高一正弦函数，余弦函数的图像分解

同学们大家好，今天我就和同学们共同开启正弦函数、余弦函数的图像这节课的学习。三角函数是我们学习的一类新的基本出档函数，按照函数研究的方法，在学习了三角函数的定义之后，接下来我们应该研究什么问题了呢？ 同学们说的对，应该继续研究三角函数的图像和性质了。请同学们思考一下，之前我们研究指数函数，对数函数的图像和性质的思路是怎样的呢？ 我们就是先明确了函数的定义，然后利用定义研究函数的图像，再利用函数的图像研究函数的性质。 之前我们已经学习了三角函数的定义，所以接下来我们就要来研究三角函数的图像。 那请问同学们绘制新函数图像的基本方法是什么呢？是的，绘制一个新函数图像的基本方法就是描点法。 那么根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图像吗？其实选择哪一个区间即可呢？ 根据三角函数的定义，单位元上任意一个点在圆周上旋转一周以后又回到原来的位置，即三呀二法加二 k 派等于三呀二法。同样 q 三二法加二 k 派也等于扣三二法，其中 k 是整数， 所以我们可以先画出正弦函数在 b 区间零到二派的图像，再画出正弦函数，再定 抑郁而上的图像就可以了。那么现在我们就先一起研究如何绘制出正弦函数的图像。既然描点法是画函数图像的基本方法，对于正弦函数，大家想取哪些点，怎样描点画图呢？ 有的同学说可以对于次变量，在必须间零到二派上随意的取一些值，然后利用计算器选出函数值，再在平面直角坐标系上秒点连线。大家觉得这样做图可行吗？ 这样做图应该可以做出正前函数在 b 区间零到二派上图像的大致形状。但是对于正前函数，不论是角的弧度数还是正弦直，都会出现一些五里数，如果利用计算器 所图，明显不够精确，而且也没有利用到三角函数的定义，所以同学们你能寻找到更加精确而且利用到了三角函数定义的方法吗？ 好，我们来进一步思考。要想绘制一个函数的图像，首先就需要准确绘制图像上的一个点， 所以对于正弦函数在 b 区间零到二派上认取一个值 x 零，我们该如何借助单位元确定正弦函数值三呀 x 零，并且准确的画出点替 x 零，三呀 x 零呢？ 同学们请看图。在平面直角坐标系中画出以圆点为圆心的单位圆，单位圆与 x 轴正版轴的焦点为 a 一零。在单位圆上将点 a 绕着点 o 旋转， x 零弧度至点 b。 根据弧度制的定义，阿尔法弧度数的绝对值等于弧长 l 比半径 r， 单位员内半径为一，所以此时 x 零既是角 aob 的大小，同时也是弧 ab 的长度。 而根据正弦函数的定义，此时点闭的纵坐标 y 零即为赛因 x 零， 所以我们可以以 x 零为横坐标，而以外零为纵坐标画点就可以得到函数图像上的一个点 tx 零。 saying x 零， 那现在我们已经学会了绘制正弦函数图像上的某一个点，那么同学们你能制定一个 方案，画出正前函数在 b 区间零到二派的图像吗？ 对于这个问题，同学们有很多不同的方案，现在我们就来逐一分析。有的同学说可以在 b 区间零到二派内认取一些横坐标的值，之后按照上述的方法逐一绘制点，再用光滑的曲线连接起来。 但是同学们请注意，如果我们对 x 零随意的取值，那么 x 零可能会出现有理数、无理数，这样就不容易在 x 轴上准确的定位。 再有根据弧度至的定义，此时 x 零的值是弧 ab 的长度，那么不容易平移，所以在单位员上想定位 x 零弧度角的中边时，就存在了一定的困难。 所以有同学提出，那么我们就不要对 x 零随意取值了，可以取像一、二、三弧度等这样的值，再按照上述方法绘制函数图像 一、二、三等。这些弧度数在 x 轴上确实可以准确的定位了，但是在单位员上想定位这些弧度角的中边时，仍然存在上数的问题，我们还是不容易准确定位点地的位置。 又有同学提出，那么不如我们取比较熟悉的这些特殊角，比如六分之派、四分之派、三分之派等等。 在 b 区间零到二派内的这些特殊角确实是大家比较熟悉的， 在 x 轴上也比较容易定位，但是在单位员上又该怎样确定点臂的位置呢？究竟我们应该取哪些特殊角，怎样取特殊角才能使得作图既简便又准确呢？ 有同学提出了改进的方案，我们可以在 b 区间零到二派内取等分点，这样做图既简便又准确， 请同学们一起看图。首先我们可以把 x 轴上 b 区间零到二派这一段分成十二等份，从而使 x 零的值分别为零、 六分之派、三分之派一直到二派这些特殊角，而他们所对应的角的中边与 单位员的焦点，同样将圆周十二等分。我们可以再按照上述方法依次的画出点。 tx 零赛呀 x 零 同学们，现在就请大家和我一起来做出正前函数在 b 区间零到二派的图像。 首先我们将 x 轴上 b 区间零到二派这一段四等分，再将每一个子区间三等分，从而将 x 轴上 b 区间零到二派这一段等分成了十二份。 然后以坐标原点为圆心，做出单位圆 这些特殊角的中边，同样将圆周十二等分，这样我们就得到了 零到二派内这些特殊角的中边与单位员的焦点。现在我们就来秒点，首先散引零等于零，所以正弦函数的图像过点零零。我们再来看六分之派， 六分之派角的中边与单位员的焦点的纵坐标即为 saying 六分之派，所以我们可以以六分之派为横坐标，以这个点的外之为纵坐标描点，从而就得到了六分之派。 saying 六分之派这个点。 我们再来看三分之派，三分之派角的中边与单位员交点的重坐标即为赛印三分之派，所以我们以三分之派为横坐 坐标，而以这个点的外值为纵坐标描点，就可以得到点三分之派，下印三分之派，以此类推。用同样的方法，我们就可以依次做出 b 区间零到二派上所有对应点的位置， 然后用光滑曲线将这些点连接起来，从而我们就得到了正弦函数在 b 区间零到二派上的图像。 同学们，老师在这里利用信息技术，可以在 b 区间零到二派上取足够多的点，并且将这些点用光滑的曲线连接起来，就可以得到比较精确的正弦函数在 b 区间零到二派的图像了。好，同学们请看，这就是正弦函数在 b 区间零到二派的图像，它是一段连续光滑的曲线，那么根据函数 y 等于赛亚 x 在 b 区间零到二派的图像。同学们，你能想象出挣钱函数在定义域而上的图像吗？你的依据是什么？请你画出该函数的图像。 根据公式一，我们知道撒野阿尔法加二 k 派等于撒野阿尔法，其中开始整数，所以 函数 y 等于赛 x 在每一个形如二 k 派到二倍 k 加一派，其中 k 是不为零的整数。这样的必须间内， 他的图像应该与正弦函数在 b 区间零到二派的图像形状是完全一致的。从而我们就可以不断的将正弦函数在 b 区间零到二派的图像向左向右平移二派的单位，就可以得到正弦函数在定义域而上的图像了， 这就是正弦函数在定音域而上的图像。正弦函数的图像叫做正弦曲线，它是一条波浪起伏的连续光滑曲线。 那同学们，有时啊，对于函数的研究，能够快速又比较准确的做出他的简图，往往起着特别重要的作用。那么你能否画出函数外等于三呀？ x 在 b 区间零到二派内图像的简图吗？ 在确定图像的形状时，应该抓住哪些关键点呢？请同学们观察正线函数 在地区间零到二派的图像。我们可以看到这里起关键作用的几个点，正是最大指点、最小指点以及曲线与 x 轴的焦点。因为有了这几个点就可以确定曲线的形状了，所以我们就以这几个点为关键点描点作图， 他们的坐标依次为零零二分之派、一派零、二分之、三派负一以及二派零。 一般的，在精度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，再用光滑曲线连接起来。这种方法非常的简便实用，它称为五点法。 同学们，现在我们已经能够做出正前函数的图像了，请问你能做出 鱼玄函数的图像吗？有的同学说，那我们就和之前一样，利用鱼玄函数的定义，借助单位元描点作图吧。 但同学们请思考一下，如果我们仍然采用之前的方法，此时在单位员上点臂的横坐标为扣三 x 零，那么如果我们要做鱼选函数，以点臂的横坐标为点替的纵坐标，画图时这个坐标还那么容易使用吗？ 显然不再容易使用了。那我们还能找到什么更简便的方法吗？ 由三角函数的定义，我们知道正弦函数与选函数是一对密切相关的函数，诱导公式就已经表明了，余选函数和正弦函数是可 可以互换的。所以你能否通过已经得到的正弦函数的图像，通过图像变换的方法得到鱼悬函数的图像呢？ 有同学马上想到了这个诱导公式， y 等于扣三， x 等于三眼，二分之派减 x。 但同学们请注意，这个公式里 x 的前面有负号，同时有二分之派又涉及到平移，所以图像变换是比较复杂的，不容易操作。那我们有没有形式更加简洁的诱导公式可以使用呢？ 有的同学又想到了这个有点公式，扣下 x 等于 saying x 加二分之派。这个公式确实简洁了很多。同学们初中时学习过图像平移，我们知道 将正弦函数的图像向左平移二分之派个单位长度就能够得到余弦函数的图像了。 同学们请看图，我们可以将正弦函数图像上的点都向左平移二分之派个单位。比如将零零点平移到负二分之派零， 将二分之派一平移到零一，将派零平移到二分之派零等等。从而将正选曲线上的每一个点都向左平移二分之派个单位就得到了鱼选函数在定义域而上的图像。 而鱼悬函数在地狱而上的图像叫做鱼选曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的波浪形曲线。 我们都知道曲线是由点构成的，那同学们，你能利用点的坐标来解释这种平移变换吗？我们一起来分析。设函数 y 等于 cx， 图像上任意一个点为 m， n 即 cm 等于 n， 则在函数 y 等于 say in x 加二分之派上，当 x 加二分之派等于 m 时，即 x 等于 m 减二分之派时，函数值同样也为恩， 所以函数 y 等于散呀。 x 加二分之派的图像上就有一个对应点，它的坐标为 m 减二分之派 n， 那我们看到将点 m n， 凭一道点 m 减二分之派 n， 显然 是将这个点向左平移了二分之派个单位。同时我们又是在正弦函数图像上任意取的一个点，所以说明正弦函数上的所有点都向左平移了二分之派个单位，从而我们就用点的坐标进一步解释了这种平移变换。 那同学们，类似于五点法做正弦函数的图像，我们又该如何做出余弦函数的简图呢？ 思考这个问题啊！我们首先应该思考选取哪个区间研究这个问题比较合理。 那么根据鱼选函数的定义，我们可以知道仍然需要取长度为二派的区间，再根据鱼选曲线的特点，他关于外轴对称，所以我们不妨取一个关于外轴对称的 区间，这样我们取 b 区间复派到派就比较合理了。那么请同学们观察鱼旋函数在 b 区间复派到派上的图像，我们取哪几个点为关键点呢？ 哎，仍然应该取最大指点、最小指点以及曲线和 x 轴的焦点。 他们的坐标依次为，负派负一、负二分之派零、零一、二分之派、零派负一。 现在我们已经能够做出正弦函数和鱼群函数的简图了，那么同学们，请大家和我一起看这个例题，请你用五点法画出下列函数的简图。 我们先来看第一个函数 y 等于一加三 x， x 属于 b 区间零到二派，我们应该取哪五个关键点呢？ 由于是给赛 x 的值加了一个单位，所以我们可以取和正弦函数相同的五个关键点， 然后求出每一个对应的赛 x 的值，之后再求出一加赛 x 的值，之后根据表格描点，然后用光滑的曲线将他们连接起来，就得到了这个函数在 b 区间零的二派的图像。 我们将它和正弦函数在 b 区间零到二派的图像对比一下，可以发现，对于每一个 x 而言，横坐标不变时，纵坐标加了一，所以本质上是 将正弦函数在 b 区间零到二派的图像向上平移了一个单位而得到的。 好，我们再来看第二个函数， y 等于负抠赛 x， x 属于 b 区间零的二派，我们又该取哪五个关键点列表呢？由于这里是给抠赛 x 取了相反数，所以我们仍然可以取和余选函数相同的五个特殊点， 仍然为最大指点、最小指点以及零点，然后求出每一个扣三 x 的值，再求出负扣三 x， 根据表格秒点，然后用光滑的曲线连接起来，就得到了 y 等于负口三 x 在 b 区间零到二排的图像， 我们将它和鱼旋函数在 b 区间零到二派的图像对比一下，可以发现，对于每一个 x 横坐标不变，而纵坐标取了相反数，所以本质上是将鱼旋函数在 b 区间零到二派的图像关于 x 轴对称而得到的。 同学们，最后我们回顾一下这节课的内容，请大家思考一下以下问题。一、我们是如何做出正弦曲线和鱼弦曲线的？ 首先，我们通过等分 b 区间零到二派等分单位员的方法，借助单位员和正弦函数的定义，做出了正弦曲线，然后将正弦曲线向左平移了二分之派 个单位得到的鱼旋曲线。二、如何用五点法做出正弦函数鱼弦函数的简图呢？ 一般在精度要求不高时，我们可以采用五点法来做函数的简图。这里一般取的是最值点以及曲线与 x 轴的焦点。 三、做函数图像有哪些基本方法呢？正如我们这节课做正弦曲线和鱼弦曲线时用到的两种方法，分别是描点法和图像变换法，这也是我们做函数图像常用的两种重要方法。 这是这节课的作业，请同学们课下完成。最后我想送给同学们两句话，数学是打开科学大门的钥匙，数学是人类思考中最高的成就。希望同学们喜欢数学，热爱数学。同学们再见！

