巴蜀十二月月考数学几何卷初一

潍坊初一十二月月考数学卷来了！满分幺二零，校内平均分却只有三十七点五分。这套卷子到底有多绝？ 从面动成体的概念变细，到时针分针的角度计算，再到方程变形、数轴动点绝对值综合，每一道题都在疯狂输出难度，潍坊的同学们敢不敢来挑战一下？看看你能在这套硬核试卷里拿下多少分？

我岳云鹏讲二零二六届重庆巴蜀中学十二月月考五的经典圆锥曲线大题。第一问，我岳云鹏带入条件即可求出椭圆方程。 第二问，第一小问，我岳云鹏是 m m 方程，连力消圆，使用维达定力，根据 i m 与 i m 斜率互为相反数，整理一下，带入维达。式子在英式分解， 而 m m 不 过点 a， 从而 n 等于二，进而验证结论。第二问，第二小问。方法一，首先根据前一问，可得一式。 右设三角形 a m m 外接圆方程，根据外接圆过点 a 可得此式子连理 m m 与外接圆。再次，使用维达定律可得二式。根据一和二式，可得此等式。 根据三式，可以整理出五式。四式整理一下，再带入五式，恰好可以消去 t， 而 m m 不 过点 a， 从而 m 不 等于零，进而可得此等式。带入五式，即可用 t 表示 s， 这时候可以求出过 a 的 半径 i a 斜率，进而求出过 a 的 切线 l 方程。 第二问，第二小问。方法二，我设 an 坐标以及 an 和 an 方程，由此可先得一式。根据 an 在 心上可得二式，引入待定系数拉姆达。根据这个变换可以验证，用曲线伽马横过点 an， 伽马也横过点 a， 令伽马的 x 的 二次方和 y 的 二次方系数相等，我可以求出对应拉姆达。此时伽马恰好为三角形 m n， y 结圆，进而求出 y 结圆，圆心 i， 继续求出半径 i， a 斜率为二，进而求出切线 l。

大家好，今天为大家讲解一道旋转类的中考几何压轴题，题目来自于太原市五中的二零二五年十二月月考题。题目告诉我们综合实践课上，数学老师带领学生探索举行的旋转。 第一个是动手操作，如图一，四边形 a， b， c， d 是 一张矩形纸， ab 等于八， ad 等于五。先将矩形 a， b， c， d 对 折，使 bc 与 ad 重合，折痕为 m， n， 然后沿 m， n 剪开，得到两个矩形 矩形 a， m， n， d 不 动，将矩形 m， b， c， n 一 撇，绕着 m 点逆时针旋转， 点 n 的 对点， n 的 对应点为点， n 一 撇， n 一 撇， c 所在直线与 d， n 所在与 d， n 所在直线相交于点记。然后第一个是探求发现，然后第一问，他，是啊，连接了， 连接了这个 m， g， 连接 m， g 啊，然后他说，因为这个角 n 就是 角，就是这里边这两个角就是角， m， n 一 撇， g 和这个角 m， n， g， 它俩都是九十度，然后并且有这个 m， n 一 撇，啊，等于这个 m， n 都是这个两个小的长方形的这个长， 然后并且有 m， g 和啊，等于 m， g， 然后它。我们让我们选，根据下面的 a， b， c， d 哪个选项可以判定三角形 m， n， e， p， g 和三角形 m， n， g 是 全等的，进而证得这个 n， e， p， g 和 n， g 是 相等的。这个判定应该很显然是直角三角形里面有一条斜边相等，然后又有一条直角边相等。所以这个题首肯定，首先判定它的定力应该是 b， 就是 这个 h， l 判定。 然后接下来我们来看这个，看这个第二问，第二问，他说数学老师让让学生动手操作后提出问题，第一问，他说的是勤奋小组，发现如图二，当点当点 n 一 撇 啊，上面这个点应该是个 d， 当这个点 n 一 撇落在这个 当点 n 一 撇落在这个 a d 上 a， d 边上时， 然后 b bc 刚好， bc 刚好经过， bc 刚好经过点 n， 然后他说提出问题，求两个矩形重叠部分的四边形啊，就是四边形 m， n， e 撇 g， n 啊，它的面积就是我们图中这个这个图色区域的这个面积。 然后我们其实你想直接求这个图形区域的面积，其实不太容易求的，即使我们连了这个， 连了这个 mg， 虽然我们知道这个 m， n， e， p a， 它是五，然后 m n 也是五，但是这个 n， e， p， g 和 mg， 它的长度都是不知道，所以我们把它转换成我们用这个四边形，就是矩形 a， m， n， d， 它的面积来减去 这个左左右这两个小的这个直角三角形面积啊。所以我们先看这个左左右这两个小的这个直角三角形面积。 左边这个直角三角形，它的 m， n， 它的长度是四，然后 m n 一 撇，它的长度是五，那么 a， n 一 撇，我们用勾股定也能得到三，所以左边这个长方形，左边这个呃直角三角形的面积就是六，然后我们看右边这个蓝色的面积， 右边这个蓝色的面积，因为 a， n， e， p， h 三，那么我们我们能得到这个 d， n， e， p， h 二，然后我们再看这个角，就是 d， n， e， p， g， 这个我们作为角 alpha， 那么 a， n 一 撇 m 加上这个 d， n 一 撇 g， 也就是 alpha 加 beta， 它是九十度的，然后这个角就是 a m， n 一 撇，加上这个角 beta， 它也是九十度的，那所以这个 a m n 一 撇是等于这个 d n 一 撇 g 的， 而这个 tan 呢？ alpha， 它是等于这个 a n 一 撇啊，比上 am 是等于四分之三的，那所以这个它这个贪镜，它 alpha 也是等于这个 d g 比上 n e p a d 的，是吧？ 就是这个 d g 比上 n e p a d， 所以 这样的话，我们能求出来这个，求出来这个 d g， d g， 它的长度就是四分之三乘以二，是吧？所以 d g 等于二分之三，所以这样的话，我们也就能求出来这个三角形 n e 撇 d， g， 它的面积是二乘以二分之三再除以二，也就是总共的面积是二分之三 啊，所以这样的话，我们能算出来整个这两个左右的面积，它就是六加二分之 啊三，然后再用整个的这个长方形，它的面积是这个应该是二十，就是四五二十，然后减去减去这两个括号，应括号里面六加二分之三， 应该是等于这个十三啊，应该是十二，有二分之一，也就是等于二分之二十五啊。这个第一问，我们就做到这里， 然后接下来我们来看这个第二问，第二问，他说是好学组题提出问题，他说如图，如图三，然后他说当 n 一 撇落在 md 上时候，这个 md 就是 这个矩形 a m， n d 的 这个对角线， 就是 n 一 撇落在了这个 d c 连接了 d c， 还有这个 n n 一 撇 n， 然后他说这个啊，发现这个 n n 一 撇和 d c 是 平行的，然后他让我们证明这个，就是说让我们最终是让我们证明这个 n n 一 撇和 d c 是 平行的，那我们来看我们证明平行最常用的方法，其实就是这个 证明啊，平行最常用的方法，那其实其实就是这个，我们要用内错角相等或者是同位角相等。当然还有特殊一点，就比如说我们垂直于同一条直线的两条线平行这三种方法。 这里边我们先分析一下，因为题里面其实已经有了这个 g n 一 撇和 g n 是 相等的，那所以有图中这两个角 应该都是相等的，我们都叫它 r 法，所以我们要想正这个 n n 一 撇和这个 d c 平行，那所以我们只要正这里边图中标的这两个角任意一个角，它是等于这个 r 法的，那其实那其实就可以了。 