数学八年级下册北师大版改版多么

好，大家好，从这节课开始，我们来学习北师大版八年级下册咱们这个数学的课程啊，今天呢，我们来学咱们第一章的第一节，叫做三角形内角和定力， 你看他的大标题啊，是三角形内角和定力，那么通过这个标题你能想到什么呀？ 那么提到三角形内角和咱们熟不熟悉啊？咱们很明显是很熟悉的，对吧？那我们之前有没有学过这个三角形内角和 咱们是学过的，对吧？那我们的这个整个的第一单元啊，整个的第一单元实际上相当于是一个复习的内容。 好，那么三角形的内角和实际上呢？我们小学的时候就已经学过了。提到三角形的内角和，那我们立刻可以想到的是三角形内角和它是一百八十度，对吧？ 那么你想一想，我们的三角形内角和为一百八十度，我们当时是怎么证明的呀？咱们是怎么去证明三角形内角和是一百八十度的？ 咱们首先第一个的话呢，就是 我们把三角形的三个角我们可以给它剪下来，对吧？剪下来呢，或者说把它撕下来啊，然后呢，那么我们把它可以拼成一个平角，拼成一个平角的话呢， 那么一个平角它就是一百八十度，对吧？由此咱们得到三角形它的三个内角和是一百八十度，是吧？那也就是呢，咱们的叫做剪拼法， 对吧？接下来把它拼在一块的啊，也就咱们的剪拼法， 对吧？减拼法。那么第二个方法呢，咱们可以用量角器把它的三个角给它量出来， 对吧？也就是度量法，对吧？度量法把它的三个角给它量出来，量出来之后呢，给它加总求和也能得到一百八十度，但是呢度量它是会有一点误差的， 对吧？那包括我们，呃，把它剪掉来拼接，把它撕下来来拼接，也是会有点误差的。 那么接下来的话呢，咱们今天啊，咱们用正明的方式，用非常精确的这个方式来推导推导三角形内角和为一百八十度。 好，那么咱们的这个第一个知识点啊，就是让咱们去证明这个三角形内角和或者是多种方式来证明三角形内角和定力啊，那这个定力怎么来推的啊？咱们呢接下来 来学习一下啊，接下来的话呢，大家这个 就可以看着啊，看着我给大家去补充的这个拓展内容啊，就先不用看书了啊，看我给大家补充这个拓展内容， 用多种方式来证明三角形内角和为一百八十度。 那么我们先来看第一幅图啊，第一幅图呢是已知三角形 abc， 那 我们求证呢，这个角 a 加角 b 加角 c， 它等于一百八十度。 那大家通过看图，咱们想要得到三角形三个内角的和是一百八十度，咱们最容易想到一个什么方法？咱们最容易想到一个什么方法？ 是不是咱们可以过这个点 a 来做一下 b、 c 的 这个平行线，对吧？咱们可以过这个点 a 来做 b、 c 的 这个平行线， 来做一下它的平行线好比如它的平行线是 这个 e、 f， 那 我们做了这个平行线之后呢， 咱们能够得到，哎，这个角咱给它叫角一，这个角给它叫角二，你说我们得到这个角一和哪一个角是相等的？ 这个角一和哪一个角是相等的？是不是？角一它和这个角 b 就是 相等的。角二呢，和这个角 c 这个角是相等的，对吧？这个咱根据什么呢？咱们根据的就是 两直线平行内错角相等，对吧？角一和这个角 b 是 内错角，角二和这个角 c 呢？是内错角， 是吧？那么我们知道这个角一加上原来的这个角，原来这个角角 a， 那 现在的话呢，我们加了辅助线了，我们就应该说它是角 b、 i、 c， 对吧？角一加角 b i、 c， 再加角二，它是一个完整的平角，那么它是一百八十度，于是呢，也就相当于是咱们的角 b 来加上角 b i、 c， 再来加角 c， 它的和是一百八十度，对吧？ 那么这个过程咱可以来写一下啊，就是咱们的过这个 a 点来做 e、 f 平行于 b、 c， 那 么则 角一等于这个角 b， 角二等于角 c， 那 么因为角一加上角 b、 i、 c， 再来加上角二是等于一百八十度的，对吧？这个平角一百八十度，所以呢，也就是咱们的这个角 b 加上角 b i、 c， 再来加上这个角 c， 它是等于个一百八十度，对吧？咱就得到了三角形它的三个内角的和是一百八十度。 那这个呢，我们是用了平行线的，这个什么 利用了加辅助线啊？加辅助线，然后呢，过 a 点来做 b、 c 的 平行线的这个方法，对吧？我们来通过平行线来倒角来倒角，得到了三角形内角和为一百八十度， 对吧？这里面呢，我们主要利用了什么？利用了内错角， 主要利用了两直线平行内错角相等，是吧？那我们除了利用内错角，我们还可以利用什么？ 咱们还可以利用什么？ 咱们是不是还可以利用一下这个同位角啊？ 是不是可以用同位角？咱看第二幅图，看第二幅图啊，同样是已知这个三角形 a、 b、 c 来求证呢，角 a 加角 b 加角 c 等于一百八十度。 那我们来用一下同位角。好，首先呢，我们把这个 bc 呢，给它稍微延长一点， 再稍微延长一点，延长到这个 f。 然后呢，我们过这个 c 来做， 来做这个 c、 e 平行于我们的这个 ab， 好 做 c、 e 平行于 ab。 那 么你看啊，我们做了 c、 e 和 ab 平行了， 我们把这个角给它角角二，那这个角 b 和角二是不是就属于同位角？那么同位角呢？是不是就相等？同位角是不是就相等了？ 那这里面呢，同样还有一组这个角和这个角呢？哎，它是内错角，这个角咱给它叫角一，那么角一和这个角 a 呢，是相等的，角 b 和角二是相等的， 是吧？那角二、角一，还有我们的这个角 a、 c、 b 的 核也是一百八十度，也是一百八十度，对吧？那所以呢， 我们就得到了角 b 加角 a， 加上我们的角 a、 c、 b 的 核也是一百八十度，对吧？ 好，那所以这个过程啊，咱们同样来写一下，咱们呢，可以延长 bc 至 f， 然后呢，过 点 c 来做 c、 e 平行于 ab， 那么则角二等于角 b， 角一等于角 a， 因为角 b c、 i 加上角一加上角二是等于一百八十度， 所以呢，也就是角 b c、 i 加上角 a 加上角 b， 等于一百八十度，对吧？那这里面咱们是用了 同位角，用了两直线平行，同位角相等，同时呢还用了内测角 是吧？那你看我们除了用同位角内错角，还有没有其他的方法？还有没有其他方法？ 哎，有的同学说，老师可以用同旁内角互补是吧？好，同旁内角互补也是可以的。那你看，我们看一下第三幅图， 同样的啊，这个三角形 a、 b、 c 啊，已知三角形 a、 b、 c， 让我们求证呢，角 a 加角 b 加角 c 等于一百八十度。 哎，这样的话呢，就是说我们现在要去想第三个方法， 我们要想第三个方法，你看前面两个，我们过了 a 做平行线，过了 c 去做 ab 的 平行线，那第三个我们如果想用同旁的角互补的话，我们要怎么去加辅助线了呢？ 我们可以来做 i c 的 这个平行线， 同时来做我们的 ab 的 这个平行线啊。比如我们做 ab 的 这个平行线，咱们先做一下 做 ab 平行线，叫做 d e 吧，叫做 d e， 再来做 a c 的 平行线， 叫做 e f。 好， 咱们做了这个平线之后， 做平线之后啊，咱们现在来看一下角，假如说这个角是角一，这个角是角一啊，那么既然这个 e f 和 i c 平行了，这个角一和 下面这个角我给它叫角二，这个角给它叫角二。