天津春考数学抛物线的几何性质讲解

例一考察的是抛物线的几何性质，借助这道例题呢，我们学一学这种题的做题流程。 首先他说了抛物线的对称轴为 x 轴，那么这句话引含的意思是说它的焦点在 x 轴上， 顶点是坐标原点，且开口向左。那么在大家的心中啊，应该画出这样的一幅图像来，顶点啊，就是原点开口向左，大致就是长这样的。 然后呢，又因为它过这个点，让我们求抛物线的标准方程，那么依据这个条件呢，我们可以设它的标准方程为外方等于负的二 p x。 那 么这里呢，还是有小技巧， 因为它只需要求标准方程，所以你可以不设它为负的 r p x， 你 可以设为 mx， 这样也行啊，我们先讲这个标准形式， 标准形式的话，我们设了外方等于负的二 p x， 然后呢，把这个点带进去解一下二 p， 那 么二 p 就是 三，所以往里面一带，那么就是负的二 p x， 也就是负三 x。 为什么这道题又同时可以设 mx 呢？因为咱们也不用 p 的 值去做别的啊，不用求焦点坐标，或者是求准线方程，所以说我可以单纯的就设它为 mx， 然后我就把这个点带进去，也能求啊，大家看，外方是十二，那么 mx 呢，就是负四 m， 所以 m 等于负三，那么把负三带进去，就得到了 y 方等于负三 x， 这样也是可以的。

