拉普拉斯变换以及逆变公式

拉普拉斯变换是副理业变换的升级版，是的，你没有听错，就像功能手机升级到智能手机一样，非常厉害的。那么为什么要升级副理业变换？又有哪些问题呢？ 你可能觉得复理业变幻已经很强大了，既然这么强大，那除了处理信号之外，能不能用它来干点别的？ 比如解危分方程？还真有这个可能，因为复理业变换有一个重要的性质，那就是函数 n 解导数的复理业变换等于其复理业变换乘以 i o m a， g r 的 n 次方。 现在有一个微分方程， y 的二节导数加 y 等于负的 f。 解微分方程就是要把 yt 的函数解析式求出来。我们将微分方程的等式两边同时进行 行复理页变换，再利用函数倒数复理页变换的性质，就能把微分方程变成简单的代数方程了。这里的大 f omega、 大 y、 omega 分别是小 ft 与小 yt 的复理页变换， 这样就很容易求出大 y omega， 然后再通过复理页逆变换就可以得到 yt， 很完美，像变魔术一样就把微分方程解出来了。 这就是传说中的解危分方程的神器吗？还不能高兴的太早，马上就要面临问题了，因为富力爷变幻存在着比较严苛的限制条件，他要求函数必须是有限个断点，有限个集值， 最重要的是他要求函数绝对可击，意思就是信号函数在富无穷到正无穷上必须是有限的，因此无数的常用函数，诸如指数函数、 二次函数，甚至连常数函数都不能进行复理页变换。与此同时，复理页变换在处理信号衰险的时候也面临困难。比如在物理学中，单摆的运动会被看作是一种简协运动， 用一个关于时间的函数来表示他近似于一个正弦曲线。用复理页变换就能得到更简单的疲欲表达，看起来很完美，但是在自然界中却无法真正找到这样的间隙运动，因为真实世界总会受到阻尼的影响，所以实际的运动函数可能是这样的。 事实上，单百会按照一种指数衰减的模型逐渐变小。自然界中有许许多多现象符合指数衰减的规律，比如地震波的传递，放射性物质的衰变。再比如人们记忆的遗忘曲线护理液变 换能告诉我们函数中存在哪些正弦曲线，却不能很好的处理衰减因素。如此一来，拉普拉斯变幻便应运而生。拉普拉斯变幻本质上是复利业变幻，更一般的泛化形式。为了说明什么是拉普拉斯变幻，我们通过一个例子来展开接下来的讲解。 对于不满足复理页变换要求的二次函数 f t 等于 t 的平方，把这个函数乘以一个衰减系数 e 的富伽马 t 次方。这样一来，当 t 趋于无穷大的时候， t 的平方乘以 e 的富伽马 t 次方，在无穷大处的极限是零。 为了把小于零的部分过滤掉，我们再乘以一个单位积月函数，这样就可以得到一个可以进行复理页变换的新函数 g t 了。把 g t 的复理页变换展开，在 把指数部分合并到一起是这样的。然后把伽马加 iomega， 用一个复数 s 代替，这就是拉普拉斯变换，它是一个从食欲到复数欲上的积分变换，其中复数的虚部代表频率，食部代表着衰减因子。 这个函数的输入输出都是负数，所以涉及到四个变量，它的图像可以用一个立体图形来表示。 输入 s 用负平面上任意一点表示。输出 fs 的模长用 s 到曲面的垂直距离来表示，而 fs 的香味就用颜色来表示。 当你把图像画出来，就会知道，复里叶变换其实是三维图像中伽玛等于零时的切面，也就是过须轴的那个切面。这就是为什么拉普拉斯变换使复里叶变换更一般的泛化形式。 现在我们可以结合衰减系数，把任意的函数分解成若干代指数衰减因子的正弦函数的线性组合。这样一来，我们就可以按照真正的衰减规律分解信号了。 更重要的是，拉普拉斯变换没有复利业变换那么多的限制条件，他可以轻松地用于求解微分方程。 