高二数学陕西职中立体几何

hello， 同学们，大家晚上好，今天晚上给大家更新一期例题几何。那么今天这个题目呢？第一问是让你证明一个面面垂直，第二问是证明线面平行。先来看题目中的已知条件， c、 c 一 垂直于 abc， 这个是线面垂直，那么根据线面垂直的定义，我们知道 c、 c 一 就会垂直于底下这个面的任意一条直线啊，这个后续我们要用到的。好。第二个，这个三角形是一个等边三角形，并且 d 是 终点 哦，这个等腰三角形顶点和我们中点的连线，是不是和我这个底边是垂直的关系啊？好，先来看第一问，那么根据我们刚才的这个推论啊，因为三角形 abc 为等边 三角形，并且 d 为 ab 中点， 所以我们知道 a、 d 是 不是就是垂直于 c、 d 的？ 我为什么要写 a、 d 呢？因为你看现在这个，如果把 c、 c、 d 看成是一个平面的话啊，那么我这个 a、 d 好 像就像是它的一条垂线， 我要证明 a、 d 是 它的一条垂线，仅仅只垂直于 c、 d 是 完完全全不够的。因为线面垂直的判定定理要求我们要在这个平面内找到两条相交的直线和它垂直，是不是才可以啊？所以我们又可以再用到第一个条件。哎，就是说我们刚开始说的 c、 c 一 垂直于平面 abc 啊，那么又因为我这个 a、 d 它是不是包含于平面 abc 的 啊？平面两字我省略没写啊，那所以说 这个 c、 c、 e 就 垂直于我们的 a、 d。 好， 你看现在的两个条件哈，一个是 a、 d 垂直于 c、 d， 一个是 a、 d 垂直于 c c、 e， 这两条线是不是都是我的平面 c、 c、 d 上的，并且它俩还相交啊？又因为 c、 d 交上 c、 c、 e 于点 c， 并且呢，这个 c、 d、 c、 c、 e 都包含于平面 c、 e、 c、 d 啊，所以我们就证明了 a、 d 啊，它是垂直于 c、 e、 c、 d 的， 或者说 a、 d 就是 这个平面的一条垂线哦，既然垂线找到了，那过这条垂线的任意一个面是不都和这个平面是垂直的？嗯，那你看，现在我这个 a、 d， 很 明显它是包含于平面 a、 d、 c、 e 的 好，所以就证明了我们的题目 c、 e、 c、 d 啊，是垂直于 a、 d、 c、 e 啊。你在书写的过程中，一定要把这个平面两次加上哈。好，这第一问 好，再来看第二问，第二问呢？是线面平行。那根据线面平行的判定定律，我们知道，要想证明一条线平行于一个面，我必须在这个面内找到一条线和它平行才可以啊。那么现在呢，没有现成的这个平行线，所以我们要去做一个辅助线。 做辅助线有两个原则啊，一个是连对角线，再一个就是去构造中点，去找三角形的中位线。好，现在很明显还有一个正方形的对角线没有连起来啊，那就是 b、 c、 e。 当我连接这条对角线之后， 它与 b、 e、 c 相当于点 o， 这个点 o 是 不刚好是一个中点啊？那你再去连接你的 o、 d 的 时候，会发现它这个 o、 d 刚好就是三角形 a、 b、 c、 e 的 中位线。好 连接 b、 c、 e 啊， b、 c、 e 交上 b、 e、 c 于点 o、 o 为，嗯，谁的终点？ b、 c、 e 终点，又因为 d 为 b a 终点， 哎，所以这个 o、 d 是 不是就是平行于 a、 c、 e 的 好，下面平行除了平行之外，我还要写一个不包含，一个包含好。又因为 啊，我这个 a c 一 啊，它不包含于平面 c， d， b 一， 但是 o， d 包含于平面 c， d， b 一， 所以就证明了 a c 一 啊，平行于平面 c， d， b 一。 这就是这个题的一个完整的解析步骤。

来看第五节简单几何体，那么本小节的话，我们将会认识柱体、锥体以及球体的特点，以及它们的表面积和体积的计算。 首先我们先来看多面体啊，那么在日常生活中啊，很多的一些空间的物体啊，有些是规则的，有些是不规则的，对吧？那么很多有些都是我们的几何体的这种组成，对吧？很简单的一个道理，我们比如一个景观，它是一个底面，它是一个长方体， 对吧？我们呢，可以在长方体上面堆积一个锥体 啊，形成这样的一个比较好看的一个形状，对吧？所以呢，在生活中，我们经常能见到很多几何体的一些组合，那这几何体啊，我们可以分成以下类型，一个是多面体啊，一个是旋转体。 那么首先我们先来看一下多面体啊，多面体就是由若干个平面构成的这样的形状，所以呢，像这样的都是多面体，对吧？其中每个面叫做多面体的面啊，相邻的两个面的公共边叫做多面体的棱啊，这个我们前面见到过了啊， 棱与棱之间的点叫做顶点啊，所以呢，像这都是我们常见的一些多面体啊，你看这个上面是一个三角形，四边形，五边形，对吧？这是一个锥体啊，它都是多面体啊。 好，那我们首先来看柱体啊，那多面体上下全都是全等的多边形啊，然后呢，而且呢，他们的面和面之间是相互平行的，其余的面都是平行四边形的，这样的面，我们叫做这样的一个体，叫做多面体，为 棱柱体啊，棱柱体，那棱柱体的话，首先我们最常见的就是这种四边形，对吧？构成的棱柱体啊，四面的棱柱体，它是一个什么？ 至少是一个长方体吧，对吧？特殊点就是他的，他的什么特殊点？这个正方点，对吧？所以两个互相平行的面称作棱柱的底面，然后呢，旁边的叫侧面啊，然后呢，他的叫侧棱，对不对？这都是我们常见的一些概念啊， 那不同平面上的两个点的连线称作对角线，所以呢，这就是我们的体对角线，看到没有啊，好，那么两个底面间的距离称作高啊，所以这就是他的高 啊，所以他的侧棱正好和他的高相等啊，这对于我们这个长方体来说啊，正方也是一样，他的侧棱和他的高正好相等，因为他正好是垂直于底面的啊， 好，那么底面为三角形，四边形、五边形等等啊，分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱，对吧？那一般来说我们可以把它记作什么呢？三角形， a、 b、 c 杠， a 撇， b 撇， c 撇。四棱柱， a， b， c 杠， a 撇， b 撇， c 撇， d 撇，对吧？ 那一般来说侧棱垂直于底面向我们的长方形就是垂直于底面的，我们叫直棱柱啊，他不会歪歪扭扭的。那反过来，如果像这种打斜的有没有见过？我们刚刚是见过这种类型的图形啊？我们这讲前面的证明题的时候，是不是见到过这种图形？ 这种叫什么柱？叫斜棱柱啊？斜棱柱它是打斜的啊，好，那如果底面为正多边形，它叫做正棱柱啊，多边形是个正三角形啊，对吧？像正四面体啊， 等等啊，都是正的图形啊，正四面体不属于正四面体，是正棱锥的啊，那个不行啊，像我们的这个正方体就是一个正棱柱，对吧？嗯， 好，那正龙柱的特点，第一个底面是平行的，而且呢是全等的多边形，而且侧面也是全等的矩形啊，侧棱相互平行，并且垂直于底面，而且侧棱相等，侧棱与高勾相等啊，对吧？所以这就是正龙柱的一些基本的特性啊。要知道 啊，那我们把这个棱柱啊可以展开，就说我们可以把这个图形啊，是不是相当于箱子把它给拆开，那么这个时候可以把它展开成一个侧面肌啊，所以呢，它的展开图是一个什么形状？是一个矩形啊， 它的上下两条对边的长度就是这条边的长度啊，或者说下面这条边的长度就是底面的这一个周长 c， 对吧？然后呢，他的两个侧边的长度正好对应的是他的高，对吧？对应的是直棱柱的高，所以我们可以将棱柱进行展开，形成这样的一个棱柱的侧面展开图啊。 