圣诞树复变函数

我们现在来看一下第二讲复变函数，这里呢主要就是考函数的求导解析以及调和函数。我们首先来看一下导数，这个呢是导数的定义式，它就表示在 f z 零这一点的导数。导数呢，其实就是在 z 零这一点，这个函数的那个斜率， 这个是复变函数求导的规则。也就是说如果 z 等于 u 加上一个 i v， 它的导数呢，就应该是 u 对 x 求一下偏导，再加上这个 v 对 x 求一下偏导，乘一个 i 也可以表示成呢 v 对 y 求偏导，然后减去一个 u 对 y 求偏导，然后乘一个 i， 这个呢大家要记住。然后我们来看一下题目，这一题告诉我们， f 零等于一，然后在零这一点的导数等于一加 i， 让我们求这个 极限，这是不是很像那个求导的定义式呀？我们给他整理一下 f c 呢，就可以写成 f 零加上一个 z， 这个一呢，是不是就是刚刚这个 f 零呀？所以我们给他写成 f 零，那下面呢就是 z， 那 这个定义式是不是就表示 f 在 零这一点的导数呀，也就是 f 零一撇， 他呢就应该等于一加上 i。 我 们再来看一下第二个知识点，如果一个复变函数，他在 x 加上 y， 也就是在 x y 这一点是可导的，那么他的实部和虚部呢，在这一点都是可导的， 并且满足 c r 方程，这个 c r 方程非常的重要，在这一讲里面做题几乎都是用到这个公式。我们看一下 c r 方程，也就是这个实部对 x 求偏导， 它的第二个设置呢，就是这个十步对 y 求偏导，之后呢，可以等于这个 v 对 x 求偏导，前面要加上一个符号。 我们来看一下这一题，问函数在哪一点是可导的？我们遇到这种题型呢，就直接用 c r 方程，它解出来的结果呢，就是可导的那个点。我们把 c r 方程的公式写在旁边， 那在这题里面呢，它的 u 也就是十步，就是等于 x y 平方，我们把它对 x 求导，就应该等于 y 平方，那它的 v 对 y 求导呢，就应该等于 x 平方。我们看一下第二个式子， x y 方对 y 求导，就应该等于二 x y， 我 们看一下它的右边， v 对 x 求导，就应该是二 x y， 我们连立一下这两个式子，就可以得到 x 是 等于 y 等于零的，所以呢，这题的答案就应该是他在零零这一点是可导的。我们再来看一下下一题，这题问我们，他在 z 零处的导数是什么，他就直接对他进行求导嘛， 他求导的结果呢，就应该等于二 z， 这个 i m z 呢，是复变函数的虚部，它是一个实数， 那我们接下来呢，把 z 等于零带进去，它的结果就应该等于零，所以呢，具体应该选 a。 接下来我们来看下一个知识点解析，什么叫解析呢？就是说一个函数上一个点，它不止在它本身是可导的，在它周围的一个领域内，它也是可导的， 那我们就说这个点是解析的。那如果一个复变函数在一个区域内是解析的，就可以说它的实部跟虚部都在这个区域内可导， 并且呢满足 cr 方程，那这个函数都在区域内是解析的了，那肯定就是在这个区域内是处处可导的， 不解析的点呢？我们把它叫做起点，一般呢，都是分母为零的情况，我们把它叫做起点。我们来看一下下一题，这题问我们他在何处可导何处解析？我们刚刚讲过了，问可导就用 cr 方程，那这题的 u 呢？等于 y 方， u 对 x 的 求导呢？等于一 v 对 y 的 求导呢？等于二 y， u 对 y 的 求导呢？等于零，它应该等于负的， v 对 x 的 求导也等于零。 我们连立一下这两个式子，就可以解出 y 等于二分之一，也就是说它在 y 等于二分之一这一条线上是可导的。那何处解析呢？答案是在这个负平面上是处处不解析的。 为什么呢？