角一和角二的和是不是就是一百八十度？ 角一和角的和是不是就一百八十度，对吧？因为它是两直线平行，同旁的角互补呀。那么同样的，我们的 b a 和 d 平行，那么这个角二和这个角呢？ 和这个角的和是一百八十度，或者说呢，我们的 ab 和 d e 平行，那么我们的角一和角 a 的 和呢？它也是一百八十度，现在角一和角二的和是一百八十度，角一和角 a 的 和也是一百八十度，所以这个角二和角 a 是 相等的，角二和角 a 是 相等的， 是不是？好，那么咱们的这个 角 c、 角 c 啊，和这个角是不是相等的？这是属于同位角相等，对吧？这属于同位角相等， 因为呢，这个 e f 和这个 i c 是 平行的，对吧？ e f 和 i c 平行的，那么它这是同角相等，那么这边这个角我给它叫角四， 这个角四和我们的角 b 呢？它是相等的，对吧？角四和角 b 平行，那么两直线同角相等， 对吧？那我们能知道的是角三加角二加角四，这三个角的和是一百八十度， 这三个角的和是一百八十度，那所以呢，我们就把它替换成了角 a 加角 b 加角 c 的 和是一百八十度，对吧？好，那么这个过程咱们写一下， 就是咱们做 d e 平行于 ab， ef 平行于 a c， 所以 角 a 加角一等于一百八十度。 角二加角一也等于一百八十度， 所以角 a 等于角二。又因为 e f 平行于 i c， 所以 角三等于角 c， 又因为 d e 平行于 ab， 所以 角四等于角 b。 因为角三加角二加角四 等于一百八十度，所以角 c 加角 a 加角 b 就 等于一百八十度， 对吧？好了，那你还有别的方式吗？那实际上还有啊， 别管用哪种方式，实际上都是什么，都是倒角。就是呢，把三个角给它怼在一块，给它弄在一块啊，利用的平角 一百八十度得到的三角形内角和为一百八十度，对吧？ ok 啊，好，这个呢，是我们三角形内角和为一百八十度的这个证明。这个咱能过了吧？ 这个咱能过了吧？能过的话呢？我们那个啊，咱们来看两个小题啊。 来看两个小题， 看第一题啊，二，如图 l 一 平行， l 二，就是那两条线平行的啊，来，现在出现平行了啊，由平行，你能想到什么啊？ 平行线是用来干什么的啊？现在告诉你这个两条线平行了， 那么平行的话，你能想到什么？平行线是用来倒角的啊，平行线是用来倒角的好，那角一是等于四十度，好，就这个角是等于个四十度了， 它是四十度。角二是等于七十五度，好，这个角它是七十五度了，则角三等于多少度啊？这个角三啊，这个是角三， 角一是四十度，角二是七十五度，问角三是多少度，那么平行线是用来倒角的。既然这两条线平行了， 那么角一和我们的这个角和这个角是不是就是同位角？同位角相等呀，就能够导出来这个角它是四十度， 那我们的角二是这个七十五度，这个角跟它是什么关系啊？对顶角，对顶角是什么？对顶角相等，就能导出来它是七十五度，这个角是四十度，这个角是七十五度，那这个角三呢？ 那我们根据这个三角形内角，它是一百八十度，对吧？角三呢， 就等于一百八十度，减去个七十五度，再减去个四十度，能算出来它是多少度，它是等于个六十五度，那就选 c 是 吧？所以咱这个题呢，就是 c 选项。好，第二个， 在三角形 a、 b、 c 当中，角 a 告诉我们是六十度，角 b 比角 c 是 等于个一比五，现在让我们求角 b 的 度数是多少， 那么这里面有一个比啊，我经常给大家讲的话呢，鉴别要干什么？ 见比射开对不对？见比 射开，当然你也可以，就是不射开，你可以射什么？ x、 y、 z， 对 吧？射 abcdef， 那 都是可以的。但是的话，这里呢，我想告诉大家，就是你见到这里这个比的关系的时候， 要能想到用方程的思路来解决，好吧，我们呢， 如果设这个角 b 是 x 度，那么角 c 呢，就应该是无 x 度，那么既然我们用方程了， 那我们就能够得到一个等式，对不对？那这题里面的这个等量关系是根据什么来得到的呢？咱们根据什么能够得到一个等量关系呢？ 还有这个角的关系啊，那就是我们刚刚学的这个三角形的角和为一百八十度，所以呢，我们要利用这个三角形的角和为一百八十度来列方程，对不对？好，那么我们 来写过程啊结， 那我们就设角 b 是 等于 x 度，那么则角 c 等于五 x 度， 那么因为角 a 加角 b 再加角 c 是 等于一百八十度， 所以呢，角 a 是 六十度，对吧？把它带进来，那么就是六十度。加上角 b， 咱们设成是这个 x 了，所以呢，就是加 x， 角 c 呢，是五 x 了，所以就加五 x， 它等于一百八十度，于是呢，我们就得到了这是六 x 等于多少？一百八十度，减掉这个六十度，对吧？一百二十度，那所以我们得到 x 呢，就是等于个二十度， 对吧？就是二十度， 那 x 二度也就什么？因为咱们设角 b 是 x 度呀，所以呢，就是这个角 b 是 等于个二十度， 对吧？所以就角 b 啊，它等于这个二十度。好，那关于第一个知识点啊，第一知识点，咱们学的是三角形内角和定力。哎，三角形内角和是一百八十度，这个能过了吧？ 这能过了，咱们来看一下咱们这个课本上面的这个例题啊。课本上面的例题， 看一下咱们的这个课本上面的例题。例一， 看这个例题一啊， 说呢，如图一，杠五，在三角形 a、 b、 c 当中，角 b 等三十八度。好，这个角 b 是 三十八度，咱标一下，角 c 六十二度。好，角 c 六十二度 a、 d 呢？它是三角形 abc 的 角平分线。好，那么我们通过读题，既然告诉我们角平分线了，你立刻想到什么呢？这两个角是相等 的，是吧？现在让我们求这个角 a、 d、 b 的 度数，求这个角的度数是多少的，是吧？那我们可以先分析一下， 我们刚刚学的是三角形内角和定力，而三角形三个内角的和是一百八十度。 那么呢，我们想得到这个角的度数，我已经得到什么三，这个角是三十八度了，我只需要得到什么，只需要能知道这个角 b、 i、 d 的 度数就行了呀。我如果能得到这个角 b、 i、 d 的 度数，这个角的度数不就出来了吗？ 那么现在我要得到这个角的度数呢？我知道这个角和这个角是相等的，所以呢，我们如果能知道这个整体就是整个的角 b、 i、 c 的 度数， 就能得到这这个 b、 i、 d 的 度数，是吧？现在要得到角 b、 i、 c 的 话呢，要把它放在大的三角形 abc 当中来， 把它放在大三角形 a、 b、 c 当中来，那我们就能够得到这个角 b、 i、 c 了呀，现在你看角 b 知道了，角 c， 知道了这个角 b、 i、 c 的 度数，那不就知道了吗？ b、 a、 c 度数，知道了，这一半的度数知道了，这一半都知道，所以呢，这个让我们求的这个度数不就出来了吗？是不是如果说我们这个我们分析的过程的话，如，如果我们分析的过程啊，咱们来说一下，就是我们的这个角 b、 i、 c， 它是等于什么呢？我们的这个角 b、 i、 c， 哎，它是等于一百八十度，来减掉这个三十八度， 来减掉这个六十二度，哎，得到呢？