弧度角公式

一分钟教会大家如何去推导初中和高中里面涉及到的换形的弧长公式和面积公式。首先，在初中里面，我们把圆心角用 n 度表示，那么圆心角所占整个圆周的角， 也就是说， n 比上三百六十度，它将等于弧长占整个圆弧的长度，也就是圆的周长。好，那么它就会等于 l 比上二派大。这样我们可以推出 l， 它是等于一百八十度分之 n 派二。 同样道理，我们也可以推它的面积公式，面积 s 扇形的面积，它将占整个圆的面积的比例，会等于它的圆心角占整个圆周的圆周角的比例。也就是说， s 是 比上圆的面积，是 pi 的 平方，它将会等于 n 比上三百六十度， 所以这样我们推出面积 s 是 等于三百六十度分之 n pi r 的 平方。我们可以把这样的原理应用在高中的扇形弧长和面积公式的推导。也就是说，在高中我们把圆心角用的是弧度阿法弧度，圆形角比上整个圆周的弧度 r pi， 它是等于 l 比上整个圆弧的周长，也就是圆的周长。二 pi r， 这样我们可以推导出 l 是 等于 r 乘以 r， 同样道理，它的面积扇形的面积 s 比上整个圆的面积 pi r 的 平方，它将等于 圆圆心角的弧度比上这个圆珠的弧度二 pi r， 这样我们就可以推出面积 s 是 等于二分之一 r 乘以 r 的 平方。我们可以把它写成二分之一 r 乘以 r， 这样这一部分就是 l， 所以 它等于二分之一 l 乘以 r。 同学们听懂了没有？

以前我们用角度来度量角，比如一个角等于四十五度。其实咱还能用弧度来度量角。那什么是弧度呢？ 人们规定，在一个圆里，长度等于半径长的圆弧，他所对的圆心角二法就是一弧度的角。我再说一遍，长度等于半径长的圆弧，他所对的圆心角二法就是一弧度的角。像这样，以弧度为单位来度两角，就是弧度。至啦， 弧度还可以这么写，写成一弧度。通常弧度的单位可以省略，也就是一。比如你看到角贝塔等于三，其实就是三弧度。有了弧度后，你就有两种方式来度量角，比如零角可以是零度，也可以是零弧度或者零。只要有度，这个单位就是角度，没有单位其实就是弧度，只是被省略了而已。 认识弧度，我再来讲讲弧度与角度的相互换算。这还得从这个圆开始讲起。一弧度的角对应的圆 胡长为半径二。我们知道这个角和周角的笔直，就等于这个胡长和整个圆周长的笔直。写成算式，就是一笔周角等于二，比圆周长，咱可以把周角的弧度数设为 x， 而圆周长等于二派二。 接着来解 x， 你看这两个 r 刚好约掉，所以 x 就等于二派，这个二派就是周角的弧度数了。又因为周角的度数是三百六十度，于是二派就等于三百六十度，也就是派等于一百八十度。这就是角度和弧度的关系，有了这关系，角度就能换成弧度。 比如五百四十度，根据派等于一百八十度，五百四十度正好等于三个一百八十度，一个一百八十度是派，所以五百四十度等于三派。你看只要算出角度里有几个一百八十度就等于几派，这样就转化成弧度了。在 试试六十度，他有几个一百八十度呢？用六十度除以一百八十度就行，等于三分之一，所以六十度等于三分之一乘一百八十度。一百八十度等于派，所以等于三分之一乘派，也就是三分之派。 刚才都是正的，那如果是负的呢？比如负一百三十五度，方法一样，用它除以一百八十度，等于负四分之三，所以负一百三十五度，等于负四分之三乘一百八十度。一百八十度等于派，就等于负四分之三派。 所以度数是负的，是负角时，对应弧度也是负的，有时候还会出现不整的度数，比如一百五十七度，三十分，看这三十分得先换成度才行。六十分等于一度，那三十分就是半度，所以这个就是一百五十七点五度。接着用老办法把它除以一百八 八十度，等于八分之七，也就是八分之七乘一百八十度，也就是八分之七派。搞定了。像这样把角度转化成弧度时，可以把角度除以一百八十度，算算有几个一百八十度就等于级派。 这个会了，咱再说说弧度转化成角度，比如四派，也就是四个派吗？根据派等于一百八十度，也就等于四个一百八十度，得七百二十度。看来弧度数里有几个派，就等于几个一百八十度，这样就转化成角度了。 再比如二分之三派，派等于一百八十度，那就等于二分之三乘一百八十度，结果得二百七十度。 这两个例子都能直接看出有几个派，有时候弧度里没有派，比如三分之四，这回就得算算有几个派了。用三分之四除以派等于三派分之四， 三分之四就等于三派分之四成派派等于一百八十度，所以等于三派分之四乘一百八十度，也就是派分之二百四十度，这样就转化好了。最后来试个负的，比如负二，用负二除以派等于负派分之二， 所以负二等于负派分之二成派，也就等于负派分之二乘一百八十度，也就是负派分之三百六十度。 通过这些例子不难看出，根据派等于一百八十度角度转化成弧度时，算算角度里有几个一百八十度就是己派弧度转化成角度时呢，就得算有几个派，就是几个一百八十度了。 其中转化前后正负是保持一致的。要注意的是，角度和弧度不能混在一起用。比如六十度加 k 乘三百六十度，你可以写成三方之派加 k 乘二派，但要是写成六十度加 k 乘二派，那就完蛋了。 如果我进一步问你，叫阿尔法等于二，他在第几象限，你会判断吗？看坐标器以前的象限范围都是角度表示的，可以先把他们换成弧度。零度就等于零九十度，等于二分之一个一百八十度，也就是二分之派一百八十度，就等于派 二百七十度，等于二分之三个一百八十度，也就是二分之三派三百六十度等于二派，那二在哪个范围呢？想一想，派约为三点一四，二分之派就约为一点五七，所以二在二分之派和派之间，也就是第二项线。 像这样要判断弧度的象限，可以先把象限范围换成弧度，然后再来判断。好了。回顾刚才的内容，关键就是记住，派等于一百八十度，角度转换为弧度时，要算算角度里有几个。一百八十度，也就是己派，弧度转换为角度时，就算算有几个派，也就。