因为这个函数只有在 y 等于二分之一这条线上是可导的，那我们就找不出任何一个点，它不仅在它本身可导，并且在它的领域内可导，所以呢，它是处处不解息的。一般的这种题目问我们在何处可导何处解析？我们只要能解出这个可导的点， 那这个函数呢，肯定是在这个负平面上处处不解析的。我们来看一下下一题，告诉我们这个负变函数在平面内是处处解析的，那么时长数 a 应该等于什么？他在这个负平面内处处解析，也就是说明他的实部跟虚部都是满足 c 亚方程的。 我们来计算一下， u 对 x 求偏导呢，应该等于二 x 加上一个二 y， 它应该等于 v 对 y 求偏导，也就是等于二 y 加上一个 ax， 由这个方程呢，我们可以解出 a 呢，就是等于二的， 所以呢，这题选 c。 我 们再来看下一题，告诉我们这个是一个解析函数，让我们确定 l m n 的 值是不跟刚刚的方法一模一样呀。 u 对 x 求偏导，就应该等于二 n x y， 那 v 对 y 求偏导呢，就应该等于二 x l y， 所以呢，我们可以得出 n 是 等于 l 的。 然后我们再来列写一下第二个式子， u 对 y 求偏导，就应该等于三 m y 方，加上一个 n x 方， 它应该等于负的 v 对 x 求偏导，也就是等于负的三 x 方，再加上一个 l y 方，那我们用对应项相等呢，就可以得出，三 m 呢等于负 l， n 呢等于负三， 再加上我们第一个式子解出来的 n 等于 l， 所以呢，我们就可以得到 n 等于 l 等于负三 m 呢等于一。我们来看一下这题， f z 等于 u 加 i v， 它在一个区域内是解析的， 那么如果 v 等于 u 的 平方，让我们证明这个 f z 横为常数，既然它是解析的话，一定满足 c r 方程。我们先把 c r 方程写在这里，然后呢，把题目中给的 v 等于 u 平方代入这个式子里面的 v 里面去， 所以第一项就应该变成 u 平方对 y 的 偏导，第二项呢，就是 u 平方对 x 的 偏导。我们来求解一下，可以看到这个分子，它呢就是对这个 u 平方求导，也就是等于二 u， 下面呢，也是一样的。然后呢，可以发现这一项 u 对 y 的 偏导，是不是就是第二项这个式子呀？所以呢，我们可以把这个结果 给它替换进去，那这里呢， u 对 x 求一个偏导，也就是等于负四 u 平方， 然后 u 对 x 求一个偏导，可以看到他第一个式子，这两个是不是都是 u 对 x 求偏导呀？那么呢，我们就可以把它进行一下，一项就变成了四 u 平方加上一， 然后 u 对 x 求一个偏导等于零，也就是把这一项移到这边来，然后等于是右边不就是等于零吗？这个四 u 方加上一呢，他是一定大于零的。所以呢，我们想要让这个式子等于零，就是让这个 u 对 x 求偏导，这一项等于零， 那么这一项呢，由于 c r 公式，我们又知道它等于 v 对 y 求一个偏导，所以呢， v 对 y 求偏导也等于零，那么由于 u 对 x 求偏导等于零，这一项是不是也等于零呀？ 所以呢，这里的 u 对 y 求偏导以及 v 对 x 求偏导也都是等于零的。那么由这两个式子我们可以看到， u 呢，不管是对 x 求偏导还是对 y 求偏导，都是等于零的。 v 呢，也是一样的，不管是对 y 求偏导，还是对 x 求偏导，也都是等于零的。 所以我们就可以得出这个 f z 呢，一定是恒为常数的，因为他们对 x 和 y 求偏导都等于零，那就可以说明他这个 u 里面呢，是不含有 x 和 y 的， v 里面呢，也是不含有 x 和 y 的， 所以呢，他们俩一定是常数。我们接着呢，来看一下解析与可导的关系，可导呢，一定连续，但是连续呢，不一定可导，这句话我们在高速里面应该听烂了吧。 