数二26年函数连续性

我们今天来讲一个知识点，是分段函数它的一个连续性和可导性的一个问题。那么分段函数针对于连续性和可导性，我们在做题的时候会出现什么样的一个情况呢？它会有哪些出题的形式呢？ 我们先来看第一个，就是分段函数在分界点处连续性啊，看连续他是怎么考，他的考题往往是这样考，就是已知连续，让我们去求参针对于这个知识点呢，我们所用到的知识就是把 连续性的这个定义背过就行了。那么函数在某个点处连续，就是指它的左右极限都存在，并且与该点的函数值相等，而在分段函数的分界点处也是一样的道理。比如给大家举的这个例子哈， 这个题呢是考点分析五十三页例题一杠六十九的题目啊，大家也可以去看一下。呃， 那么这个题目呢，它是一个分段函数，告诉我们在点 x 等于一处连续，问我们这其中的参数 a a 是 不是在分段函数的某一段上呀？那么我们在求解这种题目的时候，就是用到了这个核心，去把它的 这个点的一个左极限和右极限写出来，并且与他的函数值进行比较。那么这里需要注意的一个问题就是大家先来看哈，我举了两个题目，第一个题目呢是考点分题五十三的例题一杠六十九，第二个题目呢是这个是例题一杠六十八啊，一个是六十九，一个是六十八， 他俩的区别在于，有没有发现这个题直接是 x 去向于负一，不用分负一的左极限和右极限， 而这个题是 x 圈于零，但是这里分了零正和零负是要分左右极限的，对吧？这是连续性常考的两种题型。那么首先这个为什么不用分左极限呢？我们来看它的函数表，它的那个分段，函数的表达是，它这里是用等号和不等号进行分段， 那么我们这里去求 x 趋向于负一时，那一定是选择这一段啊，因为趋向于负一是指他永远都到不了负一，而这里表达式只有这一个，所以我们就不需要进行分段了啊，他 在负一这个点是 a， 那 负一的左边和负一的右边都是这一个表达式，所以就不用分段。那这个为什么要分段呢？来看 它是以零进行分段，但是大于零时是 x 分 之四， ax 是 这个表达式，但是小于零时，它就变成了一减 a 一 的 x。 有 没有发现在零的左边和右边它的表达式不一样，所以这里我们要求极限的时候就要分左右极限， 这个可以进行区分，就是看一下这里是大于等于号，还是等于和不等于号就可以了。好，我们先来看第一个，那么我们去求他的在负一这个点的极限，发现求出来结果是负四，这个过程就不给大家参数了哈。然后我们再来看他的函数值，函数值是不是等于 a 啊？所以说呢，就说明 啊，这个函数值和极限值相等，求出来 a 等于负四，很简单，是吧？然后我们再来看这个，这个呢就是稍微复杂一点，先求他的右极限是 a， 左极限是一减 a， 那 这里不就是左右极限都存在且相等吗？就是一 a 和一减 a 相等，得到 a 等于二分之一。有没有发现这个题我们没有用到函数值 f 零啊，其实这个并不是说一定要用啊，如果说我们发现光靠左右极限能够取出来，这个也可以不用写，写上也行， 然后 f 零怎么求呢？零等号是不是在这里？那这样的话就带到这个表达式中，它就是一减 a 一 的零次方，也就是什么一减 a， 对 吧？函数值是一减 a， 所以 应该是 a 等于一减 a 等于一减 a 啊，其实还是这个式子就做完了。 这是分段函数连续性的问题，这个还是相对来说容易一点，大家注意，需要注意的是，连续性是用这个公式，那么与之相区别的是分段函数可导性的问题。 可导性的问题呢？我给大家总结了三个考点，第一个是已知可导求参，这是一个常考的问题。第二个给你分段函数，求他的 导函数。第三个给你分段函数，只求分段点或者是分界点的导数啊，这三个问题。首先第一个问题呢，我们先来看这个已知，它是可导的求参， 注意这种和连续性求参，虽然都是求参，但有没有发现这两个公式不一样，这个是用的 极限的这个连续的公式，对吧？那么这个呢？这个是用的导数定义的公式，虽然都是用极限这个方法进行计算，但是所用的公式工具是不一样的，这个是套的导数定义的公式。所以说，比如我们来看这个题考点分析啊，其实 七十七页练习二十一啊，这是七十七页，七十七页练习二十一的这个题目，好，给到我们分段函数，并且告诉我们它在分 段点或者分界点处是它的导数是存在的，让我们求餐，那我们再去求的时候啊，要也要求左右极限，但是注意其实求的是左右导数，有没有发现我们带的是这个表达式 啊，那么在这个表达式最后发现它的右导数是 a， 左导数是负二，这样一来呢，我们直接令，因为它的导在这个点的导数是存在的吗？直接令左右导数都存在就可以了，所以解出来 a 是 等于负二的 公式是不一样的哈。那么我们再来看，如果说让我们去求这个分段函数的导数呢？注意这个呢，是需要我们分三部分去求，分哪三部分呢？ 大于零的时候，小于零的时候和等于零的时候。其中等于零是必须要用导数定义去求的哈，是必须要用导数定义的，那比如这个题好，我们先去求大于零的时候，他的导数就是对他求导直接被公式 小于零的时候，对 x 求导直接被公式等于零的时候，看到没跟上一个求参使用到的导数定义公式是一样的，必须要用这个，然后代入，发现他的右导数是一，左导数是一， 左右导数都存在且相等，说明在分段点处，也就是说在零这个点，他的导数是存在的，并且导数值是一，这个时候我们就可以下结论了，下结论的时候注意， 大于零是这个表达式，小与零是这个表达式。接下来我们要去写等于零的情况，然后呢，我们发现 当 x 等于零的时候，其实是可以和这个大于零和小于零放一块的，比如答案给到的是把这个等号和小宇号放一起，等于零的时候是等于一，是不是满足的？但是有同学说，老师我想跟着大于号啊，也就是我想把这个表达式写成这个样子，可以吗？ x 加一分之一一，然后 x 大 于等于零和 x 小 于零可以吗？这个也是可以的，因为你看如果等与号在这里，我们将 x 等于零带到这个表达式里，零加一分之一，他是不是也是一啊？