朋友们大家好，咱们今天看第四节。讲第四节之前呢，咱们先看一下第四节，它主要是大概内容上怎么安排的。 第一小节就是五点四的第一小节，第一小节它主要讲的是一个正弦函数和余弦函数的图像。正弦函数和余弦函数的图像是怎么来的？和余弦函数的图像是第一小节。 第二小节讲了一个正弦函数和余弦函数的性质，还有哪些性质呢？主要是从几个方面。第一个周期啊，就是周期下来是基无信。咱们前面讲函数的时候呢，整个讲基无信，从基无信 下来讲单调性，单调性。讲完了以后有个对值值域问题，值域就是三角和正弦和余弦的值域问题是第二小节。第三角节呢，讲了正弦函数， 就讲了正间函数的图像和性质，正间函数的图像和性质，图像和性质，这是整个第四节讲的内容啊，它分三节内容去讲。所以咱们这节课呢，咱们先看第一节，看第一节， 咱们之前讲三角函数定义的时候，咱们现在看一下。讲三角函数定义的时候，咱们再回想一下，借助单位圆，里面讲的是正弦和余弦和正切，是吧？记住单位圆，这是 x 轴，这是 y 轴，咱们借助单位圆看一下，再回忆一下，很圆啊，单位圆这个就是坐标，就能写出来。我们现在看一下正弦 正弦值和余弦值，还有正切值，咱们当时怎么表示的？找一个中边，这个中边和这个单位圆是不是有个交点？点 p， 那 么咱们从点 p 向 x 轴做垂线，然后这记成 m， 这是左边原点是 o， 那 么 pm 的 这个线， pm 是 不是它的正弦值，是吧？ pm 正弦值， om 是 余弦值， 正切值的话，咱们知道是 pm， 比上 o m 的 值就是正切。那咱们现在看正弦，先看正弦，正弦呢，它的意思就是因为你整个这个值就是每对应一个中边，我就能找见一个边的值，是吧？所以呢，它在这块的三 a 这个图像，也就三角函数的图像是怎么出来的？看一下， 因为咱们知道它是每一个象限角呢，是一直在转，一直在转，所以看一下。也就是如果是点 p 到这儿的时候， 他这个三英值的图像怎么出来的？他对应的值就有一个，就相当于是横坐标 x， 我 取了个点坐标，假如这个角是六十度， 注意看了，假如这个角是六十度，那我就在这个坐标轴上呢，我就找一个多少六十度的角，也就是三分之派。三分之派是不是六十度对三分之派，那么他对应的值呢？从这个点 p 做个水平的，做平行 x 的 线，或者也就是三分之派的时候，他取这个值再看。如果我取得三十度， 用另一个线画啊，如果我取的是三十度，那么三十度的中边呢？看一下，在这个点，是不是啊？那么从假如 q 点，那么就是从 q 点做 x 的 平行线做过去， 他取的是多少三分之派，他取的是六分之派，三十度在这呢，是不是啊？那同理，如果取的是九十度，九十度，我取这个线看一下，我用另一个颜色画，九十度呢，我取在这，你做线的话，那就是九十度，我画在这，是不是啊？继续，咱们知道，再这样， 如果呢，在画第二、三线角的时候呢，你看这个角度，这个值是不是又降下来了？又降下来又对应一个值，写出它的横坐标，写出它的纵坐标，就这样一直循环的住。 你看再这样无数个点，一直循环的循环了以后呢，咱们就能画出来正弦函数，因为它是一个周期函数，什么意思呢？咱们知道角度是一直在三百六，三百六的往过转，是不是？所以呢，你就想一下它这个图像就是这样， 就类似于咱们拨骨这样循环的啊，所以呢，咱们就出来三角函数的图像，一定要知道他是怎么来的。那咱们现在看，所以画出来图像就是三角函数的图像啊，正弦函数图像画出来就是这样的， 一，咱们这到单位一单元吗？就画出来图像，就知道他是一只有开始变小、变零，最小到负一，是不是从这过坐过去，最小到我指的负半轴，这就是负一，把这图画回去啊。 就这样循环，也就相当于相当于是用描点法画出了好多图，循环到这零的时候，到这了又继续，比如是三十、六十、九十，又继续，是不是这样又是一个循环的一个无限循环的一个，那么包括这一样的， 你开始转，转完了以后这样是不是这意思？也就是这就是正弦函数是怎么来的？你要知道课本上画的一个单位圆，它实际上就是正弦函数，就这么来的，它每一个值咱们取特殊点和咱们之前学，不管咱们学的是一次函数还是二次函数， 还有咱们的反比例。咱们课本上找这个图像的时候，刚开始是不是都是先用瞄点？第一步，先瞄点，列表，瞄点时间就是取特殊点，是吧？列表瞄点连线吗？列表，列表时间就是举数字 举例，列表时间就是举例，因为刚开始我不知道他是一个什么图，就只能是取特殊值来看，是吧？列表瞄点，我取了好多的点，瞄点 标完点以后连线，我看一下它是一个什么，用平滑的线去连连线是吧？连出来以后整个图像就出来了，这就是三角函数正弦函数的图像啊，就是这样的，看一下余弦函数，余弦函数，咱们就这样，没法这样画，为什么？因为余弦函数，咱们知道余弦是哪个线，是不是 om？ om 的 线你是不是都在 x 轴上， 是不是？也就是要么你就在 x 这正半轴，要么就在 x 负半轴，也就你这个点不能明显的看出来它是多少，是不是？所以呢，怎么画呢？看一下余弦函数，余弦函数呢，是 y 等于 cosine x， 然后呢，咱们也是先用描点的方法来去去做，然后呢，它是由咱们知道通过诱导公式它可以写成谁， 因为三 e 有 一个画嘛，咱们现在看一下它和三 e 什么关系？看一下三 e 它是不是可以写成三 e x 加二分之 pi。 诱导公式里面咱们讲过一句话，就是既变偶不变，符号看下线。既变偶不变 偶不变，还记得吧？符号看下线，这是咱们诱导公式里面就这一句话哈，符号看下线，那咱们现在看一下三 e 的 x 可不可以写成三 e 的 x 加二分之 pi。 那么注意看，把 x 看成锐角， x 加二分之二，第几项线？第二项线的三是正的，正的，然后呢积变二分之派是积数倍，是二分之派的一倍嘛？积数倍，三角函数没变，变成考三 e 啊，然后你后面跟哪些？就是这个式子是成立的啊，余的公式可以理解， 现在看一下余弦函数图像怎么办？正弦函数会做了，那么余弦函数呢？咱们讲那个二次函数，之前讲平移的时候，咱们可以是左加右减嘛，也就是经过三 x 就 y 等于三 x， 它是经过怎样的变形，可以变到 y 等于三音的 x 加二分之派了。咱们知道左加右减吗？那就是向左平移多少二分之派的单位，也就是你正弦函数向左平移二分之派的单位就得到余弦函数的图像了，也就是余弦函数就是这个， 这是 x 轴，这是 y 轴，那么余弦函数的图像就长这样，它也是一个循环的，因为只是你图像向左平移了一二分之派的单位，是吧？所以呢，你看在这块三一的话呢，就是三一这块取的是零，最高点呢是取的二分之派，它取二分之派的时候最高，然后呢下来这是派 零二分之派派，然后这个点呢是二分之三派，这是三印，然后呢最后一个点是二派，这整个转了一圈，是吧？后面又循环了，那么到了考三证呢，那一样的零，这个点成二分之派了，然后呢这个是派，这个点呢是二分之三派， 这个呢是二派。这一个周期完了，是不是转了一圈了，然后呢又开始循环，是不是？这是考三 e 的 图像，这是 y， 等于考三 e x， 这个呢上面是 y 等于三 e x， 这就是课本上讲的第一节的内容，第一小节的内容就是正弦函数和余弦函数的图像问题。 好，这是这个，然后呢，咱们几节的看一下课本上怎么讲的，先看这个下来研究 y 等于三 e x 的 图像，然后呢，零到二派啊，就是整个一圈转了一圈的时候，它图像怎么变换的了？ 那么就是看他是随便找一个中边，中边上的这个三一指，这个这个正弦是不对的这个值，然后他把这个值平移过来，就把 b m 平移。平移到哪呢？你横坐标对的是谁？这个点这个对的是假如对的一百五，你就找一百五的位置， 对，就是横坐标，找一百五把横坐标就平移过去，就这个点就出来了。好，这是正弦函数。这咱们刚才讲的。然后呢，咱们现在看， 他说是零到二派三角函数啊，零他是学特殊点，也就是描点，描的肯定是特殊点嘛，不然这个点描不出来，是吧？那就是零三十六、十九十度，然后呢，三百六一直到三百六，整个是看描出来就是这样的，是不是描记第一个列表描点连线，是不是？这就是三一的图像， 这是这个，那就是根据 y 等于三 x， 就是 一个周期内就是一圈转一圈的时候的函数。图像我就秒出来了，这是正弦函数啊，这是正弦。这咱们刚才已经实现咱们的波峰和波谷啊，连续光滑的曲线啊。这咱们讲了，还继续，因为咱们的是循环的，转一圈， 转一圈，一个零的二派再转一圈，再转一圈循环，是吧？所以呢，现在看在 y 等于三 x 这个图像上，那么以下的五个点，零零点，咱们这五个点必须熟练记，零二 分之派都一，二分之派都一，这个点零一，然后呢，下着派零，派零，就是零一零，负一零，这五个点必须熟练记啊，零一零，负一零，这是三印啊，三印的五个点，后面咱们要讲的五点反画图啊，五点反画图啊，这是 咱们刚才讲了，是由三角函数的定义指导的啊，三角函数就是借助那个单位元正弦和余弦啊，然后咱们这是正弦函数图像，再看余弦，余弦的话，它是诱导公式，这个式子是成立的啊，即便偶不变符号干象线啊，自己 呃，自己做一下啊。然后呢，可以通过向左平移，就是 y 等于三 x， 那 么就是向左平移移到这个图像啊，这个图像实际上就是考三印啊，这是这个啊，这咱们刚才已经讲了，简单过一下课本。 然后呢，看一下余弦函数图像，它是用一个实线代表的是余弦函数虚线，就咱们正弦三角函数啊，那个三一的图像，那么就是实线，是余弦，那么就是像这个余弦函数的图像叫做余弦函数， 就是说余弦的曲线啊，它与正弦函数呢，实际上就是形状相同的，它们都是波峰，波波鼓，然后呢，形状是相同的啊，这是这个也是连续光滑的曲线， 然后呢，在这个里面呢，他让你填表格，他让画的是负派到派上的，那么这个 x 一定要注意，你既然是负派到派上的，那你 x 取的就是从负派开始取了，你不是说是永远都是从零到二派，这个要知道啊，那就是负派下来是多少负的？二分之派，零 二分之派到派，然后对应的这个指望。今天啊，这就是这个，那就是考三音派，然后你就看实线是考三音的，是吧？考三音派就是负派嘛，是吧？考三音派是派，这我说一下考三音负派是派，咱们前面讲遇到公式的时候呢，咱们总结过考三音负 x， 看一下考三音负 x 是 不等于考三 e x， 那 么三音负 x， 再简单复习一下，三音负 x 是 不等于负的三 e x。 在这块要用到啊，讲函数，然后顺便把这个也讲一下， tan t 负 x 是 不对负的 tan t x。 对， 把这个回忆一下，这个都是在讲诱导公式的时候呢得出来的结论啊，这是这个，所以呢，那么就是一个多少 cosine pi 是 多少？看一下 cosine pi 是 找 cosine， 这是 pi， pi 是 负一。 然后看一下考三二分之派，考三二分之派的话是多少？零是不是考三一零是多少？考三一零是一，然后呢，考三二分之派，那就是零，考三派呢是负一，所以要记住考三的那五个值是一零负一零一。 好，所以在这块说一下考三的那五个值，考三的那五个值就是一零负一零一， 然后呢，三一的那五个值呢？是零一零负一零，必须熟练记。哪五个值呢？就是零二分之派派二分之三派。在这把我写的详细一点啊，咱们再略写，就是零二分之派 派二分之三派和二派。那么三一的对的那五个值是谁？零一零负一零，考三一对的那五个值是谁？一 一零负一零一，必须熟练记啊，这，这是在咱们在讲那个三角函数定义那块的时候，我提到过，就说是三一的那五个值到底怎么去记？ 他不是那块有特殊值吗？是吧？就是坐标轴上的角的时候怎么记？那就是三一的这三一的零一零负一零，这是三一，然后呢，这是 x， 这是三一 x， 然后呢，考三的图像呢？咱们现在就是学了图像以后就可以用图像去记啊，图像记还是简单，那就是这是 x， 那 么这个就是考三 x， 就是 一 零负一零一，他们对的五个值分别是零二分之派派，这个点呢是二分之三派，这个是二派啊，这个，这是这个题。然后呢，这就是这一节的 知识点和课本上的课本上的练习题，然后看一下课本例题，课本例题这个比较简单，直接是令三一的这五个值啊，零到零二分之派派二分之三派三一，咱们这是零一零负一零，直接算出值画图就行啊，实际上就是根据咱们的平移的话，可以理解为是三一 x 向哪平移？向上平移一个单位， 是不是向上平一个单位？然后呢，看第二 x， 先看考三 x， 这五个指是一零负一零一，那么负的就是 y 等于考三 x 和 y 等于负的考三 x， 关于谁对称，关于 x 如对称啊，图像关于 x 如对称。好，所以就是可以看一下啊，看第二个， 看第二个，你看 y 等于考三 x， 负的考三 x 是 不是和考三 x， 关于谁对称？关于 x 如对称，是吧？这个蓝颜色的，蓝颜色的是不是咱们的考三 x 图， 那么这个呢？红颜色的是不是负的考三元 x 图是不是关于 x 对 称，是吧？也就是考三元 x 和负的考三元。关于 x 对 称。啊，这是这个，这是第一小节的知识点和课本的例题，咱们下节课看课后复习。好，谢谢大家。

哈喽，同学们大家好，来到了必修一第五章三角函数五点四点二，正弦函数、余弦函数的性质，那我们这节课非常的重要哈，因为本身呢，正弦函数，余弦函数的这个图像性质就是一个难点啊，它的这个难度要比我们的这个纸对密啊要难一点。 另外一个呢，就是我们借着讲这个正弦函数和余弦函数，因为我们说三角函数是整一个函数的极大成者，所以呢，它会借着它会讲到很多，包括新的一些性质，以及我们对过往一些，比如说复合函数啊等等的一些重新的一些认识。 ok， 我们首先第一个呢，就是函数的定义域和值域啊，对吧？那这个东西，当然其实我们在啊定义三角函数的时候，也就是说我们的那个五点二点一定义三角函数就已经讲过了，对吧？单位圆我们也知道，所以呢，它定义域呢，是 x 能取到这个实数级 r， 然后这个值域呢，最小是负一，最大是一啊，对不对？我们的单位圆里面也知道啊，是吧？因为我们是干嘛？我们的这个 sin x 是 是由中边的这个点的，这个是吧， 对应的这个纵坐标来决定的，然后余弦函数呢，是横坐标，然后它是个单位元啊，对吧？这个是我们的基本定义，永远都不要忘记我们的基本定义啊，很重要。 第二个点呢，就是周期性啊，这个就是三角函数特有的一个性质啊，我们过往的指对幂，它都不存在一个周期性，就是根据三角函数的定义啊，以及我们根据这个单位元的定义推导出来的这个什么诱导公式一啊，对不对？ sin x 等于 sin x 加二 kpi， 这个呢，他就是说他不断的会干嘛呢？不断的重复，周而复始，对吧？对吧？我们的函数图像，我们上节课这个函数图像是不是也是这么刻画的？就是我们首先刻画这一段， 然后接着呢，就是周而复始，不断的循环，对不对？我们上节课也是这么刻画的，那么这种性质呢？在数学上我们称这种规律为 周期性，对吧？这个就是顾名思义周期性吗？周而复始，好吧，那么我们来正式的定义一下这个周期性， 一般的设函数 f x 的 定义域为 d， 如果存在一个非零常数 t， 使得对每一个 x 属于 d， 都会有这个东西，然后呢，写满足这个东西，这个东西在我们过往做题做 抽象函数题的时候，就已经应该有大量出现了，就是我们讲完第三张函数的这个基本的理解啊，那个函数的概念的时候，就已经会有很多抽象函数的题目了，对不对？就已经会出现有这样的式子了。 然后呢，这个时候我们就称之为这个函数呢，叫做周期函数，而这个非零的常数 t 呢，叫做函数的周期。我们这个地方哈，首先我们要关注到第一个重点啊，就是什么东西呢？当然我们首先通俗的理解啊，周而复始，不断的重复，对不对？比如说这样一段 接着一段，或者说这样一段，这样一段，这样一段周而复始，对吧？所以呢，这个表达式是体现它的意思的，你打个比方说，呃，假设一个函数的周期为四，那么 f x 加四就会等于 f x， 对 不对？但是这个地方呢，很多同学要搞清楚哈，周期性是要满足什么？首先使得对每一个，这个是它的第一个要求，所以这个地方是一个非常大的重点。我们来看哈， 就是说上述的这句话，这句话告诉我们打个比方说有一个定义域一到三，比如说，嗯，我们举个例子吧，这里是一，这里是三啊，对吧？这里是二，那么函数图像是这样子的，这样子的，那么它是不是周期函数呢？它不是啊，就说你对于 任意每一个，每一个就是所有的 x 在 一到三之间，你比如说我们打个比方说二点五，那在都有它加多少啊？它，它加一等于三点五， 它属于它的定义域低吗？不属于它超出了，所以我们要知道一个什么东西呢？