圣诞树三角函数

很简单就是一个三角然后两个三角，三角带一个方啊圣诞树就画好了，我们用哎笔向下带出这个松针的感觉，哎，这期可能要画三颗圣诞树了。为什么呢？我画完第二颗来跟大家讲。为什么可能要画三颗？好的 就是我们这样一直往下画，为什么？因为松针就是这样长的。对啊，就这样一直往下一层一层跟画蛋糕一样然后画下它的树干， 注意因为它是圣诞树啊，就它其实被人为修剪过的所以就是大家不用画的非常的野生，因为野生的话就不是圣诞树啊，就一颗普通的松树啊，对不对哦上面加一颗球。 为什么是球呢为什么不是星星我喜欢球。好的下一颗加星星就能把圣诞小球然后圣诞最重要的是什么？就是彩蛋对装饰就大家也不用画的很细致就这样随便点然后再这样随机的加入一颗像月亮啊， 像一颗蛆啊，我真服了。对啊像妖果星星啊星星他们不是画了不是画爱心爱心然后还除了还挂什么再再挂一个月亮吧一个球然后画些画我的哦画画一个钟吧。好呀好呀零点就是大家喜欢什么呢就就就加什么 啊，比如说我喜欢马，我在上面加一个马哇马嗯然后我我还喜欢啊我喜欢竖哈哈哈哈哈哈。加一个竖然后再加一条蛇吧。可以的我喜欢蛇。好，你看这些大东西加完了我们再随机加这些小点，注意让这个小点连成一条线啊，这样看是彩灯这样绕过来的 就是位置不用很整齐但是要能看见它大概是一条线。嗯好，现在圣诞树就画好了，就是我复制，但大家呢，就手动在旁边再画一颗。 大家好辛苦，但不用画这么细致，真顾大家。哈哈哈，为什么要画第二科呢？好奇怪哦，怎么回事呢？不是要干什么？那是因为我要画雪哦原来是要画有皮要画有皮啊哈哈哈，赶紧把这些装饰给擦了。哈哈哈我不行了呀，好搞笑，大家不用大家不用擦的太谨慎了，就是这样随便擦。我会告诉大家这样擦的用意 的因为雪吗？他不是一个对吧？对的哈哈哈等我擦好大家就知道了好了，滴滴滴滴啊好擦差不多了。然后雪怎么画其实很简单。嗯哼， 像这样要从顶层开始画啊，不要从中间开始画，因为雪一定是先落在最上面，对不对？一个东西肯定是先落在最上面，大家都懂哎那为什么下面有些没有落到呢？因为这个雪在上面积攒了，有些化成水了，有些结成冰了，化成水了就落下去了，结成冰了就固定在上面了，就每一层从最上面开始，然后到底什么形状其实很随机的，你爱画什么形状就画什么形状，就没有人会因为你画的雪不对劲而说你的。因为雪就是一个很随机的东西， 比如说往这里少画一点注意，唯一的注意就是大家不要画太平均了，因为雪他就是每一颗雪花都长的不一样，就是像这种没有被雪覆盖的地方就补一点松针显示出他的层次感。咱们加一点雪花主题装饰大家看啊，就这样。其实大家以为画雪花很难，其实不是的，你只要画几根鱼刺， 画几根鱼刺就行了。 哎，也画彩灯装饰，因为雪花比较大，我就不每一层都画了一层彩灯，一层雪花，再画几根鱼翅，这鱼翅可以长得非常不规则。 哎，这时候可能有观众要问，雪花不是就是六边形吗？老师你怎么画的乱七八糟的？因为是这样子，这里是动画室，这里是漫画世界，这不是现实世界。你看，再加些鱼刺 就。反正一个雪花上面六根鱼刺，七根八根也无所谓啊。嗯，这样加一些小彩灯，把它穿成线，然后最后一层也不画雪山竹，一颗不太雪山竹和一颗普通山竹就画好。

零基础速通三角函数本节课我们直击高一上重点内容，三角函数的概念与定义。温馨提示，本节课过于基础，学霸可以直接划走主播今天只带想提分但基础差的同学，只要你想学，什么时候都不晚。这节课来跟他去讲一下三角函数的概念与定。 我们说三角函数在高中是摆在一个直角坐标系当中去研究的，我们首先把一个角把它给找到，你看这是中边，这是 r 法角，对吧？那我怎么样去定义三角函数呢？首先我们知道由于在这个直角坐标系当中，它的中边肯定是会过某个 点的，而这个点屁，我们可以把它定义成 x， y， 好， 那我把垂直边把它给做出来之后，这一段边的长度恰好代表的是就是这 p 点的纵坐标 y 打横代表的是不就是这个 p 点的横坐标 x， 我 们用勾股定律是不根号下的 x 方加 y 方，那么我把这一段定义成 r， r 是 等于根号下的 x 方加上 y 方的。好，那么我我们有这样的定义的时候，那我怎么样去算 sine？ cosine 可得整数，我要去算 sine。 r 法是对比斜是吧？我们写出来是不是 y 比上什么呢？斜边就是根号下的 x 方加 y 方，我们都知道这是等于 r 吧，所以我们写下应该是等于 r 分 之 y 口算，写出来应该是等于零比斜，那写出来是不是 x 除以啊？那么 tan 减法是对比零吧，也就是说 y 可 x 做一个比值，所以我就可以得到这是 y 比上 x。 那 么在这里一定要保证一个点就是它的斜边啊，肯定是个正数才可以啊，我们以前学过三角函数，在初中是不是都是正数？