定积分的物理应用公式

一个视频带你速通定积分的计算，不管你是期末临时抱佛脚，还是考研复习，这一条视频都能帮你一次性把它搞定。我们定积分的计算其实有很多很多的方法，那对我们来说最为常用也是最为重要的，就是我们的牛顿莱布尼斯公式，也就是微积分基本定律， 也就是说，如果说我们对于 f x 的 在 a 到 b 段的定积分，如果说我们能够直接找到 f 的 原函数的话，那么我们就直接可以利用牛来公式来进行计算，也就是直接就等于这个原函数在 b 数的值减去在 a 数的值，那我们来看一个例子， 那这个例子呢，如果说想找它的原函数方法呢，对我们来说非常熟悉啊，就是很基本的分布积分，那我们来看分布积分在定积分里怎么进行操作，那我们很容易就能够看出来啊，这个 e 的 x 方跟 d x 凑一分之后，我们做分布积分，那就是先拿出一个 x e 的 x 方出来，然后 分布积分，结果之后是这样，那在分布积分里呢，我们就要多写一步啊，比如这里面啊，这个元函数，我们要把这个零一的值算出来，然后还要把后面这个积分啊，也要写成零积分的样子。当然呢，如果说你说你直接算出了元函数是什么啊，那我们最终直接就能够给出 写成元函数啊，在一处的值减去在零处的值，然后计算，那就是在一处的值就是零，在零处的值就是负一， 最后结果就是一。我们再来看换元积分法，那我们前面呢，在不定积分的换元里讲过，定积分的换元跟不定积分的换元区别在于呢，我们定积分在换元的时候一定要注意，在换元的同时要注意 积分上下线也要跟着变，这就是我们所谓的口诀叫换元必换线。好，我们来看这道例题，这道例题呢啊，很容易在我们讲换元的时候讲过啊，这是很典型的根式换元，也就是我们令 t 等于根号 x， 那 这个时候换元必换线，我们来看 积分线怎么变化，那 x 是 从零到四积分，那根号 x 很 容易看出来它是从零到二的积分，这个时候还原之后就是一加 t 分 之二， t 比 t 这个去找它的原函数比较容易，这是一个假分式，那假分式我们已经看出来，它可以拆成一个 常数加真分式啊。最后我们分别对它进行积分，找到原函数就是二， t 减二倍，绕眼一加 t 绝对值， 然后微积分基本定律分别代入二啊，代入零，然后他们相减，最后结果得到四减二为零三。那当然我们有牛来公式这么一个非常核心的微积分基本定律， 理论上来说，我们对于任何的定积分，只要我们能够找到这个函数的一个原函数，我们都可以用牛来公式去求，但是呢，我们 将会碰到很多很多比较复杂一点的函数啊，这种函数你要是找它原函数也能找，但是要费很大的力气，这个时候呢，我们就要讲究一一些技巧了。首先我们可以利用定积分的几何意义，那对于一些比我们比较容易画出图像的函数，我们就可以利用这一点去给它进行积分。 我们知道定积分的几何含义是函数图像跟 x 轴在我们积分区间这一段围成的，叫做带符号的面积。什么叫带符号的面积？就是如果这一段图像在 x 轴上方，那这个面积就是正啊。如果说这段图像在 x 轴下方呢，我们就取这个面积加一个符号， 这就叫带符号面积的含义。那我们接下来来看这三道例题。首先第一道例题，我们非常容易找到原函数啊，当然可以用原函数方法去做，就是 a x 减二分之 x 方，然后你利用的公式去算就完事了。那还有一点我们注意到啊， 这函数作为一次函数，那我们图像很容易画出来，它就长这样，然后呢，它的 y 截距是 a， x 截距也是 a， 然后那正好零到 a 这一段，它的几何含义就是这个小三角形面积， 所以我们就很容易算出来这个小三角形面积是什么呢？那就是二分之 a 方，立刻就求出来了。第二个呢，其实这个找圆函数我们也练过啊，我们用三角换圆也能做，只不过呢，当时做的时候确实比较麻烦 啊，让函数写了半天，最后你还得把它换回来，那很麻烦。那利用定积分的几何含义，其实我们就很简单了，为什么？比如我们看这里面，如果另外等于根号下 a 方减 x 方的话，那我们很容易找到关系， x 方加外方等于 a 方，说明呢，这个函数图像它是一个什么呢？ 他是以零圆点为圆心，以 a 为半径的这么一个上半圆，因为我们说 y 是 要大于等于零的，然后那他这个零到 a 段的积分就是什么呢？那是不是就是这么一个四分之一圆的面积 啊？那我们就很容易算出来这个面，这个结果就是四分之派 a 方。第三个，这个对我们来说，想要找到他的换元，找元数不太容易，但是呢我们注意到，如果我们另外等于这个根号的话， 我们反写一下它的关系，我们最后呢整理一下，会得到它是 x 减 a 的 平方加 y 的 平方等于 a 方，说明这个函数图像是什么呢？说明这个函数图像是以 a 零为圆心，以 a 为半径的这么一个上半圆，然后我们看它考虑的啊，是零到 a 的 积分， 那零到 a 的 积分是不是还是这么一个四分之一的面积，最后结果当然就是四分之派方。那如果说这个题啊，如果我们考虑零到二 a 的 面积呢？ 零到二的积分啊，那就是这么一个整个半圆的面积，那它就变成了二分之 pi。 下面一个技巧比较重要，我们来看，如果说被积函数是积函数，或者它是偶函数，并且注意下面的条件， 积分区间要关于原点对称，如果满足这两个条件的话，我们就可以利用奇偶性来计算。我们考虑负 a 到 a 一 段 f x 的 积分，那我们首先考虑 f x 是 奇函数的情况，那如果说 f x 是 奇函数的话，根据我们定积分的几何含义， 那这个函数图像它是关于原点对称的，那比如说我们去考虑负 a 到 a 的 这一段， 那我们从图像上可以看到，因为这个图像关于圆点对称，所以说呢，这一小这两块他们的面积相等，但是呢，我们说几何含义是带符号的面积，所以说呢，那这一段上，他这零到 a 这一段图像在 l 上方，所以是正的负 a 到零这一段图像在下方，所以它是负的， 那一正一负正好就被抵消掉了。所以说我们说对于奇函数的情况，在对称区间上的积分，最后值变成了零，那我们再看 f x 是 偶函数的情况，那偶函数的情况的话，我们从图像上来看，图像呢，关于外轴是对称的，那 负 a 到零一段和零到 a 一 段，它们的面积都是相等的，并且呢，我们看到它们都在 x o 的 上方，所以说呢，最后呢，我们如果是偶函数的情况，我们可以通过 这么一个运算，把它啊把这个积分之间给缩小，使我们这样会使我们的计算变得减变很多。我们接下来看一道例题， 那这道例题里面呢，我们根据定积分的性质，我们当然可以把这两个看成两个函数，分别进行积分来计算，它的难点在于我们后一个积分， 如果说你用传统的牛来公式想找元函数呢，不太好找，你要三角还原，三角还原完了，你还得一通算。但是呢，我们首先注意到这个积分区间，它关于零对称，其次这个函数它是一个奇函数， 所以我们根本不用管他的记分，那他在负三到三的记分自动就是零，我们不用看了，所以我们只需要算 x 方在负三到三的记分，那 x 方作为偶函数，那他就等于两倍的零到三， x 方的记分，那这个记分对我们来说就很容易，二倍的三分之 x， 三个方 三处啊，再三处就是减零，最后结果十八。接下来我们要给大家补充一个比较重要的常见的二级结论，那现在我们来考虑一个最为普通的 f x 在 对称区间负 a 到尾上的积分，那这里 f x 我 对它没有任何要求，所以它可以是非基非偶的， 那我们可以给他在零处做一个分段，我们分别考虑在负 a 到零处和零到 a 处 f x 的 积分，那负 a 到零处，我给他做一个怎样的换元呢？我给他令 t 等于负 x， 那 这样的话我们来看换元必换线，就是 a 到零 f 负 t 底负 t， 最后啊这个符号挪到前面去，再让这个符号跟上下线起作用，这样的话我们就得到了它变成了零到 a， f 负 t， d t 的 积分。所以呢，我们这么做完变换之后，我们再跟我们再跟这个零到 a 处啊做一个加法，那最后我们就可以得到我们的结论就是它可以变成零到 a f x 加上 f 负 x d x 积分，这是一个我们相对来说比较重要的一个结论。接下来我们要讲的一公式，叫做区间在线公式，区间在线公式是怎么回事呢？这样的我们来考虑一个一般的 f x 的 定积分，那现在我给 x 做一个这样的变换， 我令 t 等于 a 加 b 减 x， 这么一个变换是什么意思呢？它简单来说呢，就是我把 f x 的 图像 以呢我比如说我们来看 a 到 b 这一段图像，我呢以它的中点作为对称轴， 给它来一个左右的翻转，那它的图像大致是成这个样子的，我们说这个这么变换完之后， 它的左右发生了翻，这个 f x 图像左右发生了翻转，但是呢，我们从图像的直观意义上可以看到，它的这个面积肯定还是没变的，因为我们做的是全等变换，那我们从积分换元的角度其实也很好算。 我们说如果我们直接去做换元的话，那换元必换线，它就是 b 到 a， f a 加 b 减 t， d， a 加 b 减 t， 然后啊还是同样的，跟刚才一样，这个这个就是负 dt 符号，挪到前面去，正好让这个上下线再换回来，最后变成了我们区间在线公式的结论就是 a 到 b， f， a 加 b 减 t， d， t 的 积分，那这个区间在线公式有什么用呢？我们来看 我们现在的例题，这样一道例题，我们要计算它的积分，那它的积分我们想要找元函数不太好找，我们当然有技巧啊，比如说我可以给它分解成，比如说啊， 就说它的元函数啊，和它的导函数啊，做一个线圈组合，然后分别去积分。但是这么算呢，挺麻烦的，我们可以用刚才讲的区间在线的技巧，我们区间在线之后，零到二分之派，那 它就是 cosine 二分之派减 x 加 sin 二分之派减 x 分 子 cosine 二分之派减 x， d x， 然后那根据诱导公式，那这些函数都要变名字，那自动变成了二分零到二分之派， cos x 加上 sine x， 这是分母分子，正好变成了 sine x dx。 我 们说这两个积分有什么关系呢？ 那我们刚好看到这两个函数加起来正好等于一，所以我们那就结论就是二倍的 i 等于零到二分之派一， d x 等于二分之派，所以我们直接算出来积分值为四分之派。你看我们合理的利用我们的这么一个结论，就根本不需要再去找他的元函数，然后一共算，根本没有必要了。 所以你看这就变得很简单，区间在线公式对于我们计算有关三角函数的积分的时候非常非常有用，那我们这里就有一个二级结论给到大家，如果说啊，我们说这个函数只跟三角函数有关系的话，比如说我们看 f cos， 我 们考虑它在零到二分之派的积分的话，那根据区间在线公式， 我们可以把它写成零到二分之派 f cos 二分之派减 x 的 积分，那 cos 二分之派 x 刚好诱导公式它就是 cos， 所以呢，那我们的结论就是它等于零到二分之派 f 三 x d x 的 积分。