哎，这个时候呢，同学们可能想到一个东西，那既然这样子，它会不断的重叠，比如说我在边边的话，它如果这个是周期，它一定会跳到下一个， 如果每一个都满足，那么是不是说明只要是周期函数，那么它的周期就是它的定义域一定是 r 呢？ 同学们可以思考一下这个问题，那是不是按照这么讲，只要他是周期函数，他的定义域就必然是 r， 可不可以举一些反例啊？是不一定的哈，你比如说我们，比如说一到二之间， 这样子，对吧？然后二到三之间呢？哎，没有定义的，然后三到四之间又有，然后四到五之间又没定义，五到六之间也有，可不可以呢？ 这行不行呢？也是可以的，对吧？这个函数可不可以？可以的，比如说我就是一个个点，比如说，呃，像这个竖列， 或者说我的定义域，它只能取一二三整数，行不行？也可以吗？是不是对于任意的一个，这个 x 属于它的定义域低，它都有下一个， 对吧？也都可以。所以这个条件很多同学会误以为，那么就是说周期函数必然定义为啊，那不一定的哈，不一定，说那些，我们刚才举的这些反例都可以，但是他必然是无界的 啊，这个概念在我们的人教 b 版没有提到，但是如果不是人教 b 版的同学也不用担心说啊，这个我们没学过，不是因为高考都是统一，只不过他有命名而已。什么叫无界？就是说一到三啊，那就一定在一到三之间 啊，对吧？或者加一个并一个，呃，十到十五之类的，反正他一定会框在某一个里面啊。但是无论我们刚才举的那第一个例子还是第二个例子，他都是会无穷无尽啊，就是一定是无界的两边，所以这个是肯定的，所以这个呢，是我们要特别去理解的一个知识点。 ok， 然后呢，接着呢，我们会发现周期函数的周期呢？一定不一定不啊？看着这个词啊，他不是不一定啊， 它不是不一定，它是一定不一定。不，只有一个。就说如果 t 是 函数的周期，那么显然二 t、 三 t、 四 t 等等，它都是它的周期，对吧？你比如说我们的三角函数当中， sine x 等于 sine 的 x 加二 k 派，对吧？二二派， 那么加二派加四派，满不满足也满足，六派满不满足也满足。所以呢，如果 t 是 它的所有的这个整数倍都是它的周期， 所以呢，它是一定步的关系哈，所以我们要知道这个点，所以呢，一定步只有一个。然后这个时候呢， 如果一个周期函数的所有周期当中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f x 的 最小正周期啊，有点类似于什么呢？比如说我们以前所学的那个，呃，啥 最小公倍数啊？对不对？比如说六和八啊，六八四十八，四十八是他们的公倍数，九十六也是他们的公倍数。但是比如说我们要做通分的时候，二十四就够用了，其实他们都行，但是我们肯定希望他更小嘛，所以二十四他是他们第一个，就是最小的公倍数。 所以呢，如果存在一个最小的正周期，就好像刚才说的，我们的三眼 x， 它等于三眼 x 加二派加四派加六派，对不对？那二派就足够了，那这个地方我圈出来叫存在，也就说它有可能不存在这个地方。同学们又停下来好好想一想， 会不会你们能不能举到反例，什么情况下不存在最小正周期呢？可以好好想一下这个问题在什么情况？就是你比如说哈，我们的常数 常数函数，对吧？比如说 y 等于 c， y 等于二，对吧？ y 等于二，它是不是周期函数啊？ 是的呀，函数常数函数当然是周期函数，对不对？它满足，但是这个 t 它是不是可以取任何的值啊？它 t 可以 取实数及 r 都可以，它取二满足，取三满足，反正我取什么值它都等于二，对吧？它是一个常数，那这个时候它没有，就不存在一个最小的一个数， 对吧？零点一也满足，零点零一也满足，所以是有可能不存在的哈，同学们要搞清楚，有可能不存在的，所以这些都是我们的基础的知识的掌握。 ok， 周期性我们讲完了，这个就是我们正弦函数和余弦函数引出来的最后一个啊，性质就是我们说的三三大性质，我们在嗯，最开始第三章啊，三点二点一，我们讲单调性，我们说单调性是最重要的， 百分之七八十都围绕着单调性去展开啊，所有的最值什么各方面的东西都是围绕着它。 ok， 然后第二个呢，就是对称性 啊，这个可能占百分之二十多吧，然后剩下一点点呢，就是周期性，对吧？ 这三个就是我们赖以生存去研究我们的函数的一个脉络，前面有这两个，现在出现了第三个，对吧？所以从三角函数引出了我们的第三个性质，也是最后的一个性质啊。然后呢，根据周期性的定义，我们会知道啊，正弦函数是这个周期函数， 那么二 k 派都是他的周期啊，最小正周期二派对吧，我们刚才已经去整理一下就可以了，他们的最小正周期都是二派，对吧？两个图像都是一样的，刚才已经讲过这个问题了。 ok， 我 们来例一来看一下，求下列函数的最小正周期，这个是课本的一道例题啊，我们来看一下， 当然这个呢，我们一定要记得他的那个周期性的定义啊，永远要记得他的定义啊，所以很多东西都是从定义来的，这个是他的定义，所以我们会知道， 呃，三倍的 sine x 是 会等于，根据诱导公式等于三倍的 sine x 加二 pi， 所以 本身二 pi 就是 这个函数成了一个三，并不会影响，并不会影响它的这个最小正周期啊。那这里同学们觉得，哎，这里没有什么特别的对不对？所以这里看一下。但关键是在于我们的第二道题啊，我们的第二道题如果变成什么样呢？变成这里出现了一个二会干嘛呢？ 出现了一个二呢？我们来看一下哈。如果我们认为，比如说啊， cosine 二 x 等于 cosine 二 x 加二派，对吧？无论它取什么值，反正我的最小正周期就是二派嘛。那这个时候，哎，不还是那个周期是二派？那这个时候我们就想清楚了， 我们这个时候呢，你看 f x 的 表达的那个方便性就出来了。 f x 等于谁啊？现在这个函数是多少？ cosine 二 x， 如果你认为是二派，请代入这个式子。周期性是什么？如果你认为是二派，那么就是 f x 等于 f x 加二派， 那这个时候呢？带入这边是什么？这边是 cosine 二 x 这一边呢？ cosine 两，这是什么东西啊？两倍的整体哈，把这个这个整体变成 x 加二派，所以看清楚 x 加二派， 所以这个时候呢，它是变成了什么东西啊？二 x 加多少派？四派？ 同学们通过这个东西有没有看懂？如果我们认为它的最小正周期是二派，因为它带入是这个 x 作为整体进行带入，这个时候变成四派，它是不是它的那个周期？当然是，但是是不是最小正周期呢？ 不是的，这个东西和什么东西有异，异曲同工之妙呢？就是关于函数的平移， 你比如说从 f x 到 f x 加一，左加右减嘛？向左移动一个单位， ok， 那 么我这个时候呢，你比如说啊，我打个比方说啊，两二的二 x 次方啊，然后变成二的二 x 方加二吧。打个比方说， 那打个比方说，这个情况下，它是不是向左移动了两个单位呢？不是，这个就是 f x， 那 么这个就是 f x 加一， 把 s x 加一替代掉这个 x 就是 变成了两倍的 x 加一，把它弄进去就变成这个，所以一定以这个作为整体去看 好不好？所以呢，这个时候呢，我们那怎么解决呢？我们要知道 cosine 二 x 等于 cosine 二 x 加二 pi， 然后呢，这个东西要融入进里面，所以会等于 cosine 两倍的 x 加 pi， 所以这个才是什么来看，这个才是 f x， 这个是 f x 加 t， t 是 多少 t 是 加 pi， 所以 这个时候我们会知道 pi 才是它的最小正周期。这个东西啊，跟同学们讲一个非常重要的点，这个知识它不是， 就是我们刚才所讲的就对这种函数的理解，它不是三角函数的知识，它不是三角函数的特有知识。 这个东西我说了，就是在我刚才最开始讲的时候，就是我们的五点六，我们会大总结大整理，这个地方会讲到 我们只是说干嘛三角函数它很好体现。所以同学们为什么我非常推崇课本的例题，而很多同学就压根不想看课本的例题，课本的例题有告诉很多的信息，有告诉你它需要你掌握什么样的能力， 好吧？所以像这个东西，同学们觉得它是三角函数的，不要觉得它是三角函数特有的知识，它不是啊，只不过在用三角函数来体现而已。那这个东西是一样的啊，这个地方我们来看一下，所以有这个东西，对，这个，把这个给弄进去，对吧？然后呢？所以这个时候呢，我们把 f x 看这个整体，然后套回到定义当中啊，这个 周期函数的定义啊，所以有这个东西，所以最小值周期 t 等于 pi。 ok， 第三题，那这个时候呢，同样的对于三眼 x， 所以呢，没有任何的改变，所以呢？两倍的三眼的二分之一 x 减去六分之 pi， 然后等于两倍的三眼的二分之一 x 减六分之 pi 加上二派，对吧？那同样的，我们要把这个二派融入到里面去，那怎么融入？就是等于两倍的三眼的二分之一，那它乘，乘以个什么东西啊？乘以一个四派，呃， x 加上四派， 对不对？因为二分之一乘以四派才会等于二派嘛？就这个东西怎么来的？就二派，就除以二分之一得来，这是四派嘛？那这个时候再再减去一个啊，没错，再减去一个六分之派， 所以这个时候我们要对比这个到这个就这个函数，如果是 f x， 那 这个函数究竟就从这个，我们要识别到从这里发生了什么样的变化呢？就是从 f x 变成了什么东西？ f x， 哎，那个加四排， 所以它发生的改变其实是从 f x 变成了 f x 加四排，所以搞清楚，所以这个时候呢，它的最小正序是四排，对吧？ ok， 这个 加二派这里永远都不会变，然后呢，这个二派要融入在这个里面，我们才能理解到是这样子的，如果还不能理解，你们就按照我刚才的方法把它反过来， 好不好？就先别管这个，然后呢， f x， 你 先写出 f 二 x 加二派，他会就这个作为整体，这个作为整体，比如说 t 来替代掉这个 x 会发生什么事情？去感受一下，如果还不能理解的同学， ok， 那 这个时候呢，对于函数 f x 就 会有这个东西，对吧？所以呢，它的最小正周期是四派， 好吧，然后第三个东西呢？哎，也是这个难点，然后呢，我们会观察它图图像会发现呢，首先，哎，这是我们唯一个什么东西呢？它既是 轴对称，也是点对称，并且还有一个东西就是无论是对称轴还是对称点，我们发现会有无数个啊，你比如说对称轴每一个取的最值啊，无论是最大值还最小值，这个地方是不是对称轴，这是不对称轴，这是不对称轴。 所以呢，所有每一个取得最值的这个横坐标 a m 所对应的这个垂直于 x 轴的直线 x m 都是它的对称轴，而对称点呢，每个和 x 轴的交点都是，这个是，这个是，这个是，所以它有无数个对称轴，也有无数个对称点， 并且它同时是轴对称和同时是点对称，唯一的一个这样的规律啊，我们来看一下好不好？对称点和对称轴， 好吧，所以呢，我们要搞清楚这个东西，然后这个东西呢，是我们干嘛观察这个图像得出来的，但是，所以呢，这个他并不是一个严谨的 啊推论，所以呢，我们来验证一下，首先我们写出正弦函数所有的轴对称啊，对称轴和对称点的集合，并进行证明。首先我们是对称轴，我们说所有最值的这个什么所有最值的这个横坐标吗？那是多少啊？最值这个地方是二分之派 啊，加一个 k 派都是啊，对吧？ k 属于整数， x 等于它，所以这个呢，就是它的什么？就是它对称轴。然后这个地方怎么去理解呢？ 两个理解，首先第一个，当然回归定义，回归定义我们的单位元当中啊，在这个角度什么意思啊？什么叫 k 派加二分之派啊， 对吧？ k 派加二分之派， k 派加二分之派，就这个 y 的 非负半轴或者非正半轴，那这个地方我们加一个和减一个对称的时候，它的那个会干嘛？相等，所以它是相等的， 这个东西呢，它也不是一个严谨的代数证明，那么从我们代数来看啊，从代数代数的层面，我们要证明直线这个是对称轴，那么等价证明这个是什么来的呀？ 这个就是我们在三点二点二的对称性里面讲过，是吧？函数如果关于这个 x 等于 a 对 称的话，会有什么呀？ f x 等于 f 二， a 减 x， 如果不知道这个东西，那么就请回到三点二点二去看，或者我说到，呃，也可以到选 b 一 的那个， 讲椭圆的那个，选 b 一 的三点二点二，哎，刚好都是三点二点，哦，不是三点一点二啊，选 b 一 的三点一点二，或者我们的 b 修一的三点二点二都可以看啊，好不好，就是为什么是这样子的？还有另外一个解解析式就是 f a 加 x， 然后呢？等于 f a 减 x 啊，都可以，这个就是关于 x 等于 a 这条直线对称的，在这个地方就不讲了，为什么是这样子？我有非常详细的证明在那个地方，而且我说这个是很重要的一个理解哈，所以这个时候呢，就相当于等价于证明这个东西对不对？那么就等价证明什么东西啊？就是把它给乘进去，就等于这个呗。 那么二 k pi 去掉啊，等下我们直接看吧。那这个时候呢，我们要证明这个东西，那证明这个东西就很简单了，对吧？因为我们这个时候啊，三 x 等于这个，我们诱导公式嘛， 这个是诱导公式啊，即便不变符号，看相线，然后加一个二 k pi， 对 不对？我们把它证明给反过来，所以很容易我们就能证明到啊。三 x 就是 f x 会等于这个，这个东西啊，两倍的这个东西减去，很容易能够证明，通过诱导的公式就很关键是在于我们要搞清楚我们要证明的是什么东西， 对吧？所以很多同学呢，看到这两个字啊，证明就害怕，原因是因为你们把一些他知识从哪来的？比如说我们会知道，哎，比如说我们的那个知识的网络会永远单位员是很重要的， 包括我在网上我看到另外一位老师，就很多人也是喷他单位员，单位员我不讲，我这个做题不重要，重要从单位员到诱导公式，就是你要知道每个知识他的脉络怎么来的，我们才能知道他回到哪个地方才能证明他对称，不然我们根本不知道， 好吧，所以最关键我们要知道我们要证明的是啥，那么这两个我相信同学们，就算是很低分的同学都能够证明，对吧？诱导公式啊，对不对？那这个时候我们就会知道，所以呢，它根据这个对称，那么对称点，我们来看一下，对称点呢，就是 kpi 零，对不对？所有跟 a x 轴的交点也很容易去写， 这个时候呢，同样的，从单位元理解， k 派， k 派就是这一条嘛， k 派 k 派这 x 的 非负非正半轴或者非负半轴，那这个时候呢，它对称的角，它的中坐标会干嘛？相反数，那同样的从代数的层面去理解，哎，这个时候就变成了什么？当一个函数关于 a b 点对称的时候，会有 f x 加上 f， 二 a 减啊，那个 x 等于 f 等于二 b， 好 吧，这个式子， 所以这个时候 b 等于零，所以这个是零，然后呢，这个是两倍的啊，这个，这个就更简单了，对不对？二 k 派减去它啊，一样的，所以呢，这个地方呢，我们就还是诱导公式就能解决了，满足，所以它关于这个那个点对称，对不对？