他也是满足这个条件的，所以等与号跟 他俩哪个都可以，这是这个题目，但是如果有的题目他只符合小宇号的话，那我们就只要只能跟着小宇号，甚至于说有的题目他在分段点处，他是不可导的，那我们就只能够写大于零是这个啊，小于零是另一个， 然后等于零就不用写了，因为他在等于零处不可导啊，有好几种情况，到时候我们具体题目具体分析，那么还有就是之间大家容易搞混的就是关于他求啊， f 一 撇 x 和 f 一 撇零这两块容易混。注意，如果我们题目只让我们去求分段点或者分界点这一个点的导数的话，我们只用导数的定义去求左右导数就可以了， 不用再分区间去求了。就像这个题目，我们分了大于零的区间，小于零的区间，那么在第二个题目中，这两块就不用求了， 那还是这个题目。如果只让我们去求 f 一 撇零的话，我们只需要去求在零这个点的右导数、左导数，发现这两个导数是存在且相等的，那直接下结论说 f 一 撇零等于一， 这个是更容易一些，大家一定要看好题目，不要说只让我们去求分段点啊，完了之后，大家还求了这两块，那题目不就变得更复杂更麻烦了吗？对吧？啊，这个呢，其实是因为一模考试的时候，嗯， 然后有一个题目涉及到了分段函数，它可导，让我们去求两个参啊。针对于这个问题，呃，大家关于这几个点有些 迷惑，所以说我又录了一个视频讲了一下啊，主要去区分。首先，连续性的考法往往是告诉我们已知连续求餐，那么这个地方需要注意的是，有些需要分左右极限，有些不需要分左右极限啊，然后我们只需要求左右极限和函数值，然后让他们相等就可以了。 第二个呢，就是连续性分段函数可导的问题。可导的问题呢，常考的有三个题型，第一个是告诉我们可导求餐， 可导求餐和连续求餐的区别在于他们用的公式是不一样的啊，这个是用导数定义的公式。第二个呢，就是要区分他是让我们去求分段函数的导数，还是只让我们去求分段点的导数啊？这两个进行区分。

极限式中同时出现了 n 和 x， 看清本质是关键挑战期末不挂科一百题之二十四题来看这道题目，这道题目已知一个函数 f x， 它是由一个极限来定义的，那这个里面呢？又有 n 又有 x， 我 们去看一下谁是变化的？ n 是 趋无穷的， n 它是变化的。当我们对这个函数的自变量 x 负一个值的时候，带到这个极限里面，它就是个常数。所以说这个问题，其实它算的是 n 趋无穷时的一个极限。那我们来看一下这个极限呢？我们应该是对它比较熟悉的，可以看出来这个极限值和 x 的 范围是有关系的。 当 x 的 绝对值大于一的时候，那我们这个 f x 呀，它就等于做一个变形向下同时除以 x n 次方， 很明显， n 趋无穷的时候啊， x 绝对值大一的时候，这个 x n 次方分之一，肯定是趋于零的，所以最终结果呢，就是一。那当 x 绝对值小于一的时候， 这个 f x 小 于一， x 绝对值小于 x n 次方，它就趋于零，所以它最终结果就是负一。那还有两个点我们没有讨论，当 x 等于一的时候，当 x 等于一的时候，你把 x 等于一带进来， 分母它是一加一，分子就是一减一，结果就是零。那当 x 等于负一的时候，我们发现如果 n 它是等一个基数，那分母就为零了，所以 x 等于负一，它是没有定义的。 f x 在 x 等于负一的时候，它是无定义的，无定义的。 然后我们看这个函数 f x， 我 们就可以给它具体的写出来了。 x 绝对值如果小于一，它的函数值就是负一， x 如果等于一，函数值就是零， x 如果绝对值大于一，那它就等于一。好，那么这个函数 f x 呀， 我们就可以给它具体的写成这样一个分段函数的样子。下面来看函数 f x 它的连续性。那么我们通过这个分段函数可以知道啊，它在负一到一这个区间上，它是一直等于负一的，小于负一大一的时候是等于一的，那也就是说 f x 它在 负无穷到负一，负一到一开区间，在并上一到正无穷这个区间， 它都是连续的，因为是等两等于两个长值函数，对吧？在这些地方它都是连续的，那我们需要关注的是在一和负一那两个点，在 x 等于一的时候， x 等于一的时候，我们要去看它在这点的连续性，当然就是用的连续性定义了 f x 在 x 零点的连续性，我们就去看它在这点极限值是否等于它的函数值。那来看一下 x 去一的时候，它的极限值。 f x 在 x 去一的时候，它的极限值。由于在一的两侧，它的函数是变变化的，一个是等于负一，一个是等于一的，所以我们这就分两侧来看了啊， x 从左侧去一的时候，你的 f x 带的应该是第几段？应该是第一段函数就是负一，对吧？ x 从右侧去一的时候，你带的应该是第三段函数，它的极限值就是一，那很明显左右极限不存在，所以 f x 在 一这点极限也是不存在的，不存在的，那么它在这一点就是 f x 在 x 等于一是不连续的，不连续的，那又由于 f x 它在 负一，这点它是无定义的，所以 f x 这个函数，它在 x 等于负一的时候也是不连续的，不。

如果有一个函数是一个 a 加 x， x 方加一是个 b b x， 当 x 小 于等于零，当 x 大 于零小于一，当 x 大 于等于一， 那问问 ab 取何值时，那么 f x， 它是一个连续的。这样的一个题，我们在考试的时候倒是比较有可能会出道，因为它的整个定义域里头都是连续的。 这个地方前两个都是多项式，这个其实是没有任何问题的，因为多项式本来对 x 一 点要求都没有，那这个地方的 x 分 值这个地方其实还要稍微考虑一下。 x 既然放在分母上， x 有 什么要求？不能等于零， 那这个 x 能等于零吗？为什么？答，等一，所以这个 x 不 等零，不需要考虑了。那么这里边分段函数主要的就是它这个分段点，它这个题的分段点有俩，一个是个零，一个是个一。好，我们看一下这个零，我们从零的右边逼近 f x， 它从零的右边，它的表达式是个 x 方加一， x 趋零，这个极限是个一，那我们再从零的左边比记它从零的左边，它比零其实是要小的， 它比零小，是一个 a 加 x， x 去零，这个就是一个 a， 因为它在零处是连续的，所以它的左极限和右极限其实是相等的，所以这个一和这个 a 是 一样的，所以 a 就 等于一。再看在一，这个点也差不多，那么 x 趋于一正， f x x 趋于一正， 那比一大，就是 x 分 之 b， x 小 于一，这个极限是个 b， 没问题。好，我们再看 x 小 于一负， f x x 小 于一负，它其实是比一小比一小，它其实是一个 x 方，加上 e， 当 x 小 于一负， x 小 于一，这个极限是个二，那和这个 b 这不是相等吗？所以 b 就 等于二， a 就 等于一就可以了。

