初三一检数学几何图形

我们一起来看一下二零二五年海淀一模的几何综合这道题呢，我将详细的给大家讲解一下，我们鸡爪模型在思考的时候需要注意哪些细节。呃，在这两年考试的过程当中，我们会经常遇到鸡爪模型的练习题， 也就是手拉手的构造的一个方法，那在后续的考试当中呢，这种题出现的频率依旧会非常的高，所以大家一定要注意。第一题的图呢，咱们已经画完了，所以呢我们就直接奔着这个题目来就好了，我们知道的是角 a、 b、 c 等于阿尔法， 然后呢这个地方旋转的是四十五度，所以下面这个呢是四十五度减去一个阿尔法。又因为在题目当中呢，它会有一个 直角三角形点， d 是 中点，所以在这里面就设到一个涉及到一个斜边中线的问题，那么这样的话呢，我们就知道他就会有等腰，也就是 b、 d， 他 应该就等于 ed， 那 这样的话呢，咱们这个 edc 的 度数就可以直接出来了，角 edc 应该是等于九十度，减去二倍的阿尔法。第一问呢，非常简单，那接下来我们来看一下 手拉手构造的常见的三个方法，大家一定要弄清楚，我们从头开始去思考的话，手拉手模型的核心，它是由两个等腰三角形绕着其 顶角或者说顶角点旋转产生的一个特殊的全等状态，所以我们再去构造手拉手的时候呢，本质上是在构造第二个等腰三角形，或者说构造等腰三角形，因为当你有两个等腰三角形，此时你才能出手拉手，这里边大家一定要注意，那我们在平时做题的时候，你就需要去想一想，哪些条件可以 给你带来等腰，你可以通过哪些条件构造出等腰，这个呢就是我们所谓的手拉手构造的核心方法了。有第一个方法呢，是我们在一开始讲解的内容叫做特殊角度 构造特殊图形，如果给你六度，给你四十五度，这个时候呢，你一定能想到六度构造出等边，四十五度构造出等腰值，那么你构造出等边和构造出等腰值该怎么用？第一个用法就是利用等边和等腰值这个特殊图形的性质，辅助你倒边倒角解决问题，此时我是没有放在手拉手当中的，对吧？那你利用了等 边和等腰值这两个特殊的性质，辅助你去倒边倒角，你没有解决问题的话，你接下来你就要想一想，或者说你你脑子里要有第二个思路，就是他有没有和题中的其他的等边和等腰值联系到一块。我现在自己构造了一个等腰值，题目中还有一个等腰值，这个时候咱们手想的一定是手拉手模型， 是第一个构造方法，第二个构造方法呢是三线合一，我一般称之为其为垂直倍长，什么意思呢？就是有一个直角三角形，那么我们会发现它这个时候呢俩直角边，你随便倍长一个直角边对不对？它就能形成一个等三角形，这个呢是二零二三年北京中考的考法， 所以我们这两年遇到了很多在利用直角三角形的一条边进行倍长构造出等腰，然后出解决问题的原因也在找这个方法你也必须要掌握。 第三个其实对于我们来说呢，都比较熟悉，就是我现在呢有一个点，然后呢这里面有一条线，假设这是 o， 这是 a， 我 o a 绕着这个点 o 旋转到 b 这个位置，它只要旋转了，这个时候等腰就已经出来了，对吧？ o a b， 它就是一个隐藏的等腰三角形，所以呢，你可以在这个顶点 o 处找一找它有没有其他的边，然后你让其他的边呢也旋转同样的角度，这个时候呢，你的手拉手就出来了， 所以所以我们再去解决这个手拉手的问题呀。你首先你要先清楚哪些可以构造出动摇，这是我们常见的，也是限阶段常考的一些内容。那接下来我们来看第二个题目中说使 d j 等于 a d。 好， 各位，我们看到一个边相等，你能想到什么？看到边等，我们能想到两个内容，第一个它是否会出特殊图形，特殊图形根据边等咱们可以去倒边倒角，这样的话呢，可以在几何当中去解决很多问题。第二个边等能否出全等？因为边等如果说这两个边没有什么相相干性，我在另外一个边构造一个和你一样的三角形，咱俩就全等了， 这个是一个很重要的一个内容，大家一定要注意，那我们来瞅一下啊，题目中的 d j 等于 a d 做完了之后呢，我不知道你自己有没有这样的一个内容的，它里面有一个隐藏的三角形， 谁呢？等腰直 a d g 等腰直角三角形 a d g， 它通过这样的一个说法描绘出了这样的一个三角形，那我要是想解决这样的一个问题，我就可以通过这样的一个角度去思考，换句话来说， d g 旋转九十度到了 d a 这个位置， 对吧？然后呢接下来他又说了 e g， c f 和 a f 之间的一个数量关系，那我们这里还知道什么？这个 f 角应该是四十五度，因为这个角是四十五度，这个地方是垂直的， f b e 是 一个等腰值，那我怎么去解决这样的一个问题？ 所以在这里边我们去思考的时候呢，就会想到，你会发现三角形 a d j， 它已经给我们一个非常大的提示了，有一个旋转九十度，有一个边等，对不对？它这边有一个等号值。所以我在读到这个题目当中，我一开始如果说是比较迷茫的话，那我首先想的是在 d 处看一看是否会存在第二个等号值，是否会存在第二个等号值。 各位，你会发现此时呢，你在借助第一问的一个条件，你会发现这道题好像也就呼之欲出了啊，为什么这么说呢？这个角是 r 发度，这边这个角呢是九十度减去二倍的 r 发度，所以我在这边构造一个等腰的话呢，这个等腰一旦构造出来，那这个地方一定是垂直，然后你一连接，你会发现这道题呢就做出来了， 所以我们这道题的总体上的思路来说并没有那么难，需要大家对于鸡爪模型，也就是手把手构造其中的一个方法足够的熟悉。那我们来看一下，我在这里呢直接构造一个等腰，我假设这边是 n， 这样的话呢，这个角就是阿尔法，这个角如果是阿尔法的话，那这个角就是二倍的阿尔法，此时你会发现，等腰直角三角形我们就已经勾出来了，对吧？而且呢，在这个地方呢，你会发现你连接 n c， 你 也能得到一个垂直 啊，这个是我们所说的这样的一个图形的一个特殊性啊，当然了，我们这个呢，也是有点马后炮，所以大家在考试的时候呢，分析的时候一定要注意这些内容，那这样的话呢，我们会发现这道题就很简单了，这个三角形和这个三角形全等一旦中出来之后， 会发现这个 e g， 它应该假设这边是 a， 它就等于 a n， 那 我们还要知道的是 f c， 在 这 f c， 如果是 b 的 话，那这边呢应该就是二分之根二倍的 b， 所以呢，这个 a f， e g 和 c f 之间的关系咱们就出来了，那这道题呢，咱们也就中 b 了，这个呢是二零二五年海淀一模的几何综合，当然了，这个鸡爪模型在今年出现的频率依旧会比较高，大家一定要注意。

