老师要求做圆的思维导图六年级

与缘有关的图案设计缘在中国古代劳动人民的心中有着至高无上的地位。对于我们所生存的这个世界，古人最早提出天圆如章盖地方，如棋局， 即天圆地方之说啊！古人是这样认为的呀！对呀，而且当时的人们认为天尊地卑， 往往会在重要的日子进行祭天活动，他们把玉工艺品作为人与天交往的媒戒，所以祭天的玉从是外方内圆的。 古人还将圆这个元素巧妙地运用于建筑中，天坛的奇年殿、福建的客家土楼等建筑都以其独特的魅力流芳百世。除此之外，古人还将圆运用于图案设计当中。 图案是中国最古老的艺术形式之一，这里蕴藏着中华民族无穷的智慧和创造力。我们的古人真是太了不起了， 人们之所以这么热衷于用圆来设计图案，是因为圆的形式美是任何图形都无可比拟的，它集对称、均衡于一身，在视觉上给人以完满无缺、包容无限的美感。 古希腊毕达格拉斯也曾明确指出，在一切立体图形中，最美的是球形，在一切平面图形中，最美的是圆形。圆的魅力好大呀！下面我们就来进一步体会圆的魅力。 这个图案叫做鹦鹉螺旋线，看看他是不是和鹦鹉螺的洁面线条非常相像。 真的好像耶！这条曲线可不简单，它充分体现了斐波纳契数列的变化之美，试试看你能不能画出这条蕴涵着数学之美的曲线。 接下来我们再来看这个图案，它叫做心脏线，要想把它画出来可不是一件简单的事，你想挑战一下吗？要想把这个全由圆组成的复杂图案画好，关键是要找到这些圆的共同点， 而共同点就在于他们的圆心都在这个圆上，所以只要不断调整圆心的位置和半径的长短，就可以顺利画出心脏线了。 同学们是不是也想利用圆这个要素设计一幅精美的作品呢？不过在你动手设计之前，我们先一起来欣赏一下其他同学所设计的作品。 哇，这些同学设计的作品真是太棒了！我对他们的敬仰又如滔滔江水连绵不绝，又如黄河泛滥一发停，实在是冷的受不了了，你还是把精力放在你的作品设计上去吧！ 答对了，同学们，作品设计完以后，别忘了给自己的作品起一个充满诗意的名字呦！拜拜！

呃，各位同学，各位家长，大家大家好啊，呃，欢迎回到小胖老师的数学课堂， 那么上一个视频呢，咱们说，呃这个关于圆的基础和圆的一些周长面积的公式，以及比较经典的应用题，咱们大概说了一下。 今天这节课呢，咱们重点讲这个圆的组合图形，说白了就是涉及到图形的问题啊，比较难的还不是应用题，比较难的就是什么啪，给你一个图形，在这让你求这个组合图形的周长或者面积，大概怎么求？好吧，今天我们来处理一下 来，今天的呃课程咱们就分成这两个部分啊，常见的圆的组合图形以及组合图形求正常面积，咱们怎么处理？来看一下。首先第一种常见的图形是圆环，这个呢，其实咱们 见过好多次看啊，所谓的圆环就是外边一个大圆，里边扣一个小圆，那你出来的中间这个蓝色的这一圈就叫做这个圆环，那么它的面积怎么求呢？很简单啊，很简单。 小胖老师呢，在这里建议同学们在求圆环面积的时候，把这个圆环的 两个半径写出来，内圆也就是里边这个小圆的半径是三厘米，外边这个大圆外圆的半径是六厘米。 咋求圆环的面积呢？那圆环的面积不就是大圆的面积减去小圆的面积吗？ 这里边注意一下啊， pi 我 们一般当成三点一四来求，嗯，来求解，但是三点一四乘以一个其他的数，这个数会变得特别大，你不好算对不对？所以一般来讲，我们就先把 pi 放在这， 把它当成公式提出来，我们括号里边剩 大二的平方减去小二的平方，这样的话，甚至我们口算都能做得出来。比如说大二是六六的平方是三十六，小二是三三的平方是九，三十六减九是二十七， 再乘一个派是不就可以了？如果我们背了派表的话，二十七派是可以求的啊，得八十四点七八。如果， 如果老说我没背咋办？那你没背，那你就得列竖式了噻，三点一四乘以二十七嘛，平方厘米就可以了。呃，图形题如果， 如果不嫌麻烦同学们啊，建议写一下答，因为有的老师要求是同学们这个图形问题要写答的好吧，答阴影部分的面积是八十四点七八平方厘米。这道题就结束了，注意看啊。 首先把两个半径摆出来，摆出来之后呢列圆环的面积公式等于大二的平方减小二的平方，再乘一个 pi， 把这个括号里边直接算出来多少多少 pi， 再乘以三点一四就可以了。那当然了，也不止 图形的问题，也有可能给你出个应用题，说中心有个圆形花池，直径是八米，扩建后直径增加到十米， 面积增加了多少？那你看，原本是中间这个空白部分的小圆，现在呢？你扩大了之后是不是就变成外边这个大圆了？连阴影部分在中间空白部分都是现在的圆形花池了， 那你增大的部分，或者说面积增加的部分，是不是就是阴影部分？好了，按，按照刚才小胖老师说的，两个半径先出来大的半径。注意啊，八米也好，十米也好，都是直径，所以大的半径是十除以二五米， 小的半径是八除以二 四米 好了。然后呢，圆环的面积就是 pi 乘以五的平方减四的平方， 千万注意啊，带平方的这个不是乘以二五的平方，五五二十五四的平方四四十六，二十五减十六九， pi， 这个总应该背得到了吧？