五四制六年级数学课本电子教程

我们开始一起学习一下啊，线段中点模型的一些题型。先看一下第一题，如图， abc 三点在同一直线上， abc 在 同一条直线上， p 一 p 二分别是线段 ab 和 bc 中点， p 一 是 ab 中点啊， a p 一 等于 p e b 线啊， p 二呢是 bc 中点， p 二是 bc 中点。找一下，这是我们画一条这种直的啊，像三角号一样的啊，这样， p 二是 bc 终点，然后并且 ab 告诉我们等于六，这长度等于六，那乘六的话，终点都很好求啊，三和三不好求啊， bc 呢等于四 啊，这段呢等于四，终点呢？二和二则线段 p 一 p 二长，那么三加二是不是就可以了？那三加二就能得到几啊？三加二等于五，这个题选 c 选项是吧？啊， 太简单了是吧，送分题的都是，但实际上它本质上应该怎么考？你就跟考 p 一 p 二的长度啊，应该等于什么？等于 a c 的 一半是吧？等 a c 一 半等于六加四啊，等于十是吧？ 啊，六加四等于十啊，乘以应该说啊，怎么怎么考，你把它变成一个 m， 把它变成一个 n 是 吧？用字母考你更高级一点对吧？好啊，大大家都会出题的，对吧？这时候我们得到什么答案，是不是也应该是 m 加 n 的 一半？应该答案是二分之 m 加 n 这个结论对吧？ 好，我们看一下第二题，如图，已知点 c 是 线段， ab 上一点，点 c 是 线段， ab 上一点。随便一点，不用管了， ac 小 于 bc， 我 们能看出来，也不用管了。点 m， 点 m， 点 m 和点 a 呢，里面是 ab 和 bc 终点。先看一下， m 是 ab 终点， m 是 ab 全部终点画一条弧， 画一条弧， a 呢是 bc 终点， n 是 bc 终点下面弧啊，这上面画太乱了，是吧？画条弧啊，其中 m n 等于四，找一下 m a 这块长度等于四， bc 呢？等于十，这儿长等于十，我们看一下，通过它是十，通过 bc 是 十，那我们就求出来，那它的一半就应该是五和五， 那看一下这个五，这个五里面包含一个四，所以其余部分呢？应该是一，那这个五和这个四，那个 n b 和 m n 加起来应该等于九，所以它应该等于九，它是九的话，那这边也等于九啊，从而就可以求出来。什么？ ab 的 长度，是吧？ ab 的 长度，而且我们这段也能求出来，是吧？那这是五，求出来了这一，那这呢是八，是不是也能求出来？所以都可以求出来。那我们要求现在 ab 的 长度是不是也可以求出来了？那现在 ab 的 长度应该等于什么？ 九加九等于十八，所以在第二题选 a 选项，是吧？那你从另外一个方向去考虑一下这个线段 ab 长度是不是应该等于 谁的，和谁有关系？现在 ab 的 长度和谁有关系？看 ab 的 长度，那就。嗯， 现在 ab 长度是不是和这个一半有关系啊？和他一半。让我求求 ab 的 话，那 ab 直接不好求的话，我们就可以求它一半，是吧？那么思路上你就可以求 mmb， 是 吧？求 mb， 为什么不求这个 am 啊？ am 条件更少，是吧？求 mb， mb 中已经包含这个四了，是吧？再求这一段就可以。这段是不是正好等于五啊？可以求答案了，是吧？ 好，这是第二题。这两个题是不是正好等于五啊？可以求答案了，是吧？好，这是第二题。这两个题也是线段 ab， 图呢？没有图是吧？又没有说如图，又没有各种的写如图啊，没有写如图，说明他没有图，没有图就是无图题。无图题的话，很可能就是有两个答案， c 或 d 里面，是吧？很可能，但是也不尽然好。已知线段 ab 等于四。我们先简单画一个线段 ab 等于四， ab 等于四，然后已知线在线段 ab 所在直线上。看下这个词啊，所在直线上做线，做线段 bc， 那这相当于等四在所在直线上， ab 所在直线。有可能啊，是这么一条直线上做线段 bc， 使得 bc 等于二。这时候我们想一个问题，这个 bc 等于二，换啊， 线段 ab， 它就有两种可能性，那么 c 呢？就有可能在 b 的 左边，就比如说 c 在 这个位置，但是 c 呢？还可能在什么？在这个 ab 的 延长线上，是吧？在他的右边是有两种可能性的，所以说他需要让分类讨论， 因为只告诉人 b， c 等于二。明白没有说 c 点在 b 的 左边还是右边，那从 b 点距离 b 点为两个单位长度就可以向左，也可以向右，对吧？向左的话就变成这样子，那它就是二，它也是二，那向右的话，就变成它是四，它是二，是吧？ 若点 d 是 线段 a， b 中点滑一下， ab 中点，点 d 点 d， 线 ab 中点滑，那和 d 是 不是就和 c 是 不是重合了啊？那这个时候呢？那点 d 是 ab 中点，点 d 又跑到这个地方去了，是吧？那它是二，它也是二。点 e 是 线段 bc 中点， 点 e 是 线段。再看下第一种情况，点 e 是 线段 bc， 那 这是点 e 是 它终点，那就得到什么，它是二的时候，它是，它是一，它也是一，对吧？把这个二擦掉哈， 好点， e 是 第二种情况，点 e 是 线段 bc 终点点 e， 线段 bc 终点 e 在 这，是吧？它是 e， 它也长度也是一，求第一的长度，求第一第一，那这个求第一长度的话，那么这个长度直接是一，这个答案距离上，那这个第一呢？第一是这边长度，它包含了一个一，一个二，加起来四个三，所以答案呢，是选 c 选项一或三，两种情况。要分类讨论啊，要分类讨论的 有点难度了，是吧。看一下第四题，如图，点 c 是 线段 a， b 上一点，不用管，点 d 是 a， c 中点，标一下点 d 是 线段 a， c 中点，这一段点 e 呢是 bc 中点，点 e 是 bc 中点啊，这一段等于这一段等于这一段。 若 c， e 等于五分之 a， b 啥情况？什么叫 c， e 等于五分之 a， b 搞那么复杂等于二。那么看，既然等于二的话， c， e 等于五分之 a， b 搞那么复杂等于二，那 ab 能不能求出来？ ab 五分之一， ab 等于二，那 ab 呢？两边同时乘以五，就等于 ab 等于十，到 ab 等于啊，等于多少等于十， 那求 d 的 长度。