西城初三几何解析

学透数学找老王，大家好，我就是那个老王。今天我们一起来分享一下二六年初三西城期末的这道几何压轴题。这道题的第二问还真是有点难度，我们来一起看一看怎么用几何三板斧中的主角三角形秒杀第二问。 首先呢，通过精读挖掘一下这道题背后的信息啊。首先人家说了一个角九十度 啊，这两边相等，那就是等腰值，这两个都是四十五度啊。然后他又说了一个 b e 和 b d 相等，哎，这有丰富的边长关系，就标一下。同时呢，又说点， 呃， a 为旋转点 a e 绕着 a 旋转到 am， 而且还是旋转四十五度，所以这又是一个四十五度啊，我们看这里面有四十五度，这个角 b 角 c 可都是四十五度啊，很多丰富的关系，然后又构造一个垂直， 那你这垂直的话，意味着这儿也是四十五度啊。然后人家说 b d 和 b a 相等的时候，这个 b d 和 b a， 哎呦，那也就是说这块也是双横线了， 这时候人家要求 b f， 那 这个我们怎么操作一下呢？其实有同学已经发现了，这个 b a 啊， b e 啊和 b d 相等，这不就是一个直角三角形，斜边中线的感觉吗？但是怎么样去正呢？首先我们看这是四十五， 所以呢，我们 b a 啊， b e， 那 作为一个等腰三角形，然后呢，这两个就是二十二点五， 哎，二十二点五啊。然后你这个大角 e 是 四十五，四十五减二十二点五，哎，第一问就出来了啊，就是二十二点五，很简单，利用的就是三角形 b e a 这个等腰三角形，它的外角四十五度，所以两个底角都是四十五度的一半啊，这样的话就很容易了， 接下来我们重点探索一下第二问。第二问呢，我们已经标好图了啊，因为这里边有非常丰富的等边关系，就是 a、 b、 a、 c 相等，是吧？然后这个 be 和 b、 d 相等， 然后 e、 f 和 fa 相等，我们用蓝色、橘色和黄色分别表示，然后人家让探讨的是 a、 d 和 b、 f， 哎，我们用绿色表示。其实大家很容易发现 a、 d 和 b、 f 的 关系，那肯定就是根二倍的 b、 f 等于 a、 d， 对 吧？这个我们可以先测量一下，因为肯定不是一倍，又没到二倍，那就是根二倍，尤其这里这么多等腰值四十五度，肯定又和根二有关嘛。 那接下来呢，王老师再标一标图啊，很多同学已经发现了这里很多共端点等边，所以如果是共端点等边，大概率就要用到什么旋转三角形啊。我们先标一标啊，边，标完了标一标角，这是四十五度，这呢是四十五度，这块是四十五度，这也是四十五度。 有第一问的关联性，我们还得标一标这些角，比如说这是点，那这就是叉啊，我会发现点加叉四十五度啊，然后这是点，这是四十五度，那外角定里是吧？那这块也是叉， 而差加点等于四十五度呢，那这就又是点了啊，所以我们这里发现了很多点差四十五度的角。那接下来王老师就要给大家讲非常关键的几何三板斧中的第二版，因为我们刚刚已经扎斯标一特把图标透了，第二版就是找主角， 然后第三版就是构造全等，很多同学不知道主角三角形在哪，尤其是面对这么繁琐的一个，呃，三角形图形对吧？这三角形太多了，而主角是谁呢？其实王老师讲过，找主角有一个非常简单的方法，就是你看带球边和工具边丰富的 啊。带球边与工具边丰富的三角形啊，那这里边带球边就是我刚刚绿色画出来的 b f 和 a d， 哎，这个工具边呢，就是可以旋转的那种边呗，共端点等边的呀，比如 a b 啊， a c 啊，是吧，然后 f a， f e 啊，然后这个 b e， b d 啊等等。 所以你既要有带球边，又要工具边，那工具边很多，我们就从什么带球边入手啊，你工具边丰富嘛，我们就从带球边入手去处理就好了 啊，我们看一下这里边啊，带求边啊。因为是搞根二倍的 b f 等于 a d， 所以 我先找小的 b f， 因为有的时候我们旋转之后，手拉手形成等腰直，你自然就有根二倍的 b f 了啊。但是你再把 a d 旋转之后，这个有根二倍的 a d， 那 就等于二倍 b f， 这个就不太好操作了 啊。所以我们尽量还是拿小编作为这个带球边去处理啊。所以以 b f 为主角的我们一眼就看到这个 b e f 是 不是算一个主角？ 为啥？你看这三条边，然后一个橘色，一个绿色，一个呃，黄色，那三边都很特殊，所以它一定可以称之为一个主角三角形。第二个呢，围绕 b f 的， 哎，我们又发现这个 也行，就是 abf。 为啥？因为这里的蓝边 ab 和橘呃，黄边 af， 还有绿边 bf 这三边也很特殊，所以它也可以称之为一个主球 啊。当然呢，围绕 ad 也有，我不太建议啊，如果大家呃非要研究也行，你比如说 adb 或者 adc 都可以 啊，我们建议呢，还是从短的带球边入手好，那接下来我们就从刚刚说的两个主角三角形 b f 和 b a f 两个三角形入手去第三步，构造全等， 注意这里边共端点等边。我们肯定构造要构造什么旋转的全等，比如说 b f， 那 这里边的工具边或者说旋转边是谁呢？其实就是这里的 b e f 和 fa， 为什么呀？因为 e f 和 fa 是 局边呃，黄边，而且呢，还是角， f 还是个直角啊。所以基于这样的操作，我就可以直接把 b f 旋转了 啊，我们直接用同样颜色笔表示一下啊，你看把这个 e f 是 旋转九十度到 e a 啊，这个顺时针，那我也把 b f 顺时针旋转到这块，然后你的 b e 一 连，那我这边再来个橘色就连接它喽。 a， 这个我们把这个旋转角叫做 b 撇啊，方便大家去看啊，所以相当于是 e b f 旋转到了 a b 撇 f 啊，这个时候我们怎么样去证它全等呢？那证明的时候就很简单了啊，我直接比如说垂直，然后截取等长线段， 那他俩就已经相等了。另外呢，因为是直角，这边也是直角啊，所以这个角也等于这个角一个加角结构嘛，再加上黄边等于黄边啊，所以我做的是垂线段还相等，再加上黄边，黄边黑点，黑点那边角边就能正出一个旋转全等， 所以这里边我们就可以得到 e b f 和 ab 撇 f 全等了， 哎，那么旋转之后我们要干嘛？不是说旋转就完事了啊，我们要连接对应点，其实这是一个什么？这是一种手拉手的操作， 就是连接 b b 撇，那手拉手之后呢，就会形成特殊的等腰啊，所以旋转之后要进行手拉手 啊，形成特殊的等腰，那这里边形成的其实就是等腰直角三角形，比如说这个 b b 撇 f 啊，而且我们刚才知道目标就是根号倍的 b f 等于 a d， 所以 接下来这道题，目标是不是就转化成了 正 b b 撇等于 a d 了？因为你根二倍的 b f 其实就是 b b 撇嘛，因为 b b 撇 f 是 一个等腰值啊，所以这时候我们看好目标转化喽，我们的目标变成了正 b b 撇等于 a d， 哎，那这时候怎么样去正 b b 撇等于 a d 呢？还是去干嘛构造直角三角形，哎，我们看旋转之后一定要标九个对应相等的工具啊，旋转出九等，比如说对应边相等啊，这个还是橘色 对吧？哎，然后呢，这里边黄色和黄色也标了啊，这个点你看也等于这个点，所以点加叉四十五度，这个 b a b 撇其实也是一个四十五度，那再加上角 b 这本身四十五度，所以这哎，其实我们发现还出现个小直角， 哎，那这时候我们看围绕 b b 撇和 a d， 哪里有全等啊？哎，这时候就非常容易了，我们就可以构造 b b 撇这块， 哎，看我紫色的这个哎和它， 哎，又来一个全等，我们把中间这个点啊叫做 o 点吧，好吧， 说白了就是 b o b 撇和 a d o， 这应该是一个全等啊，为什么它俩全等呢？其实也不难啊，首先啊，我们已经知道 a、 b o 是 一个等腰直角三角形了，那所以 a o 和 b o 就 相等。 其次呢，因为我们旋转，你的 a、 b 撇和 e b 和 b d 都相等，也就是 a b 撇等于 b d， 再减去那个直角三角形，等腰直的边得到的是不是就是 o d 和 o b 撇了？哎，再加上这都是直角啊，哎，所以边角边就能证明这个紫色的全等啊，再加上这俩直角嘛， 啊，紫色全等之后，就能得到 a d 等于 bb 撇，而 bb 撇又是根二倍的 b f， 就 根二倍的 b f 等于 a d， 这是第一个思路 啊，第一个思路就做出来。所以这里边关键是选什么主角，而主角三角形就是带球边和工具边丰富的三角形，这里边选择的是 e、 b、 f 啊，旋转之后，再借助一个基于目标的全等就做出来了。 好，接下来呢，我们看一下第二个方法啊，其实就是看第二个主角三角形，哎，老师，我不选它，我选这个 a、 b、 f 行不行啊？也可以 注意 a、 b、 f， 我 们在旋转的时候，它有两条工具边，一个是黄色的 f， e 和 fa， 还有一个蓝色的 ab 和 ac 啊，我们先转蓝色的，假如 ab， 这应该是逆时针转九十度到 ac 啊，那我这 a f 也转到这了， 这叫 f 撇，这时候我们会发现有问题。什么问题啊？你的 b f 跑到 c f 撇了， 那你怎么跟二倍的 b f 呢？和 a d 扯关系呢？说白了，你这条边和 a d 它不好扯关系。所以有同学问我，老师，这旋转为什么不行？你说为啥不行？你转完了之后做不出来呀，所以这个就要 pass 掉了 啊，这个就要 pass 掉了，因为你考试的时候不能直观的你没有上帝视角，直接看出应该怎么做最简单，所以你要大胆去尝试，这是王老师在训练过程中一直强调的，我们训练自己的思维耐力啊。那如果说这样旋转不行，我就还围绕 f a f e 旋转， 就把 f a 怎么着，呃，逆时针旋转九十度到 f e， 然后接着我们的 b f， 哎，就跑到这来了， b 撇呗，然后再连接 e b 撇，哎，我们不同颜色的代表一个量哈，这又跑到 b 撇了， 哎，好，这时候一样，你也可以是做垂直再截取等长线段嘛，那自然而然这个点啊，我们叫圈角吧。圈角和圈角是吧？蓝边和蓝边还是什么边角边 对吧？你做辅助线的时候就做垂垂直的等长线段就可以了啊。然后我把这个全等的标一下啊， 哎，这两个三角形啊，非常好的，就全等了， 哎，好，那全等之后我们继续探讨一下啊，看看接下来怎么操作 它俩。全等之后，我们也是手拉手啊，手拉手啊，连接对应点 b b 撇， 又形成一个，等腰直了，对吧？因为旋转就是直角嘛，所以这里边又转化成什么了呢？还是转化成正 b b 撇？因为根二倍的 b f 就是 b b 撇还是怎么样转化成正 b b 撇等于 a d 啊，进行一个转化。那我们看这里边 b b 撇怎么等于 a d 呢？跟思路一是一样的，还得再去围绕 b b 撇和 a d 找全等三角形啊，我们这时候看看还可以找谁。哎，很简单，因为这里边的 b、 e 和 b d 还没用啊，你看这个局边和局边 对吧？然后呢，你的蓝边 a、 b 旋转之后变成了 e、 b 撇，你看蓝边橘边，再加上我这个绿边 a、 d 和 bb 撇，那这不就又有了一组全等了吗？所以这组全等应该是谁啊？就是这个 哎， a、 b、 d 和这个三角形 e b、 b 撇， 哎，好，为什么呢？首先蓝边 a b 和蓝边 e、 b 撇相等，局边 b、 d 和 e b 也相等，那接下来缺的就是什么？就是您这个夹角相等，两边和夹角嘛，我们看这里边 a、 b、 d 刚说完了，这是四十五， 所以接下来我们叫正 b e、 b 撇也是四十五啊，注意旋转出九等啊，你这个叉转过来是这叉对吧？刚说了叉加点九十度，之前也标过呀，所以这呃，叉加点四十五度，所以这块自然就有个四十五度 啊，那么这个紫色的阴影三角形就也就有个四十五度啊，那么这个紫色的阴影局边局边还加角四十五度 去挣出来，那挣完了之后， b b 撇就等于 a、 d 了，那根二倍的 b f 就 等于 a、 d 就 可以做完了啊，这是第二种套路，我会发现第一个方法和第二个方法虽然找的主角不同，但是都是围绕什么主角三角形进行旋转， 旋转完了之后手拉手形成等腰值，然后你就把 b f 跟二倍的 b f 转化成 b b 撇，再去正 b、 b 撇与 a、 d 的 数量关系，再基于 b b 撇等于 a、 d 这个目标去围绕它俩构造全等三角形就可以了 啊。那有同学说，老师基于主角我，我不不找短的带球编，我找长的那 ad， 我 们这里也有两种方法，一个是呃黄色的 adc 作为主角，一个是紫色的 adb 作为主角，它俩都能做， 但是比较麻烦。为什么？我可以跟大家简单说一下其中的原理，比如说啊，比如说我找黄色的 a c d 吧，那肯定是绕 a 从 a c 这个顺时针旋转九度到 ab 啊，所以那你看你这 a d 就 跑这来了， a， 我 们就叫它 d 撇，那为什么不推荐大家用这种方法呢？大家想一想，你的 a d 跑到 a d 撇了对不对？然后你的目标是挣 b f 等于 a d 撇，这肯定很难挣啊，那如果说老师我手拉手呢， 那就 d d 撇了，那你就得挣二倍的 b， f 等于 d d 撇，那我们想象一下，你这怎么挣啊？ 是不是还得把 b f 扩大二倍？比如说用中卫线或者是三六九三角形那个直角边和斜边，所以这个时候操作起来就非常繁琐， 我们呢就不建议用这种方法。当然感性的同学呢，也可以用我后面这两种主角三角形的切入角度去思考，也都能做出来。 感谢同学，可以私信王老师哎，我再给你他正确的做题方法。但是在这里呢，就不统一交流了，因为后两种这个主角三角形太麻烦了，相对于第一种方法和第二种方法，那就太难了，就没有必要去探讨了。 好，我们最后再来总结一下这道题的一个收获。通过这道题呢，王老师向大家系统的交流了，跟我学几何的三板斧 啊，几何三百幅图标透就是 just 标 it 我 们这里的边呀，包括点叉四十五度的角啊，都是通过标图，你后面再去找 对应边角，等的时候就方便了。第二个最关键的，找主角一定要围绕主角三角形第三步构造全等嘛。那主角三角形是什么样的三角形呢？就是那些带球边丰富的，比如这里 b f 和 a d 是 吧？还有工具边就是共端点等边丰富的， 而这里的工具旋转这个工具就是基于看到共端的等边马上就旋转，而且旋转之后一定要连接对应点 b b 撇，形成特殊的等腰值去处理这道题就非常容易了 啊。好，以上呢，就是关于西城期末这道几宗的操作方法，感兴趣同学呢，我们也可以私信交流 其他的两类不同的答题方法。另外呢，有同学想在最后阶段再提升一下自己的几何综合题的，也可以私信王老师获得我们的几何宝典大权， 这个是免费获取的。同时呢，如果有兴趣啊，跟王老师学一对一的数学课程的，也可以私信跟我交流。好了，我们下节课再见！

