二元函数凹凸性

同学们，我们一起来画一个函数的图像。画函数图像之前呢，我们必须在了解函数图像的这五个性质 啊，只有这样我们才能尽可能精确的画出这个函数图像的草图。好，来，我们第一点先了解一下函数的单调性，其实我们之前学过，对吧？所谓单调性，就是随着 x 的 这个增加，它的函数值也增加了，我们称这个单调递增， 然后这个如果说 x 增加值减小呢？我们就称为单调递减。然后这个定理一给了一个判别方法，这个判别方法其实我们之前已经学过了，对吧？我怎么学？这个导数是不是就等于什么 dy 比 dx， 对 吧？你这个大于零的时候，也就是说随着 x 增大，你这个 dy 是 y 的 增量， y 也增大，那 y 是 大于零的，对吧？你这个，那你这 y 就 要增大，对吧？你这个小于零的时候，也就说 dx 增大，他 dx 一定是大于零，对吧？然后这个 dy 是 一定是小于小于的吧？因为他俩相处小于吗？所以说，那你这 y 就是 递减， 我们直接用极限的定义来说明了，为啥说一阶导大于零，他就是单调增加的。一阶导小于零，为啥是单调递减的？我们课本上是用什么 用呃，拉格朗日中置定律来证明的，这个证明方法也挺也非常巧妙，大家可以看一下。好，我们再看函数的凹凸性和拐点。什么是凹凸性？我们说这个是，嗯，一部分函数图像， 我们呢在 x 一 和 x 二上连接一个弦，如果说这样弦不包括端点值啊，如果弦上的值不包括端点值，弦上的值一直都大于函数值， x 一 和 x 二之间所有的函数值都比这弦上的值小。我们称这个弧是什么呢？是凹的凹弧。与此相反，如果说弦上的值都小于函数值，我们就至就称为这个是凸弧，凹凸性，所以说 就是这个意思。好，我们怎么判别凹凸性？说我们这个函数图像，如果说他有一阶导，又有二阶导，如果说我二阶导在这个定义域内，他是带领的，我们就说 它是凹的， ab 之内的函数图像它是凹的，然后如果说它小于零呢？我们就说它是凸的，这个是为什么？好，我，我们不去证明啊，我们说明一下，为什么你这个当你二阶导大于零的时候意味着什么？ 是不是一阶导递增啊？一阶导单调递增。理解吧，也就是说我这个一阶导数越来越大，那一阶导数越来越大，比如说这个图像 y 等于 x 的 三次方， 一阶导数越来越大，是不是这这个 x 从零往正方向走的时候，是不是一阶导数越来越大呀？ 好，越来越大意味着啥呢？这个 f 一 阶导数还等于啥？是不是 tan 的 阿尔法斜率啊？斜率越来越大，越来越接近于九十度，是不是 这个阿尔法越来越接近九十度了？注意，永远取取不到九十度，也就是函数图像会变得越来越陡，它是你刚开始挺平缓的，对吧？然后是不是越来越陡，越来越陡啊？ 那你一定是凹的，理解吧，这个其实非常好理解。同理，你这小零的时候意味着什么？是不是一阶导数递减啊？一阶导数递减，导数越小，是不是阿尔法？干啥？阿尔法 越接近于零度啊？是不是越来越平啊？对吧？ ok， 是 不是这种本来挺抖的，但是还是头上越来越平缓，越来越平缓，因为他这个夹角越来越接近九十度吗？那么你这个就是什么凸出来的凸的，好理解吧？我，我们不去证明，好吧， 好，我们凹凸性了解完之后再看拐点。什么是拐点呢？就是拐点，说的意思就是说我凹凸性在这里发生了改变，比如说这个圆点，你这边不是凸的吗？对吧？这边是凹的， 在零点，凹凸性发生了改变，我们就说什么这点是拐点，然后拐点你看有什么特征啊？拐点是不是刚好是二阶导大于零和等于零的临界之处，因此拐点一定是什么？ f x 二阶导等于零的点，我们叫拐点。 好，仅仅是这样吧，我们来看求拐点的方法，首先我们得求二阶导，对吧？你二阶导块求出来，然后我们另二阶导等于零，然后求出二阶导等于零的点，又加了一点 或者是不存在的点，比如说你二阶导求出来之后是一个这个，呃，假设啊， 比如说这个是一个关于 x 的 呃某个式子，然后后上面也是个表达式，那你下边是一定这个式子一定是不等零的，对吧？因为他做了除数，对吧？不能等于零，那你也就说 x 在 某些点他是不存在的， 不存在二阶导，那这些点你也要注意，如果说这些不存在的点，左边的二阶导他是大于零，右边二阶导小于零，就是大于零，小于零发生了变化，或者是左边小于零，右边大于零，只要他发生变化，其实这点也是拐点， 老师马上给出例子说，第三步是什么？对，二中求出来的每一个点，包括这个是不是二阶导的零点，还有这个不二阶导不存在的点，我们都要检查左右两侧的符号，二阶导的符号，对吧？如果他是大于零的话， 左边大 a 零，右边小 a 零，那他就是拐点。左边小 a 零，右边大 a 零，那他也是拐点。两边符号一旦相同，都是大 a 零或小 a 零，我们就说他不是拐点，好吧，比如说 这个是不是拐点，是拐点？好，我们来看一个例子，说求这个曲线的拐点和凹凸性。第一点我们是不是要观察这个曲线的特征啊？ 是吧？然后我我们给化解一下，是不是 y 等于 x 的 三分之七次方加上负的 x 的 三分之一次方，然后写彻底 x 的 三分之七次方，减去 x 的 三分之一次方，对吧？这个我们先求一阶导，对吧？求出一阶导之后 再求二阶导，那这个求导法则还记得不？ 然后我们再把二阶导是不是给它求出来啊？是不是啊？九分之二十八，老师直接写了啊， x 的 三分之一次方加上九分之二的 x 的 负三分之五，然后我再化解一下，等于九分之二的 x 的 负三分之五次方，括号十四倍的 x 平方加一。 这时我们直接令什么 y 撇撇等于零，是不是二阶导等于零？我们突然发现它不存在 零点，对吧？不存在零点，然后但是有没有 y 撇撇不存在的点呢？有的， 是不是 x 等于零时它不存在啊？因此我们要验证 x 等于零，左右两边的符号，对吧？当 x 大 于零的时候， y 撇撇是不是大于零啊？也就是说我这个函数是凹的， 对吧？当 x 小 于零的时候，我的 y 撇撇是不是小于零？也就是说我这个函数图像是凸的， ok， 那 我这个拐点跟凹凸性是不是求出来了？因此拐点，拐点是零，零是不是？然后它的 凸区间是负无穷到零，这个是凸区凸区间，对吧？凹凸间是什么？零到正无穷？好，我们求完拐点和凹凸性之后，我们看， 再来看这个函数的极值与最值。首先我们看这个什么是函数的极值。说在 x 零的领域内，如果说我能取到最大值或最小值的时候，我们称这个。 呃，这个如果是最大值，就称为这个极大值，最小值我们就称为这个函数 f x 的 极小值，因此这个极大值和极小值，它不是整体的极大最大值和最小值，对吧？它只是一个局部概念，为啥？是因为在 x 的 领域内嘛？ 是吧？那第二个极致点可能是注点或不可导点，注点是什么意思？ f x 撇等于零，这个是它注点，对吧？一阶导等于零的点是它注点，然后不可导点是啥意思？举个例子啊， 这点是 x 零，你注意左边刻到，右边刻到，但是在 x 零处它不可导，因为左右导数不相等，因此它是不可导，但这一点是极大值，对吧？还有这种 左左右，这一点不可导，对吧？但是它是极小值，因此极值点可能是注点，也可能是不可导点。那这个时候我们要看说极值存在要有哪些条件啊？ 首先是必要条件。必要条件是啥？是他是极致的时候，我，我们能推出什么东西，而不是，但是他这个并不充分啊，你注意一下子，说可导函数在 x 领取的极致，那么 fpx 啊，零处的导数一定等于零，这个是不是由费马因里直接得出来了？