接下来我们看分段函数的积分，那对于分段函数的积分呢？我们其实在学习定积分的时候 讲过定积分的性质，其中有一条重要的性质就是我们看如果是 a 到 b 的 积分的话，我们可以把它分解成 a 到 c 和 c 到 b 两段积分加起来的格。 所以对于分段函数，我们可以把函数在分段点处断开，然后我们分别对分段点左右的两段分别进行积分，然后我们去计算。比如我们看这道题啊，这道题很明显 他在零处做的分段，然后我们要看他在负一到一处的积分，很明显我们要把它分解成负一到零处的积分和零到一处积分加起来，比如我们负一到零的积分就是 x e 的 x 方 d x， 然后零到一的积分 就是一加 x 方 d x。 那 这两段我们找圆函数啊，都比较容易。第一个很明显 x 跟 d x 凑为分之后，然后我们分别记分啊，那我们找到圆函数，那最后二分之一的 x 方 负一到零，加上一加 f， 二分之一，积分表里有 r， 看成它 x 零到一，然后我们分别计算啊，最后我们计算出的结果就是二分之一减 e， 然后加上四分之 pi。 那 最后我们给大家介绍一个非常著名的公式啊，叫做华律式公式。 这个公式啊，嗯，也有给他系成叫做点火公式的，那来源就是我们著名的考研老师的某个段子，大家可以自己去查一下。那这个公式我们谈到的是我们看塞 n 四方 x 在 零到二分之派的积分，那当然我们刚才提到过，就是根据区间在线公式， 他也是零到二分之派口塞 n 四方 x 的 积分，所以这俩没区别，我们只记一个就可以。那这个公式在这里给大家，那注意这里面。 哎，我们第一次见到这个符号，两个叹号是什么意思呢？这两个叹号啊，叫做双阶乘，那双阶乘就是说从 n， 然后每次往下减两个去乘 n 乘 n， 减二， 乘 n 减四，一直往下乘，一直乘到。比如说如果 n 是 偶数的话，那就乘，最后会乘到二，如果 n 是 基数的话，最后乘到一。这公式本身不太好记，那为什么会细成点括号公式呢？就是因为这位老师教大家 怎么去直接给他算出来，那我们就直接来看，我们比如看三八字方 x 在 零二分之派的记分，如果说你记不住这公式，其实你根本不用记，怎么办呢？我们从分母开始啊，一个一个往上写，就是八、 七，然后再写一个分数啊，再从分母六、五、四、三、二、一。如果我们写完整了，把最后这个分数写完整了，证明我们这个他们就叫点火，成功了，就成了二分之派。 那如果说，比如我们看下面这个例子，从基数开始，我们同样的方式，从分母开始写七、六五四、三、二，最后我们发现如果我们写到这个一的时候，一在分母上证明我往下写，写不完全了，那就叫点火失败，那就是啥也没有，那就是其实就是我们的这么一个结论。 那刚好你看一下啊，这个八是偶数的时候，你看跟我们这个结论是不是一样的啊？那七是基数的时候，跟我们上面的结论是不是他也是一样的？所以我们这个公式啊，华理式公式看着复杂，实际你只要掌握这个写法的技巧啊，对我们来说就非常简单。 那看完整个视频，大家对于定积分的计算是不是更加得心应手了呢？那如果有疑问，欢迎在评论区留言，我们下期见。

两分钟学会定积分的物理应用，数学的同学呢，都很害怕物理应用的题目，当然这几年的物理应用考的大题不多，主要是考小题为主，那么物理应用其实结合我们的简单的物理知识，加上微原法，他并不难呀。比方说我们来看二零年的这道题目，那么这个题说斜边是二 a 的一个等腰直角三角形的平板， 然后呢，垂直的沉浸在水中，斜边呢，以水面是齐平的，重力加速度是个 j， 水的密度是个柔则，这个平板的一侧承受的水压力是多少？哎，水压力在我们历年的考研真题当中出现了不止一次了，那么叫压力的压强乘以面积啊，而压强就是个柔 j h 啊，所以这个题的话呢，这就是简单的物理知识， 只不过你现在不同的深度压强不一样啊，所以这种需要用微圆法来做。当然做题之前，我们先来画一个草图，等腰直角三角形啊，这个斜边是一个二 a， 与水面是齐的，那说明这是一个直角，我们要根据这个图形的建立适当的坐标系。比方说，哎， 我们绕这个位置就是一个圆点，这是 x 轴，这是一个 y 轴，那你总的这个斜边是二 a， 那你是等腰直角三角形啊，是不是这个线就是一个 y， 等于 x 了，因此这个点就是谁呀？ a 这个高度也是 a 呀，因为是等腰直角三角形啊，这是个零啊。我们把这个图呢画出来了，自己建立的坐标器，那让我们求这一侧承受的水压力， 那么这一侧在不同的深度，他压强是不一样的，所以用微圆法来做呀，咱们就先把它分割了，先分割出一小条来，比方说这是分割出来一小条，咱们先求这一小条他承受的水压力是多少。那么这一小条，同学啊，咱们是从小到大分割，那么这个点呢？就是一个外了，那这个点呢？就是个外加 dy 了， 所以它的深度是这个深度啊，深度就是一个 a 减 y rog h rog h h， 现在就是一个 a 减 y 啊，好，这是这个这一小桥上的压强，因为我们分的 特别小，这个点的加强可以代表这一小条上一个均匀的加强了。到这以后，揉这一次了，乘以面积。这一小条我们分割是非常小的，他近似一个小的矩形，这条线是谁？ y 等于 x， 那什么这一段是谁呀？就是 x 等于 y 呀， 那两倍的呀，才是一个长度啊。什么是二 y 呀？因此二 y 高度是谁呀？这一段高度是一个 dy 呀，长乘宽呀，二 y 乘以 dy， 就是这一小桥的面积呀，面积乘以压桥，这不是一小桥承受的水压力吗？那你这个区间零到 a， 整个这一段有多少个这样的小桥啊？ 咱们把它分割了 n 个小条， n 个加起来求和，再取极限，求和取极限，同学，不就是定积分吗？从谁到谁分割的呀？零到 a， 所以他这一侧承受的这个压力就是这样一个定积分了，把这个定积分算出来就行了，所以把长数提出来吧。二 ro g， 这是个零到 a， 对吧？这是一个 a y 减去个 y 房括起来地外，然后呢，这是一个二 rog， 这个位置是一个二分之 a， 外方减去三分之外的三次下线是零，上线是 a 啊，是不是个二 rog？ 把上线 a 一带。同学看，这是一个二分之 a 的几次密啊？三次密减去三分之 a 的三次密，零一代是个零了。 所以二分之一至六分之三减六分之六分之一，六分之一再乘前面这个，这不三分之一 rog 吗？然后 a 的三次 b。 好同学，那这个是一个填空题，小手一抖，那你的五分就到手了。好同学，这个题咱们就分享到这里。

大学数学救命课第十四期，今天我们接着说用定积分求曲线围成的面积，我们上次课说的都是单个函数与曲线围成的面积，今天我们来说说多个函数围成曲线的面积，非常非常简单，大家牢记两个套路， 如果说我们的函数啊，都是 y 等于什么什么什么东西啊， y 等于什么什么什么东西啊，我们就用这个公式啊，一会老师解释解释这个公式的各个这个意义都代表啥。 如果说我们的函数啊，都长成这个样子啊，比如说 y 方等于 x， y 方等于 x 啊，这是我们高中学过的这个抛线。 但是如果我强行把它写成 y 等于什么什么 x， 这就比较麻烦，反倒是我把它写成 x 等于什么什么 y， 这反倒比较简单。你比如说像这个吧， x 等于 y 方很简单，下面这个我把它写成 x 等于 y 方，很简单。那么这样的话，我们就选择用这个公式 啊，一会我们就着具体的题来说。好，那我们先来求下上面这个题，我们看啊，按照这个公式， y 等于什么什么 x 吗？对不对？按照这个公式，这个 x 小 x 大 分别代表啥呀？ 指的是啊，这个曲线的左右边界啊，这个 x 的 取值在这里就是负一和一， 这个 y 上和 y 下代表啥意思啊？ y 上指的是位于这个上面的函数，整个这个边界上面的函数。这个边界上面的函数是啥呀？就是这个二次函数一减 x 的 平方， 这个边界下面的函数是啥？他不说啊， x 轴正半轴和 y 轴正半轴吗？对吧？那这个边界下面的函数应该就是啊，老是涂紫色线，这部分就是 s 轴，那 x 轴是啥？ x 轴不就是 y 等于零吗？对吧？减零就行了， 求这一堆的定积分就行，非常非常简单。分开求一的原函数是 x 负一，一减去 x 平方，原函数三分之一， x 的 三次方，上面一下面负一 啊，往里代入数据。左边这个啊，一减负一，相当于一加一等于二，右边这个减去三分之一倍的一减负一，相当于一加一，减掉三分之二，最终结果等于三分之四，非常简单。 下面这个也是一样，两个函数啊，它都是 y 等于什么？什么 y 等于什么什么。那么这样的话，我们函数代入上面这个公式，也就是啊， x 小 x 大， 分别是谁啊？左边界的横坐标和右边界的横坐标，也就是一和负一， y 上是什么？就是这个边界在上面的那个函数，就是开口向下的函数。二减 x 的 平方，减去 y 下， y 下是什么？ y 下就是这个啊，这个边界下面那个函数在这就是开口向上的二函数，就是这个。所以说我们求这一堆的定积分就行了。好吧，分开求二的原函数二， x 减去 x 平方，原函数三分之一 x 的 三次方减去 x 平方的原函数。啊，那在这就相当于是就二倍了嘛，对吧？非常非常简单，大家往里代数就行了，在这里就是二倍的一减负一 二乘二，减去三分之二倍的一减负一，一加一。 好，这个结果就是最终的面积。好，那我们接着来。刚刚说了，这个你写成像这个 y 方等于 x， 像这个 y 方等于 x， 你 写成 y 等于什么什么 x 还得讨论，怪麻烦的， 所以说怎么办啊？我们把它写成 x 等于什么什么 y， x 等于什么什么 y， 这样的话就省得讨论，很简单。那这样像这种我能写成 x 等于什么什么 y 的， 我们就选择用这个公式， 好吧，那在这里啊，这个 y 大 和 y 小 指的是什么呀？ y 大 和 y 小 指的就是这个啊，这个边界的上最上面 y 的 坐标和最下面 y 的 坐标在这里就是零和一 x 右和 x 左指的是什么？指的就是这个边界最右边的函数和这个边界最左边的函数。像这个边界最右边的函数是不 y， 那 个 x 等于 y 啊， 对吧？那在这里 x 等于 y 就是 最右边的函数，所以 x 右就是 y， 减去 x 左， x 左是什么？就这个边界最左边的函数。注意，要写成 x 等于什么什么 y 就是 这个样子，然后后面是 dy， 以 y 为研究对象。那以 y 为研究对象，它的原函数是什么呀？二分之一 y 方呗。 以 y 方为圆函数，它的圆函数是啥呀？三分之一 y 的 三次方呗。往里代数二分之一倍的一减零，就二分之一乘一，减去三分之一倍的啊，一减零，三分之一乘一，最终结果等于六分之一。再看一下下面这个， 还是啊，这个函数写成 x 等于 y 方比较简单。所以说我们选择代入上面这个公式等于什么呀？等于 y 小 是谁呀啊？ y 小 指的是下面这个啊，边界最下方 y 的 坐标在这里就是负一 y 大 就是这个边界最上面 y 的 坐标在这里 就是这条直线啊。注意，我们把它写成 x 等于二加 y， 在这里就二加 y。 x 左指的是什么？ x 左指的就是这个啊，边界最左边的函数在这里就是这个抛线啊，注意，我们把它写成 s 等于 y 方，在这里就减去 x 左，那就是减去 y 方，求它的原函数就行。来一点点来二的原函数二 y 加上 y 的 原函数二分之一 y 方，减去 y 方的原函数，减三分之一 y 的 三四方。 ok 啊，我们就往里代数就行了啊，这个 二倍的二减负一就二，三得六呗。这个啊，二分之一倍的四减一，那就是二分之三呗， 这个减掉三分之一倍的啊，二的三次方减负一的三次方，那就是八，减负一就相当于是八加一 就是九呗，三分之一就减三就可以了啊，最终结果三加二分之三，应该是二分之九就结束了。所以总结一下，如果说我们的函数写成 y 等于什么什么，比较简单的话，我们就用这个公式， 如果说我们的函数写成 y 等于多少多少不方便，反倒是写成 x 等于什么？什么 y 方便，那我们就用这个公式啊，就可以了。