ok， 好， 同学们，好哈，然后咱们今天啊，西城初三的期末刚结束啊，数学的期末，然后老师带大家看一下这个几何综合啊，这个几何综合是 从图像上来说的话，跟咱们去年的海淀的那个图像啊，期末的那个期末考试的图像还是比较像的哈。然后，呃，整体难度适中啊，难度不是很大啊。然后咱一起看一下， 首先他说了三角形 a、 b、 c 是 一个等幺二 t， 然后三角形 a、 e、 f 也是一个等幺二 t， 然后但是这两个等幺二 t， 它并不共顶点 啊，所以这样的话也为咱们后续啊，有一个后续做了一个提示，什么呢？就是咱们可以构造手拉手旋转等的同时，也可以尝试去构造这个脚拉脚相似啊，都是 ok 的， 两个路径可以走，但是构造哪一个，那咱就具体具体去看题，好吧。然后， 呃，第一问说 b、 d 等于 b、 a 的 同时让咱们去证明角 b、 f 的 度数， 这边首先等于这边，然后这边还等这 ab 还等于 b、 d， 那 这样的话，我的 b、 e 就 等于 ab 啊，这是四十五度，那这个二十二点五度，那下面这个，呃，这个角不就是二十二点五度了，对不对？这很简单啊， 没啥可说的，这个第一问，然后第二问说 a、 d 和 b、 f 的 一个关系， a、 d 和 b、 f 的 关系，大家就算不良的话，嗯，用眼直观的去看，估计也也也也不可能说是二倍关系吧，对不对？对吧，那不是二倍关系的话，然后有四十五度角，咱一般情况下是猜跟二倍关系， 然后咱们如果面对跟二倍关系的话，咱基本上就是两边归一跟号二，就是把这两边看能不能挪到一个三角形里边，然后正这个三角形是个等 r、 t 三角形， 然后这样的话跟这个边两边跟二倍关系就出来了。然后如果不能直接去证的话，那我们就可以尝试去找其他的一个跟这个 a d 和 b f 有 确切关，有确切的这个数量关系的其他边，然后去帮助咱们去证明咱们最后的一个结论，这是间接的去进行证明，好吧，然后咱们看一下咱们怎么去证啊？首先第一种思路， 第一种思路是相对比较麻烦的一个思路哈。呃呃，我我的 d 是 e、 d 的 一个中点，对不对？那中点问题咱肯定要考虑到什么考虑到中微线啊，非常中线啊，这一系列的对不对？然后 f 点、 f 点，你看是什么呢？ f 点是这个 nef 的 一个直角顶点，然后呢？我的 a、 b、 c 的 直角顶点是 a 点， 然后我就考虑啊，那我要构造一个手拉手的全等，对不对？那我如果以 a 为顶点去进行构造的话，那我就得做这个 k a 垂直于 a e 对 不对？然后延长 e、 f 与之相交，那同时我的 a e k 就是 一个等于 r t 啊，然后我的 a e， b 啊和 a c k 啊，它就是全等了，对吧？ 然后同时我的 f 点还是 e、 k 的 一个中点，那 b 点也是中点啊，那我直接连接 d k， 那 我的 b f 和 d k 之间就是就是一个二维关系，那接下来我需要做的就是去证明 d k 跟呃 a、 d 的 一个关系，那 d k 和 a d 的 关系的话是什么呢？ 哎，那我们就尝试，咱刚不说了根号二吗？那我就尝试去看能不能把 d、 k 和 a、 d 去放到一个啊？等幺二 t 函数形里边，对不对？那这样的话，我就以 a、 d 为直角边去构造了另外一个 等于幺二 t a、 d、 h， 但这 a、 d、 h 是 怎么构造出来的呢？啊？因为我的这个角 a、 e、 b 是 等于一百三十五度的，然后这个 a、 c、 k 也等于一百三十五度，上面是四十五度，那下面就是九十度，对不对？那我只需要去证明这个，那我只需要去延长 k、 c， 然后做 a、 d 的， 做 a、 d 的 垂线 a、 h， 然后二者相交于点 h， 对 不对？然后连接 d、 h， 然后这块是九十度，对不对？因为这块是九十度，然后这块四十五，那这块就四十五度，对不对？这块四十五度，这块四十五度，然后 a、 b 等于 a、 c， 然后同时的话，我的这个 b、 d 是 等于 b、 e 的， 呃，不啊，同时的话，我的角 b、 a、 d 是 等于角 c、 a、 h 的， 因为这个都等于九十度，减去这个中间这个公角嘛。 那这样的话，我的 abd 的 和 a、 z、 h 就 全等他俩全等之后，呃，然后我的这个 adh 就是 一个等幺二 t， 那 我只需要去证明 d、 h 等于 d、 k 就 ok 了。然后 d、 h 等于 d、 k 的 话，我怎么去证？这是两个三角形全等吧，对不对？ 这两两三种全档或者通过等腰三角形三线合一都是 ok 的 啊？然后这是第一种，第一种思路是比较复杂的，然后我们看第二种。第二种的话，那我既然可以以 a 点为顶点去构造等幺二 t 的 话，那我就可以以 f 点为顶点去构造等幺二 t， 对 不对？所以我只需要去做 f q 垂直于 b f， 然后使 f q 等于 b f， 然后 连接 b q 和 eq， 这样的话我就得到了等幺二 t 三角形 b f、 q 和 a f、 e 啊，就会形成手拉手形成全等，这个三角形和这个三角形就是全等的，然后全等之后，我的 b q 和 b f 之间是一个概念关系，那我主要去证明我的 b q 和 a、 d 相等就 ok 了。 然后正两边相等，且两边不在一个三角形，我们通过全等去证。全等去证的话，那就是这个三角形和这个三角形全等，对吧？然后他们两个全等，我怎么去证呢？首先这有一个边，其次这个边是等于这个边的， 对不对？是通过全等得到的，那我只需要去证明这个角等于这个角就够了。然后 a、 b、 d 是 等于四十五度，那我只需要去证明我的 b、 e、 f 是 b e、 q 是 四十五度就 ok 了。那这个四十五度我怎么去证呢？ 我们看一下啊，这个角一是等于角五的，那我就设角五是二法，那角四的话是不是就四十五度减二法，对吧？然后这样的话，我就可以 abd 是 四十五度，这样的话就可以得到我的这个角三是这个 呃阿尔法，那我的 a、 e、 f 是 四十五度，那我的这个 b、 e、 f 是 不就是这个 呃阿尔法，对吧？然后我的角一呃角二是等于四十五度减二法，然后角一是等于角五的等于二法，那这样的话，我的这个 b、 e、 q 也是这个四十五度，然后然后这样的话就等于这个角 a、 b、 d， 这样的话这两个三角全等，全等之后我的 eq 就 等于 a d， 这样的话关系就出来了。 ok， 这是第二种思路。那老师你往这边坐，那我不能往这边坐吗？对不对？往这边坐，他也是以这个 f 点为顶点，一个幺二 t 啊你，你当然可以了，你可以尝试一下吗？ 对不对？你看你多聪明。然后我做 f 跟 f n 垂直于呃 f b， 然后做完垂直之后，我会发现这个东西，然后使 f n 等于这个 f b， 然后我的 b f n 和 e f a 等于 f b 两个 呃共顶点，然后这个三角形和这三角形是全等的，对不对？然后它俩全等之后，然后我只需要去证明这个这个边等于这个边，对不对？那不带一个三角形还是全等啊？那只需要去证明 a b d 这个三角形和 a b n 这两个三角形全等就 ok 了。然后 ab 等于 ab 等于 ab 是 一个共边，然后我的 b e 还等于 b d， 那 这样的话我的 b d 是 等于 a n 的， 然后只需要证明这个角等于这个角， 然后这个角的话是四十五度，那我只需要去证明这个角四十五度就够了。然后这个角正四十五的方式跟咱们第二种思路正四十五度方式就完全一样，好吧，所以老师就不给大家正了，老师在呃课下大家可以自己去正一下，好吧。 然后这个西城区的这个初三的这个集中，整体来说的话是难度适中啊，难度不是很大，我觉得还是比较简单，而且可思考，可走的路径还是蛮多的啊。目前的路径虽然只只想到了三个，但肯定不止三个，肯定还有其他的，好吧？然后，呃其他的，你像戴宗 和袁宗啊，这这这不是西城的啊，这是丰台的，然后戴中和袁宗我觉得也是比较常规的，然后戴宗的话就是一个比大小的一个问题，但是呃做差的话，大家目前来说的话还是尽量慎用好吧，能图像能树形结合就树形结合去分析，好吧。然后 啊，原宗的话是跟考前说的一样，原宗的话就是一个双钩股啊，我列一个双钩股就可以解决了，但是相似实际上更快。但是目前来说的话，我们呃九上的话，呃考察范围不是不包括相似吗？所以大家能用购物定理去做的话，就尽量的去用购物定理去完成，好吧。 ok， 好， 老师就跟大家分享到这里，好吧，拜拜。

学透数学找老王！大家好，我就是那个数学王老师。今天呢，我们一起探索一下初三西城期末这道代数综合题。 首先还是通过精读挖掘一下这道题背后的隐含信息。他说在坐标系中， a b 两个点，在这个抛物线上啊， a 不 等于零，这时候我们马上要进行挖式子的操作，这个式子就是指的二次函数这个式子了。首先我们看 a 不 确定， 那说白了，一会就要分类讨论， a 大 于零和小于零，第二个呢，在挖对称轴负的二， a 分 之 b， 对 称轴是二。哎，挺好，说白了呢，它对称轴是确定的，同时它还两个参数 a 和 c， 其他的就不能固定了。 好，那接下来我们做第二问。第二问，他说 ab 的 纵坐标相等的时候，求横坐标的和注意纵坐标相等，我们随便画一个图， 大家想一想，纵坐标相等，那横坐标不就是关于对称轴对称，哎，也就是说白了，二分之 x 一 加 x 二等于二，那你单独求 x 一 加 x 二，肯定就是四了啊，这个我们就不再赘述了啊，就是一个对称性的体现。 重点，我们来探索一下第二题，第二题他说的是 x 一 啊，现在有个邻界取不到 x 二呢，是 a 加二到 a 加三，你看 x 一 的右邻界和 x 二左邻界是重复的啊，然后都有，都就是恒有啊，恒有 y 小 于二，这时候啊，其实就是比大小，而比大小最常用的就是什么几何法和代数法 啊。接下来王老师将从几何和代数两个角度跟大家分享一下这道题的一个操作方法啊，我们来一起探索一下几何法啊。第一类，假如它的开口冲上啊， 我就没有画外轴了啊，因为它这个也不太方便去画啊。但是呢，我们可以把 x 轴标识出来， x 等于二，这是对称轴。然后呢，我们还要挖式子，挖谁啊？挖这个范围的临界值。 首先第一类呢，是 a 大 于零，哎，那这个 a 到 a 加二其实就是大于零的，但是具体与二比呢，不确定，那我们就先别看它，先看 x 二，它是 a 加二到 a 加三， a 是 大于零的， a 加二一定是大于二， 是吧？所以我们会确认这里边 x 二的范围应该是在对称轴右侧。 哎，那这时候我们就可以写了，这是 a 加二，这是 a 加三，所以确认好了 x 二的范围， y 的 范围是不是就确认了就是这一轱辘到这一轱辘之间。 他现在说都有 y 一 小于 y 二，那不就是 y 一 的最大值要小于 y 二的最小值吗？我们看 y 二的最小值，其实就是什么？哎，这条线啊，这是 y 二的最小值， 那最大值呢？我们就不用管他了啊，最大值我们就不用管他。说白了， y 一 只能在这个下边啊，只能在这一块， 只能在它的下边，那也就意味着什么？我直接去找虚拟对称点就可以了。我们看这 a 加二，关于二的虚拟对称点应该是谁呢？ 换一个颜色啊，就是说白了，它俩相加除二等于二，那不就是 应该是负 a 加二啊，所以说白了， x 一 就是在这个范围之间，那直接就是负 a 加二 小于 a 是 不就可以了啊？那那个 a 加二呢，一定和 a 加二重合，所以就不用管它，这时候一项算一下，其实就是二， a 大 于二， a 呢就是大于一。 注意，算完这个我们一定要进行取等确认啊，很多同学不不知道如何取等确认，你就让它相等，你就让 a 等于一时候，看看成不成立呗， 对吧？它不是大于一吗？ a 等于一的时候，我们想象一下，负一加二，这是一一到三之间，哎，那也就是说白了， x 一 是这样一到三之间， x 二呢，是三到四之间，你看一到三之间和是不是也横小于三到四之间？因为 x 一 x 二，这取不到等，所以我 a 呢，其实就可以取到等了啊，所以取等确认。 好，这个呢，就是开口向上，很简单啊，那接下来我们再看一下开口向下的时候，一样的套路啊，首先把对称轴画出来， x 等于二。其次呢，我们再观察刚刚先看的 x 二，现在也看吧，这个时候 a 小 于零， 那小于零加二，那肯定就是小于二了啊， a 小 于零的数加三呢，就是小于三，所以呢，这个 x 二好像也不太确定，但是我们这时候看 x 一， a 是 小于零， a 加二呢小于二，所以这时候呢，我们能确定的又是谁了，又是 x 一 了啊， 就是我把 x 一 就可以画出来，它一定在我们对称轴的左边，这就是王老师经常说的，你挖柿子的时候，一定要挖一挖左右邻界与对称轴的关系啊，所以这边就是 a 到 a 加二。 哎，那这个小蓝就是 x 一 的范围，有 x 一 就有 y 一 了，注意，都有 y 一 小于 y 二，那就是 y 一 的最大值。嘿，我们看，这其实就是 y 一 的最大值，那比 y 二还要小，说白了， y 二就应该在这上头， 对吧？那这时候也是找一下什么虚拟对称点，那 a 加二关于二的虚拟对称点就是谁就是负 a 加二 啊。所以说白了，你的 x 二啊， a 加二比 a 加二已经是重合了，也就是只需要让你的 a 加三小于负 a 加二就可以。 那这个解一下，就是二 a 小 于负一， a 小 于负二分之一，然后在 a 小 于零时候小小取小就是它，最后还是要取等确认啊。其实跟刚刚一样啊，取等的时候是成立的， 因为我 x 是 取不到等的嘛，所以那个参数就可以取等，那最终答案就是大于等于一或小于等于负二分之一就可以了。 好，这是几何法，大家看一看王老师是怎么快速解决这道题呢？首先我们进行了挖式子，对吧？挖一挖二次函数的特点，对称轴确定，开口方向不确定，再挖一挖临界范围， a 呀， a 加二呀， a 加三呀。注意，这时候是基于 a 大 于零小于零， 然后再让 a a 加二， a 加三与对称轴 x 等于二去比，因为你横有外一小于二肯定就是看对称轴左右的嘛。啊， 好，以上呢，是几何法，但是有同学说了，而这个写步骤，因为毕竟是球嘛，不太好写。王老师呢，也有另外一种代数法啊，我们可以一起来探索一下这个代数法呢。呃，就需要用到一二，那我们就直接干什么 哎， y 一 减 y 二，让它小于零就可以了。而 y 一 减 y 二，得到的结果就是因式分解之后啊，就是 a 倍的 x 一 减 x 二 乘以 x 一 加 x 二减二 t 对 称轴，这个 t 就是 二，那么就 减四啊，他应该是小于零的啊。好，这时候呢，我们再看 x 一 x 二， x 一 是 a 到 a 加二， x 二呢，是 a 加二到一加三，所以 a 无论正负，你 x 一 减 x 二都是负数 啊，所以我们就进一步化解， a 倍的应该是 x 一 加 x 二减四，应该反而大于零，注意，都有，就是横乘以。 哎，那接下来我们就可以去解一解这个横乘利了。那首先还是要分类讨论。 第一类，当 a 大 于零的时候， a 如果是正数，后边 x 一 加 x 二减四，也得保证大于零， 因为你是横乘利啊，所以 x 一 加 x 二就相当于大于四，应该横乘利就让它的最小值比四大。那我们看最小值对应的是 x 一 取 a， x 二取 a 加二， 但是注意哦，因为我这里边的 a 和 a 加二都取不到，所以它的最小值其实就比我这个 a 和 a 加二要大。那所以这块可以取等啊，就是大于等于，那二， a 大 于等于二， a 呢，就大于等于一， 所以这块取等确认一定要注意啊！我再强调一遍，就是 x 一 加 x 二的最小值大于四，那最小值是不是 a 和 a 加二呢？不是， 因为我 a 和 a 加二取不到，所以我的最小值比 a 加 a 加二要大啊，那说白了就是二 a 加二大于等于四了啊，所以这块取等确认一定要注意，你也可以减记一下，就是当 x 取不到的时候，参数可以取到就行了啊。 第二类，就是 a 小 于零， a 小 于零呢，说白了就是 x 一 加 x 二，怎么样减四小于零就是小于四，注意是横乘六，所以是它的最大值比四要小，那就分别取最大值，就是 a 加二加 a 加三 等于四啊，就是二 a 小 于负一， a 小 于负二分之一，同样还是取等确认啊，因为我最大值取不到 a 加二和 a 加三呀，所以你那个最大值就是其实就是比他小的，那就是小于等于了啊。那综上， a 也是大于等于一或 小于等于负二分之一就可以了啊。这里唯一需要确认的就是取等确认，就是当 x 取不到的时候，反而参数能取到，一定要注意啊！ 好，那么这样就代数法解决了这种比大小比高低的问题了。所以呢，综上我们会发现，无论是你从几何的角度还是从代数的角度，都要进行挖式子， 挖出二次函数，挖出含餐的临界，挖出特殊点坐标，特殊的取值范围，还要进行取等确认啊。这个呢，也是王老师总结的函数四绝招的一个操作，当然，有同学想要更精准的函数四绝招以及代数综合 训练题的，可以私信随时跟王老师交流，同时呢，需要得到王老师一对一或者班课辅导的同学也可以私信咱们随时沟通和交流。我是数学老王，希望通过今天的讲解能够帮助到大家，我们下期再见！