那 d， e 我 们去看一下 d， e 是 不是这是一个中点和这个中点之间距离他们还是没有公共部分的，是不是等于这个 ab 一 半？根据前面公式，我们直接能得到 d， e 等于二分之一， ab 等于二分之一，乘以十等于五。做完了，所以说，所以说选 c 选项。那你看一下，我们说一下过程，求什么？求 d， e 怎么求啊？二分之一 b 再代入，再求值四步哈，注意下这个四步法。 求什么？怎么求？代入求值哈啊，四步去做，再讲一个，再讲几个题哈，看一下第五题，如图，点 c 是 线段 a， b 中点点 c 是 线段 a， b 中点点。标一下点 c 是 线段 a， b 中点 点 p 是 ab 上任意点点 p 任意点，不用管它。点 m 是 ap 中点点 m 是 ap 中点点 m 是 ap 中点， m 是 ap 中点好 点， a 呢是 b p 中点点 n 是 b p 中点，那就是在这是它的中点。那这就是我们前面说的什么三中点模型啊，这不就明显的三中点模型吗？是吧？ 则下列结论，错误的是，这是个否定词。对，这种否定词圈出来，千万不要把正确选上了，是吧？看第一个选项，第一个选项 m n 等于 bc m n m n 是 谁啊？ m n m n 是 不是就等于谁啊？就是那种啊。第一个我们的结论，第一个结论是无共部分的时候，这是两个中点之间距离等于全部的一半啊，全部一半 我们看一下。所以 m n 应该等于二分之一 ab 二分之一 ab 等不等于 bc 啊？是不是 bc 就 等于二分之 ab 啊？所以第一个是正确的。第二个 mc m c 在 哪呢？ m c m c 就是 我们第二条链吗？这是什么？有公共部分的时候是吧？有公共部分的时候，这个 m 是 左边的中点， c 呢，是全部中点，这两个中点之间间距等于右边部分的一半，所以应该等于什么？ m c 应该等于二分之一的。谁啊？右边部分一半二分之一的啊？ b p 上 b p 好， 它给我们是什么？二分之一 ab 减 a p a b 是 吧？ b p 啊，啊，就是我们的那个那个那个条件，对吧？没问题是吧？而且它 相当于更好理解，是吧？那二分之一 a b 二分之一 a、 b 等于多少？二分之一 a、 b， 我 们就可以把它转化成什么啊？转化成 a c 是 吧？二分之一 a a p 呢？二分之 a p 也可以转化成 am， 是 吧？所以正好呢， m c 应该等于 a c 减去 am， 是 吧？所以第二个也是 b b 选项也是正确的。看 c 选项， c n c n， c 呢，是全部中点， n 呢是右边部分中点，它应该等于是左边的一半，是吧？左边是谁啊？ 二分之一的 a p 是 吗？ a p 等不等于 ab 啊？减去 b p 啊，啊，也也正确，是吧？也是正确的，跟第二 b 选项本质上是一样的。 我们来看一下四 d 选项，他说 m n 等于 m n， m n 是 不是左边和右边的终点啊？等于二分之 a b 是 吧？他说等于二分之 a、 b 再加上二分之 c p， 对 吗？那肯定就不对了，是吧？这个题，这个题呢？四 d 选项第六题， bc 是 线段， ad 上任意两点， bc 是 线段任意任意两点，还管它干啥？不用管了，点 m 是 ab 终点，点 m 是 ab 终点。标一下， 点 m 是 ab 终点， n 呢是 c 的 终点， n 是 c 的 终点，它还是 c 的 终点。好家伙，它不挨着啊，是吧？中间怎么空一块啊，是吧？那空一块怎么办？往后看吧， m n 等于 a 啊，这边长度等于啊，小 a， bc 呢？等于小 b， 终于把它补上了，这小 b 是 吧，则线段 a、 d 等于多少？那 a、 d 多少相当于让我们用 a 和 b 来表示，是吧？啊，表示一下， 线段 a d， a d， a、 d 是 不是全部？这时候你你观察会发现这个 a 和 b 的 关系啊，小 a 小 b 的 关系，它是不是就就差一个什么啊？这个 m b 和 c n 啊？对啊， a 减 b 是 不是等于 m c 加加它，所以它俩的和就应该等于什么？等于个 a 减 b。 我 们看明白 这一段小弧和这个，这个直弧和这个和这个和这个折线，小弧和折线一，一个小弧和一个折线是一个 a 减 b， 那 那另外一个小弧和另外一个折线呢？也是一个 a 减 b， 对 吧？ 那我们的 ad， 我 们看一下 ad， ad 中和我们的 ab 有 关系的，那我们看一下它可以表示成什么？表示成 m n， 这个小 a 上加上一个什么？加上这个 am， am 加上一个 n d m a 为什么表示 m a m a， 因为就等于这个小 a 啊，对吧？ am 加上 n d 呢？就是一段小弧加一条折线，我们刚才通过分析能得到它就等于 a 减 b， 整理一下它，就随二 a 减 b 这个答案，答案就填二 a 减 b。 哈，二 a 减 b。 好， 这是第六题啊，关于这后面题，我们到下个视频再讲啊，先讲到这。

各位同学大家好，欢迎来到安老师的课堂。今天呢，我们要学习的是比较线段的长短， 那么长短如何去比较呢？我们先看一下今天的学习目标。首先第一个，我们要掌握好比较线段长短的两种方法，同学们注意了，是两种方法哦，到底什么方法呢？我们来拭目以待。 那么第二个我们需要呢，学会用直尺和圆规画出一条线段的长度，这个长度呢要求等于已知线段，什么意思呢？就是说呀，题目呢，会先给你一条线段，我们呢再用直尺和圆规呢画出一条线段呢，要求跟它一样长，那如何去画呢？ 哎，第三个目标，同学们看好了，我们要掌握好线段的终点的概念。好，那咱们呢，先看一张图，大家看好了，有小狗还有小猫，对吧？他俩呢，想到达小朋友身边是怎么走的呢？哎，大家看好了 这个脚印对吧，他们呢，是顺着这个脚印呢，再往前走，大家请思考，那在这呢，为什么说小猫和小狗呢，都会选择直的路，因为他们也知道 直着走是不更近一些，更省力气一些，如果是沿着这个小路弯弯曲曲走，是不是很麻烦呀？ 好，我们知道了，就是第一个知识点叫线段啊，两点之间呢，应该是线段为最短的，这是一个线段的公里。