ok， 那 么从今天开始，我们即将进入到我们三角函数部分的复习，那么老师会在以后的视频中把三角函数这一部分进行一个系统的学习，包括这一块的常考题型以及重要公式的推导， 所以希望同学们能够点赞、关注、收藏。 ok， 那 么我们今天先去看到的是任意角与弧度至必考题型的总结。第一个我们看到弧度至与角度至的转换， 那对这块我们必须要了解到公式，我们先复习一下。首先第一个什么叫做弧度值，我们说了弧度和角度都是用来表示角度数的， 那么弧度的概念是什么我们必须了解，那就是我，那么就是我们长度等于弧度值的概念是什么？那我们必须得了解它的概念，就是我们弧长等于半径的弧所对的圆周角所对的圆心角。比如说我们画一个图， 假设呢，我们此时的弧长 l， 它的半径等于二，那如果当 l 等于二的时候，我们说这块的角度就是一弧度，那了解到弧度的概念之后，我们必须了解到弧度与角度的呼唤，那也就是说我们已知角度要转换成弧度，我们只需要让它的角度数乘以派比一百八， 因为我们知道了二派弧度等于三百六十度，那也就是说一个单位圆的圆心，一个单位圆的圆心角，它是一个三百六十度，那它所对应的这个弧长是不是就二派？所以得到了二派等于三百六十度，那也就是我们的派等于一百八十度了， 有了派的一百八十度这概念，轻很轻松的得到弧度与角度值的转换，那么要算弧度，我们只需要让拿它的角度乘以派比一百八十度。当然如果我们要去算它的角度数，那我们可以得到它就是弧度乘以一个 一百八十度，除一个派， ok， 那 么有了这三个公式，我们在做题起来就会比较简单，比如说我们先看第一题和第二题，第一题我们知道了 角度与弧度互换，正确的是那 a 选项，我们说六分之五百一十一派，那把派变成一百八，变成一百八之后，它变成角度就是五百一十一乘以一个三十了， 那 a 选项肯定是不对的，因为五百一十一乘以三十等于一万五千三百三十度，所以它呢是错误的选项。二、 b 选项告诉我们，负的十二分之七派等于负的一百零五度，那我们可以用我们刚才那个公式，十二分之七派乘以一个派分之一百八等于 负幺零五度，那 b 是 正确选项，十度等于派比一百八，那么说了派是一百八十度，一百八十度除以十八刚好是一个十度，所以 c 也正确选项四， d 也是一样，我们知道了负的四分之十九乘以派，那就是乘以一个一百八十度 比上一个派，约完之后，我们会得到它就是一个负的八百五十五度，是没有任何问题的。所以呢，第一个题比较简单，我们选择的是 b、 c、 d， ok， 第二题呢，告诉我们经过两小时，那么我们钟表上时针转过的弧度数是多少，我们需要去把它的图像画出来，比如说我们画一个钟表，比如经过了两个小时，你就说十二点到两点这个位置，知道了表盘平分十二等分，并且 每等分对应的弧度数，那应该是六分之派，因为他是三百六十度，除以一个十二等于一个三十度，三十度我们出一个一百八，是不是等于一个六分派弧度？转过两个小时，我们说的是二乘以六分之派弧度等于三分之派弧度。当然此时要注意的是，我们钟表他是顺转逆，他是一个负角， 负角我们要去给他带符号，就变成了一个负的三分之派，要注意我们正角的弧度才是正角，负角的弧度一定是负角，所以呢，在转的过程中，我们要去注意他的是逆时针旋转还是顺时针旋转，把这个点一定要搞清楚。 ok， 第二个我们要去讲与角相关的题型，一个我们要去看到的是中边相同的角，那中边相同的角，我们要去复习下概念，比如说与贝塔中边相同的角，那就是贝塔加上一个 k 乘以三百六十度所有弧度的概念，我们可以把它写成贝塔等于一个贝塔加上一个。 此时呢，我们要知道 k 是 属于 z， z 是 一个整数，这我们给给 k 取值的时候就可以得到，所以贝塔中间相同角。 ok， 那 现在我们去看一下第一题和第二题，在下列各角中与 一千八百五十度角中边相同的角是多少？那我们根据我们刚才所讲的这样一个概念，可以把它解出来，与中边一千八百五十度中边相同角，那我们可以把它解出来，比如说它是一个阿尔法，等于一个幺八五零度，加上一个 k 乘以一个三百六十度，并且呢， k 除以 z， 我 给 k 进行取值的时候，只需要去看在 abcd 哪一个符合，我们就选哪个，你发现他的角度都比他小，所以呢，我们 k 肯定要去复制，要与 ab 比较接近呢，我们给 k 直接取一个负五，当 k 等于负五的时候，我们知道了阿尔法就等于幺八五零度，减去一个五乘以三六零度，等于一个五十度， 所以我们知道了这道题目的正确答案就是一个 b 选项。第二题我们知道集合 m 等于一个关于角度的一个集合，告诉我们 x 等于四十五度，加上二分之 k 乘一百八， k 除以 z， n 呢就等于四十五度，加上四分之 k 乘以一百八，那我们可以知道我们算这两个集合关系，那也就是说我们要去判断一下哪个集合的元素多，哪个集合元素少，他们之间到底有什么关系，那我们可以把它的图像给它画出来，比如说画出 m 集合 m 集合的角度，我们可以画到一个坐标轴上， x 等于四十五度，加上二分之 k 盘 四十五度，让我们画这块是四十五度，加上二分之 k 乘一个一百八，那就是 k 乘一个九十，那我们给他先加一个九十度，比如说我们画一个与它垂直的，再加一个九十，再加一个九十。所以呢，我们知道了我们 x dm 中的 x， 它实际上就是与我们这四个线进行四个线重合的。 