在高中它是可正可负 负的，那问题就是这个三眼拉法是正是负，你可以发现它是受什么控制，它是不是受它的， y 就是 它的纵坐标控制， y 是 正的，那整个式子很明显是正的，因为我没有加绝对值嘛。 y 是 负的，那整个式子是不是就负的？对 于口塞来说，它是受 x 控制， x 是 正的，口塞 alpha 就是 正的， x 是 负的，口塞 alpha 是 不是就是负的？那最后我们再来看一下天枕，天枕受什么控制，你可以看到它是不是受到 x 和 y， 它之间的比值的关系，换句话说，它们同号就意味着它是正数，同号比一下就变成正数， 一号比一下其实就是负数。所以在这里我们就可以得到一个结论，如果我们要去研究三角函数的正负应该怎么去研究？首先我们可以分四个象限，第一象限我们可以发现三是正还是负， x 和 y 和 x， y 是 不是都是正数？所以第一象限三样勾三样跟 ten 是 不是都是正数？好，那我们来看一下第二象限。第二象限当中三样很明显是个正数，而我们知道此时它的 x 是 不是应该是个负数， 所以我们就可以得到口算就变成负数，而由于是一号，所以看成写下来应该也是个负数吧。那么接下来我们一起来看到第三象限， y 是 不是小于零， x 是 不是也小于零？所以对于这两个来说， sin 跟 cosine 是 不是都是负数？而由于它们是同号，所以 y 比上 x， 最终得到的是不是还是一个正数？ tan 写下来应该也是个正数？好，我们来看一下我们的第四象限， y 应该是小于零， x 是 大于零的，所以 tan 是 个负数， cosine 是 个正数，而由于它们是一号， tan 是 不是也是个负数？ 那么这就是我们对于高中来说三角函数的一个最基本的定义。好，那接下来我们来看一些相关的题型啊。他说如果 sin alpha 是 正数， tan 乘 alpha 是 小于零，他要问角 a 的 中边位于多少项向量？ sin alpha 大 于零，大于零是不是要么是一项线，要么是二项线？摊选 alpha 小 于零是不？要么是二项线，要么是四项线，对吧？最终上所述就是，如果他们同时成立，他应该在第几项线？很明显答案选的是 b。 我们再来看到下一个问题，他说如果 sine 的 绝对值比上 sine x 是 等于负一的话，则角 x 它所在的象限应该是多少？如果我想要比值等于负一的话，那么是不是就意味着 sine x 它必定是小于零？ 由于我现在知道 sine x 是 小于零，它等于负一，那么就意味着角 x 它应该是在第几象限，它是不是应该是在第三或者是第四象限？因为我们知道 sin x 它是在第三或是第四象限的时候是个负数，对吧？所以我们这道题目就很简单，把它给找到，学会了的话，大家来看一下这道题，打出你的答案。苦练十年，不如名师指点！每周我都会在抖音粉丝群分享独家的大招资料，需要的话大家可以进群领取。

大家好，今天我们来讲一下三角函数的定义。当学到三角函数的定义的时候呢，很多同学发现三角函数的定义和我们之前所学的那些函数的定义呢，有所不同。之前我们学的一些函数都是形容什么什么的，叫什么函数。比如说 y 等于 x 的 r 函数方是幂函数， y 等于 a 的 x 方，它就是指数函数等等。那今天呢，我们定义这个三角函数的时候，它是借助了一个叫单位元，在这里呢，单位元其实放在一个坐标系中的话，它是有对应的方程的，我把这个 对应的方程给大家写在这里，就是 x 方加 y 方等于一，那这个单位圆呢？其实就是半径为一的一个圆，都可以叫做单位圆，这个圆呢，它是圆心 在圆点的。然后呢，我们现在怎么来定义这个三角函数呢？他说若有一个任意角，这个角叫做 r 法， 然后它的起始边和坐标轴的 x 轴的非负半轴重合，那么它的中边与这个单位圆就会有一个焦点，而且这里当一个角确定的时候，这个点呢是唯一的，所以我们把这个点呢记作 p， 它的坐标呢是 x y。 接下来咱们就定义三角函数，那这个三角函数呢？首先我们把这个点坐标的 y 的 值叫做这个阿尔法的什么 正弦值，我们就记作这个 y 就 等于塞什么阿尔法，那给一个角度，它对应的一个什么 值，对吧？那这是正弦，那余弦呢？就是 x 等于什么？记作 coser 法，这就是余弦函数。那还有一个，那就是正切，就是 i y 比上一个什么 x， 它就记作谁 tangent 阿尔法，为什么要这么写呢？很多同学可能觉得这样写的怪怪的，那因为这里面我们要去定义函数，这里的变量呢？其实是阿尔法，对吧？当我们把这个角扩充到全体实数，转化成弧度之后，这就是一个一个的什么实数，对不对？然后看一下这里的阿尔法 c 考三，它的 r 法可以全是输出 r， 但是这个 tan 它 r 法呢？