西城区初三期末的性定义压轴体呢，完美的复刻了二零二五年北京市中考的性定义压轴体，那么这道题目重在分析弱化计算，我觉得质量是非常非常高的啊， 来，我们一起来看一下，他跟我们二五年北京市中考的考法是有多么多么的像啊。 呃，那么他说点 p 跟圆 c p 为中点，长度为二的线段 mn， 哎，当然你就知道 啊，我们先不说后面的啊，请问 m n 怎么来啊，那不就是以 p 为圆心 e 为半径，怎么着啊，画一个圆对吧，那么因此这个圆的直径即为 m n， 大家注意哦，有无数个直径啊，是吧？ 好，第二，他说，如果 m n 于圆 c 有 两个公共点，就是这个直径。 m n 于圆 c 有 两个公共点，好，你必须要有两个公共点 好。当然大家其实啊，能理解啊，就是如果说圆 c 的 半径相对较小的话，你就想一下啊，圆 c 的 半径如果是小于二的话 啊，圆 c 的 半径如果比二小，其实这个 m n 呢？大家想一下，它的长度都可以覆盖整个圆 c 的， 呃，这个，呃，圆 c 的 直径如果比二来的小啊，就是比 m n 的 这个长度来的小的话，其实大家想象一下，看看这种情形， 呃，尤其是这个点，屁啊，如果说跑到了圆 c 的 内部，或者说是啊，在圆 c 上的时候，这种情形还是非常好处理的，对吧？ 好，当然大家看下面的问题你就知道，一个是圆 c 的 半径为一，就直径为二，还有一个是圆 c 的 半径为根号三，就直径为二倍，根号三都是比二来的大的啊，所以这道题目呢，我们就不去讨论圆 c 的 半径特别小的情况啊，我们只基于后面的问题来看。 第二，他说两个公共点之间的距离的最大值是关联值 哦，也就是说你 m n 于原 c 产生两个公共点，但是这两个公共点呢，他可能会有一个最大值，那么这个最大值才能称之为它的关联值 好，所以这个问题呢，其实是俩定义，对吧？第一，什么叫关联点？你得找到关联点在哪。第二，你有了关联点，你不代表呃，这个点，你所画出来的图形，它对应的两个点之间的距离就是关联值，而是最大值是关联值。 那么当然这个问题呢，我们首先直接跳过第一问啊，有人说老师第一问怎么不做了，因为第一问他太特殊了啊，等一下，你简单的，哪怕自己简单做个图就能把它做出来了， 但是为什么不讲他，就是因为我们通过第二问就可以给同学们完整的解完这一道题啊，或者说这一类题。 好来，同学们看一下。第二题呢，他告诉我们，圆 o 的 半径呢，是根号三直线 y 等于 x 加 m， m 大 于等于零啊， 好，呃，那么点 t 呢，是直线 l 上面的一个点。第一个，当 m 等于零的时候，是关联点怎么怎么样？当然第二，小问也是基于前面来弄的，是吧？ 好，我们同样的也不讲具体的问题，我们现在就来问第一个核心，请问圆 o 的 关联点在哪？因为这好歹是个点类性定义吧，对吧？那我不管你什么直线不直线了，我就问圆 o 的 关联点在哪？ 那么理论上来讲的同学们自然应该想到说啊，我要画一个半径为根号三的圆，然后去探求它的关联点，什么叫关联点呢？好，他满足的要求是，我们刚刚讲的就是这个圆屁，或者说这个 m n 必须于圆 o， 要有两个公共点。 当然大家也都知道，由屁点决定 m n， 由 m n 我 们才能决定它到底是不是关联点，对吧？ 好，那么这个时候大家就想点屁圆 o， 那 么他们什么位置关系？可能屁点在圆 o 的 内部，有可能屁点在圆 o 上，也有可能屁点在圆 o 外。 我们先不给大家严格作图啊，同学们直观感受一下啊，就是你要保证这个 m n 呢，要就是这个长度为二的这条线段呢？于圆 o 呢？于圆 o 呢？要有两个公共点， 那么大家想象一下看看啊，因为这个圆 o 的 直径是二倍根号三，有没有一种可能，就是把整个 m n 长度为二的线段放到整个圆 o 里边去，完全不产生交点，有没有可能？ 当然有可能，什么情况啊？大家直观想一下，是不是说当假定啊，这个就是圆 o， 当我们这个点屁呢跟这个圆 o 呢离得特别近的时候啊，挨得特别近。这个时候，呃，同学们画，你去画这个半径为一的圆啊，你画这个半径为一的圆，你会发现你怎么画 这个半径为一，呃，半径为一的圆就是呃过他了，就是这样产生 m n， 这个 m n 呢，横定是与圆 o 没有交点的， 也就是说 p 点越靠近点 o， 同学们想一下看看啊， p 点越靠近点 o o， p 的 距离就越短嘛，是吧，这个时候你会发现，你所画出来的以 p 为圆心二为直径的这个圆呐跟圆 o 啊，是不会产生两个公共点的， 也就是说整个圆屁其实在圆 o 的 内部，就你怎么着他都不会产生两个公共点，对吧？好，所以这种情形呢？呃，是比较极限的。当然了，这个屁点呢，除了在内部也可以往外移嘛，对不对？好，那么大家就会想到， 如果我把这个圆屁啊稍微往外移，就是屁点往外移啊。我们再画一个，大家感受一下， 如果要能产生两个公共点的一个极限情形是什么？同学们想一下，极限情形是什么？ 因为 m n 这个线段最极限，最极限，因为我们刚刚讲了，这种情形，它是不会产生这个两个公共点，但是如果有两个公共点的极限情形是什么？一定就是 m n 在 哪里？ m n 刚好跑到了这个圆 o 上面来， 也就是说此时点屁刚好在这，这是他最极限的情形，对吧？ 最极限的情形，因为你要产生两个焦点的极限，前面是没有焦点啊，这边呢，是产生了两个焦点，这是产生两个焦点，最极限情形就是 m 刚好都在圆上，当然此时这种情况肯定可以算的出来啊。 好，那么这种情况满足不满足要求？满足要求，肯定满足要求，对吧？好，那么大家想一下，如果说这里的点屁再往外移，但是它还是在原内啊，还是在原 o 的 内部，比如说点屁继续往外移， 那好，这个时候你所产生的是不是就又有这样的一种情形， 只要保证过点屁的这个直径能产生两个焦点就可以了，对吧？当然这种情况能不能满足要求？能满足要求，比如说过屁点，我们自然就会发现，呃，例如啊，我这样画， 哎，一个焦点两个焦点是可以的，对吧？但这个时候呢，有一个问题，就是他的画法是唯一的吗？他只能这么画吗？ 也就说过，屁点的直径难道只有这一种情形吗？能够与圆 o 产生两个交点吗？你发现好像不是啊，为什么呢？比如说我稍微把它斜那么一点点，我这样画， 这个时候你会发现它好像又能产生一条弦长，对不对？好，也就是说，我们刚刚所画的如果屁点往外跑到这样的一个极限位置的时候， m n 恰好在圆 o 上，这种情形就是假定屁点定的，这种情形是唯一的。 但是这种情形屁点虽然定，但是我们可能画出来的弦，或者说画出来的两个焦点，它其实是不定的， 对吧？其实是不定的，那么这个时候就会关联到我们刚刚讲的定义当中，什么叫做关联值呢？是要保证这个两个公共点就是弦长的最大值才能叫关联值。 那么我们就要探究一下，当屁点不在这样的一个临界位置，而是在中间某一个时刻的时候，那么他的关联值应该是怎么样的呢？ 对吧？应该哪一个才能叫关联值呢？因为他的画法可能是不唯一的。好，那么当然同学们就能呃，直观的想一下 啊，如果说你的点屁是在这样的一个位置的时候，大家看，我们可能画出来，我刚刚跟大家讲了，我们可能画出来的是这样的，对不对？他会产生 这段弦长，当然也有可能是这样的，它又会产生一个弦长，那么到底哪一个才是最大的？好，这是我们第二个待定的问题。好，接下来 p 点在内部的讨论完了，我们是不是就可以继续讨论 p 点如果在圆上 啊？ p 点在圆 o 上，我想这种情况其实不需要讨论太多，因为它恒定成立，对吧？ p 点在圆 o 上，因为你想嘛，我就是以 p 为圆心， e 为半径画一个圆呗。那然后过 p 点的这个直径能不能产生两个交点呢？ 太能产生两个焦点了，是不是啊？比如说我就这么画，哎，当然我这个图画的不标准啊，等一下我们给大家标准的做一下这种画行不行？当然是可以的，是吧？肯定是没问题的啊。啊，就是，呃，他一定是存在的啊，等一下，因为我这个图画的肯定不标准啊，等一下我们给大家标准做一个图， 就是你可以选定就是过他的画一个直径，对吧？能够产生两个焦点就可以了，是吧？能够产生两个焦点就可以了。好，当然在这个时候，同样的问题，请问他的关联值是什么呢？ 好，那么以及到最后如果这个呃屁点呢？他跑到了整个圆 o 的 外部的时候，那么会不会一直都能满足有两个焦点呢？ 不会，大家想一下，当屁点跑的特别远的时候，这个时候你画出来这样的一个圆，这个 m n， 无论你怎么画啊，这个 m n， 你 无论你怎么画跟这个圆 o 都不可能产生两个交点，对吧？两个圆都相离了，那么极限又应该在哪呢 啊？极限又应该在哪呢？也就是说你这个屁点呢，他不能离 o 点太远了，太远了也不成，太近了，太近了不可以，太远了，太远了不可以，所以我们能猜测太近了的这个极限情形，我们找出来了，最远的这种极限情形，我们应该也要把它找出来，对吧？ 好，那么大家可以尝试一下，就是说如果你屁点在外面较远的时候，极限是什么情形呢？ 大家想，如果你这个时候要产生两个焦点的话，你大体上你这个图怎么画呢？我们理论上来说啊，就是这是两个焦点，对吧？要经过点 p 啊，要经过点 p， 好，所以他大体上应该是这样的一个情形。那么极限极限是什么？过屁点的这一这半段，就是假定这个叫 m 点，就这个 pm， 他 保证要与这个圆 o 有 两个焦点，那么极限是什么？有一个焦点极，他在这种的极限情形，就是当 这个 pm 刚好与这个圆 o 怎么样呢？相切的时候啊，相切的时候 啊，那这种情况下，当然这个长度就是一了，在这种情况下他也无法保证，就是因为你至少要保证长度为一，如果你长度为一的时候，这个时候相切了，那不完了吗？是吧？那这个时候你想找两个点，那就肯定找不出来了。 好，这个呢是我们刚刚呢给大家画了一个草图，但是这个草图呢，看起来不够直观，对吧？因为我们也没有借助坐标系来看，所以接下来呢，我想呢，我们就给大家呢用一个具体的图形来具体分析一下啊，来具体分析一下，好，我给， ok 啊，我呢就提前给大家画了一个图啊，同学们来直观感受一下，我刚刚解释了啊，如果屁点特别靠近点 o 的 时候啊，当然我们就以第二问为例啊，半径为一个号三啊，屁点特别靠近点 o 的 时候，你会发现这个时候你画出来的这个圆吧，就是这个蓝色的圆了，以屁为圆心， e 为半径的圆。 那你怎么转？这个 m n 跟这个绿色的圆，他都不可能产生两个交点，所以肯定不行。那么第一零件呢，我刚刚已经跟大家讲了，第一零件的情形，就是当我们的 m n 恰好怎么样呢？恰好能够跑到啊，咱们这个 啊，绿色的圆。这个绿色圆是什么圆呢？就是以半径为刚好三的圆啊，就这个绿色的圆，就是半径刚好三的圆，就是第一极限情形，就是当 m n 恰好两点，因为你要能够产生两个交点的极限，就是 m n 都是在这个圆 o 上面的，对吧？ 好，当然这个时候很容易算啊，因为 pmpn 都是一嘛，是吧，那么因此 o p 的 长呢，就能够算出来 o m 是 根号三嘛， o p 的 长就应该是根号二，所以 p 点极限极限可以在哪呢？在呃，就是 o p 的 长啊，在我们第二个问当中，极限极限就是根号二， 就是 p 点，如果跟 o 点的距离小于根号二，肯定不满足啊，那么极限等于根号二。当然了，因为我们只是画了其中一种情形，大家都知道应该有无数个点 p， 所以 就形成了第一个能够产生的零件，即 p 点可以在以 o 为圆心，根号二为半径的圆上。这是第一个极限情形啊， 好，第二个呢，我们刚刚解释了，当屁点还是在内部的时候呢，同学们看，我在这呢，通过严格的作图，大家会发现，那么理论上来讲，你看屁点如果还是在绿色圆的内部，那我能产生的两个焦点呢，就叫 h g， 那 么 同学们会发现，其实这样的 h g 应该有无数个，对吧？或者有很多个，那什么时候才能产生关联值呢？ 因为我们刚刚在 m n 都在这个圆上面的时候，关联值很简单，就是 m n 的 长就是二，也就是说关联值最大，最大最大就是二。但是如果 p 点还是在圆 o 的 内部，还是在圆 o 的 内部，那么理论上来说，它能够产生无数个弦 h g， 那 哪一段才最长呢啊？那么很显然，当点 m 在 圆 o 上，或者点 n 在 圆 o 上面的时候， 这个时候它所产生的弦 h g 就是 最长的，也就是说此时只要 p 点定了，并且保证 m 点或者 n 点，因为它对称图形啊， m 点在圆上的时候，这个时候我们所产生的弦长，或者说线段长，就是我们的关联值。 那有人说，老师，那我不理解，凭什么这个时候他是关联值呢？好，我们给大家简单解释一下，为什么啊？我们假定 p 点啊，是定的位置啊，也就是说到 o 点的距离是确定的啊，到 o 点距离确定的。 那么如果 o p 这条线刚好跟 m n 垂直的时候啊，垂直的时候，这个时候同学们会发现， h g 呢，其实是最短的， 即如果点 p 恰好也为 h g 终点的时候，这个时候 h g 最短，为什么呢？因为它斜长。怎么算呢？ o p 的 长半径是定的， o p 是 定的，对吧？好， o p 的 长是定的。同学们想一下，假如我把它稍微倾斜一点，就是把 m n 这条线稍微倾斜一点， 这个时候你怎么算 h g 的 长？你应该过 o 点做 m n 的 垂线段啊，过 o 点做 m n 的 垂线段。好，我就假定了。我，我也给大家做一个垂线，好吧，你就做一个垂线段。 那么因此呢，这个垂线段的长，我们也不知道他什么点了，随便标一个吧。好吧，就要点 j， 这个时候同学们要注意 o j 的 长横定是小于 o p 的 长哦，这个逻辑能理解吧？因为 o p 是 定值，那么你做垂线段吗？ o j 小 于 o p， 而半径 o h 是 定的。所以这个时候同学们就想一下，此时的 h g， 呃，就是 o h 定的，相当于是 o j 变小了，那么 h j 呢？变大了， h g 呢？也就变大了，所以你越倾斜的时候它就越大。当然极限就是什么呢？ 你不能随意倾斜，对吧？你还要保证有两个焦点，那么极限情形就是 m 点或者 n 点，它是在圆上，当然 m 点在圆上。 好，那么因此我们得到了在 p 点在园内的时候啊， p 点在园内的时候，两个零件情形，或者说两个结论。第一结论就是你必须保证 o p 的 长。极限，极限就是什么呢？极限，极限就等于刚好二， 就是这种不可能比根号二更小，你要比它更小的话呢，你所画出来的这个，呃， m n 的 这个长度呢？它就没法满足要求了啊，就不可能保证 m n 跟它有两个交点，对吧？因为此时你产生的这个，呃，通过 o 点跟 p 点产生的弦长比 m n 要来的更大。 好，但是，呃，这是第一个零件，第二个零件就是 p 点还是在内部，但是这个时候呢，理论上来讲呢，你又能产生无数个弦长， h， j， h g， 但是哪一个才是最短的呢？啊？最大的呢？好，我们得到了第二个结论，就是当点 m 在 圆 o 上面的时候，这个时候你能产生的弦长是最大的，也就是关联值。 只是在这样的一个临界时刻，即只要 p 点位置确定，保证 m 或者 n 有 一个点在圆 o 上，那么此时的产生的弦长就是我们的关联值。 好，这是第二个结论。那么我们继续往外挪，如果说他跑到了点屁跑到了哪里呢？跑到了圆上啊，我把这个点先删一下啊。 好，屁，点跑到了圆上，然后把这条线也删一下吧，就刚刚多画出来的，即当点屁跑到了绿色圆上的时候，这个时候大家会发现我们刚刚讲了，它肯定成立，是吧？你稍微斜那么一点点，你就会产生 h g， 对吧？你就会反转产生 h g， 你 再写一点点还是产生啊？也就是说 p 点在圆上的时候，一定可以产生两个焦点，再问，此时的关联值是什么呀？啊，同学们看图就直观看出来了，还是确保点 m 要在圆上或者点 n 在 圆上的时候，这个时候就是它的关联值， 即当点 p 在 圆上的时候，关联值横定为一啊，横定为一，因为 pm 的 场为一嘛，对吧？因为你稍微挪一点点，你看一下 h g 的 场肯定比 e 来的小，对吧？ 好，所以这是呃，我们讲点 p 在 圆上的时候一定满足要求，并且它的关联值横定为一啊，横定为一， ok， 那 么继续啊，我们继续往外挪， 继续往外挪，就是 p 点跑到圆 o 的 外部的时候，我们刚刚讲了，你怎样才能产生两个焦点呢？比如说，同学们看我们画的这种情形啊，当然这个画的稍微有点别扭啊， 就是我们这样吧，对，这样看的看的更直观一点啊，就是点 p， 在 圆 o 的 外部的时候，你至少保证圆上两个点 h g， 是 吧？ h g 啊，能够满足这个，就是 m n 与圆 o 有 两个焦点， 好，在外部呢，看起来是可以的，但它极限就是我们刚刚讲的，如果你 p 点跑的特别的远的时候 啊，你，你会发现，此时呢，你画到最后呢，就是因为 p n 的 长是定的吗？是一吗？对吧？就是 p n 这个这半段呢，与这个圆呢？圆 o 啊，它只能产生一个焦点了，它没有办法有两个焦点，因为你要再往里画，它还是一个焦点，对吧？就重合了吗？ 好，所以你会发现 p 点呢，又不能特别远，因为在特别特别远的情况下呢，你要保证 p 点。呃，这里面有两个，就是在绿色圆上有两个点， g h p n 四点共线，并且满足 p n 是 等于一的时候呢，你会发现它这种情形呢，非常特殊，就是镶嵌，就是镶嵌啊，那么因此我们就得到了，在外部的时候呢，它镶嵌，对吧？当然，此时这种情况注意了， 它相当于是于圆 o 的 两个焦点 g h 就 重合成一个点了，就重合成一个点了，此时 g h 的 长理论上叫零，对吧？当然不能取啊，也就是说相切的时候不能取 好啊，这道题目我们花了这么长的时间来跟大家去讲他如何去分析，因为你只要分析清楚了，那我们整个这个题目答案就非常的简单了，所以重在分析，弱化计算。我们把这个结论跟大家再说一下，第一， 必须保证 o p 的 长，第一极限是啊，等于根号二，刚刚解释过了。第二极限就是 呃 p 点呢，就是 p n 呢，能够与这个圆 o 呢刚好相切的时候，对吧？当然这个时候呢，同学们能算一下 o p 周长呢？ p n 是 一， o n 根号三， o p 的 长是二。所以第一个问题就是，所有的关键点在哪？ 在以呃根号二为半径和二为半径形成的圆环及边界。当然二为半径的不可取啊，因为此时呢，它所产生的焦点呢， 其实就是弦长，就刚刚的 g h 是 重合的，它不满足要求啊。那么因此我们就得到了第一个结论，就是所有的关联点在哪？就是在以根号二为半径和二为半径的圆环的边界及内部。当然二为半径的这个不可取啊，根号二的是可取的是吧？ 第二个结论是关联值怎么算呢？好，大家会发现，我们在内部的时候，最大关联值嘛，就是二呗，对不对？ 然后随着点 p 向外跑的时候，我们刚刚已经解释过了，那么保证 m 点应该是或者 n 点啊，在圆 o 上，此时的线段 长是最长的，也就是说，当然大家会发现此时的关联值肯定比二来的小，对不对？但是这个段长度肯定又比一来的大，就是点 p 在 圆 o 内部的时候，就是 m 的 长肯定比 pm 的 长一来的更大，对吧？好，所以这种情况下呢，就是，呃，确保点 m 在 绿色圆上面的时候，这个时候关联值是最大的，而这个最大的关联值肯定比二小比一大。 好，我们继续往外挪，挪到这个上面的时候，我们刚刚解释了，关联值最大就是一点 p 在 圆 o 上的时候，关联值就是一再往外的时候，这个关联值怎么样啊？同学们也能看得出来，逐渐减小，为什么？因为就是 h g 的 长嘛， 对吧？就是 h g， 这个时候呢， h g 的 长肯定比 e 小 嘛，当然极限极限，当点 p 跑到最外侧的时候呢，这个时候呢，不再产生，就是 h g， 怎么样啊？重过成一点了，那么这个时候就是零了，当然零不能取啊，即我们的关联值有另外的结论。什么结论？ p 点越向外观联值越小。第二，关联值从零不可取到二可取之间。第三，什么时候取到关联值啊？即无论在什么时候点 m 在 绿色圆上的时候， 就是算出来的这个线段长弦长就是我们的关联值。好啊，讲了这么久，就讲了一个定义， ok， 剩下来的我想这个问题就很简单了。 那么因此呢，我们把这个这道题目的所有的结论给同学们写一下，这个结论就是，第一，就我们只说第二问的结论啊。第一 就是，呃，屁点就是 o p 的 长一定是满足大于等于根号二，小于二的，就是屁点在哪？屁点一定是在这个圆环的内部及边界的，对吧？第二 就是，呃， o p 越大，那么我们的关联值应该是越小， 所以关联值的取值范围是在零到二之间，对吧？这是第二个就关联值好。第三 就是什么时候能够取到关联值呢？保证 m 或者 n 在 圆 o 上的时候取关联值， ok， 行了，这个问题分析完了就特别的简单了，整个题目所有的问题就全都解决了。 现在我们来看一下上面的第二小问的第一小问，他说，呃， m 等于零的时候就是 y 等于 x 啊，当然这个 t 要大于零啊，那么它的取值范围是什么？ 就是在这个射线上面存在着关联点，我们刚刚已经解释过了，关联点在哪啊？关联点在圆环上，对吧？你现在在什么射线上也要存在着关联点？好，我直接上图啊，看一下，就是这条线 好，这条线就是 y 等于 x， 关联点是在这个圆环上面的，那么因此满足的第一零件是不在这，第二零件是不在这？ 横坐标是不是有了，因为这个半径是根号二，这个是四十五度加角啊，所以第一零件 t 呢，就是几呢？就是一，第二零件呢，这个长度是二，所以第二零件呢？根号二啊。因此我们的呃呃，第二小问的第一小问就非常的简单， t 呢？大于等于一， 小于根号二啊，注意等于号可取或者不可取啊。好，那么第二个问题呢 啊，第二问题一样的，他说存在的线段 e f， 使得这个上面的点都是关联点，并且关联值不超过一，刚刚已经分析完了，对吧？越往外观联值越小，所以一是什么时候啊？ 特别巧合，就是当点屁在圆 o 上的时候，这个时候的关联值刚好是一好，所以你越往外越满足要求，对不对？好？因此同样的道理，我们看一下这个图，也就非常的轻松了， 即你必须要保证这条直线就是 y 等于 x 加 m 啊。第一，极限情形就是这条线与圆 o 就是 根号三为半径的相切。为什么？在这种情况下，我们再跟大家强调一下，刚刚已经说了啊， 你要必须要确保这条线能够与圆环首先有交点，对吧？这肯定是满足要求的。第二呢，这个，呃，形成的焦点的 这个范围啊，或者说线段范围长的能够比一大，是吧？但我们讲第一零件吗，就是当这条直线呢，刚好与圆 o 相切，此时肯定满足要求，因为你要保证所有的关联点，呃，形成的关联值 不超过一，等于一的时候呢，刚好在绿色圆上，所以你看此时这条线与圆环所形成的区域 啊，这个圆环了啊，绿色圆跟外面的这个圆形成的区域，就是从这个 k 点到这个之间，当然这段长度肯定比一大啊，所以就一定存在着 e f， 长度为一，使得所有的点都是关联点，并且使得关联值是不超过一的， 因为在圆 o 上的时候，关联值是一，越往外观链值越小，对吧？所以在这两个点之间，肯定是可以满足要求的 好，当然你继续往外，也不能无限往外，为什么呢？你还要保证存在长度为一的线段 e f， 那 么极限极限情形嘛，就是刚好这条线与外面的这个圆啊，半径为二的圆，产生了这个 e f 的 长度为一，对吧？当然这个时候呢，也很好算，因为打个比方说，这段长度为一的话，同学们就知道这一小段就是二分之一， 这个长度是二，这段长呢，算一下，二分之根号十五啊，那么当然，此时的 m 的 值呢，就是二分之根号三十乘以根号二倍嘛，对吧？当然第一种临界情形呢，刚刚已经算过了啊，这段呢是 根号三，这段呢，就是根号六，乘以根号二就行了，所以根号六可取。但是这种临界情形不可取啊，因为这个圆是不存在的啊，不，不满足要求的，所以二分之根号三十呢，不可取。 ok， 所以 这道题目的答案呢，就非常的简单了啊， 好，所以在第二个问题当中，满足就是你把那个线的区域画出来，对吧？而且越往外越小还要存在，那么因此 m 的 取值范围是大于等于根号六，小于二分之根号三十， 他的计算并不复杂啊，计算并不复杂，麻烦的呢，就是分析的过程。但第一问呢，我想呢，就不用多说了，因为第一问，同学们即使画个具体的图也能够画出来啊。那么他的这个答案呢，我们直接给大家写一下啊，点 a， 然后关联值是 一啊，因为 a 点刚好就是在这个圆上，哼，所以关联值就是一啊，关联值就是一，好， 所以这道题目我觉得是出题质量非常非常高的一道题啊，高的核心的原因就在于说，它是一个非常注重分析的过程， 因为它分析的核心在于，第一你要找到点在哪，第二就是关联值的结论是什么，所以实际上这一道题相当于两道新定义，因为你要分析点的位置，还要分析关联值如何去取，其中最困难的就是当 呃你要明确什么时候才能取到关联值，就是我们刚刚解释的那个呃，分析的过程啊。好，所以这道题目呢，我们就给大家分析到这里啊，我是栗子老师，记得点赞加关注，数学不迷路！

