初一上册数学冀教版几何压轴题

来上课了，今天我们来看一道几何题，已知 ab 等于八， bc 等于三，让我们求 ac 的 长，这是七减一上册第六单元的一道练习题，字越少事越多。几何不给图，此处有陷 阱！正常我们做一道几何题，肯定要给他画一个图。那我们知道在一条直线上， 有一个 a 点，有一个 b 点，它的距离是八，这个是没问题的。那课堂上有个同学就说了，老师，我知道，那么 bc 等于三，这个 c 有 可能在 b 的 左侧， 也有可能在 b 的 右侧，那么就是两种情况，当 c 在 b 左侧的时候，那么 a c 它是等于 a， b 减 b， c 也就等于八减三等于五。 那么当 c 在 b 右侧的时候，我们得到 a， c 等于 a， b 加上 b， c 它等于八加三等于十一，所以最后 a c 的 长就是五或十一。 这时候有另一个同学说，老师，不对，这个 c 还有其他可能，这个 c 它也没说一定在这条直线上，那么它可以在这到 b 是 三，也可以在这到 b 也是三，那么有很多这种 c， 只要他到 b 的 距离等于三就可以。 但是这时候 abc 不 在同一条直线上，我们无法求得这个 ac 的 值到底是多少，但是我可以求出 ac 的 范围。 c 既然不在这条直线上，那么他与 ab 这两个点一定能够构成一个三角形三边。 ab 它是等于八， bc 等于三。根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。我们知道 ac 它是小于 ab 加上 bc 大 于 ab 减 bc， 也就说 ac 它是大于八减三等于五，小于八加三等于十一。 所以最终的结果就是它俩加起来就是这题的最终答案。 c 如果在直线 ab 上，那么它就是五或十一。 c 如果在直线 ab 外，那么它就是大于五小于十一。 所以最终这个 a c 它就是大于等于五，小于等于十一。好，这道题就给大家分享到这下课。

七年级的同学和家长看过来，我们今天开始给大家分享旋转问题，旋转问题的话难度还是比较大的啊，好，我们一起来看一下这个题目。说如图一，这个图说 o 为直线， ab 上面的一点做射线 oc， 使得这个角呢是一百二十度，那他边边上这个就是 六十，对不对？补角，好，将一个直角三角板如图摆放，就如图一摆放，这条直角边呢刚好贴着这条线 ab， 现在说将图一当中的三角板绕着点， o 绕着这一点呢，说速度，以 五度每秒的速度逆时针方向，所以我们旋转问题一定要关注一下他的旋转方向啊，非常重要以及速度是什么，那 ok， 他 就是往这个方向 旋转的，并且刚刚前面说这个是一百二十度，那我我们就能算出来他的角 b o c 是 六十度。 好，现在说在旋转一周的过程当中，这个一周什么意思？其实就是说整个运动时间的范围给我们了，一周是不是多少？一周是三百六十度呀，对吧？速度是五，算出来其实是七十二秒，也就是说在一周过程当中七十二秒以内， 什么时候 o q 恰好平分这个六十度的 b o c， 那 让我们来求这个梯值。这里还有一个关键点，说的是 o q 所在直线，他没有说是 o q 这条射线， 或者说比如说其他的题目。哎， o q 到底是线段射线还是直线，这个都区别很大啊。这个就如果说像是直线的，那我们就要注意了， 有多种情况啊，所以这个就是我们的关键点。先来看一下说旋转过程当中这个三角板，三角板旋转的话，是不是相当于三边同时在转啊？转到图二的这个位置，说这个 o q 呢，要刚好所在线恰好平分它，那是不是 o q 是 不是可能 运到这里？刚好是在它内部的时候，是不是？那现在这三角板是不是大概是这个位置呀？我们待会画图啊，先把分类给分明白了。好， 在这种情况下，是不是在继续旋转啊？旋转过后，这个 o q 是 不是有可能在反向延长线上？哎，三角板转到哪里了？是不是转到这里了？这里是一个垂直 q， 跑到这里了，是不是？它的反向延长线，是不是同样的也是平分这个 b o c 的 呀？在这一周过程当中，只有这两种可能。好，我们把它图形给画出来。 这种题目的话非常重要啊，那个画图一定要结合着图形来，不然的话角度容易计算错误。好，现在我们三角板说，第一种情况， o q 是 不是跑到这里？ q 点在这里，这个在 o 点的地方是直角， 那这个三角板是不是转到了现在的这个位置啊？ p o q。 好， 这是我们第一个图，再来看一下第二个图，先把它图给画好了啊，然后再一起去计算。我之前说的，为了避免错误，我们是先把图画全了， 分类分明白了啊，然后再一个个往里面去填充，去计算就可以了。好，第二个图，刚刚说的是在它的反向延长线上，其实这个 o q 呢，是到了这里，直角是在这里。好， p o q 是 到了这个位置， 它的反向延长线是不是也是平分这个 b o c 的？ 因为说的是直线嘛，那 ok， 这两种情况下，我们分别把这个时间 t 给算出来，那这个时间 t 跟什么有关？ 直线梯就是三角板在旋转呀，也就是说是我们这个 o q 或者 o p 或者 p q 三条边同时在旋转，是不是？但是我们现在只要研究这个 o q， 所以 我只要看 o q 的 初始位置是不是在这个位置，在转的过程当中是不是转到这里了，所以它是不是 这个时候是存在着一个旋转角啊？所以我们的旋转角是什么？就是从初始的位置 o q 初始位置，比如说 q 一 撇吧， 从初十位置旋转到停下来的这个中边的位，开始的时啊和终点的中。好，这个角就是我们的旋转角，只要我把这个旋转角求出来，然后除以速度，是不是？就时间来看一下这个 这一边的话，他开始的这一边同样的也还是在这里，但是这个时候呢，他是从这里是转了一大圈过来的，所以我只要把这一大圈的角度算出来，除一个速度是不是就可以了？那这个计算的话就相对容易啊。好，先来看第一种情况，我们要分类一下啊，分类 第一个是当 o q 直接平分角 b o c 的 时候，好，第二个呢是当 o q 反向延长线，所以我们就是当 o q 延长线， 延长线平分或者所在直线啊，都行。平分角 b o c 的 时候， 反向嘛，加上两个字，好， ok， 这个时候我们来求绿色的这个旋转角，那现在刚刚前面说的是平分是不是？那我们平分是不是就得到了 这两个角是相等的？刚刚说 boc 是 六十嘛，那这个比如说角一和角二，那这个时候我们角一是等于角二是等于什么？二分之一角 boc， 那 boc 是 不是就等于前面的一百八？减去 aoc 这个一百二， 那我们算出来是等于三十的，那现在旋转角是什么？ o q， 旋转角把它角度算出来，旋转角为 q o q 一 撇 o q， 它呢是等于什么？刚好横跨了这个直角加上角二，所以它是等于九十。加上角二 等于九十加三十等于一百二十度，那时间 t 就 有嘞，是等于一百二十度，除以速度五等于二十四秒。好，这是第一个。再来看一下第二个，一样的啊， 这个角跟这个角，角一跟角二是不是还都是三十啊？所以我们直接写角一等于角二是 等于三十。那现在再来观察一下，看看我们的旋转角横跨哪些角，是不是横跨了这个九十，以及从这里到这边是不是刚好一百八，还缺了这一块？ a o q， 这一块是不是？其实我们可以用三个角来表示，这比如说是角三， 现在来看一下，这条线是延长线过去的，那角二跟角三是不是相等？是对顶角啊？对顶角是相等的，所以我们角三是等于角二的，等于角二，它也是等于三十。那这个时候 o q， 旋转角， 旋转角是等于什么？是不是九十加上角 a l b 平角一百八再加上角三啊？所以等于九十加一百八，再加上三十，给它算出来是三百度转了一大圈。 ok， 所以呢，我们的 t 是 等于多少 t 呢？是等于 三百度除以一个五，就算出来是六十秒，或者说你可以直接这样啊，你只要把这个角算出来，然后用周角三百六减去，它是不是也是可以的呀？因为这里看好了，这个是 这个是多少？这个是角平分线，对吧？这是角平分线，角二杠三十，那它就是六十呀，是不是？ 好？所以呢？直接用三百六减六十，然后除以五啊，也是一样的，所以这一题答案的话，就这两个二十四和六十，这两个二十四秒或六十秒，那么这题你学会了吗？