它是八十度，得到它是八十度，它是八十度了，那么这个角 b id 呢？角 b id 是不是就等于咱们得到这个角的一半？角 b、 a、 d， 它是等于二分之一倍的角 b、 i、 c， 哎，它就等于个四十度， 对吧？那么这个角是四十度了，现在让我们求的这个角 a、 d、 b 呢，就应该等于一百八十度， 减去这个四十度，再减去这个三十八度，那么算出来是等于多少？一百零二度不就完事了吗？就给他算出来了，对不对？那如果说让我们写格式， 如果让咱们写格式的话呢，咱们就把格式写一下，是吧？刚才是分析的啊，格式的话，这个呢，大家要把它去学会啊，写这个格式 好，比如说咱们写一下这个格式，或者说，呃，咱们来写一下过程啊，大家可以看这个图，那么呢，我们首先哎就是写个结，首先结 在三角形大的三角形啊， abc 当中，在三角形 abc 当中， 这三个角的和是一百八十度，对吧？因为角 b 加角 c 加角 b i、 c 等于一百八十度， 所以呢，那么这个角 b 它是三十八度，加上呢？角 c 是 六十二度， 再加上角 b a、 c 等于一百八十度，所以角 b、 a、 c 是 等于个一百八十度，减去三十八，减去六十二，哎，算出来就是等于八十度， 是吧？那又因为这个 ad 呢，它平分了 这个角 b、 i、 c， 哎， ad 平分的角 b、 i、 c， 这是给我们的条件，所以呢，那么这个角 b、 i、 d， 哎，这个角 b、 i、 d 呢，就是这个大角的一半，它等于二分之一倍的角， 这个 b、 i、 c 也就等于个四十度，对吧？它的一半四十度。好，那么接下来 再放在小的三角形里面啊， a、 b、 d 当中，那么就是在三角形 a、 b、 d 当中， 角 b 加上角 b、 a、 d、 b， 再加上角 a、 d、 b， 就是 再用一次三角形内角和是一百八十度啊，再用一次，那么所以 三十八度加上四十度，对吧？他知道了，他是三十八，他是四十了，再加上角 ad 等于一百八十度，所以角 ad 就等于一百八，减掉他俩得到呢，是一百零二度就完事了，对吧？好，那么接着呢，咱们看一下， 这个咱能过了吧，关于我们的这个三角形的要和定理的这个应用啊，就是这个例题，实际上就是关于三角形的要和定理的应用，对吧？ 好，接下来我们接下来啊，接着往后看， 来看咱们课本的第四页， 看咱们课本的第四页啊， 看这个尝试思考 或呢，我们已经探索过两角分别相等， 而且呢，其中一组等角的对边相等的两个三角形全等这个结论。 那你能用相关的基本事实和已经学过的定力证明它吗？我们看关键字啊，这里有一个什么呢？基本事实， 已经学过的定力证明它。那我们学过的这个基本事实， 咱们学过哪些基本知识？有哪几条啊？谁能告诉我在哪里学的呀？这个基本知识还有没有同学能记得的？ 咱们来看啊，在我们的八上册啊，在我们八上册的课本，大家打开啊，咱们是学过的， 来看一下啊，关于八条基本事实，看了吗？这里面说九条基本事实作为证明的出发点和这个依据。 那我们呢，已经认识了其中的八条，第一条是两点确定一条直线，第二条是两点之间线段最短。第三条 同一平面内过一点，尤其这一条直线与已知直线垂直啊。第四条，巴啦啦这一堆啊，我就不去读了啊，第五条，第六条，第七条，第八条，这里面有这么多条，有这么多条啊， 那么这八条基本事实里面呢，它只有三个判定，是我们的证明三角形全等的基本事实， 也就说呢，只有这三条是我们的基本实施啊，就我们公认的哪三条呢？看一下啊，就是两边及其夹角分别相等的两个扇形全等。这叫什么呢？ s a s s a s。 再一个呢，是两角及其夹边 分别相等的两个三角形全等，也就是我们的 a s a 就是 角边角，上面这个是边，是边角边，下面这个是角边角。那么第三个呢，就是三边分别相等的这个两三角形全等，就是我们的边边边啊， s s， 对吧？那么就这三条是我们的基本事实，它是公认的啊，它是不用你去证明的，不用你证明的啊，就是你可以拿过来就用，它是一个基本事实呀，拿过来就能用啊， 那么而其他的以其他的方法要去得三两个三千全等的话呢，你得需要证明，比如说我们的 这个 a a s 啊，也可以说什么叫做角角边，这个你是需要通过证明的，当然你把它证明出来之后呢，你后面你就可以直接用了，但是你在用之前你是需要证明的，而这三条你是不需要去证明的，这是可以直接用的。那现在我们呢？ 这个现在我们课本上说的什么呢？哎，他说的就是让我们能不能用，哎，刚才我们看到的基本事实，已经学过这个定律去证明他， 那么证明呢，就是我们现在想去证明，就是两角分别相等，而且呢其中一组等角的 对边相等的两个三角形全等啊，就是想来证明他用我们的基本事实，用我们学过的定力来证明他。 那我们刚刚才刚刚看过了啊，我刚才呢把那个上册的，把上册的给他打开给他看了，就是我们的这个基本实示里面， 基本事实里面有 s a， s， a， s a 和 s s s， 是 吧？有这三个，这三个呢是你可以直接用的，是不需要你去证明的，那么这三个 我们不用证明，能直接用。可是我们如果利用这三个，如果能够证明出来这个 aas， 那 以后的这个 aas 我 们就可以直接去用了啊，咱们就可以直接去用了。 好，那么接下来咱们就来去证明一下，咱就来证明一下啊，这个通过我们已经知道的基本事实来证明一下这个 角角边啊，这个 a、 a、 s。 看一下我这里的这个，咱们关于第二个这个定律啊， 全等三角形的判定定理，这个 a、 a、 s 以及它的性质。第一个呢，我们用所学的基本知识来证明这个角角边， 那么这里面呢，有两个三角形啊，已知角 a 等于角 d。 好， 这个角和这个角相等，这个角和这个角相等， b、 c 呢？等于 e、 f， 哎，这个边和这个边相等，这就符合什么了呢？符合他所跟我们说的就是由 两个角相等其中一个角的一组对边相等，是吧？这个条件啊，现在我们呢让我们求证这个三角形 a、 b、 c 和这个三角形 d、 f， 哎，这两三角形是全等的， 那么当然你看这是不是很明显就是我们的角 a 和角 d 相等了，角 b 和角 e 相等了，那你说我们的这个角 c， 你 说我们的角 c 和这个角 f， 它是不是必然相等呀？ 因为这三角形内角和都是一百八十度的，他跟他相等，他跟他相等，那我用一百八减他减他不就等于了？一百八减他减他就得到了角 c 和角 f 相等呀，因为这个角 c 等于 一百八十度减，角 a 减角 b， 角 f 呢，等于一百八减角 d 减角 e， 那 么 a、 a 和 d 相等， b 相等，所以我们得到角 c 和角 f 相等， 对不对？那我们得到角 c 和角 f 相等，我们是不是就可以用？这叫做什么？角边角角边角不就得到两个三角全等了吗？角边角就是咱们的这个 a、 s、 a 啊， 咱们不就用了我们前面的那个基本事实，就得到了这个角角边了吗？就证明出来角角边 能够得到两个三进全等了，对不对？所以这个过程呢，咱们把它写一下啊，证明。 