试卷汇编答案六年级上数学图形与几何

六年级期末必考题一定有图形与几何圆的认识？黑板上是一道六年级上册期末必考的圆相关的基本考题，像这样的基础概念呢，很多同学还没有弄懂半径、直径与周长面积的关系。一个小视频，小程老师带你把这些所有知识点 复习起来。同时小程老师为大家整理了一整套六年级期末的所有知识点，大家拿给孩子练一练，争取期末能考满分。 黑板上的这道题呢，他说一个半圆一定要抓住关键，半圆的直径是八分米的，那知道直径的时候呢，同步要学会转换一个半径叫四分米的半径是直径的一半，它的周长是多少？注意 这个，它我们指的是半圆，那半圆的组成部分呢，有一段是弧，还有一段就是直径， 所以我们应该先算圆的周长，用派 d 进行计算，然后这个周长只取一半，就是上半圈的这个弧，除此以外呢，还得加上最后的这条横着的直径， 所以在计算的时候要注意这些小细节。那么当直径是八派取三点一四，派乘 就是八乘，三点一四再去乘他的一半，就把上半段的弧算上了，然后再加一个直径，就是再加八，那计算的过程大家自己把它算完就可以了。这一部分算出来的最终结果应该是二十点五六分米， 所以这个半圆的周长我们就率先找完了，接下来呢，再来找它的面积。面积这个东西呢，就比周长要简单一些，因为半圆的面积就是一整个圆面积的一半， 所以它的面积应该用 pi r 的 平方再乘个一半，乘个二分之一，就相当于除以二，那么半径前面已经转换过了，所以就是三点一四乘四的平方再乘二分之一。 四个平方呢？这里是十六十六乘三点一四。如果你觉得不好算，你可以先让后半部分先进行约分， 十六乘二分之一，得到一个八。所以下一步实际上我只需要计算三点一四乘八的结果，那么它应该等于二十五点一二，单位平方分米面积就算出来了。再把它填进去，这道题就做完了。

六年级期末必考题一定有图形与几何圆的认识？黑板上的这道题是六年级上册期末必考的圆与比例的结合题目， 很多同学呢，没有搞清楚半径和面积之间的关系，一个小视频，小程老师带大家梳理清晰。同时，小程老师为大家整理了一整套六年级期末必刷题， 包含了六年级常考的所有知识点，大家拿给孩子练一练，争取期末能考满分。他说，小圆的半径是四厘米，大圆的半径是六厘米。问， 面积之比，那首先我们可以先把小圆的半径看作小 r， 大 圆的半径看作大 r 去进行比较。那么小圆半径比 上一个大圆半径是一个四比六。但是呢，这不是最减整数比啊，最减整数比要求前向后向都不能再做共同的除法啊。那很明显，四比六大家还可以共同除以一个二。所以化简这个比例，它应该叫二比 三。小圆的半径比上大的半径是一个二比三的关系。那么面积之比呢？注意， 面积是 pi 乘半径的平方，也就是说，假如小圆的面积去比上大圆的面积，它首先应该是 pi 小 r 的 平方去比上一个 pi 大 r 的 平方，那么 pi 和 pi 可以 比较，根据商不变的性质，那么半径一定要按平 方来进行比较。所以，原来是二比三，现在就应该变成二的平方去比三的平方，于是最终面积之比的应该是四比九。

六年级数学上册期末备考，你什么试卷都可以不用做，但是这套试卷你在考前一定要做，因为这套试卷是昨天刚刚考过的一套真题卷。这套试卷的考点非常丰富啊，囊括了很多的常考易错题，这套试卷我看你能考多少分，其实就跟你在学校期末考试成绩差不多，因为这套试卷也是刚刚考过的今年最新的一套真题卷。 那么在讲这道试卷之前啊，我先来看一下试卷的整体试卷分布，第一个就选择题，然后的话第二卷就是开始填空题、判断题、计算题以及操作问题，第六个解决问题，还有一个综合实践问题。就这个问题难倒很多同学，为什么我们来看 好的，那么我们直接来看题啊，从选择题一卷的选择题第一题开始看，周三进一的意思说的是圆的周长约是他直径的三倍，其实这个问题他考察的是什么，我们要清楚， 圆的周长是它直径的三倍。首先它是不是属于几何，对吧？是属于几何吧，在这个里面，这一说法出自中国古代哪本数学著作当中，它是 a 选项，周 b 算经。如果你不知道，其实前两天我们讲过一个问题，你也应该清楚，前两天呐，这个第十题 是吧？周瑜算金中有一种特殊的玄图，这就几何基本都是出自他的啊。描述，在中国古代，描述那个周长和直径关系最早的就是这本书当中 第二个。二零二一年十月十六日发射成功的神舟十三号飞船，总质量是七点八吨， 而搭乘也就是什么 f 火箭，运载能力约是八点二吨以下，质量关系表示错误的是 这个题目怎么转？不是一道非常简单的问题吗？长 r f 和神十三的质量比，那一个是一个是多少？一个是八点二，是不也就八点二比上七点八呀？ 那么比啊，一个前项一个后项，是不是相当于一个除法算式当中的一个被除数？跟一个什么跟一个除数，除数是小数的时候变成整数，同时扩大十倍，八十二比上七十八，你将来再约分了，约个几啊？约个二是不也就四十一比上三十九？所以 a 选项不就是对的吗？ 神十二占他的质量的几分之几，这不是也是一样的吗？跟前面选项是不是就一样的东西，对不对？神十三是多少？神十三是七点八， 长二长二 f 是 八点二，跟前面 a 选项是差不多东西啊。 c 选项长二 f 比谁多，我们讲比谁多或者比谁少的问题，首先找出他的一个差值 对不对？再比上一个，跟谁比跟谁比，这个比不太好写，大家能看懂就行。那么现在差值是几？差值是不也就是八点二去减去一个七点八，跟谁比啊？是不跟神十三去比？神十三就要作为分母，神十三是七点八， 七点八，那么上面算出来的话，其实这个什么啊，这个小数都不用看了，因为他都可以同时扩大十倍， 上面也就是等于四，下面是不是也就是七十八，然后再给他进行约分？约分的话你削个二，底下是不是也就是三十九，上面是不是二呀？三十九分之二，并不是四十一分之二应该选哪个？选 c 来少多少不也是一样的吗？差值，首先我们知道 是等于四啊，跟谁比啊？跟长二 f， 长二 f 是 不？八点二，也就八十二是的吧，也就是八十二分之四乘上一个百分百，那么结果就可以算出来，应该就是四点九啊。百分之四点九没有问题。 所有的这类问题啊，就这个 c 选项跟 d 选项，不管是多或者少，谁比谁多多少，谁比谁少多少，他统一的解法都是 a 去减 b， 这表示的是一个差值。同理了，我们这个前提肯定是 a 大 于 b 了。比如讲 a 大 于 b 的 话， a 比 b 多多少或者多百分之几都是 a 比 b， 比上一个跟谁比知道吧？比上一个 b， 或者说你现在改一下，就是 b 比 a 少多少，可以写成分数，也可以写百分数。同样的差值也就是 a 减 b 比上，现在跟谁比是不跟 a 比，所以 a 就 作为分母清楚吧。第三题，图书馆在剧院东偏南三十度 方向的五百米处，那么剧院在图书馆的哪个方向？这个题目不讲一个非常简单的问题。第四个，淘气，用圆规画圆啊，他把圆规两角之间的距离定为四厘米，这个四厘米是不是也就半径？ 四厘米就半径如图，那么他画出圆的直径是不二乘上四就等于个八厘米啊。所以第四题选 c。 第五题，十月八日晚，嗯，然后后面给了一大堆给你。要想清楚地表示出金银铜占 本届亚运会百分比，百分比肯定是哪个是不？肯定是扇形统计图啊，你直接前面都可以不用看，这个图也可以不用看，对吧？他直接讲百分比选择哪个图比较合适，但是这个条形以及这个什么折线统计图，折线统计图就像这样一个东西， 能够清楚的看出他的一个变化，条形统计图就是能够看出他的一个具体数量。 d 选项，复式折线图，他其实也就叫做多重折线 统计图，也就是可以比较，可以比较多组数据之间。比如讲我这个用这个颜色去表示对不对？用红色，另一个我用这个颜色去表示，好吧， 这就叫做多重折线统计图啊，他可以清楚的比较啊，多个数量的变化趋势。第六题错误率比较高，这个同学买了一辆变速自行车， 前齿轮分别是三十六齿、二十四齿，后齿轮是二十八齿、二十六齿、二十四齿、十八齿。那么现在他讲其中最快速度的组合，怎么样才能使自行车的速度最快？其实他也就是 做这个题目，你要有一定的生活实际怎么样才能使他达到最快速度，也就是前后轮前后轮的比值最大， 前后轮比值最大的时候，它的速度搭配，像这种搭配它的速度就最快。那么比如讲 a 比上 b， 我 要使它最大的话， a 是 作为什么分子对不对？ b 是 作为分母， 那么肯定分子越大分母越小，整个比值就最大了。前轮最大的是三十六，后轮后轮最小的是几？是十八，所以应该是三十六比十八，应该选 d 啊。这个题目其实你看这个哪两个选项可以不用看啊？就是二十四比上 二十四比上二十八，这个没有这个选项。我们其实这种问题如果你不会判断的话，就找最大跟最小，肯定是在最大比值跟最小 比值之间，对不对？就算你不清楚到底怎么样组合才能使他速度最快的话，那么他的选项只有可能在最大 比值或者最小比值的情况下啊。第七题，在一个长方形内有四个相同的圆，长方形的长是八厘米，这个总长是八厘米，这个总长包含几个直径啊？是不包含四个直径？四个直径 里面有多少个半径？是不是四乘二等于八？八个半径也就八个半径的长是八厘米，那每一个半径是不也就一啊？对不对？半径是一，我们再换个颜色 来看，那么他的宽的话，是不是就两个半径，两个半径呢？这不就他的宽吗？是不也就等于二？所以第七题应该选 b。 第八题，六年级体育达标测试当中，女生比男生多了十人，如果男生是 x 的 话，女生是不是 x 加十啊？ 女生有百分之十没有达标，那么达标的有多少个？是不也就是百分之九十乘上 x 再加上十，是吧？再加上十，这就是女生达标的人数。 现在问男生全部达标，是不是加上一个 x， 也就等于一百八十，对吧？总共达标的人数是一百八十，那么这个地方也就零点九了。零点九， 零点九， x 再加上九，再加上 x 等于一百八十，也就一点九，对吧？一点九 x 也就等于多少？把它减过去，两边同时减到九的话，这边是不是也就是 一百七十一？那么 x 也就等于一百七十一。去除以零点九，也就是等于多少？一千七百一十除以一个十九应该等于多少？那么这个 x 解出来的话，后面肯定有个零啊。 九九八十一，一九得九，加进的是不也就是十七，是不也就九十？那么 x 等于九十，男生就九十了，女生是不一百了，男生加女生全年级是不也就一百九十了？不就应该选 b 吗？我们设个 x 嘛。 第九题，一个圆的周长告诉你，那么我们可以知道它的半径对不对，因为二 pi r 是 等于三十一点四， pi 是 取三点一四的话，两边同时除以三点一四，这边除以一个三点一四的话，三十一点四是不是恰好是三点一四的十倍啊？那么 r 我 们就可以求出来， r 等于四， r 是 不等于五，半径减少一厘米半径减少一厘米半径， r 是 不是变成了四啊？现在不就相当于一个圆环一个半径 r 等于五，跟一个半径 r 等于四，对吧？这个 r， 这个 r 是 五，这个 r 是 四，叫你求圆环的面积了，是不是也就是 pi r 的 平方二十五 帕尔的平方二十五派，对吧？没有问题，减去一个十六派就应该等于几派是不等于九派？我们讲过很多，一到九派最好记住，等于三点一四的话，四九是不是三十六？一九得九，进进个三数变成二三九，二十七是不二十八点二六，所以应该选哪个？第九题是不就应该选 c？ 第十题，那华罗根说树缺行时少直观，行缺树时难入围。其实这个题目他讲的就是要我们利用叫做什么树形结合，对吧？学数学你少不了这种方法，树形结合你不管你是利用图形去解析还是怎么样啊， a 选项图一，把整个长方形看作是一公顷，一公顷，那么图色部分表示二分之一公顷的五分之三，这个 a 选项对不对呢？首先我们要来看一公顷 它分成几份，一二三四、五是不是分成十份，每一份的话恰好啊，它这个地方又占了十分之三， 十分之三。涂色部分表示二分之一公顷的五分之三是不上面是不？二分之一是不？恰好占了五分之三，是不也就乘起来是不是十分之三？跟我们前面讲的是不一样的。 b 图二中大正方形的面积是一平方分米，这是一分米， 一分米，我们要数他多少格，对不对？你要看他是不是一个正方形，因为只有这么啊，他讲的是个正方形的话，是不是有一分米乘上一分米是不是就等于一平方分米啊？ c 选项图三中最大正方形的面积也就是这个整体的面积，对不对？那么接下来怎么办？我们就要利用整体思想，因为这个长度是不也就是 a 加 b 啊？ a 加 b 是 不也就 a 加 b 乘上这个什么 a 加 b， 边长乘边长吗？也就等于 a 加 b 的 平方，对不对？ a 加 b 的 平方展开确实是这么多啊，如果你不知道长怎么展开的话，你可以验证一下，比如讲 a 等于一， b 等于三，你带路进去看，算一下是不是这样的结果，对不对？比如讲一加三的平方， 好吧，一加三的平方是不是？我按照他的结果来看的话，就应该知道是不是也就一的平方加上二乘上一，再乘上三，再加上三的平方也就等于多少，是不是也就一加上六再加上九等于 十六，是了吧？来又因为一加三的平方是等于四的平方，是不等于十六啊，那么说明这个式子就没错吗？ d 选项，图式中 从甲到乙的路程设为 x 对 吧？设为 x 千米列方程是不就是这里不就四分之一吗？四分之一表示五十千米，不就是一减四分之一， x 对 五。哎，这个题目没有没有错误的答案， c、 d 肯定是对的。哎呀，那 b 选项哪哪地方错了？图二中大正方形的面积是一平方分米，这哪个错了？ 哦，这里个这个印刷的不是很清楚，因为我拿到的不是圆圈啊。这一小格表示是一分米啊，一小格表示是一分米，所以总的应该是十格十分米啊，这十分米总长是十分米，那么也就十乘上十等于一百平方分米。好吧，就这个 c 选项稍微难一点。 这个涉及到我们的一个盲区，如果你没接触到这个完全平方公式的话，没接触这个公式的话，那么我们也可以验证对不对，要有逆向的思维啊，这个你们到初中会接触的，所以这个 b 选项是个错误的，选 b 啊，选 b。 接下来看 接下来看填空题，四又二分之一的倒数是多少，是不是也就是二分之九啊？那么他的倒数是不是九分之二？ 后面这个多少和零点八七五互为导数？那么首先我把零点八七五是不一千分之八百七十五是不给他约分呐，约分，然后求他导数是不就很好求了？这个自己去求啊。第二个， 第二题，这是一个连等式，对吧？基本上每套试卷我们都讲过这个问题。首先找一个具体的数，这里是不是四分之三？