然后呢，解析，一定可导，可导不一定。解析，这个我们从定义出发也可以理解，那不连续的话就一定不可导，不可导就一定不解析， 那么他们反着推呢，都是不成立的，这个呢，大家要记一下，经常会考到一些选填，让我们判断一下这个可导和解析的关系。我们来看一下这一题， f c 呢等于 x 加 y 公式，它的实部呢就是等于 x 加 y， 虚部呢等于零。 那我算出来发现他是不是不满足那个 cr 方程呀？不满足 cr 方程呢，就说明他在这个负平面上是处处不解析的，所以呢，这题应该选 c。 再来看一下这题，单选择题问我们下列结论，错误的是 a 选项，如果 f c 在 z 零解析，那么 f z 在 z 零处一定可导， 这个是正确的，因为我们由定义也可以知道，解析呢，就是在 z 零这一个点可导，并且呢在它的领域内也是处处可导的。再来看一下 b 选项，如果 f z 呢，等于 u x y 加上一个 i v x y 在 区域 d 内是解析的，问它求导之后， 我们之前讲过它求导的公式吧，第一种形式呢，就是这个 v 对 x 求偏导，加上一个 v 对 x 求偏导。第二种形式呢，就是这个 v 对 y 求一个偏导，再减去 u 对 y 求一个偏导，乘一个 i。 那有人说这个跟这个不是不符合吗？如果你这样想的话，那你就是忘了 c r 方程，我们来看这个 f z 呢，是在 d 类解析的，所以呢，这个 v 对 x 求偏导，是不是就是 c r 方程里面的第二项，它呢应该等于 u 对 y 求一个偏导，然后前面有个符号， 那这样的话是不是就是符合这个形式了呀？所以呢，这个 b 选项也是一个解析函数，那么这一项也是解析函数，这个呢也是对的， 这一横呢叫做共轭，我们之前讲过吧，那我们假设 f z 呢等于 a 加上一个 bi， 那 么它的共轭是不是就是等于 a 减去一个 bi， 那 给它再乘一个 i 呢？是不是就变成了 b 加上一个 a i， 然后呢再给它取一个共轭，也就是 b 减去一个 a i， 这个 f z 呢是一个解析函数，所以呢，这一项就应该满足 cr 方程，那我们来看一下这个变换之后的结果，还满足 cr 方程吗？来看一下这个 b 对 x 求偏导，是不是还是等于这个 a 对 y 求偏导。前面有个符号呀，也就是这个式子， 只不过这个符号在这里呢，移到了这个 a 的 前面来，所以呢，第一个式子是等于的。再来看一下第二个式子，这个 b 对 y 求偏导，是不是还是等于 a 对 x 求偏导呀？就是这里的第一项， 因为这里负负得正嘛，所以呢， c 选项也是对的。我们再来看一下 d 选项， d 选项呢是错的，我们可以把三一 z 给它写成指数的形式，它是不是就是等于一的 i z 加上一个 e 的 负 i z， 然后底下呢是二。我们可以看到当 z 趋无穷大的时候，这一项是趋无穷大的，这一项是趋于零的，所以呢，这整个式子呢，就是趋无穷大的。虽然题目说这里 z 是 不等于无穷的，但你取趋无穷的一个数的话，他这里的话还是趋无穷大的， 所以呢，这题选 d。 再来看一下，这题给了我们一个函数，问问他是不是解析函数，并且呢求他的导数，这个呢，我们之前也讲过，那我们来看一下这题给了我们一个函数，问问他是不是解析函数，并且呢就列在这里了， 算出来呢， x 是 等于四分之三， y 呢也是等于四分之三，所以呢，它的导数就是在这两条线上，也就是说对于这个函数来说，也只有在这两条线上是可导的，那是不是就没有任何一个点 它呢，既可以在这一个点可导，并且呢在它的零域内也是可导的，我们可以看到它零域内都是不可导的。