等腰梯形外接圆半径公式

大家好，看这道题， ab 是 圆卧的直径 ef 在 圆卧上， abef 为等腰梯形 ef 等于一， ab 等于二 矩形 a、 b、 c、 d 垂直于圆 o 所在的平面。第一问，证明平面 a、 d、 f 垂直于平面 b、 c、 f。 大家先看应该怎么做。 如果一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面，那么这两个平面就互相垂直。 如果能够证得 a、 f 垂直于平面 f、 b、 c， 那 么平面 a、 d、 f 就 垂直于平面 f、 b、 c。 好， 咱们来证明， 因为 a、 b 是 直径，所以 a、 f 就 垂直于 b、 f。 好。 再来看 矩形 a、 b、 c、 d， 所以 c、 b 垂直于 ab， 而这个 ab 呢，是平面 a、 b、 c、 d 与圆卧所在平面的交线， 而这两个平面又互相垂直的，所以 c、 b 垂直于圆卧所在的平面， 所以 c、 b 就 垂直于 a、 f。 因为 a、 f 在 圆卧所在的平面内。这个过程我省略了，直接写 a、 f 还垂直于 c、 b， 而 f、 b 与 c、 b 交于 b 点，所以 a、 f 就 垂直于平面 f、 b、 c。 所以 a、 f 垂直于面 c、 b、 f， 而 a、 f 又在平面 a、 d、 f 内，所以平面 a、 d、 f 就 垂直于平面 c、 b、 f。 所以 面 a、 d、 f 垂直于面 c、 b、 f。 这是第一问，还是很简单的。再来看第二问， a、 d 为多长时二面角 d a、 a、 c、 b。 它的大小为一百二十度，也就是平面 d、 f、 c 与平面 b、 f、 c 所成的角为一百二十度。 好，咱们采用向量法，因为这里出现的圆，所以一般来说，这个渐近坐标系是以圆 o 为圆点。渐近坐标系，那么以它为 x 轴， 那么它的垂线这是 y 轴，那么向上的是 z 轴。渐近如图所示的坐标系。 好。这题建立坐标系的过程是比较简单的，那么第二步就应该是求点的坐标。咱们先看 f 点的坐标，那么它的 x 是 多少呢？ x 就是 它，那整个是一，所以这是二分之一， f 是 二分之一，那么 y 是 多少？就是从这里开始到这，那我连接 y， f 这个长度就是一， 是吧？因为这里是垂直的，一的平方减去二分之一的平方开根号，这不就是他吗？那就是二分之根号。三 z 当然是零了，好，这是 f 点的坐标。再来看 d 点的坐标， 它与 a 点的 x， y 是 一样的，那么 a 的 x， 你 看，这当然是一， y 是 零， d 是 一零，那么 a， d 是 它的 z， 问的就是 a， d 是 多少？假设它为 t， 所以 它的坐标是 t， 好， 再来看 c 的 坐标， c 的 坐标它与 b 的是一样的，对吧？ 那么他在 x 方向当然就是负一呢， y 是 零呢？那这个是 t， 所以 就是负一零 t， 好， 这样咱们在平面 d， f、 c 上找到了三个点，咱们再找两个相交的向量，很显然，我要找 f、 d 向量好， f、 d 向量等于多少呢？或者 f、 c 都行。 f、 d 向量拿它减去它二分之一 零，减它负二分之根号三七减它七，这是 f d。 再来看 c、 d， 对 吧？ f d 和 c、 d 这两个项链是相交的， c、 d 那 d 减去的，那就是二零零。我现在开始求平面 f、 c、 d 的 法向量。设面 f， c， d 法向量 n， e， x， y， z 这个法向量垂直于这个平面，所以它垂直于这个平面内的所有的向量，当然就垂直于它和它。 所以 n 一 向量点乘 f、 d 向量垂直向量，它是等于零的减乘好，那就是二分之一 x 减去二分之，根号三， y 加上 t， z 等于零， 同样 n 向量点乘 c， d 向量等于 x 乘以它加上 z 乘以等于二 x， 好，这样把 n 一 项链求出来。法项里有很多个，我只需要取其中的一个就可以了，很显然这个 x 是 等于零的，对吧？