高职高考2026数学试卷是谁出的

他出了一道根本没有学过的题啊，他直接考了一个像蛇一样的那个符号就那个随机变量正态分布啊，很不爽挑。刚刚几道题我们没学过。六点六吧八分吧， 打个七八分吧。八分感觉挺难的了。已经在考场泪流满面了已经就一年都在复习备考。没什么什么，就是保持那种平常心。一年左右吧，因为本来第一次很想考升职院的。

来这个真题啊，先给大家对一下完整的最精准的答案吧，方便大家估分啊。只对答案，第一个选 a 选项，第二个选 b， 第四个选 b， 第五个选 d， 第六个只有一次呀，只有一个 f 啊，选 boy， 第七个选 c， 第八题互次加起来选 d， 第九题选 c， 第十题选 a， 十一题选 c， 各占一半啊，二分之一，十一题 十二题了，十二题选 c， 十三题选 a， 十四题选 c， 十五题选 a。 可能有 ab 卷，但是我画了你这个答案，你去自己想自己。对啊，填空题简单，第一个填二，十三，第二题填三，第三题填四， 第四个填二，第五个负三，十二分之十九， 二十题三 b， 四分之三 a， d 等于三，二十题比动点面积简单多了。 a 等于一解集二到正无穷，或者写描述法，这个大于二，描述对象要写啊。 二十一题， a， n 通向 a， n 等于 n s， n 等于 n， 减一倍的二的 n 加一次方加二，如果你展开也行啊。二四题交点一，逗号零， 最小值二分之根号二，这就是答案，自己估一估，看有多少分吧，打在评论区看看答案怎么样啊！

王老师，参加证书什么时候出成绩啊，我好死心。嗯，死心，考试院到现在都还没有进行公布的啊。我也不知道，不过啊，我可以进行预测啊，我掐指一算 啊，这个一月二十八号黄道吉日，过年前一定会出，因为相信科学啊，我们可以参考往年出成绩的时间嘛，那么二二年是考后十八天就出成绩了，二三年是考后二十天，二四年是考后十六天。那么二五年呢，比较早过年啊，为了让你们过一个好年， 所以说考后十一天就出成绩了，也是史上最快出成绩的一年。那么平均下来呢，就是十六到十八天出成绩。所以嘛，那我们二六年一月十一号考完试了，是不是往后推十六到十八天就可以了，那么预估也就是二十八号左右进行出成绩。 反正啊，最迟也超不过二月十七，一定会让你们过个好年。当然，考的好叫好年啊，考不好出分数第二天就提桶去东莞打工了是吧？ 没关系，出分数之前该吃吃，该喝喝，该玩玩啊，该乐乐。那么吴老师也在此提前祝愿同学们新年快乐，并且都能够心想事成，得偿所愿，高分上岸，关注吴老师，高级高考不迷路！

大家好，我是博企职教的数学老师杨老师，今天我们来看一下二零二六年高值高考真题的选择题跟填空题。首先第一题很简单，他考的是一个并级的东西啊， m、 b、 n 对 不对？那并级其实就是什么，只要出现一次的， 他就要放在这一个集合里面嘛，对吧？所以说我们先把 m 的 这一个集合全部抄上去一根二，再把 n 的 抄上去，二四五二已经有了，所以说直接把四根五抄进去就好了。所以说第一题选的是 a 选项，第一题选的是 a 选项。接下来我们看到第二题。第二题这里求的是考的是一个三角函数的最值问题啊。最值问题，无论对于三还是 cosine 来说，他们的最大值都为多少的呢？最大值都为一，最小值为多少呀？ 最小它就为负一码，对不对？而要你求的是 y 等于二乘上三 x， 这里其实看成两部分，一个是二，一个是三 x 嘛，那三 x 的 最大值为一的话，也就是二乘一等于二，所以说第二题选的是一选项第二个。那么接下来看一下第三题。第三题这里考的是一个向量的 坐标呀，他考的是一个向量的坐标，并且给了一个表达式的东西，给你的时候，此时这个向量的坐标怎么算呢？我们这里就要用直接算的方法来求， 那么向量 a 减去向量 b 啊，他用直接算，也就是等于三减二，这是横坐标重坐标就是二减一嘛，所以说这里我们计算一下，他就等于一到一啊。所以说第三题选是或选项这一个也是很简单的。接下来到第四题这里，题目让你判断的是向量函数是奇函数的东西是哪一个？首先我们要记住 一句话，奇偶性，其实它跟指数和对数它是没有关系的，意味着什么？你看到奇偶性，其实它跟指数跟对数的都排除掉。我们这里指数啊， 它的一般形式是什么呢？ y 等于 a 的 x 是 吧？而对于对数来说， y 它就等于 log a x 啊，对不对？基于这一个，我们首先把 a 跟 d 排除掉，接下来在 b 跟 c 里面选一个 b 选项， 它是 y 等于 x 分 之一， c 选项是 y 等于 x 平方份加一嘛，对吧？我们来看一下 c 选项， x 的 平方，它是一个偶函数， 并且它的图像是一个开口向上的二次函数，而 y 等于 x 平方加一呢？其实它就整体往上移了一个单位嘛。所以说这里啊，它关于 y 轴对称， c 选项，它是一个偶函数来的，那么这道题我们只能选 boy 选项，而 boy 选项这一个，它其实是一个反比例函数来的，它经过的是一三象限，它是一个这样子画的一个图像。关于圆点对称，所以说这道题选的是第二个 b 选项。 那么接下来我们看到第五题，第五题，这里从四本不同的书当中任取两本 b 选项，那么接下来我们看到第五题，这里从四本，这里从四本，这里从四本。 a 四二 除以 a 二二呀，而 a 四二，它就等于四乘三， a 二二等于二乘一，所以说这里它的答案就是等于六，那么第五题选的就是第四个低选项。接下来到第六题，第六题，这一个考察的是一个分段函数的一个知识点，首先我们来看一下，让你求 f 一 的话，求 f 一 此时 x 是 等于一了，那么他就要带进去 f， x 等于 x 平方减一那里去了，所以说 f 一 他就等于一的平方减一就等于一，减一等于零的呀，所以说第六题选的是 b 第二个选项。那么接下来看到第七题，第七题考的是一个什么知识点呢？考的是一个负数的周长的一个知识点， 负数的模长，对于负数 g 等于 a 加 b， i 来说，负数的模长，它就等于 a 的 平方加 b 的 平方该根号。那我们来看一下，此时 g 等于三加四， i 来说，此时 a 就 等于三， b 它就等于四嘛，对不对？此时它的模长就应该等于三的平方加四的平方该根号。这里不用算了，直接等于五的。所以说第七题选的是 c 选项。 那么我们来看到第八题，第八题这一个属于一个比较新的题型啊，已知 pa 等于零点二， pa 等于零点六，让你求 pa 跟 pa 同时发生的概率，对吧？那我们这里 pa 这一个符号，他有一条公式，等于什么呢？等于 pa 加 pb 啊，这是一条公式，同学们需要记一记。所以说代数进来等于零点二加零点六，此时就应该等于零点八呀，所以说这道题选的就是 d 第四个选项， 那么接下来我们看一下第九题，第九题考的是一个双曲线的渐近线问题，那我们复习一下，对于双曲线的渐近线来说，此时分成两种情况的。首先第一个，如果他的焦点 在 x 轴上面的话，那此时渐近线的方程为多少啊？ y 等于正负 a 分 之 b， x 呢？这是第一个方程。第二个焦点，如果此时在 y 轴的话，那么 y 就 应该等于正负 b 分 之 a x 啊。所以说，我们这里做到第一步要干嘛呢？第一步，先要判断 双曲线的焦点。怎么判断双曲线的焦点的呀？其实就要判断 a 的 平方了，那又怎么判断 a 的 平方呢？此时就要记住一个口诀，谁大？谁是， 是谁大还是谁正啊？此时是谁正，谁是 a 的 平方啊？而对于椭圆来说，是谁大谁是 a 的 平方，此时 x 平方是正的，说明了 a 的 平方等于四，也就说明了焦点 它是在 x 轴的，没问题吧？而 b 的 平方等于十六码，对不对？那么第二步，它的焦点既然在 x 轴了，接下来呢，我们就要判断它的渐近线方程了，此时直接被公设 渐近线方程为 y 等于正负 a 分 之 b， x 啊。你要做的工作就是代数进去， a 的 平方等于四，说明了 a 就 等于二嘛。 b 的 平方等于十六 b， 它就只能等于四嘛，对不对？所以说， y 等于正负 a 分 之 b， x， 代数进来就等于正负二分之四， x 就 等于正负二 x 啊。所以说第九题选的是 c 选项， 这道题也是不难的，只需要背公式。接下来到了第十题。第十题，这个题相对来说简单，若一组数据，这一组数据给了你，并且说它的算数平均数为九，怎么算它的算数平均数或者叫它们的平均数的呀？就应该把它们所有的数 相加在一起，然后再除以它们的个数嘛，对不对？那么我此时用 x 上面一个横杠来表示它的平均数，它就等于六加七加七加 x 加十加十六，这里一共有多少个算？ 这里一共是有七个数的，它就要等于九嘛，对不对？说明了上面它就等于十三加七加 x 加二十加十六就是三十六，这里同时乘七、七、九、六十三了，说明了二十加三十六就等于五十六加 x 是 等于六十三的，说明了我们能解出来 x 是 等于七的，所以说现在这组数据啊， 它就有什么了，六七七、七十十十六这七个数嘛，而现在问你的是种数，什么叫做种数啊？也就是所谓的出现次数最多的那个数， 这里一谁哪个数出现次数最多啊？是不是七是出现是最多，他出现了三下，所以说这里他的中数就为几啊， 中数就为七嘛，对不对？所以说这道题选的是 a 选项，选的是 a 选项，那么接下来我们看一下十一题，十一题这个属于一个随机变量的东西，他说 若随机变量，可 c 服从正态分布 n 零到一，然后求可 c 大 于零的概率，那这个时候正态分布，我们就需要画一个图， 此时的图是这样子画的，零到一意味着什么呢？大于零的时候只有右半边，那只有右半边，它就是这里的一半，所以说 p 和 c 大 于零，它就应该等于二分之一啊，对吧？所以说这道题选的是 c 选项， c 选项这里这个正态分布 n 到一啊，意味着它在它这里一共是零到一这个范围而已。 那么接下来我们看到十二题，十二题这里考察的是啥嘞？考察的是一个逻辑用语的东西啊，逻辑用语。我们先来看到右半边 a 大 于一，这里已经给出来这是一个范围了，我们不用管它。那我们接下来需要把 a 的 平方大于 a， 要翻译成一个范围啊， 我们才能接下来往下做的。那怎么翻译成一个范围？其实这里隐含着就是要解这个不等式吗？那 a 的 平方减 a 大 于零，先把 a 移到左边去，接下来这里怎么办？提一个 a 出来，变成 a， 乘上 a 减一，要大于零，接下来这里当它等于零的时候，有两个点，一个是零，一个是一，而我们此时大于，要取两边的， 对吧？所以说要取零跟一的两边啊。 ok， 那 此时我们换一个数轴， a 小 于零， a 大 于一，此时红色线段是我们画出来左边的范围。接下来老师用黑色线段表示 a 大 于一，就是这一段吗？那告诉我听这里啊，是不是红色所包裹的范围更大呀？ 那现在黑色波浪线表示是红色所包裹的范围，而黑色所包裹的范围只有红色波浪线的东西，说明了这属于一个，前面是一个大范围，后面属于一个小范围，它属于前大后小行，说明了这道题要选的是一个必要不充分条件， 因为小范围能推大范围，而大范围不能推小范围。那么十二题选的选项是 c 选项是 c 选项。接下来我们看到十三题，十三题这一个考察的是一个直线与圆的位置关系， 直线与圆的位置关系，此时他考的是一个什么位置关系？考的是一个相切的位置关系。一个直线与一个圆，他们相切有什么性质呢？圆心到直线的距离等于半径吗？而这里他跟你说了圆心坐标为一到二的话，我们圆的标准方程是怎么背的？ 圆的标准方程此时是 x 减 a 的 平方加上 y 减 b 的 平方，等于半径的平方嘛？此时圆心坐标 为一，而 a 逗 b 啊，而此时为一逗二的时候，代入我就能得到圆的方程其实是 x 减一的平方加上 y 减二的平方，它是等于 r 的 平方的，所以说这里我们要求的就是 r 的 平方。对于这一个标准方程来说，我们首先要排除的是 c 跟 d 两个选项，对吧？接下来在 a 跟 b 里面摸，那怎么摸呢？接下来其实就是我圆心 到直线的距离是为多少的呀？它是为半径 r 的， 对不对？接下来求圆心到直线距离为 d 的 话，把这个圆心的坐标带进去这条直线里面，它就等于三乘一加上四乘二减一，这一个的绝对值除以什么呢？ x 前面那个数三个平方加 y 前面那个数 四的平方开根号，这里就等于三加八减一的绝对值。下面是等于五吗？上面就等于十，一减一就等于十除以五，所以说 d 它就等于 r 也等于二，而你 r 等于 r 的 平方，它就等于四了呀，对吧？所以说我此时圆的方程为 圆的方程就为 x 减一的平方加上 y 减二的平方，是等于四啊。所以说这道题我们选的是 a 选项。第十四题考的是一个什么知识点呢？考的是一个竖列的递推公式。 竖列的递推公式我们只能通过什么来做呢？一项一项给列出来来做，但是这里列到 a 时其实蛮多的，那我们首先来列举第一种情况，当 n 等于二的时候，此时就应该 a n， 也就是 a 二等于一，减去 a 一 分之一等于一，减去五分之一，是等于五分之四的，对不对？所以说我们这里能得出来 a 二等于五分之四啊。接下来第二种情况，当 n 等于三的时候，列出一下 a 三，它就等于一减去 a 二分之一，它就等于一减去五分之四分之一，也就是四分之五，它是等于负的四分之一的。说明了 a 三，我们求出来等于负四分之一。接下来第三步，当 a 等于四的时候， 就能得出什么了， a 四等于一，减去 a 三分之一，就等于一减去负四分之一，也就是负四吗？它就等于一加四四等于五的，你能发现什么呢？ a 一 等于五， a 二，它是等于负五分之四，对吧？而 a 三呢，它就等于这一个是负的四分之一。接下来看一下，到了 a 四又等于五了呀？接下来 a 五是不是理所应当就有个规律，等于五分之四对不对？ a 六呢？此时它就等于负的四分之一， a 七 a 八 a 九，是不是一模一样的道理？所以说到了 a 十啊，它就直接会等于五的，没错吧？所以说这道题十四题选的是 c， 当然了，同学们可以一项一项列取也是没问题的。那么接下来我们看到十五题，十五题，这里考的是啥呢？考的是一个稀有系 与单调性的一个结合。首先来回顾一下，对于偶函数来说，我们有什么性质。第一条非常重要的性质， f 负 x， 它就要等于 f x 的， 对吧？第二条最重要的性质是啥呢？它的图像关于谁对称啊？ 关于 y 轴对称，这是偶函数最重要的两条性质。那么接下来我们看一下，此时 f 一 等于零啊，又因为它是偶函数的话，说明了 f 负一也会等于 f 一 等于零的，没错吧？那么接下来求的是一个取值范围，那我们这里就只能通过画图来做了。怎么画图？ f 一 等于零，说明了这个等于一嘛？它等于零的时候，并且在零到这无穷是真函数，说明了在右半边它走的是一个上坡路啊。那我们把这个图画一画，此时假设是一个上坡路的图，对吧？那我们左边也要对齐回来，要补全来，因为它偶函数，它的图像关于 y 轴对称， 那么接下来我们把左半边补全一下，它就应该刚好跟 y 轴对称，是这么来的，是这么画的，此时这一个跟 x 轴的交点等于负一嘛，因为 f 负一也等于零的，而此时它要的是什么呢？ f m 减一小于零小于零，是不是下面老师现在画黑色线段的？那它此时这个 m 减一的范围就应该在负一跟一之间嘛？接下来我要求 m 的 范围怎么求啊？ 两边同时加一个一嘛，所以说中间加一个一等于 m， 右边加一，一加一等于二，左边呢？负一加一等于零啊，所以说 m 它的范围就是零到二之间。那么第十五题选的就是 a 选项，选的就是 a 选项，不难的。接下来看到十六题，十六题考的是一个什么呢？指数对数的运算问题， 指数跟对数预算问题。首先五的平方，它就等于五乘五就等于二十五嘛，对吧？然后 log 二四二的多少次方等于四啊，二次方啊，所以说五的平方减去 log 二四，它就应该等于二十五，减二它是等于二十三的，所以说二十六题答案它就等于二十三。 那么接下来看到第十七题，第十七题已知点 p 这个点在椭圆上面，然后问你 a 等于多少？对于这一个椭圆来说， 他都跟你说 a 方是 x 平方下面那个了，说明此时这一个椭圆它的焦点它是在 x 轴上的，对吧？那我们现在先来画一个图，它在 x 轴上面，说明在 x 轴那里是扁一点的，这一个椭圆是这么画的，三到零其实是这个点，称为点 p， 而这一个点说明了它这一段横坐标等于三，而这个横坐标其实就是我们的什么， 其实也就是我们的半长轴长啊。那我们的半长轴长，其实它等于 a 的， 说明了 a 是 等于点 p 的 横坐标等于三呢？所以计时器的答案就是等于三。 ok， 接下来我们看到第十八题，第十八题考察的是啥呢？考察的是一个向量平行的一个公式，对于向量平行来说，它有一条什么公式呢？ x 一 乘 y 二减去 x 二乘 y 一 等于零。那接下来代数进来，这是 x 一， 这是 y 一， 这是 x 二，这是 y 二。代数进来等于一乘 x 减去二乘二 就等于零吗？说明了 x 减四，它就要等于零啊， x 只能等于四啊，所以说第十八题答案它就为四。 ok， 接下来第十九题，它考察是一个等比数列的通项公式，对于等比数列来说，它的通项公式 a n 等于 a 一 乘 q 的 n 减一次方，而对于 a 四来说，它就应该等于 a 一 乘 q 的 三次方吗？再数进来 十六就等于 a 一 乘二的三次方，所以说八倍的 a 一 等于十六，那么 a 一 只能等于二啊！所以说第十九题答案是等于二的。 那么接下来看到第二十题，第二十题其实考察的是什么呢？考察的是三角函数的平方关系，以及说我们的一个和角公式，主要考了这两个。首先来看，他要你求 cosine alpha 减贝塔，这里通过和角公式拆开来就等于 cosine 啊！法， cosine 加上 cosine 啊！法乘上 cosine 啊！法乘上 cosine 啊， 对不对？那我们这里目标就把这两块求出来，然后套进去就行了。而对于 cosine alpha 加贝塔来说，你这个不能直接套，也不能直接乘吗？没错，那我们这里就等于 cosine alpha 的 平方加两倍的 cosine， cosinear 乘上 cosinear 加上 cosinear 加上 cosinear 的 平方，这里它就等于四分之三的平方，等于十六分之九啊！而对于 cosine alpha 加 cosine beta 来说，我们仍然也把它平方一下，等于 cosinear 的 平方加上两倍的 cosinear 乘上 cosinear， 再加上 cosine 贝塔的平方，这里等于二分之一的平方，也就等于四分之一，上面称为一式，下面称为二式。这里同学们需要注意的是， cosine alpha 的 平方加 cosine beta 的 平方不等于一的，只有 cosine alpha 的 平方加上 cosine alpha 的 平方才能等于一啊。还有就是 cosine beta 的 平方加上 cosine beta 的 平方才等于一嘛，对不对？所以说我们这里要怎么化解呢？这里是一加二，可以得到啥呀？ 可以得到 cosine alpha 的 平方加上 cosine alpha 的 平方，再加上 cosine beta， 再加上两倍的 cosine alpha 乘上 cosine beta 乘上 cosine beta。 贝塔，这里是贝塔，再加上三以贝塔的平方加上 cos 以贝塔的平方才等于右边的十六分之九加上四分之一嘛。接下来不要看这道题很复杂，它其实化解很简单的，这两个加起来，他们是不是各是一加一等于二啊？然后再把中间这一块用什么公式化解呢？用和解公式化解，先把二提出来，它就变成了 cos 乙乙丙法乘上 cos 乙丙倍，它再加上 cos 乙丙法 乘以 b， 它就等于右边十六分之九加四分之一就等于十六分之九加十六分之四嘛。所以说它就等于十六分之十三啦。所以说两倍的这中间化解一下，等于 cosine alpha 减 b， 它就等于十六分之十三减去二呀。所以说两倍的 cosine alpha 减 b， 它就等于负的十六分之多少嘞？这里是等于十九的嘛。负的十六分之十三， 正的十六分之十三减去二也就十六分之三十二嘛，他就等于负的十六分之十九啊，对吧？所以说接下来同时除以二，右边呢？他除以二就乘二分之一嘛。等于负的三十二分之十九。所以说这道题的答案就是等于负的三十二分之十九。做完了。