好，这刚好避免了我们说那个不可导的情况，知不知道这个不可导的人说的是可导函数吗？ 对吧？然后又说可导函数的极致点一定是注点，这个这种小尖尖的情况是不是排除了？ 但注点不一定是极致点，为啥注点又不一定是极致点，注点干啥？注点是不是 f x 撇等于零的情况呀？那这种情况，来来来，我画个头像画出来啊。啊， 这个此时的切线刚好是 f 撇， x 零就等于零， 但是你看他是不是基值点，这个函数是不是一直在递增啊？当然这一点不是严格的递增，这点他等于零了，不是严格递增，但是他一直在递增，因此他根本就不是基值点， 对吧？我们再看说什么情况下才是极值点，我们给一个充分条件，有没有这种可能性？注意啊，先递增，然后再递减，这是 x 零，那这是极大值，对吧？ 这边是不是 f x 一定要大于零，因为它递增嘛。这边是什么？ 小 a 零，对吧？因为它递减嘛？好，再看一种这种哇， x 零在这是不是 f x 撇干啥？小 a 零， f x 撇，大 a 零，这是 x 零，对吧？这个是极小值，对吧？ 但是 f x 撇等于零的时候，不可以，我们判断不出它是极大值还是极，我们一起来看判断极值的第二个条件说， 一阶导在 x 零处等于零，那么 x 零处的二阶导如果不等于零，当二阶导小于零的时候，我们就说这个 f x 零是极大值，如果它二阶导大于零呢？我们就说 x f x 零是极小值，这个是 为什么？首先我们看第一个说，根据极限的保号性，我在 x 零的某个 领域内，有这个 f x 的 二阶导是小于零的，也就是说一阶导是干啥？ 单调递减的，一阶导单调递减，我 f x 零 处的一阶导又等于零，说明左零域 f x 撇是干啥？一阶导是大于零的，右零域 f 一 阶导是小于零的，只有这样你在递减的过程中才能经过零吗？ 对吧？那么我们看一阶导递增，一阶，一阶导大于零，它是函数，是递增的。然后一阶导递减，函数是 一阶导小于零，函数是递减的，刚好这个 f x 零是不是极大值啊？ 同理，你这个二阶 f x 零处的二阶导大于零的时候，你有个什么？是不是二阶导在 x 零的某个领域内，他是干啥是大于零的？那这个是不是递增了？这个是不是变成这样了？因此他是极小值，这个非常好理解，对吧？ 好，我们接下来看一看，这个求极值，这个没问题，对吧？ 然后我求出全部的注点，还有不可到点，因为我的极值只有可能出现在注点或者是不可到点， 但是注点和不可到点是不是极值需要我去验验证。用什么条件验证呢？就是用我我们刚刚学过的这个第一个充分条件，还有第二个充分条件去判定说注点处或者是不可到点处是不是极值，然后是极大值还是极小值，对吧？ 然后我们验证完之后，我们就能求出各个函数的这个全部极值。好，我们求完全部极值呢？我们就能求最大值和最小值。为什么？因为极值是什么？ 极值是函数内定域域内所有局部 的最大值，或者是最小值局部的，对吧？那我把所有的这个极值和呃都考虑在内取，它的最小值是不是整个函数的最小值啊？ 然后它的最大值就是整个函数的最大值，对吧？因为这个极值中一定包含函数的最大值和函数的最小值，没问题吧？好， 我们有了极值，有了最大值和最小值，我们的草图基本上啊就要出来了，我们继续看。其实还有一个渐近线 这个东西老，我们这个水平渐近线跟这个千值渐近线也叫数值渐近线，我们之前学了，是吧？ 老师当时的比喻是什么？说无论是水平的还是铅直的，都能理解成一堵墙，那你的函数图像可以无限接近它，但是永远无法跨越它，无法碰到它，理解吧？你这数值的也是这样的， 或者是这样，这样都可，图像是这种组成的，然后这个水平的和数值的怎么求？一个是趋向于无穷，等于某一个定值，我们就说是水平的，你图像画出来立马就理解了，然后趋向于某一个。呃，定值 x 零， 如果他的值等于无穷，或者是呃从左边从右边趋向等于无穷的情况下，我们说这个 x 等于 x 零是什么？是他的牵直线线，也叫垂直直线线，这个好理解，啥意思？比如说你这个贪心的 x 的 图像， 你这个是二分之八的图像，是这样的，他这个是无穷增大的，对吧？但是他永远 跨不过这个 x 等于二分之 pi 这条直线，对吧？理解，因为他那个 x 在 二分之 pi 处没有定义， 没有定义，对吧？所以说他是个牵直线进线啊。今天我们新学了一个叫倾斜进线，什么意思呢？就是说我们在画图像的过程中，在无穷远处，这个图像在斜着有一堵墙，比如说你这个图像只能无限接近它， 但是永远无法碰触它，可以无限接近它。我们叫这个渐近线，叫啥呢？叫 倾斜渐近线，也叫斜渐近线。好，这个斜近线怎么求？我们说，呃，这个曲线跟这个直线，它俩是无限无限接近的，那满足什么关系呢？是不是就是说我这个 f x 与这个直线之间的距离？ 无穷是要多小有多小啊？我们之前学极限的时候，要多小有多小？怎么表达？是不是 f x 减去 i x 加 b 的 绝对值小于 epsilon， 这个 epsilon 是 一个大于零的要多小有多小的数。 这个时候其实是什么呢？其实当 x 趋向于无穷的时候，我这个 f x 就 干嘛 就等于 a， x 加上 b， 因此我的 x 等于什么？ x 就 等于 f x 减 b 除上一个 x， 你 这个溢除，因为你这个 x 是 趋向于无穷的，因此它就等于 x 除上一个 f， x 除上一个 x， 后面没了。因为 b 是 一个定值，它除上一个无穷大，它等于无穷小了，是吧？ 你千万别忘了，这个 x 是 圈无穷大的。好，这个啊，这个是 a 啊，因此我我们就能求到 a 了，求到 a 之后，那么 b 怎么求？我们把是不是把把 a 给带进来啊？把 a 带进来， 那么我的 b 就 等于 f x 减去 ax， 然后把这个极限给求出来，对吧？ x 去无穷大的时候，它俩差就是 b。 好， 这个斜渐近线，我我我们这个出来了，你看基本上函数所有的特征我们全都求出来之后我们开始画这个函数图像，怎么画？ 第一点是干啥呢？几何特征要找到，比如说你这个是低油性啊还是周期性啊？如果说是周期函数，你只需要画出一个周期，然后你是吧剩下的全部是重复，对吧？如果是 记偶性，比如说是偶函数，你是不是画出这个？因为偶函数，关于关于挖油对称，我只画只需要画出呃， y 的 正方向或者 x 正方向，或者 x 负方向一个，另外一个另外一边直接照抄就完事了，对吧？好，我继续要求出什么？一阶导，二阶导， 然后呢？还有定义内所有的呃，一阶导和二阶导的零点，这些都是什么？都是注点。呃，然后二阶导又关系到这个函数的凹凹凸性，对不对？ 好，然后一阶导又关上它的递增还是递减？所有的定义域，是不是？然后第二点什么？将定义上的零点和不存在的点全部分割， 是吧？我们分割之后是不是分成好几个小的这个，把这个大的定义域就分成好几份了？好几份之后，那么 由于他这个零点跟这个不呃，不存在的点，我们分割之后，那么在分割后的定义域他一定是单调的，要么单调递增，要么单调递减，而且什么我们能确定他的升降，而且能确定他的凹凸性，因为这个 他的符号我我们他的变化也能确定，对吧？然后拐点和极致我们全知道了，这个时候我们又知道渐近线了，我们是不是能大致的把这个 函数的这个草图给它画清楚啊？这些东西画出来的时候，还有一点就是第三点，我们画的时候特殊点也要求出来，比如说你这个函数图像与 x 轴或 y 轴有个焦点，是吧？这个焦点，比如说这个有个焦点，你把焦点也求出来， 这个时候我们图像就能画出来了。