所有七年级的同学和家长看过来，我们今天给大家讲解一道啊，常考的填空压轴题啊，难度还是比较大的，尤其是我们现在刚开始学习的时候，好多同学拿到手是很懵的，有的只能算出一个答案。好，我们先来看一下考察的是什么？考察的是单射线旋转和折叠问题 结合在一起，那现在这题呢，是没有图的，那这种没有图的无图问题啊，一定要注意分类，也就是说答案 可能是多个，那我们怎么去分类呢？一开始看的话，我可能理不清头绪对不对？那我只能尝试着先去画，那我先画第一个，在画的过程当中看看能不能理清头绪，是不是那角 a o b。 现在画第一种情况，他说 o m 是 从 o 点出发，那我 o m 是 不是有可能在 a o b 这个直角这个内部的这个范围内啊？也有可能是在外部，这 这个大半圈的范围内是不是？那 ok， 是 不是第一个大分类我就可以区分了呀？那好，给它放在这里分类。 第一个大类就有了， o m 呢？是在角 e o b 内部的， 当然他也有可能是在外部，对不对？在角 a o b 外部。那好，我们继续画第二条线，第二条线说的是什么？ o m？ 关于 o a 对 称，那对称的话，那就只能对称到这里，是 o n 对 不对？ 那 o n 呢？又绕着这个点顺时针旋转六十度，那我们现在来看一下第三条线 o p 在 哪里？ o p 有 没有可能旋转六十度之后刚好卡在这里，然后和这个 o m 的 夹角是十度啊？完全有可能是不是？那有没有可能是不是？哎，过来了，在外部的时候夹角是十度啊？所以这个时候是不是我们又可以细分下来了？比如说 p 点在这里， 那现在在内部的时候，我是不是继续可以分第一个这个 o p 呢？重新的分在角 m o n 内部和外部，是不是？那是不是又两种情况了？好， o p 呢？是在 外部的，我们顺便把它图形给画一下啊，在刚刚这个基础上再去画一下图，尽可能的不要把多种情况画在一个图上，那样子会 线太多，容易混夹角，容易算错，那我们就把每一种情况单独的去画一个图， 好，这个我保持同一个颜色， o n 在 这里，在旋转的过程当中旋转了六十度，哎，跑到了这边，我标一下啊，这个是 m， 这个是 n， 这个是 屁。刚刚上面是什么？说的是这个角是十度的角，那同样的这个角也是十度，对不对？那第二种情况也有了，继续啊，来看外部的时候又是怎么样子的？那外部啊，同样的给它画出来 外部的话，它外面有一大圈呢，相当于是在三块不同的区域，对不对？那我们每一个区域都要去尝试， 不然的话你也不清楚它到底在哪里，是不是，对不对？那在这个区域的话，那 o m 在 这里，那 o n 是 不是对称到这里，然后 o p 要旋转九十，呃，六十度，是不是到这里，那和这个 m o p 是 不是角度就会很大？不可能是十度啊，所以在这个 这个区域是不可能的啊，你可以画图去尝试，那就要到下方这个区域了，那到这个区域我们来看一下啊，比如说放在这里，好，我们继续画这个图，把上面这个 o a 给它反向延长， 因为要对称嘛，那这个就是 o m， o n 呢？关于它对称，那是不是要到这里了， o n 就 跑到了这里，再来看一下 o p， o p 是 o n 顺时针旋转六十度，那顺时针旋转看一下 绿色的啊，有没有可能刚好转在这里和 o m 夹角十度？ 完全有可能。有没有可能跑到这里刚好和它夹角是十度，那也有可能，所以是不是又两种情况啊？那好，我们现在放在它内部啊，这个时候是不是啊？这个图画的像是外部的样子，那我就放到外部好了，先放在外部啊， 好， o p 在 这里，那这个角是多少是十度？好，同样的，我们再画一个在内部的，画在这里啊， 又是分类外部，是不是把这条线延长好，来看一下这个 o m， o m。 如果说这边往这个方向， o m 在 这里，那这个 o n 呢？是不是就对称到大概这个地方？ o p 旋转，是不是旋转在内部啊？哎， o p 是 在这里， 那这个角是不是湿度？你看我们是不是四种情况全部画出来了？所以啊，我们分类啊，外部的时候分类，同样的也是那第三个分类，那就是 o p 是 在 角 m o n 内部和外部，是不是我们先画的是外部？那我就写先第三个写外部，第四个是在内部，好，我们把它图给画出来，图的话是一共是四个，这是一二 三四。好，所以这种题目呢，我们都是先把它分类分明白了，图形给他画出来了，然后再回过头来去计算他要计算的这个角， 这样子的话你就不会思路会很清晰啊，不至于说画了第一个算出第一个，到了第二个，然后脑袋就晕了是不是？所以啊，要先给他弄全了。好，现在来看一下他要求的角到底是哪个角？是 m o b， 看看 m o b 是 什么？是这个角 是不是还有呢？ m o b 是 这个角 m o b， 把所有的 m o b 给他找到，分别的给他计算出来，其实这就是一个简单的角度计算问题，和差关系嘛，对吧？好，先来看第一种情况，那第一种情况的话，看看这个角度是多少呀？ 这个角是多少？刚刚说的是折叠过来的，是不是？而且还有一个旋转六十度的，我们给他标上啊，不然的话就这个角度不好算。是这么旋转过来的是六十度，这里呢？还有这个也是 旋转角，要画准确了啊，是这个一定是初十边到终点边，还有就是 o n 到 o p 是 这个角，是旋转角，这里是 o n 到 o p， 是 这个角度，是六十。 ok， 现在该标的都标上了，那我们计算的话就很容易啊， 看好了，这个角是什么呀？刚刚是旋转过来的这个角对不对？这个是六十，旁边的是十，那这个总的应该是多少？总的是七十对不对？总的是七十。 o m 和 o n 是 啥？是对称哎，那是不是这个 a o m 这个是占刚刚 七十的一半啊，那就是三十五，那三十五剩下的这应该是多少？九十减三十位，所以我们第一个是五十五啊，计算非常简单。第二个啊，顺便给他写上。 好，我们第一个的计算就是角 m o n， 给它算一下，它是等于六十，加上十是等于七十的，这样子呢？又由翻折之，翻折是对称，那对称的话，角度是不是占一半啊？ 就得到了角 a o p 就 等于二分之一 m o n， 那 就是七十的一半， 那就是三十五了。最后一步不就得到了角 m o p m o b。 哦，是等于什么？等于 a o b， 九十减去一个 a o e o。 哦，刚刚这里应该是 a o m 写错了啊， 这个是 a o m。 好，那现在是不是就等于九十减去刚刚三十五啊？是等于多少？是等于五十五啊？所以我们在标角度的时候一定要标准确了，不然一不小心你的角度就算错了啊。这里是 a o m。 好， 第一个答案就是五十五。再来看第二个， 第二个的话，那这个角求的是这个角的度数，那这个角的度数是等于什么？这里是六十，对不对？然后其中还包含了这个十， 那 m o n 看好了，那 a m o n 是 等于多少？ m o n 是 等于五十，是不是？那刚刚是怎么对称过来的？是 o m 和 o n 是 对称的，是不是？那 a o m 是 五十的一半，那这个就是二十五，对不对？那它是二十五，那剩下的部分是多少？九十减二十五呀，那是六十五，对不对？那 ok， 那 第二个 第二个是 m o n， 这个时候是等于六十减十是等于五十，那由折叠之，同样的还是折叠啊，就得到了角 a o m 是 等于什么？那等于五十的一半，那就是二十五啊。那我们要求的 m o b 不 就有了吗？九十减去二十五是等于多少？是等于六十五，那第二个答案就是六十五。好，再来看第三个， 第三个，同样的啊，这个角的度数，看看是等于多少？这个六十横跨了这个 十，是不是？那这个 m o n 是 多少？肯定是五十啊，它是五十，对不对？那五十的话，那这个这个角应该是多少？五十的一半二十五。那要求的这个角呢，是不是包含了九十加上这个二十五啊？那这个答案是多少？九十加上 九十加多少？刚刚说加二十五是一百一十五度啊，计算啊，都没那么复杂。 好，第三个计算，同样的，还是算出这个 m o n， m o n 是 等于六十，减十是等于五十的，那就得到了。由折叠之是得到了角， 这个写 a 撇吧，角 a 撇 o m 呢，就占了一半，是不是？那就是二分之一乘以个五十，那就等于二十五，那我们的 m o b 是 不是等于九十加上二十五啊？是等于一百一十五。好，这是第三个。再来看一下第四个。第四个，我们要求的是这个大小，同样的这个还是六十，这个大小。那 m o n 是 等于多少？六十加十 是七十，我们要的是哪个？要的是这个。这个角是等于多少？占了七十的一半，应该是三十五，那三十五是不是再加上九十啊？这个结果是一百二十五啊。 好。第四个，角 m o n 这个时候呢，是六十，加上十是等于七十，就得到了角，这个是 a 撇吧？角 a 撇 om 是 等于七十的一半，是等于三十五， 所以角 m o b 是 等于三十五，加上九十是等于一百二十五的。所以这题的答案啊，一共是这四个， 五十五、六十五，还有一百一十五啊，我们写上五十五或者六十五，或者一百一十五或者 一百二十五啊，这四个答案，所以啊，重点就是需要把分类给他分全了，以及画图画准确了，然后再进行计算。那么这题你学会了吗？

