八年级下册数学寒假作业有过程

同学们，我们今天继续来学习八下数学新版教材第三讲啊，加减。不知道当同学们有没有发现过，我们在学任何代数计算的时候，永远都是先学乘除 啊，乘除法，然后再学加减法。大家可以回忆一下我们刚刚过去的期末考试，你学的整式 是不是先学的乘除，再学加减？你学的这个，嗯，分式是不是先学的乘除，再去学的加减，然后里面你这个通分这个过程是不是仍然 仍然在算加减法啊？所以大家一定要记住，乘除法的运算是要比加减法好算的啊，你心里面一定要有这个认知，那么我们在高中阶段去学习的时候，你就会知道了 啊，你的任何计算一定要先考虑乘除，而不是先考虑加减法啊。我们在高中的时候去做这个椭圆的题目也好，或者是去做这个啊，函数的题目也好啊，一定是乘除法优先，其次再是加减法。 先来给大家看一下上节课的课后作业，这个是答案，大家可以去对一下啊，具体的视频解析啊，具体的详细的过程视频解析，大家可以来这里 啊，可以来这里。 那么我们在接触过二次函数的概念乘除之后，来学一下它的一个加减法，这个里面会涉及到四个题型啊啊，四个题型， 我们一个一个来看，先来看一下同类二次根式，什么叫同类二次根式，这是我们的定义啊，你要先第一步啊，第一步你要先把它化成最简。 我们之前是不是学过了啊，上一节课上一个视频最简二次根式，回忆一下怎么化简的啊？根号八对不对？有两个相同的音式，你就要把它拎出来了， 两个是不是？哎？拎出来，拎出来，二倍根号二啊，这叫化简啊，化简接着根指数和被开放数，你一定要知道它的名字啊， 这，这都是什么？要不然你在题目当中出现这些数的时候，你都不认识他，而且我们新改版的教材啊，你会发现他有很多去和这个物理化学方面的题目去结合，也就是说我们的 阅读分析，阅读分析题题都很长啊，那么除了我们这些未知的专业名词之外，我们数学课本当中已知的专业名词，你一定要认识啊，一定要认识，要不然你通篇读下来啊，一个词都不认识，对吧？一个名词都不认识啊，那你这样题就没有办法做下去了。 先来看一下什么叫根指数，我们在第一个视频当中提到过啊，那根号 a 上面 的数字啊，上面的数字一般我们是二，对吧，但是上面不写被开方数，被开方数是根号里面的内容啊， a 可能是因式，也可能是一个因数，是一样的，我们来看一下，举个例子吧，举个例子，比如说二倍根号二 和三倍根号二，他满不满足呢？是满足的，首先他是最减啊，最减了吧啊，你的根指数是不是都是二次的倍开方数是不是都是二？他不是要求你整个数都相同啊，你只要要求根号里面的数相同就行了啊。来看一下 根号十二点，首先你要进行什么第一步，我们的第一步，然后你再去判断啊，一定要背下来，怎么判断同类二次根式第一步化减， 根号十二，你要化简成什么呢？啊？十二偶数呀，对吧？二乘以六，六是二乘以三，对吧？两个二相等，多个两个音势，你就要把二提出来，二倍根号三吗？对不对啊？二倍根号三和根号一样，不一样，它被开方数不一样，一个是二，一个是三啊，错误。 第二根号十八啊，根号十八是多少呀？嗯，这个是二乘以九，九十三乘以三，对吧？这是三倍根号二，根号二十七是多少？嗯，三乘以九，三乘以三乘以三啊，这个是 你开出来，对吧？三倍根号三啊，就是你最减，一般就是以啊，单个数啊，个位数，你不能很少会出现十位数，那是我们的什么质数，对吧？啊，那没办法，再接着你的这个 b 选项，一个是根号二，一个是根号三，也是错误的 c 选项，我们看十二，刚才整理过了，是二倍根号三啊，这个是根号，没有问题，根号里面的数相同，是吧？啊，那四 d 我 们就不说了， 我们正式来看一下加减法啊，那么加减其实前面该说的都已经说过了，这个 方法就是对前面的内容进行一个整合，合并同类项，我们接触过，合并同类项，对吧？你这个时候是合并什么呀？二次根式，你把它合起来吗？对吧？合并同类，二次根式。我们刚才说什么叫同类的？比如说二倍根号二和根号二，就叫 二次根式。那如果相加呢？你其实有点类似于提取共音式，你见过二 x 吧？二 x 加上 x， 你 怎么办？是不是提取共用是 x， 然后系数相加变成三 x， 这是一模一样，只不过把你 x 变成根号二了啊，提根号二，对吧？啊？二加一还记得吗？我们说过根是前面的，系数是省略的，对吧？跟 x 前面的系数一省略一样，这不就是三倍根号二， 对不对啊？就是合并同类项，对吧？现在变成合并同类二次根式啊，好，第一步还是啊，还是你要先化减，你不化减的话，你是认不出来他的。所以加减法的第一步 啊，第一步是干什么呀？合并同类二次根式。你合并同类二次根式的第一步是什么？是化减呀， 是吧？啊，先化减嘛，对吧？