青岛版四年级上册几何题

今天我们来继续复习四年级上册期末的必考考点，那今天要讲的是关于平行四边形的高和点到直线的距离的题目，我们来看 如图，平行四边形的高不可能是多少，那我们先看一下第一个图，告诉我们这个平行四边形的底边，一个是长七厘米，另一个底边呢是五厘米。现在我们先找底边七厘米所对应的高，那我去给他画找到直角边，然后和七厘米重合，重合以后我们从对边找一个点 给他引下来。 好，那这就是底边七厘米所对应的高，那我们来观察一下这个高到底会有多长呢？我们来看，如果我把这个平行四边形的 两个边去掉以后，我们来观察一下，那这就是直线外的一点，那我们从直线外的一点到七厘米的这条底边，我们引了两条线段。好，那这两条线段哪一个短呢？ 好，那也就是说我们的概念是过直线外一点到这条直线，它的垂线最短，所以说我们的高一定是高，一定是小于五厘米的，所以它的高有可能是 四厘米。好，现在我把这个平行四边形给它补全， 我们再来引底边五厘米上的高，那我在底边直角边和底边来重五厘米重合，重合以后，我们再对边再找一个点，好，去把高给它引上。 好，那这就是这条就是我们底边五厘米上的高，那这一个我们来看，把其他的都都花掉。 好，现在我们依然是从直线外一点到直线五厘米所引的两条线段里面，我们依然用的概念， 过直线外一点到直线的距离是垂线最短，那我们来观察，那这条是七厘米，那他的垂线一定是小于七厘米的。好，那就有可能是六厘米，他肯定不可能和七厘米一样长，所以平行四边形的高不可能是七厘米，所以选 c。 我们来看下一题，如图，平行四边形的一条高呢是七厘米，那这条高对应的底是多少？我们来观察一下。图中告诉我们的有它的底边分别长十一厘米和八厘米，有两条高，一个是长七厘米，另一个长十厘米。 让我们求的是这条七厘米的高，他所对应的底边是多少？那我们就要看这条七厘米的高，他的垂足在哪一条边上？好，我们来看这是他的垂足，与他相交的这条底边就是他所对应的底，那我们来看底边是十一厘米。 好，那也就是说这条高对应的底边呢就是十一厘米，那也就是说这条高对应的底边呢就是十一厘米。那这两道问题呢，我们都解决了，跟着赵赵老师学数学，让你啊朝朝领先，赶快关注我吧！

四年级数学期末考试押题猜想下图中的平行四边形的周长是？ a 大 于二十厘米 b 等于二十厘米 c 小 于二十厘米 d 无法判断。我们来看图， 我们发现这个平行四边形，它给出了一条边的长度是六厘米。平行四边形两组对边平行且相等，所以这条边也是六厘米。现在我们想求出中长，需要知道的是这条和这条边， 现在他还给出一个信息，就是这个高是四厘米，那通过高我们能得出什么？我们能确定这条边是大于四厘米的，那这两条边就是大于八厘米的， 那他的周长大于多少厘米啊？他的周长就是大于八厘米，加上六再加六厘米， 它们相加是二十厘米，所以这个答案选 a。 好 了，点赞收藏，期末复习不迷路！

大家好，我是你们的老朋友蛋蛋，今天我们来讲这个这道烧脑数学题同时有是我们试卷上的一道附加题，这道题有两种做法，我们先来看题目， 克伦和霍伦分别从甲乙两个码头同时相向而行，就是我 这样叫相向而行，相对而行和他也一个道理，赫伦每小时航行二十四点六千米，霍伦每小时航行二十点八千米， 这就是这俩速度哈，三点五小时后，三点五小时，他就就是这个的时间哈，两船相距，注意哈，相距哈，二点五千米， 这个相距他有之后有大用，而就用这个相距才能判断出是不是有两种做法，或者一种做法的甲乙两个码头之间距离是多少千米。 第一种方法，我们来画个图图，哈，第一种方法就是广为人知的一个方法哈，中间这道虚线部分就代表的是他这个，呃，还相距的 二点五千米，这边是假码头，这边是一码头， 然后他们的速度，这个这个就是克伦吧，二十四点六千米，然后这边是 这样子列算式的话，就是克伦的这个路程，然后再加上这个霍伦的路程，再加上中间这个二点五千米，根据乘法分配率来，我们就可以减变一点， 这是第一种做题方法。还有第二种呢，就是哈，他没说还相距，还相距的话，那就只有这一种办法了，还相距的话，就是他中间还行，他中间就 就有那么一段距离，就隔开了，完全隔开了，而他没说还这个就有两种做法，你看哈，脑洞大开，这是从假假码头出发的吧，这是从渔码头出发的，哎， 他已经相遇过了，他没说没相遇过，他没有说没相遇过呀，那么说的话我们也可以，你看乙从这边横行到这边， 甲从这边横行到这边，哎，中间这不也相隔呃，四二点五千米吗？哎，也就相当于啊，甲走了 差三分之二的差不多四分之三的路程，然后吧尾巴也走了，也走了差不多四分之三的路程，哎，中间还有块四分之一，两个人都走了，而且吧，这时候还相距的啊，这时候， 那这时候还相距二点五千米，这不又是一种方法吗？列算式的话，也就是 二十点八加二十四点六乘三点五减二点五减二点五的原因是你看中间这一块，他俩都走过了，也就相当于重复了两次，而我们只需要求中间的一次路程，而且吧，再加上那就是全部路程了， 不然的话，你这样展开的话还缺一部分，所以才得减二点五。 这道题有两种截然不同的答案，答，甲乙两个码头之间的距离是 一一百六十一点四千米或一百五十六点四千米。这道题的难点就是他这个第二个，第二个四位太离奇了，很多人都想不到。好了，这就是我今天要讲的这道题了，我们下期再见。

今天丁老师和大家分享第七单元的混合匀算，钢笔和圆珠笔各买一支，一共需要三十六元，其中钢笔的价格是圆珠笔的三倍，两种笔的单价各是多少元？ 对于四年级的同学来说，可能这道题对于他们来说是比较有难度的，那么我们可以通过画图先帮助他们理解。在这里说钢笔的价格是圆柱笔的三倍，那么我们先去画圆柱笔为一份，那么钢笔呢，是他的三倍，也就是三份 合起来是三十六元，这样的话孩子们就能够清楚的看到他一共有四份，合起来是三十六元，那么一份是多少呢？三十六，去除乙括号，三加一等于九元，也就是说 圆珠笔是九元，那么钢笔呢？钢笔就是九乘三等于二十七元。我们进行方法总结。第一，画线段图帮助理解。二，用贝的眼光列算式，你学会了。

近期我们班在封闭图形值数问题上遇到了难处，同学们你们看看有没有这样的困难，像圆形池塘、正方形池塘以及三角形的池塘，我们要围绕他种树， 五米一个间隔，一共要种多少棵呢？我们先来看第一个，在一个圆形池塘，他的周长是一百米，围绕一圈种树，相邻两棵树之间的距离是五米，也就是，哎，这是五米，这是五米。首先我们要想清楚这属于直数问题的哪种情况， 是两端都栽，还是只栽一端，还是两端不栽呢？我们之前研究的直数问题呢，都是直线，现在他是一个曲线，怎么办呢？四个字画区为直，我们拿着小剪刀沿着这棵树 剪开，现在我们把这个圆展成一条直的，他就变成了这个样子。 那同学们你想一想，我沿着这里剪开，那这棵树他去了哪里？他顺手就来到了我的右手边，也就是这个点的位置。那么你想一想，他的左端有树吗？ 应该是没有树吧，因为我沿着这里剪开之后，这棵树来到了右边，那么此时他的左边这里就是没有树的。那你想想，这应该就是只栽一端的情况吧。 我们把信息补全，相邻两棵树，也就是每个间隔是五米，他的总长度是一百米，不就是问一百里面有几个五吗？ 一百除以五等于二十，也就是有这样的二十个间隔，那每个间隔的末尾种一棵树，每个间隔的末尾种一棵树，因为属于只栽一端的情况，所以他总共还是要种二十棵树。 继续第二个正方形正方形池塘的边长是二十五米，要在他的四周种树，每相邻两棵树之间的距离是五米，也就是这是一个五米，往后每两棵树之间的距离都是五米。 我们用同样的办法划去为直，比如我沿着这里拿剪刀剪开，然后我把这样的一个正方形 拉直，也就变成了现在这个样子。那此时同学们你想想这棵树去了哪里？我把它拉直，顺手放在了右手端，所以他来到了这里。 那你想想此时沿着剪开他的左手端，这是怎么样的？哎，是不是也是没有数的？我们把其他的树 补上，每个间隔还是五米，那此时我们展开之后，他多长呢？ 一条边是二十五，有这样的四条边，也就是四乘二十五。其实还是看看总长度里面有几个五啊，看看有几个间隔，所以列算是四乘二十五除以五，也就是一百除以五还是二十个间隔。 因为他还是属于只栽一端的情况，二十个间隔，每个间隔的末尾种一棵树，一一对应的话还是二十棵树。 那么第三个他是一个等边三角形，也就是这三角形的三条边都是同样长度的，边长还是二十五米。现在要围绕这三边种树，相邻两棵树之间的距离还是五米。现在问我们一共要种多少棵树？同样的办法， 我们也是沿这里拿小剪刀剪开，此时我们把这三边打开，变成一个直的， 也就是现在的样子。这棵树我们顺手就把它放在了我们的右手边，那沿这里剪开之后，左手边这里，你想想是不是也没有数啊？ 因此他还是属于只栽一端的情况，相邻两个数之间的间隔是五米，那此时我们打开后的总长是多少呢？一条边是二十五米，两个二十五，三个二十五， 也就是三乘二十五。实际上是不是又是求总长里面有几个五啊？ 我们列算是三乘二十五除以五，也就是有十五个这样的间隔。那每个间隔对应一棵树，因为它属于只栽一端的情况嘛，所以有十五棵树。 那同学们，仔细观察这三个题，你发现了什么？像这种封闭图形，不管是圆形啊，正方形啊，三角形，我们都用一个方法，四个字划分为直，我们拿着小剪刀剪开，从这剪开，从这剪开，然后把它拉直，全部能拉成一条直线， 那么此时它就属于只栽一端的情况，棵数等于间隔数，你只需要求出间隔数即可。 那同学们，我们研究了圆形，正方形、三角形，如果我给你一个五边形，我告诉你它的周长，而且我告诉你每两棵树之间的距离，你会解决吗？是不是同样的方法， 我只需要沿着一棵树剪开，然后我把它拉直，变成一条直线，我发现我剪开的这棵树， 顺手我把它拿到了右端，而此时左端都是没有数的，那么他就属于只栽一端的情况。因此不管我给你一个什么形状，你都能解决。 同学们，你学会了吗？有问题的同学记得评论区留言，下一期我们会讲解封闭图形顶点处不栽，应该怎样解决呢？好，记得点赞评论加收藏呦！同学们，我们下期再见！