七、上数学最难的十四种几何图形题全部吃透，期末稳进班级前三、一、 常见的几何体。二、组合几何体的构成。三、几何体中的点棱面。四、从不同方向看几何体。五、 平面图形形状的识别。六、几何体展开图的认识。七、正方体几种展开图的识别。八、有展开图计算几何体的表面之。九、有展开图计算几何体的体积。电子版可分享。

结构提出问题，如何利用一张正多边形硬纸片制成一个无底的金字塔模型？在正多边形中，各点距离相等的点是正多边形的中心， 如图点 o 是 正 n 边形，纸片的中心沿虚线剪开，分割成多个三角形形状一样的大小， 组成一个无底金字塔，此时正 n 边形的中心变成了金字塔的顶点。来看这道题，第一道题补充， 三角形、正方形、正五边形面积均为一百八，就是这三个图形面积都是一百八。 我们来看这里，这个怎么填呢？ p o q 的 度数。 p o q 是 哪里？ p o q 是 这里， 就是我们可以发现这个，这个角加上这个角就是一个小三角形，加上一个平行四边形的两个角，我会发现这里同样有一组，所以这有，所以这这有三组，所以就是三百六十除以三， 三百六十除以三，一百二。那这边呢？这是四边形，就有四组，是一个三百六十除以四，等于九十度啊， 每个侧边的面积二十十五，这怎么出来的呢？ 这个的话， 前面三百六十 是 n 边形，我们主要是看这个二十，跟这个 n 有 什么关系？二十乘三，二十乘三 六十，六十再乘三八十，十五乘四，六十，是不是再乘四？对 试一下这个三，因为他是因为他这里，这里是三等分，那我们应该我们乘个三十，这个 三乘三九二九，一百八十度。四乘三，三四十二十二，又乘十五， 一百八十度，哦，那就是 n 乘三，再乘着下面这个度数， 那等于等于一百八十嘛，那就是这里面积面积它是一百八十，所以是一百八十，一百八十除以 五乘三十二，所以这应该填十二 面积为 s， p、 o， q 的 度数。 q 这个度数跟面积没有关系，所以这还是这个就是三百六十除以 n 码 面积。面积我们刚刚算出来，这是一百八，一百八除以三 n， 那 面积变成了 s， 那 就是三 n 分 之 s。 若想拼出每个侧面面积均为五十 cm 方的无底金字塔模型，要用正八边形纸片， 那每个侧面这上面我们已经求出了公式，每个侧面的面积为三分之 s， 那 我们知道三 n 分 之 s 就 等于这里的五十 cm， 那 五十 cm 有 什么不是？那这是一个正八边形，所以视频把它分成八分，所以要三百二十四。 二十四分之 s 等于五十，那么可以求得 s 等于一千二。

今天讲解的是七上数学压轴题动线的旋转问题。看图， o m 为角 a o d 的 平分线， o n 为角 b o c 的 平分线。若将 c o d。 绕 o 逆时针旋转至图位置， 那么角 a o b 等于贝塔，角 c o d 等于阿尔法求角 m o n 的 值。 那么有图可知，角 m o n 等于角 a o m 减角 d o n。 角 m o n 也等于角 c o n 减角 m o b。 这个公式可以得到， 角 m o n 就 等于二分之二法夹北塔。

这期视频我们来解锁一项新技能，即几何问题的渐比设参法。如图， b、 c 是 线段 a、 d 上的两点， b 和 c 把线段 a、 d 分 成三段，题目给出了这三段的长度比例， e 和 f 分 别是 a、 b、 c、 d 的 中点，我们可以用等幺三角形将其标出来， 可见这是一个线段双终点问题，是上期视频线段双终点问题汇总中的第三种情形，即有交叉重叠部分。 由上期的结论，我们可以得到两个终点的距离。下面就要用到本期我们要解锁的一项新技能，见笔设参法。因为题目给出了三段线段的长度之比，三比一比四，那么我们可以设一个参数 x， 我们设一个参数 x 之后，根据比例关系，那么 a、 c 就 等于三， x， c， b 就 等于 x， b、 d 等于四 x 根据线段关系我们可以得到，又因为已知条件已经给我们 e、 f 等于十四，所以求解这个方程就可以得到 x 等于四，然后根据线段的关系，我们就可以得到 a、 b 和 c、 d 的 长度。最后我们来小结一下， 看到已知条件，给出多条线段的比例关系，我们就可以设置参数 x， 然后根据线段关系列出含有 x 的 方程，最后求出 x， 就 可以求出多条线段的长度，你学会了吗？

本视频耗时一个月精心制作而成，总时长四十二分十六秒，带你一口气复习完七上最后一张， 期末考试又要来了吧，今天我们进行七上最后一张几何图形初步所有知识点总结以及重点题型梳理，我们一起来学习。关于我们几何图形初步，这里呢给大家分两个大板块，一个是我们的立体图形，一个是我们的平面图形。 关于立体图形，这里呢重点要讲什么呢？重点我们来学正方形的这个展开图啊，展开图这里呢是我们一种题型，而且还是有一些难度的，我们一起来学习正方体的展开图呢，请记住，一共有十一种， 那么这十一种呢，我们来分门别类的进行总结啊。我们这十一种展开图可以分为一四一型、二二二型、三三型以及一三二型， 什么意思啊？我们第一行有一个，第二行有四个，第三行有一个，这叫一四一行， 那么一四一行呢，一共有这样的六种，你怎么去记这六种呀？我们首先呢，这里啊站一号位，然后我们这四个呢排列好，接下来下面这一个呢，你可以在一号位，二号位，三号位和四号位都可以依次来一遍，这样不就出现了四个了吗？ 对吧？那么剩下的我们就可以来动一动第一行的，第一行的你可以把一号位动成二号位， 然后我们第二行的呢，你不能从一号位直接开始了，为什么？因为会有重复啊，所以直接从二号位和三号位开始，那一共就这样的六种，剩下的全部都是重复的了，这是我们的一四一型啊，这个也是最多的一种形式， 那我们剩下的就可以把这四个呢，让他哎减少一个，变成一三二型。那关于一三二型，这里的三和二啊，是固定的 啊，我们只需要让这个上面有一个的再占一号位，二号位和三号位，所以一共是这样的三种， 记住了吗？那剩下的我们的二二二型和三三型呢，各自只有一个，只有二二二三三这种排列的啊，这我们特殊来记就可以了，一共是十一种的展开图，大家按照规律去记，就不会记错了，那这里呢就会有题型总结了，请听老师的大招啊。 我们现在在判断展开图的时候呢，有两句话啊，可以快速帮我们判断出来，叫做一线不过四填凹七弃之。什么意思？ 我们一条线上这个展开图，你看无论是哪种形式，都没有超过四个的吧，对吧？最多就是四个小正方形了啊，所以说一旦出现了比四多的，那一定不是你的展开图，然后还有一些特殊的形状，比如说出现了我们的填字格， 如果有这种形式的，那一定不是我们的展开图啊。同理，如果出现了我们的这种凹字形，出现了我们这种七字形，这都是我们非展开图，而且比较常考的啊，看到这些特征之后呢，直接判断他不对就可以了。 好吧，那关于我们的展开图这里呢有一个非常非常重要的题型，叫做什么呢？我们判断啊，对立面 告诉你展开图了，来问你们啊，这个小正方形，它的一个对立面应该对着哪个啊？那么这会就特别考验孩子的什么呀，一个空间想象能力， 如果你但是有的小孩呢，刚开始就是他想象不到我怎么去找那个对立面，不可能考试的时候现场折一个，那是不可能的，对吧？其实也是有技巧有大招的啊，叫做两句话，同行隔一个，一行 z 两端来，记住老师，这个大招非常好用， 比如说举个例子，比如说我们同行隔一个，举一个例子，那这个小圈圈和这个小圈圈，那么这两个正方形在折回去之后，他就是一个对立面， 这就满足我们的同行隔一个，所以如果这两个面在同一行上，只要他中间隔着一个，这就叫做两个对立面，同理这里也是啊， 这个圈圈和这个圈圈，那就是同行隔了一个啊，所以这就叫我们的对立面，这是判断同行的那一行呢？如果不在同一行，叫做一行 z 两端，你去找这个 z 去啊，什么意思？比如说我们来看 这里呢，画一个 z 字形，那么 z 的 头跟 z 的 尾，这就是我们的一个对立面，这两个面呢，它没有在同一行上，对不对？所以你就不用套 同行隔一个了，咱们套的就是一行 z 两段，他是我 z 的 头和 z 的 尾，这就是我们的对立面，这个大招在解决问题用起来还是非常好用的，大家一定要记住这两句话啊。那么剩下的呢？还有一种类型，就是我们的三式图， 这个也是也很考验咱们孩子的一个空间想象能力啊。这个你就主要是你从你的这个主视图以及你的俯视图，你看到了什么样子，你就按照什么去画 好吧，尤其是涉及到一些什么，一些这个测试图，或者叫左视图和俯视图的时候，你就要去想象，你站在了这个物体的左面，你站在了这个物体的上面，还是有一些空间想象能力的。