哈喽，同学们大家好，来到了选 b 一 第三章圆锥曲线方程三点三点二抛物线的简单几何性质，那么我们现在来到了圆锥曲线的最后的一节课哈，也是选 b 一 的最后的一节课，好吗？ 首先呢，我们怎么去研究他们的基本性质？我相信这个脉络同学们已经很熟悉了，第一个就范围，对吧？当然我们通常来说，我们都会以其中的一个方向，你比如说，嗯，我们的这个抛物线就会以开口向右作为一个方向， 我们的椭圆呢是怎样？我们的椭圆，我们先研究那个焦点在 x 轴上，我们的抛，我们的双曲线也是焦点在 x 轴上，我们的抛物线呢，有四个，然后呢就会以开口向右啊，对吧？然后这个东西呢，我们顺便提一下哈， 同学们要知道，圆锥曲线在高考当中呢，考察同学们的目的有两个，第一个呢，就是我说的基本功嘛， 那么考察基本功呢，通常来说就会出现在我们的这个客观题当中啊，对吧？我们的前面的题目当中，那么在前面的题目当中呢，就会出现包括焦点在 x 轴上，在 y 轴上等等各方面的东西，包括我们过往所说的一些陷阱都会有。那么第二种呢，就是上难度， 因为我们说啊，高考的压轴题啊，或者说压轴倒数第二道题和第三道题啊，都是比较难的，那么上难度呢，我们 导数啊，这个函数，然后呢，这个解析几何，第三个呢？竖列啊，所以呢，我们的解析几何是可以非常难的，对吧？可以非常难的，那么当他上难度的时候， 反而通常来说它不会搞得这么复杂，大部分你比如说出现个椭圆，它就是焦点在 x 轴上，这个我提一嘴哈，因为这个时候它的难度的点就不会是这么无聊的去呃，跟大家说一下，那个焦点在哪个位置不是这种难度的一个点啊？所以这个地方就提一嘴这个东西哈，我们接着， 首先呢，看它的范围，我们的 y 轴纵方向上呢，就是这个 y 的 平方，它没有限制，对吧？所以 y 呢，能取得这个实数级 r， 然后呢， x 把这个二 p 给移过去，上面是个平方数大于等于零，下面的大于零啊， p 大 于零，所以它整体大于等于零， x 大 于等于零，所以从代数的层面去理解啊，就是这样子。然后呢，也是应用在我们的几何层面呢，就是该抛物线分布在 y 轴的右侧，与其开口方向一致，对吧？ 这里的右侧这个区域。然后呢，我们来看一下，第二点，顶点也是比我们的椭圆和双曲线简单很多，就一个对不对？抛物线和坐标轴的焦点就是顶点，然后呢，令 y 等于零或者 x 等于零，我们就解得它只有一个顶点，这个焦点就是零，零坐标原点 就一个，对不对？所以呢，这个顶点呢，就没有这么多啊，要分类讨论呢，或者研究的地方就是圆点啊，所以这个也是比我们的这个椭圆和双曲线简单啊很多的地方。第三点，对称性再次提醒哈，这个东西在我们椭圆的那节课里面有了非常详细的研究，所以如果第一次 上这节课的同学回去看哈，然后呢，我们这个地方呢，就根据之前的方法，用负 x 替代掉原式当中的 x， 我 们就会有什么样啊？ y 的 平方等于负二 p x， 那 显然是不成立的，所以它没有关于 y 轴轴对称的属性。然后呢，我们用负 y 来替代掉，因为这是平方数， 所以它等于 y 的 平方跟原式是一样的成立，所以呢，它关于这条直线就是 x 轴对称，好吧？然后第三个呢，我们同时把负 x 和负 y 分 别替代掉，这个呢，没有变化 y 的 平方，这个呢，就跟这条式子是一样的， 对吧？不成立，所以呢，它不关于圆点点对称，所以呢，对比我们的这个椭圆和双曲线，它们都是轴对称，轴对称，点对称啊，两个都是，但是它只有轴对称这个东西。其实我们的二次函数就很熟悉了，我们说这个抛物线，它的图像哈，它本来就是二次函数，对吧？ 好。第四点呢，离心率，这个点呢，我们其实之前就一直在提了，对不对？我们的讲那个第二定义的时候就在提 抛物线呢，它没有椭圆和双曲线当中的 a 分 a 和 c， 所以 它没有 e 等于 a 分 之 c 这个东西。但是我们怎么定义呢？我们会关注到椭圆和双曲线当中的所说的第二定义，这个我们已经讲过一次了，就不讲了好不好？就是呢，一个定点 和一条定直线的距离之比是个定值，然后呢，这个定值其实就是它们的离心率 e， 然后这个时候呢， e 的 不同的曲值范围形成了三个不同的圆锥曲线分别，为什么呢？如果这个定值是零到 e， 就 表达是一个椭圆， 如果这个时候呢，是一，也就说呢，我们的这个抛物线的基本定义是到一个定点和到一条定直线的距离相等，对不对？那相等就是之比，等于一，那么表达的是一个抛物线大于一就是双曲线，这个就是他们的第二定一，好不好？这个呢，我们在上节课呢，讲过了， 不讲了，好不好？然后呢，所以我们要知道抛物线的离心率，他有哈，他就是一所抛物线的离心率固定为一， 开心吗？你看我们整理一下抛物线的知识点，是不是要比双曲线和椭圆要简单很多少很多，离心率也没有，没有东西要考我们的离心率固定为一哈，然后呢，四个方向我们来整理一下哈，稍微看一下，同样的再次提醒，不需要被理解了就可以了，好不好？ ok， 我 们开始来做题，然后呢，第一道例题，课本的例题已知抛物线关于 x 轴对称，所以呢，它是什么呢？它就是焦点在 x 轴上的， 他的顶点在原点啊，然后并且经过这个点，求他的标准方程，你看这个时候就是我们所说的什么呢？我们并不知道他的那个在哪里，当然当然哈，我们可以干嘛呢？二负，二负，这个点在哪里？这个点在第，呃，第四项线，所以他的开口向右， 但这个点我们没有办法去讲出来啊，能理解这个点吗？就是哦，我跟你说它的那个，这经过的这个点在第四象限，所以开口向右，这个是不严谨的，对吧？所以这个时候呢，我们可以直接设 y 的 平方等于 mx， 对 不对？就我们说直接设 m 就 可以了，然后带入这个式子，然后就怎么样？就是八等于两倍的 m， 那 么 m 就 等于四，好吧，所以就得到了它的基本方程， 好吧，能理解吧？然后第二呢，就是弱直线和这个只有一个公共点，这个就是考察我们什么呢？ 用这个啊，连力之后，这个用方程的解和解析几何当中的焦点之间的这个，对吧？那这个时候呢，我们会知道，连力 这两个式子，一个呢是 y 等于 k， x 加二，那斜率存在哈，不需要分内讨论啊？斜率存在，不需要分内讨论。然后呢，这个时候呢，我们可以消去 x， 也能消去 y 啊，当然很多时候我们就喜欢消去 y， 但有时候呢，也要看便利性哈，有些是像，像这道题确实消去 y 比较便利，直接这个替代掉这个，对吧？那直接就是 k 平方， x 的 平方， 然后呢，加二，呃，四 k x 加四 k x 呢？加四 k x， 这个移过来，我们就直接加四 k 减一 x， 这个是一次项，再加四等于零，那我们就会得到一个关于 x 的 二次方程，但这个时候呢，哦，当然 a k 有 可能等于零，所以呢，要干嘛？要分类讨论？分类讨论， 当 k 等于零时，那这个时候呢，是一个一次方程，这个时候就是，呃，负 x 加四等于零，那是不是有一个解啊？ x 等于四，对吧？那么一条直线和这个就肯定只有一个交点说， ok， 第二个呢，就是当 k 不 等于零的时候，那这个时候它就是一个二次方程，对吧？标准的二次方程，那么标准的二次方程它只有一个公共点，就要第二塔等于零，对吧？第二塔 b 平方减 c， a c b 平方 减去四倍的 a c 啊， a c 对， 等于零，那么这个时候，这个时候消掉，那么就是 k 等于八分之一，所以它有两个，要么 k 等于零，要么 k 等于八分之一，有两个减哈 点逆方程。然后呢得到这个式子分两种情况，若 k 等于零的时候呢，它是一条直线啊，九个公点，若 k 不 等于零，那么这个时候呢，它是一个什么二次方程，那么这个时候我们令这个第二塔等于令我们解的 k 的 八分之一。综上所述，两个这个格式给写好。 第三题啊，是课本上的一道例题，斜率为一的直线要经过抛物线交于 ab 两点，求线段 ab 的 长，我们画这个图啊，这个 a b 两点，然后求 a b 的 长。这道题呢，首先我们可以硬做啊，就是我们的也不叫硬做了，它的计算量也不是很大啊，就是我们直接的干嘛？呃，这个斜率为一的点，经过这个焦点 f 就是 一零嘛，对吧？那这个时候呢，就是 y 等于，呃， x 减一嘛？ 这条直线，然后呢就是连逆这两个，还有 y 的 平方等于四 x， 对 吧？然后呢我们说这个 x y， 我 们说干嘛？我们说不需要解得 x 一 y 一 x 二 y 二，不需要解得这两个解， 对吧？我们只需要算出其中的一段，然后呢就是一加 k 的 平方开根乘以 x 一 减 x 二就可以了， x 一 减二十二，我们也说了，如果难求的时候 我们干嘛？我们可以用伟大定律，对吧？用这样的方式，但是还有一种东西呢，就是我们在这样的题目当中，我们可以尝试一下可不可以减少一点点的这个计算量啊？就通过什么样的方式，通过他们的定义 啊？那这个时候呢，他的定义就是，哎，这条线，呃，那个抛物线上的点到那个焦点的距离等于这个的距离，这一段距离又等于这个距离，然后呢，我们进行一个转化，那么进行一个转化的好处是什么呢？就是 我们本来是呃 x 轴和 y 轴的问题，那这个转并且变转化了之后呢？这个是 x 一 x 二，它就变成了 x 一 加 x 二加二嘛，我们要求这个东西 它就变成了只有 x 的 问题，对吧？这个呢，就相对来说会方便那么一点点，好吧，那么这个时候呢，当然我们还是要连立的， y 的 平方等于四 x， 然后呢？ y 等于 x 减一，然后呢把这个东西 x 的 平方减，哎，减去二 x， 那 就变成了减去六 x 加一等于零，对吧？这个东西我们说不需要把它解出来，因为在处理这样的问题的时候，我们并不需要具体的 x 一 x 二，当然解出来也没问题啊，就是计算量大一点，多一点根号呗，最后把它消掉。这地方我们直接用韦达定律，对吧？负 a 分 之 b， 负 a 分 之 b 就 等于六，六加二等于八，对吧？等于六加二等于。 这个是初中知识哈，如果这个地方没听懂我在讲什么，不知道什么是伟大定律的同学啊，就补一下初中的这个相关的一个知识好不好？这个也很容易推倒啊，就是一个求根公式，二， a 分 之负 b 加减根号 b 平方跟到加加减根号第二塔加和减，把它给，如果它们相加的时候把它就这样子， ok， 然后呢，年历得到这个式子，然后用伟大定律，对吧？这个等于六，所以整体等于八啊，所以这个呢，就减少了我们的预算量。 解析几何当中用一些方式去减，降低自己的预算量很重要，因为那个预算量比较大，很多时候呢，只要你的方法是对的，都能解，但是呢，有一些方法，他的那个求解的那个会降低一点预算量的一个问题。 然后第四也是课本的一道立体啊，经过抛物线交点 f 的 直线呢？交抛物线于 a b 两个点，然后呢，经过点 a 和抛物线顶点的直线，交抛物线的准线于点 b。 求证直线 d b 平行于抛物线的对称轴。 有些同学呢，很很怕做这种所谓的证明题，你只要把它给表达出来就可以了，好不好？这道题，当然这道题也挺重要的，这道题挺重要的，同学们去留意一下，因为这道题目当中呢，有好几个东西我们可以值得去注意的。我们首先把这个图给画了哈，经过 f 有 ab 两个点啊，当然 a 在 哪里不重要哈，不重要，因为它是对称的啊，在上面只不过是因为它好画， 然后呢， a 点和 o 点到 d 点啊，对吧？然后求证呢， d b 平行于他，那这里呢，有什么东西我们来摞能理清一下思路哈， 我们在整一个解析几何当中我一直在提一个点呢，就是同学们要有框架性的思维，对吧？所以呢，我们来来来，来捋捋一下哈，当然他有不同的方法。我们首先呢来课本给我们的一个方法，就是我设定的 a， 我 首先设定第一步啊， 我的啊，第一步设定我的 a， 它多少呢？因为 a 它在这个什么？我我我，当然我，这个地方我省略了哈，就是当然我们要构建这个坐标系，因为这个题目当中是没有构建坐标系的，那我们就正常去这样去构建坐标系，那么这个时候呢，我们设 呃这个 y 的 平方等于二 p x， 好， 这个就不是思路的步骤了哈， ok， 然后这个时候呢？ a， 我们因为猜在它上面，然后呢，这个时候呢？就怎么样呢？它 x， 它等于二 p y 零的平方，然后呢？ y 零， 对吧？我们就可以用一个 y 零来表达好这个问题，来答第一个问题，为什么我要用 y 零，而不是用那个 y 来替代掉这个 x 呢啊？用 x 来替代掉 y 呢，对吧？为什么我不用 x 来替代掉 y， 我 要保留 y 呢？ 因为这个地方呢就存在一个东西，我们说有两个东西，第一个我说框架性思维，这个就是我现在给大家去罗列思路。第二个东西是什么呢？要目有目标感， 我们同时要从目标出发，我们要干嘛？ d b 平行于它的对称轴，对称轴是什么？对称轴是 x 轴，所以这个时候呢，它对称于 x 轴，也就说它只要它的纵坐标相等，那纵坐标相等它跟它的横坐标无关， 所以我们最后要一个目标是什么？从目标出发，倒推，我们要证明他，我们就要证明低点的这个重坐标和低点的重坐标，无论他怎么变动，他都是一致的，所以我们要保留重坐标， 所以这个思路是清晰，所以不是当我们，呃去看那个答案的时候，肯定能看懂，为什么要这样子啊，对吧？所以我这个地方呢，保留了 y 零， ok， 那 这个时候呢？第二个呢，我就要去表达 d 和 b 两个点的那个什么重坐标， 我们知道我们现在有多少个参数，我们设定了多少个参数？两个，一个是 p， 一个是 y 零，一定要想清楚啊这个事情。然后呢，第一个， 第一点怎么表达？第一点通过什么方式来表达它的作图表？第一点呢，我们会知道，当我们知道 a 的 时候，用两点式，或者说我们啊知道这个斜率 k 对 不对？斜率 k 就是 y 零， 比上这个东西就是 y 零的平方二 p， 所 k k 等于 y 零分之二 p。 所以呢，首先第一步就是什么呢？呃，求解出那个直线 o a， 然后接着呢？干嘛呢？因为这条直线它的横坐标是 x， 等于负二分之 p， 然后呢，代入 x 等于负二分之 p， 求得 呃， d 点的横坐标，我说 y y y d 吧。第二个 b 点， b 点怎么求？ b 点？当我知道这个的时候，我们就要干嘛？第一步连力，嗯啊，首先第一步是构建啊，构建 直线干嘛？ fa， 然后构建直线 fa 呢？之后第二步是干嘛？连力？ fa 和抛物线 方程，那连逆之后消去谁？消去谁？我们说我们要求解的是 y， 所以 要消去 x， 然后这个时候呢，由于它其中的一个解是 y 零，那么我通过伟大定律 我就能求出 y 二， y 二就是 y b， 那 这个时候第三步呢，我们要求证，证明， 那这个不需要证明呢，写出来相等就相等，不相等就不相等， y d 等于 y b。 好， 这个就是我一直所说的，像这种题目等一下做的时候，大家就会知道一个点， 什么就是它是有一定的预算量的，这个预算量的过程当中，我说第一点这个框架性思维，第一个就是我能确保我的这个就算，我算十分钟，十五分钟，我在考，考试当中我一定能算出来，不会我算到半路发现，哦，不行， 那对吧？这是第一个东西，第二个事情是什么呢？第二个事情就是你算到半路究竟我在干什么，对吧？我是说我是谁？我在哪里？我在做什么？我对照着这个东西，我知道什么东西，当然 当你们的思路到了一定的时候，就不需要这么写，所以我说你们思维偏差的同学要去锻炼自己的这种思维，先写不会浪费你们时间，你听着我说，当你花时间去做作业的时间，你会省回来的， 并且这个能力非常的重要哈，就是你一开始做不了，但是不断的去锻炼自己的这种能力，这个就是框架性思维，这个也是，同时也是我经常说的在尖子生当中，数学的尖子生，物理的尖子生，很喜欢点刷啊，对不对？我不断的提这个词， 他们刷大量的题目啊，我知道思路 ok， pass， 然后你们还可以，比如说设斜率 k 等一下，我们来也来看一下，斜率 k 有 另外一种解法，好吧，我们就按照这个来先解，这个时候呢，我们第一步我们算出这个，我们看哈 先构建这个坐标系，设这个抛物线的方程，然后 a 点的坐标啊，刚才我们也写了，对吧？那这个时候呢，我们把第一点就是负二分之 p， 是不是 l 等于负二分之 p 带入到这个方程当中，那么就是 y 就 会等于 y 零分之二， p 乘以负二分之 p， 对 不对？消掉，消掉，对吧？它就等于负 y 零 p 的 平方。好，这个是我们刚才的第二大步的 第一点，我们求出 y d 啊，对不对？那这个地方呢？我们就好结束了，下一步我们要求解 b 点的，这个我们刚才说干嘛？首先呢，我们 a 点和 f 点之间做一个什么事情？两点式，对不对？这个一个点，两个点，用两点式，但这个地方呢，当然我们要搞清楚，它要区分一种情况，就是用两点式的时候， 这个要单独分类讨论，对吧？这我们要搞清楚，所以呢，当这个不等于的时候，就是说这种情况，我们先到时候再分类讨论，那这个时候呢，用那个两点式，用两点式，然后去做整理，我们整理出这个两点式，对吧？整理出两点式方程， 有了这个两点式方程之后，我们再去干嘛？连力，连力那个抛物线， 所以在这个整一个计算的过程当中，我不断的体搞清楚，这个是参数，这个是参数，这个如果都说是常数，要要看清楚那个结构是什么，这里是常数，这里是常数，这里是常数，看清楚哈，我们重新再写一下， 所以这个时候呢，我们说干嘛？ x 是 我们不要的，对吧？我们那个思悟，当我们看着我刚才的那个框架，你就知道你现在很多同学写在这里，我在干嘛？我要干嘛，对不对？我要干嘛？我要消去谁？消去 x， 我 要保留 y， 那么这个时候呢，就是 x 等于二 p 分 之 y 的 平方，那这个时候呢？二 p 分 之 y 的 平方，对吧？那就二 p y 零乘以二 p 分 之 y 的 平方， p 消掉二消掉就等于什么 y 零 啊？ y 零 y 的 平方。搞清楚，这个是常数，这个是变量。哈，搞清楚，这个是常数，这个是变量。然后这些有没有变？ 没变啊？这些都没变。所以呢，这个也是比较简单的计算啊，这一步比较简单的计算到了这一步，然后我们要干嘛？下一步我们要干嘛？ 我们已知了 a 点，就这个方程其中的一个解，就是 y e 其中一个解 y， 那 我们可以干嘛？我们可以通过我们的求根公式，我们也可以通过什么韦达定律啊？ 它，呃， y 一 加 y 二，但这个地方呢？我们觉得好像，我看了一眼啊，我就觉得可能这个就是 y 一 y 二，也就说 y 零乘以 y 二等于 a 分 之 c， 对 吧？ a 分 之 c 呢？就是负 p 的 平方，嗯，这个比较简单， 那 y 二等于就 y 二，就会等于多少负的 y 零除过去 y 零负 p 的 平方。好，这个地方呢，我们就出现了我们刚才的第二大部里面的哪一点？第二点就是求出了 y b 的 这个东西。哎，这个东西是不是求出来之后，嗯，这个是不是跟我们刚才求出来的那个 y d 一 样的呀？ 一样的，所以相等纵坐标都是这个，所以得正啊，得正。当然我们要单独去看这个，对吧？接着这个就简单了，这个就 这个，就十种方法，十几种方法啊，大把的。你要带入这个，然后再用刚才组刚才一模一样的流程也可以。然后呢这个地方呢，我们看到这个地方是一个什么三角形， 这是一个全等三角形，对吧？是不是全等这个角，这个角平行平行，直角直角，对不对？然后呢这一个等于这一个，所以呢这一段等于这一段我们也不用去求了，所以 他们两个全等，那么 e d 就 等于啊，这个啊，这个 e d， 这个就等于这个好不好？所以呢这两个相等，这两个相等就 y 值相等嘛，所以他们平行，这个就很简单了，好吧，这个就很简单，所以综上所述。 然后呢就是直线 d b 平行于它，所以这个地方呢，我们再来看另外一个东西啊，我们当我们设定出来 y 等 y 的 平方等于二 p x， 我们有另外的一种方式和手段，就干嘛呢？刚才的那个地方，我先设定的这个是斜率 k， 我 们先看刚才那个图吧，刚才那个图我可不可以设定这条直线的斜率 k， 这个时候我们就会得到一个关于 k p 的 一个直线 l， 知道吧？这个因为这个 f 点是带 p 点的，然后带斜率 k 的， 当然斜率 k 不 存在的时候，要单独考虑，对吧？那这个时候我们连立方程，连立这个幺的方程和双曲线的方程啊，和这个抛物线的方程，我们就能求解出。首先我们会求解出 y b 关于 k 和 p 的 一个表达式，然后求解出 啊 a a 点 a 点，然后呢再通过刚才同样的流程说，呃，写出这个直线 o a， 然后呢再带入这个 x 等于负二分之 p 来求出 d 点，然后呢从而来证明就这些东西呢，有很多不一样的解法，同学们一定要去锻炼我刚才所说的刚才的那个流程 啊，这个框架性的，要强迫自己不断的这样才能提升，这个是最重要提升自己的解析几何做题的能力的一个方法，包括后面的竖列题也需要这种思维哈， ok， 然后我们看例五，如图，已知定点，这个我们来写哈， 一个定点， b， c 垂直于 b 的 任意点，然后 m， d 垂直于 x， 轴于 d， 然后 m e， 然后 o。 这种题目哈，很多同学会干嘛呢？很多同学会很乱，你就照着他怎么讲就怎么画出来就行了，他怎么讲我们就写 b， c 垂直于啊，我们就写你比如说我在这个地方，我来模拟一下 b 这个点啊，当然 a 和 h 它不一定大于零，但是没关系，我们假设它，因为它都是对称的嘛，但不重要。 ok， b 点，然后 b， c 垂直于 x， 属于 c 这样的能力。 c 点嘛， m 是 线段， o， b， o， b 任意点，那我就任意喽，你说任意嘛？ md 垂直于 x， 轴于 d， m， e 垂直于 b， c 于 e， o， e 和 md 相交于点 p， 所以 要有这样的能力哈。然后这个时候呢，我们也是，他说什么我们就表达出来就可以了，这点 p 是 我们要求的 x y， 那这个 m 点的横坐标就 x。 同样的，我们来看一下 b 点坐标。已知吗？已知 啊，我们要搞清楚啊，这个算不算已知？这个叫做已知哈，这个是很重要的一点呢，这个字母算不算已知，算是已知哈。 a 和 h， 我 们要看待它是已知的， 跟我们设的是不一样的，就跟我们设 a 和 h 是 不一样，这种叫未知，这个是已知的，那这个时候呢，我们就可以表达出直线 o b， 然后带入 m 的 横坐标 x， 对 不对？那么就能求出 m 的 纵坐标 y， 然后这个时候呢， e 的 横坐标，知道吗？知道，它就是 b 的 横坐标 a， 纵坐标呢，就是刚才求出来的 y， 那 么我们就直线 o o e， 直线 o e， 它就是 p 点的这个表达。是因为三点一个一条直线嘛，所以这题目是比较简单的，刚才那道题目其实是比较重点，比较多东西去让我们去总结的啊，直接 o b 把它写出来，对吧？这个就是我们的最基本功的东西了， 然后呢， m 点的横坐标带入这个式子我们就有，那么 m 点，对吧？ x 和这个东西，然后 e 的 坐标为这个东西，然后呢直接 o e 的 方程把它写出来，那 o e 的 方程 把它整理一下，我们会看得出来哦，它就是一个什么，它就是一个抛物线的方程，对吧？然后呢， p 在 o e 上面就有这个东西，注意，因为它是 o b 上面活动，所以它是有范围的， 要特别注意啊，所以这样的东西，好，这个就是我们的呃，最后一道那个课本的立体，然后我们来看一下例六，已知抛物线的焦点 f 在 x 轴上， 我陪着大家去画一下这个图吧， f 在 x 轴上，然后呢抛物线，呃，直线要过 f 且垂直于 s x 轴，它有没有说那个什么？有没有说在那个正半轴啊？没有，没有说正半轴，负半轴，我们就不管它 过且垂直于 x 轴，对吧？这是 l， 然后呢直线 l 相交于 a 点， b 点坐标原点 o 为抛物线的顶点，然后呢， oab 的 面积啊， oab 的 面积， 对吧？为四，那这个时候呢，就说，嗯，这个是，比如说我们设定的是 y 的 平方等于二 p x， 那这个时候这个这一段是多少？这个一段是二，二分之 p， 那 这一段呢，就是我代入横坐标的时候得到的那个值，那么我们就这个乘，这个就是说意思这个这个高乘以这个底除以二，这两个是对称的，对不对？那么所以我令 这道题就比较简单了好不好？但是呢，我们也要用框架性的思路哦，我带入这个呃，我们就能求的这个呃点 a 的 重坐标，那重坐标呢？就是它的这个点，然后呢，全部都只有多少个字母？只有一个字母 p， 一个字母 p， 方程思维一个条件足够， 好不好？就这样子，所以呢，我们一步步来，我们要带入令， x 等于二分之 p， 那 么 x 等于二分之 p 就 y， y 就 会等于 p， 对 吧？ 好，这个点我们不防射在上面，那个不重要哈，正负 p 不 用管，就反正这个长度就 p， 这个长度，二分之 p 啊，对吧？那二分之 p 乘以 p， 这个面积除以二，我们就这个东西等于四，对吧？那 p 就 会等于多少？ p 就 会等于二分之根号二， 对吧？二分之根号，那就四分之根号二， x 就 出来了，对吧？就这样子啊， ab， 然后呢，假设在正半轴上，然后呢，另这个东西 等于四，只有解出 p 的 这个，所以方程为这个，好吧，同理，我们会知道，因为我们说它的焦点 f 在 x 轴上，所以我们说不妨设是这样子的， 但是我们要知道它有可能有两个，因为它是对称的，所以呢，同理，我们这个地方呢，考试直接写就可以了，我们解出来这个，然后也有可能反过来，所以呢方程也有可能是这个， 所以有两个不一样的一个解法哈，就这样子。所以关键呢，我们这节课呢，要重点去总结，我们的历四那个课本上的那道例题，是很值得总结的一道题目哈。好， ok。 然后这节课我们下节课再见，同学们，拜拜。