来，各位，二零二六年啊数学高考真题卷新鲜出炉啊，全网应该是最全的了，哈哈哈，我们来看一下今年考的题目到底如何来。第一题，选择题 m 集合，并上 n 集合，对吧？啊，要求并集一二 一二四五，所以呢，并集应该是吧，一二四五啊，这道题选对对吧？ ok， 我 们再看第二题， 第二题啊，要求这个的最大值是吧？哎，他的最大值我们在上一期视频讲过了，是吧？啊，就利用一个公式， a 的 绝对值加 k， 是 不是啊？ a 是 几啊？ a 是 二，二的绝对值还是二，有没有 k 啊？没有 k， k 是 零，二加零就等于二，所以呢，选 b 是 吧，简简单单是不是？ ok， 第三题， 第三题， a 向量减去 b 向量相减的话，那就把它横坐标减，横坐标减中坐标三减二等于一， 二减一等于一，所以呢，是一逗一选 b 啊， b 选项一逗一啊，也很简单是吧？ ok， 我 们再看第四题，下列为 g 函数的是 a， 我 们讲过很多次是吧？ 首先呢，这个指数函数，还有对数函数，它是吗？它是飞机飞偶函数，所以呢，这两个首先排除掉，然后呢，这个是二次函数，开口向上是不是有增有减？它，它是什么？它并不是关于圆点对称，所以呢， c 也不对，是不是啊，那就选什么选 b 啊，直接用排除法把它排除掉，是吧？同样简简单单来看下题。第五题， 从四本不同的书任取两本，那不同的取法数为啊，不同的取法，那四种里面取两本，那就怎么样？ c 四二，任取两本是吧？ c 四二，那就什么四乘三除以二乘一，十二除以二就等于六，所以呢，选 d 有 没有问题？也是简简单单是不是 ok？ 第六题，这道题更简单了，哈哈，这道题送分的是吧？来看一下，要求 f 一， 你看，只要求一个 f， 并不是求两个，只要求一个 f 一 的话，一是吗？一是大于等于零的，属于这一个范围是吧？所以啊，就把一怎么样带到这里面去，是不是就变成一的平方？减一等于减等于零？ a， 选 b， 是 不是 ok？ 答案，选 b。 你 看一下，我记得我发过一个视频，还记不记得，不会的选 b， 你 看一下，偷偷告诉你个秘密，不会的都选 b， 这一个 b 有 多少？ 就第一面六道题，一二三四四个就选 b， 牛不牛逼？我就问你牛不牛逼？好，接下来下一题。下一题的话。哎，我重新录个视频给大家好好讲讲好不好？好到第七题。