其实质上由这个 x 不 等于零，我们可以确定它这里的 r 法是不等于二分之派加上派派的。那现在我们来看一下， 我们一般习惯上不会把一个函数写成这样的形式，对吧？那我们写成什么样的形式呢？那一般的咱们记作什么？一，一般的正，那正弦函数呢？我们就记作什么？ 来看一下正弦就是 y 等于什么 c x， 然后这里的 x 我 们要写它定义它是属于什么 r 的。 当然大家要去研究直语的话，其实这就为什么我们前面 要去写这个单位元的这个方程，这个单位元往这一放，我们先来看一下 x 和 y 的 这个取值范围，它是不是都是大于等于负一，小于等于一的，所以你看一下这里的 c x， y， 对 吧？都在这个范围里。说我们 c x 考 c x， 它就介于负一到一之间，所以它的值域就是实际上是负一到一之间。然后我们再来看一下这个余弦， 那余弦函数呢？我们就是 y 等于谁？ cosine x， 对 吧？其中这个 x， 也就是说余弦的定义域，它也是什么 r， 再来看 正切，对吧？正切函数呢，它记作 y 等于 tangent x， 这里的 x 呢？可以去前一实数表示的是什么？是弧度制，所以这里的 x 呢，是不等于二分之派加上一个 k 派， 这里的 k 属于 z 啊， k 是 属于 z 的， z 是 什么？全体的整数啊？ 好了，那这就是三角函数的定义，尽管他这个函数的定义呢，与前面不同，但是我们先去接受他，然后呢，我们慢慢的去与我们之前所学过的锐角三角函数建立一定的联系，来帮助我们去更好的去解析或者去理解这个。 那看一下高中我们定义的这个三角函数，和我们初中所学的这个锐角三角函数之间有什么关系呢？我们复习一下， 初中的时候，我们定义这个锐角三角函数，是不是把它放在一个直角三角形中呢？那在这里我们有一个角阿尔法啊，假设他的中边，对吧？在第一象限，我现在就 过这个点， p 可以 做这个 x 的 垂线，然后让这个垂足起个名字叫 m， 那 现在我们来看一下，这样子我们就构造出来一个 o p m 这么一个直角三角形，是吧？那在这个直角三角形中，那这个角的 r 法的正弦值是不是等于对边？ 比斜边，那我们是不是他，我们就能得到 c， r 等于他的对边，对边是不是就是 y？ 斜边，这个斜边是不是就是 r， r 就是 一对吧，所以你看他是不是等于 y， 对 吧？那同样的，我们在这的话，我们考 c r 法是不是就等于什么 x？ 那正切呢？ tangent 阿尔法，它是不是就等于谁？哎，等于 y 比上一个 x 就是 对边 比邻边，当然这里的 x 是 不是不能等于零的？这就是我们可以把我们所学的这个和我们之前的联系起来，但是你会发现其实之上我们这个哎，之前学的这个它具有局限性对不对？我们现在学的是不是 这个定义更具有一般性？但在我们具体去解析的过程中，我们依然是可以借助构造这个三角形来帮助我们去求解一些三角函数的值。在具体解析的时候呢，很多题他给我们的时候，他 给了一个，比如说一个角的中边上某一个点，或者说这个中边他与到这个什么圆点的距离不是一的时候，也就是说交的这个圆他不是单位圆的时候，我们怎么去快速的帮助我们去解析呢？这里我们是我们就假设这个点 p 的 坐标 为 x y， 那 现在我们来看一下，我们依然是可以构造出来这个直角三角形的，但是我们构造出来这个直角三角形之后，我们在解的时候，我们比如说你要去求它的正弦值三 a r 法，我们就直接用 y 比上一个 r 就 可以了， 那用 y 比上 r 的 话，你看它是不是表示的是这个角的补角，对不对啊？在第二项链的话，你可以看作是它的补角，对吧？那现在我们来看一下，我们保持余弦的时候，你会发现 这个是不是 x 比上一个 r， 其实正常，因为 x 是 不是有正负的，所以余弦在这里是不是一个负的值，这里面引入了一个 r， 这个 r 呢？因为我们只知道这个中间上一个点，那在具体解析的时候这个 r 怎么求呢？你看这是不是一个直角三角形， 由勾股定律我们就知道这个 r 的 平方是不是等于这两个直角边的平方之和，所以 r 是 不就等于根号下谁 x 的 平方加上一个 y 的 平方？这个在解析中用的比较多，希望大家能把它给记住。接下来呢，我们去看两个例题。首先我们来看例四， 这个角 c， 它的中间经过这么一个点，求 sin c 的 值，既然是用定义去求值，那我就给他画个图吧，来画出坐标轴， 然后我们把这个点给它标点负四五，这个假打假设就是这里是负四，这里是五吧，然后我们把这个给它画出来，它是不是 这是它的中间这个角是不是就是 theta， 对 吧？然后这个点的坐标我们是已知的，是负四，是吗？五，那现在我们来看一下我们要求 theta 的 什么值， 正弦值，对吧？ c， 它的正弦值，它就等于谁 c theta， 它就等于谁， 纵坐标是不是 y？ 哎，就是五比上一个我们说的 r， 对 吧？那这里的 r 我 们怎么求呢？ r 就 等于这个点到原点的距离就是负四， 括号外的平方加上五的平方，他是不是等于根号什么四十一，对吧？好了，那现在我们带回去这个是不是等于根号四十一分之五，对不对？然后这个肯定要化减，化减完之后就是 d 选项， 对吧？接着我们来看一下第五题，为什么要把它们两个放在一起呢？我们看一下角 r 法的中边所在的直线经过负四 六这个点，这两个的区别就在于这个他可能在两个象限里面，而这个在一个象限 中边经过某个点，因为一个角的中间他是一条射线，所以这个是唯一的。而中边所在的直线如果经过这个点，那就有两种可能，那我们还是一样画个图来帮助我们去理解一下。 来，我们画个图来帮助我们去理解一下。 x， 那 现在我们来看下这个点是谁是负四六，来描出这个点啊？这大概是负四六在这。然后我们看一下你中边所在的直线经过它，有可能是不是这呢？那是不是也有可能是它的 这一边，对不对？所以说这个就有两种情况，所以这个阿尔法呢？有可能是这一个角，也有可能呢是这么一个角，所以说那我们这里的如果说这个中边就在第二项弦， 正弦是不是正的？余弦是不是负的？如果说他的中边是在第四项弦，那正弦是负的， 余弦是正的。所以看一下选项里，让我们求到这既有正弦，余弦是不是还有正切，那正弦和余弦具体到底是正的还是负的，我们是无法确定的。但是这里的 第二项线和第四项线的正切值他一定是负的。而且我们求正切的时候，由三角函数定义，我们可以知道，那我们这个直接就等于六 比上负四是就可以，它就等于负的什么二分之三，而且这个是唯一的，所以这个题的选项就选 c。

三角函数从入门到精通，今天胡老师当着大家所有人的面，挑战七天，带大家吃头糖，讲完它行不行？行，今天咱们先从上帝视角带你们梳理清楚整个三角函数，我们核心要抓哪些重点， 帮你把体系先建立起来， ok 吗？ ok， 好， 咱们三角函数注意啊，一共是从三大方向去攻克它， 第一大方向就是我们最近在讲的跟基础概念有关的东西，基础概念是三角函数的地基，是所有你后续学习的基础。那到底抓啥？ 第一个叫啥？叫任意角，非常好，弧度制 你得知道呀，从初中到高中，我们的角度的定义发生了改变和拓展，怎么拓展？为什么要拓展？对吧？拓展出来之后出现了什么角？正角、负角和菱角都是怎么被定义的？ 包括弧度值，为什么要产生弧度值？怎么快速去计算扇形的面积，扇形的周长，包括这里常见的二级结论， 你只要但凡用点心，这里都能够学的很好，考试不会丢分的。这第一个，第二个关键在于三角函数的定义， 包括三角函数线，三角函数线， 你这里搞不明白你后续要学的一切的公式，就只能死记硬背了，对吧？甚至有的公式你背过了，你不会用，所以这里打好地基是很重要的。 这搞不清楚诱导公式就是死记硬背吗？是不是知道好给诱导公式打下了坚实的基础啊？第一个是概念的方向，第二个九大组必会的公式，一定要 熟练推导，而且要知道他们之间的关系，闭上眼睛咔呲咔呲咔呲都能写出来，每一组公式之间，哎呀，他们之间有什么联系，有什么进阶的关系，你把这些能搞定，你的体系不就出来了吗？是吧？ 九大组公式，除了诱导公式之外， 除了同角关系之外，剩余的七个 对应到教材里面的什么位置，三角横等变换。我专门要说一下他为什么，因为很多老师是按照教材的顺序去讲的，把这之后了，而有的老师会提前讲他 为什么要提前讲，为我们后面学三角函数其他的图像做铺垫，所以我们在后面给大家讲课的过程中，也会把整个公式全放一个体系里面给你讲透的，你后面学图像问题才能够游刃有余好不好？好好，第三个大的方向， 三大图像写清楚啊，三大图像六个性质，你看我们三角函数都学了啥？就是这些， 包括图像的一些变换，这是你理解三角函数的关键，也是我们考试的重点。 那么每一个图像我们都怎么去研究它的？来把当年研究函数的 那些点在这里重新再研究一遍，我们函数里面当年都研究了什么？想一想，定义域，定义域，值域，再研究一遍，每一个图像都这么研究一遍。 第二个叫什么值域？还有什么单调性，基偶性，还有呢？周期性，还有什么对称性，对称性，全选一遍。 那我这得怎么考呢？定域考你复合函数，定域的问题，直域怎么考？你注意，哎呀，给你加一个区间， 这都是考试要考的，有区间的指域怎么求？哎，我无区间的指域怎么求？哎，我二次有关的指域怎么求？给你范围，让你去求一些参数方向， 而且考试经常会考大家去大题考大题考某一问下一个单调性，单调性怎么考你一模一样的给区间，无区间考二次考求餐 下一个基友性教材里面我们学到的是哎呀三考三具备基友性的，但是考试考你的是正弦型。 