我们先看一下啊， 两点之间的所有线当中啊，一定是线段最短，简短的说叫做两点之间线段最短，我们可以把这两点之间线段的长度呢，叫做这两点之间的距离。哎，这就是距离，同学们，你们学会了吗？ 好，在这我们看一下，那小狗呢，跑得远还是小猫跑得远呢？那你是如何去比较呢？这呢就涉及到的两条线段比长短的一个问题，那到底如何去比较呢？同学们呢，先看一下这张图。 好，请问啊，那小明要到小兰家有三条路可走，如果是你们的话，你们觉得应该选哪条路走呢？是一二还是三呢？哪条路最近呢？ 哎，很显然吧，应该是第二条，为啥呢？因为咱们刚刚说过了，两点之间线段最短，刚好呢，第二条呢，就是两点之间的一条线段了，而第一条是一条曲线，一看就绕远路了，对吧？ 那么第三条呢，是一条折线，一看呢，也不是最短的，当然呢，只有第二条是最短的，两点之间呢，叫做线段最短。同学们，那你们做对了吗？ 好，我们看一下立体二，已知呢线段 a， 哎，这是线段 a， 同学们看到了吗？ 然后他说，请用圆规指示呢，做一条线段 a b， 让这线段 a b 呢跟它一样长。那怎么去画呢？首先呢，我们要先写出两个点，一个是点 a， 一个是点 n， 对 吧？把这两个点写出来。 然后呢，我们注意啊，过点 a 和 n， 用指尺呢，画出一条射线 a n， 画的是一条射线，同学们看到了吗？注意啊，端点是 a， 画一条射线 a n， 那 这个时候呢，我们再选择拿出圆规呢，量出已知线段小 a 的 这个长度，对吧？把它量出来，然后下一步呢，再拿这个圆规呢，以 a 为圆心， 找出这个位置在哪，对吧？以小 a 为半径，找出这个位置，然后呢，画出一段小圆弧位置呢，标记一下，标记成 b 点， 那这时候呢，线段 a b 的 长度呢？跟它就是一样长的了。同学们，那你们学会了吗？自己呢，可以试着咱们自己画一过，试一试，看一看。好吧， 好，咱们看下一个，我们请思考一下，那第一个问题，你是如何比较这两根筷子的长短的？到底谁长谁短呢？你是如何比较的呢？同学们，思考一下。 那么第二个问题，大家看看啊，两位同学的个子啊，如何比谁高谁矮呢？如何比高矮呢？有的说老师我一眼就能看出来，但是如果有两个人身高特别特别的接近，那你是如何去比较的呢？ 好，那第三个，那你是如何比较两条线段的长短呢？其实说白了，这三个问题呢，都可以归为一类比较线段的长短， 那如何比较呢？在数学当中啊，我们呢有一些比较方法，那比如说第一个叫叠合法，什么叫叠合法呢？叫做把它们呢叫做叠合法，哎，就放在一个位置上比长短呗。 那么下一个叫度量法，什么是度量法呢？说白了就是拿尺子去量，用刻度尺呢去量它们的长度，再来比较，看哪个数大大的那个呢，就更长一些喽。好，那咱们来看看举个例子，比如底和法， 给你条线段 a， b 和线段 c、 d， 那 它俩谁长谁短呢？首先第一步选啊，先让线段 a、 b 的 端点 a 与这个端点 c， 让它俩重合点，让它俩重合。比如说，哎，让这个 a 跟一个 c 点，让它俩端点重合，之后干什么呢？大家看好了。第二步呢？让线段 a 跟一个 c 点，让它俩端点重合之后干什么呢？大家看好了，第二步呢，让线段 a 跟一个 c 点重合，重合之后干什么呢？大家看好了，第二步呢，让线段 a、 b 呢，沿着这个 c 往下自由下落， 下落之后发现，那如果是这个端点 b 跟 d 重合了，说明什么呢？说明啊，线段 a、 b 跟线段 c、 d 呢，应该是一样长的，哎，应该是一样长的，所以我们可以写 a、 b 等于 c、 d， 那么如果说这个端点 b 呢，在 d 内，就是还没到达 d 这个位置，说明什么呢？说明线段 ab 的 长度呢，是要小于线段 cd 的， 我们就应该写 ab 小 于 cd， 那么如果下头之后你会发现啊，那这个 b 点是落在 d 外面，就超过了 d 这个位置，那么这个时候我们就可以说线段 a、 b 的 长度要更长一些，写成 a b 大 于 cd， 这就是一个叠合法，同学们，你们学会了吗？我们可以自己啊， 画个线段自己去试一试，比较一下。好，那咱们看度量法，什么是度量法呢？说白了就是拿尺去量一量，比如说 量这两条线段 ab 和 cd， 拿尺子量，对吧？从零开始往后量，看看它们长度各是多少，比如说 ab 呢，长度是零点八厘米， cd 呢？看一看，哎，长度应该是一点四厘米，明显 cd 更长啊，所以我们就可以写 cd 大 于 ab 了，那同学们你们学会了吗？这种方法一定要记住啊，一个叫叠合法，一个叫度量法。 好，那咱们看例题三，比较折线 a、 b 和线的 a 撇 b 撇的长短。那请问你是如何去比较的呢？用的是什么方法呢？同学们自己可以去思考一下。 首先那么第一个叠合法可以吧，那只不过这叠合法呢，我们可能会需要用到圆规去量，用圆规啊，比如说拿圆规量一量，然后呢，再比较一下，量一量比较一下，可以吧， 那么第二个用度量法可能更直接一些，这时候呢，需要刻度尺量到长短不就可以了吗？只不过这个折线呢，可能量起来要稍微麻烦一些，是这样的吧，好，那咱们看下一个，如图呢，把这个点 m 呢 点 m 啊，把线段 ab 呢拆成了两部分，是这样的吧，而且呢，他说了，拆成了相等的两条线段， 分别是 a m 和 b m， 看好了， a m 和 b m， 然后呢问你啊，他说这个点 m 呢，叫做线段 ab 的 中点。听好了，点 m 叫做线段 ab 的 中点， 然后他说，这个时候呢， am 等于 bm 等于二分之一的 ab， 或者呢， ab 等于二 am 等于二 bm， 同学们能看懂吗？哎，这就是一个终点的概念啊，咱们呢，再强调一下， m， 首先呢是 ab 的 中点，那这又说明什么呢？说明啊， am 应该等于 bm， 哎，它俩是一样长的，我们可以写成什么呢？写成 am 等于二分之一的总长度， 也就是二分之一的 ab， 也可以写成 bm 等于二分之一的总长度 ab 是 不是都可以啊？或者可以写 这个 ab 总长度呢，等于两倍的 am， 是 不是也可以呢？或者写成这个 am 呢，等于两倍的 bm， 是 不是也可以呢？哎，这就是一个线段，一个终点的概念和应用。 