然后题目还问了，我们在零的时候以及四分之三加上一个四分之三 a 时候的取值 就直接带进去，那我们就利用导数的公式，也就是 u 对 x 求偏导，再加上一个 v 对 x 求偏导，乘一个 i， 然后呢，把题目的 u 跟 v 给它带进去，这就是算出来的导数。然后呢，我们把零以及四分之三加上一个四分之三 i 带进去，就可以得到这个结果了。 接下来我们来看一下调和函数，调和函数呢，就是满足这一个公式的函数叫做调和函数，也就是说他对 x 求两次偏倒，再加上他对 y 求两次偏倒，如果等于零的话就是调和函数。对于解析函数来说呢，它的实部和虚部呢，都是满足这个调和函数的，也就是说把 u 跟 v 带进去的话，都会满足这个式子， 并且呢， f c 的 虚部 v 称为实部 u 的 共和函数，如果反过来说的话就不对了。 我们来看一下题目下列命题中正确的是什么，我们看一下 a 选项， v 一 和 v 二都是 u 的 公二和函数，所以 v 一 跟 v 二必须相等，它这个呢是错误的，一个调和函数，它对应的公二和函数就是不为一的。我们再来看一下 b 选项，他说实部是虚部的公二和函数，这也是错的， 我们刚刚说的应该是虚部是实部的共和函数。我们再来看一下 c 选项， f z 呢，在区域地内是解析的，所以呢， u z x 求个偏导之后呢，是地内的调和函数，它解析的话肯定满足 c r 方程， 解析的话也一定满足调和方程。我们想要证明它是地内的调和函数，就是让它满足那个调和函数的公式嘛，也就是 把它再进调和函数之后呢，满足这个式子。我们知道呢，当 f z 在 d 内解析的时候，它的 u 跟 v 呢，也都是满足调和方程的，那我们对这个式子再求一个 x 的 偏导，是不是就可以得到这个式子？这个式子是不就是这个式子？所以我们就正出来了 这个 u 对 x 求偏导之后呢，也是 d 内的调和函数，所以呢， c 选项是正确的。我们再来看一下 d 选项，以调和函数为实部和虚部的函数，一定是解析函数，这个是错误的，它说反了，应该是，如果是解析函数的话，它的实部和虚数一定是调和函数， 所以呢，这题选 c。 我 们再来看一下这一题，让我们求 u 的 公和函数 v， 也就是说由解析函数的实部，让我们求它的虚部，既然是解析函数的话，那它一定满足 c r 方程。 那我们先对 u 求一下 x 的 偏导，就应该等于二 x 加上一个二 y， 它呢应该等于 v 对 y 求偏导， 然后呢，我们把等式左边和右边都对 y 求一个积分，那积分之后呢，这个 v 就 应该等于二 x y 再加上一个 y 方，再加上一个 cx， 为什么这里会有一个 cx 呢？我们来举一个例子， 假如说一个函数，它是 x 三方加上一个二 x y， 那 我们把它对 y 求偏倒的话，是不是就等于二 x 了呀？那我发现这一项关于 x 的 项就消失了，因为呢，我们对 y 求偏倒的时候，其他所有不含 y 的 项都看做常数吗？ 所以呢，我在积分的时候要把这一项加上去，也就是 c x， 它表示一个关于 x 的 函数。接着呢，我们来列一下 c r 方程的第二个式子，我们把刚刚计算得到的 v 呢带入这个式子里面，然后把 u 呢也对 y 求一下偏倒， 然后呢，我们就得到了这个式子。我们用一下对应项相等，也就是说 c x 一 撇应该等于负的二 x， 那 我再把它对 x 积分一下，就可以得到 c x 等于 负 x 平方加上一个 c， 所以呢， v 就 应该等于二 x， y 加上一个 y 方，减去一个 x 方加上一个 c。 题目还告诉了我们， v 在 x 和 y 都取零的时候等于一，那么把 x 和 y 等于零带进去就可以得到 一，所以呢， c 就 等于一，这样呢，我们就可以求出这个 v 了，这就是最终的结果。