啊，你千万不要忘记，那么这是五括号根号八，我们说过了，是二倍根号二减去化减，对不对？分母有理化啊，分母有理化，这个是五分之五分之根号五， 是吧？啊，减去根号五十啊，你就直接开了吧，开，开了吧，根号五十，我们化简一下，这个是五乘以五乘以二，是吧？啊？五倍根号二四十五，根号四十五，五乘以 三乘以三，对吧？啊，没有这个括号，我已经把括号去掉， 都打开，就是十倍根号二减去根号五，减去五倍根号二，加上三倍根号五整理啊，十倍根号二和 负五倍根号二是同类项合并，那就是五倍根号二，负根号五和三倍根号五是同类项合并，所以是二倍根号五啊，后面就没有把它合并了啊，这就到头了，因为根号二和根号五它就不是同类根式了。 接着混合运算啊，大家只要记住这句话就行。先算括号啊，有括号，先算括号，再算乘方，最后乘除啊。啊，最后加减，还是我们这个整式运算的 一句话啊，是一样的，你唯一需要注意的是要检查一下是否化成了对减形式。我们来看一道题啊，先算括号，你看前面，这叫什么呀？啊，你要能看出来它是平方差，你看， 又回到了我们八上期末考试的一个，嗯，数值对不对啊你， 嗯，八上期末没考好的同学一定要去把题目再做一做啊，要不然你进入八下啊的二次根式的时候会脑子里面一片混乱。 平方差公式啊，这是二倍根号五的平方，减去五倍根号二的一个平方，减去啊，根号五加根号二去括号，对吧？这个是，嗯，整理一下，这个是 二十，对不对啊？乘方，这个是五十减去根号五加根号二，这个是负三十减根号五加根号二。没有办法再合并了，因为没有同一项啊，接着化简求值 啊，这个化简求实呢，里面包括两步，我们在做题的时候说过了啊，分母由里化和这减二次根式是我们上一个视频当中 主要讲到的方法，重中之重，我给大家标新了，对不对啊，你看，这就用上了是吧？啊，你就化简再带进去就可以了啊。嗯，来看一下吧，这个带入，嗯，这个是根号五 减一的平方，加上根号五减一乘一，根号五加一加上根号五加一的平方。哎，同学说我怎么直接代入了，因为他不需要我分母幺六化是吧？分母里面不带根号啊，并且他已经是最减二次根式， 接着整理一下吧。嗯，不知道同学们能不能看出来啊，这又出现了一个什么呀？平衡差公式吗？对吧？啊，出现了一个平衡差公式，嗯，来，这个是五 加一减去二倍根号五，这个是完全平方，这个也是完全平方啊，加上，嗯，这个是五减一，加上 五加一，加上二倍根号五，是吧？减二倍根号五，加二倍根号五，没有了，这个是一个五，两个五，三个五，这是十五，一减一加一啊，十六，所以是二 b 选项。 我们看一下本本个视频给大家涉及到的，嗯，是四个题型，同类啊，然后加减是合并同类，对吧？合并同类，混合运算是加了一个什么样 乘方嘛，其他的照旧啊，花解求取，就就就，你都化简完了是吧，你该整理，前面三个都做完了，你带个竖进去啊，带个竖进去就行了。所以它是一个层层递进的关系啊，层层递进的关系， 那么这个里面还涉及到了一些其他的题型给大家列举的，嗯，立体都比较的简单。那么复杂的，它会涉及到我们七年级下学期学的二元一次方程组啊，二元一次方程组，那么以及我们上学期学的整式平方。差公式啊，这还少写了一个 完全平方公式啊，所以代数这部分基本上就是，哎，你一个学期没有学好啊，后面的八年级九年级就都落下了，因为他，嗯，他考察的时候是 不是单个考察的，他会把七年级和八年级放在一起，作为八年级的考试题目出现在我们的试卷上啊。好，那么这部分题目我都给大家单拎出来整理了一下啊，想要的同学可以到这里找到 完整的视频，大家也可以在这里看到。 好，我们来看一下今天的课后作业啊，还是请大家把答案打在评论区里面，我们下一节课啊，把答案给到大家。

讲一下这个寒假里面八年级数学应该怎么去复习八年级数学呢？这个下册，嗯，已经这个学期已经学了一个， 呃，英式分解，还有一个二次根式，学校里都学了，所以八年级下册的这个预习的重点应该是放在四边形上面。那么寒假安排呢？是 复习和预习都需要，因为四边形是几何知识，然后我们在做复习工作的时候，要把八年级上册的这个全等三角形，折对称这些几何知识也要复习一遍。 怎么去复习？只要把认真把这个寒假作业认真做一遍，过一遍就行了，那么剩下所有的时间，请把这个精力全部花在这个四四边形这一章节上面。我甚至可能觉得这一个月时间都不够， 因为它里面设计的知识非常多啊，第一个是四边形，然后是平行四边形，然后是长方形，也就是矩形，还有菱形，正方形，还有梯形啊，这个新教材加入了这个梯形的这个考纲啊，所以它这里面设计的知识点还是非常多的，特别是正方形啊，正方形这个考点非常多， 然后这么多四边形里面的几何知识呢，是非常少的，但是他的题型呢，是非常变化多端的啊，所以在复习的时候，或者在预习的时候，一定要去练 不同的题型，多练练啊，一个月时间，寒假这一个月时间一定要把重心放在这个四边形上面啊，加油，各位。