好，那么有了侧面展开图之后，我们实际上是很好的去表达它的侧面积，表面积还有体积啊，我们来看一下，侧面积就应该是底面这个周长乘上它的高吧，是不是这是它的这个侧面的这个矩形的面积，所以是 c h， 好，表面积就应该是 c h 加上两个底面的面积，对不对？因为他们俩相等，所以是二倍的这个面积啊，好，体积，体积应该是底面积乘以高嘛，所以应该是棱柱体的底面积乘以它的高，所以是 s d 乘以高啊， 所以棱柱的计算的公式还是比较基本啊，可以通过这个直观的图形能够快速的反映出来啊。 好，我们来看一道例题啊，已知一个正四棱柱啊，它的底面为二，高为三，我们要去求它的表面积和体积。首先，表面积怎么求？表面积是不是应该是 s 侧加上两倍的 s 底，那么 s 侧应该是多少？ s 侧 侧面积应该是等于底面的周长， 对吧？底面的周长，然后呢，乘以它的高吧，是不是应该是等于 c h 的， 对不对？那底面的周长是不是应该是 它的底面的边长为二，所以周长是不是四个？二， 是不是应该是二乘以四？ 好，高是几？高是三，所以乘以三， 所以它应该是二乘以四，乘以三，对吧？ 好，那接下来侧面积求完了。底面呢，是不是两个这样的面积之和，所以应该是，所以 s 底是不应该是两个这样的面积？上面还有一个吗？ 对吧？所以应该是二的平方是它的面积吧，虽然是二的平方，好几个呀，乘以二两个，对吧？所以这里算出来是三八，二十四，二十四， 这里应该是三个二，相乘等于八，所以答案应该是三十二啊。没错，所以它的表面积三十二啊。好，体积，体积应该是底，面积乘以高，底面积是四，高是三，所以是十二的立方厘米啊。 好，来看第二题啊，某农场为了改善水利设施，需要修建一条横截面为等腰梯形啊，它的这个横截面是 a， b， c， d 这个等腰梯形啊，这个灌的水渠， 那么如图所示，水渠的长度为四百米啊，就一直往下伸长，然后深度是一点五米啊，渠底的宽度是一米，渠面的宽度是 两米。好，第一问，要去求的是修筑水渠需要挖多少平方米的土，这个应该怎么做？是不是要考虑去求它的体积啊？那么体积是不是它是底面积乘以高啊？ 这是它底面积好高，是不是向这边无限延伸？不是，无限延伸长度是四百米， 对吧？所以呢，我们先要去求底面积，底面积是梯形的面积公式，上底加下底的和乘以高除以二，所以应该是 ab 加 cd 这一段加这一段的长度的和 乘以它的高高是一点五吧。上，我们看看这个条件啊，是不是一点五，深度是一点五吗？就这一个东西是一点五吗？好，乘以高除以二，乘以二分之一，算出来等于二点二五啊， 这是底面积好乘以高的四百，所以求出来的结果是几等于九百米啊？九百平方米，所以你要把这个面积填充完毕，需要九百平方米啊。 好，这第一小问，我们来看第二小问，什么意思？如果需要在水渠的底部和侧面铺设水泥板啊，注意清楚，它的意思是底部，所以它需要铺哪里？需要铺这个地方？底下还有两个侧面 啊，底部和侧面去铺这个水泥板，那么它需要铺多少的面积？那就是求这些面积嘛。那来看一下，首先它的表面积啊，怎么去求？ 那我们是不是要先要去求这个 a d 的 长啊？因为我需要知道侧面嘛，那 a d 的 长，这里它是一，这个是二， 所以 d 的 长是不应该是通过这个关系，应该是 c d 减去 ab， 对 吧？它是个等腰梯形嘛，它图形大概是这样子的啊，这是 a b c d？ 好， 那么这是做一条垂线段嘛？这是一，那你来想，这个长度是一，这个长度是二，所以呢， 中间这个数一，那么这两边是各占一，所以 d 一 的长是不是总长的两边的一半是不是二分之一，所以等于二分之一乘以二减一等于零点五啊？好，所以 d 等于零点五，那么 a 又是知道的 勾股定律， a、 d 等于根号二点五啊。所以我们要求的这个表面积怎么求？ 应该是侧面，它是不是有两个侧面，左边一个，右边一个，那也就说我只要求出了一半，求出了一边的面积，乘个二不就行了吗？所以左边的应该是 a、 d 的 长度 乘以多少？是不是乘以四百？乘以它的长度是四百，所以左边的求完了，那右边是不是一样的，是不是乘以二， 对吧？所以是两倍的 a d 乘以 h。 好， 底面是不是也要也要去铺啊？水泥？所以呢，底面是不是 a b 还是乘以？这个长度？是不是加上 a b 倍的 h， 是不是也是 a b 乘以四百？所以通过这样的一个运算，我们就求出了这个结果啊，算出来是约等于幺六六五平方米啊，所以答案等于需要铺大约一千六百六十五平方米的水泥啊。 所以这就是一个应用，通过对几何体的理解，我们可以把这个问题给处理出来。 好，那么我们接下来看锥体啊，能锥，那能锥的话就是他的顶部啊，会收缩在一点上面，对不对？那这个时候能锥有个什么点叫做顶点 点屁点屁点屁都是他的顶点好，旁边的是他的，什么是他的侧棱，对不对？这些是他的侧棱，是不是侧棱？ 好，那测棱的话，这个时候我们说如图所示， p a， p b， p c。 顶点到底面是有个高度啊，所以是有个 p o 啊，看到没有，所以 p o 是 它的高啊， 我们在以前学的不是棱锥。我们以前学过什么锥啊？我们以前是学过圆锥啊，其实本质上是一样的啊， 圆锥它是一个什么体啊？它是个旋转体，它不是多面体，但本质上是一样的，都收缩在了一个点上，对吧？它底面是个圆的时候就是圆锥嘛，所以棱锥和圆锥啊，本质上这个问题是表达同一个问题的一个点啊，所以我们这里通过棱锥认识清楚啊。 好，那么楞锥的记法，那就把它顶点体现出来了啊，所以呢，三楞锥记作 p a b c， 四楞锥记作 p a b c d， 五楞锥记作 p a b c d e 啊，所以这是楞锥的表达式啊， 好，棱锥可不可以展开呢？肯定是可以的啊，我们可以把这个棱锥啊，展开成这样的一个形状，所以此时我们可以得到啊，这个投影在底边上，这里有一条线，这条线 h 一 撇，我们可以叫做它的母线啊， 这个线我们叫做母线啊，这个也可以叫它斜高啊，这一点的话，其实在我们的这个做题过程中可能用的也不算特别多啊，所以了解一下就可以了啊，那注意这个 h 一 撇和它的高， 对吧？就和它里面这个高线啊，你不能认为是相等的啊，它们之间是有有一定的距离的差距，是不是？它们是构成了一个三角形， 对吧？这是 h 一 撇，对吧？这是它的高啊， ok， 好， 那么正棱这有什么样的特点呢？第一个，各条侧棱相等，斜高相等，就刚刚说这个，这个斜高 h 一 撇，而且侧面全是等腰的三角形啊， 顶点到底面的中心的连线是正楞锥的高啊，正楞锥的高，好，正楞锥的高，斜高，还有斜高所在的这个底边上的投影啊，它构成了一个直角三角形啊， 那么正楞锥的高，侧楞、侧楞和底边上的这个投影，它就是一个直角三角形，对吧？所以我们如果需要去计算的话，就完全可以用直角三角形的这些里面的理论把它给算出来啊， 所以这就是正棱锥的基本性质。好，我们来继续往下看，如果把侧棱的侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，那么就可以把它得到这种侧面展开图嘛，对吧？那我们就可以去研究它的侧面积了， 那这个时候，对于正棱锥来说啊，它的侧面积侧面展开图是由各个等腰三角形构成的啊，都是等腰的三角形，对吧？所以我们可以直接得到它的这个公式啊。第一个，正 棱锥的侧面积应该是二分之一 c h 一 撇， h 一 撇是什么？是刚才的这个斜高嘛？对不对？那它的面积是不应该是什么？ 