绵阳二诊b卷数学解析几何

同学们大家好，我们来讲这个二零二六届绵阳二等 b 卷的填空压轴四题，这是一道力挺几何与将军与马球坠子问题进行综合的一个题目，整体难度也不是很大，看一下， 嗯，这个圆锥他给了我们高纬根号三， 刚好刚好三，圆锥的半径几面半径等于一， ab 等于两倍 bc， 所以 bc 等于一，那么这个角就是六十度，那么这个补角就是一百二十度啊。 我们假设 b q 的 长为 x， 对 吧？那么这个 s 等于什么呢？是不是 c 到 q 的 长度，再加从 q 点到 a 点的一个弧长度，对吧？所以 s 它是等于 c q 场加 q 到 a 的 场，那么 s 要最小， 那肯定因为 c q 它是子线啊，肯定就需要 q a 最小，那么 q a 最小我们怎么来找啊？我们先来找写这个 c q 吧， c q 的 话，就该是根号下匀选命令， x 平方加一的平方减去二乘以 x， 乘以一乘以 cos 以一百二十度， 那么 q a 的 话，我们就要用侧面图展开把圆锥 p b a 把它正面展开，展开之后就这样一个扇形， 这样一个扇形，那么 b 点就展开到 q 飘点这个位置， 这样的好啊，那么这个角度是多少，我们要算一下，那么展开这个浮长，这个浮长就是底面圆周长的一半，是拍，乘以一再除以 母线长为二，就等于二分之拍，所以展开这个扇形的圆形角就是二分之拍好 q b 为 x， 那 么 p q 漂就是二减 x， 所以 这个 q a 最小，就是根号上啊， 二减 x 括号的平方加二的平方。我们整理一下啊，就等于根号下 x 平方加 x 加一， 再加根号下 x 减二，括号平方加一个四，四的话就写成零零减二的平方，所以前面跟它配成 x 加二分之一，括号平方 加四分之三是零减二分之。根号三化平方，再加 x 减二平方，加减二平方，那么这个 s 就 表示 x 逗零到两点，负二分之一，逗二分之。根号三与 x 逗零与 二度二。距离字母要求最小值，所以我们画一下，负啊， 二到二，那么在一项前负二分之一到负二分之到二分之到三， 这是负二分之二，那么显然我们把二的二关于 x 轴对称对称下来， 把这个对称点啊，是二，二啊，什么时候啊？距离之火最短呢？就是将军云嘛，对吧？我们找一个对称点连接两点， 当 x 在 这个焦点的时候，那么距离之五是最短的。 好啊，所以 s 最小就等于两点的距离啊，根号下二减负二分之一就是二分之五，括号平方加 二分之，根号三减负二，就是加二负二的平方，那么就等于根号下四分之二十五加四分之三，加一个四，再加二倍根号三，所以等于根号下 十一加二倍根号三，所以 s 平方的最小值等于十一加二倍根号三。

立体几何压轴大题竟然隐藏了抛物线，妙不可言！这是昨天才考的二零二六绵阳奥体的最后一个大题，十九题居然是立体几何压轴，很多考生 在被这个创新，然后位置不一样，然后阅读量不一样，那条件很多，但怎么整合在一起，哎，就吃亏了，甚至第一问就蒙了。其实第一问不难的，我们来看一下题目 如图，已知三菱锥 p a、 b， c 点 d 在 平面 a、 b、 c 上，且 abcd 任意三点不共线。这是优化版的题目，一开始我们不他说的是四菱锥，后来考场上改了， p c 垂直于底面 a、 b、 c d 线面垂直点 e 为 p a 的 中点，点 e 为 p a 的 中点。这你看，再告诉锤子，则也告诉锤子，这个锤子拿来干嘛呢？其实这个锤子后面还告诉数据，这个锤子是拿来正等腰的， 很多人想不到哎，想到线面锤子要找两个锤子，就深入拿这个锤子去想，就掉进去了。好，我们来看一下为什么等腰？我们要标数据， p c 等于二 二倍根啊，一半就是根号二，根号二，你看垂直这个 e， f 等于 e， 等腰直角三 a， 这个也为 e， 你 看是不是就则也为 e 了吗？所以要证明的是什么？ pa 垂直于 f g， pa 是 这个 f g， g 是 这两个等腰，等腰一般就取它的终点 m 连起来，是不是两个垂直就出来了？很简单的定位，但如果你想偏了，就 利用不了条件整合在一起，那么你就做不出来。所以我们快速写一下第一问的解析检验，证明 好证明我们在怎么写呢？已经一体有因为或者 e f 垂直于 p b， 然后个 p a 等于二倍根号，描述一下，还有哪个 e 为 p a 中点， 所以 p e 等于根号二，所以就可以得到。呃， p f 等于根号下， p e 方减去 e f 的 平方就等于一，同理 可得这个 p g 也等于一，所以等于 p f 了嘛。所以我们只要只需要取中点连接起来，因为就解决了，所以取这个 g f 中点为 m， 对 吧？连接 连接 p m e m。 在 因为描述下，因为 e f 等于 e g， 所以 就得到 e m 垂直于这个 f g。 同样又因为 p f 等于 p g， 所以就得到 p m 垂直于 f g。 两个锤子是不是在标上嘛？不会的话，两个锤子是不是要找交线了？我们找呃，知道的话就不写。而 e m 交上 pm 等于 m， 且在要描述在面内，且 e m pm 都在平面， 这个 e m p m 都在平面， p e m p m 都在平面，就 p e m 上， 所以就可以得到 g f 垂直于平面， p e m。 在 描述下，又因为 p a 在 平面 p e m 上，所以就得到 p a 垂直于 f g。 你 看是不是第一问解决了？ 下面我们继续来看第二问的解析。它隐藏了一个抛物线，很经典的，我们就来操作一下为什么隐藏抛物线。首先我们要间隙， 这是 x 轴，这个拉过来是 y 轴，这个拉上去为 z 轴，是不是拉出来了？这边找找。二，这是间隙，你自己描述，这是间隙的描述，所以 a 的 坐标是二零零， p 的 坐标是零零二，我们设 b 的 坐标是 x 一 y 一 逗零， d 的 坐标是 x 二逗零，对吧？然后如果熟悉与这个圆锥曲线截出来曲线的问题的话， 嗯，曲线问题的话，咱就圆锥截曲线，截出圆锥曲线来的话，这就是一个圆锥曲线，而这刚好四十五度，就是一个抛物线，为什么呢？我们来证明一下， 就是现在是不得到它了，我们找个括号省找是由。先把向量写出来，有个 p a， 有 个 pb， 所以 pa 向量就等于二零负二， pb 向量就等于 pb 的 话，是 x 一 y e 负二，对吧？而因为这角 a p b 等于四分之派，所以就得到 cos 四分之派就等于 pa 和 p b 的 数量级，再除以 pa 的 模，再乘以 p b 的 模。化简下， pa 和 p b 的 数量级就是二 x 一 加上四，再除以根号下，这是二的四。四加四等于八， 则就变成 x 一 平方加上 y 一 的平方加上四，把它化解一下就行了，它等于二分之根号二，对吧？二分之根号化解下，则首先 根号八十二倍，根号约去个二根号，乘根号等于二，再和它约掉，就推出 x 一 加上二，就等于根号下 x 一 的平方加上 y 一 的平方加上四，则肯定大于等于零了嘛。所以 x 一 加大于等于零的就 平方，就可以推出 x 一 的平方，或者直接写 x 一 平方抵消掉，在四抵消掉，就得到 y 一 的平方等于四 x 一。 你看，这就经典的抛物线是不是经典的抛物线了？好，得到它之后呢，我们又来写下，同理 可得到 y 二的平等于四 x 二，是吧？四 x 二了。所以这就调一开始解决后面怎么翻译这个条件？ p c 线面平行，则线与交线平行，我们设这个交点为 o 点，对吧？首先设 a c 交上 b d 等于 o， 是 不是 b， d 等于 o 了？因为在下面平行，这交线其实就是 o e， 所以 我们再写下，因为 p c 平行于平面 e， b， d， 是 不是 p c 平行于平面 e， b， d 啊？而我们再来看一下，而平面 p a c 加上平面 e， b， d， 就 等于这个是 e o， 所以 就可以得到 pc 平行于 e o， 是 不是 pc 平行于 e o 了，所以得到这个条件，所以 o 的 坐标我们现在是知道的。 然得到 o 的 坐标， o 的 坐标就是在终点了嘛。当然这个我们后面间隙的话可以用，这样我们用传统方法来做一下，要求的是这个二面角 b a p d， b a， p d 的 大小是不是 b a p b 的 大小，而 b a p 是 f p e。 同样的另外一个就是 g p e 去做函数，因为上面的数据知道的这是一，这是一，这是一，这是一的在，并且是四十五度，我们这些都知道，所以去转换一下， 所以就是而这个二面角的平面角为 c 塔，而二面角这就我们目标 b a， p d， g 为二面角， 二面角这是 f e p g f e p g 而我们这是等腰直角三角形，所以只需要做一条高线就行了， 所以做一条高 h 连接它，对吧？我们这就是折过 f 点做 f h 垂直于，这个是 p e 角 p e 与点 h 连接 连接 h g， 对 吧？所以我们这很明显第一位告诉垂直，这就是啊直角面角了。哦，这就是不是直角面角，这就二面角，所以这个角 f h g， 所以角 f h g 即为二面角，即为 c 塔，就等于 c 塔了嘛，所以我们知道等于 c 塔，这就余弦定理，你看，这是。呃，余弦定理，这不是一勾股定理。等腰直角三角形二分之根号，而 f h 等于， 而 h g 是， 等于，对吧？ h g 对 了，就等于二分之根号二的。所以我们由余弦的理，再由余弦的理得，就不用描述了。咱就由 余弦定理得，由于余弦的理得，就得到。 cosine theta 就 等于， 这是二倍 f h 乘以 h g 分 之 f h 的 平方加上 h g 的 平方减去 f g 的 平方，代减二分之二的平方就二分之一，二分之一刚好约掉， 就没有分母了。一，这是二分之一加二分之一减 f g 的 平方。所以二面角与 f g 的 大小有关，而 f g 的 大小，我们刚刚是把 p b d 算，它是为了算这个面了吗？所以这 p f， p g 的 大小是不是就可以转换出来了？这就可以转换成这个角的关系，而这个角又可以转换成 p b p d， 所以 就相应的转换，就等于 e 减去。在这个三角形中， f g 又等于 p f 吗？ 加上 p g 方减去二，被 p f 乘以 p g 乘以扩散。我们要设一个角度设角，这个是 f p g f p g 等于 alpha， 就 等于扩散 alpha 化解一下，这是一，这是一没了。那一减一，一个没了吗？这就变成二扩减一。所以就推出 扩整数，它就等于二倍扩整数二法减一，是不是要求扩整数的关系？就要求扩整数二法啦。另一方面， 扩整数二法就等于就可以转换成 p b 和 p d 就 等于 p b 和 p d 的 模，对吧？ p b 我 们刚刚记得表示过，就 x y e 反，另外一个就相应的表示嘛。所以就 x 一 x y 一 y 二就等于， 咦，就等于 x 一 x 加上 y 一， y 二，再加上负的平方等于四。就根号下 x 一 的平方加上 y 一 的平方，再加上四，再乘以根号下 x 二的平方加上 y 二的平方加上四，是不是加上四了？好，我们找 刚好说了这个交点， o 哦，刚好证明中点这个是 o 的 坐标，则交叉，所以则平行，则平行，我们写哪去了？所以 o 的 坐标刚好是一零零，刚好是下面的交点，这是 y 方等于四， s 刚好为交点， 刚好为抛物线交点， 是不是刚好为抛物线交点了？既然为抛物线交点，这儿就是性质，我们这儿就可以这儿在下面连立，这儿设直线， 在平面上设直线， b d 方程为大体。稍微证明一下， x 等于 m， y 加 e 反射直线了嘛。所以就连立， x 等于 m， y 加上一和 y 方等于四， x 咱就推出，这就是 y 方减四， m y 咱就减四，等于零，对吧？所以我们咱就可以得到 y 一 加上 y 二， y 一 乘 y 二就行了。 y 一 乘以 y 二就等于 y 一 乘 y 二，这就我看一下，等于负四，那么就是 x 一 乘 x， 其实是四分之平方，就等于一了嘛。所以这就是一个负四，一个是一，是不得到它了，所以带进去，所以就可以得到 函数幺法，就等于这是一，刚好为一了。下面就是化简， x 一 平方， y 一 方是四， x 一 加上四，再乘以根号下 x 二的平方加上四， x 加上四，就等于刚好是 x 一 加二的平方， x 一 加好， x 一 加二， x 一 加二乘以 x 二加二分之一，对吧？化简一下就变成了 x 一， x 加上二倍的 x 一 加上 x 二，再加上四分之一，基本不等式。大于等于，在分母上小于等于。我看一下两个。对了，小于等于 x e x x e x 是 知道的。一一加四就等于五，加上二乘以二倍根号 x e x 二分之一，这就等于一，五加四九九分之一。所以代入我们的目标，括号乘以 c， 它就等于二倍括号乘以 r 减一 小的九分之一，九二九分之二减一负的九分之七。所以就打一下，就像 go 这个 cosine， 它的最大值为负的九分之七。

好，下面我们来看一下二零二六绵阳二镇的例题集合。压轴题的第三位，考察一个外接球问题，并且它和这个三个可能值有关，与相当于零点交点个数有关。这个题还是比较巧的， 所以我们找到第二位已经间歇了，所以第三位也可以间歇来算。咱们先来分析一下题目给了什么。 b d 平行于 f g， b d 平行于 f g， 而我们前面平行是不是就相似了？而 p f 是 等于 p g 的， 所以很明显 p b 等于 p d， 因为 p c 垂直。下面这个面勾股定律 c d 也等于 c b， 是 不是 c d 等于 c p 则首先得到一个关系， 得到关系之后呢，我们再来看一下。而 a p b 和 a p d 也容易证明， 因为角相等，边边角边是不全对啦，所以 ab 也等于 a d， 是 不是 ab 也等于 a d 啦，所以很明显这个焦点我们前面设为 o 的 话，很明显就可以证明它是中点并且垂直啊，所以这就是先翻译条件，得到垂直我们就可以好设定来见效 解。第三位，因为 b d 平行于 f g， 且有前面的这个是 e f 和 p f 有 前面之 p f 等于 p g 等于 e， 所以 就可以到了 p b 等于 p d， 进步就可以推出 c d 等于 c b， 有 规律了嘛。好，然后又有一只 三角形， a， p b 全等于三角形，这个是 a p d， 所以 也可以得到 a d 等于 ab 是 吧？ a d 等于 ab 了，所以你看两个相等了，这个是所以它的交线，所以很明显因为这个 p f 我 看一下啊， p f 等于 p g 没问题，所以就可以得到 ab 等于 ab， 所以 进一步就得到 o b， 所以 就可以推出 o b 等于 o d， o b 等于 o d， 所以 这就可以证明垂直了。这就是呃，中点了嘛，所以就可以得到 c o 垂直于 b d。 是 不是 c o 垂直于 b d 啊？而我们找的是垂直的话，这就是中垂线。巧设圆形，所以 b、 d 的 中垂线就是 x 轴，所以故可设 库克色。下面这个是什么？ a b d 平面，不是平面，我们再描述成三角形，三角形 a b、 d 的 呃，外接圆圆心为， 外接圆圆心为。这是比如我们手随便设个字母 t 零零，因为这是 p c 垂直于它的，所以球心 球心 o r， 我 们这记为 o e， 所以 球心 o r 记为 t 零 h 是 不是 t 零 h 啦？这就叫中垂线。巧设圆心。好写下，因为 这个是 o e 嘛。因为 o e a 等于 o e b， 我 们把 a 的 坐标再顺便写下，虽然之前我们写过了 a 的 坐标二零零，然后这是 b 的 坐标，是 x e y e 零，是不是 x e y e 零了？然后我看一下，对了，所以就可以推出。咱就得到 o e a 平方了嘛，它就变成了 t 减二的平方，就等于 o e b 就是 t 减 x 一 的平方，加上 y 一 的平方，就可以得到 t 和 x 一 y 一 的关系。先把它化解，超格上打开 t 方消掉，再就个负四， t 加上四， 是不是负四？ t 加四四了，再 t 方消掉，就负二 t x 一 加上 x 一 的平方，而 y 一 平方是等于四 x 一 的，所以 把它花掉一怪就推出四 t 就 等于 x 一 的平减，去加上二 t x 一， 或者还有个 t， 要把它合在一起， 先合在一起，然后这一怪就我看哪个一怪，这个一怪吗？二、 t 减二， x 一 减四。 错了，二 x 一 减四乘以 t 就 等于 x 一 的平方加上四， x 一 减四，是吧？ x 一 平方加四， x 一 减四了，所以咱进一步就推出 t。 好， 咱来描述一下 x 一 是不等于二的，很明显吗？显然， 因为免得再除以，我们严谨点， x 一 不等于二，所以就推出 t 就 等于二， x 一 减四分之， x 一 的平方加上四， x 一 减四，其中 x 一 大于零，且 x 一 不等于二。简单描述一下， x 一 不等于二，这是操作，这样操作你看是不是得到 t 的 关系啊？我们在标为一个四，子标为一，四 为了好算吗？我们又继续往下得得到这个 t 和 x 一 的关系，下面找这个还有个 t h 的 关系，所以要找 t h a 的 坐标，知道 p 的 坐标，知道我们就写，因为 p o r a 等于 o r p 就 可以推出 o r a 就 变成 t 减二的平方，加上 h 的 平方就等于 o r p p 的 坐标，我们则是零零零零二了嘛，所以就变成了 t 方加上 h 减二的平方。这个打开很明显， t 方 t 方削掉， h 方削到四，约掉，就可以得到 t 等于 h， 是 不是 t 等于 h 啊？现在得到球心，下面为又继续得到 t 等于 h 之后呢？我们再来算一个 r， 我 们 y 求角半径 r， 而大 r 的 平方又可以表示乘以，这就是 o r。 等我看一下 o r 哪个好算哈， o r a 就 自己再来算一下代减了嘛，所以就得到 o r a 的 平方，这个代减 t 等于 h， 就 变成 h 方加 h 方， r h 方或者 r t 方嘛， r t 方减四， t 加上四，是不是就得到 r 的 平方，等于二 t 方减四， t 加上四啊？你看，这是关于一个 t 的 函数，我们记为 f， t 相当于这个 t 一 元二乘方的可能有两个减，可能有一个减，可能没有减，下面还要减 x 就 相当于是它的体积。我们先来分析一下体积，而 v p b c d v p b c， d 的 面积，我们只要刚刚写了嘛，就这个是锥体底，三分之一 s， 三角形 b， c， d 再乘以高，高就是 p 到 b， c， d 的 面积就 p c， p， c 就 乘以二， 对吧？所以这就变成了三分之二乘以 b， c， d 的 面积。因为这垂直了嘛，所以就是 b d 的 长度， b， d 的 长度，因为这是对称的，所以就是二倍 o b o， b 的 话，我看一下， b 的 坐标在了 x 一 y 一 逗零，这是 x 之上，就是直接上 y 一 二 y 一 二 y 一， 再乘以，加个绝对值嘛，就二 y 一 再乘以。乘以什么？我看一下。 嗯，这是二 y e， 这是 y e 嘞。那再乘以我看一下啊。乘以这个高，高是 c o c o 就是 x e， 我 看一下，这是 x e， 这是 y e， 再乘以 x x e 底乘以高除以二分之一，这写错了，面积是二分之一，底乘以高除以二， 就是二分之一乘以底色，这是横坐标，这中着二倍 y 一 的绝对值，再乘以高 x 一， 肯定是正的，对吧？所以化简就变成了三分之二倍 x 一 乘以 y 一 的绝对值，而前面 x， 呃，我看一下， y 一 方是等于四 x 一 的，所以 x 一 就等于四分之 y 一 的平方，或者 y 一 消掉，我们找它取一个正的补方子，设 a y 一 大于零嘛，找对称性找它就可以得到，就等于三分之二乘以这个 y 一， 就是根号 二倍。根号 x 一 再乘以 x 一， 所以就变成了三分之四倍。 x 一 乘以根号 x 一， 这很明显单调递增，所以要有三个可零值，就是 x 一 要有三个减，对吧？是吧？ x 一 要有三个减了。所以 这题目说的是三菱锥的体积就有三个可零值，则三菱锥 体积有三个可能值， 则 x e 有 三个。正解，我们刚刚分析过它大于零，是不是三个正解？而 x e 是 由这个函数决定的，则我们是 f t， 则就 t o 是 这个函数。两个函数类似于嵌套函数。我们就重新定一个 g e x e g x 了嘛。 积 x 一 就等于二，被 x 一 减四，分之 x 一 的平方加上四， x 一 减四，换个圆。另分母提出来， x x 一 减二等于，这个是我 看下等于零，另外一个线直接等于 x 了，所以因为 x 一 是大于零且不等于二的，所以 x 是 大于负二，且 x 不 等于零大于 f， 是 不是不等于零啊？所以就可以转换成 g x 的 函数，再就变成二 x， 然后 x 等于 x 加二，所以就是 x 加二的平方加上四倍， x 加二 减四，就 x 平方加上四， x 加上四，再加上四， x 加上八减四。在化简就是 x 平方加上八， x 加上八， x 平方加上八， x 加上八。或者打开就类似于对勾函数平移了嘛，所以就等于 二分之 x 再加上 x 分 之四，再加上四，是吧？