江西高一数学 英才教程

来英台大联考多选第十题，上次讲基本不等式好像还是很遥远的事情啊， 这次大家都拿的分比较少，可能并不是压轴题，不会做这些常规的基础的题，再处理起来可能也有很多的问题啊。来，你看一下我怎么处理这些问题的。 来，正实数 a， b 满足， a 加 b 等于一。哎，它们整式相加，等于一个常数一。这种题我们经常遇到， a 选项 a， b 最大值为四分之一，这个简单， a 乘 b 小 于等于二分之，用一个基本不等式就可以搞定了。 搞定 a 是 对的，把一带进去， b， a 方加二 b 方，你看这是一个平方， 所以我不妨把 a 用 b 来递代， a 等于一减 b 代入。这里不就是关于一个 b 的 二次函数吗？是不是啊？二次函数开口向上啊，你看一减 b 的 平方加二 b 方， 是不是就等于三立方减二， b 加一十分的自然吧。一个开口向上的一个二次函数配方，或者是把它的对称轴带进去就可以了。配方吧， 三倍的 b 减三分之一的平方加三分之二，当 b 等于三分之一的时候，最小值三分之二 十分自然，所以 b 是 错的。好， c d 选项就很多同学可能有点问题了， c， a 分 之二加上 a， b 分 之一的最小值。你看这里整体是一个常数一， 他们俩是在分母的位置。像这种题呢，我觉得应该用其次化是最快的啊， 它这里是一次，我让它的分子也变成一次的，那就是二倍的 a 加 b 喽。你看二倍的 a 加 b 是 吧，把这个二乘以一个一就可以了，这叫做奇次化，因为分母是一次， 你看这个他的分母是二次，所以要化成分子也是二次的，但是分子是一啊，一是 a 加 b 啊，那怎么画二次呢？平方一下不就可以了吗？是不是啊，平方一下就可以了，你看 这样分子和分母就是其次了，一次平方一下就是二次展开。这里是二加上 a 分 之二 b， 十分的自然吗？来，这里是上方是 a 方加二 a， b 加 b 方， 它除以它就是 b 分 之 a， 它除以它是二，这里肯定是 a 分 之 b 咯。 等于四加上 a 分 之二 b， a 分 之 b 就是 a 分 之三 b 加上 b 分 之 a。 看这一块是不是可以用基本不等式啊，所以整体是大于等于四加上二倍，根号三吧， 能够取得等号啊，所以这个也是错的。哎，出题人还挺友好的，对不对？多项选择题只有两种选项或者是三种选项是正确的，所以应该是选 a、 d， 你 看， 就这么完成了，但是高考就没有那么幸运了啊。所以这出卷子的人不严谨啊，应该把 c 和 d 的 选项给他倒倒过来一下，你判断完这个选项之后，还得判断这个选项，这样子他就失去了作用了啊。这个题，这个选项， 本来这个这个选项是出的很好的这个题，但是它失去了它的价值，根号 a 加二倍，根号 b， 最大值为根号五，这里带有一个根号的，是不是 要不要平方一下？你看，我可以先求它的平方平方一下啊，把它平方一下就是 a 加四倍，根号 ab 加四 b。 嗯，如果这里的最大值是五，那么这个就是对的，对吧？好，我们只知道 a 加 b 等于一，这里是 a 和 b 的 系数是不一样的 啊，这里带有根号的，我们用这个公式的话，是可以出现 a 加 b 的， 你看我们有一个这样的公式，根号 ab。 什么呀？小于等于二分之 a 加 b 吧，是不是？你看会出现 a 的 一次和 b 的 一次，但是这里是 一，这里是四，你即便弄成这个样子，也用不了这个已知条件。那怎么办？我们是不是可以配成？我要这里要得到四， a 加 b 就 好了，是不是 啊？这个如果能够出来四， a 加 b 就 好了，那就是五个 a 加五个 b， 对 不对？你看这里能不能出来啊？你看我这里把它画成二倍，根号四 a 乘以 b， 你 看把它当做一个整体， 把这里的二放到里面去就是四，看到没有？好，它就小于等于二倍，根号 a， b， 你 看这里是二倍，根号 a， b 等于小于等于 a 加 b， 是 不是？你看只要看里面就行了。四 a 加 b， 把它当做一个整体 a， 它当做 b 啊。你看二倍，根号 a， b 小 于等于 a 加 b， 就 这么个意思，明白了没有？所以它小于等于五倍的 a 加五倍的 b。 四 a 吗？加这个 a 吗？是五 a 加四 b 吗？是不是所以等于五十分的自然，那么开根号就是根号五，所以 d 也是对的。好，这个题就为你分享到这里，你学会了吗？ nice。

江西十二月份高一三星大连考。第十七题很有意思。他说 f x 长这个样是一个二次函数 g x 呢哎。它给你英式分解了它也是一个二次函数对不对？好让你求 h x 长什么样呢就是拿它乘以它减一 是不是先要把它带进去对不对？看一下 h x 长什么样啊。 h x 等于 x 减三乘以 x 减四它减掉一就是 x 平方减 x 拿下这一分证明你的态度。是不是很多同学空在那里真的是白减都不减这些分。这里给到了一个是因式分解后的式子那么要不要给他也因式分解一下。 x 减三乘以 x 减四乘以 x 乘以 x 减一。没问题这里一次一次一次一次乘起来是四次这是一个四次函数。你让我求最小值。我滴个乖 臣妾做不到。我也做不到怎么办。那就降次对不对？ 是不是要降次啊。那你会什么呢我只会一次会二次哎。那你就把它降到一次和二次哦。你要降成一次的话那肯定做不到。那就是降成二次 那就是说我这个圆又等于一个二次式对不对？而且另外一个也是一个二次式而且是要什么相同的对吧。要相同你才能画圆啊。 那我就在这里给他两两配对配成什么样的情况呢。他的二次和他的一次 都是相同的那就可以通过了是不是。如果拿他和他的话那就是 x 平方减三 x 是 减三 x 一 次是减三 x 如果他和他的话就是 x 平方怎么样减去五 x 不 一样吧。所以不能拿他和他那只剩下他和他了 是吧你看如果他和他结合的话，就是 x 平方减四， x， 他 呢？就是 x 平方，你看是不是也是减四 x， 是 不是啊？这个变量就可以同够了，让这个变量等于 m。 这个题是来自哪里？其实就是来自于重点高中的那个自主招生里面的题啊。他是变变了一下形等于，你看 他和他结合就是 x 平方减四， x 乘以，他和他结合就是 x 平方减四， x 加三。接下来是不是简单了？李清照的如梦令令 这个东西等于 m， 那 么 h m 等于二， m 乘以 m 加三。 妙啊，这不就是一个二次函数吗？你还做不出来吗？ m 平方加三， m， 是 不是啊？然后呢？配方就可以了， m 加上二分之三的平方，减去一个四分之九， 你在处理这个的对值的时候，又想到 m 是 有范围的，是不是？补充一下， m 在 哪里啊？给他配方等于 x 减二的平方减四吧。 所以 m 怎么样属于负四到正无穷， 他要求这个的最小值，只要这个看满不满足，对称轴能不能取得对称轴？ m 是 不是可以取得负二分之三呀？是吧，所以 h m 的 最小值就等于负四分之九 十分的。自然。有人说三星大典考要比湖南的赢得硬财大典考要难一些，其实他们各有各的难处，你看，这个其实很简单的，只要你会这一步的操作，对不对？三星大典考难就难在他的那个技巧的处理上面啊，很多题我看了， 然后湖南的赢得硬财大典考呢，是难在一些数学思维方面的数学思想上面的一些难。好，这个视频就为你分享到这里，你学会了吗？ nice。

高中的三星联考结束了，十大江科都考了，很多学生说卷子非常变态，也有很多人说卷子很简单，有的人考一百四十多分，有的人就考五六十分，这卷子到底是好还是坏，是变态还是容易？咱们让老师测一下。文杰老师，嗯，给你一个小时能不能考一百四？能开始。 文杰老师还是有实力啊，不到一个小时，卷子呢，已经写完了，目前我们需要让他改一下，让他看一下他考多少分。来，文杰老师， 改一下，知道什么是实力吗？一百五十分。文静老师，你学生有没有考的超过你的？没有，果然是厉害啊，你觉得这张卷子怎么样啊？ 我觉得这张卷子其实难度上来说，除了最后两题来说，难度不是很高，主要是题目的话可能对学生来说比较新颖一点。对，难度其实不是很高。一个很有意思的问题啊，考上你的母校南山大学要多少分呢？你 觉得这个一百一到一百二。哇，这是抄刚完成的啊。

十二月份赢得英才大典考倒数第二个大题。这个题你不会做，可能一分都拿不到，但是你认真听完我讲完之后，你就会对他又爱又恨，或许困扰你多年的便秘都能够治好啊， 真的是畅快淋漓。已知 f x 等于一的 x 方减 x 减一，且 f x 大 于等于零横成立。当 x 等于零的时候，等号成立，你看等于零的时候，这里是什么？一，这是零减一就是零，是吧？等号成立， 并且 g x 等于零， x 减 x 加一，证明 g x 小 于等于零，并说明取等条件好。先从已知入手，他说这个横成立，那我们也就是说这个东西大于等于零成立喽。好，就会变成一的 x 次方大于等于 x 加一， 对吧？这就是我们的已知条件。我要证明什么呢？我要证明它小于等于零，也就是 lo in x 小 于等于 x 减一， 我要通过它推导住它来。这个和这个是不是一个指数与对数的一个互换呀？是不是？哎，我给他换一下看一下啊。我这里取对数，如果这里取对数的话， 这个就是 x， 我 得到的是 loing x 加一小于等于 x， 而这里是 loing x， 我 把这个看成一个 x， 它不就等于这个东西减掉一吗？是不是啊，就这么简单整完了，有点意思啊。 通过它两边取对数得到 x 大 于等于它，所以 loin x 加一就小于等于 x， 是 吧？是不是？所以 loin x 就小于等于 x 减一，它始终比它小一，如果它取 x 的 时候，它就取 x 减一，整完了， so easy 啊，整道题就找到了突破口了，什么时候取？等啊，你看 是不是取一的时候 x 等于一的时候，右边是零是吧？等于一的时候去等啊，来证明。第二问，它是烙印 n 加一小于一加二分之一，一直哒哒哒哒哒加到 n 分 之一。 n 是 属于自然数，正自然数。 先看这一块你能不能把它加起来，能不能加起来是不能吧？ 比如 n 等于五的时候，这里就是烙印六，是吧？小于一加二分之一，加三分之一加四分之一加五，加到五分之一就是五的时候，你要把他们右边加起来都很难算的，是不是？所以肯定是不能把右边加起来，你做不了，那怎么办呢？ 我把左边给它拆开，拆成 n 项，一项一项的比较，是不是这种思路？我一项一项的比较，没有办法，因为我右边合不起来，我只能把左边拆开，左边是一项， 怎么拆成 n？ 个别加的？我们知道对数的运算，对数的加法就是真数的乘法，我们只要把真数分成 n 个东西相乘 就可以了。到底是谁乘呢？乘起来等于 n 加一呢？先让 n 取一，找一下灵感，那么就 loi 二 小于一，这个自然是成立的吧，因为这里取一的时候才是一，是不是？ 好？如果 n 取二的时候，就是烙印三小于一加二分之一，我要把这个烙印三拆成两项，而且第一项已经固定是烙印二了。 烙印啊，加上几才可等于三？二乘以几等于三二分之三吧，是不是等价转换成这个东西？ 哦，原来是二乘二分之三，就是当 n 等于等于二的时候，你看，如果这里是 lo in n 加一，我就找到灵感了，来跟着我的节奏啊。思路，它是不是等于第一项 lo in 二，加上第二项二分之三， 这里是三了？ lo in 三，如果它等于三的话，就是 lo in 四。 lo in 四是什么？三乘以三分之四吧， 把它们乘起来，你看二乘以二分之三，再乘以三分之四，不就是烙印四吗？找到了，嗯，我再写四分之五，他比他多一，而且是从一分之二开始的，一分之二，二分之三，三分之四，四分之五，一直到哪里啊？一直加到烙印 n 分 之 n 加一，是不是因为这里有 n 项，从第一开始都到 n， 所以 我这里也拆成 n 项，一个一个比较。 那这个不等式的证明就等价于，只要证明它小于谁小于这个通式就行了。要证明这一块小于这一块就等价于，证明 它就可以了，是吧？找到它们的通式比较一下就可以了。你看啊，这个东西第一问是什么东西啊？ 是不是长这样啊？看到没有？第一问长这样，或者是用这个也可以啊，你看用这个也可以。来，我只要把这里，因为 law。 这是什么？是一加 n 分 之一，是不是？你看小于， 小于，等于，是吧？等于。那小于啊，小于，为什么小于？等下说啊，小于，你看这里少了一个一，就是成一， 是不是？所以这个就是成立的，这是因为什么？因为 n 是 什么？属于正自然数啊？不等于一，它的取等条件是等于一的，是不是它的取等条件是等于一的？设这个是大于一的， 大于了，所以不能相等，是什么原因？做完了没有？每一项比较都是小于，那整体不就小于了吗？ 漂亮吗？啊，十分的自然呢。好，我们看第三问，他说 f x 一 加上二倍的 x 加一等于六，这里肯定是要带入这个东西的，是吧？带入这个带入啊，比较 x 一 加 x 二与一的 ln 六点一 四方的大小，这个东西等于什么？这不是六点一吗？这是不是六点一啊？爬楼梯啊， 这就是六点一，你看这些等于六，为什么要写六呢？难道这个是等于六吗？而且他是让你比较是吧，他还少了几个字并说明理由啊，是不是所以不严谨啊？出题不严谨，虽然整张试卷出的挺好的，但是还是有些小细节要有瑕疵，所以这个是什么小于啊， 打我的一下子就给你找到了，是不是？好步骤的话就是先把这些带入这个东西，就是一的 x 一 次方减 x 一 减一加二， x 一 加一， 哎，把常数给它消掉了之后这里再合并，就是等于一的 x 一 加 x 一 等于六，再来 lo in x 二加减 x 二加一， 加上二倍的 x 二减一等于，你看又是一样的，所以是 lo in x 二 加 x 二，这里就考你的眼力见了啊，你看，哎，他们都等于六，而且这个和这个是一个只对互换的一个形式啊，但是他们两个如果是对应的话是一致的 怎么办？难道是用它对应它吗？啊，如果让它对应它的形式的话，我就应该把它画一下， 是不是爬楼梯，你看又用的这个一的等会等于了 x 二路由 x 二， 是不是现在是不是一致了？你看一下啊，我把它变成这个样子啊，变成，你看，把这个放到前面去，就是一的路由 x 二加上路由 x 二等于六， 他和他长得一不一样啊，同构啊，是不是一样的呀？是一样的，没有看到没有，当这个变量等于这个的时候，你看是一样的，同构的一个思想。 所以说，我令太上老君急急如律令，没有 h x 吧。 h x 等于一的 x， 次方加 x 来，当他取 x 一 的时候就是这个，当他取 lo in x 二的时候， 就是一的 lo in x 加上 lo in x。 漂亮，原来他们两个都是这个函数的一个固定值是不是？ 那么也就是说，你看这个函数啊，他是单调递增的，你同意吗？在他的整个定义内都是单调递增的，你同意吗？啊，因为他是一个指数，底数是一，是吧？大于一的， 所以这是一个增函数。因为 h x 为单调递增的一个函数，而且他们俩的值都等于六。 一个单调递增的一个函数，单调的函数，它的 y 相等的时候，那么对应的只有唯一的一个 x， 也就是说这个东西 h x 一 等于 h， 取这个的时候 等于六，而且它们只能对应一个的变量，所以明白吧， x 一 是等于 lo x 的 对数的， 对不对啊？那么我们来看一下这个怎么办？我是不是可以把 x 一 替换成 lo in x 二，看到没？既然 x 一 等于它的话，那么也就是 x 一 加 x 二就等于 lo in x 二， 怎么样？ lo in x 加上 x 二， lo in x 加 x 等于几？ 等于六啊，妙啊，妙啊，所以它等于六，六小于六点一，自然而然，十分自然，对不对？整道题 凸显的就是一个等价转化的一个思想啊，这个题通篇都是等价转化的一个思想。好，这个题就为你分享到这里，你学会了吗？ nice。