好，我们看一下题目吧，例题四，例题四说，如图，这个 ab 呢，总长度是六厘米， 然后呢，又说点 c 是 线段 ab 的 中点。看好了， c 是 线段 ab 的 中点，然后呢，他又说点 d 呢，是线段 a c 的 中点， d 呢是这个 a c 的 中点。问你这个 a d 有 多长呢？是不是很简单呢？同学们自己去试着做一下。 好，我们一块来看一下。在这呢，我们知道，因为啊，这个 c 是 整个 ab 的 中点，所以我们可以算出 a c 的 长， a c 多长呢？应该是整个长度的一半，或者写成二分之一的 ab 也可以，答案呢，就应该是三厘米， 好看好了，这段长度呢，应该是三厘米。那么下一个我们又知道了，因为 d 是 线段 a c 的 中点， 所以呢，这个 a 的 呢，应该也占了 a c 的 一半，那么一半不就是二分之一乘三吗？那么答案应该就是一点五厘米。那同学们，你们做对了吗？ 好，那咱们看一下，做个小练习。第一个下的图形能够进行大小比较的是谁呢？ a 说直线与线段 b， 然后直线与射线 c 两条线段 d， 射线与线段。首先呢，把那些带直线的带射线呢，把它排除掉，为啥呢？因为直线射线呢，都是无限长的，没法比大小啊，所以在这啊，这个 b 不 行，然后呢， a 也不行， d 也不行，是不就剩 c 了，确实两条线段它就是能比较大小的呀，那么答案应该选择 c 选项，同学们，那你们做对了吗？ 那么第二份，咱们看看判断下，如果说 am 等于 bm， 那 么这个 m 就是 线段 ab 的 中点，这句话对还是错呢？大家想一下， 这道题啊，应该打个叉，为啥呢？什么是线段 ab 的 终点啊？首先呢，这终点呢，得长在 ab 上面才行吧，你飞贴上去了，它能行吗？所以它应该是错的。那么答案呢，应该分别是 c 和错误。同学们，那你们做对了吗？ 好，那咱们看下一道题，如图呢，这个 c 是 线段 ab 上的任意一点， 然后呢，他说这个点 d 是 线段 a c 的 终点。看清楚了， d 呢是这个 a c 的 终点。 下句说 e 是 线段 b c 的 终点。看好了，这个 e 呢是线段 b c 的 终点。然后问你什么呢？问你这个线段 d e 啊，问你这个线段 d e 和线段整个线段的是什么关系？把理由说出来， 容易看的可能感觉像是一半，那真的是一半吗？你得证明一下呀，同学们自己去思考一下。 好，我们一块来看一下。首先呢，我们知道这个 d， e 一定是二分之一的 a b， 这是结论，确实，答案还真是这样，确实是一半，但为什么是一半呢？过程是这样的，同学们，看好了， 那我们知道这个 d 呢？因为是 a c 的 中点，所以我们知道这个 dc 应该是占了一半的 a， c 可以 写成什么呢？ dc 等于二分之一的 a c， 然后我们又知道了 e 是 线段 c b 的 一个中点，所以我们可以怎么写呢？可以写成这个 c， e 等于二分之一的 b c， 是 不是可以这样写啊？那把它俩如果合到一块的话，哎，看好了，下一步。 那么这个 d， e， 看好了，这个 d， e 啊，它就应该等于什么呢？ dc 加上 c e， 也就是说相当于二分之一的 a， c 加上二分之一的 bc， 让它俩合一块，用一次提取公式的话呢，那就应该这个算式喽， 它应该就等于二分之一的 a c 加 b c， 那 么 a c 加 b c， 那 不就是 ab 吗？所以我们知道确实这个 d e 它就等于二分之一的 ab， 那 同学们你们做对了吗？ 好，那我们来总结一下今天的课程啊。首先第一个我们要知道线段的一个基本性质，什么基本性质呢？叫做两点之间，线段最短，这是最最重要的一句话，同学们可千万不要忘了。那么第二条 叫做这个距离，这个距离呢是什么呢？叫做两点之间的长度，那这个长度呢？我们就把它叫做两点之间的距离。 第三个比较线段长短的方法有两个方法，第一个叫叠合法，第二个呢叫度量法。好，那么第四个 叫线段的终点概念以及表示方法，同学们也要一定要学会，可以吧？好，那咱们今天的课堂呢，就到此结束了，我们下次再见。

首先呢，我们看一下啊，直线他的图形是什么对吧？是向两边无限延长，无限延伸的射线什么？有一个端点对不对？我们就叫他点 o， 点 o， 然后呢，他可以往一边无限延伸，对不对？那线段呢？ 他是有两个端点的，对不对？这两个端点和他中间的连着，中间的部分合起来叫一个线段是吧？叫一个线段 ab， 这个呢，我们可以叫它叫 o a， 对 不对？也可以叫 l， 都可以叫 l， 对 吧？这边我们也可以叫 ab， 只要直线上两个点，对吧？也可以叫直线 b a， 都没有问题啊，那我们大写直线 ab， 直线 b a， 大家看一看这个说法有没有问题啊？射线 o a， 射线 ao 有 没有问题？线段 ab， 线段 b a， 大家看一看有没有问题？ 你看这个是不是 a b b a 是 没有问题的，对不对？你不管是 a b b a， 只要是这个直线上两个字母两个点，它都可以表示，那 这个射线我们说 o a o 是 它的端点，对吧？ o a 是 没有问题的，因为它往这个方向延伸的。那你说射线 a o 行不行？ 断点在哪里对吧？断点在 o 啊，所以呢，你 a o 是 不对的啊？ a o 是 不对的，那线段 ab， 线段 b a 怎么样？是不是都是可以的？ 好，它的小写，那 l、 l， l 是 不是都没有问题啊？都没有问题啊，那我们看一看是否有长度？直线 ab 两百米可不可以？是不是直线是没有长度的？那射线 o a 两百米，是不是视线从 o 为端点，可以往这个方向无限延伸？你给他定上长度是不行的，先按 ab 是 不是两百米是可以的，那看看他的端点，你看零个端点无方向是不是对的？一个端点有方向是不是也是对的？两个端点无方向是不是也是对的？就是 大家一定要弄明白哈，端点它的个数以及它的方向有五、延长线是不是有延长线？那射线有没有延长线？是不是你往这个方向人家不需要延长对不对？那 ab 呢？是不是我可以延长 ab， 你看延长 ab 是 不是它是有延长线的？那反向延长线有没有？是不是你这个直线往这个边没有延长线？