现在我们去试一下函数一阶倒数的拉普拉斯变换是这样的，二阶倒数的变换是这样的。再回到刚才的微分方程， y 的二阶倒数加 y 等于负 f， 对方程两边同时进行拉普拉斯变换就是这样的。同样的道理，我们可以得到关于大 ys 的代数方程。求出 ys 之后，再进行拉普拉斯逆变换，就可以求出函数 yt 了。因为不存在复利 变换那样的限制，他对于大多数函数都适用，所以他被广泛用于求解线性常微分方程、偏微分方程和积分方程等问题。怎么样？关于拉普拉斯变换你了解了吗？今天的讲解就到这里，您可以关注梯度世界，了解更多精彩内容。

注意看，这只猴子在一个数学情景下，遭遇到了一个二元函数，这个函数呢，有两个变量，分别代表仙女和桃子，这两个变量之间呢，相互影响，比如仙女会造成桃子数量的迅速衰减， 等到桃子衰减到零的时候呢，整个函数值也会趋近于零，也就是桃子没了，仙女也跑了，那可真是鸡飞蛋打。所以猴子当机立断采取了措施，他拔下了猴毛，定住了仙女变量，这样他就可以完全控制桃子变量。虽然对于猴子定住仙女后，居然选择去摘桃子的行为，让我们觉得 那啥哎，但从纯粹数学角度来看呢，他的选择实际上是一个很牛的数学模式。让我们单独把函数拎出来看看， f 等于 x y， 嗯，在多元函数里呢， 他确实可以算得上是相当简单的，我们可以把它看成是一个面积函数，只不过长和宽都不确定，所以呢，面积增长的方向，增长的速度都是未知的。所以我们要怎么去分析这个函数呢？还好猴子已经给我们指明了方向，我们定住一个变量，这样呢，就可以完全控制另外一个变量了。 比如我们像猴子一样，定住仙女来整活，假设是定在二这个数字上面，那么整个函数就变成了 f 等于二 x， 那么它的面积增长呢？就是这样，其中一条边呢，一直保持二这个数字不变，哎，居然变成了一个连小学生都能计算的东西了。 这就是为什么说猴子的数学模型很牛的原因，他把复杂的东西瞬间变得非常的简单。当然你肯定要说了，可是我们只是假定仙女是二啊，而实际上人家仍然是个变量啊。嗯，你是 对的。不过呢，也好办啊，我们可以参照一下福利业变换的做法，整出一个频谱表出来。只不过这一次呢，我们的横坐标不是频率，而是函数在仙女变量在各个定格下的所有状态。 因为我们已经知道，所谓七仙女就是七个仙女，所以横坐标呢，就是七个坐标，他们表示函数的七个状态。或者你也可以理解为一个复杂函数被转换成了七个简单的函数，这其实就是复利业级数的思路，我们展示借用一下，现在我们来变化一下 x 的值试试。 哎，七个函数的变化呈现出明显的规律性，也就是说，如果我们把这七条平谱线连接起来的话，我们又能把七个简单函数组合成另外一个函数。而且很明显，这个新的组合函数呢，跟我们的原函数 f 等于 x， y 是不一样的。嗯， 很有意思哦，我现在非常好奇这个新的函数到底长成啥样，问题是怎么求出这个新函数来呢？我们来观察一下这个平谱表，当我们把七个函数顶点连接起来以后呢，整个画面看上去就很像是一个弥漫合的过程图。弥漫合是干啥用的？ 求定积分呗。那我们就来求一求定积分，为了简单起见，我们就求从零到十这个区间的定积分吧，他的式子呢，就是这个样子，要注意的是，式子里的 y 就是我们的仙女变量， 他们现在呢，已经被我们定住，所以在求积分的时候呢，直接把他们看成是长数就好了，那这样一个积分就很简单，我们口算一下，因为我们知道 x 平方的倒数呢，就是二 x， 那么能够得到 x 为导数的圆函数就一定是 x 平方除以二。然后我们再把上下界的边界值带入到式子里来，再用上界减去下界，就 得到了一个新的函数 g 等于五十 y。 