好，各位同学们，大家好，我是数学建模老哥团队的陈老师，那么这一次我们继续给大家讲数学分析的期末考第二部分，一元函数的连续性部分。 那么上一次我们讲完了极限，那么这次我们要通过极限来定义连续性这样一个概念，那么大家也不用去纠结太多的定义方面的东西，什么叫连续性呢？大家知道几点？第一点， 它是定义是怎样的？如果说我 x 零这一个点，函数 f x 在 x 零这一点，如果极限值存在，并且这个极限值刚好等于函数值， 那么我们此时就称 f x 在 x 零这一点是连续的，这是它的定义。 x 趋向 x 零的时候，那么我们称 f 在 x 零连续 好，它是这个定义，那么自然它有一些等价定义，对吧？比如说 x， 我 可以把它看成 x 零，加上一个 delta x， 那 么它又等价于什么？等价于 limit， 当 delta x 趋向零的时候， f x 零加上 delta x， 这个极限值等于多少？等于函数值，对吧？也等价于什么？等价于 limit derta x 趋向零的时候，我把它减过来，对吧？就是 f 什么 x 零加上 derta x 减掉 f x 零，这叫函数值之差，对吧？当自变量之差趋向零的时候，函数值之差趋向零， 那么我也可以换一种写法，你看这里，如果我把 x 零看成 x， 我 可以把它写成这样，我也可以把它写成，写成 x 曲线 x 零的时候，不是 f x 曲线 x 零吗？我可以写成 f x 减掉 f x 零等于零，对吧？ 所以说 f x 在 x 零连续这一点其实有非常非常多，下面这些其实都是它的等价定义， 等价定义两点，第一点你可以用极限值等于函数值去定义，你可以用第二种定义方式，你可以用 自变量变化之差趋向零的时候，函数值之差也趋向零去定义，其实它都是一些等价定义，对吧？好，那么这个东西称为 f x 在 x 零一点连续。如果函数在一个区间里面的每一个点都连续，那么我们就称这个函数在区间里上连续，对吧？ 就称为它在区间上连续，或者把 f x 称为这个区间上面的连续函数，它就是这样的一个定义。 那么大家从这里就能体会到，如果我要证明，要你证明函数在某一点连续，你就证明上面的一二三四四个式子，不管你征到哪个都行。 如果我要你证明一个函数在区间上面连续，也就说一个函数所有点都连续，处处连续，你就应该证明这个函数在区间上的所有点都连续。怎么证明所有点都连续呢？那么我就在区间上面所有随便取一个点， 随便取一个点，如果我都能证明到它的极限值等于函数值，那就可以了，对吧？我都能证到极限值等于函数值，那就搞定了。 好，这就是这样一个这连续性的一个思路啊。那么接下来还有说一点，大家在学极限的时候学过左右极限，对吧？左右极限，一个函数的极限存在，单且简单，它左极限存在，右极限存在且相等，对吧？ 那么左极限值等于函数值，我们就把它称为什么，就称为左连续，这个大家都知道，对吧？如果右极限值等于函数值呢？就称为右连续， 这个比较简单的，我就迅速过一下。所以极限值等于函数值，当前简单。左极限值等于函数值，且右极限值等于函数值，当前简单。左连续且又连续。 没问题啊，所以说连续函数在一个点，连续单且简单，他在这一个点既是左连续的，又是又连续的。 那有些同学可能会说了，老师，你搞那么麻烦干嘛？我正极限值等于函数值不就好了，我干嘛还得分左右正两边啊？大家听清我这句话，一般情况下来说是不用去分左右的，但是有一种情况就是，有的时候他会给你分段函数， 分段函数，它要你判断这个分段点处的连续性，那么分段点左右两侧的函数解析式，它是不一样的，你就没办法去统一处理， 没办法统一出力，你就他左边一个解析式，右边一个解析式，你就只能算下左极限，算下右极限，你就得左右极限分开处理去做。能懂我这意思吧？好，那么我们接下来来看几个题。第一个题，我们首先来看两个证明连续性的题目，这两个题目也是很经典的 好，什么意思呢？第一个题告诉你， f x 满足一个这样的方程，对于任何的 x y， f x 加 y 都会等于 f x 加 f y， 他 叫你证明什么呢？证明这两句话等价，一句话叫做 f x 在 零处连续， 第二句话叫做 f x 处处连续，他叫你证明这两个东西是等价的。什么意思啊？ 意思就是零一点连续，我就可以推出所有点连续。那么你看，我右推左，其实是显然的不用推， 为啥右推左是显然的处处连续，所有点都连续了，所有点全都连续了，零当然连续了，所以右推左不用推，关键是左推右，怎么推？左推右其实是告诉你，只要我零这一点连续， f x 就 处处连续。为什么会这这种事呢？ 因为 f x 满足这样一个函数方程，对吧？满足这样一个函数函数方程，它是一个限制条件。 那么我们来看一下我们条件是什么？条件是已知在零处连续，也就说已知 x 趋向零的时候， f x 等于 f 零，这是知道的，对吧？这是我们现在知道的。 好，知道这个我要挣什么？我要证明任取一点 我要证明任取一点 x 零 f x 曲线 x 零的时候，如果我能挣到 f x， 极限是 f x 零，如果我能挣到这一点，那就挣完了，对吧？ 那就挣完了。所以其实是一件怎样的事呢？