那你反向人家也是无限延伸的，人家也是没有的，对不对？那反向延长射线 o a 行不行？ o a 是 往反向 可以啊，反向延长 o a 行不行？你看 b a 是不是？它是跟 a b 相对的是吧？你延长了 a b， 那 你就反向 b a 是 吧？它就是往从 b 开始就是往这个方向了，对吧？ 那反向延长 b a 也是对的哈，大家呢，通过这一张图啊，一张图就是把我们的图形以大写小写，对吧？ 这是两种表示方法，以及他是否有长度，以及他们的端点个数，以及有无方向和延长线和反向延长线。全部呢给大家表示出来了。大家这张图啊，课后可以仔细的多看两遍，好吧，没有理解的哈，重点的大家一定要多看两遍 我们这个回放啊。好，那我们继续进行下面的啊，下面的内容。好，那我们呢，就做一个题看一看啊。做一个题看一看。就说下列说法中啊，下列说法中，咱看一看它正确的是哪一个，正确的是哪个啊？ 嗯，就是射线 ab 和射线 b a 是 同一条直线，大家看一看啊。射线 ab， 那 给大家表示一下啊？ 这个射线 ab， 那 嗯， 射线 ab 是 不是它有个端点？这边端点应该是 a， 是 吧？然后呢，这上面有一个点，然后呢？射线 b a， 大家看一下啊。射线 ab， 大家要看一下啊，你看，我是以 a 为端点啊，以 a 为端点，是吧？向 b 这个方向无限延伸的，对不对？这是射线 a b， 那 射线 b a 呢？是以 b 为端点， 大家要看着啊，也以 b 为端点，往 a 的 方向无限延伸的，那你说它们俩是同一条射线吗？ 大家判断一下是不是？首先你看你的端点，端点都不一样，对不对？你的端点 不是一个端点，然后呢，你弹合说是同一条射线，对不对？你这个是以点点 a 为端点，往这边无限延伸，你这边呢？是以点 b 为端点，然后呢，往这边无限延伸的，对不对？你的方向都不对， 所以呢，这个一条同一条射线，这个说法是错误的啊。那射线就是直线，大家能明白吧？射线和直线是吧？射线你是有断点的人，直线是没有断点的，对不对？所以呢，你这个说法也是不对的。那延长直线， 你的直线，我的直线，同学们，我这边呢？我这一条直线， 我自己可以往两边无限延伸，你还给我延长，我还需要，还需要延长吗？我不需要延长，对不对？我也没有延长线呀。那线段 a o a o 和线段 o a 是 不是同一条线段？同学们，我以 a 和 o 两个端点，对吧？以及它中间的部分是不是表示一条线段 a o 和 o a 是 把端点一致，然后中间的部分一致，所以呢，它们同一条线段是对的啊，所以呢，这个题的正确答案就是选 d 啊，就是选 d。 好， 那我们看一下这个题啊，看一下这个题，嗯， 就是给出了分别呢，有射线，也有直线， 还有线段，问到能不能相交，那我们呢？这个图它都没有画完整啊，我们给它，我们呢给它补全一下，咱看一看是否同学。首先呢，咱看一下这是 ab， 是 不是它是一条直线，直线的时候可以往两边，是不是可以无限延伸？ 然后呢，你看这个是 c， d 是 吧？这是一条射线，它是有端点的，那它， 嗯， 是不是我们看一看这边，它能，它能相交，是吧？你看我们从点 c 给它延伸一下，对吧？这是射线，是不是可以往 cd 的 方向？是不是射线 cd 可以 无限延长，是不是跟 ab， 它这边是可以相交的？那我们看一下第二个图，这是 ab， 这是 cd， 它能不能相交？是不是它的长度是固定的，它的长度也是固定的，它是不能延长的， 它的延长线可以有，但是呢，就是这个图形，图形的本身，这个图形的本身已经定死了，对不对？ ab 的 图形和 c 的 图形已经定死了，它们的长度是固定的。 然后呢，你看 a 和 d， 大家看一看它能不能，它能不能？ a 是 一条直线，对不对？那我们给它延长一下啊，然后呢， b 也是一条直线， 是不是可以，你看是不是这个也是有焦点的？ a， b， 你 看，因为它是直线，是不是可以往两边弧线延伸的？那我们来看一和三都是有焦点的啊？那咱再看一下第四个，第四个 a 和 b， 它是这个是一条 一条射线，对不对？它只能从 a 这个端点开始，可以往这边无限延长，对不对？然后呢，你看一下这个 c、 d， 它是一条直线，是不是它也可以无限延长？ 也就是说你看你这个端点定死了，它只能往 ab 的 这个方向无限延长，对不对？然后呢， c、 d， 它这个直线可以往两边延长，它们俩有没有可能有交点，大家看一下， 是不是？不可能啊？你这边端点给你定死了，你不能往这走，你只能往这边延长。所以呢，我们现在看是不是只有一和三有焦点？有焦点，对吧？一和三有焦点，我们只能选 d 了。 好，那咱再看一下下面这道题啊。嗯嗯， 就是点和直线的关系。同学们，点和直线的关系啊，那我标一个点。同学们，我标一个点啊，这个比点 c， 这个呢？我再标个点 a， 再标个点 b， 我 们看一下啊，同学们，我们看一下，那 我们这是一条直线，对不对？这是一条直线，直线呢，我们可以叫直线 ab， 是 吧？ 直线 ab， 直线 b， a 都可以啊，那我可不可以说我点 a 在 直线 ab 上 肯定了，对不对？为什么我要用直线 a、 b， 就 说明我在直线上选了两个点 a 和 b， 它都在这个直线上，对吧？我再让它来命名的，那点 a 肯定是在直线上，对不对？那 我可不可以说直线 a、 b 用过点 a 肯定了直线 ab， 它是两边无限延伸的，你点 a 只是上面一个点，是不是在这上一个点？那我可以说它是经过这个点 a 的，是吧？这个说法是没有问题的，那我们看一下点 c， 点 c 这个点，它和这个直线有什么关系？ 是不是明显的它在这个直线的外边呀？那我们就可以说点 c 在 直线 a、 b、 y， 也就是说点和直线的关系。同学们，有这上面这两种情况，咱大家能不能看出来？就说这个点，要么在直线上，要么在直线外，对不对？只有这两种情况，要么在直线上，要么呢在直线的外边， 找不出第三种的关系。好吧，大家呢，这个点啊，点和直线的关系只有两种可能，一个是在经过直线上，或者在这个直线上，或者直线经过这个点。