同理，我们刚才讲了正弦函数余弦函数往左二分之派个单位， 所以呢，我们来做一个整理啊，总结，它均为点对称和轴对称，其中正弦函数它的对称轴是这个，对称点是这个。哎，因为它的对称点是这个 kpi 嘛，所以呢，零零是它其中一个对称点，所以它是 g 函数嘛，对不对？它是 g 函数，这个圆点是它其中的一个对称点。 然后呢，余弦函数，我们来看一下，余弦函数往左边挪二分之派个单位，那这个时候呢，这个它的对称轴轴是 x 等于 k 派，那刚好什么东西？这个 y 轴刚好是它其中一条对称轴，所以它是偶函数嘛？那对称点是这个， 好吧，所以呢，这个也是做一个总结，然后接着呢，我们来看单调性，同样的，由于我们的余弦函数是由这个正弦函数向左移动二分之派个单位得到。我们先研究正弦函数啊，我们还是研究一个 由于它的周期性，还是那个我们因为由它的周期性，所以呢，我们只需要研究其中一个那个区间就可以了，我们研究哪里呢？ 我们研究负二分之派到二分之三派。那这个地方说，哎，我为什么要研究这个区域？我不是一直都研究那个整数不挺好吗？那个零到二派不挺好吗？ 因为零到二派这个区域，他一个在他的一个周期二派里面，他把一段里面切成了三段，就这一段是递增，这一段递减，这一段递增三段呢？但是我们在这个位置，我们看到这个地方开始这是递增，这是递减，他切成了两段，所以我们选择这一段来做研究啊，对吧？所以我们 遮住这个地方，前面这里这个位置负二分之派到二分之派函数单调递增，对吧？从负一增到一，然后接着呢二分之派到二分之三派的时候呢？单调递减，从一负减到负一啊，对吧？哎，我们就得到这个东西， 接着我们根据周期性加个二 k 派，所以我们两边不断的绵啊蔓延，对吧？我们就会知道在任何的一个刚才区间全部加二 k 派，那这个时候呢，都递增，都是从一负一到一，这个从一减到负一， 对吧？所以根据周期性研究一小段，这个基本上是我们研究所有三角函数的脉路啊，包括我们后续研究这个天数啊，都是一样的。 然后呢类似对于余弦函数啊，它就做了一个改变，那这个地方呢啊，看一下，这个时候呢就变成了派加二分之派，这一段是递增的，好吧，或者我们这个地方是负派零，就是说负负派加也可以啊，都没问题。然后呢这个是二 k 派到加派是递减， 好吧？然后接着呢就是最大值和最小值，那么我们研究完单调性之后，最大值最小值也比较简单，对吧？最大值的点，最小值的点。 那么对于余弦函数来说啊，这个图像我们就会看到这个地方加二 k 派都是取得这个最大值，然后呢这个地方都取得这个最小值，把它表达出来，这里会讲到一个点啊， 就是你们就是同学们呐，你们要表达这种，我知道有一部分同学对于什么东西有困难的，就是包括我的评论区有说 k 是 什么啊，这个这个问题还有很多人附和， k 是 什么， 好吧，就是这个应该是属于什么东西呢？我觉得这个应该是在我们的这个集合的那一张，就是我们在必修，那就是我们的必修一第一张的时候就应该就是会有这个东西，我们要习惯那个啊，偶数就变成了 x， 等于二 k 就 变成了字母的表达， 所以当时我就跟很多同学说要习惯这种表达，就在后面才不会不习惯啊，这种东西。我知道这个点啊，我知道这个点我怎么表达他对不对？这个地方是零，然后他周而复始，他的那个周期是二 k 派，所以他直接就是零加二 k 派， 对不对？我们要表达这个点，那最小值的点呢？是派派加二 k 派，所以是很简单的一个点。然后呢，同样的那个正弦函数对不对？这个和这个， 好吧，那这个呢，就是给同学们整理的这个资料，同样的不要背，对不对？你们越背多，越背的越多，错的越多，因为这里太杂乱了，一定很容易出错的，所以不要背任何的一个东西， 所以还是那一句，帮同学们整理出来，但是极度极度不建议你们去背。那么怎么去理解，怎么去做呢？我首先分享一个，我个人， 从十几年前我高中的时候，一直到现在我都这么做的，并且，嗯，在这借此这个机会也跟同学们去讲一讲一个数理啊方面好的人，他是怎么样的？就是大家一直说的是数学思维是个什么东西吗？他有很多点，我们写，首先说一个点，因为这个东西很好解释， 就是在我的世界里面这些我都是没有的。然后呢，图像我也是没有的，然后我上一节课我提了一点，我只有零到二分之派的图像，对的，到现在为止我也是，我高中我也是， 好不好。然后呢，有了这个怎么办呢？当然，嗯，定域不用讲直域不用讲，周期不用讲对称写这里的四个。好，我们来看一下啊，这里的四个，如果我只有这个图像怎么办？比如说我对称性咋办啊？ 首先有了这一个，那我顺着画就行了，对不对？ ok， 对 称性，对称中心，我记得这个对称中心，或者不一定记得我脑海当中有这个图，我就知道对称中心是所有的，它跟 x 的 交点，对不对？这里是零，然后呢？每格派一个零，加 k 派就是 k 派 零，对吧？就可以了，我们就后面的，我全部省略这个东西哈，全部省略这个，对吧？是不是出来了对称轴呢？对称轴我知道是所有的这个东西，那怎么写啊？这个东西是不是二分之派？ x 等于二分之派，又是相隔多少相隔 k 派加 k 派搞定 啊，就这样子的现场推啊，不会花你他们太多时间呢。所以我不断的提醒一个东西，就是你们学不好数学，就是太勤奋了，太勤奋就是一个数学好的人，他一定是极度懒惰的， 他很喜欢解析，解析是很好玩的，我们做很多的题目，但是，但是知识的归纳，我不愿意多去记一个东西，所以这就造就了什么东西呢？就是很多数学差的同学会脑海当中很多解析法 啊，所以，但是我们我们的脑海当中，我们尽可能能够不要的知识，全部砍砍砍砍，对吧？那记函数一看啊，记函数单调性，那单调性咋办呢？单调性这个地方是负二分之派二分之派了，那不就负二分之派到二分之派喽。 然后呢？加二 k 派，加二 k 派，对不对？二 k 派减二分之派，加二分之派，递减二分之派到二分之三派， 同样的，加二 k 派加二 k 派，对不对？直接写出来，非常的快，压根不需要什么时间，并且我们这样子他才能最大程度的减少大家的错误 啊，这样子推导才能减少最多的错，错误，你的精准度才是最高最高的，并且你最终所得到的答案跟你们的那个理论知识是有对应的，所以它是个链条这样去记，而不是一条一条的 最值。一样的，我不讲了，那 cosine 那 方法是一模一样的。 cosine， 当我有了这一段，其他就是，对吧？其他都知道，这个负二分之派，这个多少？这个负派，对吧？那这个东西我们都知道，这个分之派，这个派二分之三派，所以所有的点我们都清楚，所以我只有这一段啊，这是真实的啊， 所以呢，这个是介绍给很多同学，也希望啊，就算是之前没有按照这样的方式，一定要用一条线路和一条脉络来串联起所有的知识点，所以为什么我这么喜欢给思维导图给大家啊，就是这个原因， ok， 然后我们来看一下第三啊，也是课本的一道立体啊。向量函数有最大最小值吗？有的话请写出取这个等那个最最值点的那个自变量 s 集合。 ok， 这个就跟 x 我 们就不多说了，刚才已经讲了一遍了，对不对？不变，这个跟本身 assign 的 能取得最大最最小值点啊，不变，我们来看一下他取得最值点就是，嗯，这个点，对不对？我直接说一下吧，就就跟你看这一段，我只记这一段，这个是最大值，那这个的是多少？零嘛？ 零，然后呢？加二 k 派，每过一个周期他就能取得一次最大值，所以他就取当他， 呃，那个 x 等于二 k pi 的 时候，它会有什么呀？它有最大值，最大值是多少呢？最大值是一，加上一等于二，最大值是二，对吧？那这个时候呢？ pi 的 时候取得最小值，那就 pi 咯，加二 k pi， 这个时候呢，取得这个最小值，最小值是负一加一，所以是零，对吧？我们会知道哈，就是本身它没有做任何的改变，然后呢，当它是这个 这里的二 k 加一派啊，就是我们刚才讲的二 k 派加派啊，这个时候呢，取的最小值负一加一等于零，对吧？ ok， 然后看第二道题，我们来看到就是这一题呢，就有点不一样，我们要看到，因为前面他成了一个负数， 所以当这一个，当然这个乘了一个二，在这里乘了一个系数，因为这个是一个整体啊，他不会影响他的最大值和最小值是负一到一的哈，所以呢，当他取得最小值负一的时候，他就会乘一个负三，他会颠倒过来整一个函数，就会取得最大值三，他最大值的时候就负三，那我们来看，当他取得最小值的时候，同样的， 对吧？画出来，哎，最小值是多少？负二十分之派，对吧？负二分之派加二 k 派等于多少？等于这个整体二 x， 所以 这个时候 x 等于 k 派减四分之派， 这个时候干嘛来着啊？最小值最小值负一，那这个时候呢，整个函数取的最大值是三，那这另外一个呢？就是二 x 等于多少？这个二派二分之派加二 k 派 啊，那也就说 x 等于 kpi 加四分之 pi， 那 这个时候呢，它取的最大值一，整个函数取最小是负三啊，一个是 kpi 减四分之 pi， 一个是加四分之 pi， 对 吧？ ok， 正规的写，先写个复合函数，然后那个这个作为一个整体啊，是这个取得我们的最大值，所以这个呢，我们会取得最大值，而整个函数呢，乘以负三就变成最小值啊，这个是沙眼的最小值，整个函数的最大值，好吧， 然后呢，我们看例式课本的第三道例题，不通过求值比较下列各组数的大小，然后等等，单调性嘛， 对吧？单调性我们知道撒，眼又来了，又画图啊，也在这一个呢，就是在负二分之派到二分之派之间的，一看就知道啊，对吧？所以呢，我们比较他们两个自变量的大小，这个地方呢，也很容易会出错啊，首先看看清楚啊，负十分之派会小于负十八分之派啊，对吧？ 这些东西很容易出错的哈，很容易出错的哈，所以同学们要看清楚，所以它的那个自变量，它是这个小于它，然后呢，这个时候呢，就 sign 的 小，也也是小于它，对吧？所以这种呢，同学们一定要放慢脚步，因为这种呢，就是分母把它反弹过来，然后呢，又加了一个负啊，所以要看清楚啊， 然后呢，这道题，因为它的数字比较大，我们就先把它掰过来吧，对不对啊？先把它翻到偶函数嘛，先把它翻过来，然后呢，减一个五分之二十，就四派，五分之三派，对吧？这个等于五分之三派， 这个等多少？这个等于也翻过来四分之十七派，然后减一个四分之六四分之派，对吧？那这个时候他处于哪个区间呢？这里啊，一直递减，递减到派，对吧？哎，一直零到派都是递减的，所以呢，这个比这个要大，所以呢，这个的函数值比这个要小，所以呢是这个小于这个啊，对吧？ ok， 我们来看好这个小于这个，然后呢，把它先回到比较小的数字， 然后在零到派上递减，所以前面这个呢会小于这个哈，然后第五题啊，同样还是课本上的一道例题，还是这个复合函数的问题，对吧？求这个函数它的单调递增区间。复合函数这里看清楚，我们用一个去代替它， 那这里我们首先要看清楚，因为这个复合函数它本身是递增的，所以当他问我整个函数单调递增区间的时候，我要寻找这个复合函数的 单调递增。如果这个地方没听懂的话，请回到我们本书的三点二点一，我给他那个模型理解复合函数的单调型哈， 如果这里加个负，本来它是递减的，那么寻找它的就要找它的递减去减，那所以此时我们要找它的递增去减。但是还有一个点，我们知道了 x 的 取值，也就说自变量的范围，但是我们要搞清楚这个 set 的 这个范围，所以我们要知道这个作为一个整体， 这个 x 是 最小值呢，负分子派乘负派加三分之派，就负三分之二派，然后呢派加三分之四派， 那么这个时候呢，作为一个函数，我们会知道这个区间里面是什么，这个是啊，大概啊，这里不超过负三分之二派，大概这个位置，三分之四派超过了派，大概在这个位置， 对吧？哎，那么这个时候呢，在这一段区域内啊，在这一段区域内，那么这个是递增的，就是在负二分之派到二分之派是他的递增的 好，然后这个时候呢，我们又又要返回回来理解吧，这个已知在属于这个区间，那么所以我们要干嘛？二分之一 x 加上三分之派，这个也得属于这个区间， 这多少来着？负二分之派到二分之派，对吧？比如说我们全部啊，我们先乘一个二，那么就是负派小于等于 x， 加上三分之二派小于等于派， 然后呢减过去负三分之五，派小于等于 x 小 于等于三分之派，对吧？三分之五派到三分之派，所以这个呢，就是复合函数，然后也要搞清楚 它的复合的单调性的问题。然后呢也考了我们什么东西啊？考了我们简单的这个不等式的运算，所以这个他三角函数就是非常的好出题啊，出题老师非常好出题，好吧，所以他递增区间是这个， ok， 然后呢我们做一个总结啊，我们说我们会发现课本给出的三道例题当中，有两道例题都是和复合函数相关，就是因为三角函数不仅其本身是个很大的知识点，我们说它的附加性是要比我们的纸对密度麻烦很多，对不对？我们的指数就这样子，没有任何东西啦，关键点就那么一个， 是不是？那关键点三角函数有多少个？非常多个，对不对？我们还得去表达出来，又能考到我们的数学语言第一章的知识， 然后呢又能考到对称性，又能考到对称那个轴对称点，对称全都能考到了，啥都有，所以呢，他会复杂很多，单调性也复杂很多啊，对不对？拦破了所有的数属性，然后还增加了一个周期性，所以他本身是个很大的知识点，但是还有一个什么东西呢？就是他把所有的其他的东西都能考，所以他是高中函数性质的极大成者， 对不对？我们说他他是有界的，是所有啊，我们所学的只对应函数里面唯一个有界的，唯一个有界的， ok， 然后呢，所以同学们不仅要好好去掌握他本身的基本知识，还要以他为作为主体，进行我们的整个 b 九一板块的这个函数板块的大整理和大总结， 所以请关注这节课非常重要啊。这节课我是在课本的基础之上做了一个大升级，做了个大大大升级，然后呢， 这节课融合了，然后如果大家都都能够贯通了，然后整个函数板块就贯通了，好吧，这个就很重要。所以呢，借着三角函数的机会，如果我们的函数没有学好的同学， 借着三角函数的机会，把它给重新整理去思考一下。就在比如说刚才的那么多的题目当中，不要只是觉得它是三角函数，它为什么是这样子？为什么？我要把它什么那个 x 看成一个整体，为什么要要把那个周期性把它弄进去， 对不对？然后复合函数等等，我们要把它看成一个函数的一个训练，而不只是三角函数，所以这个就是我们的这节课。好吧，我们下节课再见，同学们，拜拜。