我已知零处的函数极限值等于函数值，正面 x 零处的极限值等于函数值。好，接下来我来变啊，你看怎么变？ 先看上面这个式子，先看这个式子，这个式子的话，其实什么时候我才能把零带进去呢？只有这个部分趋向零的时候， 你看这是条件，只有括号里面去向零的时候，我才能把括号里面的 x 换成零，对吧？好，注意啊，这是精髓， 这是最精髓。你现在 x 去向 x 零，所以你不能直接把它换成零，不能直接把它换成零，有什么办法呢？其实我们可以这么来做， x 去向 x 零 f。 那么你看啊，这个 x 我 是不是可以把它写成 x， 减掉 x 零，再给你加回 x 零，没有变吧？这个是恒等变化，没有变，对吧？好，继续往后走。由条件 啊，我这里没有 f y 减 x 零加 x 零，这没有变。有条件， f x 加 y 等于 f x 加 y， 所以 我把这一块看成 x， 这一块看成 y 的 话， f x 加 y 就 变成 limit x 趋向 x 零， f x 减 x 零，加上什么 f x 零，好，往后坐，你看现在这一个部分我就好了。 为什么好了呢？我前面说这个式子，我就刚才说了括号里面这个地方如果是曲线零的话，那么我这个东西可以直接把零带进去。你看 x 曲线 x 零，我问你 x 减 x 零，是不？这一块是不是曲线零啊？ 这个是曲线零吧，既然这一个曲线零，根据零处连续的条件这个曲线零，所以这个就曲线 f 零，后面是 f x 零。赵超，我再用一下条件， f 零加 f x 零，就是 f 零加 x 零，等于 f x 零。 有没有看懂我由什么呢？我由零处的极限值等于函数值，就推出了任取一点 x 零处， x 零处的极限值都会等于函数值，从而 f x 在 x 零处是连续的，又由于 x 零是我任取的一点，它都连续，所以 f x 叫做什么？处处连续， 对吧？处处连续。好正，完了，看懂了吧？所以零处连续，可以推出处处连续。处处连续，当然可以推出零处连续，所以 f x 它就是一个什么连续函数。那么这个题我们写到这就完全做完了。好吧，就已经做完了。 好，那么我们继续，继续往下啊，继续往下。 那么我们来看下下一个题，题说的是什么？他说 f x 这个函数啊， 在零到一这样一个开区间里面是有定义的，什么叫有定义呢？就每一点都有函数值，对吧？好，他告诉你，现在有两个函数，一个函数叫做 e 的 x 次方乘以 f x， 还有个函数叫做 e 的 负 f x 次方。现在告诉你，这两个函数在零到一里面都是单调不减。 什么叫单调不减呢？类似于单调低增，只不过是带等号的，也就说从 x 一 大于 x 二，可以推出 f x 一 大于等于 f x 二，这叫单调不减，不会减少，对吧？不能说一定严格增， 但是它不会减少。好，我们来看一下，为什么这两个函数单调？不解，我就能推出 f x 在 零到一这个区间是连续的，这个东西是为什么？我们来解一下，看一看。 你要推连续，你就要推什么呢？既要推左连续，又要推右连续，对吧？那么这个题我们只有左右分开做，具体左右分开做怎么做呢？我给大家画个图， 这边是零，这边是一，这里来一个点，叫做 x 零， 好，来一个点叫 x 零， x 零是零到一里面任取的一点，任取的一点，那么我只需要证明这个点处连续就行了，对吧？ 好，怎么正它连续呢？大家想一下，那么我将正极限值等于函数值，那么我自然的，我先来证明，它左连续，或者先正它右连续，我先正一个， 怎么正呢？我觉得它旁边先取一个点，对吧？旁边先取一个点。好，所以我这边取一个点，比如说我正右连续吧，我这边取一个点，叫做 x 零，加的它 x 好 了， 这边取个点叫 x 零加 delta x 好 了，那么你看一下啊，因为取在右边，我就设 delta x 大 于零， 那么根据条件， e 的 x 次方乘上 f x， 它是单调不减的。由于 x 零加， delta x 比 x 零更大，所以我马上就知道了。 e 的 x 零次方乘上 f x 零 小于等于 e 的 x 零次方加的它 x， 然后 f 什么 x 零加的它 x， 它单调不减，对吧？好，再看后一个 e 的 负 f x。 注意啊， e 的 负 f x 次方单调不减，我就等价于负 f x 单调不减，这个能理解哦， 我就等价于负 f x 单调不减，负 f x 单调不减，我就等价于 f x 单调不增， 我就等价于它单调不增。既然它单调不增，由于 x 零比 x 零加得它 x 小， 所以 f x 零呢？就反过来，由于它单调不增，对吧？所以你想想谁大 单调不增，单调不增，所以应该这边更大。我看一下啊，单调不增？对，单调不增，它不会增加，所以左边应该更大。好，也就说得到了两个式子了。 两个式子，我们稍微来整理一下啊。从第一个式子你看，我两边可以把 e 的 x 零之分约掉，所以从第一个式子我可以得到 f 什么 x 零加上得它 x。 从第一个式子我可以得到它大于等于多少？大于等于 f x 零乘以 e 的 负，得它 x， 对 吧？ 从第二个式子我可以看到 f x 零加 delta x 小 于等于 f x 零。 好，那么大家注意看啊，由于 delta x 是 正的， 所以我这个式子两边令 delta x 趋向零正。注意，不能趋向零负啊。 delta x 大 于零，所以只能趋向零正。它趋向零正这个东西，极限自然就是 f x 零，这个趋向零正，那么 double x 趋向零正负的 x 趋向零负，零负当然也是零， e 的 零，次方是一，所以这个也趋向 f x 零， 这个趋向 f x 零。好，两边趋向 f x 零，推出什么？推出中间趋向 f x 零，也就说 limit derta x 趋向零正的时候， f x 零，加上 derta x 往右变化一点点小分量，它的极限只等于 f x 零，说明 f x 在 x 零这一点怎样？是不是又连续啊？说明 f x 在 这一点是又连续的。