天津八年级几何压轴题解题方法

哎，王老师，嗯八上期末压轴题考嘛呀？全能三角形几何变换，哪个三角形变坏啊？变坏干嘛？你不说三角形变坏变怪？嗨，变换手拉手，一线三垂直，截长补短，添加辅助线这三大模型压轴题必考。 解题的关键就是通过添加辅助线构造全能三角形来变换和转化边与角之间的关系。比如上一届和平区的这道压轴题，就是通过在三垂直模型当中添加辅助线来构造全能三角形。哎旺旺，这个题您能给讲讲吗？呃，讲讲。

哎，王老师，嗯，八上期末要想充满分，该学点嘛呀，学学科学睡眠嘛意思睡眠好了嘛，都能梦得见哦，做梦啊。嗯，八上是个分水岭，很多孩子成绩会下滑，比如全等三角形，一等场几分综合题啊，难一大截， 那辅助线干瞪眼就想不到怎么添加。尤其期末考试那道几何压轴，那就是中考二十四题的雏形，无论平移、折叠、旋转动点，很多都有用到全等三角形来转换角和线段的关系。再比如音式分解这一章 直接决定了初中的计算能力。中考压轴题那大长势子十好几项，很多孩子有思路，但最后就算不对，算一遍一个样，每一遍得数都不一样。这就是嘛呢，初二的基本功不扎实。

八、上期末几何压轴考什么？当然是全等三角形啦，今天这道题拿出来又要难倒一大片学生了。 题目给了我们一个直角三角形 a、 b、 c、 d， 点是 a、 c 边的中点，以点在 b、 d 上，并且角 c、 e、 d 等于角 abd， 然后做 a、 g 垂直 c、 e。 题目问，若 c 一 等于 a、 c、 b 一 的长度等于六，让我们求三角形 e、 c、 d 的 面积 好。首先，根据角 c、 e、 d 等于角 abd 这个条件，我们可以利用互余关系导角得到角 afd 等于角 adf， 所以 af 就 等于 ad 了。 那接下来就能用角角边判定三角形 a、 b、 f 和三角形 e、 c、 d 全等了，所以 ab 就 等于 c 一 了，那也就等于 ac 了。 这样一来，三角形 abc 就是 一个等腰直角三角形了，这一步我相信很多同学还是能想到的。 然后求三角形 e、 c、 d 的 面积就变成了求三角形 a、 b、 f 的 面积。另外，根据刚才的全等，我们还能得到 d、 f 的 长度是等于六的，那由于求三角形的面积是需要做高的，再加上三角形 a、 d、 f 又刚好是等腰三角形， 所以我们可以过 a 点向 d、 f 做一个垂线。然后根据三线合一，我们就可以得到角 d、 a、 h 和角 f、 a、 h 都是 r 法 好。接着，由于 c 一 和 a、 c 是 相等的，如果我们连接 a 一 的话， 那角 c、 e、 a 就 等于角 c、 a 一 了。现在再把它俩都减去一个 r 法的话，不就得到了角 h、 e、 a 等于角 h、 a 一 了吗？所以说这个三角形 a、 e、 h 它其实是一个等腰直角三角形。 接下来我们再连接 c、 h， 不 难看出，三角形 c、 e、 h 和三角形 a、 b、 e 是 全等的，所以这就得到了 e、 f 是 等于三的， 那 a、 h 就 等于六了，所以三角形 a、 b、 f 的 面积是等于二十七的，那这个也就是三角形 e、 c、 d 的 面积了。你学废了吗？

好来，各位同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天呢，我们来说一说这个二零二二六年 和平区八年级数学期末考试第十八题的相关解析思路啊。这道题对于格陵做图来说啊，还是一个比较重规重矩的一个题，但是对于八年级的同学们来说，这个题还是很难的，在我们数学其他题还没有保证能都做对的情况之下， 不建议对这道题做过多的研究啊。大家看看这道题啊，他说是在每一个小正方形边长为一的网格当中， a、 b、 c 都是在格点上，这很很重要啊， a， b， c 都在格点上，然后 d 是 线段， bc 上一点，然后和啊，它不在任何的格点上，随便一点， 好来看啊，他说用刻度的知识画出 a、 c 边上的高 b， m 先不管，后面先做 a、 c 边上的高 b m， 因为这个 a、 c 是 一个这样斜着的，一个一个一个边，我直接做高，我不知道他在哪，但是我们要知道啊，这个三角形的三条高是交于同一点的，也就是说，如果我能找到这个三角形的垂心，我就能解决问题， 对吧？好，那么过点 a 做这个三角形的高，这个很简单，它就是这条线，对吧？好，那过点 c 的 高。其实，呃，我们如果这个 ab 不是 很特殊的线的话，我们也不好找，但是这个 ab 是 啥？是一个正方形的对角线穿在一起的， 对吧？那么我能跟这条线垂直的，那就必定是过点 c 再做另外一个方向的对角线就可以了，对吧？哎，你这样穿过来， 这样穿过来肯定和他是垂直的关系，因为正方形对角线就互相垂直了，对吧？哎，那这样的话，我就找到了两条高的焦点，两条高的焦点毕，毕竟是三条高的焦点，所以这是答案，也是过这个点选角的这个点把 b 和这个点连一块，然后再穿过来， 哎，和这个边 a c 的 交点，这就是我要那个高 b m， 那 所以它这个答案也没有这两条线，但其实是应该有啊，画了两条线之后，找到一个交点的位置， 好，我们把其他线去掉啊，那我们看后面说是在直线 a b 上求作一点 n， 使得 d n 加上 m n 的 和最小，这要说明 m n 的 位置是如何找到的？ 好，这个就比较典型的 d n 加上 m n 和最小，这不就是最短路径问题，对吧？而且这个 m 是 一个定点， d 是 一个定点，那也就是需要把这个 m 或者 d 关于 ab 做个对称过去就可以了，对吧？那这里面这两点翻谁比较好？但是翻 m 比较好，因为 d 在 哪？其实我不太确定，对吧？我翻 m 比较好，其实翻 d 也是一样啊。好，这个翻 m 怎么翻？来，我们把这个点起个名字啊，这个点叫点 e， 我其实是把 b m 先整这条线段，我先翻过来，然后再继续找 m 的 位置就可以。为啥这么想？因为这个 e 点是一个格点，把 b e 关于 ab 翻，这是一个比较好翻的一种情况， 那这个 ab 它是一个很特殊，它是一个正方形的一个对角线，所以你看这个 b 到 e 是 横着一二三四竖一，横四竖一的，对吧？