大家好，今天咱们来讲一讲高中数学高频考点正弦型函数。那么关于这个正弦型函数的话，咱们先讲讲正弦函数。 正弦函数之前已经讲过了，咱们复习一下图象，看到了吧，它的周期可以看出来最小正周期是多少啊？每一个波谷，或者说每相邻的两个波峰之间，它都是完整的一个最小正周期。二派 或者每相邻的两个零点之间，它距离是多少？都是呃，周最小正周期的一半吧，都是派，这个都能跟上啊。那么看了，那么现在它的值域呢？值域当然是负一到正一之间了，根据正弦函数它的定义就可以得出来。 那对称轴怎么找？其实很简单，你只需要考虑此时比如说 x 零所对应的，它就是对称轴啊， 它等于正一还是负一，那此时 x 零不就它的中边是在外轴上吗？那就写多少，那就写二分之派，再加上整数倍的派就行了。 k 是 整数，任意的整数， 那么对称中心的话，肯定每一个零点跟 x 轴的交点啊，它都是对称中心， 那么此时我们只需要让三 x 等于零，得这个 x 的 值就行，此时 x 在 哪？它当然是在 x 轴上了，这个中边，所以就是 k 倍的派，这个都好说。 函数当然是奇函数了，因为根据诱导公式，咱们也可以得出来，这个负号是可以提出来的呀，那就变成了负的三 x 自变量相反，函数值也相反，那当然就是奇函数了。 那至于这个单调增区间，单调减区间的话，咱们其实可以结合什么？可以结合三角函数的定义这样一个单位圆来做 看，从外周负半轴到外周正半轴，此时你看点 p 的 什么？ d m p 的 纵坐标变大，那不就是 sin 变大吗？所以你看二 k pi 减二分之 pi， 这是外周负半轴吧，后边是外周正半轴吧，这就是正区间，那减区间的话，当然就是外轴正半轴，再转到外轴负半轴了，这样一个逆时针方向为正啊，这个都是好得的。 那么现在我们来看看什么正弦型函数，这个正弦型函数的话，主要是有三个，三个量啊，你看 a 一个， omega 一个，然后 f 一个， 这个 a 的 话主要是影响什么？影响值域的，比如说咱们在图中画一个一开始的图像，是谁啊？一开始的图像，咱们看一下这个黑色的图像呢，那就是 y 等于三 x， 我 们可以发现它的值域是在负一到正一之间的， 那如果在原来基础上，咱们乘了一个 a， a 变成二呢？乘了一个二倍呢？那此时值域就所有横坐标其实都没有改变，但是对应的纵坐标都变成了原来的二倍，乘了一个系数二，对不对？所以它的值域就变成了 正二，就是负二到正二之间了。原来是这么回事，那么如果是乘一个二分之一呢？看图中虚线，看这个蓝笔部分啊， 蓝笔部分是谁？ y 等于二分之一，三 x 横坐标不变，然后呢， 跟 y 等于三 x 相比，纵坐标变成原来的二分之一。就这条图像看到了吧，它的值域就是负二分之一到哪到正二分之一之间。所以这个 a 主要是影响了什么？影响了函数的值域。 那所以啊，如果他这个 a 怎么样？如果这个 a 是 大于一的话，那这种情况下咱们就是乘原来的 a 倍，那如果小于一呢？啊，那就是压缩呗，压缩就可以了啊， 那么继续来看斐斐的话，主要是左右影响啊，比如还是一开始呢，咱们这个函数，我画了一个完整周期内的这样一个正弦函数，那现在先看红色部分的图像吧，红色部分的话，咱们是谁能看出来吧，减去二分之派，为什么左加右减 吗？哎，我们只需要把原来黑色的图像向右平移二分之派了， 那么另外看虚线，看蓝笔，蓝色部分的话，那肯定向左左加嘛，向左平几个单位，向左平一 pad 单位。所以总结的话就是，如果 five 大 于零， 那当然了，加嘛，左加向左平移，如果 far 小 于零，这不就是 far 等于负二分之派吗？那就是向右平移。原来 far 影响的是什么？影响的是左右平移。那么另外这个 omega 影响什么呢？这个 omega 的 话，咱们还是画一个图看好了啊， 它影响的是横向伸缩变化，那最初时的图像，咱们还是画一个完整的零到二派之间的 y 等于三 x 正弦函数的完整图像给画出来。这个呢，之前呢，可能讲过，都很熟悉了， 现在请大家告诉我一个点，那很多同学就说了，老师，红色的图像你不用说了，我们横坐标压缩为原来的啊，一半啊，那我们只需要怎么样？ 只需要把所有的 x 写成二分之一 x 好， 错了，大错特错了，我告诉你啊，应该是乘个二的正好，逻辑上是反过来的。左加右减是不是逻辑上反过来的？跟 x 有 关的都得反过来。 那为什么是这样呢？并不是说让你硬背的啊。咱们仔细来观察一下图中的黑色图像的 x 和红色图像的它这个 x， 红色的 x 和黑色的 x 肯定不是一回事啊，怎么回事呢？这两个画圈部分是一回事 因因为你红色 x 前头乘了一个是多少？不是二分之一，咱们是乘了一个二吧。所以说，这两个圈既然是一回事的话，红色的 x 只需要通过付出黑色 x 一 半的努力， 对吧？一半的努力就可以了啊，就可以达到原来相同的跟黑色 x 达到相同的效果了，能懂我的意思吗？乘个二，那反而这个红色的 x 只需要一半的努力，那如果乘的是个二分之一呢？ 哎，那此时红色的 x 就 需要付出原来二倍的努力了。所以，接下来如果让你看，现在 请你告诉我图中的红色的第二个图啊，他的图像应该是什么？他的图像，你看，应该就是你刚刚写的三二分之一 x， 懂了吧？因为这两个圈是一回事，是一个整体。 我这个红色的 x 因为前头负了一个系数二分之一，我需要付出二倍的努力，所以是横向拉伸为原来的二倍，逻辑上是反过来的， 你说对不对啊？ omega 大 于一的时候反而是压缩到原来的 omega 分 之一， omega 小 于一的时候反而是多少拉长，伸长，横向伸缩变化。原来是这么回事，逻辑上正好反过来，千万不要记错了。 那么学完了这些之后的话，接下来大家自己都可以总结出来吗？周期，周期正好是反过来的吧，原来的最小正周期乘 omega 分 之一，横向伸缩变化是 omega 的 倒数，正好反过来的 omega 是 二，反而是二分之一， omega 是 二分之一，反而是乘二，所以周期就是横向伸缩变换。理解 omega 的 影响 值域不用多说了吧？ a 影响的就是值域，原来的负一正一，这样一个值域相当成了一个 a 的 系数，那当然就变成了负 a 到正 a 之间了。那单调性的话，我们只需要结合复合函数同增异减。后边会有这样的题目，这个呢，咱一会遇到题目再说。 其实我也可以现在说一说，什么意思啊？你比如说举一个非常简单的例子啊，外头的话，比如说来一个三倍的 三多少三，二分之一 x 减去三分之 pi， 就 觉得还是挺复杂的，是吧？对于这样一个正弦函数，比如说我们求它的增区间， 嗯，那么如何求它的所有的增区间呢？其实很好说，我们只需要把这个函数分成内层函数和外层函数， 这个外层函数 y 等于三倍的三 t， 大家都知道没什么问题，它有的时候是单项递增，有的时候单项递减，跟 t 的 取值范围有关，这个很容易判断，对吧？那内层函数就是 t 等于二分之一 x 减三分之 pi， t 关于 x 是 一个单调递增的函数，因为二分之一斜率是个正数，所以我们只需要让外层单调递增就可以了吧？外层是个增，内层也是个，那外层什么时候增呢？那肯定是从负半轴，从这样一个外轴的负半轴 转到了多少？转到了 y 轴的正半轴位置啊。但是毕竟我们求的不是 t， 求的是什么？求的是 x， 所以 你写成二分之一 x 减三分之 pi 就 行了。所以其实单调性并不难的，你就只要知道负函数怎么判断。呃，这个单调性你就知道怎么来解决这种问题。 对称轴不用多说了吧？对称轴我们只需要，比如说 x 零，我们只需要让 omega x 零加 five， 这个整体落在哪？落在 y 轴上，那不就是 kpi 加上二分之 pi 吗？是不是？对啊，你把它理解成 t 嘛，当这个 t 在 哪的时候， t 在 外轴上的时候，此时三点 t 才等于正一或者等于负一啊，没问题，对称中心也不用多说了吧，只需要让画圈部分等于零就可以了。对称中心写成坐标点的形式。那么了解了这些之后，接下来咱们就先来做这个例一吧， 都非常简单啊。呃，来吧，请告诉最小正序多少 t 等于二派？除 omega omega 等于二，二派除二 多少派？最小正周期是派。看对称轴对称轴的话，我们让二 x 减去四分之派，等于在外周正半轴上吧。那 k 派 k 属于 z 啊，可以任意的整数。 k 派加上二分之派，那咱们算一下不就可以了吗？ 那此时 x 算出来是多少啊？那就是二分之 k 派对 k 是 任意的整数，再加上多少八分之三派。好，后边别忘了标 k 是 任意的整数哈，这个就是它的什么？它的对称轴 x 等于它是一条直线吗？ 那么对称中心的话，我们只需要让二 x 减四分之派等于多少等于 k 派就行了吧，没问题吧？那最后求出来这个 x 是 多少呢？是二分之 k 派再加上八分之派，这个很简单，但是对称中心的话，毕竟是坐标点，咱们写成坐标点的形式啊。 那单调区间，单调区间的话，我求一个增区间，然后减区间我就直接写了啊。增区间很好说呀，我们只需要让二 x 减四分之派，其实也就是那个 t 在 什么范围内？在二 k 派就外周负半周， 一直转到了二 k 派加二分之派。对啊，然后你顺便把 x 的 范围写出来不就行了吗？那 x 的 范围求出来的话，应该是一个。呃，一个是 k 派减八分之派，另外一个是 k 派加上八分之三派。但是毕竟我们要写成区间的形式嘛，那就写成 k 派减八分之派到 k 派加八分之三派，这样一个 b 区间就可以了。后面标上 k 属于 z， 行了吧。 那单调减区间我就不写过程了，我直接说。那减区间呢？单调减区间的话，那就是在 k 派加八分之三派，然后一直到 k 派加八分之七派之间， k 属于 z， 行了吧。这个是例一，很简单。 那么接下来还有这个五点作图法。怎么来作图呢？这样的啊，列表秒点连线，咱一步都不要少。 首先干嘛？你先把这个表格你得填出来吧。那具体这个表格怎么填，其实还是跟这个内层函数外层函数有关的，咱们分成两层， 内层函数，外层函数的话就是 y 等于三倍的三 t， 内层函数就是 t 等于二分之一， x 减去六分之派，那 t 怎么取？ t 的 话，我的建议就是，这就是 t 啊。那取什么？取零二分之派派二分之三派，二派正好转了完整的一圈不就可以了吗？完整的一周， 那 t 的 范围有了呢？对应的求出，当它等于零的时候， a x 等于它，当这个整体 t 等于二分之派时候， x 等于它。然后把这五个点求出来， 那对称的好说吧，三倍的三零，那不就是零吗？三倍的三二分之派，哎，那不就是三乘一对。那么接下来就是第一个点，注意啊，横坐标是它，纵坐标是它，三分之派都好，零。第二个点，三分之七派， 逗号零啊，三分之四派啊，那接下来这个呢？然后三分之七派逗号零，还有什么？那还有三分之十派逗号负三，行了吧，你都写上 这个是三分之十派，最后一个是三分之十三派逗号零。然后呢，你把这些一 二三四五，你把完整的一个周期内的图像用平滑的曲线连接起来，这不就结束了吗？因为他让你画的是一个周期内 b 曲线上的完整的图像，行了吧。 那么接下来他要说的是，请你复述一下，请你说一说，如何能从 y 等于三 x 经过怎样的图像变换，能变成 y 等于三倍的三二分之 x 减去六分之派，就是如何从最简单的正弦函数变成这样一个复杂的正弦型函数。 两种方法吧，你用哪种都行，看你先想怎么办嘛。那首先，我可以先平移，我先变出这个负的六分之派，可以吧？对啊，减六分之派。那你看左加右减向右平移六分之派的单位。 其次呢？其次，他接下来 x， 你 得变成二分之 x 吧。反过来的啊，横向拉伸为原来的二倍，就什么纵坐标不变，横坐标拉伸为原来的二倍。 那再接下来，前头还有个三吧。哎，对，前头乘个三，那就很简单了嘛，前头乘个三的话，这个三什么影响？直域，也就是横坐标无边，纵坐标伸长为原来的三倍，这是一种。那另外一种的话，咱们也可以先伸缩 x 变成二分之一哦，纵坐标不变，横坐标拉伸为原来的二倍吧。其次呢，其次的话，你一定要注意啊，咱这个东西其实是这样看出来的，你把二分之一先提出来，括号里头会变成 x 减去三分之派，懂了吗？ 也就是说原来 x 变成 x 减三派，是向右平移了负的三分之派的单位，这个地方是容易出错的， 就出血的。同学，懂了啊，这个地方一定要搞清楚，是吧？ x 这个逻辑位置变成了 x 减三分之派，是平移了三分之派个单位，后边就好说了啊，还是横坐标不变，纵坐标乘个三嘛。 那接下来看 b 三，它只给了一部分的图像。首先这个图像呢，比较核心的点就是，其实你九求出解数来，其他都有了，有个十二分之五派都号零吧。 对，还有个三分之二派逗号，负二吧，也没问题。所以你在做这个题的时候，咱们看哎，他的什么，他值域是负二，那这个地方肯定是负二到正二之间，我们首先可以得出来， a 就是 等于二的。对啊，横向 没有变，那纵向拉升原来的二百万 a 肯定是二，影响的是值域。那么继续吧，我问你一个问题啊，请你告诉我。 呃，就这两个点，十二分之五派和三分之二派之间，他的距离是几个周期？ 是四分之一个周期对不对？这个才是完整的一个周期吗？所以你画圈这一部分横向距离他是四分之一个周期， 那所以根据周期可以求什么？四分之一个周期，那不就是三分之二 pi 减去十二分之五 pi 吗？所以咱们求出来， t 等于 pi， t 等于 pi 相当于原来的最小正序二 pi 比乘 omega， 所以 咱们 omega 是 等于二的，你看 a 等于二， omega 等于二， 咱一下就把谁求出来了，一下就把解析式里头两个参数求出来了，对不对？二倍的 x 再加上 f， 那 最后就只剩下这个 f 了， 注意啊，怎么求派啊？求派的话肯定是要带这样的，多少？肯定是要带这样的特殊值的。我的建议什么呢？你带哪个都行，你带十二分之五派都好，零也行，带他也行。我的建议是带最小的那个值吗？那行， y 等于二倍的三二 x 加上 f， 那 三分之二的话，那，那带入哪个点？带入三分之二 pi， 然后逗号负二，对吧？那我们就得出来了，三二乘三，那就是三分之四派，再加派，他算出来是等于负一的。那你要这么写的话，那不就是三分之四派再加上派 等于多少？负半轴吧，外周负半轴上三才能等于一吧。他这个整体是这样，一个中边是在外周负半轴上。二 k 派 减去二分之派。注意， k 是 任意的整数啊。那好了，嗯，写到这儿以后的话，咱们还需要整理整理，那就是 five 等于二 k 派 减去二分之派，那就是六分之三派，再减去六分之八派，六分之十一派啊，所以它是二 k 派减去六分之十一派，你 k 的 话是取任意的整数， k 取哪个整数可以让斐的绝对值在？ 嗯，也就是说在 f 在 什么范围内？在负派到正派之间吗？那只能是当 k 等于一的时候，咱们算出来 f 正好是等于六分之派，符合要求吧？对，所以到现在为止，咱们算出来了什么？根据 值域算出来 a 等于二，根据周期算出来 omega 等于二，根据特殊的点，也就是三分之二 pi， 逗号负二算出来，咱们的 pi 是 等于六分之 pi， 所以 它的解析式应该是什么？所以它的解析式应该是 多少呢？呃，应该是二倍的三啊 x， 三二倍的 x 不是 减啊，是加上六分之 pi， 懂了吧？所以 a 就是 错了， b 呢？ b 也错了呀，最小正周期是 pi 吗？ c 呢？ c 是 对的，为什么？哎呀，你对称中心的话，你只需要带入里头，你试试带入啊， 代入负的十二分之派 x 啊。 x 等于负的十二分之派，那就变成了二乘负的十二分之派，咱们看一下啊，再加上六分之派等于零吧。