好，接下去要讲的是定积分在物理学当中的应用，那我们这一节呢，就利用定积分去解决几个物理学当中的实际问题，比如说弹簧做功，抽水做功， 以及水压力和细胞引力这几个问题，那么这些问题的核心逻辑都是什么呢？ 他们都是一样的，只不过是把一个变的量去拆成无数个不变的小部分，然后我们再把无数个小部分再累加，也就做一个积分，就能得到我们要变的这个量的一个值。 然后我们来看第一道例题，那么它是属于便利沿直线做的功的这一个类型，下面的吧，也就是弹簧拉伸做功， 那我们知道弹簧拉伸它需要的力，它不是固定的，就是我弹簧拉的越长越费力，那么它是符合我们物理学当中的胡克定律的，也就是拉力 拉力 f， 它等于什么呢？等于 k x， 那 么这里的 k 其实就是净度系数， x 呢就是伸长量。 那么这道题要求什么呢？就是用四十牛的力把弹簧从十厘米拉长到十五厘米，然后问再拉长三厘米需要做多少功？ 那我们首先去求一下进度系数，因为这是这个 f 等于 k x 当中的一个参数嘛，一个系数要去求出来，那么它等于多少呢？就是我们已知当中四十牛力，把这个弹簧从十厘米拉长到十五厘米， 那么就可以把它这个代入求，求出这个 k 等于八百牛每米， 那么当然我们在求这个伸长量的时候，其实要把它转化成米啊，这是标准的形式，如果用厘米去算，那这个 k 就 不对了，然后我们再去确定这个积分的区间 啊，当然我们前面是不是把这个 k 求出来，它其实就相当于是我们知道这个呃，拉力的公式就是 f x， 也就是八百 x 嘛，可以得到这样一个表达式。然后我们再去确定一下积分的区间， 因为做工的本质它是力呈上距离嘛，但这里力是变的，所以我们要拆成无数个小段，就是每拉一小段 d x， 那 么对应的力径是就是多少呢？就是八百 x， 然后积分区间就是零点零五到零点零八米嘛，就是我们要从十五，呃，不是，就是要从多少， 就是要本来先从拉伸到五厘米，再拉伸到八厘米嘛，就再拉长三厘米，就零点零五到零点零八， 我原点相当于是以这个为原点嘛，十厘米为原点。然后我们再去把这个做工公式给列出来，然后 f x 是 不知道 a 和 b 上下线是不知道零点五到零点零八，然后再去积分就可以得到它是一点五六焦，这是它的结果。 第二题，那么它其实是一个抽水做工问题，那我们知道一个注水桶，它其实是一个圆柱嘛，如果是圆柱的话，它高五米，半径为三米，那么装满水的话，如果要去把它水全部吸出来， 是不是要克服这个重力做工，那么水在不同的深度，它抽出去的高度它是不一样的，所以我们要拆成若干个小段去算，那比如说我这里就拆成 若干个小段，那么其中一小段拿出来 d x， 那 么是不是相当于一层薄水？虽然你看它它有这么高的高度，但其实我们就是为了让大家能够看的更明显一点，其实就是取其中一小条一层薄水， 那么取这一小段水去分析，然后最后我们要求它整个的话，那就对它进行一个积分嘛。那我们先去看一下这一小一小层薄水，它对应的体积是多少，体积是不是底面积乘上厚度，那么厚度就 d x， 那么它的底面积呢？就是 pi 乘上半径的平方半径是三嘛？九 pi 九 pi 乘乘上 d x 就是 它的体积，那么我们再去算一下这个水的重力，因为这层水在深度 x 处要抽到桶外的话，那就要上升 x 米， 那么我们要做的功就是什么呢？就是这里的重力再乘上它的上上升高度 x 嘛， 所以我们必须要求一下水的重力，水的重力呢，就是密度乘以体积乘以它的重力加速度，那么这里取的是九点八牛每千克，那么它这里算出来最终是八十八点二 pi d x， 单位是千牛。 然后我们再去算一下它的做工，做工就是我刚才说的重力乘上上升的高度嘛，上升高度就是 x， 重力就是刚才这里算出来的，然后它们两个相乘，就是这个做工的一个微分， 然后我们是不是算的是一小段的一小层薄水的它的做工，那我们整个的做工是多少呢？整个做工就对它积分嘛，积分呢就从多少积到多少，从零积到五嘛，因为水从深处零米到五米它都要抽， 从零米到五米它都要抽，那么就是从零积到五，然后它的背记函数就是背记函数以及呃，它的做工的微分都知道，那么就可以写出来了， 那么带入之后呢，就可以得到它的总的做工呢是一千一百零二点五帕铅胶。 然后再来看下面一个是一个水压力的问题，那我们根据物理学当中知识是可以知道，就水声 h 处的点，它的压强呢是 p 等于喽 g h， 那 么喽呢是水的密度，那么如果它这个面积是为 a 的 一个平板，如果平水平的放置在水深 h 处，比如说我画一个 假设它这是水面，而它下面有一个平板，把水平的放置在深处为 h 的 地方，那么平板的一侧它所受到水压力它是确定的。但是如果它这个平板它是纤直的放在水面当中呢？ 比如说我是这样的放在放在水当中，所以它每一点受到的一个压墙它都是不相等的，所以我们水的压力也就不能用这样呃刚开始的这种水平的方式去分析了嘛。 好，我们来看一下第三道例题。那么因为水的压墙，它的水深度是变化的，所以我们这个垂直的闸门的话， 是不是就不同的位置，它的压墙也不一样，所以我们要拆成若干个小段去算这个压力，那么它这个闸门呢是宽为十米，高为六米，那么上边界， 那么这个问题的话就是它上边界在水下多少米时，它所受压力等于上边界与水面相齐时所受压力的两倍，那我假设它就是 h 米，我假设这个就是 h 米，那么这个问题就转化为它的上边界在水下 h 米时，压力是上边界起水面的两倍， 那我们就找到这两个等式的关系，那么把这两个分别表示出来，然后列一个等式就能求出来了。 那我这里就取一个闸门上任意一小条，一小条 d x 啊，它的高度呢？是 d h d d s d x， 那 么它的距离上边界呢？是多少米？距离上边界是呃，不是距离上边界是 x 米， 这一段距离，它上面的是 x 米，那么它的这个小条的深度是多少呢？那就是对应的 h， 再加上这一段 x 米，那 h 加 x 就是 它的这一条小桥小条的深度， 那么它的压强多少呢？压强就是楼距 h 嘛 h， 这里就要替换为 h 加 x， 因为小条面积，然后小条面积的话，它是十倍的 d x， 那 就是底乘上这的 d x， 然后所以它的压力元素我们是不是可以表示出来？就是加强乘上面积，加强就是楼局乘上 h 加 x 的 和，然后再乘上小条的面积十 d x， 然后就可以把它表示出来，那么这时候我们就要分两个去讨论，就刚才我们说的 就是，呃，列出一个等式嘛，就上边介如在水下 h 米的时候，压力是多少就去积分嘛，去积分，那么它就是 h 到 h 加六这个积分线，那它的背记函数呢？就是十倍的楼距 h， 当然我们刚才这个压力元素其实也不用那么去表示，其实我们直接去积分就可以了，直接积分其用的都是同一个背记函数嘛， 只不过这积分线我们要注意，这 h 到 h 加六，如果用的是这个倍数呢，那么它就是零到六， 所以这也要注意的。然后我们上边界在水下 h 米的时候，压力算出来了，上边界与水面齐平的时候，相当于高度就是一嘛，比如说在这一块上边界就跟水面齐平，那么压力是不是也能算出来？然后 它们两个等式关系是什么？是两倍的关系嘛？就是 f 一 是两倍的 f 二，那么最终可以求出来这 h 呢？等于多少？等于三。 然后最后一个是引力的问题，那么引力的话，就相当于是如果有两个质点，它的质量分别为 m 一 m 二，然后它们相距是二，那么这两两个质点之间的引力大小呢？就是用 f 等于大局乘上 m 一 m 二，再除以二方去表示。 那么两个置点的引力我们知道了，但是如果我们去计算一个细棒对一个置置点的一个引力的时候呢？因为细棒它是由无数置点去组成的，比如说这里 这个第四道例题，这根细棒是由无数个置点组成的，那么它怎么去算它引力呢？是我们可以拆成若干个小段去算引力，然后再合成，那么就是它整个引力嘛。那么首先我们先去建一个坐标系， 就是把细棒放在 y 轴，那么中点呢？在圆点至点 m 呢？它是在 x 轴上，那么坐标它是？呃，它是多少？ a 零嘛？因为它距棒 a 档位处嘛。 然后我在细棒上，比如说随意取一个一小段 d y， 假设这一段 d y 好，质量是多少呢？质量是不是就可以写出来 dm 就是 喽， d y， 那 么这一小段到 m 的 距离这个 r 是 多少呢？ r 就是 根号加 a 方加 y 方嘛，因为这一段是 y 嘛， a 方加 y 方开根号。 然后我们接下去要去分析引力的分量，因为这小段对 m 的 引力大小的话是 d f 等于 g 乘上 m 喽， d y 再除以二方，但是这个引力方向是不是一个斜的斜的方向，但是呢，我们自己知道它这个 这个小段它写的是上下对称的，所以垂直于 x 轴的分量它会抵消，所以我们只需要去计算它的水平分量就行了，那么这个水平分量也就是沿 x 轴的负方向嘛，所以我们去计算沿 x 轴负方向的它的水平分量。怎么求呢？ 那么就是对应这个斜的引力，再乘上它的这个夹角嘛，呃，夹角的余弦嘛，就可以求出来，呃，这个符号表示方向是相左的， 然后我们再去计算，用我们一小段，呃，就是这一小段 d y 的 它的引力我们能够算出来了，那么它整个的引力呢？整个引力就是去积分嘛，就是负二分之 l 到二分之 l 上去积分， 然后可以得到它的总的引力，那这个负号其实表示的就是它的方向呢，指向的是细棒。 像我们这讲这一节所讲的四个题的话，它本质都是利用一个微元法，但是我们虽然没有讲过这方法，但是我们也肯定知道，就是我们取一小段去分析，然后对这一小段分析出来的结果进行一个积分，那么就是整个的， 整个的什么整个的结果就是拆成小部分，然后算它的微元，然后再去用积分相加，积分累加，那么这里物理学当中的变力变加强变引力，只要是变量的积累，或者说变量的累积，它都能用我们的 高等数学当中的定积分去解决好，那么这是这一节的全部内容。