同学们好啊，我是最爱你的叶老师。我们来看一下二零六二六年广东省高次高考参加证书的一个考试真题的一个讲解。好，看到选择题，第一题，他告诉你 a 等于一到二， b 等于二三四五，要求的是什么？求的是 a 并 b， a 并 b 并就是所有的， 那所有的就是他所有的元素。好，第二题，他求的是一个 一般式的一个最大值， f s 等于 a， sin omega s 再加一个角，再加上 k， 它的最大值。我们说了，它这公式就等于绝对值， a 加 k， 好， 那这里 a 是 二，它没有 k， 所以 它就是二，加上零， 这其中就等于二。这道题答案就选择 b， 答案就选择 b。 好， 继续往下看。那第二题，他考的是一个向量之间的一个减法，向量间的一个减法，加就是加，减就是减，那他就是三逗，二，减去多少减去二逗一。 好， s 减 s， y 减 y， 那 减完之后变成三减二就变成一，答案就选择 b， 答案就选择 b。 好，继续看。看到第四题，第四题，他求的是一个偶函数，好，那我们知道这个是一个指数，他应该是一个非基非偶。好，这是一个基函数，求的是一个基函数，整体答案应该是一个基函数。 好，那答案选 b。 好， 这里打错了，这是 g 函数。那你继续看 c 选项，这里 s 平方，它是一个偶函数，常数一，它还是一个偶函数，所以偶加偶，它还是等于偶，所以 c 选项，它是一个偶函数，那这是一个对数， 对数，它是一个非极非偶，所以这道题它求的是一个 g 函数，答案就只能选 b， 答案就只能选 b。 好，我们看到第五题，他说从四本书当中任意取出两本，这是一个组合，因为你取出 a 跟 b 或者 b 跟 a， 它是没差别的，它是一个组合，那就是 c。 四取二，那就是二乘以一，四乘以三， 乘完之后就变成六，所以总共的总数就为六种，就为六种。好看，第六题，第六题，他求的是 f 一， f 一， 那就是给谁带谁，他在这个范围里面，所以 f 一 就等于一的平方减一，那他就等于零，所以答案选 b。 答案选 b。 好，继续往下看，看到第七题，第七题，他求的是一个负数的一个什么魔，求的是一个魔，魔就等于根号下 a 方加 b 方， a 方是多少啊？ a 方是三， b 方是四，所以就变成五，所以答案选 c。 答案选 c， 好，这一个步数这个概念，他是二五年有考，二零二五年开始考，今年二零二六年也考，那二七年是不是继续考这个就会还不可知道，好，那今年第八题出现了一个互测，好，互测。很多同学看到之后，他就一脸懵， 那这个互测什么意思呢？呃，就是说这两个事件，他们是有他就没有他，有他就没有他，那他们两个加起来又不等于一，如果加起来两个，他就是说， 呃，怎么说呢？就，就互斥，他们就是有他就没有他啊，就互相排斥。那现在求的是什么？ a 并 b， a 并 b， p 就是 a 并 b， a 并 b， 就是 把他们两个都合起来用乘法，用加法就是零点二加三，零点六，好，那他就等于多少，等于零点八，所以答案选 d， 答案选 d， 给你画个图，好，这一个是 a， 那 这个是 b， 其实 b 可以 这么多，也可以只有这一部分，因为他们加起来，他不一定要等于一。好， a 跟 b 他 不一定要等于一，他还可能中间存在一个 c， 还可能存在一个 c。 好， 所以这个就是互测，那要求他们并结，那就是把这两个相加加起来等于多少啊？就等于零点八，所以答案就选择 d， 答案就选择 d， 好，继续。第九题考的是一个穿起线的一个渐近线方程，好，渐近线方程 y 等于正负，好，这，这里是 b， 除以 a， s 好， 那 b 是 多少啊？ b 是 v 的 平方等于十六，所以 b 就 等于多少。 b 就 等于四，那 a 方等于多少？ a 方等于四，那 a 就 等于二，所以它就等于四， b 方等于十六， a 方等于四，所以它变成正负四，除以二就等于正负二。 s， 好， 这里没有平方啊，这里没有平方，这里打多了啊，这都是手整理的四件套，这里的平方没有的好，没有平方的，没有平方的，所以他答案就选择 c， 答案就选择 c， 答案就选择 c。 ok， 那 我们继续下道题，好，他说第十题有一组数据，六七七 s， 十十、十六，他的一个算数平均数为九，好，平均数就是为九，你就这么理解，那就是六加七加 七，再加 s， 再加十，再加十，再加十，六，数一下多少个数， 一二三四五六七七个数，那就除以七，它就等于九。最终我们可以把 s 给取出来， s 算出来，它等于七，它等于七。那什么叫种数？好，这里是变成七了。 什么叫种数？就是出现的最多的这个数，我们把它叫做种数，那只有七次，出现三次，所以种数就是七，答案就选择 b， 答案就选择 b。 好， 继续， 好。第十一题，他也是一个随机变量的一个服从正态分布这样的一个特点。好，他是一个随机变量，那他服从正态分布，那好，正态分布我们就得读懂正态分布。好，正态分布这一个怎么来理解呢？好，正态分布，那这一个东西，我们把这一个东西 叫做缪，叫做缪。好，第一个它其实它就是这样的一个，它就是这样子的一个图形。好，那它就是这一个。呃，缪跟希格玛的平方。好，希格玛的一个平方，那这个缪表示什么意思？ 好，这个 mu 表示什么意思呢？这个东西读 ksi， ksi。 好， 好，那这一个就是 mu 跟希格玛的一个平方，那这个 mu 表示的就是一个对称轴，对称轴，对称轴，那这个对称轴是多少？这个对称轴在这里，它就是对称轴，就是零， 它就是表示一个对称轴，它就表示一个对称轴。好，也叫一个我们的一个期待值，我们期待它长在哪里？那好，它画出来的这个图形，它就是。好，这条对称轴它是多少？它就是零。好，我先这样子画一下。 好，我们的一个期待值就是零。好，这个命在这里，他就是零，所以这里就是零。然后这一个正态分布，他就是像一个钟一样，像一个波一样，好像一个波一样，他就这样的一个图形。 好，他就变成这样一个图形。那他现在你看一下，他这里说的是可赛要大于零，可赛大于零就是这一部分大于零的这一份， 因为整理它是一，那大一点的部分，它就占了它右边这一个部分，所以它占了多少？就占了二分之一，就占了二分之一。好，那这一个叫做标准差。好，标准差这个是一，是标准差，当然我们可以读不懂，那我们要读懂的是什么？这道题读懂就是它对称轴就是多少， 对称轴就是零，对称轴就是零。那我现在大于零的这个范围。好，左个左右就以零为分间分成左右，那我右手边是二分之一，左手边也是二分之一，所以答案照题就选择 c， 答案就选择 c。 来看一下第十二题，十二题，他说 a 的 平方大于 a， 那 他是一元二次不等式，那就是 a 的 平方减 a 大 于零，提个 a 出来，那就是 大于零，所以得到 a 等于零， a 等于一大一取两边，那就是负无穷到零并上一到正无穷，而后面这个是一到正无穷， 所以前面取值范围比较大，后面取值范围比较小，那它就是必要负充分条件，必要负充分条件。好，继续往下看。第十三题， 他说这个圆跟这条直线干嘛相切？那我们相切就要知道 d 等于 r 了， 圆心我们知道了，那这道题差的就是什么？差的就是我们的一个半径， r 了，那圆心到直线的距离，我们就可以求点到线的距离带进去计算，那就是三乘以一，再加上四乘以二，再减去一 的绝对值，除以根号下三的平方加四的平方。乘完之后，我们就知道 d 等于多少啊， d 就 等于二，因为上面是十，十除以五就等于二， 所以 d 等于 r 了，所以 r 了，也就是等于二。那这一个圆的方程就等于 s 减 a 的 平方，加上 y 减 b 的 平方，等于 r 的 平方。好，那 a 就是 这个一， b 就是 这个二，那好，它变成 s 减一的平方，加上 y 减二的平方，它等于四。 r 的 平方，这里是 r 的 平方，那它应该等于四。 好，这道题答案就选择什么，答案就选择 d， 答案就选择 d。 好， 继续看第十四题。第十四题他说一个数量满足这样的一个格式， 那其实这个格式给你，就是让你干嘛的，就是让你带带带带带带。好，那他这里给到 a 十，那给到 s， 他 肯定就是有规律，因为考试他不会让你算太多。但没关系，我们首先要知道，当这里因为是 n 减一，当这里是一的时候，这里就要加一，就是 这里是 a 一， 这里是 a 二，这里是 a 二，这就是 a 三，这里是 a 四，这就是 a 五。好，它就不断的这样的变化，所以我们先把 a 二求出来。 a 二就等于一减去 a 一 分之一，那等于多少？一减去五分之一，那等于五分之四，它等于五分之四。 那 a 三呢？ a 三就等于多少？一减去 a 分 之二分之一，那就是一减去五分之四分之一。减去一个数，除一个数导数，那就是一减去多少？ 四分之五。那卷轴变成负的四分之一，就变成负的四分之一，那 a 四呢？ a 四就等于多少？ a 四就等于一减去 a 三分之一，那就一减去负的四分之一分之一。负负得正，所以它就是一加上四，除一个数乘一个数倒数，它等于五 a。 同学们，你发现没？这里，你看，他又回到这里是五了，他回到这里是五了，所以 a 四又回到五了，那 a 五就会回到多少， a 五就会回到 a 二，所以 a 五就在这里，这个就是 a 六，这个就是 a 七，那这个就是 a 八，这个就是 a 九，这个就是 a 十，所以 a 十最终算出来，它这个数字应该等于多少，它就应该等于五，所以答案就选择 c， 答案就选择 c。 好，继续看第十五题。第十五题，它告诉你它是一个什么函数？偶函数？偶函数，并且零到正无穷，它是一个真函数，那这种题我们画图是最容易来解决的。 好，它告诉你零到正无穷，它是一个什么函数？零到正无穷，它是一个真函数。好，那这边对应的它是偶函数，那这边就是负无穷到零，它就是一个减函数， 因为偶函数是关于 y 轴对称的。好，那继续。他告诉你 f 一 等于零。好，那这个 f n 减一大于零，那这个零可以写成什么？零就可以写成 f 一， 那就是 f n 减一，它要小于一，那好，那 f 一 它等于零， 我们就可以标这个点为一，那这个点对应的应该就是负一，对应的这个点就是负一，那这个 n 减一，就是它整体的数值要比一小，就比这个零小，那就它的 y 就 只能取下面这个部分，它的 y 取下面这一个部分，它对应的 s 就是 这一个范围。啊， 对应的 s 就是 这个范围，所以 s 就是 多少，所以我们就可以得到 n 减一小于一，小于多少？负一小于负一，所以你看，我们就可以把同时干嘛再加上一，那就变成零小于 m 小 于二。好，这个 n 就是 这个范围，就是零根 零到二之间，所以答案就选择 a， 答案就选择 a。 好， 继续看第十六题。第十六题第十六题，它告诉我们这一个还是比较简单，一个指数的一个基本音算跟一个对数基本音算 a 五的平方，五五二十五 log 四，那就变成看成是 log 二二的平方。我们要知道有个公式， log a a 方 a a 的 n 次方，它就等于 n， 那 它答案就应该等于二，它等 n 就 应该等于二。 选道题就等于二十五。减二，答案应该是等于二十三。二十三， 好。第十七题十七题它还是给的比较简单，它过这个点，并且 a 大 于零， a 大 于零。好，那这一个 这个顶点，那我就是 b b， 它就只能是二，那它就只能是零。逗二，因为这里给的是三逗零，所以 a 就 等于多少啊？ a 就 等于三，或者给点你带点，你带进去也知道 a 等于三，这个 b 它是等于二的。 好，继续往下看。好，第十八题告诉你，向量 a 跟向量 b 平行，那就是内积 等于外积，那就是二乘以二会等于一乘以 s， 那 二乘以二会等于一乘以 s， 那 就变成 s 等于多少？ s 等于四， s 就 等于四。好，选这道题，答案就是等于四，答案就是等于四。好，接下来看第十道题，他告诉你他是一个什么数列等比数列。 a 四等于十六， q 等于二，那 a 一 就等于多少？ a 一 a 四就等于 a 一 乘以 q 的 三次方，那看一下，你看 a 一 就等于 十六， a 四等于十六， a 一 q 的 三次方，那就是二的三次方，所以就最终算出来就等于十六除以八就等于 a 一， 所以最终得到它等于多少？等于二，所以 a 一 就是等于二， a 一 就等于二。 好，到了二十题的二十题。这道题很多人考完试做老师道题没怎么做过，不大会。那企业出现这种有夹的，你就要想到的就是干嘛把它给平方？好，把它平方。平方完之后变成多少 cosine alpha 加上 cosine beta 的 平方，它就会等于十六分之九。就等于十六分之九。那这一个 sine alpha 的 平方加上 sine beta 的 平方，这样做它会等于多少？它就会等于十六， 它就会等于四分之一。好，那两个进行相加就变成多少。好，这个口三的平方把它展开，那就变成口三。阿法的平方。加上什么？再加上 cosine beta 的 平方，再加上二倍 cosine alpha， 乘以 cosine beta 等于十六分之九，对吧？等于十六分之九。那这个我先先把它给展开就行了。 那这边这一个也把它展开。展开完之后会变成多少？展开完之后变成 cosine alpha 平方，加上 cosine beta 的 平方，再加上多少？二倍的是什么？ 加上二倍的 sine alpha 乘以 sine beta， 它又等于四分之一，这个是十六分之九。好，那这一个 这个加上这个，那变成多少？那变成 sine alpha 平方。加 cosine alpha 平方， 这一个跟这个就加了好，加完之后再加上什么？再加上 sine 平方，再加 cosine sine 平方，这一个跟这个就加了。加完之后 再加上多少？再加上二倍的 sine alpha sine beta， 再加上多少 cosine alpha， cosine beta， 对 吧？那我们当然可以把 cosine 写在前面， 因为等一下用到的是一个两角和差公式， cosine alpha 再加上 sign alpha， sign beta。 好， 你看他跟他相加得到这一个，他跟他相加得到这一个， 他跟他相加得到这一个。那这两个又要干嘛？四，四分之一就是十六分之四，那他就变成十六分之九，加十六分之四就等于十六分之十三。好，同学们看一下，这个等于一，这个等于一， 那这个变成多少？它变成二，加上二倍 cosine 的 阿法减去比特，它等于十六分之十三， 这等于十六分之十三。好，你看一下，那这里减得过来，那就变成 cosine 阿法减比特，它就等于多少啊？它就变成 good， 三十二分之十九。好，自己回去算一下就可以了。选答案就是等于 good， 三十二分之十九。好，这就是二零二五年真题当中的选填题、选择题跟填空题。 好，除了两道新题，其实整体的难度是比较低的，都比较低的。好，这节课先讲解到这里，再见。