那这里老师提醒一点，如果你在你的视线当中，你能看得见的这些线呢？你就画成实线， 如果说有一些线，你是看不到，他也真正存在的啊，你从你的这个仕图里面并没有看到，那这种呢，一定要画成虚线，他也是存在的，只是你当下没有看到而已。好吧，画成虚线啊， ok， 那 关于三仕图这里呢，有一种比较难点的题型，就是已知告诉了你某些仕图，比如说告诉了你的主仕图和俯视图，举个例子 告诉了你这些仕途，让你给我判断这一堆小正方体，它到底有多少个，甚至让你判断最多多少个，最少多少个。这种题型应该已经见过了吧，还是有些难度的啊，今天老师教你一个大招去解决问题， 后面我们也会有这个这种题的，给大家重点讲解啊，叫做什么呀？叫做我们的地基法。哎，什么叫地基法？你可以想象一下，就类似于你搭房子，先铺好一个地基，然后一层一层一层往上去盖，怎么去盖？一会遇到题目，老师带着大家重点的来学习， 好，这是我们的立体图形部分，接下来呢，来到我们的平面图形部分，平面图形我们初一上学期啊，两个重要的线跟角， 这里首先上来呢，就会有特别多的概念变息类的啊，非常非常易错，一会我也会给大家去分享一些题目啊，大家好好去听。那关于我们线的概念之这个我们里面的易错点呢，会涉及到三种， 一个叫做我们的直线，一个叫做我们的射线，一个叫做我们的线段。这三种线之间啊，他的端点情况，延长线情况和表示情况，以及还有一个点再给大家总结，还有他的一个长度能否背肚梁的一个情况， 这是我们在考试当中比较啊，容易能够遇到的。来给大家画画这三种线啊，什么叫直线？你这样直直的划过来，没有任何的端点去限制，这叫我们的直线，所以直线是零个端点啊，并没有端点， 射线呢？射线你想象一下是从一个点发射，对吧？发射的感觉啊，所以射线呢，还是有一个端点的从这发射出去的，好吧，这里有一个端点， 线段呢，哎，线段呢，就是我们可以能够量出来它到底是多长，是两个端点在限制你啊，所以线段的左右两边都是有各有一个端点，所以线段是有两个端点情况。 然后接下来我们来看延长线，因为线段呀，是两头都堵住你了，所以你想要想做他的延长线是能够做出来的，对吧？比如说我们这样直接延长，哎，就能做出来延长线， 那或者说我这样来反向延长也能做出来延长线，所以说我们的线段呀，哎，既有延长线，又有反向延长线， 那射线呢，就是这样的，因为射线本身我在这一点发射出去之后，就已经是无限延伸了，我还需要借助外界的力量来帮我去延长吗？不需要了，所以说射线这里是没有延长线的，但是 因为这一头啊，有端点在堵着他啊，所以我们这一头还是能够画出来什么反向延长线的，所以说射线是有反向延长线，没有延长线，然后最后来到了直线，直线自由的很呀，没有任何的端点去限制他， 对不对？我想往右延伸就往右延伸，我想往左延长就往左延长，不需要借助外界力量。所以说啊，他没有延长线，也没有反向延长线。记得了， ok， 那 么剩下的我们来讲一讲表示啊，我们这三种线呢，都有两种表示方法， 你就可以理解为咱们一个人，他有可能有多个名字，对吧？他有个正名，还有个小名。那比如说我们的这个直线在表示的时候呢，可以用两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示。 那如果我们用两个大写字母来表示的时候，比如说我可以叫做什么呀？叫做它的直线 a b， 在这啊，直线上任意取两个点，注意这两个点你别堵住它了，因为我们的直线是没有端点的，那可以叫做直线 a b， 也可以叫做直线 b a， 这里是没有顺序的差异的 啊，都表示的是这条直线，但射线呢，射线你再给他起名字的时候就有限制了，因为射线本身是从一个点发射出去的，那你再给他起名字的时候啊，第一个字母呢，表示的一定是它的端点，这个你不要反了， 也就是说射线 a b 和射线 b a， 它俩不一样，代表的不是同一条射线。 ok， 那 么剩下就是我们线段，哎，线段呢，是有两个端点是限制的， 你可以叫做它的线段 a b， 你 也可以叫做线段 b a 啊，就没有顺序的差异了，都是表示这同一条线段。 最后我们来讲一讲这个长度的问题，也是我们考试高频的考题。来，我想问问大家，我说孙悟空在天上画了一条十万八千里的直线，你觉得这句话对不对 啊？有人上来可能觉得对了，在我们数学角度这句话是不对的，因为我们说直线是无限延长的，哪怕你足够长有十万八千米，但是呢，我们的直线在十万八千米的基础上还可以无限延长啊，也就是你在描述直线的时候，你不能说它的长度 到底有多长，他的长度呀，是不可以被度量的。好吧，你不能告诉我这条直线到底有多长，限制住他，这个考试特别特别易错，一定注意了。 然后接下来射线，同理，虽然有一个点在限制了我的发展，但是我另外一头很自由呀，我可以无限延长，对吧？所以射线这里也不需要啊，去给他讲长度，他的长度也是不能被度量的。 好，那么剩下就是我们的线段了，线段呢，它就有所限制了，两个端点卡住了我，对吧？它的长度呀，还是可以被度量出来的，所以你可以告诉我说这条线段有多长，比如说刚才那句话 啊，说孙悟空在天上画了一条十万八千米的线段，哎，这个就对了，好吧， ok， 这是我们的一个基本概念啊，关于它的一个区别，也是咱们考试比较爱考的 概念，变式类的一个题目。好，那么剩下的两个基本事实很简单，我们要考这两个基本事实就是考两点，确定跳直线，两点之间线呢，最短 你给他取一个啊，这种题做的时候小孩没有做错的好吧，亲啊，要记住啊，那么我们还有关于线和角这里呢，咱们学了一些尺规作图，做一条线段等于已知线段，做一个角等于已知角，这两个尺规作图非常简单， 当然我们尺规作图呢，也是在我们的新课标当中啊，我们要这个在新中考当中也是要重点去考的啊，所以后面呢也会给大家出专题啊，将我们的尺规作图。好，接下来关于我们的线段的中点， 线段的中点呢，类比于角，就是我们角的什么角平分线啊，这些在做的时候呢，概念类的也不难啊，就是有小小的易错点。比较难的就是什么呀，这里就题型，什么题型啊，我们就涉及到双中点题型， 还有我们角这里呢就是双角平分线题型，这两种题型呢是有什么是有大招可以帮着大家去解决的， 考试的时候非常快的，能够做出来题目，很节省时间，一会老师给大家进行分享。好，那我们角度的基本的定义，这啊啊，这个比较简单，没什么难度啊，我们在这个表示角的时候呢，是有四种方法，注意这四种方法呢，有的会有限制， 那如果我们表示用三个字母啊，三个大写字母去表示这里呢，叫什么呀？这叫我们的万能方法，你所有的角都可以这样去表示， 什么方法呢？就是我以这个角的啊，这个顶点 o 放在中间的位置，然后在角的啊，这两条射线上任意取一个字母，一个取 b， 那 你可以称为角 a o b， 也可以称为角 b o a 描述的都是这个角， 这是我们的万能方法，所有的角都可以用三个大写字母去表示。还有一些比较简洁的方法，比如说呀，我这个这个点 o 这里呢？我不在边上取点了，我直接叫做角 o， 可以 吗？这个图里面是可以的 好吧，但是它有一些小小的限制。什么限制？如果说呀，我从这个 o 这发射的不止一个角了，因为你现在叫角 o 就 描述不清楚了，角 o 到底是代表的这个角 还是这个角还是这个角嘞？咱说不清了，对吧？所以这种情况下，你必须用三个字母来表示了啊。 好，那我们还有两种呢，用我们的阿拉伯数字，或者用我们的希腊字母来表示啊，我们可以标一个一角一标个阿尔法，叫做角阿尔法，这个也很简洁，后续我们到了初二初三，几何学的比较难，角比较多的时候，可以用这种方法去表示。 它也有一个小小的限制啊，就是我们尽量不要跨角去标注，比如说还是这样的图， 你可以说这个叫角一可以的，但是呢，哎，你这个如果叫做角一的话，就不太啊， 不太对了，你跨角标注就不规范好不好，注意这个小小的限制啊。 ok， 这是我们一些关于线和角的基本知识。 那题型这里重点会给大家讲什么呀？像涉及到我们的双中点和双角平行线，以及我们线段的计算和角度的计算，是咱们期末考当中的占分大项，接下来呢，我们一种一种题型给大家进行梳理，一定要认真听。 好，我们先分享一道啊，期末必考题，叫做我们的展开图的问题，我们来看啊，这里告诉你，展开图呢，我们像要剪掉一个小正方形，那么剪掉之后呀，就能够拼成正方题了， 对吧？问，剪掉的这个小正方形不可以是谁？这里就可以很快用老师的大招我们来看啊，什么大招？因为你打眼一瞧就发现了什么，立刻发现了一个填字格。 老师刚才给大家讲了，你如果要判断是否为展开图，当出现填， 出现凹，出现七这种图案的呢，那都不是我们的展开图。 