好，我们呢来看一个具体的老师带着大家把一个呃完整的这个函数这个草图给大家画出来。好， 这个函数是 f x 等于 x 平方，减四分之 x 平方。第一点，我们是不是先找出它的定义域啊？它的定义域很明显是除了正负二的， 除了正负二的什么实数全是它的定义域。然后而且 f x 是 偶函数，你发现没？偶 函数你可以把画一半，另外一半给它对称过去，或者是你全画了，然后检查检查是不是偶函数，如果不是偶函数，那我们就画错了嘛，对吧？我们得求出一阶导，对吧？求一阶导 等于负八 x x 平方减四块平方。这个求导公式还不熟悉的回去再复习一下，然后我们再一阶导，再求继续求导， 这是二阶导数，是不是一直在利用求导公式啊？求导公式不熟悉的同学回去一定要把求导公式给我背熟了，这个是基本功，没啥技巧。 然后我们是不是求出注点啊？然后令一阶导等于零， 我们发现一阶导等于零的时候， x 就 等于零，因此什么 x 零是它的注点，对吧？ x 零是 是 f x 柱点。然后我们再看这个时候，呃，我们把零处的这个二阶导，我们用那个判断条件二看一下，把零处的二阶导把它带进去，刚好你带进去之后，你会发现它是小于零的，因此 什么 f 零等于零，对吧？是什么？极大值？因为二阶导是小于零了，因它是极大值。 好，这个一阶导，二阶导，然后我我我，我们都求出来了，然后注点我们也求出来了，对吧？为了方便表达呢，我们需要列个表，就是把 我们把他的这个定义域，还有这个呃，注点全部都给他分开了嘛。好，我们开始列个表，啊，啊， 这个是啥呢？是上面是不是定义域啊？首先是，呃，负无穷到负二，对吧？然后是负二到零，零是注点，对吧？ 零，因为注点我们零给单列出来。然后是看什么零到二， 然后二到正无穷，检查一下我们这个定域是不是除了正负二的实数，对吧？都包含了，对吧？首先 个富无穷到二，上一阶导是大于零的，对吧？你可以你带进去吗？ 呃，因此我这个函数图像它是递增的，没问题吧？然后二阶导也是大于零的，它不只是递增的，而且还是凹的，应该是这种吧？递增函数图像是递增的，而且是凹的，没问题吧？应该是这种。 然后负二到零，首先一阶导是大也零的，然后二阶导也是小也零的，这个时候他应该是递增，但他是凸的，应该是这种，对吧？ 然后零的时候，呃，零的时候它一阶导干啥就等于零，然后二阶导是小于零的，紧接着我们得出它是极大值，对吧？ 零到二的时候，首先我这个一阶导它是小于零的，二阶导也是小于零的，这个代入验算一下就行了，对吧？因此它是递减，而且是凸的， 对吧？递减，凸应该是这种，对吧？然后二到正无穷上，我一阶导是小于零的吧？ 二阶导大于零，因此它还是递减，但它是凹的，这种，对吧？好，我们这个基本上特征，呃，就知道了。然后我们是不是要把这个渐近线给它求出来啊？ 啊？然后求出来之后，我们发现这个啊， y 等于一是水平渐近线，自己求的过程，同学们自己来求啊，说 x 等于正负，二是什么？是偏值渐近线， 然后五斜斜，没有斜渐近线，然后紧接着我们就把这个图像给它画出来了，对吧？首先我们把把这个 x 轴， y 轴，这个比较简单， 正负二，对吧？先把正二给画出来，这个是二，然后这个是负二，还有 y 等于一，也给它给它画出来， 这个就好画。然后关键点是不是过零零啊？这个 哦，图像比较乱，基本上大家能看明白，好吧？然后这个画函数的草图，期末考试基本上百分百考， 但是考研的话，呃，也有可能考，但是没有期末考试那么大的，基本上这个题期末考试百分之一百都是要考的，好吧？啊，这个类型的题啊，不一定非得是这个题，我们这个做草图这一节我们给讲完了。

首先我们看下这个图像，我们要知道什么叫做凹凸区间， 你比如说这一段他对应的是凸的，那么这一段的区间那对应的就是突区间，像这一段他是凹的往下凹的，那么这一段的区间就对应的是凹区间， 那在这个突区间与凹区间，他们之间他有一个交界的地方，就是从凸到凹，那么这一点我们就叫拐点。 好，下面我们给出这个做题方法，如果要求这个凹凸性与拐点，首先我们要求二节导，求二节导以后由二节导大一点，我们可以得到它的凹区键， 由这个二阶岛小一点，我们可以求到他的图区间，然后由这个二阶岛等于零，而且在这个等于零左右，这个二阶岛 我是一号的，我们就可以得到他的拐点。 这个地方给大家说一下，这地方大于零的时候，他对应的是凹区间，他并不是凸区间，这个和我们四位啊有点相似，相反，所以啊，记得时候不要记混了。 然后我们来看一下这个题目，同样呢，如果要求凹凸区间以及拐点的话，我们同样呢先把它的定义域给写出来，那么这个题的定义从负无穷到正无穷。 然后我们在求二节倒，求二节倒的话，我们要求先求一节倒，那就相当于这个式子求一节倒，他的得到结果应该是这个结果， 这个具体的倒数的做法大家自己做一下，然后琼王一接到以后，再对这个狮子求二接到，那就再倒一次，再倒到下面这个狮子，这是经过化验整理过后的结果哈。这个球倒的 过程，大家自己在沿道纸上做一下，求完这个二节导以后，由这个二节导大于零，我们就可以得到他的这个凹区间，他是二到正无穷的， 然后再由这个二阶岛小于零，我们就可以得到他的突区间，他是负无穷到二的，那么这里的凹凸区间我们都求完了，下面我们来求拐点，这个拐点很容易可以看出来是二，那么我们可以写出来，也就相当于由这个二阶岛等于零可以得到 s 是等于二的。 那么求出来这一点以后，我们一定要判断一下，在这个 s 等于二这一点左右是否一号。在 s 左边的时候， 他对应的应该是 y， p 还是小一点的。在这个 s 等于二，他的右边的时候，他对应的应该是 y， p 是大一点的。 最后满足左右一号，那就是一边是凸曲线，一边是凹曲线，所以说这个 s 等于二，他对应的应该是拐点。 这个地方还有一点需要大家注意的就是拐点是一个点，他并不是 s 等于二，所以说你要把这个 s 等于二， 再入到这个圆盘里面去，然后就得到 y 的值，然后就可以得到他的拐点，他应该是 s 是等于二呢， y 是等于二倍的 e 的负二次方，那么这个题就算完成了。

这个视频我来给你讲讲函数凸性的特征。简单的分，函数凸性有两种长，这样叫向下凸，而这样是向上凸，他俩有啥不同呢？ 先看向下图的函数，在图像上任意区两个点， m 一和 m 二，连接 m 一 m 二，发现没？函数 fx 在区间 x 一到 x 二上的图像总是在线段 m 一 m 二的下方， 而向上图的函数同样取点连线函数 fx 在区间 x 一到 x 二上的图像就总是在线段 m 一 m 二的上方，这就是函数凸线的几何特征。接下来我给你讲讲他的代数特征。 先看向下度的曲线段 m 一 m 二的终点，哎，那他的横坐标就是 x 一跟 x 二的平均数二分之 x 一加 x s 二动作标就是 fx 一和 f x 二的平均数，也就是二分之 fx 一加 f x。 而图像上这个点 b， 他的横坐标是二分之 x 一加 x 二，那纵坐标就是 f 二分之 x 一加 x 二， a 在上， b 在下，所以 a 的动作标就大于 b 的动作标，这就是下图函数的代数特征。 只要函数图像向下图，在电音域内都有二分之 fs 一加 fx 二大于 f 二分之 x 一加 f 二。 反过来，如果已知函数 fx 取定义域内的任意时数 x 一和 f 二，函数解析式都满足这个不等式，那图像就一定是向下度的。 