预备开始大学数学救命课第十二期，今天我们来说一下定积分。定积分是什么意思呢？他长得有点像不定积分，跟不定积分有一点点区别，就是不定积分他没有这个 a 和 b 这两个数，而定积分有 a 和 b 这两个数。 那定积分是啥意思呢？非常简单啊，指的就是从 a 到 b f x 的 积分等于大 f x。 我 来一个竖线，上面是 b， 下面是 a， 大 f x 指的是 f x 的 原函数。 然后呢，这个东西怎么算呢？就是大 f b 减去大 fa， 所以 说非常简单。定积分的定义就是我们先找到 f x 的 原函数大 f x， 然后呢，我们用大 f 上面那个数减去大 f 下面那个数，这就是定积分的进行定义，非常简单。比如说我们练几个题来看一下。 第一个题，我们按照定积分的定义，首先先来找一下 x 平方的原函数啊，密函数的原函数应该是一加二分之 x 的 一加二次方，然后啊， 上面是二，下面是一，简单整理一下，就是三分之一 x 的 三次方，上面是二，下面是一，按照定积分的定义往里带 就是三分之一倍的二的三次方，减去一的三次方，非常简单，最终结果等于三分之七。下面那个也是一样，我们还是先找到这个 e 的 x 方的原函数，就是还是 e 的 x 方。然后呢，上面是二，下面下面是零， 也就是最终结果是一的二次方减一的零次方，也就是一方减一，非常简单，这个也是一样，首先我们把根号下 x 变成 x， 二分之一次方，找一下 x， 二分之一次方的原函数就是一加二分之一分之 x 的 一加二分之一次方，简单整理一下就是这个样子。 ok， 然后啊，把这个二和一往这个圆函数里带，也就是三分之二给它提出来倍的二的二分之三四方减去一的二分之三四方， 二的二分之四方，三四方怎么算啊？这个二的三四方开二次根号就可以了，所以最终结果是三分之二倍的啊，根号二减一非常简单，这就是定积分的定义。

注意刷视频，米老鼠刷视频暂停。先来三十分钟速成一下高数 定积分怎么算？牛顿莱布尼斯公式告诉我们，要算定积分得先找不定积分再代数，所以要算 一到二上二 x 的 定积分，需要先找它的不定积分，或者叫原函数，再带上下线就可以了，这个本质叫做牛顿莱布尼斯公式。看直接积分。第一题我先找原函数 ark tangent x 带上下线就可以了，练习题也是一样。 第二题，定积分的换元法怎么办？咱们定积分的换元就是不定积分，你的换元一模一样，多了一个上下线而已。分布积分法也和不定积分一模一样，也是反对逆止三。唯一的差别在于现在多了个 a b， 计算定积分的时候时刻记住多了一个上下线， 定义三分布积分法。像这个积分先找元函数再代数，这也是先找元函数再代数。但是你发现从第四题开始有什么猫腻了吗？ 题目出现了反常哪？反常积分上下线出现了无穷，它叫反常积分，其实考试的时候你也不用知道它叫反常积分，不用想其他的，你就和定积分一样计算就可以了。 第五个类型，变现积分求导，这个线指的就是上下线，这个求导的时候把公式背过就行了。像这个就是把积分变量 t 换成上限乘以上限的导数，减去积分变量 t 下限乘以下限导数， 这里下线是 a， a 的 导数是零，减零就不减了。这都是变线积分求导题六题七都是变线积分求导 题八，这题只是把变线积分与零比零型的洛必达法则放在了一起，好，加二的换元也是算变积分，注意换元 b 换线，上下线要变一下，变的时候要注意上下线要分别对应上线对应上线，下线对应下线。 练习六，这怎么办？看谁不顺眼，让谁消失。令 t 等于根号 x， 注意换圆。 b 换线，这个线是 x 的 线，这个线就是 t 的 线了。下面我们看题型二、用几何意义求定积分。定积分的几何意义是什么？笼统说叫面积，底是面积的积分， d 是 积分区间， a 到 b 高是，并且函数 f。 例如第十一题，这是个什么图形？根号下四减 x 方是圆心式的圆点，半径是二的上半圆，而零到二的积分就是在第一项线，所以应该是四分之一圆长这个样子。 练习七，这是什么图形？圆心是圆点，半径是三的上半圆。十二题，你自己暂停看一下题型三、利用对称性求定积分。 你需要记住偶倍积零啥意思？如果见到负派到派这种对称区间，需要考虑这些函数是偶函数还是奇函数？ 如果是偶函数，就是零到 a， 加上积分的二倍。如果是奇函数，积分是零，这个显然是奇函数，所以积分是零，这个也是判断它的奇偶性。这个函数是偶函数，偶倍就是零到 a 加上积分的二倍。要背过几个常见的奇函数和偶函数。 这几个练习题，你自己暂停做一下，这是答案。第五部分定积分的应用，它的应用重点是两个，一个叫面积，一个叫体积。关于面积，你只要背过就可以了，怎么背？像这道题，计算由什么什么所围成的图形面积要用定积分算， 就要找积分区间和背接函数。积分区间的上限是什么？是图形里面点的横坐标的最大值，下限是什么？下限是图形里面点的横坐标的最小值，就是 x 大 减 x 小， 上线减下线，这些函数是大的减小的，或者说是上面的减下面的。不管是求面积还是求体积，老师建议大家把图形画出来，因为面积或者体积叫几何题，几何题不是要通过几何图形来解决吗？所以最好把图形画出来， 这个也是面积的计算，同样的下面看体积的计算。关于体积要求不多，你把这个公式背过就可以。 看最后一部分，微分方程。微分方程这一块和前面的积分和前面的求导都会用到，但是用到的不多，会简单的积分，简单的求导就可以了。 第一个，可分离变量，什么叫可分离变量？字面上意思就是能分开的变量，你只要能把 x y 两边一边一个分开就行。 那这种题怎么解呢？两边同时取不定积分，左边以 x 为积分变量，右边以 y 为积分变量。需要注意的是，要求通解或者解的时候，一阶方程只有一个任意常数，所以要把任意常数整理到一起。 题型二，其次方程。什么叫其次？像这个形式里面 x y 次数一样高，一样高就叫其次。它的解法叫换元，用 u 等于 y b x 换元就可以了。这里不是特别重要，可以根据自己学校的考试情况自己暂停看一下，这里有道练习题，可以自己做一下。 下面我们看一阶向量为分方程，这是重点，但是不难哦，不要害怕。什么叫一阶向量？最高的是一阶导，关于 y 和 x 的 导数是一次方，一次方叫向量，找到 p q 代公式就可以了。这种题是最简单也是最重要的， 下面看二节。二节方程有两个，一个叫长数项，其次，一个叫非其次。重点是其次，其次方程怎么做？第一步，先通过微分方程写特殊方程，特殊方程就是你是几节角，我就换成二的几何方。 注意 y 是 y 的 零阶导，所以这是二的零次方，二的零次方是一。然后这就是一个一元二次方程，根据它大于零等于零，小于零，它有三种特征，方程的根叫特征根，进而得到它的通解。这个必须要背过。 其次跟刚刚那题非常像，带刚才那个套路就可以了。练习题也是好，咱们的课程到此就结束啦。

这个视频呢，主要讲解一下定积分的物理应用，里面第二类问题叫便利做工问题，做工工的公式呢，是 w 等于 f 乘以 s， w 就是我们所做的工啊，然后 f 呢是立的大小， s 呢是我们的卫衣长度，但这个 s 有可能，其他数上可能是写 x 或者写 l， 都是可能的啊，这个只是不同的表示。然后我们现在来看，这个立体 e 设有一个拜径为 r， 长度为 l 的圆柱体，平放在深度为 r 的水池中，圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为轴，轴是大于一的，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功？ 那我们现在先把这个题目先了解一下啊，他说拜见为啊，没有问 长度为 l， 这是几等，这是不是个圆柱体？当然我只画了一个底面圆，懂我意思吧？他相当于这个圆柱，他是垂直于这个页面，垂直于这个我现在的这个页面放进去的，懂我意思吧？嗯，如果说从侧面看的话，你可以认为他是这个样子， 大概就是这个样子啊，然后是斜着放的啊，斜着放进放到页面里面的， 平放在深度为啊啊的水池中，啊啊，深度为啊啊，那正好这个是啊，这个是负啊，对吧？那这个相当于是我们的页面， 这个呢，相当于是我们的池底，对吧？圆柱体的侧面与水面相切，没有问题，设圆柱体的比重为 row 是大于一的，这个比重是啥意思啊？ 比重呢，它就等于密度乘以 j， 这是我们的重力加速度啊，都一样，这是个长数，对吧？那么水的比重是多少？水的比重呢？它就是一， 这是相当于是把水的比重规定为一，然后比如说我圆柱体它的密度它是 c， 那这样的话，我的比重 ro row 水啊，不 row， 圆柱体 就是等于 c 的啊，就是等于 c 的，因为我们圆柱体的比重它是水的多少倍？ c 倍嘛，因为后面乘的是一个常数啊，密度是它的 c 倍，那这样的话，我的比重就是它的 c 倍啊， 那又规定我们的水的比重为一，那所以说圆柱体它的比重呢，就可以认为是 c， 就是这个意思啊，这个参数先搞明白， 然后我们来分析啊，他说把圆柱体从水中移出水面，你想一想，移，移出水面的时候，这个圆柱体在哪？是不是在这了？ 没有问题吧？那圆柱体他在水中受几个力的作用？是不是受两个力？如果再往上移的时候，是不是就受三个力了？这个力。圆柱体啊，比如说这是圆柱体，首先他要受到这个重力，重力大 g 是不是横店的， 对吧？他是恒定的，然后呢，他还受到谁受到我们水的福利？ f 服，然后要把它从水中拉出水面，我们还受到 e、 n、 d， 叫 f， 就叫 f 吧，拉力吧，好吧，这个拉力就叫 f， 这个福利在变化吗？它在变化，因为我说过啊，这个福利它 其实与我们的如果说某一个点处，它这个力浮力的大小， f 呢？是等于肉 g、 h 的，是与深度有关的，对吧？所以说深度变化的话，那这个浮力就变化了。 如果说啊，如果说放进，放进这个液体中，你放了一个体积为 v 这样的一个小物件，或者说小物体，那他手受到的这个水的浮力总体来说是多少呢？这个相当于是母一点出的，懂我意思吧？