二十八点二六 平方米，因为是应用题，必须写答答，花尺的面积增加了 二十八点二六平方米，这道题就结束了。老规矩啊，让我们求圆环，就先把两个半径，两个半径摆出来，摆出来之后再套圆环的面积公式。怎么求派乘以大 r 的 平方减小 r 的 平方，就等于圆环的面积。 好吧，关于圆环，我们就讲到这里啊，来，继续扇形， 扇形的半径是二十四厘米半径啊，圆心角为六十度，此扇形的面积啥意思？什么叫圆心角？这里边说一下啊， 所谓的圆心角，是指以圆心为顶点，注意看这个地方六十度，中间这个尖尖圆心为顶点，圆的两条半径作为这个角的两边， 这两条是半径，中间这个点是圆心所形成的，这个角就叫圆心角， 那圆心角。当然了，你这个角岔开的越大，这个圆心角就越大。那么你看啊，我大概画一下，这个整圆的面积大概是长这个样子的，对吧？画的有点像正方形了，整圆的面积大概是长这个样子的，它是不是一圈正好是三百六十度？ 一圈三百六十度的话，是一个整圆，那你只有六十度的话，对应的是不就是整圆的六分之一？就是三百六十分之六十， 对吧？那我求一个整圆的面积乘以六分之一，是不就是这个扇形的面积？啥意思呢？二十四的平方派，这是不是整圆的面积？再乘一个三百六十分之六十， 这样的话就是这个扇形的面积。好了，来，二十四的平方，还有乘一个六分之一，呃，是这个九十六、 九十六派，那么九十六派是多少呢？这个派表上应该是有的啊，但如果记不到的话，还是要列数字，三百零一点四四 厘米。答，这个扇形的面积是三百零一点四四厘米。 好，首先我们设计到扇形的面积啊，一定要注意，它是整圆面积的几分之几， 整圆面积的几分之几呢，决定于这个圆心角的大小。我们首先求整圆的面积，然后再乘以三百六十分之六十，那这个圆形角是六十，你就乘以三百六十分之六十。如果这个圆形角是九十度，那你就乘以三百六十分之九十，那就是四分之一元。 好吧，这道题就结束了，关于扇形，咱们怎么求？就结束了啊。那么如果，如果什么？如果我们在这个扇形上来一刀， 咔嚓，会切出来一个类似于一张公的图形，我们把这个称之为公形。这个公形的面积是多少呢？咱们怎么求呢？很简单，扇形的面积是四的平方派， 乘以三百六十分之九十度，也就是四分之一圆，这个地方圆形角四分之一圆，垂直的，再减去这个空白，我画红色阴影的这个长方形， 那这个三角形，它是不就是这个角形的面积？这个三角形底是不是正方形的边长四分米，高也是四分米，所以四乘四，别忘了三角形的面积还要除以二的底乘高要除以二啊。 好了，来咱们看一下啊，四的平方是十六十六乘以四分之一还是四，也就是四派 四，四十六除以二得八，那四派减八是多少呢？四派是十二点五六，减去八就是四点五六。 咳咳咳，这个五写的像个六，来啊， 单位是分米，那你这个面积的单位就是平方分米。这道题就结束了。 好，那关于公形呢？其实它就是一个扇形，你别管它多大的扇形啊，就是大概这样的扇形， 然后呢，中间来一刀，把这个三角形给它切掉，剩下的部分就是所谓的公形，因为它涉及到一个圆弧加一条直的线段。这样的图形呢？ 我们怎么求它的面积呢？用扇形的面积减去这个三角形的面积就可以了。继续啊，鱼尾形。什么叫鱼尾形？看这里啊， 阴影，这个紫色的阴影部分呢，看不太出来，但是你看我画红色的部分，再涂一个红色的部分，这个是不是有点像一个金鱼的尾巴色的图形？这种图形我们把它称之为鱼尾形， 和刚刚弓形的部分恰好相反。恰好怎么相反了？刚才弓形的部分是圆，减去三角形，那这个鱼尾形呢？是不是不就是？你看画阴影的这部分是不是就是正方形？ 这个正方形减去这个扇形 就是大概红色的这个阴影部分。那你这边呢，再乘一个二就行了，或者怎么样？或者我直接用长方形的面积减去两个扇形是不是就可以了？好，来我们看一下啊，这是半径八，那么这个地方 就是这个长方形的长，这个地方是不就是圆的直径十六，长是十六，宽是八，那你的面积就十六乘以八呗。 来，那你十六乘以八的话是长方形的面积，八的平方派是整圆的面积， 一个扇形这是九十度，那你是不是四分之一圆，两个是不是二分之一圆，也就是半圆？整圆面积算一半 除以二或者乘以二分之一，这个就是长方形的面积，这个就是两个扇形，一个半圆的面积一减是不就是这个，这个，这个。呃，两个鱼尾形的面积，或者说整个阴影部分的面积是多少呢？ 一百二十八减去八的平方是六十四，除以二是三十二倍， 一百二十八减去一百点五六等于二十七点， 哎，不对，三十二派不是一百点五六是吧？哦，三十二派是一百点四八，所以呢，一减得二十七点五二， 算算啊，一百点四八，哎，对的，平方厘米 阴影部分就求完了答，就可以了啊。 答，所谓的鱼尾形啊，就是一般来讲就是一个正方形减去一个扇形，那当然了，如果给你出多个鱼尾呢，就是你用更大的长方形减去半圆，或者说比如说给你出一个整个的大正方形的这种，你就用大正方形减去整圆的面积就可以了。 好吧，来，接下来呢，咱们组合图形啊第二个部分了，组合图形求周长和面积， 那么我们需要分别就去考虑周长怎么求，面积怎么求。