同理， 我如果把 derta x 取在左边，我是不是同理能证明它左连续啊？ 当然我没有再去写一遍了，同学们自己去写一遍，用一模一样的方法，我也可以证明 f x 在 x 零这一点左连续。那好了，一个函数在 x 零这一点既左连续又连续，就说明在 x 零这一点是连续的。 我们再往后看，由于 x 零这一点是零一这个区间里面任取的一个点，任取一个点，他都连续，所以 f 在 哪？在这个零一这个区间里面应该是怎样？应该是连续的， a 是 不是就挣完了， 对吧？所以你看啊，这个题其实很神奇，从两个连续性啊，从两个单调性，我既然能够推出连续性，很神奇，对吧？很神奇。好， 那么讲完连续性，接下来讲一个可能稍微难一点的点，叫做一致连续性。虽然这个难，但是他在数学分析里面非常非常重要，一致连续性。什么叫一致连续性呢？我先说一下什么叫连续性，我们深入的剖析一下连续性。 什么叫连续性呢？就是如如果 x 零这一点连续的话是什么意思？就是 x 趋向 x 零的时候， f x 极限是 f x 零，对吧？这是什么意思？ 这是我竖的 y 轴上面任取一个 epsilon 大 于零，不管取的多小，我们都能找到一个的它，对吧？的它当什么？当 x 减 x 零落在，只要它落在 这个领域里面，也就说只要 x 落在 x 零的德塔领域时， f x 减掉 f x 零就会小于 epsilon， 对 吧？好，这是连续的定义，大家注意一下啊！ 大家注意一下， x 零是一个点，它连续，我任取个 epsilon， 我 在取 delta 的 时候，大家想这个 delta 跟什么有关？这个 delta 跟 epsilon 是 会有关系的，这个 delta 跟什么？跟你这个点 x 零也会有关系， 对吧？如果你这个函数图像相对平滑一样的 epsilon， 如果你函数图像相对比较平的话，那么这个 delta 就 可以稍微取大一点。 如果这个函数图像非常陡的，它就要取得非常小才行，对吧？非常小你才能满足， x 离它充分近， f x 才会离它充分近。所以这个哎的它既跟前面的 epi 有 关，也跟 x 零有关。 跟 epi 的 关系很简单，一般来说 epi 越小的，它要越小，对吧？跟 x 零的关系。一般来说， x 零这个位置图像越陡的话，那么这个的它一般来说 x 零有关，也跟 x 零有关。 如果 f x 在 一个区间里面啊，它是连续的，并且我对每一个点去考察这个定义的时候，得到的这个的它只跟一撇有关，跟 x 零是没有关系的，那么此时我们乘这个函数在这个区间上是一致连续的。 所谓一次连续，就是我主点去考察函数连续性的定义的时候，那个 delta 仅仅只取决于 e p o， 而不取决于 x 零，那么它叫一次连续。或者换句话来说，什么叫一次连续？ 就是这样子的，在这个区间里面，任意取个 e p o 大 于零，我都能找到一个 delta， 不 管你 x 在 哪，只要 x 减 x 二，只要 x 一 减 x 二小于 e p o， 那 么则就有 f x 一 减 f x 二小于，这个是德塔，只要 x 一 减 x 二，在零到德塔之间，不管你 x 一 x 二在哪，在这个区间里面，它减完之后都小于一位数，对吧？则称 f 在 这个区间 i 上是一致连续的。所以注意啊，连续跟一致连续的区别在于，连续的话，它这个 delta 是 跟这个 x 零有关的。一致连续的话，这个 delta 仅仅取决于 x 一 x 二中间的距离， 对吧？这个 delta 仅仅取决于 epi， 也就说它跟 x 零没有关系。只要 x 一 x 二中间的距离比 delta 更小，不管你 x 一 x 二在区间哪个位置，函数值之差都会小于 epi， 这叫一致连续。 好，我们来看一下啊，一次连续的几个判别法。一个比较简单的，我说如果 f x 一 减 f， 如果函数满足这样一个性质， f x 减 f x y 小 于等于 l 倍的 x 减 y 横成立，那么 f x 一定是一次连续的。为什么呢？我证明一下， 你看，我任取一个 e p o 大 于零，我看看我能不能找到一个的它， 看看能不能找到啊。当什么只要我 x 一 x 二 x， 只要我 x 一 减 x 二， 在零到的它之间，我就有 f x 一 减 f x 二小于一匹喽？我看这个德塔能不能找到，只要能找到，那么就完了，找不到，那就不是一致连续。怎么找呢？我看一下，我这么来看， f x 一 减 f x 二等于什么？它是不是等于 l 倍的 x 一 减 x 二。 好，由于 x 一 减 x 二，我要想让它小于 epsilon， 我 只要怎样，我只需要 x 一 减 x 二小于多少小于 l 分 之 epsilon 就 行了，对吧？所以我得它就取什么呢？取这个 l 分 之 epsilon 就 行了。 当然， x 一 减 x 二这个连续性，这里可以不用去形连续性可以不用去形，极限要去形连续性可以不用去形。好，我 delta 直接去 l 分 之一 percent 就 行了。那么你看， x 一 小于减 x 二小于 delta， 就 意味着 x 一 减 x 二小于 l 分 之一 percent， 那 么这个乘完之后就小于一 percent。 也就是说，我不管 e p o 取多少，我都能找到一个 delta， 这个 delta 跟 x 零没有关系，只要两点自变量之差小于 delta， 函数值之差就小于 e p o， 从而马上挣出了一致连续。 好，马上挣出了一致连续。那么第二个我教给同学们去自己挣 第二个，直接一步就能转化为第一步，也就说这个式子直接通过一步，你就能转化为这个式子。 f x 减 f y 的 绝对值小于等于大 m 倍的 x 减 y 的 绝对值。怎么转换呢？拉格勒日中值定律。好吧，拉格勒日中值定律。 接下来我要教大家证明一下怎样去证明一个函数非一致连续。