四分之三的话，你来看 这个分子是不作为前面被除数啊，也就是扩大四倍， 现在是给他扩大四倍啊，现在给他扩大四倍。三变成十二，是不是扩大四倍，那么四也要扩大四倍，填在这，是不是变成了十六，对不对？那同样的这个四又变成二四，是不是扩大六倍？那么分子扩大六倍是不是三六一十八， 对吧？那这个四也就是除数了，变成四十的话，扩大十倍是不是也就三十等于百分之多少？四分之三是不是等于百分之七十五啊？四分之三是等于百分之七十五啊，他就应该等于多少，是不是等于零点七五？ 这都是一些非常简单的计算。第三个，把四比五的前项乘上五，也就是变成二十， 要是二十比多少？要是比值不变，后项应该加上几，那么你前项乘上五，后项是不是也乘上五，是不是变成了二十五啊？二十五到二十五是不是应该加上二十？把六比二十四的后项减去十二，他是不是变成了十二？ 二四减去十二不就变成了十二？缩小两倍也就缩小两倍，缩小两倍，六就要变成三，那么要是比值不变，前项怎么办？前项是不是也要给他减去三呢？ 第四个，在圆圈里面填上大于小于等于号，乘上一个小于一的数，比它本身是不肯定要小，那 乘上一个二跟除以二分之一乘上倒数是不相等的，九分之七加上三分之一，肯定是越加越多了，你哪怕是九加九，加上零点零零零零零一，好吧，虽然三分之一不等于这么多啊，但是我们也要清楚 对不对？那九加上，不管加上多少，只要加上一个大于零的数，比他本身肯定是要大的。第五题，六年级的同学到这个小区参加指数活动，两种数的总棵数是在一百七到一百八之间，他没有告诉你一个具体的数，现在给了你一个比例关系，对不对？ 白杨树的棵树是松树的四分之三，现在问同学们种了多少棵松树，多少棵白杨树，这个题目不会做吗？没有根据具体的棵数就不会做吗？其实这个题目他考察的就是你对这个分数约分逆向思维。 逆向的思维怎么讲啊？我比如讲白杨树是三棵，松树是四棵，那么总数是不是也就是七棵？ 这个七颗是根，因为他是一个比值，在这四分之三是一个比值，在这 比完之后是四分之三，清楚吧？其实他这就是一个最减分数，在他之前进行了进一步的约分，对不对？肯定是由一个具体的数量约分之后才等于四分之三。那么这个数他必须要满足是七的。什么？是七的倍数吗？ 也就是一百七到一百八之间，这个数要满足是七的倍数，一百七到一百八之间，七的倍数有一百七十五，你可以用一百七去除，以七去算一下，然后给他进一位，知道吧？这个数就是一百七十五，所以讲总数是一百七十五， 一百七十五分成了多少份？一个是七分之三，一个是七分之四，是吧？那么他抵消掉的话是不也就是二十五？五？七，三十五二，七十四是不也就一百七十五？三，乘上二十五的话是等于七十五，另一个的话是等于一百，那么是不是也就呃，是松树 的是不是？那么松树是大的也就一百颗，白杨树也就七十五颗，知道吧？这个题目他巧妙就巧妙在这里， 白杨树的棵数松树的四分之三，这对了吗？七十五恰好是一百的四分之三吗？所以这个题目大家要弄懂啊，他的一个逆向思维是什么样子？他最终的这个比值是一个最减分数，他是经过进一步的约分来。现在我把整个题目给大家复盘一下， 白杨树是七十五对不对？七十五比上一百，他是不是才等于四分之三呢？其实他前面这一步， 前面这一步就是要我们从前从后往前去推，要逆向的逆向去思考，可清楚？ 第六题啊，薄阳湖、洞庭湖、洪泽湖、太湖、洪泽湖、巢湖五个淡水湖面积统计图，这个大家自己去完成啊，你就包括那这个第四题我们都讲了，对吧？几分之几大几分之几刚是不是都讲了？ 第七题，把一个圆按右图，这书上的立体啊，就不够多去讲，这不就是拆分吗？对不对？那这一个扇形，这一个扇形，这一个扇形，其实这个长度是不也就是 若干个小扇形，它弧度的总长是不是也就这个圆的周长啊？只不过讲这个圆的周长加上两个，两个半径，或者说加上一个直径，对吧？加上一个直径就行了。第八题，我们来看黄金， 黄金分割比，比值是零点一六八，如图啊，例如人体躯干有哪个？应该是脚底到肚脐的长度与身高的比例上， 若比值越接近零点一六八，就越给人一种美的感觉。如某女士的身高是一点六五米， 然后讲的是躯干与身高的比是零点六零，为了追求美，他想利用高跟鞋达到这一效果，那么他选择高跟鞋的长度约是多少厘米？教你保留一位小数。那么我们来看，首先你要清楚，按照他提议讲的也就是哪个地方到哪个地方，对吧？ 人体躯干由脚底到肚脐与身高的比例，什么比？也就是这个地方呢？画个图，比如讲这是一个人啊，然后的话，这里是个肚脐，肚脐眼，好吧，也就是这个比， a 比上与身高的比例，这是总体的比例对不对？这是 b， 也就是 a 比 b 应该等于零点六一八，这才是黄金分割点。 那么现在某女士的身高是一点六五，也就是 b 也就等于一点六五了，也就 a 比上一点六五啊。 躯干与身高的比是零点六零，躯干与身高的比 是零点六零。为了追求美，那么我们是不是可以把 a 求出来，也就 a 比上一点六五，是不等于零点六零呢？人体躯干部呢？刚才我没有看到这个躯干表什么意思啊？他躯干前面讲了是什么？由脚底到肚脐的长度，也就是 a 比上一点六五， 对吧？等于零点六零吗？这句话就是告诉我们这个条件吗？所以 a 我 们是不可以根据这个式子把它求出来， a 是 不也就等于一点六乘上零点六零了，这个 a 求出来了吧？是一个，他是不一个具体值， 对不对？他是不一个具体值，这个具体值我们知道，也就是脚底到肚脐，我现在加上 a， 加上是吧？ a 加上 x， 好 吧？也就是高跟鞋的长度比上它的整体身高是，整体身高是几啊？整体身高是一点六五， 一点六五对吧？它要等于零点六一八，因为 a 是 一个具体数，现在是不是只有 x 啊？然后就是一个纯粹的计算问题了，这个问题大家自己去完成啊。首先如果这种问题啊，你 不清楚的话，一定要画图对不对？画个这样的图出来不就清楚了吗？刚才我停顿的地方就是不清楚啊，他讲躯干与身高的比。哇，我刚才不理解这个躯干什么意思，但是他前面讲的人体躯干的长度是什么？脚底到肚脐的长度，所以这个题目就这么做啊。然后纯粹的一个计算题，第九题， 如果按照下图的规律继续画下去，第十个图形当中包含几个小三角形。这个题目我们也讲过很多，基本就是圆题 找规律，这套试卷上百分之九十都是原理。我们知道第一个他是不是四个三角形，一二三四对吧？第二个是一一二三四 五六七八九，第二个是九个。第三个的话，也就是每一层你一到二你加了几个？一二三四五是不是加了五个？是不是都是加最后一层，对不对？那这一层的话是一二三四五六七，加了七个，也就十六了，变成了四 九十六四对应的是一九，对应的是二十六，对应的是第三个，那么第四个应该是多少？第四个应该是多少？我们就找规律吗？比如讲第四个，我不知道是 n 个，好吧，我们找出这样的规律来， n 个对应的是多少？ 四对应的是一，九对应的是二，嗯，好像都是一个平方的，因为四是不是也就是二的平方等于四啊？然后是不是就三的平方等于九啊？四的平方是不是等于十六啊？但是呢，但是 你如果是第一次的话，你要变成一，我是不是就可以把它设成 n 次，把它就是 n 加一的平方，那我第一次是一加一的平方是不是就等于四？ 第二次是不是二加三的平，二二加一的平方是不就等于九啊？那么第十次是不就十加一的平方是不也就一百零一的平方，对不对？是不也就是一百零一乘上一百零一，把这个值带入进去算是不就可以了， 对不对？所以一定要去思考啊，找出它数之间的规律。第三个他问的是第呃，第十个图形当中还有多少个扇形？就这么做。第三个判断题，一个真分数的导数换个颜色， 一个真分数的导数一定比这个真分数大。一个真分数的导数，比如讲二分之一， 他的导数是不也就二呀？所以是不肯定是正确的。这个地方注意一个一，一是一个真分数还是假分数就行了，清楚吧。第二个，大牛和小牛的数量比是三比二， 表示大牛比小牛少三分之一，这个题目我们刚才不讲过了吗？哦，比如讲大牛是三个，小牛是二个，对不对？那么差值是不是三减二等于一，跟谁比？是不跟大牛比？大牛是几？大牛是不是？三？是不是也就是三分之一啊？ 第三个，如果 a 除以 b 等于三分之二，那么 a 等于二， b 等于三，这不就错了吗？这不就我们刚才讲的约分吗？对不对？我他只要是三分之二的倍数就行了， 跟我们前面讲的第五题是一样的。第四个，如果明明家这个题目不讲一样的东西啊。第五个，圆的周长越长，那么这个圆的面积就越大，肯定的，因为 r 派 r 越大， r 的 平方是不肯定越大，派 r 的 平方是不肯定越大，所以他不也是一个对的吗？ 然后这个计算题我们不过多去讲啊，计算题自己去算好吧，三十五分最好是一分都不能错，要拿到百分百的正确率计算，千万不能错。接下来我们继续往后面看看这个最后一页，最后一页操作问题也不讲，我们来看，从解决问题开始看起。 红旗小学为了庆祝，对吧？然后展开红色诗歌朗诵。四五六年级总共是一百五十人，其中六年级就可以算出来，是不是一百五十乘上五分之二也就等于多少？三十是不是就等于六十人， 对不对？六年级就六十人，剩余五年级和四年级的人数比是三比二，三比二。这个题目如果你做的快的话，是不是也就二二分之三， 二分之三？他要是一个整数比，也就回到了我们刚才讲的那个逆向约分的一个过程，因为他现在总人数只有九十人嘛，对吧？九十人分成三加二，一个是三，一个是乘上三加二分之二，对吧？这里是五分之三，一个五分之二，不过都去讲了， 然后第二个这题目都不讲了，自己去完成吧。那么我们直接来看下最后一题吧，综合与实践这个题目，九分这个题目其实并不难，并且我之前也讲过，好吧，学习完圆的周长之后，同学们用直径为八厘米的半圆 和其他更小的半圆设计的一些新图形，这个同学设计的图案在这，现在他讲的是我设计的这个新图形的周长，对吧？与直径为八厘米圆的周长相等。那么首先我们把直径是八厘米圆的周长算出来不就行了吗？那么直径是等于八的话，半径啊是不等于八除以二等于四啊，那么他的 周长就二派乘上四是不是就等于八派？这个东西我算先放在这里，我都不用看，将来算这个圆的周长，算这个图形的周长。 这个图形的周长是不先算这一部分啊？是不也就是二分之一乘上二派 r 呀，就等于派 r 呀？派是 r 是 几？ r 是 不等于四，是不就等于四派呀？ 这个题目要注意，首先我们算的是这一部分的长度，它并不是一个完整的半圆，如果是一个完整的半圆的话，你要加上一个 r r， 知道吧？加上两个半径，所以这个地方我们只需要算外面这个长度就行，也就恰好等于整个圆的一半，就等于四派，然后再加上里面这个 这两个长度了，对不对？这两个长度是不恰好组合成一个圆呐？这个圆的半径是 r 是 不等于 r 呀？所以他 r 派乘上 r 是 不等于四派，那么不就是四派加四派等于八派吗？这个地方八派等于八派，我这个派我都不用算， 这不肯定是相等的吗？所以他肯定是什么同意了吗？第二题我就顺着他的思路来，同学们还设计了以下三个图形，请你判断这三个新图形的周长分别与直径为八厘米圆的周长吗？应该就是相等的清楚吧，在胯后里面 画上对勾落不相等，画上叉应该肯定就相等的，肯定就相等。结合以上研究，关于 新图形圆的周长，你一定有自己的发现，请你用喜欢的方式尽可能的表示出你的发现，就画个图就是了，对不对？比如讲我画成这样，画成这样，画好多个不都可以吗？我这个长度随便标，对吧？他的长度肯定周长 不都是相等的吗？这个题目我记得之前讲过一个问题，也就讲一个什么老鼠好像是蚂蚁搬家的问题，就一模一样，一样，一个是从这往这 好吧，一个半圆，比如讲一个蚂蚁从这这样搬，搬到这里来。还有一个蚂蚁就是像这样搬，叫你去算他的一个 行驶的就走过的路程长度是多少，就讲过一模一样的问题。然后最后一个就更简单了，你随便画点图形的，像这样，像这样，对吧？像这样就这样画都行，只要在同一个终点，他都是圆。好吧，那么这段时间我们就讲到这里了，这套是圆其实不难，就细心一点就行。

六年级期末必考题一定有图形与几何圆的认识？黑板上是一个源于百分数结合的考题，这是六年级上册期末常考的一类题，百分之九十的同学呢，都容易在百分数的计算上出错， 一个小视频，小程老师带你避免这种错误。同时小程老师为大家整理了一整套六年级期末必刷题， 包含了六年级常考的所有知识点，大家拿给孩子练一练，争取期末能考满分。观察这道题，他说如果圆的周长减少了百分之十，那么你就要把这个减少百分之十学会转换，转换成它变成原来的多少， 那原来看做一个整体是百分之百，那减少了百分之十，说明现有的应该将占原来整个的百分之九十，所以变成了原来的百分之九十。 那么想一想，这个变化是因为什么引起的？首先呢，周长的计算公式叫派成地派成直径 或者是二 pi r 哎，也就是 pi 乘两个半径，两个半径就是一个直径啊。问面积减少了多少，那和面积相关的公式叫 pi r 的 平方。 所以我们就看半径到底因为周长发生了什么样的变化。我的周长变为了原来的百分之九十，这就意味着半径一定也变为了原来的百分之九十。 因为我的乘数缩小为原来的百分之九十，那么轴承就会跟着缩小为原来的百分之九十。那当你的半径变成了原来的百分之九十的时候，再算面积的时候，它就不再是派乘半径的平方，应该是派乘 百分之九十的半径，这个东西整体进行平方百分之九十其实就是零点九， 所以它就相当于是 pi 乘零点九的半径，再乘零点九的半径，那么整体你想想，这一坨乘在一起叫做零点八一倍 pi r 的 平方， 那在和原来的 pi r 的 平方作比较，它就变为了原来的零点八一那么多，对吧？那理论上讲呢，应该变为了原来的百分之八十一。很多同学这个时候就会去选 d 选项了，不对，因为最后他问的是减少了多少， 所以到这原来看作单位一，现在变成了原来的百分之八十一，那减少的部分应该用一减百分之八十一去进行计算，算出来应该是百分之十九。所以这道题的正确答案应该选 b。