大家记住，这个题型就是求共二条函数，这个呢，会考大题的做题方法呢，就是先把第一个 c r 方程给它写出来，写出来之后呢，两边同时对 y 进行积分，我们就可以得到了 v 初使的式子， 然后呢，我们再把这个 v 带到第二个式子里面去，这样就可以把那个 cx 求出来，然后再利用题目给的条件就可以得出这个 v 最终的值。我们再来看一下下一题，这题呢告诉我们它是解析函数，让我们验证 u 跟 v 是 调和函数。 既然是解析函数的话，那就肯定满足 c r 方程，那我们列一下式子，我们把第一个式子呢对 y 再求一下偏导，然后呢我们用这个替换一下这个式，就得到了这个， 那我们可以看到把它移到左边来，是不是就得到了那个调和函数的公式，也就是 u 对 x 求两个偏导，再加上一个 u 对 y 求两次偏导， 这个结果就等于零，那我们就证明出来这个 u 呢是调和函数。那我再用同样的方法证明一下 v， 我 们把第一个式子对 y 再求一次偏导，第二个式子对 x 再求一下偏导，然后呢用这个替换一下这个式子，那我们就可以得到 得到这个，我们把它移到左边来，是不是得到了这个最终结果，也就可以证明这个 win 是 调和函数，然后呢，我们第二讲就到此结束。

大家好，接下来我会用大约两小时的时间带大家从零基础到完全掌握这门复变函数。我们直接开始第一课。第一课共有六种题型，其中第一种题型是复数的加减乘除。题目呢，都像这次题这样， 给我们一个整数和整数成爱的组合，这个叫复数，然后进行复数之间的加减乘除。 非常简单，就是数字与数字相加，带爱的与带爱的相加。像这一题，数字是二和三，二加三等于五，带爱的是三和四，三加四等于七，所以他俩相加的结果就是五加七。爱 相减也一样，就是数字与数字相减，带爱的与带爱的相减，三减二等于一，四减三也等于一，所以他俩相减的结果等于一加一爱。 接着我们再说相乘，相乘也与普通的乘法一样，他等于二乘三加二乘四，二加三，二乘三加三，二乘四，二写。

我们现在来看一下第三讲书的函数，首先呢是指数函数，在高数里面呢，我们应该已经学过了，这个指数函数在复变里面呢，它的考法就是给你一个指数函数，让你求它的值，它的值呢，也就是它展开之后的这个结果。 z 呢，就是复变函数，我们一般用 x 加上一个 i， y 来表示，我们把 e z 给它展开之后，就变成了 e 的 x 次幂，然后乘以 y 加上一个 i 乘以 y， 这个指数函数呢，它的周期是二 k， pi 乘一个 i。 我 们直接来看一下右边的题目，它给了我们这两个指数函数，让我们求它的值，那我们就可以按照这个左边的公式给它展开。对于第一个指数函数呢，它的 x 就是 一 y 呢，就是负二分之 pi， 所以呢，展开之后，它应该等于 e 的 一次方乘一个 cosine 的 负二分之派，再加上一个 i 乘一个 sin 的 负二分之派，那结果呢，就应该等于负 e 乘一个 i。 我 们再来看一下第二个指数函数，它的 x 呢，应该等于四分之一， y 呢等于四分之派，所以它展开之后呢，应该等于 e 的 四分之一，再乘以一个 cosine 的 四分之派，加上一个 i 乘一个 sin 的 四分之派，这就是这题。然后我们来看一下对数函数，这里的对数函数呢，跟高数里面还不一样， 它呢是用大写的 l 来表示的，它展开之后呢，就等于右边这个值，其中这个小写的 lo in z 呢，就是这个对数函数的主值，后面这个呢就是负角， 注意它这个是大写的那个负角，那它的主值呢，就可以写成 lo in z 的 魔，再加上一个 i， 乘一个那个负角的主值。注意在复变函数里面呢，对数函数是不满足这样的性质的，那我们要求一个对数函数的值的话，就是把它展开成这个右边的形式。 