那，那所以我们来看啊，看这个就是说这个能放到哪些三角形里边？对，因为我们证明这个三角形全啊证明角相等，一般都是通过把它放在这个放在三角形里面去证明它。 当我们发现这个证明这个角一和角二都等于 r 法并不容易，但实际上我们证明这个角一和角二相等，它反倒是比较容易。因为大家看这两个三角形就是 n 啊， n 一 撇，嗯， c d 啊，我们连一下这个 n c， 就是 我们这个需要做一条简单的辅助线，那我们放在放在这两个三角形就是 n e 撇， n c 啊和这个 n d n e 撇这里面我们看一下这两个三角形啊，这两个三角形，首先它是有这个两个 alpha 角相等的，这是我们在这个第一问里面就挣出来了。 然后这个 n 一 撇 c， 它和这个 n d 是 相等的，然后 n n 一 撇，又是这两两个三角形的一个 公共边，对吧？那所以其实我们是得到了这个三角形 n， c， n 一 撇，它是全等啊，全等于这个啊，三角形 n 一 撇，嗯， n 一 撇 d， n， 是吧？啊？这样的话，其实我们就得到了这个 nc， 它和 n 一 撇 d 是 相等的。然后接下来我们再来放在这个这两个三角形里面看， 就是这个 n 一 撇 c， d 啊，和这个三角形 d， n， c 里面来看这两个三角形。我们刚才证出来这个 n， c 和 n 一 撇 d 它是相等的，然后这个 n 一 撇 c， n 一 撇 c 和 d， n 它也是相等，因为它是两个矩形的，这个宽相当于，然后 dc 又是公共边，所以这一步我们又证得了这个三角形 n 一 撇 c， d， 它是全等于这个三角形 n， d， c 是 吧？所以这样的话，我们其实就证得了这里边的这个角，就是图中这个角一和角二就相等了。 然后我们再看这个对零角，这个两个三角形 n， e， p， g， n 和三角形 d， g， c 里边有个对零角相的，就这里面呢，我们标的这个角三和角四是相等的，那所以很显然这个角一角二也都是等于阿尔法的， 所以有内错角相等，那其实也就证明了这个 d， c 和 n， e， p， c 它是平行的，这个就相当于我们证明了两次的这个， 证明了两次的这个啊，三角形全的一个，就是证明这个三角形 n 一 撇 n， c 和三角三角形 n， d， n 一 撇相的，然后正出来 d， n 一 撇和 n， c 相的。这是用了个边角边，然后用又用了这个边边边就是 边边边，我们正出来三角形 dnc 和这个三角形 n 一 撇 c， d 全等，这个用的是边边边，就是首先 n 一 撇 d 和 n c 相等，然后这个 n 一 撇 c 和 d n 都是这个两个矩形的这个宽，然后 dc 是 公共边，所以最终我们是挣出来这两个角相等， 这两个角相等，然后和三角形 n 一 撇 g， 那 其实就相似了，相当于是因为这两个是对顶角啊，这个是相当于是这个应该是算是第三问了。我们来接着来看这个第四问，第四问他说是当这个点 n 一 撇， 点 n， e 撇，它刚好刚好落在这个啊，就是落在角 a， m， n 的 这个这个角 a， m， n 的 这个对角线上，对角对角线上， 我们来把它画一下啊，就是 d， 这个 n， e 撇刚好落在这个 a， m， n 的 对角线上面， 然后让我们直接写出这个 g n 的 长度。这一边，由于它是落在 g， 呃，这个角 a， m， n 的 对角线上面，那所以这里面其实我们能得到一些，就能得到一些特殊角了。那首先这个 n e 撇 n m， 它就是四十五度， 是吧？那这个角是直角，然后这个角呢也是直角，而且其实我们上面已经正出来这个 g n 一 撇和 g n 而且还是相等。 然后这个角呢，那他其实也是个特别的角，是一百三十五度，因为四边形他的四个内角和是三百六十度的，这两个 n， e， p 和 n 加起来是一百八十度，所以这个角 n， e， p， m， n 加上角 n， e， p， g， n， 那 就是一百三十五度。而且其实这里面有两条边长，我们是已经知道了，就是这个 n e p m 是 五，然后 m n 的 长度是五，然后求 g n， 由于这里边它有特殊的角，所以我们通常都是构造一些直角三角形去做。首先我们就过过这个 n e p， 做一个这个 m m n 的 这个垂线，然后这样的话，我们能求出来就是这个 m h， 它的长度，那就是 m n 一 撇的二分之根号二倍， 所以这个 m n e， p h 就是 二分之五倍的根号二，同样这个 m h， 它也是这个二分之五倍的根号二。然后接下来我们再过 g 点做一个这个，做一个这个 n， e， p h 的 这个垂线， 我们把这个点比如叫做 p 点，那么这样的话，我们就能知道这个， 知道这个 p g 的 长度。 p g 的 长度我们是通过这个它等于 h n， 也就是说 p g， 它是等于 h n， 而 h n 是 等于 m n 减去这个 m h， 也就是五减去二分之五倍的根号二， 对吧？我们现在知道了 p g， 那 p g， 其实这个三角形 n e p a p g， 它也是等腰直角三角形，这个角也是四十五度的，所以这个 n e， p p 也是等于这个五减去二分之五倍的根号二啊。这样的话，其实我们在整个这条线上面就是 n e， p h， 它是二分之五倍根号二。然后 n e p p 是 五减去二分之五倍根号二，那所以 p h 就等于嗯，二分之五倍的根号二减去这个括号五减去二分之五倍的根号二。所以这个 p h 就是， 嗯，就等于这个啊， 五倍的根号二减五。而这个 ph， 那 它其实就是等于这个 g n 的， 因为这个 ph ng 它是长方形，所以最后得到这个 g n 就是 五倍的根号二减五。 但是这个题其实做到这里它还并没有完成，因为它只是说这个 n e p a 这个点，它是落在这个角 a m n 的 这个角平分线上，但是并没有说是这个 n e p a 一定是在这个 啊四边形的这个内部的，所以也就是这个里面这个 n e p a 很 有可能是会转到外面，就转到这个 转到了这个整个的这个矩形 amn 的 这个外边，所以这时候其实它可能这个外面这个距离就比较远了，但是其实做的方法还是类似的，我们可以看一下，当这个 n 一 撇，它转到了这个外部， 那我们把这个图缩小一点，要不然这个屏幕可能都放不下。那这时候其实我们仍然是要去分析一些角度啊， 那既然是角平分线，那这个是四十五度，那这个角 n 一 撇 m n， 那 这就是一百三十五度， 然后当然这个角就是四十五度，然后这里边 m n 一 撇和 m n 它的长度还是五。其实这个做做的方法应该是啊，跟刚才其实是类似的，当然我们这里面就比如说我们过 n 一 撇，啊 啊啊，这个过 n 一 撇，可能我想想过 n 一 撇啊，做一个这个，做一个这个 n g 的 这个垂线，然后我们再过一个这个 m， 再做一个这个 n 一 撇这个的垂线，我们把这两个点设一下啊，就分别叫做 p 和 q， 然后我们来看一下啊，这里边由于这个 m n， 其实它的 m n， 它的长度是 m n 长度是知道的，那所以这个 m q m q 的 长度，那就是 m n 一 撇的二分之根号二倍，所以就是 二分之五倍根号二，对吧？啊？那所以其实跟着这个 n p， 我 们也知道了二分之五倍根号二，然后这个 n e p q， 它也是二分之五倍根号二，那所以整个的这个 n e p p， 那 它其实就是二分之五倍根号二加五， 是吧？那其实我们最终是要求这个，呃，求 p p n， 那 所以我们知道需要求这个 p g， p g， 它是和是等于这个整个的 n e p p 的， 因为这里边它也是个等腰直角三角形， 所以是 p g 是 等于这个 n e p p 是 等于五，加上二分之五倍根号二， 然后那所以这样的话 n p 也知道了， p q 也知道了，那所以整个的这个 n g， 它就等于 np 加上 p g， 所以 是等于五啊，加上五倍根号二啊。所以这个其实是两个答案，就是五倍根号二加减五 啊。这道题就讲到这里，这道题其实他的计算量还是比较大的，这个就是第三问。而且最主要是大家在考场上可能没有这种画，你要发挥自己的想象力，能把这个图首先画出来，对，要多去训练自己画图的能力啊。今天这道题就讲到这里。