乍一看，哎呦没有什么鸡偶性问题，怎么变成鸡，怎么变成藕，不要死记硬背哦，它的本质是诱导公式，所以我刚才说你前面搞不明白，你往后面去学，你发现学不到，跟上，还有下一个什么性质？周期性， 简单的周期，大家都会带一个公式，关键是你要能拉开差距。考你什么周期？考你一些给绝对值带周期，让你求周期的， 还考你什么？考你一些变态的周期问题，那函数你根本就不认识，还考你什么？还考你一些动态周期问题。 求 omega 也是高考考试的重点，连续考了很多年了， 在我们同步当中考大题也考小题，大家不用怕周期，这里我们都有对应的方法和大招，后面都会讲到对称性，简单的让你求对称轴，求对称中心对吧？已知对称轴，求参，已知对称中心求参。我刚说的这些都是基本功， 你要想跟别人拉开差距，那这里就会考到，除了基础的之外，他会结合咱们函数前面讲过的抽象函数的表达式去考你， 所以你前面的基本功如果没有打好，你这里可能有点难度，前面基本功打得好，这里是轻松拿捏的。当然还有最后一个问题，其实专门说一下什么问题？零点问题。 期末考试在大题当中经常和复合函数综合在一块，考你一个最后一道题，那高考当中是以小题为主了。胡老师根据我们历年的考试，把三角函数给大家拆解成了期末必会的 期末必会的大核心题型， 从基础概念到整个进阶的综合，从图像变换到每一个性质的考法，手把手带着大家一个一个去攻克这些题型，跟着胡老师学员整个系列，那么三角函数这个模块妥妥冲一百三，没有任何问题。

读读读读读读，一堆公式，整一个傻傻分不清楚，我要挑战一个视频，把诱导公式彻彻底底给你讲清楚！教材又一次上演地理隔离诱导公式正式学习是在一百八十八页，第一个公式居然在一百八十页，标题还没出来，公式已经开始学了， 正式学后面的公式，一百八十九页，他又没学全乎，老五老六呢？一百九十二页，老五老六出来了， 你把公式写在一块堆，它还记不全乎呢？好了，那我们说回公式本身，其实单单看字面含义还是好理解的。先看第一个红颜色，什么叫做基还是偶？就你一会。在所有诱导公式的题目中，一定要找到 二分之派，它的倍数。如果是奇数的话，比如说正二分之三派，负二分之五派，这就叫做它的奇数倍，那咱就按照奇变来走。反言之，如果你遇到的是三派六派负二派， 这些都相当于它的偶数倍。对，不论正负啊，咱只看奇偶，那如果是偶数倍的话，就按照偶不变。 所以问题来了，那这个变和不变指的是什么呢？就是名字。其中呢？如果是 side 这个名字，你要是让我变的话，就是变成 cosine， cosine 如果变的话，就是变成 cosine， 那 不变就是不变，这没什么好说的，而 tangent 和 cotant 就是 另外一对了。 所以你看，哪怕你不理解，只要你学会解析的手法，照样得高分儿。当然，我希望大家还是在理解的基础上往下去学好，那我们再来说呢，后半句儿，什么叫符号儿？这个就是正负号儿。 所以到底我是取正号还是负号，这得看所处于的象限，比如说这叫第一，这叫第二，这叫第三，这叫第四，这就是所谓的四个象限。好，字面含义咱先说到这， 接下来往下看。刚刚六大公式，我们现在就拿它当做例题，包括一会也会给出母题，这个又是教材当中的例题，通通都会给大家讲清楚。好，那我们看左边啦，这是阿尔法加二 k 派，请同学们开始跟欢老师应用口诀。 首先在这里边找到二分之派，而它是多少倍？你看啊，这阿尔法是你要研究的对象，它可不是二分之派，显然是波浪线。二 k 派，它就相当于二分之派乘以四 k， 所以显然当 k 是 整数的情况下，这四 k 妥妥是偶数。因此，按照刚刚说，偶不变，那它现在的个名字就不变。所以你看，散也依然是散也，名字没有改变，即变，偶不变，用完了 好换颜色。再说符号看象限，你说我到底是等于正的还是负的呢？当然有同学眼神可好了呢，说，你这前面没写符号呀，是正的，那你得告诉我，我这个正的是咋来的？我教你啊，你一定要把这个 alpha 看成锐角， 那么请问二 k 派加上一个锐角是位于第几象限？你想这是圆，这个呢？是起始的边，那么你想，你转二派，这是一圈，你转四派也是到这，所以你会发现， 如果是二 k 派的话，它永永远远中间都是在这。咱之前不是讲过象限角轴线角吗？这个就属于在 x 轴，正半轴的轴线角。 好，在这二 k pad 的 基础上，再叠加一个锐角，阿尔法是不是就位于第一象限？好嘞，拿出黑色笔，这整个前面一坨哦， 它是位于第一象限，然后你只需要思考一件事情，就是对于原来的这个名字，不能看改名之后的， 因为你研究的对象，请大家记住，你要从一而终。我们研究的一直是前面，所以你研究的是这个在阿尔法是锐角的情况下，这个整体在第一象限的情况下，当然是它的曲值喽，是正值负值。 哎，散引在第一象限是正值，因此后面就是正号。