首先看周长啊，这里是一百，这里也是一百，这两条直的线段给我们了，直接就一百乘以二呗。 问题来了，你这和这还有两条圆弧呢，能够凑成一个整圆的周长，这个圆弧和这个圆弧凑成一个整圆的周长，直径是六十，对不对？那你周长是不是就是六十派？ 组成这个组合图形的四条线的部分，两条直线段，两条圆弧，是不是就都算起来了？加起来就行了，二百 加上一百八十八点四， 得到三百八十八点四 厘米就是周长啊，就是周长面积呢， 面积。其实这里边一定要注意啊，这里边小胖老师建议同学们呢，在我们求面积之前，我们首先确定一点，确定一点什么？这个圆的半径你求了没有？ 直径是六十，半径就是三十，你先用六十先除以二啊，三十单位是厘米。 好，然后呢，再求整个组合图形的面积，中间这个长方形的部分，长是一百，宽是十啊，宽是六十，那么长方形的面积就是一百乘以六十， 外边还有两个半圆，正好拼成一个整圆的面积，整圆的半径是三十，那么面积就是三十的平方派， 加起来就是组合图形的面积。六千 容易出错的地方来了啊，三的平方得三乘以三的九，三十的平方可不得三十乘以三啊，三十的平方是三十乘以三十的九百 九百派，九派是二十八点二六，九百派是两千八百二十六，加起来得八千八百二十六平方厘米，没有小数点啊，整数的 答就可以了。答，这个组合图形的周长是三百八十八点四厘米，面积是八千八百二十六平方厘米就完事了。 好，看，下一个。这个组合图形的周长和面积咱们怎么求呢？还是一样的，周长和面积分开来，首先看周长， 一条一百，两条一百，第三条八十，所以它的周长是三条直线段的部分，就是一百加一百加八十 好了，还有条圆弧，这是半圆弧对不对？整圆的周长是八十派， 但注意，这是整圆的周长啊，你这只有半圆弧，对不对？所以是除以二的 这条线一加是不是组成整圆的？组成这个组合图形的四条线，你已经加到一起了，前面是二百八十，加上四十派 正圆，是啊，不对，呃，四十派是十二，一百二十五点六，再加二百八就是四百零五点六 厘米。 周长就求完了。面积呢？还是老规矩啊。就像刚才小胖老师建议同学们的，你先把半径确定一下，比如说老师这道题的半径有，那你就写一下这道题的半径没有 直径是八十，那么你的半径就是四十 四十厘米。写一下啊，写一下，这样的话比较方便。我们求面积啊，来整个长方形的面积， 算上阴影部分的这块半圆，是不是就相当于整个长方形的面积是一百乘以一百乘以八十？ 但是阴影部分这个半圆其实是没有的，是我们后来把它涂上去的，对不对？ 实际上没有这个半圆的，所以你在最终求它的面积的时候，是不得把它减掉，所以你要减去这个半圆的面积。四十是半径，四十的平方 pi 是 不是整圆， 再除一个二才是半圆？为啥小胖老师让同学们先求半径？就是这个道理。如果你这个地方写什么二分之八十括号套平方，再乘一个 pi， 哎，这个地方我除以二了，后边我就不用除了。那你不除可就错了。为什么？因为八。如果你写成这个， 这除以二是因为它本身八十是直径，所以除以二你得半径，你后边不再除以二的话，你这算的就是整圆的面积。可问题是在于，如果你不先把直径摆出来的话，你这个地方就容易和半圆的除以二和半径的除以二 就混淆了，所以特别容易出错啊这是。所以小胖老师建议同学们先把半径求一下，然后再求你求半圆就后面除以二，求整圆就不出就完了。八千 四十的平方是一千六百，不是一百六十啊。一千六百除以二是八百八百派 八百拍是两千五百一十二，用八千一减五千四百八十八平方厘米， 这道题就结束了。答，这个组合图形的周长啊，是四百零五点六厘米，面积是五千四百八十八平方厘米。这道题就结束了。好，来，继续啊。 这个视频里最后一道题，也是今天呢比较难的一道题了啊。组合图形的周长和面积。来，我们还是分开求啊，先求周长 看说阴影部分。这周长咋看呢？如果同学们不会的话，就把铅笔拿出来，把铅笔拿出来在图上描一下啊。这一条 是阴影部分的周长，对吧？它是整个这个大圆。看我比划的这个大圆周长的四分之一是四分之一的圆弧，对吧？ 这个大圆的圆心在这里，圆心在这里，它的半径是四，所以四乘以二派 是这个整个大圆的完整的周长。但因为这条圆弧只占完整周长的四分之一，所以你除以四 是不就是我画的这条红线的长度，这条圆弧，对吧？好，继续，这个部分加这条， 这个部分加这一条，这两条半圆弧是不是把剩下的硬部分一起围起来了， 对吧？哎，一起围起来了，那这两条半圆弧是不是整，正好组成一个整圆的周长？但是这个整圆看好 这个半圆弧在这，那么这个地方就不再是这个半圆弧的半径了，是这个半圆弧的直径，因为圆形在这里嘛，直径是四四分米，所以它的整圆周长就是四派， 整圆周长就是四派，这条半圆弧加上这条半圆弧加起来正好就是整圆的周长， 所以呢，加起来，哎，就是整圆。嗯，就是阴影部分的周长，前边是前边的这个是这一条， 后边的四派是这两条加起来的。好，来，四乘以二派，八派除以二。