哈喽，同学们，这是青岛版四上我们必考的积的变化规律。长方形面积变化问题，有这样的三种题型，第一个长扩大到原来的几倍，第二个增加到第三个增加了。每个题型我们都要学会用两种方法来解决。现在我们先来看第一题， 长方形的草坪，长三十二米，面积是六百四十平方米，现在宽不变，长要扩大到原来的两倍。问，扩建后的面积是多少？ 先来研究第一种方法，我们知道面积是等于长乘宽的，我们现在已经知道它的长扩大到了原来的两倍，原来的长是三十二乘二， 只需要求出宽来即可，那已知面积已知原来的长，所以六百四十除以长就能求出原来的宽是二十米， 现在长也有了，宽也有了，长乘宽就等于最后的结果。 第二种方法用我们四上刚学的积的变化规律来解决，面积等于长乘宽，因为长是扩大到了原来的二倍，也就是乘二，而宽呢，是不变的。 在一个乘法算式当中，一个因素不变，另一个因素乘积，他的积也乘积，所以面积也要扩大二倍。 原来的面积是六百四十平方米，那扩大到他原来的二倍，也就是六百四十，直接乘二计算结果即可。再来看第二种情况，一个长方形草坪，长是三十二米， 面积六百四十平方米，现在宽不变，现在他的长要增加到九十六米。问，扩建后的面积是多少？ 那我们把这个图来改一下，原来的长是三十二米，现在长是九十六米，所以我们延长，也就是现在它的长度是九十六米。问现在整体的面积是多少？ 那第一种方法还是跟上一题一样，面积等于长乘宽。 我们现在知道他的心长是九十六，还是解决宽，怎样解决？宽有面积，有原来的长， 用面积除以长就能求出他原来的宽是二十米。有了宽有了长，用长乘宽就能求出他的面积。 同样，第二种方法，用我们刚学的积的变化规律，面积等于长乘宽， 它的宽是不变的，我们只需要研究一下长发生了怎样的变化。长原来是三十二米，现在呢是九十六米， 所以我们就看看现在扩大到了原来的几倍啊？几倍不就是九十六除以三十二，哎，发现是长扩大了三倍， 那一个因素不变，另一个因素乘三，所以他的积也要乘三，扩大到原来的三倍，原来的面积是六百四十，所以现在的面积就是六百四十，乘三即可。 第三种题型，我们把增加到换成了增加了，继续画图，也就是他的长原来是三十二米，那现在他的长增加了九十六米，也就是这一块增加的部分是九十六米。 所以现在新的长是多少呢？不就是九十六加三十二吗？ 我们现在就能把它转化成第二种增加到问题。同理。第一种方法，面积等于长乘 宽，那现在它的长等于原来的长，再加上它增加了九十六，也就是三十二加九十六，它的宽是多少呢？同样的方法，还是用面积除以它原来的长不就是宽吗？ 长计算出结果等于一百二十八米，他的宽面积除以原来的长是二十米，有长有宽， 长乘宽就能计算出结果。第二种情况，同样用积的变化规律，面积等于长乘宽宽还是不变， 但现在他的长发生了什么变化扩大到原来的几倍呢？现在是九十六加三十二，等于一百二十八米，用现在的长除以原来的长，发现扩大到原来的四倍， 长乘了四，所以他的面积也乘四。面积原来是六百四十，也就是在六百四十的基础上乘四，算出结果即可。 那以上三种就是积的变化规律。常考的题目，其实他的核心都是转化到一个因素不变，另一个因素扩大到几倍，那么他的面积也就是他的积扩大到几倍。 有不懂的地方，我们继续评论区来留言，记得点赞评论加收藏呦！同学们，我们下期再见！

看第一题，永不相交的两条直线就是平行线。平行线一定是需要在同一平面的，这两条直线在同一平面是平行的。接着我们扳出一个正方体，旋转一下，正方体是有不同平面的， 红色这条在正方体的上面，绿色的这条在正方体的下面。它们永远都不会相交，但是它们不是平行线，因此平行线一定是需要在同一平面的，所以这道题是错的。 接着看第二题，小方在纸上画了一条平行线，一条垂线。我们先画一组平行线和一组垂线。无论是平行线还是垂线，都是以两条形式存在的，不能单纯只说一条，因此这道题也是错的。接着看第三题， 同一平面内两条直线的位置关系有平行、垂直和相交三种，只有相交和不相交两种， 而垂直只是相交的一种特殊状态，因此这道题也是错的。接着看最后一题，两条直线互相垂直， 所形成的角一定都是直角。这道题是对的，但很多人有疑问，为什么垂直不需要同一平面？我们依然看一下这段动画，同学们注意观察这些白色的线，他们都是相互垂直的，但是只要是相互垂直，他们必定在同一平面，所以不需要强调同一平面， 这种题考试一定会考好。首先看第一题，四条边相等的四边形一定就是正方形。我们看这个图形，他的四条边也是相等的，但是他是个平行四边形，因此这道题是错的。 接着看第二题，从平行四边形的一个顶点，只能向对边画出一条高，同样是这个平行四边形，任意举一个顶点，假如这个顶点在这条边上，他可以向对边画一条高， 而这个顶点也能在这条边上，那么这条高就在这里。因此，一个顶点是可以向对边画出两条高的， 所以这道题也是错的。接着看第三题，平行四边形有无数条高且都相等。再画一个平行四边形，它的一组对边可以画无数条高 且都相等，这是对的。但是另一组对边也能做高，两组对边不同， 它们的高不一定相等，因此这道题是错的。最后看第四题，题型有无数条高 且都相等，这是个题型，他只有一组对边平行，从这组对边画高，这些高都是相等的，因此，这道题是对的。答案就出来了。

四年级上册数学期末考试押题猜想匆匆把一个四边形剪成如下两个完全相同的直角梯形，原来的四边形可能是一长方形，二正方形，三平行四边形，四梯形。然后给出 abcd 四个选项来。我们看一下， 这是两个完全相同的直角梯形，长度呢就是题目里给出的长度。我来试一下，如果是这样拼，是不是就形成了一个长方形呀？ 如果是这样拼是什么？是平行四边形对吧？ 那这样拼呢？这样拼是一个等腰梯形，所以我们把长方形，平行四边形、梯形全都找到了，所以选一三四 c 选项好了。点赞收藏，期末复习不迷路！