你要是想在学校期末测试考一个好成绩，那么六年级同学这套考前真题卷你是必须要做的，因为它里面有好些的常考易错以及容易设坑出错的问题。那么在讲这套试卷之前，我们先来看一下试卷的整体试卷分布。第一个填空题，第二 个选择题，第一第二题，特别这个第二题错误率非常高，很多同学算都不知道怎么算。第四个就是计算题，计算题一分都不能错，第五个以及第六个就是计算题，计算题一分都不能错，第六题肯定是这个数据统计的问题。 好的，那么我们直接来看题啊，从填空题的第一题开始来看，二十分，百分百拿到手，第一个二又四分之一小时，毫不犹豫就是两个小时，多少分钟？是不是也就四分之一？净率是不是也就是六十啊？那么 约掉是不是也就十五，也就是两小时十五分钟。第二个三千零四十立方厘米等于多少粉米？那么我们清楚，首先要把它的一个净率给找到对不对？ 一分米是等于十厘米，那么立方的话，是不是左右两边什么一乘一乘一，那么右边是不是十乘十乘十啊？也就是十的三次方，由小单位变成大单位，小数点就要往是不往左移，左移三位是不也就是三点零四立方分米。 第二个连等式啊，这是我们的老朋友，千万不能出错。解决这种问题，找一个具体的数对不对？百分之二十是不是也就是五分之一？这些基本的百分数，最基本最基础的百分数跟分数之间的转换以及小数之间转换清楚，他是不是也就零点二五分之一，那么他的一个分子是不也就一现在五 变成四十，对吧？他作为一个除数，不就是他的一个什么分母吗？你是不是扩大八倍，那么分子也要扩大八倍，是不是变成了八等于四十，变了多少呢？同样的被除数作为分子，八变成四十是不扩大五倍，那么四十就要乘上五，是不就两百 等于小数？小数的话是不就零点二？我们用百分数到小数直接化，也就零点二等于五分之二，乘上多少 等于五分之二，都乘上多少？五分之二你要等于五分之一，是不是乘上二分之一啊？乘上二分之一是不是才行？或者说你乘上零点五都可以吗？第三个，圆形花坛的周长，周长是六十二点八，也就是二派尔等于 六十二点八米，那么 r pi 是 不也就是六点二八？那么 r 是 不也就等于十米，对不对？现在它的面积也就是 pi r 的 平方也就是一百， pi 三点一四乘上一百是不也就是三百一十四啊？恰好扩大一百倍。第四个， 田径场四百米跑道直线长度是八十五点九六米，最内侧半圆形跑道的直径来一个跑道吗？这两边吗？对不对？两边是直的，然后 这个两边的话又是一个弯的啊，那么他现在讲直到是八十五点九六米，标在这里，最内侧半圆形跑道的直径告诉了你是七十二点六米，每条跑道宽一点二五米。这个题目大家做过很多吧，那么我画个图，那 肯定不止一条跑道对不对？外面一条我就像这么画可以吧？现在是不是又有一个像这样的弯道啊？ 每条跑道宽是一点二五米，也就是这个宽是一点二五。要进行四百米比赛，划起跑线的时候，环形跑道上每一条 现在划起跑线，环形跑道上每一条起跑线比里面相邻的一条起跑线要往前移多少？那么这个题目他考察的是一个什么？ 我们首先清楚一点，也就什么最内侧，对不对？半圆形的跑道直径是七十二点六米，那么外侧现在我要求外侧换个黑颜色啊，也就是外侧的直径是多少？是不也就是七十二点六，加上一个 他的一个宽度嘛？一点二五，但是呢，你要乘上一个二，对不对？肯定要乘上二嘛，因为我们这个地方算的是这个直径啊，要乘上一个二， 乘上一个二的话，他算的结果也就是七十二点六，加上一个一点二五。乘上一个二的话，是不是恰好等于二点五啊？加上一个二点五，也就等于 七十五点一，也就等于七十五点一米啊，这个地方单位是米，现在就好做了，对不对？也就是第一个派， 第二就啊二减去一个派啊，一，是不是也就是往前移了，也就是派乘上啊？二减去一个啊一，那么应该等于多少？三点一四乘上一个 呃，七十五点一，减去一个多少？减去一个七十二点六，那么他就应该是呃，二点五，对吧？二点五，三点一四乘上二是六点 二八，再加上三点一四的一半，那么算得来的结果应该就是七点八五米啊，整体也就是往前移动七点八五米，这个题目大家相信大家应该做过很多吧，千万不能错啊，只要掌握，其实就跟圆环类似。 第五个二十四千克是三十千克的多少？是不也就二十四比上一个三十啊，同时削个， 同时消个六，上面是不是，下面是不是五五分之四，五分之四也就百分之八十了。后面一个三十千克比二十四千克，首先找差值是不是三十减去个二十四，差值比上一个跟谁比？ 跟二四比，二四作为分母，也就是二四分之六了。四六二四是不是四分之一，四分之一是不恰好就是百分之二十五啊？零点二五，百分之二十五吧。 第六题，大圆的半径是小圆半径的三倍啊，大圆的周长。其实这个题目可以不用算， 不用算啊，为什么？因为周长 r pi 一 比上 r pi， r pi 都消掉，也就是 r 一 比上 r 二，对不对？周长比也就是半径比，周长比也就半径比，所以啊，第一个周长是几倍？不就三倍吗？ 就三倍啊，周长比就是半径比上 pi r 二的平方，平方比吗？一比九吗？ 对吧？所以是他的九倍吗？第六个啊，第七题，六一班四名同学进行跳绳，两个人比一次，贾同学比赛了三次，乙同学比赛了两次，丙同学比赛了一次，现在问丁同学比赛了多少次， 总共是四名同学来，甲乙丙丁好吧，甲比了三次，也就是跟后面三个同学都比了一次，对不对？甲跟乙，甲跟丙，甲跟丁，他讲吗？每两人比赛一次吗？所以甲跟乙比了，乙就不跟甲比啊。 现在乙同学比了两次，也就一二，一根丙一根丁，丙同学比赛了一次，那么丁同学比赛了多少次呢？应该怎么做？ 我们就把刚才的给他找到不就行了吗？对不对？现在我们就回到了本身。甲是不跟丁比了一次，这是丁是吧？乙比了几次？乙比了两次，乙跟丙跟丁比了一次，对吧？丙同学比了一次，丙是不是跟丁比了一次？一加一加一是不等于三次，所以丁同学比赛了三次，这对吗？ 这是一个错的啊，为什么是一个错的？大家来看，忽略了一点，甲乙丙丁来，甲比了三次，他是不是跟乙，跟丙跟丁都比了一次？那么现在问题不就来了吗？相反的来说啊， 乙比了几次，乙比了两次，乙是不是跟甲比了一次啊？现在乙就跟丙或者丁跟他们其中一个比了一次，知道吧？并不是说啊，并不是说， 并不是说是吧，他就绝对要跟丁去比。那么丙同学比赛了一次，那甲是不跟丙比了一次？甲跟丙比了一次吧， 开始甲不就跟丙比了一次吗？现在丙就不跟丁比了啊，那么他也不跟乙比了，那么现在丁同学就只比赛了两次。这个题目就是一个易错题。第八个换个颜色 啊，假设的假设是十五分之四，比乙数少百分之二十，这个题目我们不刚才讲了吗？比乙数少乙数，比如讲 x， x 减去十五分之四，对不对？比上一个 x 等于一个百分之二十，最简单的做法是不是这一种， 然后存去计算就行了。又或者说我们从它本身去出发啊？从它本身去出发也可以做，就是利用我们刚才讲的，首先是叉值， 比上一个什么，跟谁比对不对？跟谁比就能得到这个百分之二十。第九个，这个结果大家自己算。第九，把五米长的绳子平均剪成八段， 平均剪成八段。五米，我不管他多少米，你剪成八段，也就是前面五米，我看着这个绳子看，都是单位一，对不对？那么每段长是多少米？每段是全长的八分之一， 对吧？每段全长是八分之一，那么现在每段长多少？总共是五米，是不也就八分之五米啊？第四题，从甲乘到乙乘货车要行五个小时，客车要行六个小时，甲乙的速度比他看的单位一，总的路程 看的是单位一，那么路程除以时间，这是不也就是货车，这是货车的速度。 客车的话是不是就一比上多少？一比上六也就五分之一，比上六分之一，五分之一除以六分之一是不等于五分之一，乘上六是不也就等于六比上一个五啊？所以第十题就六比五啊。第十一题， 一根绳子，第一次用去百分之二十，第二次又用去剩下的百分之二十，两次差相差两米，这根绳子全原原来差多少米？比如讲 x 吗？ 第一次用去全打 x， 是 不也就是第一次用了零点二 x， 第二次又用去余下，余下是不？零点八 x， 我 再乘上一个零点二，对吧？也就是，呃，二八一十六，是不也就零点一六 x， 第二次用了一零点一六 x， 原先是零点二 x 是 不是也就零点二？减去一个零点一六等于零点零四 x 就 应该等于二呀，同时扩大一百倍，也就等于两百，那么 x 的 话就应该等于多少，是不是也就等于五十啊？所以他应该是五十米啊。第二个判断题，八比上一十五，前项 加上十六就变成了二十四，二十四八变成二十四是不扩大三倍，同理，我后向也要扩大三倍，是不？也就十五乘上三等于四十五，十五要变成四十五的话是不肯定要加上三十啊。 所以这种问题也是我们经常考的，不能错啊。你的笔的前向后向只能同乘或什么同除才行，你不能同加减，同加减指的是它一个倍数的扩大，叫你去求倍数。第二个，十克糖溶于一百克水当中，糖占糖水糖水糖 比上一个糖加水啊，应该糖加水，你加入了十克的糖，你现在一百克的水也要加入十克糖吧。应该是十比上一百，一十也就一比上多少？一比上十一才行，所以他就是个错的。第三个， 男生比女生多百分之二十五，也就是女生比男生少百分之二十五。这个题目做的太多了。第三题很明显是一个错误的问题，是吧？ 这个问题的解法也就我我们刚才讲的一样。也就差值比上一个吗？比上一个跟谁比跟谁比就行了。你比如讲男生， 呃，这是百分之二十五，是不是四分之一啊？四分之一吧，男生比女生多四分之一啊。比如讲男生是五个，女生是四个 不就行了吗？你像女生比男生少多少少多少，差值是不也就是五减四，差值等于一，那么跟谁比？现在跟男生比也就五分之一，应该少百分之二十才对。第四题， 四吨的百分之二十和一吨的百分之八十是一样，多乘一下不就行了吗？这里是不是零点八？这里是不是也是零点八？ 这里不是四点四啊，这是这个序号写过来了，所以第四题就是一个对的。第五个半圆形的周长，就是圆的周长，加上一条什么直径啊？加上一条直径对不对？半圆的周长呢？这个长度是不是就是二分之一乘上二派啊？再加上一个什么 二二呀？这底下这个直径要会求吗？第三个选择题，用一块长十二米，宽八米的长方形铁片剪成半径是一点五米的小圆，不能拼接，最多能剪多少个？最多能剪多少个？我们来看， 首先这是一个长方形，画个图，如果你不清楚的话就画个图，这是十二，这是八是吧？他的一个面积是不可以求出来是不？十二乘上八， 现在我要把它减成，是吧？半径是一点五米的小圆，其这个题目你都可以不用这么去转，半径是一点五的话，你直径是几？ 直径是不是就一点五乘上二就等于三？首先你从沿着他的宽去减的话，八里面包含多少个三？八除以三，是不是等于二与上二？所以你按按照这样去减的话，你只能减两个，对不对？ 没问题吧？其他的铁片就不能要了吗？不能拼接吗？然后的话，你看十二里面包含了这个横向的，也就长十二里面包含多少个三，是不是四个三呢？所以就应该是二乘上四，不就是八个吗？ 第二题，一个三角形的底与高都增加了百分之十，现在比如讲底是 a， 高是 h， 可以 吧？原先三角形的面积 s， 原三角形的面积是不是 a 乘上 h 再怎么办？是不是再乘上二分之一是等于这么多？你现在都增加了百分之十， 在原先的基础上增加百分之十，这原后来增加之后的底是不是 a 乘上一加上百分之十啊？这个 a 区是不是也变成了 a 区？乘上一加上百分之十，它也就等于多少？这是 百分之一百一十，是不是也就是等于一点一 a， 这里是等于一点一而区，对吧？那么后来的面积 就是 s 后，也就新的面积，是不是就是一点一？ a 乘上一点一而区，再乘上二分之一，不就是一点一乘上十一的平方是不是一百二十一啊？是不是也就是一点二一等于原先的一点二一 增加了多少？也就是什么啊？也就是啊，现在也就是增加就多多少，对不对？又回到了我们刚才讲的问题，也就差值， 差值，现在变成了什么？一点二一？ s 减去一个什么？减去个 s 吗？原先是 s 对 不对？比上一个跟谁去比啊？是不跟 比原来的三角形是不比上一个 s 啊？再乘上一个百分百啊，那么他也就等于零点二一了。零点二一就零点二一乘上百分百不就等于百分之二十一吗？对不对？这个题目要会做，如果这个题目会做的话，就把我前面讲的全部都听懂了。第三个， 某人八分之一小时行驶四分之三千米，不就是这个分数？不就吓唬你了？比如讲两个小时行驶四千米，你知道是四除以二，我现在就用什么四分之三就除以八分之一不就行了吗？把它这个速度算出来对不对？也就四分之三乘上一个八，也就等于六六千米每小时 啊。每小时啊，就用小时，那么行驶一千米是多少行？现在他问的是他没叫你去求， 叫你用四指去表达出来。用四指去表达，那么应该选哪个？是不也就八分之一去除以四分之三乘上一个三分之四，也就是，呃，抵消掉六分之一啊。六分之一是吧？原先是六千米每小时，那么反过来，我们如果是计算题的话，反过来的话，不就是 啊，行驶一千米需要多少？行驶一千米需要多少个小时？是不也就六分之一个小时啊？第四题，一个三角形，三个内角的度数比是三比四比八，也就是一百八十度分成了 三加四加八份，对不对？我们先算最大的一个角，底下是不也就是十五、十五分之八，十五分之八，那么算出来， 算出来的话他应该是多少？是一个钝角，很明显是一个大于九十度角，这个大家自己去算一下啊。因为十八乘到十五，你抵消一个三的话，底下是五，这里是多少？这里是不就六十啊？六十的话是不恰好又是十二呀？二八一十六，一八得八，是不是肯定大于九十？第五个 高铁列车到达济南站，先下去车里人数的三分之一。第五个，高铁列车到达济南站，先下去车里人数的六分之一。 哎，原先是单位一的话，对不对？原先是单位一，我就假设是六十个人吧，不就行了吗？ 六十个人你下去六分之一是不下去，六十乘上六分之一是不下去啊，十个人下去十个人，现在车里变成了五十个人，对不对？又上来，车里人数六分之一是不？五十乘上六分之一啊， 是的吧，很明显五十乘上六分之一，六八四十八是八点几，对吧？八点几，这时车里人数比原来肯定要怎么办？肯定要少吗？ 然后第四个计算题，二十三分，这个百分百完成率啊，百分百的正确率，我们这个地方要强调是百分百的正确率，然后接着我们往后面来看 啊。第五个，请你在下图这个正方形里面画一个最大的圆，并求出剩余部分的面积， 剩余部分的面积他是不是就相当于什么一个正方形的面积，对不对？减去一个圆的面积啊？恰好是个正方形的话，最大的圆半径二等于几，是不是就四的一半？二是不是等于二呀？恰好 跟着什么都相切。我这个笔在电脑上不太好写，大家能看懂就行。第六个四边形， a、 b、 c、 d 是 一个平行四边形，圆 o 的 半径是 三厘米，三厘米这个高不也就三吗？这个底就变成了六吗？对不对？整体也就三乘上六吗？就总的这个什么平行四边形的一个面积是不是 没问题吧？总的一个平行四边形的面积，三乘六等于十八平方厘米。我现在求阴影部分的面积也是一样，去求这个阴影部分的面积也是一样的啊，这个阴影怎么求啊？是不是也就是一个整个圆， 这个半圆半圆的面积减去一个什么？减去这一部分减去一个四分之一元的面积 对不对？再减去一个，这里三角形的面积等腰直角三角形，三角形的面积是不是也就等于这一块阴影部分的面积？可以把这一块是不是求出来？或者说我再利用什么？利用平行四边形的面积减去一个， 再减去个空白部分，空白部分不就是四分之一圆加个三角形吗？然后把他们俩加起来不都可以吗？对不对？还有更简单的做法。第七个解决问题，这个三十分一分都不能丢，你只要把我前面讲的选择、填空、判断会做的话，其实后面的这些问题真就三十分轻而易举。 好吧，那么后面交给大家自己完成啊。这后面的题目不比前面的题目难多少，大家只要能听懂就行了。