同学们好，这个视频老师接着来给大家讲我们抛物线的二级结论的第二一种交半径的关系。首先我们的 抛物线它都是这种形式，开口向右， 那这是 x 角，准线等于负的二分之 p， f 是 二分之 p 到零。然后现在相当于我们这里有一个过交点的直线相交于 ab 两点，像我们 a 点是第一象限的角， 第一项线的点， b 点是第四项线的点，我们如何来求 af， 也就是我们的交半径。我们都知道到焦点的距离与到准线的距离相等，所以说我们就肯定要先做垂线，那么这里是 a 一， 这里是 b 一， 所以我们的 af 的 话，它实际上是等于 a a 一 的， 那这个时候我们会有两种推导方法，一种是知道坐标的话，知道坐标 a 点为 x 一 y 一， b 点为 x 二 y 二的话，所以我们的 a a 一， 它是不是这里它 x， 它是 x 一 y 的 话，它的横坐标是 x 一， 就 x 一 加上我们的二分之 p， 也就是等于我们的 a f， 同理 b f， 它就会等于 x 二加二分之 p， 这是我们知道坐标，那我们这个时候的 ab 的 话，它是不等于 a f 加上 b f， 也就等于 x 一 加二分之 p， 加上 x 二加二分之 p， 也就是等于 x 一 加 x 二加 p， 这是我们知道坐标型的交半径和交点线的公式。然后第二一类是知道倾斜角，假设这个是 c 塔，那我们要现在要求的是我们的 a f， 我 们就假设为 x， 那 这里是 x， 那 么这个整体也是 x， 我 们要用上这个角，这个角是 c 塔，那么这个角是不是也是 c 塔，我们过这个点做垂线，这里假设为 f 一， 所以我们在三角形 a f e f 中，我们的 q 三也是它，它是不是等于 a f 一 比上我们的 a f？ 而刚才我们已经设了 a f 是 x， a f 一 的话，它是等于 a a 一 减去 二分之 p 的 啊，不是减分之 p， 应该是减去 p 啊。因为我们的 a e f， 它是减去 a e f 一 的 a e f 一， 它是交准距啊，交准距， 所以它是等于 x 分 之 x 减 p， 括号乘以 c， 它然后把乘过来，就是 x 被括号乘以 c， 它等于 x 减 p， 然后把一项就是 x 被一减括号乘以 c， 它是等于 p 的， 所以 x 是 等于一减 cosine c， 它分之 p， 也就是我们的 a f， 然后 b f。 同理可的，我们可以这里做垂线，然后去求求这个角的余弦值。这个时候大家看一下 b f 的 话，我们假设这里是 f 二， 我们在三角形 b f 二 f 中，我们的 cosine c， 它的话，它这个时候它是不是等于 f f 二比上 b f， 那 我们假设 b f 是 y， 它要是 y 的 话， 这里是不是 y？ 然后 b b 一 的话，它是不是这个是整体是 y， 然后这边的话，它就应该是交准距 f f 二的话就是交准距减去我们的 y， 再除以 y， 所以 我们的 y， 也就是 b f， 它是等于一加扩散以 c， 它分子 p。 一 旦我们把 a f 和 b f 分 别求出来之后，我们的这个时候的 ab 的 话， 求法 ab， 它是不等于 a f 加上 bf， 也就是等于一减 q 三以 c， 它分之 p 乘以加上一加 q 三以 c， 它分之 p。 我 们进一步化简，通过分就是一减 q 三以 c， 它的平方分之 p 加 p 倍扩散一 c， 它再加上 p 加 p 减 p 倍扩散一 c， 它，然后这里约掉，所以它就等于三引平方 c， 它分之二， p 就 求出弦长了。同同时我们要知道我们的交半筋的导数，分之一加上 f， b 分 之一的话，它是等于 p 分 之一减 q 三以 c， 它加上一加 q 三以 c， 它也就是等于 p 分 之二。我们的 p 是 什么？半通径啊，也叫做半通径，所以它是等于半通径分之二。 这样子我们就推出我们两种形式的交半径和交点线公式了。关注我后面更新更多的解析技巧。

三题考察椭圆和双曲线的一些知识点。首先他说要与椭圆的右焦点重合，那么咱们先把椭圆的右焦点找到， 根据椭圆的方程，六分之 x 三，然后六比二大，所以我们知道它的焦点是在 x 轴上的， 所以说它的右焦点，那么一定是 c 零这个坐标，接下来我们就把 c 求出来， 椭圆的 c 呢，是用 a 桑减去 b 桑再开桑的，所以它等于六，减二就是四，再开桑它等于二， 因此我们得到了它的右焦点的坐标是二零， 那么二零呢？根据抛物线的知识来看，那么二零就是这个二，它是当中的二分之 p， 所以 p 是 等于四的，就求出来了。

同学们，这个视频老师接着来给大家讲我们抛物线的焦点弦的二级结论。首先上个视频我们已经给大家证了 m 点它 b 在 准线上，然后我们这里面大家注意一下，我们前面已经给大家讲过了，在 a 点处的切线方程 x 二 y 二，所以我们就会有 在 a 处和 b 处的切线斜率切线方程分别是 y y 一 等于 p 倍 x 加 x 一， y y 二等于 p 倍 x 加 x 二。上个视频我们已经推出来，我们的 x 是 等于负的二分之 p 的， 所以我们要看这里 y m， 它是否等于二分之 y 一 加 y 二。我们可以来证明一下，随便带入一式或者是二式，带入一式 我们就可以得到 y y 一， 它是等于 p 乘以 x 减 x 就 负二分之 p 加上 x 一， 所以我们的 y 的 话，它实际上是等于 y 一 分之负二分之 p 的 平方加上 p x 一， 而我们这里面都知道它的重坐标是和 y 有 关，所以我们要把 x 换掉， x 换掉的话， x 一， 因为我们的这个是 y 一 的平方，是等于二 p x 一 的，所以我们的 x 一 是等于二 p 分 之 y 一 的平方，所以我们的 所以我们的 y 的 话，它会等于 y 一 分之负二分之 p 平方加上 p 乘以二 p 分 之 y 一 的平方，然后把 p 约掉，然后把二约除下来，就二倍 y 一 分之负平方加上 y 一 的平方。这里大家要注意一下，我们 已知 y 一 和 y 二，我们之前前面的上上个视频大家可以翻看一下它 y y 一， 它是一个定值，是等于负的 p 平方，而这里要求 y 一 和 y 二，所以我们就要想办法把 p 方换成 y 一 和 y 二，所以我们就把它换成了 y 一 乘 y 二加上 y 一 的平方，然后同时约个 y 一， 是不是就等于二分之 y 一 加 y 二，所以我们的 y m 它是不是等于二分之 y 一 加 y 二，而 n 点又是 ab 的 中点，所以 n 点的 y n 的 话，它也是等于二分之 y 一 加 y 二，所以我们就正到了 m n 是 平行于 x 轴的 m n 平行于 x 轴，然后 m n 平行于 x 轴之后。我们这里面这个三角形它很特殊啊，它也是我们的阿基米的三角形，阿基米的三角形，我们这里面其实我们的 m 点也是我们前面讲的以 ab 为直径的圆与准线相切，切于 m 点。那现在我们来证明这个时候为什么它是垂直的，其实就相当于要证明 k a m 乘以 k b m， 然后 k a m 的 话，我们 a 以 a 为切点的斜率是 p 除以 y 一， 以 b 为斜率的话是 p 除以 y 二，而 y 一 乘以 y 二，是不是负平方，所以它等于负一，所以 k， 所以 am 它是垂直于 bm 的。 那根据我们前面讲的以 ab 为直径的圆，它会和圆相切，是一个点。而我们现在又知道以 ab 为切线， 交于某个点，而且它交于准线，交于准线，而且它又是九十度的话，那大家想想，以同样的一条弦交于同样的一条直线，它会相切的话，是不是只有同样的 m 点？所以这个 m 和我们之前的那个以 ab 为直径的圆，那个相切的 m 是 一样的啊，同一个点。 那现在我们还要证明我们的第三一个 m f 是 垂直于 ab 的 m f， 这里 m f 我 们要证明它是垂直的，我们这里面 ab， 它都是和焦点有关，是还是一样的做垂线，那做 a e， 做 a a e 是 垂直于准线的 垂直一整线，所以我们要这里是不是已经有垂直？我要证这个垂直的话，大这里这条边和这条边是相等，而这条边和这条边，这条边是公共边，那我只需要证明三角形，三角形 a e a m， 它是全等于三角形 f a m 就 可以了。那我们已经有两条边了，现在只需要找一个角，找什么角？我们来观察一下。我们这里面已经知道了一些，我们的 a a 一， 它是平行于 m n 的， 所以角一的话它是和角二相等的。 而刚才我们说了我们是以 ab 为直径的圆，那所以说我们就会有 m n 是 不是等于 na， 所以 角二的话，他应该是和角三相等的，所以我们就得到角一是不是等于角三，这是角三。所以这个三角形是不是就正到了全等边？角边他正了，全等了之后， 所以我们的 m f 是 不是就会垂直于 a f， 也就是 ab， 所以 第三个问就正到了。关注后面更新更多的解析技巧。

