2025南充中考数学二次函数压轴题

爹，我在这道英文题里发现了少量的数字挑战三十分钟做一道中考鸭咒题，今天抽到四川南充 二次函数，四川的最爱！第一问，依然小事牛刀！ 第二问，当 p q 平行于 b n 时，求 m 的 值 k 相等不就完事了吗？ 这个求斜率的公式想必兄弟们都知道吧？ 这不就欧了吗？兄弟们还剩二十分钟搞！第三问， 直线过定点问题。这种题要做好超大计算量的准备啊！先说思悟吧，他问直线 l 是 否过定点？ 毫无疑问，是的，我们只需把 b 用含 k 的 式子表示出来，把解析式化为 k 倍与 x 有 关的式子。这样当 x 的 值能使括号里面为零时， k 影响不到此式， y 的 值定点就出来了。接下来就狂算吧！ 这里我们通过伟大定律得到了 g、 h 横坐标之间的关系，目的是为了等一下，用这两个角的正切相等建立等量关系，找到 k 和 b 之间的等量关系。 我靠，这也太难算了吧！这时我才发现自己失了志，忘记了初心，应该带入直线解析式表示纵坐标的，所以只能从头再来。 正当时间已所剩无几的时候， 我才发现我把 s 带进直线解析式居然错写成了 k t 加 b。 扶死自己和兄弟们，时间已经到了，又只能重新回去验算。 可算终于算出来了。 你瞧，当 x 等于负一时，无论 k 取何值，函数值都等于负三， 所以直线总是过定点。负一到负三。这种直线过定点问题一般都是这么解的，只不过计算量是真的大。

今天这期视频亮带你系统盘点二次函数压住最全的高频考题啊，这个就是我们初中阶段二次函数能考到的所有压住题的类型了。你像线段最值，面积最值，我们之前讲过了， 像等腰存在性问题，直角存在性，包括我们平行四边形存在性问题，我们之前也讲过了，所以今天我们主要把这个漏洞补上，也就是我们来讲区间最值问题，全国新增的百分之二十多的地区中考考的压轴题都是它，剩下有哪些是大家比较想听的，也可以在我们弹幕里面敲出来，亮亮火速更新。 好，我们拿出一道比较常规的区间最值问题啊。首先告诉你，抛物线的 y 与 x 方加 b， x 加 c， 那 么与 x 轴交于 a 点和 c 点， a 点坐标我告诉你是负一零的啊，与 y 轴交于 b 点，零负三，这个点是零 负三的第一问呢，比较简单，对吧？让我们求抛物线的解析式和 c 点坐标，你只要把这两个点带入，把这两个点带入，我们一定给求出来，也就 y 等于 x 方减二， x 减三。好，所以我们知道 c 点坐标呢，三离。 咱们今天是来学压轴题的，那第二问根本就没资格啊，我们直接来看这个题的最后一问。第三问 好，现在告诉你 x 在 某一个范围里面啊，说了相对每一个数，对吧？因为这里 n， 咱们也不知道告诉你，在这个范围里面呢，我们整个二次函数，它的最大值是 s， 能取到的最小值呢是 t， 当我的最大值减去最小值，也就 s 减 t 等于四的时候，让我们直接写出 n 的 值。 首先你得知道什么叫做区间最值，比方说现在我们给出一个二次函数，在某个范围里面，让求我的最大值，最小值，对吧？像这种问题，我们就把它叫做区间最值问题。那么对于所有的区间最值问题，我们永远是开过山车，就是开火车去对待它就可以了。 比方说你把二次函数的轨迹呢，这一段区间呢？把它当做我们的过山车，所以它总共有四种情况。第一种情况，也就是我们这个过山车呢，刚进入整个轨道里面，也就是 m 在 这里，对吧？ 我们的 n 在 这里。那么此时你会发现我们在哪取的最大角值呢？很明显在这里取的最大值，在这里取的最小值。第二种情况呢，就是刚经过我们的对正轴了，就是 m 在 这里， n 在 这里，对吧？最大值呢？依然在这里取到最小值呢？它不再是 n 的， 它在顶点位置取的最小值，对吧？好。第三种情况呢就是，哎，我们即将离开我们的对准轴， m 在 这里， n 在 这里，此时你可发现在这里取的最大值，在顶点处取的最小值，对吧？ 还有我们最后一种情况，也是我们这个车呢，即将跑出去了啊，就是我们 m 在 这里， n 在 这里，对吧？所以我们知道很明显在这里取的最大值，在这里取的最小值。我不管你是多么复杂的区间最值问题，我们只要分这四种情况讨论，我们百分百都可以轻松搞定。 当我们知道开过山车，此时这个题就会变得特别简单了。首先你观察这个取值范围，你会发现呐，大家都有 r n， 对 吧？ 我是二 n 加一，你是二 n 减一，我比你大几个单位，大两个单位，就是这个曲值范围的长度为二。首先我们知道整个抛物线的对正轴呢，是 x 等于一，那么接下来我们开始开过山车，那么第一种情况呢，就是刚进入轨道，整个车子呢，完全在对正轴的左边。 好，我们知道这个呢，就是二 n 减一。好，那这个呢，就是我们的二 n 加一，在这里取的最大值，在这里取的最小值。那我的最大值怎么求呢？我们只需要把二 n 减一带进去就可以了，也就是二 n 减一的平方减去二倍的，我们的二 n 减一，我们再减三， 那最终我们可以化简。等于四 n 的 平方减四 n， 再加上一，减去四 n， 再加上二，再减去三，最终你会发现，等于四 n 的 平方减八 n， 所以 也就是当 x 等于二 n 减一，我们的 y 一定等于四 n 的 平方减八 n， 那我的最小值呢？我只要把二 n 加一带进去就可以了，也就是二 n 加一的平方减去二倍的二 n 加一，再减三，所以最终我们求出来等于四 n 的 平方加上四 n 加一，再减四， n 减二减三， 所以最终平方等于四 n 的 平方减四。所以我们知道第一种情况，最大值减最小值。题目中告诉你等于四吗？这个是最大，这是最小，所以用上面的减下面的，那我们知道四 n 方减四方没了， 用负八 n 减去它呢，也就是负八 n 加上四高等于你的四，对吧？哦，所以平方我们求出 n 等于几， n 等于零， 那我们求完之后注意啊，我们还需要检验，因为你是把整个火车这个取值范围完全放在对称轴的左边来进行处理的。那你需要验证一下，当 n 等于零的时候，你这个火车是不是真的在对称轴的左边呢？把零带进去，这个是负一， 把零带进去，这个是一对，正轴刚好是一对吧，哦，也就是此时我们这个火车大概长这个样子，对不对？