用类似的方法能够证明上图函数的特征跟他恰好相反，你只要把大于号换成小于号就成。反过， 如果知道函数 fx 取电音域内的任意时数 x 一和 f 二函数解析式都满足这个不等式，那图像就一定是向上图的。 前面讲的这两点，对于所有的图像为弧形的函数都是成立的，比如这两面函数在第一象限 x 的三分之四次方的图像长这样是向下图的，那对于任意的正式数 x 一和 x 二就都有二分之 fx， 一加 f x 二大于 f 二分之 x 一加 x 二。 而 x 的三分之二次方的图像长这样是向上涂的，那对于任意正式数 x 一跟 x 二，就都有二分之 fx， 一加 f x 二小于 f 二分之 x 一加 x 二。 再比如指数函数二的 x 四方图像下图，那对于任意时数 x 一和 x 二都有二分之 f x 一加 f x 二大于 f 二分之 x 一加 x 二。而对数函数落个二 x， 图像长这样向上涂，那对于任意正式数 x 一和 x 二都有二分之 fx， 一加 f x 二，小于 f 二分之 s， 一加 x 二。 好了，讲了这么多，总结一下吧。这个视频我主要给你讲了函数图形的特征，对于图像为弧形的函数都有，若图像向下图，则二分之 fs， 一加 f x 二大于 f 二分之 f 一加 x 二。 若图像向上图，则二分之 fx 一加 fx 二小于 f 二分之 x 一加 f 四。二。怎么样，明白了吗？明白了就赶紧刷题去吧！

那么我们怎么判断这个函数的凹凸性呢？呃，比如说我们要做这一题，我们要判断这个 y 的 x 三次方他的凹凹凸性，那么我们应该怎么做呢？ 我们主要是根据这个定理，如果这个函数在这个 b 区间上联系，而且在开机界上既有一阶和二阶倒数，那么如果将这个区间内 二阶导数如果是大于零，那我们就可以知道这个函数在这个区间上是凹的，如果二阶导数是小零，那么这个，呃函数，呃，在这个区间上他是凸的，那么也就是说告诉我们我们要判定函数的凹凸性，那么我们主要就是看二阶导数啊，主要就是看二阶导数， 那这一题的话，我们怎么做呢？啊？我们首先第一步，我们肯定要讨论他的定义啊，讨论他的定义。第二步，我们要求导数，那么这边不仅要求出一阶导函数，而且二阶导数也要求出来，那么第三步我们这边是列表号，呃，我们第三步，那么我们这边的话呢，就是要另 二阶倒数等于零，然后解除这个 i， 开始是等于零，而且还要注意哈，那么这个，嗯，二阶倒数要不存在的点，那我们的话这个是用来干嘛的呢？这个就是一个分界点，因为我们第四步的话，我们是列表， 所以第三步是找分界点，那么这个时候要注意我们的分界点和以前写的有点不太一样，以前的时候是注点对不对？一接导数等于零的点和导数不存在的点，这边凹凸性的话是讨论的是二接的，所以我们要的是二接导数等于零，还有二接导数不存在的点 啊，然后我们的话呢，就可以列表啊，我们就可以列表，那列表以后，那么我们就可以知道他这个分界点，零把整个数轴就分成了三部分啊，整个数轴，那么这个零吗？ 这个零把整个数轴就分成了啊，两部分啊，两部分，一个是负无穷到零，一个是零到正无穷。那么接下来我们主要是要看二阶倒数，二阶倒数，在这两个期间里面啊，他是大 带零还是小零，那比如说服务就拿到零这个区间，那么二阶到处是带零还是小零呢？那这个负我们是怎么判断的呢？你可以起一个特殊指，比如说在这个里面，你起一个负一，然后呢带到这里面去，带到二阶导航书里面去，那负一带进去等于负六，负六是不是小零的？所以我们就可以知道在这个区间里面他都是小零的， 那么零到正无穷大呢？同样的你带一个数字进去，比如说带一个二等于十二大于零，那么这就正，那我们根据定理可以知道二阶导航数如果是小零的，那么这个时候他就是凸的，如果是大于零的，那么他就是凹的，所以的话呢，我们就可以得出我们要的结论。那么在负乌从那到零内，他是凸的，在零到正无从大内，他是凹的， 所以我们要判定函数的凹凸性，主要就是看二阶倒数，二阶倒数，所以的话呢，这个要注意一下哈。

为啥国内的凹凸函数跟国外是相反的呢？其实本来国内跟国外的凹凸是一样的，是国内后来往反，这给改了。首先，国内关于凹凸函数的定义是啥呢？一般呢，咱把函数分两种，一种啊，长得像个碗，或者说像个 u， 我给他起个小名啊，叫小 u。 还有个长得像个锅盖，或者说长得像个 a， 我管他叫小 a。 同级版高端数学叭叭叭定义了半天，我总结一下就是小 u 这个叫 o， 小 a 这个叫凸。清华版的危机分一里面都是别出心裁，管小 u 叫下凸，管小 a 叫上凸。 特意标注了一下，下，凸是别的文献里的凸，上凸是别的文献里的 o。 哎，晕了吧，反正我自己大一学到这的时候，到最后都整不明白到底小优秀 a 哪个凸哪个哦，国内既然是乱的，那外国原版长成啥样呢？英语里的凸啊，叫做 convict， 叫做 concave。 大部分教材啊，都把小 u 的叫成 to， 把小 a 的叫成 o， 这跟国内同记本的 uo 完全是反过来的呀。而且很多从国外翻译过来的经济学教材 都引用了这个外国的定义，导致每年学这些的学生都崩溃一小波。至于一些比较新的外国教材，统一不提凸的说法，而是把小 u 叫成上凹，把小 a 叫成下凹。哎，这个跟清华版那个有点像，所以这凸凸凹凹这么多叫法到底是个啥来历啊？这得追溯到凹凸函数的起源， 来自一个电话公司的工程师，异于世界研究高出的名科传奇约翰詹森。当年我上高中的时候，翻译好像叫琴声，这名字特文艺，特好听，我甚至当时拿琴声当外号。他的主要成就也就是詹森不等式。 说是詹森吧，好好的班不上，为啥研究数学呢？那肯定不是为了发明詹森不等式来折磨高中和大学生的。詹森的野心其实是证明弥漫猜想。这么看的话，一百多年来的名科目标追求都还挺一致的。区别是这位是真的天才，在业余时间，他墨鱼写的论文 直接登上了到今天仍然是数学顶刊的 astro mathematics， 就到今天也没有几个中国人在上面发表过文章，而文章用的法语的 too， 就是今天 凸函数的起源，其中小 u 是凸，小 a 是 o。 那他为啥这么规定呢？这个文章是一九零六年发布的，其实在一八九七到一九零三年之间，恩斯坦恩老师米可夫斯基就发表一大堆论文，专门研究了突极和突性。比方说呀，这有一个集合，假如你在这个集合里边随便画线，线段都仍然在他的内部，那他就是突极。 假如你能画出来任意一个跑出去的线，那他就不是突击了。米可夫司机搞这个，一开始纯粹是兴趣使然，后来意外隐身到了高危空间，甚至进行突性，成了应用术学校不开的词。而詹森发现，这些小优啊，随便画线都满足在函数里边满足突击的定义啊，于是这个就叫成 ok。 你看这外国定义挺清晰的，那所以是国内翻译的过吗？那倒也不是，之前很多网友说是因为当年我们拿前苏联教材给翻译错了，这可真是冤枉人家了，我特意翻了好几天，这么些年以来咱们用过的中文教材，这一九五四年版翻译的飞科金戈尔茨的危机分学教程 里边定义明确用的就是上凹和下凹，跟今天的西方教材完全一致。甚至国内统计自己编写的今天同级版高数的原型，一九五四年版的高等数学讲义，也同样用的是上凹和下凹。结果同样的书信，过了五十年，到今天就摇身一变，跟国际标准不一样了。我没有机会去采访这些教材的编撰者， 知道他们自己改的心动历程，只能盲猜。可能是啊，中文汉字的凸更能跟那个小 a 对上，凹长的跟那个小 u 对上。于是呢，他们就来了个本土化改编。但造成的结果却是这么个非常基础的概念。中国几十年来，几 千万大学生的认知都跟国际是完全反着来的，这从结果上看，还是让人挺遗憾的。最后给大家一个万能小技巧，如果是中文教材，那小 u 就跟汉字凹队长是凹函数，小 a 就跟汉字凸队长，那就是凸函数。如果是英语教材，那带 a 的 concave 就是小 a， 不带 a 的 convict。 小优，反正我自己最大的盼望就是，以后真别叫啥凹凸了，直接叫 a 函数 u 函数 a 姓 u 姓，那从此天下太平。