那我给它翻过来呢？一二三四竖四横移， 哎，这个位置，这就是 e 的 对称点，我们管叫 f， 好 吧，我现在连接 b f， 把 b f 连接起来，现在 b e 和 b e f 这两条线就是关于 ab 对 称线，哎，那么好，那这个 m 它的对称点就一定在 b f 上，对吧？所以我现在把 b f 我 再延长一下， 哎，延长一下，我现在只要找到 m 的 具体位置和 d e 联合 ab 的 焦点就是我要的那个点 n 的 位置，对吧？好，我怎么找这个 m 的 对称点？这个就是我们做这个。呃，关于这种线对称的一个常规操作啊。把 m f 连上， 把 m f 连上，它和这个 ab 有 一个交点，把 e 和这个交点连完之后，再延长过去，和这个。呃， b f 有 个交点，这个交点就是我们要的那个 m 的 对称点，我们管它叫 m 一 撇。 好，这个是个常规操作啊，我简单说说这个是是为什么这样的来，我们刚才是把这个 b e 翻到了 b f， 也就是 e， 关于 ab 对 称的精确位置就是 f， 那 我现在这个三角形 b e f 一定是一个等腰三角形。如，如果我把 e f 连上的话，它是一个等腰三角形，对吧？那我现在就能知道，因为是翻折过来，所以这两个角肯定是相等，对吧？那我把这个点叫做点点 o 吧。 好吧，那我很很容易就能证明这个 b o f 跟 b o e 这两三角形是全等的，对吧？所以 o e 是 等于 o f 的， 这个没问题吧？好， o e 等于 o f， 然后这地方还有一个对顶点，再加上全等，能得到这两个小角相等， 这两个小角相等，于是这个角和这个角，这两个大角就相等，这俩角等这两个对对顶角相等，再加上 o f 等于 o e， 所以 这两三角形 o e m 和 o f m 撇，这两三角形肯定是全等，所以 f m 撇是等于 e m， 那 这样的话 b f 加上 f m 撇就等于 b e 加上 e m， 所以 b m 撇是等于 b m， 也就是 m 的 对称点就是 m 撇。哎，这样就能证明 啊，这个是我们这个翻折的一个在格点也翻折的一个常规操作啊，然后再把 m 撇和 d 连一块， 哎，连完之后和 a b 这个焦点就是我要的这个点 n 啊，这是最短路径的一个做法啊。 好了，那这就是这个十八题的一个 school 的 分享啊，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，或者到我的微信公众号，这里的数学不一样，咱们进行进一步的沟通和交流。那好了，那这个视频先和大伙说到这。

同学们好啊，今天咱们来聊聊初中数学里一个超实用的工具，三角形三边关系。很多同学觉得它只是用来判断能不能组成三角形， 其实它还是解决线段最值问题的金钥匙。咱们都知道，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，这个看似简单的性质，藏着求最大值和最小值的秘密哦。比如当题目里出现 pa 加 pb 最小或者 pop 最大这类问题时， 三角形三边关系就能帮上大忙。举个例子，要是想让 pa 加 pb 最小，咱们可以通过做对称点，把两条线段转化成三角形的两边之和，这时候最小值就等于第三边的长度。而求帕克最大值时， 同样可以构造三角形，利用两边之差小于第三边的性质，找到那个最大的差值。记住这个小技巧，以后遇到线段最值问题， 就能快速找到突破口。你们平时做这类题最喜欢用什么方法呢？评论区一起交流一下吧！

这种类型的几何压轴题的话呢，期末考试必考。这是前不久啊，红番八中能力测试的 几何压轴题啊，初二上学期的同学举办的能力测试的几何压轴大题。好，那第二问的话呢，嗯，可以说很有难度吧啊，那很多同学的话呢，基本上在考试的时候可能都没有发挥出真正的实力得到分 啊，相比于平时而言的话，这个能力就是难度呃，还是大了一些啊，能得分的这个能力呢，被削入了咱们 好。但是话说回来啊，这个题真的你把它给做完之后，你看了它的做法之后呢，你觉得其实也没有那么难啊，而这里面所用到的分析方式啊，思考方式的话呢，在这在初二的期末考试当中我认为啊是必考的啊，不管是哪个学校吧，七龙珠 这个学校期末考试只要他考几何大题，只要他考几何压轴题一定会有这种方向的。考察什么样一个方向呢？基本条件的运用、分析能力以及几何变换能力啊。好，那所谓基本条件的分析能力指的就是， 呃相同的线段思考去构造全等，相同的角度思考去构造全等啊，什么截长不短，背长中线这样一些基本能力啊。好，那几何变换能力呢，指的就是对于图形思考这个平移、旋转、对称这样一些想法啊，就变换 转换能力啊，将问题或者说将条件转换的能力啊，统称为几何变换能力，它就会分为了对称、平移、旋转以及构造全等啊等等一系列啊，就不重点去考察什么模型之类的东西，而是考察你对于这些基本几何能力的运用， 所以就会比较难吧。好，希望各位同学在期末考试的时候啊，多一点能做出来的可能性啊，多得点分啊，多得点压岁钱啊！好，来看一下这个题目的题干。说的是在三角形 a、 b、 c 当中，角 b、 a、 c 是 九十度， ab 等于 ac， d 和 e 分 别为 b、 c 上两个动点满足 b、 d 等于 c， e。 好。 第一个关键条件，出现了 b、 d 等于 c e， b d 等于 c e 的 话呢，肯定想到全等这么个事，肯定想到你这个 a、 e 什么的，把 a、 e 给连起来就会全等嘛。好，第二个事情过点 e 呢，做了 e、 f 平行于 a、 d， 好， 做了个平行线。 平行线的作用是什么？肯定想到倒角啊，角度啊，倒倒角呗，啊，一会去倒吧，一会再倒。好，接下来以 a、 f 为斜边，在下面做了个等腰直角三角形 a g、 f。 下面做了个等腰直角三角形 a g、 f。 好， 这个题目的大的特征哎，就挺特殊的，出现了两个等腰直角三角形，一个是 b a、 c， 一个是 a g、 f 啊，那一般来说有两个等腰直角三角形出现的时候呢，我们都会考虑一个辅助线类型，叫构造手拉手模型。构造手拉手模型啊，这里面是可以考虑一下的，但是具体怎么用呢？