n 是 等于四十五度，加上四分之 k 牌加一百八，那我们可以去算一下 n， 具体去把 n 算出来，那么 n 就 等于一个四十五度，再加上一个四十五度加乘以一个 k， 那 我们先画出来 n， n 的 话，我们知道了，我们拿红色的线画画，稍微短一些，便于我们去区分。 n 等于四十五度加四十五度乘 k 到这，再加四十五度乘 k 到这，再加四十五度乘 k 到这， 你发现每一个都是隔加了一个四十五度，加了一个四十五度，加了一个四十五度。所以呢，我们明显的可以发现，我们 n 是 不是它表示的元元素要比我们按表示元素要多一些，并且 m 它一定是属于包含于我们的 n 的 元素，肯定个数要小， n 的 元素肯定个数要多，所以呢，我们选择的就是我们的 c 选项。对于这类题，大家可以去把它图画出来，并且去观察到它们集合中元素的个数的多少，去判断它们集合之间的关系， ok， 第二个我们要看到的是我们象限角与轴线角，那对这块大家要把具体的每一个象限的象限角的表示方法给他 搞清楚。比如说我们举个例子，第一象限的角我们去判断一下，如果这角是第一象限，我们知道他的阿尔法就要大于，等于阿尔法要大于零度，加上 k 乘三百六十度，并且呢要小于我们的 k 除以 z， 那对于第二线、第二线线、第三线线、第四线线所有的角，大家一定要把这个关系式具体的这个表达式给他记住，记住了之后我们可以直接去使用。比如说我们告诉我们三分之二十五拍等于多少度，那就是说我们把三分之二十五拍先给他画到最简，先画小，最好能画到第一项线，或者 画到我们的一二线。第一不加 k 派的这样一个原始的象限中，那是最好的。比如我们的三分之二十五派，我们可以给他写成三分之二十四派，再给他加上一个三分之一派，三分之二派我们知道是八派，再加上三分之派，八派我们转 转了应该是四圈，那就是说等于三分之派加上八派，那八派就转四圈，刚好就抵消了，他是不是就等于一个三分之派六十度，我们知道他是在第一象限，说这样的做法就是说先把这个角画小， 再去判断他的象限就可以了。那第二个我们知道了，已知阿尔法是锐角，并且让我们去判断这个 a、 b、 c、 d 哪个是正确的一个选项。知道锐角的概念在这大家一定要搞清楚锐角，我们这阿尔法一定是大于零并且小于九十度的， 这个大家搞清楚，并且他是第一向下角。 a 选项一百八十度加上一个阿尔法是第三向下角。那比如说我们把这个图可以给它画出来，假设呢？我们的阿尔法在零到九十度之间随便去找一个角，比如说这个角就是一个阿尔法， 这阿尔法一百八十度加阿尔法，那就是给他反向延长，所以这个角度他应在第三项选 so a 选项正确。二、阿尔法小雨是小雨一百八十度的正角。 b 选项我们知道了，我们的二阿尔法就要在零到一百八十度之间， 他说的是小雨小雨一百八十度正角，但是没有问题。 c 角像他说阿尔法是第一象限角或者第二象限角，那肯定是有问题的。比如说我们的阿尔法如果等于九十度，他就不是象限角，所以在这我们要考到这个轴线角，意思就是说他的中边落在了坐标轴上，他中边落 落在某一个线线内，我们的中边在坐标轴上就可以了。 ok， 那 所以 c 选项是一个错误选项，我们要去把这个轴线角跟向下角去分析清楚。比如二百零九十度的时候，它就不可以四 d 二、阿尔法是锐角。知道了阿尔法在零到九十度之间，我们的二分之阿尔法是不是要在零到四十五度上， 它离大零小于四十五度，所以它一定是一个锐角。所以呢，这个题我们选择的是 a b d， a， b， d， 掌握到具体的概念，我们看起来会比较简单。 ok， 第三个题我们要去看一下对这种阴影部分区域的表示，这种题目应该如何去做。比如说我们知道了这个已知角， c 塔的中边落在阴影区域内，不含边界，一定要搞清楚它是一个空心的角 alpha 的 中边和 c 塔的中边相同，则角 alpha 的 集合是多少呢？我们先去表示一下这个 c 塔的 矩阵，我们知道 y， 它的一个斜率是 y 等于三分之根三 x， 三分之根三 x， 它的倾斜角 k 是 不等于贪婪的 c 塔， k 等于贪婪的多少度，等于三分之根三。那我们知道这个 c 塔是不是就等于我们的三十度，是不是等于六分之 pi y 等于根三 x， 我 们知道它的斜率是一个根三，所以它所对应的 c 值等于六十度， 六十度所对的弧度值是三分之派，那也就是说阴影部分表示的区域，它就是一个六分之派加上一个 k 派。在 小宇我们的阿尔法，小宇我们三分之派加上一个 k 派，并且此时我们的 k 要除以 z， 他 不是，所以选择的应该是我们的 c 选项。有同学问这块老师，为啥加 k 派，他不是加二 k 派，因为你发现了，在 c 它等于六分之派三十度的时候，你是不是给他反向延长了？反向延长是不是相当于给这个 三十度加了一百八了，然后对于这个六十也是一样，对六十来讲的话，我也给他反向延长，也是给六十加一百八，所以呢，应该加的是 k 牌才对。这种类型的题目大家一定要搞清楚，并且不按边界的意思，我们不能去到等号了， 把这类型的也要搞清楚。第三个就是 n 等分角的一个象限，这块我们可以去拿代数去做，也可以拿几何去做。 代数法就是说我们先去找到我们这个角的代数表示，比如说第一线的角，我们说了阿尔法要在零加二 k 派到二分派加二 k 派之间，你再去根据这种代数关系去表示 我们所求的这个角的范围。在这老师教有一个非常快速的办法，也就是说我们的几何法。几何法的做法就是将我们 n 等分角的象限，那就是 n 分 之阿尔法的一个象限。对，几何法将我们的各象限均分为 n 等分，只需要从 s 轴的正上方起依次标出一、二、三、四进行循环， 我们只需要去看它的标号，标号为几的，也就是说我们 n 分 之阿尔法的中边就在 所表示的这个区域。