来我们进去看啊真题卷第七题这道题啊，我记得我在呃考试前十几天讲过复数的时候发过的，是不是啊，哎，如果说大家有看这道题五分就有了，是不是啊？来， 已知 z 等于三加四， a 要求 z 的 模，是不是很明显啊，它会等于什么？根号下 a 方加 b 方就是什么，就是会等于三的平方加四的平方自然就等于五啊，是不是啊所以呢选 c， 嗯，哈哈，简简单单又一题是不是 ok 第 八级啊，互斥事件很多东西说。哎，这个我好像第一次听是吧，互斥的话就是两个事件，它是相反事件，是不是我举个例子，假设 a 等于。呃，我举举个集合的例子好不好， a 等于一二， b 等于什么东西啊？三四啊，三四五是不是好，这两个集合没有任何交集对不对啊？没有任何交集也就说事件 a 与事件 b 它是没有任何交集的啊， 它是两个完全不同的个体是吧。要求 a 并 b 啊， a 并 b 的 话就是要求这两个事件的和，是不是就好像这两个集合你要求 a 并 b 一 样， a 并 b 的 话是把所有的写在一起是吧。那在这里面的话也是一样的， pa 等于零点二， pb 等于零点六，那他们的并集啊，就把这两个怎么样相加是吧，加起来零点二加零点六等于零点八是吧， ok， 哈哈，也简单是不是好第九题 第九题的话我们来看一下已知啊，这个双曲线是吧，渐近线是多少呢？你看从这里我们可以发现 a 平方等于四， b 平方等于十六，是不是？所以啊， a 等于几？ a 等于二， b 就 等于四，是不是？渐近线方程就是 y 等于正负， a 分 之 b， x 是 不是正负，那就是正负二分之四， x 是 不是？所以呢？是选 c， y 等于正负，二 x 是 不是？ ok， 也没问题 啊，也没问题，来第十题，有很多同学说考完之后发现这数学很难，我想问难在哪里，是吧？啊？难在哪里？来第十题， 这组数据的平均数是九，要求这组数据的种数是不是？哎，平均数是九的话，你就可以先把什么先把 x 先算出来，是吧？种数是什么意思嘞？种数是出现最多的数，你看在这里面一个什么，一个是七， 一个是十，是不是？那平均数是九，那你就把 x 先算出来是吧？那如果说 s 是 七的话，哎，那总数就是七，如果说 s 是 十的话，那种数就十，是不是？好，那他平均数很明显了。六加七加七加 x 加十加十再加十六，是不是全部加起来除以加， 呃，除以一二三四五六七除以七啊，等于九是吧？七九六十三，是不是？所以呢？这六加七加七加十加十加十六，算出来什么是五十六，五十六加什么等于六十三呢？五十六加七等于六十三，所以 x 算出来它是七，是吧？所以中数呢？就是七啊，直接选 a， ok 不？ 哈哈，简简单单， ok， 来十一题，哎，十一题，这个就什么，你们说的出现了一个蛇的符号，是不是？哎，我们来看一下出现这个蛇啊，出现这个蛇的符号，那怎么做呢？这道题 来看一下啊，来看，若随机变量是一个吧，服从啊，是一个吧，这个图是一个吧，服从正态分布 n 零到一 则 p， 就是 啊，是一个马大于零的这个概率， p 还是它是指概率是吧？好服从正态分布 n 零到一，这什么意思呢？正态分布啊，它标准的正态分布，它的对称性，是吗？是这样的。零，然后呢？这个是六，是不是？然后呢？这个它，它这个怎么写啊？这个方叉啊，平方， 这是代表方差啊。六，然后呢？他为均值啊，他为均值，然后呢？他是关于这条曲线对称，是吧？那我们再看一下，这个时候，你看这道题目里面他是什么？零都赢，是吧？说明了六的一角 面在里，是不是？哎，关于缪对称的话，就是说关于零对称，是不是在一个坐标轴中？关于零对称的话，哎，你可以理解为左右两边，可以理解为上下两边，是不是？所以啊，它小于零的概率，或者是它大于零的概率都是一样的，都是吗？都是二分之一啊，可以怎么理解呢？你看 可以把它理解为，哎，相当于二次函数，是吧？这是零嘛？是不是？然后关于这样对称，那二次函数的话，要么是这样的，然后呢？这边要么是这样的，是不是？所以两个部分，一个部分了， 跟这一个部分他们都是相等的，都是一样读的，所以呢，占了总概率的二分之一，这是二分之一，这也是二分之一，是不是？所以啊，不管他大于零还是小于零，都是吗？都是二分之一。直接选 c 按的时间啊，就这一道题超刚好，不好啊，刚刚讲了这么多题，就这一道题超刚好，其他的都还可以，是不是？ ok， 我 们再看下题。 所以啊，十二题这道题的话我们就讲过很多次，是不是？哎，来看一下要求，这个是什么条件呢？哎，我记得我发视频讲过，是吧？ a 平方减 a 大 于零，是不是？然后呢？提取一个 a a， 然后呢？ a 减一大于零，所以啊，它有两个解，第一个解什么？第一个解是 a 小于零，第二个解呢？或 a 大 于一，是不是？所以这有两个解，这里只有一个解，所以前不能推后，后能推前，后能推前，就是必要不充分条件直接选 c。 啊，你学会了吗？啊，这就是这个。呃，选择题 七到十二题啊，非常简单，是不是？特别是这复数？我刚给你讲完，如果说你看到我的视频拿下五分。

大家好，今天我们来讲一下新鲜出炉的高值高考压轴填空题。这道题是下午刚考的题目，那题干呢，是给了口三阿法加口三英贝塔和三英阿法加三英贝塔的值，而他我们求的是口三英阿法减贝塔的值。 那这个三角函数的两角和差公式在高值高考当中经常是以压轴题的形式出现的，所以这这些公式在考试前也提醒大家一定要去记和去背了。我们先来代一下这个公式，口三阿法乘以口三英贝塔 加上 sine alpha 乘以 sine beta， cosine alpha 减 beta 应该是等于 c、 c、 s、 s 符号，相反，那两个 c 代表的是 cosine， 两个 s 代表的是三。 也就是说，我们现在需要的是 cosine alpha， cosine beta 的 乘积，还有 cosine alpha 和 cosine beta 的 乘积。但是我们已知的条件呢，是它们的核，所以我们为了把核化成积， 我们不妨先将原式平方一下，能够得到三 a 平方加上二倍，三 a 平方乘以三 a 贝塔，再加上三 a 贝塔平方。 同样的，口三 a 加上口三 a 贝塔平方之后呢，它等于口三 a 平方加上二倍口三 a 阿法，口三 a 贝塔再加上口三 a 贝塔平方，那这个呢，是等于十六分之九，这个是等于四分之一。 两个式子写出来之后呢，我们就能够发现，同一个角，正弦的平方和余弦的平方相加等于一，所以三 a r 平方加口三 a r 平方等于一。同里，口三 a b 塔平方加上口三 a b 塔平方也会等于一，所以我们可以考虑将两个式子相加，相加完之后呢，我们就能够得到二加上二倍 口三引阿法，口三引贝塔，再加上三引阿法，三引贝塔，应该要等于四分之一，加上十六分之九，也就是十六分之四，加上十六分之九，所以应该是等于十六分之十三。我们把这个二移过来，就能够得到二倍口三引阿法口三引贝塔， 加上三个 alpha， 三个 beta， 应该是等于十六分之十三。减去二，也就等于十六分之十三，减去十六分之三十二，等于负的十六分之十九。那我们两边同时除以二，就能够得到我们要的这个公式，它应该呢是等于 负的十六分之十九，除以二没办法除，我们就乘以二分之一，等于负的三十二分之十九。所以这道题的答案呢，应该呢是等于负的三十二分之十九。