应该是底面的周长，因为每个底面是不都要去乘以，你看，每个底面都要去乘以这个 h 一 撇，乘以二分之一，就是构成了每个三角形的面积，那把它的周长合并起来，不就是它的一个完整的侧面积吗？对不对？ 同理，表面积应该是底面侧面积加上底面积啊，底面积是一个一个矩形， 对吧？对于正棱锥来说是个矩形啊，所以就可以把它算出来了。好，体积公式，注意啊，这里你不需要知道为什么，但你要知道，正棱锥的体积是底面积乘以高的一的三分之一倍，也就说它是正棱柱的正好的多少？三分之一 乘上三分之一倍，所以这是它的体积公式啊，所以我们这样就求出来了这个棱锥的一个计算的表达式啊。 好，那通过一个例题来反馈一下，如图所示，正四棱锥，好，它底面边长为四，所以它底面是一个正方形啊，对不对？斜高 p 一 等于二倍根号五，这个长度是二倍根号五。 好，要去求正四棱锥的表面积和它的体积啊，那它的表面积应该是什么？ s 表 等于 s 的 侧面积加上 s 的 底面积，对不对？那 s 的 侧面积是不是应该等于二分之一的？ 应该是他的周长吧，周长是不是里面是四？四加四加四加四是不是？四乘四的平方等于十六，是不是应该是二分之一乘以十六加二分之一乘以十六，然后呢？乘以什么？乘以二倍根号五吧， 对吧？好，还要去加上它的底面积，底面积是不是应该是多少？应该是四个平方就十六吧，所以表面积就求出来了啊。 啊，二分之一乘以十六乘以二倍根号五，对吧？然后底面积是十六，所以答案应该是十六倍根号五加上十六。 好，然后去求它的体积，那么求体积的话，我们要去求高，那根据这里的直角三角形关系，大家看这里 poe 是 不是构成了直角三角形，所以可不可以根据勾股定律去求解？ 那这里是二倍根号五， o e 的 长度应该是底面边乘一半吧，对不对？它是个矩形嘛，啊，它是个正方形嘛，所以呢？底面变成了一半， o e 应该等于二吧， 所以这条边是不应该是二倍根号五的平方减去二的平方，对吧？所以它应该是多少？ 应该是，这里是二倍根号五的平方，应该是四乘五等于二十二十，减去它 是不等于十六，所以斜，所以这个直角边这个高的平方等于十六，那高就应该等于四了，对不对？所以 p o 的 平方等于十六，那么 p o 等于四，所以体积应该是三分之一的底乘以高啊，所以答案等于三分之六十四啊， 所以这道题就是一个非常典型的锥体的应用的问题啊。好，接下来我们介绍柱体啊，圆柱体，那圆柱体的话，它是一个旋转啊，对不对？可以看成绕一条弧线旋转形成的旋转体啊，那么圆柱体的话，我们首先要知道的是它的 底面，这个没问题啊，平行于轴的线，我们称作母线啊，圆柱的母线，平行于这条轴的线，就这条线我们叫做圆柱的母线啊，比如说 a a 一 就是它的母线， 好，母线绕这个轴旋转一周所得的这个面叫圆柱的侧面啊，对吧？好，两个圆心之间距离的高叫做高，对吧？长度为高，所以呢，圆柱我们可以叫做 o o e 啊，用两个 圆心所连线表达这个圆柱，所以这是圆柱体的一个特点啊。 那么圆柱体我们来看下性质，第一个，两个底面的半径相等，而且是平行的圆啊，平面平行于底面的横截面与底面的相同的圆啊，都是相同的吧，对不对？然后母线平行啊，且相等，都等于它的圆柱的高， 所以我们要求圆柱的高，你知道母线它就是高。第三个，过轴的结面是长为圆柱的高，然后宽为底面的矩形。什么意思？这个我们画个图来理解一下。好，这是一个圆柱， 什么叫它的结面？我拿着一把横的大刀切一刀，那么切出来的是中间这个这个矩形， 对吧？所以它是一个长为圆柱的高，宽为底面圆的直径的矩形， 所以这就是它的一个结面的特点啊。好，那圆柱体啊，我们可以怎么样，也可以展开嘛？拿个剪刀，这里一剪一展开，它又形成了一个什么矩形吧，是不是？所以我们通过侧面展开图的关系来去推导它的圆柱体的侧面积、表面积和体积公式。 请看圆柱体的侧面积公式，应该是二 pi r 乘以 h， 怎么理解？二， pi r 是 不是底面的这个圆的周长？我们刚刚棱柱体是不是底面的周长？那圆柱体只不过改了形状而已啊，但是思想是不一样的，所以底面的周长就应该是 圆的周长公式二， pi r 好， 它的高是不是 h， 这里高是不是 h， 所以侧面积我们就写出来了啊。然后是表面积，表面积的话，是不是除了侧面积之外还要加上两个底面圆，所以还要加上两个 pi 二平方啊？ 好，体积公式，底面积乘以高，所以是 pi 二平方乘以高，所以这就是圆柱体的三个表面积，平啊，侧面积，还有这个体积的公式啊， 所以掌握这些公式能够算算对就可以了啊。这一块内容还是我认为比较基础啊，就是主要是你能够把这个，呃几何体的图形的面积啊，求对体积求对就可以了。好，我们来看例题四啊，已知圆柱的底面的直径为六，然后高为十， 我们要去求圆柱的表面结合体积，那我们来通过刚刚的讲解就可以快速把它求出来了啊。先画个示意图。 好，那首先求表面积，把它展开，应该是一个矩形 啊，它是个矩形，矩形的话，它的底它的长应该是圆的，就底面圆的周长嘛，所以应该是派地 高就正好知道高，是吧，所以这就是它的面积啊，所以 s 表 等于 s 的 侧面积加上两倍的 s 底，底面都是圆啊，相同的圆，所以是两个相同的相加嘛，所以是二倍的啊，所以应该等于好侧面积的话，应该是派地。他题目给了直径是六码，所以是六派 乘以十，十是他的这个高，加上二倍的底面的面积，应该是派二平方，直径是六，半径是三，所以是三的平方，那么这里是六十派加上十八派，所以等于七十八派 啊，记得要带单位啊。题目给的是厘米，所以是厘米的平方。好体积公式 v 应该等于底面积乘以高 s 底乘以高 h， 它应该等于好底。面积的话，前面求过了，应该是九派吧，是不是九派 乘上高是十，所以应该等于九十派厘米的立方吧，这里应该是， 是吧，所以这道题啊，这套公式啊，公式没搞错，正确写就可以了啊，所以答案是这个啊，没错，好，这是例题式的学习， 我们继续往下看。锥啊，圆锥体，旋转体可以构成圆锥啊，圆锥，其实我们以前是见过圆柱，圆锥应该是很熟悉的啊，所以呢，这些基本的概念应该很清楚。首先这样的几何体是圆锥啊，绕它旋转，然后有一个顶顶点，对吧？ 啊，这里圆锥有个底面还是一个圆，然后呢，侧面它是一个扇形啊，对不对？好，母线还是一样的，高也是有的，所以这个三角形依旧存在， 对吧？顶点连线，然后呢，与这个底面半径还有这个母线构成三角形依旧存在，它和圆柱是一样的，都有的啊，那对于圆锥来说，我们要认识它性质。第一个平行于底面的结面都是圆啊，我们来画一下 圆锥中平行于底面的结面，这些结面它都是圆啊，是这个意思，高，垂直于底面的圆且过圆心，它的高垂直于底面的圆且过圆心。 o 啊，第三个轴结面是个等腰三角形啊，它的，它的腰就是它的母线长， 对吧？腰就是母线长，高是圆锥的高啊，底边长是底面圆的直径，所以它的轴洁面就这个洁面画出来就这个样子，所以这两个都是母线，对吧？这个长度是底面的直径， 这个轴洁面的高就是它的高啊，所以这就是我们说的这个圆锥的基本性质啊。 好，那圆锥侧面展开，它是一个扇形啊，所以侧面积它是扇形的面积公式啊，那么这里已经给了它是等于二分之一的 cl， 这个 c 它是什么呢？这里的 c 啊，它是这个扇形的弧长啊，扇形的弧长我们可以推导完之后得到它结果应该是 pi r l， 因为这个弧长正好是二 pi r， 对 不对？ c 是 不是等于它的二 pi r， 所以 这里带入进去之后，正好就是 pi r l， 所以 圆锥的侧面积公式就是去求这个扇形的弧长对应的这个扇形弧的面积啊。 