同学们大家好，今天张老师来大家看看，来带大家看看这个高考的福州初三一卷数学的数学的这个，这个，这个选择题，最后一题，他说二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， a 不 等零的图像经过四个相线，则下列判断正确，一定正确的是。好，那我们来分类讨论一下。第一种抛物线开口向上，那就是 a 大 于零。好，那我们来观察一下会怎么样？ 呃，如果说是这个顶点在在这个，在这个 x 轴的上方，也就说顶点在 x 轴上方，让你们看一下，这样子是不是肯定不经过第三相线和第四相第四相线，所以说不行，是吧？所以说顶点必须在 x 轴下方，那如果说， 如果说是这样子，如果说是这样子这样子的话，那就不经过第四相线，对吧？ 那此时此时他的这两根，两根都是两，两根都是负数，对吗？但是如果说两根一个是负的，一个是正的，那我们把它们连起来，你看一个是负的，一个是正的，那是不是一定一定经过四个相线 啊？所以此时两根之积，两根是一号的，也就是说 x 一 乘 x 二等于 c， 除以 a 小 于零。好，那我们再看这个把抛物线开口向下的情况，也就说 a 大 a 零的情况， 那如果还是同样的道理，如果说这个顶点在 x 轴下方，那肯定不经过第一枪线的第二枪线，所以扯去，所以顶点必须在 x 轴上方，那如果是，如果还是和刚才一样，如果说这两个顶点，如果说这两个零点啊，零点同号， 那比如说这个这两个同号，嗯，那如果说是同号的话，这样子，这题这样画，那是那是刚好，刚好有经过， 刚好有经过。这个，嗯，如果是这样子的话，它它它刚好经过第一象限、第三象限和第四象限，但是不经过第二象限，那其实我们画图观察也会观察到，此时它的两个零点 x 一 x 二也是到一号，只要满足 x 一 和 x 二，一个大 a 零，一个小 a 零， 那那肯定满足这个经过四个象限。所以也就是说 x 一 乘 x 二为零，那 x 除以 a 小 a 零， 那你在左右两边同时乘以 a 方，因为 a 不 等于零嘛，所以 c 除以 a 乘以 a 方就小于零。乘以 a 方，那零乘以 a 方是零，那 c 除 a 乘 a 方是 a c， 所以 得到 a c 小 于零。所以这题一定正确的是选 c。

这是成都锦江一整解答的亚洲题最后一问，整体难度是属于四颗星，整体比去年要稍微容易一些，但是还是会有一些小的窍门，还有包括我们的基本功，我们一起来看一下。 菱形 abcd， 四边相等 af 等于 d， 我 们可以标注出来这两边相等，根据菱形呢，四边相等， ad 等于 dc， 那 剩下的两条线段 df 应该也应该等于我们的 c， 一 三条线段交于一点。那么如果说学过呀，美丽老师定义，那肯定就知道吧，我们有一个呀，成绩的等式，那如果没学过也没关系，我们接着看它还有哪些条件。 b c 呢？等于 n 倍的 c h， 这是 b c， n 倍的 c h， 我 们可以设它为一份，那么 b h 这段长来讲呢，就应该是 n 减一份，总共长来讲呢是 n 份，那么上面呢，这个 a d 长呢，应该也是 n 份。好了，接下来之后呢，我们看一下求减的问题， 它说是 h m 和 d g 的 比值，我们观察一下 h m 和 d g， 它的位置关系是什么？是斜着的，而且在于什么？在同一直线上，在同一直线上，我们给大家讲过啊，相似三角形总共是有十五种方法， 那么第一种方法就是最常见的解决同一直线两条线段比的问题，就是构造我们的 a 字模型和八字模型来解决这个问题。 而且呢，在这个题目中出现了多条线段相交于一点，这种类型来讲啊，也是属于非常典型的多个八字模型，也就是我们的线数模型这种类型。 当然说在这个压轴题里面呢，其实第一小题和第二小题其实已经有所提示了，那么我们在解决这类题的时候，只需要去想办法去构造 h m 和 d g 所在的相似三角形就可以了。 构造的原理，然后就用我们基本讲的这个方法就行了，我们来看一下 h m， 那 么 h m 来讲呢，这个是在 h m c 这个三角形小三角形中，那和上面这个 a d m 标准的是一个呀，相似三角形，所以说此时来讲呢，我们可以把它写出来，那就是三角形 m h c 相似于三角形 m a， d a， 我 们可以写出它对应的比例关系，这个是一份，上面是 n 份，那说明直接写出来就是一比三 n 就 应该等于 m h 比上呢，我们上面这条线呢是 d m。 好 了，接下来之后呢，我们来看一下我们要求解的问题来讲是 m h 和 d g 的 比值，但是注意观察一下，现在这个是一比上 n， 所以 说我们可以给他做一个变形，那就相当于是他是一份， 这个上面呢是 n 份，那总共是多少啊？是不是 n 加一份，所以说我们呢可以把它变形一下，就是这个呀，就变成总共的 n 加一分之一，所以说我们可以给他变形一下，那就是 m h， 那 就应该等于 n 加一分之一，所以说我们总共这个大的这个长，总的这个长就是 d h。 这 一个变形大家要会啊，就是我们呢统一的后面呢都用来 d h 表示出来，比如说这个 d g 也是一样的，待会呢我又求这个 d g， 然后啊就等于多少倍的 d h， 这样的话呀，那分子分母都有 d h， 那 这个是不是直接就抵掉了就可以了，好了，我们来看一下，那这个 d g 如何来求呢？ d g 明显呢可以和 g h 进行呢相似比，但是这里面来讲呢，是在同一直线上来讲啊，那这个时候图形还没有补全，是不是？如果说用这个八字模型，用这个八字模型， 那我们注意观察到这个是一份这个 d f 这个长度来讲并不知道，所以说来讲，我们直接用的话来讲啊，还不行，我们可以直接设这个为 a， 那 左边这个来讲就是多少 n 减 a， 那下面这个就是 n 减 a， 这个来讲啊，也是 a， 但是我们注意观察到，如果要用这个八字模型啊， h c， g 和上面的这个 f d g 这个三角形八字模型的话，那你会发现来讲这个 a 是 并并不知道的，所以说我们需要啊将这个 a 求出来，这是我们常规的思路啊。那么接下来还有第二种思路来讲是什么呀？重新构造这个 d g 所在的三角形，那么 d g 所在的三角形可以在 d g a 这样一个大的三角形里面， 那么 g h 可以 重新给它构造一个三角形，那我们呢直接把这个图形怎么样？给它延长出来，给它补全出来， 补全出来之后是不是是不是一个标准的一个八字模型？那这样的话来讲呢，你看 d i g 和我们的 g h 就是 一个标准的呀，在同一直线上的两条线段比，然后直接构造一个八字模型，然后就可以了，给它补全出来。 接下来之后呢，那我们看一下补全出来之后，这个比值能不能直接求出来 d g 和 g h， 那 就应该等于一比三 a， 但是还是求不出来， 所以说我们此时来讲啊，还要利用啊，新构造出来的这个大的这个三角形，和上面 a、 d、 g 这个三角形相似，或者是用 a、 f、 g 这个三角形和我们 g、 c、 t 这样一个新的一个八字模型相似，然后来处理这个 a 他的一个曲值，然后如果说能知道 a 等于多少，那这个题就能解决，我们来看一下能不能算，我们根据这个题目中，我们把这个八字模型呢可以写出来，你看我们假设了右边这个为 x， 这个很多人可能很害怕了，然后这些字母比较多啊，我们来看一下，这个是我们根据啊，这个限速模型啊，右比左，左比右就等于右比左啊，那这个时候注意看啊，那右左比右我就不写了啊，这个具体的 左比右就等于右比左就等于 a 比上啊， n 减 a 啊，这个原因很简单啊，就是用八字模型啊，这个来讲啊，比如说 e 比上 a， 是 不是就等于 c g 比上啊？ f h f g， c g 比上 f g i 又等于 x 比上了 n 减 a， 你 自己把它写出来啊，这个如果说你技术稍微比较薄弱的，你就把它写出来啊，如果熟悉了的话，就是右比左就等于左比右啊，这是一个线数模型，非常简单的啊， 你把写出来就长这个样子，但是这个样子的话，你会发现里面有更多未知数，更多的，那这个时候我们其实很害怕这个 x 到底是等于多少，是不是其实并不知道 说这个时候来讲怎么办呢？