什么意思？我们分别来去拿到，拿这道题目去验证一下，比如说告诉我们一只角阿尔法的中边在第四象限，并且确定下列各角所在的这样一个象限， 那首先我们看一下代数法应该如何去做。首先第一个代数法阿尔法在第四象限，所以呢，我们得把这个阿尔法在第四象限的代数表还是写出来。阿尔法要大于两百七十度，加上一个 k 乘三百六十度，并且要小于一个零，加上 k 乘三百六十度，应该加上的是三百六十度，加上 k 乘三百六十度。此处 z 此时的话呢，我们要去算出二分之二阿尔法，所以呢我们的二分之阿尔法它要大于 那一百三十五度，加上 k 乘以一百八十度，小于我们一百八十度，加上一个 k 乘以一百八十度 k 除以 c， 这样我们只需要去画出二分之二法所表示的这个区域就可以了。比如说我们画的坐标轴内二分打法要大于一百三十五度加 k 乘一百八，一百三十五的话，我们知道它是一个第二项角分线，然后它延长，这个是一百三十五加 k 乘一百八， 要小于一百八十度加上 k 乘一百八。用拿红色表示比较能发现清楚，一百二的一百八十度加 k 乘一百八就是我们的 x 轴了，所以它表示的是这个区域和这个区域，那它表示的就是我们的第二次象限，二次象限， 那如果拿几何法应该如何去表示？那非常简单说，我们先去画出来这个图像，我们要去研究二分之二法所在的象限，所以呢，我们刚说了他要研究的是几分之二法，我们需要去将各向线均分成 n 等分，那二分之二法我们需要去将各向线均分成两等分，一定是均分，均分。 ok， 均分完之后，我们从挨着正上方去写一二标，去标号一二三四，一二三四。 练完之后他说 r 和中间的第四象限，所以标号为四的就是你二分之二所的象限标标，所以你发现很快我们知道他是一个二四象限。类似于这样的做法，大家可以下去拿这三个进行练习，分别去进行代数法和几何法的一个练习就可以了。 如果我们这道题目是用几何法，会很快的去减少我们的做题时间。 ok， 那 么第三个题型我们讲到了我们扇形的弧长与面积公式，在这块也是一个比较爱考。首先呢，我们去复习一下我们的公式， 我们的弧长公式 l 等于，比如此时我们画出这个扇形，它的圆形角，我们知道它是一个 r 法，并且呢它的半径生成 r， 它的 弧长公式 l 就 等于 r 法乘以 r。 第二个就是它的面积公式 s 扇， s 扇就等于二分之一 l 乘以 r。 那 我们根据第一个公式，我们把 l 带进去，会得到它等于二分之一 r 法乘以个 r 的 平方。第三个就是它的周长公式， 周长公式我们会得到 c 就 等于一个二 r 加上 l 就 可以有了。这几个公式对我们扇形的弧长面积，我们不妨做一个应用。第一个，一个扇形的弧长和面积均是三分之二派，那么这个扇形的半径是多少？那比如说我们把这个扇来画出来， 弧长是三分之二派，那我们知道三分之二派就等于二分之一乘以 l， 它的弧长是三分之二派， 它的半径 r， 我 们可以算出来 r 等于一个二，那根据弧长公式， l 等于一个 r 乘以我们的 r， 是 不就可以得到三分之二派就等于 r 法乘以个二，那所以我们知道 r 法就等于三分之二 r， r 法就等于三分之派， 这样我们要算出来他的这个 r 等于二， r 法等于三分之派，此时这个扇形的半径，他问半径半径直接等于二是不就可以了？第二个就是我们在 扇形与弧长面积公式里面比较爱考的一个取值范围的这样一个问题，那当扇形的面积等于四派的时候，当半径为多少时，扇形的周长是最小。那首先我们知道了 s 扇 等于一个四派，按上等于四派的话，我们是可以得到什么，也就是说四派就等于二分之一， l 乘以 r， 所以呢，从这个式子我们可以推出来 l 跟 r 的 关系，那也就是说 l 乘以 r 等于八派，然后让我们算它的周长，那我们要算周长是不是就等于 r， r 加上 l， r 加上 l， r 跟 l 的 关系呢？我们可以找清，找出来，那我们的 l 就 等于二分之八派，所以呢，我们进行一个处理， r， r 加 l 就是 二分之八派。 这个东西呢，取得最小的时候，他大于二倍，根号下二， r 乘以二分之八派，那就等于一个八派， 但是呢，听众问的是，当取最小时，我们的半径等于多少？半径的话，就是当斜减，当它俩相等的时候取最小。所以呢，我们说了二 r 等于二分之八派时，取最小二 r 的 平方等于一个八派，所以呢，我们知道了 r 方等于四派， r 就 等于二倍的根号下派，那就是说当半径等于二倍的根号下派时，我们的周长取最小。 ok， 那 这个就是我们任意角与弧度制里面的必考题型，希望大家下去认真观察， 希望大家下去认真观看，并且把我们里面的公式及题型总结一定要掌握清楚。 ok， 那 么我们下个视频去讲三角函数的概念里面的一些必考题型。

sin 与 cosine 之间的大小关系一三象限的角平分线所共出的角，它们两相等，那么上面是 sin 大 于 cosine， 下面是 cosine 大 于 cosine。 两分钟学会一种知识点，那么这期我们讲三角函数基本关系和诱导公式。第一个我们讲的是什么呢？叫做象限角，象限角，总结了四个，大家可以自己记一下。 第二个，弧长和面积公式，初中我们学了面积等于 第三个自作点，正余弦符号，我们说 assign 的 符号是在 我们叫做一正二正弦，三切四余弦。什么意思？一正表示的是所有的都是正的，而正弦第二弦呢？正弦是正的，也就是三 三切。第三项线正切是正的，也就是摊俊特四余弦。第四项弦余弦是正的，那么我们只需要记住正的，剩下都是负的了。第四个， sin 与 cosine 之间的大小关系， 一三项线的角平分线所共处的角，它们两相等，那么上面是 sin 大 于 cosine， 下面是 cosine 大 于 cosine 大 于 sine。 这个会有一个角度取值范围，下面也会有一个角度的取值范围，这个角度的取值范围我们叫做 sine 啊发的绝对值大于 cosine 啊发的绝对值。那么剩下两个呢？ 就是 cosine 啊发的值大于 sine 啊发的绝对值。