哎，居然从一个二元函数变成了一个一元函数，桃子变量直接就被消元了。为啥会这样呢？因为之前我们是从猴子的视角来看 f 等于 xy 这个函数， 而现在呢，我们是从仙女的视角来看整个函数，仙女的视角当然跟猴子的视角不一样了。好了，先不管那么多，反正呢，这是我们自己推导出来的一个数学变换，虽然价值可能比不过复利业变换， 但至少对于我们自己而言，其意义也是十分的巨大。因为五十年之后呢，我们很可能会因为这个变化而成为科学院的院士，所以现在我们必须给他起个名字，呃，因为我们家养的喵的名字叫做饺子，所以呢，我们就叫他饺子变换吧。 好，我们来把饺子变换的公式整的正规一点。我们刚才所做的一切呢，都已经在这个式子里了，现在让我们把 s 这个空位给留出来，再随 边丢一个函数进去，这样整个式子就变成了一个黑盒，你输入一个函数，得到的是另外一个消过元的新函数，所以它本身呢，是一个函数的函数。因为这个变换现在叫做饺子变换，所以我们用一个话题字接来表示它。 于是最终的饺子变换公式就变成了这样，他就表示，你把任意一个函数乘以一个仙女变量，经过饺子变换之后呢，就得到了一个只含有仙女变量的新函数， 而你原来的变量呢，就被无情的消原掉了。嗯，明白了，这其实就是个参考系的变换，把原来的 x y 参考系变换到了仙女变量的参考系之下。不过为了严谨起见，我们把这个成果先提交给数学史上最擅长变换的拉弗拉斯来看看。 他看了以后就笑了，说，你这个饺子变换虽然是正确的，但是连个鸡毛的用处都没有啊，啊，凭什么啊？他说，你看， 你这个变换最大的问题就在于他只能够研究固定区间的函数，一旦你把积分上界扩展到无穷大，整个变换就会变得非常的不稳定。比如当我输入 s 平方这个函数，因为他是发散的，那么你的积分值在仙女变量的任何分段下都会是无穷大，那就一点意义也没有了。 呃，这确实是个问题，不过拉普拉斯接着说，所以仅仅只是乘以一个仙女变量是不够的，我们需要的不是一个仙女变量，而是一个仙女函数。这个仙女函数呢，应该能够完成这么个功能，就是他能够把发散函数都给整收敛了。 哦，有这么个函数吗？呃，你可以试试这个函数，也就是一的负 x y x 方，当我们把仙女定住，比如定为二的时候，这个函数就长成这个样子。这个函数的特点呢，就是他会很快的趋向于无穷小，并且一直在延 好，我们再拿刚才那个发上函数来试试，也就是 x 平方，把它乘以我们的仙女函数，你瞧，一个发上函数就被整的服服帖帖，老老实实的趴在了地上，而且当我们来改变仙女参数从一到七，我们的发上函数呢，就会变得越来越服帖， 哎，很有意思哦。所以我们要定住的不是一个变量，而是一个能够控制收敛的函数，而能够完成这一使命的函数呢，就是一的负 x y x 方，所以我们用它来替换掉我们的鲜血变量，于是公式呢，就变成了这个样子。 不过这个时候拉普拉斯说了，兄弟，不好意思啊，这个变换呢，现在不能够再叫做饺子变换了，我决定叫他拉普拉斯变换，于是他把狮子中的几个符号换了个写法，变成了下面这个样子。没错了，这就是让无数大学生一听名字就泪流满面的拉普拉斯变换，他实际上就是这么简单，说白了， 他就是一种换元法，用这种方法呢，可以把一些复杂的计算先换到更简单的视角，也就是我们所谓的仙女视角，解算完成之后呢，再换回来，非常的方便。然而，到底什么是仙女视角呢？被变换的函数在仙女的眼里到底又是个什么样子的呢？ 我们先直接给出答案。在仙女的眼里呢，韩叔又一次回到了副品面，而且再一次被绑在了一个高阶的欧拉大转盘上，被甩来甩去。不过呢，这又是一个新的话题了， 我们下个视频再详细说，因为接下来我们还需要解释一下上个视频里留下的作业。