这个题目中告诉我们等量关系，大家要注意啊，这个题里面有一个小的窍门啊，这个窍门就在这个等量关系的转化，如果说你没有掌握到这个窍门，那你如果说去死记硬算的话也可以，里面就会出现三次和四次， 用主元法也可以解解一个含有主元的一个，然后哇这个，呃，一元二次方程也是可以的，但是如果说你基本功然后不太扎实的话，遇见三次四次你会很害怕，而且主元法如果说你掌握不太熟的话来讲，你很有可能解不出来， 所以说我们在解这个，其实在解这个 x 等于多少，或者是然后哇解这个 a 或者是 n 的 关系的时候，这里面有个小的窍门，这个窍门是啥呢？其实就在于这个题目中等量关系转化，我们观察一下，你看一下 a 比上 n 减 x， n 减 a 是 不是也？这也等于这里的 a 比上啊， n 减 a， 注意啊，我再给你写出来，我用一个另外颜色给你写出来。 等量关系转化这一步很关键啊，那就等于什么呀？ c 一 比上 e、 d 啊，就等于 c， e 比上我们的 e、 d， 那等于啥呢？你注意观察一下， c， e 比上 e、 d 等于什么？那是不是又是同一直线上的两条线段？比又可以构造一个八字模型，是不是这个小的这个八字模型和上面这个 a、 d、 e 这个大的三角形，那又可以用它们连相似比，是不是直接就等于 x 下面这条边 比上啊？上面总共的这条大的这个边看清楚没有？这个 c、 e 在 这里， d， e 在 这里啊，短的比长的就等于下面短的比上长的就应该等于 x， 比上呢我们的 n， 所以 说此时来讲啊，你会发现 x 分 之一就等于 n 分 之 x， 那 这样的话，我们一步就可以算出来， x 就 应该等于根号 n， 大家然后自己一定要算一下中间这个等量关系啊，然后啊，我是一次性写出来的啊，我对于基础基本功不太扎实的话来讲，你要多写几步。 接下来之后呢，这个比例关系，你看一下，这个是根号 n， 那 我们就可以把这个直接写在这里， x 就 等于根号 n。 好 了，接下来之后呢，我们要求解的问题是 d g， 然后呢和 g h 的 比值嘛？对不对？那我们就在下面直接写出来，我们来看一下， 把它写出来啊， d g， d g 比上呢？我们得呀， g h， 那 等于什么呢？我们把它写出来，你看上面比上下面，那是不是就应该等于总共的这个大的？我可以找大的这个三角形，为什么找大的这个三角形？因为上面这个 a d 是 直到的 下面这个来讲啊，是不是也是知道的 h t 不要去找 n 和 a 了，看明白没有？不要去找 n 和 a 了，这是我们刚才讲的时候来讲了，很多同学会设 a， 但是你会发现减 a 的 时候来讲啊，它的计算量会非常大， 所以来讲啊，这个时候我们就不要去找 a 了，因为来讲啊，这个直接有，你看见没有？ g d 比上啊， g h 就 等于上面这个 n 比上啊 h t 啊，我写下来就等于 a d 比上了 h t， 那 实际上就等于 n 再除以根号 n 加一 好了，这个相当于什么呀？上面呢，这个是 d g 是 一个 n 份， d g 是 n 份，那么下面这个 g h 就是 n， 根号 n 加一这么多份。好了，接下来之后呢，我们盘总的，那就是总的来讲，那就是 d g 比上总的这个长度，就是 d h， 这两个相加， 那就等于 n 再除以 n 加一，再加上根号 n m， 然后呢比上来我们的低 g， 我 们直接把它这个值给它带进来就可以了。 h m 等于多少呢？这里面有 m， h 在 这里有啊，那就是 n 加一分之一，然后这么多倍的 d h 好， d g， 然后呢我们把它带进来，那就应该是多少呢？ n 除以 n 加一，再加上根号 n， 这么多倍的 d h 好。 分子分母约分，约分之后来讲，那这个我们然后呢，这个然后把它颠倒一下，就是乘以 n 分 之这么多，那就是 n 加一，再加上根号 n， 那 分母啊，就变成多少了？就变成 n 乘以 n 加一， 这就是 n 方加上 n， n 加一，再加上根号 n， 好， 这个就是我们的最终的结果了。

初三数学模拟考常考的圆的模型第一类叫做定点定长，他的核心特征就是他会告诉你几个相同的长度，而且这些长度是围绕某一个定点。当我们找到这些出题特征之后，可以快速将圆画出，此时我们是以 a 为圆心，一个圆， 那么角 c b 的是十五，就可以得到 c， a 的是三十。同时后面的这个边长关系，我们要联想到二比一比根号三的特殊角度， 也就是过点 a 向 b 的 做垂直交于 h， 我 们就知道 a b 比上 b， h 是 二比根号三的， 从而得到我们的 h， a 得和 h a b 都是六十度。那这道题是不是就迎刃而解了？

hi， 大家下午好，我们今天呢，还是来看一道题目，一道几何题。这其实是一道呃，历年的 全周一模里面的一道题，初三一模里面的一道题。我们先来看一下题目的要求，它要求证 a、 f 等于 c d， a， f 等于 c、 d。 像一般这种求边长相等，求两条边相等的， 我们最常用的就是什么全等，没错，就去卷正两个三角形，它全等。那么这道题呢，我们发现了 a、 f 跟 c、 d 呢？他们其实正好是三角形 a、 f、 d 和三角形和这个三角形 d、 c、 e 的 一条边。那我们就是要去证明一下，看这两个三角形它会不会全等。 我们再来看一下题目给我们的要求。题目告诉我们， abcd 是 一个矩形，这个四边形是个矩形，那么它是个矩形，我们就会知道 a、 d 呢？因为，呃，四边形 abcd 它是矩形， 所以我们就会知道什么矩形有一个性质，就它的四个角，四个内角都等于九十度，是不是？ 所以我们的角 c 呢？也就会等于九十度。还有什么 a、 d 会和谁啊？和 b、 c 平行，那既然平行，我们就会得到什么？ 没错，我们的这两个内错角它会相等，所以我们的角 a、 d、 f 跟我们的角 d、 e、 c 也会相等。好，我们已经找到了一个这个，后面他又告诉我们， a、 f 垂直于 d， e 于点 f， 所以 我们的什么角 a、 f、 d 也等于九十度，那我们的角 a、 f、 d 就 会跟我们的角 c 相等，是不是好两个角？然后呢？ 没错，题目还跟我们说 d、 e 等于 d， a 好 两个角一条边，我们现在就可以证明这个三角形它是全等了，是不是？ 所以我们现在就可以证明，我们就可以得到这两个三角形，它就是全等了， 利用的是什么角角边的关系。那既然这两个三角形全等了，那他那么他们对应的边 a、 f 和 c、 d 也会干嘛？ 也会相等，是不是？好，那么呢，这道题我们就解完了，我们在解这道题的过程中呢，我们用到了题目给我们的所有条件，像 这是个矩形，它告诉我们这个图形 a、 b、 c、 d， 它是个矩形，那么我们就知道矩形它就蕴涵着矩形它所包含的这些条件，它的对边平行写相等啊，它的什么四个内角都等于九十度这些条件。 再接下来他又告诉我们 d、 e 跟 d a 它是相等的，我们又发现 d、 e 跟 d a 它其实就是我们这个这两个三角形里面，他们的两条边， 到后面告诉我们垂直，我们就可以证出，找到了我们所有的条件，可以证明这两个三角形全等的条件，证明他们全等之后，我们就知道他们对应的边就会相等，也就是 a、 f 等于 c、 d， 那 么这一题呢，我们就做到这里。

