邪修数学三角函数

我和班上数学课比较讨论一下，我得到了一个结论，那你过来，你们题干里是不是经常会遇到这样一个式子啊？对吧？ a 倍的三 x 加 b 倍的 q 三 x， 嗯，我不知道你们有没有印象，我先说比较简单的情况啊，假如说这里头 a 的 绝对值是等于 b 的 绝对值的， 我举一个题目，求三 x 减 q， 三 x 的 取值范围求它的取值范围吗？ a 是 等于一， b 等于负一嘛？在上面这种这个大的一个框架下， a 等于一， b 等于负一。好，那我们就设这个东西为 t， 我 们把 t 给单独平方一下， t 的 平方就等于三 x 减去 cos x 的 平方， 我把它给算出来啊，三一方 x 加上 cos 方 x， 然后再减去二倍的三 x 乘以 cos x， 那 这里头这块呢，就肯定等于一，这里头会出现一个二倍角，所以我们就把它写成是减去三一二 x， 那 这样我就可以把三一二 x 用 t 给表示出来，它等于一减去 t 方。 最后我们只要带回这个式子，它就等于你前面这部分不是 t 吗？后面这部分咱们刚也算出来一减 t 方，所以它就是 t 加上一减 t 方，这就是一个二次函数。那最后我们只需要去求这样一个二次函数， y 等于负 t 方，加 t 加一去求它的整数上就好了。 那我们根据辅助角公式可以得到 t 的 指数范围，因为 t 你 不是设的是三 x 减口三 x 吗？所以我们根据辅助角公式，它是三 x 减四分之派，再乘个根号二，它的范围就是负根号二到正根号二之间，所以最后我们去求这二函数的范围，大家都会求，我就不多说了，它应该是在负根号减一到四分之五之间的。好，这是最简单的一类考法。 那么还有一种就是比较难的考法，就是这里头如果 a 的 绝对值跟 b 的 绝对值，是啊啊，跟 b 的 绝对值是不等的。举一个题目为例，假如说已知 二倍的三 x 加上三倍的 q， 三 x 是 等于二，然后求三 x 和 q 三 x 的 值，这里头啊， a 是 等于二， b 是 等于三的，对吧？所以他们肯定是不相等的。那这种情况下，我们就要使用一个方法，叫什么呢？叫做构造对偶数 构造队友是这个方法非常之重要，待会我会讲一个比较难的题目，他也是用这个方法来做的，所以你们要认真听。而这个时候的话，呃，怎么构造呢？就是你听我讲啊，我们把这个系数就是照抄二抄下来，三抄下来， 然后这里头呢，我们把三和口三就是反过来抄，你先是三，那我就先写口三，你后是口三，那我就后写三。 好，中间是加号，我们就给他改成减号，然后我们这样就构造出一个对偶式，我们给他起个名字叫对偶式，等于 t， 那 对偶式有什么用呢？大家看好了，我们把这两个式子给平方一下相加啊，下面这个式子平方，那就是 t 的 平方， 上面这个式子平方，那就是二的平方，那么再看左侧，左侧 t 不是 等于它吗？所以应该是二倍扣三 x 减去三倍的三 x 的 平方， 然后这里左侧是它，所以就是加上二倍的三 x 加三倍 cos x 的 平方。这里头二倍的 cos x， 我 们把它单独给看一下，它平方完是四倍的 cos 方 x， 这里头二倍 cos 平方完是四倍的 cos 方 x， 所以 这里头平方的一个好处就出现了，你就可以把这个单独的 cos 跟 cos 给消掉，那这一项就是四，好，这里啊，三倍的 cos 平方完之后，相加就是九，所以直接写加上九。 然后这关键一步来了，咱们构造这个对偶式，它有一个非常强大的作用，就是你看啊，我们是不是还要算二倍的交叉项， 那这个二倍交叉项是不是等于负十二倍的三 x 扣三 x， 然后这个交叉项是不是等于正十二倍的三 x 扣三 x， 所以 两个一抵消就没了， 这最后的结果刚好就是四加九等于十三。所以你看这个对偶式一构造出来，左边 t 方等于十三，所以你看这个对偶式一构造等于九 t 就是 正负三， 相当于说你就知道了，这个队友数的值呢，要么等于三，要么等于负三。所以其实你就得到两个方程，第一个方程是提干中这个二倍三 x 加三倍口三 x 等于二，这是提干中的条件。第二个方程呢，就是你 解得的这个 t， 你 勾到这个对数是二倍的 q 三 x 减去三倍的三 x， 它是等于三或者负三的。那这样的话我们就可以分别去解得两种情况，一种情况应该是三 x 是 等于一，然后 q 三 x 是 等于零的，那第二种情况的话，应该是三 x 等于负十三分之五，然后 q 三 x 是 十三分之十二， 这个就是我们一个比较简单的对角式的应用。那么最难的也是我们这个视频最关键的一个地方来了，还是 a 的 绝对值跟 b 的 绝对值不相等的情况。 如果说回到一开始这个式子，如果这里头我们把 x 给换一个字母，比方说换成 y 了，那这个题目的难度就会非常之大，我还是举个例子给大家来看一下啊。已知 二倍的三 x 加上三倍的 cosy 等于二，相当于说在刚刚这道题中，我把第二个 cosy x 给换成了 y 吗？其他的形式都是一样的，然后我去求 cosy 减 y 它的最小值， 那这个题目的难度就会比较高，是他怎么做呢？大家来看一下。我们还是一样的，我们仿照刚刚的做法去勾到对五式吗？那首先系数照抄二三，我们直接照抄二三，然后反过来写， 先 sum， 那 我就先写口三，口三 x， 后口三，我就互写三三以外，然后中间加号改减号，然后设这个构造数的六数呢？等于 t， 那 这种情况下，我们再把两个式子平方向加 t 的 平方，加上二的平方。好，那 t 是 在这里，所以我就直接写二倍的 q 三 x 减去三倍的三以外 的平方，然后再加上二倍的三 x， 加上三倍的口算外的平方。首先我们先看他二倍口算 x 的 平方跟二倍三 x 的 平方，他俩一作合是不是就等于四？我直接写了， 然后三倍的三以外的平方跟三倍的口算外平方，他俩一作合是不是就等于九？我也直接写了，那关键地方来了，这里我们看交叉项 啊，它的交叉项呢，应该是加上呃，二乘三，再乘二十二倍的三 x 库算外，它的交叉项呢？应该是等于负十二倍的三以外库算 x， 你 会发现消不掉了，但是没关系，我们继续往下算啊， 四加九等于十三，再加上十二倍，你发现如果我们提一个公式，提一个公式，把十二提出来作为系数，中间刚好是那个两角差的一个公式，所以它等于十二倍的三 x 减 y， 那 么提干让我们求的这个式子不就有了吗？啊？不就有了吗？所以说我们就可以把三 x 减 y 给用 t 给算出来，左侧是 t 方加四， 然后减去右侧的十三移过去吗？那所以就是 t 方减去九，再除以它的系数十二。那因为大家知道 t 的 平方肯定是个大于等于等于等于零的数吗？所以这个式子肯定大于负十二分之九，就是负四分之三， 那么我们要求的这个角是其实就是负四分之三，因为它的这个取等是能取到的，大家可以自行验证下，就当 t 等零的时候，它是能取到这个等号的，可以解出来， 我就不帮着大家讲。所以你看，我们其实就是通过这样一个式子，我们就总结出来了，由易到难，基本上三个函数，这里具体问题还有求值问题的好多种题型，我们都给他讲清楚，怎么样，你学会了吗？

哥们，诱导公式知道是什么吗？诱惑什么？诱惑公式有多诱惑？ 鸡变藕不变，请我炸酱面。行同学再来一年吧。啊，好嘞，讲一下诱导公式，其实这一章呢，你理解之后啊，特别的简单，什么都不需要背，你看我给你出的这些题啊，都这么长，为什么呀？就为了折磨？呃，就为了让你们学会 懂了吧，特别简单是吧，听完这堂课啊，你应该说是都可以会了。来，首先第一句话啊，基变偶不变。 那什么意思呢？什么叫基变不变啊？这个基指的就是基数加上一个字，倍，这个偶呢，指的是什么？哎，对喽，偶数倍。 什么叫基数倍啊？一三五七九，偶数倍呢？二四六十是不是？那是谁的倍数啊？你要记住了，是九十度，或者说什么二分之派的倍数 的几倍。举例子，二百七十度是它的几倍，是三倍，这是不是就叫做基啊？ 那如果是派，是他的几倍，注意了，是两倍，这个不要错啊，初学者很容易错，这是偶，哎，老师，为什么？这不是一个派吗？但是说的是二分之派的几倍，这就是第一句话，即变偶不变，你就学完了， 看好啊，我要给你举例子了，就拿第一道题来举啊，这是不是有一个二分之派，这是几倍，这是一倍， 一倍积变。哎，老师，这个变是什么意思啊？就是把 sun 啊变成 cosin， 那 如果原来题里面写的是 cosin 呢，就变成什么 cosin， 这里边你看啊，因为是一倍积变，所以我要把 cosin 变成什么 cosin， 然后干嘛啊？然后直接把 alfa 抄下来 就完事了。哎，你说老师，二分之派呢？二分之派让我用几遍，五遍给弄没了。那你再来啊，看着，我再给你写一个都擦掉啊。 sun 二分之派，剪了发，哎，你说老师毁了，这有个符号啊，没关系，还是第一句话，即便 cosin， 然后呢？ g 变， o 变，直接抄啊， cos 阿尔法。注意了，此时这个正符号对于我来说， 干嘛我根本就不看，就是我眼里啊，根本就没有符号，就我就直接抄下来，再来啊，三负二分之派加阿尔法，你说老师毁了，这是负的， 没关系啊，是不是正符号在我眼里根本就没有，是不是一倍啊？积变 直接抄，哎，老师再来一个负二分之派，减 alph 干嘛 cos 啊？ alph？ 为什么积变， cos 变成 cos， 然后呢？符号根本不看，直接抄下来， 这就叫第一句话，既变偶不变符，呃，就没了啊。但是这个问题出在哪了？你看这四个式子是不是一不一样啊？但是为什么结果一样呢？因为咱们还没有写完，就要说到下一句话了，叫做什么？符号看象限， 符号看象限，这句话是什么意思呢？首先啊，咱们先画一个象限， 第一项线，第二项线，第三项线，第四项线，然后写什么呢？ s， c， t， st， c， 这是我惯用的一个写法啊，这个 sin， cos and tan 呢，就是代表这些字母。什么叫 s， c， t 啊？就是第一项线啊，第一项线，这个 sin， cos and tan 呢，都是正的。 第二项线呢，只有什么是正的？ sin 是 正的，第三项线呢，只有 tan 呢，是正的。第四项线呢，只有 cos 是 正的。这个东西啊，其实是根据这个 就是三角函数的图像总结出来的，你看看，这是 sin 的 图像，你看零到派是不都是正的呀？ 就这么着来的，你呢？我呢？这，这是什么？小孩们还跟我说过什么全是天才。这个也可以啊，也挺好，就是你爱怎么记怎么记，反正我比较喜欢的就是 s c t s t c， 就 用这个字母就都来了， 全是天才是什么意思啊？第一项现在是全就都有，然后是天才，这么着就来了，是天才。那你看着啊， 哎，老师，这句话什么意思？就是符号看相线啊，你说这个我已经懂了，什么叫符号看相线啊？看好了，无论这个阿尔法啊，就是当你在用这个公式的时候，这个阿尔法无论是多少度的角啊，它就是一亿度负一万度，无论你爱多少度多少度啊，一律看作是锐角， 就是一律看作是锐角，只要我用这个公式就给他当做锐角。这时候你就想了啊，二分之派加上一个锐角，也就是说九十度加上一个锐角啊，是第几象限？你说老师，我好像就是说反应不过来了啊，你可以人为的啊，你就让这个阿尔法是多少度啊？一度 或者说十度都行，你不就好算了吗？你想想啊，九十度，假如说啊，九十度加上一个，这个，这个十度是不是一百度呀？ 那你想一百度是不是第二象限散第二象限是不是还是正的？