好，各位同学，我们一起来看到高一三星联考数学的卷子。嗯，那先看 question 部分，这个 question 部分前三题比较送分，第四题跟第五题都是比较基础的那种题目，第六题呢，有点少创新，但是很多同学可能在一些很难的题目里面见过了所谓的最大加最小， 嗯，考考试的时候可能有点会比较难反应过来。第七题也是一个比较常规的比大小，第八题也是一个比较常规的抽象函数，性质。好，我们一起来看到。先看到前三个冲分题，第一题呢，你只要注意到 x 是 属于自然数的就可以，那大于等于负一，小于等于二的自然数有且只有哪些呢？ 零一二对吧？然后我们跟大于等于负一，小于等于一的所有数字取一个交集，那么就只会剩零跟一两个数字了。然后第二个全称跟特称命题的否定，只要注意，我们这里只要改把量词一改变，结论一否定就可以了。那量词要把任意改存在。 好，那结论呢？原本是属于属于这个有理数的，那现在当然是不属于有理数就可以了，注意千万别动。这个明白。好，第三个也是比较简单的，充分必要。那各位先想一下，如果三 x 减一是整数， x 一定是整数吗？比如我们举个反例，三分之二 就可以保证三乘三分之二减一是一个整数，但是三分之二会不会是整数？不会，所以充分呢？很显然是不满足的。然后第二个 x 为整数，那首先那三倍的 x 肯定也应该是整数吧，那加减一肯定也是整数，所以必要性能是满足的，对不对？那就应该是一个必要不充分 好，所以前三题基本上应该都不太会有问题。我们来看到第四题，第四题也是一个比较常规的复合函数的问题。我们这里面领 x 平方减 x 等于 t， 把它分成两段来看，它应该是 x 先到它，它再到三的 t 次方。由于 t 到三的 t 次方应该是一个指数函数，底数比一大，我们永远是一个单增的，对不对？前半段又是我们从初中开始就比较习惯，呃，接触过的一个二次函数，我应该在负无穷开口向上对称轴呢，应该是二分之一， 应该在负无穷到二分之一呢，是一个单调递减，二分之一到正无穷应该是一个单调递增。负函数。就一个口诀啊，同增异减，那这里面我们具备相反的增减性，最终数出来，答案应该是递减， 然后相同的增减性呢？最终我应该是单增的，对不对？他要选单减区间，那很显然应该是负无穷的二分之一，包括这道题呢？可能你初看有点懵逼，但是实际上 你就按他的规则一个一个带过去，你看，因为他这里掏了两次有 f f x 零，那我们来肯定要先解决 f x 零吧。 那根据他说的说法， x 零位于零到一，那我肯定应该使用这一个来代入，那 f x 零是不是应该是 x 零加一？ ok， 那 我还要继续带的时候，我就要考虑，那我 f x 零的范围应该是几？题目里面告诉我了 x 零的范围应该是几，那我加个一以后呢？我整体应该是位于一到二的， 那这个时候我再考虑把 f x 零整体带入的话，我是不是应该带第二个解析式，也就是 f 括号 f x 零应该就是 三减去两倍的 f x 零吧。然后我又知道 f x 零是几，是 x 零加一，我给它带入三减去两倍的 x 零加一，整理一下整体就应该是一减去两倍的 x 零，它告诉我它的范围呢，也是位于零到一的，就小于一，大于等于零， 两边先减个一负二， x 零应该是小于零，大于等于负一，两边同乘个负二分之一，记到编号，那 x 零就应该是大于零，小于等于二分之一，对吧？就选到了这个 c 选项， 所以前五题都都是比较基础的， ok， 第六题最大最小值问题，那这个是什么呢？我先给大家解释下。我们应该有些同学已经见过了，这个 max ab 指的就是对于这两个元素来说呢，如果两个人都在变啊，如果 ab b 更大，我们就去 a b， b a 更大呢，我们就去 b。 好， 那这个里面他说的是 max x y 又要最，就是在取完以后，他要尽可能的最少，这里面千万别着急，我们先放着，他其实讲的是 m 加 n 分 之四以及 m 分 之一 加 n， 我 们需要在他们取完，就是根据我们的这个规则， max 以后，也就是谁跟大，我选谁，选完以后， 因为你两个人都在变吗？对不对？我举个例，我举个很简单的例子，比如他是二跟四，对吧？那我取了四，对不对？或者他是三和五，那我就取五，对吧？如果是五跟三，我就取，我就取五，对吧？那我们肯定要先去看他们之间有没有一些关系吗？对不对？ 那这个里面大家如果做的题做的比较多，你就会发现，这里加起来就是一个基本不等式了，对不对？所以我来先研究下， x 加 y， x 加 y 的 话，我们配一边应该是 m 加 m 分 之一，再加 n 分 之四加 n， 应该是大于等于两倍的根号一，这里一个基本不等式， 这里呢加上两倍的根号四，所以这两个人的和应该是比几大？比六更大的，对不对？对吧？嗯，因为大于零，我们是可以一定可以用基本为等式的，也就是你会发现， 这个我们这里讲两个说法哈，你 x 加 y 其实是等于六的，对不对？那我们这里面不妨就可以把 y 看成 x 减六，所以我们要探寻 x x 减六的什么值。 哦，不好意思，应该是六减 x 更大的时候，它们的更少。那这个怎么看呢？来，你可以画一个函数图像， y 等于 x 是 不是长这样子，对吧？那 y 等于六减 x 呢？嗯，向下的并写过六零应该是长这样子的吧？ 六，然后它们的角，它们两个的交点，我们算一下，应该是 x 等于六减 x， 就 说明二 x 等于三， 那也就是什么意思呢？我，当我 x 比三更少的时候，我肯定是取它的，对不对？当 x 比 三更大的时候，我肯定是用他会更大，对吧？那他们什么时候达到最小值？就当且仅当他们两个相等的时候，也就是，呃，每个人都是三的时候，对不对？我们取到了什么值？最小值，对吧？好， 我觉得这个标答的逻辑有点难理解啊，他告诉你两个人的和是加起来等于六的，那两个人 更大的那一个最少值都是三。如果你理解不了呢？我就建议你按这个函数图像画一下，因为这个 max 其实本质上就是一个分段函数嘛。当 x 更大的时候，我们就 取 y 等于 x， 当 x 更少的，嗯，当六减 x 更大的时候，我们就取 y 等于六减 x， 那 取完以后，它的最函数最小值就应该是三了。 ok， 看到第七题，也是一个比较常规的比大小，那怎么比呢？ 嗯，先变成一样的，找个中间值，我们先去与零点六的零点六次方作比较。那这个怎么比？它其实应该是零点六的 x， 这个指数函数，我们赋予了不同的 x， 对 不对？ 那底数少于一的指数函数我，我有更大的 x， 但是呢，我整体函数值是不是由于我单调递减，我应该要更少？所以很显然，零点六的零点五次方应该是大于零点六的零点六次方。那我变过来以后，我再去看零点六的零点六次方和零点五的零点六次方之间的关系， 因为他们同属于 x 的 零点六这个次方，这个密函数只是我们赋予了不同的函数值，那密函数我们上面这个东西比零更大，我就能认为我是单调递增的，那我是不是有更大的 x？ 零点六比零点五更大，我就会有更大的 y， 所以你对比一下，发现你取了个中间量以后， a 实际上是比 b 更大的，对不对？那第一个 a 二比 b 大。 好，那剩下这个 c 选项呢？由于它是一个具体的数字，那我们怎么比较呢？我们一般是把它也变成一个具体的数字整理一下，那应该是五分之三的二分之一次方， 那这里面不好比，对不对？因为你二分之一次方，那我们怎么去掉二分之一次方呢？由于我们两个都是正数，那么 a 的 平方横起来应该是和 c 的 平方，我是不是能去掉二分之一？ a 的 平方应该是五分之三， c 的 平方呢？应该是十六分之九。 那为什么我要去比他的平方呢？因为我们都是正数的话，我本体更大，平方就更大。同理，平方更大，是不是相当于我本身就会更大？那我们来比一下五分之三和十六分之九，那这个的比较有很多，实在不行你就嗯处一下也行。或者呢， 把分子变一样，上下同乘一个三，他是不是十五分之九，十六分之九混合都可以，你就会发现，十五分之九很明显应该是大于十六分之九的，对不对？也就 a 的 平方是比 c 的 平方更大的，那么讲道理， a 应该也要比谁大？ 比 c 大， 但做到这里你还没有做完，因为它有可能是 a 选项，也有可能是什么呢？ a 大 于 b 大 于 c， c 选项，所以我们最终还要去比较一下 b 与 c 的 大小。那同样的 b 与 c， 嗯， b 也转换成一个数字，它应该是二分之一的五分之三次方。那这里略有一点麻烦 你，因为你不可能整体是三分之五次方，所以我们选择去比较。哦，不好意思，是 b， b 的 五次方就应该是二分之一的三次方，那么 c 的 五次方呢？嗯，这个是三的五次方的四的五次方。好，先放着这，这个怎么比呢？两个分数我们还是建议通分或者 配成一样的。那这个四的五次方，我不妨就看成二的平方的五次方，也就是二的十次方。三的五次方呢，是可以算出来的，它应该是八十一乘，再乘一个三的四方是八十一嘛，再乘一个三应该是两百四十三。好， 现在还不好比，是因为我们的分母不一样，那我上下同乘二的七次方以后，我这边是不是二的十次方，分之二的七次方分母是不是就应该是一样的了？那二的七次方是多少呢？各位，你可以去算一下，应该是一百二十八， 你就会发现 c 的 五次方是二的十次方，分之两百四十三， b 的 五次方呢，是二的十次方，分之一百二十八。很显然， c 的 五次方是大于 b 的 五次方的，那么由于我们是正数， c 也会大于 b， 对 吧？所以这道题我们就选到了 a 选项。好， a 跟 b 的 判断是，我觉得作为高一同学，大家是一定要会的哈。 ok， 那 我们来看到第八题， 第八题呢，其实是一个比较常规的，也不能讲比较常规吧，就大家考已经考了很多的一个抽象函数，我们要解决具体值，要解决既有性，要解决增减性的一个问题。 嗯，那这种题目呢，我们在高一的时候还是要把基本方法掌握好，然后到了高三呢，或者等你们学完三角函数以后呢，我们就会给大家引入。嗯，有一个方法叫做构造具体函数哈，当然，这个， 嗯算特殊方法吧，它不算那个通法哦，我们一起来先用常规方法把它做一遍。好吧，那第一问，这个值的呢？你看着想到负一，你肯定想直接令 x 跟 y 等于负一，但是带进去，你发现呢？这里多了个谁， 这里多了一个很讨厌的 f 一， 对不对？那我们还要解决 f 一， 那怎么办呢？很简单，令 x 等于 y 等于一，把它依次代入，那是不是得到了 f 一 加二分之一等于两倍的 f 一， 你会发现这个式子可以把 f 一 解出来，应该是几是 二分之一。那我们代入回去以后，由于你两倍的 f 负一是 e， 那 f 负一呢？也应该是二分之一， 对吧？ a 选项就应该是对的。 ok， 复制那 b 选项，你要证明它的奇偶性，你只需要同时出现 f x 和 f x， 我 们判断它们的关系对不对？那这里面你已经有了 f x， 那 负 x 怎么办呢？很多同学会想，那我就令 y 等于负 x 就 行吗？但是不行，这边就出现了一个负 x 的 平方， 对吧？所以这里面的负值呢？哎，你既然这个东西没有办法变成负 x， 我 是不是考虑令它是负 x 就 行？那你看，你要令 x， y 是 负 x， y 得负几？ y 是 不得变成负一，所以很简单。 这个也是我觉得比较常规的一个题目啊，大家一定要练手。令 y 等于负一以后，你是不是变成了 f 负 x 加二分之一等于 f x 加 f 负一，又因为你 a 选项已经算了 f 负一是几，是不是二分之一，你就会发现二分之一，二分之一约掉，你得到了 f 负 x 是 等于 f x 的， 那么我们定域也是对称的，那所以我当然是一个 o 函数，对吧？好， c 选项和 d 选项 包括 d 选项，这个 e 就 肯定是在比单调性的问题嘛，对吧？ c 选项呢，这个二分之一你有可能是 f e， 有 可能是 f 负 e， 所以 也应该跟单调性无关。那这种的单调性怎么办呢？我们也是，但是注意我给大家强调一点哈， 我们在偶函数的时候，很多时候都证明我们单调性的时候，你并不会是取 x c x r 属于 r， 因为，嗯，如果你做题目做的足够多，你记得这个经典的偶函数吧，它我们一般是取 x 一 大于 x 二大于零，我们先证它在零到正无穷的增减性，然后再利用偶函数是关于 y 轴对称的，我们再折过去。那我们先来看看这个， 我这里也许 x 一 大于 x， r 大 于零，那我是不是要得到 f x 一 减 f x r 的 大小正负？那这个里面，你初看我们都没有 f 括号减 f 括号怎么办呢？