咱们当家长的都要清楚的知道，孩子在寒假里面如何预习数学呢？今天就初二下学期的数学啊，给大家说一说初二下学期的数学，跟上学一比，简直就上了个大堵坡。知 识点密，难度大，孩子经常会对着作业皱眉头，这章怎么这么绕？重点到底在哪啊？别急，办学这么多年哈，已经把初二的数学摸的透透的，今天就照着课本的脉络，给您一份家长版的学习说明书，重点难点咋辅导全说透。 第一章就是二次根式，别小看算一算，这可是后面的地基啊！这张看着就俩字，计算，加减乘除化简。求值好像不难，但他可是整个初中代数的地基。出山学到的二次函数及复杂方程，全靠这的根式运算打底嘞。 要是孩子老在同类二字根式合并分母有理化上出错，那后面只会越拉越多。记住每天抽十分钟练两道典型的题错，题本要用好了，还要避开符号搞错、漏尘系数这些坑，毕竟我那楼才能盖的高呀，对不对？第二张是勾股定律重点中的硬骨头， 两个考点最拉分。这张就是考试中的常客，整体不算太难，但有两个高频考点，孩子经常会在那栽跟头。 一是求对的路径问题，比如小蚂蚁在圆柱长方体、正方体表面爬，求对的路线，本质上是把立体图形给摊开了，成平面，再用勾股定律算斜边。孩子不会画展开图隐藏，那直角看不出来是通壁， 平时要拿个纸盒子掐掐折折哈，这比光做题有用的多。二十三角形的反折问题，翻折后求边长，求角度，关键是要抓住折叠前后的边相等，角相等的条件，稍为之。数列方程这类型题比较灵活，每周练上两三道，总结一下标已知，找等量列方程的步骤，慢慢就会顺了。 第三张是平行四边形，几何证明的分水岭，卡住的多半是全等没过关。这张绝对是初二几何的天花板。我告诉你，平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质， 全靠严密的逻辑面。孩子为啥会觉得难呢？百分之九十是因为八上全等的三角形没有吃透，不会找全等条件 忘了。先正平行四边形再正，特殊性质添加辅助线不对，比如漏连对角线。建议哈把八上的全等知识点翻过出来，再过一遍。每道证明题要问自己一遍，我有啥条件可以正全等，再一步步的推，记住别跳步。第四张是一次函数， 第一次学函数，别害怕哈，重点是数形结合函数俩字炸坏孩子了。一次函数是入门款，真的不难啊，关键是学函数思维。解析式，图像性质结合起来看，现在中考不爱考纯应用题了， 专爱看图说话，给图像判断 kb 的 正负。求教者坐标，解决实际的问题，比如打车水电费问题，要让孩子熟悉解析式画图像，通过图像反推解析式。周末逛超市用的分站机费举例抽象变具体就好，懂了就能够拿满分。 这张最简单哈，就四个数据，平均数，中数、中位数，方差，但别轻敌，一错点就在排序中找中位数。如果是偶数个数据时，取中间俩的平均值哈，加权平均数计算，别漏成权重。例如去掉最高分最低分算平均分， 孩子常常就忘记了重新排序。考前刷几道真题啊，记牢，分差越小，数据越稳定，直接套公式就能拿分，别丢冤枉分啊！

同学们，我们今天继续来看二四新版教材八下第一角啊，根式性质。 先来说一下上节课的作业啊，第一道题是四 d 选项，第二道题我们选择二 b， 第三道题是三倍根号三，大家都答对了吗？ 那么在二次根式的性质这部分，我们有两个题型啊，两个题型，一个就是大家需要记住记住的公式啊，记住的公式，我们先来看一下 q 一 q 一 的话，这个题我们可以用八年级上学期所学的知识来解决。我们说 根号是二分之一的次方的意思，还记得吗？根号是二分之一次方的意思，乘以我们的二，对吧？啊，在八上里面我们学到了一个公式， a 的 m 括号 n 等于 a 的 m 乘以 n， 所以 这个式子是不是就等于 a 的 二分之一乘以二等于 a， 对 不对啊？那么根号 a 的 二次方就是等于 a， 这个是我们根据以往的知识 证出来的。第二个根号 a 的 平方等于 a 的 绝对值啊，这个是根据绝对值的一个性质，我们可以得出来的结果，那么你的 a 可能是正 a， 可能是负 a， 也有可能是零，对吧？三种情况啊，正 a 零负 a， 那 么我们来看一下立体，立体，在立体当中很明显它用的是第二个十字，对吧？啊，根号负三的平方对吧？啊，那么我们这个是等于什么呢？等于负三的绝对值不是等于三吗？ 负五的平方啊，根据还是根据第二个十字等于负五的绝对值等于五，是不是啊？ 我们来看一下第二个题型啊，化简求值依然是用的我们刚才第二个式子，根号加 a 的 平方等于 a 的 绝对值啊，那么如果再联系上我们 七上学的去绝对值的方法，我们说如果 a 是 正的，开出来就是正 a， 如果 a 是 零，开出来就是零，如果 a 是 负的，那开出来就是它的相反数啊，还记得吧？