首先是派等于四的问题，我们在不断切掉正方形缺口的时候呢，会形成一个由长条形所组成的近四圆形，他的面积确实是无限接近于圆的， 因为这很明显是个弥漫核嘛。但是在边角的处理上，这种切法跟割元素呢，有着致命的差别。以割元素来切割的话，随着多边形边的增加， 两边之间的假角也会变大，当切成无数边的时候呢，这个假角就会趋近于圆滑，使得最终的多边形处处可到。然而以正方形或者矩形的方式来切呢，直角永远都会是直角，所以我们得到的其实是一个面积与圆相等的锯齿盘。 我们来总结一下，凡是回答直角不变、锯齿圆以及分型的朋友，你们都是对的。另外还有位大神级的朋友用 l e 范数来解释了派等于四，在某类飞欧几何中也是说的过去的。这个回答实在是太赞了，说实话，我自己都还没有这么深入的去思考这个问题， 惭愧啊。因为没有来得及征求这位朋友的同意呢，我不敢私自展示他的 id， 这里就直接贴上他的回答来膜拜一下。范数这个概念呢，就是在不同的空间中如何去定义两个点之间的距离。这位朋友的回答里呢，已经解释的相当的清楚，我就不做展开了。另外还有 很多朋友直接回答了，没什么好反驳的，他也就等于四啊。呃，因为我不知道你也是用 l e 范数来理解这个问题呢，还是直接躺平呢？ 所以我这里就只好仰天长啸两次好了。今天我们从积分换元的角度来阐述了一下拉普拉斯变换，个人感觉从这个角度来理解呢，是最直接了当的，但拉普拉斯本人其实并不是从这个思路来推导的。下一期视频，我们一起来顺着拉普拉斯本人的思路来重新推导一遍拉普拉斯变换。 在这个过程中呢，我们将再一次感受到欧拉公式的无所不在。感兴趣的朋友请千万别忘了点赞加关注哦，拜拜！

同学们好，我们今天讲拉布拉斯变换与反变换， 第一节呢是拉布拉斯变换的定义，那这个呢是一个数学的一个课程，属于积分变换的里面的一个内容，那么拉布拉斯变换法呢， 他的核心呢是把时间的函数跟复变函数来进行联系起来，大家注意看到这个符号时间函数呢是 ft 关于时间的一个关系，而他呢跟这个复变函数，复变函数呢，他是 f s 大写的 fs 这样连起来，那他是把食欲的问题呢，通过数学变换来变换成个富平域的问题。 那我们前面呢，动态电路的十一分析里面呢，有一些呃高阶的不用方程，比如说二阶不用方程，三阶不用方程等等的，那么他就可以变成关于平域上面的一个代数方程来进行求解， 也就是说呢，通过这个拉布拉丝变换，我们实际上呢是可以把高阶的微风翻整的，那么给他进行简化，简化成带出方程，这样子的来求解的时候呢，就比较容易一些啊。因此呢，我们利用拉丝变换法进行电路 分析，他就成为了电路的富平与分析法，又称为运算法，大家注意看到这个名词叫运算法，那我们后面呢就会介绍这个运算法在动态电路当中的一个分析。 那首先呢，我们先介绍一下拉普拉斯变换，我们常见的一些变换，比如说像对数变换，那么可以把乘法的运算变成简单的加法运算，这个是对数运算， 也有呢我们电路当中所学到的项链法，那么他可以把食欲下面的政权运算呢，变换为 不速应算，那这个经过一定的变换，那么对我们分析问题来说呢，有一定的简化，所以我们拉布拉斯变换法呢，那么是把十亿下面的原函数 跟平域下面的下函数做一个对应， 那么具有多个动态原件的这种普杂普杂电路呢？它的电路方程肯定将会超过二阶，那么我们前面已经分析过二阶电路了，它的 解呢是比较复杂的一个解，所以利用拉布拉斯变化法， 它可以通过积分变换，可以把已知的十余函数变换为富平余函数， 那么就得到一个代数方程，关于富平域的一个代数方程，代数方程求出来他的一个富平域下面一个解以后呢，再进行反变换 啊，这面有拉拉普拉斯反变幻，可以回到原来的食欲下面，那这时候呢，就可以得到满足我们电路初始条件的原来的威风方程的解啊，整个过程呢就是这样子的， 首先我们列写一个食欲威风方程，然后呢对这个方程呢进行拉普拉斯变换，得到一个 平域下面的带出方程，那这个带出方程呢？