另一种呢，说这个点呢，在直线的外面啊， 好，继续往下看啊， 咱呢，下面是一道题啊，下一道题呢，要我让我们看一看它的说法 错误的。同学们，大家呢，做题的时候啊，一定要认真的读题看一下。很多同学呢，你看啊，读第一个，直线 a c， 直线 a c， 我 们看一下啊，直线 a c 啊，你看这是个直线 a c 啊，直线 a c 和射线 b d 啊，射线 b d， 以 b 为端点 啊，教育点 a 啊，这不是对了吗？对不对？直接对了，直接就选了点，直接就选了 a， 所以呢，人家这个题，同学们，咱一定要读明白啊，人家选错误了，所以呢，咱不要 一看啊，这个对了，咔，直接就选上了，就是按照自己的思维惯性认为，是不是考试的时候一般都让我们找正确的，这是不对的啊，那再看一下哈，这第一个说法是对的。那第二个呢， bc 是 线段，我们看一下 bc 是不是两个端点，那我们说它是线段，是不是也没有问题啊？是吧？ bc 是 线段，对啊，这个说法也是对的。那直线 ac 经过点 a， 直线 ac 对 吧？直线 ac 没问题，经过点 a， 是 不是？这个说法也没有问题？那点 d 我 们看一下点 d 在 直线 ab 上， 那我们先看一下它是不是，它是不是这个 ab 是 不是直线？ 首先看一下 ab 是 不是直线，在刚才说了，是不是它是以点 b 为端点，然后呢，是不是往这边无限延长了？它是一条射线呀，对不对？它是一条射线， 射线 b a 对 不对？或者是什么？我们可以说是 b d， 射线 b a 或 b d， 但是呢，它不是直线 ab， 对 不对？因为呢，它这边有点 b 的 这个端点，对吧？只能往这个方向延伸，它不可以往这边延伸的，对不对？它是条射线。好吧，那这个题错误了，我们只能选 d 了。

下面咱们来探讨直线的性质，大家思考一个问题啊，一个点和一条直线可能会有哪些位置关系呢？请你画一画， 大家思考一下啊，一个点，一条直线，是不是无非要么就点在直线上，要么就点在直线外啊？比如右图所示，直线 m 经过点屁，那么也可以说点屁啊，在直线 m 上， 这就是点在直线上，它的几何语言的描述可以描述成直线 m 经过点屁，也可以描述成点屁在直线 m 上。 直线 m 是 不是不经过点 q 啊？哎，也可以说成点 q 在 直线 m y 这两种语言都可以， 那么大家就看到了点与直线的位置关系就两种，点在直线上，或者点在直线外。 那么大家尝试思考一下，过一点 o 就 过一个点 o 啊，那么可以画几条直线呢？ 那么大家来想想，是不是可以画这样的，也可以画这样的，也可以画这样的，哎，可以这样无限的画下去，那是不是可以画无数条直线啊？所以过一点 o 可以 画无数条直线。 那么大家再来思考，过两点 a 和 b 可以 画几条直线啊？ 那么大家想一想，快来看，是不是只能这样画呀？哎，所以过两点 a b 啊，可以画一条直线，也就是说过两点可以画一条直线。 大家再来思考第三个问题啊，如果你想将一根木条固定在墙上，至少需要几根钉子啊，大家来看右边的图，如果说是仅用一个钉子，比如仅用左侧的这一个钉子的话，那是不是 这条信木桥就会围绕着这个固定的端点来做旋转啊？是不是就固定不不牢啊？哎，所以说想将一根木桥固定在墙上，至少需要 两个钉子，为什么呢？两点确定一条直线，这时候这个信木桥就不会再发生任何旋转，所以至少需要两个。好，咱们下面来归纳一下直线的性质， 根据咱们的生活经验呢，我们发现经过两点有且只有一条直线，这句话的意思给大家解释一下啊，有表示存在性， 只有表示唯一性。什么意思呢？就是经过两点，有一条直线，表示存在性，但是如果仅这么说的话，那么过两点有一条直线，那是不是还会有其他的，所以没有能够说明白， 所以又加了一个强调的尺，叫尺有啊，经过两点有一条直线，而且呢，仅有这一条直线，所以表示唯一性这一事实，也可以减速为两点确定一条直线。 下面来看例一，这是一道经典的例题，在往年考试中多次考到。 如图，在竖轴上点 o 表示圆点，点 a 表示负二点， b 表示一点， c 表示二。那么第一问来了，竖轴可以看出什么图形？哎，大家想一想，咱们六年级上册学的时候，竖轴的定义是什么？ 竖轴可以看着规定了圆点正方向和单位长度的直线，所以竖轴是一条直线，它可以向两个方向无限延伸。再看第二个竖轴上圆点， 即原点右边的部分，原点以及原点右边的部分。哎，有一个端点，而且可以向一个方向无限延伸，所以啊，它是什么图形啊？射线， 那么这个图形可以怎样表示呢？那么端点是 o， 这有两个字母， b 和 c， 是 不是可以表示成射线？ o、 c 都可以啊，哎，是的。 再来看第三位，射线 o b 与射线 oc 是 同一条射线吗？那么大家来想一想，咱们介绍过，射线是同一条射线，必须满足两个条件，意思，端点相同，方向相同。那么大家来看 射线 o b 和射线 o c， 它的端点是不是都是 o 啊？所以端点相同。那么 o c 是 不是都是向右侧的正方向啊？哎，所以方向是相同的，端点相同，方向相同，所以 ob 和 oc 是 同一条射线。那么端点表示的数是几啊？哎，端点 o 嘛，所以表示的数是零。 第四问，射线 ab 与射线 b a 是 同一条射线吗？为什么？那么射线 ab 它的端点是啊， a， 方向是朝右，射线 b a， 它的端点是 b， 方向是朝左，端点不同，方向也不同，所以啊，它们不是同一条直线。 再看第五问，受轴上表示绝对值不大于二的部分是什么图形？哎，这个又考虑到了绝对值的定义，绝对值是什么？ 咱们六上的定义，绝对值是表示啊，到原点的距离，哎，到原绝对值不大于二。一的意思是到原点的距离不大于二，也就是到原点的距离小于等于二 的部分是什么图形？那么 a 点到 o 点的距离是不是正好是二啊？所以 a o 这一段都是小于等于二的， 那么 oc 这一段 c 点对了，数是二吗？所以啊，这一段的距离也是小于等于二的。那么绝对值不大于二的部分表示的是什么图形啊？是不是表示的线段 a c 啊？是不是线段 a c 啊？哎，是的， 下面咱们来看经典例题。二，小明发现加一两地的火车路线上共有十个站，且任意两站之间的票价都不相同，请你帮他解决下列问题。