这是我们七上的知识点，我们来看一下这道题啊。首先，首先它 不是一上来就让我们去解决性质，一上来他给了我们一个完全平方，还记得吗？啊，我们来回忆一下啊，完全平方公式啊，完全平方公式，它其实是逆应用，是 a 方加上二 a b 加 b 方啊，二 a b 等于 a 加 b 的 平方啊，那么依次向前面啊，依次向前面可能是正负啊，正负。那么对于这个题来说，对于我们第一个式子，我需要找到它的一个 a 方，那不就是 x 吗？对吧？啊，你就是 x 地方是负的，所以我是减七的一个平方。第二部分第二部分 第二部分，我的 a 是 x， b 的 话是一的平方啊，依次向前面是正的，所以是加一的一个平方，对吧？哎，你到这个式子这儿，它其实才用到了我们 刚刚新讲的知识，根号 a 的 平方等于 x 减七的绝对值，减去 x 加一的一个 绝对值，是吧？去绝对值，哎，绝对值里面是正还是负，对吧？开出来是本身或者是相反数，那么就要根据这道题给的我们的一个条件去解决。 这道题给的是负一到七之间，所以很明显 x 减七啊， x 减七肯定是负的小于零，所以开出来是相反数啊。那 x 加一开出来是什么呀？开出来肯定是正的，所以是它本身，不要忘了加括号啊，整理一下， 整理一下，是六减去， 嗯，六减去二 x， 是 不是啊？ 我们来看一下今天的课后作业，对应的是我们今天讲的两条性质，一个是嗯公式，还有一个是化简求值，对不对？大家有结果的话，请把它打在评论区里面啊，打在评论区里面， 好，我们来进行一下本章节的一个梳理，在第一个视频里面，我们提到了概念，有意义的条件以及双重非负性 啊，在今天的视频里面我们说了性质的两个题型啊，那么大家会发现，我们在做题的时候，往往到第二步 或者是第三步的时候才会出现二次根式这个知识点。那么第一步出现的是什么呢？就是我们往年学到的内容，比如说涉及到了我们 七年级上学期学到 a 的 绝对值， a 绝对值的非负性开出来是三种情况，正负和零，对吧？啊，刚才那道题是给出了你 x 的 曲值范围，那么还有更复杂一点的题型是 告诉你三角形的三边关系，让你自己去求 a 的 区域范围。同学们应该在刚刚过去的期中考试或者是期末考试当中遇到过，以及我们最近刚刚学到的完全平方，对吧？完全平方的配方法也是我们刚刚过去的知识点，所以 啊，建议大家在学习我们这一册书的同时，请把往年的题目进行一个梳理补充，这样我们在学九年级和中考复习的时候不会那么的吃力，那么这部分的题目我都给大家单独拎出来了，如果大家 想要的话，可以在这里找到 啊，更多完整的课程我们也可以在这里面看到。好，嗯，同学们，我们下一个知识点，再见了。

八下数学最难的一次函数，寒假吃透开学逆袭前三，寒假预习八下数学一次函数专想练习一次函数十二大压轴题。题型一，两个一次函数图像共存问题。题型三，一次函数与三角形全等问题。题型四，一次函数与全等三角形存在问题。题型五，一次函数中折叠问题。 题型六，利用一次函数解决分配方案问题。题型七，利用一次函数解决最大利润问题。题型八，利用一次函数解决行程问题。以上均有电子版。

接下来我要更新巴西的内容啊，我们看一下第一小节，我们说三角形的内角和定义，第一个你需要明确它是什么，其次，它的一个证明啊。好，我们来看，我们说三角形内角和定义是什么？指的是三个内角的和是多少？一百八十度啊。 好，我们来看一下做法是什么？我说把角 a 移到角一的位置啊，我说角 a 移到角一的位置，那我们是不是可以得到？我说这两个数量关系是什么相等，为什么你移过来的呀？其次，我再看一下这两个角是什么角，是不是内错角，为什么？ 因为它是一个 z 字形的，看到没？我说它既然是内错角上的那两条直线平行，哪两条是 ab 和什么？我们把标一下啊，是 c e， 然后是不是 ab 平行什么 c e 啊， 也可以用小写字母来表示变，没有问题的啊。我说平行之后，那我说角 b 和角二属于什么角？同为角二，那可以得到什么？是不是角 b 等于什么角二？那接下来我再看，我说这是什么？一条直线，对吧？所以我说这三个角之合是多少？是一个一百八十度啊？往下写 是不是角 a、 c、 b 啊？注意，我说这里面有分支的时候，你能不能写角 c？ 不 行啊，因为你这里面角 c， 我 说角 c， 你 指代不明确，指代是他，他还是他，对吧？所以我用什么他的大写字母， 三个字母代表是我是什么？角 a、 c、 b， 然后加上一个什么角一，加角二等于多少？一百八十度，那我说角 a， 然后角二什么？