这是一张六年级上册的苏教版的期末卷，大家可以看一下啊。先看第一道题，第一道题是判断题，一个长方体有一组相对的面，什么叫相对的面？因为它是长方体，就是空间图形。像这个，比如说这个面和这个面， 左边和右面叫相对的面，也就面对面的面是正方形。哎，正好我画的这个图形相对面正好是个正方形啊，则其余四个面的面积一定相等。也就如果说按照我这个图形来说，就其余四个面面积就是前后上下。我们看下这个长方体的前后上下，前面是长 和高，对不对？长乘高就是他一个面的面积，再乘以二，就是前后两个面面积上下呢？上这一条也是长，这一条是宽，但是他说他这个面是正方形，那正方形的意思其实就是相当，相当于在告诉我们它的宽和高是一样的， 所以说它的面积四个面的面积相等，所以是对的。第二题，面积为一平方厘米的平行四边形，相对应的底和高的厘米数互为倒数， 互为倒数。我们知道有一个特性是什么，两个数相乘，乘积为一，比如说 a 和 b 互为倒数，那 a 乘 b 就 肯定是一对吧。比如说二和二分之一，我们也可以把它画出来。只要是做到图形题，你就一定要最好是画图， 只要你能看得懂你的图，不要求特别标准，只要你能看懂，辅助你解析就行了啊。他说面积为一平方厘米，那也就是底乘以高，这是底， 这是高，底乘以高等于一平方厘米。这里还要注意一点啊，就是单位面积，单位一定要加上平方两个字，如果不加平方两个字，直接是厘米的话，那他就变成长度。单位 面积单位是一定要加平方的啊，如果你想缩写，那就写 c、 m 二次方，那就代表平方厘米相对的底和高厘米数互为倒数，互为倒数，相乘等于一， 可以的吧？是不是只要相乘等于一的两个数肯定会倒数，我们可以去降小，比如说 a 乘以 b 等于一，那 a 是 不是就等于一？除以 b， a 自然等于 b 分 之一，那这两个数是不是会倒数？第三题，零点三吨比上三百千克的最简单的整数比是一，那我们可以把它化简， 零点三吨，因为他首先两个单位是不统一的，那就要做到单位统一。吨到千克，他的净率是一千，大到小是乘以一千，小到大是除以一千。现在我把吨换成千克是大到小，所以是乘以一千。零点三， 乘以一千就等于三百三百千克比上三百千克就等于一比一。他说最简单的整数比，他既然说到是一个比，没有说比值，那必须要写作比的格式，一比一，但是他只写了个比值等于一。虽然我们知道一比一就是等于一，但是你不能写作一，因为一是比值， 这是最后的答案，他不是比，他既然说是整数比，但是他要写成了比值，那是不是就肯定错了？第四题，甲的质量是乙的质量的十分之七，十分之七可以改写成百分数，他是一种概念性的转换，他说甲质量是乙质量的十分之七，那这这个是什么意思呢？就是甲 是乙的十分之七，对不对？就是相当于把乙平均分成十份，取其中七份就是甲的分量。那现在说十分之七可以改写成百分数，改写成哪个百分数？其实十分之七就等于零点七，零点七就是等于百分之七十可以改写了吧？对，肯定能够能够改写的啊。第四道题， 一件衣服先提价五分之一，再降价五分之一，结果与原价一样多。我们好像日常生活中经常会碰到这种题目，这个乍一看似乎好像说的挺对的啊。先提价五分之一，再降价五分之一，相当于没变。有些人是不会这样想的，但其实肯定是变了，因为五分之一的主体和这个再降价的五分之一这个主体已经不一样了。 比如说我这件衣服，取一个最最简单的就举例啊，举例这件衣服就是五块钱五元，对吧？先提价五分之一是什么意思？先在这个五元的基础上 增加五元的五分之一，也就是他后面的售价就会变成五，加上五乘以五分之一，提五五元的五分之一，是不就相当于提了一元？提了一元，那加上五元是不就是变成六元？六元以后，他说再降价五分之一，那这个五分之一 也就它的主人是六元，也就是六元的五分之一，它在降，那后面的售价就是六减去六乘以五分之一，是六的五分之一，不再是之前五的五分之一了啊，所以这个就变掉了，对吧？你看啊，因为六乘以五分之一不可能等于一，所以说他说一样多，那肯定错了。最后变成多少钱？我们可以算一下，六减去五分之六，相当于 一又五分之一，对吧？那就是四又五分之四，那肯定不是五了啊。那如果换一个，换一个说法，就是 一件衣服先提价五分之一，再降价五分之一，结果是比原价多还是少？那如果说按根据我刚刚举个例子，他这个衣服是五块钱，那这个算出来的结果，那肯定是比原价少了，对吧？因为六乘以五分之一，肯定比一大六减去比一大的数字，那肯定比五小，对吧？所以说他最后的结果肯定比原价低啊。下。

同学们好，我是雷老师，很高兴能与大家一同学习。 今天我们将对教材中图形与几何的部分进行总复习。首先让我们一起翻开课本第一百页， 今天的学习将围绕这几个问题展开。同学们回忆一下我们学过哪些平面图形，你能将它们进行整理吗？ 好，我们来听听这位同学是怎么说的。 我们学过的平面图形有长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆。 其中长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形是用线段围成的封闭图形，而圆是由曲线围成的封闭图形。 是的，圆相对于其他几个平面图形而言比较特殊，它是由曲线围成的封闭图形。今天这节课我们就对圆进行整理和复习。 在圆这个单元中，我们学到了哪些知识呢？下面让我们跟随教材一起来回顾一下吧。 圆的认识让我们了解了圆的特征，以及用圆的知识解释生活中的简单现象， 欣赏和设计，让我们进一步感受了圆的对称美。在数学阅读中，我们了解了圆周率的历史，学习了圆的周长和面积后，能帮助我们解决生活中的实际问题。 看来这个单元的知识还是非常丰富的，同学们在复习的时候可以用数学报、 思维导图或者列表格的形式对所学的知识进行整理。接下来让我们来听一听这几位同学的知识整理吧！ 我对圆的特征进行了整理，圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆中心的一点叫做圆心，一般用字母 o 表示。 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母 r 表示。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母 d 表示。 一个圆中有无数条半径，这些半径都相等。有无数条直径，这些直径也都相等。所以说圆与中同长，也同一个圆里，直径长是半径的两倍， 用字母表示，可以写成 d 等于二 r。 好 的，这位同学对圆的特征进行了整理，让我们把它说的记录下来。 圆中心的一点叫做圆心， 通常用字母 o 表示。半径，用字母 r 表示。直径，用字母 d 表示。 在同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。 半径有无数条，直径也有无数条。 在同一个圆中，直径长是半径的两倍，用字母可以写成 d 等于二 r。 反过来也可以说 r 等于二分之一 d。 好 的，还有同学想补充 老师，关于圆的特征，我还有补充，我知道圆是轴对称图形，有无数条对称轴。将圆对折两次，两条折痕的焦点就是圆的圆心。 圆还是轴对称图形，有无数条对称轴。 好的，接下来我们来听听其他同学的整理。 我对圆的周长进行了整理，围成圆的曲线的长叫做圆的周长，一般用字母 c 表示。 上课时，我们用绕绳法和滚动法测量出圆的周长。通过研究发现了圆周率派，进而得到了圆周长的计算方法。用字母表示是 c 等于派 d 或 c 等于二派 r。 在圆的周长这节课中，我们用化趋为值的方法测量出了圆的周长，进而发现了神奇的圆周率 pi， 得到了圆周长的计算公式。可以用字母写成 c 等于派 d 或 c 等于二派 r。 ok。 在这一单元中，我们还学习了对圆的面积。接下来就让我们一起来看一段小视频，回忆一下圆的面积计算公式是如何推导出来的。 我们通过把圆分一分、剪一剪、拼一拼的方法，把圆拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的高就是圆的半径，平行四边形的底是圆周长的一半。 就这样我们就找到了圆的面积计算公式。在这个过程中，我学到了把未知的图形转化成已知的图形，找到它们之间的联系，从而解决新问题的方法。在以后的学习中，我也要试着多用用这种方法。 是的，在学习圆的面积这节课中，我们用到了一个非常重要的数学思想，转化思想就是把圆转化成学过的平行四边形。 当然，我们也可以把圆转化成长方形或者三角形，都能发现圆的面积计算公式是 s 等于 pi r 的 平方。 好，我们来看看还有同学有什么想说的。 雷老师，我发现学习了圆的知识后，我可以解决生活中的许多问题， 而且只要告诉我圆的半径、直径、周长、面积中的任意一个数据，我就能计算出其他的数据是多少。所以我把这些计算方法之间的联系也进行了整理。 圆的知识还帮我理解了生活中的一些现象，比如车轮、下水道的井盖为什么是圆的了？圆真是一个美丽又神奇的图形。 是啊，这位同学可真棒，他还能根据圆的半径、直径、周长和面积的关系进行整理，从而解决问题。 好了，课本上的知识整理就到这，接下来就让我们用所学的知识解决实际问题吧。首先，数学判断听，请看第一题， 圆的半径都相等，这句话对吗？ 这道题是错的。要说在同一个圆或者相等的圆中，圆的半径是相等的。第二题，半圆的周长就是圆周长的一半 对，这道题也是错的。我们来看一看，这是一个半圆，它的周长是一个半圆弧加一条直径， 这是一个圆，这是圆周长的一半，很明显它们是不相等的，所以这道题也是错的。注意，半圆的周长一定要记得加直径哦！ 半圆的周长可以用字母表示， pi r 加 d， 同学们可以把这个公式记录在你的笔记本里 再看。第三题，直径大的圆周长，大圆周率也大，对吗？ 直径大的圆周长的确也大，但是圆周率是一个固定的数，所以这道题是错的。 第四题，求阴影部分的面积。用三点一四乘八减五的差的平方等于二十八点二六平方厘米，对吗？我们一起来分析一下吧。 阴影部分的面积其实也就是这个大圆的面积， 减去里面半径为五厘米的小圆的面积， 然后用乘法分配率可以写成三点一四乘八的平方减五的平方的差，答案是一百二十二点四六平方厘米，所以这道题也是错误的。 好，接下来我们来完成数学书上的练习。看到数学书第一百零五页第二题，按要求先画圆，再求出圆的周长和面积。 请同学们在草稿本上动手做一做吧。 做好了吗？我们来看一看这两位同学的答案。 第一个同学先画了一个半径为两厘米的圆，求出它的周长是十二点五六厘米，面积是十二点五六平方厘米。 在这里雷老师要提醒同学们注意，虽然这道题的周长和面积都是十二点五六，但是它们的含义是不同的， 这个十二点五六表示的是周长，要用的是长度单位。这个十二点五六呢，是圆的面积，用的是面积单位，所以说圆的周长和面积无法比较。 再看第二题，画出一个直径是三厘米的圆，直径三厘米，说明圆规两角之间的距离应该是一点五厘米， 然后求出它的周长是九点四二厘米，面积是七点零六五平方厘米。这道题的数据比较大，同学们你算对了吗？ 接下来我们来看看第四题。陶器和笑笑便习径走，陶器沿长为九米，宽为四米的长方形花坛走，笑笑沿直径为八米的圆形花坛走， 他们的速度相同，谁先走完一周呢？哎，这道题是跟圆的周长有关，还是和圆的面积有关呢？我们来听听这位同学是怎么分析的。 这道题和圆的周长有关，我是从这些关键词发现的，例如沿着走完一周，这些关键词都说明这道题和圆的周长有关， 同学们，你们听明白了吗？这些关键词都告诉我们这道题是跟圆的周长有关。我们来看看这道题该怎么算呢？ 刨器是沿长方形花坛走，所以它的周长是长加宽的和乘二等于二十六米。笑笑是沿直径为八米的圆形花坛走， 算出来的周长是二十五点一二米，因为它们走的速度是相同的， 淘气走的路程更远一些，笑笑走的路程更近一些，所以笑笑先走完一周。同学们，你做对了吗？ 接下来我们来看一看第六题。动物王国在举行盛大的马戏表演，瞧，调皮的猴子正在进行走钢丝表演呢。 请看，他提了一个问题，车轮一共要转多少周呢？同学们，试一试，算一算吧！ 做好了吗？我们来听一听这个同学的答案。这道题问，车轮一共要在长城上转多少周，与圆的周长有关，我是这样做的， 咦，怎么连一周都不到呢？不符合生活实际呀！哦，我明白了。车轮的直径是用厘米做单位，身子全长是用米做单位，单位不同，要进行单位换算，赶紧定正，听明白了吗？ 这个同学虽然做错了，不过他有一个很好的习惯，就是能够结合生活实际进行反思。他发现算出来的结果连一周都不到。 因此又把这个题目读了一遍，发现了问题所在。单位是不同的，要注意单位换算。 同学们在做的时候，可以把它统一成米做单位，或者也可以统一成厘米做单位。最后的结果都是二十五周， 同学们，你做对了吗？接下来让我们来看看第五题。 题目要求我们先用圆规画出右面的图形，并涂上颜色，然后求出图色部分的周长和面积。嗯，这道题看上去有些复杂， 同学们，拿出你的圆规，在作业本上画一画，算一算吧！ 做好了吗？我们来听一听这个同学他是怎么画的？ 我先以两厘米为半径画出一个圆，再通过圆心画出两条互相垂直的直径，再找到这四条半径的中点， 以一厘米为半径，画出四个半圆，最后涂上颜色，这个风车图案就画好了。我先算小半圆的周长是五点一四厘米， 再算四个小半圆的周长是二十点五六厘米，所以涂色部分的周长就是二十点五六厘米，涂色部分的面积是六点二八平方厘米。好，我们一起来看一看这位同学的方法。 