每日一题，日复一日，必有精进。大家好，那最近我们会看一下初三的一些几何的综合题啊，大家有其他想要看的题目的话，也欢迎在评论区留言。 那么这道题是二五年初三上期末数学的第二十七题，呃，一个呃拉手的题型，那么这里面说到一个等边三角形 a b c 点 d 是 边 a c 上的一个动点，做射线 b e 交射线 a c 于点 e， 然后角 d b e 等于三十度，就这个角是三十度， 然后将线段 d b 绕点 d 逆时针旋转六十度得到线段 d p， 那 么差不多是这样，那么然后做 p f 垂直 b d 于点 h， 再交 ab 和 b e 于点 f 和点 g， 然后连接 pc， 那 么他给的图是，当 a d 是 小于二分之一 a c 也就是点 d 是 在 a c 中点的上面的时候， 那么这个时候的特点是这个射线 b e 要想要和射线 a c 相交，这个时候 b e 一定是在 b d 的 下方的，就我们没有办法在上面做一个 b e， 这样的话就会和 a c 的 反向线上相交。 那么呃，二问是要用等式表示线段 p c、 b f 还有 a e 之间的数量关系并证明，那我们去量一下这个长度，就会发现应该是 a e 要等于 p c 加上 b f， 那 么既然猜到了这个关系是 a e 等于 p c 加 b f 之后，那么主要要讲的是截长或者补短， 那结长呢？我们不需要构造太多的线段，就会比较优先想要结长。而且这里面有个非常典型的特点，就是 a b c 和 p b d 都是等边三角形，然后又在 b 点重合了，所以这个非常典型的手拉手， 那么手拉手可以马上想到是 a、 b、 d 这个三角形和 c、 b、 p 这个三角形，它应该是全等的，那么这个时候 a、 d 就 等于 pc， 那么手拉手全等的条件就是边和它的夹角，就是 ab 等于 bcbd 等于 bp， 还有角 abd 等于角 cbd 都等于六十度减去角这个 dbc 啊，然后那这个时候我们就会发现 ae 它等于 ad 加上 d、 e， 那 我们只需要证明 bf 等于 d、 e 就 可以，那么 bf 等于 d、 e 的 话呢？可以想到有可能是用嗯幺三角形，也有可能要用全等， 那么呃，两个边离得非常的远，就很想要用全等证一下。那么这个全等三角形里面 d、 b、 e 这个三角形是非常非常典型的 b、 p 也等于 d p， 那 么就可以看到是 b、 d、 e 这个三角形和 b、 d、 f 这个三角形，如果我们要证它全等的话， f 应该要等于 d、 e 加上 b、 p 等于 b、 d， 那 么如果再有一个角或者是边相等，它就很有可能是对的 啊。那么这里面 d、 b、 e 是 三十度，然后 p、 h 也是三十度，因为 p、 h 是 b、 d 上的垂线，然后 b、 p、 d 这个三角形也是一个等边三角形，所以这里有个三十度。 现在我们已经有一个 b、 p 等于 b、 d 和一个三十度角是相等的，那我们还需要再找一个角，或者再找一条边，就能够证明它们是全等的。那么这个角 f、 b、 p 和角 b、 d、 e 相等，它会比较好挣一点，因为这个 a、 d、 b 它等于角 b、 p、 c 这个是刚才手拉手可以得到，所以 b、 d、 e 它是角 b、 d、 a 的 一个补角，那我们还需要证明是 a b、 p 也是 b、 p、 c 的 一个补角， 那么它们如果是补角的话，就能够说明 b、 f 是 平行于 pc 的， 那 b、 f 平行于 pc， 我 们就可以用 abc 等于角 b、 c、 p 这个错角来证明，那么我们就凑齐了全等的所有条件， b、 f 就 等于 d、 e 了。 那接下来我们看下它的第二个，如果等边三角形 abc 的 边长为根号五，直接写出线段 gp 长的最小值， 那么这里面点 g 和点 p 实际上都是在动的。所以我们先要看一下 g 点和 p 点它大概在什么样的一个位置在变化， 那么 p 点可以发现，因为呃，它是由 d 点产生的一个从动点，而 d 点是在 a、 c 上动的，所以 p 的 轨迹实际上也是一条直线，也就是 p 其实在 cp 这条射线上动的这个角 b、 c、 p 始终是等于六十度的，但是 p 是 在紫色这条线上在动的啊。那么点 g 呢？就要看一下点 g 它是怎么产生的，它是有点 p 往 b、 d 边上做垂线得到的， 然后它交的又是 b、 e 这条边，而 d、 b、 e 的 话也是一个三十度。也就是说，当这个角 d、 b、 e 它如果是在 b、 d 下方的时候，这个 p、 g 它实际上就是三角形 b、 d、 p 的 两条垂线的交点，而 b、 d、 p 又是一个等边三角形，它的垂心也就跟它的中心和内心其实是一样的啊，就是 p g 的 比值和 b、 d 的 比值其实是固定的， 那如果点 b 是 在这个 b、 d 的 上方的时候，就像这个角 d、 b、 e， 那 如果要是在 b、 d 的 上方的时候，我们就会发现这个时候它的长度应该是比 p h 要长的，也就是说 我们这个点 g 实际上是在 b d p 这个三角形内部的时候，它是比较大的，那么也就是说 b d 最长最短的时候，也就是 b p 最短的时候。那么根据等边三角形的比值呢， g p 应该是等于三分之根号三倍的 b d， 而 b d 最短的时候，实际上就是 b d 垂直于 a c 的 时候。那么 b d 的 话呢，据比值它应该是等于二分之根号三倍的 ab， 我们就可以求出来这个 g p 的 最小值了，就是先求出 b d 的 最小值是二分之根号十五，然后再求出 g p 的 最小值，就是二分之根号五。这道题最后答案就是二分之根号五啊，记得点赞关注哦！

哈喽，同学们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给同学们呢，再来解析一下西城区初三期末的几何压轴题，当然这道题目呢，同样的猜答案很好猜，呃，最后的证明呢，其实呢，也是一个相对来讲比较常规的一个模型了，我们一起来看一下啊。 呃，三角形当中， b a、 c 是 九十度啊，这是一个等腰直角是吧？点 d 呢？上面任意一点点 e， 在 它的延长线上， b e 跟 b d 相等，哎，这个点是个什么点？中点啊， 好，然后呢，将这个什么 a e 逆时针旋转，四十五度啊，转到了 am 的 位置，那么做 ef 垂直于它。好，这边注意，这是个什么图形， 等腰直角。好，同学们注意一下，这道题目当中出现了两个等腰直角啊，一个是 b a c， 一个是 e a f 啊， 好，所以在这里面有特殊角，是吧？那么接下来呢，第一问， b d 跟 b a 相等啊，当然，如果 b d 跟 b a 相等，那 b d 跟 b e 相等，那我们根据这个直角三角形的性质我们就知道了，是吧？那么这边呢，一定是一个直角，它求 b e f b e f， 求这个角是多大？ 好，当然了，这个角，嗯，很明显是要通过倒角，而且很特殊啊，大家猜也能猜的出来，肯定是什么二十二点五啊，当然，这个我们也简单给大家算一下，因为在这里面呢，涉及到了一些倒角的问题，对吧？ 那么我们刚刚解释过，这个题目当中有非常非常多的这个所谓的呃特殊角，四十五度角啊， 好，假如说，呃，因为在这一问当中，他告诉我们这个点，呃 b a 跟 b d 相等，那么因此，呃，意味着这个小角 啊，这个小角跟这个小角是什么相等的角，这个逻辑能理解吧，就直接倒角就行了，因为外角是四十五嘛，所以这个小角呢，二十二点五， 写边中一等于写边一半或等腰三角形都行啊，这个呢，也是二十二点五了是吧？好，那么当然这个角呢，自然也就是二十二点五了啊，所以常规的一个倒角就可以了啊，这个我们就不多说了，比较简单。 第二个呢，就是在一般情形下求啊线段 a d 与 b f 的 关系。当然 这道题目啊，还是一样的，考场上先自己去推一推，猜一猜啊。那么 a d 和 b f 测一测，量一量是吧，不到两倍关系，结合特殊角，你自然能够猜得出答案， a d 等于根号二倍的 b f， 所以 你如果能够猜出这个答案，核心就很简单了，一定是要根号二倍啊， 哪里才会有根根号二倍啊，一定会想到去构造什么等腰直角三角形啊，一定要想到构造等腰直角三角形。好，那这个等腰直角三角形好构造吗？好，大家看一下，一个是 a d， 那么注意一下 d 点呢，其实是任意的一点，并不特殊啊，一个呢是 b f， 就 从 b f 来看呢，我觉得 b f 这个线段更加特殊一点，对吧？为什么 b 点是中点一个，第二个 f 点是一个直角顶点？ 好，我们要构造，或者说我们要证明 a d 等于根号二倍的 b f， 因为 a、 d 跟 b f 并不在一个三角形当中，它是分割开来的，所以我们的核心逻辑应该是要证明 a d 所在的三角形与 b、 f 所在的三角形之间能够建立一个联系，对吧？ 好，所以很显然刚刚已经给大家提示过，这是一个等腰直角，这也是等腰直角。在非常多的等腰直角当中，我们会想到什么模型？ 手拉手啊，会想到手拉手模型，因为你人为的想要去 构造一个 a d 等于根号二倍的 b f， 那 么同学们想一下，如果我去构造根号二倍的 b f， 是 不是比较容易能够想到过 f 点做 f b 的 垂线？当然也就是说把 f d f b 啊旋转九十度就行了， 或者说做垂直并延长，使得 f b 跟它相等。为什么？为什么？ 垂直？垂直这个等腰直角，这个也等腰直角，典型的手拉手，证明出这个线段跟哪个线段跟这个线段是相等的，对吧？因为你有全等三角形，当然你要证明这条线跟 a、 d 相等，就是所在的 三角形全等已经很显然了，对不对？你第一组手拉手已经能够得到这一组全等了，要证明这两条线段相等，还有这一条线段也相等，剩下来的核心是什么？倒角？ 好，所以我们结合前面的这个题目呢，我给大家画了一个具体的图啊，我在这简单的给大家把辅助线呢，也给同学们写一下，我们的辅助线就是过 f 点做 f g 垂直于 f b， 并且使得 f g 等于 f b， 目的就是为了构造一个等腰直角三角形，对吧？当然还要连接一下 b g， 目的就是为了构造 三角形 f b g 为等腰 rt 三角形，因为如果它是一个等腰直角三角形，就一定有 b g 是 等于根号二倍的 b f， 当然我们的目标就是证明 b g 跟 a d 相等。 当然手拉手，因为你构造了这个等腰直角呢，就必然会产生什么手拉手模型啊。 这个手拉手我就简单给大家写了，就是三角形 f， e、 g 应该是全等于三角形。呃， f a b 的是吧？那好，这两个三角形是全等的，当然也就能够得到 a b 跟 e g 肯定是相等的。 我现在要证的是 a d 跟 b g 相等就行了，因为这样一来就有根号二倍了，而我已知了 a b 和 e g 相等，一组手拉手，我还知道 b e 跟 b d 相等，所以很显然是哪两个三角形啊？ a， b、 d 和 e b g 这两个三角形全等就行了，对吧？而且已经有了什么两组边哦。 e g a b b g a 啊，不，那个 b e 和 b d 已经有了两组边，对不对？很显然，要找什么啊？ 找夹角吗？这个角多少度啊？四十五度。只要能够证明这个角是四十五度，是不就可以了啊？这个逻辑就很简单了，对吧？好，因为这个角呢是四十五度，所以 a b 呢？本身呢，跟这个 e g 是 相等的，然后再加上一组边， b e 跟 b d 也是相等的，所以我现在的目标就是能不能把它证明出四十五度出来。那当然，很显然还是什么倒角啊，假定这个角是 r 法角，那么这个角呢，也就是 r 法角，这没毛病吧？ 好，这角四十五度，那么这个角呢，就是四十五减去 r 法角啊，因为这个角，巧了，还是 r 法。 这个逻辑能理解吗？为什么？因为这个角是四十五度啊，他是外角啊，等于两个角之和，他是阿尔法，那当然这个角是多少了，还是四十五减阿尔法， 明白为什么吧？原因是 a、 e、 f 是 等腰直角啊，他是阿尔法，他就四十五减阿尔法，所以你会发现这个角是阿尔法，这角四十五减阿尔法一加呢，就是四十五度。 所以其实这个题目最难的那个点呢，还是那两个字，倒角啊，所以我们就可以推出，我就简单给大家写了啊，三角形 a、 b、 d 是 全等于三角形，这个 g、 e、 b 的 啊，好，所以可以得到 b， g 等于 a、 d， 当然也就等于根号二倍的 b、 f。 好，当然这道题目呢，我还是想要强调一下，就是我们不为解这道题，而是要想一下，为什么我们要这么去想，以及它怎么算出来的。第一问不多说了，在第二问当中，同学们通过先猜先量啊，大概推出答案呢，应该是根号二倍，怎么才能产生根号二倍呢？ 对吧？那么一般来讲呢，就是构造等腰直角三角形呢，你要么就是以 a、 d 来构造，你要么就是以 b、 f 来构造， 当然，因为在这里面已经天然地出现了等腰直角，对吧，所以构造根号二倍呢，我相信呢，不是特别难想啊，就是你稍微试一下啊， 这样构造等腰直角之后呢，就必然出现手拉手啊。其实这个题目就是一个非常经典的，叫做逆向啊，或者说我们去构造手拉手模型，稍微多说一下，什么两个等边，有几个等边呢？几个等腰直角啊，这种图形考察手拉手是非常非常多的啊，非常常见 好吧，所以剩下来的问题就很简单了，对吧？只需要证明 b g 跟 a d 相等，那你要证明两条边相等，就是全等，你已经找到了两组等边，只要找夹角啊，夹角又是个定角，四十五度，剩下来的就简单倒倒角呗，是不是？ 好啊，所以这个题目呢，我们就给同学们解析到这里啊，供大家参考啊！记得点赞加关注，数学不迷路！