角 b， 然后这个部分我们可以不动啊， 那我说加起来等于多少？一百八十度，我说这个什么三角形的内角和就没问题了，是多少？一百八十度？那接下来我写一下它的一个证明过程啊。好，如图所示。是不是有提议的角一等于角 a 啊？我说有提议的 角一等于什么角 a， 然后接下来我说角一等于角 a 呢？我是不是说了是什么角内错角相等吗？相等。所以呢？我是不是可以得到 a、 b 平行，是吗？ c e 啊， 那所以呢？我说角 b 等于什么角二，这是什么？有道理，是因为我说平行之后同位角相等啊。 那接下来我说因为什么角 a c、 b， 然后加上一个角一加角二等于多少？一百八十度？我们把这里面角一用谁来替换角 a， 然后呢？我说角二用谁来替换角 b 啊？那所以我说角 a、 c、 b， 然后加上一个什么角一就什么角 a， 然后角二就什么角 b 等于多少？一百八十度。 所以这什么内角，三个内角之和，对吧？多少度？一百八十度。所以我要说象形内角和是多少？一百八十度啊？我说证明方法为一吗？不为一啊， 我们来看一下第二种证明。那第二种证明是怎么做的？我们是过 c 做什么 c e 平行，直接做的平行，对吧？我们刚才是不是我说得到了平行？你看我们刚才是不是在这一步？我说得到了什么平行 啊？这个证明思路是直接做平行可不可以？可以啊，我说做平行的话可以得到什么？是不是我说这样角还是什么角内错角相等吗？相等啊，我说得到角 a 等于什么角一， 那其次，我说这样角属于什么角？同位角相等吗？也相等啊，也得到什么角 b 等于角啊，也说角 a 换到这个位置，然后角 b 换到这个位置，然后后面是不是跟前面那个部分完全一样啊？ 好，我来看一下是不是得到了。我说这什么是不是平角是多少一百八十度，所以呢？我说内角和是多少一百八十度啊，所以我说内角和定义是什么？三个内角的和是多少一百八十度。我说证明方法为一吗？不为一，我们刚才给了几种？两种啊，然后我再看第三种啊， 做法是什么？过 a 做的一个平行，我们做的是什么？ p q 平行于什么？ bc， 那 我们说本质是什么？哎，我们发现不管是上面的哪一种方法，就是把这三个角放在一起， 对吧？那我说思路也是一样的，我说这个做平行的时候，同样是目的是什么？把角转化成什么？一条直线上的角，对不对？那我说平行之后，我说 p q 平行什么 b c， 那 平行之后有什么内错角？怎么样相等同位角呢？相等，我说这个角和这个角，我接成角 e、 角 b 和角 e， 什么叫内错角啊？所以我们说平行可以得到角 b 等于什么角一，同样的道理，我们角 c 也给它换上去，记成什么角二，那是不是也可以得到角 c 等于什么角二？也就是说三角形，我们说原先的角 b、 a、 c 因为有分支了，所以我们直接记成什么角 b a、 c 啊，然后加上一个角 b， 然后加上一个角 c， 是 等于我们说 b、 a、 c 不 动啊， 然后呢？我说角 b 变成什么？是不是角一，然后呢？角 c 变成什么？是不是角二？我们看一下这三个角是什么角一，角二 b、 c、 a 是 不是一百八？所以我说它的结果是多少？一百八，这什么证明四？哦，好，我写一下它证明过程 p q 什么平行，什么 bc。 所以呢，我是不是角一等于什么角 b， 然后呢？角 二等于什么角 c？ 因为什么角一加角二，然后加上一个角什么 b？ a、 c 等于多少？一百八十度啊。所以呢，我们是不是可以得到是什么 角 b， 然后加上一个什么角 c， 然后加上一个角 b、 a、 c 等于什么？一百八十度？这个部分我们就过了啊。我说证明方法唯一吗？不唯一，但是核心是什么？就是我们把三个角变成什么？一条直线上的角啊。 接下来我们可以加第一角 b 是 多少？三十八度？好，我来标一下，然后呢？角 c 是 多少？六十二度。那接下来我们就后面可以暂时不用管了。我说角 b， 角 c， 知道 a 可以 算的哪个角？我说三角形，知道两个角可以求什么？一个也就知二求一的问题啊。知二求一， 那我说这个角可以算吗？可以，这个角是多少度？是不是一百八十度？哎呀，就直接写一下，我们简单写一下，一百八十度减去一个什么角 b 减去一个什么角 c 等于多少？一百八十度减去三十八度，然后减去一个多少？是不是六十二度？所以等于多少？是不等于八十度？那好，我说等于八十度。 结束了没？没有啊，这个题还给了什么 a， d 是 什么？是不是角平分线？它角平分线，我说可以得到什么？是不是？我说这两个角什么关系相等？大角是多少？八十，所以小角是多少？四十啊？ 那接下来我是在三角形，我说这个象形中至二求一，对吧？然后左边这个象形也是至二求一，也就对应的。