好，即便不变符号，看象限，你听懂之后，欢老师要恭喜你，表面上看 个个公式都是背的，但是你发现用咱们这个口诀个顶个的都能够说出个理来。这老大说完，咱拿老四试一试好不好？先寻找二分之派，那我明显看到这个是一个整整提起的派，它是二分之派的二倍，所以这是基数，偶数呀， 偶数，所以偶不变，散也依然是那个散也。其次，再来告诉我这个是第几项线，你想，如果这是一个单位，元 pi 一 百八十度，就应该是在这个位置上，所以在这个位置上减掉一个锐角 alpha， 那 么它应该是落在第二象限， 而第二象限对于散影而言，它也是正的。因为我给大家在上个视频当中讲过，我这散影看的是 y 诶， cos 影是看 x， 所以 说它现在是在第二象限， y 值显然是正的区域，所以呢，它这块就是一个正号。 好，有人现在大约明白了，这是第二遍用口诀了，然后，但还不过瘾，毕竟这也是正好，这时候正好我还没见到符号呢，这样，老五老六这不搁这等着呢吗？我特意啊，给大家找一个未来会有符号的情形来讲来看这个， 他是贪婪的二分之派加阿尔法，请问这里边有没有二分之派的倍数呀？哎，就是在这里，他显然是二分之派的一倍，所以说就是积， 那么基是要变化的。有的人说，这我不认识，哎，其实 tangent 分 之一就是我刚刚提到过的，如果您这 tangent 要变，这就是它变化之后的名字，叫做 cotangent， 所以 说呢，现在是要变的，对吧？那么就变成了这个样子。其次，我们再来看这个中括号，它是第几相线？二分之派是九十度，九十度，再加一个锐角，这是第二相线。好，第二相线的 tangent 指是什么样？ 首先 find 呢？相当于 find 比上 cosine， y 比上 x， 所以 在第二项线 y 是 正的，而 x 是 负的， find 就是 负的，所以第二项线 find 的是负的，那么后边这个地儿就是有一个符号在的。好，现在在课本当中六大公式， 第一对，第二对，第三对，我都给大家举个例子，举了仨例子，你像第一对呢，它其实研究的这是要么你给我加二 kpi， 要么你就什么都不需要加。 而第二对，你要不然就是跟派派加某某，要不然就是派减某某，跟派有关。第三对就是二分之派减，或者是二分之派加跟二分之派有关。所以基本上到现在为止，这个口诀你是要会用的。可是 我想问在座所有看到此刻视频的人，为什么鸡就会变化？那怎么就不能鸡不变，偶变呢？ 为什么呢？我先解决第一个问题，其实诱导公式啊，他有一个非常大的贡献，如果你在生活当中听过这样一个物件叫做放大镜，那么诱导公式就是一个放小镜， 缩小镜怎么着呢？因为我们以前在学角的时候，石化角你放到一个三角形当中，这个角都是满肉眼可见的，很好研究的角度比较小的角。 可是在我之前的视频当中，任意角，自从学了这个概念之后，你会发现蚂蚁把它放在直角坐标系的话，这个边给它锁定，那你这个边开始转，你想这个角倒是很小，你转转转转转转转转转转，你比如说你转到这这个角是不是会很大？那你要是转到这，这个角，哦，这么大， 那甚至他还可以套圈，哎，一圈，两圈，三圈，所以你可能听到的不仅仅是三百六十度了，可能是三千六百度，五千八百度，所以这些特别大的角，请问在数学当中，尤其到了越来越尖深的数学，那那个领域会不会涉及到对他们的研究呢？那必然的， 毫无疑问的，所以我们必须要找一个放小镜，把这些非常庞大的角给这画成小可爱，咋着呢？你看教材也说了呀，我们可以把通通任意角，马踏特别大，也画成锐角来进行研究， 所以诱导公式，诱导公式就是聪明的，我们把咱们思考的结论凝结成一对小口诀，就给它整完了。那我们再来拿母题和教材上的题给大家来说道说道。你看教材当中呢，它就有引导 这四种情况。所以你看二四年河北区的期末题，就考了类似于教材当中的括号一第一问，而在二五年房山区的期中，他考到的，这就像教材当中的第三问，你看这有符号， 所以我为什么会重视让孩子们不管是在平时考试还是高考都要回归教材，是因为确确实实他也是考试会进行参考的。好，那我们现在就在这给大家讲解这道题目。 请看他现在问我， cosine 五百一十度，我们做一个小学数学题，这五百一它等于三百六加上一百五，但这一百五好像也不是锐角，不足够小，你就再把它写成九十加上六十，所以整个上面呢？那这是二派， 这又是再加一个二分之一派，整体就是二分之五派。二分之五派加上六十度，显然这是二分之派的五倍，它是积， 那么就要变，所以这 cosine 的 名字就要变成 sine。 好， 那 sine 六十度。随后看黑色笔，到底这前边儿是正号还是负号？我们就这样来想了， 看你这二分之五 pi 相当于是在二 pi 的 基础上又转了九十度，它已经位于 y 轴的正半轴了，在此基础上再加一个六十度这样的锐角，显然它是位于第二象限，而第二象限的 cosine 值是负的，所以一定要在这加上负号才行。 