今天我们来讲一下函数的凹凸性，这个概念是大学高等数学的内容，但是高考有些题目会涉及到一点点，今天我们就来见识见识。对于单调递增函数，它分两种情形，第一种呢是向上凹的曲线，还有一种呢是向上凸的曲线， 这两种有很大的差别，下面就具体来看一下。先来说向上凹的曲线，在曲线上随便找几个点，一个点的是 a 点， 在坐标呢是 x 一 fx 一。还有一个点的是 b 点，坐标呢是 x 二 fx 二在 x 一 x 的终点位置呢，也就是 x 一加 x 除以二。这上面呢，找到一个点 c 点， c 在曲线上，所以它的坐标呢，就是这个。还有一个点呢，是 ab 的终点， 点地地不在曲线上，他的坐标呢，就是拿着 ab 两点的横坐标向加除以二，纵坐标向 加除以二。从图上呢，很明显能观察到地点呢，是在 c 点的正上方的，所以可以得到 ab 的平均值是大于中间的函数值的。接下来再来看第二种情况，向上凸的曲线还是像刚刚那样找几个点。首先呢，是 a 点， 坐标呢是 x 一 f x 一。还有一个点的是 b 点，坐标呢，是 x 二 f x 二， x 一跟 x 二的终点呢，是 x 一加 x 除以二。 c 点呢，就是中间位置的函数，持地点呢是 a b 两个点的中点。从图上呢，很明显的能观察到 c 点在 d 点的正上方， 所以可以得到中间的函数值呢，是大于 ab 两点的平均值的。除了这个不一样之外，对于凹凸性不同的函数，他们的切线与曲线的关系也不一样。现在看向上凸的函数，他的每一条切线呢，都在这个曲线的上方，但是对于上凹 高的函数来说，他的每一条切线呢，都在这个曲线的下方，那具体用代数是如何去表示呢？下面就来看一下。现在看向上凸的曲线，我们要先求一下他的切线方程，随便找一个 a 点， 它坐标呢是 f 零 fx 零，根据导数的几何意义，在这一点处的切线斜率呢，就是在这一点处的导数， 所以可以得到 k 等于 f 片 x 零知道的一个点，同时又知道斜率，我们再带入点斜式化解一下，就可以得到这个切线方程，等于下边这个式子。根据刚刚的结论，切线一直是在曲线的上方，所以可以得到切线呢，它是大于等于 fx 的。 下面呢再来看向上凸的曲线，还是相同的研究方法，先来找他的切线方程，切线方程的利用点斜式跟刚刚的分析过程是一样的，他的切线呢就是这个式。由图上可以观察到，曲线一直是在切线的，这上 可以得到 fx 呢，一直是大于等于这条且线的，这个就是函数凹凸性的两个特点。今天讲的内容有点难，不知道你听明白了没有？

大家好，今天啊，我们来研究函数的凹凸性，我们知道函数的性质有非常多，比如说单调性啊，周期性等等，今天我们就来研究他的凹凸性。我们先来看着这个图， 从 a 到 b， 可以选择直接由直线连过去，也可以从上面经过 d 过去，还可以从下面这样经过 e 过去。那我们把从上面过的这种呢叫做这个函数是凸的，从下面过的这种呢叫做函数是凹的。 那具体什么叫突的，什么叫凹的，他们又是如何判定的呢？我们来看这两个图，我给出了第一个图，在这段区间上任选 x 一 x 二这么两个点，那么他们的终点就是二分 分之 x 一加 x 二，那 x 一 x 二分别对应的他们的函数值就是 fx 一和 fx 二，那终点对应的函数值呢？就应该是 f 二分之 x 一加 x 二呢？ 这时候只用直线连接这两点的话，那终点的函数值就明显小于这两端点函数值的平均值，那我们把这具有这种性质的函数图像叫做它是凹的。 同样的道理，我们来看这个图，还是任选了 xxr， 还是同样去分析他的终点函数值与连线以后端点函数值的平均值的大小关系，那我们就能得到相似的结论。 那我们进一步来想，到底如何判定一个函数是凹的或者一个函数是凸的呢？我们先来看凹的，如果一个函数是凹的，那么他的单调性是不会发生变化的， 单调性不变，说明他的一阶倒数应该是横号的。继续来看的话，整个二阶倒数就应该是大于零的。 同样来看这里的话，他是凸的，说明他的单调性不会发生变化，但是函数的变化率在越变越小，就说明他的一阶倒数在慢慢的变小， 那继续说明的话，就是他的二阶岛应该是小于零的，这就是函数的凹凸性，你听懂了吗？

大家好，今天我们就来讲一下函数的凹凸性，实际上高中的时候已经学过一些函数的场景性者，比如说函数的单调性、 基友性、对称性、周期性，对吧？那今天我们讲下一个性质，凹凸性，非常重要的一个性质。那什么是函数的凹凸性呢？咱们先说一下这个统计版，这个教材是怎么说的啊？比如说在这个区间 i 上，这就是那个区间 i a b 之间吗？然后呢，认取两个数字， x 一和 x 二， 好，然后 x 一 x 二这个终点位置呢？那就是二分之二 x 一 x 二。显然，如果这个函数向下突的话，我们看红色这一段， a、 d， b 这一段，如果这个函数向下突的话，那么就会产生这样一个结果，对于任意的 x 一 x 二， 当然了，在曲江爱上，嗯，都会产生什么结果都有。二分之 x 一加 x 二，就是说中 终点横坐标重点所对应的这样一个函数值呢，它是小于二分之 fx 一加上 fx 二。注意，必须有这样一个任意性啊。那此时的话，我们就说这个函数呢，是凹函数，或者说是向下吐的，其实都是一回事啊， 那么为什么会这样呢？其实好说，你如果写上 x x 二，如果写上直线的话，你看这两个点，直线连着直线，那如果说在上边这样一个点 e 的位置在直线上啊，那 mn 中点是不就是点 e 啊？根据终点的公式，这个位置就变成等于了吧，小于号就是向下图的意思， 但是这个定义严谨吗？我想说的是同级版教材里头这个定义并不严谨，我非得找终点啊。如果一个函数他真的是向下图的话，我非得找 ab 的终点吗？难道你只能找中间这样一个点啊？我找四分之一点比他低行不行啊？ 我判断他下图的时候，我找三分之一点可不可以？其实也可以的。所以说真正严格的数学分析里头的定义啊，是这么说的，设函数在区间 ab 内有定义，这个呢就是小 a， 这就是小 b。 看清楚了啊， 如果对于区间 ab 内的任何两个点， x x 二以及任何的两个，这个应该说是两个正数，而且这两个正数之和等于一，很有什么？很有这个这个呢？我知道很多同学看不懂，实际上呢，高中时候咱们学平面相量时候学过什么 定比分点定理吗？是不是根据平面限量的三点共享定理？而且啊，我们让这个蓝莓的一加上蓝莓的二等于多少等于一就可以了，此时肯定会有 om 项链，他等于多少等于蓝莓的一倍的 oa 项量， 再加上咱们的二倍的 ob 项链，然后你把项链的表示写成坐标的表示，就会有这样一个结果了。这大家看清楚 一定理解是怎么回事啊？其实也就是一个定理，难定理，他就完全代表什么？完全代表 ab 之间，或者说 x x 之间所有的点都是严格低于谁的？严格低于中间连线上这样的点的什么意思啊？