二分之 x 加 x， 分 之四加四啊。二分之 x 加 x， 分 之四加四。好，这很明显它是一个对勾函数，所以由对勾函数性质之 函数性质之 g x 在 这个是负二到在 x 平方等于八， x 等于二平方，负在负二到零上单调对勾函数是这样 的，是这样和这样吗？负二在这负二到零上单调递减上，我用箭头了 上单调递减，然后是零到二倍根号二，这是八二倍根号。零到二倍根号上单调递减二倍根号二到正无穷大。上单调 递增是不对勾函数，图像得到它了，所以现在对勾函数它要有三减在，这就相当于有 a 上面肯定 m 有 两个减了吗？两个减就可能是二加一，我们只要先把图像或者我们重新画图像只有一半，为了让大家更好理解，点 x 走， o 点 y 走，再有个负二负二代减是负三四正一，是不是单调递减啊？图像是这样的， 然后减下来又增上去，在这个地方是二倍根号处取的，他是二倍根号加四，二倍根号加上四，这个是正一，所以你看要有 是吧？二加一的问题。二加一可能是则，也可能是则，这是一了嘛？所以我们先讨论这种相等的情况下，所以我们现在是还有个 m 的 函数跑哪去了？ 你看下这是不是 m 是 t 的 函数，而 f t 我 们写下来，而 f t 是 等于 二， t 方减四， t 加四，二 t 方减四， t 加上四的，所以要有三个解，则 f t 要有两个 g， 是 吧？ f t 要有两个解了，且我们回答例例，且 两个减 t 一 t 二吗？显示有两个减 t 一 t 二，则 t 一 加上 t 二是要等于啊。 a 分 之 b 负， a 分 之 b 负，负的正等于二， t 乘以 t 二也要等于二的，是不也要等于二的了，所以我们只要就得到。当 t 一 等于刚好是二倍根号，加上四十，带进去， t 二就是负的。咦，好像又没墨了，该死，该死， 等一下，我看一下，好像真没墨，你看，我们现在先来分析一下思路嘛。 t 等于二倍根号带点，是不是 t 二就是负的了？二倍根号一个一个，所以此时只有两个不满足，所以只能是 t 一 大于二倍根号加四，这上面有两个跳小于一，是不是就跳小于一啊？再结合这个二次函数的图像去分析。所以我们在结合二次函数图像，找了百分之一，还不够， 咱是去分析了。那咱先写一点，听一点嘛。所以就得到，此时 t 二是等于负等于二，一个就是负，二减二倍根号二，此时只有两个焦点，此时则只有两个 焦点，这种情况一个在这，一个在这两个焦点，所以不满足， 不满足写快点，所以当，所以这就要有 t 一 要大于二倍根号加上四，然后还有个 t 二要小于一，我们就画这个二函数的图像。对称轴是这样， 快，说话快，没对称轴是一开口向上零的时候是四，是不是这样了？所以我们的 t 一 要小于一， t 一 在这，对吧？一在这，所以只要就得到这个的函数，我们是 t f 一， 所以就可以推出 f 一 肯定要小于零，当然 t r 要大于二倍根号，所以这是 t r， f 二倍根号加上四就要大于零，带进去就可以推出 f 一 小零。我们再去算一下， f 一 小于零，就变成了二减四加四就二。 咦，怎么好像咋都不对了， f 一 我们是要小于零了吗？ f 一 代减是等于它，它大于零了嘞，我是不是来分析错了哈，看一下 f 一 小于零， f 一 是我们是不是这个函数读错了。 m 幺减四， t 加四啊？ f 一 f 一。 哦，这个讲错了，这我们函数图像就出问题了，这还有个 r 的 平方，说明这个有问题，咱不能直接这是一个整体的零点问题了嘛，说明咱应该是在这个地方令 令 f t 等于二 t 方减四， t 加上四，再减去二的平方，这是吧？二 t 方减四， t 加四，二 t 方减四， t 还要减去二的平方，这才行，要不然刚刚出问题了，所以在 f 一 这就推错。 f 一 刚刚算出来，因为是正的嘛，所以出问题了，就检查这是一代点就是二减二，平方小于二的平方大于二 就推错，二的平方要大于二。再第二个就是二倍根号加四大于零，所以代点就是二倍根号。二 加上四的平方减去四，乘以二倍根号加上四，然后再加上四减二的平方要大于零，减一下就可以推出。 那就是二乘一，它是八，加上十六加上二的是十六倍根号啊。再减去八倍根号减十六，加上四大于二的平方是不是大于二的平方？这是二十四， 二十四打开就是四十八加上三十二倍根号，二 三十二倍根号减八倍根号减十六，加上四大于二的平方，就推出二的平方小于，这个是四十八加四，五十二，五十二减十六，就变成了四十三十六，三十六，再加上二十四倍根号是三十 六加二十四倍根号了，就推出 r 的 平方要小于这个值一是小于还是大于？哈，我们这是小于零，那这方向都弄错，嘿嘿，因为我们方向这还是 小于零，所以小于。下面检测是大于 r 的 平方就大于它了嘛，所以就推出 r 的 平 方是大于。大于啥？我不应该差的，大于三十六加二十四倍根号。 r 的 平方大于三十六加上二十四倍根号，是不是三十六加二十四倍根号了？ 关键这个我们要怎么因式分解呢？其实我们这就求开根号了嘛，所以就推出小于，肯定 r 要大于根号下三十六加二十四倍根号，肯定可以提出个四来就是 r 倍根号下九加上 六倍根号，是不是九加六倍根号了？三十六，这是四十六，二十四没问题，但提出这个来我们好像还不行，我们这九这个拆分成是二倍首位，二乘以三乘以根号，这平方就是九啊，不行。然后这是 不能拆分成，这个要用别的音色分解方法。我看一下这个都是六的倍数了吗？提出个根号根号六来试一下，就变成了根号下六加上四倍根号。哦，好像这个可以了，因为四倍根号可以写成二乘一， 根号二乘以二，对吧？这个的平方等于二，这个平方的四就可以开出来了，所以大家就可以写成根号六乘以根号下根号二加上二的平方，是不是根号加二的平方了，所以这样就可以开出来， 就推出二是大于根号乘以根号六，就是二倍根号三，再加上二倍 根号六，是吧？二倍根号三加二倍根号六了。所以我们只要最得到最终答案去打一下，所以它的曲值范围是二倍根号三，加上二倍根号六到正无穷大，所以我们这就做完了。

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刚刚考的绵阳二等这个十八题，如果说各位同学你硬算肯定是不好算的。这个第二问，我们常用的方法叫反射变化，已经很多次考的这个定义了。好吧，反射定律我知道，有同学他不知道，说的是，如果对这个图像进行这样的变化，那么他结论是这个样子，你想好 这个图像变完，它就会变成什么 x 平方加 y 平方等于什么 a 方，那这个题是等于八，好了，它就变成一个单位，这个变成一个圆，然后我令这个角为 c 档，这个角为 c 档，对吧？那这个角就是内错角， 那你说它的面积 s 一 漂，是不是应该等于二分之一？ o a 乘以 o b 乘以这个角， 那这个是半径是二倍根号，是吧？半径的二倍根号，那这个就是 sine 二色，而 sine 二色它求不出来吗？我们不要忘了这个色，它这个是 cosine 二色，它我们是算得出来的，对吧？来，我们一起来算一下， 这个是二倍根二，这个也是二倍根二，这个就是什么啊？根号，对吧？或在二上，你可以用一个例子吗？算完之后，你随便给他取个值，其实都可以取个二啊，不一定要取二倍根号等于一啊，四加一减去十等于四分之一，那塞二 c 糖你也可以算出来等于 四分之根号十五，那你想 s 一 飘，你发没发现它是个定值啊，对吧？算出来就应该等于根号十五。还原回去，利用这个结论，这个结论是可以回到的，我觉得是可以给分的。那么 s 是 不是等于 a 分 之， b 乘以 s 一 飘，就等于 根号十五，乘以什么？这个二倍根号，二分之根号二，是不是应该等于二分之二十五？好搞定，是吧？这个东西直接，对吧？仿制变化搞定了。

绵阳二诊数学测测你的解析肌肉这套卷子的精髓不在于你会不会，而在于你的时间分配和取舍。刷它重点是练考场上的决策力。

最后疑问，点插法可巧算，但描述不一样，阵法也有细微差异，则昨天录制了这个绵阳二阵的十八题的则 三个。三个位相当于是三个位吗？第一位，第二位，第三位。三个位的解法后，后来评论区说择第三位，择就第二位的第二小位，他可以用择中点弦的点差法来做，的确可以降低比前面那种直接用两个弦律去算的方法要计算量小点。 那我们找这证明三点共线的时候，或者证明他是终点的时候。根据你前面的描述，如果描述不一样，我们后面的正法也有细微差异，具体在哪，我们来看一下题目。 第一个问，答案是不用写了，八分之 x 方加上二分之 y 方等于一。第二问，它说 q m， n 在 c 的 内部延长 a， q b， q 交于交， c 于 d， e 两点。我们先来看下中点弦怎么去做它 这是椭圆， 这是原来的 a b， 然平行过来，不管在哪， 比如这是 a b， 然延长， 然这交的是 d e， a q 和啊 a q， d 应该是 d 在 着 e 在 着 q 点。再找那中点弦，就是我们取它的中点，利用这个斜率，首先找取它的中点为 m， 这个中点为 n， 这种描述，就先取两个中点，我们可以用点插法的结论证明， k o m 乘以 k a b 等于，结论是椭圆是负 a 方分之 b 方， 对吧？所以大家就可以推出 k o m 等于二分之一，同利 可以推出 k o n 也等于二分之一，对吧？ k o， n 也等于二分之一。但我们现在不能直接说 a n q m 三点贡献，关键要证明它这种描述，证明呢，我们就要用一种方法，在下面就是这种描述，是正 m q n 三点贡献，三点贡献如果学学过竞赛的话，就要用 美女老师力定，力证明是最快的，只要竞赛方法美女老师力定，但我们用高中方法也可以证明这是这种描述，取两个中点证明三点弓弦。然后另外一种描述就是我们只要取一个中点，只要是思路一， 思路二就是取一个中点 m， 它说的是延长 m q 交 这个第一余点 n， 对 吧？下正就下正，这个是 n 为中点。这种描述呢，我们就可以直接利用这个相似三角形的心字就行了，所以这种正法咱就用相似三角形， 相似三角形，哎，刚刚这个说了，除了用美女老师定义，还可以用项链中项链中点公式，所以思路一，项链中点 公式来证明，所以描述不一样，选举的方法不一样。我们具体来操作了吗？来，一开始来写，这是前面的思路，下面就来开始写过程解， 设 a 点为 x e y e， b 点为 x r y r， 我 们先用思路 e， 对 吧？再去标个法 e 法 e， 然后这个 ab 中点为 m， 是 不是 ab 中点为 m 了？然后我们就开始来操作，所以咱有点插法，所以就得到八分之 八分之 x 一 的平方，加上二分之 y 一 的平方等于一，这是同样，八分之 x 二的平方加上二分之 y 一 的平方等于一。