嘿，同学，量角度，你还在用度这个老单位吗？快醒醒！数学家们早就偷偷升级了，他们换上了弧度痣，听名字是不是有点糊涂？别怕，一分钟让你摸清门道！想象一下，有个单位圆半径是一，在这里，数学家说，长度等于半径的弧，它所对的圆心角就叫一弧度，简单粗暴吧，那绕圆一周，弧长是二派， 所以注意了，核心公式要爆炸了！三百六十度等于二派，相当于一百八十度，记住这个，你就成功了一半！来，实战一下，把一百五十度换成弧度， 秘诀就一句，度化弧乘以一百八十分之派，所以一百五十度等于一百五十乘以一百八十分之派约分。咔嚓！看，就这么丝滑！哎，重点来了，你顺手算算他在单位员上的坐标，一百五十度在第二项线， cosine 是 负的，三是正的，所以横坐标负二分之根号三纵坐标二分之一， 看，这是连成线了吧！最后敲黑板，记住这个防守滑口诀，渡化弧乘一百八十分之派弧化度乘派分之一百八十千万，千万别记反了，不然你的三角函数计算可就废了！好了，度量横搞定，下集我们给三角函数六兄弟发身份证，看看谁才是真正的大哥，我们不见不散！

你有没有在高中时感到奇怪？我们从小学三年级就学角度，墙角是九十度，家具结构中的三十度、四十五度、六十度，这些都非常直观。为什么到了高中突然要学一个派来表示的弧度制呢？ 它像是被高中数学老师强行灌输的一个规定，让人不情愿又无可奈何。今天我们就来聊聊弧度制是怎么诞生的，以及它背后充满简洁与智慧的数学思想。 我们先看看熟悉的角度制吧。把圆周平均分成三百六十分，每一份对应的圆心角就是一度。 这个规定源于古巴比伦人的天文计算，他们发现一年大约有三百六十天，于是很自然的把一个圆平均的分成三百六十分，而且三百六十这个数非常的友好，它的因素非常多，十以内除了七都能整，除十以外还有很多因子， 这意味着我们可以轻松的把圆分成二、三、四、五等等很多份，这在没有分数概念的古代非常实用。 但你会发现，角度之内核里有一个人为的强制规定，一个圆必须被分成三百六十分吗？分成一百份行不行？分成一千份行不行？其实都可以。换句话说，我们把三百六十这个具体的数字硬塞进了角的定义里。 让我们设想一下，如果只有角度制没有弧度制会是什么情况？那时长度用米来度量，时间可以用秒来度量，角度也必须用度来表示。 科学研究追求的是化繁为简，探寻本质，尽可能减少人为定义的基本量纲。国际单位制只有七个基本量纲，代表七个最基础的物理维度，像力学中的牛顿 衡量能量的交耳这么重要的概念都没有。独立量纲，他们都是由这七个基本量纲推导组合出来的。如果没有弧度质度，就可能成为第八个基本量纲。那么多出来的这一个就是角度质硬塞给物理学和数学的一个人造包袱。 那么大自然有没有一种不依赖人为规定更自然的定义角的方法呢？有，答案就藏在圆周力长处派里。古人很早就发现，任何圆的周长总是直径的派背，或者说是其半径的二派背。 这是一个朴实的与圆大小无关的自然规律。同时，我们知道，一个完整的圆周角是三百六十度，这也是与圆的大小无关。 看，这里出现了两个与圆大小无关的量，一个是数值二派圆周长与直径的比值，一个是三百六十度，这是我们人为定义的整个圆周的角度。 既然都可以表示转一圈，为什么我们不直接用那个来自自然规律，没有人为数字的二派来定义圆周角呢？ 于是我们给这个用二派来表示的圆周角起个名字，就叫二派弧度。注意啊，这里可不是重新定义了一个新的角的量缸弧度， 他只是一个笔直，没有单位。顺着这个思路，半圆对应的弧长是半径的派倍，那么圆周角就是派弧度 四分之一圆对应的弧长是半径的二分之派倍，那么这个角就是二分之派弧度。我们推而广之，角的弧度数等于圆心角所对的弧长，除以半径在单位圆上弧度值就等于对应的弧长。 你看 pi 就是 大自然赐予我们的一把天然量角尺，而且因为弧长除以半径是一个笔直，所以弧度之下的角是一个没有量缸的纯数。这个弧度制的引入，让一个大自然为我们规定好的自然常数 pi 代替了一个人为定义的三百六十， 相信任何人都会毫不犹豫的选择那个自然赋予的定义方式。下面我们来说弧度制的引入能为数学带来什么好处。弧度制让角变成了纯数， 这恰恰是数学分析最需要也最喜爱的行事务理。图像中横轴可以是时间，单位是秒，重轴可以是谓仪单位是米，这没问题，因为物理研究的就是带量纲的实际关系。 但数学的抽象函数图像 y 等于 f， x 要求 x 和 y 都应该是纯数。直角坐标系只有一个默认的约定，纸上多长代表数值。一 度不是一个纯数，它本质是圆周的三百六十分之一，把它放在函数图像的横轴上，就等于强迫坐标系回答一个本不该存在的问题， 一度在纸上应该画多长？弧度值彻底解决了这个问题，因为弧度值是一个没有量纲的纯数，该画多长的问题不存在了，算出来是几就画多长。 第二个好处就是让与角弧长有关的公式变得简洁了，最直接的例子就是扇形公式，角度之下弧长公式里有个一百八十分之派，面积里也有类似的换算系数。 而弧度之下弧长是 c 乘以二，面积是二分之一， c 乘以二的平方，那个丑陋的换算系数一百八十分之派消失了，公式回归了最干净、最本质的模样。 讲到这里你可能没什么直观的感觉，这么讲不通透，那让我们来回答前面那个一度应该在纸上画多长的问题，从另外一个角度更加直观的理解这个丑陋的参数，一百八十分之派到底是什么？ 