这个就是 x 一，这个就是 x 二， 这个点呢？是 m 右边这个端点呢？写成 n 点，我们 m n 的话连了一条直线吧，实际上就是随便说，他说当这个 x 零随便取的时候，永远能够保证谁永远能够保证他下边对应的这样一个函数值，看向下图吧， 永远保证了 q 点是比 pgl 低的，所以就是向下突，理解了吧。那如果把中间这样一个小于号改成了什么？改成大于号，那就是向上突呗，就是一个意思。那既然有了这样一个定义之后的话，接下来我们就要说特殊的类型了，如果这个函数， 如果这个函数在开区间连续 b 区间， b 区间有二次倒数，有二阶倒数，那肯定有一阶倒数吧。 所以我马上就想到了什么科技种植定理，拉格朗尔种植经理，所以一会我们证明的时候，估计要用到微分种的定理了，一会再说啊。 有二阶导航数，那么什么意思啊？如果在 ab a 到 b 这样一个开圈内，二阶导函数是严格大于零的， 知道我刚才为什么说严格的大于零吗？他是这个意思，在 ab 任何这样一个字体内不能横为零。你如果说某一小段横为零的话，他这个就没有凹凸性了，是横直走的，应该理解我的意思吧，就是中间这一段，这一小段是直线了，这理解就行。 那么第二点，如果说二阶倒函数严格大于零的话，那就是向上图的，而且不存在横为零的情况。二阶导函数千万不要横为零，因为如果二阶导函数在某一小段横为零了， 那就意味着在这一小段上一届导航数，其实也就是速度。怎么样？速度呢？很为一个定制，我们不可能要求速度是一个很很为定制的情况。为什么 看向下凸这速度原来是个复数吧，一直走一直走，一直走啊，速度越来越大，速度一直得变大啊。这个呢，实际叫什么？这个就叫向下凸的情况。 那现在我们就想证明了，怎么证明啊？刚才说过了，人家这个函数在 b 区间连续在开一间课道，你为什么不想一下？什么终止定理，拉个脑的终止定理吗？接下来我就要写这个证明过程了啊，图我放小一点啊，这样来标，先标这个 x 一，再标这个 x 二，这个 x 一和 x 二是任意取的， 然后呢，这个 x 零肯定在 x 一和 x 二之间，根据刚才我讲的这个定比不点定理，我们这个 x 零完全可以怎么取啊？我们这个 x 零完全可以取成这个栏目的一啊， x 一，再加上栏目的二 x 二，当然咱们的一，咱们的二的话都是两个正数啊，都是正数，并且呢，咱们的一，咱们的二加起来必须等于一，对吧，这样就保证了 x 零肯定是中间任何一个位置都可以包含进去了。 那么再接下来怎么样呢？当然了，一开始我们取这个 x 一和 x 二的时候，实际上肯定是在这个 ab 之间任意去取的，保证这个任意性，并且我们不妨令这个 x 一比 x 二小吧。那最终我们的目的实际上非常简单，经过中间的一番论证，这个论证过程肯定是要用拉格朗式终结定义，我一会再写， 最后证明出来什么结果，那肯定是定义里头我们挣哪个呀？不妨我们就来证明这个括号一吧，只要括号一证明完了，括号二肯定会了，那最终我们想证明的就是谁？就是这个 f 啊，兰博大一 x 一，然后再加上兰博大二 x 二，他是小于谁的？他因为在下方，我们是向下图的， 所以是小于小于咱们的一 f 一，咱们的二乘 f 二，就这样一个道理，这就是我们我们的目的。那具体怎么操作？拉格朗是中指定理，走起来。为什么？一开始我在读这个定义，读这样一个定理的时候说过了， 在哪？在 b 局间连续开局间课道肯定要想一下。微分钟定理，具体来说就是拉格朗式中定力，我写了啊，首先在哪啊？ 在 x 一到 x 零中间，那肯定满足拉格朗式中指定理了吧？那这个 x 零减 x 一的话，我们这个 x 零怎么写？你把画圈部分带入啊，最终的话就写成了什么结果，最终的话，我们就写出来了这样一个结果，人们的二倍的 f 片，哦， 在一，然后这个括号里头是 x 二减 x 一，那行，并且在哪一段呢？实际上在 x 零到 x 二之间也是满足， 在 x 零到 x 二之间，他也满足这个微分钟定理。拉格朗式充值定理我们就直接写啊，所以说 f x 二减去 f x 零，他就是等于 f 片，这个时候我们因为这个值不一样啊，我们就要改成 f 片科赛二了， x 二减 x 零， 同样的，我们不要出现 x 零嘛，我们最终只出现 x x 二，所以就是化球部分往这一带啊，最后就只含有这个蓝莓的一了，么的二，还有这个 x x 二了，最后提出来的是蓝莓的一倍的 f 片，哦，这个里头是科赛二啊， x 二加 x 一。好啊，现在我们观察一下这个圈一圈二就行了， 看最后这个结果吗？最后的话，他这个系数是多少？ number 二啊，这个圈儿这个狮子呢？ number 一，那行啊，所以我们在处理这个，嗯，圈儿一圈儿的时候，最终目的也很简单嘛。最终根据定义，我们 这个圈二要乘个多少？肯定是要乘个栏目的二嘛，乘个栏目的二，嗯，然后呢？这个圈一啊，区二一的话，我们就不妨乘一个数字，乘一个数字栏目的一，这样的话，区二一就要圈二，左边和左边相减，然后右边和右边相减，别忘了乘上对应的系数栏目的一了。么的二啊， 最终出来的结果非常的有趣，我就直接写了啊。最后经过处理的话，就出现这样一个结果了，左边的话，你看是不是 lam 的一，然后乘外一 m 的二，乘外二减去 fx 零，这个 x 零不就是画圈这个整体吗？一会我们再变，不着急，关键是要看右边这个部分究竟是大于零还是小于零，还是等于零，对吧。先看了 第一部分，两个正数相乘正数吧。第二部分，大的数字 x 二减小的注，数字 x 一正数吧。有人到了第三个圈的部分，说，不会了，老师，这个 f 撇可在二和 f 撇可在一。我确实不知道哪个大 哪个小，这个还不好判断啊。请你告诉我，既然我们证明的是区二一，这个二阶导函数是不是严格大于零？二阶导函数大于零，不就意味着这个 f 片一阶导函数是单调递增吗？你这个科赛二比科赛一大，所以对应的函数值肯定是大的减小的，大的减小的，最终经过单调性的讨论，他也是个正数， 三个正数相乘啊，同学们经过了一番讨论，当然这个讨论需要你写出来啊，考试时候我们是大于零的，大于零最终不就得出来这样一个结果吗？这个 x 零，我们需要还原成什么形式，写成画圈的这样一个形式带进来啊，我们换一下吧，这个 x 零，注意啊，变化成那么的一 x 一， number x 二，所以说直接下结论，往哪啊？往下图呗，他就是一个向下图的函数，也就证明完了。接下来呢，就是对于这个拐点的定义，拐点的话也好说，看 这个位置。哦，原来呢，在这一段上，他是向上涂的，然后到 a 点呢，到 c 点这个位置啊，就变成什么了？就变成向下涂了，一个向上涂，一个向下涂，那 a 点这个坐标点的话，他 这个题目中说的是 m 点，我们就写上 m 点吧，那 m 点 x 听外联就成，为什么？就成为这个曲线的拐点，所以直观上来说的话，拐点就是什么？就是凹凸性发生改变的点。那严格的定义是怎么说呢？是这样说的啊，假设 m 点呢，是这个函数图像上的一个点，一个坐标点， 如果这个曲线经过 m 零的时候，凹凸性发生了改变， m 量左边是上图，右边变成下图，或者说左边下图，右边上图，反正是凹凸性发生了改变，那此时我们称这个坐标点就是 y， 等于 fx 这样一个曲线的拐点。现在应该懂拐点的意思了吧。