好，体积公式我们这里直接给出来啊，它的体积应该等于它的这个对应的圆柱的一的三分之一啊，所以是三分之一的底乘以高，所以棱锥和 棱柱是三分之一的关系，圆锥和圆柱也是三分之一的关系啊，所以是三分之一的底面积乘以高。好，我们来看个例题啊，已知圆锥的轴结面是等边三角形来，轴结面是个等边三角形， 四四四，那要去求它的表面积和体积，那通过这个轴结面，我们是不是可以知道它的母线 是四，然后底面的直径圆的直径 为四，对吧？所以呢，我们是不是要把它打开来写， 求它的表面积是不是套表面积的公式，对吧？是不是应该是 pi r l 加上 pi r 平方，对吧？就是我们把它的圆圈画出来啊？好，它一展开来之后是不是这样子的， 所以这个面积加上底面积就它的表面积啊，所以我们先去求它的底面积，底面积应该是 pi r 平方嘛， r 应该等于二，所以是四 pi， 对 吧？ 好，侧面积应该是 pi r l， 那 这道题的 pi 啊，这道题的 r 是 等于几？ r 是 不应该等于 里面的这个二是不是等于二？然后呢，这个它的母线是不是四，所以呢，是，应该是二乘以四等于八， 对吧，所以答案应该是八派加上四派，所以一共是十二个派啊，那么这是它的表面积好体积公式，它应该是三分之一的底，面积乘以高，所以是三分之一的四派，高度的话应该用勾股定来求吧，是不是这个是四啊？我们重新画一下， 这个是四，那么这里是不是应该是二，这个是四，所以根据勾股定律，它应该是等于二倍根号三吧， 所以它的高度应该是二倍根号三，所以答案应该是三分之八倍的根号三。 pi 的 立方厘米啊，好，这是一个圆锥的立体的应用啊， 好，最后我们来看下球体啊，球体我们是很熟悉的，球体是一个半圆绕着它的直径旋转一周得到的一个球啊，那么球体的话，它的半圆弧，首先呢曲面是一个球面啊，对不对？那球面围成了几个几个球体呢？我们剪成球啊， 其中半圆的对应的这个圆心称为球心啊，那么球心到球面上的任意点的连线，我们叫做球的半径，对吧？那一般来说，我们球啊以圆心为标记，所以呢，圆心为 o 的 球，我们叫球 o 啊， ok， 好， 那球的话，我们可以怎么去理解呢？首先用个平面去结，它的结面都是圆啊，不管你怎么去结都是圆，但是呢，经过球心的结面所折的圆叫大圆 啊，那不，经过这个得到的圆是个小圆，看到没有？如果我们在下面这里结一刀，那么这里形成的圆他不如他的大圆大，对吧？所以这里会构成一个三角形的关系啊， 对吧？小二，大二，大二是球的半径，小二是半径的半径，然后这个 d 是 两个心的距离啊，所以这就是一个图形的示意啊。 好，当我们这个结面不经过球心的时候，它有这样的一个特点啊，就构成了一个三角形的关系，对吧？小二应该等于根号下的大二平方减去 d 的 平方，所以这就是球体的特征啊，我们要认识清楚。 好，那球体的公式我们直接给出来啊，表面积公式是四派二平方，体积公式是三分之四派二派二立方啊，这两个公式大家把它背下来， 嗯，怎么推导你不需要知道啊，背下来啊，以后等你长大了啊，学更高级的数学以后，你就知道他怎么推导了啊。今天我们可能还讲不了，所以呢，你先把这样公式背下来，能够用好就可以了啊。 好，那我们来看一道例题，已知球的一个球结面半径为三，球心与该球结面的距离为四。好，我们来画个矢图， 好，假设这是球的一个结面，他是个小圆，对吧？那球心在这里，他与球鞋面的结面的距离应该是四， 他的半径是三，所以他通过这个时候可以求出他的球的半径，这个球的半径是不是应该是五？ 共五定零吗？三四五，对不对？好，那这个时候求的半径知道，求的表面积和体积是不是都知道？所以这道题很简单啊，所以求出来求的半径是五，所以表面积四派二平方，所以答案是四派乘以二十五等于一百派的平方厘米。 好，体积公式，三分之四派二立方，所以是三分之四派乘以五的立方，所以是三分之五百派立方厘米啊，所以这道题就考到了这个球，它的结面和球的关系啊，通过勾股定律构造出半径的关系。 好，这是例题题的讲解。 ok， 那 本章书我们就讲这么多啊，那我们学习了例题几何，对吧？我们先从空间中的平面，直线的关系出发啊，概念出发，然后得到的是直线直线的位置关系，直线平面的关系，平面平面的关系，然后我们这里面这两个数字里面有八大 判定以及性质定律， 所以这一块是我们的重点，对吧？然后最后我们介绍了简单几何体的一些应用啊，包括像球表面积啊，球体积，对吧？对于棱柱、棱锥、圆柱、圆锥，还有球体的基本应用啊。 好，那我们这里就学完了整个课程的内容啊，感谢同学们观看，再见。

如果你现在还有几周几天甚至几个小时就要考试了，那么恭喜你，抖音精选让你刷到我这条视频这十分钟价值能顶上你三个月的学习效果，哪怕你没学，跟着顺一遍，也能拿捏各种难题。话不多说，直接开讲。好，各位同学，大家好，我们今天呢，来讲一下空间向量期末的复习。那 空间向量会考什么样的知识呢？首先第一个，空间向量最重要的就是间隙，怎么样把细把它给建起来特别重要。好吧，那第二个的话就是设点。怎么去设点？那在这里的话，均总给大家提供一个非常重要的方法跟大招，就是在任意的一条线上， 如果我已经知道 a b 两个点，那如果 a 点的坐标是 x 二，多号 y 二，那我想去求中间一个点 x y， 那 p 点 x y 我 应该怎么去设呢？这里有两种不同的情况，如果我已经知道 p a 比上 p b， 应该是等于 number 比 mu 的 话 啊，比如说 p a 是 number， p b 是 mu， 那 么这个时候我们就可以把 p 点的坐标 x y 应该是等于多少啊？ 应该是等于某个固定的系数 a 加上某个固定的系数 b， 那 这个系数是什么呢？它的分母啊，就是 number 加 number， 分 子的话就是找隔壁，也就说 a 对 应的应该是隔壁的 number， 对 应的是隔壁的 number， 所以 我们最终求解出来应该是等于 number 加 mill 分 之 mill 分 之 a， 加上 number 加 mill 分 之 number 的 b。 好 吧，那我举个简单的例子，比如说我已经知道 a 点的坐标是一二， b 点的坐标是三四，那如果我要去求 p 点 x y， 那 这个坐标是等于多少啊？那么假设我告诉大家， p a 比 p b 是 等于五比六，这两个式子 比较好看，那这时候我们可以看到 p a 点 x y 的 坐标应该等于五比六，这两个式子比较好看。那它是等于某个固定的系数 a 加上某个固定的系数 b， 那这个系数是什么呢？首先分母是什么？分母是它的比例之和，应该是五加六。分子的话，找隔壁 a 对 应的是隔壁的六， b 对 应的应该是隔壁的五，所以是十一分之六倍的 a 加上十一分之五倍的 b， 好 吧， ok， 这是第一个 设点，如果我在其中当中某一个固定的点的话，那我就会用这个方法去设出来那特殊的形式。如果 p 为中点的话，那么我可以发现 p 的 坐标应该是等于二分之一倍的 a 加上二分之一倍的 b， 好 吧， ok 啊，这是一个特殊的形式。那第二个，如果我们说 p 为动点呢？也就意味着如果 p 是 在 a b 这条直线上，我 随便的去动，那 p 点的坐标应该等于多少？应该是等于朗达倍的 a， 加上括号下 e 减朗达倍的 b， 好 吧，这是一个特殊情况的设点的 形式。好，那么第三步其实就是什么呢？