同学们又来到小李的数学课，今天我们去学习的是第三章圆锥曲线的方程。三点三点二，抛物线的简单几何性质。第一课时 学习目标，一、了解抛物线的简单几何性质，培养数学抽象的核心素养。二、利用性质解决与抛物线有关的问题。三、能利用方程与塑形结合思想解决焦点型问题，培养数学运算的核心素养，精精导入。 阿波罗里奥斯五、希腊数学家被称为圆锥曲线之父，在他的著作圆锥曲线论中，首次通过圆锥截线系统定义了抛物线首位系统抛物线几何性质的数学家。 范围，对称性、顶点、离心率等。抛物线的标准方程，焦点坐标准线方程 top 方向向右时，标准方程为 y 方，等于二 p。 x p 代零。焦点坐标为二分之一 p。 逗号零准线方程为 s， 等于负二分之一 p。 开口方向向左时，标准方程为 y 方，等于负二 p。 x 焦点坐标为逗号负二分之一 p。 逗号零准线方程为 s， 等于二分之一 p。 开口方向向上时，标准方成为 s 方，等于二 p。 y， 焦点坐标为零二分之一 p 准线方成为 y， 等于负二分之一 p。 开口方向向下时，标准方成为 s 方，等于负二 p。 y 焦点坐标为零，逗号负二分之一 p 准线方，成为 y， 等于二分之一 p。 新课探究 类比研究椭圆双曲线范围的方法。观察我们这个抛物线开口方向是向右的，可以发现该抛物线上的点横坐标和纵坐标的范围分别是什么？横坐标的范围是横大于等于零，纵坐标范围是全体实数。 当 x 大 于零时，抛物线在 y 轴的右侧开口方向与 s 轴的正方向相同，当 x 的 值增大时， y 的 绝对值也增大，这说明抛物线向右上方和向右下方无限延伸 抛物线的简单几何性质。一、范围图形抛物线开口方向向右时，标准方程为 y 方，等于 o p s， 那 么横坐标范围是 x 大 于等于零中坐标范围是属于全体实数。 开口方向向左时，标准方程为 y 方，等于负二 p x 横坐标范围是 x 小 于等于零。纵坐标是全体实数，开口方向向上时，标准方程为 x 方，等于二 p y 横坐标的范围是全体实数，纵坐标范围是 y 大 于等于零， 开口方向向下时，标准方程为 s 方，等于负二 p y 横坐标范围是全体实数中坐标的范围是 y 小 于等于零。已知抛物线 y 方等于 c 的 焦点为 f， 若 p f 等于三，求点 p 的 坐标， 那么像这种题目的话呢，不太清楚的前提下，我们可以进行一个画图，像 我们画这个抛物线的话呢，最好是将这个焦点还有它的准线也画出来。 好，那么这个点 p 是 在哪里呢？点 p 是 在抛物线上的，这个 p 是 在这里啊，那首先的话呢，我们焦点为 f， 所以 我们先将这个焦点坐标求出来，那么从这我们知道，是啊，减 二 p 四等于四的，从而求出 p 四等于二，进而求出二分之一， p 四等于一，从而得到我们焦点 f 的 坐标是一逗号零，而这个准线方程为 s， 等于负一 啊，这个焦点为一零，而这个点 p 是 在抛物线上的话呢，我们可以设这个点 p 为 s 零 y 零， 对吧？那么怎么去求出这个点 p 的 坐标呢？接下来话呢，我们使用啊两种方法，那么第一种话就是用我们常见方法，他不是知道 p f 的 长吗？那么就算 p f 的 长，把它算出来，它是等于根号下 x 零减一的平方， 加上 y 零的平方，那么他这个是等于三， 那么两边平方之后就得到 s 零减一的平方，加上 y 零的平方就等于九。 我要解出这个方程的话，但是这里是两个位置，所以那么这个是解不出来的。但是呢我们还有一个条件是什么？我们这个点撇是在我们这个抛物线上的， 那么既然这个点 p 在 抛物线上的话呢，那么此时这个点 p 满足的方程是 y 零的平方就等于四 x 零，所以我们将这个 y 零的平方等于四 x 零带入到这个式子， 把这个 y 零消掉，那就得到的是 x 零减一的平方，加上四 x 零 等于九，我们展开一下 s 零的平方减去二 x 零加一，加上四 x 零等于九，那么整理下 s 零的平方，这里是加上二 x 零了，再加一， 这个是完，这个刚好是完全平方公式，我们这边等于九，那么求完求出 s 零，它是等于正负三减一， 这步三减一的话，那么求出 x 零，它是等于二，或者是 s 零等于负四， 那么从这里的话呢？呃，我们可以知道是呃， 求出横坐标是二或负四，那因为我们知道这个抛物线呢，它的开口方向是向右的，向右的话说明这个横坐标的范围是大于等于零的，所以 x 等于负四的话，这个是舍去， 舍去，那么求出横坐标是等于二，这怎么求出它的重坐标呢？那我们把它带入到我们这个 抛物线方程这里，那么带进来就是 y 零的平方，就是等于八，那求出 y 零是等于正负二倍根号二，那所以得到点 p 的 坐标为二逗号二倍根号二，或者是二逗号负二倍根号二， 这是我们啊这种啊常规的方法，但是我们这个是抛物线的， 这个抛物线 p f 是 指什么？是指我们这个点 p 到焦点的距离。那么根据抛物线的一个定义，这个点 p 到焦点的距离，它是等价于这个点 p 到这个这条准线的距离， 那这个是为 d， 那 此时这个 p f 就是 等于这个点 p 到这条线的距离，那么此时这条啊，这个 p 点，我们刚才说的是它设为 s 零 y， 那 么呃，点 p 到这条线的距离是多少呢？首先它这里分成两段，那么这一段的话呢，是 x 零呢？因为刚好是 x， 是 正数嘛，那这一段是多少？这一段是二分之一 p 二分之一 p 二分之一 p 是 多少？二分之一 p 是 一，所以这里是等于 s 零加上二分之一 p。 好， 那么 often 就是 等于 s 零加上一就等于三，从而求出横坐标。 s 零是等于二，那么横坐标求出来是等于二的话呢？我们把它带到抛物线这里，那求出这个 y 是 等于正负二倍根号二，进而求出点 p 的 坐标 例比。研究椭圆对称性的方法得到什么结论？以负 y 代 y， 方程一不变，所以抛物线 y 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 抛物线的简单几何性质二、对称性图形是抛物线开口方向向右时，那么焦点位置是在 x 轴的正半轴对称轴为 s 轴。 开口方向向左时，焦点位置 s 轴的负半轴对称轴依然是 s 轴。开口方向向上时，那么焦点位置落在是 y 轴，正半轴抛物线为 y 轴。 当开口方向向下时，那么焦点位置是为 y 轴的负半轴，抛物线依然为 y 轴。 内比求椭圆顶点方法是求抛物线的顶点，那这里很明显，顶点就是零零。抛物线和它的轴的焦点叫做抛物线的顶点。 逆 x 零时求出 y 等于零零，所以点零零既原点是抛物线的顶点， 顶点坐标是零零。已知抛物线 c y 等于负二， x 的 平方的顶点为 p。 那首先我们观察这个抛物线，如果它不是一个标准化，我们一定化成一个标准化的一个形式，所以我们对这个抛物线抛物，抛物线 c 化成标准化为 s 方，它是等于负二分之一 y， 那 顶点为 p， 那 顶点为 p 的 话，就零零了。 点 q e t 在 抛物线 c 上点 q e t， e 是 什么？ e 是 横坐标，是等于一，那我们把这个 t 求出来，那么把 e 横坐标带进来，得到是 y 是 等于负二，所以点 q 的 坐标 q 是 等于一。逗号负二求线段 p q 的 长度， 那这不是求出这个点 q 的 坐标的吗？而 p 点是圆点的，那 p q 的 长度那不是两点间距离公式吗？那就等于根号下一的平方，加上负二的平方，就是等于根号五了。 抛物线的简单几何性质是离心率，抛物线上的点 n 与焦点 f 的 距离和这个点 n 到卷心的距离之比， m f 比上低，就叫做抛物线的离心率，就说这一个比值就是离心率， 用一来表示。那么由抛物线定义可知，我们知道抛物线点 n 与焦点 f 的 距离，它是等于点 n 到准线的距离低，所以它的比值是等于一的，那么这个比值就是离心率，所以抛物线的离心率一是等于一。 关于抛物线，下列结论正确的是，那么这里是它是一个抛物线，所以离心率是唯一的，所以排除 a。 那 现在 boy 和 do 那 下，它是 y 方，等于八 y， 那 么这个开口方向是向上的， 那这样开口方向向上的话呢？那所以这个焦点位置落在 y 轴的正半轴，所以这个 boy 也是错的。那么准确的方式应该是 y 等于负多少，它是负的，所以 dog 也是错的，所以答案是 cat。 抛物线与椭圆双曲线性质的一个差异，一范围，椭圆的范围是封闭的，双曲线的范围是无限生长，但有进气线，抛物线是无限生长，没有进气线。 对称性，对椭圆来说，对称中心为圆点，它有两条对称轴，双曲线依然也是对称中心为圆点啊，有两条对称轴，抛物线是无没有对称中心，只有一条对称轴 啊。顶点椭圆有四个顶点，双曲线只有两个顶点，抛物线只有一个顶点。离心率，椭圆的离心率是一大于一的。抛物线的离心率一是等于一的，决定形状的因素。椭圆的离心 率决定扁平程度，双曲线的离心率决定扁平程度。双曲线的这个 p 决定张口大小，抛物线的这个 p 决定张口大小。 应用先知例题三，已知抛物线关系总对称，那既然这个抛物线关系总对称的话呢，那它的开口方向要么是向左，要么是向右， 它的顶点是在圆点，并且经过点 n， 这个点 n 是 在第四象限 啊，抛物线的开口方向是要么向左，要么向右，并且是经过第四象限，那所以下出的结论是这个抛物线的开口方向是向右的， 这样决定项链的话呢，那我们这个抛物线的位置就确定了，所以射出它的抛物线方程为 y 方，等于二 p x， 其中 p 大 于零，那么因为经过点 p， 所以 我们将这个点 p 带到这个抛物线方程这里，从而把 p 求出来，进而求出标准方程。 待定系数法求抛物线标准方程的五个位数。一定焦点，确定抛物线的焦点位置， 那我们确定抛物线的交点位置，那主要是确定它的一个开口方向。二、设方程，设出抛物线的标准方程，根据开口方向交点位置， 从而设出抛物线的标准方程。三、点方程，根据定义建立关于参数 p 的 方程就是解方程，把这个参数 p 的 值求出来。五下结论，写出所求抛物线标准方程。 已知抛物线关于 y 轴对称，那么关于 y 轴对称的话，那这个抛物线的开口方向要么是向上，要么是向下了， 它的顶点在圆点，并且经过点 m， 既然是经过点 m， 我 们看下这个点 m 依然也是在第四象限，那说明这个抛物线的开口方向是向下的， 这样抛物线开口方向是向下的话呢？那所以我们就设出抛物线的方程为 s 方，等于负二 p y， 那 么 p 是 大于零的，让我们将这个点 n 带进来，从而把 p 求出来，进而求出它的标准方程。 思考，结合例题三和跟踪训练，思考以下问题。 现在问题是我们这个抛物线它仅仅经过点，那此时我们的抛物线有几条呢？它的标准方程分别又是什么呢？ 那么经过一个点，首先我们观察一下这个点是在第几项线，这个点是在第四项线的，那此时这个抛物线可能的方向是向右或者是向下，那说明抛物线只是有两条。 当它向右时，达到的标准方程可设为 y 方等于二 p x， p 大 于零， 当它开口方向向下时，那此时设出的抛物线方程为 s 方，等于二 p y， 其中 p 大 于零，同样我们也将这个点代进来，从而求出 p 点， 因为这个点在第四象限，所以抛物线的开口方向可能向右，也有可能是向下，因此共有两条。 当它抛物线开口向右时，就是我们刚才立体三的一个结果了。当抛物线的开口向下时，就是我们跟踪训练的结果了。所以综上所述，那就有两条。 例题四，斜率为一的直线绕入经过抛物线的交点 f， 且与抛物线相交于 a b 两点，求线段 a b 的 长， 那么这个求线段 a、 b 的 长线段 a、 b 就是 我们的弦长了，那么此时我们可以用弦长公式， 这个是交点 f， 经过交点 f， 并且斜率为一， 与抛物线交于两点，那么这个点是 a 点， a 点，这是 b 点，对吧？ 好答案的话呢，那此时做题目，我们第一种方法就是用行长公式把这个直线绕入的方程求出来。 首先写六为一，经过交点 f， 那 么交点 f 求出来这个点 f 是 一逗号内从求出直线绕入的方程为 y 等于 x 减一，那么跟这个抛物线进行连立， 那就得到是 x 减一的平方等于四 x， 那 么 x 平方减二， x 加一等于四 x， 那 么得到是 x 平方减六， x 加一等于要把两根之合求出来， 等于负的 a 分 之 b， 那 就是等于正六了，两根之 g 也求出来 a 分 之 c， 就 求出来是一了，那么这个点 a， 设这个点 a 的 坐标为 s 一 y 一 点 b 坐标是为 s 二 y 二， 那么从这里的话，利用斜长公式我们就可以得到 a b 的 长是等于根号下一加 k 方乘以根号下 s 一， 加上 s 二的平方 减去四 x 一 x 二，那么就等于根号下啊， k 是 写六十二了，乘以啊，好，这个是六的平方三十六，减去四就等于根根号乘根号三十二，那算出来是八， 这个是利用我们啊求斜长公式的，那有没有其他方法呢？ 首先它是一个抛物线，那抛物线的话呢？首先我们除了把这个焦点画出来的话呢，同时我们又可以将我们这个准线方程也画出来， 从这里画呢，我们这个 a 线段 ab 的 长可以分成两段，那一段是指 af， 那 么另外一段是指 bf， 那么这个 a f 的 长，那就是指我们抛物线上的点 a 到交点的距离，点 a 到交点距离等价于点 a 到准线的距离， 那么这个这里做垂直，我们这个记为这个垂直为 a 撇，那么等价就是 a 撇， 同理，我们这个呃点 b 是 在这里的，它到 f 这里就是也是到焦点 f 的 距离，那么等价于它到我们这个准线的距离，那么这位置记为 b 撇，所以这时就换成了 b b 撇了。 好，那么 a 撇的距离是等于多少了？那我们这个点 a 的 坐标不是知道它的横坐标是 s 一 吗？ s 一 是指哪一段呢？而这一段是多少呢？ 我们这里总共是 p 来的，那么这一段式一般就二分之一 p， 所以 这里是，所以 a 撇的，它是等于 s 一 加上二分之一 p， 再加上啊， b b 撇呢？ b b 撇的话呢，它也是，那么它是 s 二， s 二，这段是 s 二了， 那么这段是二分之一 p， 所以 它它等于 s 二加上二分之一 p， 那 么就等于 x 一 加上 s 二，再加上 p， 那么我们两根之合不是知道四等于六吗？好， p 是 多少呢？我们这里的二 p 是 等于四的，从而求出 p 四等于二，那带起来就是六加二等于八。 首先我们可以通过斜长公式求出斜长 a b， 但呢，我们可以直接抛物线的一个定义，从而求出焦点弦， 得到一个结论就是抛物线交点斜长公式，这个斜长它这里是指它是经过交点的， 那既然是经过交点，那么这个斜长叫做交点斜长了，那么只适用 a 是 交点斜长，才利用交点斜长公式，那不是这个斜长不经过交点的，那只能是注用斜长公式，这里要注意斜长公式。 好，那这样的话呢，从这里的话呢，那我们啊，经过焦点焦点斜长公式，那么第一个就是 s 一 加上 s 二加上 p， 那 么这一个开口方向由于是向左的，那么这两个横坐标是为负的，但是斜长是为正的，那此时的话呢，我们 s 一 加上 s 二呢？那么前面添一个符号，再加 p 即可， 那么这个开口方向向上的话呢，只是 y 一 加 y 二了，再加 p， 那 么这里是负的， y 一 加 y 二再加 p， 这个是焦点斜长公式以及我们斜长公式。 思考，如果直线绕路不经过焦点 f 就是 普通的斜长，还等于这一个嘛， 那此时是不相等的，因为从这个图中我们可以知道啊，这个直线 ab 是 不经过焦点 f 的 话，那根据三角形的三边关系，我们可以知道 a f 的 长加上 b f 的 长，它是大于 ab 的， 所以此时 ab 是 不等于这个，那意思我们这里 s 一 加上 s 二加二是大于 ab 的，是不等于啊？ 液体六，液体六，这里是，呃，求弦长了啊，这个弦长 a b 是 怎样的？清洁角为四十五四十五度的直线绕入经过抛物线的交点 f， 其与抛物线相交于 a b 两点， 那么这里很明显这个弦长 a b 就是 我们的交点弦长。 既然是交点斜长的话，那我们就可以利用交点斜长公式，那么像这个公式是怎样的呢？它这个抛物线呃，开口方向是向右的，所以它的斜长公式为 s 一 加上 s 二加上 p， 所以 第一步的话呢，我们把这个直线绕入直线方程，先求出来。首先斜率 k 是 等于等于 ten 四十五度 算出来是等于正义，那么焦点 f 的 话是二， p 四等于八，从而求出 p 四等于四，进而求出二分之一， p 等于二，从而达到我们焦点 f 的 坐标是二，逗号零， 从而达到直线。方程为 y 减 y， 零等于 k 四一， x 减二，然后再跟我们这个抛线连力 好 x， y 就 s 的 平方减去四， x 加四减八， x 等于你，那么 s 平方减去十二， x 加四，那么把两根之合算出来 等于负 a 分 之 b， a 是 一， b 是 负十二，那算出来是十二，从而焦点弦它是等于 x， 一 加 s， 二加上 p， 那 等于十二加 p， p 是 四，所以算出来是十六。 重要题型，题型一，根据抛物线的几何性质求标准方程。 已知抛物线的顶点在圆点，对称轴是 s 轴，那说明抛物线的开口方向是要么是向左，要么是向右， 并且经过点 p 一 二，这个是第一项线，那说明明确了我们这个抛物线的方向是向右的，这样是向右的话呢，所以可射出我们这个抛物线的方程为 y 方 等于二 p x p 大 于零，那么经过这个点 p， 把点 p 带进来得到是二的平方是四，等于二 p， 从而求出 p 是 等于二，进而得到方程为 y 方等于四 x。 在下第一问，关于 y 轴对称，这样是关于 y 轴对称的话，那么开口方向是向上，要么是向下了。与直线相交所得的线段长为上，这个直线是 y 等于负十二的， 那其实这个图像应该开头方向是向下的，当我们 y 等于负十二相交，所以的话呢，设出这个抛物线的方程为 s 方等于负二， p， y p 也是大于零的， y 等于负十二，这句话是什么意思？ 我们来画图看一下。 y 等于负十二，说明它这个 我们这里 y 等于负十二，是不是这条直线它跟我们这个炮位线是相交的话，那所以我们这个 y 等于负十二，是不跟我们这个方程进行连立啊。 那 y 等于负十二的话，那说明它的重坐标 y 就是 等于负十二，所以把 y 等于负十二，我们可以带到我们这个方程这里， 从而求出它的横坐标，那么求出 s 方是等于，呃，把它带进来就是负二，负二就负二，就二十四 p， s 方等于二十四 p 的 话，那么 s 就是 等于正负，根号下二十四 p， 那就是等于正负啊。四六二十四就二 b， 根号六 p， 那 说明啊，这个直线 y 等于负十二， 跟我们的这个抛物线相交，那么交于这两个点，那么它的横坐标，呃，这个是，呃，一个是 a 点，一个是 b 点，这个 b 点是 a 点，那么点 a 的 横坐标，那就变成是正的二，根号六 p 逗号啊，负十二了，而 b 点的坐标就是负二倍。根号六 p 逗号负十二了，那它所得的线段长为十二， 那就是我们的 a b 的 长是等于十二的， 那这里加起来就是四倍。根号六 p 就是 等于十二，那么根号六 p 就是 等于三乘以求度六 p 四等于九，乘以 p 四等于九除以六，那么约一下就是二分之三， 从而求出 p 是 等于二分之三，那么代入这个就得到 s 平方等于负二乘二分之二，就负三 y 了。 提醒，二，直线与抛物线位置关系，求参数方为。现在我们知道这个直线跟抛物线，我们当 k 为和值时，这个抛物线与直线相切，相交相邻，那么这个是用带电系数法，按连力方程 x 加一跟我们这个 y 方等于四 s， 那 么这里是就得到 k 平方， x 的 平方加上二 k x 减四， x 加一等于零，那么化简得到是 k 平方， x 平方加上二 k 减四， x 加一等于零，这里的话我们可以知道，我们看一下这个，呃，它是一个 x 平方，前面的系数是 k 方的，那我们看一下，那我想要它是相切， 相切的话就是只有一个焦点，但是要满足的条件是这个 k 方要不等于零， k 方不等于零，并且我们这个刁塔要等于零，那此时才能说明我们这个直线而又跟抛物线 c 是 相切的，从而求出 k 的 值。 好，那我们先将这个标塔算出来，标塔是等于 b 方减四 a c， b 方就是二 k 减四块的平方减去四 a a， 四 k 方 c 四 e， 那 么对，这里整理一下就得到四啊，这个是四 k 方， 减去呃，十六 k， 然后是加十六减四 k 方，从而算出我们这个貂毯 是等于十六减十六 k， 那 就是提个十六出来就等于一减 k 了，那么从这里我们可以算出我们这个 k 等于一时， 那此时这个抛直线跟抛物线是相切的，这是第一位，我们看一下，那香蕉呢呢？香蕉的话，首先这里要满足，呃，要分类讨论，当 k 方等于零时， 因为当 k 方有等于零时，此时这个方程是有解的嘛，它有一个解，但是此时的话呢啊，把 k 等于零，这里得到是这个负四 x 加一等于零，这里是求出一个解的，那此时这种情况是相交的。 直线跟抛物线是相交的啊，那么这是第二种情况，就是呃，相交嘛，那就是 k 方不等于零，并且我们这个刁塔要带你， 那么这里的话呢，这个刁塔带你，从而求出我们这个刁塔 啊，这里是呃，一减 k 四大于零的，负 k 就 大于负一， k 小 于一， k 小 于一，那么我们这里刚才除出了啊香蕉两种，一个是 k 四等于零的，一个是 k 四小于一的， 那我们画竖着画出来，一个是零，这个一，这个是零， k 四小于一小于一是这里的 好，说句话呢，那此时综上所述，就是我们的 k 小 于一十，那此时实线跟抛线 c 是 相交的 啊，这是香蕉。好，那么这样相邻相邻同样是满足式。 k 方不等于零，并且我们这个刁塔要小于零，那么从而求出 k 是 大于 e， 此时是相邻。 零粒消去 y b 整粒可得这一个方程，那么相切相切就是啊， k 不 等于零十， 并且这个刁塔要等于零， 从而算出 k 等于一时，那此时直线跟抛线是相切的，此时这里呃 k 是 不等于零，并且调查小于零时算出这个结果， k 大 于一是相邻的， 所以这里主要是对相交，我们要分类讨论，要对 k 等于零和 k 不 等于零进行分两类讨论。 所以综上所述，当 k 等于一时，那指实是相切， k 小 于一时，指实是相交， k 大 于一时，指实是相邻。 抛物线切线方程，已知抛物线的一条切线为这个， 那么这个这条直线是抛物线的切线，那我们连立方程之后，那算出这个方程，这个标塔要等于零了，从而解出这个 p， 那 么 s 方是等于二 p y 跟这个 x 等于 x 减 y 减一等于零进行连立， 那这里我们消什么？我们可以消 x， 那 么这里 x， 它就等于 y 加一，把这个 y 加一带入这里， 那么就得到是 y 加一的平方就等于二 p y， 那么 y 方加二， y 加一减二， p y 等于零，那就是 y 方不变，加上二减二 p y 再加一等于零。先算刁塔等于 b 方二减二， p 的 平方减四 a c 等于零，令刁塔等于零，从而算出 p 的 值，从而算出抛物线的标准方程。 这里的 p 是 大于零的，算出这个 p 小 于零是舍去的啊。 算出这个 p 之后， 从而得到我们这个抛物线的一个方程了，那就是 s 方就等于四 y， 从而得到它的准线方程。 已知抛物线 c 过点 p 四二。既然抛物线是过这个点 p 四二的话呢，我们先将这个抛物线的标准方程先求出来，那把它带进来，就得到 y 方是四，等于 x 是 四就八 p， 从而得到 p 是 等于二分之一， 所以得到我们这个标准方程为 y 方等于 x 啊，那这个标准方程，我们求交点为 f， 那 把交点求出来，二 p 是 等于一， p 是 等于二分之一，从得到二分之一， p 是 等于四分之一，所以焦点 f 的 坐标为四分之一。逗号里 好，因为这个抛物线的开口方向是向右的啊，求过点 p 的 抛物线 c 的 切线方程，这个切线方程是过点 p 的， 所以的话呢，我们可以设这个切线方程的斜率为 k， 那 么得到直线方程为 y， 它是经过我们点 p， y 减二，就等于 k 乘以 x 减四， 那就得到。是啊， y 等于 k， x 减四， k 加二啊，要那它跟它是切线码就连立，我们这个 y 方等于二 p x， 那 么就是啊，消 y 代入之后，算出刁塔，令刁塔等于零，解出 k 即可。 先求出我们这个抛物线的标准方程， 然后设出切线方程零点 x 得到 y， 然后令算出刁塔，令刁塔等于零，求出 m， m 就 出来了，所以这个切线方程就出来了。 求抛物线交点斜长和普通斜长。已知抛物线 y 方等于四十 y 方与 x 开口方向是相用的， 经过交点 f， f 是 一逗号零，此六为一的直线绕入与抛物线交于 a b 两点，那么这个求斜长 a b。 很 明显，我们这个斜长是经过交点 f 的， 那么经过交点斜长公式得到是 s 一 加 s， 二加上 p。 啊，这里的 p 是 等于二的二， p 等于四，求出 p 四等于二。好，那么这个方法还是还挺简单 啊，年历得到一个 x， y 得到一个 y s 的 一元二次方程，把两根之合求出来，你要利用啊焦点斜长公式带进来，求出八， 那此时得到这个弦长为四倍根号，就是我们的普通弦长了，那此时只能按照普通弦长的公式去求，那此时的话，直线跟曲被曲线截的弦长为四倍根号，那么年底了， 那得到是 x 加 b， 就 等于二分之一 x 的 平方，好，那我们两边同时乘二，就得到是 s 平方减二， x 减二， b 等于零， 那么这里的 x 一 好， s 二就得到了负 a 分 之 b 得到是正二，两根之积等于 a 分 之， c 就 负二 b 了，那么斜长公式 ab 是 等于 根号下一加 k 方乘以根号下 x， 一 加上 s， 二的平方 减去四 x 一 s 二，那么这里的斜率 k 是 等于一的，所以根号二乘以根号下啊和是二的平方了，就四啊四减去四乘以这个，那就是加上八 b 了， 就等于四倍根号啊，即我们的根号下四加八， b 等于四，即我们四加八， b 是 等于十六，从而得到八， b 是 等于十二， b 是 等于十二，除以八约一个四二分之三，所以 b 得到是二分之三。 抛物线切点弦方程 已知 y 方等于八 s 的 交点为 f， 过点 p 二五做抛物线的两条切线， 切点分别为 a 和 b 两个点，则直线 ab 的 方程为多少？ 所以我们清楚的一个点就是我们可以把将这个抛物线画出来，开口方向是向右的 啊，焦点 f 在 这里要到二五二五的话呢？它是，呃不在我们抛物线上的， 它是在我们抛物线上面，这里这个 p 点，那么过这个点 p 做抛物线的切线，那切线的话跟它这个相交两个点，那么其中可以是这样去做了， 那还有一个是可能是这样去这样去画， 那这个一个是七点是 a， 一个是七点是 b， 对 吧？那么 a 和 b 这两个点，你要折求直线 ab 的 方程为多少？ 那么通常的一个做法是这样去做的，因为我们这个是两条切线嘛，那我们设这两条切线的斜率各为 k， 由于它是经过我们这个点 p 二五的， 那么根据我们点斜式求出是 y 减五，就等于 k 乘以 x 减二，那我们整理到 y 是 等于 k x 减二， k 加五， 那的话呢？呃，跟我们这个抛物线进行连立， y 方等于八 x， 那 连立之后我们看一下，嗯， 那么这里是啊， k 方 k 平方， x 的 平方啊，加上四 k 平方，加上二十五啊，这个是这两个相乘乘二就是减去 四 k 平方 x 啊，加上十 k 减八 x 等于。 好，那我们整理一下，就 k 方 x 的 平方，呃，这三项是可以合并的，那就是 负四 k 方，这是加上啊，加上十 k 减八 x， 那 后面还有两项是加上四 k 平方，加上二十五减二十 k 等于零， 那它不是相切吗？那相切算刁塔等于 b 方减四 a c， 那 么算出刁塔中令刁塔等于零，从而把这个斜率 k 求出来，那求出 k 四等于二，或者是 k 四等于二分之一，那求出斜率 k 等于二的话，那么就得到这两条切线方程了。当 k 等于二时， 那我们带到这里就得到，是啊， y 是 等于我们把它这里啊，就是二 x 啊，这是 减，减四加五就加一了，那么此时这条直线啊，再跟我们这个， 再跟我们这个抛物线连立， y 方等于八十，那连立的话，由于它是解的，只只有一个结果嘛，那从而就解除我们这个七点 a 的 坐标。 同样道理啊，当 k 等于二分之一的时候，那么就 y 是 等于二分之一才开始，而这里是，呃，减一加五，那就加四了，那么跟我们这个抛物线的年龄，那么解出我们这个七点 b 的 坐标， 那么这两个切点出来的话呢？根据两点，呃，根据两点，那我们就可以得到直线 a b 的 方程，那我们发现这个方法呢，是比较呃，思路是明确的，但是计算量比较大，那你有更加一个简易的一个方法呢？ 我们来看一下更加解面方法。如果我们呃这个指点 p 是 抛物线 y 的 一点，假设我们这个抛物线的方程是 y 方， y 方等于四 p x， 那 么此时射出的七点弦方程为 y 乘 y 零等于二 p 乘以 x 加 x 零， 而这个 y 零 x 零是指谁呢？它是指我们这个点 p， 把这个点 p 带进来，又将我们这个 p 点这个 p 的 值， 因为我们四 p 啊，这个四 p， 这个四 p 就是 指我们的八，从而求出我们的 p 是 等于二，那把它带进来去，从而得到我们这个直线方程。 课堂小结，双曲线的简单几何性质四个几何性质，一、范围二、对称性三、顶点四、离心率。重要题型，根据抛物线的几何性质求标准方程。 直线与抛物线的位置关系求参数方程。抛物线切线方程。求抛物线焦点斜长和普通斜长抛物线切点斜方程。