呃，除以四。二派，二派加四派得六派。六派是多少？十八点八，四， 单位是分米。 好，周长求完了，求面积，咱们把图擦一下啊，搞的挺乱的，好吧，来，好， 这回图干净了。好，我们看一下这个面积。咋求这个地方啊？我们拉一下， 然后呢，这个地方切一下，把这个这个部分下边这部分切成了两个公形，然后补到这边来， 这个地方中间这个地方是不是就变成空白了？你的整个图形是不是就变成一个 大的公形，对吧？公形的面积刚才是咱们求了，怎么说了，怎么求的？咱们，咱们来看一下啊。圆心在这里，你扇形在这，那么扇形的面积是四的平方派整圆面积除以四， 这垂直的吗？对不对？哎，所以是整圆面积的四分之一除以四，但这是整个扇形的面积，你是不是还得减去你这个地方的等腰直角三角形，面积是四乘以四 除以二，一减就可以了。 十六除以四，四派十六除以二八。哎，这个数咱们之前是不是见过？我记得好像之前咱们做过四派减八的嘛，得四点五六的嘛。 单位是平方分米面积的吗？答，就可以了。答，阴影部分的周长是十八点八四分米，面积是四点五六平方分米。 好吧，来，先不着急往前走啊。呃，这儿咱们今天学了两个部分常见的圆圆的组合图形，包括了圆环、 扇形、 弓形以及鱼尾绳这四种常见的 最最常见的圆的组合图形咱们怎么处理？那如果给我们的不是那么常见的，又让我们求周长怎么办呢？呃，就像后边老师说的，你就求周长，就用 就用什么？就用一条一条的线，哎，这条是直的，它是一百，我就加一百，这条是直的， 他是一百二十，我就加一百二十，对吧？好，那么如果是圆弧呢？圆弧你就按照圆的周长来求呗，对吧？整圆周长的四分之一，你就整圆周长除以四呗。整圆周长的六分之一，你就整圆周长除以六呗， 对吧？那面积呢？面积就还是一样的这个面积，哎，这个图形，这个图形的面积等于啥呢？等于长方形加一个半圆，你就加半圆吗？那这个图形呢？ 你长方形减去半圆，那你就减去半圆呗，对吧？哎，组合图形的面积相对来说，呃比较好求一些周长稍微麻烦一点。好吧 好了，那么今天呢大概的课程咱们就上到这里啊，上到这里主要是， 主要是啊，咱们涉及到组合图形的时候，呃，如果有需要第一个，咱们求周长描线啊，求这个图图形的时候，来老师帮你们把一个两个三个线描出来了，意思来做，如果求求面积呢？有必要的话再把它剖开，把它填补一下， 这样求面积就比较好求一些。好吧，好，各位同学，各位家长，今天的课程就到这里，同学们大家下期再见。

山西不来，山西不来，打了不敢带你回贵州，小妹 想跟你谈家都条件太困难。你家小区有保安，我家山路十八弯，你在家中吹空调，我。

我们今天来推导一下关于圆的一些公式，我们还是画一个圆，但是呢我们可以从这里切开，切开后把它变成一个近似长方形的一个图形，它如果切特别多刀的话，就会很像一个长方形， 但是这个长方形呢，是从这里打开的，打开后呢，我们是变成那样子的形状，那我们就知道这个长方形的一个宽就是 r， 然后我们继续看长方形的宽是 r， 那 它的一个长是多少呢？我们打开一个圆，我们知道它打开后就是是两个 两个二分之一的周长，因为本来是一个周长吗？打开后，但是呢它变成了两份，却是二分之一 c， 那二分之一 c， 我 们知道 c 是 二 pi r 二分之一 c 就是 pi 长方形的公式就是 pi r 乘以 r 长乘宽嘛，那也就是 pi r 的 平方，也就是 pi r 方。 然后我们继续我们看环形的面积，环形的面积呢， 也是需要用一个圆圆心，在这里环形的面积中间有一个圆，跟他同是一个，这两个是个同心圆。阴影部分呢，就是一个环形的面积。 圆形面积呢，我们可以先算出大圆面积，派大而方减派小而方。我们根据乘法分配率算出派大而方减派小而方，等于派大而方减派小而方的差， 所以 s 环就是 pi 大 而方减小而方的差。接下来是 s 扇形，擦个黑板， s 扇形呢，它就是一个差不多这样子的图形， 但是这个扇形的上口必须在这个圆心上，这样的图形呢，我们知道求扇形的面积跟它的它的角度有关，本来是三百六十度一个圆， 那比如说我把它改成一个直角差不多的直角三角形， 那也就是三百六十度、九十度，三百六十度和九十度，它们呢再乘以这个圆的面积，圆的面积是派尔方， 三百六十度分之九十度，就是他这个占一个圆的几分之几，那再乘一个圆的面积，就能等于这个扇形的一个面积的，所以就是三百六十度。然后呢，再 乘以三百六十度分之 n 度，再乘以 pi 二方。接下来我们算外正方形的面积，外正方形的面积呢，就是圆 方中圆的一个面积。我画的不太标准，但是应该是最大的，在里面占最大空间，这是圆心，这是半径。 然后呢，我们知道一个，这是圆，它的半径呢？它这个圆的半径呢，其实是等于 两个半径，是等于一个直径的。那我们知道正方形，它就是 它的边长，就是两个半径。二 r 二 r 呢，它就是它一个边长，那 我们知道正方形就是边长乘边长，它的面积二 r 乘二 r， 也就是二 r 的 平方，这是它整体的平方。 