好，请问他满不满足我们的条件呢？一个是负一在这里，一个一呢在这里，很明显，负一在左边的确最大，你这个点移移移移到对正轴上，符不符合？ 符合，对吧？虽然它在对正轴上并不是完全在对正轴的左边，但是你会发现，依然在这里取得最大值，依然在我们这里，怎么样呢？取得最小值，对吧？所以它符合题。那么第二种呢，就是我们这个火车刚经过对正轴。好，此时呢，我们左边这个呢，是二 n 减一， 以及这个点的横坐标呢，是我们的二 n 加一，那么此时你会发现在哪取得最大值？很明显，在二 n 减一这取得最大值顶点处取得最小值 x 等于一的时候，取得最小值，对吧？最大值减最小值等于四，最大值二 n 减一 带进去，我们已经表示出来了，所以接下来我们只要表示 x 等于一所对应的 y 值就可以了。好，那么当 x 等于一的时候呢，把这个一带进去，一减二减三，所以我们可以求出来， y 等于负四， 所以我们知道第二种情况，我的最大值呢，是二 n 减一这里取的，所以最大值等于这么多。好，我的最小值呢，在一，这里取的就是最小值，等于这么多，二者相减，等于四， 四 n 的 平方减八 n， 我 减去你加上四，等于你最终的四，对吧？四 n 的 平方减八 n 呢，等于零，我们提个四 n 出来，那也就是怎么样？ n 减二等于零，第一个 n 等于零，第二个 n 呢？等于二，其实这个零我们刚才已经检验过了，对吧？可以，所以接下来我们只需要验证二行不行呢？ 行不行怎么去描述？就是你要知道，我是刚经过对准轴的，对吧？在左端点取的最大值，在我们顶点取的最小值，你看一下二的时候，是不是像这样的一个取值情况就可以了，你把二带进去，他是不是三呀？ 你把二带去，它等于几？是不是五呀？哦，三到五之间的三，会不会在对正轴的左边呢？不会，对吧？不符合 t， 哎，这个舍掉，而这个呢，跟我们刚才一样的重复了，所以我们就不再管它了，也就目前我们求出来的依然是 n 等于零。 好，接下来我们考虑第三种情况，即将离开对等轴，也就是这个端点呢，横坐标是二 n 减一，这个端点的横坐标呢？二 n 加一，很明显，在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这里取得最小值，对吧？就是 x 等于一，取得最小值。 好，那么接下来第三种情况，我们去计算，你最大值对应的呢？二 n 加一，把二 n 加一带进去，我们已经求出来，哎，等于这么多，这个就是我们最大值， 最小值呢？一所对应的值等于多少？等于负四，对吧？哦，最大值减去最小值，四 n 的 平方等于四，好，我们验证一下，也就是 n 的 平方呢？等于一，我们求出来， n 等于正负一，对吧？ 好，正一负一，我们都去验证。我们先来验证，如果 n 等于一，你把一带进去吗？你这个是三对吧？你这个是一对吧？一到三之间，一不就在这吗？对吧？三差不多就在这里，对吧？这段的取值范围里面，呃，你会发现它就是二 n 减一，对吧？二 n 减一就在这里， 而这个呢，就是我们所谓的二 n 加一，对吧？这一段是不是在二 n 加一取得最大值？是的呀，是不是在顶点处取得最小值？是的，你会发现你只是左端点跟顶点是重合的吗？ 那既在顶点，又在左端点取得我们的最小值，所以它是完全符合的。 n 等于可以，那 n 等于负一，可不可以呢？我们验证一下，如果 n 等于负一，你求出来，也就是负三，对吧？ n 等于负一，你带进去，你求出来，你会发现它是负一的。负三到负一之间，我的右边都是负一了吧？这里一定在对称轴的左边，所以整个图像大概怎么样呢？长这个样子，我在不在右端点取的最大值呢？不在，我在不在顶点取的最小值呢？也不在，所以这个负一呢，不符合题。 好，接下来我们考虑第四种情况，即将飞出我们的轨道啊，就是在对准轴的右侧了。好，你这个端点呢，就是我们的二 n 减一，以及，你可发现这个端点呢，是我们的二 n 加一，那很明显，在这里取的最大值，在这里取的最小值，对吧？好，我们来计算第四种情况， 最大值等于几呢？把二 n 加一带进去， o 最大值是三方减四，最小值把二 n 减一带进去，那是三方减八 n， 也就是这是最大值，这是最小值。八 n 减四等于四，八 n 等于几呢？等于八牛顿求出来一一跟它是不是完全一样的，这里面求出来零，跟它重合了， 这里面求出来的 a 呢？也跟它重合了。所以我们最终的答案呢？等于零或者一 搞定，通过我们开过山车的方法，可以解决所有的区间最值问题。如果你说亮亮，哎，我也想开车，自己尝试一下，司机自己来解决。像这种题目，亮 亮已经把各种区间最值问题，像我们的动轴定区间呀，定轴动区间呀，动轴动区间等等等等各种练习题都放在我们评论区了，大家可以自行领取，跟着亮亮无脑学习。

请看题，在平面直角坐标系中，也是点 a 点 b， 点 c， 直线经过点 a， 抛物线恰好经过 a、 b、 c 三点中的两个点，判断 d 是 否在直线， y 等于 x 加 m 上。那我们第一题看， 那么这个直线是个什么样的直线呢？是个这样直线，对吧？它 a 点在直线上，经过 a 点，那我们将 a 点代入这个表达式啊，代入这个表达式就可以求出 m 的 值，所以我们的表达式呢，是 y 等于 x 加一的啊，这个过程自己代入一下，它的直线的表达式是这样的，那么 他问啊，第一点是否在直线上呢？那我们将第一点带入第一点呢，横坐标是二啊，纵坐标是三，那么就二加一啊，它是成立的，所以第一点啊，是在直线上啊，在直线上。 那么第二步呢，它要求 a、 b 的 值，求 a、 b 的 值，那么这个抛物线呢？抛物线它这里有两个位置数， a、 a 值和 b 值，那么经过 a、 b、 c 三个点， a、 b、 c 三个点，这三个点啊， 它是 a 点是一二， a 点是一二， b 点呢，是二、三， b 点二三， c 点呢，是二和一，二和一。这 c 点直线呢，是 y 等于 x 加一的直线，是这样的一个直线 对 x 加一，那么抛物线呢，经过 abc 中的两个点，那么它是经过哪两个点呢啊，因为 b、 c 的 横坐标相同，它不可能同时经过 b、 c 两点啊，不可能经过 b、 c 两点。 