二零二六广东省高中高考真题讲解大全集他来了，那么刚考完这套卷子，同学，大家觉得这套卷子他难不难？那有的同学已经私信小张老师说，老师我已经答完这套卷子，我已经准备要进场， 那么我感觉是比较两级分化。还有的同学私信老师，老师这套卷子我觉得轻轻松松，简简单单，那么今年我感觉两级分化比较严重，有的同学说简单，有的同学说特别难，那我们一起来看一看好不好？ 好，第一个题，万年不变的集合问题，取并集，全都要来一二二四五，所以一二四五选 a， 没毛病，来第二题，取最大值三角函数，就取前面这个数，这个数取正的，他本来就是正的，所以就是选二， ok， 没毛病，来第三个来我的押题， 减相减来三减二等于一，来二减一也等于一，都是一，所以选的啥？所以选二 b 来第四题，还是看我的押金，我押的就是一个奇函数，奇函数是啥？谁是奇函数来，直接他就是奇函数，选二 b， 剩下要不就是偶函数，要不就是非奇非偶。 ok， 第五题来，还是看我这个押题。大家看这个取班干部学当这个副组长的事，是不是跟这个取，从四本书里取两本书 是不是一样的？是不都是取啊，从一个东西里拿出来，而且我不排顺序，是不是因为当班长也没有正副班长是不需要顺序的，这取书呢，也是不需要顺序的，所以我们用排列数还是组合数来，必须用组合数， 一定要用 c 来。 c 二四等于啥？ c 二四等于四乘三除以二乘一来一，约 上面二乘三等于六，所以选择 c 没问题，这就是前五道。来继续看这个第六题，说 f 一 等于多少来代入那个属于一的一是大于等于零的代入，这里来一的平方减一呢，就是零，选二 b 没有难度。 第七个，这是个负数，负数求模怎么去求？来开根号里面第一个数的平方来九，加上第二个数的平方是十六，所以等于根号二十五，根号二十五就是五，所以选 c 也没难度。简简单单来第八题，忽视，啥叫忽视啊？ 他 a 并 b， 然后他俩的什么呀？他俩的可能性就是直接他俩相加来，因为他俩互试啊，所以零点二今是零点六啊，这是零点六，零点二加零点六，那就是多少，那就是零点八，所以选 c d 也没问题。 来这个第九题。第九题在考前我之前我就发了个视频，我说教大家双曲线求渐近线方程。那个丢盔卸甲法还记得吗？ 丢盔卸甲法什么意思？来把它还原成戴帽子的东西来，这个四就是二的平方，然后减去 y 方，然后这个十六呢，就是四的平方，然后等于一来跟我一起丢盔卸甲。什么叫盔？就是他所有的帽子就是盔甲，就后面这个一 把它全去掉，也就变成了，剩什么呢？来二分之 x， 减去四分之 y 等于零，就剩它了，然后平移位置，也就是二分之 x 等于一个四分之 y， 然后再加一个正负号就行了。 加个正号，两面同时乘以四，同时乘以四，就正负二 x 等于 y， 那 你说选择什么呀？来 y 的 正负二 x 直接选择 c， 这就是我们丢愧泄假法，我的系统课讲的非常详细，你今天你学会了，你这考试就不到一分钟做出来了是吧？来第十个题， 求他的算数平均数是多少？问这种数的重是多少，怎么去算？大家看 算数平均数就是所有数加起来除以这些数有多少个？看查一下多少个。来一个、两个、三个、四个、五个、六个、七个，对不对？所有数加起来除以七来六加七加七加 x 加十加十加十六除以一个七等于一个，最后平均数是九 啊。然后大家去算一下，最后这个 x 左边的全加起来来，六加七加七加 x 加上二十，是十加十得二十加上一个十六等于七九六十三。 大家简简单单一算来，两边一剪，直接一算 x 就 得七， x 如果算出来得七，那你说什么叫中数？中数就是那个最多的数，所以说三个数，那就选啥呀，那就是七了，所以选 a， 这也没难度。然后大家看这个来，这个符号不会 有的同学老师没复习到这呢，教大家，你不用说这个符号怎么读，你说可赛一不虚了，无所谓 符号怎么读，无所谓。重点你得会画图，他说这个正在分布，这是零一，所以这个图，这个图怎么画？这零一是不得这么画呀，那你大于零的是不是占一半啊？这个山峰，所以是二分之一 选 c 来继续我们的十二题，十二题说他是他的什么条件？大家看你这个条件能推 a 大 于一吗？你首先你把这个 a 方和 a 移到一边，也就是 a 方减 a 大 于零，所以提一个 a， a a 减一大于零，这明显他不可能是指 a 大 于一啊， 对不对？这是不是 a 大 于去两边， a 大 于零， a 小 于零或 a 大 于一啊？所以说他不能推他，那他他不能推他右边能不能推左边，右边能推左边，所以这是什么呀？这是不充分，但必要，所以说必要不充分。选择 c 来十三， 以他为圆心与他相切的圆的方程。大家先看清楚圆心是谁，圆心是一到二。好，这不行，这不行，他是一到二，他也是一到二。再看，如果跟他相切，这个是什么不一样呢？是半径不一样， 所以我算一下这个圆心到这个直线的距离是多少是多少，半径就是应该是多少。好，怎么去算来？ d 等于 根号下来这个数的平方，加这个数的平方一共等于二十五，然后把一到二带入这里面来。三，加上这个二乘四的八，再减一个，一加一个绝对值，底下是五，上面是 一，算就是十，也就是哎， d 等于二，那 d 要等于二，我 r 是 不应该也等于二，但是我这个右边这个位置，切记，我是 r 方，所以 r 方应该等于四。所以选择 a 这个题不要做错了 啊，做错了也没办法来重点十四题，十四题是一个有点难的题，他考了一个竖列啊，这个东西是有规律，大家看 a 一 等于五， a n 等于这个东西， 那有的同学就有点发蒙，老师这是啥题啊？这到底是等差竖列还是等比竖列啊？跟大家说这个都不是，这是一个有循环性的一个竖列，怎么去发现它的规律？往里带来 a 一 等于五，来，咱们看下 a 二等于多少？ a 二往里带， a 二等于一减去， a 一 来一减去， a 一 是五，也就是五分之四。来， a 三等于多少？ a 三把 把三代数进去，这是 a 二，也就是一减去，来，它的倒数是四分之五，一减就是负的四分之一。好， a 四是多少？ a 四等于一减去，这底下是 a 三，也就是一减去。呃， 负的四分之一，也就是一加上一个四，一加四还是五，到这你发现了三个一循环，来， a 一 等于五， a 二等于五分之四， a 三等于负的四分之一，从四开始又是五了，三个一循环，那你说 a 十等于多少啊？来， a 十是 一二三循环，来，一二三循环，一二三循环，又多出来一个第十个，这第十个是不又是第一二三循环中第一个，所以还是第一个数，还是五选择 c 没问题 啊。这个题有点小难，有些同学败在这了。来，继续十五题，十五题。来，偶函数增函数画图。这我在我系统课，我说很多啊，今今年今年看我系统课的同学这一题肯定是会的，因为我我讲来 直接画图，怎么去画呀？首先偶函数关于 s 轴对称啊，这是关于 y 轴对称， 关于 y 轴对称，他说零到正无穷是增函数，且 f 一 等于零，那 f 一 假设在这个位置是增函数，我就往上画呗，我就往上画呀。又因为是偶函数，是不关于 y 轴对称，是不应该这样啊。 那你说这个东西 f m 减一小于零，是不得在 x 轴的下方啊，也就是我是不得在这个位置啊， 那这个位置是一，这个位置是负一，所以我这个 m 减一是不得介于负一和一之间呀，那我这样我不就知道 m 的 范围了吗？来，同时加一， m 也就大于零，小于二来大于零，选二，直接选 a， 这就是我们所有的选择题。然后来到我们这个填空题来，第一题很简单，就是算数来五的平方，所以是二来二十五减二等于二十三，正确， 把他带入进去，就求 a 这个参数了，把他直接带入进去，因为这个点在他上来带入进去。九除以 a 方，加上一个零，除以一个四等于一，这个位置是零，所以九就等于 a 方，那 a 等于正负三，又因为 a 是 大于零的，所以 a 等于正三， a 等于三，没问题。 来第十八题，我在系统课，我怎么讲的？我说两个向量是平行的， 来，直接用什么方法？直接用里应外合。怎么里应外合？这个位置乘这个位置，这叫里来二乘二等于外和，这是外，这是外面，因为他俩在外面，一乘 x 等于 x， 所以 x 等于四。 就这么简单来。第十九题，这是个等比数列， q 是 等于二的 a 四等于多少？ a 一 乘以 q 的 三次方 等于一个十六。好， a 一 咱不知道，写在这， q 是 等于二的，所以二的三次方等于十六。来八倍的 a 一 等于十六，那 a 一 等于多少？ a 一 是不等二啊。填空题没有难度啊。这个第二十题算是有一丢丢难度，但这个题我其实也讲过 来，我们把这个擦了，看一下第二十题，好，二十题你会发现我们，我们先观察我们想求什么东西。 cosine r 减贝特对不对？先把这个东西展开来。 cosine r 减贝特，它等于考考加塞塞，因为我说了它比较叛逆，对不对？扣里面是加在外面，就是减来 cosine r 加一个 cosine r 塞比特。 但是你看我们题干中有没有考乘考加上赛乘赛呢？哎，没有啊，没有怎么办？没有你就创造出来。怎么创造？ 你发现没有？你把它平方之后能创造出来？考三 r 八乘考三倍的来这个第一个式子，这是第一个式子，你把它平方之后来是不是变成来考三 r 八？平方加上考三倍的平方，加上二倍的？考三 r 八乘以考三倍，它 就等于是不？哎，十六分之九啊。来第二个式子，我也同样，平方等于来 sine r 方加上 sine beta 方，加上二倍的 sine r 乘以 sine beta 等于一个四分之一。来一式二式。你发现没有？ 它加它等于一，它三角号加三角号等于一。来，上式和下式我相加起来， 那就是二喽。来，他俩将加起来。大家发现没有？这不就是我们想求的二倍吗？因为我们想 cosine alpha， cosine 它加上 cosine alpha 加乘以三倍的，对不对？所以相当于二倍的所求所求，我就设为 x 就 行了。 等于多少呢？来这个位置加这个位置，这四分之一是四十六分之四，所以加起来是十六分之十三。 那所以二 x 等于多少？挪到右边来，十六分之十三，减去一个十六分之三十二，因为二就是十六分之三。十二。好，二 x， 我 讲的很细啊。负的来，它减它等于多少？ 它减它等于一个十九，那 x 等于多少？负的三十二分之十九。这个题有很多同学可能会倒在这里，为什么倒在这里？因为你可能计算问题啊，失误了，所以答案就是负的 三十二分之十九。然后我们看一下这个大体部分，看他怎么考的，难不难。第一个，三角函数解三角形，解三角形不是用什么公式，不是用正弦定理，就是用余弦定理，直接带就行了。来，第一个求三 b， 你 看给了 b， 边给了 c， 边给了 c 角，又问你三 b 的 值，直接用正弦定理 冒号来， b 比上三 b 等于一个 c 比上三 c， 直接用这个公式把我们知道的东西带回去来， b 是 二倍，根号三，三 b 不知道写在这， c 是 多少， c 是 四来三， c 是 三六十度。好，我们再转化一下，二倍根号三除以一个三， b 等于一个四，三六十度等于多少？三六十度是二分之二三。所以三 b 来 把这个东西乘到右边来，把这个东西乘到左边去，也就是等于二倍根号三，乘以它的倒数二分之根号三，底下除以一个四来二跟二一约，上面是一个啥？上面是一个三，等于四分之三。第一问，四分之三来拿倒 难吗？这块就是一个简单的一个正弦定律和一个计算来。第二个，这个东西大家得去画图啊，教大家去画图，他怎么说的？他说 d 是 bc 上的边，我们先简单画一画， 大家不用去画的特别精确，你画个大概就行，因为这个东西不是我们画在我们的答题卡上的，我们算在我的草稿纸上来。第二问， d 是 bc 上的边，我先画这个图， a b， c， d 是 bc 上的边，然后人说了， c， d 等于根号三啊。假设 c d 等于根号三，然后呢？求 ad 的 长来，我们把它连上线， 我们把我们知道的函数代入进去。来， b 是 二倍根号三， b 是 谁？ b 是 就 a， c 啊，这是二倍根号三，对不对？来， dc 是 根号三，然后呢？ c 是 六十度，大家看着没？这是六十度。我知道一个夹边， 两个边夹着一个角，也就是夹边和角。我用什么呀？我 b 用余弦顶里啊，这我在课上完全讲过了，对不对？ b 用余弦顶来，直接用余弦顶里，由 余弦定里得来。用谁的呢？用 ad 来， ad 的 平方等于 ac 方，加上一个 dc 方，减去二倍的 ac 乘以 dc， 再乘以 cosine 六十度。 好，那 ad 的 平方我不知道来，继续写， ac 方是多少来，它的平方等于一个三，减去二倍的 ac 二倍根号三， dc 是 根号三。来， cos， 六十度是二分之一。来，二分之一跟二，一约，他跟他一乘，这是六。所以说来，十二加一个三，减一个六， 也就是 a、 d 的 平方等于一个九， a d 的 平方等于九，谁的平方等于九，而且 a、 d 是 正数，所以 a、 d 等于三就完了。这就是我们 r、 e、 t 也不难 按下这个二十二题，这是一个函数类型的问题。第一个非常简单的疑问，白给分来，他说我们求 a 的 值，他不是说这个图像过这个点吗？来，我们可以把这个点带入进去。来， 把一到二带入 f x 中，也就是 f 一 等于一个三的一次方，减去 a 乘以一等于几，等于二，也就是三减 a 等于二。来， a 是 不等于一啊， a 是 不等于一啊？来，第二问，第二问，说 g x 等于它，求它的解集。来，第二问的话，你先把它写出来呀， f x 和 g x 写出来， f x 第一问，我知道了，来三的 x 方减一个 x， 因为 a 是 一， 也就大于这个 g x， 人家告诉我们了，来，负 x 加九，两边都有负 x， 能不能约要约要了，也就是三的 x 方大于九，三的 x 方，九是多少？九是不是三的二次方啊？ 那所以直接 x 大 于二不就完了吗？所以解集就是它，然后最好人家问我们那是解集，所以我们答案最好是，哎，我们写个集合 啊，这样是最好的啊，但是你这么写，一般老师不会判错啊。这是我们二十二题。来看这个二十三题，我一看这二十三题，这不是我考前发的视频吗？大家看这个东，你一看到他这是什么呀？这不就错位相减吗？来看 几乎，这我一个是二，一个是三，这个数有啥区别？没有任何的区别，学会方法一样去做，对不对？来，你看这个题，来第一个 求同向公式，看有没有难度。来 a 一 告诉我们，我们是不直接把这个等差数列的 d 求出来，是不就行了呀？哎。 a 一 等于一来， a 二加 a 四等于一个六， a 一 等于 a， 一 加 d， a 二等于 a， 一 加 d， a 四等于 a， 一 加三， d 来等于一个六，也就是二倍， a 一 加四， d 等于一个六。 好，那 a 一 是等于一的，所以说二加上四， d 等于六，你一算 d 等于一。来，第一问直接结束，所以通向公式， a， n 等于 a， 一 加上一个 n， 减一倍的 d 一 代入进去，这是一加上一个 n， 减一乘以一个一，就等于 n。 ok 了， ok 了， 第一问结束。来第二问， b， n 等于二， n， 然后乘以什么呢？ a n 是 不是 n 呢？来，这就是经典的什么呢？这不就是经典的错位相减吗？ 口弦直接压中了，我太太高兴了，今年运气特别好，今年一共压中了六道题啊，二十、二十三题来，怎么去做？ sn 就 叫等差数的前移项和，是不是啊？ sn 是 前移项和，来，我们直接把它写出来， 也就是一乘以二的一次方，加上一个二乘以二的二次方，加上三乘以二的三次方来。继续往下写，我最后的是什么呀？ 最后我再写最后的两项，也就是 n 减一乘以二的 n 减一次方，加上一个 n 倍的二的 n 次方来 二的 n 次方。好，那我们写完这个 s n， 我 们还需要写什么呢？错位相减，我之前说了，我说两边同时乘以什么呀？ 同时乘以这个公比，谁是公比？看着没？这个二就是所谓那个公比，所以同时乘以二二， s n 等于。那乘以二之后就变成啥了呢？ 我同时乘以二，这上面是不是一乘以二的二次方了？因为同时乘以二加上一个二乘以二的是不三次方，加三乘以二的是不四次方，加点点点， 那他就变成什么呢？是吧？ n 减一乘以二的 n 次方，那他变成什么了呢？那他就变成，哎， n 倍的二的 n 加一次方 啊，就形成形成了这两个式子，这两个式子我们用错位相减，我们用第一个式子减去第二个式子，这是第一个式子，这是第二个式子。一式减二式等于什么呢？哎，错位相减是这样减的 啊，这样减错着减来等于。左边是 s n 减二， s n 是 负的 s n。 来，我们看右边这个东西是不是剩下来了？我们把它写上来二的一次方， 它减它是多少？二倍的二的二次方，减它是一倍的二的一次二的二次方，加上二的二次方，它同理是不是一减也是二的三次方？来加点点点。来，我们看最后一个加啥？ 我们最后来，来来来，是不是他是最后一项，他是不是应该加到二的 n 次方啊？然后这样一错开，是不是还得减一个？它减 n 倍的二的 n 加一次方。 好，所以负的 s n。 我 先整理一下右边来这个东西是不是一个等比，竖列的前项和来首项是二，公比也是二，也就是来展开二倍的， 也就是一减 q， 一 q 也是二，来一减二的 n 次方，来减去一个 n 倍的 这个东西啊，也就是 s n 等于什么呢？来把它去上下同时乘以负一，二底下没了，上面是二的 n 次方，减一个一，再减一个 n， 其实大家一一处理就好了。所以说呢，来负的 sn 就 等于二 n 加一次方，减一个二，再减去 n 乘以二的 n 加一来同时乘以负一 sn， 就 等于 这又变成减了啊，这个就变成加了，这个变成加了。然后呢，你可以把它把它俩合并一下，看着没合并一下 n 减一个一倍的二的 n 加一，然后再加一个什么呀？ 啊？再加一个二就够了啊，这有二十三。然后咱们看一下最后一题，很多我的同学一百三十分的都是这个，第二本没做出来，所以答一百三。那我们看一下这个题，确实有点难度来 说，这是一个抛物线，那有很多同学把重点你就放在椭圆上，那你这抛物线就很容易做不出来，知道吧？这是个抛物线呃，所有的圆锥曲线，这个图一定要画出来。我跟大家说，所有的圆锥曲线的题，你一定要去画图来，跟我一起画 好。 y 方等于四 x 来口朝着右边的这个位置是 f 焦点 啊，那你说我们求第一点，求 f 的 坐标，这就太简单了，因为人家给了我们这个四 x， 给了我们抛光线方程啊。那求 f 干嘛呀？来，二 p 是 等于四的，那 p 是 不等于 二啊？那二分之 p 等于几？是不等于一啊？所以 f 坐标直接出来了，因为他就是二分之 p， 所以 这个点的坐标是一斗零，对吗？一斗零，这就做完了呀。那很多同学就第二问，做你第一问是不是简简单单来，第二问说 s 一 比 s 二最小值。我们先搞清楚什么是 s 一 s 二 来读题，他说呀，准线交 x 轴与点 a， 什么叫准线在这边， 准线是在这呢，所以这个 a 呢？我们知道这负一都零好，然后呢，他说 m 是 抛线除顶点之外的任何一个点，那 m 就 只要不是这个 o 点，是不就行了？我随便写一个来，这是 m， 然后他说啊， af amf 的 平分线，那我们先把它连起来来， am 连起来来，换一种颜色笔， am 连起来， amf 连起来， 然后 af 也连起来来，他说 amf 的 角平分线， amf 是 不是大概在这个位置啊？ 对不对？这是角平分线，角平分线重点就在这个角平分线，然后人家说了 m b f m a b 的 分别是 f s 一 比 s 二，所以说 s 一 比上 s 二，我现在知道是谁比谁是 s 一 是 m b f 啊，然后 s 二呢？是 m a b。 那 我看，呃，一共哪两个三角形？ m 这个 b 啊，焦点是 b m a b 和 m b f 啊，这是 s 一， 然后 m a b 这个右边是 s 二啊，阴影部分是 s 一， 那你说，那这两个三角形有什么共同之处呢？有什么共同之处？唯一的共同之处就是 他有个共同的角平分线。来回答我，角平分线上的点是什么？角平分线上的点到角两边的距离是相等的，所以你这个 b 到 am 的 距离与 b 到这个边什么呀？边，这个 m f 这条边，它是距离相等的，是角平分线上的点到角两边的距离是相等的。哎，那你会发现，那这俩 h 是 不是相同啊？ 那这俩 h 要是相同，那我就知道了。来，上面这个 m b f 这个阴影面积等于什么？是不等于二分之一？ 哎，底乘高，我拿 m f 作为底高，我就是那个相同的高，就记为 h， 然后二分之一 m a b 呢？ m a b 也是， 我拿 am 做底，然后还是那个做高，也就是还是 h， 那 我发现我能约掉，我这周是不是都约掉了？所以我就等于 m f 比上一个 am， 所以我只要花心思把 m f 和 am 表达出来就行了。我这个 am， m f 和 am 怎么去表示呢？来，我们注意来看 m f 等于啥？ m f 是 不是？哎， f 是 焦点， m 到 f 的 距离是不等于 m m 到准线的距离啊？那假设我设 x 的 横坐标为 m 的 横坐标为 x， 那 m f 是 不是就等于 x 加一啊，对不对？这个也很难 啊，也很难想起来。其实就 m f 等于 x 加一啊，只要我设 m 的 横坐标为 x 为 x 就 好了啊。所以 m f 我 找到了，那 am 怎么去表示呢？ am 怎么去表示？怎么去找来 am am 我 可不可以用两点之间距离公式？这，这是 x， 纵坐标是 y 来， 怎么去？根号下来横坐标相减， x 加一的平方加上一个纵坐标的差值，纵坐标就是 y 方。 好，然后呢？继续写，这个位置是 x 方加二， x 加一，那 y 方等于多少？来？看好了， y 方等于多少？ y 方题上有 y 方等于四 x， 所以 一加四， x 等于来，根号下 x 方加一个六， x 是 不是加一来验证一下对不对？ y 方等于六， x 方加六， x 加一没问题，所以说我现在我就能表达出来了。 所以 s 一 比上 s 二等于来 m f 在 哪呢？在这呢？也就是 x 加一来比上一个根号下 x 方加六， x 加一 来。换元法来了，要用换元法来令 t 等于 x 加一，但是你会发现 x 的 范围是多少？因为 x 范围是我在 y 轴右侧的，所以 x 肯定是大于零的。那我这个 t 是 s 加一，所以 t 的 范围呢？ t 就是 大于一的， t 是 大于一的，所以 s 一 比上 s 二就等于 t， 那 那 t 是 等于 s 加一，那 x 呢？ x 中 t 减一啊， 所以底下也可以代入，也就是 t 减一来的平方加上一个六倍的 t 减一，加一个一来。我们简单化简一下，化简 底下化解来， t 方减二， t 加一个一加六， t 减六，再加一个一来，等于 t 方加四 t， 然后减一个四。那到这呢？有可能。同学老师，那到这我发现分子分母还是两个变量怎么办？再换 再换。但换之前你先控制变量，因为分子分母都有变量，你先同时除以 t 来， 上下同时除以 t 之后来 s 一 比上 s 二，就等于上面没了，是一，那下面是谁呢？下面你根号里面是不是就除以 t 方了？来，所以一加上一个四除以 t 减去一个四除以 t 方， 那到这有的同学会发现，隐约感觉这个是基本不等式，是不是？但是你要把它化成我们熟悉的啊。其实我们这个东西不用基本不等式，他只是比较像我们用我们的函数方法来，我们再还原。令 m 等于 t 分 之一，那我 t 分 之，那我 t 是 大于一的 t 分 之一，是不是？就，哎，这怎么样啊？是不得 m 就 大于零小于一啊？ 因为它是大于一的，它分之一是不是大于零小于一啊？所以 s 一 比上一个 s 二，就等于来根号下 一加上四 m 减四 m 的 平方来继续把它换一个位置，减四 m 方加四 m 加一个一。 我的天，这个东西不是一个二次函数吗？二次函数这个图怎么画？开口方向朝下的。什么时候取得最大值？在对称轴负二 a 分 之 b 处取得最大值，那他分母如果取得最大值，分子不就取得最小值了吗？ 对不对？是不？我，我们想求的是最小值，所以来令 m 等于负二， a 分 之 b 来负二， a 就是 正的八分之 b 是 四等于二分之一来一带入进去 s 一 比上一个 s 二就等于 根号下来把二分之一带进去，这是负一，然后加一个 二，再加一个一，一约也就是一除以根号二，一除以根号二。答案，二分之根号二。这个题确实难，你做不出来呢。情非常情有可原啊，所以这个题答案是这个，那我们就讲解完毕。