就说啊，这个东西它是什么？它是正的，所以说我前面这个符号啊，也得是正的，所以散二分之派加阿尔法就是 cos 阿尔法，懂了吗？ 再来啊，再来，哎，你说老师，咱，咱看第二个啊，散二分之派减了法。首先我第一句话啊，咱们刚才用的第一句话叫做即变无穷，写出来了也是 cos 了法。那你看啊， 二分之派减了法，也就九十度，九十度减去一个什么。我说了啊， alfa 都是什么角？都是锐角，那我就让 alfa 多少度，十度行不行？你想想九十度减十度， 八十度第几项线？第一项线三是不是还是正的？所以前面还要加什么号？正号。所以啊，还是什么？ cos 阿尔法？看啊，这个是 cos 阿尔法，这个也是什么 cos 阿尔法。再来啊，咱们刚才又说了这个了， 微乱啊，只能说是微乱写在这啊，散负二分之派加 r 法等于什么？积变偶变考散 r 法，我直接抄了。然后呢， r 法多少度啊？十度，这是多少度？负九十度负九十度加十度是多少负八十度负八十度是递减相减 第四象限。第四象限只有谁是正的？ cosine 是 正的， cosine 是 正的，那我这 sine 就 应该是什么？就应该是负的。所以啊，注意了啊，原来这个函数是正的，你看啊，原来这个函数是正的，我就要在前面加什么号？正号， 但是加正好就跟没加一样，所以不管了。原来我这个函数是什么号是负的，我就要在前面加什么号？符号，所以你看啊，这个东西的最终结果变成了什么？负 call 三阿尔法，你能不能听懂现在？所以说啊，这个符号看象限看的是什么啊？这个符号看的是什么？是看的，原来这个函数就是原来这个式子正还是负，原来这个式子是正，就比如说这个啊，是正，它前面都是加正号， 如果原来这个式子是负，哎，老师，为什么负啊？因为 sin 负八十度，第一次相切，它是负的，所以我要在前面加什么号？负号。那你再来啊，咱们还有一个是什么？嗯，这呢，哎，不行了，乱的我都不行了，重写啊， 三二分之二减 alpha， 那 这个哦，负，这有个负啊，我给你出了四种情况。那你就想啊， 首先第一步，基变哦不变， cos alpha 直接抄下来的。然后呢， alpha 多少度啊？是十度，这个是多少度？负，九十度，负九十度减十度，是不是负？一百度负一百度，第几项线？第三项线， 第三项线，只有谁是正的？只有 t 是 正的。但是我这道题是不是这是 s 呀？所以说它是负的，所以说前面就要加一个什么号符号，听懂没有？ 这就是奇变偶不变符号看象限就学完了，剩下的就是说什么，就是解决这些题， 你说老师我好像没有看太懂啊，那咱们做题来啊，做题 第一题， sin alpha 加上二分之派。首先啊，二分之派是不是 g 啊？直接写 cos alpha， 然后呢， alpha 加上二分之派，第几项线？第二项线，第二项线。原来我这个东西是不是正的呀，所以前面啊，不需要进行任何的变化，加上什么 cos 二分之派，减 alpha， 二分之三派，这是不是积啊？因为是几倍三倍，所以积变偶不变，直接抄啊。 sum alpha， 但是没完呢，积变偶不变，符号看象限，二分之三派减 alpha， 二分之三派是不是在这啊？减一个 alpha 啊，就是减去一个锐角，应该是第几象限？第三象限。 老师，为什么你要转不过来弯啊？你就干嘛二分之三派，二百七十度减去 alpha， 减去一个锐角，也就是减去十度，是吧？二百六十度。那你就想着第几象限？第三象限，第三象限， cosine 是 不是应该是负的？所以我要在前面加一个什么号 符号能跟上吗？所以啊，分子就变成什么了，就变成 cosine 减 sine， 分 母呢？ sine 加 alphine， sine 加 alphine 是 什么？ pi 是 基变，偶不变，所以就是 sine alphine。 老师，为什么？ pi 是 不是偶数是两倍，所以偶不变？ sine 还在，还写成 sine alphine， 抄下来 符号看下线 pi 是 多少度？ pi 是 一百八十度，加上一个 alpha， 是 不是第三象限？第三象限只有 t 是 正的，所以这个东西是什么？是负的？所以我要在前面加上一个什么号符号，也就是它啊，这个东西变成什么？负的？向量 f。 再然后啊， cosine 负 alpha 等于什么？等于 cosine alpha？ 老师，为什么？因为 cosine 图像长这样，它是偶函数，偶函数是什么？ f x 等于 f， 负 x， 就 相当于直接把这个符号怎么拿掉， 所以 cosine 负 alpha 就是 cosine alpha。 那 你看啊，分子是 c 减 s， 分 母呢？也是什么？ c 减 s。 最后答案 一，就这么着。那第二题，散派减 alpha 即变偶，偶不变散 alpha 符号看下线，派减 alpha， 一 百八十度，减去一个锐角，第几项线？第二项线，所以这个散还是什么正的不用管。下一个 cosine 二派减法怎么办啊？记着啊，只要出现二派，直接删掉 cosine 出现二派 cosine 或者说 sin 呢？ 只要出现了二派就能直接删掉。老师，为什么？其实这是因为什么？ cosine 和 sin 这个图像呢，都是以二派为最小正周期， 所以呢？加减二派为最小正周期。所以呢， cosine 六派 就是 cosine 零。为什么加减二派都无所谓，我就加减几个二派，三个二派， cosine 七派就等于 cosine 派。为什么呀？因为我减去一个什么六派，加减二派都无所谓。所以啊，你看着这个 cosine 二派， cosine 二 pi 减 alpha 就 等于 cosine 负 alpha 就 还等于什么 cosine alpha。 因为咱们上道题说了啊，是偶函数，所以这个东西啊，就是 cosine alpha 啊，分子写成啊， cosine alpha 前面那个是什么？奇变？偶不变算 alpha， 再看后边啊， cosine 负 alpha 加上二分之三派来 是不是积呀？因为是三倍，所以啊，积变 sum alpha 就 直接抄啊，不用管正负号。然后二分之三派 减去 alpha， 也就是减去一个锐角二百七十度啊，减去一个锐角，你每次转换不过来，你就给它转换成角度二百七十度，减去一个锐角，是不是还是正的还是负的？是不是负的呀？ 所以啊，要在前面加个什么号？符号也就这啊， sine alpha， 把符号提前，再然后看分母，分母干嘛积变 sine alpha， 然后二分之派减 alpha 是 第几项线？第一项线，第一项线， cosine 是 不是正的？所以说前面不需要加任何符号， sine 负派减 alpha， 基变偶偶偶不变 sin alpha。 然后呢，符号看象限负派啊，在哪？负派是不是倒着走啊？这是负一百八十度，这是负一百八十度啊， 然后他说什么呢？再减去一个锐角，你比如说减十度，就是负多少度，负一百九十度，一负一百九十度，是不是跑这来了？第二象限，第二象限人家原来是不是就正大，所以不用管。所以这，这还是什么 sin alpha 刚刚刚刚直接消掉了。所以啊，这堆一化简是什么？负的 cosine alpha？ 人家问你什么呢？ f 三分之派就是 f 六十度啊， cosine 六十度是不是二分之一啊？最后答案负二分之一，就这么着， 能不能听懂？就每道题啊，都这样，你说你把这种就这一大串的题会了再考你什么三二分之三派加 r 法，那多简单呀。那这个呢？接着话讲啊， sin pi 加 alpha， 积变 o 不 变 sin alpha， 但是没完啊。 pi 加 alpha 是 第几象限？哎，我听见你说的了啊，你说第三象限，嗯，第三象限它是不是应该是负的啊？所以要在前面去干嘛？加个符号，然后 cosine 三 pi 加 alpha， 我直接写成什么？我直接写成 cosine pi 加了吧。哎，老师，为什么呀？因为我说了啊，能够加减什么？加减二 pi， 我 这么着写是不是相当于把这个角给它变小了就好算，懂了吗？ cosine pi 加了吧，来基变偶偶偶偶不变， 是不是 cosine alph 再然后没完呢啊？ cosine pi 加 alph 就是 既变偶不变 cosine alph， 但是没完。符号看象限 pi 加 alph 是 不是还是第三象限？第三象限它是什么？它是不是负的？所以我要在前面干嘛？加个符号？ 哦，这儿还是乘法，所以把这儿啊，把这儿删了就得了，也就是负三 alpha 乘以负的 cos alpha， 然后呢？ cos alpha 二分之派加 alpha， cos alpha 二分之派加 alpha， 写这儿啊，积变 cos alpha， cosine 二分之派加了法。符号看象限，二分之派加上一个锐角是不是第二象限？第二象限 cosine 是 什么？是负的，所以要在前面加一个什么号符号，也就是负的三 alpha， 这就是分子 符号，看象限啊，要看原来这个函数，就原来这个是正的还是负的，如果是负的，就要给你得出来的这个结果， 加个符号再来这啊，三二分之五派减 alpha， 我 直接写成三二分之派减 alpha， 为什么呀？因为我减去了一个什么二分之四派， 三二分之派减 alpha 来积变 cosine alpha 符号看象限，二分之派减去一个锐角是不是还是第一象限？第一象限它是不是还是正的？所以啊，就直接写 cosine alpha， 然后 散负派减 alpha 积变，偶偶偶偶不变是吧？散 alpha 直接抄，然后呢？负派减 alpha， 没事啊，忘了你就画图。负的一百八十度，我是不是得这么着走，哎，走着走着到这了，负一百八十度，他说减了法减去多少度，减十度，负多少度，负一百九十度，是不是跑这来了？然后怎么记得刚才说过呀， 也就是说第二项线它是不是正的啊，正的就不用管了，就直接把这个化简的结果直接往上抄 sin alpha， 那 你看啊，看着啊，这个哒哒复为正了对不对？然后 sin sin cosine， cosine 消掉了，所以最后答案啊，负的 sin alpha 有 没有学会啊？你看咱们这其实做了一百道题了，是不是继续 一定要学会啊？你学会了，你这种东西你说根本忘不了，你要没学会呢你，你这道题蒙对了，下道题你可能蒙不对了，再来啊，第四题，哎，你说老师我聪明了啊，我直接碰见二排，我直接给删掉行吗？没问题，你删掉之后是不是算负 r 的 话， 这时候就来了啊， sum 负 alpha 等于负的。 sum alpha 为什么？因为因为它是奇函数。咱们刚才说啊， cos 负 alpha 等于什么？等于 cos alpha， 因为它是因为，为什么这么着写？因为它是偶函数。那这个东西呢？它是什么？ 奇函数，你也可以怎么记啊？就奇函数，直接把这个符号干嘛？哎，提出来了简单不？奇函数就提符号，偶函数干嘛消符号。 嗯啊，继续给我讲，累了都。这个啊，这是什么？负的？ sine f。 然后呢？看啊，该来看这个了， 基变，偶偶偶，怎么着？偶不变，也就是它是变成什么 cosine alpha 先抄下来啊，还没完呢，基变不变符号，看象限派加 alpha。 第几象限，第三象限，第三象限 cosine 是 不是负的，所以要在前面加个什么符号？ 我说的有点快啊，再来看这啊，哎。