所以你要想减掉啊，变成我们的展开图，一定要在这个田字格里面去选出来一个，减掉一个，让他不不能变成我们的田字格，所以你可以选一，可以选二，可以选三啊，我们的前三个都正确， 好吧，一定要把它分开，所以这个题啊，我们不可以的，就是我们的四 d 了，你如果把这个四减掉了，那你就把田字格留下了，留下田字格还能变成展开图吗？ 一定不能了好吗？记住老师的解决方法啊，看到田，看到凹，看到七字形的都要给他叉掉，这种都不是我们的展开图，你学会了吗？ 好，接下来我们来分享一道找对立面问题。这种问题呢，一属于咱们期末必考。二、很考验咱们家娃的什么空间想象能力，有的小孩就跟老师说，老师，我真的想象不到他是怎么去折的啊，你考试的时候也没办法，我立刻给你拼起来呀， 怎么办也是有解决方法的，好吧，学会今天老师这个大招啊，让大家立刻啊了解我们的对面问题，叫做同行隔一个 哎，一行 z 两端 什么意思？如果大家在找我们对立面的时候，处于同行的呢，你可以来中间隔一个，它旁边这俩就是对立面， 如果在同行找不到了，找什么呀？找不同行的啊，在不同行的呢，我们就来画 z 字形， z 的 这两端啊，就是我们的一个对立面，比如说这， 比如说这道题呢，就考察的咱们跟学的一个对立面学在这。首先你同行隔一个能找到吗？显然找不到， 对吧？同行最多留两个，你怎么去隔呢？找不到，那找不到了怎么办？我们来画 z 在 一啊，一行画 z 字形，注意，我们这个 z 呢啊，就能找两端， 这个 z， 你 可以横着画，竖着画都可以啊，反正画这种正规的。我们的 z 型画完之后呀，这就是我们的两头啊，我们现在这个学跟我们的广啊，它就是一个对立面啊，选我们的 c 选项啊，老师的这个大招还是非常好用的啊，同学们一定要记住，你学会了吗？ 接下来呢，我们来学习一道难题，突破啊，这种问题呢，是带图案的，这种题啊，小孩碰到了就更头大了，我不带图案的都想不明白，你现在还给我带图形了，哎呦，这可怎么去整啊， 别急别慌，也是有方法的。我们来看问图中的立方体展开之后，应该是下图当中的哪一个，我们来观察一下这个立方体。这个立方体呢，给我带了啊，这三个点，而且这三个点的面呢，分别都是什么呀？这叫离面， 相邻的面并没有相对啊，看似是在考你邻面的问题，实则仍然是考对立面的问题，你只需要让他们不是对立面是不是就可以了，因为不是对立面的话，那不就是邻面了吗？ 对不对啊？所以我们来看一下 a、 b、 c、 d 当中有没有两个小点点是对立面的呀？如果有，赶紧给我叉掉啊！又回到老师，今天啊，教你那个大招叫什么呀？你如果在同一行里面去判断，叫同行隔一个， 如果是在不同行里面去判断，叫做一行 z 两端。 好的，我们来观察一下现在这三个圈圈啊，是在这，那我立刻就扫到了，什么，这是在同一行，哎，同行隔一个，所以它们两个变成对立面了，那怎么办？就不对了， 因为你需要点点是同啊，是里面。接着我们来看 b 同里呀，哎，同行隔一个，这两个又是隔了一个，哎，又变成什么对立面了，所以不对。 好，我们来看 c 选项， c 选项呢，仍就是我们这两个点点是在同一行啊，同行隔一个，又变成我们的对立面了，所以他也不对啊，那只剩下四 d 了。四 d， 我 们来观察一下这里，现在呢，发现，哎，无论是同行 不是隔一个的这种关系，无论是一行，他也没有最两端，对吧？所以这个呢，他们都不是对立面，那就是我们的平面了啊。所以这道题应该选我们的四 d 选项，你学会了吗？ 好，今天我们来分享一道什么呢？用地基法来解决我们的最多最少啊这种小正方体的问题，这个问题对于孩子们来说是一个难点啊，一起来学习一下老师这个方法啊。 说若一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成的，如图，分别是它的左式图和俯式图。问该几何体用的小立方体的个数是 m， 问 m 的 一个最小值， 当然有的题也会问你最大值，其实同理的啊，这种问题怎么去做呢？一个大招叫做递级法，就是你无论给了你什么仕途，你先帮我把俯视图判断出来， 那么这个题比较简单的是俯视图直接给你了，有的题也是告诉你左视图，告诉你主视图，让你自己呀，先把俯视图啊确定了， 一旦确定了俯视图，开始干什么？打地基，盖高楼啊，因为你的俯视图如果长成这样子，说明呢，你至少底上，哎，每一块上都得有一个啊，小正方体 b g 搭好了，接下来根据我们的左式图在一一去匹配。左式图呢，第一列你看到了两个，哎，哪里代表他第一列啊？你想象一下你这个人啊，站到了左边去看，这里是代表他的第一列，对吧？第一列，如果你看到了两个，说明这呢？哎，要给我改成二了，一个就不够了。好， 第二列呢，你是看到了三个，第二列是这里看到的，你在这如果想看到三个的话，说明什么呀？说明至少啊，这上边要么是这个，要么是这个，得是有三个小立方体， 对不对？所以这里二选一就可以了，因为咱们本身问的就是最小，好吧，你随便选一个，比如选它 是三个，好吧，然后接下来呢，我们的这个第三列你看到了一个，那么第三列呢，就是我人站到了这，刚刚好有一个，哎，这一个就能够帮我把左视图的这个确定好了，所以我们最小的情况就是他了啊，二加三，再加上一二三四， 答案就是九，这是我们最小值，是九个。如果老师给你变形一下，你能不能告诉我 m 的 最大值，好，最大值是多少？大家可以在弹幕里面啊，去把你的答案写出来。 怎么去求它的最大值啊？最大值呢？就是我现在，哎，不选择其中一个摆三个了，我让啊，这两列啊，都摆上三个，并不影响我的左视图吧，也没有影响你的俯视图吧，对吧？啊，所以我们现在在九的基础之上呢，又增加了两个，所以它最大值呢？是十一， 你学会了吗？好的，同学们，谁又在这种关于概念变式类的题上面给我做错了， 说的是不是你啊？今天老师呢，把这里线与角这常考到的啊，概念辨析类都给大家总结到这里了，我们一起来学习一下，期末拿掉啊，学会这三分，我们来看啊。现在呢，给了大家十种说法，关于线和角的一一去分析， 圈一过两点，有且只有一条直线没问题，对吧？两点就是确定一条直线，所以圈一是对的。 好，第二个，第二个非常非常高频考啊，你今天一定一定要记住，它说连接两点的线段叫做两点之间的距离，比如说，老师，看着没毛病呀，你来分析一下啊，这什么意思呀？说你连的这条线段叫什么呀？叫距离， 是线段叫距离吗？你距离应该说咱俩离多远，对不对？所以你应该说线段的长度啊，一定注意啊，这个，这原话说的是这个线段的长度 叫做距离啊，你说这条线段有五厘米长，代表这两个点呢？距离是五厘米，明白了吧？啊，这个一定要记住了，那么圈三两点之间线段最短没问题，这也是刚才给大家讲过的基本的原理啊。圈四在线段射线直线当中直线最长， 这是不是我说的刚才你总结的那个长度问题啊？注意，直线跟射线，你能用长度去度量我吗？ 啊？换句话，你能用多长多长就能限制住我吗？你并不能，我的长度是可以无限延长的 好不好？所以你进行长度比较的时候不能去比啊，因为它长度就是无限延长，你没法度量出来，你怎么去比较呢？所以圈字不对啊，因为射线跟直线啊，他你都不要去谈长度的概念了，他们都无限延长， 记住这一点好，那么五跟六是一样的啊，说画直线 ab 等于三厘米，你能给我画出一条直线是多长吗？你画不出来啊？好吧，一定注意，这是错的啊，我们 直线的长度是无限延长的，那它不可以被度量的，你能说画一条线段是三厘米啊？好，圈六延长直线 o a 来这条直线，还记得老师刚才讲过的吗？ 它有没有延长线？它有没有反向延长线？它木有啊，因为本身人家就是无限延长的，所以圈六也不对，圈七两条射线组成的图形是角。哎呦，我说老师没毛病啊，这不是两条射线 o a 和 o b 吗？ 你这个画的是对的，我们的定义是什么呀？我们定义是指的有公共端点的两条射线，对吧？你看，我随便给你画一条射线，这叫 o a， 这画一条射线叫做 b c， 他能组成角吗？显然不能啊，所以指的是有公共端点的两条射线组成图形，叫做角啊，加上公共端点来。第八个，说，角的大小呀，与边的长短是有关系的，有吗？ 换句话讲，这个还怎么去考？还去考你？我拿着一个放大镜，我去观察这个角，哎，这个角就被我放大了，对吗？一定注意。不对，它跟角的长短没有关系 啊，我脚的大脚跟我脚的扩张有关系。我很快给大家举一个反例，比如说呢？来，我们第八个的反例举到这。我说呀，我这里两条射线，你看现在呢，这个脚呢，大概扩张的是这个样子，对吧？我再把这个边啊给你写长一点。 这里还有个角叫做角，也是 a o b， 明显哪个角大呀？是不是我上面画的这个角一比下面这个角二更大一些，对吧？跟长短并没有关系。而且呀，我们说这个角的啊，角的一边是什么呀？