hi， 同学们好，我是小太阳老师，今天呢，这一节课就让我们一起来走进嗯，四年级上册关于图形与几何当中一些常见的判断题，并且呢，同学们可能会有点没有掌握的。 嗯，首先呢，我找了，呃，一本练习册上相关的一共有八道判断题，我们一起来看一下。首先来看第一题， 刘红画了一条四厘米的直线，那我们来看这里面直线。通过学习，我们都知道直线是可以无限延长，所以直线根本就不能够测量长度，那除了直线呢，我们要知道还有一个就是什么呀，哎，射线， 所以直线和射线和数字搭配，那就肯定错误。呃，第二题，我们一起来看一下，直线比射线长，通过学习，直线还有射线，我们都知道它们两个都可以无限延长，所以既然是无限延长，那就是不可以进行比较。 所以第三道题，两条直线相交成四个直角，这两条直线一定互相垂直。 那我们都知道啊，根据我们课本上垂直的定义，就是两条直线相交，并且相交成直角时，这两条直线互相垂直，那我们会发现，当有一个角是直角的时候，其他四个角都是直角， 因为一圈等于三百六十度，一个为直角的时候，那四个角就都是直角，也就是九十度，所以呢，两条直线一定是互相垂直的，这道题是正确的。 好，那我们再来看一下第四题，第四题呢，老师在这块画了一个五角星，因为这道题在我们实际教学过程当中会发现很多学生这个不会判断，觉得，哎，因为经常听老师讲平行呀，垂直，所以就认为线不是平行就是垂直。那我们要知道，关于我们学的线的 位置关系一共有两种，那一种呢就是平行， 而另一种呢是相交，并不是垂直。那我们知道啊，相交什么意思？比如说我随便举个例子，这两条直线交在一起了，有交点，大家看到了吧？那你看有这样的啊，那还有比如说有这样的形式， 这个角可能开口更大。那还有那我们都知道垂直，只不过它是相交当中的一种特殊的成直角的情况，也就是说相交包括垂直，但是它的范围要比垂直更大。而平行呢，其实也代表着这两条直线不相交。 所以关于这个直线，大家一定要清楚。我们线的位置关系有两种，一种是平行，也就是不相交，不相交的两条直线互相平行。而另外一种呢，是相交，垂直， 垂直，他只不过是相交当中的其中一种。我们要知道相交有很多种情况，所以我们来看一下这道题，同一平面内的两条直线，不是互相垂直就是互相平行，所以这个描述是错误的，应该改成不是相交 就是平行。所以这道题是错误的，错就错在他说垂直了，他说的是一个小范围的，但我们线的位置关系应该是大范围的相交。这道题你听懂了吗？ 我们继续来看角的两边越长，角就越大，那我们来画一个角，我们都知道角的定义是从一点引出来两条射线，大家大家都知道射线可以无限延长，那大家看一下我这个角变没变？哎？没变，我这个线延长的多长？但是我这个线，我这个角没有变，那我们知道角的大小与两条边的长短无关。 与边无关与什么呀？重点要记住是与开口大小有关。我们来看一下这个口，比如说你看现在老师画一个这个角，我再画一个， 那大家来看一下哪一个角大呀？显而易见，这个因为这个开口，这个黄色的这个角比我这个红色的角开口要大，所以角的大小只与开口的大小有关，与两边的长短无关。所以这道题是错误的。 第六题，比直角大的角一定是钝角，这个一定，那我们来看一下比直角大的角，那我们在学角的分类，我们学了有第一个锐角，还有比锐角大的就是直角，然后比直角大的是钝角，然后还有周角，还有平角。 那我们会发现比钝角大的啊，比直角大的不一定是钝角，还有可能他说一定是钝角，这种太绝对了，所以是错误的。 好。第七题，平角就是一条直线，周角就是一条射线，我们说角就是角，他和线的确有联系，但是他不能说角就是线，那么说平角，他只不过是。我们说角的定义是从一点引出两条射线， 那我们要知道角区分于线，那可能就会有一个角标，同时角是由从一点引出两条射线所组成的图形。那我们来看一下，只不过是这两条线在同一 条直线上，但是角就是角，而周角呢？只不过是这两条线怎么样重合了？我们这两条射线重合了，但他仍就是角，所以这样的描述是错误的。好，最后一道题， 直线外只有一条直线和这条直线平行。在很多学生做题的过程当中呢，都会判对这道题呢，我觉得是学生们没有理解这个题的含义。首先直线外只有一条直线，我们要知道这条直线什么意思，比如说老师现在 在这画一条直线啊，我在黑板上这块画一条直线，直线外只有一条直线与这条直线平行呢？那我们通过分析可以看，这条蓝色的直线与这条红色的直线平行，这条黄色的也与它平行，这条绿色的还与这条红色的平行。那这条啊， 粉色的还与这条红色的平行。那我们说是只有一条吗？我们会发现应该有无数条。那什么样的情况下是只有一条直线与这条直线平行呢？哎，那我们就知道，如果增加一个条件，就是过直线外一点，要与这个一致，直线平行的，那只有一条，一定要记住是过直线 快一点。有这样的条件，我一定要过这个点，因为这个点就相当于给我固定住了我的位置，我不能够在上面画这个啊，这个位置画这个位置画，我只能要过这个点，那只有有，且只有一条。 所以他说了，他没有说要不要让我过定，他只说了与这条直线平行就可以。所以这就是第八题为什么也错的原因。 好了，以上这八道题呢，是比较经典的一些关于图形于几何当中线还有线的位置关系，比较经典的四年级判断啊，图形类型的判断题，嗯，大家掌握了吗？ 小太阳老师今天的授课就到这里，希望大家喜欢啊，小太阳老师的视频就请你点赞收藏，下一期我们再见，拜拜。

今天我们来复习一道关于等腰梯形的题目，这道题也是我们家老二昨晚的数学作业，有一点小难度，我们来看一下，一个等腰梯形的下底边长度呢，比高的两倍还长八厘米，且梯形啊，可以剪成两个相同的等腰三角形和一个正方形。让我们求这个梯形的上底下底高分别是多少厘米？ 我在这儿画了一个等腰的梯形，我们把它各部分的名称都标上，那这是上底，这是下底。好，那我们还有两个腰， 这是他的高。好，题目中告诉我们下底边的长度比高的两倍还长八厘米，也就说我们下底他是等于两个高，也就二乘高， 加上我们的八厘米。好，现在还告诉我们梯形可以剪成两个相同的等腰三角形和一个正方形。那我们怎么去剪呢？我来剪一下，一定是沿着它的高去剪，那我在这再引一条高下来。 好，那也就说中间这一块呢，就是我们剪完的正方形，两边呢就是两个等腰的三角形。好，我们来观察一下这个等腰三角形，它的腰是哪两个？一定是我们的高和我们 下底的这一部分。那我们不知道。假如说我们的高是 a 厘米，那我们下底的这一部分是不是也是 a 厘米？ 好，因为这两个是完全相同的等腰三角形，那也就说这边这个高也是 a 厘米，那我们这一部分也是 a 厘米。 好，现在我们看下底是两个高，还多八厘米，那我们现在假如说高是 a 厘米的话，那我们的下底实际上就是等于 a 加上 a 再加上八厘米得到的。好，因为这两边是 a， 那 很明显我们就求出了中间这一块的长度，就是八厘米，也就是我们的上底就是八厘米。好，上底 等于八厘米。好，我们再来看上底和高，它们是我们正方形的一部分，那正方形四条边都是相等的，所以我们的高 也等于八厘米。好，那我们的下底是不是就等于二乘以八，再加八等于二十四厘米呢？好，这道题我们就解决了。

关于平行四边形和梯形的易错判断题，你能全部做对吗？来看第一题，两条平行线之间的线段长度都相等，我来画一下， 我们来看它们之间的这三条线段是不是前两条是相等的，它们都是垂线段，而第三条明显的就是更长一些，所以两条平行线之间的垂线段长度都相等， 所以这个题是错误的。 第二题，平行四边形，变形后形状改变，周长和面积不变，我们来看一下啊。这是我们假设上面这个是变形前的平行四边形，下面是变形后的，我们观察到什么呀？变形前和变形后 平行四边形的周长有变化吗？是不是还是四根棉签的长度相加呀？我们再看一下，面积是不是明显的，变形后的这个面积比原来的面积要小很多呀？ 所以这个题周长不变，面积变了，这个题错了。第三题，两个梯形可以拼成一个平行四边形，这是一个直角梯形， 这是另一个直角梯形，它俩确实拼成了一个平行四边形，但是假设是这样的呢？ 如果是这样的两个梯形就拼不成平行四边形了。所以如果是两个 完全一样的题型，是可以拼成平行四边形的。这个题错了。好了，点赞收藏，期末复习不迷路！

角的度量呢，是四年级数学上册期末考试一定会考到的一个重要知识点，他不论是以填空题、选择题还是应用题的形式出现，所以今天我们再来通过这道题复习一下这个知识点。我们来看图，已知信息如图，求角一的度数。 这张图呢，给我们了两个明确的角度信息，一百度和一百二十二度，然后还标了一个直角符号，也就是这个角是九十度。我们做这道题呢，可以先把剩余的角给它标上符号，以便计算的时候比较方便一些。如果这是角一，这是角二， 角三、角四，角五、角六， 这道题有好几种方法都可以求出角一的度数。用上面这个站立的这个大三角形，可以用这个倒下的这个三角形也可以。 我们先来用这上面这个三角形来求一下角一的度数，要求这个角一的度数。在这个三角形中，我们要知道这两个角的度数，然后才能求角一。我们看一下，这个是一个平角， 这是九十度，所以这个也是个直角，也是九十度，这样我们需要求出角三的度数就可以了。我们一起来求一下，这是第一种方法 来看角四加一百二十二度，是不是正好也是一个平角，这样角四我们的就可以求出它度出来。在这个小的三角形中， 角三我们是不是就可以求出来了？我们来求一下，角四就等于一百八十度，减一百二十二度 就等于五十八度。在这个三角形中，角三加角四加一百度，正好也是三角形的内角和一百八十度，这样角三就知道，所以角三就直接就等于一百八十度，减一百度，然后再减去角四五十八度， 就等于二十二度。角三的度数有了，这个角是九十度，所以角一就可以直接求出来。角一就等于一百八十度，减九十度，减二十二度，就等于六十八度。 这是用的上面这个大三角形求出的角一的度数。我们用第二种方式，用这个三角形来求一下角一的度数。同样的道理，我们也要求出角二和角六的度数。角二在这个小的三角形中，角五我们能求出来，角二所以也能够求出来。 我们先来求一下角二的度数，要求角二，我们要知道，角五，而角五加一百二十二度，等于正好一个平角一百八十度，角五就等于一百八十度，减一百二十二度，就等于五十八度， 所以角二就等于在这个三角形中，一百八十度，减九十度，减五十八度，就等于三十二度。角二求出来了三十二度。 在这个三角形中，还需要一个角六，而角六呢，跟这个一百度又组成一个平角，就等于一百八十度，减一百度就等于八十度。 角二、角六都求出来了，剩下角一角一就等于三角形的内角和一百八十度。减去角二是三十二度，然后再减角六八十度，就等于六十八度。 这样我们就求出了角一的度数，不论用哪一种方式，只要求出来就可以。