因为角 a 加角 b， 加角 c 等于一百八十度，角 d 加角 e 加角 f 也等于一百八十度， 而角 a 呢，它等于角 d， 角 b 呢，它等于角 e， 所以 咱得到的是角 c 等于角 f， 那么又因为 bc 这个边是等于 e、 f 这个边的啊， bc 这个边等于 e、 f 这个边，那么所以呢，咱就得到了三角形 a、 b、 c 全等于三角形 d、 f。 这个咱们根据的是角边角，这个你要写出来啊，根据你要写出来，因为他让我们用基本事实， 对吧？来去证明的啊，这个你要写出来。好，那么既然我们现在已经证明了 这个角角边能够得到两个三全等，那所以以后的话呢，我们就直接可以用这个角角边了啊，也就直接能用了，也就说我们证明出来的，我们就直接能用了。 好，那么接着呢，咱们来看一下这个关于角角边他的考题，他考的时候，他是怎么去考啊？他是怎么去考？咱们来看这个题目啊， 来看一下题目， 如图，在四边形 a、 b、 c、 d 当中， ad 平行于 b c， 角 b 等于角 d。 好， 这个角 和我们的这个角是相等的，然后呢，告诉我们呢，它俩是平行的， a、 d 和 b、 c 是 平行的，平行用来干什么的呢？那我经常给他说，对吧？平行用来干什么的？平行是用来倒角的，对不对？平行是用来倒角的啊，平行来倒角的， 那么现在呢？它又连接了 ac， 把 ac 连上了，它让我们干什么了呢？求证 ab 等于 cd， 求证 ab 这个边等于 cd 这个边， 那我标个这个角啊，这个角的话呢，我们给它叫做这个角一，这个角我们给它叫角二。 好，那么现在你看，我们怎么能够证明出来 a、 b 和 d、 c、 d 是 相等的呢？ 首先，它俩既然平行了，角一和角二什么关系啊？内错角对不对？内错角相等是吧？这是一个。 然后呢，这个角 b 和角 d 相等，咱们得到什么了？有两组这个，有两组 这个角相等了，是吧？还有一个隐藏的是什么？还有个隐藏的边吧，就是我们的 a、 c， 它等于 c， a 啊，这个 a、 c 既是三角形 a、 b、 c 的 边，也是三角形 c、 d、 a 的 边， 是吧？这个 i、 c 的 既是 a、 b、 c 的 边，它也是 c、 d、 i 的 边，所以它是一个这个公共边，那就是我们的 i、 c 等于 c、 i， 对 吧？这不就能够得到这两个 c 全等了吗？是吧？所以这个过程咱们写一下 证明， 因为 a、 d 平行于 b、 c， 所以 角一等于角二，又因为角 d 等于个角 b， a、 c 等于个 c、 i， 所以 三角形 a、 d、 c 全等于三角形 c、 b、 i。 这个就是根据我们的角角边了， 对吧？这就是根据角，这个角跟这个角相等了，这个角跟这个边相等，这就叫做角角边， 是吧？那么所以既然两个三全等了，那么对应的边 a、 b 呢？不就等于 c、 d 了吗？对应的边 a、 b 和对应边 c、 d 相等呀， 对吧？哎，这个呢，就是我们利用这个角角边啊，来去证明这个全等就可以这样来用了啊。 好，然后呢，我们那么关于这个这个小题大家都能会了吧， 那我们接着呢，来看咱们的课本啊，来，接着来看咱们课本的第四页的上面啊， 课本第四页上面呢，咱们现在刚才学完两个那个定律了啊，学完一个三角形的内角和定律，接着又学了一个 咱们的两角分别相等，而且呢其中一组等角的对边相等的两三角形全等这个定律，那我们接着来看第三个啊，这是我们刚刚已经学过的，接下来我们看第三个，第三是什么呢？就是咱们的叫什么呢？全等三角形的 对应边相等，对角相等，实际上这是什么？就是我们的 全等三角形的性质，实际上就是全等三角形的性质啊，那么它的性质咱们接着来学， 那么全等三角形的性质啊，有哪些呢？ 书上其实虽然给了，但是呢，实际上不全，但是我们了解就行啊，就是全等三角形它的性质，全等三角形 它是对应边相等，然后呢还有就是对应角相等， 对应角相等，其实还有什么呢？ 其实还有对应边的中线、高线、角平分线也都是相等的， 对吧？就是还有啊，就是我们现在呢，就书上他只给了这一点，就说呢，全等三角形对应边相等，对应角相等，那实际上你也要知道，其实还有对应边他的中线相等，对应边的高线相等，还有对应边的角平，还有这个 角平分线它也相等，就对应边它所对的那个角的角平分线，它的长度相等，对吧？说的更透彻的话，好，这个呢，大家知道行了啊， 好，然后呢，那么咱们学了这第三个定律了，咱们来看一下，哎，这个题目啊，咱们看一下题目， 看下面这个题目，那如图这个点 a、 b、 c、 d 在 同一直线上， a、 b、 c、 d 啊，这四个点在同一直线上， a、 e 呢？等于撇腹，这条线等于这个撇腹，角 a 等于角 b。 好， 角 a 等于角 b。 还有呢，角 a、 c、 e 等于角 bdf， a、 c、 e， 这个角等于 bdf 等于这个角啊，这个角和好这个角，它是相等的。 第一个呢，让我们第一位，让我们求证三角形 abc 全等于三角形 bdf， 求证 啊，求证这个 a、 c、 e， 这个小的啊，这个小的三角形 和这个小的 b、 d、 f， 那 我们求证这两个三角形是这个全等， 是不是咱们可以用什么？ 这叫什么？ 是不是角角边呀？你看这个角和这个角相等了，这个角和这个角相等了， 还告诉我们一个边 a、 e 和 b、 f 相等了，这不是角角边吗？这不就角角边了吗？对不对？刚刚学的是吧？好，那么第一问啊，咱们来过程写一下。第一问证明 在三角形 a、 c、 e 和三角形 b、 d、 f 当中 有这样的三个相等关系，角 a、 c、 e 等于角 b、 d、 f。 角 a 等于角 b。 边 a、 e 等于边 b、 f。 所以呢，三角形 a、 c、 e 就 全等于三角形 b、 d、 f。 这根据的是角角边， 根据角角边， 对吧？这叫什么呢？这叫全五行啊，全五行，一行两行，三行，四行五行，对吧？我们经常用的全五行，就把这个过程完整的展现了 啊，正全等的这个全五行啊，这个格式对吧？大家知道就是这个格式啊，好，第二问的是什么呢？ a、 b 等于个八，整个 a、 b 等于八， a、 c 等于二。好，这个 a、 c 它说是二， 这个 c 问我们 c、 d 等于多少？那么 a、 c 如果是二的话呢？我们刚刚证明这两个三角形全等了，那我们的 b、 d 不 也是二吗？ 对不对？ a、 c 是 二， b、 d 也是二呀，那么整个是八，你中间的这个 c、 d， 它不就是四吗？ 中间 c、 d 咱们得到，咱们得到不就是四了吗？是不是分析就可以这个分析出来，是吧？然后这个过程呢，我们同样写一下。 第二问的 就是呢，咱们由第一问，我们能够得到三角形 a、 c、 e， 它是全等于三角形 b、 d、 f 的， 那么既然两个三全等了，咱们刚才学的第三个定律是什么？全等三角形对应边相等，对应角相等，对吧？那我们得到对应边相等呀，就所以呢，这个边 a、 c， 它等于边 b、 d， 对 吧？ a、 c 等于 b、 d， 那 么 所以我们的这个 b、 d 呢？不就也应该等于二吗？对吧？ a、 c 是 等于二的， b、 d 也等于二呀。 那么又因为呢， c、 d 等于什么？整个的中间的线段等于整个线段减掉两头呀，等于个 ab 减去 a、 c， 再减去个 b、 d， 所以呢， cd 就是 等于个八减二减二等于四，是吧？好了，关于这个题目的两问没问题了吧？ 关于这个题目两问应该没问题了吧？ 一共呢是我们到现在学了三个定理了啊，一个呢是三角形内角和定理，就三角形内角和一百八十度。第二个呢就是我们的 a、 s， 第三个呢？就是全等三角形，它的性质这个能过了吧？