那么直线呢，它能不能经过啊？ a、 b 两点呢？那能不能经过 a、 b 两点呢？它抛物线呢？它又是经过了零一这个点啊，零一这个点 啊，抛物线啊，它的截距是，它在 y 轴上的，坐标是一啊，零一，所以这个点呢？这个这三个点在同一条直线上， 那么抛物线三个点不可能在同一条直线上啊，就是讲抛物线上三个点不可能在同一条直线上， 同一直线上 啊，这是第一个不可能在第一条直线上，第二个呢，它不给 d、 c 两点呢？两点呢？横坐标不可能相同，不可能相同。两点在横坐标 不可能相同，相同啊，这三个点是在同一条直线上的， 所以这个抛物线呢，它只能经过啊， a、 c 两点，所以抛物线呢？所以抛物线只能经过 a、 c 两点，只能是经过 a、 c 两点。 那我们将 a、 c 两点的坐标代入这个表格式，就可以求出 a 和 b 的 值啊。那么 a 的 值讲的是啊， a 是 等于负一的， a 是 等于负一啊， b 的 值是等于二的， b 的 值是等于二啊。 这里过程审，审阅过程，同学们可以将 a 点和 c 点的坐标有有两个点的坐标可以求出两个未知数和 b 的 值， a 是 等于负一， b 是 等于二，这是第二问，现在看第三问，第三问。 平移抛物线，使其顶点仍在直线， y 等于 x 加 m 上，求平移后所得的抛物线与 y 轴交点的重坐标的最大值。那我们知道抛物线呢，它的 a 值是负一啊， a 值是负一。那平移以后的抛物线呢？是什么样的呢？我们设一下，设平移后 平移后抛物线表达式， 表达式为 y 等于负的 x 平方，它 a 值是不变的。不管怎么平移， a 值是不变的啊，加上 p 加上 q 啊， p， x 加上 q 啊， 那么这是我们 c 的 抛物线的减去四，平移后的减去四，那么它的顶点坐标是什么？它的顶点坐标，我们要记住啊，顶点 顶点坐标公式是负的二 a 分 之 b， 那 么就是负的二乘以负一分之 b， b 是 p， 对 吧？这就是顶点的横坐标，那么重坐标呢？是负的，你们要记住啊，我是像这样记的，负的四 a 分 之 b 平方 减四 a c 的 啊，也就是四乘以负一，四 a 分 之 b 平方， p 平方减四 a c 就 加上四 q 四 q， 这就是顶点的坐标。我们啊，再化解一下，就是二分之 p， 二分之 p， 这里再化解一下，就是四分之 p 平方，四分之 p 平方加上 q 的 加上 q， 这就是它顶点的坐标，那么顶点的坐标呢？它仍然在直线上啊，那我们这个顶点的坐标代入这个表达式，代入这个直线，所以呢， p 平方呢，除以四加上克 它就是等于呢啊， x 是 二分之 p 加一加一，这有关系，那我们这里啊，就是要求什么东西啊？ 求 cos 值， cos 就是 抛物线与白轴的交点的坐标，我们要求的是 cos 值啊，那所以 cos 呢啊，所以 cos 就 等于 负的啊，四分之 p 平方啊，加上二分之 p 加一，这就是 cos 值，那我们啊，配成顶点式，它就是负的啊， 等于负的四分之一啊， p 减一的平方加上四分之五，四分之五，所以扣的最大值啊，扣最大 等于四分之五啊，等于四分之五，这也就是说它抛物线与 y 轴的重轴标的最大值啊，交于 y 轴的重轴标的最大值是四分之五。

我们一起读题，抛物线 y 等于 a s 平方，加上 b s 减三，它跟 x 轴交于 a 负一零，它是个确定的， 然后交于 b 三到零，它是个确定的，与 x 轴交点， c， c 在 这里，零到负三啊，都是确定点，所以它是个确定的。抛物线，现在 p 为抛物线上的一个动点，随便点个 p， p 在 这里，抛物线动点嘛，然后 e 为 x 轴的动点， 随便点个一一在这里它们都是动的。 q 为平面的任意点，随便点一个 q， e， p， q， 它都是动的。不问以这几个边啊，以几几个点就 p， e， q， c 就 这几个点， 除了 c 这个固定之外啊，其他都是动的。能不能组成一个以 p、 c 为对角的对角线的正方形？这种问题我们就不能一眼看出来它是在哪里的吧，跟刚才完全不一样，那刚才那个变化还是比较规整的。这道题怎么办？ e、 p、 q 全是动点， 此时我们就得猜什么正方形，他有什么特征来。遇到这种题，我先说怎么做啊？他肯定会有一个某个点，他是平面的一点的，那我们就不讨论他为什么呢？来，我先写个正方形，随便写， 假设它是 a， b， c， d， 它是个正方形。然后呢，第一是平面内任意一点任点啊，那么我组成的正方形可能怎么去判断它有多少种？遇到这种情况，用对角线中点去做 对角线中点出来，它一定是正方形吗？我平行四边形，对角线中点，它也是相等的 啊，不止正方形，我平行四边形，我的对角线中点都一样的呀。 啊，在正方形里面怎么去判断它肯定是正方形？首先我们判断说我把这个刀去掉，我不要你了，你既然这么不乖啊，平面内，平面内的一点，那么我剩下 a、 b、 c， 我 不要它，是不是？它是个什么？等腰直角三角形， 那么我能不能讨论这个三角形？ a、 b、 c 是 等腰直角三角形的时候有多少种情况？就我把正方形转化成等腰直角形的判断，可不可以举个例子，我 a、 b、 c 啊，这种情况下我的多，它是唯一的还是不唯一的？ 我假设我 a、 b、 c 已经固定在这些地方了，我的刀要组成正方形，它是唯一还是不唯，肯定是唯一的，它只能在这里。那如果换一个我变成 b、 a、 c 呢？我是这种放啊， b、 a、 c 两种可能嘛。那么我的刀是唯一还是不唯一的？它还是唯一的，你没发现 他还是唯一的，就只要我这边的等腰直角三角形确定了，我这个刀他就能确定。所以我整正方形的多种可能讨论就转化成了三角形，而且是等腰直角三角形的多种可能讨论，那么这个就好办了吧，总比正方形好啊。讨论三角形，来，我们看一下怎么做啊。这道题来，我们擦掉。 第一步就是遇到这种我一眼看不出来的，先把每个点给确定下来，它涉及到的点了一，我们给一个它，因为它在 x 轴，横坐标是不定，纵坐标是定的， n 到零，先把它标出来。 p 呢？ p 是 在抛物线上的，我们给个横坐标，它就是要把这个算出来啊。