就是法向量，那法向量有什么样的方法可以快速的把它给找到啊？首先有几个重要的方法，第一个叫做找零法，第二个叫做倒数法，第三个叫做三 点两轴法。好，这是三个非常重要的方法，那么我们待会在题目当中会帮大家把它给用一下。那最后第四个叫做列式，那列式 实际上就是有四种不同的形式，叫做线线角就是一面直线所成的角，那么第二个叫做线面角，那也就说一条直线与一个平面所成的角，第三个叫什么？叫面面角，也就说两个平面所成的角， 第四个叫做点到平面的距离，这是我们固定的常规的情况。我们来看一下这道二零二零年江苏卷的高考题，他告诉我们，在三菱 a、 b、 c、 d 当中， c、 b 等于 c， d 等于根号五，这是等于根号五好， b、 d 等于二二， o 是 b、 d 的 中点，所以 bo 等于 o， d 等于一好，那么 a、 o 垂直平面 b、 c、 d， 那 么 a、 o 等于二。他说一是 a、 c 的 中点，问的是 a、 b 与 d、 e 所成角的余弦值等于多少。那么首先找题目 以 o 为圆点，如图间系好，我们知道 b、 c 的 长度一定等于二 好，那接下来我们就可以发现，他问 ab 与 d、 e 所乘角，假设是阿法，它的余弦值等于多少， 所以口塞眼的阿法等于多少？ ab 向量点乘 d、 e 向量。注意啊，他去求一面直线所乘角要加上绝对值，那么除以 ab 的 摩擦，再点乘 d、 e 的 摩擦好，那么接下来我们可以把 ab、 d、 e 的 坐标把它给找到，那 a 点的坐标是等于零零二 一点的坐标，我们可以得到应该是一零零，所以 ab 向量我们可以求出来，应该是一逗号零，逗号负二，所以 ab 的 摩擦，我们可以求出来是根号下一的平方加零的平方加上负二的平方，应该是等于根号五 好，那么接下来我们来看一下第一点的坐标，应该可以得到应该是负一，逗号零逗号零一点的坐标是多少呢？我们可以知道 a 点的坐标是零点二， c 的 坐标我们可以发现是零二零，可以得到一点的坐标，其就坐标相加除二嘛，那么也就说是等于零一一，那么我们可以得到 d 一， 求出来应该是等于 一一一，也就是说 d 一 的周长，我们可以得到是等于根号下一的平方，加一的平方，加一的平方等于根号三。所以接下来我们可以发现 cosine 的 alpha 就 可以得到应该是等于一 加上零减去二除以根号五，乘以根号三，别忘了加绝对值，那可以得到应该是十五分之根号十五。好，这就是第一问。接下来我们来看一下第二问，他说如果 f 在 b c 上满足 b， f 等于四分之一倍的 b， c 设二面角 f d e， c 的 大小为 c t， 求赛 c t 的 值应该等于多少？好，这题我们告诉了我们， f 在 b c 上，并 并且 b f 等于四分之一倍的 bc， 所以 b f 比上 fc 应该是等于一比三。好。接下来就可以用军总跟他去讲的大招，我们可以发现 f 的 坐标我们可以怎么去设啊？他应该是等于某个系数的 b 坐标加上某个 c 数的 c 坐标。好， b 坐标和 c 坐标它的系数怎么找？首先我们可以把它的比例分母式比例之合一加三，加起来应该就等于四分子的话，找隔壁 b 对 的是隔壁的三 的，对格的是隔壁的一，所以可以得到是四分之三倍的一零零，加上四分之一倍的零二零。好，所以我们就可以得 f 点的坐标是四分之三，逗号二分之一，逗号零。 好，这是 f 点的坐标。好，那么接下来我们来看一下，如果 f 点的坐标有的话，那 f， d， e 和 d， e， c 它的法向量等于多少呢？我们可以知道 d 的 坐标可以得到是零一一， 所以 d、 f 它的向量求出来应该是等于四分之七，逗号二分之一，逗号零， d， e 可以 求出来应该是等于一一一。好，那接下来我们就可以求平面 f， d、 e 它的法向量，那平面 f、 d 的 法向量可以怎么去找啊？很简单，我们用到一个方法叫找零法。 什么是找零棒？我们可以设平面 d， e， f 的 法向量是 n 一， n 一， 怎么去设？首先我们可以先找到一个向量，它是带有零的，那么我们只需要找到这个带有零的向量，它的两个非零的坐标交换位置添一个符号， 也就说我把二分之一和四分之一交换位置添一个符号，可以得到是负二分之一，逗号四分之七。好，加上， 接下来我们再把 n 一 向量跟这个 d 一 点成为零。啊，那我可以得到应该是等于负的二分之一，加上四分之七，再加上 z 等于零，那么我们就可以知道 z 应该是等于负的四分之五， 所以法向量 n 一 求出来是等于负的二分之一，逗号四分之七，逗号负的四分之五。好，注意法向量，我的所有的坐标同时乘以某个数字，它最终得到的还是法向量，所以我把这里的坐标同时乘以四，那么最终可以得到是负二，逗号七，逗号负五， 这就是我们要找的反向量，那么也就是说它的摩擦可以求出来，应该是等于根号下的负二的平方加上七的平方，加上负五的平方，那最终可以得到根号下的七十八。 接下来我们再去求平面 d、 e、 c 它的反向量，那么 d、 e、 c 的 反向量应该怎么去求呢？注意啊， 平面 d、 e、 c， 我 把这个平面扩展，它是不会变成平面 a、 d、 c 和 d、 e、 c 其实就是同一个平面， 所以也就是说我们要找的就是平面 a、 d、 c， 它的法向量 a、 d、 c 的 法向量，怎么去找呢？首先 a 点的坐标是零零二， b 点的坐标是负一零零， c 点的坐标是零二零。注意，这里的话可以用到倒数法。什么是倒数法？只要三个坐标，它的三个点呢？都是在三条轴上啊，那这个时候 它这个平面的法向量怎么去做？我们只需要把这里所有的点，它的坐标取倒数就可以了。也就说它的横坐标就是在 x 轴上的 d 点的这个坐标取倒数就负的一分之一，它的 y， 那 么就等于在 y 轴上面 c 点的坐标，它的这个 y 的 坐标取倒数就是二分之一，它的 c 坐标就是在 c 轴上面的 a 点，它的 c 坐标取倒数就是二分之一。所以同时乘以某个数，它还是法向量，所以这个法向量坐标同时乘以二，那么就等于负二，逗号 一，逗号一，所以 n 二的周长，我们可以求出来是等于根号下负二的平方加上一的平方，加上一的平方等于根号六，所以两个平面的所乘角 zeta， 那 么实际上等于的就是两个反向量的所称，叫 cosine 的 theta， 我 们这个时候加上绝对值 n 一， 向量点乘 n 二，向量 除以 n 一 的魔长点乘 n 二的魔长好，我们就可以发现它们的坐标。点乘可以得到应该是等于四，再加上七 减去五的绝对值除以根号下的六，乘以根号下的七十八，我们就可以直接把直白的给找到，应 应该是等于根号下的十三分之一，那么也就说等于十三分之根号下的十三。好，那么接下来所以三样的 c 塔应该是等于根号下的一减去口算的平方 c 塔 我们可以得到是等于十三分之二倍，根号下的三十九。好，这就是最后的答案，这两个非常重要的大招大家一定要记住，学会了的话大家来看一下这道题，打出你的答案。 顺便麻烦大家帮我去抖音精选 app， 点右下角的推荐大拇指按钮，让我的作品被更多人看见。苦练十年，不如名师指点！每周我都会在抖音粉丝群分享独家的大招资料，需要的话大家可以进群领取。