各位同学大家好，我们一起来看一下二零二六年西城九上期末的运综合。这道题对于他来说呢，相对来说还是有一些些难度的，主要是在这里边他运用到了一个全等中卫线以及 共编勾股方程，尤其是这个共编勾股方程是很多人可能不太能想到的，所以二十四题在考场的时候会给很多学生带来心理上的压力，以及答题节奏上的一个阻力。 好，我们来看一下第一题，嗯，他告诉我们这个点 d 呢是弦 bc 的 中点，所以这个时候我就我们就能得到 o d 是 垂直于 bc 的 垂直定律。那这样的话呢，我们会发现你这个第一问 b o e 和这个角 c b f 这个等量关系呢，就非常简单了， b o e 就 这个角是阿尔法，我们可以假设这个角呢就是贝塔，阿尔法加贝塔等于九十，因为你这个地方是相切，所以你这个地方应该也是阿尔法，那这样的话第一分就出来了， 这第一题呢还是比较简单的。第二个 g 是 c d 的 中点， g 又来一个中点，我们在几何当中处理中点是相对来说比较清晰的，很多学生在圆中当中处理中点呢就会比较乱，那这个 d 是 中点能干嘛呢？哎，其实这个时候大家可以想一想啊，就是你会发现只要你连接 a c， 这个时候呢，你会得到一个九 度的角，那这样的话呢，这条边和这条边就平行了，它一旦平行了，你会发现这个三角形和这个三角形就全等，所以 这个原宗这个问题我觉得出的还是非常好的，这样的话呢，还有一个内容，就是这个呢是终点，这个呢也是终点，所以你会发现它有一个中位线，题目里告诉我们说半径是三，那这边是三，这边是三，我们假设这边是 x， 这边就是二倍的 x， 对 吧？看我全部都写出来了，是二倍的 x， 所以 我们就能得到这个 x， 应该是 一，这边应该是一，这边应该是二，我就直接替换掉了这里大家呢稍微注意一下，这个是我们的第一个想法，我们要求的是谁？我们要求的这个 b f、 b f 有 啥关系呢？目前看来不太清晰， 对吧？所以你想你要是求 b f， 你 得知道什么？你得知道 a b a b 知道吗？知道。你得知道什么？你得知道 a f、 a f 知道吗？ a f 现在不知道，对吧？所以我们接下来要去求 a f， 那 a f 怎么求呢？哎，现在可能是很多人又卡住了一个细节， 那我们会发现你把这些边都表示出来之后，我们现在能得到的是什么？能得到是这边应该是二，根号二，这边呢？应该是根号二，这边呢？应该也是根号二这样的一些边的关系，那如果说这样的边的关系，我们把它给种出来之后，这边应该就是二了，对吧？那我们就可以得到，这边呢也就清楚了，对吧？它应该是等于根号六 二加四，那这边是不是应该等于根号六，这个点 g 是 它的一个终点，那这边是根号六，这边是三，嗯，我现在还是得知道这条边才行呀，我们会发现这条边到现在还是不太清楚， 那该怎么去解决这样的一个问题，嗯，这就是我们所说的这里边比较复杂的一个点了，那如果说你对于这个辅助线看的比较清楚的话，我们会发现如果我连接了这个 b e， 我 用 b e 去求这个 b f， 是 不是相对来说会更好一点？那这个时候我们怎么去想到连这个 b e？ 那 就是说我们现在九上的一个内容当中，我们经常能用到的知识， 那就是特殊角度，这到底有没有？目前来看没有，这是第一个，第二个就是有没有我们所说的九十度的角，因为一旦有九十度的角，我们就可以用 固定里或等面积法了，这个时候我连接 b e， 它也会和 e f 有 关系，也会和 b f 有 关系。而且我们会发现这个 b e 这样的一条边我们是能求的，为什么能求？因为这边是二倍根号二，这边呢是二，所以这边呢应该是二倍根号三。我们已经求了这么多了，那我们还是能怎么去求这个 e f 呢？ 这个时候很多人可能就想到了相似，对吧？也就是我们所说的摄影定律，这也是我们在九上已经学完了内容。这个时候呢，我们会发现这个 b e 的 平方应该等于这个这一边乘以这一条边， ok， 对 吧？这个没有问题。那如果说我们就用九上的知识来做，能不能做呢？也是可以做的啊。我设这边是 x， 那 如果说这边是 x 的 话，我们就能得到这个 b f， 这样写一下啊，在 r t 三角形 b f 中我们可以得到什么呢？我们可以得到的是 b f 的 平方，应该等于十二加上一个 x 方，那应该就是这条边加上这条边，那同理我们还可以写是什么呢？就是在 r t 三角形 a b f 中， 我们会发现 b f 的 平方应该等于二倍根号六，加上 x 的 平方减去一个三十六，对吧？在这个三角形当中，它应该是等于这个斜边减去这个直角边的平方， 按照这个逻辑，我们就可以把这个式子给联系起来了，那就知道十二加上 x 方，它就等于二十四，加上一个 x 方，再加上一个四倍根号六， x 减去一个三十六，我们可以得到的是四倍根号六， x 就 等于二十四，所以 x 呢就等于根号六，那 这一边呢就是根号六。好，那如果说这一边是根号六，我们得到了之后，那接下来我们会发现你再去求这一条边就很好求了，直接利用这样的一个勾股定力就行了。这边就是 b f 平方就等于根号下，嗯，十二加上一个六等于十八，等于三倍根号二，咱们这道题就解决掉了。当然如果说你使用摄影定律的话呢，你会快速的求出这个 e f， 求出 e f 之后呢，你就可以更快速的求出 b f， 这个呢也没有问题。

各位同学大家好，我们一起来看一下二零二六年西城区九上期末的几何综合，这道题相对于东城和海边的考法还是比较常规的手把手，问题难度不大， 嗯，也比较简单，而且他抛弃了西城最喜欢考的一个最值问题，所以总体上来说呢，难度应该还是比较低的，在考试的时候呢，给学生带来的阻力可能没有这么大。 来看一下这边的第一题，第一题他告诉我们这个 b a 等于 e d， 然后呢，我们还知道的是，这个角是四十五度，这个角也是四十五度，所以我们就通过这个角可以得到这个角应该是二十二点五度，这边这个角呢应该也是二十二点五度。那这样的话呢，第一问咱们就直接做出来了，这个角呢是二十二五点五度， 这是第一题。好，我们来看一下这里边的第二题。第二题他让我们去表示 a d 和 b f 之间的关系，那两个边的关系。其实从我们现在这个角度上来想，我们首先肯定猜的是 a d 等于根二倍的 b f， 现在呢，你要么在 a t 上 a t 旁边构造一个等效值，要么在 b f 旁边构造一个等效值，我们会发现 f 这里边呢非常的特殊，它在这里边已经有了一个等效值 e f a 了，所以如果我利用 f 这里再构造一个等效值，那我这道题就出手拉手了。所以我的这个想法应该是很清晰的，我直接在这里边做一个垂直于 b f 的， 并且让它等于 b f 这样一条线，假设是 h， 我 连接 e h 和 b h， 这样的话呢，我们就能得到这里边这个图形和这个图形直接就全等了，这是手拉手全等，我们可以简单的写一下啊，三角形 e、 h、 f 就 全等于三角形 a、 b、 f， 这个呢是手拉手全等，我做的是一个等值，你给了我一个等值，那接下来我们再来看一下，呃，我怎么再把这个 b、 h 这条边给它给导到我们所谓的 a、 d 这里，这样的话呢，才能建立起来关系，对吧？ 也就是说这个图形 b、 h 所在的三角形和 a、 d 所在三角形应该是有一个全等的，那答，应该在此时也能想到，应该是这个三角形和这个三角形应该是全等，那么 这两个三角形全等是否可证呢？我们会发现也是比较简单的。为什么比较简单？第一个，我们根据刚刚的手拉手得到了这条边，应该是等于这条边的，这是第一个。第二个，又根据题目中的一个条件，我们知道这个 b、 e 是 不是应该还等于 b、 d 的， 那我们接下来呢，就知道这个角应该是四十五度， 所以我要倒通的是 s a s， 那 这个角只要是四十五度，这道题咱们就中出来了。根据第一问的全等，我们知道这个角是阿尔法，这个角也是阿尔法，对不对？那我们呢会发现这个角呢，它也是四十五，我们假设这个角是贝塔，阿尔法加贝塔等于四十五，那你会发现这个角它也是阿尔法，为什么？因为我们可以使用三角形的外角， 对吧？三角形的外角，所以这个角它就是阿尔法。那如果说这个角是阿尔法的话，我们会发现阿尔法这个角是不是也等于四十五度？那这个角是不是就贝塔 这个角就是贝塔？如果你觉得我们在里面这个倒角写的不是很清晰，那我在这边呢，可以这么去写啊，我呢假设这个角是阿尔法呢？这个角是阿尔法没问题，那这个时候有一个等腰直角三角形 a、 e、 f， 所以 这边这个角呢，应该就是四十五度减去一个阿尔法， 所以你会发现这个角就是阿尔法了，利用的是三角形的一个外角，对吧？三角形的一个外角就得到它是阿尔法，如果它是阿尔法的话，那这个角就是四十五度，减去一个阿尔法，为什么就又回到了 a、 e、 f 这个直角三角形当中，所以我们会发现这个角应该是四十五度，那这个角是四十五度，这个角也是四十五度，那这样的话呢，这个三角形 e、 h、 b， 它就全等于三角形 b、 a、 d， 对 吧？这两就全等，它两全等之后，那这个 b、 h 就 等于 a、 d， 就 等于根二倍的 b、 f， 这样的话，这道题咱们就做出来了。这道题的思路是非常清晰的，设计的点呢，也没有什么比较复杂的地方， 在倒角这里呢，也没有那么的怪，也都是比较成微的，所以说学生在做起来应该会比较舒服，比较轻松。