我如果把 x 等于零带进去的话，大家看，我现在取 z 等于一， 那么这个 y 呢？就是根号三分之二 t， 好，为了书写的方便，我把它扩大根号三倍， 所以这里是零，这里是二， t 这里是根号三。二 t 根号三，这里是。好，这是 n 向量，那咱们再来求 f b c 这个平面的法向量，设面 c b f 法向量 为 n 二向量，对吧？那么大家看，从第一问咱们已经知道了，这个 a f 它是垂直于这个平面的，所以 a f 就是 它的一个法向量， 所以 n 二向量，它就等于 a f 向量。咱们看 a、 f 向量该怎么求好？那把 a 点的坐标求出来先， a 点的坐标是多少呢？ 那这就是一，对吧。 y 是 零一零零很好求，那么 a f 向量拿 f 减去它，那就是二分之一，减去它，那就是负二分之一， 二分之根号三，减去它二分之，根号三零，这就是 n 二向量， 他有很多个，我取其中的一个，为了计算的方便，我同时扩大两倍，那么这就是负一，这就是根号三。好， 两个项链剪成，两个法，项链剪成，所以 n 一 项链剪成， n 二项链，它就等于 n 一 项链的模就是它，它的平方加它这边加，它这边拍根号，那就根号四。 t 的 平方加三，然后再乘以 它的模，它的模是二，再乘以所乘的角，这两个法向量所乘的角，它应该等于。大家看 它乘以它，加上它，乘以它，然后加上它，乘以它两倍根号三 t。 好，然后我在平方号这个二约掉了，那就是四 t 的 平方加上三括号，乘以 cosine theta 的 平方，然后等于三 t 的 平方。 是这样的， 这个 cot 角，它应该与这个二面角有什么样的关系呢？这个 cot 角与二面角的关系是相等或者是互补， 所以它 cosine cot 的 平方就是 cosine 它的平方。那 cosine 它是等于多少呀？那是等于负二分之一平方，以后是四分之一，所以 四 t 的 平方加三等于十二 t 的 平方，所以八 t 的 平方等于三，那七的平方不就等于 八分之三吗？所以七就等于两倍根号二分之根号三，那就四分之根号六，所以七等于四分之根号六，七就是 a d 的 长度，所以 a d 等于四分之根号六。 好，这道题是用向量解，比较经典，今天就讲到这，谢谢大家。

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哈喽，同学们，今天继续来分享一道组合图形，求面积。这是一个等腰直角三角形啊，这里有直角符号角， a 等于九十度， bc 等于二， 长度为二点， c 为圆心，以 b、 c 线段一半长为半径画弧。 以 bc 线段的一半长来画弧，也就说半径是多少，是不是也就是一呀？因为你总长是二，半径等于一。同样右边的也是以 b 为圆心， bc 长度一半来画弧。好，那么求硬一部分面积好不好？求？ 这道题我们先把思路写一写，我们整个的阴影部分的面积应该也就等于三角形 a、 b、 c 的面积减去两个扇形 面积。扇形咱们刚才说了，都是四十五度，很好求，而且半径等于一也很好求。那关键是三角形 a、 b、 c 的面积怎么求呢？只告诉咱们长边为二，哎，今天教大家一个方法， 注意看，我在旁边简单的画了一个等腰直角三角形。等腰直角三角形，哎，我们一般球面积是不是就是底层高， 对不对？但是这道题 ab 和 ac 都没有告诉咱们，只告诉咱们这条边是二，这个我们就叫做 bc 好了，是不是？好，你接下来看啊，我从 a 点做一条垂线， 垂直于 c、 d， 好，我把这个字母叫做 m 行不？好？那你来观察第一个小三角形，这是四十五度，这是直角，那这里是不是也 是四十五度？说明 a、 m 是不等于 c m 没问题吧？那同理，这是四十五度，这是直角。那请问 am 和 bm 是不是也是相等的？都在等，要三角形里对不对？ a、 m 等于 b m， 所以三个量是相等的，也就是告诉咱们 a、 m 实际上是等于二分之一的 b c 对不对？那你 bc 知道是二 am 不就是一了吗？