后边补充一条啊，如 如果说 m 点是这个函数的拐点，那么它存在的必要条件，必要条件就是箭头指向谁，指向指向条件的意思啊，有结论，指向条件就是这个二阶倒函数等于零，或者说什么，或者说这个二阶倒还是不存在的， 现在我们对比一下，也说一下这个注点啊，注点的话是一级导航，是为零的点，也就是说这个函数呢，正好停起来速度正好停下来的点，懂了吧？那么急支点的话一定是注点，注点的话就不一定是急支点了，我们看啊，前头的话好说，为什么注点不一定是急支点呢？ y 等于 x 三次方吗？大家可以观察一下这个函数图像，你也可以求导确定一下，在零到正无穷的时候呢？单调递增，在这个复活圈到零，他也也是这个单调递增， y 等于 x 三次方，但是有没有注点？有，因为他的一阶导航 数什么时候当 x 等于零的时候，原来 x 等于零就是他的这样一个注点一定要区别，注点和拐点区别还是很大的，注点是横坐标的直吧，拐点是某一个函数图像上的坐标点。 另外的话，这个注点和旗帜点它定义也不一样，一个是一阶段还是等于零定义的，另外一个是二阶段，还是数来定义的，所以呢，一定要注意区别了。那接下来咱们做两道题吧，第一道题， 第一道题的话求倒背第一届倒数啊，当然所有的函数问题我们应该先写什么？你应该先判断一下这个定义吗？定义是人也是数，这个就不多说了， 那接下来看一下谁呢？看一下这个一阶倒函数吧。一阶倒函数我们求一下啊，马上就求出来了，他是等于负二 x 一负 x 方的这二阶导函数呢，也好求。嗯，二阶导函数求完之， 明显发现这个画圈部分是正数，二也是个正数，所以呢，二阶段还是个正步，取决于什么？取决于画圈的中间这个括号。我们令他等于零呗， 对吧？另，这个外片片等于零，马上就得到谁了？马上就得到两个值，其中一个呢，是负二分值，根号二，另外一个呢？是啊，二分值，根号二。其实呢，这两个值我想说的，他不叫拐点，他叫什么？他叫拐点对应的行，坐标。人家拐点是个坐标点的啊。 接下来分呗。你想啊，整个实属范围内被这两个分成了几段？分成了三段。那为什么出现了这样一个表格？马上你就知道了。我们先看啊， 先分什么？负无穷到负二分之根号二，这肯定得写一下，对吧？然后负二分之根二单独写一下，负二分之根二到正二分之根号二拎出来，还有一个正二分之根号二单 都写一下，最后一段的话，肯定是二分之根号到正无穷了。这样的话，所有是书房内的电影院，这个数字都讨论全了。 那么接下来判断政府好说吗？中间是负的，两边是正的呗。好说，那再接下来呢？然后这个位置是，而且倒还是为零。 那继续来，我们现在研究的是什么？研究的是原来这个函数，他的凹凸性和拐点吗？好哦，他是大于两，所以是向下图，或者你想凹函数也行啊，每一个他这个很多高等数学教材，他的说法不一样啊。 然后，嗯，如果为负的话，就是上图，然后下图啊，就这么回事啊，不多说了，那么零呢？零的话，千万不要以为拐点是什么点，拐点可不是横坐标，拐点是个坐标点，我们写全了负二分之根号二带入，纵坐标的话是一负二分之一，这个就是一个拐点。 好，我们写上其中一个，另外一个还要拐点吧，我们把谁带入啊？把这个二分之跟二二带入，然后呢？ 最后上完中指标还是一，那因为他是个偶函数吗？大家能看出来也是这样一个结果，他也是一个拐点，两个拐点，应该清楚了吧？那 最后下结论的时候，大家只需要说啊，在这样一个区间上，他是向下凸的一个函数，在中间这样一个区间上是向上凸的一个函数，然后在这个区间上呢，又是向下凸的函数，然后再把这两个拐点坐标写上就行了。 下一个题道理一样，只是说解题是不一样，所以呢，我就直接写结果了，二阶导航数跟零比较，就可以确定这个凹凸性了，对吧？ 那接下来我们就求出来两个值，其中一个是零，另外一个不就是三分之二了吗？是不是？那还是画表格吗？零三分之二 x 复无穷到零，写上，把零单独拎一下，零到三分之二 是不是也写一下啊？三分之二单独拎出来是吧？然后最后的话是三分之二到正无穷。讨论全了，接下来写这个二阶导函数的值，或者说正负，嗯，显然他是正的吧， 哎，中间是负的吧，他又是正的。然后呢，在零和三分之二这两个点处呢？二级头还是等于零？那再接下来我们就直接写原函数的凹度性就行了啊，然后三分之二几你带入原函数中，三分之二算出来是二分二十七分之十一。好了，两个拐点卸全了。最后要写一下答案，从上所述啊。好， 好了，在服务群到零上是向下突的，当然三分之二到中国群也是向下突的。在哪？在零到三分之二中间，这个方案呢？是向上突的。那么这节课你学会函数的凹凸性了吧？分享课堂知识，感受数学之美或上班老师，下节课再见。

没有华丽的拍摄，只有慢慢的干货，每天一节高数课，期末考试不挂科。今天磊哥带大家来看凹凸性判定法的 一个证明啊，很多老师都只是讲啊，我们直接用它去做就可以了。磊哥在这里今天给大家来证明一下，我们要正的就是 fx 在 ab 上连续在 ab 内具有二阶导数，若 i 若在 ab 内二阶导大于两，则 fsab 上的图形是凹的。我们主要来正一下这个。好在正这个之前的话，磊哥先给大家说一个盈利啊，这个特别有用，也特别好用啊，特别简单啊， fx 如果是二节课盗窃 f 二街倒数大于零或小于零，还是在定狱里头，那么则 fx 大于等于 fx 零加 fs 零的一阶倒乘以 fx 乘以 x 减去或小于等于啊，取等号的条件是当前减档 x 等于 x 四零的时候去等号。好，磊哥先来证明一下这个引力啊，我们是通过这个引力去证明这个凹凸性的一个判定法的啊，所以先要证明好，磊哥给大家给他折一下，折一下我们看的比较清楚。 好，我们来正一下这个引力，那我证明假设二届导弹为零啊，这个是用泰勒公式啊，就是泰勒公式的话比较有意思 啊，泰勒公式的话， fx 等于 fx 零啊，雷克就不念了啊，雷克就不念啊，你就照抄就行了。因为我们这判断的是二阶倒数，所以你没有必要把泰勒全给它写出来，你写到二倒就可以了啊。所以雷哥用那个拉格朗如一项啊，把它写出来了，可赛是介于这个 x 和 x 零之间的。 我们说了 f 二街道大于零，那你想二街道大于零啊，那是不是一个鱼巷啊？鱼巷二街道二街道，你看它组成部分啊，这个二街道二的接成， 还有这个有三部分构成啊，这个肯定是正的啊，这东西大于等于零的，那二阶岛大于零，那说明这个余项是不就大于等于零？ 好，那你再来看这个鱼像， rx 代表鱼像，我们来看一下，当 s 等于 x 零的时候，你当 s 等于 x 零的时候，你会发现这个鱼像是不是就等于零了，鱼像就等于零了。好了，我们再看这个东西啊，这个鱼像啊，鱼像是这个， 我们知道这个东西肯定是一个大于等于零的数，那如果把这个鱼像扔掉啊，注意，磊哥，说到这一定要仔细听，如果我把这个鱼像扔掉的话，那你说啊，左边这个 fx 是不是必然会大于等于右边这个东西？你看 啊，左边这个东西必然会大于等于啊，这一堆为啥呢？因为这个东西啊，后头这个鱼像啊，你本来都是一个大于等于零的数，你加上鱼像才跟左边相等。我先把鱼像扔掉啊，那你肯定没左边大，所以我们就得到了这个东西 啊，当且减到 x 等于 x 零的时候，这个等号是成立的啊，所以我们这个引力就挣出来了。