还要结合题目问什么吧，他说的是， 呃，当角 b a、 d 小 于四十五度的时候， b a、 d 小 于四十五度的时候，也就是 a、 d。 大 概在这个上面的时候啊，在中间往上的时候，用等式表示 a、 d、 e、 f 和 c g 的 数量关系， a d、 e、 f 还有 c、 g 这三条线段之间的数量关系。好，读完题目呢，我们来看一下到底是怎么回事？这几个线段，这几个线段，然后这些线段之间是呃，它点点的关系啊。先去分析一下，比如说他要考虑到一个 a、 d， a、 d 这个事儿咋来的？ d 点咋来的，对吧？ d 点它这个动，点它可以动，哎，它只要满足在 b、 c 中点往上和 b 之间，它可以动。那 e 点是咋来的呢？哦， e 点这里满足的是 b、 d 等于 ec 这么个条件， b、 d 等于 ec 这么个条件。所以 e 点和 d、 d 的 运动呢，是有关联的， 不是独立的。然后又是有个现象， e、 f， 那 就考虑 f 点又是怎么来的呀？ f 点所满足的约束条件呢，就是 e、 f 要平行于 a、 d， 这是 f 所需要满足的约束条件。 e、 f 平行于 a、 d， 最后还有个 c、 g， g 点又是怎么来的呢？ g 点这里的关联就是它是以 a、 f 为边做了个等腰直角三角形。 a、 g、 f 嘛。 好了，几个关联都看完了啊。那么毫不夸张的说啊，这个题呢，它属实挺难的。难在哪里？第一个线段的疏远关系不太好猜出来，那有可能是两个相加，两个相减，跟第三个的关系有可能是有根号二倍的关系什么的根号三倍什么的，不知道 啊。最后有很多种可能性存在，这是其一，其二就是他所给的这个图形条件的话呢，确实有很多种可能性去分析。你比如说两个等腰直角三角形放在一起，我们会思考构造手拉手模型啊，就光这个构造手拉手模型，我就玩了好久，玩了好久，好几种可能性，哎， 然后不夸张的说呢，我做这个题呢，我其实想了起码有三十多种可能性和尝试啊在里边，最后才做出来，属于运气比较霉的那种，运气好点的同学呢，可能很快他就找到一个正确的方向啊，这几何题呢，在做的时候， 那种可能性越多的题嘛，他越难做，就是你并不知道哪一条路线才是对的，所以你一定是需要一定量的尝试的哈，那你如果说拿着笔干瞪眼去做，不可能做的出来，你是需要大量的尝试的。真正的难题比拼的是各位同学的一个思维速度，就是在短时间之内，你能做的有效思考次数是多少， 而你思考的次数越多，可能性越多，你最后就能够找到一个正确的路线好。当然了，其实也不是漫无目的的思考，不是毫无方向，毫无章法的思考，它一定是有迹可循的。那接下来呢，我就把这里边的思考的方式告诉给你，分享给你，帮助你在期末考试的时候更上一层楼好不好？好，首先第一个条件的运用，思考 b d 等于 c e， 那 肯定思考什么？全等呗， 肯定思考全等这个事情，所以我会上来首先连接个 a e， 想一想，为啥连接 a e 啊，很直接啊，因为有全等三角形出现了，并且起到一个作用， a d 转换到了 a e。 好， 所以现在我就思考的是 a e e f 和 c g 啊，依然不好思考，所以现在开始考虑第二个条件，平行线 ef 平行于 a d 啊，这个平行线的话呢，确实给了我太多的想象空间，导致我在这里呢又玩了好几种做法 啊，满脑子都在思考这个平行四边形的事，你知道吗？哎，给我想崩溃了啊，但是呢最后我发现各种做法都做不出来啊，我想到平行四边形的各种做法，比如说这么的整个平行四边形啥的啊，整平行四边形的话呢，然后去找那些关系啊，整了半天啊，而且都不靠谱啊。就是想法太多之后反而也是一种 是一种这个麻烦想法太多了啊，导致呢？没有找到就是这个这个走的弯路有点多啊导致呢没有找到就是这个麻烦想法太多了啊。那有平行之后呢？ 那就是说，哎，这个角首先首先因为全等 a d 等于 a e， 之后这两角相等，再因为平行线，对吧？这有个平行线。哎，这有个平行线。平行线呢，怎么样？平行线呢？怎么样？平行线同位角相等角 a 大 e 等于角 f e c， 它是个 r 法它是个 r 法，这是个 r 法。好，那看到这是个 r 法呢？很多同学可能也还没有什么思路可能也还没什么思路。那我在这里呢我会有点思路。哎，我就观察到一个事情做平行线夹等腰三角形吗？平行线夹等腰三角形 啊，其实有一个常用小模型，这来自于一个知识储备，平行线夹什么东西能出现等腰三角形，是不是 啊？一个小的知识点，平行线夹什么东西能出现等腰三角形呢？夹角平分线呗。所以我就想这里边应该有个角平分线，对吧？这个角平分线在哪里呢啊？这个角平分线啊，是要把 a e 给延长之后当把 a e 给延长之后呢，这个角会等于 r 角 啊，它会等于 r 角，所以就出现这个角平分线。好，当看到这个角平分线之后呢，我们有了基本的辅助线思路。角平分线的基本辅助线思路 叫做什么呢？叫做对称嘛，角平分线的基本辅助线思路就是这个对称了，角平分线基本辅助线思路的对称运用，所以现在考虑做个对称，而且对称的话呢，观察一下对称能起到一个什么样的效果呢？我们所要找的现状当中，这个 e f 可以 通过对称变换转移到另外的位置。好，所以做个对称变换，这里有角平分线存在过点 c 做条 什么线呢？四十五度夹角，也就是垂直的位置啊，做条这么个线出来，做出来之后标个点 h， 哎，起到一个对称变换，这是来自于角形的线，它起到的作用就是把 e f 呢做了个转移， e f 现在等于了 a h。 好， 来到这一步之后呢，往下的事情就是思考，哎，比较明显出现了个什么事啊， a d 加 e f 啊，比较明显的出现了一个 a d 加 e f 的 东西， a d 加 e f 变成了 a e 加 e h 等于了 a h。 好， 到这里的话呢，这三条线段的数量关系才算是有点眉目，就是起码你知道是哪条加哪条了啊，不是哪条就减哪条了啊，我最开始在哪条减哪条和哪条加哪条的这个事情上面想了很久，那就很正常啊，所以呢，最起码我们知道，哎，是 a d 加上 e f， 就是 它等于了 a h， 然后第四个啊， a h 和 c g 有 啥关系呢？ 