大家好，从这节课开始啊，我们来学习八年级下学期，呃，新版教材的北十大数学第一章三角形的证明及其应用。这节课呢，咱们先来学习三角形内角和定义的。第一课时， 我们先来看一下这节课我们学习的目标有哪些哈，首先我们要掌握三角形内角和一百八十度它的探索及证明过程。 第二呢，要求掌握三角形内角和等于一百八，并会用这个定力来解决一些问题。最后呢，就是要理解掌握两个三角形全等的判别方法。 我们来思考这样的一个问题，我们已经知道任意的一个三角形，它的内角和都等于一百八十度，这个小学的时候就有涉及过，初中的也接触，现在我们就要正式学习它， 那么和三角形的形状大小都是没有任何关系的。哎，任何的三角形，他的三个角加起来都是一百八， 除了度量之外，就是用量角器测量，你还有什么办法可以来验证我们这个三角形的内角格等于一百八十度。我们这里边有一个图形， 通过折叠可以将看上边的这个三角形给他折下来， 那么折下来之后呢，再把左边的这一块给他往中间折，右侧的这个灰色的也往中间折，我们就能够发现一个现象，三角形的三个角现在折完之后组成了一个什么角？ 平角，而我们知道平角肯定是等于一百八十度的，所以呢，通过这个小的折纸实验，我们就能够感知到哦，三角形三个角加起来应该等于一百八十度。 呃，还可以用拼接的方法，你知道怎么操作吗？就是刚才我们这个操作过程啊， 说你能根据已有的基本事实和定力来证明三角形内角核吗？刚才我们这个情境的实验呢，是让我们感知探究一下三角形三个内角核，从直观上 感受一下它们三个的核等于一百八，那么具体涉及到探真正的证明，我们接下来进行一下具体的操作，好进入我们今天的一个学习， 研究三角形内角和定义的证明，也就是为什么等于一百八。来，咱们看一下，我们知道三角形内角和一百八，那么你记得这个结论的一个探索过程吗？我们一起来探索一下啊。 如图，如果只把角 a 移动到角一的位置，哎，角一跟角 a 是 相等的，那么你能说明这个结论的正确性吗？ 将角 a 移动到角 a 的 位置，那就说明这两个角是相等的。根据咱们所学过的一个知识，如果这两个角相等，咱们就能够得到 这两条直线是平行的，因为他们两个角的关系是什么角啊？内错角， 内错角相等的时候，两直线平行，根据两直线平行，咱们是不是又能得到角 b 和角二也是相等的呀？因为他俩是同一角， 这样的话，我就将三角形三个内角给他移到了同一个平角上边来，咱们是不是就能很好的理解好这三个角的和是一百八十度了？好，我们具体看一下， 哎，由这个角 a 跟角一内错角的关系相等，咱知道这两条直线平行， 如图，由操作可知，角 a 得角一，可以利用内错角相等两直线平行证明平行线， 然后呢，再利用平行线的性质，还有平角的定义，咱们是不是就能得到一个很好的说明了？哎，好，我们再来看第二个，如果不移动角 a， 那 么你还有什么方法可以达到这样的效果呢？我们再来一起看一下。我们这个正 三角形内角和的方法是非常多的，我们刚才只是取其中的一种，将角 a 移到了角一的位置， 同时我们也可以这样做，将 b c 延长，延长之后呢， 我可以在这里边取一个角，让它等于这个角 b， 是 不是也可以啊？哎，它这两个取角其实大同小异，或者说是我构造平行线延长之后，我过点 c 做一个 c e 跟 a b 平行， 同样也可以将角 b 移到角二，角 a 移到角一，都可以来看这种方法。呃，考虑构造平行线进行平行转移啊，进行角度的一个转移， 如图，可以构造 c e 平行 a b， 然后是不就也都将三个角移到了一个平角的位置上边来了。哎，这种效果呢，也可以达到同样的一个作用啊。 三，你能不能说明这个结论的证明思路吗？试着写出证明过程，同伴进行交流， 咱们来看一下啊，我们要想把这个证明过程写下来，大家注意，这个时候我们需要增添已知条件，还有你要求证的结论，这个是需要我们自己把它添注上去的。 哎，但是今后不会了，现在因为我们是要证明这个定理，那么我们唯一的已知条件就是这个三角形，所以我们可以直写已知，如图，三角形 abc， 需要求证的就是这三个角相加等于一百八，哎，这个就是已知和求证，而今后呢，我们做的都会给出已知条件，给出求证结论，直接让我们书写证明过程就可以了。 分析一下说你学过哪些跟一百八十度有关的一个结论，哎，曾经的撕角拼图活动对你有什么启发？就像上边那两个实验，就属于这个撕角，把角度撕下来，然后拼成新的图形这种题型了。 那么我们就用这个呃，第二种方法来证明一下吧。延长做平行线的方法啊，来，我们一起看一下， 先写证明两个字，打冒号。如果在一道证明题当中存在辅助线，那么你必须得先描述辅助线。描述辅助线一定要将语言准确简洁啊。我们看这如图，延长 b c 至 d， 过点 c 做射线 c e， 使 c e 平行 b a。 哎，这样我们就描述出来了。那么我们做完这个辅助线之后，咱们是不是就能得到内错角、同位角相等了？ 所以角一得角 a， 角二得角 b。 在 这里边咱们就不需要备注括号，因为是上学期刚学的话，需要备注啊， 现在直接写就行了，哎，它的原因是什么？两直线平行，同位角相等和内错角相等，因为它们是在同一条直线上的，所以根据平角的定义，角一加角二加角 a c b 的 一百八。 所以呢，在等量代换，角 a， 加角 b， 加角 a c b 就 等于一百八了。这会大家注意一下，我们求证，虽然说是加角 c， 但是你这个位置延长出去了，角 c 的 名称发生了变化，如果这个位置你再写角 c， 那 就要被扣分了， 这里的 c、 d、 c、 e 称为辅助线，辅助线呢，通常我们要画成虚线，这个是我们要注意的一个地方啊，你辅助画出来的这种线叫辅助线，需要做虚线处理。 那么我们下面总结一下三角形内角和的定例，三角形三个内角的和等于一百八，哎，这个就是定例，那么这个定例呢？我们是文字描述出来的，在几何使用当中，我们如何用几何语言来描述？可以这样来表达， 在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 角 b， 角 c 为三角形 a、 b、 c 的 三个内角，则角 a 加角 b 加角 c 得一百八，哎，只要是三个内角，你就可以立刻得到结论， 他们仨相加等于一百八。这样的话呢，咱们就用几何语言可以直接用到证明过程当中去了啊。好，下面我们再来思考一个问题，如图，在证明三角形内角和定力的时候啊，小明的想法是，把三个内角凑到 a 一 的位置， 过点 a， 做一个平行线和 b、 c 平行，问它的方法能不能行，那么我们不妨简单讨论一下哈。