第一个问题，有多少种票价？ 题目当中说了，加一两地的火车路线上有十个站，那是不是相当于一条线段上有十个点啊？如果把每个站看成一个点的话， 哎，任意两站之间的票价都不同，那么是不是问有多少种票价？是不是就相当于问有多少条线段呢？ 大家来仔细再看一遍啊，有十个赞，相当于一条线段上有十个点， 有多少种不同的票价，相当于有多少条线段，是不是这么可以理解呀？ 你想啊，线段上有十个点，每两个点之间都是不同的票价，然后每两个点之间组成了线段，是不是他问有多少种不同的票价，就相当于问有多少条线段呢？ 故不同的票价共有。根据咱们上面讲到的公式，是不是二分之 n 倍的 n 减一种啊？ n 在 这是十个点，也就是十个赞， n 取十，那么 n 减一就是九，所以十乘以九除以二，一共有四十五种， 所以啊，共有四十五种不同的票价，哎，大家理解了吗？如果不理解的话，大家再仔细的往前倒一倒，看看刚才讲的直线上有 n 个点的话，那么 可以产生多少条线段？找到一题，咱们再看。第二问，要准备多少种不同的车票啊？ 他有四十五种不同的票价，那么每一种票价是不是都对应着往返车票啊？比如 你想从 a 站到 b 站是一种车票，那么从 b 站到 a 站也是一种车票，虽然他们的票价相同， 但是他们的车票是不同的，对吧？因为他是有方向的，从 a 城市到达 b 城市，是吧？和从 b 城市到达 a 城市，你买的票是完全不同的，但是他们的票价是同的，所以每一种票价对应的是两种车票，也就是一往一返。所以啊， 四十五种不同的票价，这对应着九十种不同的票，哎，有多少种错票是要考虑顺序的，对吧？好，今天讲了这么多知识，咱们来做些题，学以自用啊。 第一题，手电筒发射出来的光线给我们的感觉，手电筒，哎，一开始咱们就知道了，手电筒射出来的光线是射线，因为光源就是光点，射出去的就是射线的方向，所以选 b。 下列说法正确的是直线 ab 的 长五厘米，直线可度量吗？直线不可度量，所以直线啊，是没有长度的，不能说直线是多长，因为它是无限长，哎，所以错的。 射线 ab 与射线 b a 是 同一条射线，哎，这个对吗？当然不对了啊，因为射线 ab 的 端点是 a， 射线 b a 的 端点是 b， 不是 同一个端点，所以是说法错误的 c， 虽然线段的长度咱们还没有学到这个概念啊，但是咱们接着我来看 d， 可以 用排除法 d， 直线的长度是射线长度的二倍。咱们在上面讲过，直线的长度是不可度量的，射线的长度也是不可度量的，他们都是无限长，所以不存在直线的长度是射线长度的两倍，也就说他们根本就没有长度这个概念。因为他们是无限长，不可度量，所以不能说 直线多长，射线多长，也不能说他们直线的长度是多少，或者说谁是谁的几倍，所以啊， d 也是错误的，那么通过排除法，自然只有 c 是 正确的。现在的长度这个概念咱还没有学啊，所以咱先不讲这 下面来看第三题。图中直线 a、 b， 大家注意关键词啊！ a、 b 是 直线，射线 c、 d， c， d 是 射线。线段 m n， m n 是 线段，能够相交的是。 哎，大家一看到直线 ab， 意思就是直线 ab 可以 向两个方向无限延伸。射线 cd， 那 么可以向 d 的 方向无限延伸。线段 m n 不 能向任何一个方向延伸。他说了，能够相交的是。咱们首先来看 a， 直线 ab 可以 向两个方向无限延伸，射线 cd 只能能向左侧延伸，所以无论他往左侧延伸到哪，他也不会与直线 ab 相交， 是吧？因为他只能往左侧延伸射线 c、 d， 而直线 ab 呢，再往左侧延伸的时候，是会越来越远，所以他们不会相交。 射线 c、 d 只能往 d 的 左侧延伸啊，不能往右侧延伸啊，你不要以为可以这样延伸相交啊，不存在啊，这种情况不存在啊，这不是射线 c、 d 了啊。射线 c、 d 只能是往 d 的 方向无限延伸，所以 a 是 错误的。那么用同样的方法，大家来分析一下， b 呢？ b 是 直线 ab 仍然射线 c、 d， 那 么只能朝 d 的 方向无限延伸， 那么它离 ab 的 方向会越来越远，所以两个也是不相交的。再来看线段 m n 和直线 ab， 线段 m n 是 固定的，不能向任何一个方向延伸。哎，它与直线 ab 本身就不交。 直线 a、 b 呢，无论你如何延长，他也不会到线段 m a 上，所以他两个也不会相交，所以根据排除法也可以选择 d。 当然咱们一起来分析一下 d 啊。射线 c d。 射线 c， d 可以 向 d 的 d 的 方向 无限延长，那么直线 a、 b 可以 向任何一个方向无限延长。所以啊，直线 a、 b 与直线，呃，所以直线 a、 b 与射线 c、 d 是 可以相交的，所以正确的选项是 d。 下列说法中错误的是，经过一点的直线可以画无数条直线。 再看 b， 经过两点的直线只有一条，哎，这个也是正确的。两点确定一条直线吗？这是直线的基本事实。 c 一 条直线只能用一个字母表示哦，这个咱们讲过哈，一条直线可以用两个 子线上的两个字母来表示，也可以用一个小写字母来表示，所以这个说法是错误的。再看 d， 线段 e f 和线段 f， e 是 同一条线段，哎，这个是正确的。线段的两个端点表示起来没有先后顺序，所以这个说法错误的是应该选 c。 下面来看第五题，如图所示，图中的直线可以表示为，哎，这是一条直线，直线可以用直线上的两个大写字母来表示，所以可以表示为直线 ab 或者 b a 也可以用一个小写字母来表示，表示为直线 m。 好， 第六题，新学期开始整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后面的课桌摆好，然后依次再摆中间的课桌， 一会一列课桌就整齐的摆在一条直线上了。这是因为两点确定一条直线对不对啊？ 前面的课桌和最后面的课桌摆好之后两个点，哎，两点确定一条直线，然后再摆中间的课桌老师真聪明啊！ 第七题如图所示，其中线段有几条，射线有几条？咱们一起来数一下啊。线段有固定的两个端点，不能向任何一个方向延伸。 首先来看一下啊， ab 线段 ab 是 一条对吧？