肯定差一个根号二倍啊，这里豪毫不客气的说，肯定不会相等，也不会说一半，肯定差个根号二倍的关系，如果要成为根号二倍的话呢，那么肯定是要能够有形成等腰直角三角形的可能性，要有假角为四十五度的觉悟才行， 但你看，哎，这明显不是，也没有假角四十五度，也没有等腰转，所以又需要去干嘛呢？考虑转换就变换，几何变换啊，把这个 c g 看怎么变换一下子。 所以在这里的话呢，也是经历了很多的思考，比如说这个平移变换，平移的话肯定是不行的，因为他们俩之间的夹角啊，明显不是四十五度，你去做平移变换，不管平移到哪里，夹角都不可能产生四十五度啊，所以平移变换就不考虑了。但是对称变换其实可以有的啊，我试了一下对称变换，对称变换的话呢，这个想法就是将三角形 a g c 来个左右对称啊，你把 a g c 这个三角形对称到右边去，你去观察一下，那么对称到右边来说，比如说 g a g， 呃，这是 g c g c 跑到这来时候 啊， g c 从这个位置跑到这里来的时候呢，哎，这条线去和 a h 之间，哎，看起来就像形成了四十五度的夹角了，就比较接近了，就比较接近能组成等腰直角三角形了。好，这就是采用几何变换的想法，平移，旋转对称，但是平移我想了，对称我也想了，我怎么没有想旋转呢啊，其实我也应该想想旋转的，旋转也是想的 c g 去做旋转变换也是想的好，但是这里面的深度思考的关键点就是我们怎么样去找到和 c g 的 关系，这里面其实要去进行一定的深度思考的啊，不是毫无章法的去思考，如果毫无章法的去思考的话呢，那可能也是比较虔诚，就是深度思考一下怎么样找到和 c g 的 关系， 那就来源于 g 点，它所满足的几何特性是在这呢，做了个等腰直角三角形，所以你去思考如何把 g 点给拉进去，把 c g 这条线段给扯进去，一定要用上等腰值这个几何特性啊，用几何特性去找它相关的几何模型相关的 几何，你耳熟能详的几何几何模型，比如说手拉手模型吧，两个等腰直角三角形组成手拉手模型。再比如说什么呢？一线三垂直模型啊，啊，一线三垂直模型啊，一线三垂直呗，啊，是不是？好，那 我们就开始来思考这个数了。哎，比如说我看到等腰值，我思考这个手拉手模型来转换 c g， 怎么转换一下呢？那跟 g 点相关，跟 c 点相关，用手拉手模型转换 c g， 那 你就构造用 agf 的 点 g 作为等腰值手拉手的顶点去构造，那就过点继续做个垂线好，过点 g 做个垂线， 过点 g 做个垂线，得到 p， 做个垂线之后呢？这里正好会怎么样呢？好做垂线，由于啊，这个角呢比较特殊，一百三十五度，这个角也比较特殊，是九十五，所以恰好过点 g 做垂线的这个 gp， 过点 g 做 c g， 垂线和 b a 相交于点 p 的 这个位置，这个 g p 呢？它恰好呢会等于 c g 啊，恰好会等于 c g， 恰好会等于 c g， 所以 现在就思考说，哎，那 c g 和 a h 之间有什么关系哦？ c g 和 a h 之间， c g 和 a h 之间。那我们知道一个事情啊，根号二根 c g 现在等于谁？现在根号二根 c g 等于 pc 吗？没错，现在的根号二根 c g 其实等于 pc。 那 就 pc 和 a h 应该相等才对啊，就思考一下这两个东西相等就行了啊，往下这两个东西的相等呢，是比较容易的，比较容易的啊， 这里主要是思考怎么去转化 c g， 怎么把 c g 给扯进去啊，就是这种想法啊，旋转变换。那其实刚才我也说了个对数变换，我这里呢，把我对数变换的这个思路也给你说一说。 几何变化，无非四种，平移旋转对称，在全等构造，全等构造，当然了还会有后面会有涉及到相似三角形的话呢，这个放松啊，放大与缩小啊这些这些技巧的运用。 好。那在这里的话呢，主要没有涉及到相似嘛，它主要就是平移、旋转、对称这几种。那刚才呢，用了一个旋转变换嘛？ c e 旋转。那你考虑一个平对称变换呢？平移变换不可能做得出来的一个原因就是在于啊，这个 c g 和这个 a h 之间，它们两个夹角呢，不是四十五度啊，所以平移了之后的话呢，也不会产生夹角为四十五度的特征，就不考虑这个事情了。 好，然后考虑对称变化是为什么呢？是因为我觉得 c g 它现在在这里嘛，然后如果把 c g， 哎，就把 a g c 这个三角形整个对称，一下子整个做个对称变换，又在对称性全等啊，这里做一个角等于角， a c g， 这里做一个四十五度角，也做一个垂直 a c 的 线，哎，好，那就是这个角等于它啊，这个角呢，是四十五度，它的是四十五度，这么情况，哎，做出这么个情况来之后呢？这个 g 点 对称到 g 漂，你说 ag 啊，但我画的这个图有点不太那么的准确哈，准确一点的话呢，应该是，呃，这个样子才对，这个样子才对。 好，大概呢，是这么个情况之后，哎，然后这个 ag 啊，它现在就 对称到 c g 漂，然后呢？原本原本的 c g 就 变成现在的 a g 漂啊，为什么考虑这样做呢？因为我考虑把这个对称过来之后，它和 a h 正好就怎么样呢？哎，拼接在一起了，而且这个样子看起来啊，很像个等腰直角三角形啊。现在就证明这个东西是个等腰直角三角形就可以了啊，证明它是个等腰直角三角形呢，就可以了，就可以了 啊，就可以了，这个也能证的出来，也能证的出来，只不过你这个对称之后呢，你需要用到对称之后的属性才可以啊，也能证的出来。好，那还有个比较好玩的做法呢，当然都不是说很简单啊，这个题的过程都不简单，只是说我们可以想到的思路，还有个可以想到比较好玩的思路。是我 去思，还是这个问题怎么去找到 c g 的 关系？那 c g 现在形成的特征呢？是由于 a g， 它是等腰直角三角形， 那就思考。哎，在这里边有等腰直角三角形组成的模型当中，除了勾到手手拉手之外，其实在这里 c f h， 他 也组成了个等腰直角三角形的 c f h 也是个等腰直角三角形好，于是这两个等腰直角三角形放在一起呢，其实也形成了一个特殊的几何模型，叫肩并肩模型。哎，肩并肩模型，伙计， 这个学期期末考试考察的概率非常的大，一定要注意啊，考察的概率非常的大啊，现在家里边条件应该都不差，应该都有条件买得起这个书啊，可以去看一看。