那我们就可以根据二乘二，也就是是四儿方，这里的儿就是单儿方，是单独的一个，无不是整体了，不能看作儿方是个整体，这里儿是一个整体。四乘儿方，也就是外正方形，是四儿方。 我们再画一个外圆，内方也就是内方， 内切正方形，算出内正，这是圆心。我们来画几条辅助线，辅助线就不能像半径和直径一样画直线了，必须要画虚线。 那我们根据这个看出，这里是 r， 这里也是 r， 这里也是 r， 这里也是 r。 因为我们知道 圆心到圆上任意一点都是一样的，叫半径，那他们都是 r 的 话，那我们知道三角形面积公式，就是边长乘边长除以二，他的边长是这里，再加这里。 我的意思是底乘高除以二，它的底是这里。这里我就画一个直直线，但是还是得画虚线的。我这里为了看清楚，画一个实线，底是 r， 高是 r， 也就是 r 方， 因为儿乘儿，也就是儿方。儿方再除以二，那除以二，我们只算出了一个小三角形。一个小三角形，那我们乘以四，就是四个小三角形。因为我们知道一个正方形就是四个小三角形，那儿方除以二乘以四，是不是就是等于儿方 乘以二，那也就是二而方。这里的二而方跟上一个一样，也就是二乘以而方不是，这个整体是 二而整体乘以的平方是二乘而方，那也就这里是二而方。谢谢大家，今天的公式就讲完了。

大家好，我是静思维张老师。今天我们来分享一下六年级的方中圆和圆中方的问题。首先我们得知道什么是方中圆，那方中圆呢？也就正方形里边有一个圆，那在初中的时候我们也知道这种叫内切圆， 那圆中方呢？是在圆里边画一个正方形。好，我们来看题，如图，圆的直径为地球圆与正方形的面积比，两个图这个 方中圆的面积比，还有圆中方的面积比，那既然是用字母来表示，我们就把它的面积给它求出来就可以了。我们来仔细观察，那第一个方中圆，那 圆的直径和谁相等？特别的棒，圆的直径正好等于正方形的什么？ 正方形的边长，所以这我们就可以求出来了，那圆的直径，那圆的面积 s 圆，我们把它写下来 等于谁呀？等于 pi 二的平方，那现在这里边儿没有二，有 d， 那 就是 pi 乘 d 除以二的平方，因为半径和直径是 直径等于二倍的半径，那我们这是圆，那看一下正方形呢？正方形就等于 d 的 平方，因为是 d 乘 d， 那 所以它们的面积比，我们来算一下，那派乘 二分之 d 的 平方比上 d 的 平方，那这时候我们来看一下，这前边就是四分之 d 的 平方，那等那比的前项和后项 都有 d 的 平方，我们前项和后项同时除以 d 的 平方，那也就变成了四分之一派比一。 那所以那这道题的正方形圆和与正方形的比就是四分之一派比一，那我们它的比值呢？就是四分之一派，也就是四分之派，所以最终我们这个比，是啊， 四分之派比一比一就没有了，所以我们可以把它写成派比四，这是第一个图形圆中方，那我们接着看第二个图形，那同样的，我们把 圆的直径已经知道了，我们来看一下正方形，要想求面积的话，得知道正方形的边长，但正方形的边长我们求不出来，但很明显，连接正方形的对角线，它正好是等于两个二，也就是等于什么 同学等于什么特别的棒正好等于谁？等于 d， 这个是对角线啊，它的对角线正好等等于地。那正方形的面积，我们就可以转化成两个直角三角形的面积，那直角三角形的面积我们怎么求呢？它的高正好是什么？ 半径，也就是直径的一半，那我们把正方形的面积求出来，也就是 d 乘半径是二分之 d 除以二再乘二。因为两个三角形，所以就是二分之 d 的 平方，那接着看圆的面积， 那圆的面积就等于派二分之 d 的 平方，也就是等于四分之派 d 的 平方。 好，那我们比就可以了，那也就是四分之派 d 的 平方比二分之 d 的 平方， 那 d 的 平方我们可以变都去掉，那也就变成了四分之派比二分之一，那最终他们的比是什么？ 最终他们的比。是啊，那我们来算一算啊，把比号变成乘号，那也就是四分之派乘二，除以二分之一乘二，所以等于二分之派，所以我们可以得到 它们的比，是啊，派比二，所以这里边圆与正方形的比，在圆中方的中是 派比二。那题目我们已经解完了，那前面这个是方中圆是 s 圆的面积比上 s 正方形的面积等于 四分之派，也就是派比四。那题目已经解完了，下面我们来总结一下这个题。 那这道题，那既然求比值的话，他其实主要考察的是字母表示数，有的同学看到不是具体的数，然后他就有点畏难情绪，就比较害怕，所以没有关系啊，所以第一步他考的就是圆的面积。 圆的面积等于什么？用字母表示是圆的面积等于 pi r 的 平方，那没有 r， 我 们就把这个 r 用直径进行表示就可以了。那知道直径，所以正方形的 我们就转化，正方形的面积肯定与直径有关系。正方形的面积啊，正方形的面积他肯定得用直径来进行表示吗？因为只有这一个字母，对吧？那我们就表示出来就行了，这不用，没有什么可害怕的啊，正方形的面积用 d 来表示。好，那最后呢，我们注意化简笔，用笔的性质进行化简。当然除了用笔的性质，化简 可以直接把笔号变成除号去除也可以。好，这道题就讲到这里，大家再见。