和王老西一起轻松掌握名校题型，我给大家讲讲那个第十题啊。第十题我们来看一下他考了一个什么东西，这是一个三角函数，是不是？然后他的我密卡是不确定的， 然后下面说法正确的是，好，这种题就一个一个看。第一个，当我密卡的负二的时候，他说最小正周期为二分之派，那这个我们知道，这个应该是错的，是不是？这个比较简单， 就负二 x 加四分之 pi， 因为我们周期的公式是二 pi 除以谁？二 pi 除以我 min 的 绝对值，这个是最小值，周期二 pi 除以负二的绝对是二，那就是 pi。 好， 这题 a 就 错了。 好， b 选项，他说他说我 min 等于负一，然后我们带进去，那就 f x 就 等于几，就等于三 e 负 x 加四分之 pi 对不对？好，然后把 c 塔带进去， f c 塔， f c 塔，那就等于几？等于三，以负 c 塔加四分之二，对不对？好，最后要求的是谁？是不是要求的是二 c 塔？好，我们来看一下这个二 c 塔怎么求啊？这个数等于三分之一啊。 好，这个题我跟学员讲过的，如果遇到四分之派，我们可以考虑一下展开。好，六分之派，三分之派就尽量不展开，因为展开过后它的系数不一样，四分之派它展开过后系数可以一样的，所以这里可以展开。好，我们就写成三 e 四分之派减 c 塔 等于三分之一，展开三克扩散，二分之刚好，二三克减什么扩散？ 好？然后啊，这里我两边同乘个根号二，相当于把二分之二给它除过去吧，那就 cos theta 减 cos theta 等于三分之根号二。 好，最后它要求的什么？是不是 cos theta？ 因为我们知道 cos theta 是， 你看 cos theta 跟那个 theta 是 不是有个背角和半角，那肯定离不开背角，半角公式是不是 cos theta 就 等于几二倍 cos theta。 还有啊， cos theta， 那你看一下题目里面我们条件里面是不做出来那个减法，最后他要求的是不是乘法，那么减法跟乘法能够联系起来，那怎么去联系？是不是就需要平方 对平方一下，哎，平方就能够出现乘法， cosine 方的平方加 cosine 的 平方，那就等于一减去两倍 cosine x 乘以 cosine x。 好，你的右边平方就等于九分之几九分之二，对不对？那所以说我们就得到二倍三乘以 cos， 乘以 cos 呀，就等于几九分之七， 哎，所以说这题答案就是九分之七 b 就 正确了。好，这个比较简单哈，不是特别的难哎，就要注意到什么时候该展开。还有一个，遇到被角平分怎么去处理好第 c 选项， c 选项就是告诉我们那个范围 x 有 个范围 x 范围在零到派，他说尤其仅有两个单调区间， 对不对？两个单元圈，就是说，哎，一个增一个减嘛，然后正数我们改的曲子范围。好，这种题求我们改的范围哎，哎，我可以全讲到，哎，就两种，是不是？我们一般求我们改范围两种，第一种就是某端点分析，第二种就是止激法， 那么这个题啊，因为他给了你 x 有 个范围在零到派，那这个题这个区间出现的零，所以说我们比较常用的方法叫端点分析法。好，端点分析法怎么做啊？ 因为你那个 omega 是 不是正的？ omega 是 正数，是不是？好，那我们就令令 omega x 加四分之派，哎，等于 t， 那 么这个函数就是真函数， 对不对？它就不会影响到整个撒引的真，整个函数的真增减性，因为它本身内层函数是真，因为这 t 它是一个负函数，我们要用到同增一减，是不是？那这一坨已经是真函数，那 t 的 范围我们就知道了，因为 x 范围在零到派，那 t 的 范围，那应该在谁在四分之派 到谁到那个 omega 加四分之派，那你把那个 omega x 加四分之派变成了 t， 那 这个是指原函数就变成 y 等于三菱几？三菱 t， 那 我们就可以画出三菱 t 的 标准图像， 三菱 t 图像就是过圆点的一个波浪线，是不是？哎，就这样画，这个就是 t 的 起步，是从开始，什么起步？是不是四分之派？四分之派就是这个起地方起步。 好，它的起点是确定的。那所以说这个题我们只需要考虑这个终点的位置在哪里。好，这个就叫端点分析，只需要考虑终点起点，我们不用考虑，因为这题它起点是确定了的， 所以这个就是为什么我们说区间中只要出现零，我们就想到端点分析法，哎，就这个原因。好了，这个题就只需要知道那个 we 个 pad 加四分之 pad 在 什么位置就可以了啊。他说了，题目要求有两个单调区间， 那么这个下一个单调区间是分界点，是二分之派，这里。好，这个分界点的地方呢？是谁？二分之三派， 那所以说你想要有两个单调区间，那就说明什么意思？说明这个端点值应该在二分之派到二分之三派之什么之间？因为这样的话就有一个真区间，有一个什么区间？有一个减区间，那刚好不就是尤其仅有两个单调区间吗？ 所以说这题我没敢派。加四分之派要大于谁？二分之派小于二分之三派，对不对？然后拿过去减的就是四分之派小于我没敢派。哦，这里可以等于哈，这里可以等于，但是二分之派他不能等， 他只能等于二分之三派，因为等于二分之派的话，如果这个端点值等于二分之派，他只有一个单调递增区间啊，这里小于等于几？小于？哎，拿过来减就是四分之五， 是不是四分之我看一下啊，这个是四分之几啊。呃，四分之六，四分之五派对好，然后两边同时除以 omega， 那 答案就在四分之一小于 omega 小 于等于四分之五。 好了，这个答案是不是就错了？所以说 omega 的 范围应该在四分之一到四分之五之间。好，这题 c 选项就错 好了。这个 c 错的话呢，肯定就选 dog 了哈，但是我们还是要去说明一下 dog 好， dog 选项我们怎么去分析啊？他说把这个图像往右移好，那这题右移的话呢？这个函数就变成了 y 等于减，我们知道左加右减嘛，但是左右平移必须要把我密感提出来好，只能是 x 怎么左加右减？ 减三分之派，然后后面再加四分之派好，然后就等于三 e omega， x 加四分之派减三分之派 omega 好。 移完过后它说它图像关于什么对称， 移完后所得的图像是与 f x 关于二分之派是对称的，就我们移完的这个函数的图像，跟这个 f x 关于二分之派是对称的，那这个题我们怎么去理解啊？就说 圆的那个函数哈，比如说是 f x 函数三引图像，三引图像是这个样子好，比如说这里是二分之派，那移完过后它图像应该怎么？是不是应该是就这样的， 哎，就这样的，这 x 等于二分之派，好，我们能理解吗？对不对？能理解啥？