呃，看一下这个模型啊，就是两个等腰直角三角形共底点连底点的模型。两个等腰值共底点连底点的模型。 现在家里条件都不差，两个等腰值共底点连底点。它的结论啊，顶点中点连线会垂直且相等， 这里的顶点和他的中点连起来之后，和这里的顶点连起来之后，这个顶点中点连起来会垂直且相等的结论啊，很容易证得啊，只不过这里的话呢，我们只能看出来，但是要想去证明他的话呢，其实过程也会有点多的不划算啊，其实最最开始的那种做法是最划算的，就是过点击做个垂线，这个做法最划算最简单了。但是 我们其实也可以从别的地方看得出来，你比如说我用兼并兼模型的特点叫共敌连敌，我取个中点，取个 q 点，取完之后它会怎么样呢？在顶点中点连线垂直且相等，就 q g 连接起来， q c 连接起来之后， q g c 和 q c 是 垂直且相等的关系，也就是说 q g c 其实组成了一个等腰直角三角形，然后这里呢，又有个斜中半。 好的，所以这时候你也能看得出来啊， g c 除以根号二等于 a h 的 一半， g c 除以根号二等于 a h 的 一半。 啊，好，这是用了一个兼并兼模型的特征来重点的关联起来，就是要和 c g 这类的几何特性呢产生关联。好，当然除此之外，其实这个题的做法还会有把 a d 给延长延长出去过点 b 做 a c 的 平行线啊，这样子做的话呢， 是比较简单的，但是比较难想。呃，因为我从始至终我其实没有想过做这条辅助线，但是呢，他做出来之后呢，又是能够形成这样的一个全等的，那就这里的三角形， 这个三角形，或者说这个小三角形，它是能够和这个小三角形全等的，当然这个想法的话呢，应该是来自于说叫做构造全等吧。啊，你如果这样去做辅助线的话呢，是来自于另外一种构造全等的想法，就是依然从线段相等， 然后角度一边一角够全的嘛，有个边有个角，然后做个角出来之后，一边一角够个全的，够个全的在这儿也可以出现 a d 加 e f 啊。只不过这种做法的话呢，确实属于是有点开天眼的， 因为说实话，最开始的时候我连 a d 和 e f 要相加我都是不知道的嘛，是不是？好，所以呢，确实有难度啊，那整个过程里边的思考运用呢，值得大家反复的品味一下啊。

这是初二几何的一道小压轴题，这道题难度并不难，不需要什么几何大招，运用常规的一些思路方法就可以实现逐步拆解。我们先来看一看它的一个基本条件， 三角形 a、 b、 c 是 一个等边三角形，满足角 a、 c、 d 等于角 b、 a、 e 这两个小角它是相等的，并且 d、 e 的 长等于二倍的 a、 d， 让我们来求角 d、 c、 e， 它的一个角度是多少？ 那么这里为了方便来进行一个倒角，我们这里标一个角一等于这个角二，这个角一等于角二，外面又是一个等边三角形，那么这样的一个结构就是非常常见的。那么这个地方可以有哪些方法来进行一个使用呢？也就是这里的角一等于这个角二，它可以用来干嘛？ 可以用来利用等边三角形的边相等，以及角一等于角二，可用来进行一个构造全等，你可以直接延长 c、 d 构造全等是可行的， 也可以直接来导角。为了考虑到后面的还有个条件的一个衔接， d 一 的长等于二倍的 a、 d， 我 们这里就选择来导角，这个导角可以导出什么呢？它可以导出角 a、 d、 c， 它等于一百二十度。那怎么来进一个倒角来，这里标一个角，三角一等于角二，角二加角三是六十度，所以就可以推出角一，加角三也是六十度。那么根据三角形的结合，角 a、 d、 c 就是 一个一百二十度， 这个一百二十度又可以进一步的来推出角啊， c、 d、 e 等于六十度。 当然这个地方你直接运用内外角关系也可以，也是可直接可以的，对不对？那么这个六十度可以衔接后边的这个条件就是 d 一 等于二倍的 a d， 因为六十度三十度所对的这角边也有一个一比二，所以这里我们就直接过点一 做 c、 d 的 一个垂线，构造三、六、九的直角三角形，这里做一个垂直标，一个 h 点，所以根据三十度所对的直角边等于斜边的一半，这里就可以推出 啊，那个二倍的 d、 h， 它其实就等于 d e， d e 又等于二倍的这个 a、 d 对 不对？所以这里就可以推出这个 d a， 它是等于这里的 d、 h 的， 对不对？而且它又是又是一个共点共低点说我们直接连接 a、 h 三角形 a， d、 h， 它就是一个一百二十度的 等腰三角形，它就有两个三十度，这里是一个三十，对不对？这里这个地方也是一个三十度，所以就可以直接推出三角形 a、 h、 e， 它应该是一个一百二十度的等腰三角形。 好，它就可以直接来推出这里的 h a， 它也等于 h、 e， 这两个也是一个相等的一个一百二十度等腰三角形，对不对？因为有一个九十度三十度加起来是一百二，这个就比较的明显了，对不对？那么接下的路怎么来进行找呢？怎么样的可以联系到我们要求的是这个 d、 c、 e 这个角度它的一个度数的问题呢？ 我们来看一看刚刚所获得的这个条件， h a， 它是等于 h e 的， 并且它的夹角 h 这个地方它是一个一百二十度， 这个一百二十度，它的对角角 b 这个地方它是一个六十度，所以这个一百二十度，六十度，这个地方就是一个对角互补， 在四边形 a、 b、 e、 h 当中，它就是一个对角互补模型，对角互补，并且这里还有一个边相等 h、 a 等于 h、 e， 这里这里就是一个标准的对角互补模型，我们可以利用旋转来构造一个 全等三角形，对不对？所以这里我们怎么旋转，选旋转哪一个三角形呢？我们这里可以连接这个 b、 h 旋转三角形 h、 a、 b 就 行了，根据对角互补，这里的角 h、 a、 b 就 这个角， 这个角它是等于角 h、 e、 c 的， 这两个角它是相等的，对不对？所以你旋转过来之后，也就是把三角形 h、 a、 b 绕着 h 点逆时针旋转一百二十度，那么这个 ab 就 贡献到这个 e、 c 这个 延长线上去了，对不对？好？直接把它旋转过去，对不对？这里标一个 q 点，对不对？ 好？直接来构造一个旋转全等，也就是构造三角形 h、 a、 b 啊，全等于三角形 h、 e、 q， 对 不对？好？