如果我们过一个平行，做一个平行线，平行于 b、 c， 这样的话，角 b 是不是根据内错角可以上去？角 c 根据内错角是不是也可以上去？再加上原先的角 a 在 这里边叫角 b a、 c 是 不是也组成个平角啊？所以这种方法肯定也是可以的，你看方法非常多，来，我们一起来看一下这个过程啊。可行， 因为平行，那咱们就有内错角相等了。来看一下，有一个角 b 等于角 p a、 b 这个位置叫角 b 就 行，不用叫角 abc 啊，单独的角吧。第二个角 c 等于角 c a、 q， 原因是两直线平行内错角相等， 原来这个平角等于一百八，所以呢，等量代换一下，新的这仨角相加就一百八了，这样的话，我们也能够证明出来三角形的内角和等于一百八十度。 第二个问题，对于三角形内角和定里，你还有其他的证明方法吗？方法蛮多的，这里面再给大家展示一种啊。来看 我在三角形的内部，在 b、 c 边上取一个点 d， 哎，这个点 d 看着有点像中点呐，其实在哪里都行，哎，你 b、 c 上边随便取一个点就行，别跟 b、 c 重合就可以了啊， 然后过这个点，大家能不能看出这个辅助线的做法了，分别做两条边的平行线，这样的话，我们是不是也能把角度转移了？哎，来我们看一下啊， 在 bc 上取一点 d 过点 d， 分 别做 md， 平行 a、 c、 m、 n， 哎，这个 md 平行 ab， 这样的话就有内错角相等了，因为平行，所以这个因为平行不斜也可以啊，因为咱们前面已经交代了，角一等于角 c 同一角，角三等于角 b 同一角，而角二呢，等于角 b、 m、 d， 内错角也等于角 a 同位角， 这样的话，我们又能因为角一、角二，角三是平角，然后用一个等量代换，是不是就能得到内角和等于一百八十度了？哎，很多啊，我们这个三角形内角和的证明方法非常多， 上述多种方法证明三角形内角和定里的核心是什么，大家有没有发现呢？我们都是借助了什么呀？借助了两个东西，有没有看到一个是平行线，一个是平角一百八，是不是？哎， 那么我们这个核心呢，借助平行线的以角功能，将三个角转化成一个平角，这个就是我们的一个核心思想。 呃，再总结一下我们做辅助线的一个方法啊，在这里为了证明的需要啊，在原来图形的基础上添加的线就叫辅助线。平面几何里边呢？辅助线通常是要画成虚线的。有个思路总结，我们看一下， 为了证明三个角的和是一百八，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中经常要用到的啊，叫转化思想，我们这里主要是把它转化成了一个平角啊，主要转化了一个平角。 下面呢，我们对应着来看两道练习题，在三角形 a、 b、 c 中，角 a 减角 b 等于三十五度，角 c 等于五十五度，问角 b 等于多少度？ 遇到这种题呢，是我们在内角和应用中最常见的一种类型，就是利用内角和来求角度。 那么在这里边我们会发现告诉角 c 了五十五，那咱们显而易见就能知道角 a 和角 b 的 和，一百八减五十五，一百二十五。 这里边又告诉了一个，角 a 跟角 b 的 差就相当于两个未知数，那我有一个和有一个关系了，差，又来一个关系，你可以利用什么二元一次方程组啊？嗯，主要就是二元一次方程组啊， 就能够把角 a 跟角 b 都解出来了啊。哎，来我们看一下，由三角形内角和定理可知，角 a 加角 b 等于一百二十五，又因为它俩的差等于三十五，所以就能得角 b 等于四十五了啊，这个 可以连立成方程组啊，按照二维一次方程组的解法，很容易把它算出来。下面我们再来探究第二个问题，叫全等三角形的判定定律和性质。有些同学说，老师，我们之前不是已经学过他的判定定律了吗？这个不假，确实是学过了，但是呢，还是 有所区别的啊， 我们一起来思考一下这个问题啊。我们学过了两角分别相等，而其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。这个结论， 你能用有关的基本事实和已经学过的定力证明它吗？哎，有些学生说，老师，我还正它干嘛，我都学过了，那在这里为什么要正一下呢？我们上学期在学的时候啊，学习过公里， 而我们所学的四个全等三角形的判定条件中，有三个判定条件都属于宫里，宫里就不需要你正了呗，有哪些了？边角边是宫里，角边角是宫里边边边是宫里，而只有这个 脚脚边不是公理，那不是公理的话呢，他是一个判定定理，判定定理是由公理证明出来的， 所以呢，在这里是希望我们能够，呃，为了更好的理解他，让我们能亲自对这个定理进行一个证明，当然之后不需要了，以后就直接拿过来用就可以了嘛。哎，来我们看一下啊， 将这个转化成几何语言就是，呃，两个两组对应角相等，其中一组对角的对边也相等。当知道这三个条件的时候，让咱们来证明这两个三角形是全等的。 那么要想证明他俩全等呢？大家注意，这里边我们是要正这个定例，就要用公理来证明，所以呢，我就需要把它转化成另外三个判定条件。 这里边给了我们两组对应角相等，那么咱们能不能知道第三组对应角也相等了，哎，第三个角也相等了，那条边是不？我就可以看成是 角边角了，因为角边角的证明它属于公里，所以呢，我们就用角边角来进行证明。来，我们具体看一下过程， 因为角 a 加角 b 加角 c 得一百八，这个内角角就可以直接拿出来使用了啊， 角 d 加角 e 加角 f 也等于一百八，然后另外两组对应角是相等的，所以呢， 角 c 和角 f 就是 相等的了。然后呢，我们再结合着 那组对应边是相等的，咱们就能知道这两个三角形全等了，根据的是角边角。大家记住啊，咱们证明这个的目的是为了正这个定力。哎，不是说老师，为什么你还要正一下呢？ 另外三个全等三角形的判定，它属于公理，不用证。咱们在这里呢，就是为了准确地知道角边角为什么是成立的啊，主要是这个原因。 呃，然后我们就可以总结出来全等三角形的第四个判定定律， 两角分别相等，而其中一组等角的对边相等的两个三角形是全等的。根据全等三角形的定义，我们就可以得到全等三角形的对应边相等，对应角相等。这个呢，是属于全等三角形的一个性质， 下面我们对应来看一个。第二个，平行，第一， a b 等于 d e， 那 么添加哪个条件之后，仍然没办法判断它俩是全等的，哎，仍然是我们用之前的四个判定条件啊，第一个， 大家注意一点啊，给了两直线平行，那它的目的只有一个，就是为了告诉你角相等。 通过 ab 平行 d、 e， 我 们能够发现它被 b、 e 所截，只被 b、 e 所截产生的内错角，角 b 和角 e 是 相等的，那这里面具有了一角相等了， 又告诉 ab 等于 d、 e， 又有一边相等的啊，一角一边相等，我们怎么挣全等？他说不能的是咱们意思看一下 a 角 a 得角 d 可不可以？很明显这个是可以的，那么我们就相当于是利用了 角边角证明全等的 b， a、 c 等于 d， f， 哎， a、 c 等于 d、 f 这两条边相等的， 那么我们就要看它给我们的角是不是假角，很显然不是假角，这个属于边边角，那它不能证明两个三角形全等，所以得选 b 选项。选 b 选项 这块是不是有点蹿了啊？