这题就是移完过后关于二分之派是对称的， 当我老师随便画了个图啊，老师为了方便大家去了解这个题，好，这个题有什么方法去解决？就是他那个图像是这个图像和这个图像是关于二分之一的对称的呀，哎，其实比较简单，你就怎么办？你就在这个函数上，哎，可以选择取个点， 比如说我们这个题选择这上面取个点就是 x， 好， 这是 f x， 对 不对？那么这里就有个结论，就是 f x 等于 sine omega x 加四分之派，是不是 对不对？然后呢？把这个图像这个点呢？关于二分之派 x 等于二分之派的对称点给它找出来，对不对？那这个对称点，这个点的对称点是多少？ 这个点的对称点应该是 x 等于二分之一，就是中间值嘛，那它对称点的话，就是派减 x， 哎，对不对？然后派减 x， 然后再一个 y 值，好，这个 y 值我们有个 y 值嘛？ 好，这个点的话应该一定在什么？是不是在我求的这个解析式里面，对不对？因为它的图像跟这个图像是关于什么关于 x 点二分之派对称的啊？这个其实可以理解为就是相关连法嘛，对不对？那么也就是说，哎，我们把这个值往里面带，带进去过，那就 y 就 等于三 e， 我们改括号 x 为 pi 减 x， 然后啊，再加四分之 pi， 再减去三分之 pi， 我 们改就得到这个式子，那么这个式子的 y 值跟这个式的 y 值应该什么是不是相等的？因为为什么？因为你比如说我刚刚说过，我拿个黑色笔给它画一下啊，这个图， 这个就是那个 x， 还有啊， f x， 对不对？然后这个关于这个点的对称点，这个对称点过来，这个值是多少？这个值对过来过后，这个横坐标刚刚说过是派减 c， 派减 x， 然后把派减 x 带到这个函数里面去，带到这个函数里面去得到它的 y 值，这两个 y 值应该是什么关系？是不是应该是相等的， 对不对？这样的话才能够说明这两个图像是关于这个对称的嘛？是不是？好？这个就类似于叫相关点法，好， ok， 那 所以说就得到谁？我在这里写哈，三 e omega x 加四分之 pi， 就 等于三 e c， 好， 把这个打开， omega pi 减去 omega x， 好，然后啊，再加上四分之派，减去三分之派维密港，好，我这里稍微化解一下哈，三 e 负的维密港 x， 好， 然后啊，呃，这里有个 三分之派，那就是加三分之二派维密港，加四分之派，好，然后这个跟这个是什么关系？相等，那么我们知道这两个数相等呢？就有个结论，三 e 跟三 e 相等，有个结论？什么结论？ 哎，大家应该知道哈，哎，一个是它本身的中边相等，就是我们改 x 加四分之派，哎，就等于谁负，我们改 x 加三分之二派，我们改加四分之派， 哎，当中边相等要加个二 k 派，哈，这叫加个二 k 派，好，还有一种可能性，这两个数加起来等于几？这两个数加起来等于一百八，哎，当然就是我们改 x 加四分之派，哎，加上 加上这个就是负，谁负。我 m g x 加三分之二 pi， 我 m g， 然后加四分之 pi 等于 pi 加二 k pi， 好， 就这样的，好，这个题就这么这么出来过后，然后我们就可以怎么办？哎，就可以得到这样一个图像，是不是 得到一个表达式，这个表达式有了过后，然后我们就可以得到什么，是不是就可以求出 omega 的 值啊？因为这天它总目标是要解除 omega， 哎，正正数 omega 的 最小。什么最小值为多少？是不是？ 好，那这个题我们就可以解一下我密港啊。这个题，呃，应该解下面那个，因为下面那个这个 x 才抵得掉上面那个，他 x 抵不掉，你就没法去解。好，就下面这个这个就跟这个，就这么就约了，约了过后，那个，呃，就得到三分之二派，我密港加上二分之派，等于派加二 k 派， 那就三分之二派，我密嘎就等于二分之派加二 k 派，对不对？遇到个派，大家都遇到个派好，然后我密嘎就等于三分几？三分之四，哎，因为，哎，四分三弄，因为我们这个两边同时乘一个 c， 同乘一个，同时除一个三分之二嘛，乘一个二分之三，那我们嘎这个乘二分之三，那就等于四分之三，这个乘二分之三的话，二 k 乘二分之三就等于三 k， 好， 然后因为这个我们嘎要大于零，说说 k 最小应该是取几，取零， k 取零。好，然后我们嘎就等于四分之三，说答案就对了。 好，这题就是这样去做好。当然有些同学他可以用图像的平易来分析这个题，也可以哈，王老师是用的表达式来给他讲的，就是说用的相关点法，然后去找到这个，建立一个等式关系，找到我们一嘎的一个值，好，这个题咱们就讲到这里哈。

好的，各位同学好，我是你们的杨老师。然后今天的话呢，给各位同学呢讲一道几何压轴题啊，然后呢，有一段时间没给各位同学讲题了，然后呢，最近比较忙， 我今天抽一点时间的话呢，给各位同学讲一下这一道题，那么这道题呢，是希腊副中他们上周哈考的这个几何压轴题。好，那么这道题的话呢，我们一起来看一下。 呃，这里呢，我就只放了第三问哈，你就说在前面题目上的话，它相当于就只给了一个 a b 等于 a d 这个条件。好，然后呢，我们呃，接着读题， 他说 c 点在这个 b c 的 延长线上啊， c 点在 b c 的 延长线，然后连接 a c， 然后这里给了一个角 b， a， d 等于九十度啊，这里等于九十，那么也就是说只要前面这个条件啊，那么 a 三角形 a， b d， 它就是一个等腰直角三角形嘛。好，然后又给了角 c 等于十五度。 好， b， d 等于二，那么这个条件的话，其实我就可以算出这个 a b 和 a d 嘛，那么其实在这个地方的话，其实我们也可以推导出这个角，它实际上是等于三十度的啊，等于三十度，也就是说你这个角等于四十五度嘛。好，那么接着。 然后呢，以 e 哈为这个直角顶点做等腰直角三角形，这个 e 的 话呢，是在这个注意啊，它是在直线 a c 上啊，它在直线 a c 上，它不是在 a c 这个线段上面，然后 e 呢？以， 呃，在这个上面就是一个动点，然后呢，以 e 为直角顶点，然后去做一个等腰直角三角形 d e m， 那 也就是说 e 点呢，它是动点，那么 m 的 话其实也是一个动点，那么这个呢，就符合我们在讲的前面讲的这个瓜豆里面的，那么这个 e 就 我们称为一个主动点，那么这个 m 我 们就成为一个从动点。 好，那么也就是说 m 它的一个轨迹啊，我们就可以通过我们前面学的瓜豆这个模型给它找出来。因为 e 呢，它是在 a c 这个直线上动， e 点的轨迹是直线，那么也就是说 m 的 轨迹呢，也是一条直线。 好，我们继续好，他说线段 a m 取最小值的时候啊， a m 取最小值，那么也就说从这个地方的话，其实我们就可以看得出，那么接下来我们需要去找的就是去找出，就是要去找 m 的 一个轨迹， m 的 一个轨迹，那么第二个呢，就是去去探讨出这个线段 a m 它什么时候最小。 好，那有的时候对于这个就是把它这个写成两个部分啊，那么前面部分的话，我们需要完成的就是去找出 a m 的 一个轨迹，并且探讨出线段 a m 什么时候最小， 好，什么就是最小，然后呢这个地方后边的话呢，它实际上是跟这个 m 有 关系吗？它是连接 m h 吗？那也就是说我们要探讨出 m 最小， a m 最小的时候， m 点它的一个位置。好，那我们这个地方的话，我们就来一起来看一下怎么去画这个 m 的 轨迹哈， 那么其实前面我们在讲这个挖豆的时候呢啊，其其实就讲到这个原理嘛。