求平面方程加点到平面距离，是不是你立体几何理的计算噩梦？常规解法要找三个点列方程组解系数 算距离，还要凑 a、 b、 c、 d， 步骤多到能写满半夜值，符号错一个直接全崩。今天跟大家分享的大招， 专门解决求平面方程的题型有法向量和平面上一点，直接套公式写方程，求点到平面距离，直接把坐标往公式里一对距离秒算出来，连方程组都不用解，别人还在吭哧吭哧列方程解系数，你这边法向量一拿，坐标一带，平面方程和距离直接到手。 这节我们学习的是关于立体几何的第九个技巧，关于我们平面标准方程去解法向量以及点到平面距离的一个秒杀技巧。那首先呢，我们关于平面标准方程，它的定义就是存在这么一个方程， a、 b、 c、 d 四个 变量，那 x、 y、 z 是 这个空间几何里面的四个，三个未知数，那我们将平面上的四个点代入的话，四个方程我们就分别解出 a、 b、 c、 d， 就 可以构成这么一个平面标准方程。 那在平面标准方程中，如果存在我们的法向量 abc， 那 这个 abc 就是 我们的平面标准方程前面对应的 abc， 而我们的平面上的任意一点 m、 n 和 r 就 可以构成我们 x 减 m， y 减 n， z 减 r 等于零，这样就省去了我们求 d 这么一个过程。 利用此的话，我们就可以知道平面标准方程可以求解我们的法向量，而法向量的话刚好是我们 x、 y、 z 前面的一个系数，它就是我们的一个法向量。那如果将上述平面方程，那放到它的立体几何里面，那它的物理意义 利用它的这个 d 就是 我们平面外的一点，那平面外的一点，那利用平面 标准方程代入其中，在比上我们根号下它关于 a、 b、 c 的 一个平方和开根，即可求到我们的平面到点到平面的一个直线距离。 话不多说，我们同样是以例题的形式，我们这一题呢，要解的是点到平面的距离，那话说我们的四边形为正方形，它的边长为四，而它的一个高 c、 g、 c 为二， 那以此为数据，我们可以画出一个图，那就可以构造一个立体坐标，那立体坐标的话，我们就可以分别写出 a、 b、 c、 d， e、 f、 g 的 一个坐标位置。 为了方便呢，这里已经把各个点的坐标放在了其中，那我们现在要找到的就是关于平面 e、 f、 g 的 平面方程，也就是 a、 x 加 b， y 加 c， z 加 d 等于零，它的 a、 b、 c、 d 的 值，那我们要代入四个点，那现成的点的话，就是我们的 g 点， e 点、 f 点，我们只需要在平面中再找一个点，那最好的点呢，就是我们 g 与我们 e、 f 中点的一个连线，它的一个中点因为高度的话是我们高的一半，而它的占比的话是这整个坐到底面的占比的一个八分之三。那根据我们的相似三角形，我们就可以设出 o 点的坐标，那据此的话，我们就可以计算出 a、 b、 c、 d 的 值，以及这个平面标准方程 话，它最终答案是 x 加 y 加三， z 减六等于零，那再加我们的 b 点坐标等于四，零零代入到我们的求直线坐标中，也就是等于我们的 a 倍 m 加上 b 倍 n， 再加上 c、 r 加 d 的 绝对值。比上我们的根号下 a 方加 b 方加 c 方，那分别代入我们的 a、 b、 c、 d 以及它的坐标值，我们解出答案为 十一分之二倍，根号十一。所以说这道题点的 b 到平面 e、 f、 g 的 距离就为十一分之二倍，根号十一这类题型的话，点到 平面的距离。我们通常利用平面标准方程是用来解一些不那么规整的平面的时候，我们就可以利用此方法用数十计算去代替我们的几何画图来求解它的距离。

这个视频我来讲讲球的体积，半径为 r 的 球，它的体积就等于三分之四派 r 的 三次方。这个体积公式怎么来的呢？来听听我的办法吧。 咱可以把球分成像这样类似圆锥的小块，当它分的足够小时，就可以真的近似看成小圆锥了。这时它的底面积可以近似成球的一小块，表面积记作 s 一， 它的高近似它的母线，也就是半径 r， 所以 圆锥的体积就等于三分之一 s 一 乘 r， 接着球的体积就等于 n 个这样的小圆锥组成。把三分之一 r 提取出来，括号里是 s 一 加到 f n， 这一串相加，就是整个球的表面积，也就是四派 r 方，所以球的体积就等于三分之四派 r 的 三次方，这就是球的体积公式了。 知道了公式怎么来的，咱再来用一用它。比如球的半径是二，那体积是几呢？根据体积公式，就等于三分之四派乘二的三次方，结果得三分之三十二派。 像这样把半径带入体积公式，就能轻松算出球的体积。不过有时候题目会换一种方式考你。比如两个球的体积之比为一比二十七，那他们的表面积之比是多少呢？ 要求表面积之比，也就是四派 r 一 方比上四派 r 二方，两个四派约掉，所以只要算出 r 一 方比 r 二方就行。 来看看条件，体积之比为一比二十七。用公式表示， v 一 就是三分之四派 r 一 的三次方， v 二就是三分之四派 r 二的三次方，三分之四派约掉就变成这样， 那 r 一 比 r 二就等于一比三，这样 r 一 方比 r 二方也能求了，显然就是一比九，也就是表面积之比。 像这样知道体积比，要求表面积之比，关键要把半径比求出来。好了，以上就是这个视频的全部内容，关键记住一点，求的体积等于三分之四。派 r 的 三次方怎么样，你学会了吗？如果会了就速速刷题去吧！

高二数学立体几何的二十一个新版母题学会考试不再卡壳，学不会的的直接存数学，低于一百三十的看过来，这一篇带你进新世界学会就是最强黑马。 梯形一，空间一面直线夹角的，求结梯形。二，空间直线与平面夹角的，求结梯形三，空间平面与平面夹角的，求结梯形四，空间点线面间的距离求结梯形五，空间几何体的体积求结。完整版十七页整理好了，留二十二。

同学们，你用什么方式确定他是锐角或钝角？或者你用什么方式确定这个和两个法项链的夹角是相等还是互补？我们法项链的夹角呢？是不是 a 一 n 二？我们认为他是阿尔法，可以吧，我并不用干什么，我并不用去他瑞和顿，我只要确定他俩是相等还互补就可以了。好，有个方法，大家参考一下。我画的图可能有点区别啊，大家都理解一下啊， 假设这是 p， 这是 b， 这是 c， 这是 a， 我 就这个意思啊，它不垂直，但我假设垂直了，好吧，是不是 p b c a 二面角可以这么理解，是吧？ 那我们两个反向量哎，这是不是垂直这个平面，然后垂直这个平面，为了讲课方便，我讲它是 e， 可以 不 啊？我把这个连上，能理解，是不是啊？同样的，我再画一下啊，我们为了讲课方便，什么意思呢？讲讲公式和做题的原则是什么？别再求新的变量，别增加麻烦啊。 那我们怎么办？我可不可以这么理这，哎呀，怎么画好啊，这个意思啊，这个意思啊，这个是加点 e 是 不也可以？然后呢，同学们，就垂直吧，反向量垂直吧， 我连个线啊，好，把这图拎出来，大家听习惯就理解了啊。我听习惯理解了，把面拎出来，因为老师老不会啊，一不会就拎出来啊，不会了就拎出来。 呃，这个是点 p， 这个是点 a， 这是点 b， 这是点 e， 大家看可以吗？ 看看这这样图，能感觉到这个意思没？你说老师那个一定是这样吗？你别管，你就先这样画啊。呃，我现在呢，我写个东西大家看啊，这是向量 n 一， 这是项链 n 二，可以吧。那同学，老师你是谁呀？你就用 pa， 你 不前面后面吧，就 pa 就 好了啊。 pa， 我 用这三个项链就能鉴定出谁的和阿尔法的关系。注意听，我把准备擦掉了啊，这个没有用了啊。 好嘞，我们如图，这是不是就谁的二面讲，这是不是就阿尔法能理解？好嘞，看老师假设这个情况啊。注意了啊，我先写你们，我先讲写写一下啊，等会你们再理解。