这个位置有点蹿了，我们再来看一下 c 选项， b、 f 等于 e c， b、 f 等于 e、 c， 它最直接的想法就是想通过添加中间 c、 f 作为公共边，让我们得到 b， c 等于 e、 f， 这样的话，我们就可以利用边角边证明两个三角形是全等的了。 第四个， a、 c 平行于 f， d 平行必有角相等，那么根据内错角 a、 c、 b 等于角 d、 f、 e， 所以 我们也能够利用角角边证明这俩三角形全等，所以只有 b 选项不可以啊，只有 b 选项可以。 好，下面我们再来对应的看几道例题。例如图所示，在三角形 a、 b、 c 中，角 b 等于三十八度， 角 c 等于六十二度。大家一定要养成一个边读题边标注的习惯啊， a、 d 呢，是三角形 a、 b、 c 的 角平分线， 告诉角 b， 告诉角 c， 马上反应出来角 b、 a、 c 的 度数一百八，把它俩减掉，它俩的核凑整啊，刚好一百。 所以说角 b、 a、 c 的 八十，又出个角分线，各自四十呗。让咱们求的是角 a、 d、 b 的 度数， 求贼的度数在哪个三角形中，看那是不是在内角角就行了，一百八十度，减去角 b， 再减去上边一个四十是不是就完事了？主要是过程怎么写，我们一起来看一下。 大家做几何题都一样啊，你先有思路，再有过程，认真分析题中每一个条件，能给我们提供带来哪些重要的依据。解， 在三角形 a、 b、 c 中，它们三相加一百八，那这个目的咱们是不是为了求角 b、 a、 c 呀？哎，这两个度数，所以角 b、 a、 c 等于八十度。 然后呢，再根据角分线，咱们是不是要把角 b、 a、 d 求出来呀？因为 a、 d 是 角平分线，所以咱们为了求角 b、 a、 d， 它就等于二分之一的角 b、 a、 c 等于四十度。 这回我是不是就可以在三角形 a、 b、 d 中再去使用一次三角形内角和了？哎，在三角形 a、 b、 d 中，它们三个的和得一百八，所以角 a、 d、 b 就 等于一百零二度，这个就是我们的一个证明过程。 好，我们再来看一道。第二，在三角形 a、 b、 c 中，点 d 呢？在 b、 c 的 延长线上 过点 d 做 d， e 垂直 a、 b 延长线的这个东西没有给我们提供实质性的一个有用的条件，但是垂直就有用了，垂直就有九十度产生，这里边有很多个直角三角形 告诉了角 a 的 度数是三十度，那么我们把角 a 这块标注上三十，先别着急往下分析，当你发现角 a 是 三十的时候，你就能立刻求出来，角 a、 f、 e 应该等于六十度。因为在直角三角形 a、 e、 f 中看嘛， 然后它有一个对顶角，所以角 c、 f、 d 也应该等于六十度。哎，能分析到这，先放在这， 又告诉了一个，角 f、 c、 d 等于八十，哎，那在 f、 c、 d 当中，有六十，有八十一百四了，那角 d 是 不是四十就能求了？来看看最后，哎，求的就是角 d， 要是求角 b 呢？那咱们再用九十度一减不就完事了是不是？哎，四十度口算都算出来了。那接下来呢，就是把你刚才分析的这个思路给它落笔成文写下来，变成了步骤就 ok 了。好，我们再来看一下， 因为垂直，咱们肯定是从垂直开始入手的，所以先得到的是角 f、 e、 a 的 九十度。 那这回呢，我们得在哪个三角形中？在三角形 a、 f 中，一个九十，一个三十，咱们是不是就能得到角 a、 f、 e 等于六十度了？再由对顶角，咱们能得到角 c、 f、 d 也等于六十度。 然后这回我是不是得在三角形 cdf 中去观察了，哎，两个角度数都知道了，那我要想求最后一个角，是不是一减就行了？所以是四十度？好，我们再来看最后一道例题，如图，已知点 c 呢？是在 a、 e 上，没什么实质作用， ab 等于 e、 a。 哦，给了一条对应边相等， ab 平行， d、 e 平行，必有角相等。 我们看到啊，这里边有被 a、 d 所结，但是被 a、 d 结是同旁内角，一般咱们用的少，还被 a、 e 所结，产生内错角，很明显，这个是有用的。角 e 等于角 a c 好 一边角了， 又告诉角 e、 c、 b 等于七十，告诉 e、 c、 b 的 七十，你看它在三角的外部，它是不是希望你得到角 a、 c、 b 啊？同这个邻补角一百一， 又告诉个角 d 的 一百一。哎，那这不又出现个角相等了吗？对不对？然后观察一下他们几个的关系，满足了一个角角边，能说明这俩三角形是全等的就完事了。好，我们依次来看一下这些条件怎么用？ 呵，证明，先从七十度入手的哈，因为他是七十度，他是一百一。 然后呢，因为角 d， 呃，也是一百一，所以这两个角就相等了，也就是最大的这两个角相等了。我们还需要用平行把另外两个角也说明出来。相等，平行内错角相等 仨条件，这回是不是就都够了呀？哎，那我们把仨条件摆出来，正常加大括号，其实不加大括号也不扣分，所以呢，这俩三角形就全等了。 好了，这就是我们这节课呢，所接触到的三角形内角和定力的第一节内容。在这节内容当中呢，我们讲了两个概念，第一个是三角形内角和定力一百八，以及它是如何被证明出来的，几种方法了解就可以啊。借助平行线构造平角， 还介绍了全等三角形的判定条件。定里的一个判定条件是吧？哎，角角边。同时呢，也再次认识了一下它的性质，只要全等，边角都相等。后边呢，有些对应的题，有兴趣的同学可以看一下 啊，这块有点重叠了， c d 选项啊。 好了，那么我们这节课啊，就上到这里。

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接下来我要更新巴西的内容啊，我们看一下第一小节，我们说三角形的内角和定义，第一个你需要明确它是什么，其次，它的一个证明啊。好，我们来看，我们说三角形内角和定义是什么？指的是三个内角的和是多少？一百八十度啊。 好，我们来看一下做法是什么？我说把角 a 移到角一的位置啊，我说角 a 移到角一的位置，那我们是不是可以得到？我说这两个数量关系是什么相等，为什么你移过来的呀？其次，我再看一下这两个角是什么角，是不是内错角，为什么？ 因为它是一个 z 字形的，看到没？我说它既然是内错角上的那两条直线平行，哪两条是 ab 和什么？我们把标一下啊，是 c e， 然后是不是 ab 平行什么 c e 啊， 也可以用小写字母来表示变，没有问题的啊。我说平行之后，那我说角 b 和角二属于什么角？同为角二，那可以得到什么？是不是角 b 等于什么角二？那接下来我再看，我说这是什么？一条直线，对吧？所以我说这三个角之合是多少？是一个一百八十度啊？往下写 是不是角 a、 c、 b 啊？注意，我说这里面有分支的时候，你能不能写角 c？ 不 行啊，因为你这里面角 c， 我 说角 c， 你 指代不明确，指代是他，他还是他，对吧？所以我用什么他的大写字母， 三个字母代表是我是什么？角 a、 c、 b， 然后加上一个什么角一，加角二等于多少？一百八十度，那我说角 a， 然后角二什么？角 b， 然后这个部分我们可以不动啊， 那我说加起来等于多少？