你就先把它挪一个括号过来，然后你把这个数字呢？你看它不爽，你看它挪回去，对吧？ 是不是已经大概的出现了这样子的形状，那这个里面肯定 x 等于几 x r 吧。 好，那这里面你还可以动 y， 但是动 y 之前你不着急，你先想一下，我，既然我要这个式子变成 f x 一 减 f x r， 我 是不是需要 x r y 这个整体是谁？是不得是 x 一， 对吧？那我得负 y 是 多少呢？ y 就 自然而然应该是 x 一 除以 x r 吧， 所以挪下来，我们就是令 y 再等于一个 x 一 除以 x 二，你看这边是不是 x 二乘 x 二分之 x 一 就变成了 x 一， 这里不动，是不是 f x 二这边呢？就有点麻烦，是 x f x 一 除以 x 二减二分之一。好，做到这一步的时候，你左边已经配成了这个样子，那我们就只要去判断右边的正负就行了。然后题目里面告诉了你， 嗯，当 x 大 于一的时候，因为我取的 x 一 不是比 x r 更大吗？并且比零更大，那 x 一 属于 x r 肯定是一个比一大的数，对不对？那根据题目的说法，我的自变量只要比一大，我的函数值就会比几大？ 比二分之一更大，那我减去二分之一，我这里是不一定是一个大于零的，所以我们就判断出来，它在零到正无穷应该是一个单调递增的。那么由于它是偶函数，各位同学，你们想一下， 偶函数就是关于 y 轴对称，那我在负无穷到零呢，应该是干嘛？是不是一个单调递减对不对？那么递选项呢？其实就很好判断了， 既然我在负无穷到零是一个单调递减，我的负二零二四本身是比负二零二三更少的单调递减，我有更小的 x， 我 确确实实就会有一个更大的 y 吧。 嗯，所以 d 就是 对的好，那 c 自然而然就是错的。但是我们讲解，我们还是把 c 讲一下。为什么做这个题目的最好方式呢？就把图上大概画一下， 当然我们只能大概的画一个图哈，因为我是先增的嘛。嗯，偶函数，你学的最多的二次函数，你就把它也当二次函数的模型画。首先我们不能确定。 呃，我比一大的时候比二分之一大，那这个地方我把认为是二分之一，这个地方是一，可以吧？那这边我是负递减，我负一的时候对应到的是二分之一， ok， 我 现在需要我的函数值呢，少于二分之一是不是取这一部分， 对不对？也就是其实你看，通过图像，我要求我的次倍量 x 加二得位于一到负一之间，并且 x 加二呢，又不能等于这个零解上，应该是 x 要位于负一到负三的时候，并且 x 不 能等于负二，所以它刚好缺反了，看到了吗？它自然而然就是错误的。 好，那这个就是高一三型的单选，我觉得除了第六题呢？嗯，可能大家接触比较少以外，剩下题题目都是一些比较你平常应该做过很多次的题目了哈。 好，那这个题目如果学有余力的同学，我建议大家可以慢慢的去开始接受。一个就是什么呢？我们解决这种类型的题目，这个在高三也经常考多选。呃，我们有一个叫做构造具体函数的题， 我花几分钟大概给大家讲个思路，有机会呢，我也会发一个这种视频，当然你也可以直接在 b 站或者在抖音上去搜，他现在有很多的关于这方面的技巧了，那我给大家做个影子吧。如果我们有一天碰见这么一个函数，抽象函数的解析式对不对？ 好，那你来想一下，什么样的是两个相加变内部相乘，那是不是跟你学的这个对数很像很像， 对吧？对数函数，这个时候我们就可以令这个函数是对数函数。但是第一个问题，哎，我的对数函数定义域不是零到正无穷吗？哎，那你就加个绝对值，我是不是可以把定义域变成负无穷到零和零到正无穷， 对吧？那这道题又不一样，他多加了个二分之一，怎么办？好，那这里面加个数字呢？你就把它也加一个数字 b， ok， 然后给它带到这个式子里面， 你看它是不是 log a x y 加二分之一，再加 b 等于 log a x 的 绝对值，加 b， 再加 log b x 的 绝对值，再加二分啊。 log a y 的 绝对值再加二分之一。好，由于我们知道这个 外面相加，里面相乘，这个肯定是等于这个的，就被约掉了，对不对？那你看剩下的约个二分之一。哦，不好意思，这个地方是 b 哈，写快了， 这个地方是 b， 约一个 b， 你 就会发现 b 应该是等于几二分之一的，对不对？所以我们就会考虑去构造一个什么函数呢？我们基于这个式子，我就可以构造一个 log a x 的 绝对值 加二分之一。好，那你可能会说这个 a 是 多少呢？其实无所谓的哈，来第一个，它说了， x 大 于一的时候，也就是我需要 x 大 于一的时候，我 log a x 的 绝对值 加二分之一，得大于二分之一，也就是 log a， x 的 绝对值得大于零。它的意思是 x 大 于一的时候，我这个得大于零，对不对？那我只要把底数选一个，干嘛比一大的是不是就可以？那比如说我们可以选个十或者选个 e， 一 般我们高三的时候，我们就得建议大家选 e， 也就改成 line x 加二分之一。做完这个你就可以直接代值嘛。 f 负一就是 line 一 等于零，加二分之一就是二分之一，它是不是偶函数？当然是偶函数，一个小绝对值，对不对？然后呢？ line 的 图像你不是会画吗？加二分之一又不影响它的增减性，我在这边是递减的，所以 d 也是对的，对吧？ 然后呢，什么时候会比二分之一更少？也就是 line x 的 绝对值什么时候要比零更少，对吧？ 也就是说 line x 加二的绝对值什么时候比零更少，那说明 x 加二的绝对值得少于一，且 x 加二的绝对值不等于零。也能去做啊。但是这个只是作为一个补充吧，就是学有余力的同学可以抽时间或者含时差的时候我们去完成这件事情。好，那待会儿我们一起来看到。嗯，多选题跟填空题部分。

选择题讲这么多，我们先来讲大题吧。好，这个十七题来看一下哈，他这个是易错题啊，典型易错，你们考了又考啊？就是 两个集合呗，一个集合是不含了一个参数啊，这种 m 啊，或者 a 啊，是不是啊？另外一个集合是不是到时候一定可以算出来啊？然后到时候他是现在是不是问你 a 交 b 和 a 并 b 啊？是不是问这种提问，然后求 m 的 范围，这种题目易错，哪怕成绩稍微好一点的中上的他也容易错。 好，我们来求第一个，是不是先把 a 的 范围求出来？你现在 a 是 不等于这个？这个东西你不解出来吗？小于等于零的是不是因式分解？ x 减三， x 加二是不是大小于等于零？ 是不是小于等于零？那这个时候是不是两根这二指还是开口向上啊？它小于等于零的部分是不是在两个之间？那它 a 这个集合它是不是可以写成 x 大 于等于负二，是不是小于等于三， 在两个之间，那才会小于等于零？然后是不是再求 m 的 范围线是不是含了一个参数，对吧？然后他说 a 交 b 等于 a， a 交 b 等于 a， 到底是 a 包含 b 还是 b 包含 a 呢？是不是啊？你们自己要想清楚， a 交 b 全是 a， 那 a 是 不是要在 b 的 里面？你 a 是 不是要在 b 的 里面？你这个时候你们交集是不是全全部就是 a 了？ 所以是不是应该是这样写的，懂了吗？这里这一步到这一步一定不能错，错了自己去反思啊。那你现在是不是 a？ 干嘛我们要去看这个时候那个韩餐集合是不是在这里啊？ b 在 这里，是不是 b 是 不是一个韩餐集合啊？ b 是 不是要比 a 大？ 那我问你， b 可能是空集吗？是不不可能的， 懂了吗？我们不需要讨论它为空集了，我们直接去讨论。那就把它 a 包含呗。包含很好算的，你是不是把 a 先算出来， a 是 不是负二到三？在这里你 b 要包含你，我们用数轴上面去体现 m 加五，是不是在这边， 然后这边是不是 m 三减 m， 对 吧？我 b 要包含你，不就是我小的要比你的更小啊，我大的要比你的更大，知道吗？小小比小，大大比大知道吗？就是我包含你小，小要比小，我比你更小，大大要比大，这样的话，我是不是我这一个是 b， 是 不是包含你这个 a 了？ 所以三减 m， 它是不小于等于负二，负 m 加五哦， m 加五啊，它是不大于等于三？好，又有同学提问了，是吗 啊？他们两个可以取等号吗？可不可以取等号？是不是可以啊？对吧？哪怕你 a 这个数等于 b 集合是不是也没问题啊？ 你交集是不还是 a 呗？虽然这个时候交集也是 b， 但是交集是不是也是 a？ 因为 a 等于 b， 如果他们两个相等，所以这两个等号可以取的啊。那我们把 m 挪过来，把负二挪过来，是不是 m 大 于等于五， m 大 于等于五，然后这边挪过来的话， m 大 于等于负二大于等于负二，是不是啊？那交集是不是 m 大 于等于五？这有第一位，我们再来看第二位呢？它现在是不是 a b b 等于 a 啊？ 你要搞清楚 a 并 b 等于 a 跟什么关系呢？该又是谁包含谁？ a 并在一起，跟 b， b 在 一起还是 a？ 那 是不是 b 在 里面啊？ a 在 外面，你这样两个并在一起，是不是这个整体还是 a 啊？听懂了没有？所以是不是应该是这样子的？ 好，这一步推到这一步，一定要会，我不解释了，这本来是最开始就要掌握的。好，你再来看一下 b 现在是不是韩餐集合啊？对不对？ b 是 什么呀？我们来看到题目，他是不是 m 三减 m 小 于 x， 然后是不是小于等于 m 加五啊？我们说这个时候韩餐集合，他是那个小的，就被包含那个集合哈，我们就可以讨论他为空集啊， 就可以分两种情况，前面那种不行啊。 b 是 不是包含 a， 前面那是不是他比 a 还大呀？那前面 b 能为空集吗？是不能，那现在 b 他 为空，这里可以为空集为空集，那是不是只需要他的最大值，只需要他的一个最大值，这个值啊，比这个值还小，是不是就可以了？ m 加五小于 x 小 于 m 还要小于 m 加五啊， 对吧？那你现在，假如现在 m 它在变，是不是变得 m 加五比这个三点 m 还要小，那你到时候 x 它可以既满足大于你，又会小于你吗？不可能的，我怎么可能会，你 m 加五，到时候比它小，我是不是怎么可能会有一个数比你大，比大的数还大，但是比小的数还小呢？是不可能， 那这个时候没有不可能的话，那 x 是 不是没有解？ x 没解，是不是就 b 为空集了？听懂了吗？这就是 b 为空集的一个条件，让他的最大右边那个大字去比那个小字还小，这个时候他就是空集， m 挪过去， m 是 不小二， m 是 不小于这个负二， m 是 不小于负一， 这种情况下是不可以啊？你 b 是 不是一定会被 a 包含呢？对吧？空姐一定会被别人包含呢？第二种情况是不是 b 不 为空姐啊？不为空姐是不是 m 加我手干嘛？ 大于等于三减 m 就 行，了解出来一定跟他相反，是大于等于负一。那这个时候是不是又开始大大比小大大比大小小啊？但是这个时候谁跟他啊？是不是什么呀？是不是负二到三？ 那是不是大大比小小小比大，小小比小，大大比大，是不是负二就要小于等于三减 m， m 加五呢？它是不是小于等于三？我要在你的左边啊，我这是 a 啊，是不是啊？我要包含这个 b 啊， 然后 m 它是不是小于等于什么？五？这边是不是 m 小 于等于挪过去，是不是等于等于负二？去交集是不是 m 小 于等于负二呀？然后你 m 是 不是要大于等于负一？ 这是第二种情况， m 大 于等于负一，小于等于负二和你这个 m 小 于负一，这是第一种情况。两个是不是都可以啊？那交在一起是不是要并啊？并在一起啊？两个条件都是 m 小 于等于负二，懂了吗？

好，大家好。呃，我们来看一下江西三七年考高一数学试卷的第十九题，嗯，这十九题的第三问呢，是很难的一道问题啊。 呃，然后我们的这个解析的这个方法呢，是比较抽象啊，不太容易懂的。那么今天呢，我们来分享一道这个题的一个标准解法，供这个老师和 尖子生们啊学习使用。我们来看一下啊，这个题呢，关键呢，就是在这后面了啊，前面是用定义可以转化了啊，那么最终呢，会变成一个双变量的横乘力及存在性问题。呃，后期呢，会变成一个四分之二寻求最值的问题啊，所以大概会有两个难点。 好，首先我们根据第三，首先我们根据这个定义啊，可以得到这个 啊， d s t 大 于等于 g s， 这个直接按定义代啊，这个是大家应该是问题不大的。 k s 减去 a， t 比上 t 方加一，大于等于 k 倍的 s 加 减去 a 倍的 t 加 a 比上 t 加 a， 跨了平方再加一，那么这个恒成立啊，把这个 k s 约掉， a 约掉之后啊，说我们也可以变量分离成 k 小 于等于 t 加 a， t 加 a 跨了平方加一啊，减去 t 比上一个 t 方加一， 这个是指是干嘛呢？注意看啊，这是 s t 的 范围啊， s 没有了啊，对 t 属于二分之一到一是横乘力啊， 这里还有个 a 对 不对？ a 的 范围如何是对， a 属于二到真空下是有解， 这就变成了一个双变量的恒成立和存在和有解性问题啊，就是存在性问题，那么这种问题我们是有标准解法的，它是可以先选一个。呃，两个变量啊，主原反挑一个更简单的变量来处理， 显然这个式子对 t 来讲是一个分式，减分式很复杂，所以我们先把它看成是一个关于 a 的 函数，所以它是 k 小 于等于什么呢？ fa 啊，这是一个关于 a 的 函数，那么 k 显然对 a 是 有解，所以要求 fa 的 最大值。 那我们来看这个 f a 的 最大值是什么？我们把 f a 写一下，你会发现把这个 t 加 a 可以 除下来，下面分母当中就是一个简简单单的对勾函数。问题后面关于 a 就 这个常数啊，这就是个常数， 而 t 这很显然是个对勾函数。那么要想求 f a 的 最大值，分母要最小，也就是求 t 加 a 加 t 加 a 分 之一的最小值， t 加 a， 我 们显然是属于什么呀？你看 t 是 范围， a 的 范围都知道，这 t 加 a 的 范围，二分之五到正无穷大， 对吧？显然是 t 加 a 等于一的时候取到最小值， t 加 a 显然取不到一。所以呢， f a 的 最大值就是在 t 加 a 等于二分之五的时候 啊，就是 t 加 a 等于二分之五的时候就可以了，也就是 a 等于这个二的时候，对不对？