我们算一下， 负二 a 分 之 b 就 等于一 b 等于负二 a， 所以 a x 平方减二， a x 减三，这出来把负一到零带进去，就是 a 加上二， a 减三等于零， a 等于一， b 等于负二，所以它的解析式是 x 平方减二， x 减三， 那么它就是 m 的 平方减二， m 减三。标出来了，那么剩下一个我不管它，因为我，我不讨论九点嘛，我摒弃它，我只讨论现在三角形 p、 e、 c 是 什么？等腰直角三角形的可能 这一下子就简单很多，那怎么讨论它有没有其他约束条件？有的，以 p c 为对角，以 p c 为对角的等腰直角三角形，意味着谁是直角 啊？啊，不是说到以 p、 c 为对角的线的正方形啊，意味着这个 p、 c 里面它是等腰直角，它说谁不能是直角或者谁是直角，能不能看得出来 p、 c 是 对角？我不管你 p 在 这里还是在下面，那么剩下的就是 q， e 或者 q 在 这里， e 在 这里吧， 意味着谁是直角？ e 是 直角。没错，意味着 e 是 直角， p 和 c 都不能是直角，所以相当于我又变窄了。我就讨论当这个三角形以角 e 为九十度的时候，它有几种可能就好了， 是不是一步一步拆成这里？这里就简单很多。来，角 e 为九十度，怎么弄这种问题啊？首先， e、 p、 c 这三个点里面总共是只有两个未知数， 大 m 和小 m 只有两未知数。那么遇到我要判断它是以角一为九十度。等下这条形我们用什么方法？用一线三垂直？ 因为一线三垂直，它可以出等那个全等三角形。全等三角形它会有两条对应边互相相等，是吧？两条直角边互相相等，那么就可以组两个方程，两个方程可以解决两个未知数来，怎么弄啊？ 一四九十度，它无非就两种情况，我告诉你啊，一个就是 p e c， 一个呢？ 一个是 c e p， 我 们逆时针读，这个叫三角形， p e c， 这个叫三角形 c e p 是 这两种情况， 那么老师真的只有这两种情况吗？它有没有可能我 p 不 在这里， c 不 在这里，它有没有可能是这样子呢？ 是吧？我 pk 在 下面呢，你就就算是逆时针读，我的 pk 在 下面， cpk 在 上面呢，位置可以不一样，不一样啊，来，我告诉你啊，这里面有小窍门，只要你顺时针读也行，逆时针读也行，只要你是固定的，例如这里逆时针读啊， p e c， 它是 同样，这是 p e c， 那 我不管它怎么转，它逆时针就是 p e c 的 话，它一线三垂直出来的方程啊，一线三垂直出来的方程肯定是一样， 这个大家去验证一下，只要啊同一个角是九十度，然后它的读是逆时针，你你用顺时针也可以啊，只要它是顺着一模一样的顺序，它出来的方程肯定是一样的。来，我们来我们验证一下吧，都到这里了啊，先擦掉这个，我们先验证个它啊， 证明给你们看。先把它的坐标写上去，那么 c 的 坐标是确定的，零到负三 e 的 坐标是 n 到零， 那么不妨设为 m。 这个 n 啊，它是不是有 pm 等于一 n 全等啊， pm 等多少？是 p 的 重坐标，减去一的重坐标，它就等于 m 的 平方减二， m 减三一 n 呢？一 n 是 这条编码，就等于 c 的 横坐标减去一的横坐标负 n， 这是一条边啊，那么另外一条边是 m 一 等于 c n， m 一 就是 e 的 横坐标，减去 p 的 横坐标就是 n 减 m， 然后 c n 呢？那就是 c 的 重坐标减去 e 的 重坐标等于负三。 记住这个东西啊，来，我验证啊，同样是 p e c 顺着的，我擦掉这里，我换一个方向， 我转到这里来了， p e c， 那 我做一线三等角，是不是变成这样子，但是位置变了，随便啊，那么它 先写上来啊，方便运算。 m 的 平方减二， m 减三， e 是 m 到零， c 是 零到负三。来，我们算一下，此时有 c， m， 就 这条边，它是等于 e n， 拿黄色笔来写吧， c m 是 不是 e 的 横坐标减去 c 的 横坐标就是 n， 然后 e n 呢？所以 e 的 纵坐标减去 p 的 纵坐标就等于二 m 加三减 m 的 平方。 来，我们看了啊，这个跟这个是不是一回事？负 n 等于它，我们这个乘以负数，负 n 是 不是等于 m 的 平方减二， n 减三呢，就出来了，这个方程是一样的。那么第二个啊，我们看看，是 c n， 另外一个是 m 一 m 一 等于 p n， 那 就是 c 的 重坐标减去它就负三，等于减去 e 的 重坐标， p n 呢？一的横坐标减去 p 的 横坐标， n 减 m， 看到没，这个数也一样， 这是很重要啊，因为很多人想会想很多，只要他的顺序啊，同一个角做九十度，他的顺序是一样的，我不管他怎么转，我不管要，要的一点怎么转啊，他出来的方程都是一样的，所以你只要列方程，用一千三角角算出来，他肯定包含的所有情况，只要角一是九十度的，他都包含了。清楚啊，这很重要啊，大家可以截一下屏， 自己去推一下啊。 ok， 一 二三，好，擦掉。然后回归到题目，我们既然知道了这个东西， 刚才那个 m 和 n 肯定能算出来的，我就不算了啊，因为两个方程，两个未知数。那么既然知道，我回答这道题，我要讨论角一等于九十度的时候，我是不是只要 我逆时针 p e、 c 去做一个一线三垂直列方程，然后呢？同样的以 c e p 逆时针来读，又组成一个另外一个方，两组方程，把它算出来，我就把一点所有的做直角的时候的情况都算出来， 就可以把 m n 算出来是吧？那 m n 算出来之后，我们要验证一下，就验证什么东西呢？例如他不是以 p c， e， q 吗？你算出来的 p 有 个 m 值的吗？ m 等于什么什么什么什么的，很多种情况是吧？算出来 p 有 没有跟某些点重合，重合的话它就不可能组成四边形了，就跟这四个点了，看看有没有跟其他点重合，如果重合的话，那就不能去把这些排除掉，剩下的就是我们要的所有，可能 清楚吗？这种就是我们通过把正方形转化成等腰直角三角形，然后去讨论等腰直角三角形的个数，就是那种那种情况我就可以把结果弄出来。 那么讨论等腰直角三角形的个数，你就看它的约束条件嘛，它有 p c 为对角的话，我们就看到它只有角一是九十度，如果它没有这个约束条件，我们是不是得角一着九十度，角 p 着九十度，还得角 c 着九十度，都得把这两个列出来是吧？ 什么不是啊？一线三等角。大哥，一线三等角不熟练啊，怎么是长方形啊？一线三等角，我出这两个全等，它肯定是等腰直角三角形， p、 e、 c 啊，等腰直角三角形，两个组在一起，它怎么是长方形呢？它就是正方形啊。 最后我们要求 q 啊，把这些定下来之后，通过对角线中点就可以把 q 求出来了，整个解析思路就是这样子。那么答案啊，那我给大家写一下，大家可以回去算一下， 他总共有四种可能。算出来了，一个 q 是 负三到三，加减根号三十三比二，这里有两个啊，加减，另外一个 q 就是 三到负三，还有个 q 是 三到二，总共四种可能。