零啊，此时零，你说三个零是不是等于零？对，所以它是对称中心啊。对，跟 x 的 交点就是对称中心， c 是 对的。 那么再来看另外求 omega 的 范围，或者说求 omega 最值，这个是比较难的。嗯，怎么办呢？将函数图像向左平移三分之派单位，得到了曲线 c， 那 行吧， 向左平移的话，咱们看曲线 c， 咱们就写成 g， x 啊，它是三 omega， 这个 x 的 话左加，那就加上三分之派，对吧。 把所有的把这个 x 变成 x 加三分之派，这就是向左平的三分之派的单位。那么经过处理之后呢，就是 omega， x 加上三分之， omega 再加上三分之派，目前就是这样。 他说 g x 这个函数呢，它是关于外轴对称的，如果说关于外轴对称，那么我们这样一个整体 对不对？这样一个整体，它呢？当 x 等于零的时候，对不对？当 x 等于零的时候，此时 它要么等于正一，要么等于负一，那这样的话， sine 这个值， 你把 x 等于零带入吗？要么等于正一，要么等于负一，那你要这样来的话，它等于正一或者负一。那此时的三分之 omega pi 再加上三分之 pi， 它这个中边位于哪个啊？位于 y 轴上吧。那此时不就把最后结果求出来了吗？经过运算，它等于 k 乘三三， k 再加上二分之一啊， 对了吧，那 k 的 范围是什么？ k 的 范围，注意啊，你要注意的是，虽然 k 是 任意的整数，但是 omega 人家是正数的啊， k 去零吧， k 去负一肯定不行。 k 去零的时候，此时 omega 最小的整数，它是等于二分之一的，所以 omega 的 最小的值就是二分之一。对啊， 没问题了吧。那好啊，那么来看力五，力五的话，他说零到一之间至少出现了五十次最大值， 那你要注意它这个 omega 是 干嘛的？横向压缩变化或者横向拉伸变化，是吧？那纵坐标是不变的，它这个直域的话，那，那，那不用多说什么，肯定都是正一啊，负一到正一之间，我们主要是看横坐标。 我画了不到五十个啊，不到五十个你就假装有五十个吗？中间是有省略号就行了对不对？来，注意，每一个相邻的波峰之间是不是都是完整的一个周期啊？一个周期，一个周期。那既然如此的话，咱假装你看到了五十个波峰，那么就是看了啊。 首先零到四分之派之间，这是从零点到了离他最近的波峰吧。五十次最大值吗？五十最大值，哎，这是第一次， 第二次，第三次，第四次，他巴拉巴拉巴拉，一直到第五十次，那中间出现了多少次周期啊？一个周期，两个周期， 三个周期，四个周期，吧啦吧啦，一直到多少？一直到四十九个周期。所以人家是完整的四十九个周期啊。四十九个周期，再加上最左边这一段，你别忘了人家还有四分之一个周期呢。四十九又四分之一个周期， 懂了吧？比如说最极端的情况，这就是一啊，这就是原点啊。零到一中间正好包含了五十次最大值，这是最简单的情况，所以此时四十九又四分之一个周期， 他必须是小于等于一的吧？对啊，你至少包含五十次吗？那咱们就写吧， 那不就是四十九又四分之一，那就是四分之一百九十七，这是括号里头算出来的啊。周期的话，你还记得用原来的二 pi 比上 omega 这个正数吧， 然后小于等于一，于是我们就算出来了， omega 大 于等于二分之一九七派，所以横线上的值最小值不就是二分之一百九十七派了吗？那么这节课大家应该学会了正弦型函数了吧？分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见。

这个视频咱们来看看正弦函数的图像长啥样。在研究三角函数图像时，通常用弧度值来表示角记作 x， 也就是自变量。用 y 来表示函数值，也就是因变量，所以就可以用 y 等于 sine x 来表示正弦函数。 接下来我就教教你用单位圆来画一画 y 等于 sine x 的 图像。先在直角坐标系中随便画一个单位圆， 从这个焦点开始，把圆平均分成十二等分，显然这些线所对应的弧度就是零，六分之派，三分之派、二分之派等等等等，一直到回到这里就是二派。 你已经学过，正弦值就对应单位圆中的纵坐标，所以当 x 等于零时，所对应的函数值就是零，显然图像得过圆点。 当 x 等于六分之派时，所对应的函数值就是这么多，显然这个点一定在函数图像上。当 x 等于三分之派时，所对应的函数值就是这么多，显然这个点也在函数图像上。 像这样，你就把所有的 x 都标在坐标轴上，然后依次找到它们所对应的函数值，描述这些点，再把这些点用光滑的曲线连接起来，就得到了正弦函数在零到二派上的图像了。用同样的方法，你也可以把二派到四派之间的图像画出来。 不难发现，其实就是在重复这一段图像。用单位圆来看，就是正着多转了一圈，如果反方向多转一圈，就是左边的图像了，其实也是在重复这段图像。两边依次划下去，你就得到了 y 等于三 x 在 r 上的图像。 从图上可以发现有五个关键的点，零零二分之派，一派零二分之三派负一，还有二派零。以后再画图，你就用这五个点描一描就成图像。画好了，再来看看这个图像有什么性质， 瞪眼就能看出。定义域就是全体实数，周期就是二派。再瞪眼一次，图像夹在这两条线之间，显然值域就是负一到一。 现在弄明白了它的性质，出道题考考你，函数 y 等于三 x， 在 三分之派到派上的值域是多少呢？ 要弄清楚在这段上的值域，看看图像就一目了然了。三分之派到派显然是这段图像最大值就是一，最小值就是零，所以值域就是零到一。 ok， 搞定。 看来以后让你求正弦函数在某段区间内的值域，你就利用图像找找最值就行。 好了，就讲这么多，总结一下，这个视频我就给你讲了，正弦函数的图像长得非常妩媚，就是一条以二派为周期的波浪线， 任意域是全体实数，值域是负一到一。另外，如果要求某段区间的值域，就用图像来找最值。好了，本姑娘就讲这么多，赶紧刷题去吧！

你已经学过余弦型函数图像的伸缩变换与平移变换这个视频，咱们来看看它的综合变换。比如要把 y 等于 cos， x 变化成 y 等于四倍的 cos 二分之一， x 减四分之 pi 再加三，你知道咋变吗？ 和正弦一样，咱还是从最后这个式子出发，想想变化的路径，把三丢掉，让它从这个式子变过来， 再把二分之一丢掉，让他从这个式子变下来，最后再把四丢掉，就是扩散 x 了。看来变化过程一共需要四步， 搞定了变化路径，就可以开始写具体咋变的了。先看第一步，从扩散 x 到四倍扩散 x 在 扩散前面成了四，那就是把图像上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的四倍。 再看第二步，从四倍的扩散 x 到四倍的扩散二分之一 x， x 前面成了二分之一，就是把图像上所有点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍。接着看第三步，从四倍的扩散二分之一 x 到四倍的扩散二分之一， x 减四分之派。 要弄清楚它的平移情况，还得把这个二分之一先提出来，显然在 x 上减了二分之派，图像就往右平移了二分之派。再看最后一步，从四倍的扩散二分之一， x 减四分之派到四倍的扩散二分之一 x 减四分之派。再加三， 在式子后面加上三，显然是把图像往上平移三个单位。看来遇到余弦型函数的变换，还是要从最后的式子入手，先找到变化路径，再写出具体过程。刚才是从扩散到扩散，你学会了， 那如果我把这个扩散改成散，现在你还知道咋从扩散变过来吗？和刚才一样，咱还是从最后这个式子入手，从后往前依次丢掉一个部分，所以你就得到这样一个变化路径。 不过仔细看，这这是 y 等于三 x， 给你的是 y 等于 cosine x， 所以 将还得加上一步变换。 看来要从 cosine 变化到这个式子，一共需要五步才能搞定。下面这些变化我都讲过，不再啰嗦，重点看一下第一步变换 要从括号 x 变化到三 x， 想想这俩函数的图像，显然把括号 x 图像往右平移二分之派就成。所以在写这整个变化过程时，你就先把括号 x 往右平移二分之派变成三 x， 接下来按部就班写清楚就成。 看来以后再遇到这种不同函数名的变换，你就在第一步把名字变成一样。好了，就讲到这里总结一下这个视频我就给你讲了鱼形形函数图像的变化，综合 总的来说，就是要找到变化的路径，如果变化前后是同一个函数名，你就直接伸缩平移就成。如果变化前后不是同一个函数名，你就在第一步把名字变成一样。好了，本姑娘就讲这么多，赶紧刷题去吧！

以前的视频你已经学过正弦型函数的伸缩变换和平移变换这个视频咱们再来看看它的综合变换。 比如从 y 等于 sine x 到 y 等于二倍的 sine 二 x 加四分之派再加一，你知道这可以咋变过来吗？要弄清楚是咋变化的，咱们就从最后这个式子开始，想想变化路径。先把一丢掉，让要求的这个式子从它变过来。 再把四分之派丢掉，让这个式子从 y 等于二倍的散以二 x 变过来，再把 x 前面的二丢掉，让这个式子从 y 等于二倍的散以 x 变过来， 最后再把前面的二丢掉，就是散以 x。 所以 让这个式子从散以 x 变过来就成 从下往上分析清楚变化路径，接下来就是从上往下写出变化过程了。先看从散以 x 到二倍，散以 x， 式子前面成了二，显然得把这个函数图像上的所有点横坐标不变，纵坐标伸长到原来的二倍。再看从二倍的三 x 到二倍的三以二 x x 前面成了二，显然得把这个函数图像上所有点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的二分之一。接着看从二倍的三以二 x 到二倍的三以二 x 加四分之派， 显然在 x 上加加减减是在进行左右平移，不过在看平移多少时，还得把这个二先提出来，所以从这个函数到这个函数，根据左加右减，一定是往左平移了八分之派。 好了，再看最后一个变化过程，从这个式子到这个式子，显然是在进行上下平移，在这个式子后面加上了一根据上加下减，一定是往上平移了一个单位，所以从 y 等于三 x 变化到这个式子，你得经过这四步变化才能得到。 看来以后再遇到这种复杂的函数变换，你就从他入手，确定变化的路径，再从给你的式子开始，一步一步写清楚就成好了。讲了这么多，总结一下这个视频，我就给你讲了如何分析正弦型函数的综合变换， 其中最关键的一点就是找到变化路径，确定路径之后按部就班写清楚就成好了。本姑娘就讲这么多，赶紧刷题去吧！

今天给大家讲一个三角函数里面超级重要的知识点，就是关于正弦型函数图像该如何画的问题。 如果给你一个 y 等于三引二 x 加三分之 pi 这种正弦型函数图像，大家会画，为什么？因为每一个都确定了对不对？我只需要通过常规图像慢慢伸缩平移就能得到。 但是在我们考试中啊，他经常会给你这种的，你，比如说给你一个三一欧米克 x 加三分之派，他再告诉你了，但是呢，欧米克不告诉你，因为欧米克不确定，很多人就不知道该怎么画了。其实这类题目画起来很简单， 这个要分两种情况。第一个，欧米克大于零的时候，他该怎么画？我们需要先思考一件事， y 等于三 x 加三分之派，这个函数图像该咋画？ 很简单，它就是由 y 等于三 x 图像向左平移三分之派个单位得到的。那我稍微大概画一下草图啊，来大家看一下长这个样子哎， 画一部分就可以了。当 x 为零的时候， y 等于三 x 三分之 pi， 那 这个地方是二分之根三。接下来，那由三 x 加三分之 pi 变成三 x omega， x 加三分之 pi， 那 又做了什么变化呢？ 所有的横坐标扩大或缩小了若干倍，对不对？只是我不知道是扩大了还是说是缩小了， 但一定是关于 y 轴的，就这个图会发生变化，但所有的点都变，唯独这个点是不变的，因为你不管这个 omega 变成多少，当 x 为零的时候，它定的值依然是二分之根三。 说白了，伸缩是针对于 y 轴的。所以那这个函数图像我们在画的时候该怎么画呢？因为毕竟是画个草图，基本上和它长得差不多就可以了。哎，你就大概画一下，它还是长这个样子，只是图像可能比原来啊这个要紧一点，或者要稍微的松一点， 但是在零这个位置，它是不会发生变化的。好，那既然这种图大概长成这个样子，我们再来分析， omega 小 于零又咋回事呢？ omega 小 于零这个时候就不一样了，为什么？我举个例子， y 等于 sin， 负 x 加三分之 pi 和 y 等于三 x 加三分之 pi， 它俩肯定不一样，对不对？为什么？因为这两个图像其实是关于 y 轴对称的。 那当我们知道这个事情以后，好，那这个问题又简单了，我只要会画这个函数图像，那我关于 y 轴对称一下，我就不，我不就得到它的图像了吗？ 对不对？所以你看，当 omega 小 于零时，像它的图像，其实你只要把它画出来，再横向压缩或拉伸一下就可以了。当然了，因为你不知道是 omega 是 多少，你就画，你就不用横向压缩拉伸也没事，毕竟是草图嘛。 来，它图像长啥样子？刚才说了，是在这个的基础上对称了一下这个图我们会画啊，它大概长这个样子 a， 那 么这个函数图像呢？来，看，好了，我们把它变一下啊， 一变长成这样了，叫 a， 大家先说清楚啊， 图像是这样的啊，你别看反了，那你都知道这个函数图像了，那么他其实就是在他的基础上做了一个横向压缩拉伸，那具体怎么压缩拉伸我们不清楚，但这个就是他的大概的图像。现在关于他的图像该怎么画，你会了吗？