求解出来以后，他的解呢？来进行拉式反变换，然后得到最终食欲下面的解啊，这个就是一个呃 运算法，它的一个分析的过程，它的优点呢，就不需要去确定积分的长数，也不需要 建立啊，或者是求解这个无人方程，这个使用于高阶复杂的动态电路。 好，我们看一下具体的拉斯拉普拉斯变换和反变换的定义，我们定义呢，在零到正无穷期间，这个时间函数 ft 呢？他的拉布拉拉布拉斯变换式是这样一个关系式，一个是他的正变换，上面这个是他正变换的红色 fs 呢，等于 ft 呈上 e 的副 st 之咪，然后对整项呢，从零负到正无穷进行积分啊，对 t 进行积分，这个是大巴士正变换， 反变化呢，也有相应的四指，那这个反变化呢，不是我们重点掌握内容，我们重点掌握内容呢，是正变化， 那这边的话呢，是对一个十一的函数呈上一个指数函数，然后呢一个积分的关系式减写呢，我们可以写成 fs 等于 lft， 那如果是反变化的话呢，就是 l 上面呢，上标写一个负一 f s 啊，大 s， 大写的 f s， 注意看这个大写和小写的关系， 那这里面呢，所对应的 s， 我们把它定义成叫做复频率，复频率呢，具体是等于可 c 加上 jome 感这样一个复频率的， 那需要注意他的积分域，我们积分域呢，有从零负开始，那这个是叫做零负的拉屎变化，那我们基本上我们讨论的都是从零负开始，那这样零负开始呢，有个什么好处呢？他就可以涵盖了零负 复到林正以及林正到正无穷之间的一个关系。这个主要是涉及到什么东西呢？涉及到函数呢？如果是冲击函数的时候，那这时候呢？林副到林正，那么他去解的话呢，是可以解出来这样有关系的 啊，这个是第一个注意事项，第二个注意事项呢，就是这个下函数它存在的条件， 那么这里面呢，我们定义的对 ft 乘三亿的副 st 之谜，它的绝对值，从零负到正位重新积分，它是原小小于这个胸大的， 那这时候呢，就存在了一个有限的长数 m 和 c， 使得函数呢 满足这种关系， ft 的绝对值小于等于 m 乘在 e 的 ct 次咪啊， t 是在零到重从期间的大一点零的， 那因此呢，我们把这个积分一下， 最终得到一个积分的式子，就等于 m 除以 s 减 c， 那么这时候呢，就表示说 ft 的拉丝变换式 fs 呢，总是存在的，因为呢，总是可以找到合适的一个 s 的值，使得上面这个式值呢，积分是有限值， 比如说不会去无穷大。 第三个是我们非常注意的一个内容，就是下函数，他都是用大写字母来表示的啊，上面也不带点， 比如说电流 i， 那么就是大写的 i， 大写的优 原函数 ft 呢，用小写字母来进行表示啊，用小写的 iu 来进行表示。好，大家注意看以后呢，我们这里面的这个下函数括号里面呢是 s， 括号里面是 s， 表示呢，它是一个富平域上面的一个函数关系啊，那接下来我们来看一下典型函 数的拉丝变换，那主要呢，就是通过这个拉丝这边换，这边换的一个关系式来进行分析，比如说第一个单位的接函数的下函数， 那这时候呢， ft 呢，等于一不小心，我们对这个一不小心呢成善意的副 s t 之咪，然后进行从零负到正不从进行积分，那这时候积分的关键是呢，就等于 啊，因为 t 大于零，以后呢，这个一不小 t 呢就等于一，所以就是一乘三一的负 s t 之命。 