第一题，锐角扩大两倍一定是钝角错。例如，三十度扩大后六十度锐角，四十五度扩大后是九十度直角，六十度扩大后一百二十度钝角，结果不确定。 第二题，钝角分成两个角，至少有一个锐角正确。钝角小于一百八十度，若两个角都大于等于九十度，则和大于等于一百八十度不可能。 第三题，平角是一条直线，周角是一条射线错角必须有一个顶点和两条边。平角的两条边是反向射线，不是一条直线。周角的两条边重合为一条射线，但仍是一个角，不是单一的射线。

我们试卷上有这样一道操作题，画出三角形比边上的高，这个呢，跟我们之前书本上的知识点不一样，我们书本上一般是这样讲的啊，啊，比如说这里是 a， 这里是 b， 这里是 c 啊，他会说过 a 点做 bc 的 垂线，一般会这样讲，但是这里给了你一个三角形，你就要会画， 这里是一个锐角三角形，这里是一个钝角三角形，他在这里都给我们标上了 底，不同的底对应着不同的高，那么画三角形的高啊，老师教大家一招，找对应的顶点。第一个三角形是以 bc 为底，那它对应的点在哪里？相对应的点在哪里？ bc 相对应的点就是 a， 所以 我只要过 a 点做 bc 的 垂线，那做垂线的步骤大家还记得吗？ 还记得吗？点对点，边对边，画垂线，标垂直符号。画高的时候我们要画虚线。好，那我们首先把这个绳子拿过来， 你看点对点啊，或者点对边，那么也就是 a 点对着这个直角的一个边啊，对齐，然后边对边， b、 c， 这个边要对齐。三角形底边上的边对齐之后画垂线。 画垂线标干什么？标垂直符号，这就是它的高，注意，我们要用虚线画上去，那这里给我们标上了底，你在这里可以写上 高啊，你可以写上高。好，这是第一个，第一个我们班做的都非常好，那我们主要来看第二个。好，第二个老师给他标上符号， 依然是 a、 b、 c， 同学们看，在第二个图形当中啊，哪一个是底啊？ b、 c 是 底，对应点就是 a 点，那么我现在只要过 a 点做 bc 的 垂线，做 bc 的 垂线。好，一样的方法，一样的方法，你来看。 好，那我首先要点对边啊， a 点跟三角形的垂直边对齐啊，边对边，下面的这个 bc 这条边要对齐，三角板的 下面对齐。好，有的同学他就这样画了啊，他画下来做垂线，哎，他发现 有没有在三角形内画？没有啊，这个题目我们做的非常的少啊，但是这个是不是垂线呢？是的，是垂直的线段。所以啊，我们一般是把 b、 c 进行延长啊，把 b、 c 进行延长， 把 bc 这名在这里标上垂直符号，多余的把它擦掉。那么 a d 啊， a d 这条虚线表示的就是三角形 abc 的 高。

四、上数学期末最难的图形与几何，正好这十七大体型四年级上册数学期末复习图形与几何十七大考点，老师给同学们整理好了，包含了本学期的所有几何内容， 这些题目是期末考试的重点，也是难点，是每一位同学都需要掌握的内容，家长可以给孩子打印下来，让孩子考前多练一练。