是一条射线，它本身就是无限延长的呀， 对吧？跟长短并没有关系啊。来第九个，因为平角的两边组成了一条直线，所以一条直线就可以看成一个平角，有人又觉得没毛病了，这不就是吗？ 对吗？一定注意。不对，你怎么能把两个概念给我混为一谈呢？啊？这个概念叫做线，这个概念叫做角，线能变成角呀，啊？角能变成线呀，不对的啊，你只是你的眼睛看着像啊，为什么像呢？因为我说呢， 比如说老师画的这是一条直线，而角是什么呀？角是有公共端点的两条射线啊，所以我这里点个点叫做 o 啊，这里呢，有一条射线，叫做 o a， 这里有一条射线啊，叫做 o b， 只不过这两条射线呢，哎，互为反向延长线了。所以啊，我们刚好构成了一个什么平角，明白了吗？二者概念啊，是不是同一个什么平角，明白了吗？二者概念啊，说周角是一条射线，同理， 角跟线就不是一回事好不好啊，不能做一些对比啊。所以我们现在正确的只有圈一和圈三啊，只有两个，这道题选我们的 a 选项，好吧，你学会了吗？ 好，关于我们线与角这里的一种难点问题啊，就是我们的一个技术问题啊，小朋友们就记不明白了，没有方法。今天老师教给大家一个招，叫做什么呀？打枪法， 哎，我们就可以很快把这种技术问题呢搞懂。我们来看啊，铁路上的火车票啊，是根据两站距离的远近而设定的， 距离越远票价越高啊，符合我们的常识。那如图呢，这就是一条这个火车线路图， a、 b、 c、 d、 e 呢？是五个火车站。而且告诉我呢，每两站间的距离呀，都不一样 啊。问，这段铁路上一共有多少种不同的票价，票价是怎么规定的呀？人家说了，票价是根据我们这个两站之间的距离，那你就要看一看啊，每两站之间有多少种不同的距离，是不是就有多少种不同的票价， 那每两点之间的距离都不一样。所以这个题最终就被我转化成问啊，有多少条线段，就有多少种不同的距离，也就是多少种不同的票价了，对吧？其实这就是数线段问题啊。那么数线段问题呢？你看一看，我们现在是一二三四五， 有这样的五个点，怎么样去打枪呢？你想象一下，你站在这里啊，这每个点上的都有只小鸟，你去打他啊，你可以怎么打到你？首先二，这你是不是能打到一只小鸟，这里又打到一只，这里打到一只，这里打到一只，也就剩下的这四个点，你都会被打到一只小鸟，那一共是不是四只 啊？所以从 a 出发的 a、 b， a， c， a， d， a， e 啊，就是咱的四条线段啊。同理啊，你把枪放在这儿继续打小鸟啊，剩下的三个点都能被我打到， 然后呢？把枪放到这里是两条，然后把枪放到这，只能打到一这里一只小鸟了，加到一起呢，就是我们的十啊，所以我们数线段问题呢，十种不同的线段就对应十种不同的距离，也就是十种不同的票价。好，那么这题还没完啊，老师快速给大家来一个辨识。 现在呢，还有一种问法，不是问你票价了，而是问你车票， 我问你现在有多少种不同的车票？什么叫车票呀？大家都坐过车吧啊？车票上会写什么呀？会写你的这个出发地是哪里？你的目的地是哪里，对吧？比如说你从 a 出发，你要去 b， 那 你的车票呢？可能写的是 a 杠 b， 那反过来讲，你如果说，哎，从 b 出发，再回到 a 呢？那你的车票上写的是什么？是 b 杠 a？ 你 思考一下，这两种车票长得一样吗？ 长得一样吗？比如说我们从北京到上海，车票长的是啊，应该写的北京杠上海， 对吧？你从上海回北京呢？那应该是上海 to 北京两种不同的车票啊。所以我们如果给你改成车票问题了，你把这个线段数完呀，还没有完还得干什么？还得给他 double 一下，给他乘以二啊。因为 线段 a b 和线段 b a 你 在数线段的时候认为是同一条，但是我现在在这个描述票价的时候，它就不是一条了。 a 杠 b 和 b 杠 a 票价啊，这个，这个车票是两个。好吧，所以我们现在车票问题呢，就改成有二十张不同的车票了啊，这种问题你彻底学会了吗？ 好，今天给大家分享一道期末必考题，关于我们线段的计算问题啊，这种问题呢，一旦看到我们的题干之后，立刻想到我教你的题眼方法啊，怎么去做？说，点 c 是 线段 a c 的 什么中点？ e 是 线段 ab 的 中点，那我们来看一看啊，条件，在图上标一标 d， 如果是中点，说明这两条线段啊是相等的，然后我们的 e 呢，是 ab 的 中点 啊， e 是 ab 的 中点，说明我们的 ae 和我们的 b e 也是相等的。如果告诉咱， a c 比上 bc 等于什么呀？等于二比三啊，我这里写成二份，这里是三份。 好，一旦在看到这种问题，就是我教你的啊，解决的体验叫做什么呢？记住我们的大招啊，看到这种笔直赶紧给我干嘛？射出来 见比射参，射出来参数怎么去？射两份你就射成二 x， 三份就射成三 x。 好 吧，记住咱们的大招叫做见比射参，然后已知 c e 长的是十二。接下来让我们去求 d e 的 长度啊，求 d e 是 多长，这种问题怎么办啊？我们来教教大家解， 看到比值呢，我们来进行射啊，射 a c 长为二 x， 那 么所以我们的 bc 长就是什么呀，就是我们的三 x， 那 现在整个线段 ab 长，你是不是会表示了，对吧？所以我们的 ab 长就是等于 ac 加 bc， 二 x 加上我们的三 x 就是 五 x。 好 了，有了总长，你的终点啊，它分的一半的线段就都可以表示了，对吧？来，因为啊， d 是 线段 ac 的 终点，我就不抄了。 然后呢，又告诉咱们， e 是 线段 a b 的 中点。好吧，大家把这句话抄下来，有了中点之后呢，我们就可以来表示一半了啊， a d 就 会等于我们的 c d 等于啥？等于二分之一的 a c， 因为 a c 是 两个 x 啊，它的一半呢啊，就是一个 x， 同样的 a e 就 会等于 b e 的 一半，因为 ab 是 五个 x 呀，它的一半就是二分之五 x。 好吧，你看看啊，这里是 x x， 然后呢啊，这里是二分之五 x， 那 你已知的这个十二是不是可以用含 x 代数式来表示了？这样不就列出来方程了吗？对吧？因为 c e 啊， c e 啊，咱们知道是等于 a e 减 ac 的， 看图啊， 那等于什么？ a e 是 我们的二分之二 x， 那 减完是二分之一 x g 是不是得到我们的二分之一 x， 就是 这个十二，所以 x 求出来是二十四 x 求完还没完，人家让你求的线段 d e 的 长，那我们来看一下 d e 呢，是不是我们的 a e 减去 a d， 对 吧？所以最后我们要求的这个 d e 长呀， 就是 a e 减去我们的 a d， a e 呢，是咱的二分之五 x， 不 用着急算出来啊。 a d 呢，是我们的 x， 所以 是二分之三 x， 那 也就等于二分之三乘以我们的二十四， 约分十二乘以三三十六，所以我们的最后答案的定义呢，就是三十六啊。今天教你比较好的方法就是见笔设参，一旦在线段计算或者后面我们要的角度计算问题， 看到笔直之后，把我们这个分数给我设出来，就很快能解决了。好，这个题大家学会了，接下来先不要走，再来教你个更厉害的大招。这还是我们的什么问题啊，这个问题也有特征，什么呀？终点，终点，这叫什么呀？这是咱们的 双中点问题，双中点还有双角平行线，一定是我们线与角这一张期末必考的题，有非常好的大招让大家去学习啊！请记住老师四个大字叫做去重留半， 什么意思啊？后面再看到我们双中点问题，你就看一看 d 是 不是 ac 的 中点，把 ac 给我写在这， e 是 不是 ab 的 中点，你把 ab 给我写在这儿，接下来干什么？去重留半，你把重复的字母给我去掉。 哎，剩下留下了谁？留下了 b 和 c， 所以 留下的呢？取一半啊，就是二分之一的 bc， 这就代表我们双中点组成的线段长，因为 d e 是 这俩双中点，说明 d e 长呢，就会等于去重留半。哎， d e 就 等于二分之一的 b c， 超级好用这个大招，那接下来我们来验证一下。我们来看 bc 呢，是咱们设的三 x， 你 看二分之一乘以三 x， 不 就是二分之三 x 吗？在这呢对不对？所以这个结论一定成立啊！后面再看到两个啊，终点问题，如果这两条线段有公共的字母， 直接把公共字母去掉，留下的这两个字母取一半，就是两个终点之间的一个距离啊，你学会这个大招了吗？ 来分享一道我们的期末易错题，叫做我们的双中点问题。什么叫双中点问题啊？当我们后面看到啊，给你描述两个点，比如说 e、 f 是 按某两条线段的什么中点，这不就出现两个中点了吗？顾名思义，双中点问题。 还记得刚刚给大家分享的双终点问题的解析大招吗？请给我打四个字，叫什么？去重留伴，这个大招非常好用，一定要学会了。什么叫去重留伴啊？