我们来看一下这一题，给了我们一个对数函数，让我们求它的值以及主值，那我们先来求一下它的模，也就是三的平方加上一个根号，三的平方开根号就等于二倍根号三。接着呢，求一下它的辅角， 就应该等于小写的 a r g z， 加上一个二 k pi pi， 这个 a r g z 呢，就是辅角的主值，也就是 arg tangent。 负根号三除以一个三，它的值呢就应该等于负的六分之 pi， 所以呢，这个大写的辅角就应该等于负六分之派，加上一个二 k 派，这个 k 呢是属于整数的，所以呢，这个对数函数的值就应该等于零 二倍根号三，再加上一个负六分之派，加上一个二 k 派，那这个对数函数的主值呢，也就是小写的零，那它就应该等于零二倍根号三，再减去一个六分之派 i， 上面这里也有一个 i。 我 们再来看一下这一题，让我们求一下这个复变函数的十步，我们先把这个复变函数给它求出来，我们把这个式子整理一下，就得到了一 z 次方等于一，加上根号三 i， 那 我对两边同时取一下对数算出来呢， z 呢，就应该等于落引一加根号三 i， 那 我们先求一下这个对数的值，首先呢，求一下它的模，也就是一加上三，再开个根号也就是二， 然后再加上它的辅角，这个大写的 a， r、 g， z 呢，就应该等于小写的 arg， 根号三出一个一，也就是根号三，再加上一个二 k pi， 那 arg 整数根号三呢，应该等于三分之 pi， 所以 这题的结果呢，应该等于零二，再加上一个三分之 pi， 加上一个二 k pi 乘一个 i。 题目问的呢，是这个复变函数的十步，它的十步呢，就应该是这个洛零二。我们再来看一下下一个三角函数 z 的 值呢，就是右边这个式子，口三以 z 的 值呢，就是这个右边的式子，我们要把它背上，然后我们直接看一下题目，让我们证明这个，也就是说我们把三以和口三以平方之后再相加，看它是不是等于一呗。 那么三以 z 呢，就应该等于 e 的 i z 再减去一个 e 的 负 i z 除以个二 i， 它的平方呢，也就是等于分母上平方就是负四，分子上的话是 e 的 二 i z 再加上一个 e 的 负二 i z 再减去一个二。那么 cosine z 呢？它的展开应该等于 e 的 i z 加上一个 e 的 负 i z 除一个二。把它平方之后，分母上是四分子上呢，是 e 的 二 i z 加上一个 e 的 负二 i z 再加上一个二。 我们把这两项相加，最后得到结果呢，就应该等于一。我们再来看一下下一题，设 f c 呢，等于三一 z， 问下列命题中不正确的是这题呢，应该选 c。 我 们来看一下 a 选项 f z 在 负平面上输入解析，这是对的，我们讲的这四种基本出的函数呢，都是输入解析的。然后 b 选项 f z 是 以二派为周期的，这个也是对 的，因为我们讲了它的分母上是一个二 i 嘛，然后 d 选项也是对的，因为我们把散引 z 给它展开之后，让 z 趋无穷的时候，它的分子上这一项是趋于无穷的，所以是无穷的，所以是无界的，所以 d 也是对的。我们再来看一下下一个密函数， 也就是 z 的 a 字方可以写成 e 的 a 乘以一个 loon z， 注意这个 loon z 呢，是大写的，那我们来直接看一下题目，具体里面它的 z 呢，是不是等于一加 i 啊？ a 呢，是 i， 那 我们给它展开，就应该写成 e 的 a， 也就是 i 次方乘以个 loon z， 我 们来算一下这个 loon z， 它就应该等于小写的 loon z 的 模，再加上一个 arg 除以十，不也就是一，除以一也就是一，再加上一个二 k pi， 然后括号乘一个 i， 那 算出来的结果呢，就应该是根号二，再加上一个四分之派，加上一个二 k 派乘一个 i。 