母一点出的浮力， 这是水下啊，水下的时候你放这样一个体积为 v， 他所受到的这个 f 呢？又有个公式叫 rog v 牌 v 排，其实就等于我们的 v， v 排代表的是它排开我们液体，它的体积， g 呢？是重力加速度，肉呢？还是我们的液体的密度啊？就是这， 那现在我们相当于是要做工了，做工的话重力是不是做的负光，然后我们的浮力做的是正光，大 f 做的也是正光， 那也就是说我们大 f 所做的工，拉力所做的工，加上我们福利所做的工， 是等于我们重力所做的功的。重力所做的功，你可以我说他的负的是我假设向上做功啊，这个方向，这个做的功是正功啊，重力你可以认为他做的是向下的功， 它相当于是个阻力嘛。啊？那现在我们按照这个来算就行了，你要做福利，要算这个拉你所做的工，那 w 大 f 其实就等于是就等于 w 大 g 减去 w 大 f， 那重力做多少弓呢？我们把圆柱从他圆柱能不能看作，因为重力的弓，重力的这个大小他是不是恒定的？ 所以说我把这个圆柱体啊，看成一个痣点，就看到圆点，这，然后把它移到哪，把它移到上面的这个地方就行了，都移到他这个圆形是不是就行了？ 所以说我们的重力做工啊，就可以直接当做一个质点来算，那 w g 他所做的工，重力所做的工啊，现在就可以算了。 做了工我说过他是怎么算的？是不是 f 乘以 s， 那首先得知道重力 大 g 呢？它是等于多少？小 m 乘以 j 的，对吧？小 m 它是等于多少的？ m 是等于 ro 乘以 v 的，对吧？ 这个肉呢，是代表的是密度，但实际上我们在这啊，我们用的是这个比重用， 用的是这个字母 ro， 那这样的话，我就把这个 j 就直接去掉了， roj 就合变成我们字母里面的，嗯，题目里面的这个 row 了，然后把 j 去掉，相当于你就写成 rov 啊，这就可以了。 那 j 乘以位移，位移是多少？位移移移动了多少？这是不是 r？ 这上面是不是又是 r？ 所以说是 r 带进来的话，那就是啊， rov 啊，对吧？ ro 和 r 都知道，那 v 呢？它的体积，它的体积下面相当于是底面积乘以它的圆柱体的高或者说长，那也是 p， r 的平方乘以 l， 那这样的话就是 r r r 立方乘以 p l， 所以说我们的 w g 啊，这就算出来了。那接下来我们实际上要算的是福利，所做的工。福利，刚说了它是一个便利，这就是我们的便利，做工问题啊， w f 这个呢，等于多少？看它啊，那这个时候我们就需要水平切一个，切一个薄薄的薄板， 圆柱体嘛，给它切开，相当于是一个切片面包里面的一片，懂我意思吧？ 你切这么一片，然后把它移到哪就行了。福利，其实只把它做工做到哪了？只做到这个页面这， 所以说我们不需要，他再往上的时候，其实就没有浮力了，所以说不考虑浮力这个问题了，对吧？所以说只需要到页面这啊，这就够了，但是这个力呢，他一直在变化。 刚说了啊，这个宝柏它其实是有体积的，那我们采用的这个福利的这个计算公式是不是就应该用这个 rog v 牌照？当然这个 rog 我们刚说了， ro 是我采用的是密度，但是我们在这个题目里面啊，这个比重， 比重就是用柔来表示的，也就是说密度乘以 j 就是我们的柔水的柔是多少，是不是一啊？它水的比重是一，所以的话我们直接等于 v 排，是不是就可以了？也就是说他排开液体的体积，排开水的体积，他告诉我们是水了吗？啊？这个液体是水，水啊，这是水， 那这个 v 我们怎么写？ v 是不是算这个体积？这个薄百体积好算吗？好算， 嗯，薄摆相当于是这个样子啊， 是不是这样，对吧？这个代表的是我们的 l 这段长度是多少？我是不是可以认为它是二 x， 因为我只需要算我的第四象限里面的这一部分就行了，我不需要再算我的第三象限啊，或者说你写二 x 绝对值可以吗？可以啊，可以， 因为我只需要拿第，我拿如果，如果说拿第四象限的话来算的话，他的横坐标，这个点的横坐标叫 x， 对吧？就是这个点啊，横坐标是不是 x？ 那这样的话， 我算完第四象限，第四象限的单独算出来以后，我再乘以二就行了。那我干脆我一次性我直接乘到二 x， 这样 啊，我就相当于是拿了这个长方体的这个薄摆的一个长，懂我意思吧？二 x 乘以 l， 然后再乘以它的厚度，它的厚度是多少？是不是底外就是这个的厚度吗？对吧？这个厚度叫底外， 所以的话这个腻的大效我们现在就能卸，那就是 r x l 乘以底外，这叫腻的大效。那移了多远呢？ 从哪移到哪了？我们是不是从这个点处，对吧？就这个点啊，这个点处的这个纵坐标移到我们的 r 这了， 对吧？也就是说移到我们的页面这儿了，那所以那这个就是 r 减去 y， 对吧？ 乘以 r 减 y， 这就是它所做的工。 那我们总体是从哪记到哪，是不是从负啊记到啊的，对吧？ y 呢，是从负啊到啊的，那算一下这个就可以了。 那我们的对积分对谁积分的？是不是对外界积分的？所以说这个 x 要坏掉，那 x 方加 y 方等于多少？等于 r 方嘛？ 这是圆的方程啊，所以说 x 呢，就等于根号下 r 方减去 y 方。我们只拿第四项现在这一部分来看的啊，对，两面，对吧？ 负 r 到 r， 然后是 r 减去 one， 这个 r 放到前面，然后 x 呢，是根号下 r 方减去外，减去外方，然后底外，然后 l 也放到前面。仔仔细看啊，这是不是个对称区间？对称区间先考虑，先考虑接偶性 y 乘以它是不是个积函数，所以说能不能直接去掉？可以直接去掉啊，所以说是啊，负啊到啊，当然你用偶函数再算一遍也行。这个 r 放到前面，就这个啊，然后是根号下 r 方减去外方 d y， 这个你可以利用五 i 数换成连到 r 的区间上来算，当然不换也行啊，因为我知道利用几和亿的话，它相当于再算一个半圆的面积，那这样的话就是 r r l 乘以多少？二分之一派 r 的平方， 那这样的话就是 pa l r 的 size 方，这就是我们福利所做的功。现在来看我们拉力要做多少功？ w f 呢？就等于 w j 减 去 w f 负 w， 这是不是在这儿得到的是二派 l ror 的立方， 然后再减去我们的浮力做的公式，派 l r 的立方， 那我们派 l r 的地方可以提取出来，再乘以多少？ 二，揉拍 l r 的地方，二揉减去一，这是不是就可以？好，这道题就讲到这。

这次我们走到导数，那么导数首先我们看他的定义，导数的定义呢，就是高中的时候也讲过了，当时印象很深的就是四个字，我们的数学老师跟我们说导数就是一一对应， 那么导数定义也可以用来求导。求导一共有三个相关的方法吧，第一个是公式法，是最常见也是首先考虑的，但是当我们遇到分段函数的分段点和抽象函数， 或者说当题目只告诉你说 x 等 x 在 呃等 f， x 在 x 等于零处可导，但是他其他的地方没说，也就是说我们不能判断 f x 在 x 整段定义上是否可导的时候，我们就要考虑使用定义法， 那么定义法其实之前我感觉有点绕，但是他总的来说一个模式吧，就是 f x 加上 h 减去 f x 比上一个 x 加 h 减去 x， 也就是 h， 那 么这里的 x 这个部分你可以换成任意的具体的点，就比如说你可能要求 x 等于零处这个的地方的导数，那么你就可以把这个 x 换成零，然后呢再代入 具体，然后就是求极限的一个方法了。那么还有第三个就是引函数的求导，那么引函数的求导其实就是对等式，两边同时求导，然后呢再化解，那么求二阶导也是一样，再进行同时求导， 那么就是导数的定义，隐身出来的求导。然后还有另外一点就是连续，可导、可微以及后来可激发有界他们之间的一个关系，那么根据上期可以知道 可导必定连续，但是连续不一定可导，所以我们可以由可导推出它是连续的，那么可导和可微两者呢？也是 也是一个可以相互推的一个过程吧。然后可微呢，它也是连续的，那么连续它就是可击的，可击 他就是有界的，那么发散和有界，发散收敛和有界的关系，我觉得我还是需要再去理一理，看一看吧，这写的可能我觉得还是不太的完整。 ok， fine， 这个先放一会。 嗯，主要是主要是连续和科导之间关系，我觉得题目会有考，反正这里可能还不太完善吧。然后接下来就是一个终止定力，终止定力我觉得证明题他肯定会考一道的，如果是按我们的考试来讲的话，最后一道证明题应该会考这个，那么他非常重要了，他的难点在于 如何构造一个就是题目让你证明的那条式子，然后如果通过这条式子构造一个函数， 是它最难点吧？然后它包含三个种植定律，罗尔种植定律、拉格朗种植定律和柯基种植定律。那么考的最多的呢？是罗尔和拉氏定律，它的条件也是逐渐的变得少，就是应用范围逐渐变广吧。 嗯，主要是定义把它备注，条件把它备注。然后就是看构造函数这个方面的熟悉程度了， 那么导数他的一个在函数上的体现就是他的斜率就是在该点函数的斜率，那么他这这里也涉及到了函数的图像，那么作图函数的图像呢？首先他是 在画图的时候，首先是做坐标吗？ x 轴， y 轴，然后其实不是这里的部分，而是，而是在你确定定义以后，你要注意的是它的渐近线，那么渐近线是在求极限那块，讲到的就是牵直渐近线、水平渐近线和斜渐近线， 接下来就是全部都是，就是 again。 接下来函数的一阶导，确定它的极值点， 它的局部的极值点以及整体范围来看它的最值点，然后也可以确定它的单调性。二阶导呢，它是有关极值的第二判别法，那么二阶导等于零的地方是它的拐点，由此确定它的凹凸性。 然后最后其实这这这块就是高中的时候比较注重的，那么就是函数的图像，那么有导数可以，其实先有微分还是先有导数，我也看了很多很多相关的讲解视频吧， 但是毕竟来说导数接触的时间久一点吗？对他还是比较，他还是比较熟悉的。然后微分，其实现在我和他和积分就是那种 最根本的那种概念，我感觉我理解的还不是非常的透彻，所以就由导数推出微分，我觉得我会好理解一点。那么导数的话是 d y 比 d x， 那 么把 d x 乘过去， d y 就 等于它的导数乘 d x， 也就是微分，它的公式通俗就是土话一点来讲的话，它就是导数求到以后在后面乘个 d x， 我 觉得是可以这样理解，那么微分就 微分，那么这里其实它如何到定积分，就是不定积分，它就是把 f x 这个东西，用我们老师的话来讲，就是把它拉到这个后面去，拉到微分符号后面去， 应该是这样来讲， 就那么不定积分。 他这是一个非常让人头痛的一点，因为他有很多的公式，但是我还没有背的非常熟练。好吧，现在就来默写一下吧，看我能写下来多少呢？ ok， 我们就可以用来算定积分，根据牛顿莱布尼斯公式，那么之前我就会我就把牛顿莱布尼斯公式就是算用，就是用来算不定积分和变上限积分球道两个混在一起， 然后呢牛顿来不及公式，它是一个计算公式，而便上线积分求导，它是一个求导的过程，所以两者还是有本质不同的，但是可能他们长得有点像吧，所以之前就混在一起了。 