哈喽，大家好，我是一同未来的龙龙老师。哈喽，大家好，我是一同未来的媛媛老师。那今天非常高兴给大家带来一同未来期末备考攻略，是咱们的四年级，那下面呢是我们两位老师的企业微信联系方式，那各位家长如果有任何期末考试当中的问题，可以添加我们的企业微信， 那接下来呢就是我们的自我介绍，首先我叫龙龙老师对不对？刚才我已经说过了，可能我是毕业于中国石油大学北京，现在呢是咱们双拥体系四年级的负责人，那还有一位呢是我们的媛媛老师，那就请媛媛老师介绍一下自己吧。 好的，那我呢是媛媛老师，我叫做戴媛媛，目前是毕业于我们中国海洋大学，然后呢是在我们四年级创新思维来上课， 然后我的授课风格比较的亲和耐心，然后呢还逻辑严谨，比较关注小朋友们每一个他的反馈以及成长。 然后教学原则呢，是尽可能多的要求一个人，但是呢也尽可能多的尊重一个人，因为我相信只有小朋友们在自己感觉到安全并且呢被尊重的情况下，他们的思维的翅膀才能够放飞。然后作用名是教育，不是灌输，而是点燃火焰。 好，然后接下来呢是介绍一下我们的一个短期课，短期课呢，当我们是安排了线上和线下同时进行的，那么线上呢，是在我们线下的时候同时进行一个直播， 那我们的线下主要是分为两次课，一次呢是在一月十号，一次是在一月十七号，那两次都是两个小时，然后是从九点半开始，中间会休息半个小时， 然后呢到十二点的时候，咱们的这个短期课就算正式下课了，那分次分为两次课，一次课呢是关于我们这个学期四年级上学期 的一些关于计算的东西，比如说呢，我们的万以上数的认识，然后还有三位数乘两位数，还有除数是两位数的除法，还有我们的行程问题，还有混合混合计算，那这些呢是我们的应用题里的一些计算部分。 然后到了我们的第二节课呢，主要就是我们的龙龙老师来去给大家上课，分为我们的线和角，平行与相相交条形统计图，以及我们的指数问题， 那这四个呢，主要是和我们这学期的一些几何相关的东西，所以呢到时候大家可以根据自己的弱点来看，到底应该上哪一节课。然后呢接下来由我们的龙龙老师， 呃，首先呢我给大家来介绍一下我们呃本次视频的一个大纲，就我们本次视频呢，是包含我们四年级上册整个课本的所有知识点，那前三个板块主要是外引上数字认识线和角，平行和香蕉，以及混合预算，是由我来给大家讲解。 然后呢后面四个啊，三位数乘两位数，除数是两位数的除法，包括行程问题，还有条形统计图是由咱们的媛媛老师给大家讲解。 那首先我们来看第一个板块，就是万以上数的认识，那万以上数的认识呢，主要有四个部分啊，第一个就是计数单位与计数法，第二个是大数的读写，第三个是大数的比较与数位读写，第四个是四舍五入与数字编码。那首先我们来看第一个就是万以上数的认识， 首先我们在这一块有一个课本的试穿衣，我们学，学到了啥？我们学到了啥？是技术单位，那就是个十百千万，十万百万这些我们叫做技术单位，那接着往下呢？ 我们可以看到每两个相邻技术单位间的境遇都是十，这种技术方法叫做实进制技术法，也就是说 从个倍到十倍，十个个也，我们也可以叫做十个一，那就是一个十，那再往前呢，十个十就是一个百啊，那就这就是十进式的计数法。 那接下来还有啥呢？还有数字的一个读法啊，在读数的时候，我们就可以像课本上一样，把这数字呢给他四个为一组啊，画上小虚线，这样就方便我们进行数位的对齐，然后再进行数位对对齐之后就方便我们进行那个数字的一个读。 那这块内容在我们考试当中呢？说说实话是考的比较简单的，它会考什么样的形式呢？我们一起来看一看。首先，呃，二三到二四市北的期末题当中出现这么一道题，问我们下面个数中只读一个零的是 这道题，我们就需要把每个数给它读出来，然后去找一下哪个数只读一个零， 然后下面呃，再往下二四二五是本期末考了，我们的实心式的基础法啊，比如说就是第十一题，我们几个十万是一百万啊，几个一百万是一亿， 我们刚刚说过，每两个相邻的计数单位之间，他们的进值是几是十，那不相邻的怎么办呢？我们可以把那个数据表给它写上去，比如说前面一个空，问我们十万和百万，我们把十万写在这，百万写在前面，那百万在前面是千万， 再往前是亿，我们可以看到啊，第一空问我们几个十万是一百万，这很简单对不对？因为十万和百万他是相邻的啊，每两个相邻七个单位之间，他的进率是十，所以说 十个十万就是一百万，那接往下几个一百万是一亿呢？像这种不相邻的，我们该怎么办呢？怎么可以一步一步往前推嘛？那从百万到千万，他的进率是十， 那从千万到亿呢？他也是十啊，所以说我们可以看到百万和亿中间隔了几位，隔了两位，对不对？也就是两个十，我们把这两个十乘起来，结果是多少？是一百啊？就是第二个空， 他还会考我们什么呢？还会考我们像是这个题当中问我们下面个数当中七表示七个千万的十，就是问我们特定数字在特定 啊位数上的，比如说这个问我们七表示七个千万的数，我们就要找哪哪个数他的千万位上是七 啊。这个我就不细讲了，大家可以看一下。然后接下来往下就是大数的写法，其实写和读呢，他俩是一样的啊，方法也是一样的，就是把这个数给他，四位为一组，四位为一组进行分割，分割完了之后就方便我们进行这样一个读和写。 当然这一块呢，在考试当中还可以，还可能跟四舍五入法放在一起考，因为这个也是比较简单的一个知识点嘛，所以说他可能出很长很长的这么一段话，然后中间挖好几个空， 包括，呃，这个题当中问我们省略 e 后面尾数约是什么？这个就涉及到我们四舍五入法的内容，那四舍五入法 我们在后面就会讲，那接下来往下呢，就是大数比较和数倍的改写。首先比较啊，大数比较其实和呃大数本身并没有什么关系，他只是涉及到一个数字的比较。那数字的比较呢？我们有两个步骤，第一个就是先比较数倍， 先比较数位，数位比较多了，那他自然而然就大一些。如果是数位相同，我们该怎么该怎么比较呢？就是从高位到低位开始比较， 比如说课本上问我们这两个数，他们俩的位数相同，那我们该怎么比较呢？我们就从最高位开始啊，往下一位一位的开始比， 那这两个数第，他的最高位都是几啊？都是九，对不对？都是九，那我们接着往下看啊，接着往下看，他第二位上是几？是六，那这个数他第二位上是三，那六要比三大，对不对？所以说啊，这个九百六十万就大于九百三十七万三千 啊，这是大数的比较，那数位的改写，他会怎么来考察我们呢？首先数位的改写要涉及到单位的换算啊，我们要先换算单位，然后再去进行这个数位的一个改写 啊。比如说这道题当中问我们啊，说每本书厚一厘米，中国空间站所在轨道的高度为四百千米，相当于多少本书啊？挪起来的高度。那首先他说每本书厚一厘米啊， 空间站轨道高度为四百千米，那我们首先得把厘米换换算成千米，对不对？换算完了之后再进行啊，以万为数位的这么一个改写。 那最后一部分其实就涉及到我们的四舍五入，还有那个数字的编码，那四舍五入啊，就是我们求进四数的一个方法，叫做四舍五入法。那四舍五入到底舍和入的是哪一位呢？ 这个其实要看具体的一个题目啊，比如说像课本上这个啊，他是以万作为计数单位，那我们就要看万下面的一位啊，就是看到看到一位，看到千位，对不对？ 那接着往下这个呢，是以 e 作为技术单位，我们还是看到技术单位下面一位，也就是看到千万位？然后第二部分是编码，编码主要就是考察我们一些，比如说像是身份证号啊，它的各个数字代表的是什么含义， 还有可能考我们运动员的编号，运动员编号他会首先呢给我们一个呃编号的方法， 比如说这道题说啊，末尾一表示男生，末尾二二表示女生，然后给我们一串编号，然后呢这个时候我们就了就可以了解到他各个数位啊代表是什么意思，然后照这样的编法，然后我们去给他做一个新的一个编号啊，这个就比较的简单一些， 比如这个题问我们身份证号码上反应的是哪几位啊？包括性别， 出生年月日呢？首先我们要知道身份证号码他的前六位代表的是啥？代表的是地区啊，他的省啊市。然后再往后数，从一九七零幺幺幺四啊这八位中间这八位呢代表的就是出生年月日啊。 那最后四位呢，是每个人特有的一个编码啊，每个人都不一样，那怎么看男女呢？性别我们看的是倒数第二位，这个数如果是单数的话，他就是男， 如果是双数的话，对应的就是啊，对应的就是女，这是性别的一个区分。 那接下来往下第二部分是我们的线和角，线和角这方面啊，确定 c e 嘛？一个是线，一个是角，对不对？ 线呢？我们会学习到哪些知识呢？首先是直线、射线和线段啊，角的话就是角的概念和测量，其实课本上关于这些内容还有一个单元，把它分解出来叫做平行与垂直啊，这个我把它放在了线和角一块讲，是因为它和线其实有很大的一个关系。 那首先第一个我们要明确射线、直线、线段，它仨长什么样子，对不对那？ 呃，现在呢，他是有两个断点的啊，顾名思义，再有两个断点把他左右都给堵住了，所以说他不可以无限的延长。那射线呢？只有一个断点 啊，他有一端被堵住的，所以说他可以朝没有断点的那一端去进行无限的延长。那直线呢？没有断点，就是他说他两边没有被堵住，但他就可以朝两边无限的延长， 是射线、直线还有线段的一个特点。那么接下来就是关于角，那角呢，我们首先要知道角呢是一个图形啊，它是可以背度量的，那我们量角的工具是量角器， 那我们怎么去用量角器进行量呢？首先呢，课本上给了我们一个非常标准的一个做法，那就是把中心点和角的顶点重合，然后呢连刻度线和角的一条边重合，我们就要看角的另一条边落在 两角线的一个刻度啊，比如说这个角度的话，就是六十度啊，这个所以说我们就量一下这个角是六十度，但是考试可能会增加一些难度啊，不会考我们这么简单。比如说这道题，他也给了我们一个两角线，但是他两角是歪着的，他并不是 用零刻度线和角的一条边进行重合啊，用最标准的量法，这时候我们应该怎么办呢？那首先我们还是看角的一条边，在量角线的刻度上，比如这个边对应的是三十度，那另一条边呢？大家可以看到对应的是 一百二十度，那这时候我们该怎么做？就是用大的角度减去小的角度啊，就是这个角度对应的度数也就是九十度。方法就是看两个边对应的角度，然后用大的去减去小的啊，做减法。 