我说 a、 b、 d、 b， 知道吗？知道。 a、 d、 c， 知道吗？知道。好，我们来看一下求什么？是不是 a、 d、 b？ 那 可以求吗？可以啊，我说角 a、 d、 b 等于多少？是不是一百八十度减去一个角 b， 然后再减去一个角，什么 b、 a、 d 啊？那好，我来写一下，是一百八十度减去一个角，什么 b、 a、 d 啊，那好，我来写一下，是一个四十度，减去一个多少？三十八度啊， 所以等于多少？一百零二度啊，这是什么 slow？ 我 们来写一下过程啊，我说这是什么？第一步，然后四十度，是第二步，然后这个是什么？第三步啊？你写过程也是这样子啊，解，在三角形 a、 b、 c 中， 因为角 b 等于多少？三十八度，然后角 c 等于多少？是不是等于六十二度？所以呢，我们说角 b、 a、 c 等于多少？是不是等于一百八十度，然后减去一个什么？角 b， 然后减去一个什么？角 c 等于多少？等于八十度啊？然后问我说这是什么第一步，然后第二步呢？是不是角平分线？好，我说因为什么 a、 d， 然后平分角 b、 a、 c 啊？ 所以呢，我是不是角两个小角等于什么？大角的一半，也就是角 b、 a、 d， 然后等于什么？二分之一的角 b、 a、 c， 然后等于多少度？是不是等于四十度啊？这是吧？第二步，然后接下来我们看一下第三步啊，我说干什么？是不是三角形内角和啊？我说三角形 abd 中， 然后呢角 b 等于多少？是不是等于三十八度？然后角 b， a、 d 是 不是刚才算了？所以我直接写啊，我写到这也可以， b， a、 d 等于多少？是不是等于四十度？所以呢？我说角谁 是不是 a、 d， b 啊？我说角 a、 d， b 等于什么？是不是等于一百八十度，然后减去一个什么？角 b， 然后减去一个角，是 a、 b， a、 d 啊， 所以是多少？是不是一百八十度，然后减去一个三十八度，然后减去一个多少，是不是四十度，所以等于多少？是不是我算一下这是什么？七十八，所以是多少？一百零二度啊？ 过程就是这样写的，其实我说大部分的情况，我是过程跟思路是完全一致的啊，我们看一下课本上的一个证明过程好，第一步个什么是不是 a， 求八十度，然后第二步呢？是角平分线，然后第三步呢？ a 内角和去用一下啊，那这个题我就讲解到这。

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初二下学期是初中学习的关键分水岭，这个寒假如何规划？二零二六版一本预备初二下册来帮你。他 科学的规划好了初二语数英这三大主科的知识点。拿数学为例，分为三周二十一天的预习规划，每天学什么练什么都安排好了，先看名师视频学习课本知识点， 再过点力，明确答题方法，最后做练习，及时巩固。就这三步，就能超过百分之九十的同龄人。关键难题还有 ai 智能批改，还有名师讲解思维拓展，不怕孩子学不会，随书赠送开学月考卷，孩子寒假跟着计划走，初二下学期轻轻松松。 马上要初二了，物理想要学好，把这本书用上。物理什么时候改教材了？买教材你自己又看不懂这本书按照初二要学的考点，重点科学，帮你制定了四周的预习计划，你课本看不懂，可以先扫码看知识点讲解和小实验视频。 可是这么多知识点，我怎么安排呢？不用你自己计划，人家已经精准到每天四个小任务，你坚持打卡就可以了，里面还有经典例题和中考真题。 那不会的怎么办？不会的不用着急啊，后面都配了答案和解析，思维训练题都有讲解视频，就像一对一的老师在教你妈妈就省心多了。 太好了，那其他主课还有吗？当然有了，语数英都是这样规划的，还送八年级开学考试卷呀！对呀，跟着他的打卡计划来学，初二开学考啊，你就轻松多了，加油！ 二零二五版一本预备新初二寒假版来啦！他把语数英物四科的知识点都整理好了，按照二十一天预习规划领跑新学期，每天跟着计划走。 任务一，学字词垫基础字词，掌握重要字词含义。任务二，学诗文，根据注是理解文艺，熟读背诵。任务三，学方法，学习答题方法，掌握答题模板。任务四，练新知， 学完知识后做练习，踏实基础。每日还搭配一篇阅读理解练习，提升答题技巧与方法，遇到不会的还可扫码看视频讲解，孩子在家也能轻松学。随书赠送五套开学第一考试卷。

家长们，这本练习册呢，适合呃，寒假孩子不太愿意做那种非常基础的题啊，可以练练这本啊，这个前面都带一个知识导读，然后基础的巩固，然后那个有那个填空啊。家长们，然后他还有那个素养的提升 啊，最关键的他还有啥？还有一个专题的啊，一个小册子，然后呢？还有一本单元卷啊，这个里面都他夹的这本书呢，就是那个会练的，家长们必会必练。 呃，八年级的语数英、物理话咱们都有啊，孩子，寒假期也给你看一下目录啊，是不是他这个所有的章节都是按课时来练的啊？然后他在后，后面呢， 家长给你帮忙看一眼，他后面有个专题训练，是不是就是每个章节难点的啊，他都拿出来一套专题给孩子们做练习，然后还有一套单元卷啊，想练这个的啊，点关注私信。