那本期视频的话呢，讲解一下本次福州市一剪卷的两道几何压轴题，其中第十六题我们在考前的一剪冲刺复习一当中原原本本讲过的，那么用函数法求最值，大家可以参照一下之前的资料，那这边不再赘述了哈， 下面来看一下这个二十五题，简单把条件捋一下，这是一个等边三角形，那么异正 b o 垂直平分 a c。 之前给你们着重讲过，一定要两个点到线段，两段距离相等，这个过程一定要写出来， b a 等于 b c o a 等于 o c， 对 吧？那么这个时候既证明呢，它是高线，也能得到这个特殊角。 角距等于 a d e， 我 们可以用几何标记 r 相等等弧对等弦对等角，所以这两个角可以同时标上背塔。 由于这个是三十度加 r， 这个也是，所以等角对等边第一步就正反了。既然等幺三角形，那么三线合一，这个 e p 将垂直平分 b d， 所以说根据平行线所夹的线段成比例，即可证明 mn 为中位线。第三，很多人说这个辅助线不知道怎么添加，那实际上不需要添加辅助线，你们可以听我讲解一下，为什么 a e 比去 b e 涉及到这个三角形，我们刚才知道阿尔法加贝塔是六十度，对吧？那么这个 e a b 也是贝塔， 因为这个角是一百二，对吧？四边形对角互补，所以说 a e b 与这个 e m b 相似，同时两直线平行，我们可以在 a d e 这个地方标上背他，所以说 a e 假设这个点是 i a e i 和这个 b a e 也是一对拇指相似， 那我们在假设参数的时候，以小不宜大，对不对？本题没有具体的线段长度，肯定要设参数，不妨设这段为 m， 这段为 n， 那 a e 比去 b， e 等于 m 比 n。 第一步正过 b， e 等于 e d。 大 型的几何综合题跟你们讲过，要步与步之间逻辑给大家关联一下，所以我们可以把这个 b e 换成 e d， 于是就得到了 a e 比去 e d 等于 a， e 比去 e d。 这边又是一对母子相似，它将会等于 a i 比去 a d， a d 呢，也是等边三角形边长的一半，所以跟这个 n 是 一样的，我们可以标上 n， 从而证明了 a i 等于 m， 那 么 m i 呢，就可以用 n 减 m 来表示，因为这个 m 是 终点嘛。 接下来可以用这对八字形相似啊，也叫 x 形相似。 i 这个交叉地方构建出一个等式， m 比去 n 等于 n 减 m 比去 m， 接下来交叉相乘参数换算一下即可求出这对比例，所以说特别简单，也不需要做任何的辅助线。最关键的是要用啊，我教大家的这种 几何标记法。只不过这种压轴题呢，更加重视综合的标记能力，既要重视到角度，也要重视到边之间的关系，相互之间是形成了一个整体好，因为在相似当中，角跟边的关系是非常密切的，通过等角找到相似，再切换相似笔， 这也是相似等比代换当中的一种压轴。那么在微窗底当中有详细的这块内容的介绍。

哈喽，大家好，我是李子老师，那么我们最后呢，给同学们来解析一下长区初三期末的几何压轴题啊，当然这个题目呢，同样的就是猜答案也比较好猜啊，我们来快速过一下啊！ 在三角形 a、 b、 c 当中， a、 c、 b 是 大于九十度的啊，那么以 a 为中心将 a、 c 旋转 r 角 啊，这个角是阿尔法角，那么得到了一个 a d 啊，以 a 为中心将 a、 b 再旋转，这个一百八减阿尔法啊，当然，这个什么阿尔法，一百八减阿尔法，一看就知道什么互补是吧，互补啊， 好，然后接下来得到了 a、 e 连接一下 d e 第一个股权图形啊，我想这个还是非常容易的啊。好，并且请你证明， d、 a、 e 跟 b， a、 c 相加等于一百八 啊，这个倒角问题嘛，就快速过一下啊，因为你要把 d、 a、 e 表示出来，对吧？因为这个角总共是阿尔法，我们就设这个角呢，是贝塔，就是 b， a、 c 是 贝塔， 那么这个，呃， b、 a、 e 这个角呢，是一百八减去，总共是一百八减阿尔法，这个是贝塔，那么这个小角呢，就是一百八减阿尔法减贝塔。 好，这个是贝塔，这个是阿尔法，所以 d、 a、 e 总共就是一百八减去，呃，这个，这个阿尔法加上一百八减去阿尔法减贝塔，所以其实这个角总共就是一百八减贝塔，对吧，再加上一个贝塔等于一百八啊。 这个呢，咱们就不多说了，也没有什么特别要讲的，就是一个常规的这个倒角问题。好，那么第二个如图二 点， f 在 延长线上角 afc， 呃，等于角 e 就是 这个角，再加上角 b， 那 么它让我们求 af 跟 d e 之间的关系，但是你观察一下， d e 在 这， af 呢，大概在这是吧， 因为这个题目当中也没有什么所谓的特殊角，没有什么三十六，十四十五，那么所以在这里面的数量关系呢？一，一般来讲呢，就是个整数倍关系啊，当然同学们还是的一样的，在考场上呢，咱们自己呢，拿尺子量一量，对吧？你在这个当中把这个图呢，稍微做一做，尺子量一量 啊，稍微观察一下啊，那基本上呢，就是一个整数倍，两倍关系好，那么所以你在考场上通过相对准确的作图呢，能够猜出答案啊，这个题目拿个四分左右也不太难，那最后的问题是怎么证明两倍关系，是吧？ 还是那个原则啊？不要忘了，就是第一问给我们的提示，他告诉我们 d a e 就是 呃，这个 d a e 加上角 b， a c 等于一百八， 你两个角相加等于一百八，肯定得用的上，对吧？而角相加等于一百八，很命线，就是互补嘛，所以最常用的辅助线的方法就是延长找补角啊，这个是最常用的，对不对？ 好，那我想这个逻辑也就比较清晰了，那么 b a c 跟谁相加等于一百八呀，我们可以怎么样啊，把它延出去 好，那么当然，为什么要这样想呢？原则上就是你要证明 a f 等于呃呃，跟 d e 之间的一个数量关系，对吧？而且角 a f c 等于角 e 加角 b， 角 b 跟角 e 是 一个，同学们看这个图，角 b 跟角 e 是 一个 八竿子都打不着啊，看起来也太远了，对吧？所以你得把这两个角呢放在同一个三角形当中，哎，再结合什么什么旋转，什么阿尔法啊，然后加上这个角跟这个角互补，所以我们会想到什么啊？手拉手模型是吧？ 所以在这里面呢，提供一种思路啊，就是将 b a 延长至 h 啊，我们就在旁边简单写一下啊，就是延长 b a 至 h， 使得呃， b a 等于 a h 好。 那么这样做的目的呢？再次强调一下，原因是为了构造一个补角一百八，所以角 c a、 h 就 应该等于角呃， d a e 对 吧？因为它们加上角 b a、 c 都等于一百八， 那么因此手拉手是不是也就出来了，对吧？手拉手模型，三角形，这个 a c h 也就全等于三角形 a d 好， 两个三角形全等啊，边角边好，两个三角形全等呢，我们自然也就可以得到了，这里的角 e 就应该等于角 cha 或者 ahc， 对 吧？所以角 b 加上角 e 就 应该等于角 b 加上角 ahc。 角 b 加角 e 是 谁啊？题目已经告诉我们了，角 afc， 对 吧？那么角 b 加上角 ahc 呢，其实就是角 hcf， 因为是外角啊，因为是外角，并且呢，这两三角形全等，还有 d e 等于啊 c h， 所以 你要证明 d e 是 两倍的 af， 就是 c h 等于两倍的 af， 对 吧？当然在这其实同学们标一下，你已经已经发现相等的角了，而且要找 af 的 两倍点， a 是 bh 的 中点，怎么样啊？中微线，也就是说，我们继续延长 这个 b f 至 g， 使得 b f 等于 f g 好， 然后连接 h g 好， 根据中微线我们就知道，呃，显然这个 a f 是 平行于 h g 的， 对吧？ f 平行于 h g， 剩下来的好办了吧？啊，就直接呃，利用中微线，利用这个角之间的关系就直接出来了，对吧？