为什么啊？ 老师，我没用过这个，你讲老师讲完就用了， 老师什么意思呢？你这个为例啊，你看老师写的是 n 一 n 二，大家能不能看出来 实际这个是阿尔法，是阿尔法吧。哎呀，这是垂直的，这是垂直的阿尔法和写的什么关系？互补吧，按照老师画的两个向量，阿尔法和写的是不互补， ok 吧， 但是你得用计算说明吗？请看 n e 和 pa 的 乘积，正的负的 两个向量的乘积。来点注意力啊，等会我们再换节奏啊，现在就是跟上老师节奏，注意听啊，两个向量的乘积的正负是由什么决定的？摩摩乘于弦，于弦吧， 是由这个假角的锐和钝决定的。很显然，我们这个图一个锐角，大家懂这个意思吗？锐角，所以它乘完之后这是正的， 再来 n 二， n 二是不是这个方向？大概这样哎， n 二和 pa 是 钝角，它就是负的。 正乘负是小于零，是不是符合我们这互补的情况？互补什么意思？是不是现在等符号，因为一个锐一个钝呐，你阿尔法是锐，他就谁是钝啊。阿尔法钝谁是锐啊， ok 吗？ 同理，你说老师那都小于零吗？当然不是，再举个例子，我把 n 二调箭头啊， 假设这是 n 二， n 一 n 二，看出来没？大家来看， n 一 n 二的假角是哪一个？ n 一 n 二， 是不是？这是阿尔法？看出来没？阿尔法吧，这个时候阿尔法结结是不是相等了？相等的啊，这不是互补了，而是相等的关系。 好嘞啊，相等，那这时候来看 n 一 和 pa， 假角是锐角， 那我下面指定要讲 n 二啊， n 二是不是这样？是不还钝角， 所以这是正的，这也是正的。哎，这 r 八和 c 的 什么关系？ 相等了吧，是不是？看是不是相相，相等了是吧，这个加它一百八，这个加它一百八，阿尔法等于塞特， ok 吧。 所以我们可以写成什么呢？ cosine si 等于 cosine 阿尔法。

马上要期末考了，今天给大家带来一套直击弱点的高二数学期末模拟卷。刷题不是目的，精准排列才是。这套卷子覆盖了期末考的所有高维曲立体几何间隙，你是不是总算到一半就帮圆锥曲线大题是不是式子列完就卡住，竖列放松求和？ 是不是一看答案就会一做新题就废？如果你对以上任何一点心虚，那么这套卷子的主题精讲就是你考前最需要的急救包。主题解析一，选择题第一到八题，沤实基础，快速拿分。第一题， 等差数列性质，高考中等差数列常考下标和性质，本题利用 a， 二加 a， 四等于二， a 三等于三，再求 a， 一 加 a， 三加 a， 五等于三，二三等于九选 b。 这类题在高考中属于送分题，务必掌握等差中项的灵活运用。第二题，椭圆方程与焦点位置椭圆焦点位置由分母大小决定，焦点在 y 轴，则 m 减四大于六，减 m 大 于零，解得五 m 六选 d。 高考中长结合取值范围设置陷阱， 注意分母为正的限制。第三题，空间向量的向量模型是解决立体几何的通用方法，本题利用中点公式与向量减法 逐步推导出向量 o、 b、 e 等于二分之一，叶减二分之一 b 加 c 旋 c。 高考中此类题考察向量基底思想，务必熟练掌握几何向量的代数化表达。第四题， 直线与圆的位置关系先求圆心到直线距离 d 等于两，再减去半径 r 等于一，得最小距离为一选 r。 高考中常考距离最值问题， 核心式判断直线与圆的位置关系。第五题，递推向量与构造等比向量通过变形 n 加一减一等于二， n 减一，构造等比向量得 n 等于二的 n 减一次方加一则 a 一 零零等于二的九十九次方加一选 c。 高考中递推向量长虚配凑长数转化为等比模型。第六题，轨迹向量长虚配凑转化为等比模型。第六题轨迹方程与双曲线性质得到 o， q 等于 up， 集合原半径推导出 o， b 减 o， a 等于二。符合双虚线定义的方程 x 平方减 y 平方八等于一选 a。 高考中轨迹问题常结合圆锥曲线定义，注意定义法的运用。第七题椭圆离心率范围与面积比转化，通过内切圆性质将面积比转化为线段比， 结合椭圆定义的 landa 等于一，一加一有二， landa 小 于等于三，推得一二分之一，一选 d。 高考中离心率范围题常融合几何性质，需灵活转化条件。第八题，双曲线渐近线与垂直平分线性质， 连立直线与渐近线利用垂直平分线条件推出 b 等于三啊北渐近线方程为 y 等于三 x 选 b。 高考中渐近线方程常结合直线位置关系考察，注意终点与垂直的代数处理。二、选择题第九到十一题综合判断，避免陷阱。第九题， 等差数列前项和最值 u s 九等于十八反退公差 d 等于减二得 s 一 等于零，且 s n 再 n 等于五或六时最大选 b。 c 高考中场考等差数列前项和最值与符号变化点第十题， 直线与抛物线的位置关系连立得弦长 a、 b 等于八，面积 s 等于两倍，根号两选 a、 c。 注意选项 d 中点到 y 轴距离应为三、易错。高考中抛物线常考弦长面积、垂直条件，建议熟练掌握连力方程组与维达定力应用。第十一题 正方体中的动态问题。阿向需验证角度是否恒成立。 b 向利用向量平行推，体积不变 d 向计算二面角正弦值选 b、 c。 高考中动态几何题常考体积不变，距离最值。二面角计算，建议建立坐标系，系统处理。三、填空题第十二到十四题 灵活运用，快速计算。第十二题等比数列片段和利用 a， 三加 a， 六加 a， 九等于 q， 平方 a， 一 加 a， 四加 a， 七得 q 等于二。分类讨论的 s， 九等于九或十七、高考中等比数列常考片段和性质，注意公比正负讨论。第十三题 抛物线中点弦斜率公式，利用点叉法得 cap 等于四、高考中中点弦问题，首选点叉法，快捷准确。第十四题 双曲线离心率与垂直条件，利用 a、 e、 b、 a 二 c 推得 a 等于 b， 则 e 等于根号。二、高考中双曲线离心率常结合几何垂直条件，注意对称性简化计算。四、解答题第十五到十九题系统建模，规范书写。第十五题圆的方程与弦长问题。 一、利用圆心在直线上且过两点列方程组，求解二分斜率是否存在，讨论利用斜长公式两倍根号二，平方减 d 平方等于两倍根号三解出直线方程。高考中直线与圆问题，常考斜长计算，注意斜率不存在情况的讨论。第十六题竖列地推与求和 一、通过取倒数构造等差数列二列项求和得 s、 n 等元斜杠二 n 加一。高考中地推数列常考取倒数与列。项求和属于中档题型。第十七体立体几何综合一通过线面平行判定定例与面面平行性质证明。二、 建立空间直角坐标系，利用线面角求高，再用法向量求二面角于弦值。高考中例题几何必考间隙求角，务必规范间隙与法向量计算。第十八题竖列的通项与求和一、 由递推式猜出 n 等于三， n 减时，再用等差数列定义证明二、分段求和注意向的正负变化。三、错位相减法求 r、 n。 高考中数列大题常融合分段求和与错位相减，需细心计算。第十九题抛物线综合应用一、 u f 等于二，得 p 等于二。二设斜率联力方程，利用对称性推导定值。高考压轴题常考抛物线中的定值与最值， 其熟练掌握适而不求与函数建模思想。这套试卷覆盖了高二上学期全部核心难点，尤其是圆锥曲线定义、 空间向量间隙、数列递推与求和更是高考的常客。如果你能在这些题目中做到思路清晰、计算准确，期末高分自然水到渠成。建议大家针对错题回归课本， 巩固定义训练。计算数学没有捷径，但有方法，如果觉得解析的很可以，记得一箭三连，我们下期再见！