一个直角三角形， e 是 角平分线 b、 d 上的移动点， f 是 指角边 bc 上移动点。已知两只角边分别为三和四。求蓝色线段 c、 e 加 e、 f 的 最小值。思考三秒 看到角平分线。聪明如你一定想到对称，在 a、 b 上取一点 f 一 撇，使得 b、 f 等于 b， f 一 撇连接 e、 f 一 撇， 这两个三角形全等得到 e、 f 等于 e、 f 一 撇。问题转化为求这两段线段之和的最小值。显然，过点 c 做垂线 c、 h。 垂线段最短，最小值就是垂线 c、 h 的 长度。勾三股四选五， ab 等于五， 三角形 abc 的 面积等于，算出 c、 h 等于五分之十二，即最小值等于五分之十二。 这就是初二常考的重点问题，初二下册的四十三个必考知识点有哪些题型会怎么考？这本预备初二下册都帮你整理好了。他把这些必考知识做成二十一天预习规划。 先看知识点，明确学习重点，接着学点例，熟悉考法和解析方法，最后再做巩固练习和提升练习，扫除知识盲区，提升思维能力，为新学期打下扎实基础。不懂的地方，还可以扫码看老师的视频讲解。 家有初二学生的寒假，不用报班，不用到处借，就课本预习，用好这套预习资料，就能实现弯道超车，语数、音物都有。

二零二六版一本预备初二下册，寒假版来啦！他把语、数英三科的知识点都整理好了。预习内容概览，按照二十一天预习规划 领跑新学期。每天任务一，学课本，掌握课本要点。任务二，讲点例，经典立体名师思路，导引 方法锦囊，总结知识点。任务三，做练习，学完知识后做练习，夯实基础。每天综合检测，基础提升层层练。中考真题出体验，精选各地真题， 遇到不会的还可扫码看视频讲解，孩子在家也能轻松学！随书赠送两套开学第一考试卷。

我给大家捋一下八年级下咱们新教材要学什么东西啊？第一部分是十九章，二次根式本身是一个纯粹的预算，只要达到一个让孩子会算的能力，已经算完成任务了。其实这个二次根式吧，是为未来学勾股定律进行计算做一个铺垫而已。二十章开始就是重点了， 勾股定律它主要内容是勾股定律的运用，以及在三角形里面的基本计算，还要考虑什么呢？三角形的基本型进行结合，会有五个以上的基本型在里面蕴涵着， 下一张是紧接着来的四边形，还有一些特殊的四边形联合勾股定律产生了不少的基本型，所以这里面也是五个左右，甚至更多，因为他要跟八上的一些基本型进行结合。之后就是期中考试以后了，会进入这个学期的第二个重难点 就是函数的，一个学期过去我们讲了很多的整式啊，分式啊，其实都是为现在做铺垫的。首先是二十二张函数的定义基本概念，之后是二十三张一次函数的定义解析式和图。 其中比较难的是一次函数部分，他会考大体二十七题，这函数的定义吧，比较抽象，在八年级之前是彻底没有学过的。所以说二十二章是一个入门课，给孩子讲清楚函数的定义以及用函数解决方法，教材上给了三个方法，这个地方我会好好给孩子再讲透讲深一些。二十三章就是一个实战中的关键章节了， 只要学完一次函数，这个二十七题的前两万就已经会做了。图，像是现在新中考的新要求，考的第十题，二十七题，第三问是几何图形搭配解析式法与这个东西相结合，甚至还要牵扯到勾股定律相关的基本型， 这二十四张就可有可无了。这个数据分析吧，是属于比较浅，比较水一个板块了，一点都不难，就考个二十三题。我们现在总结下各章节啊，其实就是三大块，先几何中难点，后面代数中难点，最后是一个陪衬其中。这个几何学吧，是真正让我们 初中的基本型陷到了深处，一方面会把上学的基本型全部再重整一遍，这就意味着八年级上的基本型学的不太好，不用太担心啊。第二件事情，勾股定律的引入，会让我们不只能进行比例的运算，还能进行精细的数据的运算。只要你家孩子上学期学好了 这个东西，继续努力，水到渠成的也能学好。如果上学期没学好，也不用担心，只要把这个学期的反复进行操练，那么上学期的东西也会被充分的练到位，练透。因此吧，预习过程中就直接包含了复习的内容，再跟考试相对应的话啊，勾股定律四边形联合出题，会考到第二十六题， 函数一次函数考到了二十七题，这里面要搭配勾股定律，因为要预算嘛，他们联合考了二六二七好了。