积变，所以是什么？ sum alpha 符号，看相线二分之派加 alpha 是 不是第二相线，第二相线 cosine 是 不是应该是负的？注意了啊，看，原来是正的还是负的啊。 cosine 是 负的，所以我要在前面加上什么号，哎，符号， 这个 二分之十一派减 alpha， 我 立马写成，什么 cosine 二分之三派减 alpha。 哎，老师，为什么呀？因为我刨出个什么二分之八派，然后你看这个啊，基，基基是吧？基变三 alpha， 二分之三派减 f。 二是第几象限？二百七十度减去一个锐角，二百七十度减十度，二百六十度二百六十度，第几象？第三象限，第三象限 cosine 是 不是负的？因为第三象限只有 t 是 正的，所以我要在前面是干嘛加个符号。哎呦，怎么这么多呀， 然后呢？看分母啊，这这这个分子刚刚弄完 cosine 派减 alpha， 基变。哦哦哦，不变 cosine alpha， 但是没完啊。派减 alpha 是 不是第二项线？第二项线 cosine 是 不是负的，所以在前面加个什么号符号？ 然后这个三三三派减 alpha 怎么办？我直接写成三派减 alpha， 因为我去掉了个什么二派派减 alpha， 积变 o 不 变 没完呢啊？派减 alpha 是 第几项线？第二项线符号开箱线，咱们还得用呢啊，第二项线它是不是正的，所以不用管了，就还是这个结果，就还是这结果啊， 然后这个，哎呀，积变偶 不变 sine alpha 直接超。然后呢？符号看象限啊，负派是不是负一百八十度啊？负一百八十度，再减去一个锐角减十度。负负负负负多少度？负一百九十度，第几象限？第二象限，所以它还是什么 sine alpha？ 那这个呢？行啊，我已经看，我已经知道你说出来了。二分之派加 alpha 是 不是基 变 cosine alpha 符号看象限，二分之派加 alpha 是 不是第二象限？第二象限 cosine 本身就是什么正的，所以这儿不用改啊。 cosine alpha， 来吧，这都什么玩意啊，负负负负，是不是这个上面没符号了，然后干嘛？ 呃，这个这个，这上边记着啊，上边就没符号了。那我给你写写吧。嗯， s 乘以 c 乘以 s 乘以 s， 下边什么负？ c s s c 所以 啊，你看，咱就消了 c c 一 消， s s s s 一 消，所以最后答案啊，是负的贪占特阿尔法，因为 s 除以 c 不是 t 吗？懂了吗？是不是觉得老简单了现在。 然后这个第五题不中了啊，我也要不中了，这个三阿尔法减二零二五派，我立马啊，我立马写上三，阿尔法减，呃，派， 为什么呀？因为我把二零二四个派干嘛给去掉了？就是阿尔法减派， 能懂吗？就是加减三百六十度啊，加减三百六十度都能去，我就相当于加了一个二零二四 pi， 然后这个呢？ cosine 写成什么？二分之 pi 减 alpha。 为什么呀？因为我去掉了一个什么二分之八 pi 分母写成什么？ cosine 负 alpha。 为什么呢？因为我把二零二四派直接干嘛去掉了。 tanthan， 我 写成什么？写成 tanthan alpha， 哎，老师，这是为什么呀？很简单啊，还是根据周期来决定呢。我刚才说为什么这个加减三百六十度可以呢？因为 sine cosine 的 周期是三百六， 摊着的呢，它是加减派就可以，因为它的周期就是派。注意了啊，摊着的是加减派就可以了，所以我直接就消掉了。那你看啊，咱接着化简。 阿勒法减派即变。哦哦哦，不变算阿勒法，抄下来符号看一下下。阿勒法减派。阿勒法多少度啊？你就当做是锐角是吧。十度十度减一百八十度，是不是负的？ 一百七十度啊，第几象限？第三象限，所以是负的啊，所以在前面加一个什么符号？那 cosine 二分之派减的法呢？积便是吧。 cosine 二分之派减的法，第几象限？还是第一象限，所以不用改啊，分子看着啊，分子就变成什么 负的三乘以三分母呢？ cosine 负 alph， 哎，你说对了，是不就是 cosine alph， 所以 就 cosine 啊，然后呢？再来这个还是 t t 就 写在这儿， 怎么做怎么接着化简呀。啊，这就简单了啊，看着啊，我直接从这分开。这不就出答案了吗？看着啊， s 除以 c 前面加个符号乘以什么呀？ t 分 之 s， s 除以 c。 不是 t 吗？负 t 乘以 t 分 之 s 就 等于负的 三就得了。这就是即变哦。不变啊，符号看象限诱导公式所有的考点了。就是你把这题都学会啊。你这回头看你那卷子上那个单个的那题你卷子上怎么出你单你卷子上也就出个这个。那你是不是都会了？都给我讲冒烟了。

三角函数让大家最头疼的是什么？是不是公式太多了，知道背不过记不住，好不容易记住了不会用， 而且还变着花样考你是不是？是啊，我们这节课就教会大家这些所有的公式必考题型跟老胡学透，那么我们的期末考试这块拿满分行不行？行，九大组公式里面对应的题型考哪些必考的啊？题型一，咱一个一个来说 叫做闲话切，问题。第二个呢，叫做黄金三角问题， 我会一个一个给你们讲透，不要着急。第三个，凑脚问题，基础的凑脚怎么凑？升级版的凑脚怎么凑？第四个，什么问题？ 辅助角公式有关的一些最值问题。第五个，考什么教材深挖出来的， 高大考刚刚考过激化和差。第六个和差化积，这两个你要是会的话，你做题的速度会 比其他的方法用起来会快很多。咱先来说第一个，弦化切的问题。好吧，好，弦化切的问题其实核心考察的是我们所学的第一组啊，常见的公式知道叫什么吗？ sine 而法方加上 cosine， 而法方等于一，以及主要用的是这两个公式啊， sine 除以 cosine 等于 tan。 我 们来先讲第一道题目，它在题目中怎么去应用的问题好不好？好，我们先来看第一道题目题型一，闲话切。那闲话切是啥意思？你先得认识这种题型， 条件一般会给你一个切看到没有，然后所求的东西是啥？弦？正弦与弦是吧？知道是不是叫切，所求的东西是不是叫正弦与弦？对，那你是不是把所求的东西得化成条件给你的？ 那这个过程就叫做弦化切，那么弦化切一共有两条核心要求，首先， 你看你要用的是左面的这个公式吗？三除以烤三是不才能是摊着他呀？对不对？要给他肯定要做除法吗？是吧？给他们除以烤三才能变成摊着呢，是不是？所以你不能莫名其妙给这个式子除吧？那一般得满足什么条件呢？第一个， 这个式子首先得是分式，嗯，因为它是分式，你上下同除原式不变吗？是不是？然后第二个，这个式子必须得是其次式。 什么叫做其次式呢？我先问一下大家啊，你看单项式 a 的 立方，这是几次的三次？那 a b 的 平方，这是几次的三次？对单项式的次数看的是字母之合，是吧？我如果把它加起来，它是不是就是其次式了？是的，其几次？三次，其三次没问题，这叫其次式。所以我们所有的闲话切满足这两条要求就可以做了。那第一个，你告诉我它是分式？不 是，是分是你给他们同除，是不是原是保持不变，满足第二个其次。那为什么是其次呢？因为只有是其次，你同除完之后，把这里面所有的东西才能化成条件，就不会剩余你所陌生的东西在里面了。 比如说我们以这道题目为例，你看这个是关于三或者考三的几次式。一次加减号连接起来的每一项次方都得一样，一次一次，一次，它是几次一次，其几次式， 它其几次式。我们就给这个式子同除以考三的几次方。所以本道题同除多少？同除考三而法就完了， 是吧？来开始跟我得结果吧，三除以考三是多少？二倍的攀枝特尔法 减去考三除以考三，一，再比上三除以考三，攀枝特尔法加上多少？二二。你看，如果你是其次，使你同除完之后，它就完全变成条件了。发现没有？没有？往进带四减三，四减一， 四减一是三，这四四四分之三就完了。会了，不会了。再来一个变形。看题。 给的是切，求的是弦，是不是弦化。切好，你再把弦换成切的过程中要做除法吗？除靠三是吧。那你除的话，你这一个整式咋除呢？原式是不是变了，所以不满足。什么分式？不满足分式，你得满足是分式。那不满足分式，我们怎么给他把它变成分式呢？ 你得搞成分式呀，它不是分式呀，除个一。哎，借来一个免费的一一嘛。往这一写行不行？行，那 分式没有问题。来，这是其次是不？其几次？这是几次？两次这是几次？两次，这是上下都得是其次。这是关于三考三的 一次零次，零次零次。是吧？是不是大家都得是起二次式啊？那这没有二次式啊，怎么办呢？ 哎呀，很聪明吗？是不是用的就这个式子了？把它写成什么？把它写成三 c 塔的平方加上一个 cos 塔的平方，这叫免费的。一来开始告诉我咋做同除，谁同除？一 起几次式就除以 cosine 的 几次方嘛。起几次嘛？两次同除以 cosine c， 它的平方你除完之后它全能变成的这个了。你试一下来开始变吧。三方除以 cosine 方式 tan 整数的平方加上 cosine， cosine c 除以你的平方，一约掉一个 cosine c， 它除以你的平方，一约掉一个 cosine c 了，对，来，继续减去二比上，这是 贪方，贪方好，这是加，加多少？一，等于直接往进带吧， 四加二，再减二，这是四吗？五五分之四，会了，不会了，所以这叫基础版闲话。切，问题先得满足这两个要求，而考试就从这两个点上去考，你 不是其次变，其次，不是分式，想办法变成分式，题型一我们就搞定了，会了，没？会了，接下来我们来讲第二个，黄金三角。那么黄金三角这块主要考察的是你什么的公式呢？其实说白了是二倍角公式， 二倍角公式最常见的一个是 sine 阿尔法，等于二倍的 sine 阿尔法， cosine 阿尔法，还有一个是 cosine 阿尔法。你首先得对这两组公式熟悉嘛，是吧，知道这有几个公式还记得不？三个， 三个啊，不要死记硬背啊，要知道这三个公式怎么来的啊，第一个知道了，是不是另外两个都知道了？来，这个是二倍的，靠方减一，一减去二倍的三方就是第一组 是考三三，第二组只有考三，第三组只有三，没有问题吧？没有，来，接下来我们说，哎，黄金三角怎么去考察？大家题目来看，题型二，黄金三角。我们先来说什么叫黄金三角，说的是看这里啊，同一个角度，三 c 糖加上考三 c 糖， 来，这里是 sine theta， 减去 cosine theta， 还有一个是 sine theta， 乘以 cosine theta， 这三个东西注意叫做之一求二，就光这个经常在考试中去考，大家 啥意思来？比如说给你加，让你求乘积，怎么由加能够求出乘积呢？它们俩之间什么关系？ 平方嘛，平方完之后不就乘积了吗？是的不是的， 一样的。给这个求乘积会不会什么关系？平方嘛，给你求他会不？他俩之间有关系？没有 乘积的关系吗？一平方不都跟乘积有关吗？对是吧，这就叫黄金三角来看题，比如说这道题，哎呀，三个 earth 二倍角公式吧。所以第一步这其实里面暗含的是什么？乘积？嗯，然后有一个角度的范围让你求差 成绩和差之间的关系是不是？所以要求他怎么样让他能出现条件里面的成绩呢？来告诉胡老师，首先第一步干嘛？先干嘛？给所求的东西是不是先平方 行不行？求他的平方吗？三 c 塔减去考三 c 塔我不会求你我还不会求平方了吗？对，求完平方再开根不就完了吗？是不是来平方完之后三方考三方是几？一加一减去二倍的三 c 塔乘以考三 c 塔 是还是不是？是的来等于一减去乘积。乘积是多少？这不就是三二 c 糖吗？二 c 糖展开不就是糖吗？