中考的二次函数压轴题，你要想拿满分，必须拿下这两大类题型，第一类就是二次函数性质有关的题型，第二类就是二次函数和几何的综合题。那今天咱们看一道二次函数和特殊角的存在性问题， 如图，在抛物线上，解析式告诉我们了，于是这解析式和所有轴的交点咱都能求出来。说在这抛物线上啊，你找一点 p， 你 让这角 a c p 等于四十五度，求一求 p 的 坐标吧。 一看 a c p 是 四十五度，是不是？分类讨论立马蹦出来，那 a c p 可以 往这 p， 可以 往这 p， 然后两个都看看存不存在。第一种情况，如果我往这 p 啊，那你往这画四十五度跟二参数有没有交点？没有交点不存在，那第二种才是。所以这题只有一个点，那我们可不可能只根据这四十五度几何关系，直接求出点 p 的 坐标呢？ 你发现不可能，因为整个这条射线上所有的点是不都能保证这里是四十五度，那偏偏这点 p 在 这儿，为什么？ 是因为它是二次函数上的点，所以肯定你是要连理这个直线和抛线的解析式。也就是说，你要想求点 p 的 坐标，二次函数解析式，你知道，你就要求这直线 c p 的 解析式。 要想求直线的解析式，必须知道两个点坐标，现在你知道点 c 的 坐标了，是不是还要再求这条直线上另外一个点坐标？那在求另外一个点坐标的时候，咱这四十五度就要用上啦。看到四十五度，大家联想到什么？等腰直角三角形， 平面直角坐标系中有等腰直角三角形要求点坐标，你又想到了什么？一线三垂。 好，那这四十五度我们过哪个点去做垂来构造等腰直呢？ a 和 p 选哪个？肯定要选 a 呀，因为 a 点的坐标是知道的。那选了 a 之后，我过 a 是 往这做垂还是做 a 的 垂呢？ 肯定要做 a 的 垂，这个是和构一线三垂直相关的。大家看，我这样做 a 的 垂之后，构造出来了等，要指你这个顶点坐标 a 是 不是也是知道的呀？如果我们向这做垂，那你垂在这一点坐标又不知道了啊，一会再求这个线段长度的时候又不好求了。 好，有了，等腰值之后，要想构造一线三垂直，先找穿顶线穿过点 a 的 有吗？有， x 轴现成的，再过 c q 向穿顶线做垂，这边垂是不是已经做好了？那这边做个垂就好了。 然后我们就能证出来这两个直角三角形全等，我们根据全等就能导出我们的线段关系。这里是一，这里是三，于是 f q 就 等于 o， a 等于一， 这里是三。这回看看 q 点的坐标是不就出来了？横坐标就是 o f 的 长度，一加三四纵坐标跟 f q 相关，这里是一 q 的 坐标出来了，和 c 点一连立，就求出来了这条直线的解析式， 然后我们再把直线解析式和抛线解析式连立，就能求出 p 点的坐标。 然后我们来总结一下啊，下次你再碰到这种特殊的四十五度的问题，首先找到这么一个定点， a 过定点 a， 向它本身去做垂线， 然后我们利用一线三垂直去构造全等，求出直线上另外一个点坐标，进而直线解析式可求，进而和二三数连立，我们的点 p 可求，跟着你轻松学习。

我们再看一下第二小题，第二小题才是一个重头戏，因为第二小题的话，它的难度系数是非常高的啊，需要我们考虑到很多很多的啊，大概有四个情况， 我们先看一下题，抛物线 l 向左平移 m 个单位，得到抛物线 l 一， 过点 m 啊，向左平移。我们先解释一下 抛物线向左平移，首先我们要做的是什么啊？记住，这很关键，要做的就是把我们抛物线的这个表达式换成它的呃，顶点式。那么在根据一个口诀是左加右减，就能得到我们平移之后的抛物线 l e 的 表达式了啊，里边肯定是含 m 向的， 过点 m 做 m n 平行于外轴交抛物线 l e 点 n 横坐标是负一，过点 p 做 p e 平行 x 轴交抛物线 l e 点 e 在 抛物线 l 对 称轴的右侧， 若 p e 加 m 等于十，求 m 的 值，那么这就是一个啊，线段加线段之合是一个定值的问题了啊，这个问题是我们啊考试的一个重点，我们看一下，提前我们已经把这个图已经画好了。 首先呢是我们这个抛物线，我们简单来看一下，这是 l 啊，那么先向左平移得到的是 l 一， 那我们这一部分是 l 一 平行，问完了之后呢？然后是这个情况是在是我们 n 点在 m 点的下方，然后呢，我们算出 m n 之间的距离来，再算出 p e 之间的距离来，然后相加得失。 第二种情况呢，是我们 n 点在 m 点的上方，也就是我们这种情况来看啊，这是两种情况啊，同样算法和我们第一种情况相似，所以说呢，这个题呢，我们先解决前面的问题，然后再根据图我们再去一个个的分析， 假如问题呢，我先把我们先把这个抛物线 l 的 抛物线换成一个圆点式啊，接下来就是我来给他去换算的一个过程， 现在顶点式已经换好了，顶点式换好之后呢啊， l 平移啊，这是我们直线 l， 然后 l 向左平移 m 单位，那么我们得到 l 一 的话是向左平移 m 左加，所以说 l 一， 其实 y 是 等于 x 左加，加上 m 减二， 左加 u 减嘛，啊，算左平就是加 m， 所以 再减去九，这是我们 l 一 的表达式。然后接下来我们看一下我们这个图像，先看第一种情况， 第一种情况呢，是我们 n 点啊，在 m 点的下方， n 点在 m 点的下方， p 点呢，是当 x 等于负一的时候， p 点是我们平移之后的上面的一个点，那么我们来看一下这个这个图形， n 点在 m 点的下方， m 点的 那纵坐标是负三，所以说 m 点纵坐标是负三的话，我们把 n 点的这个纵坐标给求出来就可以了。