三引，六十度是二分之根号三吗？那这就是负二分之根号三，大家选择三号 c， 明白了不？如果还想要多训练的话，我在旁边把咱们教材上的看 括号一问，括号二问留在这里了，大家多多训练。好，那我们来看下一个题，这道题他问的是贪近的负三分之十三派一样的，刚才是度数，这回换成了所谓的多少多少派。 看啊，也是，咱要把它先用小学数学题化大为小。不过在此之前，请大家注意它这有一个符号，你看教材当中是怎么弄的，看一看这个符号是否能拿到前边来。这事啊，就不得不调用咱之前函数讲解的奇偶性了。 在下个视频当中，我就会正式告诉大家，贪镜的的图像长成什么样。现在啊，咱先聚个透，你先用着话说，贪镜的再长成这样一打眼，这明显是关于原点对称的 奇函数，所以奇函数符号是拿的出来的，咱们就把它写到前面去，弹进它里边，先照抄 三分之十三派。好，接下来这三分之十三，请大家思考，能把它怎么样化大为小呢？ 我在想啊，这三分之十三可以写成是三分之十二，再加上三分之派，而这三分之十二显然就是三四一十二四派嘛， 因此它就是二分之派的偶数倍，偶不变。所以你这是贪镜的，你现在要照抄，仍然是贪镜的，别忘了，刚刚这个符号也是咱们照抄的一趴，所以我们就都写好好， 后面三分之派在这也是照抄。最后我们用换一个蓝颜色来定符号，正所谓符号开象限，我就问大家这是第几象限？你想呀， 三分之十二派，这四派相当于是足足转了两圈，他又回到了 x 轴正半轴，在此基础上，你加个三分之派，这不显然是第一项线，那第一项线不管散印扣散印碳金的，扣碳金的任何的那常见三角函数值都是正的。所以既然是正的话，那咱前面什么也不用填， 你填你也是相当性的写一个正号，所以最终结果就是负的碳金的三分之派，我再次强调，不要眼花哦，这个负号是刚刚聊积函数落下来的， 不是符号看相线诱导公式来的，所以最终结果咱要拎得清。好，那出结果三分之派就是六十度摊进六十度是根号三，所以这负根号三，大家选择四号 d 结束战斗。 怎么样？诱导公式找到感觉了吧？但这个视频真正的高潮才刚刚来临。一方面，我要给你把刚刚的解析步骤进一步的 规范化，让大家清晰明了为啥说数学能训练逻辑感就是这么来的。再来，我还给你做一个拓展，与此同时，这个拓展在这里边我就要给大家讲讲，即变偶不变符号看象限，到底为什么即变偶就不变？这事终极如何来解读。 好，我们先来看第一步，面临有符号的情况，我会先通过奇偶性，那如果是奇函数，这个符号直接就没有了。第二步，大化小。 还记得我刚才放小镜的那个解释吗？大角画小角，可有的时候，如果这个角你画完之后还是一个钝角呢？什么一百二十度，一百五十度，还是需要大家进一步画成锐角的，所以有的题可能会涉及到小画锐，最后我们锐就可以求值了。好，随后呢 两个升级，这个升级要注意听喽，你再好好的感受一下三角函数到底是怎么个事。有两种常见的情况，一种是这两个角互余， 也就是说它俩相加等于九十度。还有一个是说这两个角互补，指的是这两角相加等于一百八十度。好，那这个互余和互补对于三角函数而言，有哪些中间结论呢？我先给大家说说上边啦， 互余的情况。你看呀，这阿尔法和 beta 如果是相加九十度互余长成这样，那么这个 sine alpha 值是不是对边 x 边比上斜边 l 边？而站在 bet 这个角，它的视角下，它的 cosine 值倒也是这个情况。你想 cosine 值是邻边比斜边，那不也是 x 比上 l 吗？所以让中间桥梁牵线搭桥，它俩也就建立起来了相等关系。因此，互余的两个角， cosine 值和 cosine 值相等。 可是咱今天的主角是诱导公式，来看看方法二，咱再从诱导公式的角度能否得出呢？你看，我就在想，你这散引阿尔法，你说它俩是互余，那这阿尔法角不就相当于是九十度减去背它？好嘞，那你现在看，这如果用积变偶不变，这是积，所以说它是要变的。 好，变完之后呢，贝特照抄，咱们再来想，这是第几相线？这很明显，九十度减去一个锐角是第一相线。第一相线谁的三角函数值，那都是正的。 这个正好我就不写喽，所以他就会得出跟刚刚一模一样的结论，三 l 法等于 cosine b， 三 l 法等于 cosine b。 你 看，发一发二来发一是数形结合的方法，发二是诱导公式。好，我陪着大家把这两个说道说道。你看这两角相加等一百八。 好，那我们先用法一给大家来说道说道。这里边我要做一条黑色的辅助线，啥意思呢？你别看现在这个 a 角，这个 b 角你互补关系能看出来， 但是我们在任意角做研究的时候，可都得是从 x 轴正半轴开始旋转。所以啊，我这 a 角将原封不动用这条红色的线，但是这个 b 角则要用这条线。