显然是 a 要等于二的时候，它就是一个最大值，所以我们就清楚了啊，所以 fa 的 最大值就是 f 二， 对吧？那 f 二等于多少呢？就在 a 等于二的时候，把它二带进去，那么 t 方加四，我们把括号去开加五， 呃，得到这，那么应该是减去个 t 比上 t 方加一好了，这个时候 k 小 于等于它是对什么呀？对，这个 t 数二分之一到一横乘以， 我们就要求这是 g t 对 不对？就要求 g t 的 最小值， k 就 小于等于 g t 的 最小值。 好，那么这里要修正一下啊，这里因为这个 a 不 能等于二吧，这个没有等于二，所以这里应该是有一个等号应该是取不到，也就说 f x 实际上是没有最大值的，所以这里应该是可以把这个的，这里应该要把等号拿掉，这里要注意一下细节， 所以呢，我们现在要接下来求 g t 的 这小字，那么这是第二个难点了，这是一个分式函数，而且这两边好像没有直接的联系，所以呢，这里我们只能被迫要通分。 好，这里面有个难点的啊，这高，整个高三当中其实也很少出现这种二分之一型的，一个分式的一个这个做差的一个，这个坠值的问题比较少啊，比较少见，通分之后，我这里省略计算过程哈，然后就把它算出来，分母，这里要通分的。 呃，好在这个分子啊，这个分子这个合并同类项之后，三次项应该是消掉了，然后分子刚好是得到等于负二倍的 t 方加二 t 再减一， 这就变成了一个这个四分之二型有理函数求这值，这个也是很少出现的啊， 我们做的比较多的是二分之一型和有这个呃，比较简单一点的四分再型，对吧？这种上面没上下没有完全平方式的，这种四分再型是比较少见的，基本在原则曲线里面啊，在高二的高三的四行当中也很少出现。 这个时候我们还是要对这个二第一次啊，这个分子二次型啊，这个二次多项式进行整体换元啊，当然我这里就直就直接写啊，就不换元了啊，这是负二， 然后把这个它除下来啊，把这个 t 方加二 t 减一啊，除到分母上去，那分母进行一个长除法之后呢，会得到等于 t 方加二， t 加三， 移数是一个八啊，那这是一个 t 方加二 t 减一。那写到这我就知道哦，这个题可以做了，那么这个时候我们可以将加三改成一个减一，这里再来一个加四即可。 那么 t 的 范围是多少啊？二分之一到一，所以我们可以把这个 t 方加二 t 减一的范围啊，这里算一下啊，这很显然就是一个，这里是一个单增的，那么就把它范围算一下，应该是一个，呃，四分之一到二， 那么这变成了一个求这个对勾函数的一个这个呃，最值的一个问题啊，我们最终是要求它的最小值，也要求分母的最小值啊，因为这有个负倒数，而这个东西呢，是一个，呃，比如说我们考虑这个，如果对对它进行一个换元的话啊，我就给你们换个元吧，令 m 等于它， 那么啊，这里不用 m 帮我换个 f 吧，好吧，那么负二比上 f 加八，比 f 再加四， f 属于这个二分之一的， 显然这个 f 加 f 分 之八呢，它在这个区间上明显是单调递减的，对不对？在 f 属于这对括号，还是在 f 点二根号二的时候取最小值，所以呢，它这上面是应该是单减， 所以呢，这个取个负倒数之后啊，加个四减个，取个负倒数之后呢？它应该是不影响单调减，它也是单调递减啊，还是单减， 所以我们就只需要把 f 的 二分之一和二带进来，所以我们就可以得到这个 g t 的 这个值域啊， g t 的 值域就可以算出来是一个负五分之一到负幺四五分之八 啊，当然你只求一个最小值，负五分之一也可以哈，总之它的最小值就出来了，所以我们的这个 k 啊，就小于怎么样负五分之一啊 啊，请注意这个等号是因为 a 取不到这个二，所以才导致这里取不到这个等号了啊，取不到这个等号了，这就是我们的这个问题，所以这个题呢，呃，实际上它本质上就是一个恒变量的恒成立层次及有解性问题， 要先选出一个其中一个更为合适的变量啊，把其中一个变量消掉之后啊，问题就得就会简化了。那么这里面后呃后半段呢，是涉及一个呃四分之二型有理函数的这个问题，这里还是啊对分子的这个 第一次啊，多项式啊进行个整体换元之后去往后去求解。好这个题我们就分享到这。

这是三七年考高一的数学试卷，听很多家长说这一次的题目有点坑，今天呢，请我的好朋友杨老师来给大家分享一下，看看他要花多长时间能做完。然后呢，看看他能考多少分来，杨老师，我们来 挑战一下看一下。可以可以，我看我作业能做多少分？对，能考多少分，今天考验你干货的时候，好好好吧。 啊，卷子写完了，大致搞一下一百四十二啊。各位老师来，杨老师，我问一下哈，这张试卷你刚刚总共花了多长时间？ 大概一个多小时，主要还是最后道题花的时间比较久。最后道题，对前面的一些选择题都是比较简单的。嗯，我们大致是从第六个题这个第六个就选择题有点坑，可能好多选择题是不会写的，坑在哪个地方？他就这道题目这个新定义，很多学生搞不懂，特别是谈的未知量太多。嗯， 并不知道这个最小的怎么取，所以好多人呢写不出来。其实这道题就是考我们基本不等式，嗯，多了点未知量啊。然后就像我们这个选择题就第八题， 嗯，这个第八题呢，如果平时上课认真学的情况下，比如我们那种抽象函数的单调性的判断，嗯，如果他没问题，这道题也可以做对的。嗯，选择题这一块基本就十一题，比较难一点。嗯， 然后这个第十题我就是通过画过图就直接秒答案了哦，所以做的特别快。嗯，因为我们作为老师这块比较灵光点，这道题目应该必刷，题上会出现过类似的原题哦，所以这道题目的话，基本在这个 dog 选项的判断是最难判断，所以没有把握的学生最好就选两个就可以了。拿，拿到四分就够了。嗯， 这道选择题要推进去很难推。我也推了好久。哦，这里我就花了点时间的。然后选填空题这一块，就比较相对来说比较最简单的了。嗯，这道题目十四题就不是算，他也是画图。嗯，这道题目就看你们对这个图像的理解了，当然，这个卷子对于我这种 新高一的这种学生啊，其实难度是有点考的，思维性太活了。你看，好多题目都不是要你算，像你对这个知识点的理解，然后要画图，嗯，所以这就比较难。 哦，那就翻过来。嗯，那我们看我们大题这一块啊，大题就像我们老作为老师，嗯，我都说实话，这个第三题我都没算完，我都算到这一步就卡死了，我就不想再算了。很难，还是难度太大了，太多太大了。这道题目是难度好大，像我们选择题这一块，从这一题到这一题，嗯，其实难度并不大，特别这道题，这道题目第十六题其实已经超高了一点点。嗯， 如果像好多学校大部分只喜欢对数，但这道题目的第一位已经考到了函数零点的问题。嗯，所以这道题目当然对我们老师来说就是一个简单的画圆吗？再点进去就 ok 了。像我们这道题目就比较简单，反而是十七题是比较简单的啊。十七题这道题目我们初中的初三的学生其实已经 学过了。嗯，无非就是踩点的时候注意怎么去画分为止，就像这个跟任何一，然后通过画圆。嗯，这个是初中有学过了啊，所以这道题跟这道题不难。嗯， 然后就十六题有点超纲啊，利用的画圆，然后这小道的画圆，如果零点你也学了一点点，那这道题目就也能做的出来。然后十八题这道题目就很难了。嗯，特别是前面的第一问来说，就是带点进去，这还还有点，但是也要用到画圆，包括这个第二题，嗯，也要有点水平，因为这个第二题就是带进去直换算就可以了啊。 啊，这是第三问就比较难，这个是难的。嗯，你像这道题目很多人都拿不到分的，很有可能啊，你看这道题目，他要通过把两个位置上进行销元换餐，然后再用单调性求最值的问题，所以这道题就有点难度。 你像我们这个最后的十九题，第一问就送分了，这个他就两分。嗯，然后我们的第二问的话，如果有大概中等或者优秀的学生，第二位是可以做出来的，他把题目意思读懂，嗯， 这个就已经给把它做出来了。就上届的问题啊，其实这个点呢，已经达到了我们高等数学就是我们大学里面的这个极限的问题。嗯，所以这就是高中其实没学，这就是他们点定义，然后自己判断，但这个也是能做的出来的。好，那我想问一下哈，整个试卷总分一百五啊，对于我们的高一学生来说，这张试卷考多少分？ 算及格水平？我觉得考个九十分就够了，九十到一百分就很好，就已经很好。对，就这样可以的了。好，优秀水平，优秀水平可能要达到一百二到一百三左右，因为你优秀水平的话，基本上也就是十九题的第二个你要会写的出来， 而十八题的第三问如果写不出来的话，那基本上也就扣这两道零分。我们选择题这块基本你要选对了。好，你要达到优秀的学霸的孩子，这段时间那要达到一百四十多了，学霸就跟我一样的，也就是卡在最后一分算不完呢。哦， 因为我作为老师这一块我花六个多小时做完。好，那最后这道题比较优秀的孩子要花多长时间能做完？我觉得这道题目至少得花了半个小时，因为第二问本身计算就已经有了，然后第三问的计算两分，每二三十分你肯定做不完的，所以做题速度慢的孩子，你就根本就写到第一问的两分，所以这张卷子你一定要有速度，平时要练题， 你要每一道题都要带着画圆，所以计算量是特别的大，这不是最后这道题目，基本上很多人都有可能容易忽略这个范围问题， 这个题目答案还判断了一个错误哦，所以这道题目其实我也卡了一下，我们反过来验算了一下，发现就是另一个结果。好，那这样，好吧，如果有高一的家长想进我们社群的，我们到时候在群里面给他做一些分享可以吗？到时候把这个卷子分享一下。嗯，好，来，各位家长想进社群的评论区回复数学两个字，进我们社群。

赢得人才，大连考第十七题，十五分，这也是我要讲的这个试卷的最后一道题啊！他说 f x 为奇函数， g x 为偶函数，并且定义域为 r。 告诉你这样一个式子，它们俩加起来有一个具体的解析式，看到没有？这是一个具体的解析式， 求 g x 还有 f x 告诉你它的基友性，凡是涉及到基友性的，那肯定要弄一个什么 f 负 x 和 g 负 x 来，所以我不妨取负 x 对 不对？变成两个方程，两个未知数可以解出来吧。 so easy！ 这也是一个常规题型啊，求解析式里面的专门有讲过的这种题啊！ 那么也就是 f 负 x 加上 g 负 x 等于一的负 x 方， so easy！ 根据函数的奇偶性，你看这个是 g 函数，所以就是负 f x， 这是偶函数，所以是 g x 等于一的负 x 方。 两式相加二倍， g x 等于它加它，所以 g x 就 等于一 x 方加上一的负 x 方，除以二十分的自然 把这个代入这里，得到 f x， 用它减去它，对不对？所以 f x 就 等于二分之一 x 减去一的负 x 方。 做完了证明， g 二 x 等于这个东西，加这个东西没关系啊，很简单， 解析式，有了，把二 x 带入这里，那么 g 二 x 就 等于二分之一的二 x 加上一的负二 x 次方。 再看这里， f 平方， x 加上 g x 的 平方，就等于来它平方，它平方四分之， 它平方就是一的二 x 方。二 ab 看到没有，它和它是一个倒数的关系，看到没有？倒数的关系啊，是二啊，减二加上一的负二 x 方， 再看他就是四分之，是吧。所以说学数学啊，你的口算能力啊，也是非常重要的，是不是 照写不误啊？他和他只是中间，中间一个减一个加嘛，其他的照抄啊，再把他们加起来， 没有了吧。一正一负，这里是两倍的除以二，所以是二分之一的二 x 加上一的负二 x 和它是不是一模一样的？所以它们俩是相等的正完了，好，我们来看一下第二问， 第二问他说 h x 这个函数等于是由 g x 和 f x 这样子组合而来的，所以先要把这个东西怎么样？把这些解析式要带进去吧，对不对？看 h x 到底是一个什么鬼？ 这个东西不就是刚才证明了吗？是不是就是这个？所以把二 x 带进去就可以了，等于二分之一的二 x 方加上一的负二 x 方十分的自然。 减去这个二倍的，看到没有？二倍的 a， 你 看二和二这里约掉了，那就是 a 倍的 一的 x 次方加上一的负 x 次方十分的自然，加 a 方加二十分的自然。哇，这个函数就有点复杂了，你看这里一个不同的变量，这里一个，这里一个，这里一个，但是不用慌啊，刚才我们坐这里的时候， 这个东西是不是看可以看作是这东西的一个平方啊？只是我再配一个二 a b 就 一个常数二，对不对？一个常数二配一下就好了，那我是不是可以给他打包啊？整体对这个整体进行一个打包啊，对不对啊？就构成一个二次函数啊，对不对？话元大法 等于这个配一个完全平方，是不是 来相当于我加了一个二， a b 就是 二，所以我在这里减掉一个二，减掉二，整体相当于是减掉一个一，其实这里把它改成一就行了，是不是？好的， 看到没？哎，把最后一个改成一，没毛病吧。好，令整体是一个 m 也好，什么东西都行啊。令一 x 方加上一的负 x 方等于 m， 那这个函数 h m 是 不是就等于二分之一的 m 平方加上 a？ 哦，减，减掉 a， m 加 a 方加一喽，十分的自然呢。 关于一个 m 的 二次函数，当然我们先要求出 m 的 范围是不是 m 等于这个东西，你看这个东西 e x 次方是不是个指数函数， 是吧？这个呢，是长这样子的，他们俩都是大于零的，可以用基本不等式吧，他们是一个倒数关系啊，所以大于等于二。当前仅当 x 等于零的时候，是不是等于零的时候？这是一，这里也是一，一加一等于二嘛。所以 m 是 属于二到正无穷的， 没毛病。好，也就是说 m 这个变量，这个函数的这个变量是二到正无穷，然后要求这个函数的二次函数的什么最小值？ 简不简单啊？这叫做化规思想，把一个复杂的问题化成我们容易处理的学过的知识。 你看二次函数开口向上对不对？找到对称轴，对称轴，求二次函数的对值问题啊，开口向上，对称轴是什么？ x 等于 负二， a 分 之 b 就是 a 啊，就是 a。 如果这个对称轴在这里面的话，那么我取对称轴的值的时候是不是最小的， 对不对？你看一个这样的函数，我取对称轴的时候最小，也就是说，当 a 属于什么，大于等于二的时候， h m 就 等于什么 a m i n 就 等于 h， a 取 a 的 时候， 取 a 的 时候，这个时候怎么样来把 a 带进去？二分之一 a 方减 a 方加 a 方，没有了吧，是吧？就是二分之一 a 方 加一等于几啊？