那么把这个进行积分的话，就等于负的 s 分之一，乘上 e 的负 s t c m 从零负到正无穷经得到了他的一个关系值，因此呢，最终的值就等于黑十分之一，那也就说单位级的函数，他的下函数呢，就 等于 s 分之一。那如果是单位冲击函数的话，一样的把这个单位冲击函数呢，给他带到这个正面换的第一次里面去，那我们 这个从今而数呢，只有在零负到零正之间有他的一个关系时啊，有他的就值，因为零正以后呢，他等于零了啊，所以就是等于零负到零正之间的这有一个关系值， 那么零分到零证之间的时候呢，他是等于一的啊，所以这个他的积分呢，就最终就等于一，因此呢，单位冲击函数，他的下函数呢，就等于一。这些这个结论呢，需要大家记住， 指数函数 e 的 at 痴迷， e 的 at 痴迷呢？因为在我们食欲下面，这个 是非常重要的一个函数关系啊，所以我们把这个他对应的象函数给他求解一下，一楼 atsp 带进去，那么这个时候呢，他的结果就变成了， e 的负， s 减 a 的差值呈上 t， 是咪？然后呢，前面呢一个系数就是负的 s 减 a 分之一，然后呢，令他从 正无穷到零负进行取值，最终的结果呢，等于 s 减 a 分之一 s 减 a 的导数，那也就说呢， e 的 比如说 e 的负二 t 之咪，它对应的下函数是什么呢？那这时候他对应的下函数， 那就是 s 加二还减二， s 加上二分之一，这个就是他的一个呃， 下函数啊，那下函数 e 的负二 t 次咪就是 s 加二分之一，反过来你要能够知道， s 加二分之一，他的这个原函数就是 e 的负二 t 次咪 啊，这个是相当于有一个拉丝正变换，跟拉丝反变换有关系。 第四个时长数的一个下函数，一个 k 值， k 值存进去，那么这时候呢，拉式变化呢，就等于 s 分之 k， s 分之 k， 那也就说呢，如果一个时数 他是等于二，那这时候呢，他对应的这个向上数就是 s 分之二啊，一对应的向上数就是 s 分之一啊，五对应的他的向上数就是 s 分之五 啊，这个用在什么地方呢？这个用在呃，电源，电压源，电流源上，直流的电源上啊，比如说这一个直流的电压源，他是十伏的一个电压源，那这个时候呢，要 用运算法来分析的话呢，那么他的一个什么呢？他的下函数就等于 s 分之十， s 分之十啊，就是需要注意，这是时长数啊，最后一个单位延迟接函数英雄替减大 t 的一个下函数，那这个延迟函数呢？我们把这个具体的一个关系呢列写出来，那么把它带入到这个拉丝正面换的四指名去，最终的值就等于 s 分之一，乘上 e 的负 s 大 t， 这个是延迟结函数，那这个呢，大家简单的看一下就可以了，这个用的倒是不多， 那么因此呢，这么有个推论，那么对任何一个函数进行延迟的话呢，那么对视就是对任何一个下函数呈上一个亿的负 s 大 tc 啊，这样一个关系， 像这个呢，呃，用的不多哈，大家简单看一下就可以了。最终我们小结一下，什么是拉丝变换， 什么是拉丝反变换，什么是原函数，什么是下函数，两者之间有什么关系？那么拉式变化呢？就是已知原函数求下函数的这个过程就叫拉式变换，而已知下函数求原函数的过程呢，那就变成拉式版变换。 那么我们所对的原函数指的就是这个食欲下面的函数用小写的字母来表示，而下函数呢，它是一个富平原函数，用大写字母来表示 原函数的拉丝变换就得到下函数，而对下函数的拉丝反应换最终得到的就是原函数，这个他是他们之间的关系。