不就是成绩关关系吗？所以呢，一减去三分之一，三分之二。所以说我们的三 c 糖减去 cosc 糖等于多少？ 正负根三分之根二，三分之根六吗？嗯？正负两个都要吗？ 都要吗？那为啥给你一个这个嘞？范围是吧？哎呀，你第二步你不得确定一下正负的问题吗？说白了是不是确定一下角度的就大概的范围问题吗？ 这大坨的范围是不是？是啊，这大坨到底是正的还是负的？我写的。呃，细致一点，我写个正负的问题吧。确定正负的问题看谁大谁小是吧，如果你大他小不就正的吗？你小他大不就是负的吗？对， 那咋确定呢？ c 塔在四分之派到二分之派之间在哪？呃，我先说 c 塔，这是四分之派吧，等于 c 塔 这个角度，零到四分之派之间谁大？谁大谁大还记得定义吗？忘光了，三指的是什么？这条线与单位圆 交点的什么坐标？还有人有印象没？坐标 y， 这个是 x。 嗯，零到四分之派之间谁大？ cosine 大 是吧？是不是 x 更大嘛？所以应该是零到这个角度之间谁更大一些。 写下来 cosine 是 不应该是 cosine 值，你拿定义就能够推了吗？我们不是讲过定义吗？ cosine 是 不是大于 sine 呢？对，来，那超过这个嘞，是不应该是 cosine c 它小于 sine c 它了，注意范围哦。搞定了吗？ 根据定义一样，一个是指的是 y， 一个是 x 吗？你一盼了就知道了。是不是来开始，你说的是四分之派到二分之派之间是不是在这来？ 所以三大这个小大减小，减完之后取得是正值，因此本道题目答案是三分之根六。完了， 确定范围这个事很重要，我们后面学凑脚的时候，不断的要学会去用范围去定正负的问题呢。好吧，来，我们再来一道题目，让你再次感受一下黄金三角怎么去用来看题。首先是不是尔法的三值考三值再做叉 给的是叉吧，求的是这个东西。这好像也不是成绩的结构吧。 靠三，阿尔法角度之间是二倍，所以第一步你只要看到有阿尔法，先利用二倍角公式先给他展开吧。那不然咋跟阿尔法挂钩呢？是这意思吧。来，我开始，我先给你讲啊，靠三有阿尔法， 往左边看，一二三三组公式用哪一个用哪一个用哪一个不是你随便想的。看题啊，尽量跟他要挂钩啊。用哪一个用第一个。为什么？ 因为第一个可以写成两数和乘以两数差不就是和差的问题了吗？是不是最后第一个叫做考三而法方减三而法方。我不写了，我直接给他展开啊，他写成你两之和 考三而法减去三而法你两之差，是不是？然后题目又告诉我它是五分之一，所以这一坨是多少？ 你减我是五分之一，我减你是多少？负五分之一，负的五分之一没问题吧？来下一个相当于我是不是只要把这一大坨给它求出来就结束了。 那这个问题变成什么了？给的是差，求的是和这不给差求和我刚刚说了吗？和差之间的关系就在这， 是不是你俩找一个中间人嘛，咱俩都跟成绩有关系，借助中间的桥梁让咱俩建立关系嘛，是不是？是啊，来第二步跟我说咋办呢？求他。哎呀，我求他，只要求他的啥就可以了， 只要求它是什么就可以了。平方，所以我先给他平方一波来。平方，我求的是 cosine 尔法加上一个 cosine 尔法括号的平方，注意待会要把它开根往这一带是吧。思路很清晰啊，展开之后是一 加三方加考三方是不就是一了？一加上二倍的三个而法乘以考三而法要求你转化成求他了是吧？问题得到了转化，那他咋求呢？ 哪里有成绩是不？这里也有，给他干嘛是不？只要把你求出来，往这一带是不就这个结果就出来了？对， 开完歌是往这带就可以了。哎，我再次给他平方叫做三而法减去考三而法来平方一下等于一，减去二倍的三而法乘以考三而法等于多少？ 二十五分之一。所以说我们的三二倍的三而法乘以 cos 而法等于二十五分之二十四，把这个数字往这一带是不就出来了？来，带一下结果吧。 这是多少？二十五分之四十九。那你是不是还得开根给人家给他带回去啊？往这带，知道我们要什么搞清楚了吗？来，往这带。哎呦，开完根是正的还是负的？正的为什么是正的？ 为啥是正的？题目说尔法在零到派之间，零到派之间塞是正的，可是你不一定保证这个是正的呀。正的加正的是不才能够是正的呀？是的哦，看，这， 这是大于零的，这大于零的三一定是正值。那两一乘是大于零，说明考三一定为正值，所以你也为正的，那么正的加正的，它一定是正的。开完根这个结果应该是五分之七， 这不就完了吗？所以说，本道题让我求的考三，我写一下，阿，尔法等于 负的二十五分之七，这就是答案了。会了吗？会了，黄金三角，所以考试的过程中就这三者之间，知一求二，来回考你，你都要会。这个是相当于已知减，让你求加，这里一定要注意开根确定范围的问题， 没问题了吧？没有，那么这是我们今天来讲的哎，六大组题型中的第二大题型，但咱们时间原因有限，我没有办法把所有题型全讲完，但是这些是我们在学三角函数以及期末考试当中必考题型， 所以呢，为了帮助大家期末考试把这块拿下满分，胡老师把他对应的题型全给大家梳理出来了，你可以留一下横等变形， 每一个我都给大家配套了同类型题目的专项训练，跟着老胡的课程训练起来，咱期末考试这里一分绝对都不丢好不好？好，直接拉开差距，好下课！

一个视频教会大家如何来求三角函数的最值问题。另外关于三角函数的专项练习，李姐已经给大家整理好了，如果你三角函数题目不会做的话，那你一定要拿去练一练，拿去做一做。好，我们来看一下这四道题目。首先我们来看前一二道，他们是一个类型的，他告诉你函数都等于三人值或者是口径值。好，只有一个函数， 而且告诉你这里的 x 是 属于 r 的， 那要找它的最大值和最小值的话，我们只需要看三，也或者是口算前面的系数，这里是三，那对应着它的最大值就等于三， 最小值呢？就是它的相反数是负三。好，第二题也是一样的，这里对应的前面的系数是负二，这里要注意了，它的最大值可不是负二，需要加一个绝对值哈，这里最大值对应的是二，别忘了后边还有一个一呢，所以它的最大值是取到了三， 那最小值是多少？最小值也就是它取负二的时候负二，别忘了后边还要加上一个一，也是负一，所以这里最小值是负一。好，接着我们来看第三四题， 三四题和一二题就不一样，一二题它的 x 是 属于 r 的， 没有任何的取值范围，接着三四题它都有对应的取值范围，所以这个时候你不能够单单的只看前面的系数了，你需要画图像，那这里是三以二， x 加上六分之派。 我们一步一步的来求， x 是 属于零到二分之派的，那二 x 是 属于多少？直接把这个区间里边同时乘以二就行， 零乘以二等于零，二分之派乘以二得派，所以二 x 的 范围是零到派。好，这里别忘了是二 x 加上六分之派，所以这里二 x 加上六分之派，它的范围同时都加上六分之派。 零加六分之派，这里是六分之派派加六分之派，那就是六分之七派，所以二 x 加上六分之派的范围就是六分之派到六分之七派，也就是说这个整体它的范围是六分之派到六分之七派的。 那我们直接画一下 sin 的 图像，找一下如果他是六分之派到六分之七派的话，他的最大值对应的是多少？最小值对应的是多少。好，我们来画一下这里对应的 sin 的 图像。好长这样子，我们就画零到二派的位置，这里对应的是零，这里呢对应的是派，这是二派。 好，他的取值范围是六分之派到六分之七派。六分之派在哪里啊？在这个位置 x 等于六分之派。 六分之七派呢？是不是在这块这个位置是六分之七派，所以对应的外值这块肯定是负的，它是等于负的二分之一，那对应的最大值是取到这里了，我们给他换一下颜色，给大家标一下啊。 六分之派到六分之七派的范围是指的这一段，所以他最小值是在这块取到的，取到的数值是负的二分之一， 那最大值也是最高的位置在这里对应的是等于一的，所以就能够得出来，它的最大值是等于一的，最小值是等于负的二分之一。好，接着第四题也是一样的，三以二 x 减去六分之派， x 的 范围是零到四分之三派。 好，我们写一下， x 是 属于零到四分之三派，零和四分之三派都可以取到，那二 x 的 范围同时乘以二就等于零到乘以二之后，二和四约一下就是二分之三派。好，接着二 x 减去六分之派，同时都减去六分之派呗。所以这里得出来的是负的六分之派。到 二分之三派减去六分之派。好，二分之三派减去六分之派。我们约一下，这里是六分之九派，减去六分之派又等于六分之八派。约一下，这里得出来是三，这里得出来是四，所以是三分之四派。好，来画一下图像， 三的范围是负的六分之派，所以负半轴上我们也给他画上负的六分之派，在这里对应的这里是负的六分之派。三分之四派，这里对应的是派值，三分之四派对应的是这里，这是三分之四派。所以对应的这一段再给大家描一下，从这里开始， 然后一直在这里结束。这个数值对应的是负的二分之一，这个数值对应的是负的二分之根号三。所以它的最小值取到的是负的二分之根号三。那最大值呢？是在它最高点上，在这里，所以对应的是等于一的 最大值是一，最小值是负的二分之根号三。同学们，你们听懂了吗？听懂的同学记得点个关注和收藏，免得下次找不到了。

斜修做题就是快，所以这节课胡老师带大家讲透我们辅助角公式里面的门门道道。 首先你得知道什么是辅助角，然后呢，他怎么去用，以及他在题目中怎么考你，咱这一节课全部讲透，以后辅助角不出错好不好？好，首先我们来说第一个，哎，辅助角公式是什么是什么的问题。嗯？ 什么情况下用辅助角？你看啊， y 等于 a 倍的 cosine x 加上 b 倍的 cosine x， ab 是 系数， x 是 同一个角度，就是它的 cosine 和 cosine 一 加一减，前面添个系数都无所谓是吧？只要长这个样子，哎，我们就可以通过辅助角把它变成 这个样子，这是目的地，你得想办法变成这个样子。我接下来给你讲的就是从这怎么到这的问题，明白没有？明白来跟上节奏啊，很简单， 首先你看啊，我要做一个变化， a 在 这不变，我给他除个根号下， a 方加 b 方， a 方加 b 方是谁呢？系数平方，然后呢？三 x 不 变， 再加上 b 也不变，我也给你除一个， a 方加 b 方。我为什么要做这一步操作？你不要着急啊，靠，三 x， 咱们做完之后，原式发生变，改变了没有？ 改变了，改变了，你莫名其妙给人除了个那东西吗？所以你前面要干嘛？你要乘一个是吧？我给他乘个 a 方加 b 方，原式不变。长这样。要说胡老师你在干啥？把一个简单的搞这么复杂 来，只有一个目的，你可以观察这两个东西。哎呦，这写不下嘞，这两个东西有啥关系啊？ 平方和为一对发现没有？发现平方和为一谁跟谁的平方和为一同角的三角加烤三角等于一 是吧？是啊，是不是我就可以把这个理解为某一个角的三值，这个理解为某一个角的 cos 值，或者把你理解成 cos， 把你理解成 cos 都可以。因为平方和为一吗？ 而且你没发现这个数字永远在绝对值，永远在比一小吗？ 为啥嘞？假如说 a 是 一个正值，那 a 的 平方加个 b 开出来肯定比 a 大 吧？底下大，上面小，他肯定是个分式吧。 那你的绝对值是不是肯定在比一小呀？能理解不？那你想，我们所学的一个角度的三值，他不就大于负一小于一吗？他的绝对值就是小于一的呀。所以我完全可以把它看成某一个角的三，或者考三，就知道能理解这意思了吧。那怎么看呢？技巧是，你是三， 我们就把它看成某一个角的靠塞，你是靠塞，就把它看成某一个角的塞。有人说这两个能不能交换位置呢？可以，我为啥这样写？因为塞烤烤塞拉拉上口 是吧？