最小值他说的是等于六的，所以 a 方等于十，看到没有五，二分之一 a 方等于五， a 方等于十。由于 a 要大于等于二，所以 a 只能取根号十。 是不是同样的，当 a 小 于二的时候， h m i n 等于 h 几？来看一下啊，也也就是说它的对称轴是小于二，我们的取值是从二开始取的，二开始取是吧？所以它的对角值就是取二的时候。 对称轴小于二吗？对称轴是 a 吗？这是 a 啊，小于二，你看它只能取二， 把二代入，那就是二减去二， a 等于二减二， a 加 a 方加一，就是 a 方减二， a 加三 等于六，是吧？最小值是六啊，得到 a 方减二， a 减三等于零， a 方减二， a 减三等于零，十分自然的给它一个因式分解， 没毛病。所以 a 等于负一，是不是取负一啊？不能取三啊，因为 a 小 于二， a 等于负一，十分自然。你看到没有根号时或负一。哎，做完了，这就是我们说的双曲函数啊，给到一个新定义其实也不难，但是为什么你没有拿到分？其实这个求解析式是不是求解析式啊？ 你被他的新定义给吓走了，整张试卷质量非常高，我们从第八题你回顾一下啊，第八题开始 用到的是什么？等价转化数形结合对不对？然后到了十四题，他用到的是一个数形结合方程与函数的一个思想，还有分类讨论的一个思想。这题我们用到的是一个划规的思想，把一个复杂的问题给他打包啊，统一处理，统一规划， 当然也用到了数形结合、分类讨论，这都是家常便饭啊，包括我们的压轴题对不对？等价转化的一个思想，数形结合又是分类讨论，那天拿五六十分、七八十分的，可能我讲的那个第八题、第十四题、第十一题、第十七题、十八题、十九题， 这些题你可能一一个都没做对，为什么？你还没有适应高中的做题方法，你看这些题真的很难吗？其实都有提示的是不是？你看 包括最后的压轴题，是不是第二问和第三问的一个过渡，其实都是比较简单的题啊，都是高中的一些常规的思想，化规思想、等价转化思想、塑形结合思想，是不是方程与函数思想，哎，这些都是家常便饭。哎，你为什么这些题你一个都没做对呢？你这些思想脑子里的这种观念 一点都没有。纵观整张试卷，有哪一道题是需要你去背靠记的吧？没有吧，是吧？哪怕是考那些基本的题、概念题，他都是要你对这个概念的一些理解透彻，是吧？哪一块你有漏洞，你都可能导致你整道题都不会做 好，整张试卷质量非常高，你真的是需要去反思该怎么规划接下来的数学学习。好，拜拜！ nice。

今天我们继续讲天星教育的一边过啊，今天我们讲第四章第三节对数过能力啊，前面我们讲了过基础，这都是，这都是一些基础运算啊，这都是一些基础运算，这个比这个高阶一点点啊。 好，来，我们看这个题，第一个是计算题，他们下面哪些是正确？就是用公式啊，用公式前面角加一定变成底啊， a 选项一定变成底一样，我们算它看它是几啊？ a 选项变成个 log 底变一样。五的分之一的十的平方，对不对？变五分之一后，他就可以跟后面这个东西相乘了。 减是不是乘以零点二五，它就等于几？ log 五分之一的零点二五，那上面是几？一百，是不是二十五， 所以它能变成减，变成负 log 五的五的平方，所以等于负二，所以这个是错的啊。第二个啊，你看 log 二跟 log 五十 对不对？它俩加是不是相乘啊？对不对？所以 log 它就等于 log 一 百， 就等于 log 十的平方，就等于二，所以这也是错的。第三个啊， log 九啊，九的。那好，我们把这个下面变变啊，一定要把它变变，叫把它拆成啥？ log 拆成方，见到能拆成方的成方叫三的平方。 底拆成三的平方，这个真数呢？叫三的三次方减去这个 log 拆啊，这是二的，这是几？那是二的二分之一。 好，然后再把它平方看，等下姐这个拆完了以后，放肩膀把这个二三放到前面，叫二三的 log 三三， 那就是一了，这是减，这是 log 二二分之一放前面就是二分之一的 log 二 或者平方就等于减二分之三。减去四分之一，二分之一的平方是四分之一，所以等于几？四分之五没错，对吧？ 哎，所以 c 选项错啊， d 选项， d 选项。我们遇到这种连乘的时候，怎么样都得把它啊， d 选项都得都给它。变成啥连乘的时候，我们都给它拆成换底啊，都拆成换底啊。 log 二十七除以 log 四， 乘以 log 八， log 二十五，再乘以 log 五， log 九，然后继续把它放肩膀，所以这叫啥？二 log 二， 上面是几三三的三字旁三 log 三，第二个就二的三字旁三 log 二 减二， log 五，再乘以 log 五，这是三的平方二 log 三， 是不是？然后开始约三跟三约了，二跟一，二约了，五跟五约了，然后这个上面是九， 下面是八，对不对？所以这错了啊，都是一些基础运算啊，我们练一下学会就行了啊。 啊，这个不难，都不难。嗯，所以，哎，看这个题的计算 啊，这个题计算他说啥？第二题他说啥？二的 x， 三的 y 等于六，说 x 加 y 减 x， y 等于几。那咋，那是不是要把 x y 都给算出来啊，对不对啊？现在我们用用一种算法啊，它可以直接用啥？ 你把 x y 算出来吗？因为 x y 求个对数。都出来了啊，来看看他咋算了啊。说，你可以直接算，你也可以直接算啊，把 x y 都写成啥啊？你看这种变法就比较巧妙。 你看啊， x 加 y 减 x y， 我 直接把 x 写成啥？我们以二为底啊，我们要出现这吗？是不是？你要出现这才能代入，对不对？ 所以说出现二的 x， 那 就是 log 以二为底，二的 x 不 就 x 再加上 log 以二为底，这个用三了。为啥上面有三的 y， 对 吧？以三为底， 三的 y， 这不是就是 y 了，然后再减去 log 以二为底二的 x 乘以 log 以三为底 三的 y， 哎，所以第一个前面那个二的为底，那是几？看直接往里面带，叫 log 二的二的 x 是 六，对不对？再加上 log 三的 y 三十六，然后再减去这是几？哎，那前面这个都还是 log 二的六乘以 log 三的六， 对不对？好，这个没法运算啊，你看这个没法运算，这个没法运算，我们咋处理啊？没法运算，我们要变成底是一样就好运算了，所以说变底一样咋办了啊？叫 log 六二的导数，再加上 log 六三的导数， 对不对？哎，那你就不用就可以了啊。下面是几，这同样吗？是不是减去一个捞个六二乘以捞个六三分之一，对不对？哎，这就可以通分了，通分完了以后它等于几？分母是啥？分母就捞个六乘以 捞个六二乘以捞个六三 分子，你看都做成了吗？上面自己第一个是 log 六二，就是 log 六三了，加上 log 六二， 再减去一，对吧，寥寥寥寥三就是就是一了，对不对？所以上面等于几等于零了，哎，所以这个题就等于零啊。看着这个镜头观大，其实啊，很简单，选 d 好， 下一个题， 第三题。嗯，第三题他也是给你这个数，让你求它的最小值啊，这时候咋办啊？也是想法去变前面的题目给你的条件啊，你看怎么变啊？看这个题， 看，他说二三二九四四十一，所以这次我们咋变啊？我们想法先把它后面变一下这个猜叫 log 二的平方，然后啥九的平方， 对吧？所以放肩膀就等于 log 二九。 嗯，你看这等于 log 二九了啊，所以前面这啊，你看前面等于几，我们看啊，所以叫 log 二的三 x， 把 x 写上面指数，对不对？然后再加上 二的九 y 等于 几？ log 二的九前面是不是相当于它俩相乘啊，对不对？所以就得出来，三的 x 乘以九的 y 就 等于九啊，所以那是几？把这个再写一下 啊，再写一下，它等于几啊？叫三的 x 再加上三的二 y 不是 加上，是乘， 这是个乘，写个点吧，就等于几，就等于三的平方，所以乘是不是等于加，所以 x 加二 y 底一样，所以就等于二。哎，得到这到这我们就好好处理啊。这是一个整式，现在让你求分式，我们用啥乘以不变 f 再加上四外分之一。 嗯，四外分之一啊，它就等于几？等于我把它乘以这个数 x 二，再加上四外分之一，乘以这个数，叫 x 加上二外， 你乘幺就不等价了。所以前面再除幺变成二分之一，然后把这个什么乘叫怎么乘呢？叫前前后后，前面跟前面乘，这叫二，再加上后面跟后面乘二外二外， 所以加减二分之一。前前后后加内内外外，所以内外四外分之 x， 再加上 y， 叫 x 分 之四外， 是不是？哎，他就大于等于把前面用一个基本不等式。叫啥？二分之一的括弧，这是二分之五， 再加上一个二倍的根号，基本不等式啊。 x 四 y 再乘以一个啊，四 y x， 所以， 哎，这一约就没了，所以是几？二分之五，再加上一个二， 就是二分之四，二分之九，二分之九，乘以二就四分之九，所以等于四分之九， 对吧？这是个客户，等于四分之九，哎，所以这个题当前仅当当简单写啊。四外除以 x 等于 x 除以四外 几，我们可以把谁算出来？算 x 等于三分之四，我们要算单三几呢？就是看这个能不能成立等号。三分之一去等号啊，那等于三分之三分之一，你看，满足这个条件，哎，所以就对了。对了，所以这个答案选几选 b， ok， 这中间叠加了个基本不等式啊。下面选项啊， 来，下面的题多选计算题的多选难度都不大啊，都不大好。第一题叫十的，他说啥？ a 等于 log 二， b 等于 log 三啊？ a 等于 log 二， b 等于 log 三，他说十的，这等于七，对不对啊？那我们算一下呗。啊，算一下咋算 十的？这个叫十的。看啊，把这个转换一下，第一 角十的 a 就 等于二，对吧，然后把这个转换一下，角十的 b 就 等于三，对不对啊？那第一个题好，它等于几十的 a 的 平方， 对不对？哎，跑哪了？ 倒回去，倒回去 啊。对，十得 a 的 平方，嗯，它乘嘛，就相当于相当于它俩相乘，对不对？乘以十的 b， 十得 a 的 平方是几就三的平方，十得 a 平方就二的平方，乘以三就等于十二，所以第一个不对 啊，第二个叫 a 加上二 b， 那 你 a 加二 b 等于几？来算呗。 a 加上二 b 就 等于 log 二， 对吧？再加上两个 log 三， a 加二 b 吗？啊，两个 log 三， a 的 二加三，那等于几？是不是 log 二加上 log 九呀，就等于 log， 它俩相乘是不等于 log 十八呀， 对不对？所以说，哎，那这个导数呢？ a 加上二 b 的 导数就等于谁？就是 log 十八的导数，对不对？ 就等于几？ log 十八的十， log 十八十，对不对？对了吧，所以 b， 对 啊，第三个选项叫 log 五十四的十二。好，我们把这个转换一下， log 五十四的十二就等于开始换底。 log 十二除以 log 五十四 就等于几，就等于 log 十二是几啊？三乘四吗？三乘以二的平方都拆成乘方，都拆成小单元， log 结二乘以几三的平方， 对吧？二十七，所以就变成乘法，乘法变加 log 三，再加上二倍的 log 二除以减除以 log 二，再加上三倍的 log 三， 把上面的把那个竖往里面一带叫二 a 加 b 除以啥？ a 加三 b。 嗯，所以这是对的对不对？对的啊， d 选项一样道理啊。 d 选项，我把 d 选项写到上面， d 选项写到上面， d 选项写到这。好。 log 三十六得五就等于 log 五，记到底啊。 log 五除以 log 三十六就等于几？ log 五是几，是不是 log 十 就 log 来多写一步。十除以二，对不对？ log 三十六是几？ log 三十六， 哎，三十六是几，三十六就是二的平方，这是四吧，乘以啥三的平方来再写一步啊，所以那是几？ log 十减 log 二，一减 log 二 除以，下面是几二 log 三二 log 二，再加上二 log 三，所以等于几？一减 a， 对 吧？除以几 a 加 b， 哎，所以 d 选项也正确， d 选项也正确。所以就是运算啊，代入运算难度不太大啊，你练完这可以把自己的能力练强大啊。来第五。嗯 嗯，他说 log b a 是 大于一的啊，所以你 log a， b 加 log b， a 等于二分之五啊，然后 a 的 b 加等于 b 的 a， 问你 a b 等于几啊，所以说他说这啊，说 log a b。 好， 那你看 log a b 跟 log b a， 我 们说等于几， 它是互为倒数的啊，所以说这个式子，你把这个式子变变，这个式子可以变成啥？ log b a 分 之一，再加上 log a b a 等于二分之五，那显然我们都知道是啥了啊，所以说你，你把这个换个圆也行，你给他这个是啥？比如说 t 等于 log b a 对吧？他说他大于一嘛， t 就 大于一，所以说这是啥？ t 分 之一，再加上一个 t 等于二分之五，所以我们把这个东西给他一写，叫啥啊？写成同分嘛。呃，都乘上 t， 都乘上，都乘 t 吧啊，乘上 t 就是 啥？一加上 t 方 减去二分之五， t 等于零啊，都再乘以二，二 t 方减五 t， 然后啥再加一等于零，所以你看分解因式，二， t 减一 乘以几，这个是二，少看，这个是二啊。 啊，这是个，所以说乘以几 t 减二对等于零，所以 t 等于二分之一， t 等于二，所以这个舍掉， 因为 t 大 一，对吧啊？ t 大 一，所以我们得到一个。呃，啥东西啊？说 a 等于，你看啊， t 等于二，那就谁啊，那就是 log b， a 等于二，那谁 b 的 平方就等于 a， 对 不对？然后带入到哪？带入？他说啥？ a 的 b 就 等于 b 的 a 吗？是不是好？ a 等于 b 的 平方，对不对？ a 等于 b 的 平方，把它往里面一带，所以得到一个啥带到这？ 嗯，叫 b 的 二， b 就 等于 b 的 b 的 平方啊，所以得一样啊。意思得到二， b 就 等于 b 方，所以 b 就 不等于零的，所以 b 就 等于二，对吧？ b 等于二，你说 a 等于四， 是不是等于四？哎，所以 a， b 就 等于八，哎，所以这个题稍微还是有点难度了啊啊，这题稍微有点难度，所以选选几？选 c？ 嗯，选 c 这题稍微有点难度啊，就是解通过还原它们怎样的导出关系，还原好下一个 这个 a 课堂，还有 b 课堂，再加 m 课堂终结度，哎，这叫糖水公式对不对？