这个就是在等腰直角三角形中斜边上的高等于斜边长度的一半，记笔记了，所以这个三角形面积很好求，二分之一的底是二，高是不是只有它的一半呢？ ok， 乘一减去两个扇形的面积。注意，扇形是四十五度，占圆的八分之一，乘派乘多少，半径是一一的平方，通过计算，最后等于零点二一五。 ok， 小结一下这道题，其实扇形的面积是好求的，关键是咱们在不知道底和高的情况下，能不能通过别的方式求三角形面积呢？今天刚刚教你的，记下来。 等腰直角三角形中斜边上的高等于斜边长度的一半，这个以后都可以直接用了。好了，以上就是今天的分享，关注原则，老师小升初不迷路，拜拜！

等腰梯形多长不会？求这个视频教会你！同学们还记得等腰梯形长什么样子吗？ 是指两腰相等的梯形叫做等腰梯形，其中这两个平行的线分别叫做他的上底和下底，这两条斜着的线叫做他的腰。读题， 一个等腰梯形，上底是三厘米，下底是五厘米。这里要注意的是，梯形的上底指的是 那组平行的对边中比较短的那条线段，下底是那条比较长的线段。现在告诉我们上底是三，我们就在这里写个三，下底是五，就在这里写一个五。腰长是 四厘米，腰指的是这两条斜着的线，这里是四，这里也是四。等腰梯形具有两条腰，并且这两条腰一样长。继续这个等腰梯形的 周长是多少？要需求周长，我们就得先知道什么叫做周长。周长是指封闭图形一圈的长度，那我们现在就将这所有的数字给他加起来就可以了。上底加下底，加上腰长乘二， 所以这个梯形的周长就是三加五，加四乘二，等于十六厘米。等腰梯形的周长是十六厘米，你学会了吗？

做等腰三角形的外接圆，并利用垂径定律的拓展公式求半径。已知，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c。 一、 求做这个三角形的外接圆 o， 要求尺规作图，保留作图痕迹。 重点是画两条边的垂直平分线。你可以做 a、 b、 a、 c 的 垂直平分线，也可以做另外一条的垂直平分线。总之，即两条垂直平分线的交点 o 就是 要求的外接圆心。 画线段垂直平分线，分别以两个端点为圆心，以相同的足够长的半径做圆弧，两弧相交于两点 过这两个交点的直线就是线段的垂直平分线。这里画的是 a、 b 的 垂直平分线。以 a 位圆心的弧画得稍长，因为它还要在做 a、 c 的 垂直平分线时有用。 接下来就以 c 位圆心，以刚才的半径做弧交圆心， a 的 弧于两点过这两点做直线，就是 a、 c 的 垂直平分线。 两条垂直平分线的焦点即为 o 点。注意，这样作图具有对称性。关于 b、 c 上的高对称，如果你画的不准确，一眼就可以看出来。最后，以 o 为圆心，以 o、 b 或 o a， 当然也可以 o、 c 为半径作圆 o， 图中圆 o 就是 所求三角形 a、 b、 c 的 外接圆了。千万别忘了画圆 o， 你 以为我是在开玩笑吗？不，我是亲眼见过的。 二、若三角形 a、 b、 c 的 外接圆的圆心 o 到 b、 c 边的距离为四， b、 c 等于六，求圆 o 的 半径。 如果你知道垂径定律的拓展公式的话，就可以直接求得半径等于五，即 半径弦心距和半弦构成勾股定律的关系，半径是斜边，就等于弦心距地，这里是点 o 到 b、 c 的 距离，四和半弦三的平方，和的算数平方根就等于五。如果你不懂，就过 o 点做 b c 的 垂线段去探讨吧。

各位， r 是 圆啊，是在圆里边的问题里面最难的一个体型啊，这套题如果说你能听懂，你就是学怕了。我们来看一下说你这等腰直角三角形， a b， c 啊，等腰直角，咱标注一下这直角等腰的 a b， c， a， b 等于四啊， a b 等于四，咱标注一下啊， b c 不是 也是四吗？对不对？圆 b 半径为二，圆 b 啊，是二， p 为圆，上动点 p r 在原上动来动去的，不知道在哪转来转去的，很烦人啊。求 pa 加二分之一 pc 最小值。 pa 这条线对吧？加上二分之一 pc 啊，加上这条线的二分之一啊，这两条线相加最小。 