哈喽，同学们，大家晚上好，今天晚上继续更新抛物线啊，那么这个题目呢，是一个最小值的问题，只不过他在之前的基础上把它转变成了一个周长的最小值。好，那么我们先根据题目中的已知条件， y 方等于八 x， 知道这个抛物线的焦点，它是在 x 轴上的，并且焦点是二逗号零。那我们把图像来画一下。好，有了图像之后呢，我们来看一下哈，这个 p a f 这个三角形，它的周长，假设我的点 p 在 这个位置啊，那连接 fa 啊，还需要再求一下 pa 以及 p f 之间的距离，那这个周长 s， 它一共就等于 fa 啊，再加上 pa。 好， 再加上 p f， 那这里有一个固定的就是我们 f a 之间的距离，因为这两点已经确定了，所以它是没有办法改变的。那我们这个周长的变化，它其实就取决于 pa 加 p f 的 值，这不就转化成了我们之前做的那一系列题目吗？好，假设呢， 我现在这个点 p 啊，就在这个位置，我们知道点 p 到 f 焦点的距离，也就转化成了点 p 到准线的距离啊，这个准线是 x， 等于负二，所以此时这个距离之和，我们来画一下啊，它等于，哎， 是不是再加一条这样子的直线？好，那如果我的点 p 换一下位置啊，点 p 如果在这个地方的话， 我这个长度就等于什么，哎，等于点 p 到点 a 的 距离啊，再加上点 p 到这个准线的距离。 好，你看，无论我在哪，我现在是不是都存在一个拐点，都存在一个折啊，但是我们知道这个线他的距离最短，肯定是一条直线，是最短的样子，所以我们就画一条横的线，哎，就这样穿过他，那么这个点呢？交点就是我们点 p 所在的位置，只有在这个情况的时候， 我们的这个 p a 加 p f 的 长度，它才是最短的，对不对？嗯，好，那我们把这个长度进行一个求解，这个长度等于什么？ 我们把它划分成两段啊，第一段啊，是这个部分它就等于二，是不是？好，还有那剩下的这一节啊，就说这个点到 这个点之间的距离就是 a， 这一点处的横坐标也就是三啊，所以我这个最短距离是不是就是二加三等于五啊？所以它的这个最小值 s， m， i， n 啊，就等于 fa 之间的距离，再加上。 好，那 f a 之间的距离，我们可以根据两点之间的距离公式啊，等于根号下三减二的平方是一，加上二的平方是四，再加上五，所以最小值就是根五，加上五可以写成五加根五，那这就是这个题的一个答案。