呃，其实我们可以把主动点的话，他是连接的地点嘛，主动点是连，也是连接的地点，那么其实这个地方就相当于 是是主动点连接地点的这一根线，也就是第一这个线段啊，第一，然后呢他 进行顺时针旋转的四十五度。好，并且扩大了根号二倍，根号二倍，也就是 d e 通过顺时针旋转的四十五度啊，并且扩大了根号二倍，然后变到了这个 dm。 好， 那么其实的话，我们就可以通过这个原理去从 e 点转换到 d 点，那么其实这个地方的话呢，我们就需要去找出这个 呃这个 e 点它的一个特殊的地方，特殊点嘛，相当于是，那么其实呢，我们就可以去做一个， 做一个 a c 的 一个垂直，那么 e 点的话呢，它是可以运动到这个地方来的话，它相对是一个特殊的嘛，那么此时的话呢，我们就是相对于把这个特殊的第一撇，然后呢进行旋转四十五度，并且扩大一个啊，扩大一个根号二倍， 那么也就说此时相当于就是，呃，以这个 d 一 撇儿为直角边嘛，这个 e 一 撇儿为直角顶点，去做一个 呃等腰直角三角形，好，那么也就是说呢，这个地方零四十五度，这个地方也零四十五度，那这里相当于是 m 一 撇嘛？ 好，那因为我们又知道 m 它的轨迹是一条直线，对吧？ m 轨迹是一条直线的话，那此时我就可以，此时我就可以把 m 的 轨迹给它画出来，它实际上就是这个样子嘛，这个是 m 的 它的一个轨迹， 好，那么 m 的 轨迹找到了之后，那么此时我在 m 相对于在这个蓝色的线上面动嘛，然后我们要算这个 a m 的 一个最小，那相当于就是过 a 点去做一个这根线的一个垂子嘛？好，那么 m 一 撇， 好，那么这个地方啊，红色的这个 m 就 相当于是这个 a m 最小的时候，它的 m 的 一个位置啊， m 的 一个位置， 那么我们在，我，那么我们在画这个地方的时候呢，我们需要把它进行一个，呃，进行一个还原嘛？还原相当于就是把把从这个复杂的图我还原到这个一个简单的图上面来。简单的图上面，那其实简单的图上面的话就应该怎么去画呢？ 啊？那由于我们知道这个作图是怎么做的嘛？所以说相当于就是呃，先过地点向这边做一个 a c， 做一个垂直， 好，然后呢？然后将这根线其实我们也可以逆时针旋转一个九十度，其实变成这个样子，其实也可以。好，然后再连接这个 m 和这个点，然后相对再做一个垂直吗？ 下面再做一个垂直啊，就是这么做出来的，这里就是我们的一个 m， 好， 那么做出 m 之后，那其实我们这里的话，还需要去把我们此时的一个 e 点给找到，那 e 点的话呢，就相当于是连接此次的 d m， 以 d m 为斜边做一个，做一个等腰直角三角形， 好，相当于是这个样子好，这个样子好，这里就是我们的 e 点，好，也就是说啊，它的图就是这么去做出来的。好，那我们一起来看一下。这边呢，我画了一下图，图就是这个样子， 那么也就是说 e 点它在 ac 这根线上面去动， ac 这根线上面去动，我们要找出 e 点的轨迹的话，那么此时我们就需要去过这个 d 点，向 ac 做一个垂线， 好，向 a、 c 做一个垂线，我们把这根垂线给它画出来，换一个颜色，好，画出来之后呢，然后此时我们就相当于就是把这个线绕着这个点，就是逆时针旋转一个九十度，逆时针旋转一个九十度啊，旋转一下，逆时针旋转九十度， 好，旋转到这里来之后，那么此时这个点跟 m 啊相连所组成的直线，那么就是我们的一个轨迹嘛，就这个样子，然后呢我们再过这个 a 点，向这根线做一个垂直， 好，然后这个点呢，其实就是我们的一个 m 嘛，这个点就是我们的一个 m， 好， m 点就在这个地方， m 点就在这个地方，那我们此时要找出 e 点，对吧？找出 e 点的话呢，其实就跟我们刚才讲解的一样去画嘛，然后这里连接 dm， 连接 dm， 然后以 dm 为斜边做一个， 以斜边做一个等腰直角三角形嘛，等腰直角三角形，那其实的话可以这么来做哈，因为等腰直角三角形这个地方就相当于是转了一个四十五度嘛，顺时针转一个四十五度，所以相当于是绕着这个点顺时针转一个四十五度， 好，那么其实这个交点的话呢，就是我们的一个异点嘛，那么其实这个交点就是我们的异点，所以说的话，我们就可以把异点给画出来了， 好，把 e 点给它画出来，好，其实的话呢，就是这个样子，那么 e 点在动的过程中，当 e 点动到这个点上面来的时候，那么此时就满足我们的一个条件嘛，啊，它的图就是这个样子啊，它的图就是这个样子， 好，那么原理完，原理画好了之后哈，那么那么我们就，我们就接着进行下一步了哈，进行下一步了，我们还是把这个图给它放过来，这个图给它放过来这里的话呢，就 好，把这个 e 点通到这个点上面来，好，差不多，那么他的图的话呢，就是这个样子，图的话，标准的图哈，那其实的话呢，就是这个样子。哎呀，最近有点感冒了哈，各位同学要注意身体。 好，然后，嗯，好，就是这个样子嘛，好，我们接着往后边哈，看后面半截， 他说呢，此时这个 h 在 直线 bc 上移动点哈，这 h 就 在这个直线 bc 上面一个动点 就在这个直线上，然后呢连接 m h， 连接 m h， 那 我们随便找个点吧，这里是 h， 我 们要连接我们的一个 m h， 然后还要连接 a h， 连接 a h， 然后呢他说将三角形 a e m h 沿着这个 a e h， 然后呢啊进行翻折，翻折到这边来啊，那我们大概大概画一下，大概画一下，那么翻折的话呢，就大概在这个位置吧， 啊，就这么就这么翻折过来，好，翻折过来之后呢，呃，这边呢，就是形成一个 a b 这个平面，然后呢得到三角形 a h n 嘛， a h n， 那 其实这个点就是 n 点，然后呢此时我们再连接我们一个 b n， 好， 把 b n 连起来，好，然后呢他说当 b n 取最大值的时候， b n 取最大值的时候， b n 取最大值，然后要我们算这个三角形呃， b b e n 的 一个面积哈， b e n 的 一个面积，那么其实第二部分的话呢，其实跟前面差不多了哈，前边的话呢，它是要我们算这个 am 最小， am 最小的话呢，相当于是 a 点是一个定点。 好， m 是 一个动点嘛，那其实一定一动就找动点的轨迹嘛，那其实这里也是一样的， m b 点它是一个动点啊， b 点是一个定点，然后 n 点呢，它是一个动点。好，你那我们此时相当于是去找 n 的 一个轨迹嘛，其实 n 的 轨迹就比较简单，我们翻折里面是不是常常会涉及到有 引元涉及到的一个什么定角定弦，那对不对？好，那么定角定弦的话呢，也就是说 这一边定角定弦，还有我们的一个呃，定角定高，还有什么定点定长， 还有还有等等的一些东西嘛，对吧？好，那么其其实这个地方的话呢，它涉及到的就是一个定点定长嘛，翻折里面常常会出现一个定点定长，也就是说它翻折过去过，这个 a 点实际上是没变的。 那么 a m 这个长度，由于我们前面已经确定了是一个垂直嘛，也就说 a m 的 话，它是一个定长，那也就说 a n 呢，它也是一个定长，也就说 n 点呢，它的轨迹相当于是在以 a 点这个轨迹， a 点这个轨迹呢，它相当于是在以 a 为圆心， a 为圆心，然后呢 am 为半径的一个圆上哈，啊，当然这里这里是我平手画的哈，可能画的画的不太标准哈，那么其实的话呢，这个 m 应该在这个圆上面才对头，在这个圆上面才对头，应该是这个样子啊，这个样子。 好，你就说 m 是 在这个上这个上面吧，那也就说此时你想要，你想要你的这个 bm 最大的时候，那是不是应该是 b m a e 是 不是三点共线的时候才会最大呀？