八上数学飞镖模型的做法辅助线

同学们好，我是小树老师。今天我们学习飞镖模型，如图所示，形似一个飞镖形状的模型就是飞镖模型，对应的结论为，角 d 等于角 a、 加角 b、 加角 c。 证明结论的方法比较多，我挑选其中的两种进行证明，第一种方法可以延长图中的两种进行证明。第一种方法可以延长其中的两种进行证明，第一种方法可以延长其中的两种进行证明，第一种方法可以延长于点 e， 这样飞镖就会被分成两个三角形。在三角形 a、 b、 e 中会由这个角假设是角一，角一等于角 a 加角 b。 同样的，三角形 c、 d、 e 中 也会由角 a、 d、 c 等于角 c 加角 e。 现在角度 a、 d、 c 就 可以直接换成 a、 b、 c 之间的关系， 因为原来是角 c 加角一角一换成角 a 加角 b， 这样就能够得到我们的结论了。第二种方法也是一样的，通过构造三角形连接图中的 b、 d， 并且把它做一个延长。现在飞镖会被分成三角形 a、 b、 d 和三角形 b、 d、 c。 在三角形 a、 b、 d 中由外角定里可以得到，假设这个是角一，这个是角二， 角二就等于角一加角 a。 同样的，三角形 b、 d、 c 中也可以利用外角定里得到角四等于角三加上角 c， 而角 a、 d、 c 的 部分 刚好是由角二加角四构成的。角二可以用角一加角 a 去代替，而角四可以选择角三加角 c 去代替。 代入以后，角一加角三的部分刚好是一个角 a、 b、 c 等于角 a、 b、 c。 加角 a、 加角 c。 也就是原来的角 a 加角 b、 加角 c。 所以 这个结论我们就证明好了， 接下来我们看一下模型的应用。已知角 b 等于四十五度，标注一下，四十五度角，角 c 为二十五度，求角 a、 d、 c 的 度数。 角 a 是 一个三十度，直接代入数值，所以角 a、 d、 c 就 等于角 a 加角 b 加角 c 等于 四十五度，加三十度加二十五度。得到最后的结果应该是四十五加二十五为七十，那应该是一百度，所以 a、 d、 c 的 度数就求解出来了，为一百度。 像这样的一个飞镖模型的结论，在选填里面大家可以直接使用。

今天挑一个知识点挑战三十秒背课。比如这个初中数学飞镖模型，帮我生成一个飞镖模型定力演示动画，一起来看看效果。拖拽一个点，动态呈现关键构型与角关系， 旋转顶部滑块，观察点 o 与三角形 a、 b、 c、 d 各边关系变化，帮老师从识别到构造到证明讲清楚点，这里一键同款，这个优秀案例直接免费使用。还想看哪个知识点创意教学，下次安排上。