是博企执教的数学老师杨老师，今天我们来看一下二零二六年高质高考的真题。第二十一题，已知三角形 a、 b、 c 当中内角大 a、 大 b、 小 大 c 的 所对的边为小 a 小 b、 小 c。 已知两个条件， b 跟 c 这两条边，并且跟你说角 c 等于六十度。第一问求的是三 b， 这里求的是三 b。 首先我们要想到的是什么呢？由正弦定你的， 先把公式写下来。由正弦定的 b 除以三以 b， 它就等于 c。 除以三以 c 嘛，对不对？先把这个公式写出来，可能会得一分到两分了，接下来代数进去。所以说两倍根号三除以三以 b， 它就要等于四。除以三以六十度，这个代数进来也是有分的，同学们不要忽略到。接下来怎么求三以 b 呢？我们这里就用交叉相乘来做。 交叉相乘怎么做？四倍的三引 b， 他 就要等于二倍，根号三乘上三引六十度，也就是二分之根号三，那么四倍的三引 b 这里他就等于三，所以说三引 b 这里除以一个四出来，就等于四分之三了。第一问我们基本上就做完了，这里第一问做出来能得六分。接下来到第二问， 设点 d 为 bc 上面一点，并且跟你说 c， d 等于根号三，让你求 a、 d 这里啊，我们这个这道题，他跟二零二三年的真题是很像的。我们先来画一个图，三角形 a、 b、 c 是 题干给我的信息。小 b 等于二倍根号三，也就是 a c 等于二倍根号三，小 c 等于四，也就是 ab 等于四，并且 c 这个角度等于六十度，对吧？点 d 了，为 bc 上面一点，那此时 cd 等于根号差，说明了这小的像老师画书的这条线，它等于根号差。接下来求 a、 d， 那 我们就要把 a、 d 连接起来，此时我们要在哪个三角形里面做呢？ 要在这一个小的三角形 a、 c、 d 里面用一个余弦定你写。所以说接下来我们就要写着说，在三角形 a、 c、 d 当中，接下来就要被余弦定你的勾上，由余弦定你的 a、 d 的 平方，它就要等于 a、 c 的 平方，加上 c、 d 的 平方，减去二倍的 a、 c 乘上 c、 d， 不要忘记还要乘以一个 cosine 了，就写上面去。那么接下来 余弦定你这条公式写出来了，估计会得一分到两分。接下来代数进去， a、 d 的 平方，它就等于 a、 c 的 平方，它等于二倍。根号三的平方，加上 c、 d 的 平方，根号三的平方减去二倍的 a、 c 乘上 c、 d， 再乘上 cosine， c， 也就是 cosine 六十度嘛，对吧？这个代数的过程不要忘记了，那么 a、 d 的 平方，它就等于十二，加三，再减去后面 二，乘上二倍根号三，再乘上根号三，还要乘上 cosine 六十度，等于二分之一嘛。然后这里约分一下，所以说 a、 d 的 平方，它就等于十五，减去后面的六，其实是等于九的。那我们可以直接写 a、 d 等于三吗？不可以的，这里如果同学们这么写，会存在扣一分的情况，一定要写 a、 d 大 于零，所以说它才 a、 d 才能等于三，这里会存在这一分容易扣分的一个点。 好吧，这是二十一题，这是二十一题加二十二题。二十二题，这个属于一个比较不常规的一道题，但是同学们不要慌，我们来看一下题目，已知函数 f x 等于三的 x 次方减 a x 这一个图像过一到二这个点，第一位让你求小 a 的 值，那这个图像过一个点，是不是说明了这个点的坐标啊？ 它是满足于函数解析式的呀，对吧？这个点是满足函数解析式的，所以说第一问，我们需要怎么办呢？把一到二代入 f x 等于三的 x 次方减 a， x 里面，我们可以得到啥呢？可以得到，此时相当于是 x 等于一， f x 等于二嘛，说明了三的一次方减 a 乘一这一块要等于二，所以说三减 a， 它就等于二啊。那么 a 直接 d 位求出来等于一了，所以说这里它会存在一个点是什么呢？ d 位这里六分的话， 那么他你把他带进来这里可能会得两分了，然后你把这一个式子写出来，可能也会得两分，接下来 a 等于一，还会得两分，这就构成了第一问的六分，这就构成第一问的六分。接下来到第二问，第二问，他说是函数 g x 等于负 x 加九，让你求这个不等式的解析。先不要慌，从第一问，我们知道了啥呀？ 由 e 的 a 是 等于一的，所以说此时我的 f x 啊，它就等于三的 x 次方减 x， 这条函数关系式对不对？那么接下来，因为 f x 它是大于 g x 的， 说明了三的 x 次方减 x， 它要大于谁呢？ g x 负 x 加九啊。 接下来我们写这个函数关系，是你做到了这里，基本上会得一分到两分，只要写出来不需要解，那么接下来解啊，怎么解？三 x 它就大于负 x 加 x 加九，就要把左边那个负 x 移到右边去，所以说三的 x 是 它大于九啊。接下来我们要解这个解这个怎么解啊？ 右边是九的话不好做，对不对？所以说我要把这个九变成三的多少次方，三的多少次方等于九啊，三的平方嘛，对不对？所以说三的 x 次方大于三的平方，又因为三的 x 次方是什么函数？它是一个真函数，真函数 老师可能会跟同学们讲过，真函数说明他们是同号还是一号的呀？同号的对不对？所以说原来是大于号，你抄下来仍然是大于号。那么第二问，解出来的解集就是 x 大 于二，接下来我们只需要写一个结论就行了，所以说不等式 f x 大 于 g x 的 解集为 这里老师需要强调的一个点是什么呢？你这个解集最后的结论要么写成集合的形式，要么写成区间的形式，这里老师用区间形式把它表示出来就是二，大正无穷。那么同学们就会问老师，那我到底写到什么时候会有所谓的步骤分呢？首先第一条，把 g x 大 于 f x 大 于 g x 整出来会得两分，然后解的这个三 x 大 于九可能会得一分， 可能。然后接下来再把这个，又因为 g x 是 一个奇函数，还会得一分呐。接下来可能 x 大 于二会得一分，现在就已经构成五分了。最后结论可能还会占一分，基本上就是这么分布的，这就是二十二题。

二零二六年广东高质高考数学有新题型，有同学问，这个符号到底是什么？答案到底是什么？你会做吗？

二零二六年广东高质高考成绩什么时候公布？我们来看下前两年成绩公布时间。二零二四年是一月三十号公布，二零二五年是一月二十三号公布。 那么从前两年成绩公布时间来看，二零二六年大概率也会在一月底公布成绩。李老师预计极大可能会在一月二十五号前后公布成绩。同学们，你们觉得会是哪一天公布成绩呢？评论区讨论一下。

刚刚考完的这个高数，高考数学啊，他的部分题目已经出来了，我们来看一下，你做对了没有？要求 y 等于二倍三 x 的 最大值，是不是很明显了？这个最大值是什么？ 用到一个公式， a 的 绝对值加 k 是 吧？ a 是 二是吧？二加 k， k 是 减零，是不是？所以呢？最大值为二，是不是啊？第一个做完了，第二个 a， 这出现了个什么？出现了个虚数啊，是吧？哎，考了个虚数，那考了个负数，那要求他的绝对值，他的魔是不是？那这个会等于什么呢？会等于三的平方加上四的平方开根号，是吧？所以呢，答案是五 是吧？好，那这一个呢？你看 a 的 平方大于 a， 那 也就说明了他是吗？ a 的 平方减 a 大 于零，是不是把这个 a 啊移过来了，好，移过来之后，然后呢，再提取一个什么？提取个 a 就变成 a 倍的 a 减一大于零，是不是？所以它的解解出来是什么？ a 小 于零或 a 大 于一，是不是？所以啊，这里有两个解，而这里只有一个解，所以呢，后能推前，前不？前不能推后，所以什么必要？ 非充分啊，非充分条件有没有问题？哈哈，好，再看这个五的平方，减去以二为底四的对数，很明显了，五的平方是二十五，二十五减去什么呢？以二为底四的对数，它会变成以二为底， 四就是二的平方，然后呢，这个平方可以放到前面来，就变成二倍的以二为底二的对数，这是一啊，是不是？所以呢，它是等于二的，是吧？所以呢，就变成二十五，减二就等于二十三， ok， 没问题，是吧？来，再看一下这个 a 的 向量， a 向量是一逗二， b 向量是二逗 s， 然后呢， a 平行于 b， 要求 x。 很 明显了，交叉相乘就是外面乘，外面会等于里面乘，里面 一乘 x 会等于二乘二，所以呢，一乘四等于二乘二，那 x 就 等于四。这几道题你做对了吗？