五题考察数形结合和代数推导。那么首先呢，我们得参考一下图像，他说有一个点到 m 四零的距离 比他到 x 加六等于零，就是 x 等于负六的距离要小二， 也就是说他到这个 f 点的距离要更近一些。呃，那么我们考虑一下，那么到 f 点距离更近，呃，在什么情况下可以实现呢？那就得在这个 蓝色线它的左侧才可能实现，就是到 f 点的距离更近。那么如果你偏移了它的中线啊，就是四和六的中线是负一 往这边偏的话，那么它一定到直线的距离更近，而不是到 f 点的距离更近了。所以说我们可以考虑这样的事情，那么既然你是离 f 点更近，然后这个点在 负一的右侧的话，那我就可以这样想，那你不是说到 f 点的距离比它要小两个吗？ 哎，那我就想了，那我就可以这样认为，就是它到 x 等于负四的距离，就和它到四零的距离是等的啊。大家这里要清楚这一点， 那么并非每一道题都会因为它的距离小二而给这个 x 等于负六加二的，这个是要结合图像去看的，所以说我们才要画图像。 那么接下来我给大家举个反例，比如说在这里呢，有一个点，它的坐标已经看不到了啊，比方说它是负十零， 这个点叫 k 点，那么同理还是 m 点， m 点到 k 点的距离呢，要比它到 直线 x 等于负六的距离小两个。那么大家想这个时候呢， m 是 靠近 k 点还是更靠近直线呢？ 答案当然是靠近 k 点的，因为他说到 k 点的距离要更小嘛，比这个距离要小两个， 那么这个时候大家来看，我想让 m 点到 k 的 距离和他到 l 的 距离相等，那么应该让 l 向左平移两个单位长度，这时候他应该移到了 x 等于负八上面 啊，也就是说这里不再是加二了，而是要减二，那么也就是说呢，我们要根据 f 点所在的位置来确定这里到底是加二还是减二，因此这个数形结合是非常有必要的， 他不是说直接因为距离小二就要给他加二的。那么搞清楚这个以后呢，咱们再回来去解一下这个题目。 那前面我们说了，因为他 f 点的位置，以及他说他比他的距离小二，所以说他是到 f 就是 四零和 x 等于负四的距离是等的。哎，那么这个时候呀，大家就想到了啊，那这不就是抛物线的定义吗？ 它到准线和它到焦点的距离相等，所以我们这时候可以求出来二 p， 它等于这里是二乘以八 等于十六，那么因为它的焦点就是这个 f 点， 它是在 x 轴的正半轴上的，所以就是 y 方等于二 p x， 所以 它的轨迹就是 y 方等于二 p 是 十六就是十六 x。

二题考察的知识点仍然是抛物线的标准方程。先来看括号一，括号一告诉我们说它的焦点是二零，也就是说它的焦点在 x 轴的正半轴上。 然后所以我们能得到它的方程是外方，等于二 p x， 这是第一点。 第二点呢，因为它的焦点是二零，所以我们能得到二分之 p， 就 这个数值它等于二，所以 p 呢，等于四。 因此我们把 p 回到圈一里面去，那么就能得到它的标准方程是外方，等于八 x。 好 看框二， 括号二说了它的准线方程是 x， 等于负的二分之三。这时候我们心中要有一幅图像，就是它的准线是在 x 轴的负半轴上， 那说明这个抛物线呢？它是在 x 轴的正半轴上的。 那么当它在抛物线的正半轴上时，我们能得到它的标准方程仍然是 y 方，等于二 p x。 第二个呢，因为它的准线方程是负的二分之三，也就是二分之 p 等于二分之三， 那么所以此时 p 是 等于三的。那么回代到圈一里面去，就能得到外方等于六 x。

hello， 大家好，我是祝老师。我们今天继续看数学高考专题，这道题是二零二五年天津卷的选择题，最后一道题考的是解析几何抛物线还有双曲线的知识点，我们一起来看一下。 他说双曲线 a 方分之 x 方减 b 方分之 y 方等于一， a 大 于零， b 大 于零， 它的左右焦点分别为 f e、 f 二以右焦点 f 二为焦点的抛物线 y 方等于二 p x， p 大 于零，与双曲线交于另一象限点为点 p。 若 p f 一 加 p f 二等于三倍的 f e f 二，则双曲线的离心率 e 等于多少？ 那你看这道题的最终考虑性率 e e 是 等于 a 分 之 c 的 对不对？所以我们本质上是要找 a 与 c 之间的数量关系，对不对？那我们来看下题里吧。题里给了一个双曲线和一个抛物线，那我们先把图像画一下，这个是双曲线，它的左右焦点分别是 f 一、 f 二， 然后它与右焦点的二 p x 交于另一点点 p， 那 我们画出来，它俩交于点 p， 然后他说 p f 一 加上 p f 二等于三倍的 f e、 f 二，我们连起来。那我们看一下题里给了哪两个重要条件。第一是双曲线和抛物线它俩的交点一致，并且有一个交点是在点 f， 第二个条件就是这里面的数量关系。那我们先看一下吧，既然 这个抛物线的焦点 f 二是这个双曲线的右焦点，那是不是我们就可以找到这个双曲线和这个抛物线之间的数量关系啊？我们知道抛物线焦点它的坐标是什么？它的坐标是二分之 p， 逗号零对不对？ 那我们还知道在双曲线中 f 二，它的坐标什么？它是 c 逗号零对不对？也就是说 c 是 等于二分之 p 的 p 等于二 c， 那 这个抛物线的方程我们就可以写成什么？我们可以写成 y 方等于四 c x， 对 不对？ 那你看第二个条件，他说 p f 一 加上 p f 二等于三倍的 f e f 二，那我们知道根据双曲线的几何性质， p f 一 减去 p f 二，是不是横等于二 a 的？ 那么来写下来， p f 一 减去 p f 二 是等于二 a 的。 然后呢，我们又知道，题里说了， p f 一 加上 p f 二，它等于三倍的 f e f 二， f e f 二等于什么？这是不是焦距的长度呀？它等于什么？它等于二 c， 对 不对？那三倍的二 c 就是 六 c， 那我们把这两个式子连立方程组，是不是就可以用 a 和 c 把 p f 一 和 p f 二的长度表示出来？那我们用两式相加，两式相加，我们就可以得出 p f 一。 二倍的 p f 一 就等于二 a 加六 c， 也就等于 a 加三 c， 那 我们就可以得出 p f 二等于什么？ p f 二等于六 c 减去 p f 一 嘛，也就变成了三 c 减 a， 对 不对？那我们还有哪些条件是可以用的？我们还知道这个点 p， 它既是在抛物线上，也是在双曲线上，对不对？ 那我们看一下抛物线有哪些性质，是不是抛物线上的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离啊？ 那准线是哪里？我们准线是不是就是这个焦点 f 二？关于 y 轴对称的这条直线呢？是不是就是过左边这个焦点 f 一 垂直于 x 轴的这条直线就是抛线的准线呢？我们给画出来这条线就是准线，那我们再过 p 点 p 做这条准线的垂线， 我们设这个垂足 a， 那 是不是就是 p a 是 等于 p f 二的，对吧？ p f 等于 pa， 也就是说 pa 这段长度，它是等于三 c 减 a 的。 那我们还知道 p f 一 的长度是 a 加三 c， 对 不对？ 那我们是不是可以根据勾股定律就可以求出这一段的长度了？ af 一 这段长度也就是相应的点 p 的 纵坐标呀。那我们求一下根号下 a 加三 c 的 平方，减去三 c 减 a 的 平方， 化简出来就等于根号下十二倍的 a c， 这个就是点 p 的 纵坐标。 那点 p 的 横坐标是什么？点 p 的 横坐标是不是等于 a p 减去这一部分距离啊？这一部分距离是什么？是不是就是焦距、半焦距 c 啊，对吧？那 a p 是 什么？ a p 刚刚说了等于 p f 二等于三 c 减 a， 所以 说点 p 的 横坐标就是二 c 减 a， 所以 这就是点 p， 它是在这个抛物线上面的。 抛物线的方程是什么？是 y 方，等于四 c x， 我 们刚刚求出来的，也就是说，那我们把点 p 的 坐标带进去，就变成了十二倍的 a c 是 等于四 c 乘以二 c 减 a 的， 那右边就变成了 八 c 方，减去四 ac， 所以 就是十六 ac 等于八 c 方，那我们等式两边同时除以 a 方，就变成了十六倍的 a 分 之 c 等于八倍的 a 方，分之 c 方，也就是二倍的 e 等于什么？ e 是 不是等于二啊？所以这道题最终选 a， 这道题还是出的很巧妙的，他把双曲线和抛物线结合在了一起，并且都考到了双曲线以及抛物线的性质，还是蛮考验学生的灵活性的。

第一题呢，考察的是抛物线的基础知识， 那么它说 m 的 纵坐标为一，求一下它的横坐标，也就是说一等于四 x 三，那么 x 三等于四分之一， x 就 等于正负二分之一， 那么它是一个开口向上的抛物线。那么大家看，其实你这个纵坐标是一的话， 那么它的横坐标是多少是无所谓的，就是它到焦点的距离和它横坐标 和它横坐标没有关系，它无论是取 a 一 点还是取 a 二点，因为它是对称的嘛，所以它到焦点的距离是不变的。 因此这时候我们可以取 x 等于二分之一这个点，也就是取 m， 它在 a 二的位置这个点，所以此时它的坐标为二分之一。逗号一，这是第一步。 那第二步呢，它有两种做法，首先呢，就是我先把它变形，变成为一个抛物线的方程， 这个是抛物线，但它是个函数，咱们以前学的二次函数的形式，所以要变回来，变回来就是 x 三等于四分之外， 所以焦点它的坐标呢？因为它的它是开口向上的嘛，所以是系数除以四就是零。逗号四分之一除四十六分之一，这是它的焦点坐标。 然后呢，我就可以采用两点间的距离公式去求 m f， 这是桑法一，那桑法二呢？要借助抛物线的定义。呃，我们是推荐桑法二做的。 呃，因为你看抛物线的定义，是说抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离是相等的。所以在 第二种做法的情况下呢，我们就先借助焦点的坐标，然后求出它准线的方程，那么它的准线方程呢，是 y 等于负的十六分之一， 因此我只需要求 m 到这个直线的距离就可以，那么 m 不是 纵坐标为一吗？一到负十六分之一的距离，当然就是十六分之十七了。 第二题，考察抛物线的基础知识，还有一个点到直线的距离公式， 那我们先来看抛物线的方程，通过 y 三等于八 x， 我 们可以看出来，它是一个开口向右的抛物线，那么它的交点呢，就是二分之 p， 逗号零啊这种形式， 那么二分之 p 怎么算呢？就是用这个系数除以四就能得到，所以它的交点坐标呢是二逗号零， 这第一步就完成了。第二步的话呢，我们给了一个直线的一般式，所以可以直接用点到直线的距离公式，就是把二零带到这个直线里面去，我们会得到二啊，上面因为它减零就没有了啊，它也没有常数。 那么下面呢，就是根号下一三加，根号三的平方就是一加三，那就是二比根号四就是二等于一。 三题，考察椭圆和双曲线的一些知识点，首先他说要与椭圆的右焦点重合，那么咱们先把椭圆的右焦点找到， 根据椭圆的方程，六分之 x 三，然后六比二大，所以我们知道它的焦点是在 x 轴上的， 所以说它的右焦点，那么一定是 c 零这个坐标，接下来我们就把 c 求出来， 椭圆的 c 呢，是用 a 桑减去 b 桑再开桑的，所以它等于六，减二就是四，再开桑它等于二， 因此我们得到了它的右焦点的坐标是二零， 那么二零啊，根据抛物线的知识来看，那么二零就是这个二，它是当中的二分之 p， 所以 p 是 等于四的，就求出来了 字体，考察了抛物线的一些基础知识，比方说它图像的对称性，它的方程， 那其次呢，还考察了数形结合，就是说我要根据图像，然后结合这个图像来求得它的解。那首先呢，我们先来看抛物线的方程，是外方等于六 x， 说明它的开口是向右的。 其次呢，他说正三角形 a o b 顶点 ab 是 在抛物线上的，那么 o 其实也在抛物线上，而且它是圆点，所以我们就能得到说 o a 等于 o b， 因为它是正三角形嘛。 然后呢，抛物线是有对称性的，你想 o a 等于 o b， 那 么 ab 关不关于 x 轴对称呀？啊？是对称的，因为抛物线就是对称的，所以这两个点它也要关于 x 轴对称，所以这里我就能得到 o m， a 是 垂直于 x 轴的， 那好，那因为它这个等边三角形，这里垂直，所以说它就是它的三线了。这个 o m 既是角平分线，中线还是高 顶角是六十度，所以每一个角就是三十度。此时呢，我可以设 a m， 它的纵坐标也就是 a m 的 长为 y， 那 么 o m 就是 根号三 y 啊。大家记住，遵循一个原则叫设小不设大，设大的话麻烦。好，那么有了这个之后呢，我可以把点 a 的 坐标写出来，它就是根号三 y， 逗号 y， 点 a 同样是抛物线上的点，所以我将它带到抛物线里面去， 那么得到的就是外方等于六，乘以根号三 y， 因为 a 的 外值呢，是正的，所以我可以直接约掉， 不用去编号，那么得到的是 y 等于六倍根号三，那么此时也就是说 m a， 它的长度是六倍根号三， 那么刚才说了，这个 m a 是 整个边长的一半嘛，所以说整个边长就是十二倍。杠二三 题是一道非常直白的基础知识的题目，那么首先呢，我们要对它的方程进行变形，以便于我们找到它的焦点坐标和准线方程。 当然如果特别熟练的同学可以选择在心中进行变形，那么我讲课呢，所以说要给大家写出来看括号一，括号一，我们先变为赖桑等于六 x， 那 么这个时候呢，我们就知道它是一个开口向右的毫无线，然后它的焦点坐标呢，就是 二分之三得号零，就是用这个系数除以四得号零，因为它开口向右嘛，所以说它的焦点就是二分之 p 零了，那准线方程呢，就是 x 等于负的二分之三。 好，这是第一个， 第二个，同理啊，我们先去变形去，那么它得到的是 x 三等于负的时外，那么由此呢，我们可以知道它是一个开口向下的抛物线，那么它的焦点坐标就应该是 零。逗号负的二分之 p， 那 么这个这个数值怎么算呢？还是给这个负十除以四去，那么得到的就是二分之五，所以说它就是零，负的二分之五， 那么它的准线方程呢，就是跟它反过来是 y 等于正的二分之五。好，接下来看括号三，括号三呢，呃，也得变形，就是 x 三等于 三分之八倍的 y， 那 它呢，是一个开口向上的抛物线，所以说我们能知道它的焦点坐标是零二分之 p， 那 么这个这个数值二分之 p 整体怎么算呢？还是给它除以四，所以就是零？逗号，三分之二是正的， 那么它的准线方程呢，就是 y 等于负的三分之二。 好，接下来看括号四，括号四呢，先是变形，就是 y 方等于负的 a x， 那么这里呢，这种题咱们讲过啊，怎么去得到它的焦点坐标呢？我们直接去给这个系数除以四就可以了。然后先要确定它的焦点到底是在 x 轴上还是在 y 轴上， 那么经过我们确定，它的焦点是在 x 轴上，因为它是外方，等于这个，那所以说我直接就写它是负的四分之 a， 轴号零，那么它的准线方程就是 x 等于四分之 a 啊，就是和它互为相反数就可以了。 那这里呢，同理啊，是不用去讨论 a 的 正负的，就是 a 的 正负对这个结果是不影响，无论 a 正 a 负，它的结果一定都是能刚好对应这些的。 六题可以借助抛物线的定义来求，那么首先呢，他说在这个抛物线上有一个点点 p， 首先我们根据它的方程来确定一下，它的抛物线是开口向右的， 所以说焦点就在 x 轴的正半轴上，那么它的准线呢，就在 x 轴的负半轴上，是负二，根据这个除以四，然后加符号能算出来。 他说呢， p 点到外轴的距离是四，那么大家就想，所以他到准线的距离不就是再加二就行了吗？但是我这个画的 p 点有点不太准啊，他应该再往这边错一错啊，比如画到这儿，这样就像是四了， 所以他到准线的距离就是再加二就是六，那他到准线的距离和他到焦点的距离是相等的，所以说他到焦点的距离也是六。