这两个三角形它旋转是明显的是对角互模型，它旋过，它就是一个全等，对不对？所以这个旋转全等可以得到什么样的有利的信息呢？它可以得到这里的 h 啊，也就是得到三角形 b、 h、 q， 它应该是一个一百二十度的啊，等腰， 它可以得到这样的信息，也就是可以推出这里的 h、 b。 这个地方是两个啊，三十度， 对不对？这两个三十度就可以推出 h、 b， 应该是等边三角形的一个 角平分线，根据等边三角形与角平面，它是有对有对称性的。当然这个地方你去政权的也是可以的，我们直接利用这个对称性可以来推出这里的啊。什么呢？就是 h a 等于 h c， 它就可以来推出这里的 h a 是 等于 h c 的， 当然 h a 它又等于 这个 h e， 所以 这三条边都相等， h c 等于 h e， 这两个边相等，由于它又是 h， 这里是垂直的，它就可以推出三角形 c h e， 它是一个等腰 r t 三角形，对不对？ r t 三角形。所以啊，就可以推出角 d c e， 它应该是一个四十五度啊，这个地方就是四十五度。 所以这道题虽然看起来有点复杂，主要是他的那个问题过程要比较多，但是每一步都是非常常规的。 前面的这个角相等，角一等于角，二来推出一个倒角六十度，再来推出一个等腰，对不对？等腰再得到一个 h a e， 也是一个等腰，对不对？这个等腰里面就又有一个对角互补的模型，有一个对角互补，加上一个 h a 等于 h e， 我 们就可以来构造一个旋转全等。 这每一步其实都是非常常规的，并不是特别复杂，只是量过程有点多而已，纵轴性有点强。好的，这个题的方法就是这样，大家可以参考参考。

初二压轴的几何难题，快给孩子收藏一下吧！角 a， 四十五度，角 c 二十二点五度， b、 c 长是八，求三角形 a、 b、 c 的 面积！很多同学上来直接 从点 b 向 a、 c 做了垂直，然后发现这些垂线段和线段之间的关系很难求解。今天魏老师教大家一个招， 我们看四十五度和二十二点五度本身就自带一个二倍的关系，而且四十五度又是等腰直角三角形的内角，这时候如果咱们构造一个二倍的二十二点五度，就可以得到一个四十度，怎么构造这个二倍呢？直接画很难，我们可以做 b、 c 的 中垂线， 上面交点，咱们叫它 d 点，这个垂足咱们叫 e。 既然是中垂线，所以 b、 e 的 长和 e、 c 的 长就都是 四。做完了中垂线之后，马上连接线段的两个端点，等腰三角形出现， d、 b 和 d、 c 相等，二十二点五度就可以对称到这里， 那么角 a、 b、 b 就 应该是二十二点五度的二倍，也就是四十五度。那么大家会发现，刚才刻意做的垂直，现在已经不经意的出现在这里，角 a、 b、 d 就是 一个直角， 那现在怎么办？一线三垂直模型已经若隐若现了，只要咱们延长线段 c、 b 再从点 a 向它做上一个垂直，哎，三角形 a、 f、 b 和三角形 b、 e、 d 就 全等了。因为 a、 b 跟 b、 d 在 等腰值当中，作为两个直角边相等， 这两个角它是互余的，这俩角也互余，所以这俩角相等。又因为这是直角，这也是一个直角，两个三角形全等，那么 b、 e 的 长就等于 a、 f 的 长，也就是四， 所以三角形 a、 b、 c 的 面积等于二分之一的底乘以高，也就是二分之一的 b c 乘上 af， b、 c 长是八， a、 f 四。最后答案是十六。用一线三垂直模型轻松秒掉这道特殊的题型，你学会了吗？点个关注吧！

八年级的几何部分的压轴题，还是我们最后期末考试一个重点和难点，基本在最后道题出现， 然后呢，虽然咱们在期中后期都是代数部分，但是核心的难点还是几何，这部分来说，我们必须要掌握那些特定的模型，比如说手拉手、三垂直一线、三中角这些 啊。然后重点还有像那些辅助线借长补短的构造，包括备长中线的构造，这些都是在一二题里边常考的， 我们的复习侧重点呢也是这些，希望大家呢去深入了解这些模型，通过题目去进行练习，会审题，会审图，然后了解题型的构造。而中考现在对于构造的考察也是非常深入的，这些的锻炼都是非常有价值的。

发上期末必考的压轴题，一定有全等三角形综合运用问题。这道几何问题啊，是最近很多初二的孩子在后台咨询比较多的一个热点问题，据说这个问题呢，很多孩子无从下手，但实际上 真正在初二到初三这个阶段，你遇到了几何压轴和难题，它往往是好几个知识点的汇总，关键的信息都藏在题目里边， 如何能够看题目读到一个条件，想到一个结论呢？那么今天呢，小李老师就通过这个小题给大家做一个小分析，跟好了老师的思路。你看 他说如图啊，在你的题目中，他发现 a、 b 和你的 a、 c 之间的关系是个垂直的，而且 a、 b 和 a、 c 之间的关系是相等，所以这是一个等腰直角三角形。 同时我在这里边我又发现你的 a、 b、 e 等于 f c b， 所以 我用一个阿尔法和阿尔法来做个标记， 同时我还知道 b、 e 等于的是 c f， 那 么蓝色的边等于蓝色的边，黄色的边等于黄色的边，红色的角等于红色的角。那么当你的 a、 e 加 a、 f 最小的时候，那么求 e、 a、 f 的 度数等于多少？ 你在这个题目你整个读完之后，百分之九十以上的孩子读完了整个题目之后，他其实脑袋里边是没有息息的， 稀里糊涂把题目读完了，感觉条件都知道，但实际上这些条件如何去用，你的脑袋里边是空的。 所以你遇到这类问题了怎么办呢？当你把核心的信息标在你的图上之后，迅速的转动你的大脑，你要去想每个条件引出出来的技巧模型是什么？比如说 一目了然，你在这里边会发现这个边和这个边一样，这个边和这个边一样，加的角又是一样的，如果它位于两个三角形里边的话， s， a， s 就 得全的。你在这里边你会发现这个角不在这儿， 那么你想直接利用 s a， s 是 不可能的，那就隐身出来一个东西，叫做一线一角构全的，你没有没有关系，我可以在这构造一个和它相等，那么我就可以在 c、 b 上截取一段 c， d 和你的 a， c 和你的 ab 相等，也就是三条黄色线段是相等的，那么再加上蓝色的线段相等和角等，那么你在这里边就可以得到 a、 b， e 这个三角形和你的这个 d， c， f 这个三角形 s， a， s 全等。 