我 们把洛以 z 的 值带上去，就可以得到 这题的结果。我们再来看一下下一题，这题呢， omega 的 三次方等于一加上 i， 也就是 omega 等于一加上 i 的 三分之一次米，让我们求一下这个 omega， 那 么在这题里呢， z 就是 等于一加上 i， a 呢，就等于三分之一， 我们要给它展开成 e 的 a 次方乘一个 lo in z 的 形式。那我们现在算一下， lo in z 也就等于 lo in z 的 模，再加上一个令它一加上一个二 k pi 乘一个 i， 算出来的结果呢，就应该是 lo in 根号二， 再加上一个四分之 pi， 加上一个二 k pi 乘一个 i， 然后呢我们把 a 的 值和 lo in z 的 值带进去， 就可以得到 omega 等于 e 的 a 次方零 z， 也就是 e 的 三分之一，再乘一个零根号二，加上一个四分之派，加上一个二 k pi 乘一个 i， 然后呢我们这个第三讲就结束了。

我们来看一下复变函数中的主要研究对象，初等函数， 那么这里我主要讲一下复变函数中出等函数和以前高等数学以及数学分数区中出等函数的主要区别。相似的结论和性质我就不再说了。 如果 f c 在整个副平面上处处解析，它的导数等于它本身在十轴上，它是 e x， 那么这个就称为指数函数。记作 指数函数，可以用 e z 来表示，那么这个 e z 已经没有 me 的概念了，你在处理的时候呢，直接使用欧拉公式进行处理，经过简单的验证，可以得到 e 的 z 加二 k pai 等于 e z， 因此 e z 有周期，它的周期是二 k pai， 这个性质是以前的 指数函数没有的。现在的复变函数中的指数函数是一个周期函数。 我们再看一下对数函数，已经知道 z 找到了 w， 使得 e w 等于 z， 那么这 这个时候 w 就称为对数函数。 w 等于让 c 经过简单的验证，可以把它带进去验证一下， 它就可以写成 z 的魔，取对数魔了以后是一个正时数，那么这个呢？是 数学分析或者高等数学中以前的对数函数，然后再加上一个取辅角。复变函数中对数函数因为有这个辅角，所以它是一个多值函数，是一个多值函数。 当 z 等于 x 大于零时，大于零开始比大小了，我们默认它是一个实数，那么这个时候 后呢，这个多值函数的主值就是我们的以前的 long x， 我们看一下很简单的一个例子， long 二呢？这最后算出来是一个多值函数，那么它的组值呢，就是 long 二， 那么在负一处呢，也是一个多值函数，这项是零，所以 long 负一就是它，那么它的主值是 pai。 所以对于对数函数，我在负十轴上也可以取对数啊。 而以前高等数学或数学分析中，在复数上是没办法取对数的。所以这里的主要区别是，对数函数是一个多值函数，然后对数函数在负值上可以取对数。 三角函数、正弦函数、余弦函数。经过欧拉公式可以得到正弦和余弦。 当 z 等于 y， r s， 也就说在虚轴上时，我们可以简单地验证，当 y 区证无穷，也就说 曲轴趋于正无穷或者趋于负无穷时，我们可以得到这个值是趋于无穷大的。所以负数上 的三角函数变成了一个区，可以可能去无穷大的函数。也就是说，复数上的三角函数，上引和扩上引是一个无界函数。 那么其他善意和扩善意，比如一些很等式，我这里就没再说了，主要的区别是善意和扩善意现在变成了一个无界函数。 总结一下，指数函数是有一个周期的。二 k pai， 对数函数是多子函数，并且在负十轴上可以取对数。 三角函数上， e c 和 cosine c 是无界函数。