三点一四乘二，再除以二，求出来的是这个小半圆的半圆弧， 再加上这个直径二厘米，得到一个小半圆的周长是五点一四厘米，然后算出四个小半圆的周长之和等于二十点五六厘米。 面积也是先算出一个小半圆的面积是一点五七平方厘米，再算出四个半圆的面积是六点二八平方厘米。这个方法非常好，同学们，你做对了吗？ 还有别的方法吗？我们来听听这个同学是怎么说的。 雷老师，我计算周长的方法和它不同，我是这样做的。这四个半圆的半圆弧可以拼成两个整圆， 用三点一四乘二，再乘二等于十二点五六厘米，求出两个圆的周长， 再加上四个两厘米，二乘四等于八厘米，十二点五六加八等于二十点五六厘米。 图色部分的周长也是二十点五六厘米，面积就是这两个拼成的圆的面积之合，用三点一四乘一的平方，再乘二等于六点二八平方厘米。 哎，这个同学的方法你们听明白了吗？他是先把小半圆拼成了一个完整的圆，算出了两个圆，周长之和是十二点五六， 不过要提醒你注意，要记得加上这四条两厘米的直径，最后算出的结果也是二十点五六厘米，非常好！ 老师，我还发现了拼成的两个小圆的周长之和等于大圆的周长都是十二点五六厘米。因为这两个小圆的直径之和等于大圆的直径，所以他们都可以用三点一四乘二再乘二计算。 哎，你们听明白了吗？这个同学说的是，这两个拼成的小圆的周长之合等于大圆的周长，他们都可以用三点一四乘二再乘二计算。 这个同学的发现是巧合吗？不是的，它里面呐藏着一个数学道理，让我们来听听数学博士是怎么说的吧！ 把一个大圆的直径地分成若干份，以分成的线段为直径，画出 n 个大小不同的圆。 第一个圆的直径，我们把它叫第一，第二个圆的直径叫第二，第 n 个圆的直径叫第 n。 这些小圆的周长之合可以列示为，派第一加派第二，一直加到派第 n。 用乘法分配率可以写成太乘上 d 一 加 d 二一直加到 d n 的 和，而 d 一 加 d 二一直加到 d n 的 和，正好等于大圆的直径 d， 那么小圆的周长之合就等于派币，也就是大圆的周长了。所以说，当 n 个小圆的直径之合等于大圆的直径时，这 n 个小圆的周长之合就等于大圆的周长。 同学们，你们都听懂了吗？当几个小圆的直径加起来的和等于大圆的直径时，这几个小圆的周长之和就等于大圆的周长。 好了，今天的练习就全部结束了，希望同学们在以后的复习中能够学会归纳、整理，总结、反思。今天的课就上到这，同学们再见！

六年级数学上册期末测整体卷这第十套，这套试卷你要是能做到九十以上，那么说明你这个基础是非常可以的。这套试卷你别看题量少，但是他题短精，看难度高，知道吧，很多的易错难点在里面，所以我们考前可以好好练一下，那么再讲这套试卷呢？ 那么再讲这道试卷之前呢，我们先来看一下四题整体分布。那么再讲这道试卷之前呢，我们先来看一下试卷的整体四题分布。第一个填空题，然后判断题，就判断题其中有一个问题错误率百分之九十以上，然后第三个选择题，计算题，以及后面的图形操作以及解决问题啊，应用题，还有一个附加题。 所以讲这道试卷考前可以好好练一下，检测一下自己的真实成绩，满分是一百一。好的，那么我们直接来看题，从填空题的第一题开来看，第一题又是一位老朋友，叫做连等式，对吧？ 这种连等式的问题千万不能再出错了，这个笔在电脑上不太好写，大家能看懂就行。那么首先我们找一个具体的数，零点三七五小数，你不管是转换成分数还是百分数都很好转换，他是不百分之三十七点五啊，所以这个空是三十七点五， 你再把它转换成分数是一千分。之什么？三百七十五，这个约分就更好约了。为什么有同学约分不好约呢？因为我们要知道，一百里面是还有四个二十五的对不对？那么 三百七十五里面有多少个二十五啊？三四是不是十二，再加上什么？再加上三个是不是十五个呢？首先第一步是不是约分十五个？底下的话是不是也就是多少？那么底下一千是不是有个四十个 二十五啊？再约约个五的话是多少？是不也就是三？下面是不也就八，也就是八分之三？所以第一个空，对吧？被除数是作为分子八分之三，你现在八作为分母扩大四倍，四八三十二，你分子是不是也要扩大四倍？三四是不一十二等于六， 除以多少？那你三你要变成六的话，相当于分子，他都是分子，扩大两倍，是不八就变成了十六。所以第一个不就这么快完成了吗？这我们讲的时候啊，你计算要更快啊。第二个，一百三十二的六分之一是不就一百三十二？乘上六分之一，考察一个基本计算 一百三十二里面包含多少个六二六？一十二是不是等于二十二，也就等于二十二啊？那多少的八分之三是九十，是不是九十？除以八分之三是不是乘上三分之八？三八二十四是不也就二百四十？ 第三题，十三分之七与哪个互为导数？是不是七分之十三呢？题目难度是越来越难啊，你别以为前面几个题目简单，零点七五的导数零点七五是不是也就四分之三？四分之三的导数是不是三分之四？ 第四题，用两百千克菜籽油可榨四十千克油。嗯，现在这种油菜籽的出油率，出油率是多少？也就什么出油率， 他应该等于什么？是不等于油的质量？油质量去比上什么？去比上一个油菜籽 油菜籽的质量再怎么办？是不是再乘上这个百分百啊？也就是两百分之四十 四五，二十是不五分之一，五分之一的话是不也就是百分之二十？第五个，修一条路，修一条长八百米的路，已经修了三百二十米，现在已修和未修。未修是不是三百二十？比上八百 减去一个三百二十，八百减去个三百二十，也就三百二十，比上多少？这里面是不也就四百八？四百八，对不对？这两个零都可以约掉， 都可以约掉吧，然后同时除以一个八的话，同时约个八，上面是不是下面是几六八？四十八，再约个二的话，是不也就是二比三呢？现在前面问的比对不对？后面问的是比值。如果这个题目 后面不考，好吧？后面不考，肯定有同学就写成三分之二，就直接当做比值计算。问的是比啊，是二比三啊，比值的话也就三分之二，一定要区分开来。第六个，一件上衣第一次降价百分之二十，第二次按降价后的价格 又降了百分之十五，这件上衣的价格比原价降低了多少？那么怎么办？我们原价 原价就看作是单位一，单位一没问题吧？原价看作是单位一，那么现在第一次降价是不是也就一乘上？是吧？一减百分之二十也就等于多少？这里是不也就零点八等于零点八， 零点八。接下来第二次降价，他的价格就变成了零点八，乘上一减多少是不？一减百分之十五啊，等于多少？是不等于零点六八等于零点六。那么现在他问的是这件上衣的价格比原价，原价是一类，也就百分百了，百分百 去减去个百分之六十八，是不等于百分之三十二呀？这个题目如果改一下，肯定有同学会出错，这件上衣的价格就经过经过两次降价之后的价格，比第一次降价， 比第一次降价降低了，降低了百分之几。这个题目我们之前讲过，也很好做，但是有同学肯定不会做。第七个，完成一项工程假单独做，那这个工程看做单位一假十二个小时，他的工作效率是是不是十二分之一？已单独做需要八小时，他的工作效率是不八分之一， 加以合作三小时完成这项工程的百分之几。合作的话不就把他的合作效率对不对？一个十二分之一，一个八分之一给他加到一起去吗？加到一起去的话，然后再怎么办？乘上一个， 这是总的工作效率，乘上一个时间，也就相当于速度乘上时间，对吧？也就他们完成的量占这总工程的多少， 是不是就可以算出来，他也就等于多少？等于三乘上这个里面二十四，一个二十四分之二，一个二十四分之三，也就二十四分之五，三乘的二十四分之五， 三八二十四八分之五了。八分之五，你再换成百分数等于多少？等于百分之六十二点五啊，这个稍微计算一下就行了，也就完成这项工程的百分之六十二点五， 因为这样工程你是看出单位一呢，对吧？所以我们直接把结果写来就行了。第八个，这个图当中一共有多少条对称轴？其中一个圆的直径是两厘米，那么每个圆的周长是多少厘米？ 每个圆的面积，那长方形的周长，这不也是一个非常简单的问题吗？对称轴呢？这是不是一条对称轴？ 这是不是一条对应轴？还有没有对应轴？这是长方形，如果是正方形的话，对应轴肯定就要多，因为他这个对角线也可以成条对应轴，是吧？所以目前来看，他只有几条对应轴，是不是只有两条对应轴啊？其中一个圆的直径，圆的直径告诉你，半径是不是就一厘米？每个圆的周长是不是二派啊？二派 对吧？二派乘上一，是不是也就是三点一四乘上二等于六点二八啊？六点二八，每个圆的面积是派二的平方，也就三点一四了。三点一四，这个长方形的周长， 那直径是等于二，也就是这个宽等于二。然后长的话是有几个直径？三个吧，二三得六吧，也就是二乘六啊。不不不，长加宽就八，再乘上二二八一十六，是吧？就等于二八一十六啊。 我们可以通过这个里面圆吗？圆的直径，可以知道这个长方形的长跟宽吗？第九题，用一百厘米的铁丝围成一个长方形，长和宽的比是三比二，一百厘米的铁丝，首先我们一百除以二，也就等于五十，这个五十它表示的是一个长加宽。 现在长宽的比是三比二，也就五十乘上三加二分之三，跟五十乘上什么三加二分之二不就行了？这里是五分之三，一个是三十厘米，一个是二十厘米长，也就是三十厘米， 三十厘米宽，也就是二十厘米。第十题，现在按上图的方式摆放桌子，四张桌子可以坐多少人啊？十张桌子可以坐多少人？ 十张桌子可以做多少人？那么像这种题目怎么做？我们来观察，他纯粹就是一个什么找规律，对吧？找规律我写在这啊，那一张桌子他可以做几个？一二三四五六，他对了，是不是六个？两张桌子，我们来看 两张桌子其实是不是也增加了这么多？是不是增加了四个？所以他就应该是十个 三张桌子，那三张桌子是不是也这个地方增加？是不再增加四个，就是每一个都增加四个，知道吧？每一个都增加四个桌子，因为他这两边是不动的呢，对不对？都增加四个，那么四个的话是不也就十四？再加四是不等于十八？ 所以四张桌子可以坐多少人？十张桌子的话，是不是？那第一个六 十十四十八可以怎么写？我们用通式去表示的话，是不是就四乘一加二？他表示是这么多，这里是四乘二，再加二，来，这里是四乘三，再加二，十八的话是四乘四，再加二， 也就是 n 张桌子就是四乘上 m， 也就四 m 再加二，对吧？然后再回来验证一下，你看我们找的规律对不对？肯定是对的，也就四乘十四十再加二，是不是总共可以坐四十二个人？ 第二个判断题，用四个圆形角都是九十度的扇形，可以拼成一个圆，这不很明显是个错的吗？因为扇形呢？九十度这样一个扇形， 这里呢也是九十度，这也是个扇形，你能拼成一个圆吗？第二个派式圆的周长与他直径的比值就是三点一四，不是的，他是个三点一四，只不过他是一个近视数，他约等于多少？是在三点一四一五九二六，对吧？到这个 一五九二七之间啊。第三个，小红，这种问题就不用讲了，对和错自己判断好吧。第四个，鸡和鸭的只数比是九比八，鸡和鸭的只数比九比八，可以表示出鸡的只数是鸭的八分之九， 然后的话还可以表示出鸡的只数比鸭多百分之二十五。前面这个空我们先不看，我们看后面谁比谁多，好吧，我们就假设鸡和鸭的比九比八，鸡是鸡是九，鸭是八，那么首先差值对不对？ 比上一个跟谁去比？这个问题我讲过很多啊，差值的话是不是跟鸭子比，鸭是八对不对？也就八分之一吧， 八分之一，四分之一，我们知道是百分之二十五，那我八分之一恰好就他的一半，是不是百分之十二点五啊？所以他后面的空肯定是一个对的。然后前面的空空的话， 也就表示一个什么鸡的知数是鸭，我们前面不假设吗？一个九一个八，是不也就八分之九？所以第四题不就对了吗？这种问题啊，谁比谁多，谁比谁少，都是什么叉子，比上一个跟谁比？第五题， 这个题目非常好，如果你能转换的话，这个题目就非常不错，这肯定是一个对的，二分之一我写在最上面， 这里二分之一加四分之一，加八分之一加十六分之一，再加上三十二分之一，再加加加加加加，一直等于一。那么这个题目怎么去理解呢？有同学就说，你后面又不知道多少，怎么去理解？我们直接利用几何思维 去理解，那么这个题目就能飞快的做出来。我们假设一个边长为一的正方形，好吧，边长为一的正方形，现在二分之一的话，你看是不是把这个正方形沿对角线分成二分之一，这是不二分之一， 你接下来还剩四分之一吧。啊？还剩下这个表示不就剩下剩下的二分之一吧，我再把这个图形分成两半好不好？那么每一个是不是就原来的四分之一，那这里还剩下四分之一，我再把它分成两半，是不也就是八分之一， 我再分，继续在这个里面分分分分分分，一直分分分，他的总的面积不就是一吗？所以啊，第五个完全正确，没有问题吧， 也就是一步一步去分，我们这是利用几何去做的。接下来看选择题，下面说法中正确的是一条彩带长，这肯定是个错的了，树目的成活率是百分之一百零二，这也不对啊，五年级男生比女生多百分之三，这是符合实际的。选 c。 十克盐放入一百克水当中，盐水是不一百加上十，那么盐的话是不是也就是十比上一百一十对吧？一比上十一 是不也就选 b？ 第三题，两个同样长的绳子分别为正方形，肯定是圆的面积大，应该选 a， 为什么？为什么是圆的面积大？我们清楚一个问题，这个题目我之前也讲过很多次，同样长的绳子，我假设这个绳子的长是 c， 好 吧， c 的 话，那么正方形它的边长是不是就四分之 c 的 平方，是不是十六分之 c 的 平方？我现在 我现在圆的周长也是 c 对 不对？因为二派 r 要等于 c， 那 么 r 就 可以求了。 r 是 c 比上 r， 那 么现在求面积是派 r 的 平方，也就是派乘上 r 派分之 c 的 平方，这里是四派平方，分之 c 的 平方再乘上派，也可以抵消一个派，也就是四派分之 c 的 平方。我接下来就比较十六分之 c 方跟 四派分之 c 方哪个大哪个小，对不对？分子都一样，肯定分母越小的整个分式值是越大派是三点一四，它是小于四的，所以啊，后面肯定是大于一个前面，那么圆的面积就更大。 第四题，一根绳子，哎，这个题目讲过很多次啊。第五个，李阿姨到离家四百米的街心公园锻炼身体，他走到公园时用了十分钟，那么速度我们就可以求来，对不对？也就是路程去出一个时间了，是不得四十米每分钟。 现在在公园里面跳了三十分钟的舞蹈，那么中间肯定是一个平的，所以 a 选项肯定不对，然后走回家就用了十分钟。这里你看，开始走三十到五十，哪是十分钟，只有四十到五十，所以不就选 c 吗？ 然后计算题，这个二十五分，我们要保证百分百的正确率啊。计算题不过多去讲，计算一定要靠平时去积累。好吧，接下来我们往后面看第五个操作问题，操作题也自己去完成。我们来看这个。第三个，计算右边图形的周长和计算左边图形的周长和右边 圆环的面积。圆环的面积。圆环面积是很好求的对不对？是不是也就大圆减去一个小圆呢？大圆减去个小圆就行了。接下来我们看这个，你要求它的周长，阴影部分的周长怎么去求？这个长怎么求？是不是这两边的长我们要给他加上去， 加上去之后这个外面是不是也就二分之一乘上二派啊？这个啊是六，对吧？加上一个里面是不是就二分之一乘上二派啊？啊？是四百，再加上两边 就行了。这个地方给大家提个醒，就是半圆啊，半圆的面积他是等于二分之一个，什么整圆的面积？但是呢？他的周长 是等于原先圆，就整个圆啊，周长，我们要 l 周长是等于原先整个圆的周长的二分之一，再加上一个直径的长度。好吧，这个千万不能出错，再加上一个直径的长度。