那么 n 点的纵坐标怎么求呢？这个对称轴呢，是 x 等于 二的，在我们对称轴，所以说当 x 等于二的时候呢，我们这个式子表这个 n 点的纵坐标，就直接把 x 等于二带入我们这个 l 二的这个曲线，呃，抛物线里面中去就可以了。 l 二的抛物线 是 y 等于括号 l 加 m 减二的平方减九，那么把 x 等于二带进去，那么所以我们 n 点的纵坐标就可以得到是 y， 是 等于把 i 等于二带进去，之后是 m 的 平方减九， 然后现在呢， n 点在 m 点的下方啊，我们要根据如果想求 m n 的 距离的话，就用一个口诀就可以，那么是什么呢？就是大数减小数就得线段的长度，这个里边 m 是 比 n 要大的，因为它是在 x 轴的下方， 所以 m n 的 距离其实就是 m 点的纵坐标。减 n 点的纵坐标呢？ m 的 坐标是二到负三，纵坐标是负三，所以我们直接用负三减去啊， n 点的纵坐标括号里 m 二次方减九就可以等于负三，减去 m 的 二次方加上九，其实就等于 六减 m 的 二次方。 m 已经求出来了，我们现在来看一下 p 点 p e 啊，它让求一下 p e 的 长度。 p 点呢，是 x 等于负一的时候啊， i 等于负一呀， p 点所代表的点在横坐标上是 x 等于负一。 然后我们看看 q 点和 e 点，这个里面呢，也要分两种情况，那么第一种情况呢，就是说我们 p 点在自己的这个对称轴的右侧，那么在自己对称轴的右侧的话呢？呃，因为是这整个的 l 二是由我们哎，是由我们这一条抛物线平移得到的啊，整个的 l 一 啊，这里记错了， 整个的 l e 是 由我们这个抛物线 l 平移 m 个单位得到的，所以 p 点如果在自己的对称轴的右侧的话，它很显然就是我们这个 e 点平移过来的，那么此时 p e 之间的距离就是 m， 所以 这个直接就能算 p e 之间的距离是 m， 那 么 p e 之间的距离是 m 的 话呢？我们来看它们相加是等于十，是题干里的消息，所以说 m n 加上 p e 就 等于六减 m 的 二次方加上 m 等于十， 很显然能解得就是负。 m 的 二次方加上 m 等于四，那么解下来就是 m 的 二次方减去 m 等于负四，那我们经过配方， 经过配方呢，可以得到一个就是 m 的 减二分之一括起来的二次方等于四分之一减四。那很显然我们坐到这的时候就不需要再算了，因为等号的右边是负数，那等号左边是平方，所以说解不出来的这种情况要舍去， 这是我们 p 点在自己对称轴的右侧，那么只有另一种情况，就是 p 点在他自己这个对称轴的左侧，在这个位置了， 在自己对称轴的左侧的话，那很显然就是由我们这个抛物线的 q 点平移过来的，那 q 点平移过来的话，我们就可以把 q 点的横坐标求出来， q 点的横坐标是多少呢？因为 q 点平移到 p 点是平移了 m 个单位长度，所以 q 点的横坐标就等于负一加上 m， q 点的横坐标是它了。然后我们来看对称轴， e 点和 q 点很显然是关于对称轴对称的，那么我就看出来 q 点到对称轴的距离是多少呢？其实就是我们啊对称轴的对，对称轴的距离呢，其实就是二，减去我们 q 点的大数减小数。 q 点的横坐标负一加上 m， 其实就等于 三减 m， 这是 q 点到对称轴的距离，那么 q 点到一点的距离其实就是六，减去二 m 是 我们 q e 的 距离，这里我们标注一下啊， q e 距离是这样， 那么 q e 的 距离知道了，然后呢？ m 的 p q 的 距离是 m 啊， p q 的 距离也是 m， 所以 说我们 e 点的坐标就能得到了，就是相当于我们 p 点的坐标，加上 m 加上 q e 的 距离就是负一加上 m 加上六减去二 m， 最后我们能得到是五减 m， 那我们解得最后等于是五减 m 的 时候，一点是五减 m， 一 点在屁点的，一点应该是在屁点的右侧，所以 pe 这个距离，我们在这里写 pe 的 距离其实就等于一点减去屁点， e 点是五减 m， p 点呢是负一，所以 p 一 的绝对就是五减 m 减去负一，所以最后等于是六减 m， 那 么还是啊，六加 m， 那 么我们还是用 m n 加上 p e m n 呢啊， m n 还是六减 m 的 二次方，所以我们来看一下，那就是 m n 加上 p e 就 等于 六减 m 的 二次方，加上六减 m 等于十啊，算下来之后是 m 的 二次方，加上 m 等于二。接下来呢，我给大家展示一下我是怎么去通过计算得到的 m 啊，是用的是一个配方法， 解得 m 加二分之一等于正，负二分之三，所以我们 m 其实就等于二分之一加减二分之三， 然后解得 m 其实等于二分之一加减三啊，那么 m 一 就能出来了， m 一 就是就等于一加三得四，四除二的话是二，那么 m 二不对，这里应该是负的啊，因为二分之一一项是负的啊，那么这边也是负的啊，所以说 m 一 等于负一加三等于负二等于二，二应该得一， 然后 m 二呢，是负一减三得负四，负四除以二等于负二，可以想象负二应该是舍去。最后我们解得 m 应该是等于一，这是这一种情况啊， 然后我们再看第二种情况，第二种情况呢，就是我们这个图了，就是 n 点在我们 m 点的上方， n 点在 m 点的上方的时候呢，那么啊， n 点的这个表达式仍然其实还是我们这边的表达式， m 方减九，那么那么 m n 之间的距离就会发生变化。 m n 的 距离的表达式其实就是用 n 点减 m 了，就等于 m 的 二次方减九，减去 m 的 横坐标是负三，就是 减去负三，等于 m 的 二次方减六，这是 m n 的 距离了。那么 p e 之间的距离呢？ p 同样也要考虑两种情况，第一种情况就是 p 在 自己对应轴的右侧啊， p 在 自己对应轴的右侧的话呢，我们来看一下，那么 p e 之间的距离就是考虑到我们啊刚才第一种情况的啊，这个 p 在 对应轴 右侧的这种情况，那么这时候的 p 点其实就是由 e 点平移 m 单位长得到的，所以说这时候 p e 其实就等于 m 就 可以了啊。