对吧？那么此时的话呢，应该是这个样子啊，这个样子，那么这个地方呢，应该是一个 n 点，那么就是这个样子， 然后这个图呢，就是我们啊，我们需要的这个是最小的时候嘛，然后这个 b m 最大的时， b n 最大的时候，然后另外这里要我们算的是这个 b e n 的 一个面积， b e n 的 一个面积，然后此时连接 e 点啊，再把这个 n 点连起来，那么现在的话，相当于是去让我们去算这个面积嘛，这个面积好，那么这么画的话呢，看着还是有一点抽象哈，我们在这上面，来吧，这上面给各位同学画一下，好，然后这边的话呢，我们其实呢是画了一下图哈，画了下图， 好，也就说你这个 n 在 动嘛， n 在 动，好， n 在 动，然后呢，这里呢，我是删了一些线段啊，把这些线段给添起来。尾头线段。好，这里呢是连接 a h 和 n 嘛，然后呢再把 h m 给 h m 连起来，好，它相当于就是这个三角形嘛， 上面就是这个三角形和这个三角形，然后它是进行翻折嘛？进行翻折啊，有时候 n 点在运动的时候呢，这两个三角形始终是处于一个翻折的状态。好，那么那么这里呢，我还是把它给删了哈，方便观察一些好，方便观察一些 好，然后这个 n 叉的轨迹呢，就是在以 a 为圆心嘛，然后 am 常为半径的一个圆上，一个圆上啊，就在这个上面啊，那么也就是说当 b n 与 a 点 重合的时候，或说边经过 a 点的时候，那么此时这个图呢，就是我们的一个最小值的一个图，这个图呢就是我们的最小值图，能不能把它放到这个放到这边来，哈，用这个图好，用这个图 啊，这个图呢，就这个样子啊，就这个样子，好，那么我们我们一起来大概总结一下哈，这个图是怎么画出来的？首先第一个 e 点在动吧，好，它是在 a c 上面动，那么此时呢，它是把这个呃 d 一 相当于是 d 一 绕着这个地点，然后呢顺时针旋转一个四十五度，好，并且扩大一个根号二倍，达到这个 m 好， 达到这个 m 之后呢， 然后呢他要求这个 a m 最小，那我们通过我们的一个瓜豆作图嘛，去确定出 m 的 一个轨迹， 去确定出 m 的 轨迹，就是这个这根，那么此时就相当于是过 a 点做 m 的 一个，做这个线的一个垂直。好，那么这个点就是 m， 好， 那么第二步的话呢，就是，呃，就是这个三角形 a b m 啊，它是绕着这个，就是绕着这个 a h a h m 啊，照着 a s 继续翻折，得到证明呢，是一个 n 点啊，那么这里呢，就是我们的一个定点定长，定点定长的话，也就是这个 a 点为定点，那么长呢就是 a m， 那 也就是说 n 点的轨迹就是在以 a 为圆心， a m 长为半径的一个圆上。 好，然后要求我们的这个 b n 最大，那么也是 b n 经过圆心的时候，它就最大。好，那么这个图的话呢，就是这个样子啊，就这个样子。好，那我们搞清楚怎么画图了之后，那么接下来呢，我们肯定是要去把 把这个玩意给他计算出来，因为我们最后要算这个，这个带颜色的这个三角形的一个面积吗？但这个图的话稍微有一点小啊，那么这边的话，我把这个图给他，给他截，截大一点啊，就相当于是把它放大一点，放大一点再算， 放大一点再算。好，那么从这个图上面来看的话呢，其实我们我们要求的话，我们要求的就是这个三角 s 三角形 a、 b、 n 的 一个面积嘛，这个等于多少啊？那么我们在算这个的时候的话呢，其实有几个步骤啊？有几个步骤？ 好，我们一起来看一下。好，那算这个面积的话，我们肯定首先得确定一个方法嘛，就是要么底层高嘛，要要么就是用一些其他的方法，当然我们一般都是底层高嘛，那其实在这个图上面的话呢，其实还是很比较好算的嘛， 比较好算的。好，我们首先我们还是一起来推导一下，我们从最开始这个作图来看，作图来看，因为我是这边做了一个垂直，然后呢旋转了一个四十五度吗？那也就说这个角是四十五度，这个角也是四十五度。 好，又因为又因为我这一根线哈，就是这里是垂直的吗？好，那么其实的话呢，这个地方也是垂直的哈，这个地方也是垂直的，那么也就是说什么呢？这个角也是四十五度， 这个角也是四十五度，然后我这的这个地方是垂直，那么这个地方我就可以得到，比如这里标位点哈。呃，为，比如这里标位点哈，为 q 点，算了，换一个，换一个，后面可能会用到，那么我们这个换成一个 k 点， 换成一个 k 点，那么也就是说这里这个三角形 a m k， 它实际上是一个 r t 三角形，并且是一个等腰 r t 三角形，等腰 r t 三角形，那有时候这个角等于四十五度嘛？啊，这个角等于四十五度。 好，我们接着接着。那么这个地方的话呢，我们还能推导出一些什么呢？呃，就是前面推导出这个角等于三十度嘛，这个角是三十度。好，那大概知道这些之后的话呢，我们就来尝试着去算一些东西呗。 好，因为我要算这个三角形的面积，那么其实我可以考虑就是，呃，这里明显的话，其实我们可以算出这个 b n 的 一个长度，考虑去算 b n， 考虑去算 b n， 那 b n 的 话，它实际上是等于 ab 区加上这个 a n 嘛，那那通过前面推导的话呢，这个 a n， 它实际上是等于这个 a m， 那 也就是说，也就是我们就可以接下来我们就相当于是去算 a m 等于多少。 好，那么我们根据前面给的长度嘛，这个 a b 的 话呢，是等于二，那么也说 abd 等于二，那也说 abd 的 话是等于根号二。好，那我们就相当于算 am， 那 么算 am 的 话呢？呃，这个地方我们可以考虑去算一下这个 a k 嘛，算一下这个 a k， 因为 a k 它是一个等腰直角三角形嘛，你算这个 a k a k， 它其实也很好算嘛， ad 的 话呢，也等于根号二呗。 然后这里我们不是推到数等于三十度吗？那也就说这根长度，这根长度是不是就可以算了？好，这个我标过 q 这个长度的话，它实际上是等于一个二分之根号二吧？那这里是不是也是二分之根号二？那其实我们可以顺时针算出这根零一吗？ 好，这里是二分之根号二，然后这个 a q 是 不是就出来了？ a q 是 不是应该等于二分之根号二乘以高三，是不是二分之根号六？也就是说 a k 的 长度是不是应该是二分之根号二加上二分之根号六， 对吧？好，那也就是说我们现在呢，是算出了这个，算出了这个 a k 了噻，那么我们其实就可以算出这个 am 了吧？好，此时呢，我们就可以算出这个 am。 好，然后呢，这个 a m 的 话呢，相当于就是 a k 除以根号二，除以根号二的话，它相当于就是二分之一加上根号三。好，也就是说这个三角形的底已经出来了， 底。好，那么是相对算高嘛？那算高的话，是不是应该是过 e 点去做这个 a n 的 一个垂直，对吧？好，过 e 点做这个 a n 的 一个垂直，然后呢，这个地方的话是 f。 好，那么相当于就是去算这个 a f 等于多少？那么算 a f 的 话呢？这里其实有个角哈，不知各位同学能不能看得出来？就这里是直角，这里是三十度，那这个角是应该是六十度，也就说角 f a e， 它是等于六十度， f 一 等于六十度的话呢，那我们其实呢，就是 f 一 等于六十度，那么其实我们是不是就可以直接去去转换到算这个 a 一 以一的长度呢？对吧？如果我们能算出 a 一， 那么是不是接下来就啊就比较简单了 啊？接下来就比成简单了，那算 a e 的 话呢？