这个标一是这个二四 一四减二四就推出点差法的通了吗？设点，然后作差平方差公式化简，八分之 x 一 的平方减去八分之 x 二的平方啊，这个一卦就 加了，对吧？因为我们移过来还要减，然后再化减，就变成八分之 x 一 加上 x 二乘以 x 一 减 x 二，就等于二分之 y 二加上 y 一 乘以 y 二减去 y 一， 是不？ y 二减 y 一 啊，所以这才会出现一个符号，所以只要进步一拐，就得到八分之二，就是四负四分之一。负的四分之一就等于 y 一 加上 y 二除以 x 一 加 x 二，再乘以 y 一 减 y 二除以 x 一 减 x， 这就终点了，所以这就变成了 k o m 乘以 k， 这个是 l。 题目就是 k 了嘛，所以题目 k 等于二分之一，这就变成了 k 等于负二分之一就推出 k， o m 就 等于正的二分之一，对吧？同的， 我们现在可得 k o n 等于二分之一，所以现在是 o m n。 三点公线 是不是 o m a 三点公线啊？三点公线下面要证的是 q 点以公线。诶，这种方法怎么证明它公线呢？用向量来书写，锅干掉喽。哦，锅干掉我看一下哈，我就不要干 好不好意思，刚刚前面蒸饭啊，水放少了，锅干了再来提醒。好，我们现在是不是得到这个了？现下面的目标就只需要证明 q 点，这上面只要下正 q m n 三点共线，三点共线就可以推出三点共线，就可以推出 k o q 等于 k o q 就 等于二分之一 k o q 就是 题目，这个点是什么点？ n 除以 m 就 得到它的关系了，就推出 m 等于二 a， 这是我们的目标，所以先不要写它，这是最终的结论。怎么证明呢？我们就用向量来书写，因为我们现在是不是终点了，所以 m q m 向量 q m 向量是等于二分之一二分之一 q a 加 q b， q， a 加上二分之一 q b 向量好，因为相似，因为这个 m d， e 平行于 ab， 因为 d， e 平行于 ab， 所以 就得到。我们再相似， a， q 比上 q d 就 等于 b， q 比上 q e， b， q 比上 q e， 我 们设它为朗普达，所以咱进一步就可以推出 q a 了嘛， q， a 就 等于朗普达 q d。 但是向量的话，注意方向， q a 就 等于朗普达 d q 向量，所以就变成了二分之一朗普达 d， q 向量同样加上二分之一朗普达 q b 的 话，就是 eq 向量。 eq 向量，对吧？所以这个提出 number 来，就变成二分之一 d， q 加上二分之一 eq 又是向量。钟点公式反过来就可以变成了 number 乘以 d， q 加 e， q 就 变成了 o q 向量，所以就变成了朗普达乘以 o q 向量，对吧？哦，不是，这不是 o n q 向量。不好意思，这终点是 n n q 向量。 你看我们是不是就推出 q m 等于朗普达 n q 向量啊？这就贡献了，所以就得到 q m n o 贡献 就写结论了。所以 k o k o q 等于 k o m k o m 算出来是二分之一，就推出刚刚的结论嘛。 n 比 m 等于二分之一，是 m 比 n 还是 n 比 m？ 哈，对， n 比 m 等于二分之一，就得到 m 等于二 n， 这就是我们的 关系。你看这其实两种方法后面我们讲另外一种，都要用到这个相似。这是我们是描述两个中点，证明两个中点的 两个钟点和这个 a 就 相当于是梯形的对角线，交点是同一个点就行了。下面我们来看第二种，取一个钟点延长去描述他，所以我们在第二种的法 换个颜色，所以这是法啊，就是去啊， a b 终点 a， b 终点为 m， 是 不是 a， b 终点为 m 啊？我们要证明它。好，我们找就油箱四只 画个图在旁边，为了辅助，这是 a b， 这是 c， d 是不这样了，这是 q 点了嘛？取它的中点为 m， 延长它，然后交点，现在不是中点，我们是证明它是中点，我们看顺序写没有啊， a b， d， e 不是 c a b d， e 没有 c， d， 我 们这个题目没有 c a b， d， e 好， 我们这就是取 ab 中点为 m， 延长延长 m， q 交，这个是 d， e 余点，余点 n， 下面就是下正 n 是 中点，下正 n 是 d， e 中点。好，我们就来看有相似之是不就得到 a m b 上。在这个三角形中嘛， a m， b 上 n d 是 不就等于 a q 比上 q d 了，是吧？ a q 比上 q d。 而在大三角形中， a q 比 d 是 等于 b q 比一的，它也等于 b q 比上 q e。 而在这个小三角形中， b q 比上 q， e 又等于 b， m 比上是 e n， 所以 就推出 a m 比上 n， d 等于 b， m 比上 e n。 又因为 m 是 中点， a m 等于 b m， 所以 就推出 n， d 等于 e， n 是 不是 n， d 等于 e n 啊？所以这就得到 n 是 d e 总点后面就同样接上点插法的结论，所以而点插法得，这是我们有点插法的过程。推出 k k， 这个是 o， m 等于 k， o， n 是 等于二分之一的，然这是共线的话，所以这就得到 o m， n q 贡献四点贡献不只是三点了吗？所以就得到 k， o， q 就 等于二分之一。同样推出的结论， m 等于二， n 是 不是就解决了？所以你看这个，不管你选择一开始的描述不一样，只是具体正的用到相似的过程 有点不一样，一个是那么大写下去，一个直接证明他是总点。所以你看两种思路，一种是证明共三点，其实本质都是证明四点共线，所以这个题目就方法，就给大家讲到之前录制过方法一的。

下面咱们来看多选。先看第九题，将 f x 向左平行六分之派后，关于原点对称。那我们先把平行六分之派之后的嗯解一式写出来，或者说先把 f 算出来，左加右减， f x 加六分之派等于 sine， 二 x 加六分之派，再减去 sine 等于。 由于题目给定了斐的范围，并且他说平移后关于原点对称，所以这里的斐只能等于三分之派，对吧？那来吧。 a 选项 f x 最小正周期为二派，这个显然错误。最小正周期等于二派除以 omega， 也就是 t 应该等于二派，除以二等于派，所以 a 选项错误， b 选项 f x 最小值为负一，这个肯定是没有问题的， 因为 f x 前面并没有系数，对吧？最小值当然是负一。 c f i 等于三分之派，那我们刚刚算出来最后一个选项， f x 等于 f 三 x 三分之派减 x， 那 它的意思就是 f x 图像 关于 x 等于六分之派对称，这里我们只需要验证一下 f 六分之派，看一下是否等于最大值或者最小值即可。那么验证一下 f 六分之派应当等于三二乘以六分之派，再减去三分之派，应该等于零，并不等于最值，所以最后一个选项错误，因此答案选择 b c。 下面我们看第十题。 第十题说已知 f x 等于零， x 的 绝对值加上 a x， 则下列说法正确，那 a 选项显然错误，这个无论 x 怎么取，它肯定无论 a 怎么取，肯定不可能是偶函数，这个大家应该都能理解，我就不多说了。看一下 b 选项， 若 a 等于零， f x 一 等于 f x 二，则 x 一 x 二等于一，那我们看一下 b 选项，如果 a 等于零，那此时 f x 相当于就是平方 x 的 绝对值，那事实上它其实就是负的平方 x x 在 零到一之间，以及平方 x x 大 于一，对吧？ 我们都可以把它的图像画出来，它图像应该是这样的， 对吧？虚线部分就不要了。哎呀，好，那他说如果 f x 一 等于 f x 二，那我们画一道横线。显而易见， 我们假设 x 一 小于 x 二的话，那只能是 x 一 在零到一之间， x 二大于一，对吧？那也急什么呢？是不是负的 long x 一 要等于 long x 二，那这里简单变个形，就是 long x 一 加上 long x 二等于零，也即 long x 一 乘 x 二等于零，那我们都知道 long 一 等于零，所以这里显然可以推知 x 一 x 二等于一。 b 选项没问题， c 选项存在实数 a 使得 f x 为减函数，那我们还是一样把 f x 给它写成分段函数， long 负的 long x 加上 a x x 在 零到一之间，然后 long x 加上 a x x 大 于一。 分段函数在整个定域内都具有单调性，那是要验证一下它的分段点处的。这个题比较好的一点就是 f 一 它现在恰好等于 a， 换言之就是函数在这里是连续的，它就不会出现那种间断或者说跳跃的情况。因此，我们事实上只需要保证 f x 在 每一段上都单调递减即可， 这里我们就通过导数来求一下即可。那它导数我们可以把它写成分段，负 x 分 之一加上 a， 那 下面是 x 分 之一加 a 零到一大于一，那我们不难发现，当 a 小 于等于负一的时候， 这个导数是不是横负啊？那所以肯定是存在实数使得它是减函数的。 这里需要强调一点的是，并不是每个分段函数都只需要让它在对应的区间内递减就能满足其。这个题之所以可以这么做，是因为 f 一 等于 a， 它是连续的。换言之，就是说我画个图， 它不会出现类似这种图像。如果是这种图像的话，可能还需要再去判断一下在分段点处的大小关系，但这个题不存在这个问题，这个题它是连续的，所以我们可以直接这样做就 ok。 最后一个选项，当 a 等于负一分之一时， f x 有 两个零点，那我再把那个刚才的图再大致画一下。 当 a 等于负一分之一时，那事实上就是 long x 的 绝对值等于一分之一 x， 就是 说 long x 绝对值的图像和一分之一 x 的 图像是不是有两个交点？那我们看一下，先把 long x 图像画一下， 这是一好这个样子，而我们知道一分之一 x， 你 不管怎么画， 他跟这这部分是肯定要有一个焦点的，对吧？我重新再画一下， 就是说他跟这部分是肯定要有一个焦点的，问题就在于他跟另外这边是否有一个焦点，还是没有焦点，或者说有两个焦点，这是我们应该如何处理呢？事实上，如果你能记得一个最基本的结论，就是 f x 等于 long x 过圆点 的切线，那事实上就是 y 等于一分之一 x， 也就是说，事实上这个 y 等于一分之一 x 跟 long x 它是相切的，并且这个切点作切点可以很容易算出来，它的横坐标就是 e。 那如果你能知道这个结论，那这个选项显然是正确的，没有任何问题。那如果你这个结论忘记了，或者说你就是没记住，那也没问题。