哈喽，同学们好，我是小林老师，今天我们讲圆的认识。好，我们看一下 在这些物体上有都有什么几何图形，我们看一下第一个图，我们可以在这图中找到圆形，第二个图是摩天轮，我们也可以在图上找到圆形， 第三个图也一样能找出圆形，第四个图也是，所以呢，在生活中我们经常见到圆形的存在，例如时针呢，时针啊，还有呃， 茶杯上的水面上也有圆形，还可以在自行车两个车轮上找到圆形。 还有呢，在硬币上也能找到圆形。那这个圆形跟我们以前学习过的图形有什么不一样呢？以前学过图形都是有 几条线段所围成的封闭的平面图形。那圆形呢？它是由几条由曲线所围成的封闭平面图形，区别就是一个是由直线段围成，一个是由曲线围成的。好， 那我们如果要在纸上画圆，应该怎么画呢？有同学会想到，哎，我用茶杯的盖子画圆，可以，也可以用三角尺上有一些，三角尺上面有一个圆，他也可以画，但这些都是借用了食物来画圆，他不能够 画出圆的大小，只能画出圆的形状，这是有缺点的。那我们怎样去画圆呢？哎，我们可以用圆规来画，那我们先认识下圆规这个物品，那圆规呢，有两条角，第一条角是带有针尖的角 啊，另一条角呢？它是带有铅笔的角啊，那如何画圆呢？ 我们首先，哎，要固定好两脚尖的距离。第二步，将带有针尖的角固定在一个点上。然后呢，将 装有铅笔的那条角旋转一周，画出一个圆，这样子圆就能画出来了，那圆上的 o 还有小 r， 它表示什么意思呢？还有用圆规画出的圆，大小为什么不一样呢？我们看一下 那圆上面，它有用圆规来画圆呢，也。针尖所在的点叫做圆心，我们通常用字母大 o 来表示。 好，那连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，半径一般用小 r 来表示，一定是连接圆心， 而且还是圆上任意一点，一定要在圆的上面。哎，这个红色的曲线上面的任意一点的线段一定是线段好， 叫做半径，通常用字母小 r 来表示。半径的长度是，就是圆规两个角之间的长度。角字写错了啊， 半径的长度呢，就是两角尖的距离，圆规两角尖的距离。好，那还有呢？ 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母小 d 来表示。要注意啊，这个 直径呢，一定要是通过圆心的，而且线段两端的端点一定要在圆上面，也一定在曲线上面的，那我们通常用字母小 d 来表示。 用圆规画出不同大小的圆，剪下来，我们可以发现啊，在一个圆内 一个圆呢，它有无数条半径，也有无数条直径啊，那沿着直径对折呢？我们发现两边可以完全重合。 说，说明这个圆是轴对称图形，还说明了它有无数条对称轴，以及 任意一条直线所在的直线都是它的对称轴，那直线就是它的对称轴了啊。好，继续在同一个园内，或者是大小相同的园内，大小相等的园内。 好，它有什么特点呢？ 所有的半径都相等，还有所有的直径都相等，直径的长度是半径长度的两倍。那用字母怎么表示直径？用字母小 d 来表示半径，就是用字母小 r 表示。 d 等于 r， r， 那 反过来 r 就 等于二分之 d。 好， 那把圆沿着 一条线啊，一条直径对折，然后两边是可以完全重合的，这是圆上面的特点啊。那圆心的中间位置，呃，圆的中心位置有什么决定呢？半径决定圆的什么呢？ 哎，我把圆定圆心定在一个点上面，定在一个位置上面，那这个圆的中心位置就确定了。好，例如我把圆先定在这里，那圆的大啊，中心位置我们就基本确定了。那半径决定了圆的大小。 半径是圆规两个角之间的距离，所以他就决定了圆的大小。这也为什么我们画出来的圆的大小不一样，是因为画用画圆的时候，我们用圆规那两角间的距离不一样，所以画出的大小就不一样了。 好，那这节课呢，主要是讲了圆的知识。用字母大 o 来表示圆心用小 r 来表示直径，用小 d 来表示的是。 呃，用小 r 表示半径，用小 d 来表示直径，那半径和直径的关系就是 d 等于二 r， 也就直径等于的长度等于两倍的半径长度，或者 r 等于二分之 d， 半径的长度等于两二分之一分之几直径的长度。还有 画圆，我们学了画圆，画圆的时候用圆规的两个角分开的距离就是半径的长度，针尖一角的固定的点就是圆心。圆心用字母小 o 来哦，大 o 来表示。好，做一下题，练一练。 用圆规画一个半径是两厘米的圆，并且用字母 o、 r、 d 表示它的半呃圆心半径和直径。好，那我知道半径是多少，所以我们用 尺子量出圆规两脚尖的距离。好，是两厘米啊，圆规的 两脚尖距离就是这个针尖与这个呃铅笔的距离是两厘米，然后再定好圆心的位置，画出来， 标好圆心字母大 o， 然后半径就是圆心和圆上 任意点的距离，就是半径的长度，用小 r 表示，并且标出来是两厘米，那直径就是通过圆心，并且两端都在圆上的 线段，它就是直径。用小，而用字母小 d 来表示。