线段 ac 是 一条， 然后线段 bc 是 一条。所以啊，图中共有三条线段，其他的，哎，都不是线段了，因为已经超出了他们的两个端点的范围，所以线段是在这写一下啊，线段是 ab， a， c 还有 b、 c 这三条线段，对吧？那么射线有几条？咱们一起来看一下， 是线段的咱们就不标了啊。首先咱们来看，从 a 点出发啊，是不是可以有射线 ab 啊？ 射线 a、 b， a 是 固定的短点，可以向 b 的 方向无限延伸，因为已经超过了 b 点，是不是还有射线 a、 c 啊？哎， a， b， a， c， 这是两条。 然后再看以 b 点为端点，是不是往左一条，往上第二条，往右第三条，是吧，这有三条。 然后再看以点 c 为端点，是不是可以往右一条，往上一条， 可以表述为射线 c、 b 吗？这个也是，所以也是啊，三条， ab 一 条， ac 一 条，这是两条，加下面的这六条，一共是啊八条。 大家这个东西就数的时候仔细一点啊，能明确的理解线段，射线和直线的定义就不会存在问题。 射线是向一个方向延伸，有一个固定的断点，线段是由两个断点不能向任何一个方向延伸，直线是向两个方向无限延伸。好，下面来看第八题， 经过同一平面内的 a、 b、 c 三点中的任意两点，可以做出几条直线？哎，这个题也是咱们比较喜欢考的一道题，这个题呢，有一个坑，大家容易踩，说什么呢？ a、 b、 c 三点，那么他说没说 a、 b、 c 这三个点是不是在同一条直线上啊？他没有说，所以咱们需要分类讨论。第一种情况，如果 a、 b、 c 这三个点本来就在一条直线上， 大家看 a、 b、 c 三个点，它就在一条直线上， 那么连接这三点中的任意两点，连接 ab 也好， bc 也好， ac 也好，然后再向两侧无限延伸，他们说形成的直线其实都是同一条直线 m， 因为这三个点在同一条直线上嘛，所以当三个点在同一条直线上的时候，连接其中的任意两点所构成的直线只有一条。 第二种情况，如果这三个点不在同一条直线上，哎，比如这是 a 点，这是 b 点，这是 c 点， 那么大家自然可以连接，这样，这是 a、 b、 c， 那 么自然可以连接直线 ab、 直线 ac 和直线 bc， 这样就是有三条， 上面有一条，所以正确的答案是可以做出一条或者三条直线 来看。第十题，根据要求画图，如图所示，过点 a 和点 d 做直线，哎，那是不是直接就是过点 a 和点 d 做直线，然后向两个方向延长就完了？ 第二个画色线 c、 d， 那 么以 c 为端点向 d 的 方向延伸。第三个连接 ab， 那 就是指的线段 ab 直接连接 ab， 第四个连接 bc， 咱们先把它连上啊，直接连接 bc， 并反向延长 bc， 哎，如果说是它的延长 bc， 那 是在向 c 的 方向延长，如果他说反向延长 bc， 那 么就是往 b 的 方向进行延长，哎，是这样的， 下面大家来看第十一题啊，两条直线相交，最多有一个交点，三条直线相交，最多有三个交点，四条直线相交，问你最多有多少个交点？咱们一起来看一下啊， 如果两条直线相交，咱们是不是这么画的呀？哎，最多有一个交点，就是两条直线相交，最多有一个交点， 如果保持这两条直线不动，那么咱们让第三条直线同时穿越这两条直线，是不是又等于多又多了两个交点啊？是不是等于多了这两个交点啊？ 保持原来的这个不动，是不是又多了两个交点？所以它是有一加二一共三个交点。好，如果是四条直线相交的话，咱们保持原来的三条直线不动， 再让第四条直线同时穿越这三条直线，大家来看，是不是又多了一二三这三个交点啊？哎！在上个图的基础上，咱们再加三个，也就是一加二加三。 如果说是有五条直线，咱们保持原来的四条直线不动，让第五条直线同时穿越原来的四条直线。大家现在来看多了几个焦点？ 一个、两个，三个、四个，是吧？这条红色的直线与原来的四条蓝色直线正好有四个焦点， 是不是就比上图又比上一个图，是不是又多了四个焦点啊？如果也就是一加二加三加四十个焦点，那么大家在这思考一下，如果是 n 条直线相交，那么最多可以有多少个焦点啊？ 哎，大家根据这个规律可以继续推下去啊。大家来看啊，两条直线一个交点，三条直线最多三个交点，也就是一加二 四条直线，最多六个焦点是一加二加三五条直线，最多十个焦点是一加二加三加四，大家看加三一加二也好，他的最后一位是不是比直线的条数少一啊？ 哎，三是不是比四少一啊？四是不是比五少一啊？哎！这个时候如果说是有 n 条直线的话，那么是不是应该最多有一加二加三，一直加到 n 减一啊？一共有这么多交点， 哎，大家来看，这个熟悉的公式又出现了，这个公式和哪个公式相同啊？如果一条直线上有 n 个点，那么这条直线上有多少个线段，是不是和那个公式是完全一致的呀？哎，这条熟悉的公式它又出现了，大家一定要把它牢牢记住， n 条直线相交最多有 二分之 n 倍的 n 减一个交点。咱们现在来总结一下， 这节课讲了线段、射线、直线的概念与表示，还讲了三者的联系与区别，以及直线的基本性质，也就是两点，确定一条直线。 好，下面给大家布置一下今天的课后作业啊。课本第四页的习题五减一减一， 那么今天的课程就讲到这啊，感谢大家收看，再见！期待咱们下次再见，拜拜！

六年级的同学们请注意啦！寒假数学预习不用慌！这份超实用攻略请收好！照着学，开学直接当领跑者！这册书的五大核心板块，咱们逐个击破！ 基本平面图形，先认清线段、射线、直线的区别，学会比角、线段长短和角的大小。把多边形和圆的基础概念过一遍，动手画一画图形认知轻松到位。 一元一次方程是基础重点先掌握方程的定义，把一项合并同类项的解析步骤熟练，再试着做几道简单的应用题。理清数量关系很关键， 相交线与平行线分清对顶角、邻补角、平行线的判定定律和性质定律要吃透，试着用，因为所以说清推理逻辑，几何思维直接拉满。 整式的乘除是代数重头系统，底数幂的乘除，幂的乘方运算法则记牢固平方差，完全平方公式，反复练基础计算别出错，这可是后续学习的基本功。 变量之间的关系，掌握表格、关系式图像三种表示方法，能看懂变量的变化规律，就可以为以后学函数打下基础。