同学们好，我是雷老师。很高兴今天又和大家一同学习 这节课，我们继续对图形与几何部分进行总复习。今天要复习的是第三单元，观察物体。上课前，请同学们准备好以下学具， 直尺、铅笔、十个小正方体。好了，快去准备吧！ 准备好了吗？我们的课程开始了。在这一单元中，我们学习了巴基木比赛观察的范围和天安门广场三个内容。 通过这一单元的学习，同学们有怎样的收获呢？我们来听一听这几位同学是怎样说的。 在搭积木比赛这节课中，我能正确辨认从不同方向观察到的立体图形的形状，并画出相应的平面图形。也能根据平面图形还原立体图形。 如果只给我从一个方向观察的形状，我可以摆出无数种立体图形。 如果告诉我两个方向观察的形状，我就能确定所需正方体的数量范围，也就是最少需要几个正方体，最多需要几个正方体。如果告诉我三个方向观察的形状，我就能确定这个立体图形了。 看来，通过这节课的学习，同学们观察立体图形能够画出相应的平面图形， 也能根据平面图形还原立体图形。 在观察范围这节课中，我知道了人的视线是直的，不会拐弯。观察者看不到的地方称作盲区。 观察者站得越高，看到的范围越大，盲区就越小。观察者越靠近遮挡物，观察的范围越小，盲区越大。 学习了这节课后，我还能用数学的知识解释影子的现象。路灯下同样的物体，离路灯越近，影子就越短， 离路灯越远，影子就越长。数学真是太棒了！是的，数学真是太有趣了！ 这些现象都是因为观察范围会随着观察点的变化而变化。那么我们怎样确定观察范围呢？哪些又是我们看不到的盲区呢？ 我们一起来听听这位同学是怎么说的。先找到观察点和障碍点， 再连接观察点和障碍点，画一条射线，就能确定观察的范围了。总结的可真好，要先找到两个点，观察点 和障碍点， 然后连接两点，画一条射线， 这样我们就能确定观察的范围了。好在天安门广场这节课中，同学们又解决了怎样的问题呢？ 在天安门广场这节课中，我知道了从不同的角度观察建筑物的相对位置是不一样的。判断一组连续照片的先后顺序我们可以假设自己就是拍摄者， 想象自己会先看到什么，再看到什么，从而做出正确的判断。 是的，在判断一组照片是从什么角度拍摄下来的，或者是他的先后顺序。我们要学会根据照片中建筑物间的位置关系进行分析和推理。 如果实在想不明白，也可以用物体当做建筑物摆一摆，看一看。好了，教材上的内容我们就复习到这，接下来就让我们用所学的知识解决实际问题吧。 首先请看填一填第一题，从远处看物体看到的范围 对更大一些，看到的物体想象一下，从远处看，看到的物体会比较小。是的，再看第二题， 在路灯下散步，走向路灯时，影子会变，想象你正朝着路灯走去，离路灯越来越近了，影子会变短。第三题， 添一个小正方体，使这个立体图形从正面看形状不变。有几种添法呢？同学们，拿出你的学具，赶紧摆一摆，添一添吧！开始 好了，同学们，摆好了吗？我们来听一听这位同学是怎么摆的。 要让这个立体图形从正面看形状不变，我就把这个小正方体摆在他的前面或者后面，可以摆在这一种，一种，两种，三种，四种， 五种，六种，一共有六种摆法。瞧这位同学摆的多清楚啊！ 要让他从正面看形状不变，可以摆在这个立体图形的前面，也可以摆在他的后面，一共有六种摆法。同学们，你摆对了吗？再看第四题， 一个立体图形告诉了我们从上面和左面看到的形状。搭成这样的一个立体图形，最少需要几个小正方体？最多需要几个小正方体呢？ 来用你的学具摆一摆吧！ 好了，同学们，你们有答案了吗？我们也来听听看这位同学他是怎么摆的。 我根据从上面看到的形状，拿出四个小正方体，摆出一层，再根据从左面看到的形状，在这一排的上面摆一个，这样这个立体图形就搭好了。 我发现最少需要五个小正方体在上面，这个正方的右边还可以摆两个小正方体，也不会影响这个立体图形从上面 和左面看到的形状，所以最多需要七个小正方体。 好，这道题最少需要五个小正方题，最多需要七个小正方题。 因为题目告诉我们从两个方向看到的形状，所以我们不能确定这个立体图形唯一的样子，但是我们可以确定摆成这个立体图形的数量范围。 好了，填空题就做到这，接下来让我们翻开数学课本第一百页，完成第三题， 找出下面的立体图形，从正面、上面、左面看到的形状，并连一连。 同学们，你们有什么好办法吗？和你身边的小伙伴交流一下吧！ 好了，连好了吗？我们来看看正确答案吧！ 我是这样想的，正面正对着我们，最好观察，所以我先看正面。 从正面看能看到四个正方形，分为上下两层，下层有三个正方形，上层有一个正方形，在中间的位置是第二幅图。 我再从上面看，也能看到四个正方形，分为两排，上面一排有三个正方形，下面一排有一个正方形在左边，是第三幅图。 对于从左面看到的形状，我进行了一些想象，我想象自己站在左边观察，发现有三个正方形，分为上下两层， 下层有两个正方形，上层有一个正方形在左边，所以是第一幅图。 好的，这位同学可真棒！左面的形状我们是看不到的，那么在这里他用到了一些想象，想象自己站在左面，置身其中，这个方法非常好。 哎，我听到还有同学有别的想法，我们一起来听一听吧！ 雷老师，我观察这个物体，左面的方法和它不同，这个物体的左面我们是看不到的，但可以看到物体的右面，左面和右面是相反相对的， 所以我是根据看右面想左面的方法找到物体的。左面是这幅图 哦，这位同学是根据左面和右面看到的形状是相反的进行了推理，非常好，这种方法也很棒！同学们，你们是不是也是这样想的？你们都连对了吗？ 接下来我们看到课本第一百零五页第七题，分别画出从正面、上面、左面看到的立体图形的形状， 请拿出铅笔和尺子，动手画一画吧！ 画好了吗？我们来听听这位同学他是怎么画的吧！ 从正面看，我能看到三个小正方形，分为上下两层，下面一层有两个，上面一层有一个在左边，是这样的。怎么样，你们是这样的吗？ 从上面看，能看到四个小正方形，形成一个田字形。 从左面看，也能看到三个小正方形，分为上下两层，下面一层有两个，上面一层有一个在左边，是这样的， 非常好。这个同学三幅图都画对了，同学们，你们画的怎么样呢？如果错误了，请改正过来。 接下来我们看看第八题，如图，是从三个不同的方向看到的立体图形，请你搭出这个立体图形。好了，题目要求读完了，动手吧！ 搭好了吗？我们来看一看这位同学是怎么搭的。 根据从正面看到的形状，我先用三个小正方体搭出这个立体图形，再根据左面看到的形状，我可以在这个立体图形的左边的前面竖着放两个，也可以在它的后面放两个， 这样左边的形状也符合要求了。我再从上面看，这两个立体图形的形状分别是这样的，所以右边这个立体图形是正确的，这个是错误的。 搭好后，我又从正面、上面、左面三个方向观察了一下，进行检验，都是正确的。 真棒！同学们，你们答对了吗？这位同学有一个非常好的习惯，就是搭好以后，他还能从正面、上面、左面再看一看，进行检查。 这个好习惯，希望同学们都能向他学习。接下来我们来看看课本第一百零六页的第九题， 淘气和笑笑在剧院看演出，坐在二楼的淘气能看到笑笑吗？笑笑坐在什么位置时，淘气才能看到他呢？在图上标一标， 同学们，你们有什么样的想法呢？和你身边的小伙伴们说一说吧！ 好，我们来听一听这位同学他是怎么想的。 我将淘气的眼睛和楼上护栏的最高处看作两个点，过这两点画一条射线，发现笑笑在淘气的盲区内，所以坐在二楼的淘气不能看到笑笑。 哦，淘气不能看到笑笑，笑笑只要坐在淘气的盲区以外，我觉得这三个位置都是可以的哦。这个同学觉得这三个位置都是可以的。 哎，我听到了，还有同学有想法。雷老师，我一眼就看出淘气是不能看到笑笑的， 因为笑笑不仅坐在淘气的下面一层，而且还在淘气这一排的后面，所以淘气是不可能看到笑笑的。 怎么样，说的是不是很有道理，不仅坐在淘气的下面一层，而且还在他这一排座位的后面，所以一眼就看出淘气是不可能看到笑笑的。 嗯，还有同学有想法。老师，我认为笑笑坐在从右边数的第四个座位，淘气也是能看到他的。淘气能看到笑笑的头部。 这位同学认为笑笑坐在从右边数第四个座位，也是能被淘气看到的，你们觉得呢？同意他的想法吗？ 来，咱们让笑笑坐在这个位置上试一试，看一看好吗？ 怎么样，淘气？是不是能看到笑笑的头部？非常好，这位同学很棒，他能结合生活实际进行想象。 好了，看来坐在这四个位置淘气都是能看到笑笑的。同学们，你们明白了吗？ 书上的练习做完了，接下来呀，雷老师有两道挑战题，同学们有信心接受挑战吗？好，请看第一题。 下面是四个小朋友站在路灯下影子的情况看， 有的影子在左边，有的影子在右边，有的影子短，有的影子长。想一想，他们分别站在哪个位置呢？你能写出他们的名字吗？ 赶紧开动脑筋，和你的小伙伴们说说你的想法吧！ 怎么样，有想法了吗？我们来听听这位同学是怎么说的？ 我是这样想的，影子是由于这几个同学的身体挡住了光线产生的，站在路灯左边的同学影子也在左边，站在路灯右边的同学影子在右边， 所以路灯的左边是笑笑，其他三个同学在路灯的右边。 接着我又想到，离路灯越近影子越短，离路灯越远影子越长，所以在右边离路灯最近的同学是乐乐，然后是淘气，最远的是球球， 怎么样？这位同学是不是说的特别好，有理有据，条理清晰。 在路灯左边的是笑笑，在路灯右边的分别是乐乐、淘气和球球。怎么样，你们的想法和他一样吗？祝贺你挑战成功！接下来我们来看第二题。 机灵狗放学了，从学校出发，它看到下面四幅图片的先后顺序是怎样的呢？ 观察一下这四幅图片，仔细看上面的建筑物，开动脑筋想一想，排一排它的顺序吧！ 想好了吗？来，我们听一听这位同学他是怎样想的？ 机灵狗从学校出发，当他走到这个位置时，菠萝屋离他最近，所以他看到菠萝屋会比较大，风车塔会被菠萝屋挡住一些。 蘑菇屋离它最远，所以是图一的样子。怎么样？你们是这样想的吗？ 菠萝屋离它最近，蘑菇屋离它最远，是图一的样子。嗯，很有道理。 机灵狗继续往前走，会发现蘑菇屋、风车塔、菠萝屋都能看的很完整，没有遮挡。 蘑菇屋在左边，中间是风车塔，菠萝屋在右边。图二和图四很相似，都有可能，不过图二三个建筑物之间的距离更大一些。 图四，蘑菇屋和风车塔之间的距离很近，再往前走的话，风车塔就快要被蘑菇屋挡住了。所以机灵狗会先看到图二，再看到图四。 怎么样？你们是不是也是这样想的？再继续往前走，当走到这个位置时，菠萝屋就离他很远了，还被风车塔挡住了一些。 蘑菇屋在机灵狗的右边，离他很近，看着比较大，所以是图三。这四幅图片的先后顺序是一、二、四、三。 这位同学说的太棒了，老师都忍不住要给他一些掌声。 在观察时，我们可以根据建筑物之间的位置关系进行分析， 当两个图片的位置关系很相似时，我们也可以分析它们的距离关系，从而做出正确的判断。 不知不觉中，这节课即将结束了，同学们，通过这节课的学习，你有怎样的收获呢？ 孔子说，温故而知新，希望同学们在以后的学习中，能够经常对所学的知识进行整理复习， 提高学习效率。好了，这节课就上到这，同学们再见。

同学们好，我是雷老师，很高兴能与大家一同学习。 今天我们将对教材中图形与几何的部分进行总复习。首先让我们一起翻开课本第一百页， 今天的学习将围绕这几个问题展开。同学们回忆一下我们学过哪些平面图形，你能将它们进行整理吗？ 好，我们来听听这位同学是怎么说的。 我们学过的平面图形有长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆。 其中长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形是用线段围成的封闭图形，而圆是由曲线围成的封闭图形。 是的，圆相对于其他几个平面图形而言比较特殊，它是由曲线围成的封闭图形。今天这节课我们就对圆进行整理和复习。 在圆这个单元中，我们学到了哪些知识呢？下面让我们跟随教材一起来回顾一下吧。 圆的认识让我们了解了圆的特征，以及用圆的知识解释生活中的简单现象， 欣赏和设计，让我们进一步感受了圆的对称美。在数学阅读中，我们了解了圆周率的历史，学习了圆的周长和面积后，能帮助我们解决生活中的实际问题。 看来这个单元的知识还是非常丰富的，同学们在复习的时候可以用数学报、 思维导图或者列表格的形式对所学的知识进行整理。接下来让我们来听一听这几位同学的知识整理吧！ 我对圆的特征进行了整理，圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆中心的一点叫做圆心，一般用字母 o 表示。 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母 r 表示。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母 d 表示。 一个圆中有无数条半径，这些半径都相等。有无数条直径，这些直径也都相等。所以说圆与中同长，也同一个圆里，直径长是半径的两倍， 用字母表示，可以写成 d 等于二 r。 好 的，这位同学对圆的特征进行了整理，让我们把它说的记录下来。 圆中心的一点叫做圆心， 通常用字母 o 表示。半径，用字母 r 表示。直径，用字母 d 表示。 在同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。 半径有无数条，直径也有无数条。 在同一个圆中，直径长是半径的两倍，用字母可以写成 d 等于二 r。 反过来也可以说 r 等于二分之一 d。 