不等式，就这就是，哎，我们加完了以后，这下面是啥？这本来是原来的浓度对不对啊？你看 a 课堂， b 课堂， a 课堂水 b 课堂，这个东西叫啥？浓度 是吧？那 a 肯定比 b 大 对不对？因为 a 是 溶液， b 是 溶质，对，比它大，所以说，但是我加完再加点溶质以后，那好，这浓度是变大了，所以这个东西叫糖水不等式 啊。现在他给你的一堆条件， x 一， x 二， x 三，哎，他说 x 一 小于 x 三，小于 x 二等于比大小了。其实啊，所以说我们要把这个变变啊，变变，你看啊，变 x 一， 我想要给它变成一个糖水不等式的感觉啊。叫 log 三的二就等于啊。换底 log 七的二除以 log 七的三， 嗯，就等于啊，两边都乘以 log 七二， log 七的二 二 log 七的三，哎，都变完以后它就小于谁了。两个吗？不是两个相加吗？对不对？都小于它们。都加一。 log 七的二，再加一，除以 log 七的三，再加一啊，加一以后等于几了？ 这不是 log 七七吗？对不对？十七二十八。 log 七的二十八，除以 log 七的六十三，就等于 log 的 六十三的二十八，它是几？是不是 x 三啊？ 对，所以我们得到 x 一 怎么样了？小于 x 三，对不对？同样道理，我们再写一个 x x 三啊。 x 三，我用这个笔写叫 x 三就等于几？就等于 log 六十三等于八 啊，它等于几？同样道理把它分解成二。 log 七的二再加一啊。六三二十八吗？在刚才算过了吗？叫二的 log 七的三 再加一，现在我把这个东西啊，给它配成一个啥式子啊？配 拼完就是往那个数凑了啊。二的 log 七的二再加一 减一，二的 log 七的三再加一 减一。哎，它小于谁减一嘛？糖水不等是吗？是不是小于二倍的 log 七的二再加一除以二倍的 log 七的三再加一 啊，它就等于几？它就等于 log 七的二再加一除以 log 七的三再加一，对不对？它又等于几？它又等于 log。 把这个写上面写到这啊，下面写不下。叫 log 七的十四除以 log 七的二十一 就等于 log 二十一的十四就等于 x 二，所以咋了？所以我们能选出啥？答案是 a。 答案是不是选 a 就 行了啊？ 哎，这个变的是稍微有点难啊，有点难，就看他们之间这种这个这个之间的关系，往这个角度去走啊，这叫数学变形，数学变形就是利用，利用这个，这个反复利用两次啊，这叫糖水不等式啊，糖水不等式，要记住， 就在前面讲进不等式的时候，我们讲过这个东西。第七集 好，第七题，八生联考啊，八生联考的题啊，这个题啊，有一点，有一点难度啊，有点小难度，有点小难度。看啊怎么处理。它给你 f x， 这 如果这个它等于啥？那你现在把这个算起来吗？首先你把它带进去吧，你看你，首先你肯定任何时候遇到这个东西就往里面带直就行了啊，就是你没有第一步，就没有第二步。 f 零二是几？ f 零二就是 a 的 减零二， 对吧？乘以 a 的 六根四就等于八，对不对？好， a 的 六根二是几啊？两相乘是不是就是 a 的 六根二，再加上六根四， 对不对？就等于几？六根二加六根四是不是六根八呀？ a 的 零八又等于几？ a 的 零的二的三，对不对？继续等于 a 的 三，零二对不对？就等于八，对不对？ 就等于八。八是几啊，就等于八。所以啊，我们把前面这个稍微变一下啊，说这个 就变，这个叫 a 的 小于二的三次方， a 的 小于二的三次方就等于二的三次方。哎， a 大 于零不等于一了，对不对？所以 a 的 小于二就是下面这个底就相等了啊。所以 a 的 小于二 就等于二。两边我再取个对数叫小于二，对吧。乘以 lawn 的 a 就 等于 lawn 二啊，两边都约去。所以说 啊，叫 lawn， a 就 等于一， a 就 等于一。哎，所以这个题有点难度啊，有点小难度， 就是你对对数的运算要了解啊，这都不难了啊，发生联考的题，这个题出来还是不错啊，还是不错好，下面这个题，第八题 都是计算题啊。对计算题来讲，我们说这个难度都都不大啊，没有说哪个大到我们算不出来的啊，只是说有时候，哎，你用的这个方向错了，你算的会麻烦一点啊。好，他说现在 有个这个式子，满足前面这一堆，二二 a 三 b 啊，等于这堆啊。他问你后面这个式子是啥？首先我们要把这个东西变变啊，咋变？就是你要把想法，要把后面这些东西啊， 就后面这一堆啊，跟前面这一堆建立起来联系，对吧？好，那咋联系嘞啊？怎么联系啊？来 log 六的十二 a 再加十二 b， 它等于几？ 好，我们看一下啊，看一下前面的题目，前面他给我了。这些东西能干成啥啊？这能干成啥？ 嗯，这个二是几啊？二，前面这个二我可以写成几，前面的二我能不能写成把这俩啊，你看二，我写一下叫 log 二的四，行吗？ 再加上 log 二的 a 等于这个一，你看我写成啥？是不是 log 三 的三呀，再加上，你看合并啊，三的 b 就 等于后面这一堆，对吧？叫 log 六的十二 a 再加上十二 b， 那我这不是能合并吗？这俩是不是能合并？李嘉诚，对不对？所以 log 二的四 a 啊，就等于 log 三的三 b 就 等于 log 这，我把 log 这，然后我给他，我给他拆一下啊，我给他拆一下啊，拆开一下他变成啥啊？ log 六啊，等于这啊，叫 log 这个， 这个，我们给它给它拆成这个。啥形式啊？你看，给它拆成 log 六的 c 除以 啊， log 六的 c 除以 log 六的二啊，它俩一除就是减啊，又等于 log 谁六的三 b 除以 log 六三好，它又等于这等于谁？就等于分母相加，分子相加， 这是比例的性质啊，它比例的性质。 log 六的 c 再加上 log 六的三 b， 下面是 log 六二再加上 log 六三， 比例的性质啊，这是这是。这个比例性质叫啥？ a 除以 b 等于 c 除以 d 啊，它们又等于几？又等于 a 加系数加分子分母加分母比例性质啊，这是用了一个证好，它又等于几？ 它又等于 log 六的十二 a b， 对不对？哎，所以我们就得到啥啊，就十二 a 啊， 十二 a 加上十二 b 就 等于十二 ab 啊，都除以它就是 a 加 b 就 等于 ab， 哎，所以，哎，他说这俩相除等于几，那不这俩相等了呀。 log a 加 b 除以 log a 乘 b， 这俩相等了，所以俩相除就等于一呗。所以这答案是一啊。 啊，其实我们通过这个关系就是要找到 ab 跟 e 加 b 的 关系啊。前面给我这个式子，这个变着还是稍微有点难度啊，大家可以回去变一下，可以回去变一下。好，第九题， 第九题啊，你看它一堆连等啊，这个连等都等于根号二，所以它能得到啥啊？连等等于根号二， 哎，我们怎么能让他出来连等啊啊，他让你看，他让你求这一堆啊，你看这堆我能不能通过换底换底啊？我换底，我把这个东西换底啊，叫这一堆 叫 log a 一 a 二。对对对， a 十，叫真数是 b 一 b 二 b 一， 标点点点 b 十，所以我给它换成底。换啥底？换以十为底。 log b 一 b 二点点点 b 十， 换成 log a 一 a 二点点点 a 十啊，然后 我把这个 b 一 b 二啊， b 一 b 二都给它换一下啊，你看底下不变。 log a 一 a 二，调调调调 a 十，底下不变。 上面他不是给我了，这个你看他给我了这个关系对不对？是不是每一个都等于他？那我们能得到一个啥东西啊？得到一个啥东西，是不是换底？角只对转换吗？底不变 对吧？角 a 一 的二分之根号二就等于 b 同底 b 二就等于 a 二的二分之根号二，对不对？所以下面我们把那个 b 一 都换掉啊，都换掉 log 的 a 一， 然后二分之根号二，再乘以 a 二二分之根号二再乘以点点点点点 a 十，叫二分之根号二 啊，乘完了以后，你看这都是一个真真数对吧？好，乘完了以后它等于几？它不就等于 log 的 里面的所有数啊。 a 一 乘以 a 二，对对对， a 的 十的二分之根号 除以 log a 一 a 二点点点 a 十。好，它又等于几？上面是不是二分之根号二啊？把它提到前面，所以答案就是二分之根号二。所以这个题其实并不太难啊，算的并不太难。 好，二分钟哈，第九题结束啊，就是遇到下面相乘，我们用通过换底啊，然后建立条件跟后面的等式关系。好，下一题第十题。 嗯，第十题两个，他说啥？给你这个给你这个用，用 a 来表示 log 三四跟 log 三六啊。所以通过题目你看啊， a 等于几？ a 等于几？首先要把 a 表示出来嘛， a 就 等于 log 以三为底，二的对数对不对 啊？因为他题目给我这个，这个嘛，我就我就知道了啊，所以来看他题目来叫 log 三四减去 log 三的减四除以六啊， 就等于几？ log 三的二除以三就等于 log 三减去 log 三三。 log 三三是一， log 三二是几就是 a， a 减一。所以第一个人家说，哎，怎么表示？那好，我表示出来了，就 a 减一就行了啊。第二个他说 abab 啊， a 我 有了，再算一下， b 说 b 等于几， 题目啊，题目给我了 b， b 等于 log 三四分之一，对不对？这上面，所以等于几？是 log 四三 对倒数，所以，哎，他说九的 a 再加上九的负 a， 再加上四的 b， 再加上四的负 b 啊，那好，九的 a 把 a 带进去九的 a， log 三二再加上九的负 a 负 log 三二，再加上四的 log 四三， 再加上四的负的 log 四三。好，我们来处理这个啊，看这个对应，写到它对应下面这个九， 我能写成啥？是不能写成 log 三二，找三的 log 三二的平方， 把九换成三的平方吗？三的平方，它的俩指数可以交换，对不对？再加上啊，叫三的 log 三的二的负一次方，对，再加上，这是三， 再加上呢？是减三分之一，所以等于减二的平方，再加上二的负二次方，再加上减三，再加上三分之一，哎，一合并就完了，等于十二分之九十一。 哎，这个题，这个，这个，主要是通过直推匀算啊，放到一块了啊，放到一块，所以说，哎，这个题也解决了。来，我们看第十一题， 上海复旦的附属中学，其中啊，像这个题，他说这个东西是他的两个根，求这个，求这个值，我们说有两个根的话，只要有时候题目他说，哎，是，是两个实数根啊，我们都用啥来处理啊？伟大定力，对吧？ 伟大定力啊，那啥，两根之合对不对？叫 log a c 再加上 log bc 就 等于三，两根自核，对不对？两根自基 log ac 乘以 log bc 就等于几一，好，我们把这两个题得一下啊， log a c 乘 log bc 等于一。你看这个啊，这个式子下面这个式子我可以写成啥？是不都写成倒过来叫 log c 乘以 log cb 换同底吗？导数对吧啊，哎，它等于几啊？它就它就得等于一嘛， 对不对？所以这分母就等于一，所以 log cb 乘以 c c c 乘以 log cb 就 等于一。好，同样道理，上面那个式子我们得啥？我们也同样画底啊，把上面那个式子也同样换底，换成这底变成啥？ log c， log c a 分 子一，再加上 log cb 分 子一，它就等于三。嗯， 好了，那我们把这个通分一下啊，把这个写到下面，把这一啊，把这个东西，把这个式子写到下面啊，变成几，通分一下，通分一下，叫 log c 的， 它俩相相乘， log c， 然后乘以 log c b， 再加上一个 log c， b 乘以几？ log c 加乘以 log c b。 哎，那它等于三啊，那这个是谁？这个不就是 log c a， 再加上 log c b 就等于三。所以我们说 log a b 的 c， 人家要求 log a b c， 我 能不能给它写成 log c 的 ab 分 之一导数，对吧？然后 log c b， 这下面不是写成加法？ log c 的 a 再加上 log c 的 b 分 之一，这是几？是不是等于三分之一啊？所以这个题等于三分之一。 这题就是有底，有真数的话，把底跟真数它们的导数关系互相在这画啊。所以教你求它的值三分之一就 ok 了。好，第二题， a 平方加 y 平方。 哎，问你这个数它等于几？叫你用它，用这个谁啊？求它的值。好，我们先看的题目，它给我 m， 你 看它等于几啊？看这个，这个十四，看我能表示啥？ 换底吗？对不对？叫 a 的 m 置位转换，等于一加 x， 对不对啊？这个是不是，是不是 a 的 n 啊？等于一减 x， 对 不对啊？所以 a 的 负 n 就 等于一减 x， 对 不对？他说现在把这两相乘角， a 的 m 乘以 a 的 n 等于几，就等于一加 x 乘一减 x 就 等于几，一减 x 方就等于外方。对，题目给我这个条件吗？啊，所以我就得到一个啥了，说外方， 外方就等于几？ a 的 m 减 n 啊，等于 a 的 m 减 n， 这是个负根， 嗯，好， a 的 m 减，所以 log a 的 y， 嗯，往前还没完了啊， 来把这个再写一下啊。这个题，这个题，我们说这个题，这个题，我先把 a 的 m 写出来。 a 的 m 就 等于一加 x， 叫 a 的 n 就 等于一减 x 分 之一，那 a 的 负 n 就 等于一减 x， 我 把它俩相乘角， a 的 m 乘以 a 的 负 n 就 等于一加 x， 乘以一减 x 就 等于一减 x。 平方就等于啥？外方， 所以外方就等于 a 的 m 减 n。 哎，把它算完了，人家说 log a 的 y 就 等于谁等于二分之一的 log a 的 外方， 嗯，又等于二分之一的 log a 的 把外方带进去。 a 的 m n 就 等于二分之一的 m 减 n 啊，所以这个题要代换，用它来表示它，就是因为把它们倒过来以后，其实你要求外啊， 这个，你看这底下有了一个横等变化，来个二分之一相当。为啥，为啥？为啥呀？因为我这底下有 y 的 平方，你看 这底下有 y 的 平方，我是不是要凑 y 的 平方？既然要凑 y 的 平方，它实际上把 y 变成 y 的 平方了，那下面实际上相当于把这个二呀变成 二分之一放前面了，所以这是个等价变换，这是个等价变换，这底下有点小技巧啊，所以说，哎，这个题就算出来了，哎，所以我们说这一道，这一组题啊，这个出来还是不错的啊。这组题有些题算的不错的，大家再把这一组题做做啊。 这个资料我们通过得到了这个天星教育的整个授权，天星教育他实际上他这个整个题编排还是比较有特色的，对不对？啥特色？第一个过基础就是考你什么呢？ 考你对基础的把握，基础知识、基础公式，对过能力稍微加强了一点。后面我们还有啊，过中和、过易错过一呢。 a， 这些题都不错啊，这前面不是讲过一节，可以看看前面的， 后面过专项啊，素养就有点提高。跟高考对接这几个块啊，几块，以后起码我们第一层学习啊啊，第一层学习得把左边的全部搞定，左边全部搞定，第二层学习把右边的搞定就行了。所以基本上你能把这个中间列了题型都做出来以后， 那个数学达到一百一百二十分数啊，都懂啊，这问题是不很大，所以你要通过这个题型再去识别其他的各种题型，如果太离谱了题，如果逼着再简单的题，其实也都不要去摸它啊。所以 啊，今天我们这讲就讲到这里，大家把这个题好好消化消化啊。所以这个题，这个这个这个出来还是不错的。好，今天再见。 你讲一次都讲四十分钟，真多。我也不知道，真多，你知道吗？你看着时间啊，不能讲太长时间。不是他这个看呀，不是我，我，我得把这个 讲两讲两道题都行，你把握住，一次讲不得结，结会结呀，我们把它分开两次，它会结，它能结呀。