ok， 那 我们今天接着去看三角函数的图像与性质里面的常考题型。六个我们来讲的是正弦函数图像的一个性质，那什么是正弦函数？那也就是说我们形容 y 等于 a 倍的 sine omega x 加 f 的 形式。 此时的话呢，我们假设 a w， 那 这个正弦型函数图像它有哪些性质？在这我们还是从以下六个方面进研究。首先它的定域没有发生变化，跟我们正弦函数的图像性质是一样的，它的 x 是 属于 r 的， 那就是说它的值域是 y 属于 a 到负 a 到一个 a 的 区间。接下来看它主要爱考的单调性和奇偶性以及对称性部分， 那因为正弦型函数我们类比的是我们正弦函数的这样一个特点，这个思想大家必须得搞清楚，我们类比的是我们 y 等于标准的正弦函数 sin x 的 一个图像性质。 所以呢，我们在内个过程中，我只需要让 omega x 加 f i 把这个东西呢，看这个整体，让它跟原来的 x 相同是不就可以了？那也就是说我要算它的单调性部分。 那此时大家注意在这儿单调性它有一个渐近的点，那就是说我们需要去看到的是 a omega 是 否同号，如果 a omega 是 同号， ok， 那 我们此时呢算它的单调递增区间，那也就是说我们只需要去把 omega x 加 f i 这个东西当做一个整体， 带入到我们标准正弦函数的单调递增区间，是不是就可以了？那也就是说我们让它大于等于单增区间，负二分之派加二 k 派到二分之派加上一个二 k 派之间， k 除以 z 是 不是就可以了？我把 x 解出来，就得到了它的单调递增区间， 那它的单调递减区间是不是也是一样？如法炮制欧米亚加否呢？要大于等于二分之派加二 k 派， 并且呢，小于等于二分之三派加上二 k 派，解出来它的 x 就 可以了。那就是说，当 a 乘以欧米伽，如果它不是同号的话，它是一个异号，需要怎么做一个调整？那就是说我们需要去注意到这是一个易错点， a 乘欧米伽小与零时，注意，你此时类比的就不是 y 等于三 x 的 图像，类比的是 y 等于负的三 x 图像， 那就说当这 a 乘欧米亚小于零的时候，我们类比的是 y 等于负的三 x 图像。那也就是说很简单，我们只需要算它的单增区间，我们把欧米亚加 f 这个整体代入到原来的单减区间就可以了。那 就是说欧米亚加 f 要大于等于二分之派加二 k 派，小于等于二分之三派加上一个二 k 派，此时 k 属于 z， 此时的话 a 乘欧米亚小零，这是它的单调递增区间。我们需要把 x 给它解出来，那它的单减区间需要把欧米亚加 f 这个整体带入到原来的单调递增区间里面，求解出来的 x 就是 它的单调递减区间， 这也比较好记，当 a 乘欧米亚小零的时候，你单增带单减，单减带单增就可以了。接下来就是它的基友性，在基友性部分，你发现 a 乘欧米亚加 f 的 话，它本身没有一个 比较明确的基友性，因为它取决于我们欧米欧米伽斐的这样一个值，因为它取决于我们的斐的这样一个值，对吧？那就是说在这呢，我们需要总结到的是常见的在三函数图像里面常见的这个记函数类型有哪些？那你只需要把这个东西搞到 y 等于 a 倍的 sine omega x， 这个就是你常见的 g 函数，它一定是个 g 的， 我甭管 a 乘 a， 欧米亚分别取啥，你一定是官员的对称。那到偶函数，我们也需要去做一个积累，那就是 a 乘以 omega 倍的 x cosine omega x 这个东西，它是一个偶函数，那就是说，如果我们通过一些啊，常常跟 u 导公式进行结合， u 导公式完了之后，我们得到了 a 倍的 omega x， 它指定是奇函数。得到了 a 倍的 cosine omega x， 它就是偶函数，并且呢，它是可以反推的，也就是说你知道奇函数了，你也可以知道它的表达式实际上就是一个 a omega a 乘三 omega x， 它告诉你是偶函数，你也知道它的表达是 a 乘 cosine omega x， 这个是比较爱考的。当然对称性的话也是一样，它的对称轴呢，我们是类比标准的正弦函数，那也就是说把它带入到 omega x 加 f i 呢？我们带入到标准的正弦函数的对称轴里面，二分之派加上 k 派啊，对称中间也是一样，我们需要把它带入到 标准正弦函数的对称中心里面就可以了。欧米亚加斐等于一个 k 派，解出来我们的 x 就 可以了，它的周期 t 等于二派比，欧米伽就是它的最小正周期。知道欧米伽，我们知道它的周期，知道周期我们也可以知道欧米伽，它是一个反推类互相可以推重要条件的这样一个形式。 ok， 这就是我们正弦函数图像性质里面比较爱考的节点，想大家下去要做一个记忆，接下来我们去看这个东西应该如何去使用。首先第一个告诉我们，让我们做 f x 的 单调递减去减，那很简单，我们刚刚已经讲过了，我们是要让这个欧米亚加反二 x 减三分派带入到我们的 三引标准函数的单减区间，那就是二分之派加上一个二 k 派到我们二分之三派加上一个二 k 派之间。那做这些的话，前提是你把正弦函数的图像性我们上节课所讲的那个内容要记清楚，正好把 x 给反解就可以了。那就是说我们的二 x 要大于等于加三分之派， 那六分之五派加二 k 派小宇等于加三分之派，六分之十一派加二 k 派同除二 x 大 于等于，那就是十二分之五派加上 k 派 小宇等于十二分之十一派加上一个 k 派， k 除以 z 是 不就得到它的单调递减区间？在它的单调递减区间就是我们的十二分之五派加上 k 派 到十二分之十一派加上一个 k 派的 b 区间就可以了。第二个也是一样，它告诉我们 f x 的 单调递增让我们算 f x 单调递增区间。首先我们观察到它是一个复合函数，那么采用复合函数的单调递增区间，首先我们得算一下它的定域， 因为我们知道了单调区间它一定是定域的子集，所以我们首先得到的就是我们的塞引真数二 x 减六分之派是不是得大于零？先把这个解出来， 这个解出来之后呢，我们再去定域内去找他的这个单调递减区间就可以了。按照我们函数同增异减去找他的单调递增区间，他大于零，那就是说我们的二 x 减六分之派是不是要大于等于零加二 k 派，那就是二 k 派 小于等于 pi 加二 k 判，那把 x 咋解出来？那我们就是说二 x 要大于等于六分之 pi 加上二 k 判小于等于六分之七， pi 加上二 k 判，那么 x 要大于等于十二分之 pi 加上 k 判。 小宇等于十二分之七派，加上一个 k 派。 ok， 这是他的定义域，这是他的定义。然后呢，我们再去判断他的单调递增区间，我们知道了他的外函数是一个捞引 u 吗？他是一个单调递增的，要算整体的增区间的话，我们只需要算内函数的单调递增区间， 内含的递增区间呢，就是二 x 减六分之派，它有大于等于二分之负二分之派加二 k 派，代入到标准的正弦函数的单调递增区间里面。小于等于二分之派加二 k 派。把这个 x 解传二 x 大 于等于 负的三分之派，加上二 k 派。小于等于三分之二派，加上一个二 k 派，我们的 x 大 于等于负的六分之派，加上一个 k 派。 小乙等于三分之派加上一个 k 派。我们把它划到定域内，是不就可以了？找他在定域内的可取条件，那也就是说他们两个需要交一下，我们的定域是十二分之派到十二分之七派，他呢是负六分之派，求一个交集负六分之派到三分之派， 所以呢，你教完之后，它的部分应该单调递增部分，是不是应该在这个区间？十二分派加 k 派到三分派加 k 派，所以选择的是我们的 a 选项，这个东西，它结合了一个复合函数求导，希望大家在做功中一定要去掌握到我们复合函数求导的 一个方法，负函数求单调性的一个方法。 ok， 那 么我们第三个题，它是一个正弦型的，它的正弦型的话也是一样，我们只需要让里面的这个二 x 减六分派，把它带入到正弦函数的单调递增正切函数的单调递增区间是不就可以了？因为它是正切型的，它主要是啥型？我们只需要把里面的欧米加 f 带入到对应的 去见面求解进行可以了。 ok， 第三个来，大家去做一个练习，老把答案告诉大家。第三个题答案是选择 c 选项， ok， 这是我们求解单调区间。接下来我们去看到第二个比较重要的应用，就是它的求解值域，这个值域 也是一样，我们先去找到 x 的 范围，值域跟求解他刚才的一些单调区间，包括对准轴是不一样的，这个需要大家做一个总结。 首先告诉我们 x 的 范围，我们知道了 x 大 于等于零，小于等于二 二分之二啊，你要类比标准的这个是余弦函数图像，那也就是说你只需要让里面的这个东西是不等于一个 t 是 不就可以了，它就能还原了， 相当于还原法，那原式就变成了 y 等于一个 cosine t 了，那此时你的 t 是 不是就等于一个二 x 减去六分之二，那 x 的 范围，所以呢，我们首先要解出 t 的 范围， 那 s 大 于等于零小于二分之二二 x 不 就大小于等于 pi， 二 x 减去六分之 pi 不 就大于等于负的六分之 pi 小 于等于六分之五 pi 啊， 那此时的话呢，这个就是一个 t， 那 你 t 的 范围知道了 y and cosine t 的 图像我们是可以画的，我们画一个标准的域线函数，画一个周期就可以了，能说明问题，那就是说我们知道了这个 t 的 范围，此时这是一个 t t 的 范围，知道了在负的六分之 pi 的 位置，假设呢，我们负的六分之 pi 在 这个位置， 再找他的上限六分之五派，六分之五派呢，在这个位置他比派要小一些，他比派要小一些。所以呢，此时你发现我的 t 的 范围知道之后，你 cosine t 的 图像是不是取到这一部分？所以呢，他有一个最小值，在六分之五派，取到他最大值，是不是可以取到我们最大值是一的， 所以呢， cosine 六分之五派，我们知道他是一个负的二分之根三，所以此时的值域我们知道了它的 y 就 属于 我们负二分之根三，能取到最大值是一个一。然后呢，此时他问我们 f x 最大值，我们直接去填一就行，就是这个就是我们求解值域的做题方法，我们要先要去进行一个换元，完了之后找出新元的值范围，完了之后呢，去画他的图像，在图像中判断他的最大值和最小值就可以了。第二种类型，就是我们 含有 cosine 和 sine 的 这样一个有二次，含有一次的这样一个类型。做正题的话也是换元，就是说我们先观察到一次的，因为一次不能变化二倍三 x， 但是 cosine 平方它是可以变化的，我们可以用一个三角横等式，因为 我们的 cos 方加上一个 cosine 的 平方是等于一，所以你此时把这个 cosine x 的 平方数就可以转换成一减 cosine x 的 平，那所以这个原式就变成了我们一减 cosine x 的 平方，再减去二倍的 cosine x， 再加上一个三， 此时的话呢，我们采用一个换元即可。换元呢，我们只需要去令 t 等于我们的三引 x， 此时换完元之后，要注意新元的取值范围，因为我们知道了 t x 属于零到派之间的，所以 t 呢，就属于 零到一之间的，等于三。 x 在 零到派上，它的最大取一，最小取零，所以此时把它就转换成我们比较熟知的一个二次函数的这样一个关系了。画它图像， y 等于 n 负 t 方减去二， t 再加上一个四，此时我们的 t 除以零到一之间，那这样的话要算它的最大值，我们只需要画它的图像，它是一个开口向下的一个二函数，并且呢，它的对称轴等于负的二， a 分 之 b 等于负一，那么知道了，它在零到一上是单调递减的， 零在这，所以它的图像是取这部分，那要取它的最大值是不？当 t 等于零的时候取最大，它的最大 t 等于零时，带进去是不就可以了？ t 三零带进去，你会得到 y 等于一个四，所以它的最大值就取四。它的最小值是不是在一处取到，这是最大，它的最小就在一处取到，把一带进去，它等于一个一，它 让它算最大，没让它算最小，所以最大就取得四就可以了。 ok， 这就是我们求解值域的利用三角正弦函数图像求解域的一个方法，包括第二种，也是一个比较爱考的一个类型，我们采用换元函数处理就可以了。 ok， 第三个就是第三个综合给了我们的是一个余弦型函数。余弦函数呢？下下来大家根据老师刚讲的内容，把这块的 a、 b， c， d 这个题进行一个求解，老师可以告诉大家答案， 这个题选择的是 a、 c 选项，大家下去可以自行去练习，看自己能否把这个内容进行一个掌握呢？ ok， 我 们的这讲的内容就到这里，我们下面继续更新，然后图像性质里面最难的一部分，欧米伽的取之范围，希望大家点赞关注进行。

今天来讲一道人教版高一上册最后一个章节，正弦型函数和余弦型函数解析式的求法问题，因为这两个类型的函数求法是一样的，嗯，用余弦型函数这个题去给大家梳理一下思路， 那同理，正弦型函数也是一样的求法哈。那正弦型函数与余弦型函数我们一般写成这样的形式， f x 等于 a 倍的三， 欧米伽 x 加反，或者是 f x 等于 a 倍的 cos， 欧米伽 x 加反。那大 a 影响什么呢？大 a 是 影响纵坐标的伸长或 缩短，欧米伽影响什么？欧米伽是不是影响周期？因为 t 是 等于二派比上，欧米伽反是影响的什么？是不是影响的横坐标的平移问题？ 那所以咱来对照着 a， omega 和 f 这三个形式哈，去给大家讲一下。来，先看大 a， 大 a 很好判断，因为我们的函数最值是一个二，一个负二，那所以大 a 就 等于二。来看 omega， omega 的 话，像咱刚才说的，要找什么？找周期，那这个题的难点就在于周期的找法上，因为 我们的惯性思维里，看到六分之派和三分之二派，想到这两个数可以求，但是发现这两个数之间， 他不是半个周期，也不是四分之一个周期啊，所以到这里是不是就蒙了？但是你再观察一下这个题哈，这个题，我这个六分之派和三分之二派横着的这个虚线是不是一直延伸到了 y 轴这里？那你观察我画的这两个点之间， 哎，这两个点之间是不是就是一整个周期啊？对吧？但是他不是我们常规的 这样的周期，我们经常做的是这样的周期，比如说给你这个点，或者给你这个点，那是二，那是整个的周期，是吧？那或者说给你这个点， 再给你这个点，那是二分之一个周期，那或者说给你这条对称轴，给你这个对称中心，这是四分之一个周期，这是我们非常常见的周期的求法。但是这个题的周期不常见 啊，不常见并不代表说他不会出现，所以同学们在以后做这种题的时候，一定要注意一下我的周期。并不一定啊，都是按照我们固定思维里我刚才右图画的这种形式去出现。好，那来，那咱回到这个题哈， 那咱画了这两个点之间是不是正好是一个周期？那周期是多少呀？周期是不是就只等于三分之二派？那周期等于二派比上欧米伽，所以我们就可以求欧米伽了，欧米伽等几等三，那所以这个题你就可以排除 a 和 b 了，是不是 豁然开朗的感觉？然后咱再看一下飞怎么求哈？飞去求的时候，我们一般都是求飞啊，一般是带入一个点的坐标就可以求飞，那咱随便选个点吧。 在这个图中，你看哈，我们现有的六分之派，这里没有纵坐标，三分之二派这里没有对应的，没有对应的纵坐标啊，与 y 轴的焦点，他也没有纵坐标，所以在本题中，图中没有任何的坐标出现。 但是你观察哈，观察六分之派和三分之二派，六分之派和三分之二派的中间位置，是不是就是这个函数的对称轴？那这个对称轴我是不是可以求一下，对吧？那这个对称轴就是 等于六分之派加三分之二派除以二，因为他是在中间的位置吗？这是在中点的一个求法，等于十二分之五派，所以现在是不是出现了一个点，因为十二分之五派的时候取最小，所以啊，我这个函数过点，十二分之 五派到负二，那所以也就是说 f 十二分之五派带入我函数表达式。答， a 是 二，我们一看，我们刚才算了是三， 所以二倍的考三十二分之五派乘以三，再减 f 等负二，那咱给他化简一下就得到了。考三四分之五派减 f 等负一。那你想一下考三多少等负一呢？ 根据我们特殊的三角函数值，是不是靠三派等负一？但是因为这是一个周期性的函数，所以四分之五派减派是等于派加二可以派，这个一定要注意哈，这个一定要注意。 加二 k 派，这里是一错的一个地方哈，一定要加个二 k 派，因为这是一个周期性的函数，对吧？那 f 就 等于四分之派减二 k 派。看题干中我们对 f 有 要求， f 的 绝对值是小于二分之派，所以现在我们给 k 赋值，我零 k 等零 f 等于四分之派， 是不是正好是在我们小于二分之派这个要求的范围内，所以派就求出来了？那这个题的话，大 a 是 二，我们应该是三派是四分之派，所以这个题选四 d。