好 的，还有同学想补充 老师，关于圆的特征，我还有补充，我知道圆是轴对称图形，有无数条对称轴。将圆对折两次，两条折痕的焦点就是圆的圆心。 圆还是轴对称图形，有无数条对称轴。 好的，接下来我们来听听其他同学的整理。 我对圆的周长进行了整理，围成圆的曲线的长叫做圆的周长，一般用字母 c 表示。 上课时，我们用绕绳法和滚动法测量出圆的周长。通过研究发现了圆周率派，进而得到了圆周长的计算方法。用字母表示是 c 等于派 d 或 c 等于二派 r。 在圆的周长这节课中，我们用化趋为值的方法测量出了圆的周长，进而发现了神奇的圆周率 pi， 得到了圆周长的计算公式。可以用字母写成 c 等于派 d 或 c 等于二派 r。 ok。 在这一单元中，我们还学习了对圆的面积。接下来就让我们一起来看一段小视频，回忆一下圆的面积计算公式是如何推导出来的。 我们通过把圆分一分、剪一剪、拼一拼的方法，把圆拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的高就是圆的半径，平行四边形的底是圆周长的一半。 就这样我们就找到了圆的面积计算公式。在这个过程中，我学到了把未知的图形转化成已知的图形，找到它们之间的联系，从而解决新问题的方法。在以后的学习中，我也要试着多用用这种方法。 是的，在学习圆的面积这节课中，我们用到了一个非常重要的数学思想，转化思想就是把圆转化成学过的平行四边形。 当然，我们也可以把圆转化成长方形或者三角形，都能发现圆的面积计算公式是 s 等于 pi r 的 平方。 好，我们来看看还有同学有什么想说的。 雷老师，我发现学习了圆的知识后，我可以解决生活中的许多问题， 而且只要告诉我圆的半径、直径、周长、面积中的任意一个数据，我就能计算出其他的数据是多少。所以我把这些计算方法之间的联系也进行了整理。 圆的知识还帮我理解了生活中的一些现象，比如车轮、下水道的井盖为什么是圆的了？圆真是一个美丽又神奇的图形。 是啊，这位同学可真棒，他还能根据圆的半径、直径、周长和面积的关系进行整理，从而解决问题。 好了，课本上的知识整理就到这，接下来就让我们用所学的知识解决实际问题吧。首先，数学判断听，请看第一题， 圆的半径都相等，这句话对吗？ 这道题是错的。要说在同一个圆或者相等的圆中，圆的半径是相等的。第二题，半圆的周长就是圆周长的一半 对，这道题也是错的。我们来看一看，这是一个半圆，它的周长是一个半圆弧加一条直径， 这是一个圆，这是圆周长的一半，很明显它们是不相等的，所以这道题也是错的。注意，半圆的周长一定要记得加直径哦！ 半圆的周长可以用字母表示， pi r 加 d， 同学们可以把这个公式记录在你的笔记本里 再看。第三题，直径大的圆周长，大圆周率也大，对吗？ 直径大的圆周长的确也大，但是圆周率是一个固定的数，所以这道题是错的。 第四题，求阴影部分的面积。用三点一四乘八减五的差的平方等于二十八点二六平方厘米，对吗？我们一起来分析一下吧。 阴影部分的面积其实也就是这个大圆的面积， 减去里面半径为五厘米的小圆的面积， 然后用乘法分配率可以写成三点一四乘八的平方减五的平方的差，答案是一百二十二点四六平方厘米，所以这道题也是错误的。 好，接下来我们来完成数学书上的练习。看到数学书第一百零五页第二题，按要求先画圆，再求出圆的周长和面积。 请同学们在草稿本上动手做一做吧。 做好了吗？我们来看一看这两位同学的答案。 第一个同学先画了一个半径为两厘米的圆，求出它的周长是十二点五六厘米，面积是十二点五六平方厘米。 在这里雷老师要提醒同学们注意，虽然这道题的周长和面积都是十二点五六，但是它们的含义是不同的， 这个十二点五六表示的是周长，要用的是长度单位。这个十二点五六呢，是圆的面积，用的是面积单位，所以说圆的周长和面积无法比较。 再看第二题，画出一个直径是三厘米的圆，直径三厘米，说明圆规两角之间的距离应该是一点五厘米， 然后求出它的周长是九点四二厘米，面积是七点零六五平方厘米。这道题的数据比较大，同学们你算对了吗？ 接下来我们来看看第四题。陶器和笑笑便习径走，陶器沿长为九米，宽为四米的长方形花坛走，笑笑沿直径为八米的圆形花坛走， 他们的速度相同，谁先走完一周呢？哎，这道题是跟圆的周长有关，还是和圆的面积有关呢？我们来听听这位同学是怎么分析的。 这道题和圆的周长有关，我是从这些关键词发现的，例如沿着走完一周，这些关键词都说明这道题和圆的周长有关， 同学们，你们听明白了吗？这些关键词都告诉我们这道题是跟圆的周长有关。我们来看看这道题该怎么算呢？ 刨器是沿长方形花坛走，所以它的周长是长加宽的和乘二等于二十六米。笑笑是沿直径为八米的圆形花坛走， 算出来的周长是二十五点一二米，因为它们走的速度是相同的， 淘气走的路程更远一些，笑笑走的路程更近一些，所以笑笑先走完一周。同学们，你做对了吗？ 接下来我们来看一看第六题。动物王国在举行盛大的马戏表演，瞧，调皮的猴子正在进行走钢丝表演呢。 请看，他提了一个问题，车轮一共要转多少周呢？同学们，试一试，算一算吧！ 做好了吗？我们来听一听这个同学的答案。这道题问，车轮一共要在长城上转多少周，与圆的周长有关，我是这样做的， 咦，怎么连一周都不到呢？不符合生活实际呀！哦，我明白了。车轮的直径是用厘米做单位，身子全长是用米做单位，单位不同，要进行单位换算，赶紧定正，听明白了吗？ 这个同学虽然做错了，不过他有一个很好的习惯，就是能够结合生活实际进行反思。他发现算出来的结果连一周都不到。 因此又把这个题目读了一遍，发现了问题所在。单位是不同的，要注意单位换算。 同学们在做的时候，可以把它统一成米做单位，或者也可以统一成厘米做单位。最后的结果都是二十五周， 同学们，你做对了吗？接下来让我们来看看第五题。 题目要求我们先用圆规画出右面的图形，并涂上颜色，然后求出图色部分的周长和面积。嗯，这道题看上去有些复杂， 同学们，拿出你的圆规，在作业本上画一画，算一算吧！ 做好了吗？我们来听一听这个同学他是怎么画的？ 我先以两厘米为半径画出一个圆，再通过圆心画出两条互相垂直的直径，再找到这四条半径的中点， 以一厘米为半径，画出四个半圆，最后涂上颜色，这个风车图案就画好了。我先算小半圆的周长是五点一四厘米， 再算四个小半圆的周长是二十点五六厘米，所以涂色部分的周长就是二十点五六厘米，涂色部分的面积是六点二八平方厘米。好，我们一起来看一看这位同学的方法。 三点一四乘二，再除以二，求出来的是这个小半圆的半圆弧， 再加上这个直径二厘米，得到一个小半圆的周长是五点一四厘米，然后算出四个小半圆的周长之和等于二十点五六厘米。 面积也是先算出一个小半圆的面积是一点五七平方厘米，再算出四个半圆的面积是六点二八平方厘米。这个方法非常好，同学们，你做对了吗？ 还有别的方法吗？我们来听听这个同学是怎么说的。 雷老师，我计算周长的方法和它不同，我是这样做的。这四个半圆的半圆弧可以拼成两个整圆， 用三点一四乘二，再乘二等于十二点五六厘米，求出两个圆的周长， 再加上四个两厘米，二乘四等于八厘米，十二点五六加八等于二十点五六厘米。 图色部分的周长也是二十点五六厘米，面积就是这两个拼成的圆的面积之合，用三点一四乘一的平方，再乘二等于六点二八平方厘米。 哎，这个同学的方法你们听明白了吗？他是先把小半圆拼成了一个完整的圆，算出了两个圆，周长之和是十二点五六， 不过要提醒你注意，要记得加上这四条两厘米的直径，最后算出的结果也是二十点五六厘米，非常好！ 老师，我还发现了拼成的两个小圆的周长之和等于大圆的周长都是十二点五六厘米。因为这两个小圆的直径之和等于大圆的直径，所以他们都可以用三点一四乘二再乘二计算。 哎，你们听明白了吗？这个同学说的是，这两个拼成的小圆的周长之合等于大圆的周长，他们都可以用三点一四乘二再乘二计算。 这个同学的发现是巧合吗？不是的，它里面呐藏着一个数学道理，让我们来听听数学博士是怎么说的吧！ 把一个大圆的直径地分成若干份，以分成的线段为直径，画出 n 个大小不同的圆。 第一个圆的直径，我们把它叫第一，第二个圆的直径叫第二，第 n 个圆的直径叫第 n。 这些小圆的周长之合可以列示为，派第一加派第二，一直加到派第 n。 用乘法分配率可以写成太乘上 d 一 加 d 二一直加到 d n 的 和，而 d 一 加 d 二一直加到 d n 的 和，正好等于大圆的直径 d， 那么小圆的周长之合就等于派币，也就是大圆的周长了。所以说，当 n 个小圆的直径之合等于大圆的直径时，这 n 个小圆的周长之合就等于大圆的周长。 同学们，你们都听懂了吗？当几个小圆的直径加起来的和等于大圆的直径时，这几个小圆的周长之和就等于大圆的周长。 好了，今天的练习就全部结束了，希望同学们在以后的复习中能够学会归纳、整理，总结、反思。今天的课就上到这，同学们再见！

下面图形就是考验你一个空间的想象能力，如果我们对这种空间的几何体比较熟悉的话，那我们肯定就立马就能选出来是假 c， 其他的都能折叠，就这里是不能折叠的。选的时候一定要看清楚，不要看见 a 好 像哦，或者看见 b 呢。 b 这个是比较比较常见的，这种肯定一折能折成正方体的，看见 b 就 立马以为要让你选折叠以后能形成正方体的，其实它这里是选不能形成正方体的哦。 对，选择题做题的时候一定要看清楚他题目中的那个文字到底让你选是还是否。接下来第七题，四名同学用不同的方式表示了对三分之四的理解，三分之四我们把它化成假分数，其实就是一又三分之一。一 又三分之一就是一个完整的单位量，再加上三分之一。好，大家看下面图片，第一个，一个完整的量再加平均分成三份，取其中一份就是一，加上这里的三分之一，等于三分之四。好，第一个是对的。 第二个，黄丝带三格，红丝带一二三四四格，红丝带的长度四吧，是黄丝带的，黄丝带是三格吧。 a 是 b 的 几分之几，那其实就是 a 除以 b 写作几分之几，四除以三写作三分之四，那是不是就是红丝带是黄丝带的三分之四啊？对的，这题也对。 接下来四张饼平均分给三个人，每人分得三分之四张饼。那这道题其实也很简单，四张饼是总数，除以三个人份数，每人分得三分之四张饼，是不是也对对的啊。接下来道题，四米的三分之一， a 的 几分之几？ a 的 b 分 之 a， 其实就代表 a 乘以 b， 分 之 a 的 其实就是乘，所以四米的三分之一其实就是四，乘以三分之一就等于三分之四米。又对，所以这个正确对数一共有四个，选 d。 下面对算式二十六乘以八分之三，描述不准确的是二十六个八分之三相乘。我们可以先把这个式子写出来，二十六个八分之三相乘，也就是八分之三乘以八分之三，总共有二十六个。 那我们知道，学了乘方以后，我们会知道，别说 a 乘 a， 其实就等于 a 的 平方，那 a 乘 a， 三个 a 相乘， 乘乘乘 a， 总共有 n 个啊，那就是 a 的 n 次方，这是不是就乘方乘方？ 所以说这里二十六个八分之三相乘，那就是可以写作。什么？写作八分之三括号的二十六次方，与我们上面写的二十六乘以八分之三是完全不搭边的啊， 所以这个 a 肯定错，八分之三的二十六倍，那就是八分之三乘以二十，对吧？很简单啊，接下来二十六个 八分之三相加八分之三，加上八分之三，加加加加上八分之三，总共有二十六个八分之三，是不就是二十六乘以八分之三？这也是啊， 这是对的，二十六的八分之三，就像我刚刚说的， a 的 几分之几就是 a 乘以几分之几，所以二十六的八分之三，其实就是二十六乘以八分之三。好了，所有的 b、 c、 d 都是在讲二十六乘以八分之三，只有 a 是 八分之三的二十六次方，所以只有 a 是 错的啊，他说不准确的，那就是选 a。 第二道题 计算二除以三分之二。下面三名同学分别用不同的方法表达自己想法，其中想法合理的是，我们知道数学 有很多种方法，只要你用对，然后这个方法适合你，并且你用这种方法特别灵活自在，那你就用这种方法对不对？学校里教的或者老师教的单一的方法，你可以自经过自己深刻的思考，转换成自己多元多样化的方法，只要你能，就是。 也有一句话，就是不管黑猫白猫，抓到老鼠就是好猫，但是他是有局限性的这句话啊。但是用在数学里面的数学思思考的方法，你只要自己能够有属于自己一套独特的并且是准确的方法，都是可以的。所以你看媛媛丽丽，天天，他们都有自己独特的思考方法对不对？我们平时在数学做题的时候也要有自己独特的思考方法， 怎样让自己理解起来更方便，那你就怎样去理解好了啊，只要你理解是正确的，都可以的。然后他说圆圆说三分之二，他的意思是二除以三，那二除以三分之二是不是就代表二除以？ 哎，细心同学就应该知道了，这里应该套括号的，对吧？它是个整体，你不能不套括号，套括号和不套括号有时候性质就相差太远了啊。然后这里呢，你看他把零到二米，一米，两米啊，这是一份 对吧？他不会到一米的啊，因为他就三分之二米，这是两份超过一米了，因为是两个三分之二，这是第三份，是平均分的啊，各自占了三分之二，然后呢， 他把它划分出来三分之二，你看这里就三分之二，这就三分之四了，这就是三分之六。三分之六是不是就等于二？对的啊？天天他说是二，你看他这里因为有分母三，所以他这里不想要除以分母，他想变成把这个分数相当于把它转换成整数。那你想想看啊， a 除以 b， 我要式子不变，并且 b 要扩大，那是不是 a 要相应的也要扩大被除数，除以除数等于商，对不对？那被除数扩大相应的倍数，除以除数也扩大相应的倍数，那这个商是不变的。所以二除以三分之二和二十除以三分之二乘以十倍，以及两百除以三分之二乘以一百倍都是一样的。那现在我要去分母， 所以我只要乘以分母的倍数就行了。因为这里是三，那我这里二，只要乘以分母的倍数就变成了六，除以的是 二，是不是就等于三？对，他也对，天天也对，丽丽也对，也就谁不对。圆圆不对，圆圆就是错在没有套括号，他没有把三分之二看这个整体对不对？那按照圆圆的算法，二除以二等于一，一除以三等于 三分之一，那最后二除以三分之二，他会变成三分之一，是不就与我们正确答案相差了？相差那个，呃，九倍关系了啊。所以说他这个合理的是谁？丽丽天天 历历天天选 c 第十道题如图。