好，那么因此呢，我们就可以得到 呃， h g 应该等于两倍的 f。 好， 然后导一下角角 a f b 是 不是又等于角 g， 当然就等于角 h c f， 所以 这个呢，可以推出呃， h c 等于 h g， 对 吧？ 好，那么当然得正了啊。好， 那我想呢，就是整个这个题目呢，说实话，我觉得长区这个题目还是有一定的难度啊，就是猜答案呢，其实比较好猜，但是你你在做的过程当中，为什么要想到这样去做辅助线？我们再次强调一下，第一个呢，就在第一问当中给我们的提示，两个角之合等于一百八， 那么一般来讲呢，就是构造补角，那么构造补角呢，我们就可以延长某条线，对吧？那么第二个为什么会想到延长 b a 这条线呢？理由是角 e 和角 b 加起来，但是它俩现在隔太远了， 怎么才能加起来呢？好，所以这个角跟这个角一夹就可以了，是吧？那么我们通过延长这条线之后呢，刚好呢，又能够产生手拉手模型。 好，那么因此剩余的你只要证明这条线等于两倍的 af 啊，它为什么等于两倍的 af？ 两倍的 af 应该在这是吧，通过倒角啊，关系自然也就出来了啊。好，所以这道题目呢，我们就简单的给大家解析到这里啊。

来看一下在反比例函数里面非常重要的一个知识点， k 的 几何意义。 好了，我们来看啊，你看这个括号里面，我们有二十一种衍生图形，当然了，不是让大家死记硬背，这样是一种图形啊，就是通过这样是一种图形的熟悉熟练的掌握，你要知道这个 k 的 几何意义都可以怎么应用。我们先来看第一种啊， 来看下面这么多图是不是？好，我们来看一下，如图已知。先看这个图啊，如图已知，反比的函数 y 等于 x 分 之 k， k 是 大于零的一三相间的，是不是说点 a 呢？在函数图像上任意一个点，在这里点 a 坐标，告诉你了，则矩形 a， b， c， d 这个蓝色矩形的面积等于，很简单是不是？哎，邻边之积嘛， ab 乘以 ac， 你 看这里面的 ab 不 就是 a 点的横坐标 x 吗？ 而这里的 a， c 是 不是就是 y 呀？ a 点的重坐标 x 乘 y， 那 你再看这个式子表达式， x 乘 y 是 不等于 k， 为了表示面积，我们加上了绝对值，因为面积要大于零，所以 以 a 点为成的做了两道垂线，这张矩形的面积，你可以记住它，它的面积是 k 的 绝对值。 好，那通过这个基础款的模型，我们还能衍生出来哪些图形呢？我们来往下看啊，看这几种，剩下下面这几种啊图形，它的面积都是 k 的 绝对值。好，我们来看啊，第一个看第一个图， 你看第一个图是什么？他是个平行四边形啊，你看这个蓝色的平行四边形其实是什么呢？他不就是把这个矩形的图给升级了吗？是不是把矩形的图给升级了，你看平行四边形，它的面积怎么求来？平行四边形底乘以高啊，那你看我能不能 平移来算它的面积。那啥意思呢？你看，我们说过，我们说过，你看你这个平行四边形的面积，就是这个底乘以这个高呗，你所谓的这个高其实是不变的。 哎，是不是就是你这个点，比如点 a、 a 到外轴的距离，这是高，那你这个底边 我左上下平移是不影响它的面积的，因为你是底乘以高，只要长度不变就可以，所以我把这个底边往下平移，使得它平移到这个圆点 o， 那 平移过来之后，因为是平行四边形，因为 是平行四边形，注意，因为是平行四边形， abdc 中 我们是有 a、 c 等于 b、 d 的， 所以你的 b、 d 往下平移之后，长度是不变的。那平移之后，比如到这里我们连接一下 ab， 你 看连接成的这个不就变成矩形了吗？不就变成原来这个图了吗？ 好了，所以呢，这个平行四边形 a、 b、 d、 c 的 面积就等于我们平行之后这个矩形的面积。好了，就等于这个平平移之后这个矩形的面积，那不就是原图的这个面积吗？ 好了，等于它的面积，所以呢，就等于 k 的 绝对值。好了，我们推倒这一个，其他都是一样的。 你再看第二个图，这个图里面是这样的一个平行四边形，那同理，你看，那它的面积不就是二，就是什么底乘以高吗？底乘以高，这个高是不变的，就是这个点到 x 轴的距离。 好了，那么这个底我把它来平移不就完了吗？我把这个底他是不是等于上底？哎，上底和下底是一样的，所以我把这个下底往右平移，那平移成那，啥情况？我还是平移到这个位置，你看 平移之后，它的面积是不变的，它永远可以平移成我们这个原图的这个形状，所以它的面积也是 k 的 绝对值。 后来这是前两种图，你都可以这样来理解。那再看后四种图，这四种图你咋理解呢？你看是变成三角形了，那你就用三角形的面积公式啊，比如说我们来看这个图，第三个图 他怎么来理解呢？三角形面积公式，二分之一底乘以高。那你看这个，我还是把点给它标出来啊。比如说这是 a 点，这是 c 点， 这是 b 点，这是 c 点，那三角形 abc 的 面积二分之一底乘以高。那么我们是不是需要过点 b 向 a c 做垂线，哎，我们做出这个垂线 好了，做出这个垂线，所以我们直接可以来写啊，直接来可以写这个三角形 abc 的 面积就是二分之一的 a c 乘以 b h， 没问题吧？ a c 乘以 b h a c， 你 看 a c 这个高，不就是你 a c 这个吗？ ac， 原来这一段 ac 不 就是 y 吗？ ac 就是 y， 那 你再看这个 bh 呢？ bh 是 什么呀？哎，你看这个 bh， bh 可不可以分段来看？可不可以分段来看？老把这个图给你放大啊？这个 bh 注意看同学们， bh 可不可以看成这一段，加这一段， 中间我给你标一个字母吧。中间这个点呢？我们标为点 k， 所以 你看你这个 b h 是 不是等于 b k 加上 k h。 那 你看你这个 b k 是 谁啊？ b k， b k 不 就是 b 点的横坐标的绝对值吗？ 那你这个 k h 呢？ k h 不 就是等于 a 点的横坐标吗？而 a 点和 b 点是关于原点对称的，它俩的横坐标互为相反数，但是长度是相等的呀。所以 b k 是 不是等于 k h？ 因为啥？因为是不是首先 bk 这个点我给你记为呃 p 点吧来，是不是因为 bk 等于 ap 长度，而 ap 是 等于 k h 的， 所以呢，这个长度它俩加起来我就可以看成二倍的 k h， 那 k h 不 就是 a 点的横坐标？二 x 好 了，这个高就是二 x， 所以 你看我们带回来是不就是二分之一 a c 就是 多少 y， b h 就是 二 x， 来写出来是不就是 x y， 所以 这个面积是不是还是 k 的 绝对值？ 你看是不是还是 k 的 绝对值？好了，掌握了这种情况，后边这三种就是一样的吗？是不是一样的呀？咱们来看一下，你看这个图，看这个图，我们还是 以这个为底，边过这个点，向他做垂线好了，我们来画一下吧，好不好？来做出这个垂线， 做出这个垂线，这是 a b， 这是 c， 我 们做一个 b h， 垂直下来，垂直下来，所以你看 这个底边 a c 是 不是就是那个 x？ 你 仿照我们第三张图，你这个 b h 是 不是看成这两段加起来啊？这两段加起来，上面这一段不就是 a 点的纵坐标吗？不就是 y 吗？ 而下面这一段是谁？是不是跟这个 a 点的纵坐标互为相反数，但是距离长度是一样的，这不是 y 吗？这不是 y 吗？所以 b h 不 就是二 y 吗？ a c 是 x， 二分之一底乘以高二， y 乘以 x 二分之一，这不乘出来还是 x y 吗？ 