碰到上下底平行的悬浮多面体，常规算体积简直是拆盲盒式切割，又是挖棱锥又是补棱柱，切的七零八落。如果学会了万能体积公式， 这种顶点卡在两个平行平面上的不规则多面体，不用切割，不用补型，只要扫出上下底面面积、终结面面积和整体高度，直接套公式，哪怕是只有一条棱在上平面的悬浮棱情况也能精准捕捉，连上下底为零的极端情况都能稳稳拿捏。 这是我们关于立体几何与空间向量的最后一个技巧，是关于万能体积公式描写。但说是万能，其实它是有一个前提条件的， 它所适用的前提条件就是所有的顶点都在两个平行平面内的一个多面体，如果不构成这个条件的话，那这个公式是不太适用的。但由于它是用大部分的立体几何，所以说我们把它叫做万能体积公式，那么来看一下它的具体表达，就是 也是六分之一 h 乘以 s 上加 s 下加上四 s 六分之一的。其实我们在前面学过关于四面体的一个意面空间，如果对棱长度为 ab 的 话，它的距离为 d， 它们之间的夹角为 sin x， 它的话，那这里也是我们的六分之一。但是在用的时候将它区分开来，这个的话主要适用于我们减向量的题或者求取最值的情况下，而这个的话就是去求解我们具体的一个固定的立体几何的一个相关体积， 那这里的 s 上 s 下的话，就不用多说，是这两个平行平面内，它构成顶点所构成的面积，那其中一个面如果是一条线的话，那它的面积对应就为零，那这个 s 呢？是指它的一个中截面，也就是各个棱的中点所构成的一个 图形，它的一个面积的四倍，那就是等于六分之一 h 乘以 s 上加 s 下再加四倍 s， 说我们利用这个公式进行实操一下，那这是一道这么一道立体，那根据这个题目呢，在这里提前帮助大家理解。画了一个图， 那这个图上说底面是我们的一个正方形，那我们根据我们的公式，它要求体积的话， v 等于六分之一， h 就是 它的距离，那应该是二，那我们的 s 上， s 上可以发现它是一条直线，那应该是零。我们的 s 下的话是一个正方形，那就是九。再加上我们的四倍 s， s 的 话是我们的中截面，中截面构成的也是我们的一个矩形，那它这里的中线长度应该是二分之三，加上三的二分之一倍，那这里就是二分之一， 乘以我们的二分之九，然后再乘以我们侧边长度应该是它的中位线，那就是二分之三， 结果的话就是我们的二分之十五。那利用这么一个公式的话，无论是这个多面体，它是直的也好，还是写这么一个倾斜的状态，我们都不用再去求它具体的底面积高是多少，然后去判断它到底是一个锥体还是柱体的形状，那我们都可以一次 直接求取它的体积，而不用再去判断它具体的形状，再利用我们的底层高去求解。

同学们，这个视频老师接着来给大家讲我们的交线问题。首先这是一个四面体三角形， a、 b、 c 是 正三角形，然后 a、 c 大 是直角三角形，且 a、 c 大。 a、 b、 c a、 b、 c， 它是正三角形， a、 c 大， 它是直角三角形，且 a 大 等于 c 大， 说明 a 大 等于 c 大， 说明角大是直角。 然后平面 r 法过点 a 和 c， 且 b 大 垂直于平面 r 法， b 大 垂直于平面 r 法，则平面 r 法与侧面 c、 b 大 的交线是多少？ c、 b 大。 要使得 b 大 垂直于 r 法，根据我们已知条件，我们的 c 大 是垂直于 a 大 的，已经有一个垂直了，而底面 abc 是 一个正三角形的话，正三角形。我们通常想到它三相合一，那我们就找到 a 的 中点为 o 点，我们连接起来， 连接起来的话，我们就有 b、 o 是 垂直于 a、 c 的， 能正，然后它正三角形，直角三角形。我们还有 ab 等于 b 大， ab 是 等于 b 大， 它是等于二的，它两个是等于二，那这个因为底面是等边三角形，二 底面等边三角形，这里是一，一，所以说根号二，这里是根号二， 那它这里。因为等腰直角的话， b、 o、 b、 o 是 垂直于 a、 c 的， 而根据等腰直角，我们的大 o 它也是垂直于 a、 c 的， 那我就可以正到 a、 c 实际上是垂直于平面 b、 o 大 的 a、 c。 如果一旦垂直平面 b、 o 大 的话，那我就可以 b 大 是在平面 b、 u、 d 里面的，所以我就推出 a、 c 实际上是垂直于 b 大 的，那我们要过要做平面 b 大 是垂直于平面 r 发，那说明我们的 a、 c 是 不是在平面内？ a、 c 是 包含于平面 r 发的嘛？因为平面它要过。哦，人家说了过点 a、 c， 我 们已经证到了 a、 c 是 不是垂直于 b 大， 那已经有一条垂直了，那我们只需要再去证明一个 垂直 b 大 的，是不是就能找到我们的 b 大 垂直平面，那过 a 点或 c 点，随便找一个点，假设 c 点过 c 点做 c h 垂直于 b 大， c h 垂直于 b 大， 那 c h 垂直于 b 大， 我们的 b 大 又垂直于 ac， 是 不是就能证到 b 大 是垂直于平面 ac 的？ 那这个也就是我们的 r 号码，我们把 a、 h 连接起来，连接起来，我们现在要去求交线，交线的话，平面它要和平面 bc 大 的交线，其实就是要求 c h 的 长，那 c、 h 的 长的话如何来求？ 刚才我们是做的 c h 垂直于 b 大， 那我们在 bc 大 这个三角形里面，我们看一下怎么来求 bc 大 的话，我们把它的平面图形画出来 bc 大， 而我们的 b 大 是等于二的。题里面已经有了，然后 bc 也是等于二，而 d c 是 等于根号二， d c 等于根号，我们过的 c 点做的是 b 大 的垂线， 垂线，那我们可以要求高 c、 h 的 话，我们是不是用等面积法，等面积法的话，只需要把三角形的面积求出来，而这三角形的话，我们现在只知道三角边随便用一个 角，用哪个角，肯定用这等腰的底角啊。这里做个高，假设为 g 点，那我们很容易就可以把这个角求出来。因为这里是二分之根号二，所以我们的 b g 的 话，它应该是等于二的平方减去二分之根号二的平方 开根号，也就是根号下四减二分之一，二分之七，就是二分之根号十四。 b、 g 等于二分之根号十四，所以我们的三角 b 搭 g 等于 二分之根号十四，比上二，也就是四分之根号十四。所以根据等面积法的话，就是二分之一乘以 b 大， b 大 的话，是不是二再乘以 c、 h 要求的等于二分之一乘以二乘 根号二，再乘以四分之根号十四。把这二分之二约掉，把这里二约掉，这里根号二，这里还剩下根号七，约一个二， 所以 c、 h 应该等于二分之根号七，所以答案应该是二分之根号七。我们再来捋一下这这个题的思路，这个题的思路因为它要过点 ac 做一个平面 r 法与已知的 b 直线 b 大 垂直，那么很明显我们 b 大 是垂直于 a、 c 的， 但是我们刚才也再次证明了 b 大 为什么垂直于 a、 c 的 啊？ b 大 既然已经垂直了 a、 c， 那 我要垂直这个平面，要过这两个点，那我可以过 a 点做 a、 h 垂直于 b 大， 那这个时候我们要求的话就是我们这个结面与 a、 b 大 的交线，而我们要做的是在平面 b、 c 大 的交线上，那我肯定就是过 c 点做 b 大 的垂线，这个时候 c、 h 是 垂直于 b 大 c、 h 一 旦垂直 b 大 的话，我们可以得到 b 大 是垂直于这个 a、 c、 h 这个平面，而 a、 c、 h 的 平面也就相当于是我们的 r 法，然后再根据解三角形的方法就可以把我们的交线求出来。关注我，后面更新更多的解析技巧。