我们现在呢，因为 e 呀，是 a c 的 终点，你把 a c 给我写在这， f 呢，是 bc 的 中点，你把 bc 给我写在这，然后把重复的字母呢去掉，只留下谁了，只留下我们的 a b 了。所以现在啊，就能得到我们双中点之间的距离，就等于留下的一半，就是二分之一的 a b。 这题就已经做对一半啊，双中点问题很快啊，节省我们的时间，叫做两个中点之间的距离，就等于去重留半。好，既然等于二分之一 a b 了，那我们只需要算算 a b 是 多少， e f 是 几，就可以做出来了。 我们来看啊，现在告诉我的是点 c 啊，在直线 a b 上来，大家读题一定要会读关键词，把直线请给我赶紧勾出来， 在直线 a b 上，如果 a、 c 是 四厘米， b， c 是 六厘米啊，那我们就通过这两条线段长，你是不是得帮我确定一下 a b 长呀，一旦有了 a b 长， e f 不 就搞定了吗？那我们啊，画一下图试一试 这个问题呢，他是没给你画图的，对吧？所以接下来还记住老师教大家的一句话，在你的这个初中几何问题里面，给你的几何题没有画图，那百分之九十五以上都是要干嘛？分类讨论的，所以记住四个字，叫做无图有坑 就等着你往坑里跳呢啊，一定注意，没给大家图的大概率都是要进行分类讨论的，而且呢，也跟我们是一样，跟我们直线，这印证了，对吧？他并没有在线段上去限制你，而是在直线上限制这个让你自由的啊，去发挥，找那些点去让我们画一下图啊。说 a c 等于四， 先随便画吧，反正在这 a b 上呢， a c 是 个四厘米，对吧？ b c 呢是个六厘米。哎，你在找 b 的 时候，我现在好像就找到了不止一种 b 了， 为什么呢？因为我现在啊，可以在哎右边找一个 b， 让这是四厘米，这一边这是那个 b， c 是 六厘米，是不是也是可以的，对吧？所以用这样的两种情况，在这两种情况下，咱们要求的谁啊？先求 ab， 那 这个 ab 呢，就是四加六啊，是十厘米， 那么这个 ab 呢，是六减四啊，就是我们的二厘米，好吧，一个十，一个二，然后接下来我们去重留，什么留半呀，所以结果就是十二的啊，一半十的，一半是五，二的一半是一，所以这题选我们的四 d 选项 做出来啊，就会非常快了，请记住四个字，再来一遍，去重留伴，你学会了吗？好，继续啊，给大家分享一道我们的双角平行线问题，跟我们的双中点问题的解决方法是同理的，记住我的四个大字，大招叫什么啊？去重留伴啊，我们一起来看。 现在又告诉我，这个 o、 d、 o e 分 别是什么呀？分别是两个角的角平分线，对吧？所以你直接把这个角 a、 o c 写下来，把这个角 b、 o c 写下来，把重复的射线 o c 给我勾掉，就是剩下的这个角的一半，剩下了 a 跟 b。 那 你看你的 o a 跟 o b 组成谁啊？这是不是就组成我的角 a o b 了？好吧，用老师的结论啊，那现在两条角平分线组成的这个角 d、 o e 就是等于去重留半啊，就是等于二分之一的角 a、 o b。 有 了这个结论，简直不要太爽了啊，因为结论可以直接秒了，因为人家告诉你角 d、 o e 呢，是六十四度， 求谁啊？求这个角 a o b， 那 么 a o b 不 就是它的二倍吗？对吧？二倍一百二十八度，太简单了 好吧，啊，通过这个视频呢，老师给大家快速的证一下，为什么啊？会去重留半？我们来看啊，因为 o、 d、 o e 分 别是角平分线，如果是角平分线的话啊，那么这两个角相等，比如说我们都标为阿尔法，那如果 o d 是 我们的这个角平分线的话，这两个角相等，我们都标为贝塔。 好的，你看整个大的 a、 o b 是 不是两个阿尔法加上两个 beta 呀，对吧？哎，小的角 d、 o e 呢， 是不是一个阿尔法加上一个 beta 呀？所以它们之间一定会有一个角 d o e 等于角 a、 o b 的 一半啊，这是我们去重留半就是这样来的， 所以后面但凡在看到了双中点问题，还是双角平行线问题，直接把这两个线段或这两个角拿出来重复的勾掉啊，然后剩下的留一半，简称去重留半，你学会了吗？

同学们好，我是小狐狸老师。今天呢，我们来学习几何图形中的一个动角问题。动角问题是咱们七年级上册的最后一个难点问题，咱们先来看一看，是单边动角，也就是说 一个角它有两条边，我们只需要动其中的一条边。第一种类型都是当我们的角度变大的时候，我们所依据的基本公式就是目标角等于七十角，加上速度乘以时间，也就是我们把 ob 这条边绕着点 o 逆时针旋转，那么此时我们的这个 ob 移动到了 b 撇的位置，到了 b 撇的位置的时候，我们就把这个 a o b 撇就等于它原来的角 a o b 加上它运动的这个它的角度，运动的一个速度多少秒一度多少秒一度，用它的这个速度乘以它的时间，这就是我们第一种题型的一个公式。第二种题型就是当我们的角度变小，也就是说 o b 在 绕着点 o 逆时针旋转的时候，再角 a o b 之间去运动，那么当我们的 o b 运动到 b 撇的位置的时候，此时的角 a o b 撇，目标角角 a o b 撇就等于它的原始角 角 a o b， 也就其实角减去，它所走过的这一段角度是不是就是 v a 乘以 t， 它的那个旋转的速度以及它旋转的时间？那第三种题型就是我们的角度先变小后变大，也就是说我们的 o b 这条边绕着点 o 逆时针旋转， 当我们的这个边通过 o a 之后，继续往这边去旋转，它的角度是不是又在逐渐的变大呀？ 那我们在变小的这个过程当中，我们的这个目标角就等于其时角减去速度乘以时间。跟这个公式是一样的， 那当它在继续变大的这个过程当中，我们就是目标角就等于速度乘以时间减去其时角。当我们的目标角走到这里的位置的时候，我们这里是一个 b 撇，那么此时的 a o b 撇就等于这个 o b 旋转走过的这个角度减去它原来的这个角度，也就是此时的角 a o b 撇就等于角 b o b 撇减去角 a o b， 也就是等于 v 乘以 t 减去角 a o b。 这就是咱们动角问题中只有一条边在动， 那当我们的动角问题中出现两条边都在动的时候。好，我们来看第四种题型，运动方向相同，而且是角度要变大。运动方向相同好，它们如果说都在往这个方向去变化， 但是它的角度是在变化的，也就是说 o a 的 角度肯定是要大于 o b 的 角度，这样的话才会出现它的角度是在逐渐变大，因为 o a 往这边扩展的速度比 o b 减少这个角的速度要大。因此说我们这一个角度 o a 运动到 a 撇， o b 运动到 b 撇，那这个角度就等于它原来的这个角的角度 加上这个角的角度，再减去这个角的角度是不是？而这个角就是我们的其实角 a o b 再加上这个角的度数是不是 va 乘以 t， 而这个角的度数要减去，减去 v b 乘以 t， 那 么它就等于角 a o b 加上 v a 减去 v b 乘以 t， 也就是说目标角等于七十角，加上速度差，加上速度差乘以时间。我们看第五种题型，如果说它们是运动方向相同，而且是变小的， 运动方向相同，好，还是按这个方向仍然是往这个方向去运动？ o a 运动到 a 撇，此时就应该是 b 的 速度，应该是 比 a 的 速度要大的，那么 b 的 速度。假如说我走到这儿， b 撇在这儿，那么它此时的这个角度是不是仍然是这个角 a o b 加上这个角，然后减去这个角啊？那我们就把它写一下，仍然是角 a o b 加上 v a 乘以 t 减去 v b 乘以 t。 但是此时因为我们的这个角总体来说是变小的，所以说此时的这个 v b 是 大于 v a 的， v b 大 于 v a。 所以 说我们这个式子是不是就可以解解一下，等于角 a o b 减去括号， v b 减去 v a， 括起来乘以 t 啊？那也就是等于我们的七十角减去速度差，乘以时间。我们看第六个题型，运动方向相反，而且是变大的，那这种方向就是运动方向相反，这个它往这边， b 往这边， 这是 a 撇儿，这是 b 撇儿。那么此时的这个大的目标角，是不是就等于它的这个起始角加上它们两个的速度和啊？所以我们第六个题型就是角 a o b 加上 v a 加上 v b， 括起来乘以个时间，也就是速度和乘以时间。 好，我们看第七种题型，我们的运动方向相反，而且是变小的，运动方向相反，而且是变小的，那么这两个角，那么这两条边就应该是在这个角 a o b 的 内部去运动。相反， 假如说它们现在是这个位置，在相遇之前，在相遇之前，我这个角的速度，我这个角的这个，呃， 在相遇之前，我这个角的大小是不是就等于这个大角减去这个小角和它的小角啊？