全等了之后干嘛？全等了之后就会有对应边等。也就是说呀，如果这道难题你能把第一步一线一角结全等想出来， 你们学校百分之九十以上的孩子将被你打败了。因为这一步思路的想出，就预示着这一道题你有百分之八十的概率会把它解出来。那么你在这一部分的问题解完了之后，你会发现，按照全等我们可以得到对应的比尔等 a 到 e 的 距离和 d 到 f 的 距离是一模一样的。那么我在原题中我要求的是 a f 再加一个 a， e 就 转化成了 a， f， 再加一个 f， d， 那这个就是你熟悉的了。我要求两条线段和的最小值，那么你的第一步一定一定是干嘛？我得让 a、 f、 d 这三个点共线， 只有你共线的时候，它的值才是最小的，那么你在共线的时候，你又发现 a 到 c 的 距离等于 d 到 c， 而且这个角还得的是一个四十五度，那不就相当于 最小的时候，它构成了一个等腰三角形，而且顶角是四十五度。那么你分析到了这了之后呢？那么第二个问题就出来了，他为什么 当你取得最小值的时候，你的 e、 a、 f 这个角等于的是多少度？所以你在这里边我要想办法求这个小角等于多少度， 那么剩下的问题纯粹是一个倒角，怎么倒呢？我们在这个题目中刚才说了，你有一个等腰三角形是 a、 b 等于 a、 c 截的又和 c、 d 相等， 如果你的顶角等于的是四十五度的话，那么你的底角就得六十七点五度，那么由三角形的全等，你会发现这个底角也等于的是六十七点五度， 那么如果这个底角等于六十七点五度的话，你还能得到什么呢？因为我们在原题中知道， 等腰三角形每个底角都得六十七点五度，原题中又是一个直角三角形，所以这个小角得二十二点五度， 那么你从整个的六十七点五度里边把这个二十二点五度给它减掉的话，那么这个小角就得的是四十五度。这个题目就 ok 了，你看明白了吗？关注我，最会教初中数学的女老师。

说在一个三角形 a、 b、 c 中角， b a、 c 等于九十度，嗯，这块是九十，紧接着 a、 b 这边得六， a、 c 这边等于八。啊，那根据勾股定律，其实这边已经得十了，对吗？啊，但是人 家怕你勾股定律没学过，给你补充了一个， b、 c 得十，所以这一定是八上咱们这个学期的考题了，对吧？啊，那咱就用八上的知识给它解决掉。好吧，一起来看。说，第一点，在这个线上， 然后 b、 d 这边得二，紧接着又告诉我们这块有一个四十五度，最后问我们 a、 e 这个边长 等于几？首先第一个技巧来了，很多同学为什么看见这题只能看见四十五度呢？然后在四十五度上去寻找突破口呢？是因为你没有一个好的做标记的习惯。毕老师教大家一句话，记下去，好吧，这句话就叫做 同一条直线的线段长，我们标短的，比如说 bc 这条线是不是得十啊？我这小段是不是得二？这十我直接标这上吗？不，我标短的，你是二，整个十，短的这段得几，这一段 就得八。那为什么这么样做标记会好呢？大家来看，你得八，我这是不是也得八呀？哦，所以我这个白色的三角形，它是个啥呀？ 他是个等腰三角形。那作为一个等腰三角形， 我们有一种辅助线的方法，就是已知等腰造对称。哎， 我是个等腰三角形，我本身三线合一为什么这么重要啊？因为三线合一这条线就是对称轴啊，所以你这边有一个什么样的三角形，我对称一下，这边我就可以做一个一模一样的全等。 比如说大家，我这白色的是等腰吧？哦，你这边要求 a e， 你 a e 在 哪啊？ a e 是 不是在这个三角形中啊？那我就给你对称过来，搁这边造一个点 f 啊，我让这个 df 这一段跟你这段相等，可以吗？咱们两个相等啊，公共边也相等，那等腰这两个底角是不是还相等啊？所以啊， s a s s a s 这两个三角形是不是瞬间就全等了啊？ 那要求 a e 的 长，其实就是求 b f 的 长啊。所以这道题关键的辅助线咱就做完了。那接下来再应该怎么解决呢？还是做题的习惯？刚刚毕老师教大家了一个好习惯，叫同一条直线线的长标短的吧。 还有第二个，那就是求边先求角，各位说，我们等腰用来干嘛的？倒角了，四十五度还可以用来干嘛？倒角了吧。所以我这道题我可以倒倒角相等啊。那已知角度求角度，咱就求每个未知呢？咱就设阿尔法贝塔。比如说，各位 说你是四十五度，这个三角形还跟他全等对称的，那我这边这个角就得多少， 那当然得四十五喽，是吧，那你俩都得四十五，这个角就得多少，就得九十呗，是这个道理吧。好，接下来大家来看。 说我让这个角是阿尔法，那你这个角是阿尔法，这角是九十，所以我这个角一是不是就等于九十度减阿尔法呀？根据三角形，全等角一跟角二什么关系？相等吧，所以角二它也得四十五度 减二法，不仅他得四十五度减二法，大家再来给我看，我这个大角得还得九十呢，我还没用呢，大角得九十，这是二法，那这边这个角一样得多少啊？ 九十多减二法吧，你是九十减二法，我也是九十减二法，咱俩相等，等角反过来就对等边，所以要求编程先求角度，一旦知道这个角了，大家，你是六，我这就是六，这小段得二，六减二，剩这问号就得四，所以这道题 瞬间解决了。所以大家记住了，不要见着四十五度就特别激动，一定要照等腰直。你要看看这题还有别的条件没？已知等腰的时候，我还可以照对称，毕老师说清楚了吗？当然，这道题如果你这么做，以它为 哎底角造一个等腰直也是可以的，但是你要知道等腰直的本质是什么？是把这条边旋转过来九十度，那你这边旋转过来九十度，这个边是不是就可以带着一个三角形整个转九十啊？所以在这边截一个六， 六跟六相等。哦，那我这个三角形都能转过来。好吧，那这段得二，这段得二，你再通过倒角倒出来，这段得二也是可以的啊，整个是六，减掉这二依然等于四。但更狠的还有一种思路， 各位，这学期你们是不是都学了一个知识，叫依次函数啊？各位，当一个题我们一点辅助线的思路都没有的时候，毕老师一样能让你得满分。这种方法在这门中考中经常用到，就叫做间隙。各位同学 一起来看，说你这得六，这得八，这得十，那我如果做一个高的话，根据等面积法， 十乘以这个 a h 是 不是等于六乘以八啊？所以它就是五分之二十四，这是五分之二十四。