我们以 sin 函数的图像为例，画出直角坐标系，横坐标是角度，纵坐标是 sin 值， sin 值是直角三角形对边与斜边的比， 在零到九十度范围内，这个比值最大值是一，最小是零。把这个 sin 函数放到圆里边来，表示 这个一实际上就是单位圆的半径。接着我们把这个零到九十度的角扩大到圆周角的范围，塞的最大值就是一，最小值是负一。于是我们知道一应该画多长了， 纵坐标的范围就定好了。画横坐标的时候，那必须得回答那个问题了，一度在纸上应该画多长？ 我们先定一度的长度就是一，那么图像画出来就是这样。这个时候横轴上三百六十度的图像长度是三百六十，太长了，图像非常的扁平，不好看，也不便于我们研究萨 a 函数的属性。我们把横轴压缩一下，让十度的长度代表一， 图像变得不那么平了。这个时候横轴上三百六十度的图像总长度是三百六十，除以十等于三十六。一度角的长度就是三十六，除以三百六十等于十分之一。 我们把横轴再压缩一下，让一百度的长度代表一，图像变得更立体了。这个时候横轴上三百六十度的图像总长度是三百六十，除以一百等于三点六，一度角的长度就是三点六除以三百六十等于一百分之一， 好看多了，也可以研究了。但问题是，我们用不同参数做尝试，让横轴上的长度从三百六十变成了三十六，又变成了三点六，这么来回尝试太随意了，这不符合数学的严谨态度。那么这个圆周的总长有没有一个更严谨的值呢？ 有，这个值就是二派，因为单位圆的一圈本来就应该是半径的二派倍嘛，所以把横轴上表示绕一圈三百六十的图像总长度定为二派，才是那个最合理的规定。 那么这个一度到底该在纸上画多长呢？二派除以三百六十啊！化简以后，就是那个原来看着丑陋的一百八十分之派的参数了。二派除以三百六十，在圆周上就是一度角应该对应的弧长， 用这个弧长作为一度的长度，那是最合适最自然的表示。好，我们接着说弧度值的好处。 第三个好处，这才是弧度值真正的主战场。三角函数本身就是一个比值，比如正弦函数塞，就是对边与斜边的比，而弧度值的角也是一个比值，是弧长与半径的比。当这两个比值在数学的直角坐标系中相遇， 一个作为纵坐标，一个作为横坐标，便形成了堪称完美的组合。到了高等数学，这种优势展现的淋漓尽致。 我们来举两个例子，这样的公式非常简洁漂亮。现在我们反过来想，如果没有弧度值，这些公式会变成什么样子呢？每一个涉及角度的地方，都会多出一个一百八十分之派的累赘因子， 这对追求简洁与朴实的数学家来说是无法容忍的。弧度值就像一把精巧的钥匙，一刀切掉了所有公式中多余的累赘， 让数学定律展现出他们本该有的最优美的形态。弧度制的引入可以用我们生活中一个例子来类比。我们依靠步行，活动范围是以家为中心的方圆二到三公里。 如果家里买了自行车，则可以把活动范围扩大到方圆十到二十公里，让我们可以到更远的地方去逛公园、去购物，极大的扩大了我们的活动范围。这里需要补充一下，共享单车是近年才有的， 以前有汽车的家庭也是极少，一般家庭都是靠骑自行车远行。接着来说弧度，弧度制引入了，角度制的便利性依然存在， 我们还会在日常生活中使用它。就像我们说桌子角是九十度，一般没人会说二分之派。这就好比我们到楼下去买瓶酱油，不需要骑车去一样，只有需要远行去高等数学这个公园散步时，才会骑上弧度制这辆自行车。 还有一点是我们初学弧度制时感觉不太适应的地方。高中引入弧度制后，数学中并没有为角度制和弧度制的三角函数使用不同的函数名，仍然共用 sine、 cosine 这些名字， 这在初学时会让人有点蒙。实际上 sine x 和 sine x 度是两个不同的函数，学过编程的都知道，计算机里写这两个函数需要分开实现 内部处理不同，甚至函数名就直接区分，但数学上只用自变量，是否有那个小小的代表角度的圆圈圈符号来区分？这或许让初学者感到有些不适应， 这就得怪数学家偷懒了。当然，这是一个玩笑话，或许他们认为那个小小的圆圈圈表示的度已经足够区分，没必要再定一套新的函数名了。今天的弧度制被引入，数学的故事就讲到这里，这里是周中爱科学，我是周中，咱们下期再见。

是我们的话呢，第二节学的是弧度值啊，弧度值，弧度值是在高中的话呢，三角函数的一个核心内容，与角度值相比的话，它能够更自然的融入到我们的整个数学体系。 就是你可以看一下弧度值是什么呀，通过弧长与半径的比值来定义这个角度，那么这个角度的话，与实数就直接对应。后续我们学三角函数的图像呀，性质呀，这个就打了一个基础啊。所以我们的话呢，讲几道题来给 角度换弧度呀，或者说弧度值的表示给他讲透讲扎实啊。我们首先来看第一个啊，第一个三十七度，三十分，我们可以给他写成三十七点五度啊，好，我们除以一百八十度，补上派啊，补上派，那就化解完之后，应该是二十四分之 五派啊，二十四分之五派，哎，度转化成弧度啊，转化成弧度出现派，对不对？好，第二个的话呢，我们继续啊，负二百一十六度，我们比上一百八十度乘以派，那应该是等于负五分之六派，好。第三个，二二的话呢，我们需要怎么样？ 哎，我们说一度等于一百八十度，比上 pi 好， 括号 red， 对 吧？好，那当然了，我们这个二应该怎么样去表示呢？二应该是 乘以一百八十度，比上多少呀？ pi， 哎，比上 pi 好， 那等于多少？ 那等于三百六十度比上 pi， 哎，这样一个弧度啊，这样一个弧度。好。接下来 这样，第四个啊，第四个负十一派，派是多少呀？一百八十度，直接给它换掉啊，那就等于负三百九十六度啊，三百九十六度。同样的，我们继续来练习跟踪训练。