那这个地方，呃，其实不是很好去算这个 a e 哈，因为这里呢会涉及到要算很多东西啊，那我们还是一起来看一下吧，算这个 a e， 好，那么首先的话呢，这里我们这里哈，不知各位同学能不能看得出来？这个地方哈，就是这个 e、 d k 和 m 这四个点，它实际上是四点共圆的嘛， 四点公园啊，就是因好，然后加上这就是因为这个角是直角，这里也是直角，它是四点公园，然后这里又是平分，那么其实呢的话，它也是一个对角互补模型 好，那么具体不知道对角互补模型是什么的话，那各位同学的话呢？还是下来去复习一下，我们就不在这里啊，过得去迅速了，那么它里面有一个结论，就是说一 k 去加上 mk， 它实际上是等于这个根号二倍一 k 的 根号二倍一 k， 好， 那么我们这里的思路就是什么呢？思路就是我要用整个 a c 去减这个 c k， 再去减这个一 k， 他 实际上就等于这个 a e 嘛，就这么来算的，这么来算的啊，所以说这里的一 k， 我 们通过前面这个对角互补去算好，然后 c k 和 a c， 我 们就通过减直角三角形去算嘛，减直角三角形去算 好，怎么来算呢？好，我们这个地方看一下啊，就这里是四十五度，然后呢，你这里是一个六十度嘛，那其实这里就应该是一个三十度嘛，我们就可以推导出，其实可以通过这里十五度其实也可以算哈，那其实呢，这个地方的话呢，我们就可以呃，可以通过这种方式去算一下这个 c k 哈， 解直角三角形的话呢，我们最好不要出现一个呃，十五度的直角三角形嘛，那这里头我们就这么来做嘛，延长这个 d k 啊，我们在做这个解直角三角形的时候啊，通常就是这么来做的话啊，这么来做嘛？ 然后呢？呃，过 c 点哈，做这根线的一个垂直，做垂直好，比如说这里是一个 a 点嘛，那其实这样的话呢，我们就可以算了嘛， 其实就可以算了。然后呢，我就设这边为 x， 这边为 x 啊，也就是说根号三 x 是 应该等于一加上 x。 好， 那我们是不是就可以直接算了？我们 x 解出来的话呢，它实际上是等于二分之根号三加上一的啊，其实是跟这个 a m 是 相等的哈，那 a 跟 a m 相等啊，也比如说这个长，比如说嘛，这个长度就是 ic 零，这个长度 好，它跟 am 相等，那此时我们是不是可以得到这个三角形 a m k， 它是全等于这个三角形 a k c 的， 那 a k c 的 话，那其实我的一个 k c 是 不是应该等于这我们的一个 ak 啊？ ak 等于我们的一个 ak 吗？ 好， a k 的 话，我们长度实际上是算出来的嘛， a k 的 话， a k 等于这个长度嘛，那也就是说这个长度它是等于二分之根号二加上根号六，那我们 a c 是 不就出来了？ a c 是 不相当于是呃，两个，两个 a k 嘛，对吧？那那我们的 a c 就 出来了， a c 呢？实际上是根号六去加上根号二嘛。啊，那么上面这个长度呢？ d k， d k 等于一 mk 呢？ mk 的 话，它实际上是跟这个 x 嘛，就是 x 嘛，对吧？那其实我们就可以算这个长度了呀，就是一加上二分之根号三加上一，等于根号二倍一 k， 那 我们是不是可以一 k 把它给算出来，对吧？等于根号二倍一 k， 好， 我们来算一下，算一下这个一 k 算出来等于多少？ 呃，一 k 的 话呢，算出来等于四分之根号六，加上三倍根号二， 好，那么其实到这一步的话呢，我们差不多就全部快算完了哈，那我们直接算 a 一 吧， a 一 的话呢，它就等于我们一个 a c 减 c k 减一 k， 好，他就等于根号六加上根号二，减 c k， c k， 我 们算的在这个地方吧，减二分之根号二，加上根号六，好，然后再减这个一 k， 就 减四分之根号六，加上三倍根号二， 好，那此时的话呢，我们 a 一 算出来的话呢，它是一个四分之根号六减根号二。 a c 出来了，那么我们就可以算这个 e f 了嘛， e f 的 话，相当于是 a c 除以二，再乘以杠三， 那么它就等于八分之三倍根号二，减根号六，好，这是我们的 e f， 关键的 e f 就 出来了，那么我们此时的这个 s 三角形 a b n， 它就等于二分之一乘以 b n， 再乘以 e f， 好， 那么就在它就等于二分之一乘以 b n b n， 我 们算呢？在哪个地方？ b n 好 像 边好像还没算吧？ b n 的 话呢，它应该等于这个 ab， ab 是 根号二加上 a， 加上二分之根号二，加上根号六，好，然后再乘以八分之三枚根号二减根号六，这就是这个嘛，好，那我们就可以 啊，这个 b n 好 像有点问题啊， b n 好 像算错了 b n 的， 呃，这个 b n 的 话呢，是在这里哈，我们看错了哈， b n 在 这个地方， a n 哈， a n， 哦，等会，等会，哦，对对对，这个 b n 哈， b n 的 话呢，它是 b n， 它是等于 ab 区加上 a n 嘛， a b 是 他吗？ a n 的 话，我们看错了，因为 a n 跟 am 相等吗？ a n 的 话应该是这个长度，那么它是一个零二分之一加上杠三啊，这里时候看错了，然后最后结果算出来，就是十十六分之 六减二倍根号三，加上根号六。好，这就是这个最后的结果哈，最后的结果。那么这个题目方法其实算的还是有一点复杂啊，有点复杂。那各位同学，呃，其实我在讲这个题的时候呢，有些同学呢，他可能会说，有没有更简单的一点的方法来算这个长度呢？ 啊，其实简单的方法还是有哈，有哈，怎么来算呢？嗯，我们可以通过这个图哈，这个图其实呢，它也是有一点规律的哈，有什么规律呢？首先，因为我们这里不是说了这个等腰直角三角形吗？那其实这里还有哈，就是这个 e d m 三角形， e d m 和这个三角形 a d n， a d n， 这里不是 n 哈，就是我们要把它延长出去， 延长出去交到这个点啊，这个点，比如说是 h 有 h 了，比如说是那个 p 嘛？啊，这个这个的话呢，才是我们的一个，就是 a d p 才是一个等腰三角形啊， 等幺 r t 三角形啊，那么也就说这里就正因为没有延长，所以说很多同学呢，他他看不出来这个地方啊，那这里就有个相似嘛，什么相似呢？比如说你这一边，你这一边 是一比根号二嘛，那么其实呢，我们 a d 和这个 d p 啊，它也是一个一比根号二的关系，那么其实呢，我我们此时就可以去算出这个 pm， 然后 pm 除以根号二，它就等于 a e 嘛， 好，它就等于 a e， 好， 这种的话呢，要简单一点啊，要简单一点，那么其实呢，这里也是一个四点公园嘛， d k p a 嘛，就是这个 d k p a 也是一个四点公园。 好，那么其实我们通过这种方式的话呢，也可以去就是去算成这个 d p 啊， d p 出来之后就得到这个 a e 啊，这种方法其实要比我们讲的这种还要稍微简单一点，那么这里相对是一个法二，那么这边呢，就是我们的一个法一。 好，那么各位同学的话呢，可以下去去研究一下，研究一下这第二种哈，算 a e 的 一个方法 好，但是不管哪种方法，我们只要能算出这个题啊，我觉得就是，呃，还算是一个比较好的方法，好的方法好，那么今天的话呢，我们还是出了一点时间哈，给各位同学呢讲了一下， 讲了一下这个，呃，习大附中哈，他们上周考的这个十二月月考的一个几何压轴题啊，因为最近比较忙啊，没太多时间来给各位同学录这些题。好，那么今天的话，稍微空一点啊，给各位同学呢录一下这个几何压轴题的一个讲解哈， 压轴题的一个重点。好，那么我们后续的话呢，也会讲一些这些直属校的一些几个压轴题啊？几个压轴题。那么今天的话呢，我们就到这里啊，今天的话我们就到这里。好，我是你们的杨老师。好，各位同学，再见。