来，根据咱们这个图，很明显第一个零点是一定存在的，而它的关键就在于是否有第二个零点，这时候你可以令 g x 等于 long x 减去一分之一 x。 这里要注意为什么可以把绝对值去掉，因为我说过， 左边这第一个零点它是一定存在的，只可能考虑右边的情况，而右边相当于绝对值就已经不存在了。那此时我们导一下， x 分 之一减一分之一，那这应该很明显，对吧？它等于零。 后面的步骤我就不写了，到这其实就很明确了， g x 一定在 x 等于 e 处是一个零点，并且是唯一的零点，所以这道题也是这个选项，也是正确的答案。选择 bc 大。 接下来咱们来看十一题。十一题我认为是一道出的非常好的题目，题目我就不念了啊，大家自己看一下这个题，我觉得最为关键的就是大家能不能正确的把图画好，能画出图来。这个题我觉得不说做完吧，基本也就差不多了。 那我们看一下选项 a， 选项 a f 二等于四 a。 那 我们再再回过头看一下题啊，左右焦点这些就不说了，这个方程它很明显 半径是二 a， 对 吧？那所以我画的图 a f 一 红色这部分，它的长度当然就是二 a， 那 af 二作为双距线的定义， af 二减 af 一， 它当然要等于二， af 一 就等于二 a， 那 所以 af 二肯定就等于四 a， 这是没有问题的。 再来看 b 选项， af 一 三点共线，这个怎么判断呢？那我们就要看到它说的一个垂直平分线， 我图我的这个图中蓝色的线段 a b 和 b f 二是不是显然相等啊？因为中垂线，所以 b a 显然是等于 b f 二的， 然后点 b 也是在双曲线上的，所以 b f 一 减去 b f 二，它必须要满足双曲线的定义，也就是二 a， 而 ab 又等于 b f 二，所以这个式子实质上就是 b f 一 减去 ab， 它要等于二 a， 而这个二 a， 它恰好 af 一， 是不是又等于二 a 啊？而 af 一， 它恰好又等于二 a， 那 我们想想，如果这三个点不共线，那是不必然就可以构成三角形啊。既然不共线构成三角形，根据三角形任意两边之差大于第三边，那是不是就不可能减出一个二 a 来？ 那因此它们三个是不能构成三角形的，那也就得三点共线，所以 b 选项正确， c 选项咱们等会再看。我觉得这个题 c 选项在考场上可能并不是特别好，想我们先看一下最后一个选项，大选项反而还要好做一些。 他说 s 等于四倍，根号三 a 方，那我们看一下 s 是 啥？三角形？ a b f 二。哦，那就是这两条蓝色的和紫色的线组成的三角形，它的面积是四倍，根号三 a， 则它是渐近线， 那是不是其实也就说明了间接线应该是 y 等于正负根号六 x， 也就间接说明了 e 应该等于根号下 e 加上 a 方分之 b 方，也就是根号七。 那所以事实上这个最后一个选项就让你判断离心率到底是不是根号七，那我们来研究一下。 首先这个 s 等于四倍，根号三 a 方，而我们非常清楚的知道， a f 二应该是等于四 a 的， 而这又是钟垂线，我们假设 a f 二的终点是 m， 既然是钟垂线，那所以这个 m f 二，它应该等于 am， 等于二 a， 那 我们表表达一下， s s 应当等于二分之一乘以 a f 二，再乘以 b m 等于 a f 二的四 a， 所以 相当于是二 a 乘以 b m， 要等于四倍，根号三 a 方。那我们此时可以解出 b m 应该等于二倍，根号三 a。 咱们将这个结果写一下，二倍，根号三 a， 这里是二 a， 然后又是垂直，那不难。根据勾股定律算出 b f 二，此时应该等于四 a， 那 相应的 b a 也等于四 a， 也就是说 abf 二，它其实此时是一个等边三角形，对吧？ 好了，接下来要算离心率，这个模型其实就比较清楚了，如果要是不清楚的同学，可以看一下我之前讲过的一个视频，关于如何求离心率的。实际上这个题方法也有很多，咱们就用其中一个吧。使用双域线定律，比如说对角 b f 一 f 二，咱们使用两次余弦定律，一个是在三角形 b f 一 f 二中，还有一个在三角形 a f 一 f 二中。那我们先在大三角形使用 cosine 角 b f 一 f 二应该等于 六 a 的 平方，加上二 c 的 平方，再减去四 a 的 平方，除以二乘以六 a， 再乘以二 c， 那 这里简单化简一下，应该是 二十四 a c 分 之上面是三十六 a 方，减十六 a 方，就是二十 a 方加上四 c 方。好，这是在大三角形中，那我们再在三角形 a f 一 f 二中使用域线定律， 此时他应该等于。这我就不不打括号，直接算了。四 a 方加上四 c 方，减去十六 a 方，除以二倍的二 a， 再乘以二 c， 那 简单化简一下，应该是八 a c 分 之 四 c 方减十二 a 方，那它们俩相等，对吧？它们俩相等，咱们直接令它们俩相等来化解一下。二十 a 方加四 c 方，比上二十四 a， c 等于八 a c 分 之 减十二 a 方，两边把 a、 c 削掉，然后再把八和二十四约的一个三乘到右边去，也即二十 a 方加四 c 方等于十二 c 方，减三十六 a 方。 那简单计算一下，五十六 a 方等于八 c 方， c 方除以 a 方，应该等于 五十六除以八等于七。那我们知道 c 方比 a 方就是 e 方，那既然 e 方等于七， e 自然等于根号七。 根据咱们上面分析的， e 等于根号七是符合题意的，所以这道题最后一个选项也是正确的。那事实上，做到这，我们直接选答案就可以了，所以我建议咱们还是使用排除法来做要好一点。 当然，这里你把最后一个选项算出来，我们也可以反过去验证一下这个 c 选项它为啥是错误的来， c 选项说的是，我把这里清一下啊， c 选项说的是 f 一 和 f 二到这条直线到直线 l 就是 这条直线，它的距离之积 应当为二 b 方。那我们看啊，我们假设这做一垂直，这也是垂直，这个点叫做 m， 这个点叫做，比如说叫大。好了， 那我们看啊，这个 f 二 m， 它显然就已经是距离了，它就是二 a， 对 吧？而 f 一 d 或说 f 一 大是 f 一 到 l 的 距离，那事实上你要求的就是 f 一 大乘以二 a， 它到底等于个啥？此时我们来看啊， 由于它是 f 一 大和 f 二 m 都是垂直于 l 的， 并且这两个角是不是相等的呀？角一跟角二显然相等，所以我们可以考虑使用一下相似三角形 b f 二 m 显然是相似于三角形 b 大 f 一 的油箱四，我们可以得到对应边乘比例，那也即 f 一 m 比上 f 一， 这样我换个换个方向， f 一 比上 f 二 m 应该等于 b f 一 比上 b f 二。 那根据这个我们还能得到啥呢？再进一步推断，大 f 一 就是你要求的，然后 f 二 m 现在它等于二 a， 对 吧？ b f 一 不知道， b f 二也不知道。但是没事，我暂且把它们俩的关系先写一下，因为我知道 b f 一 肯定等于二 a 加上 b f 二，然后再除以 b f 二。好， 此时我们看你要求的就是 f 一 d 乘以二 a， 而你这里现在有一个 d f 一 除以二 a， 所以 我不妨两边同乘以二 a， 再乘以二 a， 就是 我两边同乘个四 a 方。此时右边我们稍微化简一下，可以写成 b f 二分之二 a 加上一，然后再乘以四 a 方。那左边是不是事实上就是你要求的这个东西啊？ 那我们现在看一下，右边是个啥？右边 a 就是 a， 这个不说了，那么这个 b f 二究竟该怎么处理呢？ 这个最后一个选项。最后一个选项不是给定你一种特殊情况吗？咱们就用一下这个特殊情况来验证一下，在 d 选项当中， b f 二是不是应该等于二 a 啊？所以咱们就把这个二 a 给它带进来。 假设啊， sorry， b f 二应该等于四 a 啊，咱们就把这个四 a 给带进来，那这里应该就是二 a 比上四 a 加一再乘以四 a 方，那二 a 比四 a 当然等于二分之一，二分之一加一，二分之三，二分之三再乘以四是不等于六 a 方， 而它选项说的是二 b 方。这里要注意啊，六 a 方并不一定就不等于二 b 方，具体来说要看离心率。那么在 d 选项就是，当这个 b f 二等于四 a， 这种情况下，我们算出来 e 是 不是应该等于呃，根号七啊？ 那也就是说，我们再往上看一下，相当于此时的 a 方分之 b 方，应该是等于六的，对吧？ 此时的 a 方分之 b 方等于六，那也即 b 方等于六 a 方，换言之，这里的这个六 a 方事实上是等于 b 方的，而选项中他说是二 b 方，并不是我们计算的 b 方，所以这个答案就是错误的。 总的来说，这道题我觉得在考场上，嗯，主要还是能不能把图画出来。不过就算不太会画图的话， a 选项根据定义应该是一个比较简单的选项，画出图来的话， b 选项应该也比较显而易见。最后一个选项双域线定理也并不算太夸张的解法就是，这个 c 选项可能 直接算，并不是特别好算。但是呢，我们 a、 b、 d 选项是比较好算的，所以总的来说也还好。

二六届绵阳二卷的压轴，这个是 b 卷的压轴题哈，因为绵阳二卷分 a、 b 两卷， a 卷是针对本地的考生， b 卷是针对外地考生。呃，也称作这个原三维。我觉得 b 卷这个难度系数其实也是蛮大的。我们进来看一下，因为同学跟我提到说写函数题写多了，写那个圆锥曲线写多了，一看立体几何，有点懵， 我们先来看一下哈。先读题，如图，一直三棱锥 a、 b、 c， 然后 d、 e、 f 的 底面是边长为二的一个等边三角形，且 a、 d 是 等于四的，然后图二所是一个多面体。多面体是怎么来的？是把这个 d、 e、 f 的 平面绕其中心，逆时针旋转六十度。怎么回事？我们来画一下哈。 就是一个这样的一个等边三角形，它本来是这个 a、 b、 c 的， 然后它的中心是什么？中心其实就是做垂线，然后这里连接这个点，就是它的中心。我们设为 o 嘛，这个 o、 a 是 等于 o， b 是 等于这个 o、 c 的。 那这个是怎么旋转呢？是不是就是旋转到 我用另一个颜色哈，绿色吧，就成这个样子，中心还是不变的。所以说 o a 等于 o， b 等于 o， c 是 等于多少？因为 bc 是 等于二的。那我们的 o 这个设为 o、 h 嘛， o、 h 是 不是等于 一？除以根号三，那就是三分之根号三，那 o、 b 是 不是 o、 a 就 等于三分之二倍根号三啊？那 o、 h 又等于 这个我们设为 b、 e 吧，然后就是 a， e 就是 c、 e、 o、 h 是 不等于这个 b、 o， 因为它是一定是在一条线上的，这里 b、 o 就是 三分之根号二倍根号三。