华为出了一套初二预习神书，彻底拉低了八年级下册的难度。就是这本寒假初二预习视频课，二五年十二月刚刚出版， 完全同步新版教材。把知识点都做好了，二十一天预习规划。就拿初二重难的数学和物理为例，每天就做三件事，先扫码，跟着名师吃透需要掌握的重点知识，不仅标注了考勤考次，还以图文结合的形式呈现，孩子学起来轻松又高效。 学完知识再学方法，有典型例题，有思路引导，有方法总结，最后再去做练习，有学有量更扎实。每个步骤扫码都有名师带，学不会的问题再也不怕了。现在不仅打六六折，还拍一发二十，现在入手，不耽误寒假预习。

这里是人教版同步初中数学精讲班八年级下册的课程内容，我是豆豆老师，今天呢，我们要学习的是二次跟式的概念。 好，那我们先来看一下哪些知识点呢？首先我们要知道什么叫做二次跟式，通俗一点来讲啊，就是你们见到的这种形如根号 a 的 这一种， 那我们知道，其实这里啊是省略了一个二，对不对？那这一种叫做二次根式，那如果要让他有意义，我们就知道说这个根号下被开方的数 a 他 一定要大于等于零，是不是？好，那这样的代数式叫做二次根式， a 呢叫做被开方数。 好，那有一呢，我们肯定就有二，二是什么呢？ a 的 n 次方根，那我们知道有二次根是它可以二，也可以改，对不对？我可以把这里的它可以等于二三四五，一直 往下写，都有不同的可能，对不对？那二次根式是我们着重讲的一个，那除了二次根式以外以上的，比如说三次啊，四次啊，这样子的时候，我们统一把它叫做 n 次根式。那这个时候要注意的是，是不是所有的被开方数 a 都一定要大于等于零呢？ 不一定啊，那只有在这个 n 等于偶数的时候，我们才说 a 要大于等于零。同学们想一想，为什么呀？我们反过来想，如果说这里是一个三，对吗？ 那如果，比如说我们知道负二的三次方是等于负八的，对吗？那我就可以说，当 a 等于负八的时候，当 n 等于三的时候，这一个的值它就等于负二，是可以允许等于负的，对不对？ 所以啊，同学们要记住，只有当 n 等于偶数的时候， a 才可以说大于等于零，如果 n 是 奇数的时候， a 也可以是负数。好，我们接着往下看。 那我们要了解的第三个知识点是最减二次根式。在以前啊，我们学习分数的时候，我们会说最减分数，对不对？那我们学分式的时候，我们也说最后的结果一定要化成最减结果，对吗？ 那现在我们要学的最减二次根式。什么叫做最减二次根式呢？他要满足两个条件，第一呢，这个被开放数啊，他不可以是分数。 那你说老师小数行不行呢？小数也不可以啊，因为其实小数都是可以化成分数的，所以啊，他首先是不含分母，第二个就是他不能含有能开方的因素，比如说你画出来说等于根号四，哎，这种就不可以，对吧？那如果是根号零点四呢？ 根号零点四，你说老师其实可以把它写成根号下的五分之二，这个也是含分母的，所以老师刚刚举的两个例子都不叫最减二次根式。好，那代分数行不行呢？也不可以的，比如说根号下的一又三分之二也不行的。好，那我们再往下看啊， 好，它的两个重要性质，根号下的 a、 b 可以 拆分成根号 a， 乘以根号 b， 这个其实就是它的乘法了，对不对？反过来是不就是告诉你它如何去计算？这个应该很好理解，对吗？ 好，同样的除法也是一样的，根号下的 b 分 之 a， 可以 把它写成根号 b， 分 之根号 a。 那 么同样的 a 和 b 啊，都要大于等于零。但是这个 b 是 不可以等于零的啊，因为他是做了分母 b， 是 只能大于零。 那最后一个重要的知识点就是什么叫做同类二次根式？我们以前学整式的时候，会有一个 项目叫做合并同类项，对吗？那什么叫做合并同类项，同学们还记得，对吧？那以此类推，什么叫做同类二次根式呢？其实也非常的简单。首先呀，我们要把这个二次根式化成最减二次根式，对吗？比如说老师刚刚讲过的根号四， 哎，这个其实就等于二了，对不对？那有的时候，比如说你像根号十二，根号十二 和根号三看起来不一样，但是我会发现根号十二它可以写成根号下的四乘以三，然后把四提出来，就会变成两倍的根号三。如此一来呢，根号三和根号十二，其实说从本质上来讲，它就是同类二次根式，好吗？所以说 当它们化成最简二次根式以后，如果被开放数相同，那么这几个根式就叫做同类二次根式。好，那以上呢，就是我们今天所要学习的基础知识点。

动作快的家长都已经给孩子准备好了寒假不用借课本预习了，二六版预备新初一来了，同步课本包含了期下所有的知识点，科学规划了二十一天的预习时间。语文二百四十二个必考字词十九篇必备诗文十四的答题模板。数学五十九道典型例题。英语四百零一个重点词汇， 十三个必会语法等等，都是常考易错老师要求重点掌握的知识，每天要学什么练什么都帮孩子计划好了，还配了二百零三个音视频讲解，根本不用担心学不会。语数英小四门都有，赶紧给孩子安排起来吧！