好，有一个这样的办法，首先你要证明一个函数在区间里面非一致连续，你要去判断这个函数在哪个点出问题了，在哪个位置有可能不是一致连续的？ 我刚才说什么时候这个 epi 这个 delta 会依赖于 x 零呢？我说如果函数越来越陡、越来越陡、越来越陡的话，它的 delta 就 要越小才行。那么你看它在零到一这个区间， 它在零到一这个区间无限靠近零这个位置，它是不是越来越抖，越来越抖，越来越抖？所以我马上其实可以觉得马上可以直观判断出哪个点有问题，肯定是零这个点有问题。好， 那么我接下来教大家一种方法，怎么去判断非一致连续啊？你要判断在区间 a、 b 里面非一致连续，怎么做呢？如果你可以找到竖列 x n y n， 使得满足两条，第一条是 x n 减 y n， 当然这个 x n， y n 这个数列都得在区间 a、 b 里面跑。如果你能找到两个数列， x n y n， 使得 x n 减 y n 趋向零，但是 x f x n 减掉 f y n 不 趋向零，那么结论是什么？结论是这个函数在这个区间里面是非一致连续的， 很常用的啊。你要判断一个函数在一个区间不是已知连续的，只要你想办法找到两个数列，这两个数列之差是趋向零的，但是这两个数列的函数之之差不趋向零，那么他就是非已知连续这两个数列怎么找这两个数列？你要让他往你觉得有问题的那个点去跑。 刚才我说 x 分 之一在零到一这个点去跑，刚才我说马上可以判断零这个点是有问题的点， 所以我想办法找两个数列都往零跑，这两个数列值差是趋向零，但是这两个数列上的函数值值差不趋向零。如果我能找到这样的数列的话，我马上就下结论，这个函数在区间零到一，不是一致收啊，不是一致连续，怎么找呢？那么你看，我取 x n 等于 n 分 之二， y n 等于 n 分 之一，那么你看 x n 减 y n， 趋向什么？ n 分 之二减 n 分 之一等于 n 分 之一， n 分 之一，当然趋向零了。那么 f x n 减掉 f y n 呢？ 就是 n 分 之二，倒数就二分之 n， 对 吧？减掉 y n 分 之一，倒数一下 就应该啊。 n 分 之一，倒数一下就一分之 n， 那 就等于多少？你看，等于二分之 n 减 n 等于负二分之一 n， 它会趋向零吗？不会，它趋向什么？趋向无穷。 所以我取两个数列，一个叫 x n， 一个叫 y n， 往这个有问题的地方跑，这个数列之差趋向零，但是这个数列上的函数值之差不会趋向零，这就马上下结论。什么下结论？这个函数在这个区间上不是一致连续。 好，这个结论大家务必要记住啊，这个判断方法大家一定要记住好，知道怎么判断不是一致连续了。那么我们接下来说有一个这样的结论，叫做 b 区间上的连续函数一定一致连续。康托定律， 一般来说一致连续函数，对吧？连续函数不一定一致连续，但是一致连续的函数一定是连续函数。如果这个函数是 b 曲线上的连续函数呢？那么我们马上可以下结论， 一致连续。那么这个证明的话，其实是依赖于 b 区间的紧性，会比较麻烦，要用到一些实数理论，可以用有些覆盖定理去做，也可以用 b 区间套去做，等等，需要依赖于 b 区间的紧性，那么我们这里就不去证明，对吧？用 welsh tars 叫波尔扎诺夫拉斯泰拉斯定律也可以做，都可以证出来，我们就不去证。大家记住这个结论，一致连续的，一定连续连续，一般来说不一定一致连续。比如说我刚才这个 x 分 歧，这个函数在零一这个开句间，注意是连续的啊， x 分 之一，这个函数在零一这开区间是连续。有些同学说，哎，老师，不对，零这个点不是不连续吗？啊，大家注意啊，零这个点不在开区间零到一里面啊。所以这个函数在开区间零到一里面是连续的函数，但是 我们刚才证明了他不是一致连续的函数，所以说对于开去见上的连续函数来说，他不见得是一致连续的，但是 b 去见上的连续函数一定是一致连续的。如果考小题，考判断题，这个你要知道，好吧，这是比较著名的康托定律。 那么关于连续性部分，我觉得讲到这里就够了。好吧，那么我们这节课就讲到这，那么下一次课我们就讲一元函数的微分学部分，那么这节课我们就讲到这。

x 趋零，那么大家拿到这个题目以后，应该第一考虑的其实是第二重要极限。我们其实之前是讲过的， x 趋零，一加二 x， 那 我们说这里是个二 x， 外边是不是就是二 x 的 倒数？这是咱讲过的，这地方里边是个啥，外边就是它的倒数，可是你原来是一个三比三 x， 你是没有这个二 x 的， 我再来个二 x 给你抵消这里边的极限，是一个 e。 大家想想很清楚的， x 比三一 x 是 第一重要极限，答案就是个一，二三得 六。第二重要极限的时候，这个方法是给大家教了的，大家也能掌握，但是这个地方其实是有点穿越了，为什么？因为这个底下有 x， 上面也有 x， 这种其实叫位置函数的极限，我们马上就讲。那么这个题如果不穿越这个题的严谨的写法，其实是这样的一个写法， x 区域零， 我先取个 e 的 老 n， 这个一加二 x 的 整个的这一部分，因为这部分写应该写在这， 我把他直接给他朝外拿。我们同学应该是能看出来，现在这一步就是刚才我们说的符合函数，你看整个函数求极限等于什么？把这个求极限朝里拿来看，整个函数求极限等于什么？ e， 从这一步开始求极限朝里拿， 这个是严谨的写法，朝里拿，朝里拿就好来了，来三倍的 lo n， 一 加二 x， 这个地方是个三 in x， 现在这步就好整了， x 趋零，马上用等价无穷角替换三 in x 替换成 x， 老 n， 一 加二 x 替换成二 x x x 抵消二三是个六，所以外边不是还有一个 e 吗？所以就是 e 的 六次方，这种方法其实是比较严谨的写法，但是我们在做第二重要极限的时候，其实你这么写其实也可以。