那接下来往下呢就是平行和垂直，那平行这一块呢，比较简单，我就不细讲了，关键是，呃垂直这一块， 首先呢垂直，从直线外到一点到这条直线所画的垂直线段最短，他的长度叫做点到直线的距离，那垂直呢，就是这个点到这条线，我们去给他画一个直角啊，这叫叫做垂直。那这条垂线的长度呢， 就是点到直线的这么一个距离，那这一块呢是非常重要，为什么说非常重要呢？ 因为我们可以看到这一块呢？其实在我们期末考试当中考察的是非常多的啊，大多数是一些画图的题目，那画图题目我们就是要呃， 最常见的就是过点去做垂线，那这一块呢？孩子们可能会出错，为什么会出错呢？他可能在画的时候呢，由于对工具的使用不够熟练，所以说，呃，很可能会画错。那我们这个问题的唯一解的方法就是让孩子去多练， 只有多练才能去避免这样的一个错误。那接下来第三块是我们的混合预算，到了我们啊预算这一块，那混合预算呢？他是在课本上先给我们讲述了单价、总价和数量这个三个概念的一个区分， 那第二块就是不带括号的混合预算，第三个是带括号的混合预算。那首先我们来看第一个就是单价，总价还有数量。那课本上问我们，呃，说 买十个文具盒需要花多少钱？那每个文具盒的价格呢？叫做单价，单价其实就是说白话，就是一个物品，它的价钱就叫做单价。那我们比如说要买十个啊，买的是十个呢，就是数量， 那我们买十个要花一堆钱，对不对？要花一堆钱，这一堆钱呢，就有总钱数，叫做总价。 所以说，呃，我们要明确一下单价总价和数量的关系。首先总价就等于单价乘以数量，那根据这个公式我们就可以反推出另外的两个啊，单价是啥？单价就等于总价除以数量，那数量等于总价 除以单价。那我们只要知道了这三个量其中的两个，就可以利用公式去求另外一个。大家在遇到这种题目大多是应用题的情况下，就可以去梳理一下 这些题目的数量关系，然后找出这道题当中要求单价，收养还是走价中的哪一个，然后用公式进行求解， 然后接下来呢是我们的混合运算，那混合运算呢，其实并不是一个全新的运算的一个方法啊， 说白了就是写综合算式。比如说我们在以前做应用题的时候，可能做一道应用题，我们要写好多好多个算式，对不对？我们要算好多好多步。那现在我们要学了综合算式之后，学了混合运算之后，就可以把这个算式和多为一啊，就可以列一个综合算式就可以进行解答了。 那在呃解决这个算式怎么做的时候，我们要最重要的就是注意运算的顺序。像这种不带括号的，那运算顺序大家都学过是啥？先算乘除对不对？ 后算加减啊，一定不要弄错了这个运算的顺序。 那接下来就是更复杂一点的带括号的啊，带括号的话，我们要先算括号里边的啊，先算括号里边，再算括号里边的时候，大家注意 还是先算什么呀？先算乘除，后算加减，那算完括号之后，然后从头往右心细算就可以了。 那除了小括号之外呢？还有啥？还有中括号，有中括号的情况下，我们应该先算小括号之之内的内容，然后再呃把小括号算完了之后，再算这个中括号里边的内容，然后再接着往下修剪就行。所以说这一块呢，其实难度并不大，大家最重要的就是搞明白这个运算的顺序啊，就可以。 那这一块在考试当中呢，并不会单独的给我们去进行考察，说白了它是一种帮助我们解答应用题啊，帮助我们 解决一些计算题的一些方法，比如说这两年期末考试题当中出现了啊，像我们刚才说的购物的问题啊，像是这个隧道工程期，说白了就是一个相遇问题，行程问题当中的相遇问题。 那还有一些啊，别的一些应用题的一些解决，都是靠我们这个混合预算来解决的。第四块就是三位数乘两位数，那这一块呢，请媛媛老师来给我们讲解。 大家好，接下来呢，由我来给大家介绍一下我们的三位数乘两位数，它的一些重难点在哪里？ 好，那首先第一个，我们知道乘法数式它是有一个数式的，那么做这个数式的时候，其实我们有一个口诀，叫做乘法数式，多位在上，数位对齐，从个位算起，然后进进位要进行标记。那我们来看一个题目，具体来了解一下。 那二百八十七乘上六十三，我们刚刚说了高位要在上，那谁是高位啊？二百八十七，所以呢，二百八十七写上，下面呢就写我们的六十三， 好，从个位开始算起。那也就是说我们要先算三，乘上二百八十七，来一起算一下，三七是二十一进位。注意了，我们要标在这里进位不能落掉三八，二十四，还得加上我们的这个二，所以呢就是六， 二三得六，还得加上这二，所以呢就是八，哎，那个位算完了，我们来看十位乘上二百八十七，六七多少？对四十二啊， 六八四十八，还得加上我们的这个四，所以它就是五十二，那五十二呢？我们就写个进位五十二，然后二六是十二，十二还得加上这个五，所以就变成了十七。 哎，然后呢，这里这个符号它应该是加号还是乘号？对，显然是加号，那就是说这里一加上这个零，它就是等于一，二加六等于八， 八加二等于十。哎，注意这里的这个四，咱们还需不需要去加？显然是不需要的，那就是二加八直接等于十进一写零，然后七上面没有了，这是零，七还得加上这个进位一，所以就等于 八。那最后呢，这个一直接下来就好了，所以这道题呢，它其实就等于一八零八一。好，这个没有问题，我们来看一下下一个 乘法数式我们解决了，我们看这种带有零的数式，它应该怎么办呢？那带有零的，我们知道它有两种情况，第一是末尾带有零，这种是比较好算的，然后呢，中间带有零， 中间带有零的情况下，我们知道零乘任何数它都是等于零的。好，那先看这个末尾有零的，为什么说它很算呢？ 因为这些我们会发现这里有两个零，那其实这个数他就变成了三乘上二十二，哎，这个很简单吧，应该是等于六十六， 那剩下的两个零怎么办呢？啊？我们先把它盖住了，之前算的时候，所以现在得给他补上两个零。同样这个也很简单吧，先把零给他盖住， 那就变成了三乘上二十一，那结果就是六十三，哎，刚刚盖上的两个零得给他补上来， 这个也很简单，把这两个零和这个零给他盖住，他就变成了所二十。哎，这里二十。注意二十是有零的，他是不算在我们补的那个零里面的，刚我们盖住了三个零，所以要补上三个零。 好，下一个同样二百七十乘上三十，那把这个零盖住，把这个零也给盖住，所以它的结果应该是多少呢？三七二十一，那二三得六，还得加上二，所以就变成了八， 刚开始的两个零，他应该五十二，所以就变成了八一零零。好，那这个呢？是我们末尾带有零的乘法算式，所以他真的很简单，不用太担心。好，那这个呢，就是我们的乘法算式，我们接着来看 集的变化规律，那集的变化规律呢？其实说白了，就是当一个因素不变的时候，另外一个因素乘上己，他原来的己也会跟着乘上己。然后还有一种情况就是一个因素不变，另外一个因素他除以己， 他这个己同样也会跟着除以己。那么在考试的时候呢，我们也会遇到集的变化规律的题目， 我们来看看这一道题目，他就是一个集的变化规律的题目，那么这个他说根据十五乘上二十二等于三百三十，这个算是 直接写出下面个体的得数。哎，直接写出，那就说明他肯定是有一些规律在里面，可以让我们直接写的。哎，找找看什么规律呢？二十二的二十二，一样的十五和六十，哎，他俩有什么关系啊？ 很显然我们会发现这个六十啊，他就是用十五乘上四， 所以我们刚刚说了一个因数不变，二十二不变，但是十五呢，乘上四了，所以他这个集应该也得乘上四吧？ 乘上四，那么四乘上三百三十等于多少呢？三四是十二，三四是十二，还得加上一， 最后呢，需不需要补零啊？显然是需要的，所以这个六十乘上二十二，我们就得出答案了。我们再来看一下下一个三十乘上二十二除以二， 哎，那我们就会发现什么，这两个数好像都有变化，都有变化，怎么变呢？我们把这个上面的擦掉，怎么变呢？这个三十和十五什么关系啊？哎，他乘上二呢？ 那二十二和二十二除以二，哎，这个很明显，他直接就是除以二，那前面的乘上二，后面的除以二，这个结果会不会变？ 显然是不会的吧，因为前面都乘上二了，后面再除以二，就直接相当于抵消了，所以这个结果是不会变的，它就是三百三十。那这个呢，就是我们级的变化规律，我们来看下面， 那之后呢，就是我们的估算，在估算的时候，我们用到的方法是四舍五入，当然这种估算的情况，他在应用题里其实并不一定是四舍五入，因为有的应用题呢，他可能会要求我们四舍，有的题目呢，是需要我们去五入的，这个是需要根据我们的实际情况来去做的。 那么一百六十乘上二十等于多少呢？等于三十二，因为有两个零嘛，所以还得补上两个零。好，这种计算的是比较简单的，但是应用题呢，他可能就需要根据实际情况来去看，就比如我们这道题，比如说我们这道题，这道题是比较简单，他是直接一个计算， 那这个题我们按照四舍五入的方法来去做，一百六十，他就是可以看成二十， 因为后面是个约的语，所以这种情况下，我们就可以直接用四舍五入，这道题呢，他说有什么什么什么啊？设备，他的面积是八十七平方米，那么全村呢，一共是有一百九十三户，请你估一估， 准备了可以安装一万八千平方米的太阳能发电设备。问我们够不够好？因为这道题呢，他已经明确的说出来了，请你估一估，那我们就必须要用估算的方法。好，那这道题怎么估算呢？ 来看看，因为他说面积是八十七平方米，那么八十七平方米，我们其实应该可以看成什么？对，九十平方米，那么接着来看一百九十三户，哎，那这里如果按照我们刚刚说的四舍五入把它看成一百九十， 是不是就变得不那么好算了，所以呢，这里我们就用两百去代表他。哎，那我们来看两百和九十他们会发生什么关系呢？有九十乘上两百二九是十八， 然后还加了多少个零？三个零，这个呢是你放弃米， 哎，我们会发现，这个一起一万八千的平方米，和我们上面的一万八千平方米什么关系？相等的关系，相等的关系情况下，这个九十是要比我们的八十七更大的，这个两百呢，也是比一百九十三更大的， 所以这两个大的乘起来刚好等于一万八，那所以小的这个八十七和一百九十三乘起来应该是多少？ 应该是比一万八更小的，所以这个一万八千平方米的设备够不够呢？显然是够的，所以这道题的估算呢，我们就是这样来去算的。好，我们接着来看下面的一部分。 第五呢就是关于我们乘法的一个应用题，但这部分有很大一部分都是我们其他单元的东西，比如我们这个总价等于单价乘上数量，那这个呢，是我们刚刚新龙老师已经讲过的混合预算里会出现的东西。 