如果你还不知道什么是飞镖模型，那么在考试当中，你的几何证明题将会遇到大麻烦。首先我们来看一下啊，飞镖模型的飞镖，顾名思义是说一个图形，他长得像飞镖一样，看到没有尖的嘛？哎，他就是飞镖模型了， 或者说我们把这个图形看作他是一个四边形，在四边形里面往内凹进去一个角，他也就是飞镖模型。那么这个呢，出现了四个角，角 a、 角 b、 角 c 跟角 d， 然后让我们去证明 角的这个凹进去的角等于另外的三个角相加。那么这个飞镖模型呢，总共有两种证明方法，哎，知道的同学可以在评论区当中留言。我们先看第一种方法，第一种方法呢，我们直接连接 a 的， 然后把这个 a 的 呢给它延长。 想要证明飞镖模型，需要用到的一个结论是内角定力的结论，那么我们把 a、 d 给它连上之后，这不出现了两个三角形，我们在左边三角形当中，我们看一下哈，角 d 的 一部分是不是正好是 a、 b、 d 的 一个外角， 那这个外角等于什么呢？它等于与它不相邻的两个内角之合，那不就刚好是角 b 加一部分的角 a 了吗？是不是就等于角 d 的 一部分？反过来右边是不是同理啊，这一个角的外角是不是三角形 a、 c、 d 的 外角，它等于角 c 加上一部分的角 a 就 等于 它了。那最后我们合并一下角 d， 这两个部分是不是正好一个是角 b， 一个是角 a 的 一部分，另外的是不刚好是角 c 跟另外一部分的角 a 合并起来，是不正好是一个角 a， 所以 说就能证明出来角 d 等于另外三个角相加，这就是 方法之一，方法之二啊，我们重新画一个图，方法之二的话呢，它还是需要做辅助线，这个时候辅助线呢，我们直接延长 b、 d 相交 a、 c 于点 e， 那么这个方法跟第一个方法一样，也是需要用到外角定里的，那这个时候哪里看外角定里呢？先看 a、 b、 e 这个 a、 b、 e 当中，它的角是不刚好是 a、 b、 e 的 外角，那这个角等于什么呢？它等于角 b 加角。哎呀哎，所以我们写下它是等于 角 b 加角 a， 那 再来角 d 在 哪里呢？角 d 是 不刚刚好是这一个 c、 d、 e 的 外角，而它是等于这个角 dc 加上这个角 c， 角 dc 不 等于角 b 加角 a 吗？再补上一个角 c， 不 就是角 b 加角 a 加角 c， 同样也能证明出这样的一个结论。所以说非包模型，它在我们几何证明当中呢，是属于一个比较重要的一种模型，大家都学会了没有？

我们今天来学习一下利用飞镖模型来求多个角度数和的问题，这就是一个最基础的飞镖模型，这里面一共存在这样四个角，那这四个角之间有什么关系呢？我们连接 a、 d 做一条辅助线， 那么现在角 a 就 被分成了一、二两个角，角 d 也被分成了三和四两个角，所以角一加角二等于角 a， 然后角三加角四就等于角 d。 那 我们来看这个角三 是不是这个三角形 a、 b、 d 的 外角呀？是，外角的话，外角等于不相邻的两个内角的和，所以角三就等于角一加上角 b， 同样的这个角四是不是这个三角形 a、 d、 c 这个三角形的外角呀？这个角四也等于不相邻的两个内角的和，就等于角二加角 c， 然后我们把它们整合一下， 角三加角四是不是就等于这边这一堆相加角一加角二加角 b 加角 c 呀？ 角三加角四是不是等于角 d 呀？角一加角二等于角 a， 所以 整个式子就变成了角 d 等于角 a 加角 b 加角 c。 那我们现在再来看一下这道题吧。这个题我们现在就可以分解成 a、 b、 o、 f 是 一个飞镖模型， e、 d、 c、 o 是 一个飞镖模型。那么这里这个一百一十五度是不是就正好是 e、 d、 c 三个的和呀？那同样的 这个角的对顶角是不是这边这个角，而正好这个角又应该等于 b、 a、 f 三个角的和呀？所以这六个角相加是不是就应该等于这两个数相加就等于二百三十度呀？这个就解完了，利用飞镖模型很快就出结果了， 那我们再看一下这道题，在三角形 a、 b、 c 中，角 a 是 四十度，然后将一个直角三角形，这个就是直角 放到了这个三角形上面，两个板分分别经过 a， 经过 b， 那 我们现在看吧，这个 a、 b、 d、 c， 这个是不是就是一个飞镖模型？然后这个角 d， 这的这个九十度，是不是就等于角 a 加上 这这个 a、 b、 d 呀？还有这这个二 a、 c、 d 呀，是不是就等于加上这个角一和角二呀？那这个角 a 是 四十度，所以角一加上角二是不是就等于五十度呀？ 就是我们这要求的这个五十度，我们要记住飞镖模型里面这四个角的度数关系哦。