g 从零到从一到二啊，从零到二，从一到二，嗯，是 f 二 n 分 之二，乘以二 n 分 之 g 再乘以四 n 方分之一。约，哎，你看有没有选项有 d 啊，所以说这个定义就很好啊，这个考的就。哎，用马轮换对称性，这考的就非常棒。嗯，好，这个也讲过了，第八题讲过了啊，这个就是用相互和现金表示。嗯， 好。然后这个第十题也没啥说的啊，都不难。嗯，就这个选择题有点难度，其他的相对都还好。好，这是数二的啊，数三的也有一个有难难度的啊，咱们说一下数三的，对，嗯， 数三的也有一个有点难度的。嗯， 好，数三的选择题，这前面这都没啥难度啊。哎，第三题有点难度啊。啊，这个没有啊，第四题，第四题。嗯，第四题是个新题型啊，之前从来没说过啊，从来没出过，咱们就说一下啊， 好，来看一看啊。设 t 时刻，某证券的交易单价是 p t 是 t 时刻是 t 时刻就是某一时刻。哎，交易单价是 p t， 某机构持有的份额是 q t， 若干机构在持有的啊，持有的份额 若干机构在 t 属于零到 t， 持续购入一定份额的证券，则证券的平均购入价格。那就是啊，函数的平均值，对不对？好， 那么来看这 a、 b、 c、 d 四个选项，那就是先求出来什么？先求出来他的，因为他的购入有份额，那份额，那从零到 t 他 是不一样的，那肯定是。哎，首先把 a 和 c 干掉， 对不对？那么你除以的平均值的时候，除以什么？除以份额的平均值吧，因为平均购入价格，你肯定得除以份额的平均值，那 t 十克的减去零十克的，哎，这分， 但是并和 d 没什么问题啊。再数分子，分子，那你除以它的分格，这段时间的分格，那怎么办？那你找总的购置总的价格除以 分格啊，分格的变化，那就是它的平均值，这是没问题的。好，那第一个，那么某时刻的交易价格对不对？交易价格，这个是 时刻决定了任何一个啊，任何一个时刻加加一个都有。再乘以什么？再乘以很短时间的分格，那什么 就是 d q t， 因为 q t 是 某一时刻的，那很短呢，就是微元，对不对？哎，好， 那就等于零到 t q t 乘以 p t 啊， q t 一 撇乘以 p t t t。 嗯，这你也可以看成 q t， 看成增量。哎，增量啊，某一时刻价格 a 乘以它的增量加起来，那就是 从零十克到 t 十克这一段所有购入的价格再除以总价，再除以什么？再除以他的风格的均值就可以了啊。啊，所以这选地啊，这个是比较明显的， 其他的难度相对来说都不大啊，都不大。嗯，好，这是这个初一说过了啊。哎，所以说这是这一年啊，也就没几个啊， 难度，这个包括这个啊，直接处理一下就行了啊，这是个常数，算出来。嗯，这个呢，就可以看到二减 x 分 之一，求导对不对？那直接它就等于多少？把二分之一提出来，那就是 二分之 x 的 n 次方 n 从一到无穷，我们直接出来了啊，好，这都是相对比较简单的题目啊。