然后 m n 加上 p， e 就是 m 的 二次方减六，加上 m 就 等于十。经过整理，也就是 m 的 二次方加上 m 等于四。那我们来解一下， 经过整理，它的式子应该是 m 的 二次方加上 m 等于十六。那么我们来解一下这个 m， 那 么经过配方就可以得到，其实就是 m 加上二分之一的二次方，就等于十六，加上四分之一减一下吧，所以 m 加上二分之一就等于二次方，就等于四分之六十五。所以 m 加上二分之一等于正负，根号下四分之六十五。 m 其实等于 负的二分之一，加上二分之根号下六十五，加减 m 一， 就等于二分之一。 解出来之后啊， m 一 是负一加上根号六十五除以二， m 二是一，减去根号六十五除以二，很显然 m 二应该是一个负的，所以说它去舍去，这个要保留啊。 然后我们再来看第二种情况，第二种情况呢，就是我们 p 点啊，在我们对称轴的右侧， p 点如果在对称轴的右侧的话呢，其实就符合我们的。第一种情况，就是我们第一种情况， p 点在对称右侧，我们解得解的 p e 是 六减 m， p e 是 六减 m 了，所以说我们再和 m n 直接相加就可以了啊， p e 是 六减 m， 再加上我们的这个 m， m n 就是 m 的 平方减六加上六减 m， 其实就是 m 的 二次方减 m 就 可以得到了，等于十。那么这个里面呢，我们再给它减一下，其就是 m 二分之一，二次方 四分之一， 减出来 m 一 和 m 二，一个是一，加上二分之一，加上根号加四十一，一个是二分之一，减去根号加四十一，很显然我们这个又是舍去。最后是 m 一 等于二分之一，加上根号加四十一，那么综上我们就可以得出三个答案。那么这个里边 m 的 取值， m 的 值，其实啊，我们在这里边写一下啊， m 的 取值呢，其实就可以有啊一，然后一个是二分之负一加上根号二分之负一加上根号下六十五，还有一个是二分之一，一加上根号下四十一，这是 三种情况啊，这种问题也是比较麻烦的，但是，呃，不单是难，难度比较大，而且它的计算量也是非常大的，所以我们要仔细的去考虑一下这种问题。但是这里边有一个值得注意的一个状况，就是我们这三个答案还得去我们去检查一下，因为最后 m n 的 它的啊距离的话，我们尤其是第二种情况啊， 比如说我们的这种第二种情况上 m， 第二种情况下 m n 的 距离的话还十二次方减六，所以我们把这两个啊分别看看，带进去看合不合适。最后呢，其实经过计算检验，由于 能得到啊二分之一，加上根号下四十一，带出去之后呢，它是一个负的，所以说不符合题，这个其实还要舍去一个啊，这个舍去，所以最后答案就是一个是一，一个是负一，加上根号下六十五。

ok， 来，我们看第二十二题的函数压轴题。老规矩，还是先读题啊，前面给到的四个哈，项目主题，项目背景驱动问题，这一个我们就先跳过了，直接从第四个开始看啊，他说 我要建立一个模型，然后呢，如图一，他说无人机的示意图，其中点 o 为无人机的摄像头， ab 呢，为喷药口 abo 在 同一条水平线上， ab 的 长度为六十厘米，然后呢，如图二，往下翻一翻哈， 如图二，以无人机摄像头所在位置 o 为坐标原点，然后数值方向为 y 轴，以 a b 所在直线为 x 轴，建立平面坐标系喷药口 a 和 b 到圆到这个点 o 的 距离是相等的，那这就相当于是间接告诉我什么了呢，叫做 a 点和 b 的 坐标了，对吧？那我们这 o 到 a b 的 距离相等，那说明间接告诉了我们 o 是 ab 的 中点呢，说明 o a 等于 ob， 对 吧？ o a 是 等于 o b 的， 而且呢，它前面告诉我 a b 的 长度为六十厘米呢，说明 o a o b 正好是等于二分之一被答 ab， 对 吧，也就等于三十厘米，然后等于三十厘米。那这个 由图呢，我们可以看到什么呀？看到这个， 这个，这个 a 点呢，是在 x 轴的负半轴， b 点呢，是在 x 轴的正半轴，所以我们可以得到什么呀？叫做 a 点的坐标，是吧？负的三十都零，然后 b 点的坐标呢？三十都零。错了，三十都零。 ok， 哈，然后呢，我们继续呃，每一个喷药口呢，喷出的药水向数值方向的最大横截面的形状相同的抛物线。我们这要知道啊，它叫形状相同的抛物线，代表什么意思呢？叫做 a 值是相同的， ok 哈， a 值是相同的，而且 a 的 绝对值也大小也是一样的，只是顶点坐标不一样， ok 吧？然后呢，抛物线与外轴呢，交于 c 点，且 o c 等于三百厘米， 然后呢，我们去看图会发现 c 点呢，在外轴的负半轴，所以我们可以从这个地方可以得到什么呢？ o c 长度为三百，然后 c 点的坐标的话，零到负三百， ok 哈，零到负三百。然后呢，是确定点 a 所在抛物线的函数表达式，那这个时候的话，我们要知道前面我所分析出来的一堆信息，然后要知道 a 点的话， b 点的话都属于零， 都属于什么呀？抛物线的顶点坐标，所以这个时候的话，我们就可以直接去假设过点 a 的 这个或者叫做顶点为 a 的 抛物线，它的表达式，那就直接设顶点式就 ok 了，所以我们前面的文字说明自己去说哈，然后我这大概给你个这个啊， 这个写法叫做我前面给过的题目分析啊，因为这个 o 到 a 和 b 的 距离相等， a b 等于六十，所以 o a 等于 o， b 等于三十，然后由图可知， a 在 呃 x 轴的负半轴，所以 a 点坐标为负的三十到零，然后再往下就可以去假设了哈，然后我们直接直接假设设这个炮舰的表达式， y 等于 a 倍的啊， x 加三十八平方， ok 吧，然后后面纵坐标，因为是零嘛，所以我们直接加零，这就不写了。然后呢，因为这个点 c 的 话，它是在然后 还是哈，由题可知， o c 等于三百，然后 c 点在外轴的负半轴，所以点 c 带回去啊，点 c 带回去，那就是负的啊，三百倍的负的三百等于 a 倍的零加三十的方， ok 吧？然后我们这的话就可以解出来 a 的 值， a 的 值的话是一个负的三分之一，这口算都能算出来了哈， a 的 值解出来以后的话，表达式是不是就知道了啊？