然后呢就是这个路程等于速度乘上时间，这个是我们解应用题里的行程问题，那这个呢，我们后续放到行程问题的部分再来详细去讲解。 那接下来呢，就是我们的除数，是两位数的除法部分。好，首先第一个口算与公算， 那分为口算，注意了，我们在口算的时候一定要注意是想着乘法来去做的，除法的口算要看清楚我们的被除数和除数，要准确的判断他的商末尾是否有零。 然后第二个就是我们的估算，那估算呢，我们同样也是用到的四舍五入的方法。好，这种题目通常情况下他会直接考我们些比较简单的除法来看，比如我们这个 八百零二除以四十一，约等于，哎，这个约等于约就说明什么我们要用估算，那要用估算的情况下，我们用四舍五入，这个八百零二，它四舍，所以就变成了八百四十一呢，同样也是四舍 就变成了四十，那八百除以四十等于多少？哎，我们先把这个零看看能不能消掉， 首先这个四十有一个零，所以把这个零给他消掉，然后呢八百他有两个零，但是我们后面消掉的只有一个零，所以前面呢也只消掉一个零，那就变成了八十除以四就等于多少？对，二十， 所以这个时候我们就需要看清楚这个商他到底末尾有没有零，这种消掉呢，一定要消一样数量的零。好，然后我们来看下面一道题， 四百八十除以六十，同样我们把后面的零和前面的零给它消掉，因为后面也是一个，前面也是一个，所以直接消掉就行。四十八除以六等于多少？对，等于八，好，我们来接着看六百除以三十等于多少， 哎，这个我们也是消掉一个零，那就变成了六十除以三就等于二十。 所以这种题目呢，通常情况下考口算比较多，口算呢也是我们注意到他商有没有零就可以了。 接着我们来看一下第二部分和第三部分，第二呢是我们的除法数式，他的一个口诀是商乘减比落，然后第三个就是我们的比算，因为比算呢，和我们的口诀是息息相关的，所以呢就把它俩放到了一起。那首先比算的时候我们一定要注意， 第一要确定商书写的位置，逐次的去试商，最后呢还要进行验算，因为有的题目他会要求我们去验算。然后第二个呢是试商的方法，如果 这个除数它是接近于我们的整数数的，那可以采取我们的四舍或者五入的方法来去试商。不过这个是有一点点小小的缺点的，因为四舍的话，他其实这个商可能会容易偏大， 那这个五入呢，这个商就会容易偏小一些，所以如果除数接近我们的几十五，就考虑用几十五的乘法口诀。然后不管我们怎样去试商呢，这个余数他都是要比除数小的。 那第三个验算呢，就是我们一定要让我们得到的一个被除数，除数商，余数符合我们的这样的一个关系，也就是被除数呢，它要等于除数乘上商，然后加上我们的余数的好。然后是看一个题吧， 我们直接看这个要验算的题目，七百零四除以二十二，首先把这个式子给它写出来，七百零四除以二十二， 那因为呢，二十二他是一个两位数，所以我们要先从前两位看起，七十除以二十二，哎，够不够？够不够除呢？显然是够的，够除的话，我们就把这个商先写在零的上边。好，七十除以二十二，应该是商多少呢？ 因为我们刚刚说了，这个二十二呢，他其实是接近于我们的二十的，所以就先用二十来去估，二十乘上多少会等于七十，或者说接近于我们的七十呢？显然是三，那我们就先去试三，如果这里是三，他就是二十二乘上三等于多少？ 六十六。好，那我们可以看到六十六比七十小，完全没有问题。这个上，所以接着来看，七十减去六十六就等于四，我们比一下，四和二十二相比，四比二十二要小，所以就没有问题。 我们接着来看四，这个四呢，我们得把它落下来，那四十四除以二十二 a， 很 显然是上二，这里呢就变成了四十四，最后余数就变成了零余数呢，比我们的除数要小，所以这个题就没有问题。但是是不是就写完了这道题？ 也不是，因为我们还得验算， 注意，一定要写验算这两个字。然后呢，我们是用乘法来去验算，我们这个除法到底做的对不对，也就是先看我们的三十二乘上二十二，它到底对不对呀？ 二二得四，二三得六，二二得四，二三得六，那么这里加起来是零，然后六还得加上一个一 七百零四，哎，七百零四和我们得到的被除数是不是一样的？所以这个题呢，他答案就是等于三十二。 所以我们的除法呢，一定要遵循我们的商乘减比洛的规则来去做，并且一定要验算，验算的时候如果还有余数的话，还得再验算一步，就是在这个结果的基础上，我们再加上我们的余数，看看得不等于我们的被除数。好，这就是我们的 除法数式。我们接着来看商不变的性质，那商不变的性质呢？其实就是说我们的被除数和除数如果同时乘或者除以相同的数， 当然零除外，因为零和任何数相乘，它都等于零，并且呢，零它是不能够作为我们的除数的，那这个商呢，其实是不会变的。 接下来我们再来看一道题目，已知七百除以四十，他的商是十七，余数是二十，可以推导出我们的七千除以四百，他的商是多少。哎，那我们就来观察一下这个七千除以四百和我们给的式子七百除以四十 什么样的一个关系啊？那很显然，我们的七百变到七千的话，它就是乘上了十， 四十呢，变到我们的四百，他同样也是乘上十。那么刚刚说了，根据商不变的性质，可以知道被除数和除数同时乘一个数乘上我们的十，这个商会不会变？显然不会，所以这个商之前是十七，现在呢就还是 十七，哎，但是他还问我们余数是多少，哎，余数是变还是不变呢？来，我们刚刚说了，其实可以验算一下，那我们用商十七乘上我们的除数，四百 四七二十八，一四得四，还得加上二，所以呢就变成了六， 那么六千八百和我们的七千差了多少呢？差了两百，所以他的余数应该是两百， 哎，所以我们就会发现他这个余数其实是会跟着一起变的，不变的呢，只有我们的商，那我们的除法呢？就讲到这里，我们看一下第六个部分 解决问题，也就是我们的行程问题部分。好，那行程问题呢？我们首先第一个最重要的就是我们一定要清楚行程问题的三要素是路程，时间还有速度。 那么路程他的单位通常情况下用的比较多的呢，就是我们的米和铅笔，那时间用的最多的就是米每秒，或者说米每分，以及我们的铅笔每小时， 这个是最最最基础的一些知识点。然后第二个就是我们的三者之间的一个关系，这个呢同样也是我们刚刚说的可以知二求一的。 好。那第一个路程等于速度乘上时间，这个呢其实是我们用的最最最多的一个，所以我们掌握这一个，其实就可以推导出下面的两个好。速度呢就等于路程除以时间，时间呢就等于路程除以速度。 好，那我们来看一下，知道了这些东西之后，我们就可以来做一些简单的行程问题。 那他说了，两地相距二百四十千米，一辆汽车去时用了六个小时，返回时少用了一个小时，问返回的速度是多少千米每小时？好，那这个题怎么做呢？ 首先要求的是速度，那么速度我们知道是等于路程除以时间，时间好像已经知道了，因为他说确实用了六个小时，返回时少用了一个小时，所以时间其实就等于多少？六减一等于五小时。那这个呢，是我们的时间， 时间知道了，路程知不知道？知道，因为他已经告诉我们了，两地呢是相距二百四十千米，那这个就是路程， 他是二百四十千米。好，那我们求的呢是速度， 那其实就可以用我们刚刚知道的三者之间的关系，直接用路程二百四十除以我们的时间五等于四十八千米每小时。 好，因为这道题呢，它是一个填空题，所以我们就不需要再去写答了就可以了。好，然后我们来看一下下一种， 那因为呢行程问题，他其实有非常非常多的一种类型，我们最重要的呢就是相遇问题，因为平常期末考试的时候会考相遇问题，考的比较多，但是其他的类型呢，我们也得知道，那一共是分的三种类型， 在期末考试里会可能会出现，第一个就是我们的同时出发，相向而行，也就是我们刚刚说的相遇问题。第三个就是我们同时出发，同向而行。 那其实上面这两个呢，他大概率会求的是路程的总和，也就是我们下面这个 这两个方法来去求的路程的总和。然后呢，这个情况下，他通常情况下求的是一个差路程的差，也就是我们的第二和第四个方法来去求到我们这一个呢，就是我们的。说了这么多，来看一下问题到底会怎么求啊？ 首先第一个这一道题呢，他是直接把图给我们画出来了，但是呢其他情况下，如果他不给我们画这个线段图的话，我们是需要自己去把线段图给他补上的。好，来看一下这道题，他说上午八时，一辆货车和一辆客车同时从两地相对开出 啊，同时相对，也就是我们说的同时出发，相向而行，然后上午十点的时候在休息站相遇，然后已知货车每平均每小时行驶七十一千米， 客车呢平均每小时行驶八十九千米。问甲乙两地相距多少千米？哎，那首先第一个问题，他就让我们把这个线路图给他补全，怎么补全呢？我们来看甲地，他已经标好了，乙地呢也标好了，休息站也标好了。问我们这个车， 这里这个车是什么车呢？以及我们的这里这个车他是什么车呢？大家可以看得出来，这一段呢是行驶的距离，那这一段呢也是行驶的距离，但是这一段要比这一段要长，所以他的速度在相同时间的情况下应该是更快一些的吧， 来看看谁更快呢？那客车是八十九千米，货车呢是我们的七十一千米，所以哪个更大？显然是我们的客车，所以这个空呢就是客车 好，然后呢是我们的乙滴，那乙滴这里它到底是哪个车？哎，就两个车嘛，所以剩下的那一个货车就是乙滴的这里 好，然后这一个空呢是让我们求多少小时？那其实就是求什么？求的是时间，求时间。我们来看看他俩一共行驶了多少小时呢？ 那我们知道是从上午的时候八点开始开车，然后到上午十点的时候到了这个休息站，所以这个时间应该是我们的十个十点，减去我们的八点就应该是两个小时，填上两个小时。 好，然后我们来看第二个问题，算一算甲乙两地相距多少千米？那么甲地在这里，乙地在这里，他俩相距的距离其实就应该是客车行驶的距离加上我们的货车行驶的距离吧。好，那这里呢，我们来看看客车行驶的距离， 就等于他的速度八十九千米每小时，乘上他行驶的时间两个小时二九十八，二八十六，还得加上一， 这个呢是客车行驶的距离，然后我们来算货车行驶的距离，同样也应该是用我们的速度乘上时间，那他的速度呢？是七十一，时间是二，乘起来就是一四二千米， 给他俩加在一起才是我们甲乙两地相距的距离。那我们写个距离 s 一 七八，加上一四二就等于零二三千米。 好，因为这是一个应用题，所以呢我们需要写答答。 