今天我们继续讲天星教育的一遍过高中数学必修一人教 a 版。今天我们讲第四章指数函数与对数函数第四节对数函数的课时一过能力 啊，这个过能力的这一组题选的不错啊，大家要把这个题中间的模型给记下来。课时一过能力 好，他说已知 a， b 都是 r， 他 问你啥？这个是这个的什么条件？充分条件还是必要条件？那好，那我们来看一下 满足这个情况，我们能得出来啥？满足这个情况，我们知道 log 二的以二为底的对数，它是个增函数，所以说，那我就知道什么，知道 a 大 于 b， 但是我们说 a 大 于 b， 它都在怎么样？大于零 对不对？所以你看，如果 a 大 于 b 大 于零，这个是个增函数，这个是个减函数， 是不是？说明啥？那不是二分之一的 a 就 小于二分之一的 b， 对 不对？这是对的吧？啊，所以这是对的，所以，哎，我们说前面能推出来，后面，所以最少是前面是后面的啥？充分调养对不对？ 不用选了吗？不用选了，他就是他的充分条件，他，他不是不必要，所以这个 b 是 错的，这是冲对，看冲量对不对啊？看这个 c 选项对不对？哎，但是我们说如果二分之一的 a 小 于二分之一的 b， 那 我们这个 b 啊，这后面这个 b 啊，人家可不可以小于零啊？ 是不是？所以它是推不出来，它是推不出来这个前面这个结论的 啊，如果 ab 就 小于零，它是没有意义的，对不对？哎，所以说它不是重要条件，那这个也不对，对不对？所以只有选 a， 所以 这个比较简单啊。 第二题，他说这个函数是这样的，它的图像如图，说是这个函数啊，一看这个图，我们说这叫密函数吧。密函数它有三种图像。第一种图像叫啥啊？ 那个 a 要大于一，是这样的，叫冲天炮。 a 要是 大于零，小于一叫慢上坡。 a 要是小于零，它是下滑题，所以这种情况，那我们说这个 a 是 大于一的，对不对啊？通过这我们得到这个密函数的图像，可知道，可以知道这个函数是这种情况。 对，第二种说是 a 是 大于零小于一的，既然 a 是 大于零小于一，你看这个图像，这个图像它一定是个啥？啥图像？ 它其实是个减函数了啊，它其实是减的。那好，我们把这俩，它俩不是和吗？和，我们能写成啥？所以和能写成这样。 y 等于 log a 的， 它俩乘起来。 嗯，乘起来以后，你看它是个啥样子了啊？就等于 log a 的 啥？这个，哎，不用写了， 所以乘起来以后，我们能看出来这个函数，这个函数是关于 x 等于一对称的， 都对称，所以 c 选项错， d 选项错啊。那你要，你要说你不知道为啥它对称，那你就演演，算一下，就算一下啊，算一下造出来一个抽象式，你看看人家对称不对称，比如说对称啊，对称就是啥？ g x 就 等于 g 的 二减 x， 你 验证一下，这个是这次成立的，所以它关于它对称，对称，所以说我们说这个不对。好，那然后就简单了，为什么简单？ 你看 a 是 大于零，小于一了，我们随便试一个数嘛，对不对？一不能选，对吧？一，反正就是零，我们随便试一个数，比如试一个二分之一，行吧？ 好，你看，试一个 y 等于二分之一， x 等于二分之一， d 是 大于零小于一，我 d 也等于二分之一。我试数啊，用个绿笔。我试一个数， y 等于 log 二分之一的上面是二分之一，上面是二减二分之一就是二分之四，二分之三， 对不对？你看它等于几？它是不等于 log 二分之一的四分之三呀， 你看底针同。所以人家这个数是大于零的，所以说只能选 a， 对 不对？你说这是小于零， b 选项是小于零，所以只能选 a， 所以 这个题 a 对， 用个特殊值一代就行了。选 a。 好， 下一题。 嗯，它上面做了有点麻烦啊，我这种做法相对简单一点啊，说这个函数在上面单调递增，则实数它的范围。我们说这个符合函数啊，是不是要看这个函数啊？叫 t 等于二， x 减 a， 这是一次函数，是递增的， 那你 f x 就是 这个 y 啊。 y 等于 log a 的 t， 如果要是递增，那这个是不是在递增啊？因为要同增异减吗？如果两个增都是增才是增。所以说，哎，我们说这个必须是递增， 必须得递增，必须递增，那你 a 就 得大于一，对不对？你 a 大 于一，你就要满足这个定，这个在一二上就是二， x 减 a， 在 一二上， x 减 a， 是 这样的函数， x 减 a， 对 不对？是一个在增函数啊，随便画，随便画一个叫 x 减 a， 在 一到二上， 对不对？那好，是不是在满足它在一，它在一这个位置，它就要大于零？定域嘛，对不对？所以说当 x 等于一的时候，人家是几，人家就是谁，人家就是二减 a， 它是不是必须大于零啊？所以 a 小 幺中上 a 大 于一，小于一，所以选一，所以选 c。 好， 这叫符合函数单调性，同增异减。好，再下一个。 看这个题啊，这个题。这是 x 平方啊，我们说一看这个函数，就知道这是个偶函数。啥？有偶则偶嘛？ x 平方是偶函数，所以说它符合起来就偶函数。这个 x 绝对值是偶函数，所以说也是偶函数。 好，那这个函数就是偶函数，偶函数。看一边就行了啊。你看 x 大 于零的时候， x 大 于零时，那你这个 f x 等于几？是不是等于 log 二分之一的 x 方，然后再减去 x， 对 不对？你看这是个减函数，对吧？ 负 x 是 个减函数，所以二分之一 x 大 于零，它是个正的，一二三四五，对不对？是个正的，所以说这是个减函数，所以说，哎，这是个减的，所以总体上这个函数就是这个样子 啊，你可以近视理解成这个样子。这函数整个下来以后减的减，减，那这边就是增的，对不对？ 好，那现在他要比，让我比这个大小，那我怎么，我是不是把这个大小直接给它标上就行了啊？零点七的零点四，零点七的零点四，它怎么样了？它大概是这样的， 如果是零点七的函数，这是指数函数，对吧？超过零点四，所以是大于零，这个零点七的零是零，大于零，小于一的 小于一。好，这个 log 四的十，它等于几？它就等于 log 二的二的十就等于二分之一的 log 二十就等于 log 二的根号十。好，那二分之一的 log 二分之一的三就等于几？就等于二的负一就是负的，谁 log 二的三， 对吧？啊？所以它等于几啊？二分之一它是等于负的，但是我们说这个，这俩正好是关于 y 轴对称，对吧？所以说人家叫 f 的 log 二分之一的三，它是负的吗？是不是就等于正的？就等于 f 的 log 叫二的三，为什么要移到这边来？因为我们都要移到这个单调性相同的一侧来，比大小。 好，那 log 二的三来，我们看看 log 二的三怎么样？它是不是小于 log 二的根号十呀？为什么？因为根号十要大于三， 对不对？一平方三三得九，这是十就大于它，所以这里面它是个啥？是减函数对不对？减函数，你看，呃，这两个数，你看这个是不大于一啊？这个二得三是比较大一，所以说这个属于 是小于一，所以因为是减函数吗？那 a 就 应该最大 最大最大，所以 b c 选项， b d 选项去掉，那谁是最小的啊？谁是中间啊？那 c 是 不是应该中间，对不对？你看这是错的，对吧？ 选 a 就 行了，你看我们这比较三个数的时候，你选一个最小的，选个中间来，其实你脑子不用再做更精确的运算就行了。他，他应该在中间就 ok 了。比大小实际上相当于啊，相当于这样的在这边吗？都给他放到这边， 是不是相当于？这相当于，这是相当于 a， 对 不对？这相当于 c， 这相当于 b， 就 这样大小就行了。 好，你看它这边。算了，说了这么麻烦啊，真正我们去做题，这个思路比这个更加简短啊，其实是更加更加快。 嗯，好，下面他说这个函数啊，他说这个函数下来说话正确的是，你看这个函数啥样子？二 x log x 二，那实际上我们都可以给它写成啥？ log 二 x log 给它写成 log 二， x 跟 log 二 x 分 之一， log 二的 x 再加上 log 二的 x 分 之一，看，这就等于这样，这样一个函数，嗯，就等于这样 f x 好 了， 他说定域是零到正无穷，对不对？首先我们说这个 x 的 范围是不是 x 要大于零，对不对？ 对不对？但是这个底啊，底是 x 大 于零，且 x 不 等于一了，然后最后这俩一叠加，大于零是不对啊？一是不对的。第二个他说大于等于二对不对？ 那大于等于二是不是算他的范围来？好，我们已经把它变化完了，我们写到这啊，大于等于二啊，看对不对？所以 f x 等于这啊，我们已经写过了。 f x 等于几？等于？我把它连成一个 t 吧， t 等于 log 二的 x 啊， t 等于 log 二的 x， 那 我们就来把这个函数给它写一下，嗯，它说 x 有 范围没有，它说个 x 有 范围没有。 x 大 于零，对不对？小于一吧。好，它没有范围，没有范围就讨论一下啊？ 啊，没有讨论就讨论一下。 x 大 于零，小于一的时候， x 大 于零，小于一的时候，这个函数这个 log x 是小于零了，也就说 t 是 小于零的， t 小 于零了，你看啊，叫 t 加上七分之一，那 那负的就是大于零的负， t 减去七分之一就大于零了，所以说啊，这里面是大于等于，所以这就小于等于二倍的 根号，负七乘以负七分之一，所以就等于二，对不对？哎，所以它是小于等于负二，它小于等于负二，那绝对值是不是大于等于二？所以说，哎，这种情况是对的。第二种情况 是， a 大 于一的时候， x 大 于一的时候，那你 t 就 大于零，所以，那显然那 y 啊， y 就 等于 t， 加上 t 分 之一就大于等于二， 对不对？这是成立的啊。当且仅当 t 等于 t， 当上面也是啊，当 t 等于 t 分 之一及 t 等于一，对不对？等于大于零嘛？ t 等于一是啥？ x 等于二去等号，所以这是成立了。所以对 b 选项，这是正确的。 b 选项是正确的啊， d c 选项，他们在这个一二跟二一上单调递减啊，他说他在单调递减啊，看这个对不对啊？在上面单调递减，同样道理，我们也要啥？当 x 在 一二上的时候， x 属于一，逗号二， t 是 属于啥？ t 就是 大于零小于一，对不对？好，那你看这个函数是啥样子的啊？ t 加 t 分 之一嘛，是不是这样的函数？这是一大于零小于一的时候，这函数是递减的，对不对？这函数是递减啊，左侧， 这是递减的，左侧是递减的，而我们那个函数，那个什么函数啊？那个符合的 log 二 x 图像在这上面，在二到一，是不是递增的呀？ 哎，所以在符合一个递增的，所以说他在这上面递减，对不对？说是对的， 你看都是左侧啊，所以第一个在这个范围内是对的。第二个在二分之一到一上是啥啊？第二个在二分之一到一上，那 t 是 啥范围啊？哎， x 属于 二分之一到一，那 t 又咋了？ t 就 大于负一小于零，好画它的图形。 对勾函数啊，大概是这样，这这个位置是负一，是不是他在负一到零上啥是递减的，对不对？ 它在递减的啊？那我们说 t 在 这个范围的时候啊，这 log 二 t 是 啥？ log 二 t f x 在 二分之一是 a， 是 单调递减的，对不对？说，你看这不是单调递减的吗？呃，那个函数来，那个 log 二的 x 就是 二的 x， 二的 x 是 不是递增的， 对吧？二的 x 永远是递增的嘛，复合一下说是不是同增一减又是一，对不对？ 所以说，哎，整个也是递减了，所以这个 c 选项是对的。其实我们化增减性就画出两个函数，一复合就行了，两个都是同方向的，都是减，都是减，那就是增，两个都是一增，一减就是减好 d d 选项啊，说它的解集是它，那对不对 啊？他的解集是他，那就等价于谁啊？等价于啊，这个我写到哪？写到这用个这笔写啊，就是 t 加 t 分 之一 大于等于二分之五啊，所以，哎， t 大 于零的时候，我们得到 t 大 于等于零， t 大 于等于二，或者 啊，零小于 t 小 于等于二分之一，那就是啥？ x 大 于等于四或者一小于 x 小 于等于根号二 对，好，如果 t 小 于零呢？好，我再写到这啊， t 小 于零 啊，那 t 加 t 分 之一小于零，我就得到啥啊？无解，对吧？ 它小于零嘛，你小于零，你让大于二分之五，咋有解？所以 t 加 t 分 之一大于二分之五是啥？空解，所以这个不等式的解集是谁？就这个 对不对？这是正确的啊，所以这个题我们选选啊。嗯，对不正确？他这边少了一个啊，少了一个，少了一个 啊，是不正确？你看他光一个四，其实人家说两个啊，所以是不正确的，所以这个题我们就选谁啊？选 b、 c 就行了啊。所以这个题其实这个有符合函数啊，这个各个选项，哎，其实要把它搞清，要把它搞清，这个题他这个整个在考场去应对，需要花费的时间还是不少的，如果你不熟练的话，这个题花费时间还是不少的 啊。