哎， 第一个，五百一十一乘以一百八十度，比上多少六，那就是五百一十一乘以三十度，当然了，我们一起可以计算出来啊，是一五三三零这么多度， 对吧？好，第二个，好，同样的，我们可以给派给他换成一百八十度啊。换成一百八十度，那等于多少？负一百零五度啊，负一百零五度。 好，第三个，十度的话，度我想约掉，我就同时除以一百八十度，再补上多少派就给他换成了弧度啊，那就等于十八分之派。十和十约掉啊。好，接下来负八百五十五度。哎，我除以一百八十度，我补一个派就换成了弧度啊，那就等于负四分之多少？ 负四分之十九派啊，负四分之十九派。好，好，那接下来的话呢，我们继续看三个题啊，继续看三个题，来加深一下理解。下列说法正确的是第一个，一弧度的 圆心角所对的弧长等于半径，这个是我们的概念啊，所以这个题肯定是 a。 好， 那 b 选项我们来看一下错在哪里啊？大圆中一弧度的圆心角比小圆中一弧度的圆心角要大， 哎，我们说一弧度的圆心角都是相同的大小啊，所以是相等的啊，是相等的，这个肯定是不对的。 c， 所有圆心角为一弧度的角，所对的弧长都相等。 哎，这个不一定相等啊，这个是不一定相等的。哎，不一定相等的弧长啊。好，那继续用弧度。哎，用弧度表示的角都是正角，我们刚刚表示过的角是不是很多都是负角呀，对不对？也可以是什么角呀？负角，所以这个肯定是不正确的啊。 好，我们继续看第二题，时针经过一个小时时针经过一个小时。我们说我们的三百六十度被分成了多少个小时？三百六十度被分成了十二个小时，那每个小时的角度对应的应该是多少度？ 三十度，对不对？那三十度，哎，我除以一百八十度再补上派，我先给他换成弧度，那应该是六分之派。那我看到六分之派了，我能不能直接就去选 a 了？ 我能不能直接选 a 了？我们说时针的啊，你转圈你是怎么样转呀？你是往右下方转的对不对？你是往下来的，对吧？只要是顺时针的，我们说都是负角，顺时针的是负角啊，所以这个题我们选的是 b 啊，负六分之派，负六分之派啊， 好，哎，有一个道理，你看，如果是这样的，你表示的肯定是什么呀？哎，大家来看一下我如果这样表示的，从这个线啊， x 轴正半轴起，哎，往左上方推，推出来的是一个正角，对不对？那我往右下方推，哎，我往右下方推推，三十度 推出来的肯定是一个负角，对不对？所以 a 和 c 我 们一定是不会选的啊，我们肯定选的是 b 啊，肯定选的是 b。 那 好，接下来我们继续来看第三题， 已知与负六分之七派的中边相同的角。好，我们来看一下，六分之七派和负六分之七派和六分之派肯定是不相等的，对不对？这个肯定是不相等的啊，这个是三十度。那好，我们来看一下这个角度吧，负六分之七乘以一百八十度，那应该是等于负二百一十度。 那我来问的呀，啊，负二百一十度的中边相同的角，我们来看一下 c 选项，负二百一十度加上三百六十度加上循环，这个 c 肯定是正确的。这个题我们选 c， 我 们来看一下 b 错在哪里。 b 是 角度和弧度不统一，我们在一道题里边，你用角度，你都用角度，你用弧度，都用弧度，不准掺，哎，不准两掺啊。好，接下来 d 选项， d 选项的话呢，我们负二百一十度，我们去给他加上三百六十度，哎，我们去给他加上三百六十度，确确实实也能加出来六分之五派，没有问题啊，你说，哎，那我选一百五十度和这个负二百一十度，这不是一样的吗？ 是的，但是有一个问题，我们来观察这个小尾巴循环值，循环值中边相同的角，我们应该是几 k 派，也就是所谓的三百六十度乘以 k， 因为三百六十度要被我们写成几派呀， 二排，所以这个位置我们少了个二，所以 d 选项是不正确的啊，循环值不正确，循环值不正确，记得点赞关注哦。

遇到这种题型不要紧，咱来教你套路方法， 五分钟带你学会扇形弧长公式和面积公式的应用。哈喽大家好，我是艾伦老师。我们先来看第一题，第一题它告诉我们一个扇形的面积和它的周长，让我们求它的中心角。这题考察的主要是扇形的弧长公式以及面积公式。 扇形的弧长公式是 l 等于 r 反 r， 其中 r 法是它的弧度， r 是 它的半径。扇形的面积公式是 f 等于二分之一 l r， 我 们把前面算出来的 l 等于 r 反 r 带进去就是二分之一倍的 r 乘以 r 平方。 这两个公式非常重要，一定要熟记好。那么在本题中，我们知道它的面积是四，周长是十，那我们直接带进去。 首先，一个扇形的周长是由两条半径和一条圆弧组成的，也就是两倍的半径，加上圆弧，也就是 r 法 r， 它们加起来等于十， 并且面积等于四，也就是二分之一倍的 r 平方等于四。其中通过上面这个式子，我们能得出 r 等于 r 加二分之十，将其带入下面这个式子，我们就能解得 r 的 值，也就是 r 等于二分之一。火吧。 那么到这就结束了吗？不，我们都知道弧度，它的范围是零到二派。显然在本题中 r 等于八是大于二派的，因此我们要将其舍去， 所以本期的答案是 r 等于二分之一弧度。接着我们看第二题，第二题他告诉我们一个扇形的周长是定值 a， 让我们求面积的最大值以及此时圆心角的大小。 我们依然要用到前面的两个公式，那么此时它的周长是 a， 也就是 c 等于二。 r 加上 r 等于 a， 和上面类似，此时我们将 r 算出，也就是 r 等于 r 加二分之 a， 将其代入面积公式，也就是二分之一倍的阿法乘以阿法加二的平方分之 a 方。那么我们给他化简一下，就是二分之一倍的 a 方乘以分母式，阿法加上阿法分之四加四分之 一。对于分母的这个式子，大家想必已经很熟悉了，就是我们的一个基本不等式， alpha 加上 alpha 分 之四加四是大于等于两倍的根号，四加上四，也就是八。那什么时候能取等呢？也就是当前仅当 alpha 等于二的时候，我们能取到等号， 将这个式子带入 s 中，它是小于等于二分之 a 方，并我们将前面得出的一个最小值带入，就是八分之一。 所以最后 f 是 小于等于十六分之 a 方的，因此这个扇形它面积的最大值就是十六分之 a 方。此时圆心角就是前面，我们算出当它能取等时的一个 r 大 小，也就是 r 等于二。 因此，综上，当一个扇形它的周长定为定值 a 时，它的最大面积就是十六分之 a 方，此时它的一个圆心角 r 大 于二弧度。