一百八十度，我说这个什么三角形的内角和就没问题了，是多少？一百八十度？那接下来我写一下它的一个证明过程啊。好，如图所示。是不是有提议的角一等于角 a 啊？我说有提议的 角一等于什么角 a， 然后接下来我说角一等于角 a 呢？我是不是说了是什么角内错角相等吗？相等。所以呢？我是不是可以得到 a、 b 平行，是吗？ c e 啊， 那所以呢？我说角 b 等于什么角二，这是什么？有道理，是因为我说平行之后同位角相等啊。 那接下来我说因为什么角 a c、 b， 然后加上一个角一加角二等于多少？一百八十度？我们把这里面角一用谁来替换角 a， 然后呢？我说角二用谁来替换角 b 啊？那所以我说角 a、 c、 b， 然后加上一个什么角一就什么角 a， 然后角二就什么角 b 等于多少？一百八十度。 所以这什么内角，三个内角之和，对吧？多少度？一百八十度。所以我要说象形内角和是多少？一百八十度啊？我说证明方法为一吗？不为一啊， 我们来看一下第二种证明。那第二种证明是怎么做的？我们是过 c 做什么 c e 平行，直接做的平行，对吧？我们刚才是不是我说得到了平行？你看我们刚才是不是在这一步？我说得到了什么平行 啊？这个证明思路是直接做平行可不可以？可以啊，我说做平行的话可以得到什么？是不是我说这样角还是什么角内错角相等吗？相等啊，我说得到角 a 等于什么角一， 那其次，我说这样角属于什么角？同位角相等吗？也相等啊，也得到什么角 b 等于角啊，也说角 a 换到这个位置，然后角 b 换到这个位置，然后后面是不是跟前面那个部分完全一样啊？ 好，我来看一下是不是得到了。我说这什么是不是平角是多少一百八十度，所以呢？我说内角和是多少一百八十度啊，所以我说内角和定义是什么？三个内角的和是多少一百八十度。我说证明方法为一吗？不为一，我们刚才给了几种？两种啊，然后我再看第三种啊， 做法是什么？过 a 做的一个平行，我们做的是什么？ p q 平行于什么？ bc， 那 我们说本质是什么？哎，我们发现不管是上面的哪一种方法，就是把这三个角放在一起， 对吧？那我说思路也是一样的，我说这个做平行的时候，同样是目的是什么？把角转化成什么？一条直线上的角，对不对？那我说平行之后，我说 p q 平行什么 b c， 那 平行之后有什么内错角？怎么样相等同位角呢？相等，我说这个角和这个角，我接成角 e、 角 b 和角 e， 什么叫内错角啊？所以我们说平行可以得到角 b 等于什么角一，同样的道理，我们角 c 也给它换上去，记成什么角二，那是不是也可以得到角 c 等于什么角二？也就是说三角形，我们说原先的角 b、 a、 c 因为有分支了，所以我们直接记成什么角 b a、 c 啊，然后加上一个角 b， 然后加上一个角 c， 是 等于我们说 b、 a、 c 不 动啊， 然后呢？我说角 b 变成什么？是不是角一，然后呢？角 c 变成什么？是不是角二？我们看一下这三个角是什么角一，角二 b、 c、 a 是 不是一百八？所以我说它的结果是多少？一百八，这什么证明四？哦，好，我写一下它证明过程 p q 什么平行，什么 bc。 所以呢，我是不是角一等于什么角 b， 然后呢？角 二等于什么角 c？ 因为什么角一加角二，然后加上一个角什么 b？ a、 c 等于多少？一百八十度啊。所以呢，我们是不是可以得到是什么 角 b， 然后加上一个什么角 c， 然后加上一个角 b、 a、 c 等于什么？一百八十度？这个部分我们就过了啊。我说证明方法唯一吗？不唯一，但是核心是什么？就是我们把三个角变成什么？一条直线上的角啊。 接下来我们可以加第一角 b 是 多少？三十八度？好，我来标一下，然后呢？角 c 是 多少？六十二度。那接下来我们就后面可以暂时不用管了。我说角 b， 角 c， 知道 a 可以 算的哪个角？我说三角形，知道两个角可以求什么？一个也就知二求一的问题啊。知二求一， 那我说这个角可以算吗？可以，这个角是多少度？是不是一百八十度？哎呀，就直接写一下，我们简单写一下，一百八十度减去一个什么角 b 减去一个什么角 c 等于多少？一百八十度减去三十八度，然后减去一个多少？是不是六十二度？所以等于多少？是不等于八十度？那好，我说等于八十度。 结束了没？没有啊，这个题还给了什么 a， d 是 什么？是不是角平分线？它角平分线，我说可以得到什么？是不是？我说这两个角什么关系相等？大角是多少？八十，所以小角是多少？四十啊？ 那接下来我是在三角形，我说这个象形中至二求一，对吧？然后左边这个象形也是至二求一，也就对应的。我说 a、 b、 d、 b， 知道吗？知道。 a、 d、 c， 知道吗？知道。好，我们来看一下求什么？是不是 a、 d、 b？ 那 可以求吗？可以啊，我说角 a、 d、 b 等于多少？是不是一百八十度减去一个角 b， 然后再减去一个角，什么 b、 a、 d 啊？那好，我来写一下，是一百八十度减去一个角，什么 b、 a、 d 啊，那好，我来写一下，是一个四十度，减去一个多少？三十八度啊， 所以等于多少？一百零二度啊，这是什么 slow？ 我 们来写一下过程啊，我说这是什么？第一步，然后四十度，是第二步，然后这个是什么？第三步啊？你写过程也是这样子啊，解，在三角形 a、 b、 c 中， 因为角 b 等于多少？三十八度，然后角 c 等于多少？是不是等于六十二度？所以呢，我们说角 b、 a、 c 等于多少？是不是等于一百八十度，然后减去一个什么？角 b， 然后减去一个什么？角 c 等于多少？等于八十度啊？然后问我说这是什么第一步，然后第二步呢？是不是角平分线？好，我说因为什么 a、 d， 然后平分角 b、 a、 c 啊？ 所以呢，我是不是角两个小角等于什么？大角的一半，也就是角 b、 a、 d， 然后等于什么？二分之一的角 b、 a、 c， 然后等于多少度？是不是等于四十度啊？这是吧？第二步，然后接下来我们看一下第三步啊，我说干什么？是不是三角形内角和啊？我说三角形 abd 中， 然后呢角 b 等于多少？是不是等于三十八度？然后角 b， a、 d 是 不是刚才算了？所以我直接写啊，我写到这也可以， b， a、 d 等于多少？是不是等于四十度？所以呢？我说角谁 是不是 a、 d， b 啊？我说角 a、 d， b 等于什么？是不是等于一百八十度，然后减去一个什么？角 b， 然后减去一个角，是 a、 b， a、 d 啊， 所以是多少？是不是一百八十度，然后减去一个三十八度，然后减去一个多少，是不是四十度，所以等于多少？是不是我算一下这是什么？七十八，所以是多少？一百零二度啊？ 过程就是这样写的，其实我说大部分的情况，我是过程跟思路是完全一致的啊，我们看一下课本上的一个证明过程好，第一步个什么是不是 a， 求八十度，然后第二步呢？是角平分线，然后第三步呢？ a 内角和去用一下啊，那这个题我就讲解到这。

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