那么定积分的另外一种计算方法就是利用它的几何 e， 这也是定积分的一个定义，里面带有一个比较， 我觉得比较有意思，因为涉及到几何意义的话，他会通常会运用的比较巧妙，就是他会把一个代数式转化成求一个图形的面积，比如说 我记得那个式子好像是这样子的， 那么这个当然我们可以用前面的公式，就是把它的不定积分算出来，然后用牛顿来宾尼斯公式，但是呢我们也可以，比如说这样，这里我们知道它的函数是这样子的， 那么同时我们要注意它的定力， 所以他的图像其实是一个在这样的原理，他的图像其实是这一部分， 这一部分那么他的答案其实就是四分之一 pi r 的 平方等于四分之 pi， 就 并很好的避免了运用那么复杂的公式。 然后定积分他还有另外一个应用，首先就是利用定义算极限，那么就是在我们上一期讲到的这个和加倍定律的一个对比这里。 那么第二呢，就是他的一个平均值公式，这个是因为在往年的期末考中，他出现了这样的题型，然后就积累了这样的公式吧。第三个就是积分中值定律的运用， 或许他会考到，但是在往年题目中好像还没有碰到过。 ok， 这就是所有的。 我刚那讲了，不定积分，除了公式法，在公式法的基础上有两种方法，一个是换元积分法，一个是分布积分法。换元积分法，第一类我觉得他他首先就是一开始学的时候，他让我非常的捉摸不透，是因为我本身不是一个非常擅长，我本身不是一个擅长配凑的人， 就是你要让我去想我如何就像正明堂一样，如何凑出一个比较好看的东西，然后继续往下算，我觉得比较难，所以 我可能对第二类还原法还有分布计算法这样比较公式化的东西会比较敏感一点。那么他第二类还原法呢？主要是对公式中的 法，它主要就是把狮子中的某一个部分给换掉。好吧，这其实就是换元法的定义，不知道怎么叫换元法呢？三个类型，第一个是根号代换，第二个是三角代换，第三个是倒代换。倒代换是我最不熟悉的一个类型吧， 那么根号代换就是把整个根式都换掉，三角代换呢？它的类型就是长这个样子的，就是根号里面，然后有平方和和平方差。嗯， 倒代换的主要特征是分母的次数比分子高，就是假分式。但是我觉得其实倒代换也有一点点让我觉得小麻烦， 用的不多，可能我我希望他不要让我用到，就是不要让我强制性一定要用到代换。然后第三个就是分布积分法， 嗯，我画了几个图形，就是就是，他的步骤就是这样子的，就是你要把一个函数拆成 一个函数，乘上一个函数的导数，然后把那个导数呢移到微分符号后面去，变成它的原函数，然后你就可以开始用这个分布积分法，首先就是一个这个圆形成这个方框，再减去它们两个交换位置，再进行求 它的不定积分的方法了。但是我觉得他主要考验的还是你对 你对这个公式的熟悉程度，还是要多见识一点变化的这种技巧吧。好了，这就是所有的 内容，我觉得重点应该就是这些了吧，可能还有些边角公式我还没有仔细的整理过，但大体的主要脉络我觉得是这样子的。这也是我第一次做思维导图呢。我本人不是一个，我非常以前非常不喜欢做思维导图，因为我觉得他只是一个形式主义。 但是前几天听了一堂课吧，我觉得他讲的还挺好，就是挺有那种逻辑脉络的。就是 让我想到了一个图片，就是燕麦，燕麦就是一条主线，然后往旁边分散，我觉得也是挺好的吧。嗯，好吧，这节就这样了，拜拜。

注意刷视频暂停，先来速成一下高数，我们今天讲一下第四课，定积分。 好，定积分呢，我们会讲三个方向，一个是常规计算，一个是用几何意义计算，然后是利用对称性计算。 这三个方法啊，就是三个方向，在考试当中经常见到，同学们值得注意一下啊。来，我们先来看一下什么叫做定积分啊？我们之前讲的不是不定积分吗？那不定积分和定积分之间有什么样的关系？ 来，不定积分就是 g 二 x d x 等于 x 平方加 c。 我 们说怎么求不定积分，就是找被记函数的。什么找被记函数的一个原函数嘛？ x 平方叫做二 x 的 一个原函数，原函数用大 f x 表示，导函数用小 f x 表示。那像这种的啊，就是我们的不定积分了。那什么叫定积分啊？比如看这个式子， 这个式子和我们上面这个式子比，你看多在哪？是不多，在积分符号的上面和下面多了个数字呀，我们把它叫做什么呢？把它叫做积分的上下线啊，上面就叫做积分上限，下面呢叫做积分的下线， 带上下线的积分就叫做定积分了。好，定积分让你算的是值，所以不用加 c。 不 定积分要加 c 啊，定积分我们要算的是值，不需要加 c。 定积分的一个计算方法，最基本的公式是什么呢？是它。好，这个公式叫做牛来公式啊， 我后面说牛来公式，你应该知道说的是谁。就是这个公式啊，等于大 f b 减去大 f a， 对 吧？第一步找小 f x 的 不定积分大 f x， 第二步代入上下键，所以定积分和不定积分多在哪？多在我要算出这个值是谁，我要多一步计算，代入上下键，做一个减法就完事了。那这个题就有办法了啊， 还是找不定积分 x 平方。在写法上我们写一个小竖棍啊，然后下面写下线，上面写上线二往里带，减去一往里带，所以最后等于四减一，也就是三了。同学们啊，所以定积分和不定积分啊，他俩是相辅相成的，你只要不定积分学的比较好了。定积分很简单，就是多一个计算。 我们再来看第一个题型啊，第一个题型是定积分的一个常规计算方法，就是直接积分。什么意思呀？用公式观察背记函数吗？你一眼能够看出来的就是直接积分，就是公式要背熟啊。 你比如说第一题啊，来原式等于谁求到是一加 x 平方分之一啊，是不是阿克泰着它呀，所以就应该等于阿克泰着它 x 是 不是应该把这个根号三分之一，以及谁是不是根号三啊？哎，你注意啊，这根号三分之一就是谁就是三分之根号三。 那我把它往里带啊，上限往里带啊，阿克泰着它什么根号三呗，然后减谁？是不是减阿克泰着它，根号三分之一啊。 arctan 的 根号三是多少度啊，是不是三分之 pi 呀？没问题吧，因为 tan 的 三分之 pi 不是 根号三嘛。那 arctan 的 根号三分之一是多少度啊，是不是六分之 pi 呀？那我做完减法不就是六分之 pi 了吗？搞定这个值就是六分之 pi， 不 需要加 c 啊。我们算的是数啊，然后这个是我们的题一啊，练习题是一样的啊， 你想一想啊，我们就分别去找它的原函数呗，这是啥？这是幂函数，这好找，这一眼就能看出来三分之一 x 三次吗？对吧？这呢，把它换一下，它是不是 x 的 负四次幂啊，对吧？它也是幂函数，所以去升幂前面找一个系数，然后再把二合一带入到里面去，用牛来公式做一个减法就搞定了。 思想上都是一样的啊，我们定积分好学，为什么好学它就多一个计算，那算数谁不会算啊，对吧？当然我们在算数的时候啊，一定要仔细一些，千万不要算错啊。好，我们来看一下吧，自己答案对一。对啊，尤其是一个练习一回去，自己做一做，最后答案是八分之二十一， 好，这直接积分啊，来，接着我们是不是还讲了第一列换元啊，一模一样，我们要把二 x 看做整体第一，后面也得是二 x 吧，对吧？所以，那就变成了原式 等于来积 e 的 二 x d 二 x 吧，别忘了啊，是零到一时候的啊，定积分啊啊，你 d 后面变成了二 x， 它肯定跟原式不相等啊，所以你前面是不是要乘上一个二分之一，把那二削掉，变成了积 e 的 u 抵 u 了吗？ u 是 谁？ u 是 二 x 呀，所以最后答案，二分之一倍的 e 的 二 x， 把零往里带，把 e 往里带，做一个减法 没问题吧？好，那我们来做一下啊，二分之一我们提出来啊，是不是 e 的 平方啊，你把零方里带，不就 e 的 零次密不就是 e 了吗？所以最后答案就是它了，老师，我想把它展开，我想把它写成二分之一，一方减二分之一无所谓，都给分 明白了没？所以这是第二题啊，包括这个练习二，练习二是一样的，回去自己好好算一算吧。你就想办法让这个十一加五 x 看作整体，把 d 后面的这个 x 也变成十一加五 x 先乘五，再加十一。好，那回去自己好好做一做啊。来，答案在这里。 这个不太好算啊，好好算一算，尤其是十六个平方，自己把它算一算啊，计算能力要达标。来，接着往后看啊，后面是不是还学了个分布积分，分布积分来了对吧，公式别忘了啊，你看 u d v 变成 v d u 啊，那现在就多了一个啥，就多了个上下线，其他啥也没变，所以把那上下线填上，对吧。所以公式都在这了啊，反对逆止三是完全一样的。好，那我们看一下这个第三题啊。第三题其实我们做过，只不过不带那个上下键背记函数是 x 乘以 long x， 一个是不是 me， 一个是不是？对呀， 你看啊，密在这对呢，对，在这，谁在前呢？对数函数在前呀，所以把谁留下肯定是把零 x 留下，这是那个 u 啊，把 x 往后放，不给大家去算了啊，我们之前是算过的，我们来看一下啊。思路讲完了啊， 你看找原函数， u 是 它， v 是 二分之 x 平方，它俩相乘，然后再 v 和 u 互换位置，求积分，最后代入上下线做一个减法，最后答案就是四分之一方加一，完全一样的，只不过是多一个算数。 那适用范围也是一样的，咱们回顾一下什么时候用分布积分两个适用题型。第一个是不是两个函数相乘的形式， f x 乘以 j x， 还有呢？第二个是啥？单独的一个 lo n 或者是单独的反三角 arc 吗？这两个不就可以用分布积分吗？ 包括这个练习三啊，来分析一下。练习三，你想用什么方法观察一下背记函数一个是啥？一个是密，还有一个是啥？一个是纸，是不相成的形式没问题吧？所以反对密纸三，你肯定要把一个东西往后放，一个东西留下啊，在这里就不多说了啊，来回去自己做啊，做完之后答案在这，自己盯正。 第四题啊，第四题呢，它其实也是一种常规计算方法啊。嗯，它的这个体干啊，和我们之间见的不太一样，你可以看一看啊，我们刚才所说的 积分上下线啊，一般不都是 a 和 b 吗？就是常数吗？那这个题呢，它的上限是一个正无穷，那做题方法上一步一样，完全一模一样，第一步去求它的一个原函数，然后呢，把上线往里带，下线往里带，做一个减法，是完全一样的啊，原式等于啊，积零到正无穷。前面先照抄啊， 我们要把负二 x 看做整体，所以 d 后面也得变成啥，也得变成负二 x。 那 为了和原式保持不变啊，我前面还要乘上一个负二分之一嘛，那这样不就可以了吗？那这个题就变成了 g， 什么 e 的 u， d， u 了吗？它还是谁？