ok， 那 我们这周一块去看一下三角函数的图像与性质部分需要掌握的一些题型。那第一个内容就是我们三角函数正弦与弦正切函数的图像与性质，那这个性质在三角函数的图像部分是非常重要的，也就是说我们要去做一些题目的时候，都是需要去使用到三角函数的图像与性质 进行一个应用，所以对这块的性质，大家一定要把它提前要搞定。我们首先来复习一下我们正弦与弦正切函数的图像与性质分别是什么？我们之前说了，我们要学习一个新的函数，从这以下这几六个方面去研究， 这样我们就会把这个函数的性质进行一个完整的掌握。首先呢，我们看到的是它的定义域，它定义域呢是 x 除以 r， 我 们正切的定义域是 x， 不 等于二分之派加上 k 派。然后值域呢，我们正弦函数的值域，那就是 y 属于负一到一的 b 区间，也就是说它的最大取到一，最小取到负一 单调性，这儿有单调递增区间和单调递减区间。比如说单调递增区间，因为它是个周期函数，所以呢，我们只写只写到一个周期里面的单调性单增区间就可以了。 他的单增区间是负二分之派到二分之派，他是一个单调递增的，所以呢，我们写出来再加上他的周期倍是不就可以了？那就是他的单增区间是负二分之派加上二 k 派到二分之派加上一个二 k 派之间。 此时呢，我们的 k 除以 c 单减区间也是一样单减区间，我们写到他一个周期里面的单减区间，并且给他加上 k 的 周期就可以了， 那他的单点之间是二分之派到二分之三派之间，所以呢，我们写出来是二分之派加上二 k 派到二分之三派加上二 k 派，这属于 z。 接下来我们看出来它的图像关于原点对称，所以呢，我们知道它是一个 g 函数，它的对称性也比较哀悼有两个对称性，因为它是一个轴对称图形，还是一个中心对称图形，所以呢，我们分分别去写啊，它的对称轴，我们知道了它是 x 等于一个二分之派加上一个 k 派，这是 k 除以 z 的 呃，对阵中心，我们知道了他是一个 k 派到零，然后呢，再就是他的最小正周期了，因为我们知道他是一个周期循环的，他的最小正周期是负派到派或者零到二派，后面的所有的图像都是循环一个周期里面的内容，这样我们知道他的 d 就 等于二派就可以， 这是三原子。那同理的话呢，我们可以把 cosine 给它写出来，那它的值域呢？也是 y 属于负一到一的 b 单调区间，发现 cosine 图像跟 sin 图像，它刚好是把 sin 的 图像给它向左平移了二分派长度单位， 这样它的对称性，包括它单调性都有都有所变化。而它的单增区间主要它是啊负派加上二 k 派到我们零加二 k 派，那就是二 k 派单调底层。 然后呢，单减区间呢，我们知道它是一个零加二 k 派，那就是二 k 派到我们的派加二 k 派，派加二 k 派之间，此时呢，可以除以 z 就 行了，它的结果就明显的挪，一个二分之派肯定变成了一个 o 函数。那对称性的话呢？我们知道它的对称轴 也是向左挪，二分之派的单位长度，那就变成了 k 派， k 派，他的心就变成了二分之派加 k 派抖零，此时 k 属于 z， 他的周期不会发生变化，因为向左平行呢，左右平行，他的周期 t 不 会发生变化。再就是我们 比较爱考，但是很多同学不愿意去记得这个贪婪的图像，他大家对这个图像一般来讲比较陌生，所以这个图像性质一定要搞清楚。他的止欲，你知道他的止欲是 y 数与二，全体实数都可取到。 我发现他的单调性是只有单调递增区间，他在定义内单调递增，他没有减区间，所以呢，把增区间写出来，他的单调递增区间可以写成负。二分之派加上一个 k 派， 等二分之派加上一个 k 派，此时的区间我们一定要先开，因为它的定义是 x 不 等于二分之 k 派。偶含奇偶性，我们知道它明显关于原点对称，它是一个奇函数。对称性，我们发现它只有对称中心，并且对称中心是二分之 k 派都零， 他没有对称轴，他不是一个轴对称轴。此时呢，他的周期性呢？我们知道他的 t 等于一百八，他的 t 的 一个派过派，一个循环过派，一个循环就可以了。这三个图像性质大家一定要把它记清楚。 ok， 那 了解了这个图像性质，我们去看这块的 考试的主要的考察的题型是什么？首先第二个我们看的是五点作图，这个在我们的考试中也是属于一个必考题型，那五点作图，它的关键就在于我们发现要做出我们的正弦与弦图像，必须得了解五个特殊的点，一个是零零二分之派，都一派，都零二分之三派，都负一二派， 这五个点知道之后，我们是不是就可以通过循环，通过它的周期把这个三横图像给它搞出来？这样我们这块的做题方法就是我们需要把我们括号内的这块当做一个整体，并且令这块的值分别等于一个零，当 s 零的时候，我们直接去带他就可以了， 让这块再等于我们的二分之二，然后呢二块， 最后呢，你发现当 s a 派的时候，他最后得到了三分之七派，这样的话我只需要去把它对应的这个 x 算出来，并且标在图上，把它的点描出来，最终呢我们用光滑的曲线进行连接是不就可以了？ 那我们首先先算他每一个对应的自变量的值，比如说我们让二 x 加三分之派，等于二分之派，那我们知道我们的 x 值直接是可以算出来，它就等于一个十二分之派， 那等于派的时候，我们的 x 就 等于一个三分之派，等于二分之三派，算出来的 x 就是 十二分之七派，等于二派，算出来 x 就是 六分之五派。 此时我们再需要去瞄点，那也就是说我们分别让他等于三分之派，把 f x 带进去算出来，那就是说当 x 等于三分之派的时候，我们的 f 那 就是 f 零， f 零带进去变成了二分之一，乘以 cosine 三分之 pi cosine 二分之一，所以它的值等于四分之一，同理呢，我们把 f 十二分之 pi 带进去，那就是二分之一，乘以 cosine 二分之 pi 就 等于零。 再去把 f 三分之派带入到原式中，会得到的是二分之一，乘以 cosine 派等于负的二分之一。再描一个点，那就是 f 十二分之七派带进去，他二分三派等于零，最终一个就是我们的 f 六分之五派给他带进去， 他就等于一个正的二分之一就可以了。 f 派把它带进去，我们会得到的是二分之一乘以 cosine 三分之七派，三分之七派实际上就等于三分之派成了之后等于四分之一。这样画出来他的所有的值之后，把它描到我们的给出的这个坐标系中是不就可以了？那就是说，当 x 等于零的时候， y 等于四分之一，当 y 等于十二分之派， 假设那此时此时十二分之派的时候呢，我们的 y 就 等于零，等于三分之派，那就十二分之四派那一个格。如果是十二分之派，就是一二三四。在这个地方，这是三分之派。三分之派处的值，我们知道它是负的二分之一，那应该是这个点。 在十二分之七派，那就是二分派，十二分六派，十二分七派的时候，我们知道是零，在十二分之十派，我们知道他是一个正的二分之一，然后在派的时候，我们知道是四分之一，这样我们描出来这些点之后，拿光滑的曲线进行连接是不就可以了？ 连接完成之后，我们这道题就结束了。所以呢，最关键的地方在于，我们需要去把对应的点找到当做整体，让这个整体分别等于我们那个比较特殊的五个点是不就可以了？这样进行一个描点画图就 ok 了，这是我们第一个五点作图，大家这个方法虽然不难，但是一定要去掌握。 第二个就是我们去求解三角函数的不等式，当然第一个我们看它如何使用的是我们的三角函数的这个图像。第一个我们知道了 y 等于根号下它的定义域是多少，那我们知道根号下定义域就是我们的 y 根号下大于等于二倍的 cos 二 x 加一是大于等于零就可以。 这样的话呢，我们解出来我们的 cos 二 x 是 大于等于负的二分之一的，所以我们先去把我们的二 x 给它解出来，那就是说大于等于二分之一的二 x， 我们要去画的是谁画的是 cosine 的 图像，那 cosine 的 标准图案画出来之后，我们把二 x 的 方法解出来，二 x 的 方法解出来之后，我们再去求解 x 的 形状即可。所以我们先去画出来 cosine x 的 标准图像，比如说我们画出来 cosine 二的标准图像，那此时我的 cosine 二 x， 我把二 x 当做一个整体了，我把二 x 如果当做 t， 那 用我们这变成了一个 t 就 可以了。这样我首先把二 x 当做一个整体，再去算 x 范围是不是会比较好，相当于用了我们的这个非常重要的类比思想，在这我们都是用的是类比思想，把我们里面这个整体看做一个 模块就可以了，这样往进带会得到的是画出来 y 等于负二分之一的图像高点 t 大 于等于负二分之一，我们只看一个区间就可以了， 也就是说我们要去找到 cos 等于负二分之一的两根是不就行了？那 cos 等于负二分之一，个是负的三分之二派，一个是正的三分之二派， 这样的话呢，我们发现他比负二分之一大，那我们知道了我们取得在一个周期里面取得是这块内容，所以呢，我们只需要标出来 t 的 范围，我们的 t 此时就是要大于等于二分之负的三分之二派加二 k 派，同时我们的 t 要小于等于三分之二派加上二 k 派，是不就可以了？ 这样的话呢，我们表示出来它所有的小宇那大于负二分之一的这样一个曲值，那我们知道 t 此时就是一个二 x， 所以 要算 x 范围就要把 t 给它回答，那所以此时我们的 t 就 等于二 x 大 于等于，那就是负的三分之派加上 k 派， 并且那负的三分之二派大于等于三分之二派加上一个二 k 可以 除以 z 是 二 x， 所以 我们的 x 不 就大于等于负的三分之派加上 k 派，同时小于等于三分之派加上 k 派， k 除以 z， 这样我们在题目中去找，找到的话选择我们的四 d 选项， ok， 第二个呢，也是一样，第二个它是一个复合函数的单调区间，负二定义域的话呢，我们要知道 现在考察的还是我们对数的真数是要大于零存在，所以我们知道 cos x 要大于二分之根三， cos x 大 于二分之根三，跟我们刚才一样，我们还是借助这个图像画一个二分之根三的这样一个 y， 那 我们要去看到的是它的 y 大 于二分之根三所对的 x 是 多少就行了。所以此时这个 t 我 们就把 本来就是 x 就 可以了。那二分之根三所对应的这个 x 值，我们要标出来它是一个三分之六分之派三十度，这边是负六分之派三十度， 所以要大于二分之三的话就去这块，那也就是说我们的 x 是 不要大于负的，六分之派加二 k 派要小于我们的六分之派加上二 k 派，此时我们的 k 除以 z 就 可以了， 所以这个题选择的是我们的二 b 选项。 ok， 这就是我们解三角不等式的一个做题方法，那我们做一个总结，这块呢，主要是类比法加上一个画图，实际上就是我们的竖形结合，我们要去利用图像与性质，它的这个图像反应的信息进行一个判断，这样会比较快速。 ok， 第四个我们去看一下，根据解析式去判断一下图像的性质，这个跟三角函数有关的这样一类的题目到底应该如何去求解？实际上他的图像题我们之前就讲过他的方法了，他的方法就是我们去找不同， 找到它们的不同之处，并且呢我们用排除法去进行处理，它不同之处有很多，比如说我们之前常见的这个单调基偶，还有一些特值进行一个 替代，求对应了一些特值的变化，然后找它的不同之处进行判断。比如说我们现在我们的第一题， x 乘以三， x 乘以 cos 绝对值，在负派到派上的图像大致中，首先呢我们观察 abcd， 它们的不同之处就是有机油，所以呢，首先第一个不同就是你需要去判断它的基偶， 那判断基偶的话呢，我们在这要用到我们之前所讲的快速判断基偶的一个关系。你知道了 x 是 g， 三也是 g， pos 是 o， 所以呢，它就变成了 g 乘 g 等于 o 乘 o 还等于 o， 所以 它肯定是个偶函数。偶函数的话呢，我们把 bc 就 排除了，也就是说我们要去用排除法去做，再去找到 a 和 d 之间的这样一个区别。 a d 之间的区别呢，就是因为它的这个正负了。所以呢，我们发现在第一个零点的时候，我们就可以猜一下，零完了之后，它应该是一个 二分之派了。在三二分之派高三二分之派是不是等于零，所以整体乘了之后是零，那所以我们只需要去在零到二分之派找一个值，我们说找不同要特值，就要去把它这个具体化。你在零二零到二分之派找一个值，你把它带进去，看它是正还是负，是不是就可以了。那所以我们不妨去带一个 六分派，能把六分派带进去，我们会得到它就变成了六分之派乘以再六分之派，二分之一乘以 cos 二分之派二分之根三，它明显是大于零的。大量发现 a 选项，是不是就排除了 a 选项在六分派是小于零，所以这个题选择的是我们的四 d 选项。 同样第二题也是一样， f x 等于十倍，三 x 比上二 x 加上二 f x 大 致图像是多少？那所以呢，我们只需要前面的一些，那在奇偶性部分，你扎实了一些，积累的一些常见函数的奇偶性的话，那判断它的奇偶性非常快速，比如说这个， 那十倍三 x 比上二 x 加上二 f x， 那 我们知道了它的分子是一个奇函数，它的分母这个明显是一个指数里面的这样一个偶函数的形式，所以呢，我们知道了奇除偶就等于 g， 它这个奇函数我们要去排除的是 ab 选项，因为 ab 它都关于 y 轴对阵，在 c d 中做选择， c d 的 选择发现 在于在大于派的时候， c d 选项你发现它明显是很小，它不超过负二，但是呢，我们的 c 选项在大于派的时候，我们取个值，它发现能取到比负二小的，那这样的话，我们去看一下，它就是 c 选项，它在二分之派取到了最大， 那么可以去研究一下。我们知道它的分母是一个对勾函数，它的对勾函数是二 x 方加上二 x 方分之一，当 x 趋近于正无穷的时候，你的十倍三 x 最大是不是只能取到正一，最小是不是能取到负一啊？ 所以呢，当你的分母趋近一个非常大的一个数的时候，你的分子是一个负一，所以呢，决定了你值它不会特别的小，它肯定是比较接近于零的。你发现 c 选项它小与负二了，甚至越来越小的情况存在，这 c 选项它明显是不合我们的变化趋势的，所以呢，我们这个题应该选择的是我们的四 d 选项。 ok， 那 我们今天先去讲这四个部分的内容，我们下个视频会讲我们正弦型三角函数的图像性质，希望大家下去呢，会把我们这个图像性质一定要记清楚，并且呢对应的题型进行一个练习。 ok， 那 我们今天视频就到这里，有问题的同学下来及时跟老师沟通。