下周北京各区初三年级都会进行期末统考，那么在考前的最后几天，我们应该如何进行突击？各位家长，各位同学，大家好，因为最近的话，正好带着孩子们进行考前冲刺，那今天我们就用一个视频来把几何部分，尤其几何综合这个板块给大家去说一说。 最近有一些名校都会进行考前模拟啊，那么我们呢，也把这个考前的一些名校的题目啊给大家去整理了一下，整理完之后的话，其实我给大家去分析一下，今天因为时间的关系，我不可能说每道题都带大家来去讲， 来去做，因为是考前突击嘛，所以我更多的是会给大家说思路，说方法，但是呢，也会单独的拿一道典型性的题目，并且说我觉得这四道呃比较好的题目当中，最优质的题目，值得大家一试的题目来去讲一讲。首先第一个人大附，这个人大附这个他不是本校的，他应该是一个分校的，如果没记错，应该是人粹的吧，还是哪个学校？ 呃，他这道题的话源自是七乘三番的这个期中考试题啊，因为他是原题，所以我就没有去做过多的这种解读和讲解，过程我直接给大家写在这了 啊，如果你刷过的，那就不用再去考考虑他了，如果你没有刷过的，那你可以把他截下来去做一做好。然后第二个的话，是首师附的十二月月考， 首师附的十二月月考。这道题的话，他跟我们的这个期末考试的方向很贴近啊，就是手拉手加终点模型，嗯，我们可以看图二就能够立刻的反映出来，我这是已经做好步骤的了啊，他其实考察到的是手拉手和中卫线用的这样一个方法，但这道题太简单了，所以他不值得我们单独花一个视频来进行讲解，所以我也不讲了。然后第三个的话是十一学校的十二月份的考试题， 道题还是一道原题，他是北京四中的这个期中考试题，所以当时我们还给大家去用了多解的方式去进行了讲解，分别包含了法一、法二、法三，考的就是手拉手模型以及我们的这个基础的等腰三角形的结合。好等腰直角三角形的结合，那这个的话也是不多说了，所以今天的话，我们用什么题目来去进行突击几何呢？就是我们的清华附十二月月考这道题目出的特别好， 特别特别好啊啊，他一是有难度的，他真的是有难度的啊！那二，如果你是成绩不错的学生，如果你想用它来达成多解的效果， 也是一个比较呃考验人的事情。好，那接下来的话，我们一起来看啊，我会用这道题来完全模拟一下在考场上遇到几何综合问题，学生自己本人，你应该怎么做。首先第一步先来读题，他说如图有一个角叫 p a q， 我 们先找到这个角啊， p a q 这个角， 这个大角，它是大于六十度，小于九十度的，这是它的条件范围。点 b 在 射线 a p 上是一个定点，所以点 b 的 位置是固定不变的，它不会动。点 c 是 a 射线 a q 上的一个动点，所以点 c 的 话，它是可以左右移动的，你在脑子里面应该有这样一个动图的概念， 接下来连接 bc， 点 d 为线段 bc 上的一个点，角 b、 a、 d 等于六十度。好，那我接下来在这个地方去标好了角 b、 a、 d 这个蓝色的角，它等于的是六十度。好，从这开始， 后面就是要让我们自己去进行画图的了啊。将线段 b、 d 绕点 b 顺时针旋转六十度得到 b、 e， 所以 这个角也是六十度得到 b、 e 连接 a、 e 连接 d、 e。 啊，把它都连好。线段 d、 e 与 a、 c 交于点 f， 图中也已经标好了，当点 c 运动到如图所示位置的时候，角 a、 d、 e 等于角 b、 c、 a 等于阿尔法。来找角啊， a、 d、 e 是 阿尔法，角 b、 c、 a 是 阿尔法。好，到这结束了吗？没结束。所有同学请注意啊，你的题虽然是结束了，但是你的思维没有结束。为什么呢？因为当我看到这有阿尔法的时候， 我把这个阿尔法和这个阿尔法写完之后，我的第一个反应是什么？是这个角和这个角相等。如果你没有这个反应的同学，那么说明你在几何综合这个部分还是没有这种连贯性的思维啊。为什么要这样说？因为我们在做几何题目的时候，辅助线是很重要的一部分，除了辅助线之外，还有一个最重要的就是倒角， 有倒角思维。怎么有倒角思维呢？因为这是一个外角，看到了吧，这个角 b、 d、 e， 它是一个外角，它等于角 d、 c、 f 和角 d、 f、 c 相加，它们两个的和。那因为我们又可以看到我们的这个 b、 d、 e， 它被拆成了两部分，而它又等于两部分的和 这两部分当中又有一个重合的阿尔法，那这不就出来了吗？对吧？所以这个反应一定要有啊。那我们会有什么样的反应呢？首先这会是一个六十度减阿尔法，这也会是一个六十度减阿尔法。 好，你如果有这个反应，那就说明你对于几何综合的部分，其实它是有这种连贯性的思维在的，这是 ok 的。 好，那接下来的话我们再继续看，再继续去看的话，看哪看问题？第一个补全图形补完了。第二个求角 b a、 c 的 大小，用阿尔法来表示， b a、 c 看到那个角了吗？ b a、 c 这个角，也就是说他题目当中给我的这个角啊，告诉你，大于六十度，小于九十度，对吧？让你去求他的这样一个度数，那接下来我们就要去想的是，我要想求他的度数可以怎么求？在几何综合题的板块，想求一个角的度数，你就记住倒角就够了。倒角用到的两个工具，一个叫三角形的内角和 等于一百八，第二个叫做三角形的外角， ok， 把三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和这两个概念你要清楚，如果你擅长用这两个工具的话，那么你在导角的板块问题也不会很大。好，那接下来我们来看一看可以用什么样的方式来去进行导角。 首先我们是不是能够把我现在题目当中所标的所有的符号都给他标好了啊？标好了之后的话，那接下来我们就去看用这两个工具应该如何去进行解析了啊？首先我刚刚是不是说过，一个是三角形的内角和一个是外角， 所以我要想求 b、 a、 c 这个角的话，那我是不是可以先去试一试这个角能不能求出来？就是我们的 d、 a、 f， 如果 d、 a、 f 能够求出来，我上面有个六十度，这两个角相加，是不是就是我们要求的 b、 a、 c 这个角了？那 d、 a、 f 这个角可以怎么去求？它所在的三角形就是 d、 a、 f 这个三角形，这个三角形内角和好找吗？ 只有一个阿尔法，剩下两个角我都是未知的，对不对？而且其中一个还是我的所求角，那外角好找吗？好找，有一个六十度减阿尔法，看到了吧？所以那么这道题我是不是可以利用的就是外角的概念？ 好，那外角的概念应该怎么做？我来跟大家去说一下啊。我这个六十度减阿尔法是不是应该等于我们的 d、 a、 f 加上阿尔法得来的？所以那么我要求的这个角我写在旁边啊，角 d、 a、 f， 他 就应该等于的是外角六十度减阿尔法，再减一个阿尔法得来的， 对吧？好，那这样的话，我们把它整理一下，就应该是六十度减两个阿尔法，那么他让我求的角 b、 a、 c 就 应该是我们的角 b、 a、 d 加上角 d a、 f， 那如果是这样的话，是不是就应该是六十度加上六十度减二阿尔法，所以他就会变成了一百二十度减二阿尔法。那这个就是我们所说的第一问的圈二， 他只要考察到的就是你的导角能力，而这个导角能力会跟什么有关系？就是你接下来第二问的纠结。好，那么我们来看第二问，第二问的话，他其实这道题考的，说实话，他在问题当中没有给你做任何的陷阱，甚至把辅助线告诉你了啊，他说若 c f 等于 a f 加 a e 到这了啊，来读题了，我们来看 cf 在 哪？ cf 在 这，如果它等于的是 af 加 ae 的 话，那我们现在 af 是 不是就是它左边的这条线？那 ae 在 哪？ ae 在 下面对不对？那它现在是不是没有达成 af 加 ae 的 效果？所以我们要做的事是什么？是把 af 和 ae 放到一起去， 能理解吧？那怎么放呢？我就把 f a 延长就好了，我把 f a 给它延长出来一个 a e 的 长度，比如说这个位置是 h， 那 也就是说延长 f a 到点 h 是 a h 等于 a e 好， 接下来最后一步连接 e h 好， 连接 e h， 那 这样的话是不是我要做的 af 加 a e 就 结束了？ af 加 a e 得到的是 h f， 所以 现在题目当中给我的这个思路和条件就是什么呀？ cf 等于 h f 好，那 c f 等于 h f 了之后，他让你去求的是 d f 和 e f 的 关系，数量关系， d f 在 这， e f 在 这，我们直接肉眼可见，他们两个应该是相等的关系，那应该怎么样去证明就是我们接下来要去做的了啊？我现在辅助线是画完了的，那我们来看看条件够不够。如果我想证明 d f 等于 e f， 这里面是不是会有一个八字 全等在？但是这个全等应该怎么正对吧？哪里有八字全等？如果你还没有看到，快看啊， c d f 这个三角形和 h e f 这个三角形，它是不是就会形成我们所说的这个八字全等，你看我把它画好之后，是不是像一个数字八一样？好，那如果是这样的话，我们接下来就要去看条件啊，看条件正，他的全等的条件够不够？ 首先，因为我做了这样一个辅助线，我是不是有的就是 h f， 他 会等于 c f 一 条边等就有了。 其次，那我们可以看到这有对顶角，所以一个角一个边有了，那接下来我还要再去找的要么是边，要么是角，那要找边的话，你只能找 d f 等于 e f 了，而它就是让我们求的这个，所以不能再找边了。那接下来去找角就好了， 那找角的话可以怎么去找？我们可以看到 d c f 这个三角形里面有一个阿尔法，所以我要再去证明这边也是阿尔法的话，那么角、边角这两个三角形就会形成全等了。好，那因为 a he 是 一个等腰三角形，如果这是阿尔法的话，是不是 a e h 就 也是阿尔法了？所以那么 f a e 是 不是就应该是二阿尔法？ 好，那我应该怎么去证明它？怎么去证二阿尔法呀？到现在为止，我是不是还没有用到任何我的旋转手拉手啊？到现在为止，我要去想的是，那接下来我应该怎么去证明它， 怎么去证呢？第一，问的圈二有一个一百二十度减二阿尔法，而这个角叫 b a c， 也就是我画红色的这个角，它是一百二十度减二阿尔法，那我下面求的这个角又想让它是二阿尔法，也就是说我只需要证明 b a e 这个角是一百二十度就可以了。 那我怎么样才能构造出来一个，或者说能够证出来它是一百二十度？光看现在这道题，现在是没有任何一百二十度的思路给我的，唯一有一百二十度思路的就是 c、 d、 f 这个角， 那这个角的话，他也不能说给我带来什么实际的用处吧？好，所以因为他跟我，跟我的手拉手呀，什么可能也没有什么相结合的东西，所以我接下来要去想的是手拉手模型我该怎么构造了，因为做几何题目的话，第一个反应一定是手拉手。好，那手拉手的话，我们就可以看看什么呢？这有一个等边三角形 b e、 d。 等边三角形 b e、 d， 所以 手拉手模型一定是在它这个角度构造的，而且我要求的是 b a、 e 这个角，所以它所在的三角形 b a、 e 最好用它去构造手拉手。那它怎么去构造手拉手呢？和 b e 相等的是谁？是 b d， 所以 我的辅助线思路就出来了，我要在看好了啊，我要在 b 的 位置看好了啊，看好了啊，我要在 b 的 位置给它做出来这样一个等边三角形来，那这的话我们给它标上 k。 好，那这样的话很多同学会说，老师，那我应该怎么说这个辅助线呀？我们可以说辅助线的方式会比较简单一些啊，我们可以说的是，呃，这个在 a d 上截取一点 k 是 a k 等于 ab， 能理解吧？啊，那这样的话说完之后会有什么样的结论呢？就是 a k 如果等于 ab 又一个加角六十度的话，那么 b a、 k 就 会是一个等边三角形，它如果是等边三角形的话，那么 b a， 它也就等于我们的 b、 k， 这是我们所说的一条边等。同时等边三角形的话， a、 b、 k 是 六十度，而 e、 b、 d 也是六十度，所以他们旁边剩的这个角度，这个角和这个角就应该是相等的关系。好，那这两个角如果是相等的关系的话，那现在一条边一个角有了 b、 e 又等于我们的 b、 d。 看到了吧？所以现在 b、 e 等于 b、 d 加角相等， b、 a 又等于 b、 k， 所以 这两个三角形就会形成全等。 ok， 那 我就简单写思路了啊，我们就可以知道，三角形 b、 k、 d， 它是全等于我们的三角形 b、 a、 e 的， 那全等的条件是边角边。 好，那如果这样全等的话，是不是我们想要的那个角？看好了，角 b、 k、 d， 它就应该等于我们的角 b、 a、 e， 那 b、 k、 d 是 多少度呀？因为 b、 k、 a 是 六十，所以 b、 k、 d 肯定是一百二，那是不是就是达成了我们想要的效果？它是一百二十度， 好了吧？那如果它是一百二十度的话，我们的角 f、 a、 e 是 不是就等于一百二十度？ 减去一百二十度，减二阿尔法，所以它就是二阿尔法，所以 f、 a、 e 这个二阿尔法，我就把它正出来了。正出来了之后的话，那么接下来因为 a、 h 等于 a、 e， 所以 角 h 等于角 a、 e、 h 等于阿尔法。好，那这个很重要的阿尔法我就挣出来了。好，那这个阿尔法有了之后，接下来我们来看啊，因为这是阿尔法，这也是阿尔法。然后 f、 h 等于 f、 c， 这个角和这个角是对顶角，那是不是角边角？两个三角形全等又有 a 啊？ 好，分别是什么？我写在右边了啊，分别是我们的三角形 c、 d、 f 全等于我们的三角形 h、 e、 f 全等，条件是角边角，那这两个三角形一旦全等了，那是不是 d f 就 等于 e f 了？所以这道题我们就把它做完了，那这个是一个完整的做题思路。这个过程当中我给大家不断的去 提醒你，要是看到求角度，应该想的是内角和外角，那你应该怎么去倒角，怎么去用？其实倒角的能力就是在不断的练习过程当中巩固下来的。 第二个的话，你是不是能够分析出来题目当中给你的条件其实隐藏的是一个辅助线，那这道题目的话有没有别的办法？有啊，他还有一个第二个方法，但是也是用他题目当中给我的思路，那我快速来说一下，特别快速啊。好，我们可以看看下面这个图 一样的，他告诉我说 c f 等于 af 加 a e， 那 我就还是一样的把我的 af 加 a e 先放到一起去，然后再去连接我的 e 和这个点，那这个点我们假如给他一个点叫 q 点， 那这样的话我连了辅助线，我最终想证明的是不是还是我们的 c、 d、 f 和我们的 q、 e、 f 这两个三角形是形成全等的关系的， 那这还是我最终想证明的那一点啊，那如果我想证明他的话，只不过我的手拉手模型不再是用我上面这个读的手拉手模型了，那我可以用什么样的手拉手模型呢？刚刚说过，手拉手模型它一定是在等边或等腰三角形的基础上，那这个图里面只有 b e、 d， 它是一个等边三角形目前存在的。 那我刚刚用的是点 b 去构造了一个旋转手拉手，那我能不能用别的角来去构造？能不能用别的点来去构造？一定要记住我们的核心是什么？我们的核心是想求 f a e 这个角是二阿尔法 才能出来角， q 是 阿尔法，能理解我们的核心一定是找它的。那如果它的话，它除了在 b a e 这个三角形里面的话，它在不在和 d 有 关的三角形里？ 谁呀？ d a e？ 所以 我们是不是还可以把 d a e 去进行手拉手的构造？那应该怎么去构造呢？就是把 d e 旋转到 d b 的 位置，所以那我们的 d a 也得进行旋转， 那旋转之后的话，它可能就会到这里，然后把 b p 去正常的延长出去，不是加倍啊，把它延长出去，延长到这个点，假如这个点我们给他一个 l。 好， 那如果是这样的话，接下来我们来看了啊，来看了看他的条件够不够正。首先 d a 和 dl， 它竟然是旋转六十度，这是我想做的啊。那有些同学又会问了，说，老师，那你这个辅助线应该怎么去说？那其实这个辅助线说的方法会比较简单，或者你用什么样的方法都可以啊，你可以说的是我把 da 给它旋转到 dl 的 位置啊，这样去做，你也可以说的是我把这个 b p 延长到 l， 然后使得这个 b l 等于 a e， 然后再去连接 dl， 这样也是 ok 的。 但是无论你用什么样的方式啊，无论你用什么样的方式，你最终都能证明出来的是 a l、 d， 这是一个等边三角形，能理解吧？啊，他如果是一个等边三角形的话呢？接下来我们把题目当中的一些条件标一下，如果是等边三角形的话，这就是阿尔法了，因为这个大角 就是六十度，看到了吧？啊，这也是六十度，好，那这样的话，标好之后的话，这就是一百二十度 减阿尔法。我先都标好啊，我看一下，我看一看我这个全等能不能证的出来。首先 dl 等于 d、 a， 这是一个边等。 其次 d、 b 等于 d、 e， 这是一个边等。然后 l、 d， a 和 b， d、 e， 这是六十度，所以那么这两个加角都是阿尔法，没问题吧？好，那是不是这两个三角形的全等就又出来了？我们可以简单的来给他写一下啊，叫三角形 d、 l、 b 全等于我们的三角形 d、 a、 e 全等的条件是边角边。好，那这是我们所说的全等，除了这个全等有了之后的话，那我们是不是这个角的六十度就出来了？这个角因为全等嘛，所以角 l， 它就等于我们的角 d、 a、 e 等于六十度啊，等于六十度，如果等于六十度的话，那我们就可以根据第一问，我们所求出来的这个 b、 a、 c 等于二阿尔法，可以得到我们的这个角是二阿尔法， 能理解吧？就是倒角吗？这个位置就是倒角，所以他的二阿尔法出来了之后，那我们的角 q 又等于我们的角 a、 e、 q 等于阿尔法了， 好，那这个阿尔法就出来了，所以这个关键性的阿尔法也就出来了啊，出来了之后的话，那剩下的过程就跟我们上面的疑问的过程是完全一样的了，再去挣一个八字全，等挣完之后的话得到对应的线段等。所以这道题你看啊，我是用这一道题目给大家去说了说，并且这道题的方法手拉手的方法给大家用了两种， 希望大家通过这道题目，对于几何综合的辅助线思路以及答题模式都有清晰的了解和认知了。好吧，那接下来孩子们加油了啊，希望在接下来的期末考试当中，大家都能取得一个好的成绩。

我们一起来看一下西城二零二六年九上期末的袋鼠通河，这道题呢，确实有点出乎我的意料，我觉得西城是不应该再考大小问题的，或者说应该会考一个稍微较新的，有一个变化的题型，但是没想到考的依旧是大小问题。 第一题，当 y 一 等于 y 二等于 c 时，那我们会发现呢，这就是纵坐标相等啊，纵坐标相等，那红坐标的和就是对称轴的二倍，那我们通过这个式子呢，我们可以快速的发现，这个对称轴应该是 x， 应该是等于二的，所以第一个 x 一 加上 x 二，它应该就是等于四的， 这个对大家来说呢，非常简单。第二题也是老中常谈的问题了，不过现在呢，我们不能用做插法这个公式去做题，我们需要去用图像去分析。第二题，因为开口方向咱不知道，所以呢，咱们假设 a 是 大于零的，如果 a 大 于零，我们要简单的分析一下这边的一些东西啊，我们画一个草图，你现在要去标的量，你会发现你的一个餐 参照的一个线应该是二，对吧？所以此时你会发现，当 a 大 于零的时候啊，这个 a 加二，它就一定是大于二的，它就一定会在二的右侧。那我们画一条线， 那这边呢，如果是 a 加二，那这边呢，应该就是负 a 加二这个对称性，咱们要快速的把它给求出来。那现在这个 a 在 哪，咱们不太好确定，但是我们 一看，哎，我们发现 x 二太好确定了，对吧？那我们呢， a 加三一定在 a 加二的右侧，所以这样的话呢，我们的第一问呢，其实就已经做出来了，这个区域就是 y 二的区域， 我们要保证 y 一 都小于 y 二的话，那 y 一 的取值范围就只能在这里边了，对吧？就只能在这了，所以我们就能得到这样的一个不等式了，这个不等式应该是 a， 他 应该要大于负， a 加二能不能取等，我们要确认一下，因为你这里边都没有带，等我，哪怕就算重合了，我是空心圈，你也是空心圈，咱们俩也不也没有交集，也没有公共的部分，所以呢，他是可以取等号的，那这里面就是二， a 他 大于一个，二 大于等于二， a 呢，就大于等于一，那这样的话呢，第一种情况就结束了。第二种情况，如果 a 小 于零的时候， a 小 于零，它的开口是向下的，此时我们要去分析，这里边，我们又能怎么去分析呢？啊？还是用对称轴来看啊？ x 等于二，上一个它是明确的 啊，那这个你会发现它就是明确的了，因为 a 小 于零， a 加二就一定小于二，所以这一个就是 a 加二，对吧？那此时 a 一定在它的 左边，那这边就是 a， 那 我们现在得到的这样的一个区域，应该就是 y 一 的一个区域，所以此题 y 二的一个 区域就只能在这边啊， y 二的区域就只能在这，那我们就能得到的是什么呢？ a 加三应该在这个位置， a 加三应该小于负， a 加二能不能去等呢？同样的道理啊，是可以的，那我们就能得到二， a 就 小于等于个 负一，所以 a 呢，就小于等于负的二分之一，我们把两个答案呢给它给和到一块，这道题就结束了，一个非常基础的大小比较问题，前几年呢？经常会考，我们今年不论是中考和模考，出现这样的题目的概率我觉得不是特别的大，大家呢，可以看一下。

记得点赞关注哦！

大家好，我是萌哥，接下来我们看一下刚刚考完的这道二六年北京西城初三期末的几何综合。呃，这道题呢，其实难度不大哈，我们只要猜对了方向，那么这道题还是比较好解决的，我们一起来看条件当中， 第一个条件是等腰直角三角形 abc， 看到没？接下来第二个条件是线段相等啊， e b 等于 d b， 第三个条件是旋转四十五度，加作垂直，哎，其实是第二个等腰直角三角形 a e、 f。 好吧，那么第一问呢，我们就不接不说了啊，是白给分的题，我们主要来看这道题的第二问，第二问当中，他让我们去求什么呢？ 他让我们去求 a、 d 和 b、 f 这两条线段的关系，那么做这种题的时候，哎，一定是什么？一定是先猜或者是先量后正 啊，那么对于这道题来讲，你会发现它有四十五度，对吧？当有四十五度的题目，那我猜这两条线段的关系的时候，我有两种猜测，第一种是二倍的关系，第二种呢，哎，就是这个根号二倍的关系， 没问题吧？那么这道题啊，最终的结果呢，它是根号二倍的关系 好吧，哎，就是因为它有四十五度啊，所以跟二倍的关系，它是实际上，嗯，就是我们通过量啊，可能量的更准确一点好吧，哎，通过量啊，如果二倍呢，它就比较明显啊，因为这个图 a d 和 b f 呢，都是它题里边直接给的，不是我们画的，所以它的误差比较小， 所以通过量呢，这个根号二倍的关系，其实我们很容易去确定它，对吧？ a d 等于根号二倍的 b f 好 了，那么一为什么要先猜或者是先量后正？因为有了这个结论，我们也就有了方向， 那我要想让它出现根号二倍的 b f， 同学们，你想我怎么让它出现根号二倍的 b f， 是 不是我要以 b f 为直角边，哎，我去构造一个等腰直角三角形， 对吧？这个等腰直角三角形的斜边是不刚好就是根号二倍的 b f， 对 不对？比如说，我们以 嗯，根号二倍的 b f 为突破口，就构造等腰 r、 t 三角形 b、 f、 n， 而构造完这个等腰直角三角形之后，你会发现刚好有一个等腰直角三角形叫 a、 f、 e 在 这等着我们呢， 对不对？哎，所以，哎，就继续有了手拉手全等，哎，你会发现非常的顺畅，对不对？对吧？这个手拉手全等我们也很容易找出来，我把这连上之后来我们看看是不就是 这个三角形跟这个三角形哎，他俩是手拉手全等的关系，对吧？那么当手拉手全等我们写出来啊，一个角 f b a 全等于三角形 f、 n、 e， 那 么全等之后，那我再来看我要正的问题，哎，你看我想正谁？我想正这条边等于这条边，对不对？ 因为这条边就是根号二倍的 b f 呀，我正他跟他相等，那你会发现哦，这条边和这条边所在的三角形哎，就是有没有看着像全等的， 对吧？你正线段相等，无非就是等腰和全等吗？他俩离得那么远，我找找全等不过分吧，对不对？那你会发现 a、 d 和 b f 而 b n 所在的三角形 有没有像全等的？有 a、 b、 d 跟 b e、 n， 对 吧？哎，首先看起来像全等啊，三角形 a、 b、 d 和三角形 b、 e、 n。 来，我接下来我试着找一下这两个三角形的条件， 有没有全等的条件呢？有，你会发现哦，这两条边已经相等了，对不对？那全等以后，全等以后，是不就代表着我们这条边跟这条边什么关系？也是相等的， 没问题吧？哎，已经有两组边相等了，一个叫做 ab 等于 e n， 一个叫做这个叫什么 e b 啊，不对啊， b、 d 等于 e b， 我 们把它写开 e、 b、 d， 对 吧？就是这两条边嘛，等于 e、 b。 那 么接下来我要想全等，是不就两边相等找夹角？我肯定接下来啊，花大力气去找这俩角相等，相等之后，这俩全等全等之后，问题是不就解决了，所以最后落在什么呢？哎，落在倒角上 啊，去正角 a、 b、 d 等于角 n、 e、 b， 对 不对？好了，那么接下来我们就来看看吧，那么要想正这俩角相等，我们有什么样的条件呢？首先哦，这个角跟这个角因为手拉手全等，哎，是相等的，对不对？而这个角呢， 它明显是一个四十五度，因为我们的三角形 a、 b、 c 是 等腰直角三角形，换句话说，我只要正这这这，这叫什么？ n、 e、 b 也等于四十五度就行了呗，对不对？那怎么正它是四十五度呢？你会发现哦，我这是四十五度耶， 对吧？ a、 e、 f 不是 等腰值吗？这是四十五度，是不是想正那，只要正这两个角相等就可以了， 对吧？那这两个角怎么相等呢？哎，你会发现哦，他们还跟他相等，所以还得把它联系起来，这个时候你就会发现了，嗯， 这个圈加这个叉刚好是 a、 e、 f 这个三角形的一个底角四十五度，对吧？圈加叉是四十五度，那这个圈加叉，哎，刚好外角也是四十五度， 看出来没？所以，哦，它等于它，它又我我，我们起个名字吧。 啊，这个叫角一，好吗？那叫阿尔法吧，这个叫贝塔，这个叫伽玛，好吗？啊，这个就叫叉吧，行不行？来，我们去写一下啊。哎，角阿尔法，我们就直接写。阿尔法 加上叉是等于四十五度的，原因是什么？原因是角 e、 a、 f 啊，是等腰直角三角形，对吧？哎，它本来就是四十五度，然后接下来 b 它加叉 也是等于四十五度的，原因是什么啊？外角啊，外角角 abd 等于四十五度，对吧？那这样的话， r 法是不是就等于 b， 它 没问题吧？哎，你这个阿尔法等于这个贝塔，那又因为阿尔法等于伽马，为什么啊？因为手拉手， 对不对？手拉手，手拉手之后，阿尔法又等于伽马，那么是不是就代表着，哦，阿尔法等于贝塔，阿尔法等于伽马，贝塔等于伽马，贝塔等于伽马之后，那贝塔加这个小角是四十五度，那伽玛加这个小角这儿是不也就是四十五度， 对吧？哎，所以，哎，没地写了。贝塔加角 b、 e、 f 就等于伽玛，加角 b、 e、 f 都等于四十五度，对吧？那是不是也就是我们这个角 b、 e、 n 等于四十五度呀，对吧？啊，所以你看我们这个位置是不就补全了，对吧？角 a、 b、 d 等于四十五度，角这个 n、 e、 b 也等于四十五度， 所以是不就全等了，对吧？往回推，全等之。这俩三角形全等之后，是不就代表着我们 a d 跟 b n 相等了？那 b n 等于根号二倍的 b f， 是 不就是 a d 等于根号二倍的 b f？ 哎，所以你会发现这道几何综合题呢，其实没有想象的那么难啊啊。当然方法肯定也不为一，大家可以想想还有什么其他的思路。