减去三分之根号三，那 b、 e、 h 是 不是也知道了？好，我们先放在这里，然后往下继续读，就重新连接，就得到了这个对应题。然后先看第一小问，第一小问，正什么 正？四点共面，一般来说，我们立体几何是怎么正？四点共面是不是从这个线线平行要正到他的一个四点共面？在这道题中，老师推荐大家我们来一起复习一下，用向量法来正他的四点共面怎么正？如果是用向量法的话，是不是一个平面内有四个点， o、 a、 b、 c 有 四个点，如何来证明啊？是不是这个 o、 b 是 可以表示我们的 x、 o、 a， 加上我们的 y、 o、 c 能这样表示，就说明这个 o、 a、 b、 c 一定在 一个平面内。我们来画一下，那我们要如何用向量法证明这个 a、 e、 b、 c、 c 在 四个四个点在一个平面内是不是同样的表达式呢？涉及到什么建作表怎么来建呢？老师直接使用的就这个 b、 c 为 x 轴，那这个 b、 e 肯定是它的一个 z 九了，是不是？而 y 九呢？是在这个方向上，但如果说在我们这样刚才画的，嗯，这里如果用这个图来表示它的一个 y 九是怎么样的？用这个来表示哈，线是它的一个 x 轴， y 九是在 这个线上的，就是 y 轴，那就就可以更好来表示它的一个点坐标，我们来试一下哈。首先我们的 b 点是不是最好表示的？它就是零到零到零，对不对？那同样在一个平面内，我们先把 a、 b、 c 表示出来，那 a 点呢？ a 点是不是就是首先 x 九？看我们的这个，呃，荧光率的一个部分哈，它是不就是 e 到 根号三逗零啊？那 c 点坐标是不是有了？就是我们的二逗零逗零。好，我们来看一下这个 b 一 a 一 c 一 的坐标是怎么表示的？首先还是 b 一 b 一 坐标是不是就到了这个地方？怎么办？是不是就是首先是一一逗，刚才是不是已经算出来就是 负三分之根号三啊？而它的一个 a d 是 四，所以它的一个 z 的 一个坐标就是四。好，我们来看一下 a、 e、 a 的 表达是不是异曲同工啊？它的 x 就是 零，而刚才算的是三分之二倍根号三到四 c 点坐标呢？二到 还是三分之二倍根号三等四啊？四个点的坐标都已经出来了，那我们可以证明他的一个四点共变了，可以以什么为他的一个公共点？是不是 b 点原点最好算啊？那我们来看一下哈，那就是我们的 a、 e， b 是等于多少？是等于我们的 a， e 直接是零逗三倍，根号三逗四，而我们的和为 a e， b， 能否表示出一个 x， c， b 加上我们的 y， c， e、 b 的 情况啊？看一下嘛，首先 c 是 不是直接是二 x 啊？而 y y， c， e 直接是二 y， 然后逗我们的 x 后面都是零，那只有 y 的 事情呢？就是三分之二倍，根号三倍 y， 逗上我们的四 y 怎么办？ y 是 可以等于一的呀，因为 y 等于一的时候，它才是相等的，而 x 能不能取到值，是不是可以的呀？当 x 等于负一的时候，它是满足这个表达式的，就是我们的这样一个式子， a e， b 等于 x， c， b 加上 y， c， e， b 是 成立的，说明 即正得我们的 a， e， b， c， c， e 四点共面， 用向量法是如此正的，大家再熟悉一下哈。嗯，然后我们来看第二题，第二题是求这个多面体的体积怎么办？有同学也是卡在这里了。第二题说，老师，我不知道用红笔来标注一下多面体的体积， 他的 v 要怎么修？是不是只有两个方法，一个是补成一个，比如说一个正方体，或者补成一个棱柱，再切割他多余的部分。第二个是直接切割。那这道题怎么用？ 直接用切割法为什么和我们的第一小问要联动啊？第一小问告诉你，什么 a， e， b， c， c 是 共面的，它是一个我们既可以求到 c， e， a 垂直于我们的 y、 o， z 这样一个平面的，它是一个矩形。 我们首先来看一下哈，首先 a， e， b， c， c， e 是 矩形，其次呢，其次我们的侧面，我们可以观察一下它侧面是什么， 是不是横为三角形啊？而他的顶点是不是只有一个顶点，要么是我们的 b， e， 要么是我们的 a 呀？如果说从第一小问，这个 a， e， b， c， c， e 来切割，是不是可以完美的切割成两个 轮锥呀？而轮锥的体积公式我们是不是知道是三分之一 s， d 再乘以它的搞 s， d 是 不是知道，因为 a， b， c， c 它一个矩形直接是这个二乘以一个，我们一会算一下这个值是不就是点 到平面的距离？这个公式记不记得非常关键，考的就是这个公式啊，我们换个颜色写清楚一点哈，点到距离的公式是什么？是不是 d 等于我们的任意，比如说任意一个 o 吧，那就是 o o b 向量乘以它的一个法向量，再除以它法向量的一个模。啊，好，那我们来算一下，是不是就求这个平面四面矩形平面的一个法向量就可以了？令平面 a e b c c e 法向量是 m 吧，它是 x e y e z e 怎么办？首先我们还是以 b 吧，就是 a e b 乘以 m 是 等于零的，然后 c b 乘以 m 也是等于零的。好，我们首先是 a 一 哈 a 一 是零逗三分之二倍，根号三逗四，那就是三三分之 二倍，根号三逗乘以 y 一， 加上四倍的 z 一 等于零。然后是我们的 c， c 是 二逗零逗零就是二 x 等于零，可以得出我们的 m 的 一个法向量了，是不是零逗负二倍，根号三逗 一。同样，我们知道 m 的 一个法向量，我们是不是只用知道我们的任意点还是肯定取 b 的， 因为它是圆点，就是这个。嗯， b b 一 和这个 b a 怎么求？那是不是就是我们的 b e b 向量乘以我们的法向量，再除以我们的一个模长，然后法向量的模长，然后再乘以我们的就是就是 a a b 大 小向量乘以我们的 m 向量，除以我们的大小的周长，直接代入计算就可以了，对不对？首先是 b 一， b 一 是一的，那就是零，加上负三分之根号三倍的乘以二倍根号三，然后再加上 这里是四的绝对值，这里是负负的正的哈。要再除以我们的周长是根号十三等于我们的 a a 点坐标是一逗根号三一逗根号三的话，就是相当于就是根号二倍根号三乘以根号三的绝对值，除以根号十三，这里算出来，其实上面算出来是 约掉了三就是六六除以根号十三，下面其实也是六，除以根号十三。 好，我们来算一下它的一个底面积哈， s 底等于多少？首先我们的 a 一 是不是就是 a c e 啊？ a c e 乘以我们的 a b， a c 是 等于我们的二的，而 a e b 呢？ a e b 是 不是直接是我们的 a e 呀？ a e 就是 三分之二倍，根号三 就是根号下三分之四，加上十六，对不对？那等于我们的三分之三乘以十六，四十八加四五十二就是二倍，根号下三分之五十二。那它的体积呢？ 好，我们最后来算一下它这个体积哈是多少啊？是不是就三分之一乘以它的底面就是二，乘以根号下三分之五十二，然后再乘以都同意乘以它同一个数，是不是他们俩相加，就是根号是三分之十二，我们来约一下。首先这个，嗯，三可以和这个约了，是 四，然后这个五十二是可以表示成五多少十三乘以四的呀，所以这个根号十三可以约掉和它，它整体上面就变成了一个二，那所以整体下去就是 二得四十六。除以下面还有个根号三，整体就是三分之十六倍根号三，这个多面的题的体积就已经算出来了。好，我们来看这道题弱点， p 是 在这个棱的 b b e 上， 在棱这个上，那这个 p 是 不可以表示出来啊？ p 是 可以直接表示多少，是不是就和这个 b 有 关？就是 t 乘以我们的负根号根号三 t， 然后再逗四 t， p 是 属于零逗一的，为什么？因为 b 是 原点啊，最好表示的。 再往下读，求 a p 和这个平面 a， e， b， c 所成角的正弦值。好观察一下， a e， b c 和这个 a e， b c， c e 是 什么关系啊？这个 a e， b c 就是 这个 a e， b b c， c e 啊。所以说 a e， b c 它的一个法向量是什么？ 就是刚才求到的 m， 要明白这点，不然你还要重复计算，那我们先来写一下哈。嗯，第三题，因为平面，我们刚才 a， e， b c 是 属于平面 a e， b c c e， 所以 a e， b c 平面法向量 为 m， 就是 刚才求到的零度负二倍根号三。逗一，让我们求什么？ ap 和这个法向量 ap 和这个平面的角的正弦值。首先先把 ap 表示出来嘛， ap 多少？ p 已经表示出来了，那 a 呢？ a 是 一逗，根号三，那就是 t 减一逗，这个刚才是负根号三倍 t 减去根号三。逗四， t， a p 表示出来了，法向量也有了正。先用什么？很多同学直接用的是这个 cosine 哈， cosine， 然后再用这个 e 减 cosine 的 平方的根号，麻烦了。同学们这个时候考的是对公式的应用程度，掌握程度的熟悉，这里考的是我们的 sine， sine 它是等于我们的 cosine， 绝对只是等于我们的 a p 乘以 m 再除以 a p 的 模长，再除以法向量的模长呀， 我们来看一下哈，还差哪些值？我们来计算哪些值。首先，法向量有了呢？法向量的模差是不是根号十三啊？第二题，这些也算过，那重点是不是就是这个 a p 的 模差，因为它看起来比较复杂，我们先平方吧，是不就等于 t 方减去二， t 加上一， 然后再加上，这下面是不是可以提个负三分之根号三出来？因为有平方，所以直接是三分之一，再乘以中间是不是 t 加上三就是 t 方加上六， t 加上九，再加上十六 t 方，是等于？我们来看一下，这个 t 和这个十六 t 现在可以提在一起，这里还有个三分之一 t， 那就是十七 t 方加上三分之一 t 方，然后这是减二 t， 这是不是有加二 t 直接抵消掉了，那只有一个加四了，就变成了我们的三分之 五十五，十二 t 方加上四，这就是我们的三分之五十二 t 方加上十二，对不对？那直接代入这个扩散是多少？往后继续算，用绿色笔吧， 是不是直接是我们的一个？因为 t 乘零就是零，那就是再乘一个负二倍根号三，那就是二加上，然后再加上四 t 就是 二 t 绝对值除以下面就是刚才求到的，就是根号下 三分之五十二倍 t 方加十二，然后再乘以根号十三。下一步呢，是不是就是把常数先提出来？分子上的常数是六啊？ 六 t 加一的绝对值，其实可以把绝对值直接拆解，为什么？因为 t 是 属于零到一的，而下面呢，是不是可以提一个三分之十三出来啊？根号下三分之三，要里面就是根号下五十二倍， t 方加上十二了。到这一步我们要求 sine theta 的 最大值，是不是就是要求这个？ 