因此这个大角就是 角 a 撇 o b 撇，就等于角 a o b， 就是 这个大角减去 v a 乘以 t， 减去 v b 乘以 t， 那 是不是就等于角 a o b 减去 v a 加上 v b 乘以 t 啊？也就是其实角减去速度和乘以时间。 我们相遇之后是不是会出现他们两个在这相遇，在这相遇之后，这个 a 继续往这边去旋转，那么此时就会出现我们的 o a 运动到这里是 a 撇 o b 运动到这里是 b 撇 o a 走过的 角度是这一大段， o b 走过的角度是这一大段，那我要求中间这一小段是不是就是它们两个的路程和是不是就是它们两个的角度和减去 这个大角的角度啊？因为这里正好就是有两个角， a o a 撇 o b。 所以 我们的目标角此时就应该等于 v a 加上 v b 括起来乘以 t， 这是它两个大角相加，然后再减去整个原始角 a o b， 减去角 a o b。 所有的动角问题，它们所依据的基本逻辑都是这几种形式里面的，因为我们的边只有两个，一个是 o a， 一个是 o b， 它要旋转也只能旋转其中的一个，要么旋转 o a， 要么旋转 o b。 我 们来看做动角问题的时候，我们 我们来看一下做动角问题的基本步骤。第一个就是你要先确定动线，就是有几个线是在动，谁在动以及动角以及它们的个数。 第二个就是确定动线的起点、终点和速度，其实大家看一看我们的动脚问题，是不是跟我们的动点问题非常像啊？所以我们的动脚问题其实可以是转化成动点问题来做的，以后如果有机会我给大家出视频怎样去转化成动点问题去做。第三步就是列方程，列方程就是依据咱们前面 的这几种公式去列啊，大家一定要注意，在列方程的时候一定要注意一个问题，就是我们所有的动角问题都是要根据 t 的 范围进行分类讨论，试看是不是跟我们的动点问题很像啊，通常的临界点就是相遇点，九十度、一百八十度、二百七十度和三百六十度。 第四点就是在解方程的时候基本上都会进行分类讨论，而且一定要注意，你所有的结果一定是在第二步的范围之内，如果说是不满足这个范围，一定要是舍去的。 我们知道三角板是有两个的，一个是等腰直角三角板，一个是含有特殊角的直角三角板，也就是四十五度的三角板和三十度的三角板，那这些度数就是我们题目中所隐藏的特殊角的度数。因为不管我们的三角板如何去旋转，它的角度大小都是不变的， 因此我们旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数，那角平分线的旋转其实也是同样的度数，我们这种类型你就到了具体的问题之后你就会发现一定，所以我们在做这种三角板的问题的时候，一定要注意，有些条件是题目没有给，但你是知道的就是他们三角板的度数。 好，下面我们再来看一下在我们几何图形中经常会遇到的一个等量关系，就是角度的等量代换。第一个你看已知角 aob 等于角 doc a o b 等于角 d o c 等于九十度，那么结论就是角一等于角二，角三加角四等于一百八十度。也就是说如果说这两个大角相等，而且是九十度，那么我们就会得到角一等于角二，因为角一加角三等于九十度，这里是角三，这里是角一，这里是角二， 然后角二加角三也等于九十度，所以我们就能得到角一等于角二，然后我们的角四是这个大角，虽然它标的不是很规范，我们不能这么去标这个大角，这里是一个角四，那这个角四里面是不是 因为大家看一下我们的这个角 a o b， 角 a o b， 这个大角加上这个大角等于一百八十度，是不是？那这两个相加的话，里面是不是就是出现了一个大角以及一个角三呢？所以我们就得到角三加角四等于一百八十度。 那同样的道理，我们如果说是反向的话，角 aob 等于角 d o c。 第二个图 aob 等于角 d o c， 这个大角等于这个大角，因为它跟它相等，所以它们加上同样的一个角也是相等的，那同样的道理，我们也能得到这两个相加等于九十度，一个周角是三百六十度，所以这个加上这个肯定等于一百八十度。 下面是我们的一个双角平分线模型，我们俩双角平分线模型就是说共顶点的三条射线组成的三个角中，两角共一边，已知任意两个角的角平分线，求角平分线的加角，这是我们的双角平分线模型，那遇到这种模型的题，我们该怎么去做？第一种问题的类型就是 已知 o、 d、 o、 e 分 别平分角 a、 o b， 角 b、 o c， 也就是说角一等于角二，角三等于角四。那你结论就是说角 d、 o e， 也就是这个角二加上角三是等于二分之一倍的角 a、 o c 的， 也就是等于二分之一倍的这个大角，为什么呢？因为我们的角二 是等于，嗯，二分之一倍的角 aob， 我 们的角三等于二分之一倍的角 boc， 这两个相加不就是这个角吗？是不是？这就是我们的双角平分线模型里面没有公共部分的类型。 我们再看第二种类型，如果说双角平分线模型里面两个角有公共部分， o、 d、 o e 分 别平分角 aob、 boc， 那 么 角一等于角二，然后 o e 平分角 b、 o c 的 话，我们就能得到 角一加角二加角三是等于角四的。刚才我们又得到角一等于角二，那题目让我们证明就是一个结论，是什么角 d、 o e， d、 o e， 就是 角二加上角三等于什么二分之一？角 a、 o c 等于二分之一，角 三加上角四，那我们得这个的话，我们这里面是没有角一的，我们可不可以通过这个关系把上面的角一等于角二给换掉，所以他就可以得到二倍的角二加上角三等于角四，是不是？那所以， 所以我们把这个式子化解一下，两边同时除以二，是不是就等于角二加上二分之一倍的角三，等于二分之一倍的角四呀， 那我再让等式两边同时加上二分之一角三，就是角二加上角三等于二分之一倍的角三，加上二分之一倍的角四，是不是就等于二分之一倍的括号角三加角四呀？是不是这里等于，这里就是我们的这个结论呀？ 好，我们再来看最后一种双角平分线的一种拓展模型，是三个角围成了一个周角，如图，已知角 a o b， 这个角 加上角 b o c， 加上这个角加上角 a o c， 等于三百六十度，这是一个周角。第二个 o p e 啊，这里下标 o p e 平分角 a o c， 也就是角一等于角二 o p e 平分角 b o c， 也就是角三等于角四，角三等于角四，那我们的结论就是说角 p e o p 二， p e o p 二，也就是角二加角三。 我们大家要注意，我们的这些角，一般情况下都去找那个没有超过一百八十度的角，它要等于什么？等于一百八十度减去二分之一倍的角 aob。 我 们根据这个式子，我们就可以写出一个式子，是角 aob， 加上角 b o c 二倍的角三，然后再加上角 a o c， 角 a o c， 我 就可以写成二倍的角二等于三百六十度。 那我们这里我就可以等式两，我就可以把这个角 aob 移到这个方向来，就是二倍的角三加上二倍的角二，等于三百六十度减去角 aob。 那 么我让等式两边同时出一个二，是不是就能得到角二加上角三等于二分之一倍的括号三百六十度减去角 aob， 所以就等于一百八十度减去二分之一倍的角 a o b， 是 不是就是这个结论？大家可以把这三种结论自己去推一下，一定不要死记硬背，因为如果说你在死记硬背的话，你做题的时候 一定会出错，因为这种角度你去记的话，是很难去记的。这就是我们几何图形初步中的一些公式总结，你掌握了吗？

这期视频我们来解锁一项新技能，即几何问题的见比设参法。如图， b、 c 是 线段 a、 d 上的两点， b 和 c 把线段 a、 d 分 成三段，题目给出了这三段的长度比例， e 和 f 分 别是 a、 b、 c、 d 的 中点，我们可以用等幺三角形将其标出来， 可见这是一个线段双终点问题，是上期视频线段双终点问题汇总中的第三种情形，即有交叉重叠部分。 由上期的结论，我们可以得到两个终点的距离。下面就要用到本期我们要解锁的一项新技能，见笔设参法。因为题目给出了三段线段的长度之比，三比一比四，那么我们可以设一个参数 x， 我们设一个参数 x 之后，根据比例关系，那么 a、 c 就 等于三， x， c， b 就 等于 x， b、 d 等于四 x 根据线段关系我们可以得到，又因为已知条件已经给我们 e， f 等于十四，所以求解这个方程就可以得到 x 等于四，然后根据线段的关系，我们就可以得到 a、 b 和 c、 d 的 长度。最后我们来小结一下， 看到已知条件，给出多条线段的比例关系，我们就可以设置参数 x， 然后根据线段关系列出含有 x 的 方程，最后求出 x， 就 可以求出多条线段的长度，你学会了吗？