这是接月函数 ft 等于一 t 大于等于零的拉普拉斯变换。小窗介绍的是他在描述简邪运动中作为外部激励函数展示的二维图像 对应视频。在本号的微分方程专栏和复利业变换专栏掌握本篇各个小窗里的内容，对理解本视频的三弟直观解释至关重要。 拉普拉斯变换在工程学、物理学和数学上扮演着非常重要的角色。拉普拉斯变换让我们能够评估一个系统的稳定性和频率响应。 拉普拉斯变幻还为我们提供了一种轻松求解微分方程的方法，把微积分变成了袋数。请大家注意，在本视频中有时间轴拖动的动画，时间轴代表函数输入，自变量替负平面代表两维的 ft 输出。如果再输入 s， 则还需要额外的两维，五维无法展示，所以 s 被设为无数负值中的一个定值，即当成常量。大家看到的螺旋线只是无数条线中的 s 等于此值的一条。 在本视频中，颜色表示一个函数的向位信息， 虚竖的向位，用旋转的白色线与正时轴之间的夹角来表示。 虚数的扶直，用旋转的白色线的长度来表示。这条线是 s 等于零点一加 i 时，函数 e 的 st 四方的图像。当 s 在负平面上任意取值时，对应无数条这样的螺旋线。 在 f， s 等于 s 分之一。这个频域函数中有时也叫 f 域，不存在时间信息，没有时间这个字变量。此函数的输入是一个虚数。虚数的十步和虚不值可以从两个坐标轴上读出， 落下的每颗珍珠代表一个负数。输入击中的点有两个含义，一是代表圆函数与饥函数乘积的积分函数， 二是代表元函数在拉普拉斯变换后输出的 s 与函数的值。此函数的输出也是一个虚数，他由图形的高度和颜色表示，高度由垂直于 于实轴和虚轴的一维轴给出，颜色则代表了第四维。图中每个点的高度代表输出的符值，颜色代表输出的向位。 图中现在看到这个拉普拉斯变换后的函数中，输出和输入完全相等，都为 s。 他的原函数是迪拉克 dlat 函数的一阶导函数，而这个拉普拉斯变换后的函数，他的输出等于输入的导数。前面说了，他的原函数是接月函数。 当 s 为何值时，这个频域函数存在，或者说圆函数的那个积分函数收敛在这里，当 s 的时步大于零时，函数存在。 这个例子中的函数，我们称之为频喻函数。与夏文中的 直遇函数对应， 十月函数就是时间的函数，此时大家看到的是接月函数 ft 等于一。 每个十余函数都有一个相关联的频域函数，他们之间的转换我们称之为拉普拉斯变换。 这种变幻很有美感，但是为了理解他，我们需要先谈谈指数函数的相加。 对于时间的函数来说，变量 s 永远相当于一个长数， ft 等于扶直乘以向位。 如果我们使 s 的虚步变大，白线的旋转会加快，频度会升高，而且幅值也会增大。 如果我们使 s 的时部变大，扶直会升高的比之改变虚步更快。 如果 s 的时部为零，这时是复立业变换，扶直会维持在虚步确定的直上，如果虚步不变，则扶直也不会改变。 我们把我们的函数乘上一个长数， 在这个例子里，不妨设这个长数为十数三， 不过这个长数也可以是一个虚数。 现在来看看，当我们像这样让指数函数相加会发生什么。 所有的波形都可以通过这种指数函数叠加的方式制造出来。 波形的拉普拉斯变换告诉我们每个指数函数要添加多 多少。 如图，我们画一条无限长的直线， 这条线可以在任何位置上。 当这条线固定在一个位置上，每一个这样的点就代表一个指数函数，而这些指数函数就是我们用来叠加生成波形的 复数。 s 就是每个点在实轴和虚轴上的位置。 对于这些点中的每一个，我们加上这个关于时间的指数函数。这里的 s 可以被视为一个长数，用前面大家看到的天上撒下来的珍珠来表示，这是 s。 取一个定值时 e 的 st， 四方的三为图像，一为输入，二为输出。 每颗珍珠放到指数函数异的 st 次方里，再都与一个虚数相乘，这个虚数便是拉普拉斯变换的频域函数的值。用这条珠链上的红珠子表示，红珠子对应图中在这个位置的高度和颜色，代表虚数的浮直和浮角。