我们用这个画一下哈，它和它的一个最大值啊？怎么办？令我们的 g t 是 等于多少要平方？因为我们的根号不好算啊，这个平方就是五十二倍 t 方加上十二，下一步呢？运用到我们的导函数啊，它是一个五十二倍 t 方加十二分之，直接上面求导就是二倍 t 加一，然后再减去多少？下面如果求导的话，首先加要变减，然后下面是有一个 平方，因为是负二啊，然后上面就是 t 加一不变方，再乘以一个，它求导中间的东西，求导就是幺零四 t 整体就变成了五十二倍 t 方加上十二分之， 下面需要平方，然后就是二 t 加一乘以五十二倍 t 方加上十二，然后再减去 t 加一的平方乘以幺零四 t 是 不是可以提一个出来？五十二 t 方加上， 嗯，十二的平方分之，是不是提一个二乘以 t 加一出来就是五十二倍的 t 方加上十二，再减去 提了个 t 加又提了个二，是不是只有一个减去五十二倍的 t 方减去五十二 t 啊？那整体是变成多少？是不是五十二倍的 t 方加上十二分之二，其实这里是不是可以提一个负二出来？负二 t 加一就是五十二倍的 t 减去十二， 它 t 是 属于零逗一的，而它整体是一个一元次函数，这里是负一，而这里是 负二十。五十二分之十二，看到了吗？所以他在零到五十二分之十二的时候整体是单增的，而五十二分之十二的时候是单减的，所以最大值就是在 t 等于五十二分之十二，是取到，是不是 好的来了最后一步了，好到这一步之后我们怎么办呀？ t 是 不是还可以再约个四啊？其实 t 等于十三分之三的时候，取的最大值是不是有了呀？就是我们的 六乘以十三分之十六，再除以根号三分之十三乘以，这里下面有一个相当于十三的平方，分之三个平方就九九乘以五十二，然后再加上十二乘以十三的平方，对不对？可以约掉吗？可以啊，这里一个根号十三，是不是可以约掉啊？ 然后这里约一个十三，就这个平方约了，然后这里是刚才是不是有一个十三乘以四是等于五十二，所以这里就是四，那整体就变成了一个 六乘以十六除以十三，再除以根号三分之一，然后再乘以，下面已经全约掉了，上面就变成了一个三十六，加上十二乘以十三。 看到了吗？我再来看一下能不能更简易的算，这里是不是十二乘以十六，然后再开根，是不是？那直接可以变成了六乘以十三分之十六，再除以根号三分之一再乘以。是不是就是提一个这个十六出来就四倍根号十二，再提一个二四出来就是 八倍根号三啊？这里直接可以约掉，那下面就变成了一个十三分之乘以八，然后再乘以六乘以十六， 然后这里直接约掉这是二，所以就变成了十三分之十二。那答案就是，当我们的 t 是 代表什么？是，就是我们的 b p 除以我们的 bb 一， 那 b p 除以 bb 等于三比十三的时候，那整体是不就是 p 在 b p 比上 p， b e 等于三比十的时候啊？对，当 b p 比上 p b e 等于三比十时，我们的 sine c 它取最大值为 十三分之十二，这道题我们就完全做出来了，我们回顾一下考点是不是比较多呀？第一道题，如果你用几何法算，其实也非常快，但如果用向量法，其实比较和后面的接轨，能节约你的时间 呃，而且也可以复习一下向量法，在这里也跟大家讲一下嘛。第二题，求体积的时候一定要想到要么是补极，要么是切割，最好和第一小问联动，这样你就可以完美的得到两个轮锥，你更好算。这里还有个隐藏考点，就是这个 d， 这个 d 的 这个公式啊，一定要记牢，不记牢的话你这道题做不出来，或者没有那么快的做出来。到我们第三问 这个塞塞，他的公式也要记住了，如果用扩塞算，你又绕了一大圈，本来这个计算其实就很复杂，一直到这个最后塞最大值的一个取值的时候，他计算也很复杂，如果再把这个公式再绕多了之后很难出结果， 那这道题大家已经明白他的一个思路了，下来再自己好好计算一下，多练多练。那今天我们就讲到这里哦，如果还有问题，记得留言，老师会进行回复的，我们下次再见。

同学们大家好，我们来看一道刚考完的二零二六届绵阳二诊单选第八题。这是一道考察抛物线与圆中国的题目，整体难度不大啊，非常简单啊，我们来看一下。首先第一步我们画出啊图像， p 点为抛物线上的一点，然后 pa 垂直，准线，直线 p b 与圆 c 相切，圆心是四勾零， pa 满足 pa 等于 pb， 好叫我们求 p 点的很坐标好，我们看怎么来做啊。既然 pa 等于 pd 啊，这是我们唯一的条件。 pa 等于 pd， 那 pa 怎么来？表示 pa 的 话就是 p 点到准线的距离就等于 p 点到焦点的距离就是焦半径。那么我们设出 p 点的坐标为 横坐标 x 零，重坐标为 y 零，对吧？那么 p f 就是 横坐标 x 零，加二分之 p， 那 就是加一个 e 好， p f 我 们表示出来，然后再来表示 p b， 因为 p b 与圆是相切，所以我们要连接圆心和切点啊，连接 b c， 这里是垂直，然后再连接 p c。 那 么通过勾股定律啊，咱们可以得出， p b 等于根号下 p c 的 平方减去半径平方， 所以等于根号下 p c 方，就是 x 零减四，括号的平方 加 y 零减零，平方减去半径的平方。这个题的半径是一，所以减为一啊。因为 pa 等于 pd， 所以 x 零加一，就等于根号下 x 零减四括号的平方加 y 零方，就等于四倍 x 零，再减一个一，因为这个 p 点啊，在抛物线的上面，那么 y 零的平方就等于四倍 x 零， 所以两边同时平方 x 零加一，括号的平方等于 x 零减四括号的平方加四倍， x 零减一，所以 x 零加二， x 零加一，就等于 x 零的平方减四倍， x 零加十五，所以六， x 零等于四，所以 x 零等于三分之七。因此这题答案选 b。

同学们，大家好，我们来看一道刚考完的二零二六届绵阳二诊多选第十题，这是一道考察函数性质与零点的题目， 整体难度不是很大，但是需要同学们对基础知识要比较扎实才可以啊。嗯，好，我们来看 a 选项， 它说这个函数是偶函数，那么显然这里面有 non x 有 对数，对吧？这个 x 到大于零才有意义。那么定域域不关于原点对称，它就不具有基性，嗯，所以这个 a 应该是错的啊。 f x 不 具有基性。 b 选项 a 等于零时，函数 f x 就 等于绝对值零 x， 那 么它的图像我们给它画一下， 我们先画里面这个零 x， 那 么对函数偏绝对值啊， x 则上方不动，把 x 下方翻折到 x 上方， 所以图像画出来，我们长这个样子。然后 f x 一 等于 f x 二，我们画一条水平线，这个焦点横坐标 x 一， 这个焦点横坐标 x 二，所以 f x 一 等于 f x 二的啊，那么代进去， f x 一 就是绝对值小于 x 等于绝对值小于 x 二，因为 x 一 属于零到一之间，所以小于 x 一 是个负数，因此就是负的。小于 x 一 等于 x 二大于一，所以小于 x 二大于零。大于零的绝对值等于本身小于 x 二，因此小于 x 一 乘以 x 二等于零， 所以 x 一 乘以 x 二等于七。好，这个 b 选项啊，说明是对的啊！好，我们再来看 c 选项，存在 a， 使得函数为减函数，对吧？是整个函数为减函数。 好，那么这个 c 选项的话，嗯，我们就分分段进行讨论啊。嗯，因为里面有绝对值，所以我们想办法去掉绝对值。当 x 属于零到一时， 函数 f x 就 等于负的零， x 加 a x， 是 吧？因为是要使得函数为减函数，我们这个函数给它求个导函数，就该等于 x 分 之负一加 a 就该小于等于零。嗯，在 x 属于零到一横乘以啊，所以 a 就 小于 x 分 之一，在 x 属于零到一横乘以，那么 a 就 该小于等于它的最小值，那么 x 分 之一在 零到一些呢？是个减函数，所以 x 分 之一就该是属于一到三位数，对吧？把一带进来是最小的，一分之一等于一是最小。嗯，好，所以这个 a 就 该小于等于七。那么当 x 属于一到整数时，嗯， f x 就 等于什么呢？ 就等于零 x 加 a x， 所以， 那么导函数就等于 x 分 之一加 a， 因为整整个函数要是减函数啊，那么一到正无穷也是个减函数。在 x 属于一到正无穷要横成立，所以 a 就 该小于负 x 分 之一，对 x 属于一到正无穷横成立，那么 a 的 话还是要小也要小等于最小值 负 x 分 之一在一到这个数，它是个整数，所以负 x 分 之一在一，这里就开始最小值负一到零，对吧？所以 a 就 该小于负一，对吧？好， 前面是 a 小 等于一，这里是 a 小 零负一，那么两个条件都要满足啊。他说函数是减函数，那么负零到一要减一到正无穷也也得是减，所以 两者去交集，这个 a 就 应该是小零负一。 ok， 因此 c 选项它是正确的啊，是存在 a， 且 a 的 范围是 a 小 于负一，使得函数为减数。好， d 选项， 这个 d 选项。当 a 等于负一分之一时，函数有两个零点啊，我们就带进去 f x 等于绝对值零 x 减 e 分 之 x， 它有，对吧？问题是它有多少个零点啊，就令函数等于零，那么就等价于这个方程 绝对值等于一分之 x。 哇，这两个函数图像啊，左右两个函数图像有几个焦点，所以我们要画函数图像，画出函数图像， 好，这里是绝对值的零 x， 那 e 分 之 x 是 过圆点的子线，那么问题是过圆点这个子线，它与这个对数啊，绝对值零 x 是 相切，那还是这样子相交 啊，所以我们这里需要去判断一下啊，需要去判断一下啊，才能够画出来，才能准确的画出来 是不是相切。我们在这个对数函数图像上啊，任取一个点啊，在 x 大 于一的时候，任取一个点，横坐标叫 x 零，重坐标，我们就叫 n x 零，对吧？好， 那么我们在这个点处求切线方程，那么求切线方程，我们先求出什么呢？先求出切线的斜率啊，切线的斜率，那么 no x 求的导数就等于 x 分 之一，所以斜率就是 x 零分之一，因此切线方程就是 y 减去。嗯， log x 零等于斜率的话，就是 x 零分之一乘以 x 减 x， 对 吧？所以什么呢？在 x 零处啊，切线，切线方程，对吧？切线方程又因为什么呢？ 我们这个题啊，这个直线过圆点的这个直线啊，它的斜率要求是一分之一，所以我们立 x 零分之一等于一分之一，因此减去 x 零等于一， 所以我们带进去的话，就是 y 减一等于一分之一乘以 x 减一，所以化简出来正好是 y 等于一分之 x 减一，所以化简出来正好是什么呀？过圆点的直线 y 等于 e 分 之 x， 正好跟这个对数函数啊，是相切的啊。没问题，正值在这里相切，因此一共是两个焦点，就是两个零点，所以这个 d 也是对的啊。所以这个题答案我们选 b c d。