面积不就是 k 绝对值吗？好了，我给你写了两个了，方法都一样，这后面两个你自己去仿造，你看这是底，那你这是不是高？坐下来，哎，这个底他是不是 y 啊？长度，而这个高一定就是二 x， 二分之一底乘以高乘出来面积是 x y， 你 再看最后一张图，是不是还是拿这个当底，我再做一条高下来这个底，这个就是 x 的 绝对值啊，因为它是第三象限，而这个高呢，是不就是二 y 二 x y 的 绝对值，这不就等于 k 的 绝对值吗？你看好吧，来这个推导过程啊，我们给大家 详细写了两个，其他的大家可以自行的去推导一下。好了，你得把这些图不说，你得死记硬背吧，看到这种图，你得知道去咋推导它的面积，好吧，三角形的面积公式，平行四边形和矩形呢，也是面积公式，直接用 好，那我们来继续再来，往后看啊，继续再来，往后看。好来看第二种啊，刚才讲的是面积是 k 的 绝对值的情况，那你看这种是二分之 k 的 绝对值。这些图形我们来看一看，说如图， 来看下面啊，先看这个图，说如图，已知反比例函数 y 等于 x 分 之 k， 说点 a 是 函数图像上任意一点点 a 在 这里，则三角形 abo， 也就是这个黄色三角形等于二分，它的面积等于什么呀？二分之一底乘以高面积公式呗， 二分之一的 ab 乘以 o b， 二分之一 ab 乘以 o b 来，那你看 ab 是 谁啊？ ab 不 就是 y 吗？ ob 不 就是 a 点的横坐标就是 x 吗？二分之一 x 乘 y 面积出来了， x 乘 y， 这不是等于 k 吗？所以二分之 k 的 绝对值。好了，三角形一出，我们就能看到什么呀，哎，二分之 k 的 绝对值， 好，那我们就继续来往后看啊，那下面这些图，它的面积是否也是二分之 k 绝对值呢？来，我们先来看啊，先来看前三张图，前三张图它指的是一个意思， 你看这是什么意思？是不是过这个点都做了什么呀？ x 轴的垂线， x 轴垂线这三个图跟这个上面这个点往上移了呀，你看这往下移，往下移。 你看啊，我给你放大这个图，你看看第一个图，这个图是不是相相当于把原始图这个点往上平移到这里，而我们的， 我给你写出来吧，这个既为点 a， 这个既为点 b。 那 你看 ab 是 不是平行于外轴的 ab 平行于外轴，那咱们学过呀，来，两平行线之间加的等底的 等底， ab 等底的三角形面积相等，所以你看，我们把这个点估且令为点 c， 点 c， 不 论在这里，在这里，随便你在任何位置，你构成的三角形。看到没有，不论你在哪里构成的三角形，你的面积都不变， 因为 ab 是 底，你这个高就是 ab 和外周之间的距离，二分之一底乘以高 好了，所以它们的面积永远都等于原始的这个面积 aob 的 面积。所以呢，三角形 abc 的 面积就等于三角形 aob 的 面积， aob 的 面积。二分之一的 ob 乘以 ab 来二分之 x y 啊，是不是就等于二分之 k 的 绝对值？好了，那同理，你看，我们直接看这前三张图，看这前三张图，这不一个意思吗？点 c 在 这里。第二张图，点 c 在 这里， ab 来点 c 在 这里， ab， 看到没有？哎，点 c 怎么滑动？从这滑到这，滑到下面，这面积都是二分之一底乘以高。好吧，这个高不变底是同一个底。好了，在这里啊， 好，那我们再来看剩下的几种情况啊。来看后四张图，后四张图他们说这一回事，你看后四张图有啥规律啊？他都是底边是平行于 x 轴的，你看是不是底边都是这样？是这样，是这样的，底边都是这样的。 那你看他的面积怎么表示？二分之一底乘以高，他的底边是不变的，他的高变不变呀？不论你下面这个点跑到哪，你看，不管你跑到哪，你这个后四张图，这个高永远是谁啊？这个我给你记为 a 点吧， 来十，永远是 a 点到 x 轴的距离，你看这个高是不是永远是这个？这永远是高，永远是高，所以同底等高，底是永远不变的，高在变，位置在变，但是高的长度不变。首先简单呀， 好了，我来给你写一下吧， aob， 假如说这样，而这个呢？比如说是 abc， 那 我来给你写这个面积吧，三角形 abc， 它的面积，你看这个点 c 是 不是跑到点 o， 这两面积是相等的啊，它就等于三角形 ab。 第一个图里面 abo 的 面积吧，我直接给你写公式，就是二分之一的 ab 乘以 你这个高 o， b 就 等于二分之 x 乘 y 就 等于二分之 k 的 绝对值。好了，后四种图是一样的啊，是一模一样的。好，那我们总结一下这种图形，二分之 k 的 图形， 它基本上都是三角形，而推导的过程呢？其实前三张图的推导过程就是这个总结图，你看一眼是不是来， 哎，前三张图的是这个啊。呃，来看这个前三张图的总结图是第二张图，是不是？你看 ab， 只要不变 c 点，不论你怎么变，组成的这个三角形和这个三角形面积都一样。 那后四张图，它的总结图是第一张图，是不是前面这个平行于 x 轴的底边不变，而你这个端点任意去变，面积是不变的，同底等高。 好了，这个方法一定要掌握，再去体会一下。还是那句话，不是需要你去死记硬背，你知道它的面积怎么推出来的，然后往里带就 ok 了。 好，那我们就继续来看啊。刚才我们前面讲了，面积是 k 的 绝对值的情况，二分之 k 的 绝对值的情况，还有什么？下面又变成了二倍的 k 的 绝对值的情况， 来，我们来看一下啊。好，第三类情况说，在以上图形的基础上继续变换，还可以得到一系列面积为二倍的 k 的 绝对值的图形。来看下面四个图，它的面积均为二 k 绝对值。 那他们这四张图呢？都告诉你了，可以看作两个面积为 k 的 绝对值的三角形拼接成的，当然你拼法就多了，不一定是这样的拼法。比如说我们来看第一个图， 他的这个阴影部分的面积你怎么表示？来，我给你把字母标上吧，你比如说这是 a、 b、 c， 然后呢，这个交点我给你标上，这个点是 d， 这个点是 e。 好 了，那你看整个面积我们怎么表示啊？第一个图来，三角形 a、 b、 c， 它的面积，你看我们最简单看的一块啊，我来给你描一下吧。你看 最简单的看那块，哎，这个描上来颜色大家可能看的还不是很清，我们就不来描这个颜色了啊。来，你看 它是不是等于三角形 a， o d， s。 三角形 a， o d 就是 我刚才涂的这段的面积，加上三角形 b， o e 加上三角形 b， o e， 再加上矩形下面的 c， d， o e 加上矩形 c， d， o e， 三块面积加起来。 那我们来看一下 a、 o、 d 的 面积是什么呀？你想想，你刚才不是做了吗？ a， 二分之一的 a， d 是 不是乘以 o， d 不 就是 y， o d 不 就是 x 吗？ 那你再看下面这个三角形 b， o、 e 是 不是也是一样的？ b， e 是 x 的 绝对值， o， e 呢？也是 y 的 绝对值。因为 a 点和 b 点是对称的啊，是对称的，圆点对称， 所以上下这两部分的面积分别是二分之 x， y， a， o d 的 面积是什么呀？二分之 x y， 呃， b， o e 的 面积也是二分之 x， y 再加上 c， o d， e 的 面积，它是不是等于 o d 乘以 o e？ 矩形面积 o d 乘以 o e， o d 乘以 o e， 你 看是什么？ o d 不 就是 a 点的横坐标 x 吗？而 o e 是 不是 b 点的纵坐标 y 的 绝对值？ 