大家好，我是萌哥，今天我们来看刚刚考完的二六年西城初三期末的这道代宗题，呃，题目的难度不大啊，是比较常规的比较大小问题，而且是比较大小问题当中比较简单的那一类啊，我们一起来看看， 说在平面直角坐标系当中， ab 两点在抛物线上啊。然后第一问我们就不说了，直接去看第二问，说对于 x 一 大于 a 小 于 a 加二， x 二大于 a 加二，小于 a 加三，都有 y 一 小于 y 二，求 a 的 曲值范围。那么做这种带动问题的时候呢，我们首先啊，第一个事需要分析的啊，就是解析式， 我们往往通过解析式要得到两个东西啊，一个是开口，一个是对称轴啊，这是最重要的两个。 首先 a 不 等于零，开口不确定，那不确定就需要分类讨论，所以我接下来画图像的时候呢啊，我需要画一个开口向上的抛物线，再画一个开口向下的抛物线，对吧？那么对称轴哎，这个对称轴是确定的，负的二， a 分 之 b， 对不对？结果是等于二的啊，所以我把这个对称轴也在图像里边画出来，开口向上和开口向下的对称轴都是 x 等于二， 没问题吧。那么接下来我们要分析的第二个是什么呢？那我们要分析的第二个啊，就是我们 x 的 取值范围， x 一 大于 a 小 于 a 加二， x 二大于 a 加二，小于 a 加三。首先我们就知道哦， x 一 和 x 二的左右位置关系是确定的啊， x 一 在左， x 二在右， x 一 在左， x 二在右啊，一定要找这种确定的东西啊，因为它这个图啊，比较抽象，字母比较多，如果没有确定的东西，我们很难去在图像里边把这个点放进去，好吧，那么接下来 啊，我们就要把这个条件都分析完了之后呢，我们就要结合图像，结合图像 去把我们给出来的 x 一 y 一 和 x 二 y 二的范围在图图里边找出来了啊。首先在 a 大 于零的时候啊， a 大 于零的时候， 那你会发现我们这个 x 一 和 x 二的取值范围是不就有了新的情况，对不对？ a 大 于零，那我们这个这个，这个这个 x 一 x 二在对称轴的左边还是外边呢？对不对？哎？ a 大 于零的时候，你要看哦， x 一 x 二 与对称轴的关系啊，因为如果我不知道他在对称轴的哪边，我就没法在图像上放，对不对？那很明显， a 大 于零的时候，我们这个 a 加二是不是大于零的啊？是不是大于二的， 对吧？那也就代表着你这个 x 二的位置关系我们是确定的，对不对啊？这个 a 大 于零， a 加二，比如说我放在这啊，这个是 a 加二，那 a 加三呢？哎，肯定是哎，更这边一点， 更右边一点，那这样的话，这个范围实际上，哎，就是我们所说的 x 二 y 二的范围， 对不对？哎，是不就确定的？那么确定了之后，哎，这个时候啊，我们放了一个点之后，接下来要看什么？哎呀，你，你，因为你，你这个 x 一 的位置不不好确定吗？对不对？你只能确定一边这边是 a 加二，至于那个 a 在 哪，因为 a 大 于零，他到底在二的右边还是左边呢？ 对吧？你就不好确定了，那我们就再看 y y 一 小于 y 二， 那么要想让所有的这个 x 在 x 一 x 二的范围之下都有外一小于外二，那你想想是不就我的外一要小于外二的最小值， 对吧？换句话说，我们那个外一的范围就必须在底下这部分去活动， 那也就代表着，那么 x 大 于 a 小 于 a 加二， a 加二这边固定，那你这个 a 可不可以在这？可不可以在这？可不可以在这？最多到哪？哎，最多就到这，对不对？ 是吧？那这个时候我们把这个 a 加二对称过来，你会发现这个点是确定的，对称过来之后就是二减 a 啊，把这个点对称过来之后，这个点就是二减 a， 所以 我们那个 a 是 不是要在这个二减 a 的 右侧才行， 对不对啊？所以根据图像我们就能够分析出来了啊， a 大 于二减 a， 那 等于的时候行不行呢？那你会发现，当 a 等于二减 a 的 时候，那我们这个啊 x， 那 这个 y 一 是取不到 这个点的，我们这个 y 二呢，也取不到这个点，所以 y 二还是大于 y 一 的 f 和 t， 所以 等号也成立，对吧？那这样的话，我们就求出来了， a 大 于等于一 啊，那么求出来之后，一定要结合我们前提条件，就是 a 大 于零，对不对？那你会发现在这个取值范围之内啊，所以它是成立的。那么接下来同样的道理，那这边 a 小 于零的时候，我们是不是也这样去分析，对吧？ a 小 于零的时候来看看， 那我能确定的是谁呀？哎，就是 a 加二小于二，那也就是说那 a 小 于零的时候，那我这个 a 加二的位置就确定了， a 加二的确定位置确定的了， a 是 不是也确定了？那这部分是不就相当于是我 x 一 y 一 的部分？那我要想让 y 一 永远小于 y 二，是不是也是对称过去，对吧？按你这个 y 二， 哎，你这个 y 二所对应的 x 的 值，那它可不可以就是 a 加三呗，对吧？ a 加三可不可以在这，对吧？哎，也就是在这的时候，你看上边是 y 二，下边是 y 一， 符合题，那 a 加三可不可以在这？可不可以在这， 对吧？但是最多不能超过谁，不能超过这个点，这个点，我们把 a 加二对称过来之后，哎，就是二减 a， 所以 你那个 a 加三，哎，能不能看出来，哎，就得在二减 a 的 左侧，对吧？所以根据图像， a 加三小于二减 a 啊，跟刚才一样，等号成立， 对不对？那这样的话就是二， a 小 于等于负一， a 小 于等于负的二分之一，那么在 a 小 于零的前提之下，它显然是成立的。最后，综上，这道题就解决了， a 大 于等于一或 a 小 于等于负的二分之一。

旋转构图在几何教学中啊，也是一个难点，那今天呢，我们来看一看一道旋转题，如何求角之间的数量关系？好，我们来一起分析。 将菱形 a， b， c， d 绕 a 逆时针旋转得到菱形 a， e， f， g， a， e 经过点 c， c， d 与 e， f 交汇点 h， 角 b 等于 alpha 度，角 c， h， e 等于 bet 度，求 bet 等于啊，这里面呢，应该是用 alpha 的 代数式表示。 好，那如何用 alpha 的 代数式来表示 beta 呢？那这样我们就得分析一下这道题。那我们知道 a， e， f， g 是 由 a， b， c， d 旋转来的，那我们看旋转的时候，我们要学习什么？从哪来到哪去，非常好，那也就是说 这个 alpha 会旋转到哪去呢？哦，会旋转到角 e， 所以 我们这地方就轻松的知道角 e 等于 alpha， 嗯，很好，那角 e 等于 alpha， 角 e 和角贝塔就在同一个什么哦，三角形中啊，那此时还有什么信息呢？ 在这地方，若 i c 经过点 e， 那 此时我们来观察一下 i， c， i， c 此时就变成了 哦，菱形的对角线，那你会想到菱形对角线有什么性质哦？平分一组对角，那非常棒。那此时呢，实际上我们可以知道，角 b， c， d 等于根据菱形，所以等于一百八十度减角 b 就 等于一百八十度减 alpha， 那 根据菱形的对角线平分一组对角呢？那么所以角 a， c， d 就 应该等于二分之一角 b， c， d， 那 就等于九十度减二分之一 alpha。 好，我们看 a， c， d 正好是这个三角形的什么外角，所以我们又得到它等于角 alpha 加 beta 啊，等于 alpha 加 beta 好了，那么下面呢，我们就建立起 beta 等于多少了？通过整理我们可以得到 beta 等于九十度减去二分之三倍的 alpha。 好， 我们在这里写上九十减去二分之三倍的 alpha。 好， 这道题呢，我们就求出来了 beta 和 alpha 之间的关系。 在旋转的过程中，那么我们要知道从哪来到哪去，还有绕哪一点是进行旋转的。好，你掌握。

这个视频我们来讲一下这道原宗啊，这道原宗很多同学们在第二问的时候犯错了，那我们来看一下啊，这是为什么去犯错？我们我们一问一问地去走。 如图， a、 b 是 圆 o 的 直径，所以这是第一个条件，那么它所对应的是直径，所的圆角是直角， 然后点 c 为圆 o 上一点，然后角 a c b 的 角平分线是不是交 a b 于点 e， 所以 一定要注意啊，九十度的，就一般情况下角平分，你可以标个 r 法，但是九十度的角平分线给他标个四十五度，因为他往往都会用到的是什么？ 你四十五度，圆周角对的，圆心角等于九十度，或者是你看到圆心角等于九十度，想到圆周角等于四十五度啊，有的时候它的圆周圆圆心角是九度，它不会直接给你，但它会，比如说，比如说这道题我可以改成什么？你的 d 是 弧 a、 b 的 一个中点， 半圆的中点，所以它肯定会，对呢？圆心角是九十度，圆角是四十五度啊，注意，像这样的话，然后胶原 o 与点 d 延长 b a 至，使得 pe 等于的是 pc， 那 么这个地方 pe 等于 pc， 就 意味着这两个角角它是相等的， 对吧？两个底角相等，那么第一问，证明 pc 和圆 o 去相切，那么在这个地方 c 是 不是在呃 c， 是 不是它告诉在圆上？因为 c 为圆上一点，所以我们同学们一定要去注意一下。你证明切切的时候，一定要看看这个切线 与圆的这个焦点，他所要进的这个切线，圆的这个焦点有没有告诉在圆上？他有些时候他即使标了这个字母，他不一定在圆上，就好比是我们二四到二五年的那个朝阳期末，初三期末，那他这标了字母，但是他没有告诉你他是在圆上，所以那个时候的话，我还是要用什么？ 就是去给他去正半径，但这个地方 c 告诉你在圆上，所以我们用的是什么？连半径是正垂直， 所以说那么这个地方就连半径，我去正垂直，那么正垂直可以怎么去做？我在这个位置我需要连一下半径，是把这个位置去连上，我只需要导出这个角是九十度就可以了，所以这个时候干什么？那么 虽然说这和这个直角是有关系，但是说他不属于平行的关系，也不属于全等关系，所以这个时候干什么？射 r 去导角，那么怎么去射 r？ 射这为 r 吧， 这是不是也是 r 法，对吧？一般情况下我就设其中一个等腰为 r 法，那么这个位置是九十度减 r 法，那你这是不是也是九十度减 r 法？ 所以这个位置是不是也是九十度减 r 法？九十度减 r 加 r 法是不等于九十度，所以这样的话它这个体干是不就出来了？没有问题吧？所以这个同学们需要去清楚一下 r。 好， 然后我们接着再来看 这个例子，给大家去写一下过程啊。所以我们这道题我需要干什么？你去连接一下 o c 和连接 o c、 o d， 对 不对？所以我第一步我需要证明的是什么？我需要先把这个四十五度，这儿是个九十度给它搞出来，所以说，那么我就因为呃 a d 平分，所以说因为 a d 平分，角 a、 c b， 所以说角 a、 c、 d 等于的是角 b、 c、 d 等于四十五度。 然后我们再去写，因为弧 a、 d 在 这个地方等于的是弧 a、 d， 所以 说角 a、 o、 d 是 不等于的是二倍的角 a、 c、 d 是 不等于的是九十度， 对不对？那么再去选，因为 o、 c 等于 o、 d 是 圆的半径，所以说底下两个角相等，角 o、 c、 d 是 不是等于的是角 o、 d、 c， 那 么所以在这个时候我就去设角 o、 c、 d 等于角 o、 d， c 是 不等于就是 r 法， 对不对？ r 法，那么所以此时角，那么 c、 e、 p 是 不等于就是角 o、 e、 d， 这是不等于九十度去减去角 o、 d， c 是 不等于九十度去减去 r 法， 对吧？然后我再把这儿是九十度减 r 法去写出来。所以又因为 p、 e 是 不等于是 p c， 所以 说那么角 p、 c、 d 这个地方是不等于的是角 p、 e、 c 在 这个地方是不等于的是九十度去减去 r 法， 所以说我们的角 p、 c、 o 就 等于是角 p、 c、 d 去加上角 o、 c、 d， 所以 就这个地方等于九十度去减去 r、 f， 是 不是加上 r、 f 等于九十度？ 所以 o、 c 是 不是垂直于 c p？ 又因为 o、 c 是 半径， 所以说 pc 与圆 o 相切好这个地方，所以第一问就结束了。来，我们来看第二问啊，圆 o 的 半径是五，所以说这些都是五，这些是不都是五？都是五， 对吧？ c、 d 等于三倍根号时求 bc 的 长。那像这个题我们之前老见，但是说这个题他这个图，嗯，没有之前这个图会比之前见的要要要那个，呃，要难一点，因为我们之前老见什么图呢？比如说这个，因为这道题是四十五度，所以遇到这种特殊角，一定要把它放到三角形里边， 比如说这儿四十五，我举个例子啊，这儿是个六十度，我们肯定是哎，我做一个垂，把它们两个同时去放到一个这样三角形里边，然后去减三角形，但这道题这儿有了个四十五度，它这儿没有六十度，对吧？所以这道题难在这儿了呢，难在这儿了。所以这个时候我需要干什么？你把 b、 d 是 连在一起， 老师为什么要去连接 b、 d 啊？因为你这样做的话，你 c、 a、 d 等于三倍根号十，你这个地方是等于五倍根号二，那么我要去这儿是四十五度，已知了，所以四十五度已知我要干什么？而且要你要求求的是 bc 的 长，如果 bc 直接求不出来的是呃的时候我需要干什么？我是不是给它劈成两半， 对不对？所以在这个位置我需要干什么？我需要把我的四十五度，我给他放到一个直角三角形里边，那么我们看看我需要怎么做？你是往这边去做一个垂呢？还是从这往这去做垂呢？你需要去衡量一下，但如果说你往这去做垂，你把你已知的这条线给他去劈开了， 就是三倍根号就分成两半了，所以你需要去设 x， 但如果是你往这去做垂的话，你直接这不是等腰直吗？一比一比根号二，你就出来了。所以说我们需要的是给他先直接给他去做到这个位置来 我这去标个 h， 所以 这三倍根号十，一比一比根号二，所以说三倍根号是除以根号二等于多少？是不是三倍根号五，所以这是不是三倍根号五？ 那么利用勾股五倍根号二，这是五十，这是四十五，那所以这是不是也是根号五？所以 bc 之后是不是就是四倍根号五？这不就出来了吗？来，所以我们一定要先去写，先有思路，后去解过程。所以我来李老师来写一下过程啊，就是过 d 去做 d h， 垂直 bc 与 h， 然后这个同学我们都已经学下三角函数，学下三角函数的话，你就直接去用， 那么因为角 d c b， 我 在这个位置等于是四十五度，是不是？所以说那么在这个位置的话，你 a h 是 不等于 d h， 它就会等于什么？就是我，我这，呃，这不，这是 c h， c h 是 不是等于是 d h， 对 不对？那么 c h 等于 d h， 那 么 d h 的 话，是不是就相当于是 c d 乘以三乘以四十五度啊？对不对？所以说这个地方是不是三倍根号十乘以二分之根号二，是不是就等于三倍根号五， 对吧？因为你用三角函数去写过程会更省力。你说老师，那如果我不用三角函数，我怎么去去写呢？可以去，你就设这儿为 x， 这儿为 x， 用一个勾股，这不就出来了吗？二、 x 平方等于三倍根号十的平方，所以 x 等于三倍根号五， 但你用这个三角函数会更更快。我们期末考试它是不考三角函数这个地方的知识，但因为你们学过，实际上写也没有问题。因为三角函数的话，这个地方 他我们之后，呃，就是因为期末考试，我们思想函数不是一个复习的重点，但到了寒假的时候，你一定是要去练元与思想函数的结合，所以这个时候这他一定是个重点，明白吗？ 所以这儿三倍根号五。那么接着我就在 r t 三角形你的 d h b 中，所以说你的 b h 在 这个地方是等于的是 b d 的 平方去减去 d h 的 平方，所以这个地方等于是什么？你五倍根号二的平方去减去三倍根号五的平方， 所以这是五十，减去四十五是不等于根号五，那么所以最后你的 bc 的 长等于什么？ c h 去加上 b h 等于的是三倍根号五，去加上根号五，所以这个结果等于四倍根号五，可以吗？所以这个结果等于四倍根号五。