大家好，我是超越老师，我们再讲一个跟弧度有关的，初中的时候学的两个公式啊，你要把两个公式记住，叫 l， 弧长公式叫三百六十分之 n， 然后再来一个二 pi r， 看到没有？好像还有个扇形面积公式叫 s， 等于三百六十分之二 pi r 平方啊，对不对？其实书上这个弧长公式，这个二和一百和三百六十，是不是约过分的？但是我们怎么样不去约，为什么？ 本来就不约的，约他干啥？这个更好理解，这就是分蛋糕，你要分弧长，就是把周长分成三百六十分之 n， 分 面积就是把圆的面积分成三百六十分之，是这样的，所以这两个很好记啊。那么我们在这个里面怎么去给他转换一下公式啊？其实很好转换啊，就这个派， 你如果把它写成一百八十度写成一百八，那你把这个 n 写成弧度字的话，他就立马给它转变过来了，这就是一个公式 l， 在 这个里面他有公式点，如果你把它减二乘一百八，看它去不全圆，是不就是 r r， 这个你要把它记下来，如果你记不住，你就像我这样去 稍微套一下，因为这个你应该能记得住吧。就是把这个派换成一百八，把这个 n 换成弧度字的角度就做出来了，所以这边也是一样的啊。所以 s 是 等于什么？ 是不是这个只能约一个，还有个二分之 r 法，然后 r 方看到没有，是不是这样的？在这个里面，我们在高中的时候经常还会用一个公式，很重要啊，就是这个弧长， 这个弧长是 l， 这个是 l， 我 们在算面积的时候，我们把它记为三角形面积公式啊，三角形，你看三角形的面积公式，什么叫 s 等于二分之一底层高，底就这个弧长底，就这个弧长叫 l， 高是多少高，就这个叫 r， 然后你可以把这个 l 带进来，他就是二分之一 r 反 r 的 平方，就跟这个公式一样，这个在后面的立体几何里面算，也会经常考，这个很重要，因为他往往好多时候他没有告诉你 n， 如果他题目中告诉你 n 了，那他肯定要用初中的公式，如果没有告诉你这个 n， 或者不需要你去求那个 n 的 时候，往往就是这个三角形公式就够了啊。我们一起来看看这个题啊， 你第一个让你去胡长 l， 你 其实还有一种记法啊，就是你看你一周他不也叫 l 吗？只是这个 l 刚好等于 c， 他 是不是等于二派 r 啊？对不对？那，那你 这个二派不刚好，他的是不是弧度值的圆形角啊？ r 不 就是他半径？所以你任何时候 l 就 等于 r 这个东西，反正你结合的怎么样都要把它记下来。为什么让你结合着记？因为这个东西他不经常考， 他偶尔考，你考了有的人就忘掉了啊。所以第一个他是什么先把它画成弧度式啊，他就等于你如果不画的话，你就用触动那个画的话，那就等于是不是三分之派啊，所以这个就是三分之十派， 这个单位一带上是不是这样的就就做出来了。第一个，第二个他说扇形的周长，你看把周长给他画一下啊，周长这样的， 这个叫 r， 这个叫 r， 这个叫 l， 对， 我们就会得到二倍的 r 加上这个 l 等于二十，他现在让你求这个圆心角，使它面积最大，那你先把这个公式给它写出来， s 等于二分之一，叫什么？ l 乘以 r， 记住这是三角形面积公式，跟它类似的，你可以把它看成三角形，虽然它不是， 是不是这样的，然后你怎么样，是不是因为这两个，你可以观察是不是相乘，我们说都是小于等于，所以他会小于等于二分之，这两相加，但这边人家是二 l， 所以 这可以等于四分之一乘以，是不是 二 l 再乘 l， 然后小于等于，是不是四分之一乘以二分之二。 l 加上 l 括号的平方可以把带进来啊？二十的话就是十的，这个是不是刚好小于等于二十五啊？ 是不是这样的？然后当这个二 l 等于 l 及这个 l 等于十， l 等于五的时候，是不是它是最大值啊？这个时候这个弧度至 l 等于 r， r 是 不是 r， r 刚好等于二就做出来了。然后除了这个以外，你看这个，这个，还有这个，如果你想不到这个不等式，你可以用什么？ 这是两个变量，我们叫消元，因为两个变量你做不出来，你得只有一个变量，就给他换掉二分之一。比如说我们留 l 吧，那就是留 l 好 不好？因为这有两倍，那就是 l 乘以一个，是不是二十减二 l， 你 去把它展开，你发现它是个二函数，再对成之后取对值，答案是一样的，自己做我就不做了啊，这个公形的面积啊，我们看一下 公形的面积，这样这样是不是这样的？ l 是 等于二，然后这等于一个三分之派，对， 对不对？我们说这个，先把这个 l 算出来， l 是 等于一个，是不是三分之二派啊？公弦是不是这个要把这个，这个是一个什么弦啊？ 是不是六十度啊？这个六十度是不是等边三？等边三弦 s， 你 要记下来，叫它等于四分之根号三倍的 a 方，所以它等于根号三，所以最终答案这个就是 s， 就 等于这个大的扇形叫这叫 s 二吧。是不是还有个 s 一？ 忘求了， s 一 就是二分之一乘以 l， 再乘以 r， 把它带进来，那就是二分之一， 三分之二，那三分之四那约掉是不是还是三分之二呀？是不是还是三分之二派？所以最终答案就是三分之二派，减去这个什么根号三就做出来了。