同学们好，我们今天介绍求极限的，急着不要封口，这个封完呢，特别重要，所以我们今天在这里啊扎场都有一次。 我们以特权为例啊，抓蛇， a 上顶， y 上顶，我们看这种极限，那一般蛇 x 是 来归一的，或者 r 三些的，那么更简单，这个 r 算五赢 啊，九 a 上的 y 上的零，所以就换成了呢，换成了一元函数极限， 这个线的 a 的 充分调节是个常数啊，充分调节，你应该记得它们 a 与细档无关， 一只手呢，对，所有细档这个极限呢，都得承受 a 一 次的啊，一次很重要，得承受 a， 那 么这个弦就得承受 a， 同学们一定要注意，因为这个极限和细长有关，那么这点一定不存在啊，这是用极坐标求极限的一定要注意的这两个问题。让我们讲两大题，来体验一下这个方程。 我们看这个极限啊，这个苹果是 x 四乘，它 啊，加上 y 平方，这是四个函数，那么能不能，能不能根据坐标也可以的，我们这样子，我们令 x 平方，对吗？对 r 不 理解了， 这个 y 点二次线上，我们可以这样数，那接下来 x 四次方加 y 平方，它是得二方， 所以整个底下 i 就 等于零零， r 乘零，我把它带进来，这个 x 方是得 r 整数写的这个 y， 它是得把得 r 整数写的 o 乘三，这方这个字母就化成了 r 方，我们化个减，就会得到 r 乘零 啊，就等到它得到这一个扩散器了，扩散器了绝对值二分之三正方啊，这是二的这个二分之三，这一次方，二分之五正方就二平方，所以这就得到了 这个变化二扩散器了，乘以三 c 的 绝对值二分之三平方，二平方零， 咱们用 b 啊，啊，这一项是个有界函数。呃，这一项是个从小叫零啊，我用有界呢，因为它的极粒子， 这个极粒子呢，这个极粒子小移啊，这个极粒子小移啊，啊加极粒子小移，它是有界函数。 呃，情况下是我们分享，我们根据邮件涵照和邮件的成绩监测率的监测率。这个底线根本与常常和所有信党无关啊，这个底线等于呢，与所有信党 五官啊，你认识的都五官，所以这个题呢，等于是对的啊。这是这一道例题，下面介绍例题 o 啊， 下面我们介绍例，我们这个六级坐标轴极限一个距离啊，凶长例题，咱们看具体怎么做啊， 我们看解法语，我们吃一食 x 的 时候，得 r 不 能写打 y， 得 r 先写打， 因为这个平方和得 r 高，我们这里可以写 r 高领的。 所以不管这个 x， 取正无穷负无穷。不管这个 y， 取正无穷啊，可以考虑这个 r 得正无穷，所以建议来 x 取负无穷啊， y 取无穷啊，负无穷等于等于是转化成的 r 呢，取正无穷，所以整个极限 i， 它是等于零 r 像这个步数，下面把这一个 x 的 r 分 一档 y 的 三减起来，整个分子等于 cos 斜档，找成三斜档， 分母就换成了 x 幺方点 r 方减去 x 和 y 就 换成了 r 方。 cos 斜档 乘以三斜的，我们画个点就得到了厘米二分之五条，二分之一乘以 cosine 斜的， 加上剩下的除以这个一减乘以 b， 把这两个角换成一个整体，所以就得到了二分之一，剩二些了。 好，下面看啊，我写这个来一减去二分之一，剩二些了。 这个三角形的，它的这道是等一，这样的负一要起的是负号，所以呢，当它等于负一时啊，这个一角二等于什么？这道二十， 当三角形的等于是它最小二十，所以这一来就得到了倒过来 分之一，收二十三分之一。 所以啊，这就得到了可想写到加三十写到的例子啊，怎么讲个例子啊？ e g n 分 之一三二，写上 它的极值小于这个三角形的，或者是小于的，小于的，所以整个呢，小于说明整个小于，它小于四。这个结论表明，这一项它是有电函数， 它是有业的。 而且呢，这个二分题呢，像零，要这个二呢，就这么重的，所以这样一来，这就得到整个箭头，它可以零。我们这里用什么呀？有箭含射成小箭是零这几种做法，像这种题 我们也可以吗？用两点法则来处理，所以下面加上减法， o 减法。我们看这个分母，分母是 x 方减 x， y 加 y 方，我们也可以把 x 减二分之 y 平方加四分之三 y 平方， 它把得四分之三 y 方。同理， x 方减 x， y 加 y 方，它大于四分之三 x 平方，那么整个啊， x 加 y 除以 x 方减 x， y 加 y 方， 这个比值等于零的。这就拆了两下啊，它是 a 比值等于啊，上面是 a 比值，说明这个不等于四。当然它是小于 四分之三 x 平方，这一下，它等于 y 的 值小于四分之三 y 方，我们画画点就等于三分之四 h 的 位置，角的位置啊，加上一角 y 的 位置。好，那么这一边 h 九五九八就是一个三点零，你的极限呢？点零，所以呢，有将边加法得 就等他妈整箱得赢，所以我们这种集往往有两种做法，相当于自己呢品尝，认真总结，好，我们今天跟你们分享这么多了。

发生了一些变化，咱们来说啊，数二的，数二的，也有一些值得讲的题，但是听整体来说，难度并不算大，但是他有一定的技巧性啊，还是有一定的 综合型好，咱们来说一下啊，第一题，不用说了啊，这比较简单，咱们就不说了，直接过了啊。第一题，嗯，第二题，这微方程，这也不说了啊，简单的咱们就不说了，咱们说稍微有点难度的啊，适当说点有点难度的，太简单的咱们就简单一过就行了啊， 那么前两题难度都不大啊，虽然说是有点难度，但是难度都不大啊，他跟二四年到二五年基本持平啊，没有太大的变化 啊，这是这个，嗯，第三题，也不说了啊，这难度都不大。第四题，这个是前面看过啊，基本上是整体的原题。第五个，这个树一说过了啊，再也不说了，嗯，你可以听树一那个。 第六个，这就是反函数哎，简单说一下就行了啊，这没啥说的。那么你看，首先人家说 g 和 f x 是 反函数，那 g 零那谁，那就是它的 y 的 零，它的 x， x 的 外的零呢？就是 f 多少等零， f 一 等零，那就是等于吹一，它就等于 x， 那 么 g x 一 撇，或者是 g 零一撇，那就等于 f e e 撇分之一。哎，这一算就行啊，都很简单。不说了，这个有价值的题，就这个。