扎礼盒这个也经常会考的啊，用丝带捆扎一种礼盒，接头处，二数接头处，你只要最后加上去就行了，就别说这里蝴蝶结的地方就是接头处。要捆扎这种礼品盒准备多少米的丝带比较合理，那我们就要知道 把这个盒子捆扎起来我用了哪些，别说我再画一下啊，就根据这个礼品盒，我们就可以把根据啊画出他的绳索啊，就是横着的，长三十的有两根，你看这一根和下面一根，对吧？也就是三十有两根，然后呢？竖着的呢？ 一根前面一根，后面一根左边一根右边一根，总共四根。竖着的有四根是二十二十厘米的，所以四乘以二十再加横着的呢，这里一根下面底下也有一根，对吧？所以两个二数 二十五，两个总共加起来六十八十五十，总共一百九十，一百九十，再加接头处二十五，不要忘记啊，不要忘记，这个二十五，再加这个二十五就是 二一五，二百一十五。那你选的丝带它是单位，是化成米了，是不是就二点一五比较合理？合理，你想想看，这个太短， 这个也短，这个太长了，那我是不是就直接选这个了，对吧？算出来就这个啊，这是一个堆积的小正方体啊， 表面涂上底颜色，底色也要涂四个面，涂色的小正方体有几个？好，我们借助一下我们手头的工具，把这个图形用那个小磁块把它拼出来啊，就是这么一个图形，看吧，一模一样啊。四面涂色它是包括底面的，因为正方体六个面， 对不对？正方体有六个面，他说四面涂色其实就是遮住两面，遮住两个面的有哪些？这是遮住一面的吧，就一个面遮住，遮住两个面的呢？是不是这个图形 上下前右四个面落在外面，对不对？他左边和后面正好被遮住了哈，这是两个面被遮住的啊。回到反面啊，你看这个面是两面被遮住，这一面和这一面被遮住了这个以及 这个小正方体，他的左边和下面被遮住了这个以及这个一二三四，以及这一个一二三 一二三四。有些人说，哎，那我考试的时候没有正方体怎么办呢？没有正方体，但我就看这幅图，利用空间想象能力，比如说这个面和这个面，好，这个可以，这个面和这个面这个也可以，这个面和这个面这个也可以。是不是就这三个还有其他的吗？ 没有，对不对？其他的要么遮住一个面，要么遮住三个面，就这些是遮住两个面的。是不是很很轻易就找到了？上面一个面是遮住了一个免，对不对？那这两块中间，也就是上面那个面的下面遮住了三个免，你看上前右，那这个面遮住了一个免， 这个也是一个面，那他们各自下面的呢？都遮住了三个面，对吧？也就是我们这个背面是不是都遮住了三个面？因为漏出来三个面，是不是就遮住三个面，对吧？所以这道题你可以用空间想象能力，然后平时呢，往往这些那个小正方题有了一定的空间想象能力以后，就很能帮助你完成那些图形题啊。十二道题 下面说法中正确的有几个又是指个数啊？个数就是题目就会稍稍微难一点，因为如果他只是问你正确的是哪些，哎，你的正确率是不是有百分之十数，但如果说正确有几个，你只要错一个，你只要这里四个里面只要错一个，那你下面就肯定错了哦。 我们来看一下一个大于零的数，除以真分数所得的商大于这个数。像这种题目，你只要自己给自己举个例子就行了。像这种定力一般性是普遍适用的， 很少有他的那个种局限性。他哪如果说哪一个方面他是不符合这个定力的，那他肯定会举出他有那个定力存在的一个范围的。这样我们看啊，一个大于零的数，一个大于零的数啊，除以真分数，真分数就是分母比分子大，那举个最简单的，三分之一，结果就等于六， 所得商大于这个数，对，对吧。接下来比的前项和后项同时加上一个相同的数，比值一定不变，那肯定错。比如说三比一，我同时加上一个相同的数，比如说三加一，四，一加一，二 四比二，我们知道是二，那三比一就等于二吗？肯定不相等，对不对？是什么？乘或者除一个不为零的相同的数，并且这个数不能为零，那比值一定不变，这这个就对了。甲乙的比是三比四，乙和丙的比是五比七，那么甲与丙的比是六比七， 甲与乙的比是三比四。好了，我们这里怎么看呢？就是甲比上，乙三比四，乙比丙，五比七，乙比丙， 就是五比七，你看，咦，一会是四分，一会是五分，是不是不好看，对不对？那我就把它统一成同一个数字，这样才好看嘛。因为咦没变，你跟他跟假比的时候，他是有四分，他跟咦并比的时候，他五分、四分和五分，你总共看成几分？看成二十分呗，别说那这里变成二十了啊， 扩大几倍，你不能说加上十六，他也加十六。你看刚刚才说一个比加上一个相同的，四乘以五， 二十，那三乘以五就是五，所以它们变声一下就变成十五。比上二十，比值是不变的啊，只不过我同时把它扩大五倍了。好，这里以比上丙，乙变成二十， 本来是五分变成二十，扩大四倍，那七也要扩大四倍，变成二十八。现在甲乙乙丙我是不是可以写在一起来啦？因为乙我统一了，刚刚是不同意的，一会三一会五的，现在我统一了，那其实是不就等于十五比上二十，比上二十八， 对不对？因为他要统一的话，是比较扩大，扩大成四和五的公倍数十二、二十二十的话，那这里就要扩大五倍，这就要扩大四倍，那三也要扩大五倍，七也要扩大四倍，所以是三五十五，四七二十八，十五比上二十，比上二十八。所以说 那么甲与丙的比好了，我们再看甲，甲在统一关系以后，他的分数是十五分，丙呢是二十八分，那甲比丙 是十五，比上二十八，十五比上二十八，能够约分吗？不能，他说可以比成六比七，当然不对。接下来把一个正方体铁块熔铸，熔铸说明什么？ 体积不变，还没有磕磕碰碰，缺一块少一块，给你补一块多一块的啊。熔铸成一个长方体，也就这个正方体体积要等于长方体体积，体积不变，表面肌也不变。我们举个例子啊，比如说 最简单一个二乘二乘二，正方体体积等于二乘二乘二，也就它能长是二，那正方体体积数二乘二乘二也就等于八，对吧？那长方体体积也等于八啊。长方体积等于八的话，我们就设想，我们就就假假假想吧。一乘 二乘四可以对 𠲎， 长是长是那个四，宽是二，高是一可以对 𠲎。 那 四二一的时候，正方体体表面积，因为他说表面积不变嘛，我们是不要验证一下他到底变不变。那刚刚我们说的正方体 他人长是二，体积是八，对吧？那他表面积是不应该是二乘二乘以六，一个面的面积乘以六个面，二得四四的二十四，对吧？是二十四啊，然后算这个长方体，长方体呢？两两相乘， 括号再乘以二，对吧？然后一乘二等于二，一乘四等于四，二乘四等于八，括号再乘以二，算出来的多少？十四乘以二等于二十八，一个二十四，一个二十八，一样吗？肯定不一样，我为什么还要再给你算出来？就是想认证他。肯定是不一样的啊， 就是有些孩子熟悉这些概念性题的话，你一看就就能知道。不用像我一样。你等到真正做卷子时候千万不要再跟我一样，除非你对这个概念特别不熟，你自己也有点迷迷糊糊的，那你就跟我一样把它算出来，但是这样就会浪费时间。所以如果你看过我张卷子解析，你就今后记住，体积不变。对，表面积 肯定要变啊，有没有不变的时候？那除非他也是变成个长正方体，对吧？所以他还是要变的。他也错，那总共几个？你看错错错，那就对一个了，正确的只有一个。选第一个 dog 啊，选 dog。 好， 接下来下面的百分率中可以大于百分之一百 是吗？成活率，比如说我种一百颗，活了一百颗全部都活，是不就是等于百分之一百？有没有可能我种一百颗，活了一百零一颗？没有可能，所以成活率不存在超过百分之一百的情况。增长率什么意思？比如说我一颗小苗一厘米啊，刚开始一厘米，第二天 他变成两厘米，那他的增长率是多少？也就是增长的二减一，对不对？再除以他原来的一，是不是就百分之一百？那如果第二天他长到是三厘米呢？那增长的是不是就两厘米？两厘米除以一，那这个时候是不是就百分之两百了？所以增长率是有可能超过百分之一百的。出油率。 出油率是什么？比如说我五十克花生打了五十克油了，一点渣都没有，就全部压出来了。哎， 我，你说我五十克花生榨了一百克油，那发财嘞？那我就不不讲卷子，我去炸花生了对不对？那不可能的呀，所以出油率也不可能，因为它有限制量。限制量就是什么花生的量就是它的限制量。优秀率。 优秀是什么意思啊？别说一场考试总共一百个人，那一百个人考试，一百个人优秀，是班的老师可以吹牛吹一辈子了。有没有可能一百个人考试，结果考出来的优秀有一百零一个，要么一张卷子是老师自己做的，对吧？所以也不可能有优秀率超过百分一百的。那这里要超过百分之一百，那就只能是增长率了啊。

哈喽，大家好，我是郭老师。下面我给大家带来的是刚刚新鲜出炉的丰台区二零二五到二零二六六上期末的真题，我们来看下这个题。如有图，把这个梯形分割成平行四边形 a、 b、 c、 e 和三角形 e、 c、 d， 已知 bc 的 长是 a、 d 的 七分之四，已知梯形 a、 b、 c、 d 的 面积是三十三平方厘米。求平行四边形 a、 b、 c、 e 的 面积是多少平方厘米？那这道题呢，我们一定要善于教会孩子们要学会画图、树形，结合来看看郭老师是怎么审题的啊？其实很多小朋友审题就会有问题， 一个就是一个梯形，它分成了左边平行四边形叫啊 a、 b、 c、 e， 还有右边那个三角形叫 c、 d， 他 说已知 bc 的 长，我们来画一下啊， 它是整个 a、 d 的 长的七分之四。那我再问一下大家一个问题，那 bc 是 a、 d 的 七分之四，那请问 a、 e 呢？ a、 e 也应该是啊， a、 d 的 是不是其分之四？因为 b、 c 和 a、 e 是 不是一样，所以说我不妨设整个 a、 d 的 长度为七份，那 a、 e 对 应的就是啊四份，那同样的你就可以看到 e、 d 这个长度对应的是不是这个三份， 这是长度的一个关系，但是你看他并没有给你具体是多少厘米，他没说对不对，一定要注意这个事情啊。那现在看第二层面，他说梯形的面积，这个给了，一共是三十三平方厘米。 那看到梯形面积，很多同学第一时间找到什么公式，上底加下底乘以高除以二，但是尴尬的是这里上底下底和高对应距离的长度都没，所以你这种思路是想不通的，那你换一种什么思路呢？那你要去看他给的这两块面积，平行四边形和三角形是一个什么关系， 这才是你应该思考的一个角度。那它它到底是什么关系呢？你会看到这个平行四边形和这个三角形它是等高的，高都是平行 bc 和 ad 之间的，是不是这个距离？好，那我们来写上啊， 比如这个高都是这个 h， 那 高一样面积只看它的底是不是即可。那你看它的底，这个是四，这个是三，那你现在能不能告诉我它的面积是几比几啊？如果你不知道，我写这个过程啊，平行四边形它的面积是底啊，比如说这个是底乘以高 除以二，那三角形它对应的是底乘以高乘以高， 二除以二。注意啊，平行四边形这里没有出二，我们更正一下。那好了，那现在我们来看一下它是几比几，那大家都有 h， 所以 你就不用管它。那所以说那就应该是四比 三除以二得一点五，你把它进行化简，同时乘以二，四乘二得八，一点五乘二得三，所以说是八比三。所以有很多小朋友其实他的口算会很快就能够多得出来八比三，如果你不行的话，你可以用老师这种方式，那这个什么意思呢？也就这个平行四边形的面积，它对应的是八份量，那么三角形的面积对应的是不是三份量？ 那它对应的面积一共还知道梯形数是三十三份，那你现在可不可以求出一份量来， 那也就是梯形对应的是八加三等于十一份，而这个十一份所对应的就是三十三平方厘米，那所以说一份的面积就是三十三除以十一 等于三平方厘米，它现在让你求平行四边形，那就是三八二十四平方厘米。好， 所以答案应该是二十四。那你知道三角形 e、 c、 d 的 面积是多少吗？请你在评论区里告诉郭老师。 好，关于这道题，我们来总结一下，它其实就是考察了关于形形、四边形和三角形基本面积公式。这第一个，第二个考察了关于对应的这个分数，或者说你对应了笔 啊，也就是按笔分配。好了，关于这道题，我们就说到这里吧，学霸老师，学霸娃，关注我，变学霸，拜拜喽！

这个就是六年级上册必考的求圆的阴影面积。如果你能在考试前让孩子每天坚持学一个几何模型，你就会知道他考试时有多从容不迫。有远见的妈妈都给孩子准备了这本玩转几何， 包含了试卷上会考到的所有的几何模型。你看这个是圆的周长方中圆，圆中方，融彻原理，圆柱的表面积等等。每个模型都有详细的推导过程，用图解法把每道例题揉碎，教会孩子一步一步推导 些结论，考试时可以直接套用。而且孩子还可以亲手演示模型的推导过程，将复杂的几何知识变得格式化，遇到不懂的扫码还有视频讲解， 不怕孩子学不会。还猎取了多种考试辨识题，让孩子学会举一反三，灵活掌握各类题型，学完后还有相关题型，及时检测学习成果。吃透这套玩转几何，考试轻松拿高分！这套书不分版本，全国通用，家里有小学生的，抓紧安排一套吧！这个就是六年级上册必考的球员的。

前面我们已经讲解了关于不规则图形的周长，今天我们继续来看不规则图形的面积。在我们之前学习图形的时候，我们讲解过对于我们阴影部分的面积常用的两种方法，第一种就是我们的大减小，大减小呢就是我们常说的总面积减去我们的空白面积。 那第二种呢，就是我们的割补法，通过分割填补，将其变成一个完整的图形。 那我们来看第一个，第一个图形呢，很明显，我们可以利用大减小来进行求解，因为它的外侧呢是一个大的半圆，而里面的空白部分是一个小的半圆， 因此呢，我们利用总面积减空白。那么当然呢，也有同学很快可以发现，这个阴影部分呢，实际上就是我们圆环的一半。那我们也可以利用圆环的面积公式，先求出整个圆环的面积。 那首先呢，我们代入到我们的圆环面积公式中，就应该等于派，那就是三点一四乘大 r 的 平方，那大 r 呢，就是我们的六六的平方减去四的平方。那在前面我们可以列出这两个半径为十二除以二等于六米， 而小半圆的半径呢，应该为八除以二等于四米。代入到里面之后呢，我们可以得到，应该为三点一四乘二十 等于六十二点八平方米，而这个呢是一整个圆环的面积。那我们要求出半个圆环，则需要用六十二点八乘二分之一，就可以求出这个阴影部分的面积，应该为三十一点四平方米。 接下来呢，我们来看第二个图形，第二个图形呢，很快也有同学能够发现这个空白部分呢，是一个小的半圆，而在这个图形中呢，他刚好多出来了一个小的半圆， 因此呢，我们可以将这一部分多出来的小半圆补在这个空白位置。那么第二个题目他所用的就是我们的割补法，把我们多余的部分填补在我们空白部分，这样的话呢，他就可以变成一个完整的半圆形。 那因此呢，我们可以将这个图形直接去求半圆的面积就可以了，那就是四的平方乘三点一四，再乘二分之一，等于二十五点一二平方厘米。