你看，完全可以理解为某一个叫做值，没有问题吧？没有哎，这就是我凑了半天的目的。然后我们给他抄下来，根号下 a 方加 b 方，哎，塞，这不就变成塞考考塞，先塞谁先写谁， 没问题吧。中间是加号，是加号，这个角度是否否？然后有的老师可能会告诉你们说，哎呀，这个贪婪的否呀，等于 bba， bba， 咱有同学在那死记硬背，其实没必要。为什么呢？因为贪婪的否就是三除以考三嘛。 你俩一除除完之后不就是 bba 吗？是不是你不用背它，你只要知道考三是他，三是他就可以了，要谁有谁 越贪婪的也有嘛，一除就完了是不是？好，这事你知道了？第二个，我们来说，哎，这个东西怎么用的问题， 怎么用？讲完之后讲怎么考的问题来，先讲基础应用，比如说第一个例子来喽，盯准啊， y 等于 sine x 加上一个 cosine x， 你 跟我说怎么处理它？ 只要看到同角对应的三考三，这是不同一个角，看 ab 是 不是都是一了， ab 是 不是都是一了？给你俩系数，一个是 a， 一个是 b， 是 不给 ab 同时除以你俩系数的平方和开个根 是不？所以给他们同除几啊，自己说同除几同除，嗯，等于我教你一比上根二，这是不是叫三 x， 这是一，你以后熟了你就很快就能写出来了啊。 靠，三 x 前面乘个谁，前面乘一个根二，然后等于根二不变，这可以写成三，谁加号 是不是？然后把它看成谁？某一个角的 cosine， 把它看成某一个角的 sine 值塞，考考塞，好凑吗？来，那你跟我说这个角是谁呢？ 先塞谁，先写谁，费是多少知道不？如果费知道是谁就给他写到这，如果费不知道是谁，你就写个费，这个费知道是谁不？你就盯着他看。考三值是二，二分之二考三谁呢？三是谁呢？等于二分之二，盯着其中一个看就可以了，谁 四十五度吧，所以这里应该写的是四分之派，完了你不就把这个写成这种结构了？是的不，第一个搞定了啊，来，开始第二个，我们再来一个，比如说 y 等于多少？ sin x 加上根三倍的 cosine x， 你 告诉我系数一，根三除谁二，是不是除二？知道平方和开根嘛？一除以二等于三 x 加上根三除以二靠三 x。 你 现在跟我初学，你还除二呢，你后面你根本都不需要，中间这一步你就一步到位了，你这个能力就要练到这个位置上了啊。二等于来继续把它写成三，谁加号先塞谁先写谁再 x 写他。 这是不是就是某一个角的靠三值啦？对，哎呀，这是某一个角的三值啦。对，哎，哪个角度的靠三值是他呢？盯着他看。靠三值是他，三值一定是他盯着一个角盯着一个去看。多少度？一般是零到九十度之间的啊。 几分制派？三分制派？三分制派。我给他写一个三分制派。会了不会，会了，那考试时候还怎么考你呢？别着急，我还没讲完啊，我们把常见这些给大家讲完，然后我再给你总结，然后我们再讲题目中 怎么去考你一下，你对这块就通透了。我再给大家举一个例子，第三个， 第三个，比如说 y 等于三倍的 cos， 然后减去根三倍的三 x， 告诉我除以谁，自己写一个 a 等于三，一个等于根三， 给这个式子同除以谁，系数同除以谁。你俩一平方是不是开根啊？根号下九加三是多少？ 根号十二等于根号下十二，同除以它是吧？是的，根号十二是多少呢？四乘三二根三二倍根三吗？是不是同除以它？对，嗯，三除以它剩多少了？ 二分之根三考三 x 吧，是吧？ 是不是？是，你没发现这样写还挺麻烦的吗？是的，哎，所以这就是为什么要讲这道题的原因了。不要老想着算嘛，后面出现你俩的系数有公因式，能不能提出去嘛？跟系数没关系吧？把这公因系数给他提出去嘛。有谁 提出一个根三来剩根三考三 x 减去一个三 x 处理，后面就行了。根三做超就行了吗？对不对？来除谁？现在自己打 除以二吧，看这一根三看到没有？所以呢，给根三除个二，考三 x 减去给一除个二 来开始它变成二跟三。哎呀，一定，我们一般化成三是谁啊？有时候化成考三是谁行不行呢？也可以来细节，这是考三，这个角就是某一个 塞，对，灵活一点吗？对，这是烤塞，这就是塞。哎，这是烤塞，塞灵活一点吗？是吧？中间是减号吗？刚刚说先塞谁，先写谁，这个位置写的是谁？ y， 这个写的是 x， 因为你展开先塞他嘛，再考他嘛。是先塞谁先写谁啊，对吧？来这个 y 知道，不知道的话就把它角度填进去，不知道就不写了。这个角度是谁呀？塞多少？是二分之根三，零到九十度之间，六十度，三分之派。完了， 会了，不会了。所以通过这几个小的例子，我要给大家总结什么问题呢？辅之角公式。一般在考你的时候怎么考你？首先第一个观察系数之比是多少？ 观察这里的系数之比是一比一，系数之比是一比一，这个角度往往跟四分之派有关，是不是？这不四分之派吗？ 发现没有？没有？然后我明天这里考二和二，三和三，你会不会是把二和二、三和三提出去，全都是一比一？ 一比一跟四分之差有关，没问题吧？没有，来这里系数之比是一比几，一比跟三，或者来下一个题，系数之比是跟三比一，那么这个角度跟多少度有关？看题。要么是 三分对三分之快吗？跟三十度或者跟六十度有关，后面你人家题还怎么可以考你啊？给这前面挂个系数来听啊。给你挂个四分之一，给你挂个四分之跟三。 一比跟三是吧？还是一比跟三呀？把四分之一是不是可以提出去啊？这个角度最后下来一定跟三十度或者跟六十度有关，能理解不？哎，还有四十五度就常见这些角度吗？那还有一些就是不是特殊角度， 如果不是特殊角度，那这个角是谁你不知道你就写成斐，你知道他会考三斐，三斐就够了，你就给他写上斐就可以了，他不影响你做题。明白不明白？来，我们看一个。第三个在高大考中怎么考过辅助角的应用？求最这本题。来我们看一下这道题目是曾经高考考过的一道题目， 二零二二年浙江卷又模仿他考了一道题目，二零二年浙江卷又会那个题目，你就会来看题。首先题目研究的是他取最值 所有的三角函数问题。取最值，我们最好把这个函数能化成 a 倍的三欧米伽 x 加 f 加 b， 这种形式如果不能够化就是变态的，我们先看他能不能化，好不好看，能不能化是完全就是我辅助角的适用前提， 两个角度的靠三值。三值是不是做加减呢？跟细处没有关系，这就是我辅助角的适用，典型的要处理的问题吗？是不是所以看到他通过辅助角先画成这种形式，对还是不对？对，来开始除，谁 等于根号五？一二平方和开根，所以给一，除以根号下五，这应该是三， x 给二除以根号下五，这是 cosine x。 哎呀，大事不妙呀， 刚才讲的哈，除了那个角度，好像你发现你都知道这个角度是不是好像不知道是谁啊？是啊，不要忘了啊，外面给它乘一个根号五，来开始根号五三 x 减。谁 把它看成某一个角的 cosine 值？把它看成某一个角的 cosine 值， 不知道是谁。写个范呗，行不行。这就是我们的第一步，画件就完毕了。先把画件画完毕来开始第二步做题。题目说他取最大值，他的最大值是不是当这一大坨等于一的时候取最大值 五吗？跟五吗？是不是？是的，那你什么时候取一呢？来告诉我。取最大值十对吧。让你求他，他什么时候取最大值？是不是当 x 减 f 等于二分之派加二 k 派， k 是 z， 我 能不能把取最大值的时候 x 给它解出来？不就研究取最大值吗？可以啊，那 x 是 谁呢？ x 就是 f 加上二分之派加二 k 派好了。 哎，当 x 等于它的时候，它是不是整个取最大值了？对，但是题目说 x 等于 c 它的时候它取最大值说明什么？说明这就是 c， 它对不？ x 等于它的时候取最大值吗？ 题目是等于 c 它的时候，那是不是 c 它就是它了？对， c 它解出来了呗，这不就完事了吗？所以这题目让你求啥？让你求 cos sine sine 它，我们开始进入到第三步，画个圈圈， cos sine sine 往前带喽。它是不是等于 cos sine 多少？ cos 加二分之派加二派派， 这不周期吗？踢掉了等于继续用诱导公式把二分之派踢出去，变成 sin sin sin 前面正的还是负的啊？ sin f sin f， 二分之派踢出去看的是原来角度对应的原三角函数正负，负的还是正的？负的等于来负的三派是谁呢？负的三负的跟五分正的还是负的？ 这个是 cosine 值，这个是 cosine 值，跟前面符号有关系吗？没有关系，所以说 cosine 是 多少负的？ cosine 跟五分之二是不一样的，这个符号是照抄下来的， 对吧？答案是它吗？对不对？对，所以它答案是五分之负的二倍的杠五。完了， 辅之角公式的应用，自己可以去做一下二零二二年浙江卷的考题，然后大同小异由这个变形过来的， 对吧？这只是辅助角的冰山一角的考法。辅助角考法可不仅是这种考法，还有其他的各种变形。胡老师把它全部放在了我们三角函数考前高频训练当中， 然后有包含了辅助角的专门突破。所以呢，大家不仅要突破辅助角，把每一个考点我们都要去突破一下，帮大家考试，对吧？拿高分行不行？你们可以留一下啊。 那么胡老师把对应的题型全给大家配套好了，大家跟着我们的课程把每一个题型一个一个从一级别练到九级级别，把它练透好不好？好，来下课。

斜修做题就是快，所以这节课胡老师带大家讲透我们辅助角公式里面的门门道道。 首先你得知道什么是辅助角，然后呢，他怎么去用，以及他在题目中怎么考你，咱这一节课全部讲透，以后辅助角不出错好不好？好，首先我们来说第一个，哎，辅助角公式是什么是什么的问题。嗯？ 什么情况下用辅助角？你看啊， y 等于 a 倍的三 x 加上 b 倍的 cosine， x， ab 是 系数， x 是 同一个角度，就是它的三和 cosine 一 加一减，前面填个系数都无所谓是吧？只要长这个样子，哎，我们就可以通过辅助角把它变成 这个样子，这是目的地，你得想办法变成这个样子。我接下来给你讲的就是从这怎么到这的问题，明白没有？明白来跟上节奏啊，很简单， 首先你看啊，我要做一个变化， a 在 这不变，我给他除个根号下， a 方加 b 方， a 方加 b 方是谁呢？系数平方，然后呢，三 x 不 变， 再加上 b 也不变，我也给你除一个， a 方加 b 方。我为什么要做这一步操作？你不要着急啊，靠，三 x， 咱们做完之后，原式发生变，改变了没有？ 改变了，改变了，你莫名其妙给人除了个那东西吗？所以你前面要干嘛？你要乘一个是吧？我给他乘个 a 方加 b 方，原式不变，长这样。比如说，胡老师，你在干啥？把一个简单的搞这么复杂 来，只有一个目的，你可以观察这两个东西。哎呦，这写不下嘞，这两个东西有啥关系啊？ 平方和为一对发现没有？发现平方和为一谁跟谁的？平方和为一同角的三角加烤三角等于一 是吧？是不是我就可以把这个理解为某一个角的三值，这个理解为某一个角的 cos 值，或者把你理解成 cos， 把你理解成三都可以。是的，因为平方和为一吗？而且你没发现这个数字永远在 绝对值，永远在比一小吗？为啥嘞？假如说 a 是 一个正值，那 a 的 平方加个 b 开出来肯定比 a 大 吧？ 底下大，上面小，他肯定是个分是吧？那你的绝对值是不是肯定在比一小呀？能理解不？那你想，我们所学的一个角度的三值，他不就大于负一小于一吗？他的绝对值就是小于一的呀。所以我完全可以把它看成某一个角的三或者靠三， 就这样能理解这意思了吧。那怎么看呢？技巧是，你是三，我们就把它看成某一个角的靠三， 你是靠塞，就把它看成某一个角的塞。有的时候这两个能不能交换位置呢？