第七题啊，这是二重积分的一道题，考的是二重积分的第， 哎，这个题是有一点点难度的啊，咱们来看一下，是函数 f x y 在 区域哪儿？ x 大 等于零，小等于一，外大等于零，小是个正方形的区域。哎，正方形呢，考定义是非常合适的，对不对？正方形区域考定义是非常完美的，人 家还说了，且 f x y 等于 f y x， 也就是说这个区域这两个区域 还是关于 y 等 x 对 称。哎，并且函数关于 y 等 x 也对称，那就可以二倍啊，这种是可以二倍的，这就是什么？这就是基友性的推广，也就是积分区域关于某条线对称，并且函数关于这条线也对称，那就可以二倍啊，这没啥问题，可以二倍的。 那咱们来看一看啊，它原来的定义，它应该这样，那直接等于厘米，它 n 去无穷大，那么 i 从一到 n， 哎，这个是 g， 从一到 n， 它都是 一二零到一，嗯，这是没问题的，那都可以是到 n， 嗯，好，那这是 f， n 分 之二乘以 f， n 分 之几乘以 n 平方分之一，都是正对，人家输，他输了什么？输了？关于它对称， 那你得利用对称线，对不对？那第一问没用上啊，哎，那咱们就把它按照你可以等于上面的二倍，也可以等于下面的二倍，对不对？那么如果等于上面的二倍，那就是厘米，它 n 趋无穷大，那么啊，等于上面的，上面的，那就是。假如说啊， x 从零到一，那 i 从一到 n， 那 么 g 就 不一样了， g 是 从谁？从 i 到 n， 因为它是，这是 y 的 x， 那 g 的 等于 x， x 是 i， 嗯，那就是 f n 分 之 i， n 分 之 j 再乘以 n 平方分之一，嗯，这是可以的啊，没什么问题。那么多少二倍，哎，这是上面的，你也可以下面的，对不对？ 那么一看二倍的，这两个都不满足啊，都不满足，这是什么？这是二 n 分 之 i， 哎，那如果等于二 n 分 呢？二分之，这样就是分成二 n 分， 那应该是厘米的 n 去了 i 从一到二 n， 那 么 g 从一到二 n， 然后 f 二 n 分 之二，哎，还有二 n 分 之 g 再乘以多少？那是二分，那就是二 n 分 之一，再乘以二分之四平方分之一，那这样是对的啊。哎，这样也是可以的，没问题。 好，那么同样他可以二倍，嗯，好，他二倍可以分成，也可以分成上，可以分成下。哎，好，那如果是用第二这一段呢，对不对？那你也可以。 哎，他可以，谁也可以 x， 嗯，好，他还用上面那部分吧，还是 x 再看有没有。那就是二倍的厘米的 n 去无穷大，那么 i 从一到二 n， 那 g 呢？ g 就 从多少 i， 对 不对？ 到 n， 这上面这一部分，那是 f 二 n 分 之 i 乘以 i 二 n 分 之 g 再乘以四 n 平方分之一。 好，那如果等于下面这个部分呢？下面这个部分呢？就这样写。等于二倍的厘米到 n 去的，那么 好，那就是 i 从一到二 n， 那 么下面这一部分，下面这一部分 x 从零到一，没有问题。 i 从一到二 n， 那 y 呢？ y 从零到 i， 那就是 g 从零到从一到二啊，从零到二，从一到二，嗯，是 f 二 n 分 之二，乘以二 n 分 之 g 再乘以四 n 方分之一。约，哎，你看有没有选项有 d 啊，所以说这个定义就很好啊，这个考的就。哎，用马轮换对称性，这考的就非常棒。嗯，好，这个也讲过了，第八题讲过了啊，这个就是用相互和现金表示。嗯， 好。然后这个第十题也没啥说的啊，都不难。嗯，就这个选择题有点难度，其他的相对都还好。好，这是数二的啊，数三的也有一个有难难度的啊，咱们说一下数三的，对，嗯， 数三的也有一个有点难度的。嗯， 好，数三的选择题，这前面这都没啥难度啊。哎，第三题有点难度啊。啊，这个没有啊，第四题，第四题。嗯，第四题是个新题型啊，之前从来没说过啊，从来没出过，咱们就说一下啊， 好，来看一看啊。设 t 时刻，某证券的交易单价是 p t 是 t 时刻是 t 时刻就是某一时刻。哎，交易单价是 p t， 某机构持有的份额是 q t， 若干机构在持有的啊，持有的份额 若干机构在 t 属于零到 t， 持续购入一定份额的证券，则证券的平均购入价格。那就是啊，函数的平均值，对不对？好， 那么来看这 a、 b、 c、 d 四个选项，那就是先求出来什么？先求出来他的，因为他的购入有份额，那份额，那从零到 t 他 是不一样的，那肯定是。哎，首先把 a 和 c 干掉， 对不对？那么你除以的平均值的时候，除以什么？除以份额的平均值吧，因为平均购入价格，你肯定得除以份额的平均值，那 t 十克的减去零十克的，哎，这分， 但是并和 d 没什么问题啊。再数分子，分子，那你除以它的分格，这段时间的分格，那怎么办？那你找总的购置总的价格除以 分格啊，分格的变化，那就是它的平均值，这是没问题的。好，那第一个，那么某时刻的交易价格对不对？交易价格，这个是 时刻决定了任何一个啊，任何一个时刻加加一个都有。再乘以什么？再乘以很短时间的分格，那什么 就是 d q t， 因为 q t 是 某一时刻的，那很短呢，就是微元，对不对？哎，好， 那就等于零到 t q t 乘以 p t 啊， q t 一 撇乘以 p t t t。 嗯，这你也可以看成 q t， 看成增量。哎，增量啊，某一时刻价格 a 乘以它的增量加起来，那就是 从零十克到 t 十克这一段所有购入的价格再除以总价，再除以什么？再除以他的风格的均值就可以了啊。啊，所以这选地啊，这个是比较明显的， 其他的难度相对来说都不大啊，都不大。嗯，好，这是这个初一说过了啊。哎，所以说这是这一年啊，也就没几个啊， 难度，这个包括这个啊，直接处理一下就行了啊，这是个常数，算出来。嗯，这个呢，就可以看到二减 x 分 之一，求导对不对？那直接它就等于多少？把二分之一提出来，那就是 二分之 x 的 n 次方 n 从一到无穷，我们直接出来了啊，好，这都是相对比较简单的题目啊。