看引力啊，已知 f 二到大于零，那 fx 大于等于 fx 零加 fx 零，一阶倒数乘以 x 减 x 零，看到 没有啊，这个音里就挣出来了啊，注意一下，当 x 等于 x 零的时候，你看，当 x 一旦等于 x 零了以后啊，这个 x， 你把 x 全部换成 x 零啊，这个灯是不是零了啊，那左边的话变成 fx 零等于 fx 零， 也就当 s 等于 x 零的时候，等号是成立的啊，这个结论我们可以这样说啊，就是若二倒大于零，则当 x 不等于 x 零的时候，哎， fx 大于他啊，把等号去掉就可以了，按到同理啊，同理下面这个，呃，若这个 二打小于零，当 x 不等于，一定要注意这个条件，当 s 不等于，当 s 不等于 x 零的时候啊，他就小于他啊，就可以了啊。就是我们刚正的这个引领里头有等号， 那我现在如果让 x 不等于他取等号的条件是 x 等于 s 零，我现在让他不取等号啊，那你是不是原始里头就没有这个等号了？好了啊，这个盈利一定要记住，磊哥现在来用盈利来证明一下我们的这个，我们既然想挣的这个东西就是 fx 在 ab 上，连续在 ab 内，而且可到， 那如果二导大于零，那这个 x 在这个 ababa， 一定要注意，这是开曲键，在开曲键啊，则他的图像啊，又是在 b 区键啊，记住了，这是凹的啊，注意这个细节啊，二节导他是在开曲键，导数是开曲键啊，图像是 b 曲键，不管是二导还是一导啊，一定要注意一下这个好，磊哥，现在来把这个东西正一下， 这个给他往上，往上折一点啊，我们往上折一点。好啊，那我们来看一下，我们来正一下这个东西啊，我们现在已经知道了这个啊，二档，二档大于零啊， x 在这个 a b 之间啊，我任取任取， x x 属于 a b， 切， x。 等一下，我那个画了一个图来看一下， a b x s x 零是 x x 的终点， x 零是 x x 的终点。 好，因为二导大于零，那当 x 不等于 x 零的时候，我们刚才那个引力是不是就用上而有它啊？那这个雷克就不解释了啊，那我们现在讲射 x 只要不等于 x 零， x 只要不等于 x 零，这个狮子都是成立的。我先让 x 等于 x 一，让 x 等于 x 二，那你看， x 等于 x 一，我把所有的 x 是不换成 x 一，有这个一 是成立， x 等于 x 二啊，所有的 x 换成 x 二，是不是有这个二十成立啊？这个关键一个点来了啊，也比较有意思， ok， 一是和二是都乘以二分之一， 因为我们为了拼凑，为什么要创二分之？是为了拼凑，拼凑概念里头的那个二分之，拼凑概念里头的二分之啊，拼凑这个东西，要不然的话，你没有二分之呀，你就还是挣不出来好给这两个狮子都去成二分之一，每一项都成，第一个成完就变成了他，第二个成完就变成了他啊。 雷哥，先把这两个式子加起来，你会发现啊，左加左啊，就是这个东西，左加左就是这个东西，再看右加右啊，他加他啊，那是不就是他，然后他加他啊，提个供应式，就是这个东西提出来，然后括号里头合一下就可以了啊。那我们发现，我们刚才说了， x 零等于二分加 x x 二， 那 x 零等于二分之一， x 一加 x 三，那这东西是不就是零？零乘上任何数是不是都是零，也就后头这一堆啊，他其实就是零啊，那也就是说啊，这个右边其实就等于 fx 零了，那也就我们可以得到二分之 fx 一加这个 fx 二是不是大于啊？大于 x 零 啊？那也就是说 x 零是不是小于他？那 x 零又等于谁？是不是又等于二分？之 x 一加 x 二啊？你把 x 零换掉啊，是不是就出来这个东西了？出来这个东西是不是就我们课本上的一个定义啊？如果他小于他啊，在上面就是凹的。好了，今天就跟大家分享到这里。

函数的单调性、凹凸性是对函数性态的描述，巧用数型结合法，可以快速直观的看出函数的性质， 从而秒杀出答案。本题中，当 x 大于零的时候， f 撇 x 大于零可以推出函数是单调增加的， f 两撇 x 大于零可以推出，函数是凹的。根据描述，我们可以把函数 x 大于零部分的图像 画在平面直角坐标系上。首先画一个平面直角坐标系，接下来根据已知条件，我们可以知道当 x 大于零时，函数单增且凹的， 所以可以根据这两个要求，我们画出满足这两个条件的曲线。是这样的一条曲线，又因为 f x 是一个积函数，根据积函数图形的特点，关于圆点对称，也就是 x 大于零部分的曲线绕着圆点逆时针旋转一百八十度得到的这样的一条曲线。所以 x 小于零部分的曲线就是 x 大于零部分曲线的 对称曲线。那么不难发现，当 x 小于零的时候，此曲线是单调增加并且是凸的。所以答案是 a 选项。

函数如何来判断它的凹凸性？同学们知道吗？如果说不知道，跟着刘老师的脚步走起来，哈喽，各位同学，我是数学刘老师，那么今天呢，给大家讲的是我们函数的凹凸性， 那么什么叫凹凸性呢？哎，同学们，来看一下这个图像啊，比如说这种类型的函数，它是什么的呀？凹下去的，所以就叫凹函数。 好，那么这种类型的它是干嘛的？凸起来的对不对？你可以叫做凸函数对不对？那么凹凸性是不是就判断清楚了？那么怎么来判断一个函数的凹凸性呢？ ok， 话不多说，上结论，怎么来判断呢？就用它的二阶导数来判断，二阶导数大于零，它就是凹函数， 二阶导数小于零，它就是凸函数。怎么来判断呢？同学们，你看看啊，二阶导数如果说大于零，那我们是不是可以判断它的一阶导数，它是什么单调递增的呀？那么单调递增，那这是不是存在一个零点 x 零，那我们判断原函数的话，我就知道哦，原来富无穷到 a x 零是什么？单调递减， a k 是 零到正无穷，是不是单调递增？那么先减后增，同学们，那它是什么？凹进去的？那反之嘞，那么我们的二阶导数如果说小于零的话，那它就是什么凸起来的。好，同学们明白了吗？有了这个题，我们来看看吧！ 好，来来看看这个题。首先呢，它很简单对不对？它的一阶导数呢？ f x 一 撇等于多少？等于三， a k 方减三，那么它二阶导数呢？是不是等于多少？等于六 x？ 所以了，那有了它之后呢？我们令什么呢？令二阶导数等于零，那么 a k 是 不是等于零呢？我们就得到了。哦，原来当 a k 大 于零的时候呢，二阶导数是什么？是正数？ 好，那么 x 小 于零的时候呢？二阶导数是负数啊，所以说零到正无穷。我们说二阶导数是干嘛的？是大于零的， 负无穷到零，我们的二阶导数是干嘛的？是不是小于零的呀？啊，导数大于零它是干嘛的？它是不是凸的呀？导数小于零是不是啊？导数大于零是凹的，导数小于零是凸的，对不对？所以说我们知道。哦，原来负无穷到零 to 函数，零到这五角是凹函数。那么什么是拐点啊？同学们，那拐点其实就是我们的什么点，就是我们的零到零这个点啊，就是我们的判断，什么二阶导数为零的点，我们叫做拐点。好，所以这个答案选什么？选 abc 好， 同学们，明白了吗？好了，如果明白了，我们就下期再见吧，拜拜！

有网友问我需不需要了解一下函数的凹凸性？我的回答是需要。虽说这个玩意是属于超装内容，但是如果不知道这东西有时候会对解题啊造成很大的影响，而且是那种用常规方法很难搞定的那种影响，特别是在涉及缺陷问题的时候。 比如说这个题，咱们先用导数得到函数的单调性，画出了大字图像，那接下来就出现问题了。因为你只 直到单调性，所以有人可能是这么画，也有人可能是这么画，甚至画成这种都有可能。 如果你要是这么画，就发现当直线在这个范围内转动的时候，满足条件，但是如果你这样画，那直线就是在这个范围内转动。所以说记住啦，当你准备用切线来解决一些不等问题的时候，一定要考虑这个函数的凹凸性。 当然了，这些东西呢，在我们的视频处当中都有。有观看权限的同学可以进入导数中的切线问题，打开里面那个曲线和直线的横成的这个视频就可以了。