可以，我为啥这样写？因为塞考考塞，朗朗上口 是吧？你看，我完全可以理解为某一个角的值，没有问题吧？没有哎，这就是我凑了半天的目的。然后我们给他抄下来，根号下 a 方加 b 方 a， 这不就变成塞考考塞先塞谁先写谁 没问题吧。中间是加号，是加号，这个角度是否否？然后有的老师可能会告诉你们说，哎呀，这个贪婪的否呀，等于 bba， bba， 咱有同学在那死记硬背，其实没必要。为什么呢？因为贪婪的否就是三除以考三嘛。 你俩一除除完之后不就是 bba 吗？是不是你不用背它，你只要知道考三是他，三是他就可以了，要谁有谁， 热摊子的也有吗？一除就完了是不是？好，这事你知道了？第二个，我们来说，哎，这个东西怎么用的问题， 怎么用？讲完之后讲怎么考的问题来，先讲基础应用，比如说第一个例子来喽，盯准啊，为等于三 x 加上一个 cos， 你 跟我说怎么处理它？ 只要看到同角对应的三考三，这是不同一个角，看 ab 是 不是都是一了， ab 是 不是都是一了？给你俩系数，一个是 a， 一个是 b， 是 不给 ab 同时除以你俩系数的平方和开个根是不？所以给他们同除几啊，自己说同除几， 嗯，等于我教你一比上根二根二，这是不叫三 x， 这是一，你以后熟了你就很快就能写出来了啊。靠，三 x 前面乘个谁，前面乘一个根二， 然后等于根二不变，这可以写成三，谁加号 是不是？然后把它看成谁？某一个角的 cosine 值把它看成某一个角的 cosine 值。腮烤烤腮，好凑吗？来，那你跟我说这个角是谁呢？ 先三谁先写谁，费是多少知道不？如果费知道是谁就给他写到这，如果费不知道是谁，你就写个费，这个费知道是谁不？你就盯着他看。考三值是二，二分之根二考三，谁呢？三是谁呢？等于二分之根二，盯着其中一个看就可以了，谁 四十五度吧，所以这里应该写的是四分之派，完了你不就把这个写成这种结构了吗？是的，不是第一个搞定了啊，来，开始第二个，我们再来一个，比如说 y 等于多少？ 三 x 加上根三倍的 cos， 你 告诉我系数一根三除以谁 除二是不是？除二知道平方和开根吗？一除以二等于三 x 加上根三除以二靠三 x。 你 现在跟我初学，你还除二呢，你后面你根本都不需要，中间这一步你就一步到位了，你这个能力就要练到这个位置上了啊。二等于来继续把它写成三，谁加号先塞谁先写谁。三 x 写他。 这是不是就是某一个角的靠三值啦？对，哎呀，这是某一个角的三值啦。对，哎，哪个角度的靠三值是他呢？盯着他看。靠三值是他，三值一定是他盯着一个角盯着一个去看。多少度？一般是零到九十度之间的啊。 几分制派？三分制派？三分制派。我给他写一个三分制派。会了不会，会了，那考试时候还怎么考你呢？别着急，我还没讲完啊，我们把常见这些给大家讲完，然后我再给你总结，然后我们再讲题目中 怎么去考你一下，你对这块就通透了。我再给大家举一个例子，第三个， 第三个，比如说 y 等于三倍的 cos， 然后减去根，三倍的三 x， 告诉我除以谁，自己写一个 a 等于三，一个等于根三， 给这个式子同除以谁，系数同除以谁。你俩一平方是不是开根啊？十二根号下九加三是多少？ 根号十二等于根号下十二，同除以它是吧？是的，根号十二是多少呢？二根三，二倍根三吗？是不是同除以它？对，嗯，三除以它剩多少了？ 二分之根三考三 x 吧。二分之根三是吧？ 是不是？是，你没发现这样写还挺麻烦的吗？是的，哎，所以这就是为什么要讲这道题的原因了。不要老想着算嘛， 后面出现你俩的系数有公因式，能不能提出去嘛？跟系数没关系吧，把这公因系数给他提出去嘛。有谁 根三提出一个根三来，剩根三靠三 x 减去一个三 x 处理，后面就行了。根三做超就行了吗？对不对？来除谁？现在自己打 除以二吧，看这一根三看到没有？所以呢，给根三除个二，靠三 x 减去给一除个二，长这样，每晚我没有干嘛乘个二对 来开始他变成二跟三。哎呀，一定，我们一般化成三是谁啊？有时候化成考三是谁行不行呢？也可以来细节，这是考三，这个角就是某一个 塞，对灵活一点吗？对，这是烤塞，这就是塞。哎，这是烤塞，一塞灵活一点吗？是吧？中间是减号吗？刚刚说先塞谁先写谁，这个位置写的是谁？ y， 这个写的是 x， 因为你展开先塞他嘛，再考他嘛。是先塞谁先写谁啊，是的，对吧？来这个 y 知道，不知道的话就把它角度填进去，不知道就不写了。这个角度是谁呀？塞多少？是二分之根三，零到九十度之间，六十度，三分之派。完了， 会了，不会了。所以通过这几个小的例子，我要给大家总结什么问题呢？辅之角公式一般在考你的时候怎么考你？首先第一个观察系数之比是多少？ 观察这里的系数之比是一比一，系数之比是一比一，这个角度往往跟四分之派有关，是不是？这不四分之派吗？ 发现没有？没有。然后我明天这里考二和二，三和三，你会不会是把二和二，三和三提出去，全都是一比一对 一比一跟四分之差有关，没问题吧？没有，来这里，系数之比是一比几，一比跟三，或者来下一个题，系数之比是跟三比一，那么这个角度跟多少度有关？看题。要么是 三分快对三分快吗？跟三十度或者跟六十度有关，后面你人家题还怎么可以考你啊？给这前面挂个系数来听啊。给你挂个四分之一，给你挂个四分之跟三。 一比跟三是吧？还是一比跟三呀？把四分之一是不是可以提出去啊？这个角度最后下来一定跟三十度或者跟六十度有关，能理解不？哎，还有四十五度就常见这些角度吗？那还有一些就是不是特殊角度， 如果不是特殊角度，那这个角是谁？你不知道你就写成否，你知道他的考三 and f， 三 and f 就 够了，你就给他写成否就可以了，他不影响你做题。明白不？明白？来，我们看一个。第三个，在高大考中怎么考过辅助角的应用？求罪。这问题 来我们看一下。这道题目是曾经高考考过的一道题目，二零二二年浙江卷又模仿他考了一道类似的题目，这个会那个题目你就会来看题。 首先题目研究的是它取最值，所有的三角函数问题取最值，我们最好把这个函数能画成 a 倍的三欧米加 x 加 b 这种形式如果不能够画就是变态的，我们先看他能不能画，好不好看，能不能画 是完全就是我辅助角的适用前提，两个角度的靠三值。三值是不是做加减呢？跟细处没有关系，这就是我辅助角的适用，典型的要处理的问题吗？是不是所以看到他通过辅助角先画成这种形式，对还是不对？对来开始除，谁 等于根号五一二平方和开根，所以给一除以根号下五，这应该是三 x 给二除以根号下五，这是 cos。 哎呀，大事不妙呀。 刚才讲的哈，除了那个角度，好像你发现你都知道这个角度是不好，不知道是谁啊？是啊，不要忘了啊，外面给他乘一个根号五来开始根号五三 x 减，谁 把它看成某一个角的 cosine 值？把它看成某一个角的 cosine 值，不知道是谁写个反背行吗？行，这就是我们的第一步，画件就完毕了。先把画件画完毕来开始第二步做题。题目说他取最大值， 他的最大值是不是？当这一大坨等于一的时候取最大值五吗？根五吗？是不是？是的，那你什么时候取一呢？来告诉我。取最大值十对吧。让你求他，他什么时候取最大值啊？是不？当 x 减 f 等于二分之派加二 k 派， k 是 z。 对， 我能不能把取最大值的时候 x 给它解出来，不就研究取最大值吗？可以啊，那 x 是 谁呢？ x 就是 f 加上二分之派加二 k 派好了。 哎，当 x 等于它的时候，它是不是整个取最大值了？对，但是题目说 x 等于 c 它的时候它取最大值说明什么？说明这就是 c 它吗？对不？ x 等于它的时候取最大值吗？ 是的，题目是等于 c 它的时候，那是不是 c 它就是它了？对， c 它解出来了呗，这不就完事了吗？所以这题目让你求啥？让你求考三 and c 它，我们开始进入到第三步，画个圈圈考三 and c， 它往进带喽，它是不是等于考三多少？ 范加二分之派加二派派，这不周期吗？踢掉了等于继续用诱导公式把二分之派踢出去，变成再派三派。 二分之派踢出去，看的是原来角度对应的原三角函数正负，负的还是正的？负的等于来负的三倍是谁呢？负的三倍是负的跟五分之二，正的还是负的，正的还是负的？嗯， 负的正的还是负的。这个是 cos 值，这个是 cos 值，跟前面符号有关系吗？没有，没有关系啊， 所以说三与 f 是 多少负的？三与 f 跟五分之二是不一样的，这个负二是照抄下来的，对吧？答案是它吗？对不对？对，所以它答案是五分之负的二倍的杠五。完了， 负直角公式的应用自己可以去做一下二零二二年浙江卷的考题，然后大同小异，由这个变形过来的， 对吧？这只是辅助角的冰山一角的考法。辅助角考法可不仅仅是这种考法，还有其他的各种变形。 胡老师把它全部放在了我们三角函数考前高频训练当中，然后有包含了辅助角的专门突破。所以呢，大家不仅要突破辅助角，把每一个考点我们都要去突破一下，帮大家考试，对吧？拿高分行不行？你们可以留一下啊，三角函数， 那么胡老师把对应的题型全给大家配套好了，大家跟着我们的课程把每一个题型一个一个从一级别练到九级级别，把它练透好不好？好，来下课。

来答疑一下，借着题呢，我也给你讲一下最小正周期的原理。还是那句话啊，方法都是万能的，你呢，基础不好你就学会怎么做拿分，你基础好呢，就要学会怎么样更快的解析。 看第一个啊，首先还是啊，降密扩角。降密扩角 现在是不是四分之一 x， 怎么扩角？四分之一 x 直接乘以乘以二变成二分之一 x， 最小正周期是二派除以 x 前面的数，所以是二派除以二分之一最小正周期四派减完啊，哎，你说这个不就是 二倍角公式吗？没有错，降密扩角就是二倍角公式的一个总结。但是啊，如果你说我每次都用二倍角，如果把这改成什么？改成二分之三倍的 cos， 方四分之一 x 减五，你再用二倍角公式算，太难算了， 懂不懂？这就是为了让你简化，就是降密扩角。你再看第二题啊，第二题就更能把这句话运用的淋淋尽致。 散乘以散，你说这里边这个角不一样呀，但是啊，就是这种题啊，它只可能说是什么，把一个散变成 cos， 其实就是散乘以 cos， 但是你根本不用管啊，如果你正常来做，你是需要给他变成同样的角的，就散多少 cos 多少，然后再用二倍角公式。但是当你知道了降密扩角之后，你根本不用散，乘以散就是多少， 是不二次呀，二次方，我这个角还是 x， 怎么办？降密扩角 x 变成什么？变成二 x， 然后二派除以二派，听懂没有？这就是这种做法的便捷性。 那你看第三个啊，第三个是什么？二次方减二次方还是多少？二次方一次减一次加，减一次还是一次？一次乘一次？二次？ 既然是二次方了啊，怎么办呢？降密扩角这儿，原来这个角是四 x， 怎么着？扩角变成八 x， 然后二派除以八四分之派，就这么着做，就很快 降密扩角，原来这个角，原来这个角是二 x， 就 扩成什么四 x， 原来是三 x， 就 扩成六 x。 扩角的意思就是变成原来的两倍，两倍啊，降密扩角是把原来的二次方降成一次， 这叫降密。什么叫扩角呀？把原来的角扩大成二倍， 再然后第四题，第四题怎么办啊？这是有人问我的，你会发现啊，他这个，这个是 x， 这个是二 x， 这个是三 x， 对 不对？ 跟前面咱说的啊，这都不一样，是吧？前面你无论这个是什么，这个 x 啊，看，这是 x， 这是四 x， 这是四 x， 它都一样，那这个不一样怎么办？那我问问你啊，什么叫最小正周期？