所以这块 o、 d 乘 o e， 我 们是不是就直接写成 x 乘 y 的 绝对值好了？ 来， x 乘 y， 那 你来看第一个，二分之 x 乘 y 加上第二个，我们都带上绝对值吧，好不好？表示面积吗？那你看这一加是多少？是不是二倍的 x， y 的 绝对值啊？ x 乘 y 不是 等于 k 吗？所以这就是二倍的 k 的 绝对值。 好了，我们推出来了啊，这就是面积，怎么推的？你看似复杂的一个三角形，你就把它分成三小块，加起来分别表示就能把面积求出来 好不好？牢牢抓住， y 等于 x， 分 之 k， 你 能推出 x， y 等于 k， 用这个啊，用这个一定要往进带。 好了，再看第二个图，第二个图跟第一个图是不是一样啊？无非就是反过来了，反过来了你看，那我们来写，这里是 a， 这里是 b， 这里是 c， 这里是 d， 这里是 e， 我就不写了啊，你看它的面积还是分成三小块，三小块上面这一块和下面这块分别面积是二分之 x y， 这是二分之 x y， 而这个矩形的 x、 y 加起来也是二倍的 x， y， 绝对值好不好？这两个图是一样的啊，我们再来看第三个， 第三个是不是演化成了平行四边形啊？平行四边形你就得用它的性质啊，平行四边形是不是有个性质？你看这个对角线连接之后，上下这两部分的面积相等，我们求一部分是不就可以了？你比如说 a、 b、 c、 d。 好， 我们来看这个图三啊，图三这块 我们把它分割一下，把它分割一下好了，那么咱们这个平行四边形 a、 c、 b、 d， 它的面积我是不是可以看成二倍的三角形？ abd 的 面积没问题吧？ 平行四边形对角线平分这个平行四边形的周距面积啊，那我就求 abd 的 面积。 abd 的 面积你之前求过呀， ad 是 垂直于 x 中的，如果你忘了，我们再做一道辅助线，我们过点 b 向 ad 去做垂线， 这个点呢？即为 h。 所以 你看它的面积是什么？就是二倍的二分之一乘以 ad 乘以 bh， a d 是 谁？ a d 不 就是 a 点的纵坐标就是 y 吗？而 b h 呢？ b h 是 谁？ b h 我 们说过 b h 是 不给分段来看，分成这两段来看， 第一小段跟 a 点，他是 b 点， a 点是圆点对称的，这是 x， 这一段是不是 x 的 绝对值？而这一小段呢？也等于 x， 所以 b h 是 不是二 x 的 绝对值啊？好了，那我们就可以写出来了，二乘以二，二乘二分之一，我们是不是就把它 就约成一了？就等于 a d 乘以 b h， 而 a d 是 不是就是 y？ 而 b h 是 不就是二倍的 x 绝对值？这是不是就是二 x y 的 绝对值？那 x y 绝对值， x y 绝对值不就是 k 的 绝对值吗？二倍的 k 的 绝对值。 好了，来，那你看，那你看这里是不是我们 整个面积平行四边形，面积就是二倍的 k 的 绝对值？好了，这种情况是一样的啊，无非第三种是这个平四边形，有一组边是垂直于 x 轴。第四个图是平行于， 这是垂直于外轴，是垂直于外轴，方法是一模一样的。好了，大家自己再体会一下，再体会一下 来。好吧，来，这就我们说到二十一种衍生图形 k 的 几合一，我们来看一看啊，大家只要牢牢的抓住这个面积是怎么算的，表达式以及 x 乘以 y 等于 k 就 搞定了。好，这块我们。

初三模拟考中圆的第二种几何模型叫做定角定弦。在这道题目之中，我们快速抓核心， a n 垂直于 p， c 于点 n 也就意味着 a n c 永远九十度，那么就是以 a c 为直径的圆上在运动，它运动是一定过 o 点的。 那我们发现这个图之后， m n 扫过的面积怎么去做求减呢？我们可以利用作差法，也就是三角形 a o m 的 面积，我要减去此时老师所标出来的这个小小的角形， 那这个角形怎么求？我们就可以利用扇形 a o h 减去三角形 a o h。 既求出了这个公式，这道题是不是就迎刃而解？

初三上学期呢，我们学了相似，相似会出证明题，也会出计算题，那么他出证明的时候呢，我们一般都会把它放在压轴大题里面，变成其中一个条件来用。如果他单独出一个证明，那么这种题经常都是六分题的难度。 题目不难，但很多孩子写的时候呢，会发现过程扣了很多分。这里是你没有了解阅卷老师的一个原则， 在基础题里面，我们能够扣分的尽量都会扣分。在压轴题里面呢，能给分尽量给分，所以如果他出的是个小题，你的答题过程一定要非常严谨。我们来看一下例题，给了一组相等的边，也给了一组相等的角，让我们推出三角形相似。 要让三角形相似呢，我们常用的有三种证明方法，最简单的就是找到两组相等的角，我们看一下条件里面给了什么。 a、 d 等于 ab， 能推出 a、 b、 d 这个造型是个等腰三角形，那它两个底角是相等的，所以这里角 b 和这个角 a、 d、 b， 它们就会相等。用同一个颜色把这组相等的角标出来， 因为这个 d 出现了很多个角，所以为了我们表述准确，我们给这里 a、 d、 b 标个角一。因为 a、 d 等于 a、 b 等腰上形，推出了两个底角相等，看着图来写名字，角 b 会等于角一。 题目又给了个条件，说角 b 等于这个角 d、 e、 c， 它跟这两个黄色的角是相等的，我们给他写个角二吧，那么题目的条件叫做角二等于角 b。 两个式子，我们就可以用一个等量代换，发现角一和角二是相等的，那我们要的相似三角形的是 a、 d、 e 和 a、 d、 c。 角一也不在这个相似三角形里啊， 角二同样也没在我们相似的三角形里，但是谁在里面呢？可以发现他们两个的补角会出现在我们要的这组三角形里，所以我们把他们的补角找出来。 角二的补角是角 a、 e、 d。 角一的补角呢，是旁边的这个角 a、 d、 c。 这里有个注意的地方就是角 a、 e、 d。 我 们是可以标成角三的，但是这个角 a、 d、 c。 因为它跨过了两个角，所以它不能标角一，角二、角三，它只能把名字给它全写完。 好，为了我们少写点字，这里写个角三，一百八十度减掉角一，就会等于一百八十度减去角二，这个时候我们知道了角三， 这个时候呢，角 a、 d、 c 和角三就是相等的。那题目给的条件用完了呀，跟我们的相似也还没证出来，这个时候我们就得从图里面找一下有没有隐形的条件。角形 a、 d、 e、 a、 d、 c。 发现它们都有同一个角， 这个角呢？ d、 a、 c。 我 们给它标个角四，公共角呢，会相等，所以我们直接拿下来就行了，因为角四等于角四， 好出来了，两组相等的角，推出了三角形相似。最后我们把结论写下来，三角形 a、 e、 d 会相似于三角形 a、 d、 c。 到这里我们相似的题步骤就写完了，希望你的证明题也能全对。

初三数学常考的第三种圆中的几何模型叫做定边对等角。我们正好拿去年常熟式模拟卷的一道题来看一下。在这道题目之中，快速观察到角 b 的 a 等于角 c， 那 是不是也就是 ab 为弦， c 和的都在 ab 为弦的这个圆上？因为它属于圆周角， 那我只要确定圆心，这个圆就可以瞬间画出来。怎么确定圆心角 b 九十度，也就是 a、 c 的 中点， h 为圆心二分之 a， c 为半径，我们就可以将这个圆快速画出。原谅我的画图不是很好看， 画完之后，我们要求 b 得 e 的 面积，怎么求呢？这道题卡住很多学生的点就来了。我们求面积，一般可能会想到找底、找高，或者用等面积法，或者用三角函数。但这道题它其实考察的是相似。我们要注意到，角 d、 b、 e 是 九十度角， b 也是九十度角， c 又等于角的，是不是意味着我们的 d、 b、 e 三角形是永远相似于 c、 b、 a 三角形的？ 那么我要找它面积的最值三角形 c、 b、 a 是 定值，那只要找到 b、 c 和 b、 d 的 比值的最大值， 是不是意味着我们就能找到面积的最大值？那必得什么时候最长呢？必得是直径的时候最长。这道题是不是就迎刃而解？