那当然这种相遇问题呢，他其实是比较也算比较简单了，但是后面这两个可能就有一点点困难了，我们来看看后面两种类型， 这一种呢，其实他和我们的相向而行是有一点相似的，因为他俩都是会让我们去求这个路程一共长多少千米，或者说多少米。那我们来看看这道题，说洋洋和妈妈同时从石老人海水浴场出发去跑步， 但是他俩是背向而行的，洋洋呢，每分钟跑九十六米，然后呢妈妈每分钟跑一百四十二米，问五分钟之后他们相距多少米？ 而且题目里要求了要先画图，整理信息和问题再去解答。那么这个题怎么画线段图呢？其实就和我们刚才差不多来看，假如说 这里是洋洋和妈妈出发的地点，然后我们看这一段是我们的洋洋往这边跑， 洋洋往这边，然后呢妈妈往这边 好，所以他俩球的相距多少米，其实就是这一段 好，这一段的话很显然是用洋洋走的路程，加上妈妈走的路程，那我们刚刚说了，路程呢，就等于速度乘上时间，所以算洋洋这个路程呢，其实就是用洋洋的速度乘上洋洋的时间，同理妈妈的也是用妈妈的速度乘上妈妈的时间。 哎，那这些信息咱们都知道了，其实就可以把这个式子给列出来了。最后呢也是要注意一下，它是一个应用题，要写答好，那这个是我们这第二类的 行车问题，然后我们再来看第三类，那这一类呢，他就变成了我们的同时出发同向而行了啊。那这个题其实他是出现在咱们课本里的，但是期末考试里其实没有太多这种类型的题目，但是咱们要会，因为他在课本上都有的话，他肯定也是有概率会出的。 好，那这个题他说一辆客车和货车同时从甲地开往乙地，客车每小时的行驶 八十九千米，然后货车呢，每小时行驶七十一千米，问三个小时之后两车相距多少千米？所以这个就是我们刚刚说的，他要求的是一个路程的差。同理我们也是要做行程问题，就先把线段图给他画出来，甲地和乙地相距这么多，这里是甲， 这里呢是乙，然后这里是两辆车同时从我们的甲开往乙，所以他俩同时都是这个方向去开。然后呢我们的这里是客车，这里呢是货车， 所以求他俩的一个距离差，其实求的就是哪一段啊？这一段 这一段是多少？那这一个呢，我们也给大家提供了两个方法。第一个方法就是用我们的客车行驶的距离，假如说是距离一， 然后呢货车行驶的距离是距离二，那我们的距离减去距离二，剩下的这一个就是我们的路程差。当然还有一种方法就是稍微要简单一些， 步骤要少一些。那这种呢，就是直接用我们的速度差乘上时间，因为我们可以看到他们俩的时间其实是一样的，只不过这个速度会有差距，所以用大的那个速度减去我们小的那个速度，其实就可以得到一个速度差，得到速度差之后，再乘上时间，我们就可以得到一个路程的差。 好，那这个呢就是我们的行程问题这一部分。第七个呢就是我们的条形统计图，那这一部分呢，其实是我们比较简单的一部分。好，我们来看看。首先条形统计图它是由我们的横轴和纵轴以及我们的长条来去构成的， 它的优点呢就是能够让我们更直观的看出来数据它的一个多少。然后第二个部分就是能够让我们更直观的看出来数据它的一个多少。然后第二个部分就是在考试里考的是比较多的， 那在画图的时候呢，我们需要确定它横纵坐标代表的到底是什么意思。然后第二个呢，就是根据数据画长短不同的竖条。那我们来看一个题目， 这个题他是先给了一个统计表，然后呢给了一个统计图比较友好啊，直接把这个竖条也给我们画好了，这些数据呢也给我们画好了。但是在考试的时候，有的题目他会 在我们的横坐标和纵坐标上面挖空，挖完空之后让小朋友们自己来填这个数，或者说这个数据它到底是什么意思 好。然后另外一种题目呢，就是会把这些数据都给了之后，让我们来把这个线段图的这个条给他补上。好，当然这道题没有啊，但是大部分的 挑衅统计图的问题，他都是会让小朋友们把这个竖条给他补上的。好，然后我们来看看这道题中统计图一格代表的是多少人，那一格其实就是我们纵坐标，他表示的是什么意思？那表示的是人数，并且他每一格是 十个人，那这里一格一格就表示十个人好，然后问什么年级他的近视人数是最多的？那刚我们说的条形统计图，他的优点就出来了，因为很直观的可以看到最多的应该是我们的六年级的， 然后观察统计图，你有什么发现？有什么建议这种问题啊？注意了，在大部分的条形统计图里会有这种问题，就是一种比较开放的问题，这种问题呢通常没有一个固定的答案， 他呢只要言之有理，其实就是可以的。但是有的时候他还会问这样的问题，比如说你还能够提出什么问题并且解答。那这种问题呢，其实小朋友们自己在做的时候，一定要往最简单的去设问题，然后毕竟自己还要回答呢，别给自己找麻烦，去做 好，那这个是我们的一二部分，接着我们看第三部分，就是我们的智慧广场，这一部分呢是我们的指数问题。 指数问题呢分为了很多类，一共四类，这里我们简单看一下，因为考试的时候其实不太会考到太难的指数问题。然后第一个是两段都中， 那么两段都中，我们来看看，不管是什么指数问题，我们都要先给这个路，给他分一个段。 那分段呢，我们是用的除法，就比如说这里二十米的公路要每五米重一颗，所以分段的话就用除法，二十除以五等于四，所以分出来的段数可以看到一二三四四段，那因为他说了两段都重， 两段都种的话，我们来数数有几棵树啊？一二三四五棵树什么关系啊？哎，段数是要比棵树要少一的，也就是说我们的树其实是要在段数的基础上加上一的好。然后我们来看另外一种， 仅一端种树的，那么仅一端种树还是要种树，先分段，分完段之后我们会发现分了四段，再来看看只种一端种了几棵树啊？一棵、两棵、三棵、四棵、四棵树什么关系啊？ 相等的关系。所以像这种只种一端的指数问题呢，它是数段一样多的，那再来看第三种类型，两端都不中的情况下， 我们看要种树，先分段，分完段之后分了四段，看看种了几棵树呢？因为两端都不种了，所以只种了一二三三棵树，哎，什么关系啊？ 数是比段要少一的好，那这个呢，就是我们的两个都不中的。还有一种呢，就是我们的封闭图形上的指数问题，那这一种呢，我们可以看到也是要种树，先分段，分完段分了一二三四四段，分了四段之后种了几个树呢？ 一二三四颗，种了四棵树，什么关系啊？对相同的关系好，那这个呢，给大家总结了一下这个指数问题，他的一些类型。 那接下来呢，就是我们四年级含春大纲的一个解读，这一部分呢，由我们的龙龙老师来给大家进行讲解。 那现在呢，我们来讲一下这个四年级含春大纲。首先呢是我们的数的板块啊，数的板块，第一讲是小数的巧算综合，主要涉及的是小数乘除的一些巧算。那这部分呢，在校内到四年级的下学期，他们才会学习小数加减法，也就是认识小数。 那为啥咱这边领先消费这么多呢？是因为这部分内容呢，在我们之前的课程当中已经学习过了，所以说我们是在孩子们有这个知识储备之后啊，才给他们学习这种比较难的知识。 第二块像这些内容呢，就是我们的数形结合，包括长方形数表，那这些内容就是把一些数字的一些规律放在图形当中啊，让孩子们去在图形当中去掌握这个数字规律啊，增添他们一个数形结合的这么一个思想。 那接下来是我们呃融式原理。融式原理是在校内的四年级下学期啊，智慧广场这里边讲的就是并不是一个重点内容。而且校内四年级下学期学的是两类的融式啊，就是两个量之间的融式关系。那我们寒假学习的是 三个量之间的融式关系啊，是比校内学习的难度要增大一些的。 那接下来是我们的学生问题的专题啊，学生问题这边大家可以看到，这是我们呃一头外来这边学生问题的一个大纲。那学生问题是非常重要的，我们从三年级一直讲到六年级的寒假啊，为什么要这么，为什么要涨这么多呢？是因为这个学生问题呢，是小升初的必考内容。 那学生问题在校内学习的比较简单啊，他们只学习一些简单的三幺数字，比如说路程啊，速度、时间啊，就像一些比较简单的，他们连这这种书写问题啊，都很少涉及到，因为课本上并没有这种问题。 但是呢，这种问题又在我们学生书是必考的。所以说，呃，我们在三年级瞬间就给孩子们去学习一个学生问题，初步啊，包括这个寒假我们要学习环形跑道，以后还会学习到，比如说像是 时政问题啊，呃，方程，比方程法解形成啊，还有行程问题，综合这样一些更加难的一些行程问题的题目。好，这是我们的一个背向而行的一个题目。 那还有些啥内容呢？还有内容就是关于我们方程内容。那方程啊，这个第六讲简易方程一，还有第七讲列方程解应用题。关于呃方程呢，校内是在五年级上学期才开始接触方程，那他们呃 学习方程是用等式的性质来去理解的，就比较简单一些。那我们是在这寒假啊，就会学习到方程的那些内容是也是领先于校内的。 那接下来就是我们春季的内容，首先呢，春季的内容是和寒假的内容紧密相连的，包括大家可以看到蓝色方块里的减一方程二，还有列方程减一问题二，都是对于寒假方程内容的一个进一步的延伸， 包括我们水平服务器问题，也是在我们行程问题整个板块当中，对于环形跑道问题的一个延伸， 还有一些等级变形啊，图形对称、平面旋转、一半模型等等，这些都是关于几何的一个模块。关于几何呢，我们是在校内已经学习到了一些简单的几何图形的知识，比如说正方形、长方形， 那小学阶段呢，我们学习的图形大概都是一些单独的图形，那到初中之后呢，孩子们会接触一些组合图形，一些复杂图形，那他们如果没有这些图形的概念的话， 会呃难度来说会很大。所以说我们在他们已经接触到一些简单的几何图形之基础之上呢，就给他们总结了一些几何的一些模型啊，方便他们去呃衔接一下初中的一些比较难的一些呃组合图形的一些内容。 那接下来是我们的低推技术啊，低推技术这一方面啊，其实就是竖串的内容，那竖串呢？呃说到底还是技术啊，培养孩子们这一 个树的一个思想。呃，以前的话，树地这块内容我们是到初中高中才开始接触，那现在逐渐慢慢平行到小学，也是给孩子们多了一种呃解析的一个方法和思路。 那今天的一个期末复习视频的录呃讲解呢，就到这里，然后感谢同学们的观看。如果同学们在期末复习的阶段有任何的问题，都可以随时随地的啊，联系我或者联系媛媛老师啊，这是我俩的企业微信二维码，大家都有问题就可以扫这个二维码联系我们。 最后呢，祝同学们在期末考试当中呢，一切顺利，大家都能考到一个比较满意的一个成绩，谢谢大家。