是博企执教的数学老师杨老师，今天我们来看一下二零二六年在职高考的真题。第二十一题，已知三角形 a、 b、 c 当中内角大 a、 大 b、 小 大 c 的 所对的边为小 a、 小 b、 小 c。 已知两个条件， b 跟 c 这两条边，并且跟你说角 c 等于六十度。第一位 求的是三 b， 这里求的是三 b。 首先我们要想到的是什么呢？由正弦定，你得 先把公式写下来。由正弦定，你的 b 除以三以 b， 它就等于 c。 除以三以 c 嘛，对不对？先把这个公式写出来，可能会得一分到两分了，接下来代数进去。所以说两倍根号三除以三以 b， 它就要等于四。除以三以六十度，这个代数进来也是有分的，同学们不要忽略到接下来怎么求三以六十度，这个代数进来也是有分的。同学们，这里就用交叉相乘来做。 交叉相乘怎么做？四倍的三引 b， 他 就要等于二倍根号三。乘上三引六十度，也就是二分之根号三啊。那么四倍的三引 b 这里他就等于三，所以说三引 b， 这里除以一个四出来就等于四分之三啊。第一问我们基本上就做完了，这里第一问做出来能得六分。接下来到第二问， 设点 d 为 b， c 上面一点，并且跟你说 c， d 等于根号三，让你求 a、 d 这里啊，我们这个 这道题，它跟二零二三年的真题是很像的。我们先来画一个图，三角形 a、 b、 c 是 题干给我的信息。小 b 等于二倍根号三，也就是 a， c 等于二倍根号三，小 c 等于四，也就是 ab 等于四，并且 c 这个角度等于六十度，对吧？点 d 了，为 b、 c 上面一点，那此时 c、 d 等于根号三，说明了这小的现在老师画出的这条线，它等于根号三。接下来求 a、 d， 那 我们就要把 a、 d 连接起来，此时我们要在哪个三角形里面做呢？ 要在这一个小的三角形 a、 c、 d 里面用一个余弦定你写。所以说接下来我们就要写着说在三角形 a、 c、 d 当中，接下来就要被余弦定你的勾上，由余弦定你的 a、 d 的 平方，它就要等于 a、 c 的 平方加上 c、 d 的 平方，减去二倍的 a、 c 乘上 c、 d， 不要忘记还要乘以一个 cosine c 了，对吧？老师这里写不下了，就写上面去。那么接下来 余弦定你这条公式写出来了，估计会得一分到两分。接下来代数进去 a、 d 的 平方，它就等于 a、 c 的 平方，它等于二倍。根号三的平方，加上 c、 d 的 平方，根号三的平方减去二倍的 a、 c 乘上 c、 d， 再乘上 cosine c， 也就是 cosine 六十度嘛，对吧？这个代数的过程不要忘记了。那么 a、 d 的 平方，它就等于十二，加三，再减去后面 二，乘上二倍，根号三，再乘上根号三，还要乘上扣三，以六十度等于二分之一嘛。然后这里约分一下，所以说 a、 d 的 平方， 它就等于十五，减去后面的六，其实是等于九的。那我们可以直接写 a、 d 等于三吗？不可以的，这里如果同学们这么写，会存在扣一分的情况，一定要写 a、 d 大 于零，所以说他才 a、 d 才能等于三，这里会存在这一分容易扣分的一个点。 好吧，这是二十一题，这是二十一题加二十二题。二十二题，这个属于一个比较不常规的一道题，但是 同学们不要慌，我们来看一下题目，已知函数 f x 等于三的 x 次方减 a， x 这一个图像过一到二，这个点，第一位让你求小 a 的 值，那这个图像过一个点，是不是说明了这个点的坐标啊？ 它是满足于函数解析式的呀， 对吧？这个点的坐标是很满足于函数解析式的。所以说第一问，我们就要怎么办呢？把一到二代入 f x 等于三的 x 次方减 a， x 里面，我们可以得到啥了？可以得到，此时相当于是 x 等于一， f x 等于二嘛，说明了三的一次方减 a 乘一这一块要等于二，所以说三减 a， 它就等于二啊。那么 a 直接第一位求出来等于一了，所以说这里 他会存在一个点是什么呢？第一位，这里六分的话，那么他你把他带进来这里，可能会得两分了， 然后你把这一个式子写出来，可能也会得两分，接下来 a 等于一，还会得两分，这就构成了第一问的六分，这就构成第一问的六分。接下来到第二问，第二问，他说设函数 g x 等于负 x 加九，让你求这个不等式的解集。先不要慌，从第一问，我们知道了啥呀？ 由一的 a 是 等于一的，所以说此时我的 f x 它就等于三的 x 四方减 x 这条函数关系式对不对？ 那么接下来，因为 f x 它是大于 g x 的， 说明了三的 x 四方减 x， 它要大于谁呢？ g x 负 x 加九啊。接下来我们写这个函数关系，是你 做到了这里基本上会得一分到两分，只要写出来不需要解。那么接下来解啊，怎么解？三 x 它就大于负 x 加 x 加九，就要把左边那个负 x 移到右边去，所以说三的 x 是 它大于九啊。接下来我们要解这个解，这个怎么解啊？ 右边是九的话不好做，对不对？所以说我要把这个九变成三的多少次方，三的多少次方等于九啊，三的平方嘛，对不对？所以说三的 x 次方大于三的平方，又因为三的 x 次方是什么函数？它是一个真函数，真函数 老师可能会跟同学们讲过，真函数说明他们是同号还是一号的呀？同号的对不对？所以说原来是大于号，你抄下来仍然是大于号。那么第二问，解出来的解集就是 x 大 于二，接下来我们只需要写一个结论就行了，所以说不等式 f x 大 于 g x 的 解集为 这里老师需要强调的一个点是什么呢？你这个解集最后的结论要么写成集合的形式，要么写成区间的形式，这里老师用区间的形式把它表示出来就是二，大正无穷。那么同学们就会问老师，那我到底写到什么时候会有所谓的步骤分呢？首先第一条，把 g x 大 于， 呃， f x 大 于 g x 整出来会得两分，然后解得这个三 x 大 于九可能会得一分，可能。然后接下来再把这个又因为 g x 是 一个奇函数，还会得一分呐。接下来可能 x 大 于二会得一分，现在就已经构成五分了，最后结论可能还会占一分， 基本上就是这么分布的，这就是二十二题。接下来我们看一下二十三题，这是一道数列的题，已知等差数列 a n 满足 a 一 等于一， a 二加 a 四等于六。第一问，求通项公式，同学们啥也不会，是不是通项公式 a n 他 跟你说是一个等差数列，就是 a 一 加上 n 减一乘 d 啊，对吧？那么接下来我们怎么办呢？接下来这里第一个问。 第一个问，同学们可以把 a 二加 a 四化简成 a 一 加多少 d 的 形式，也可以运用一个下标和性质，因为 a 二加 a 四，它其实是等于 a 一 加 a 五等于六的，对不对？所以说 a 五它就等于五啊！ 这里我们求出 a 五有什么用？接下来，因为 a 五它其实是等于 a 一 加四 d 的 嘛。那么代数进来一加四， d 就 等于五啊，所以说 d 我 们求出来是等于一的，那 d 求出来等于一，因为 a n 它是等于 a 一 加 n 减一乘 d 啊。代数进来 a n， 它就等于一加一乘上 n 减一嘛，它这里老师直接化解了，它就等于 n。 所以 说接下来第一问，我们还要写一个结论，所以说竖列 a n 的 通项公式为 a n 等于 n， 不要忘记要写 n 属于 n 心啊！这是第一问的， 这是第一问的答案，基本上是能得六分的。首先你把 a n 等于 a， 一 加 n 减一乘 d 整出来，这一条公式起码会得一分呐，对不对？但是不要漏掉 写 n 属于 n 型，不然会被扣分的。那第二问怎么做呢？第二问，老师就用一个黑色笔来做。第二问，跟你说了， b n 等于二的 n 次方乘 a n 呐！所以说第二问，我们首先一上来就肯定要由一得 a n 等于 n， 并且 n 是 属于 n 的， 然后接下来就要写，所以说 b n， 它就等于二的 n 次方乘 n 了。这一块你把 b n 表示出来了，肯定会得一分的， 肯定会得一分。接下来求它的前 n 下和 sn 的 话，那我们怎么求啊？首先这里先把它的 sn 表示出来，它等于 b 一 加 b 二 加 b 三，一直加到哪里了？一直加到 b n 嘛，对不对？所以说 s n， 此时它就等于一乘二的一次方加二乘二的二次方加三乘二的三次方，一直加加加加到 n 乘二的 n 次方，这一块写出来肯定也占一分的。那么接下来这里我们就要用方法来做了。什么方法？这属于一个等比竖列乘上一个等差竖列的，所以说这里我们这个竖列求和是要用一个错位相减法来做的。 错位相减法此时就要乘 q 啊，所以说我们前面同时乘以一个 q， 此时等比数列的 q 等于二，那么我们就同时乘上一个二二倍的 s n， 它就等于二乘二的一次方加二 乘二的三次方加三乘二的四次方，一直加加加加，加到 n 乘二的 n 加一次方，这里只要同学们 把它的乘以一个 q 整出来，也会得一分。上面我们假设是一式，下面是二式，我们接下来就由什么得了？由一减二可以得到，左边 s n 减二倍的 s n 就 等于负的 s n， 右边一相减 就等于什么？这里应该是二的二次方，对不对？右边一相减就等于一乘二的一次方加一乘二的二次方加 一乘二的三次方，一直加加加加到一乘二的 n 次方，最后剩一个 n 乘上二的 n 加一次方，没人跟他解，就把它照抄下来，但是要把它的减号附上，对吧？接下来我们来看一下一乘二的一次方，加一乘二的二次方，加 一乘二的三次方，一直加到一乘二的 n 次方啊。其实负 s n 前面就等于二的一次方，加二的二次方，加二的三次方一直加加加加到二的 n 次方，再减去 n 乘二的 n 加一次方。这一块我们来看一下前面这一坨，其实它是一个什么数列来的， 等比数列来的，所以说我们这里其实就是等比数列的前 n 项和求啊，它就等于 a 一 二乘上一减 q 二的 n 次方，再除以一减 q， 也就是一减二嘛。 减去 n 乘二的 n 加一次方啊，对不对？接下来化解负 s n， 它其实等于负二乘上一减二的 n 次方，再减去 n 乘上二的 n 加一次方，那么接下来 s n 除以一个符号，就等于二乘一减二的 n 次方，再减，再加上 n 乘二的 n 加一，是吧？所以说 s n 此时它就等于二的 n 加一，是吧？乘上 n 减一再加二呀，不要漏掉 n 是 属于 n 心呐，对不对？基本上二十三题就是这么做，接下来我们看一下二十四题， 二十四题这个压轴题相对来说没有那么的难，我们来看一下已知抛物线的方程，给出来 y 的 平方等于四 x， 它的焦点为 f。 第一问让你求焦点方程，我们第一问只需要看到这一句话，就基本上能把第一问整出来了。第一问，我们的焦点方程啊， 我们的焦点坐标啊，它是怎么算的？用一次下前面那个数除以四来算的嘛？首先来判断一下我们的焦点是在 x 轴还是在 y 轴啊？ 这里看一次下谁没平方， x 没平方，所以说我们的焦点是在 x 轴上面的，对不对？所以说上面就应该要写，因为抛物线方程为 y 的 平方等于四 x， 所以 说交点此时它就在 x 轴上面，那它的交点在 x 轴上面，说明了我就要把交点的 f 的 x 轴算出来就行了，因为我的二 p 它是等于四的，所以说 p 就 等于二呀， g 二分之 p， 它是等于一的，又因为我的焦点 f， 它的坐标就为二分之 p 到零嘛，对不对？所以说接下来直接写结论，我们直接说焦点 f， 它的坐标为 一到零，就结束了。第一位，这里老师估计啊，他应该不会占六分这么多，可能会占四分，可能会占四分。首先你求出这个 p 等于二，可能就会等 拿到两分了，接下来把这个点 f 的 坐标表示出来，就会得一分，再把那个点 f 最终的结论写出来，可能就会得一分，这里第一位应该会拿四分，不会拿六分这么多。 ok， 接下来到第二位，第二位，他这里跟你说了他的 抛物线，他此时焦点在 x 轴上面，比如说老师先来画一个图，这是焦点在 x 轴上面，此时点 f 是 焦点， 它的准线方程在这边， x 等于负一，这里，对吧？然后准线加 x 轴于点 a， 说明了这个点 a 在 这里，然后点 m 是 在抛物线上除顶点外的任意一点。假设啊，假设这个为点 m 的 话，此时 amf， 它的角平分线在交 x 轴于点 b， 假设此时这个为它的角平分线，这个称为点 b 的 话，那么三角形 m b f 跟 m a b， 它的面积就为 s 一 跟 s 二，此时我们的面积怎么求的呀？ 面积是不是都为二分之一底层高的呀？我们这里 m b f 跟 m a b 啊，我们以谁为底会比较好了？ m a b， 它就以 ab 为底， m b f， 它就为 b f 为底，对不对？它们的高此时都为点 m 的 重坐标啊，对吧？所以说这里我们其实求它的东西，唯一会变的是什么呢？会变的 它就是底而已啊，会变的是它的底，它的高是不变的，对吧？所以说我们这里求它的最小值，也就是求它的底的比例的最小值而已嘛。所以说第一位 我们先得把什么呢？这里求边比底的比例的最小值啊，首先你得把 a b 表示出来，还得把 b f 表示出来，对吧？所以说我们这里首先上来我们要写一个因为抛物线 的准线交 x 轴 于点 a 啊，所以说我们此时能把点 a 的 坐标求出来，点 a 的 坐标此时就为负一到零呢，此时就为负一到零。那么我这里是不是还要设一个 点 b 的 坐标啊？点 b 的 坐标它在 x 轴上面，假设我们设小 b 到零，可以吧？然后点 m， 它在抛物线上面，我们就设为 x 零到 y 零，可以吗？那么接下来我们就要把 ab 跟 b f 表示出来，此时 ab， 它其实就等于一加 b 的 绝对值嘛，对不对？然后，然后这个 b f 它此时就等于什么了？它就等于一减 b 的 绝对值嘛。并且我们这里还要规定是 b 啊，小 b， 它是在负一到一之间的，因为它是在点 a 跟点 f 之间嘛，它只能在负一到一之间啊， 没问题吧？那么接下来我们还有一个角平分线这一个条件没用到。角平分线说明了什么呢？说明了我这个角 a m b， 它其实是等于这个角 b m f 的， 对不对？接下来我们就由什么定义啊？这里其实是由一个角平分线定义的。 由角平分线定理得到啥了？得到此时 a b 比上 b f， 它其实是等于 am 比上 m f 的， 这个是角平分线定理。那么接下来我的 s e 比上 s 二啊，其实它就等于啥嘞？它其实就等于 b f 比上 ab 而已嘛，因为它们的长度是一毛一样的， 就是它们的高是一样的，对吧？那我们这里其实就刚好跟我们这里最左边这一个是倒过来的关系而已啊，所以说我们此时就需要把它们 搞出来就行了。那怎么弄呢？怎么弄？我们来看一下这个 am 啊，我们此时设了点 m 的 坐标为 x 零到 y 零啊。 am， 其实它这一个就是两点之间的距离，就等于 x 零加一的平方，再加上 y 零的平方开根号，对吧？而我的 m f， 这也是两点之间的距离，等于什么呢？ x 零减一的平方，再加上 y 零的平方开根号啊， 没问题吧？又因为又因为什么点 m， 它是在抛物线上的， 那它在抛物线上有什么用？说明了它这个点是满足抛物线的方程，所以说此时 把这个点的坐标带进去，它就等于 y 零的平方，它是等于四倍 x 零的平方的，对不对？所以说此时 am 啊，我就把 y 零的平方反带回去。 am， 它就等于 x 零平方加上， 这里多写了一个平方， y 零的平方等于四倍的 x 零，所以说 x 零平方加上六倍的 x 零加一，这个是 am 的 东西。而 m f 呢， 它就应该等于 x 零平方减二倍的 x 零，再加四倍 a x 零，它就等于二 x 零再加一，再开顿放嘛，对不对？所以说，此时 此时 am 比上 m f 啊，它就应该等于 x 零的平方加上六倍的 x 零加一，除以 x 零的平方加两倍的 x 零再加一，这个再可爱根号的。 而这一块我们要的是又因为大 s 一， 它是等于二倍的，这里是 m b f 的 面积的话，它就等于 b f 乘上 y 零，就是点 m 的 纵坐标嘛。大 s 二呢，它就等于二分之一 ab 乘上 y 零嘛，对吧？所以说大 s 一 比上大 x 二，其实它就等于 b f 比上 ab 它的长度，而 bf 比上 ab 的 长度啊，它就等于 mf 比上 am 的 长度啊，没有问题吧？接下来老师先把这边擦掉先。 接下来是不是我们要把 mf 跟 am 表示出来？所以说大 s 一 比大 s 二，它就等于 mf 比上 ab， 其实它就等于相当于把这一块， 把这一块最上面的这一块给倒过来嘛。就等于 x 零的平方加二倍的 x 零再加一除以 x 零的平方加六倍的 x 零加一这个东西开根号。那接下来怎么求这个的最小值啊？看一下这个，因为我的点 m 啊， 因为点 m， 它是在抛物线上的，它为 x 零动 y 零嘛，对不对？所以说我的 x 零绝对是大于零的，因为它只能在右侧呀。那么接下来我们怎么求这个最小值呢？我们就有只能由代数法可以得了。 由代数法得啥呢？当 x 零等于一的时候， s 一 比上 s 二，它是有最小值了。 那么接下来我们就把 x 零等于一带进来， x 一 比大 s 二，它就等于一的平方加二乘一加一 再除以一的平方加六乘一加一开根号啊。所以说上面等于四，下面等于八开根号，这里就等于二分之一开根号，它就等于二分之根号二呀，对不对？所以说第二问这十分是这么来的。好吧，这就是第二十四题。