好，下面哪些是半径，哪些是直径，哪些什么都不是。为什么？我们观察一下， 首先半径有哪些？半径一定是在圆心到圆上任意一点，所以 o 圆呃线段 o、 c 是 半径， 线段 o、 c 是 半径，还有哎，线段。 我们观察一下，线段 o、 d 是 不是也是半径呢？好，线段 o、 d 也是半径，还有没有呢？再看一下半径 o、 g 也是半径， 所以圆心到哎圆上的任意一点的距离叫做半径。我们找到只有这三条线段，那直径呢？直径是通过圆心，而且两个端点在圆上面。看一下，只有线段 c、 d 是 有点延迟啊， 线段，哎 g， d， 哦 c， 不好意思，卡住了，重新写， 只有线段什么呢？ c 和 d 对 吧？线段 c、 d， 它是圆的直径，那其他的是不是圆的 直径的话，半径呢？其他就不是了。剩下那几条它没有在圆上面啊，也没有，或者是没有经过圆心，而且 它那个点也没在圆上面，你看这个 o h， 它这个 h 这个点就没有在圆的上面了，所以它也不是直径，那直径只有一条是线段， c、 d 是直径，其他都不是。好，我们继续往下走。 好，看一下。第一题，在同一个圆内可以画出一百条直径， 在一个圆内，圆的直径数量是无数条，所以第一题错误。第二题，所有圆的直径都相等，对不对？不对，只有在同一个圆内直径都相等。错误。第三题 啊，这个在同一个圆内啊，只有在同一个圆内才有直径相等。 好，那第三题，两端都在圆上的线段叫做直径，对不对？不对。为什么呢？因为这个两端都在圆上，而且 经过通过圆心的线段才叫做直径，他定义不要漏了啊。第四，直径是三厘米的圆，比半径是两厘米的圆还要大。好，我们看一下，半径是两厘米的圆，那它直径是多少？直径就是二 r、 d 等于二 r 就 等于四厘米。那三厘米和四厘米谁大呀？那肯定是四厘米大啊，对吧？所以 这道题直径是三厘米的圆，比直径。是啊，半径是两厘米的圆，大成错误的啊。下一道题， 直径长度是半径长度的两倍。不对，要在同一个圆内，或者是在等圆内，或者也就说等圆就是在相等大小的圆内，半径的 长度是直径长度的二分之一，或者是说长直径长度是半径长度的两倍。好，第六题，在一个圆内，从圆心到圆上任意点的线段。啊。对，任意点的距离都相等。 好，从圆心到圆上任意点的长度就是直径，那圆上的同一个圆上的直径长度都相等。好，这题是对的。我们继续 画一个直径四厘米的圆，那圆规两角尖的距离应该是四厘米，不对，为什么呢？因为 圆规两角尖的距离是半径的长度，这里应该是半径， 半径就是二分之一的，应该是四厘米。好。 第八题，等圆的半径都相等，哎，大小相等的圆内半径长度都相等。好。第九题，半径是射线，直径是线段。不对，半径和直径都是线段。 好，继续，圆心决定圆的位置，半径决定了圆的大小，正确，这个刚讲过。好。第十一题，经过圆心的线段都是直径，不对，哎，刚好跟上面有一道题刚好 误补了一下，一个是只说了经过圆心，另一个只说线段在圆的两端一定是经过圆心，而且两端在直线啊，在圆上面才的线段才叫做直径。它有三个要点啊，好。十二题， 时钟的分针旋转一周形成的图形是圆，这里是正确的啊。我们继续看图填空，我们看下第一题， o 到，哎，原先到圆上一点的距离是半径，半径是三厘米，那它直径就是二，二就是三乘二或者二乘三等于六厘米。好。第二题， 这个直径标出来是六厘米通过圆心，而且线段两端在圆上，然后所以这条是直径，那直径是六厘米，那半径呢？就是二分之二，也就是六除以二等于三厘米。好，继续。 这个圆在正方形里面，而且直径的长度等于圆啊，这个正方形的边长也就是直径等于十厘米，那半径呢？就是十厘米除以二等于五厘米。 好，下一道，这个圆呢？在这个梯形里面，然后这个圆的半径长度是跟这个梯形的高相等，所以半径是等于三点五厘米，直径就是三点五厘米乘二等于七厘米。 那我们本节课学的哪些知识点呢？我们学习了圆心，那这个圆心呢？它是针尖所在的位置，它叫做圆心，用字母大 o 来表示，它决定了圆的位置。好，我们还学习了 圆上面有无数条直径，也有无数条半径，它都可以决定圆的大小。半径用字母小 r 来表示，而直径呢，用字母小 d 来表示。半径的定义就是由圆心到 哎圆上任意点的距离，就是的线段叫做半径啊。直径呢，它表示的是经过圆心，而且 这个线段两端在圆上面才叫做它的线段，才叫做直径。 以及在同一个圆内画等圆中，这是大小相等的，圆中直径的距离是半径的两倍啊。那半径的距离长度是直径的一半，也就用字母表示， 字母表示就是 d 等于二 r 好， r 就 等于二分之 d。 好， 那本节课呢，知识点就讲到这里，我们下节课再见。拜拜。