最小正周期是怎么来的？举例子， y 等于三 x， 我 用这个来举例啊，它的图像长什么样？是不长这样啊？什么叫最小正周期呢？你就可以给它理解成两个字，叫做循环，就是多少亿循环。那你想啊，我走到这，我再往下走，是不是就长的一样了？ 从这走到这，这叫多久？这叫二派，也就是说二派怎么着？易循环。那 cosine x 是 不是也是这样啊？这叫做二派易循环。你看着啊，我先写出来， 他的最小正周期是二派，因为是二派除以一，他的最小正周期呢？是派，他的最小正周期呢？二派除以三，二派除以 x 前面的数。他问你啊，这三个东西合一块循环是多少？ 再举例子，你呢？在操场跑步，你每跑两圈啊，你就歇一会。你比如说你跑两圈你能歇一会，跑四圈你也能歇一会，你跑五圈能歇吗？哎，就不能歇，就是说什么你两圈算是一个任务，你完成这任务就能歇一会，那我呢，跑三圈是一个任务， 就是我跑三圈能歇，跑六圈能歇，跑五圈能歇吗？不能歇。现在我说啊，咱俩这个跑圈啊，必须得跑的一样，你比如说咱俩一人跑一百圈，跑二百圈，是吧？那累死了就。我现在就问你啊，咱俩跑多少圈，咱俩都能歇着呀，那你就想得跑几圈？跑六圈。 哎，为什么呀？你是不是完成了三回，那我呢，完成了几回？两回，这个就叫做什么？原来你的最小正周期就是你的一个循环是两圈，而我的一个循环是三圈，那咱俩合一块，循环，变成几圈， 变成六圈。你说的没错，得用什么法？乘法就跟这个一样。那你看这玩意啊，他原来一循环啊，你可能用派啊，你用派？你你，你不太那个清楚。 那我再给你举个例子啊，我现在啊，你跑两圈是一循环，我跑四圈是一循环了，那咱俩跑几圈都能歇着了？跑四圈，为什么？这时候？你想想，你跑两圈时候变成我了，其实这个东西就叫做最小公倍数。 那你看啊，我给你带派，是吧？你可能不太那个，那个能反应过来，那你就想咱都给他转换成度数就更方便。三百六十度，这个东西是三百六十度啊，这个东西呢是一百八十度，这东西呢 三分之二派。一百二十度。那你就想啊，这仨的最小公倍数是多少？哎，你说对了，三百六十度。老师，为什么呀？他乘以三变成三百六，他乘以二变成三百六。所以啊，这一大串 他的最小正则题最后还是谁？还是二派，这就叫做最小公倍数思想， 能理解吗？其实啊，其实这个，这个，这就是为什么第三题我能把这个二次方直接省掉。为什么？这就是一次加一次是一次，呃，二次加二次，加减二次，他还是二次，就是这个原因。 再然后啊，你看第五个，第五个他说这个，这个，这，这是不是变成四次方了？因为有同学问，哎，是不是这个四次方， n 次方也能这么着用？咱研究啊，首先四次减四次就加，减四次还是还是几次还是四次？ 对，你先有这个思想啊，然后你说我降密阔角都是几次？都是二次？ 都是二次，因为他的本质就是二倍角公式，你的二倍角公式都是二次的呀，不可能出现四次的。那这个怎么办啊？ 研究最小正周期是什么东西？现在啊，还是第一步啊。第一步你要告你要知道这是个四次的这个玩意。 那你就想啊，什么叫最小正周期？三 x 的 图像长这样，后边我不画了啊。那如果是三方 x， 它的图像会长成什么样？就它的趋势会成，会成什么样？ 很简单，平方还有负的吗？没有了，所以底下这个东西就干嘛，其实它的图像就会变成这样， 懂了吗？所以它的周期会变成原来的什么？会变成原来的一半？原来这个三 x 周期是多少？是不是二派？那最新的这呢？就变成派了。那你想想啊， 咱当时我怎么教你的？我说啊，降密阔角直接就相当于用二派除以二是派，你看是不是一个东西？其实就是图像。 那你说啊，如果它变成三四 x， 是 不是它还是什么？正的还是正的，负的还是负的？所以啊，你记着啊，它的周期三。呃，四 x 的 四次方和三 x 的 平方是一样，所以它的最小正周期啊，还是什么？还是 pi， 这是通过图像来决定的。 你把这些学会啊，应该说能够解决你所有的这个最小承周期的问题。

拿下三角函数，你必须得会的技巧叫凑角，做题速度不但快，而且正确率还高。 那么这节课我们就把题型三凑角里面的门门道道给大家讲透彻，以后考试这个直接拿满分行不行？行，好，我们来先来看凑角问题长啥样？ 那很多同学其实拿到这种题型长啥样？那很多同学其实拿到这种题型长，是不是光会展？ 除了会展之外，我们得用点思维去做题，他就快嘛，计算他就少嘛，对不对？对，来，你看啊， 什么是凑脚？首先你得有第一个就是意识。什么意识呢？只要题目给了一个角的某一个三角函数值，这个角就是一只角。来，这个意识记得写到本子上啊。 我问你，这个角是不就是一只角？是的，只要给了这个角度的随便一个三角函数值，这个角就得当一只角对待。 明白不？明白？为什么？因为他的考散值，他的贪婪的值全能算出来，你三十度，六十度，为什么为一只角呀？那不就是因为他三考散贪婪的，知道吗？知道对不对？他是不是可以三十、六十九十度平起平坐？ 他是不是可以和这些角度平起平坐了？是的吧。哎，对了，那是不是这个角也叫做已知角？所以本题有两个已知角，打包看整体啊，一个是你，一个是你，然后我们要求的这个角度叫做未知角。那凑角的核心就是用已知凑未知吗？就这么简单。 来，第一步，你跟我说这道题尔法加四分之派，怎么拿已知角给他凑出来？ 一般就是两一加，两一减吗？来，两一加还是两一减？两一减？而法加上贝塔这是一个整体哦打包看整体哦。减去贝塔减去四分之派用已知表示未知就欧了。 先给它凑完第二步这不就简单了吗。提上咱求啥呀求 cosine。 我 写一下啊。求的是 cosine 阿尔法加四分之派给左边添个烤三给右边同时添个烤三但是你这里注意细节啊你可千万不要把它打开了啊。人家这个是整体这个是整体别再给他展开回回去了明白了吗？明白好嘞然后接下来你不就会了吗 两个东西一剪哎呀所有人都会叫什么烤烤烤塞塞是吧上弓是吧烤塞我写下啊注意易错点烤烤这里是塞塞。加号 减面加吗？是不是。是的哎加号三耳法加贝塔这里应该是三贝塔减去四分之派来把已知的结果全给它往进带哪个知道这个这个是负的五分之三 这个是十三分之十二这俩一乘是吧。来继续加号的前面啊。这个是多少 你别在那跟我墨迹半天啊。看这两关系。什么关系同角吗？对，同一个角的三也和考三加起来平方和为一你可以拿平方和为一去算但是有点麻烦喽你看五分之三和谁是一组数据啊 和谁是平方和为一这都要脱脑而出的正负五分之四平方和一定是一 常见数据要倒背如流的啊。来你看看这两个是不是也是同角啊。是的平方和为一。哎呀十三分之十二和谁啊正负正负十三分之五平方和为一吗对不对。对哎接下来主要干嘛 第三步要干啥确定什么正负的问题这很重要。咋确定啊，跟谁有关呀？ 是不跟你俩加起来所在的象限有关？是的，而法已知范围。我写喽，认真看啊， 尔法大于四分之三派小于派，贝塔大于四分之三派小于派，你把他俩加起来不就欧了。 同向可以加吧。可以哎，不懂事的性质。同向是可以加的，尔法加贝塔大于你俩一加二分之三派小于二派。哎呦，这在第几项线呀？ 第四项线，这个是在第四项线哎。第四项线的考三值，正的还是负的？正的 正的正的正的还是负的？正的正的正的。哎，符号就没了。确定下来了是不该下一个了？背它减四分之派来是不？再搞一波背它有了没？没有背它减一个四分之派大于 四分之二拍就是二分之拍，小于四分之三拍。哎呦，这在哪呢？这个确定出来在哪？第二项线，第二项线对应的 cos 值正的还是负的？负的。负的。把正号抹掉 对吧。会算答案了，不会来告诉我答案是多少。底下负的六十五分之二，六十五分之负二十，负的五十六，这不就答案了吗？ 是吧。是的，所以这道题其实比较简单。简单的地方在哪里？在于第一步凑脚，没有为难你。简单呀， 但是不是所有的题目人家给你一个条件，吭哧，你俩一加俩一减往出一凑就能出来的很多，你发现哦，靠，题目条件已经不够用了。那怎么办？我们等下会讲，不要着急哈。然后接下来这道题目就是他比较简单的地方在于确定范围， 没有为难你，你很快能确定出来，但有的题目你发现你的范围确确定出来是模棱两可的，就是你确定那个范围，咦，他可正可负，那应该怎么办呢？这都是我们接下来给大家讲的问题，接下来我们再来看凑脚的第二种考法。一样的嘛，你看这道题目中已知角是哪个角度？ 有几个已知角？是不？刚刚说过了，给这个角的三角函数值，他就是已知角，那这个是未知角， 当你有了凑脚的思维，你就不会想着光想着把它塞烤烤塞展开了，哎，你就会想把这个位置角是不是用一只脚给他凑出来来，能凑出来不？你告诉胡老师，能不能 就一个呀？这一个咋凑他呢？是不是压根就不够呀？是的，所以那咋办呢？除了他是一只脚，咱们心里是不是还有三六九四十五也叫一只脚？ 所以呢，凑脚的核心就是，我可以用已知角加减一个你心里的特殊角，我把这个未知角给它凑出来也可以， 是吧？是的。哎呀，关键问题，就这道题中这个特殊角是谁呢？你是想半天呀，想吗？你告诉我是谁呢？ 嗯，胡老师，我想不来，就不是让你想的，是让你算的。既然不知道这个特殊角是谁，我告诉你个技巧， 咱们可以通过一项，只要把已知角和未知角一加一减，能出来一个特殊角就可以了，然后再把这个未知角用你俩一表示结束， 反其道而行，就我算，我算出来你这个特殊角是谁，我就往这一带，你俩一加一减就是他了。但是我现在不知道是谁，我就这不是可以遗像吗？是不是现成的？这两个一加一减，只要能够出来特殊角，这不就找到特殊角了吗？ 能理解这意思了吧。来，我带你们操作一下第一步。有的宝贝可能都已经蒙了。没蒙吧。来，你看现有的角度是谁？我先写下来啊，叫做 六分之派减而法。一只角和他是不是一加一减啊？我再把这个写下来，这是三分之二派加二而法。哎呀，他俩一加一减能出来特殊角吗？不行 不行，为啥？因为阿尔法消不掉对是吧，那你把阿尔法消掉不就完了吗。这个角是一致的，他的二倍能求出来不？可以，二倍角也是一只角，一半也是都是，都是连带的。所以这事不简单吗？我给他乘个二，二倍角也是一只角。 是的，不是的。来，接下来是加还是减呢？能跟上不？两个一加等于谁啊？哎呀，等于派，二耳法，这是整体啊。二耳法二耳法没了。三分之派加三分之二派是派，这不就特殊角度吗？ 我们要干嘛？我们要表示的是踏实子是不是。是的，来，开始了啊。所以说盯准啊。 三分之二 pi 加阿尔法未知角，用两个东西去表示，是不是拿你两个去表示就可以了。 pi 减去二倍的，六分之 pi 减而法搞定， 这是不叫已知角。是的，这是不叫特殊角。是的，不就把它表示出来了吗。对，所以这个特殊角不是想出来的，是算出来的。发现没有发现，哎。第一步搞定之后后面第二步就简单了。提让我求啥？求 cos 两边同时给他加 cos。 哎。这个你写个小括号就可以了啊。我写个大的了。写大的就写大的吧。 cosine 减去二倍的来六分之派减一个 r 法展开吗？考考塞塞，展开是还是不是？是是个毛线是什么？又是 这个东西是什么？诱导公式，嗯？诱导公式吗？是吧？派钱是整数，可以给他踢出去，是不用诱导公式。名称变还是不变？名称不变，靠三，这应该是 二倍的六分之派减个 r 法是不是长这个样子？我再带个括号吧，这样你看起来更加清楚一点 是吧，外面是正还是负的？负的正还是负的？负的。哎呀，看的是原来角度派剪一个东西剪哪去了？第二项剪对应的考餐值，负的负的，欧了 是吧，能看懂吗？等于，你可千万不要把这个二给人乘进去啊，你乘进去你就看不来他和这个角度是二倍的关系了，你就把二写到外面看的很清楚吗？