这是七下数学啊，关于我们平面直角坐标系和几何图形的一道题啊。如图，在长方形 a、 b、 c、 d 中， ab 等于五， ab 是 五， ad ad 是 三 啊，点 c 的 坐标，点 c 的 坐标负一的负一啊，也就是这一段是一，这一段是三，对吧？ d、 c 平行于 y 轴，则点 a 的 坐标，要么求这一点的坐标，那横坐标是不是也就这一点的坐标？横坐标，那这是负一，这是一啊，这是负一，这一点是负一吧。负一， 那这一点呢？这一点啊，向左再移三啊，也就是负一，再减三，他就应该横坐标是负四，负四，那我们再来看一下重坐标啊，也就这一段， 哎，这段是一，他是负一，那整个负一，这是五，这一段是五，是吧？啊，这是零，负一，这段是五，那这段呢？应该就是四啊， 对吧？啊，这段是四，所以它的坐标就是负四，负四都是啊，负四都是，所以我们的答案是 c。 好， 希望这个题对你有帮助。

来，今天我们来讲这道初二月考的填空题的压轴题，老样子，我们先来读一下题目， a 点的坐标是负四负四 b 零 m 在 外轴的负半轴上，然后做一个直角，三角形来，九十度是这里面的角， a， c 点是 n n 零。像这样的题目，它是一道非常典型的依次函数和几何综合的题目。像这样的题目，丁老师给大家一个建议，就是从几何的方向去思考， 你比如说全等，你比如说轴对称，从这些方向去思考问题会更容易一点， 除非说他让你求解析式，像这样的题目就用代数的方法求，但是一般涉及到你，比如说涉及到线段的长度，涉及到角度等等，更多的时候我们选用几何的方法做会更简单。我们来看一下现在这里面有一个 直角，我们把具体的条件给他标一下来，负四负四。 像这样的题目，大家去做辅助线的时候，要注意一个就是去做平行于 x 轴和 y 轴的辅助线。我们来看一下这道题大家有没有看着很熟悉，如果说这里面的 a、 c 和 ab 是 相等的，再加上这个直角，那我很明显可以做出一个一线三垂直去构造一个全等。我们现在来试一下，过 a 点去做平行于 y 轴的一条线， 然后过 b 点再去做垂线，分别设两点，是 d 和 e。 我 们来看一下这一题来， 虽然题目没告诉我们说 ac 等于 ab， 但是，但是这里面 a 点是负四负四，我们把具体的线段长度给他标一下，也就是说这里面的 ad 是 等于四， b、 e 也是等于四的，我说的是线段的长度，它是四， 那么我们来看一下，在这两个直角三角形里面，由于他是九十度，所以这里面的角一和角二之合也是九十度，这里面的角三和角二也是九十度，所以角一是等于角三的， 由于角一等于角三，再加上他的直角，再加上他的边长相等，所以我们很容易可以通过角角边或者是角边角去正出全等 证完全等之后我们就能够知道相应的另外的线段长度。我们来看一下，所以说这里面的三角形 c、 d， a 和三角形 a、 e、 b 是 全等的， 这里面的三角形 c、 d， a 和三角形 a、 e、 b 是 全等的，所以我们能够得出来让我们求的是 mn， 我 们就要去找 mn 相关的线段长度，那我们来看一下这里面的 b 点和 c 点， c 点它含有 n， 这里面我们可以通过 c、 d 的 长度去把 n 给体现出来，这里面的 c、 d 的 长度就是四加 n。 我 们再来看一下这里面的 a、 e、 a、 e 是 可以把 m 体现出来的。我们来看一下这里面 b 点的坐标是零 m， b 在 负半轴，所以 m 小 于零， m 是 一个负数，大家一定要注意， m 是 一个负数，所以这里面的 e 点我们来看一下，这里面的 d， e 就 等于 ob 是 等于负 m 的， 这个长度等于负 m， 现在 a、 d 又等于四，所以这里面的 a、 e 就 等于 d， e 减去 a， d， d， e 等于负 m， a， d 是 四。然后通过前面我们说的来， c、 d 等于四加 n， 所以 有全等可以得到 a， e 等于 c、 d， 所以 负 m 减四等于四加 n 来把它移项就可以得到 m 加 n 是 等于负八的，这样的话这一题就求出来了，遇到这种几何与函数的综合，大家更多的要从几何的性质去考虑。

这次都说普陀区出山最近的一次月统考非常难，那我后来呢，把这张卷子分享了一下，并且呢自己也做了一下，其实也没有想象的那么难，只要你把初中的二级公式和几何模型都弄懂，基本上呢，都是秒解的，包括他们第十八题，有些同学说做了很长时间， 其实可以在一分钟之内就做出来。我们先看一下这道题，这些道填空题连图形都没有给，给的条件呢，也是比较巧妙的。在一个长方形里面，取一条边的中点，然后做一个三角形旋转，让他的两个角分别落在对角线以及顶点上，差不多就是这个图形，已知彼此等一删，求 a b。 其实这个题目啊，你只要看到三角形的旋转，不用多想，就是一个手拉手模型，解法也非常简单，就是把转动的角用线连起来就可以了。 那在这道题目中，我们看它转动以后，原来的三角形 a， b、 c 转动到了 d e f 角 a 到了角 d， 那 这个线已经连着了，它本来就有了角 e 没有动，是旋转点，不用连的，那我们要连的就是角 b 转到角 f， 对 吧？那把这个线连起来，那这条辅助线一添加，图形就非常清楚了。好了，那加了这条边以后，其实就很好解了，就在这一块，我相信大家都知道，这是一个中垂线，这是个垂直角，对吧？然后在这里，呃，因为 e 是 b c 的 中点， f e 又是 b c， b e 转过去的，所以呢，这也是一个直角三角形的中线定律，那么可以证明到 b e、 c 也是一个直角，所以 b f 平行于 d e， 那 我们可以推导出什么呢？ a e、 b e 和 d 及 c， 这是两个全等三角形，那证明全等以后就很简单了， a f 等于 c g， 然后 f g 等于 c g 啊，这就不用再解释了，对吧？然后我们把这个三段分别设为 t， 那 么知道了这个，我们就可以用到另一个二极公式，是相似直角三角形常常考到的一个定律， 二级的摄影公式，这个五年有四十五考，就是在直角三角形中再做一条垂线，那么就可以知道直角边和斜边的关系。我把这个图片调整一下位置，大家就可以看得比较清楚了。直角边 b、 c 等于三， 然后对应的斜边是三 t， 假角边是两 t， 那 它的关系就是 b c 的 平方等于两 t 乘以三 t。 那 剩下来就是解方程的事情， 我们只要把 ac 求出来，然后用勾股定力， a b 自然就出来。所以要想在中考中拿到高分，掌握好二级公式和几何模型是非常重要，多用几本练一下，熟练了，到考试的时候自然知道怎么用，自然做的快了。正所谓欲先善其事，必先利其器。好，加油！

这是巴蜀中学十一月份的月考试卷，这是哈尔滨三中的一份试卷，刚做完，给我的感受就是受二零二五年高考数学的影响，题目的难度呢，相比已经下降了很多。 第二个，考的细节比较多，特别是基础的细节，这是概念、预算、定力的理解以及条件的解读。 第三呢，计算量还是挺大的，要想把分数拉开，计算能力一定一定要过关。 所以现在的孩子怎么样才能把数学提高起来？中等基础的孩子刷题，基础比较差的孩子就刷课本，基础比较好的，多刷一刷压轴题， 提高一下自己的计算能力是非常的有必要的。你们想要这资料的可以点个关注，给老师发个消息。