我对应的是这个角， 这个应该很好证明，它有点像咱学物理当中的光学。你不觉得这特别像法线吗？所以这个黑色的角和这个 b 角是相等的。我也在这再写一遍 b， 它俩是互补关系。晓得啊，那咱们开始证明。首先你会发现，这 b 角的小黑点 和 a 角的小红点 y 值都是在 y 轴的正半轴，显然是相等的关系。而在 x 值上呢，你会发现它俩一个 x 值是正的，而另外一个 x 值刚好是负的，它俩是相反竖的关系。好， x 是 差一个负号。 那我为什么要提这个呢？因为 y 值就相当于是散引 x， 我 们在上个视频不说了吗？所以说，既然 y 值相等，因此这两个角散引值就会是相等，而 cos 值应该是由 x 来代替。 x 值刚刚说了差一个符号，所以呢，这个地儿 cos 在 a 应该是等于 cos 在 b 前面加一个符号。 这就是根据左侧 x 值 y 值得出来的结果。那如果我要用右侧诱导公式来得怎么来呢？也简单，你看这是 pi， 这是 pi 还是偶，偶偶就不变。所以我上面照抄的是散引，下面照抄的是 q 散引。 好，那到底这散引 b q 散引 b 前面添正号还是负号？我们来回答，这是第几项线 太减去一个锐角，分明是第二象限好，第二象限对于三一值而言是正的，可是对于 cosine 值而言是负的。所以最终结果出来了，你看，三 a 等于三 a b 刚才咋说了哦，三 a 确确实实应该是直接相等和三 a b， 那 cosine 呢？ cosine a 和 cosine p 应该是差一个符号，怎么样？这个地儿呢，我跟大家讲，它实在没什么难度，它最多就占一个，有点像绕口令绕的感觉，所以你不要被它绕糊涂， 一定要拎得清楚。如果说但凡有点小糊涂，没关系，这个视频咱们倒回去再听一遍就好了呀，欢老师一直在的哦，好，那我们现在回归那个刚才可爱的小喵头就是这里，给大家再说一说，为什么即变偶不变。 我先声明，这个地已经深入到对于数学的认知层面了，所以如果你听不懂或者不想听，都没有任何的问题，毕竟早已经刚刚把应试相关的所有内容都解决完毕了。好，我给大家掰扯掰扯 这事啊，本质上还要从单位圆里边那个任意角说起，你比如说这个紫色代表的是我当前基本款阿尔法角，请问你给他加个九十度，他跑哪去了？ 简单做一个垂直，这就是他加了九十度之后的模样，你看，这是阿尔法，这就是阿尔法，加了九十度，哎，这就是大大的样子。那你有没有想过这两个紫色点之间什么关系？ 有人说横坐标不相等，纵坐标不相等，这能什么关系啊？别着急，我给你做一条辅助线，你再想一想，根据我们初中学过的全等三角形，你没发现这两个三角形来 是全等的吗？所以 r 法角和 r 法角加了九十度之后， x 和 y 发生了对调，曾经的 x 值，现在是 y 值，曾经我的 y 值，你看，这个线段的长度就是它的来 这个线段的长度，所以说 x y 发生了对调，但正负号咱得单看啊。所以仅从长短来说， 加上个二分之派，也就是说相当于二分之派的基数倍，这种情况下，你的 x y 是 要互换的。所以还记得上个视频，包括刚刚我们都在说， x 值代表的是 cosine 值， y 值代表的是 cosine 值。你想您现在 x y 都已经互换了， cosine 值和 cosine 值这个名字是不是叫换？所以说这就是积变的体现。 如果你没有完完全全听清楚，我再给你说一个偶不变呗。你想二分之派乘以个偶，不说别的吧，让这个偶等于二，不就是完完整整的派吗？一百八十度，那就相当于是在这条边的基础上，哎，严成成这个样子，所以呢，他就会长成这个样子。好，那我们再来观察 这个阿尔法角和这个角之间是啥关系，你会发现，哎， x 的 长度还是 x 的 长度， y 的 长度还是 y 的 长度，也就是说，它的名字不变，塞依然是塞意， cosine 依然是 cosine。 所以呢，就是名字不变， 好，即变，偶不变。咱解释完了，那你再说这个符号，你符号肯定是得另看，符号看象限。所以数学说到底，以诱导公式为例，所谓能够把他学的自己心里边很有力量，做题的时候心不慌，那你就无非知道他是谁，如何对他进行解读， 他怎么来的，也就是说如何得出，以及他到哪去，他能解决什么问题。所以啊，你会发现，这哲学三问放在咱数学上是一模一样的。 希望孩子们以后对于你特别好奇的知识点都能搞搞清楚，从而赢得你理想的分数，那信心如果有了的话，关老师的数学课欢迎你。接下来再来听同角三角函数的基本关系式，你看我给大家把这些关系式从教材到我的整理到母题 全都弄好了，而且还有更难的，比如说各种三角函数的化简求值，这个地方法我写的可清楚，还有配套的题目，而等你遇到更难的题目，你会发现一个方法搞不定，还有第二个方法，两个搞不定，还有第三个方法。所以说应对各类的题就都不害怕了，拜拜同学们。