对不对？来吧，你看二倍的这个角度， 然后题目给的是这个角度，啥关系啊？二倍角公式吗？二倍角公式一共有三个，还记得不记得有哪一个 考三二二法等于写一下，考方减去三方，第二个二倍的考方减一，第三个一减二倍的三方，二倍的一倍角的三一只， 你二倍的，这不一倍吗？一倍角的三一只用第几个？一二三是不是第三个？是不是只要你两个是二倍关系就可以了吗？是不是来开始带一下啊？哦，符号不变， 一减去二倍的三，六分之派减去，而法这六个平方 是不可以出结果了，出一下吧，等于负的一减去二乘以九分之一，所以答案是负的九分之七。完了，这是我今天给大家讲的法一凑脚 没问题吧？没有，从上一道题目到这道题目，两种凑法不太一样，上一个，哎，直接一凑，这道题目直接凑不够用了，这个特殊角应该怎么去找？这就是所有这种类型题目的思路。会了啊会了，但是这道题我还想给你升级一下。 就是像这种哎呀，需要借助特殊角去做的题目啊，或者题目很明显啊，他只有一个条件，只有一个，让你求其他的啊。我们还有一种做法，就是我想把它看成整体。嗯，这叫什么思路？ 再给你讲个法二非常好换元。我们来讲一下法二把这种类型问题给大家升级一下，像刚才的立一拿换元做不太好做。为什么？因为条件里面有尔法和贝塔两个角度。如果凑脚的问题，就像这个只有一个尔法， 只有一个尔法，我们往往可以采用换元的方法。我来写下来，法二叫做换元 会员就是整体思路呗。把那个打包看整体来。我如果令 t 等于六分之派减去 r 法是吧？是的，把这个打包看成整体的思想吗？那这不就是三 t 吗？ 没问题吧？没有，然后提不上你求靠，三左，既然引进了新元，我就把所有的东西全给他换成 t t 吗？把这个而法是不是也得给他换成 t 啊？对，那你不得反解一下吗？来把而法反解一下吧。而法等于谁？而法等于 六分之派，减一个 t 该没问题吧？没有，所以说带入了开始，别着急啊。靠三，我先写下来三二，我再写个大括号了。好，大括号就大括号吧。来，我写一下啊，靠 三，三分之二派加上二倍的把耳把是不是换一下？对，六分之派减一个 t， 长这样黑板太滑了，能跟上吗？可以 啊，这是多少写一下啊。考三，这应该是派减去一个二 t 吗？二 t 是 不是搞进去跟刚才一样，诱导公式踢出去名称不变吧。考三，二 t 外面是正的还是负的？外面是负的， 然后这给的是什么 t？ 三 t， 这是二 t， 是 不是二倍角公式跟刚才一模一样的啊？我写到这来等于负的多少？一减去二倍的三 t 的 平方带进来 一减去九分之二，所以答案是负的九分之七。 按道理来说，换元一定要确定什么新元？确定新元的范围，那这道题新元的范围 怎么确定呢？或者说新元的范围对于我做题影响大吗？如果不影响的话，我确不确定其实都无所谓了，是吧？是的，你算题，你看新元的范围对我没有影响吗？你可以看一看， 好，有影响就确定，没有影响我就不用确定了吗？确定的目的就是因为他对我做题有影响吗？是吧，看一下有影响吗？没有，这就是我们今天给大家讲的凑脚问题，然后第一个正常凑，第二个不够了，借助特收角，第三个换圆。 但是呢，凑脚的方技巧和方法远不止这些，他还有更多高级版的考法，你只有把基础版、高级版所有的考法全部掌握透彻，那么以后做这种题型才不会出错。 所以这些基础和高级版的方法全部在我们给大家配套的三角函数二十三大题型当中，都是期末必考的， 我老师全都给大家梳理出来了，而且你配套的同类型题目的变式训练，然后你可以留一下二十三大题型，然后我给你安排拿走打印，尽快训练起来。跟着老胡的课程，我们期末考试冲刺满分好不好？好好下课。

今天给大家讲解一个三角函数里面超级重要的公式，辅助角公式，它能把两个相加的式子变成一个正弦型函数，我们来看一看是怎么用的。首先啊，对这个式子提取根号下 a 方加 b 方， 这个时候它会变成 a 笔根号下 a 方加 b 方乘以三 x 加上 b 笔根号下 a 方加 b 方乘以 q 三 x， 这个时候我们来看这俩东西是什么？ 你有没有想到三角函数的定义，你看这里啊，我画一个坐标轴，有一个角的中边呢，假设落在这条线上，我们随便取一个点，坐标是 a b， 这个时候我们就会知道它的三引假设为否吧。三引否就等于 b 笔根号下 a 方加 b 方，而 q 三引否呢？就是 a 笔根号下 a 方加 b 方， 这个时候你看这是啥玩意啊？这是不是 q 三引否？那这个呢？它是三引否？ 哦，那我明白了，你看啊，三 x 扣三 inf 加上扣三 x 三 inf， 于是 f x， 我 直接写过来啊，等于根号下 a 方加 b 方乘以三 x 加上 f。 哎，正弦型函数来了，好玩吧？这个时候我们来看这个 f 有 什么特点，这个是三 in， 这个是 q 三 in， 它俩一相处是贪整，它明白了，那贪整的 f 就 等于 a 分 之 b， 所以 看到两个相加的，可以提取根号下 a 方加 b 方，得到这样一个式子。 好，明白了这个道理以后，再给你们看几个特别常见的辅助角公式的用法。第一个，你比如说 f x 等于 a 倍的三 x 加上 a 倍的 q 三 x， 这个如何使用？ 你会发现这两个其实系数是一样的，都是 a 对 不对？那他要提取多少？提取根号下 a 方加 b 方， 其实根号加 a 方加 b 方是什么？我们思考一下，一个是 a， 一个是 b， 那 根号加 a 方加 b 方，哦，相当于斜边，所以辅助角公式又叫什么？提斜边公式， 那当你想明白这个问题了以后，你看这个是 a， 这个是 a， 那 你说一个直角三角形，你是 a， 你 是 a， 这是不是根二 a 啊？直接提取根二 a， 然后呢？变成三 x， 加上一个 f， 关键这个 f 是 多少？也很简单， 我们知道贪婪的 f 等于它比它，哎，那不就是一吗？哦，贪婪的四十五度是一啊，所以这个 f 啊，直接就是四分之派，只要这两个系数一样的，得到的角就是四分之派。提取根二 a， 再换一个，你比如说 f x 等于 a 倍的三 x， 加上根三 a 倍的扣三 x， 那这个，那变完以后是多少呢？来思考的要快一点啊。提取根号下它方加它方，一个是 a， 一个是根三 a， 那 开出来是二，那提取个二 a， 那 还剩下三 x 加上一个 f， 这个 f 是 多少呢？来看着根三 a 比上 a 是 根三啊， 判断的三分之派是根三，哎，直接出来了，快不快？那明白了这一个，再看这个 f x 等于根三 a 倍的三 x 加上 a 倍的 q， 三 x， 这个提取的也是二 a， 这没问题，是吧？关键是看角度来， x 加多少，它比上它是根三分之一，哎呀，其实它那个六分之派，哎，直接就出来了。同学们，这样，你学会辅助角公式了吗？

老师老师，三角函数图像我不会，咋办呀？好，今天老师一条视频带你搞定三角函数图像。首先我们来看一道例题啊， f x 等于二倍的三幺二 x 加三分之 pi 像，这种题型在高考当中的考频也是非常的高的，比如说我们来看他问什么递增递减区间，或者是在某段定义域上的值域， 那么这种问题我们应该怎么处理呢？我们先来学习一下基础知识。首先通常三角函数的图像完整形态是这个样子的， a 叫做正负， 我们三角函数的图像，它的本质上是一种波，波呢就有震动，震动呢就有震动的幅度，所以说 a， 它是正负，它管的是最大值和最小值。 怎么管的呢？最大值就是 a， 最小值就是负 a。 偶一个，我们把它叫做频率，在物理里边它有的时候叫做角速度，但是我们数学它就叫频率，它是怎么管的呢？它管的是函数的周期， 周期，它怎么管的周期呢？周期等于二 pi 比上我们这个 pi， 它的名字叫做出象，它管的是函数的起始位置。 斜修来了这个 pi， 实际上它决定了一个函数的起振点， 即开始震动的点，用它就可以迅速的， 迅速的把一个三角函数的图像画出来。那么最后一个函数 b b 是 管什么的呢？是管这个函数图像上下平移的， 它一般情况下不会出现，所以你看这四个参数，它就各司其职，共同组成了一个变化之后的三角函数图像。那当然了，这个是原始的三角函数图像，考试的时候基本上不会出， 所以你看这些东西你掌握了之后，我就能迅速的把一个三角函数的图像，比如说这道题迅速的画出来，那么你想想画出来之后递增递减值率，我们是不是就都搞定了？包括 一个函数的对数轴变化了，平移伸缩变化之后的对数轴，对数中心，我就都可以搞定。我们正式的来做一下这道题。首先我们来分析这几个参数，最大值是二， 此时 omega 等二，那么它的周期就是 omega 分 之二派，二分之二派，也就是派起正点，负派比 omega 负的三分之派除以二，那么也就是负六分之派。 好看老师如何的利用斜修找起阵点画图像。首先起阵点是模拟三角函数开始震动的点，比如说我们的散图像， 我们在学校学的五点法，是不是这样一个点这样一个这样一个这样一个这样一个一共五个点，那么他就是开始震动的点，我们的新起的点就是模拟这个点去进行震动，也就是说他的开始震动的点在这里，也就是负六分之二， 那么我顺次的画出一个周期，一个周期周期是派，那么这是负六分之派，负六分之派加派，那就是六分之五派。然后相加船即是终点六分之四，船六分之二 相加除二即是终点十二分之一，相加除二即是终点十二分之七。所以你看我迅速的两秒钟我就能把一个图像画出来，那么不管他问你增减轴中心还是直域，我就都可以搞定， 那么我们来做一下，首先这是其时位置，这是最高点，那么你想一想，他往回走四分之一个周期，也就是负六分之派减去四分之派是不是他的最低点？那么我们都知道最低点到最高点就是 递增区间，所以它的递增区间我们就可以说它是负十二分之五派到十二分之一派。那当然了，你得加上 k 派，所以它的单调递增区间 就是负十二分之五派加 k 派到十二分之派加 k 派。 那么我们来看，从这最高点到最低点是不是单调递减区间，所以他的递减区间即是十二分之派加派派到十二分之七派加派派。 这是对肾轴。我们都知道对肾轴在一个周期里面有两条，所以对肾轴的变化是每隔半个周期即是一个循环，所以他的对肾轴 即是 x， 等于十二分之一态加上二分之 k 态。有的同学可能要问，为什么这是 k 态，这是二，什么 k 态？实际上它们都是脱胎于周期， 这是一个周期内只有一个单调变增区间，所以说是 k t， 这一个周期内有两条对称轴，所以是 k 二分之 t， 就是这个道理。那么对称中心我们也都知道了，指的是这，这还有这，那么从这开始说这是奇点，刚才我们说了是负六分之派加配派， 好，这是第一个搞定了，我们再来看第二个六分之派到二分之派上的直域，我们来找一找，六分之派在哪里啊？大概在这是六分之二派，六分之派大概在这里， 二分之八大概在哪里啊？十二分之七，十二分之六大概在这里。也就是说从这到这，那么这道题老师出的比较简单， 因为你就把这和这带进去就可以了，最高点和最低点就出来了。那假如说老师给你加大点难度，比如说我现在问六分之派到四分之三派，他的一个值域呢？那四分之三派是多少？ 是不是十二分之九啊？那十二分之九这是多少？十二分之十，十二分之九就是在这里，在这里也就是说它会越过一个最低点，那么这个区间下的 最小值就是负二，最大值就是这个函数值取到的地方，所以它的值率就是负二到 六分之百、三百三分之二、百 八到二分之三。斜修做题就是快，更多干货技巧关注小楠老师！