来看一下在反比例函数里面非常重要的一个知识点， k 的 几何意义。 好了，我们来看啊，你看这个括号里面，我们有二十一种衍生图形，当然了，不是让大家死记硬背，这样是一种图形啊，就是通过这样是一种图形的熟悉熟练的掌握，你要知道这个 k 的 几何意义都可以怎么应用。我们先来看第一种啊， 来看下面这么多图是不是？好，我们来看一下，如图已知。先看这个图啊，如图已知，反比的函数 y 等于 x 分 之 k， k 是 大于零的一三相间的，是不是说点 a 呢？在函数图像上任意一个点，在这里点 a 坐标，告诉你了，则矩形 a， b， c， d 这个蓝色矩形的面积等于，很简单是不是？哎，邻边之积嘛， ab 乘以 ac， 你 看这里面的 ab 不 就是 a 点的横坐标 x 吗？ 而这里的 a， c 是 不是就是 y 呀？ a 点的重坐标 x 乘 y， 那 你再看这个式子表达式， x 乘 y 是 不等于 k， 为了表示面积，我们加上了绝对值，因为面积要大于零，所以 以 a 点为成的做了两道垂线，这张矩形的面积，你可以记住它，它的面积是 k 的 绝对值。 好，那通过这个基础款的模型，我们还能衍生出来哪些图形呢？我们来往下看啊，看这几种，剩下下面这几种啊图形，它的面积都是 k 的 绝对值。好，我们来看啊，第一个看第一个图， 你看第一个图是什么？他是个平行四边形啊，你看这个蓝色的平行四边形其实是什么呢？他不就是把这个矩形的图给升级了吗？是不是把矩形的图给升级了，你看平行四边形，它的面积怎么求来？平行四边形底乘以高啊，那你看我能不能 平移来算它的面积。那啥意思呢？你看，我们说过，我们说过，你看你这个平行四边形的面积，就是这个底乘以这个高呗，你所谓的这个高其实是不变的。 哎，是不是就是你这个点，比如点 a、 a 到外轴的距离，这是高，那你这个底边 我左上下平移是不影响它的面积的，因为你是底乘以高，只要长度不变就可以，所以我把这个底边往下平移，使得它平移到这个圆点 o， 那 平移过来之后，因为是平行四边形，因为 是平行四边形，注意，因为是平行四边形， abdc 中 我们是有 a、 c 等于 b、 d 的， 所以你的 b、 d 往下平移之后，长度是不变的。那平移之后，比如到这里我们连接一下 ab， 你 看连接成的这个不就变成矩形了吗？不就变成原来这个图了吗？ 好了，所以呢，这个平行四边形 a、 b、 d、 c 的 面积就等于我们平行之后这个矩形的面积。好了，就等于这个平平移之后这个矩形的面积，那不就是原图的这个面积吗？ 好了，等于它的面积，所以呢，就等于 k 的 绝对值。好了，我们推倒这一个，其他都是一样的。 你再看第二个图，这个图里面是这样的一个平行四边形，那同理，你看，那它的面积不就是二，就是什么底乘以高吗？底乘以高，这个高是不变的，就是这个点到 x 轴的距离。 好了，那么这个底我把它来平移不就完了吗？我把这个底他是不是等于上底？哎，上底和下底是一样的，所以我把这个下底往右平移，那平移成那，啥情况？我还是平移到这个位置，你看 平移之后，它的面积是不变的，它永远可以平移成我们这个原图的这个形状，所以它的面积也是 k 的 绝对值。 后来这是前两种图，你都可以这样来理解。那再看后四种图，这四种图你咋理解呢？你看是变成三角形了，那你就用三角形的面积公式啊，比如说我们来看这个图，第三个图 他怎么来理解呢？三角形面积公式，二分之一底乘以高。那你看这个，我还是把点给它标出来啊。比如说这是 a 点，这是 c 点， 这是 b 点，这是 c 点，那三角形 abc 的 面积二分之一底乘以高。那么我们是不是需要过点 b 向 a c 做垂线，哎，我们做出这个垂线 好了，做出这个垂线，所以我们直接可以来写啊，直接来可以写这个三角形 abc 的 面积就是二分之一的 a c 乘以 b h， 没问题吧？ a c 乘以 b h a c， 你 看 a c 这个高，不就是你 a c 这个吗？ ac， 原来这一段 ac 不 就是 y 吗？ ac 就是 y， 那 你再看这个 bh 呢？ bh 是 什么呀？哎，你看这个 bh， bh 可不可以分段来看？可不可以分段来看？老把这个图给你放大啊？这个 bh 注意看同学们， bh 可不可以看成这一段，加这一段， 中间我给你标一个字母吧。中间这个点呢？我们标为点 k， 所以 你看你这个 b h 是 不是等于 b k 加上 k h。 那 你看你这个 b k 是 谁啊？ b k， b k 不 就是 b 点的横坐标的绝对值吗？ 那你这个 k h 呢？ k h 不 就是等于 a 点的横坐标吗？而 a 点和 b 点是关于原点对称的，它俩的横坐标互为相反数，但是长度是相等的呀。所以 b k 是 不是等于 k h？ 因为啥？因为是不是首先 bk 这个点我给你记为呃 p 点吧来，是不是因为 bk 等于 ap 长度，而 ap 是 等于 k h 的， 所以呢，这个长度它俩加起来我就可以看成二倍的 k h， 那 k h 不 就是 a 点的横坐标？二 x 好 了，这个高就是二 x， 所以 你看我们带回来是不就是二分之一 a c 就是 多少 y， b h 就是 二 x， 来写出来是不就是 x y， 所以 这个面积是不是还是 k 的 绝对值？ 你看是不是还是 k 的 绝对值？好了，掌握了这种情况，后边这三种就是一样的吗？是不是一样的呀？咱们来看一下，你看这个图，看这个图，我们还是 以这个为底，边过这个点，向他做垂线好了，我们来画一下吧，好不好？来做出这个垂线， 做出这个垂线，这是 a b， 这是 c， 我 们做一个 b h， 垂直下来，垂直下来，所以你看 这个底边 a c 是 不是就是那个 x？ 你 仿照我们第三张图，你这个 b h 是 不是看成这两段加起来啊？这两段加起来，上面这一段不就是 a 点的纵坐标吗？不就是 y 吗？ 而下面这一段是谁？是不是跟这个 a 点的纵坐标互为相反数，但是距离长度是一样的，这不是 y 吗？这不是 y 吗？所以 b h 不 就是二 y 吗？ a c 是 x， 二分之一底乘以高二， y 乘以 x 二分之一，这不乘出来还是 x y 吗？ 面积不就是 k 绝对值吗？好了，我给你写了两个了，方法都一样，这后面两个你自己去仿造，你看这是底，那你这是不是高？坐下来，哎，这个底他是不是 y 啊？长度，而这个高一定就是二 x， 二分之一底乘以高乘出来面积是 x y， 你 再看最后一张图，是不是还是拿这个当底，我再做一条高下来这个底，这个就是 x 的 绝对值啊，因为它是第三象限，而这个高呢，是不就是二 y 二 x y 的 绝对值，这不就等于 k 的 绝对值吗？你看好吧，来这个推导过程啊，我们给大家 详细写了两个，其他的大家可以自行的去推导一下。好了，你得把这些图不说，你得死记硬背吧，看到这种图，你得知道去咋推导它的面积，好吧，三角形的面积公式，平行四边形和矩形呢，也是面积公式，直接用 好，那我们来继续再来，往后看啊，继续再来，往后看。好来看第二种啊，刚才讲的是面积是 k 的 绝对值的情况，那你看这种是二分之 k 的 绝对值。这些图形我们来看一看，说如图， 来看下面啊，先看这个图，说如图，已知反比例函数 y 等于 x 分 之 k， 说点 a 是 函数图像上任意一点点 a 在 这里，则三角形 abo， 也就是这个黄色三角形等于二分，它的面积等于什么呀？二分之一底乘以高面积公式呗， 二分之一的 ab 乘以 o b， 二分之一 ab 乘以 o b 来，那你看 ab 是 谁啊？ ab 不 就是 y 吗？ ob 不 就是 a 点的横坐标就是 x 吗？二分之一 x 乘 y 面积出来了， x 乘 y， 这不是等于 k 吗？所以二分之 k 的 绝对值。好了，三角形一出，我们就能看到什么呀，哎，二分之 k 的 绝对值， 好，那我们就继续来往后看啊，那下面这些图，它的面积是否也是二分之 k 绝对值呢？来，我们先来看啊，先来看前三张图，前三张图它指的是一个意思， 你看这是什么意思？是不是过这个点都做了什么呀？ x 轴的垂线， x 轴垂线这三个图跟这个上面这个点往上移了呀，你看这往下移，往下移。 你看啊，我给你放大这个图，你看看第一个图，这个图是不是相相当于把原始图这个点往上平移到这里，而我们的， 我给你写出来吧，这个既为点 a， 这个既为点 b。 那 你看 ab 是 不是平行于外轴的 ab 平行于外轴，那咱们学过呀，来，两平行线之间加的等底的 等底， ab 等底的三角形面积相等，所以你看，我们把这个点估且令为点 c， 点 c， 不 论在这里，在这里，随便你在任何位置，你构成的三角形。看到没有，不论你在哪里构成的三角形，你的面积都不变， 因为 ab 是 底，你这个高就是 ab 和外周之间的距离，二分之一底乘以高 好了，所以它们的面积永远都等于原始的这个面积 aob 的 面积。所以呢，三角形 abc 的 面积就等于三角形 aob 的 面积， aob 的 面积。二分之一的 ob 乘以 ab 来二分之 x y 啊，是不是就等于二分之 k 的 绝对值？好了，那同理，你看，我们直接看这前三张图，看这前三张图，这不一个意思吗？点 c 在 这里。第二张图，点 c 在 这里， ab 来点 c 在 这里， ab， 看到没有？哎，点 c 怎么滑动？从这滑到这，滑到下面，这面积都是二分之一底乘以高。好吧，这个高不变底是同一个底。好了，在这里啊， 好，那我们再来看剩下的几种情况啊。来看后四张图，后四张图他们说这一回事，你看后四张图有啥规律啊？他都是底边是平行于 x 轴的，你看是不是底边都是这样？是这样，是这样的，底边都是这样的。 那你看他的面积怎么表示？二分之一底乘以高，他的底边是不变的，他的高变不变呀？不论你下面这个点跑到哪，你看，不管你跑到哪，你这个后四张图，这个高永远是谁啊？这个我给你记为 a 点吧， 来十，永远是 a 点到 x 轴的距离，你看这个高是不是永远是这个？这永远是高，永远是高，所以同底等高，底是永远不变的，高在变，位置在变，但是高的长度不变。首先简单呀， 好了，我来给你写一下吧， aob， 假如说这样，而这个呢？比如说是 abc， 那 我来给你写这个面积吧，三角形 abc， 它的面积，你看这个点 c 是 不是跑到点 o， 这两面积是相等的啊，它就等于三角形 ab。 第一个图里面 abo 的 面积吧，我直接给你写公式，就是二分之一的 ab 乘以 你这个高 o， b 就 等于二分之 x 乘 y 就 等于二分之 k 的 绝对值。好了，后四种图是一样的啊，是一模一样的。好，那我们总结一下这种图形，二分之 k 的 图形， 它基本上都是三角形，而推导的过程呢？其实前三张图的推导过程就是这个总结图，你看一眼是不是来， 哎，前三张图的是这个啊。呃，来看这个前三张图的总结图是第二张图，是不是？你看 ab， 只要不变 c 点，不论你怎么变，组成的这个三角形和这个三角形面积都一样。 那后四张图，它的总结图是第一张图，是不是前面这个平行于 x 轴的底边不变，而你这个端点任意去变，面积是不变的，同底等高。 好了，这个方法一定要掌握，再去体会一下。还是那句话，不是需要你去死记硬背，你知道它的面积怎么推出来的，然后往里带就 ok 了。 好，那我们就继续来看啊。刚才我们前面讲了，面积是 k 的 绝对值的情况，二分之 k 的 绝对值的情况，还有什么？下面又变成了二倍的 k 的 绝对值的情况， 来，我们来看一下啊。好，第三类情况说，在以上图形的基础上继续变换，还可以得到一系列面积为二倍的 k 的 绝对值的图形。来看下面四个图，它的面积均为二 k 绝对值。 那他们这四张图呢？都告诉你了，可以看作两个面积为 k 的 绝对值的三角形拼接成的，当然你拼法就多了，不一定是这样的拼法。比如说我们来看第一个图， 他的这个阴影部分的面积你怎么表示？来，我给你把字母标上吧，你比如说这是 a、 b、 c， 然后呢，这个交点我给你标上，这个点是 d， 这个点是 e。 好 了，那你看整个面积我们怎么表示啊？第一个图来，三角形 a、 b、 c， 它的面积，你看我们最简单看的一块啊，我来给你描一下吧。你看 最简单的看那块，哎，这个描上来颜色大家可能看的还不是很清，我们就不来描这个颜色了啊。来，你看 它是不是等于三角形 a， o d， s。 三角形 a， o d 就是 我刚才涂的这段的面积，加上三角形 b， o e 加上三角形 b， o e， 再加上矩形下面的 c， d， o e 加上矩形 c， d， o e， 三块面积加起来。 那我们来看一下 a、 o、 d 的 面积是什么呀？你想想，你刚才不是做了吗？ a， 二分之一的 a， d 是 不是乘以 o， d 不 就是 y， o d 不 就是 x 吗？ 那你再看下面这个三角形 b， o、 e 是 不是也是一样的？ b， e 是 x 的 绝对值， o， e 呢？也是 y 的 绝对值。因为 a 点和 b 点是对称的啊，是对称的，圆点对称， 所以上下这两部分的面积分别是二分之 x， y， a， o d 的 面积是什么呀？二分之 x y， 呃， b， o e 的 面积也是二分之 x， y 再加上 c， o d， e 的 面积，它是不是等于 o d 乘以 o e？ 矩形面积 o d 乘以 o e， o d 乘以 o e， 你 看是什么？ o d 不 就是 a 点的横坐标 x 吗？而 o e 是 不是 b 点的纵坐标 y 的 绝对值？ 所以这块 o、 d 乘 o e， 我 们是不是就直接写成 x 乘 y 的 绝对值好了？ 来， x 乘 y， 那 你来看第一个，二分之 x 乘 y 加上第二个，我们都带上绝对值吧，好不好？表示面积吗？那你看这一加是多少？是不是二倍的 x， y 的 绝对值啊？ x 乘 y 不是 等于 k 吗？所以这就是二倍的 k 的 绝对值。 好了，我们推出来了啊，这就是面积，怎么推的？你看似复杂的一个三角形，你就把它分成三小块，加起来分别表示就能把面积求出来 好不好？牢牢抓住， y 等于 x， 分 之 k， 你 能推出 x， y 等于 k， 用这个啊，用这个一定要往进带。 好了，再看第二个图，第二个图跟第一个图是不是一样啊？无非就是反过来了，反过来了你看，那我们来写，这里是 a， 这里是 b， 这里是 c， 这里是 d， 这里是 e， 我就不写了啊，你看它的面积还是分成三小块，三小块上面这一块和下面这块分别面积是二分之 x y， 这是二分之 x y， 而这个矩形的 x、 y 加起来也是二倍的 x， y， 绝对值好不好？这两个图是一样的啊，我们再来看第三个， 第三个是不是演化成了平行四边形啊？平行四边形你就得用它的性质啊，平行四边形是不是有个性质？你看这个对角线连接之后，上下这两部分的面积相等，我们求一部分是不就可以了？你比如说 a、 b、 c、 d。 好， 我们来看这个图三啊，图三这块 我们把它分割一下，把它分割一下好了，那么咱们这个平行四边形 a、 c、 b、 d， 它的面积我是不是可以看成二倍的三角形？ abd 的 面积没问题吧？ 平行四边形对角线平分这个平行四边形的周距面积啊，那我就求 abd 的 面积。 abd 的 面积你之前求过呀， ad 是 垂直于 x 中的，如果你忘了，我们再做一道辅助线，我们过点 b 向 ad 去做垂线， 这个点呢？即为 h。 所以 你看它的面积是什么？就是二倍的二分之一乘以 ad 乘以 bh， a d 是 谁？ a d 不 就是 a 点的纵坐标就是 y 吗？而 b h 呢？ b h 是 谁？ b h 我 们说过 b h 是 不给分段来看，分成这两段来看， 第一小段跟 a 点，他是 b 点， a 点是圆点对称的，这是 x， 这一段是不是 x 的 绝对值？而这一小段呢？也等于 x， 所以 b h 是 不是二 x 的 绝对值啊？好了，那我们就可以写出来了，二乘以二，二乘二分之一，我们是不是就把它 就约成一了？就等于 a d 乘以 b h， 而 a d 是 不是就是 y？ 而 b h 是 不就是二倍的 x 绝对值？这是不是就是二 x y 的 绝对值？那 x y 绝对值， x y 绝对值不就是 k 的 绝对值吗？二倍的 k 的 绝对值。 好了，来，那你看，那你看这里是不是我们 整个面积平行四边形，面积就是二倍的 k 的 绝对值？好了，这种情况是一样的啊，无非第三种是这个平四边形，有一组边是垂直于 x 轴。第四个图是平行于， 这是垂直于外轴，是垂直于外轴，方法是一模一样的。好了，大家自己再体会一下，再体会一下 来。好吧，来，这就我们说到二十一种衍生图形 k 的 几合一，我们来看一看啊，大家只要牢牢的抓住这个面积是怎么算的，表达式以及 x 乘以 y 等于 k 就 搞定了。好，这块我们。

初三孩子的数学学到几何圆这个部分的时候，往往会被圆的综合题搞得晕头转向，常常是不知道该怎样去构建辅助线。这段口诀也许能帮助孩子理清思路，负责任的家长帮孩子点赞收藏一下。 半径与弦长计算弦心距来中间站圆上若有一切线切点圆心半径连 切线长度的计算，勾股定力啊最方便。要想证明是切线半径垂线，仔细辨是直径成半圆，想成直角径连弦忽悠终点圆心连垂径定力要记全 圆周角边两条弦直径和弦端点连。要想做个外接圆，各边做出中垂线，还要做个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘记啊！做弓弦 内外相切的两圆经过切点公切线，若是填上连心线，切点肯定在上边正相似比线断，天线平行成习惯。 等级式子比例换，寻找线段很关键，直接证明有困难，等量代换少麻烦。直径为边三角形，直径一定是斜边，斜边上面做高线比例中向一大片 辅助线是虚线，画图注意勿改变。假如图形叫分散对称旋转去实验。

很多的家长反映啊，他的孩子数学前面的基础分都比较的稳定了，但是一遇到几何综合题的最后一问，往往啊就没有思路， 不会做，而且也做不对，那这怎么办呢？这其实啊，就需要我们数学的专项突破训练， 我们数学的专项突破训练里边有十个层级的题目，那么对应几何综合的最后疑问，其实是第九级了，也是比较高的一个层级了。 实际上我们说几何综合题目的最后疑问，这里边不是简单的数学工具使用熟练程度的考察，它是一种更高级的 数学思想的一个考察，它主要考察了数学的一个转移的思想，还有构造的思想。 我们学的所谓的全等啊，还有三角形的一些中位线呀，直角三角形的斜边中线等等，都作为其中的一步 作为一种工具来去出现，而不是作为一个我们需要论证的目的来去出现的。这就需要我们对这些个工具的运用的技巧要非常的熟练， 我们要掌握用什么样的一个思路来推出我们要证的哪两个三角形到底要全等， 那么这里边的训练就不是一道题两道题能解决的了啊，我们基本上都是用真题，还有一模二模的，实际的题目至少十道题起步，一道一道的给您把填辅助线的思路讲清楚， 我们的孩子也应该关注这样一个关注点，不能说老师告诉你在哪加辅助线了，这之后的事情其实是简单的， 应该让老师告诉你为什么要在这加辅助线，为什么想起来在这加辅助线，这才是学习的重点和难点。那么有这方面需求的同学和家长啊，咱们随时沟通和交流。