二零二六年学考和在职高考的家长，想要填好志愿，选到理想的学校和专业，有一份叫做头等情况的官方资料，也就是二零二五年的录取数据，对于我们来说非常重要。这个视频张老师将从这份表格是什么，拿来干什么，如何避坑这三个方面帮你拆解这份资料。首先科普一下， 我们二零二六年的分数线是填完志愿录取之后，二零二六年的三四月份才知道的，不是学校直接划线给我们填志愿的。所以我们只能参考往年，也就是二五年，二四年已经全部录取完了的数据来填二六年的志愿。那么张老师往年数据在哪里找呢？这个视频就是帮你解答这个问题的。 我们二零二五年的录取数据分为两个层次发布，第一个层次就是这份表格，这是二零二五年，也就是上一届考生在二五年的三月底填完志愿，录取完了之后，教育考试员会把所有学校的数据做一个汇总， 然后发布出来。三家证书和学考各有一份，发布的端口是教育考试人的官网和他的某中号，发布的时间是二零二五年的三月底，时间要划重点，待会还要考。如果不知道怎么下载，后台直接给我发个信息。但是各位家长，这份表格我们只能看到专业组的最低分， 因为组里面每一个专业的分数，那个叫第二个层次。他在一本叫做高考志愿填报指南的书里面，也就是你们学校定的那两本志愿书，其中一本二零二六年填报指南，就是二五年全广东省所有学校所有专业的录取数据， 此外也有各个学校自己公布的，但是这本书和各个学校的公布时间是二六年的二月底，此时距离填志愿只有二十天左右的时间，也就是说，从二零二五年三月底到二零二六年二月底，将近一年的时间。 二五年的数据只有专业组的录取分数，组里面每一个专业的分数无从得知，不是张老师没有，不是官方没有， 是压根不发布，听得明白吗？各位家长，这份录取分数的表格叫做头等情况，三家证书和学考各有一份，它完整的呈现了全省 所有学校所有专业的专业组代码招生计划，这个叫学位，有多少人爆了这个专业组最低分，还有最低排位。以学考的广东交通为例，六零一到六零六总共六个专业组， 每个专业组的分数都是不一样的，最高三百五十二分，最低两百二十六分。这里引申出一个知识点，我们春季高考是采用专业组加专业的志愿填报模式，一个学校可以分成很多个组， 每个组都是单独录取的，分数自然不可能全部一样。以广东交通六零六组为例，物流管理的中外合作办学，因为学费比较贵，两百二十多分就能读到。但是想读广东交通的理科专业组，六零一组你要三百五十二分，一百三十多分的分差就是这么离谱。再看看六零二组， 通过表格我们可以看到，专业组五百四十多个学位，最低三百三十九分，九点七万名就能读到，但是我们看不到里面有什么专业，那张老师，我到底要怎么查专业呢？很简， 学校官网或者是二五年的志愿书，我帮大家查了一下六零二组的情况，你们可以看一下一大堆文科专业、管理类专业，一个设计，一个学前教育。刚刚已经跟大家说了二六年，二月份志愿书发布之后，我们才知道二五年这些专业需要多少分能读到。我专门去翻了二五年那本书，带家长们先看一下二四 四年的录取情况。最低分三百五十八分九点九万名，可以读到会计以外的绝大部分专业，但是城市轨道交通运营管理三百八十三分三点八万名，高了足足二十五分。六万名 什么概念？三百八十三分已经是广东科学基础东莞职业、中山职业和广州铁路的分数了，这说明什么？专业组的最低分不是每一个专业的分数，专业组最高分，最热门的那个专业，他的分数可能是上上个学校层次的。离谱程度加一，这里 就是这份资料的第一个坑。专业组的最低分不代表你用这个分数可以读到组里面的每一个专业，尤其是热门专业，他的分数会拉高到你想都不敢想的程度。 家长们一旦把这两个分数混在一起，会影响你对热门专业的判断。最后志愿填出来的结果就是，小孩被调剂到冷门专业，非常难受，不信是吧？ 你去问问广东交通学前教育专业的小孩，去问问广东科贸、广东工贸文科专业的小孩，有些专业几乎整个班都是被调剂进来的。离谱程度加二，这份资料的第二个坑是二零二六年二月底志愿书发布前，你们能在所有自媒体的直播间、主播营销号 能看到的、能领取到的一切资料，只要是这样写出来都是错误的数据，不是张老师没有，不是官方没有，是不到那一天他就不发布。第一种情况，这些人把专业组的最低录取分数当做每一个专业的分数，我不是跟你们说一定要听我的，不能听别人的，而是各位家长，你有没有想过， 错误的数据影响了你填志愿，最后小孩录取到冷门专业，你问问那些主播会不会对此负责。第二种情况 是把二五年的志愿书里面的数据当成二五年的录取数据给你分析，这种就是纯纯的蠢猪。第三种情况，拿二四年的录取数据拿出来给你分析二四年的学考是什么情况，题目非常简单，人手一个三百五去填志愿。我们二六年这么难的题目， 你们真的觉得考到三百五的小孩能有那么多吗？人少了一大截，最后出来的录取分数他能一样吗？三家证书是什么情况？每年都在涨分，隔一年的录取分数都有差距，隔两年已经没有参考价值了。这个视频让你明白，这个世界他就是个巨大的炒菜班子。 最后对视频做一个简单的总结，第一点，专业组加专业的高考志愿模式，每个专业组他都是单独录取的，分数不可能全部一样。第二点， 六年二月底志愿书发布之前，二五年的录取数据只有专业组的最低分，没有里面每一个专业的分数。第三点，当你看懂了上面那句话，看懂了整一个视频， 你就能理解。先填志愿和录取才有二六年的录取数据，所以往年的数据只是参考。二五年能读到的，不代表二六年能读到，反过来，二五年读不到的，二六年也说不准。机会永远就在你的身边，看的是你懂不懂得把握 最后一个点，这个世界就是个巨大的草台班子，一群高中都读不明白，高考都考不明白的人，连个本科连个教师资格证都考不到，就自称老师。来这里讲高考志愿填报，家长们一定要学会思考和判断，千万不要被不专业的主播带跑偏。

今天我来讲一下二零二六广东高子高考数学的填空题吧。第十六题， 五的平方，二十五减这个 log 二四呢？其实就是 log 二，这个四变成二的平方，这里约就是二十五减二啦，就是二十三。很简单，十七题，这个点在这个椭圆上，我们直接把这个点带进去就 ok 啦。就是 a 方分之九加这个 y 的 零，那算这一坨就是零了，这个直接不写了。 等于一，把 a 方乘到右边，所以 a 方等于九， a 等于三，对吧？本来 a 的 正负三的，因为它说 a 大 于零嘛，所以 a 等于三。非常简单，向量平行十八题，平行的话，内向之积等于外向之积，所以就是 x 等于四啦。送分题， 十九题也是送分题。 a 四我们可以变成 a 一 乘以 q 的 三次方，因为它说是等比嘛。等于十六， q 的 三次方，二的三次方为八八倍的 a 一 等于十六，那么 a 一 就等于二了。那么填空题的前四题完完全全是送分题啊。好，我们来看二十题，二十题我我记得跟某一次联考一模一样，就是它整个题目的那个类型， 出题的套路一模一样。好啦，这题怎么做呢？口算阿尔法加口算贝塔，正确的做法是给他一个平方等于十六分之九。哪，这者四分之三角平方，两边同时平方， 好得出口算呀。平方阿尔法加口算平方，贝塔加两倍，口算阿尔法，口算贝塔 等于十六分之九。 ok， 这个是第一条，那么第二条也是啊，我们也是两边左右两边给他一个平方，那就变成 sine 平方 alpha 加 sine， 平方 beta 加两倍 sine alpha， sine beta 等于四分之一， 这里什么关系啊？三三平方加口上平方，这里也是，它们两个相加就有一啊，你是不是发现，哎，如果我加两条四指，一四和二四相加，是不是能直接把它们变成一了？所以说它们两个相加之后呢，就变成一加一 加两倍，口上阿尔法，口上贝塔加两倍，三眼阿尔法 sin beta 等于十六分之九，加四分之一，对吧？嗯，好，继续算，那这里一加一等于二，那就变成二加两倍。 cosine alpha， cosine beta 加 sine alpha， sine beta， 对 吧？等于 十六分之十三。再把这个二移到右边，那就是减二了。好了，我们在这里的基础上进行计算了，那减二呢？就是减 十六分之三十二了。好，我们来整理一下，这里已经移过去了，那这里呢，就变成了负十六分之十九了。 负十六分之十九，对吧？好了，我们再把这个方程两边同时乘以二分之一啊，那就变成口上的阿尔法，口上的 beta 加萨尔，阿尔法萨尔 beta 等于负三十二分之十九了。 好了，那么这一个其实就是 cosine 的 和角和差角公式啊，那就变成 cosine alpha 减 beta 等于负三十二分之十九了，对吧？那现在题目求什么？题目就求刚好就求这个吧，所以答案就是负三十二分之十九。好，现在课就到这里。

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