同学们，这个视频老师接着来给大家讲抛物线的切点弦的问题。首先我们看这个抛物线，它是开口向上的一个抛物线，然后我们先把图像画出来， x y， 那 过圆点， 这里是 f 点， f 点的话是零度二分之 p。 然后现在我们的准线为 l， 准线是 l， 然后点 q 二逗 y 零，它是在抛物线上的， 所以我们就随便假设点 q 点二逗 y 零，它是在 l 上的，然后 k 为 l 与 y 轴的交点， k 为它的交点，而且有 q k， 它是等于根号二倍 q f。 然后我们要过 p 点四到二再做切线。首先我们根据这个条件我们看能得到什么，它有 q k， q f， q f， 它是交半径，交半径。我们都知道在抛线里面交点和准线它是成对出现的，所以说我们肯定 q f， 我 们就可以转换成 qq 漂。 qq 漂是什么？也就是过 q 点做我们准线的焦点，这个为 q 漂， 那现在我们就得到了 qk 的 长度是等于根号二倍， qq 漂，那相当于这个 是它的根号二倍。然后这里又是直角三角形，所以我们就可以得到它是一个等腰直角三角形，这里是四十五度，然后这里这里就是我们的二，所以这里也是二， 所以我们就可以求出我们 q 点的坐标， q 点的坐标它是 y 零，这里是 y 零，然后再加上我们的二分之 p， 它是等于二的，然后而且 q 点又在抛线上，它就会有 四等于二 p y 零，然后连立一二是消去 y 零的话，就相当于 这等于二等于 p 倍 y 零，而 y 零是二减二分之 p， 也就是二等于二 p 减去二分之 p 平方同乘个二的话，就是 p 平方减四， p 加四等于零，所以我们就可以求出 p 四等于二的。 一旦求出 p 等于二之后，然后我们这个抛物线的话，这里的焦点坐标的话，它就应该是零斗一，然后我们过点 p， 向抛物线做两条切线，过点 p， 这个 p 点在哪里？我们是不是要判断它与抛物线的 位置关系？我们看一下这个时候抛物线的方程是 x 方等于四 y， 那 p 点 四是十六，十六等于八，如果我们带十六横坐标带十六带四，横坐标带四的话，那么我们 p 点，我们可以判断出来 p 点是在抛物线下方的啊，抛物线下方 下方，也就是我们当横坐标为四的时候，这里是一过一个外面的一个点，做抛物线的两条切线 切线分别交点为 a 点和 b 点。现在我们要求 a f 点乘 b f， 那 a f 点乘 b f， 我 们都知道切点是 a 点，我们可以设成 x 一 y 一 b 点设成 x 二 y 二，那我们要求 a f 点成 b f。 实际上我们就用向量的运算的话， f 就是 一减 零减 x 一 到一减 y 一 点成负 x 二到一减 y 二，然后又因为 y 一 y 二，它分别是抛物线上的。还有一个问题就是我们如何来找到 x 一 x 的 关系，这里面我们怎么来化解它？因为 a， 它其实 x 一 x 二相当于 ab 这条直线 与我们抛物线相交，得到的它的对应坐标，所以我们的 ab 这条直线如何来求？前面我们已经讲过了啊， 过某点的切点弦，切点弦，它和我们的求法是一样的啊，求在某点的切线方程，它换做换掉其中一个，就 x x 零等于 py 加上 py 零，这里面我们 p 点是四逗二，所以它就会有四。 x 等于 p， 刚才算出来是二， y 加上四，也就是二。 x 等于 y 加二，那我们连立它和抛物线的方程，就可以得到 x 平方，它是等于 四倍二。 x 减二的，也就是 x 平方减八， x 加八等于零，我们就可以推出 x 一 加 x 二是等于八的， x 一 乘 x 二，它是也是等于八的。那我们再回到我们 a f 点乘 b f， 它应该是等于什么？ a f 点乘 b f， 它会等于 x 一 乘 x 二加上一减 y 一 乘以一减 y 二。又因为 y 一 y 二都在直线上，所以说我们的 y 一 的话，它是等于二 x 一 减二， y 二的话是二 x 二减二，所以它其实也就等于 x 一 x 二加上一减 二， x 一 加二乘以一减二， x 二加二，也就等于 x 一 x 二加上三减二， x 一， 三减二 x 二，然后再把化简 x 一 x 二加上三 乘三九九减六倍 x 一 加 x 二，再加上四倍 x 一 x 二，也就化简成 五倍 x 一 x 二，再减去六倍 x 一 加 x 二，然后再加九，然后带入我们刚才的八的话，就可以化简出它是一，所以答案是一。关注我后面更新更多的解析技巧。

同学们，这视频老师接着来给大家讲。第二一个就是我们要证明以 a b 两点为切点，引两条切线，切线交于的点一定在准线上。第一个，那我们过这两个点做切线的话，我们可以设 a 点为 x 一 y 一， b 点的话为 x 二 y 二。所以我们这里第一个它是不是在 a b 处的切线方程？前面我们已经给大家讲了我们切线方程的抛物线的结论，它抛物线这个时候是 y 平方等于二 p x。 第一种方法，我们的切线方程在 a 处的话， l a m 这条直线的话，它应该是等于 y y 一 等于 p x 加上 x 一， l b m 的 话，它是 y y 二等于 p 倍 x 加 x 二。又因为我们要算交点，也就是横坐标，它要在准线上的话，相当于它的 x 是 应该等于负的二分之 p， 我 们只需要乘这个就可以了，那乘这个的话，我们看我们这个四指已知一二四的话，我们如何来求出 x？ 最好的办法就是我们把什么 一四比二十，它就是 y 比 y 一， 比上 y 比 y 二，它是等于 x 加 x 一， 除以 x 加 x 二，那 y 约掉，那也就是 y 一 x 加上 x 二， y 一 等于 x， y 二加上 x 一 y 二。然后我们呢，为了化解，我们可以把 x 用 p 来替换，或者是把 y 用 p 来替换，我们先把它化简啊，我们要求 x 等于多少，所以说我们把移项的话，就应该是 y 一 减 y 二倍， x 等于 x 一， y 一， y 二减 x 二 y 一。 所以 x 的 话，它是等于 y 一 减 y 二， x 一， y 二减 x 二 y 一。 当然这个大前提是我们 ab l a b 这条直线是不垂直于 x 轴的啊，否则的话我们这个分分母也可以啊，这也可以的。那让我们如何来化解它？都和 y 一 y 二有关，所以我们把 x 一 就化成了 二 p 分 之 y 一 的平方乘以 y 二减去二， p 分 之 y 二的 平方乘以 y 一。 然后我们同时提一个二 p， y 一 y 二出来，这里就剩下了 y 一 减 y 二除以 y 一 减 y 二，然后这个约掉，那它就等于二 p 分 之 y 一 y 二。而前面我们已经给大家讲过了， y 一 乘 y 二的话，它是等于 负平方，所以它是负的二分之 p， 所以 我们的 m 的 横坐标它就是 x 等于负二分之 p， 所以 m 肯定是在准线上。关注我，后面更新更多的解题技巧。

我们今天来学习抛线的一个简单集合性质，那在这里面主要是对于我们抛线当中的一些二结论的一个应用。当然除了二结论，那这种直接的一个求法啊，我们也大概说一下 啊，比如说这种问题，他说抛线 y 方等于八 x 交点 f 点，然后过交点 f， 且斜率为高三的线与抛线 c 相距 a b 两点，然后与准线相交于大点，然后他给了四个选项， 那我们大致画出我们的草图啊，就是我们这样的一个草图。好，那么我们现在一个一个来看，首先说 a 选项，他说 y 乘以 y 等于负的六十四， 那在这里面我们要去找这个 y 乘以 y 二，这很明显啊，常规的做法就是我们说连立思想，我们去把这个直线 ab 这条直线给他设出来， 当然在这因为它告诉的斜率为根号三，然后又经过焦点 f 点，那所以说这个直线 ab 经过什么 y 就 等于根号三倍 x 减二，所以说 我们可以去将这个直线 ab 和我们这个 y 方等于八 x 这个抛物线去连立， 连立之后消元得到关于 x 一 元二次方程，然后用微大定力就可以找出 y 一 乘以二的值。当然这就是我们常规性啊，在这里面我们可以用一下我们那个二结论，我们说 y 一 乘以二，它应该等于负 p 方的 好，那么我们直接可以通过这个二结论来理解它，它等于负 p 方，那在这面我们 p 在 这里面应该等多少？ p 应该等于四啊？ p 等于四， p 等于四的话，那是它应该等于等于负十六，那直接就能判出 a 是 错误的啊， a 是 错误的。好答案，在这里面是需要我们去记住这个二结论的哈，如果说你没有记住，就用我们刚刚讲的这个二结论的哈。如果说你没有记住，就用我们刚刚讲的这个二结论的哈，如果说你没有记住，就我们刚刚讲的这个二结论的哈。如果说你第二个 b 选项， 我们这儿过 a 点做准线的垂线，假设这个点是一点 a 一， 然后去连接 ef， 那 很明显这个时候我们的 a 一， 它会等于 af 的， 然后他又告诉了这个 ab， 这个直线切角，这个角为六十度， 那所以说我们这个角 e a f 这个角也为六数，所以说三角形 a e f 应该为等边三角形， 它为等边三角形，那所以说在这个地方我们很容易就 解决这个问题了。为什么？因为你这为等边三角形，那我这个角也会为六十度，那我这个角也会为六十度，那我对应这个角就是三十度了。 三数所的角边斜边一半，那么很明显啊，这段距离就是我们准线到焦点的距离，它是我们的一个什么 p p 应该是等于四的，那三数所的角边斜边一半，所以说 a f 就 等于我的 e f 就 等于我的八了， 这个方法也就可以解决掉它啊，当然这儿 b 就 正确了，当然 b 做出来后， c 自然而然就做出来。为什么？因为在在这个三角形 a 搭一当中， 我 a f 是 等于 e f 的， 那么并且它是一个直角三角形，我们说 直角三角形斜边上的中线会等于斜边一半的啊，那所以说在这里面我们 a f 也会等于我的大， f 等于八，那所以说 f 点也就是我们的中点了，所以说在这 c 也是正确的哈， b 正确， c 也正确， 那大选项这他要去求 a o b 的 面积， a o b 的 面积，在这里面这 ab 是 一个弦长， 那大，嗯， o 点是做圆点，那我们这要去求面积的话，我们可以把 ab 为底，那么 o 点到 ab 距离为高，这个事，我们通过我们的一个什么点到直线距离公式去算出这个高 答案。在这面这是一个常规的一个做法啊，那这稍微简单点，就是我们所说用我们的二结论 s 三角形 aob， 它是等于我们这个 p 方除以二倍三以下，那当然这个 c 塔呢，指的是这个直线的切角，那所以说在这个地方我们可以直接带进去。 p， 现在等于是十六除以二倍三以下就三以。什么三以六数 好，就等于十六除以三以六数二分之二，三就除以根号三，就等于三分之十六倍根号三好，那所以说单选项在这里面错误啊，那所以说最终这个问题啊，它是一个多选择题啊，这儿 b 和 c 正确， 然后我们的 a 和 d 错误了，好，这个问题就解决掉了。