求下图中阴影部分的周长和面积各是多少？我们看到这个图之后，我们轻轻的画了一个辅助线， 那求这个阴影部分是不是这部分周长的话，我们知道它是围着外面的一圈叫周长，所以说我们一定要分清清楚啊，不要把整个圆算进了哈，那我们写的线段是不是一加二加三，是不是由这三个线段组成的，所以叫它周长？ 那我们先求这个，我们知道这个直径是八十厘米，零点八米，对，八十厘米，对吧？那第一个求这个 r 的 部分是怎么求？ r 的 部分是不是用派 r 的 平？周长是不是得派低就可以了？这个低是多少？是不是直接就是八十就可以了， 是吧？派 d， 但是要除以二哈，因为这只有一半了，千万别漏，别搞错了哈，除以二，那加上后面一部分，后面一部分你看一加三是不是刚好是一个圆？ 那刚好一个圆的话，我们知道他的派 d 吧？这个 d 是 多少？是不是刚好是四十？是他的一半， 那是不是也是派？乘以八十除以二 派低就可以了，那最后算的得多少？四十加四十，那是不是八十派就可以了？等于多少？是不是二百五十一点二，单位厘米哈，这是求周长，那求面积呢？ 面周长，那求面积呢？面积？我们看他这个他是不是由这部分组成的， 然后再看这个部分跟这个部分是不是相等的，那等于说我们求出这个半圆就可以了吧，是不是？好，它面积公式等于什么？是不是得派 r 的 平方？ 这个 r 是 多少？是不是八十除以二？是不是等于四十 r 的 平方？那这刚好是一半，但是要除以二哈。 除以二那算出来等于多少？四十的平方一千六，再除以二等于八，也是等于八十派吧。但是这单位不一样啊。这单位写什么？是不是等于 二百五十一点二单位平方厘米啊就可以了。

各位同学大家好，我是陆老师，今天呢我们来讲一讲这个圆的认识里面的第一个考点。那么先看例题， 那么在一个边长是十厘米的正方形内画一个最大的圆， ok， 那 同学们你读完这句话的时候，你能在脑海里面想到怎么样在一个正方形里面画最大的圆吗？好，那么首先来先把这个正方形先画出来，那么怎么画最大的圆呢？是这样子的吗？还是这样子还是这样子 啊？这些是在他画最大的圆吗？不是。那么最大的圆是怎么画的？让圆都贴着这个边长进行去画，那么怎么画他的这个圆心呢？我们可以连接这个 正方形的对角线，那么这个就是圆心啊，如果圆心我们做他的垂线，那么这个就是他的 直径，那么直径毫无疑问呢就是等于这个正方形的边长十 cm。 好， 从中上面我们就能得出它的正，它的直径应该就是 十厘米，那么在长十厘米，宽为七厘米的长方形内画一个最大圆，那么有了第一个图形的基础建立，那么我们就知道在长方形里面画一个最大的圆， 那么我们也是应该贴着这个两个长中间画一个它的这个圆形。好，那么它的直径应该是多少呢？就来我们看一下圆上面的一点到下面的一点它们的连线啊，这条就是它的直径，那么这条直径应该就等于 这个长方形的宽七厘米，所以说这个圆的直径应该是七厘米，但是这个题目他问什么问的是半径，那么半径是多少呢？七除以二等于三点五厘米，单位给你写了， ok， 那 么学会这个知识点之后呢，我们进行举一反三，那么再看一下这个单元里面还会考一些圆的哪些定义， 那么在圆在同一个圆中，那么直径有多少条呢？这个上课肯定老师有讲啊，它是有无数条，无数条啊，那么它们的长度都怎么样？都是相等的， 那么在同一个圆内所有的半径，它的半径有多少条呢？直径有无数条，那么半径也是有无数条， 那么它的长度跟直径是一样的啊，它们也是相等的，但是它不是说跟直径相等，只是说它每条半径都是相等的。好，那么第二个圆的位置与什么有关呢？这个是与圆心有关啊，课本里面的定义。 那么圆的大小与什么有关呢？是与我们的半径有关啊，它是跟我们半径来决定的。好，那么在下底乘平连的一个最大 大圆的直径是八厘米量的小圆，它的直径是大圆直径的一半。 ok， 从这里读完之后呢，你一定要想到每个数量之间他是多少，那么很明显，我们这里大圆的直径是多少呢？是八厘米。 好，他说小圆的直径是大圆直径的一半，那么也就是八的一半，八的一半就是多少呢，八除以二就等于四 厘米，所以说小圆的直径是四厘米，这时候他问小圆的半径是多少？ ok， 很多同学去入坑呢，直接写了四，但是题目问的是半径，所以说我们这里应该是直径除以二就等于二厘米。 ok， 今天我们的考点一就讲完了，那么下节课再见。

六年级数学圆计算下面各图阴影部分的面积。 b 题， 在正方形内有一个最大的圆，求阴影的面积。 第二小题是外边一个大圆，里面一个小圆，求圆环的面积，大圆直径是八厘米，小圆直径六厘米。 我们来看第一题， 大正方形里边一个大圆，那就用正方形的面积减去圆的面积。 正方形的面积边长长边长 减去圆的面积。派 r 方 r 是 半径，这个八 是直径，那我们得用直径求半径。圆的面积等于派二平方，那三点一四 半径就是直径，除以二八除以二平方。 八八六十四减三点一四长 四除以八除以二等于四四的平方四四十六六十四减五十点二四 等于十三点 七六平方厘米。 第二道求圆环的面积，就用大圆的面积减小圆的面积。 大圆的面积 pi r 方三点一四长半径的平方直径是八八除以二 括号平方减小圆面积 pi r 方三点一四，乘以 直径是六六除以二平方 五十点二四 减二十八点二六， 等于二十一点九八 平方厘米。