这个屁，转到外边肯定越来越远了呀，外边不行，肯定在这一片，是不是？到底在哪？不知道呀，那怎么办？各位，这个点在圆上转来转去的，而且两条线相差最小，这就是典型的阿是圆问题啊，简称阿波罗尼四圆。 这个题有个做题思路，你只要知道了就很简单了啊，你看了没有，这个二分之一， p c 就 这条线的二分之一，咱们要找到这条线的二分之一，怎么找？咱们观察一下，你看没有， a b 等于四，半径是二，你有没有发现这是个二比一的关系啊， 对不对？那咱们你看把这个 p 和圆心连起来，你有没有发现个问题？你看这个边是四，这个半径是二，这个边比这个边是二比一的关系，对不对？ 然后这个夹角，这个夹角是阿尔法。如果啊，你在这个三角形里面找一个相似出来，我之前讲过啊， 这个边比这个边是二比一，你只要找出来这个边比这个，这一段边也是二比一，就是个相似。哎，有的同学不理解，为什么， 为什么这个边比这个边是二比一，就这个小三角形和大的就相似，因为这个角是同样的一个角，各位注意了啊，这个同样的角，他的两个邻边，一个是这个边比这个边是二比一，同样的这个边比这个边也是二比一， 而且夹角都是阿尔法，这不是边角边吗？所以这个三角形和这个大三角形一定是相似的，相似的话，各位注意这个角的对边 和这个角的大三角形的对边。 p c 这个边比这个边是不是也是二比一的关系啊？就是这个边比这个边是不是也是二比一 啊？这个道理能不能明白？所以说二分之一 pc 就是 这个啊，假设这是 d 啊，就是这个 pd， 它就是它的两倍， 所以说这个二分之一 pc 不 就是 pd 吗？那 pa 加 pd 什么时候最小？这个 p 在 动来动去的，什么时候这条线加这条线最小？那肯定是转到啊，转到转到这的时候， 各位，转到这的时候， p 运动到这的时候，这个线加这个线最小，你看刚好是直线吗？两点之间直线最短吗？好，那么问题来了，咱们扩展一下啊，如果这个 pa 和 pc 换了， 如果 pa 和 pc 换了，咱们扩展一下啊，把这个题学透啊。就是说 假设啊，他算，他求的不是这条线加他的二分之一，而是这条线加这条线的二分之一加他的二分之一，就是这还是 pr， pa 就是 pc 加二分之一 pa 的 最小值。怎么怎么找？各位，咱们扩展一下，就是找这条线的二分之一，他在哪？ 那你就找你看这个边比这个边是二比一，对不对？那你在在这找一个中点，让他比，他也是二比一。各位， 你有没有发现这个边永远是这个边的二分之一，因为这个小三角形和这个大三角形是相似的， 为什么？因为角不变的情况下，这个邻边比这个邻边是不是二比一的关系？那这个小三角形呢？你看这个边比这个边是不是也是二比一的关系？所以他的对边， 这个小三角形的对边比这个大三角形的这个对边也是二比一的关系。所以说这俩相加应该是这样连的， 当 p 运动到这时候，二分之一 p a 加 p c 最小。啊，这个道理那么圆，这板数有点乱，回头大家自己好好画画画图啊各位。

见十五做钟垂二背角立马线，一三五和一五零延长两线补直角，十五、四五连两线，等腰直角就出现三十、四五和六十做好垂线得结论。这就是书本上没有但是中考一定会考到的二级公式，很多孩子不知道就很吃亏。 像这样的二级公式，在这本书里还有七十三个，如果你能把它们都掌握了，你会发现初中数学学起来有多轻松。比如等腰三角形中的距离公式， 只要在等腰三角形内有三个垂直，则可以马上得出三条线段的关系。学会了这个二级公式，在面对这类三垂直的题型时，就可以省去做辅助线和计算面积的功夫，直接利用公式三秒得出答案。像常考的五大角度模型、三大最值模型、瓜豆阿史源模型 这些快速解题的公式，你要是学会了，考试真的就跟翻书抄答案一样简单，而且步骤越少，正确率也会更高。每个二级公式的推导、演变过程都十分详细， 孩子有不懂的地方也可以观看视频讲解，家长就不用费心去教了。初中数学根本不用去报班，初一到初三都可以用，而且还是全国版本通用，家有初中生的家长赶紧准备起来吧！