它是不是还是 e 的 u 啊，然后加一个 c 啊，当然我因为我必须要写 c 啊，因为我这没有上下线啊，所以我就写了个 c 啊， 然后我们就算啊，它应该等于负二分之一倍的 e 的 u， u 是 负二 x， 所以 是 e 的 负二 x， 把零往里带，把正无穷往里带， 我把这负二分之一提出去啊，就相当于是不是一的负二乘以正无穷，是不是负无穷吧？负二不是负的吗？正无穷不是正的吗？所以他俩一成不就负无穷了吗，对吧？好，减去一的负二乘零，一的零。 你都忘记了，一的负无穷是趋于谁的呀？是趋于零的呀，你看啊，一的无穷啊，一的负无穷是不是趋于零的？一的正无穷是不是还是趋于正无穷的呀？这两个式子很重要啊，把这个结论记下来，然后一的零是不是一啊？ 最后答案不就是负二分之一乘以零减一吗？所以最后答案不就是二分之一了吗？值算完了二分之一。所以啊，尽管说我的上面它不是常数，它是无穷一模一样，算法还是牛。来，公式往里带，看一下它的解析步骤是完全一样的。 来，第五题啊，还是正无穷啊，来，算一下原式等于积一道正无穷啊，找圆函数啊，来，我们只能把 x 分 之一往后放嘛，对吧？找它的原函数是不是刚好是 lone x 呀，就变成了 d lone x 没问题啊。然后呢，我们要把谁看作整体？那肯定是把 lone x 看作整体啊， 词就变成了 g u 方分之一 d u 了， u 的 负二次幂 d u 啊，所以找它的原函数应该是 u 的 负二加一，所以是负一次幂。然后前面呢，前面是不是有个符号啊，对吧？因为它的分母不是负一嘛，相当于提前面去啊。你加个 c 啊， 就是负的 u 分 之一加 c 呗，就推出来了吗？也就等于负的 lone x 分 之一， e 和正无穷往里带，这不就完事了呗。所以你把无穷往里带，我们把符号提出来啊，那就是无穷分之一是不相当于无穷分之一啊？无穷分之一是不是小于零的呀？所以就是零啊， 没问题啊。好，你再把 e 往里带，那就是 lone e 分 之一， lone e 是 不是一啊？一分之一是不是也是一啊？所以最后答案是谁，那就是一，明白了没？所以这个第五题二是完全一样的练习题。 来看一下背记函数啊，观察，有同学说，老师，这是两个函数相乘的形式，我是不要用分布积分法呀，你再观察一下啊，分布积分法，什么 u v 相乘减去什么 u v 互换位置，求积分是很麻烦的。你看一下这个背记函数啊，这是 x 的 一次，这是 x 的 两次， 是不是前后次幂刚好差一个，所以一个凑微分就搞定了。那怎么凑呀？你把密次 d 的 往后放呗，把 x 往后放，变成二分之一， x 平方，前面有平方，后面也有平方了，凑微分了，明白了没？哎，所以这是练习四啊。来，我们就直接给答案了，自己回头做一下啊。 来，第五个，第五个，我们要讲一下变上限积分，一般情况下我们所见到的这个定积分呀，它的积分上限和积分下限都是什么呢？都是一个常数。 变上限什么意思？积分上限是一个变量，比如说我用 x 去表示，那旁边的这些字母就用 t 表示了啊，为了分辨开啊，像这种的就叫做变上限积分。变上限积分只会有一个考点，就是求导 圈一圈二这两个公式务必把它背熟，很简单啊，来，见到这么一个符号了没？比较陌生了。老师， d 比 d x 是 什么呀？ d 比 d x 就是 导出符号，你就可以把这个符号当做没有看见，旁边写个小撇，完全一样的， 你只需要记住，把这个 x 直接往里带就可以了。将这个背记函数当中的所有 t 换成 x 就 搞定。只是将 f t 换成 f x， 很 简单，把这式子背下来啊，当然了，只有变上限积分的时候才能去用了啊。第二个是不对于它进行求导呀， 不一样的地方在哪？来看一下区别啊。刚才是 x， 现在是啥？是反 x？ 是 含有 x 的 一个函数，还是把 f x 往里面带？ 把所有 t 给我换成 f x， 后面再乘上一个上限的导数？两个式子务必把它背下来。来看第六题啊，非常简单啊。第六题来 看见没？ d 比 d x， d 比 d x 是 不是就相当于对这个变现积分进行求导？你看啊，这不是单独的 x 啊，这是 x 平方，所以是不应该把 x 平方往里带呀。所以答案就是根号下一加 x 平方吧，再乘以二 x 就 完事了。 化简一下，那也就等于根号加一加 x 的 四次方，再乘以二 x 二 x 我 写前面，明白了吗？所以很简单啊，当然你写后面也是一样的啊。所以这个题啊，我们要考的话，一般的情况下是小题比较居多，把它填出来就可以把它往里带，再乘以它的导数就搞定了。这第六题来，接着往下看啊， 一模一样的啊，来看看没 d 比 d x 是 不是相当于对后面这个式子进行求导呀？这个求太好求了，它就是一个 x 直接往里带，把所有的 t 换成 x， 所以 最后答案是 e 导二 x 乘以三 x， 完事，就这么简单啊，所以像这种题千万不要丢分， 我们看一下第八题啊，第八题呢，这题比较新颖了啊，这个题是求极限，你看，又回到了我们第一课，对吧？求极限了啊，而且这个求极限呢，它是和我们的变现积分在一起的，这不是个变上限积分吗？ 我们就要回顾一下求极限怎么求了。求极限的第一步是不是就带入啊，这是首要步骤啊，对吧？带入进去之后会有三种情况，第一个是常数极限存在啊，第二个是无穷不存在，没有极限。第三个是不未定式， 什么样的未定式去选择相应的方法，这个是关键。好，那我们来做一下啊，我们 x 确定往里带啊，下面是不是零，这个好判断啊， 上面是不是变成了 g 零到零，你得往 x 这带啊，因为是 x 区域零，你不要给我往 t 这带啊，然后扣在 t 往底 t， 那 就不会算了啊，不需要你算，我们说一下啊，就是如果啊，是 g a 到 a f t 底 t 积分的上限和下限一模一样，我不需要你算，等于零，所以它的分子也是零，它是一个零比零形， 零比零。行啊，怎么算呀？两个方法，第一个落必达，第二个是不等价代换呀，那这个题用什么呀？等价代换换不了啥，它还有变现积分呢。变现积分我们说了考点就一个，就求导，那你想一想啊，求导，零比零行，能结合在一起的只有哪个方法落必达呀，所以我们要上下同时求导啊，来求一下，原式 等于厘米，它 x 除以零。下面求导比较简单啊，下面求完导是不是就是一了？上面求导啊，是不对这个式子进行求导？ 怎么求呀？是不是直接把 x 往里带呀？那也就是 cosine x 平方对吧？好，我们再把零往里带啊，上面是不是 cosine 啊？所以最后答案就是一比一等于一。很简单啊，第八题，虽然说它是结合在一起了，在做题方法上是完全一模一样的， 逆袭五也是一样的啊。来，首先我们把零往里带啊，把零往里带是不是一个零比上菱形落。必答嘛，上面 x 直接往里带三倍的 x 平方啊。然后呢， 你再把零往里带啊，你做到这的时候啊，你再把零往里带，它还是个零比零形，你可以继续落笔答。完全可以啊，但是上面是一个赋值函数，不太好落，所以最快的方法到这可以使用什么了呢？等价代换了， 上面是不是就直接换成 x 平方了呀？和下面的 x 平方一约，最后三分之一就完事了。当然我们只是讲思路啊，练习五自己回去做好吧。嗯，这是我们的第八题以及练习五，来看一下答题格式啊， 第六个啊，第六个，我们要看一下第二类换元法了。讲了两个呀，还记不记得呀，什么时候用第二类换元法是不含根号的时候， 个是引入三角函数，然后还有一个引入 t 嘛，如果说不好记，你就记根号下 x 是 几次是两次引入 t， 什么时候 x 是 一次，你们就这么记嘛，这么记是最简单的。好，所以我们分析一下第九题啊。好，第九题，首先带根号第二类换元法，其次里面的 x 是 不是二次幂，所以引入三角函数 a 方减去 x 平方啊，开根号，所以我们是不是应该令 x 等于 a 倍的三点 t 啊？ 来吧，那 a 在 这里是不是根号二啊？你这个二，你只能写成根号二的平方啊，那我们就可以写了啊，令 x 等于根号二倍的三点 t， 那此时我的整个式子就成了根号加二减去根号二三点 t 整体的平方吧，那也就是二二也方 t， 我 们把那个二提出来啊， 一减放也放 t 啊，所以是二倍的口三也放 t 到这啊。来，我们别忘把 d x 换一下 d x 是 不是应该等于 d， 根号二放也 t， 所以应该等于根号二倍的口三减 t， d t。 我 们定积分里面的第二类换元法，不要忘记什么换它的积分上下键，因为此时的零和根号二是谁的范围？是 x 的 范围。我们现在改成 t 了，就要去换 t 的 范围，那就是当 x 等于零的时候，往这个式子里面带， 就相当于零等于根号二乘以三减 t 嘛。那三减 t 等于零啊，那就是零度的时候呗，那就 t 等于零， 当 x 等于根号二的时候， t 等于多少？三点 t 是 不是一了呀？根号二等于根号二倍的三点 t 嘛，三点 t 就是 一了啊，三点多少度等于一啊，二分之派嘛，所以 t 等于二分之派。 嗯，那原式就等于。来，你看一下啊，我们这个开出来啊，尾应该是根号二倍的口三也 t 的 绝对值，我们要去绝对值符号啊，我们要看口三也 t 的 一个正负，在零到二分之派这个区间内，口三也 t， 它是不是大于零的，对吧？你可以想图像来简单画一下啊， 它不是个偶函数吗？零到二分之派啊，在这个区间上，你看它是不是大于零的，所以直接去那我们原来的式子就是根号二倍的 cosine t 了，能听明白啊，所以这块涉及到一个区间对值符号好，一定要看清楚它的范围是零到二派了，那原式 就等于 g 不 再是零到根号二了，而是零到二分之派。嗯，根号二倍的 cosine t， 然后 dx 是 谁啊？ dx 是 这一堆，所以也是根号二倍的 cosine t d t， 所以 化简完应该是积零到二分之派二倍的口塞言方 t d t。 我 们把二可以提到前面去，或者说啊，这个二倍的口塞方 t， 根据我们的那个三角函数转换公式，它就是谁呀？ 哦，三呀，二 t 再加一呀。好，所以这个题的思路整体是这样的，比较易错的地方是哪里啊？什么时候用，要搞清楚。第二个啊，就是你在用第二类换元法算定积分的时候，千万不要忘记换掉它的上限和下限。 后面怎么写和我们之前就完全一模一样了。找元函数，然后我们的这个上限和下限往里带用，用来公式做一个减法计算。来看一下步骤啊， 刚才我是给你算到这了，然后去找元函数啊，元函数找完之后是它，你再把二分之派往里带，零往里带，做一个减法。最后答案，二分之派搞定。 练习六啊，选用什么方法？这个很重要，观察一下倍积函数一加根号 x 分 之一是不带根号，带根号我们就要选用第二类换元法优先考虑啊，而且这里的 x 是 不是一次也如题，答案最后是二，减去二倍的零二分之三。 来，我们看一下题型。二啊，用几何意义求定积分，它的几何意义啊，我们记住一句话，它是封闭图形面积的代数和所以归根结底两个字，它代表的是面积。 