哎，这个单调性的话，我们用我这个方法， c 这种方法去写比较好，就分清它符合的是啥，圆函数是啥，两个一叠加，如果同方向就是增的，如果是一方向就是减的就行了啊，这样子比较简单一点啊，就简单。嗯，好了， 下一个第六题， 嗯，结合图，能结合图的话，我们一定要竖形结合，你看写了多一大堆啊，你就是看也花很很长时间，但是你要结合图形其实比较简单啊。所以这个题他说它与，它说这个函数与这个函数图像交于 b、 c， 对 吧？ amn 是 图像上的一点， a 是 这一点，然后啥？若 abc 是 a， c 有 斜边的等腰，直角三角形，那这俩肯定相等，对不对？ 这两边肯定相等。他问你 m 是 几好，我们通过这个题你可以知道啥了，你看这函数是不是往哪往哪移了呀？是不是往上面移了，对不对？上面移呢？ b c 就是 二， 那又是等到这样算行呢？这就是二，这就是二的话，那你 a 点坐标是 m， n， 那 你 b 点坐标是几？就是 m 加 多少 n， 那 好了，那你既然你这两点分别在图像上，你是不是可以得到两个方程啊？ n m， n 带到第一个图像上， log 二的 m 再加上一个二，对吧？ n 就 等于 log 二的 m 加 把这俩一代，最后你就可以得到 m 等于二的 n 减二， m 再加二就等于二的 n， 所以 我可以得到 m 就 等于三分之二，就 ok 了啊。所以这个题不难啊，这个题才不难，还没有那个题麻烦的三分之二。 好，下一个题，下个题啊，下个题。你看它有意思啊，说这个，你看这个，左边这个结构是一样的，右边这俩答，你能看出来叫同底只对， 同底只对。考对称啊，它们关于 y 的 x 对 称，所以这俩函数关于就这俩函数。 关于 y 等于 x 对 称啊，同底只对啊，这是一个什么函数？ 这个你要把它写成一个函数，其实就是 y 等于啥？ x 除以 x 减一，就这样函数它其实啥是个反比例函数啊，你要是给它变一下形，其实是啥？哎，就这样的啊，叫啥？相当于 x 减一， 然后再加一， x 减一，它就等于一加上减 x 减一分之一啊，相当于 y 等于 x 分 之一。这个函数往哪？往右移了？移，往上移也移右 上一，相当于这样。所以这个函数图像我就能画出来了啊，那这个意思表示啥意思啊？第一个式子表示啥意思？就表示这个图像与二的 a 的 交点，那个与它的与 b 的 交点。所以这个题我们就可以什么了 啊，就可以把图像画出来了啊，你看图像画出来是啥样子的？ 这是那个指数函数，这是那个对数函数啊，这是那个反比例函数。移完了以后对，这是那个对称轴。我画一个啊，就它俩对称吗？关于这个轴轴对称 啊，然后我们看这个函数啊，这个函数叫 y 等于 x 减 x 分 之一， 他俩对称，那我们一看这个函数，我们发现什么？如果我求他的反函数，我咋求？是不是 x 等于 y 除以 y 减一，他俩是一样的，所以他原函数跟反数一样，说明这个函数啥也关于 y 等于 x 对 称。为什么我要想这样呢？因为我们知道，一见到这，我知道是这个考点，我就要判断这个是不是也对称。这个如果也对称，那好，那他们的焦点呀，就关于 y 等于 x 对 称了， 焦点关于 a 的 对称，那这就好办了。所以这点呀，这点是几？这点是 b， 对 不对？这点就是 b， 那 这点呢？是不是就是 a 啊？啊，所以它对应了这个值啊， 这是几？是不是二打 a， 那 它对应了值呢？ 是不是 log 二的 b 啊？ 对不对？所以显然你就可以得出来一个式子啊，你看这个 a 啊，这个 a 是 不是等于 log 二的 b？ a 这个长度呀？你看也到 a 的 长度，就这段长度， 是不是等于这段长度啊？那 b 这个长度，这个绿嘞， 是不是就等于二的 a 呀？ 就这，你看这两个长度是不是就相等了啊？所以我们得到一个这式子啊，得到一个啥叫 a 等于 log 二的 b？ 逗号， b 等于二的 a， 那 跟这个有啥关系啊？你看这个焦点是吧？跟他的焦点是不是 a 除以一啊？ a 除以 a 分 之一吗？啊，对，这个焦点是不是跟二点相等啊？ 对啊，他就是一个点吗？所以等于二得 a， 他的二得 a， 二得 a 又等于 b。 好， 那你这俩一乘不都出来答案了，所以 a 减一乘以 b 就等于 a， 对 不对？就是通过他跟他之间，通过这个中介做一下转换，所以说 ab 就 等于 a 加上 b， 所以 啊，都除以 ab， 所以 a 分 之一 加上 b 分 之一就等于 a。 所以 这个题这个模型非常好啊，这个模型，大家要记住这个模型啊，这个模型非常好 啊，所以把这个模型记住，所以它等于一，这个模型就是焦点与它们，并且这个能看出来这个东西是关于 y 等于 x 对 称，就这个啊，这个模型非常好，把这个记住， 好，下一个啊，分析的很快啊，算了，就就就就不难了啊。 所以说啊，下面他说零到正无穷上是减函数，他说满足于这个式子，对，任意的零到正无穷，他问你解析式可以是啥？那好，我们变变这个式子啊，我们怎么变呢？我把 f x 减去一，当成一个整体，再加上 f x y 当成一个整体，是不是它就等于 f x y 减一啊？ 如果我把这个 g x 另成一个 f x 减一，那你上面这个式子是不是变成了 g 的 x， 再加上 g 的 y 等于 g 的 x y， 你 看这个式子是啥样子的？你没有有没有感觉就是我们那个对数公式吗？李嘉诚加变成，所以我的 g x 就 等于几。 随便写个底啊，写个底都行啊，你不用写 long 也行，你写个 long 比较简单嘛。所以 long x， 那 f x 呢？ f x 不 就是等于看把它加一吗？对不对？就等于减 负的 log x 再加一就行了啊，当然你要把这个写成，别写 log x， 写成 log 三的 x 行不行？也行啊，也行，这都行。所以说，哎，我们说 f x 等于几？ f x 就等于一减 log x 啊， f x 就 等于一减 log x 也行， f x 等于一减去 log 三的 x 都行啊，都行啊。 好，这就是说从抽象构造，其实我们是通过抽象，你看你记什么，你记这个口诀，其实是不是这个，这个这个模式啊，其实是不是 比记什么还有用啊？比记公式还有用。所以说，哎，记住这种构造出来了，他叫啥？如果将来遇到这种模式，这种模式，我就知道他能构造出来一个啥对数函数啊，对数函数， 它能构造出一个对数函数啊，那当然，这个函数就是对住函数来一种稍稍变形了啊，它其实是啥？平移了一下啊，上下平移了一下，所以记住这个模型啊，非常重要，非常重要啊。 好，我们做题就做模型，你在做题的过程中已经积累出来模型，下一次做题都非常简单。好，第九题 说这个函数，它它，你看见没？这里面是一个这样，所以我一令 t 等于正，他说 a 大 于零啊， t 等于 log 二的 x， 所以 这个函数就变成啥了啊？他告诉我 x 的 范围了，对吧？啊？ x 范围是四到八，那你把它往上面一放，它的范围就是二到三啊， 必须键啊，所以你那个函数就变成啥？ f t h t t 吧， a t 方，然后啥？然后减去二 a t 再加上 b 减一， a 是 大于零的啊，他说这个函数咋了？图像对称轴是几啊？是不是一样？ t 轴等于一，就这开口向上，开口向上， t 等于一，那 t 的 范围是二到三啊，所以很显然，那在二者取最小值，在三者取最大值吗？所以说叫 m， 不是 m， g 就 等于负一，对不对 g， 三就等于二，往里面一带 四， a 减去四 a 再加上 b 减一，就等于负一，然后九 a 减去六 a 再加上 b 减一，就等于二，所以你就得出来一等一 b 等于零， 对不对？哎， ab 的 值就出来了嘛。所以 a 的 值答啊，最后一定要答，按照它题目， a 的 值为一， b 的 值 为零啊，必须要答啊，为零，后面是个句号， 句号，数学的句号就是个点。好，下一题。嗯，他说任意的。第二问啊， 对，任意的这个东西横成力，这叫任意存在横成力啊。哎，这个也是特别喜欢做这种题。这种题就是啥容易拉开分，并且非常简单的拉开分啊，非常简单啊，这个题求实数一的范围。好，根据第一题的意思，那我们就知道什么了。叫 我们列过 t 了吗？啊？ t 等于 log 二的 x， x 属于这个范围，那 t 九属于谁？零到二 对不对？那你函数叫啥？就是 t 方减去二， t 再减一小于等于开成 t， 对， t 是 在这个范围来，那我们先说 t 等于零的时候行不行啊？第一种情况， t 要是等于零，那是不是负一小于等于零啊？成立不成立 横乘以，对不对？所以说那 k 等于任何时数就行。第二种情况， t 要是不等于零的时候，我们是出个 t， 对 不对啊？那就得出来， k 大 于等于 t 方减去二， t 再减一啊，除以 t， 你看这是不是特别爽？ t 减去七分之一减二，所以这个函数是啥函数？这个函数啊，前面这个函数它叫啥？双刀函数，就这样， 对不对？这是一，这是负一啊。他说 t 是 啥？零到二之间吗？零到二之间啊，所以啥？所以说 t 是 零到二，那你这个范围啊，叫，比如说我写个 gt。 g t 等于几？等于 t 减去 t 一， 再减去二，就直接把两点带进去就行了啊。所以它的最大值嘛？它的最大值啊，算这个 g t 的 最大值，是不是开大一套，它小一套？ g t 的 最大值， g t 的 最大值等于几？是不是等于 g 二呀，对吧？啊？所以就等于几？ 二减二分之一，再减二就等于负二分之一啊。所以 k 大 于等于负二分之一，是不是做了非常少啊？这做一道大题，这种横乘以的问题做的非常的少啊， 这这这有拿大分，做了又简单啊，比前面做那个多选题好多了。所以这中间这个各种题型大家一定要掌握啊，这种长又常规 又怎么样，又不是太复杂啊，通过这些题，然后训练训练我们的各种对这个题型的把控力，中间出现了题型模式， 尤其是那个焦点问题啊，大家一定把那个模型记下来，一定记下来啊，一定要抄笔记，很多同学一看题做会了，不抄笔记，你不抄笔记，你现在做的题就不是为未来你各种题型做准备，你一定要有模型化思路啊，我们说模型化 解析模型化是最厉害的啊，说你在考场上别人都是一道道算，而你是定一个模块。模块，现在我们计算机的制造呀，什么东西制造啊，任何一个工厂的制造，甚至制造手机都不是模块吗？ 我把这个模块用什么功能，那个模块啊，负责什么功能，拿过来一拼凑就出来了，而不是一个一个零件再去主张那多么的慢呀。所以效率是因为你的模块多啊，任何东西，我们高中的学习最主要啊，他就是模型模块， 你脑子里面有一堆模块，你的处理效率一定比没有模块那些人要高了多了多。所以说做题为什么快啊？就是我判断这个函数的单调性啊，你看前面，我判断这个单调性 啊，你比如说我们算出这个函数的单调性，我脑子就知道这就是啥，这就是一个双刀，函数都递增了，他最大值是几？直接就算了，我不用再去判断了，对不对？再往前走， 你看在前面算哪个题？算这个题，其实我心里就知道，知道不知道，他一变成这，我就知道他就是个对数函数，随便构造一个就行了，这种抽象的构造是不都得有？你看这个题， 这个你变成一个模块，他们相加，他等于这这中间之间的关系是不是非常，将来用上非常棒？所以这种题就一定要建立这个模块，变成你把这每一个题中间的每一个知识点抽出来变成模块，所以你的题做了一道题，顶一，顶一顶十。 所以说我们做题怎么达到以一定十啊？那就是模块化啊，模块化可以让你以一定十。所以啊，这一这一节我们就讲到这里啊， 天心教育这个题是这个课间啊，是天心教育通过授权的啊，你看它过基础、过能力、过综合，这整个编排了比较好。嗯，好了，今天就讲到这。

好，我们来看一下第十六题啊，第十六题呢，这个题目也是上一节课刚好讲过的啊，这种呢，对数相乘的感觉啊，这地方呢，换个元，令 t 等于 log 以二为底 x， 呃，看一下，它没有其他的限制，则这个 t 呢，它就属于 r 啊， x 大 于零， t 属于 r， 然后这个方程呢， f x 它就变成了啊， t 减一。后面这个式子呢，写成 啊， log 以二为底， x 减去 log 以二为底，四也是二啊，所以就是 t 减二，所以得到就是 t 平方减三， t 加二。好，它说 f x 减二， b 等于零，有两个不同的实数解，也就是说， t 平方减三， t 加二减二， b 等于零， 在 r 上有两个不同的实数解， 那么这样一来呢，我们看一下啊，在 r 上，自然就直接用单调就行了，单调等于一个 b 方负三的平方九减去一个四， a 等于一，四一等于这个式子啊，这个式呢，呃，不同的解，那就是大于零，所以整理一下八 b， 嗯， 加上一个一大于零，所以呢， b 大 于负百分之一，从而呢，取值范围就是 负八分之一到正无穷。好，记下来。第二题啊，第二题呢，对于任意的 x 属于二到四，那么这地方还是一样的啊，令 t 等于 log 以二为底 x 啊，则 t 的 范围就是在一到二上啊，那这个式子变成一个 t 方减三， t 加二小于一个 m t 啊，两边同时除以 t， 注意到，这地方呢，要考虑它的正负啊，因为它是一到二，所以是正的，所以不用编号。 t 加 t 分 之二减三，小于 m， 横乘立，横乘立，那就是左侧的最大值啊，左侧最大值 啊，因为 t 加 t 分 之二减三，呃，在我们的啊，就是一到根号二上，它是个单调递减，呃，在 根号二到二上是单调递增啊，所以它最大值应该在一或者二，而我们得到呢，当 t 等于一的时候 啊， t 加 t 分 之二减三是等于零，那就是，然后呢，当我们的 t 等于二的时候 啊， t 加 t 分 之二减三也等于零，说明呢，两边都是零，那最大值就是零了，所以呢，就只需要啊，而且对方是个 b 区间， b 区间，所以这边取得到，所以呢，零小于 m， g 呢， m 应该就是零到正无穷啊。十四啊，十五十六这两题呢啊，没有设置任何的坑啊，这地方呢，甚至让你直接用了德尔塔啊，如果要是我的话，我可能会在这里加一点点限制啊，就变成不是在 r 上的实数根，那么你还得考虑根的分布的问题。