今年厦门初三易简数学卷听说很难，你觉得难吗？

哈喽，同学们好啊，那么接下来呢，给同学们来解析一下下午刚刚考完的海淀区初三期末的几何压轴题，那么当然这道题目呢，弹出来讲呢，我是觉得还是有一点难度，虽然模型呢比较常见。 呃，那难的点在哪呢？还是那两个字，倒角啊，来，我们一起来看一下。那么他说在等腰三角形， ab 等于 ac 角， b 等于 r 法角啊， d e 分 别是中点啊，你看到这么多中点，可能会想到中微线，可能想到背长中线，对吧？等等啊， 那么 m 点呢，是这个上面的一个动点，不知道在哪连接它，然后将它旋转二 r 法，你看这种描述啊，旋转二 r 法 跟我们北京中考旋转什么一百八减二阿尔法特别相似，对吧？而且近两年我们对于倒角倒的特别的多，所以我建议同学们这一类的问题， 先把角给我标注出来啊，比如说啊，这个角就是阿尔法角，这个角就是阿尔法角，这个角就是一百八减去阿尔法角， 旋转了，这个角就是二倍的 r 法角。当然同学们别忘了因为什么中微线啊，导致，其实呢，这个也是一个什么等腰三角形，所以这个角也是 r 法角 啊，所以这个角就是一百八减去二倍的 r 法角，对吧？啊，这个是一百八减二倍的 r 法角啊，好，特别，多好，接下来第一个证明， a n 等于 dm， a n 跟 dm 这个是非常简单的对不对？直接这一组全等就行了。好，当然我们来看一下， 首先 d e 等于二分之一个 ab， 当然了，也就等于 a e， 对 吧，因为它等于三角形，所以 d e 跟 a e 是 相等的旋转嘛，说明 a e n 跟 e m 也相等啊，一组边两组边找的这个角肯定是什么这个加角喽，对不对？ 当然这个夹角好找吗？很好找，是吧？为什么？因为同学们要知道这个角是多少啊，我们刚说了二 r 法是吧，就是这个角， a e d 是 二 r 法角。好，当然这个角呢，这个 e n e d 他 也是，呃， n e m 他 也是，什么二 r 法？其实就是一个什么手拉手模型，对不对？所以其实第一问当中呢，考察的模型呢，就是手拉手 啊，对吧？好，那么因此导出小角啊，相等。好。第一个问题呢，我就直接在这把图给大家了啊，好，同学们只要知道啊，这个角是阿尔法，这个角也是阿尔法，所以去掉中间的两个小角，相等 d e 跟 a e 等，他跟他等好 s a s， 对 吧？好，我这个呢，我就不多说了，我相信比较简单。好，在第二个问题当中啊，稍微有些难度了，他说连接 m n 交 a b 于点 f， 那 么当 m f 跟 n f 相等，就这两条线段相等，当然也就意味着点 f 是 它的终点。 让我们去判断 f b 和 f a 还是一样的啊。考场上先拿个尺子量一下，因为这个题目当中，它没有特殊角，没有什么三十度、四十五度、六十度，没有这样的特殊角，所以在这里面一定是一个整数倍关系。 那么当然整数倍关系，同学们稍微看一下啊，可能大概也就是两倍、三倍是吧？两倍可能比较常见，但这道题目恰好是三倍关系。但我们说了，在考场上啊，就是一定要结合 啊，这个具体的图形来看，千万不要想当然，听明白没有好，那么当然，三倍关系呢，就是你通过测量，你能够推得出来他是三倍关系。三倍关系怎么办？又有终点？想到什么啊？也就是说，你要能够证明这条线段是他的三倍，就是三倍，不好证吗？对吧？ 两倍，好，正在这里面呢，还出现了中点，会想到什么？倍长中线，好，可以，我们在这里面可以截取，当然你做平行也行啊，可以截取 fa 跟啊，这个，呃，截取一个线段跟 fa 相等， 这样一来呢，其实这一段跟 fa 就 相等了，所以你只要证明这一段跟它相等，其实就是证明这个点是 a b 的 中点， 这个点是 ab 的 中点。实际上同学们就想一下啊，实际上想一下等价的结论是什么， 不就是证明这条线是整个三角形的中位线了吗？对吧，但这道题目呢，就是答案好猜，但倒角呢，有点复杂啊，所以我在这呢也直接给同学们把图画出来了啊，我们就可以，我在上面简单写一下啊，我就直接截取一下 啊， f g 等于 fa， 那 我们刚刚已经讲了，很容易能够证明三角形 a f n 是 全等于三角形。呃， g f m 的 啊，这个全等很容易证，是吧？八字形好，为什么想到它呢？我们刚刚解释过啊，所以呢，呃，我们接下来只需要能够证明点 g 是 ab 的 中点即可，就是证明 d g 是 中微线即可。 那么要证明中微线啊，同学们也知道，很显然要证明平行，平行就是什么倒角，那么有两个三角形全等，我们是不是就可以得到 g m 肯定跟 dm 相等，别忘喽， 为什么呀？因为 g m 本身等于 a n 啊，就全等嘛。 g m 应该等于啊，这个 a n 对 吧？当然第一问已经告诉我们 a n 跟 d m 相等，所以其实这是一个什么三角形？等腰三角形， 你要证明平行，其实说白了，只要证明这个角是什么 r 法角就行了好不好？正好正啊，在这里同样的同学们来看一下， 因为我们前面呢，已经跟同学们解释过了，这个角其实是 r 法角，这个角也是 r 法角，对吧？好，所以这个大一点的 m d f 其实应该是一百八十度减去 r 法角。 好，也就意味着第一问当中的呃， e a n 这个角也是一百八十度减去 r 法角，而这个角是一百八十度 减去二倍的 alpha 角。所以你可以得到这个角是什么呢？三倍的 alpha， 也就是说我们通过导角可以知道，角 f a n 应该是等于三倍的 alpha。 当然， f a n 等于谁？全等吗？等于角 f g m 角 f g m 它也就等于三倍的阿尔法是吧？好，这个角就三阿尔法，别忘了这个角也是阿尔法哟，是不是好说明这个角呢？二倍的阿尔法是不是就可以推出角 g m b 应该等于二倍的阿尔法？ 再问， g m b 等于谁？是不是也等于角？呃呃， m d g 在就两倍的角 md 几了？要说为什么两倍啊，因为前面已经说了，这个 g m 跟 dm 是 相等的，这是二阿尔法吗？说明这个角呢，也就是什么 阿尔法角了，对不对啊？所以角啊， md g 应该就等于角 c 都等于阿尔法，剩下来的好办了吧。那也就意味着 怎么样啊？ d g 应该是平行于 a c 的， 当然也就能够推出点记为终点，我就简单写了啊， 点记为终点，剩下来的好办了吗？是不是也就顺便挣出来了，对吧？好，得到了 f b 等于三倍的 fa 弹出来。说呢，就这道题目，同学们结合图形想要搞定答案一点都不困难，但是这道题目恶心的就是它的这个导角呢，太过繁琐了啊。 好，所以我们也给大家提供了一种思路。当然实际上同学们呢，可以在这怎么样呢？你做平行线也是行的啊。你，你直接说我过 这个，他做平行线也可以啊，也可以。事实上，当然那个解法不为一啊，但是核心呢，是通过通过终点啊，通过中微线啊，然后呢来进行倒角，那么这个解析的逻辑呢？核心呢，是不变的啊。好，所以海点区的几何压轴体就给同学们解析到这里啊。