整个这个边长我能不能求 固定里或者等面积是不是肯定能求啊？啊，那这个边长等于几呢？算出来，那就应该等于五分之十八，那我再知道这小段的二，也就是说这小段就是五分之八，各位能看懂吗？那这个时候我们怎么办呢？我让他是 x 轴， 我让他是 y 轴，各位能听懂吗？那么我 a 点的坐标就是零，逗号五分之二十四，他已经知道了， 是吧？啊？ c 点坐标呢？你整个得十，这边是五分之八，那这段知不知道啊？知道吧，知道的话 c 点坐标能不能求啊？能求吧，能求的话，那么我红色的这条直线 两点确定一条直线，这条直线解析式是不是就知道了？哦，那你想求这段长，我 a 点知道，我只要知道 e 点坐标，两点坐标是不是距离就能算出来那 e 点是谁？是这条线跟它的焦点吧。 那你想确定第一这条线只需确定这条直线上的几个点，两个点就行吧。哦，第一个点就是地点本身，是不是啊？地点本身负的五十八，逗号零，我们都知道了，那另外一个点在哪啊？各位回答我还有哪个关键的条件没用上啊？ 嘿，是不是这个四十五度没用上啊？啊？你是四十五度，我怎么用？我是不是可以把它这边做一个四十五，相当于把这个家伙怎么样？ 旋转九十度吧。啊，既然你旋转九十度，那我是不是可以把这个三角形直接转九十过来就得了？所以横向五分之二十四，纵向 五分之八，明白了吗？ a 点向右五分之二十四，向下五分之八个单位，所以这个点坐标是不可求，两点再次确定一条直线，两条直线一连力，这个点坐标就来了 啊。所以这个间隙的方法是这类问题的必杀技，所有的辅助线我们都不会，我们也能把它给做出来。但是 各位，显然第一种方法毕老师教大家做辅助线方法怎么样？巧妙巧妙，计算量就小，但是那种方法你得系统的跟老毕学，你才具备这个思维，因为他比较难想。好吧，那么最后一种方法是人人都能想到，但是他的计算量怎么样？极大，所以两种方法各有 巧妙不同。当然这道题还有更多的方法，也欢迎各位同学在底下评论区刷出来你的辅助线方案。

这是一道天津中考几何加轴体，在四分之一圆中， d 是 a、 b 弧上的中点， c 点在 o、 a 上角， b、 d、 c 等于九十度三角形， b、 d、 c 的 面积是一十二，求圆的半径是多少？解这道题需要用到圆的性质， d 点是 ab 弧的中点，而且这个角度是九十度， 这个九十度的角是我们想到什么呢？想到如果是整个圆的话，我们可以补起来，再补一半， 那么再延长来九十度的角所对的弦是直径， 也就是 得到一个这样的直角三角形，斜边是直径， 那么我们用这样的图形去解这道题就比较好解，因为这两个三角形是全等三角形， 而且我们很快的可以根据这一点是是 a、 b 弧的中点， 算出来这个角度是多少度，这是二十二点五度，为什么呢？因为我们连接这个角度的话，那么这个角度就是四十五度， 而圆周角是圆形角的一半。另外我们也知道这个角也是二十二点五度， 那么这个角就四十五度，这个角也是四十五度。 或者我们也可以根据这是直角，这是直角啊。判定 o、 b、 d、 c 是 四点公园，四点公园，这两个角也是四十五度，也是可以的， 那么这里是四十五度，这里是四十五度至九十度，说明什么呢？说明这是一个等腰直角三角形，也就是这条边和这条边相等， 那么我们就可以求出有关 线段的长度，因为这是一十二，那么这个边长就可以求出来。那么我们设这个是 x 的 话，这个两个直角边是 x 的 话，那么二分之一 x 的 平方就等于十二 x 平方就等于二十四， x 就 可以求出来四六二十四，那么 x 就 等于二根号六， x 求出来了，这个边求出来了，那么这条边也求出来了。这条边是根号二 x， 也就是 b， c 等于根号二， x 等于二根号一，十二等于多少呢？四根号三， 因为二二三四一十二， b c 求出来了， 我们可以求这个 r， 也就是圆的半径， 这里也是四根二三，这里也是四根二三。那么我们有很啊有几种方法来求它的半径，比如说我们可以根据这样做一条线， 做 d， f 垂直于 b， e 垂直于直径，因为这四十五度，这是四十五度，所以这两条线段的长是相等的。我们记为 y 的 话， 那么我们可以根据相似三角形把 r 求出来。假设半径是 r， 这是 r， 那 么 o， b 也是 r， 那 么这是 y， 这就是 r 减 y， b， f 是 r 减 y。 ok， 得到 这个三角形和这个三角形是相似三角形，那么对应的 r 减 y 比， 这是短对角边比斜边， 或者是比这个直角边也可以的，比 y 也可以的。短直角边比 y， 就 等于这个短直角边比这个长直角边，就是 y 比上个 y 加 r， 这样也可以。 我们可以找出 y 和 r 的 关系， 那么交叉相乘就得到， 这里是 r 减 y， 这里是 r 加 y， 就是 r 的 平方。减 y 的 平方就等于 y 的 平方，也就是 r 的 平方等于 r， y 的 平方。 r 跟 y 的 关系出来了， r 跟 y 的 关系出来了以后，我们就可以利用这个三角形，因为 x 是 已知的， 所以实际上这就是一个变量了。那么 r 就 等于根号 r， y， r 减 y 呢？ 就等于根号二减一 y。 那 么我可以根据勾股定律列个方程，就是 r 减 y 的 平方加 y 的 平方等于 x 的 平方， r 减 y 是 多少呢？ r 减 y 是 根号二减一， y 的 平方加 y 的 平方等于 x 的 平方是二十四，可以算出来，这里的平方是 x， 二加一是三减二，根号二， y 平方，再加一个 y 平方等于二十四，也就是四减去二，根号二， y 平方等于二十四， 那么 y 平方求出来了， r 平方就求出来了。 那么 r 的 平方等于二倍的 y 平方，而二倍的 y 平方可以写成二倍的 y 平方，可以写 r， 提出来就是二十四除以 r 减根号二， 就等于二十四，除以二减根号二。你可以分母由里画一下，就是二十四。二加根号二，四减二 等于一十二，乘以 r 加根号二，那么 r 就 可以求出来， r 就 等于根号十二， r 加根号二。 当然我们也可以用这个三角形和这个三角形相似，对应线段乘比例求出 r 也是可以的，这里有多种方法可以求出来。