由于我们有 无穷多个点，每个点代表的是函数，这样的函数相加很容易变成无穷大，除非我们也乘上一个无穷小的数，也就是这些点的间距。 由于这些点的间距接近于零，所有这些指数函数的加和可以表示成这样， 我们将结果乘上图中的这个长数， 就得到了我们关于时间的元函数。这是拉普拉斯逆变换对应的积分，也叫布罗姆维奇积分或富丽叶梅林积分。梅林逆宫式是用线积分得到的实数 c 表示直线的未 位置是 s 的十步，十步不变，在虚步上积分。 由于 c 可以取无穷个值，这条线可以在无穷多个位置，所以有无穷多种方法来创造我们原来的波形，即得到无穷多个元函数。 如果我们把线移动到 s 的时部为零的位置，那这就是一个特殊情况。我们要只用正弦曲线来生成波形，就像复立液变换一样。小窗展示复立液变换的二维图像，与本三维图像描述的是 同一个数学场景，但小窗因为缺少时间轴而借用了副虚轴。动画表现的是一对角速度相反的信号相加，他的虚步互相抵消，只剩下十步叠加后的函数在十轴上震荡。 现在是两对角速度相反的信号相加的动画，小窗也是，但此时主画面的情况跟刚才不同，因为拉普拉斯变换的 s 十步步为零，虽然信号相加时把他的虚布抵消了， 叠加后的函数还是在实轴上震荡，但震荡幅度在发散，这时已经是拉普拉斯变换。小窗的情况则跟前面类似，还是复利液变换 s 时不为零，震荡幅度不会发散。 拉普拉斯变换比复理液变换更具有普遍性，因为用拉普拉斯变换，我们也可以将 垂直随时间变化的丧影曲线叠加。那如果反过来，我们已经知道了我们的波形是什么样的，怎样得到他的拉普拉斯变换呢？ 看如下的表达是，我们在长数 s 前面有一个符号， 将这个表达是乘以我们想要找到其拉普拉斯变幻的函数的波形， 在这里是接月函数。 ft 等于一 t 大于等于零，他的定义率在大于等于零，所以为负的情况可以引去。 在这个乘法运算的结果里，每一个时刻是一个用箭头表示的负数， 通过如下方程把所有的箭头加起来就是积分。 结果是一个用白色箭头表示的负数，而这个用白色箭头表示的负数就是我们的波形。再取值为 s 十的拉普拉斯变换。 如果积分的结果为无穷，我们就说在取值为 s 时，波形的拉普拉斯变换不存在。 这种情况是存在的。例如，当这个 s 的实布是一个很大的负数时， 这就是为什么在我们的例子里，当 s 的实布为负数时，拉普拉斯变换不存在。 当决定在哪里划线来恢复我们的原始波形时， 我们需要把它画在对于当前波形拉普拉斯变换存在的地方。

下面介绍很重要的一个数学理论，就是拉普拉斯变换啊，很多这个电电工学，电子学要学这个理论了，因为呃他跟复数是有关系的啊，就一般是复变函数与拉普拉斯变换都是成套的， 这个是一种啊，特殊的积分变换。一七八二年的时候，法国数学家拉普拉斯研究了呃，由这个 fx 等于呃积分，是从负无穷大到正无穷大的积分。那么积分表达式的是一的负 x 啊，负 z 呃 t 次呃乘积的次密，然后再 g t 啊，再底 t 他给出的积分方程。那么这个方程呢， 后来被称为 gt 的拉布拉斯变换。不久呢，坡松发现了 gt 的表达式就是 如下啊， g t 等于二派 i 分之一啊，基本表达是 a 到 i a 减 i 的正无形啊，是 a 到加的这个 i 正无形，那么 e 的 z t 是 me 乘以 f t d t， 其中呢？ a 充分大二是呢，现在称为拉布拉斯反变换。 那么对迪丽克雷技术的研究啊，深入开展以后，人们发现把迪丽克雷极速推广到积分，就得到了拉布拉斯变换，因此呢， 对后者的研究更加引起人们的注意了。那拉布拉斯变换呢，是求解长温分防尘和偏温分防尘的有利工具。