接下来十四题，下图所示装置可以用于具备过二硫酸氨，向 a、 b 两式各加入一百毫升溶液。经确定，当装置工作五分钟时，除了制得一定量的过二硫酸根，还在 b 的 电极表面收集到了一部分的气体，给了我们电解效率。 电解效率指的是生成 b 所用的电子比上通过电极的总的电子数。那我们来分析一下，既然你想制的是过二硫酸氨， 那肯定是在这一侧治的，对吧？那在这里面它应该是硫酸跟失电子，失俩电子变成过二硫酸跟，因为在这里面有过氧键， 对不？所以说它应该是两个负二价的氧变成了两个负一价的氧， 所以失两电子。除此之外，失电子还会涉及到能够生成氢气的氧气和氢离子，所以右侧应该是阳极、正极、负极、阴极，阴极性阳离子应该是氢离子得电子变氢器。好 膜是阴膜，只允许阴离子通过，所以硫酸根可以诱引去补充你所需要的硫酸根。行吧，咱们看选项， a 选项 a 电极的电极反应肯定错了，氢离子得电子变氢器。 b 选项工作一段时间后， ab 两室溶液的浓度均不变。最简单的是 a， 为啥氢离子得电子变氢器，氢气跑了， 硫酸根，当你转移俩电子的时候，会过去一摩尔的硫酸根，硫酸根走了，所以浓度怎么样？ a 的 浓度肯定是降低的， b 的 浓度你看你讨论谁？同学，如果你讨论的是硫酸氨溶液的话，他的浓度也是在降的， 氨根没变，但是硫酸根变了。我为什么这么说啊？现在我假设每转移两摩尔的电子，我生成了一摩尔的过二硫酸根，但是我的硫酸根减少了两摩尔，有问题没？ 你是转移俩电子的时候，你过来几沫硫酸根？过来的是一沫硫酸根，你消耗俩过来一个硫酸根，是不是减少了？当然我们要考虑到这个位置， 他也会有转移电子，因为当他消耗七十五的时候，他就消耗二十五转移电子数啊，这不转移电子数在这摆着呢吗？ 总电子和他所用的电子对不？假设那其实百分之七十五就是三比一的关系，这个没啥问题。所以当我转移两摩尔电子的时候，他转移的是三分之二摩尔，三分之二摩尔电子。我问你过来的可能是一摩尔硫酸根吗？不可能，所以硫酸根是减少的， 能看懂不？哎，所以说你看你讨论谁，但是 a 肯定是减少的，所以 b 选项不对， c 选项 a 式与 b 式收集到的气体的物量之比为多少？现在我知道。知道什么？知道收集到了多少气体， 哎，这个我是知道的，对吧？如果说我收集到的是三乘以十的负四次方摩尔的氧气的话，一摩尔氧气转移四摩尔电子，所以我知道应该是十二乘以十的负四次方摩尔的电子， 这个是谁？这个是氧气的转移电子。氧气转移电子占总转移电子的多少？四分之一，他四分之三，那就四分之一呗。所以总总转移电子乘以四，也就是总的转移电子是转移电子数是四十八乘以十的负四， 没问题的。那生成一摩尔氢气转移两摩尔电子，所以说左侧的氢气是二十四乘以十的负四， 也就是二点四，二十四乘以十的负四，这个是三乘十的负四，直接比负四约掉了，对不？所以应该是八比一，所以 c 选项不对。那这道题到这我就知道了，选得那得怎么回事？我们来看啊，质得过二硫酸氨的浓度为多少？ 现在我已经知道的是，在这转移的电子数是十二乘以十的负四，他俩的比例我刚才说了，转移电子数一比三，所以在这是三十六乘以十次的负四，次方摩尔电子 每生成一摩尔过二硫酸根转移俩电子，所以这个数除以二。也就是说过二硫酸根的物质的量是十八乘以十的负四， 这是物质的量，人家问的是浓度，浓度得比谁得比？体积零点一升， 所以这个值应该是十八乘以十的负三，数三个点一二三，零点零一八没问题。所以这道题正确的答案选 b。 这道题计算量有点大啊，但还好，其实就是你前三个确定，最后一个不算，也能算，也能出来了， ok 吧。 接下来十五题，十五题就属于那种大家会的话，哎，做的老快了，就是算数，就看你数能不能算准，如果不会的话，那这种题我的建议就是蒙一个就走啊。那但是我们还是要给大家讲一讲的，咱们从头来看， 常温下 h 二 a 溶液中所有含 a 组分的摩尔分数与 ph 变化关系如图各虚线所示。那这个我没有啥可说的吧， h 二 a h a 负和 a 二负，所以我确定 k a 一 时的负七， k a 二十的负十三啊，这个是没有啥问题的。已知条件，接下来 m 二 a 和 na 在 零点零一摩尔每升的 h 二 a 溶液中，它的浓度保持不变，达到沉淀溶解平衡时， 负 log。 就 离子浓度的负对数与 ph 的 关系如实线所示，一个是阳离子为正一价，一个是阳离子为正二价。就如果说大家背过的话，你就知道斜率大的那个， 它所带的电核就怎么的就多，所以你背过的话，这个就是 n 二证， 这个就是 m 证。那就是如果你背过的话，你没背过，没关系，我给你导一遍你就记住了。好吧，我带你导一遍啊，横坐标是 p h， 纵坐标是负 log， 所以 我一定要找的是跟 k s p 有 关的，我先给你导 m 证， ksp 等于 m 正的平方乘以 a 二负，没问题吧？好，那么这个数 a 你 不知道纵坐标是 m 的 浓度的负对数，我得把 a 导出来， a 等于什么？在这你一定要记，这个公式就是我写过无数遍的一个公式了， k a 一 乘以 k 二等于氢离子的平方乘以 a 二负比上 h 二， a 在 这，它的值是确定的， 零点零一，对吧？当然你不带也行，无所谓啊，那我们接下来就可以把它变成 ksp 等于 m 正的平方乘以 k a 一， k a 二乘以 h 二， a 比上氢离子平方，对不？ 没问题吧？这这个式子没啥问题吧？我给你导出来这个 a 二负的表示好不？但是你别忘了你横坐标是 p h， 所以 你所有的都给它变成 p， 也就是 p k s p 等于二倍的 pm， 也就是负 log m 加上 p， k a 一 加 p k a 二加 p h 二 a， 这是消除，所以是减二倍的 p h 没问题吧？你现在谁是 y？ 他 是 y， 对 吧？所以二倍的 pm 等于二倍的 p h 加上 pkspe 加上这一大串 a， 那你 pm 等于什么？ pm 等于 ph 加上二分之 pksp 加二分之 a， 这不重要，重要的是我要给你找斜率。斜 率是一对不 ph 吗？横坐标是 ph 吗？ y 等于 kx 加 b 对 吧？好，那同样的道理，我再给你导另外一个，然后你就把这个记住了啊。导另外一个谁呢？写在这吧导。 ksp 等于 n 二正乘以 a 二负，对吧？ 那么啊，没变啊，等于 n 二正乘以 k a 一 k a 二 h 二 a 比上氢离子的平方能跟上不？所以 pksp 等于 p n 二正 加上 pka 一 加 pka 二加 p h 二 a 减二 p h 一样的道理，我把它摘出来，这是我想要的 y， 所以 p n 二正等于什么？等于二倍的 p h 加上这一大串 a， 然后 啊，减减减，减这一串 a， 对 吧？他挪过去减减这一串 a 啊，所以左边也是减，左左左右都是减啊，都是减。我确定一下数值啊， p h 挪右边去，他也挪。对，这应该是减 减减。好，同样这个也是减减减，减啊减，然后加 pksp， 对 不？因为你这个在这边，它俩不都得挪这边去吗？所以一个斜率是二，一个斜率是一，你后边一大串都不重要。发现没那么斜的高的那个是不是斜率大？所以是谁？ 二证，看懂了吧？哦，这个我给你推完了啊。擦掉这个补妆。这是一个结论，你一定要会这个结论好不？这就是让你做题得到的经验。那么接下来 a 选项曲线二代表与 m 正的关系。不对，应该是曲线一， a 选项不对， b 选项 k s p， 一 样的道理， 一样的道理。我直接给你代数了啊。好吧。 na 等于 n 正， n 二正乘以 a 二负，对吧？我随便找一个 n 正在这呢， 看到了吗？所以这个它的浓度应该是十的负十，而 a 二负等于什么？等于 k， a 一 乘以 k 二乘以 h 二， a 比上氢离子的平方，代数一个是十的负七，对吧？我们算出来了，一个十的负七， 一个十的负十三，一个是零点零一，比上它这个位置七，那就是十的负七的平方，没问题吧？所以 这个数是十的负十五，所以胜约调十的负一，十的负十八，所以前边正确。右边同样的道理，那应该是 m 正的平方乘以 a 二负，这个 a 二负，我是不是一样直接带呀？找数值 在 m 这有数的，一个是五，一个是十九，所以这个氢离子我换一个数，应该是十的负五的平方，这个应该是十的负十九的平方，对吧？好，那十的负十九的平方乘以 十的负七，乘以十的负十三，乘以十的负二，比上十的负十，那么这个值应该是十的负二十二，约掉十的负十二，十的负三十八，所以十的负五十，没问题。 b 选项正确， c 选项 na 能不能溶于稀硫酸，那就是 na 加上氢离子，它告诉我们了这个溶于水，所以我不用写了，我就写离子就行了。 n 二正加上 h 二 a， 对 吧？它的 k 等于什么？等于 h 二， a 乘以 n 二正 比上氢离子的平方，你看到这必然干嘛？必然配 k 乘以 a 二负， 这个部分叫什么？叫 ksp。 这个部分叫什么？我给大家讲过，这个叫 k a 一 k a 二分之一， 知道不啊？自己去算去啊。然后这是 ksp， 所以 na 的 ksp 十的负十八比上十的负七乘以十的负十三， 数数出来了吧，正数吧，正数容不容。所以 c 不 对，得算下 p h 等于十点五十，他俩的关系。这个题考的太没意思了，就是你只要这个公式会，你这题都太简单了， 对吧？啊，完事了好，借 k 一 乘以 k 二等于多少？等于十的负二十，氢离子的平方十的负二十一，所以 a 二负比上 h 二， a 等于十，所以十倍的 h 二 a 等于 a 二负， 对不？这是第一种方法，这肯定是错了。第二种方法，同学，十点五了，谁多呀？ a 二负多呀，你越往右 a 二负多，你 a 二负多，那不就应该是多少倍的 h 二 a 才能等于 a 二负吗？所以得选项没有那么难好吧。 然后有人说，老师你给我导一下这个，给我导一下这个式子是吧？这个式子我给你写一下啊。现在你给的是 h 二 a 乘以 n 二正比上氢离子的平方，现在我肯定得乘一个 a 二负吧。 这个你得知道，我要凑 k， 这叫 ksp。 好， 那我问大家， k a 一 乘以 k 二等于什么？等于氢离子的平方乘以 a 二负比上 h 二 a， 我 现在要反过来 k 二 k 分 之一呗，对不？哎，所以说我说了他俩分之一就出来这个结果了。好吧，所以我这道题吧，就你会就纯是代数，你不会，那你就一点思路没有，蒙一个就走 啊，就你会你也得看你数能不能算明白。所以这个题吧，它是综合来看最后的结果的知道了吧？但重点这道题给你的信号是 k a 一 和 k 二，你必须得熟练运用，这个是重点， ok 吧？那我们这道题给大家讲到这。