好，那这个面积是由哪几条线围成的？一般来讲啊，是由背记函数，上线以及下线还有 x 轴所围成，是这四条线所围成的啊，那第十题啊，这个图形应该怎么去画？ x 的 绝对值吗？对吧？如果你想去绝对值，可能会比较麻烦啊，我们把这图形画一下啊， x 绝对值，它应该怎么画？是不是一个 v 字形啊？嗯，这边是负 x， 大 于你的时候是正 x。 好， 这个是我们的对称函数啊， a 到 b 啊，那就上下线嘛，那就是负一和二嘛， x 等于负一在这啊， 然后二大概在这以及 x 轴，所以你看一下啊，围成的面积是不是这一块以及这一块啊，我们是应该把这两部分面积 进行相加呀，这两个都是规则图形啊，这是不两个三角形啊，这是不是三角形一，这是不是三角形二啊，所以就比较好算了啊，那我们来看一下整个的一个思路在这啊， 所以什么时候用几何 e 去做题啊，就是他的背记函数，你发现，哎，这个图形我会画，而且呢，他是一种规则图形，你还不会找他的一个原函数不好找，那我们就用这个几何 e 去做题，就找俩字啊，面积。我们来看一下解析步骤啊， 来，图形在这啊，你看，左边是三角形，右边是三角形啊，然后它的这个面积是不是在 x 轴的上方啊？你注意啊，我们会有三种情况，首先考的最多的是其中的两种，如果这个图形啊，它都在 x 轴的上方，那我们就取正就行了， 你算出来是多少就是多少。如果它是在 x 轴的下方，我们要取一个什么呢？要取一个相反数，这个要注意一下啊。 然后我们来看一看啊，我们算呗。首先左边这个面积啊，二分之一，底乘高一乘以一，二分之一，右边这个面积二分之一，底乘高二乘以二乘以二分之一，我们把它加在一起，不就是二分之五吗？那不就是它了吗？对吧？我们就算面积啊， 那第十一题啊，第十一题啊，有些同学可能会认为，哎，我先去观察被记函数，对吧？代根号，而且里面的 x 是 两次，我可不可以用引入三角函数换元？完全可以， 我们是不是那个第二类积分法呀，所以完全可以用，但是我觉得会比较麻烦，你还得换背记函数，换 d， x 换积分差价，所以好好去观察它的背记函数啊。 y 等于根号下四减 x 平方啊，我们来整理一下，你看这是个什么图形，那 y 方是不等于四减 x 平方，那 x 平方加上 y 方等于四，这可是一个圆啊， 圆的标准方程， x 减 a 的 平方加上 y 减 b 的 平方等于 r 方，圆心应该是 a， 逗号 b， 这不是那半径吗？ 半径是 r， 你 开个方就是 r 了，当然只取正啊，因为半径是长度，所以它的圆心是不是零？逗号，零半径二。 那这图形不就画出来了吗？那画完之后大概是长这个样子，我们要取哪？是取整个圆，还是取半圆，还是取四分之一圆？我们要看什么？看他的积分和差是零到二啊，这是零，这是二，所以肯定取的是右边。 那关键是上面要还是下面要，还是都要呢？看哪啊？你看一下啊，这个被积函数一定是大于等于零的呀。所以在外轴这个区域上，我要的只是四分之一元，而且是第一象限的四分之一元。 那么这道题啊，我不用第二代还原法，我用面积也照样能做，就等于四分之一 pi r 方吗？ r 是 谁呀？ r 不是 二吗？我们把它带入进去啊，所以最后答案就是谁四分之一 pi 乘以四，最后就是 pi 了， 能听明白吗？所以画图像也很重要啊，比较简单，来，我们看一下解析步骤啊，我们要的只是第一象限的这个四分之一元。好，所以在这里啊，看一下这个 tips 啊，若图形在 x 轴的下方，值为面积的相反数，如果图形在 x 轴的下方，也有 x 的 上方，那么值为上方面积减去下方面积， 这是需要记住的部分啊。好，这是两步，我们接着往下看啊，包括这个练习七啊，它也是一个圆，你可以把它整理一下啊，这个整理完，它的圆心也是零勾二，零半径呢是三。然后你在取圆面积的时候，一定要看好了，取的是什么圆，是半圆还是四分之一圆。所以啊，我们就直接给答案了，回去好好做一做 来，我们就直接看十二题了啊，十二题这个题特别容易出错。呃，我们先不看这个符号啊，这个符号的右边根号下四减 x 平方啊，这是不是那个背记函数啊？ 经过我们的一个预算啊。嗯，两边同时平方，是不是外方等于四减 x 平方？那尽管说，我不带这个符号，和我带这个符号，你看有差别吗？是不没有差别呀，那我们来看啊，我们把这个符号就不带着了。它整理完，是不是外方加上 x 平方等于四，所以圆心是零到号零，而是不是二啊？ 好，那现在这个圆就会画了，关键是我取的是哪一部分？你看我把圆先给你画上啊，就画一个草图。好吧，看谁看积分的上下键零到二，这是零到二吧，所以 x 轴的左半部分就不要了。其次，这个 y 啊，它是不是大于等于零的？按理说是不要。第一项线不大于等于零吗？但你要注意啊，这有个符号啊，所以你符号一添上去，那肯定要的是第一项线了，是第几项线？是第四项线， 不带这个符号是大于等于零，带上这个符号不就是小于等于零了吗？不得变号了吗？所以这个面积你要注意啊，这个面积是四分之一元，但是你算完之后， 你需要取它的相反数，因为面积它永远是正的，你必须给我取一个相反数，这里的 s 就 等于四分之一 pi r 方，所以算完之后是不是也是 pi， 但你不能等于 pi， 你 要取它的相反数，所以最后等于负 pi， 这是它的一个解体步骤啊，要的是这一块啊。 study study 这个题来观察一下，跟其他又有什么不一样啊？它是负派到派 x 四次上引 x 负派到派，这是不是对称的？是不关于原点对称的这么一个区间没问题吧？好，所以啊，我们的题型三就出来了，利用对称性求定积分。 什么叫做对称区间？负一到一是不叫对称区间，负二到二是不叫对称区间。总的来说，是不是负 a 到 a 这种的都叫对称区间？好，只要是对称区间，我想去求它的定积分，应该怎么去求啊？我们讲一个方法，比如说负 a 到 a， f x， d x， 它等于什么？只会有两种情况啊， 看背经函数的一个奇偶性，如果 f x， 它是奇的，恭喜你，不需要算了，不管它多么的复杂，写一个零就搞定了。如果 f x 是 偶，哎，我也要恭喜你啊，算一半就行了，我们算正的那一半，所以是二倍的奇零到 a， f x， d x， 就 不管是积还是偶啊，负的那一半都不需要算。明白了没？这个方法的前提是什么？对称区间，只要它不是对称区间，比如说啊，比如说它是积，负一到零，这个方法就不能用，必须是对称区间才可以。好，这个方法我们叫四个字啊，积零偶倍， 积函数，写零偶函数算一半乘以二。那比如说这个十三题啊，十三题就解决的办法了，来看一看吧，先验证积分，区间负派到派， ok， 对 称，然后用积零偶倍啊 x 四次乘以三 x， 我 们这个奇偶性应该怎么去判断呀？如果它是奇函数啊，来这里我们写两个，如果它是奇函数，它会满足 f x 等于负的 f 负 x， 如果它是偶函数，它会满足 f x 等于 f 负 x。 好，所以我怎么去判断奇偶性？我要去求 f 负 x， 这是那个 f x， 我 要去求 f 负 x， 我 看它俩关系是谁好，所以啊，你看 f x 是 它 f x 怎么求啊？是不是把里边的所有 x 都变成负 x， 经过我们的整理，就是负的三 x 了。那你会发现啊， 我们的这个式子啊，就变成了负 x 的 四次方乘以三 y x， 那 就是减， 没问题吧？它是不是产生一个负号负的 f x 是 不是 f 负 x 啊，不就是这个式子吗？只不过符号在左边了，那就说明 f x 是 一个奇函数，奇函数了啊，奇函数，恭喜你，还需要算吗？不需要，算来直接就写零了，明白了没？这个就是用机灵偶备去做题，比较简单啊，当然，机灵偶备我们也就出小题啊 啊，这是我们的第十三题，我们继续往下看。第十四题看似很复杂，所以看到非常复杂这种函数的时候，不要着急，选方法，去看一下对称区间啊， 来，是不是负二到二对称的呀，是不对称的，我可不可以用奇偶备？当然可以了，对吧？来看一下啊，这两部分。两部分应该怎么去判断它的奇偶性呢？首先， f x 啊，比较繁琐哈，一加空三 x 分 之 x 平方乘以三 x g x 比较简洁哈，就是 x 绝对值。 好，那我们就得穷一下，穷一下 f x 跟 g x 的 一个奇偶性嘛，对吧？那 f 负 x 来穷一穷啊，它是不是一加 cosine 负 x 分 之负 x 的 平方再乘以 cosine 负 x， 经过整理，是不是一加 cosine x 分 之？嗯， x 平方再乘以负的 cosine x 又变成它了。 然后你看啊，我们的 f x 跟 f 负 x 啥关系？你看多了一个符号啊，是 f x 等于负的 f 负 x， 所以 它是啥？它是 g。 那 我这个 g x 呢？ g x 很好求啊， g 负 x 是 不相当于负 x 绝对值啊，那不就是 x 绝对值吗？那也就表明 g x 和 g 负 x 是 不完全相等的呀，那它就是一个偶了。好，恭喜你，前面这一大堆非常复杂的东西，还需要算吗？不需要了，全部都是一个大零蛋。 那这个题我只需要算后面的偶倍，对吧？那此时原式啊，经过我们的分析化简就变成了二倍的积零到二，我只需要算一半，算正的那一半啊，我是不是只算 x 绝对值了？ d x 在 零到二这个区间内， x 它只能取正，所以就相当于是啥二倍的积零到二 x d x x 取元函数是谁啊？ 二分之一 x 平方啊，我和前面的二把二分之一削掉，那不就是 x 平方？零到二等于零四，搞定，明白了没？哎，这就是我们十四题啊，看四很麻烦，判断完奇偶性之后，你发现我只需要算后面很简单了。好，这十四题来，我们看一下解体步骤， 练习八负二分之派到二分之派是不对称的，所以今天我被大胆去用啊，圆圈就直接去判断了啊， 一加 x 还有 cos x， 你 看啊，你如果这么做的话啊，一加 x 乘以 cos x， 我 去求一下负 x 啊，负 x 是 一减 x， 再乘以 cos x 乘以 cos x， 一 减 x 乘以 cos x， 那 你会发现这俩没关系是不？没有关系，对吗？所以你做题要灵活一些啊，你把它给我乘进去，你给我变成 cos x， 加上 x 的 cos x， 你 再去给我判断，你看它有没有关系。把这个题会自己做啊， 给大家补充几个式子啊，就是三也负 x 等于负的三也 x， cosine 负 x 等于 cosine 正 x 贪占它负 x 等于负的贪占它 x。 这三个很常用，把它背下来啊，只有 cosine 可以 把这个符号吞掉，其他不可以往前挪 来。第八题的答案给大家，回去自己做啊。最后答案是二。好，我们这节课就先讲到这里，下节课再见。