一碰到抛物线综合体是不是直接脑子荡机？这类题简直是痛点，结合题，又是焦点准线，又是垂直终点，投影条件堆在一起，刚读题就晕头转 向，想摆脱看到抛物线综合体就慌的困境。今天教你用两个核心技巧，轻松拆解这类大题。好，今天我们来研究一下海南中学奥杰的 月考四题。高三的月考四题，那这个题我是在高考前一个月给海南中学命的命着， 那主要考察我们解析几何中间的一些常规的知识，我们解析几何的常用的方法好呢？第一第二小题比较容易的，我们简单讲一下第一小题，记住屁， 负的二分之 p 是 等于是这个整型方程的等于负一，所以这个 p 等于哪二？这方程是二平方，等于四 x。 而对于第二题， 我们来先做个图形来近看这个焦点过，焦点是有两条互相垂直的这个线，这里一条直线呢？ 而这个的终点在这个上的投影是 m， 要证明这个 a m 大 于等于绝对值的根号二的 m m。 那这个题我们是到焦点的距离，往往是划出到什么啊？准线的距离，所以把 a 点也投影到这个直线 l 一 上，把这个 b 点也投影到这个直线 l 一 上， 那我们这个 m n 就 等于是多少？等于是二分之一的绝对值的 a a 加上这绝对值的 b b， 因为交点到正弦之间的距离，呃，这个到交点之间的与到正弦之间的距离相等，所以它这转化为绝对值的是 a f 加上绝对值的 b f。 而我们这个 ab 这个词长度呢， 跟 f 跟 bf 有 关，是对根号下的 a f 的 平方加上这个 b f 的 平方， 所以我们看下 ab 比上这个 n 呢， 应该就等于是根号下的 a f 平方加上至 b f 平方 比上这个就是二倍的，就得 a f 加上这个 b f。 那这个我们有一条近的不等式，是二分之的 a 加 b 才得小于等于根号二分之的 a 方加 b 方， 所以这一个根号下的 a 方加 b 方 b。 三，这个 a 加 b 大 于等于呢？二分之根号二，因为这个我就它大于等于多少根号二，所以得到， 所以得到 a b 大 于等于根号二 a n。 所以这第二个问题也是很方便，只要我们有一个基本不等式就行了。那接下来 我们只要来研究一下我第三题，这个三角形面积的最小值 怎么来进去，那求这种最小的。我看一下常用的方法，一，把这条直线 a b 的 方程说出来。 第二个也可以把这个叠说出来。第三种方法是用角三角来进行代换。 好，我们先看第一什么，如果我们常规的方法由 ab 这条方程确定了，那这一个三角形面积确定了，所以由 ab 这个方程，这个 由 ab 这条方程来写出我们面积的目标函数。 而这条 a b 是 可以跟 y 轴平行垂直 x 轴，但不平行 x 轴的，因为如果平行 x 轴，它只有一个焦点了，所以这种情况 a b 的 斜率是不等于零的。 而对于不等于零的这一段直线，我们怎么来？常用的方法是什么来呢？是这个 直线方程啊，为 x 等于倒过来写了 m y 加上 z m， 那 这样我连了一下 y 平方等于是四 x x 等于是 m， y 加 m， 这样得出 y 平方减四 m， y 减掉了四 m 等于零。 不妨我们来说，这个 a 的 坐标是 x 一 y 一， b 的 坐标为 x 二 y 二，那么这两条方程的解就是 y 一 y 二，所以有 回答定比，这是我们也是常规的方法。五二一加五二二等于呢四 m， 而五二一乘五二二等于是负的四 m， 这样我看一下， x 一 加 x 二，就等于是 m 的 y 一 加 y 二加上这个二 m 等于呢四倍的 m 平方加二 a， 而 x 一 乘 x 二，等于是 m 的 y 一 加上这个 m， 乘上至 m 的 y 二加 m， 这我们常规计算一下，等于 m 平方， y 一 乘 y 二加上这 m 的 乘 m 的 y 一 加 y 二，再加啥子呢？ m 平方，这就等于 m 平方。带进来这个正好是负的四 m 平方，这也是四 m 平方，乘 m， 而有这个 a f 垂直于 b f， 这样我们可以得到是 x 一 减一乘上这个 x 二减一，加上这个 y 一 乘上这个 y 二等于零。 把它代入以后，我得到四 m 平方等于 m 平方，减六 m 加个呢一， 所以这个数字四 m 平方是大于等于零的，所以我们得到这 m 呢， 是大于等于三加二根号二或 n 呢？小于等于三减二根号二。 这个反位往左，这是我们常规的进做法。接下来我们就要求这个面积了，这面积跟什么有关？哎，这个三角形面积，两条直角边相乘呀，所以这个 s 三角形 f a b 面积就等于二分之一的 f a 乘上这个 f b。 那 这里呢，有的同学又想了，这个面积我用什么？这个长度用什么来表示？这还是表示存到 整弦之间的距离，所以它就等于多少啊？等于是二分之一的是 x 一 加上这个一，更是 x 二加个一， 那就等于是二分之一的 x 一 乘 x 二加上这个 x 一 加 x 二，括号再加个一， 等于二分之一的 m 平方加上至四 m 平方加二， m 加一好，四 m 平方，用 m 平方来计算，它就得到等于是二分之一的二， m 平方 解第二个是四 m， 再加个呢二，所以这个十字是等于 m 平方解二， m 加一， 那这 n 是 在大于等于十二加二根号三， n 是 小于二减二根号二，而这个对称作是一， 我们这样的是图形，这这个二次函数对称作是一，那么一个是负二杠三是这样的一个图形， 这是三加二根号，你看一下这个在哪一点？所以我们当 m 等于三减二根号二十，其中的最小值三角形 f a， b 应该大于等于十三减二根号二，减掉的是 二倍的三减二根号二加个 e 等于十，二减七八根号二， 这是我们用常规的方法来进行，所以这里其实是计算来判断的时候。最后就这个最值是这个 n 的 函数范围，这一个隐含条件要紧。解决 说第二种方法，我们是在设点法来进行做，这也是我们常做的有方法， 这至少我们要考虑这个 a 点，这个 a 点坐标不发生为四分之一的 y 一 平方跟 y 一， 而这个垂直的是这个 b 点， b 点坐标设为四分之 y 二的平方跟 y 二， 所以我们不妨来说， a 的 坐标为四分之一的 y 一 平方， y 一 b 的 坐标为四分之 y 二的平方 y 二， 那这样这个由这个 f a 垂直 f b 㑚 好 得到，是四分之一的五二平方减一，乘上这个四分之的五二二平方减一，加上这五二一乘五二等于零。 化解一下，我们就得到等于四倍的五二一平方加五二二平方 等于呢？ y 一 平方乘 y 二平方加产制一个十六的 y 一 乘 y 二加产制一个十六，而这个是 点之间与它垂直，必须满足这样的关系。而我们这个三角形面积 s 三角形 f a b 就 等于二分之一的 fa， 乘上这个 f b， 这就等于二分之一的 f a， 把它划到整斜之间的距离，就等于四分之五二一平方，加上这个一生产这个四分之五二二平方加个一， 那这个是四，等于是三十二分之一的 五二一的平方乘五二二的平方加上这个四倍的五二一平方加五二二平方括号，再加上这个十六， 这里是五二一平方加五二二平方跟五二一平方乘五二二平方之间关系。 而这个四倍的 y 一 加 y 二，我们这个是跟这个相等，所以它可以得到等于是十六分之一的 y 一 的平方乘 y 二的平方，你说这里是两倍的，再加上这个八倍的 y 一 乘上至 y 二， 加上这一个，这里有十六。十六除以二还是十六，这个是一个完全平方吧。看一下变成十六分之一的 y 乘 y 二加上之一个四括号的平方， 所以这样我们就转化成是什么 y 乘 y 二，就是要求 y 乘 y 二加四平方的这个最小数， 那我们看一下五二一，五二二，这最小是什么来，哎，我们还是从这一条式子出来，哎，我不妨来例，这五二一乘五二二等于 t， 那 这样一来，这就是 t 的 平方加十六的 t 加上只有十六，应该是大于等于。 哎，我们这里中间再加一步吧，这个等于是四倍的 y 一 平方加 y 二平方，而这个是大于等于四倍的绝对是 t， 别人是他大一点八倍的绝对值的 t， 只要注意五二一，五二二可能是有小一点的，他是大一点八倍的绝对值 t。 当 t 大 于等于零时，那就就是 t 的 平方加八倍的 t 加十六大于等于零，这是很成立的， 就 t 大 一点点都可以的。如果 t 小 于零的话，就 t 的 平方加上这个二十四， t 加十六要大一等于零 的 t 小 一点负十二减八更好，或 t 大 一点负十二加八更好。 那要是这个最大最小，我们这两这一个数，这两个数带进去，哪一个小的就变成是最小的，所以这个 s 三角形 f a、 b， 它应该是大于等于是四分之一的。 哇，其实这个他这个是对称作是复式啊，这个是比 复式来的大，而这个是比复式来的小，而且这个是你对称作圆，所以是起这个十字时候来的最小，所以他大于等于 十六分之一的是负十二加上是八根号二加四等于十二减八根号二， 这也是我们用这一个四点方法去作成这个结果。 解析几何的问题呢，还有一个很重要的方法就是三角画圆，用三角来做，那么我们这个题就是 z 点 f 一 一零， z 点 a， z 点 b， 然后这个可以设这个角为 c 大， 这个角长度 f 一 为六一，这个为六二， 那我建立六一跟 c 大 之间的关系，所以我们设这个 f a 等于娄一， f b 等于娄二角 x f a 等于 c 大， 则角 x f b 等于 c 大 加二分之八，因此它与这个角度之间关系，我两个角就都可以出来， 那这样这个 a 的 坐标就是多少啊？路易库萨尼 c 打加个 e， 跟路易的萨尼 c 打， 它在这个方程中间，所以得到是路易平方的萨尼平方 c 打等于四倍的路易的库萨尼 c 打加个 e， 那我把它配方一下，就得到楼一平方，两边同时加上这个楼一平方的 cos 一 平方 c 大， 那去配乘是等于等于多少？是 u 一 扩散以 c 大 加二括号的平方，那这样得到 u 一 等于十一节扩散，以 c 大 分子 二或这个 u 一 等于负的 一加 cosine c 大 分子二。那这个首先我们不妨设这个 c 大 为内角的， 那同理可以得到这个 c 大， 只要用 c 大 加九十，这个 law 就 等于呢？一加 cosine c 大 分子二， 这个做才比较方便，所以这个三角形面积是二分之一的六一乘六啊， 就等于 我们是两个相乘，等于是一解 cosine c 大 加 cosine c 大 减掉的 cosine c 大 乘 cosine c 大 分子呢？ 四。 而遇到这两个问题，我们怎么来清楚的来例，这个是负的 cosine c 大 加上，则 cosine c 大 等于呢？ t 则 cosine c 大 乘， cosine c 大 则两边平方二分之的一减 t 的 平方， 那代到这个数字，所以得出三角形 f a b 再来画一下就得到是等于多少？一加 t 括号平方分之四。 我们要看一下这个 t 的 起的方位。 t 起我们是 c 大 众领导派的，所以这个 t 啊，肯定小一点更好。 r， 而这个是 t 呢，是大于负一， 所以这样这个值是大一得一的，是一加根号二，括号平方分之四等于十二 三个方法，同学们请比较一下哪个来得方便啊？当然只有三角的来得最方便，字母来得最少。 其实这个题同学们还可以用第四种方法来进啊。我来提示一下同学，直接还是说把这一条线设为是什么参数方程，直线的参数方程 设成是多少？ x 等于一加 t 的 cosine c 的 跟 y 等于是 t 的 cosine c 的。 再来求出这个 fa 跟 c 大 之间的关系实质最后是一样的， 那这个我们留给同学们仔细起来精做好了，这个题我们今天花了这么长时间就研究到这里，就是对于解析几何的就是这三种常用的方法， 看一下要这三种的常用方法灵活应用，这样你高考的解析几何题就不害怕了。应该这个作为常常作为是阅读题的倒数 第一题或者倒数第二题的，你就可以把它拿住了，九八五的大学也向你打开了方便之门了。好，今天我们就讲到这里为止。

同学们，这个视频老师接着来给大家讲我们抛物线的焦点线的问题。首先我们看这个题，这个抛物线的焦点为 f， 而且一个点 f 到这个圆上面的最小值为四，最小值为四。我们看一下抛物线，这个抛物线它是一个开口向上的抛物线， 那我的交点肯定是在 y 轴的正半轴零的二分之 p， 然后这是准线 x 等于负的二分之 p。 像我们有一个圆上的点到交点的距离的最小值，那我们交点到一个圆，相当于一个圆外，另外面有一个点到 圆上的距离的最大最小值，肯定就是减去一个半径就可以了，所以我们只需要求出 f 到圆心的距离，再减个半径，而圆心的坐标的话是零到负四，半径是一，所以我们就可以去求出 这里 f o 是 二分之 p， 所以 二分之 p 加四，再减个一，也就等于我们的距离四，所以我们就求出来 p 是 等于 二分之 p， p 是 等于二的，所以我们的双曲线的话，它抛物线它就应该是 x 方等于四 y。 让我们看第二个问，第二个问点 m 在 点， p 在 m 上，这里是负一， y 等于负一，负二，负三，负四，圆形在这里，然后半径是一，这里有一个 p 点， p 点做切线，分别交于 a 和 b， a 和 b。 像我们要求这个三角形 p a、 b 的 最小值，那么要求面积的最值的话，我们肯定首选的就是我们三角形的 面积，怎么算三角形面积？我们这里相当于是直线与抛物线的位置关系，那就相当于是二分之一 ab， 再乘以我们 p 点到 ab 的 距离就可以了，那我们的关键点就是求出 ab。 第一种方法 我们就直接利用我们前面讲的切点弦公式，当，当然这种的话它是要扣一点分的啊，肯定是扣分的。我们的 ab 这条弦长是不是和 p 点有关系？我们可以把 p 点设成 x 零 y 零，所以我们 ab 所在直线，它是切点弦。切点弦的公式还记不记得换一个 x， 换一个 y x 零等于 py 加上 py 零，所以在这个题里面，我们的 ab 的 话，它其实应该是等于 x 乘 x 零减去二 y 减二 y 零是不等于零。一旦把直线求出来，然后我们再去求，就求 ab 的 斜长，求斜长的话，我们只需要连立什么直线和我们抛物线的 方程，那连立一下，怎么连立？怎么连立的话，我们把二 y 它的这里二 y 的 话，它是 x x 零。 负的 x x 零加上二倍 y 零，所以我们就可以推出 x 平方，它是等于二乘以二 y 二 y 的 话，就是负 x x 零加上二 y 零，也就是等于 x 平方加上二 x x 零， 再减去四 y 零等于零。那么用维达定律就推出 x 一 加 x 二，它是等于 二倍 x 零的 x 一 乘以 x 二，它是等于四倍 y 零，所以我的 ab 弦长，它是等于根号下一 加 k 方乘以 x 一 减 x 二的绝对值，也就是根号下。我们这里面看一下切切的方程的斜率应该是二分之 x 零，所以就是一加四分之 x 零的平方乘以 二 x 零的平方减去四倍 x 一 x 二的绝对值。而我们的这个方程，它就相当于是四分之四加上 x 零的平方。 那这后面这个怎么来化解？这里是根号根号向四 x 零的平方减去十六 y 零， 那如何来化解？那我们可以提个四出来，提个四出来的话，这里提个四，这里约个四就没有了。所以说就是根号下四加 x 零的平方，乘以我们的根号下 x 零的平方减去四 y 零。 那我们再看 p 点到直线的距离，到 a、 b 的 距离，就等于根号下 x 零的平方加上四分之 x 零的平方减去四 y 零。所以我们的 s 三角形 p a、 b， 它就等于二分之一，乘以 根号下四加 x 零的平方，乘以 x 零的平方减去四 y 零，再乘以根号下 x 零的平方加上四分之 x 零的平方减去四 y 零。那这个和这个约调也就等于 x 零的平方减去四 y 零的二分之三次方。 又因为我们的 p 点 x 零 y 零它是在圆上，圆上的话就会有我们的 x 零的平方是等于一减 y 零的加四的平方。所以这个式子就可以化简成一，减 y 零，加四的平方减四倍 y 零的二分之三次方。然后再进一步化简，就等于负的 y 零的平方减去十二 y 零减十五的二分之三次方，也就是等于负的 y 零加六的平方加二十一 的二分之三次方。又因为 y 零的话，它是在负五到负三的，所以我们就可以求出来，当 y 零等于负五的时候，它距离负六，它因为它是开口向下的，要求最大值，所以说只需要距离最近，所以这个时候三角形 p a、 b 的 最大值应该是等于 二分之一乘以二十的二分之三次方，也就是二十倍根号五，所以它的最大值是二十倍根号五。关注我后面更新更多的解析技巧。