我这就直接换走了哈，那这擦掉，然后我们这的话直接把这个 a 的 值给它换成负的三分之一， ok 吧？ x 加三十，那这样的话我表达式就直接就算出来了，这个过程大家整理一下，好吧， ok， 那 是第一问，第一问结束以后的话，我们来看第二问，还是题目当中告诉我们的信息哈，叫启动无人机和无人机摄像头，距地面出使高度为三百厘米，然后呢？为了精确喷药的这个， 嗯，我为了精确这个喷药哈。呃，需要调整无人机的高度到图三的位置，也就是说我刚开始的时候是图二，然后呢要调整向下降到图三的位置，然后呢， 使得零田间的距离，田，田埂对吧？之间的田埂，然后也就是告诉我 e f 的 这个长度，呃，等于三十，然后田埂的高度忽略不计，恰好不被喷到农药。求无人机应该向下降多少 读，呃，读多少厘米，对吧？那这个时候我们要知道就相当于是间接的告诉我了， e 和 f 之间的距离三十，那 y 轴是不是正好平分 e f 对 吧啊？ y 轴正好平分 e f， 那 我们把这个 e 和 f 与什么呀？ y 轴的交点，我们标一个 h 啊，我们标一个 h， 然后还是文字说明说明清楚，然后呢，这个 下下降，因为这个抛物线 a 和抛物线 b 的 话，正好是一个关于外轴对称的这个抛物线，所以 e 和 f 到外轴的距离是相等的，那这个时候的话， h e 等于 h f， h e 等于 h f， 然后等于二分之一倍的 ef， 也就等于十五， ok 吧，老规矩，还是我们会发现它的这个， 这个，这个，这个，呃，一点是在左半边的，对吧？所以我们可以得到什么呀？一点的坐标，呃，横坐标哈，所以一点的横坐标，呃，所以一的横坐标， 横坐标为负的十五，然后的话，我有了这个 这个横坐标为十五，也就相当于是 x 等于负的十五，然后我就可以带到抛物线的表达式里面，就是 y 等于负的三分之一被的 x 加三十的平方，当什么呀？当 x 等于负十五时，然后求 y 的 值就可以了， 可以吧？然后这的话我直接给答案，然后大家自己去求一下，这求出来的外值呢？是七十五啊，这求出来外值是七十五，也就是说此时一点的纵坐标是七十五厘米，那 他问我下降的高度，我原先是三百厘米，现在变成了七十五厘米，那就用三百，所以下降的高度就是二百二十五厘米，对吧？单位，哈，那这个时候的话，无人机应该下降的高度就是二百二十五厘米， ok， 这是第二问，然后呢，我们去看第三问，第三问的话他说如图四，我不是两个了，现在变成四个了，对吧？ 直线 ab 上再增加两个喷药口 m 和 n， 然后呢，这个 m 在 a 的 左侧， n 在 b 的 右侧。切什么呀？我们要注意哈， m， a 等于 ab 等于 b n， 前面的话，我们，呃题目当中告诉过 ab 的 长度的话是六十，对吧？那说明什么呀？说明 am 和 b n 以及 ab 的 长度都是啊，相等的都等于六十厘米， ok 哈，然后呢，他说当无人机向上升到距离地面四百八十厘米的时候，求此时喷药的这个 覆盖的区域宽度 p q 的 长度。那这个题的话，我们有两种做法啊。首先第一种做法的话就是， 呃，我就以前面求出来的 a 这个过点 a 的 这个抛物线，然后先去求什么呀？先去求高度为四百八的时候，横坐标是多少，然后呢，我们就会发现，就是当他这个外值是四百八十的时候，他的开口的大小看啊，这个开口的大小 全都是相同的啊，开口的大小全都是相同的，但是的话我们要去注意一个开口大小。我知道了以后应该怎么去算这个长度，因为它要算的是从最左到最右嘛，对吧？所以这个时候的话，我们可以给它分割一下过点 m 给它做一个垂线和过点 n 呢，也给它做一个垂线， 那做下来的垂线中间的这一部分的长度正好就是什么呀？正好就是我们前面给过的 m， a 加 ab 加 b n 的 长度，一共的话正好是一百八十，这是不用你算的哈，这是我们口算 就可以得出来的。那重点来了，就是我想要的 p 到这一段的距离和 q 到这一段的距离是最左和最右， 对吧？然后这两小段他俩的长度的话是相等的，那也就是说相当于是我加起来以后，正好是一个完完整整的。什么呀？当 y 等于四百八十的时候，这个最左到最右的一个距离，那所以我这的话就直接干干嘛呢？就直接把他这个当 y 等于四百八十 啊？带回到我前面算过的什么呀？负的三分之一被 x， 呃，加三十的完全平方带回去就行。那带回去以后的话，我这个 x 值算下来就是一个负的三十加上多少呀？呃，两个值哈，根号十二倍，根号十， ok 哈，算下来一个十二倍，刚好十。那算下来以后的话，我们从最左到最右，它的长度正好是一个什么呀？正好是一个这个，呃， 这个，这个，这个两数的差，对吧？右减左加上十二倍，刚好十，然后减去什么呀？负的三十减十二倍，刚好十，这算下来的话正好是一个二十四倍的刚好十 啊，二十四倍，根号十。那连带上我们刚刚算过的什么呀？算过的 m 到 n 之间的距离正好正好是个一百八，那说说明什么呀？ p q 此时的长度就是一个一百八十加上二十四倍的根号十， ok 哈，带长度单位哈厘米， ok 哈？厘米。 那这是第一种算法，第二种算法的话我们可以按什么去算呢？叫做按照 m 过 m 点的抛物线表达是算 p 点的坐标，以及过 n 点的抛物线算 q 点坐标。因为这个抛物线的话，它其实是由什么呀？由这个 a 和 b 前面说过它的形状和大小是完全一样的嘛，对吧？那说明什么呀？说明 a 值是一样的，那过 m 点的抛物线表达是依旧是 y 等于负的三分之一，括号 x 加多少？但是的话它是不是相当于是我从 a 这个抛物线往左平移了六十个单位，所以过 m 点的这个抛物线，其表达式就是多少呀？ y 等于负的三分之一，被 x 左加嘛，对吧？加，原先是加三十，现在的话又往过一个六十，那是加九十个平方。 那右半边的话，就相当于是我要在这个抛物线的基础上， y 等于负的三分之一，然后从原来的这个 加三十往右平移。要平移多少呀？要平移一百二十个单位，对吧？原先是加三十呢，现在变成了 x 减 九十的完全平方。那这算起来以后的话，我们依旧是令什么呀？令这个 y 等于四百八，然后去算这两个值。算这两个值以后的话，用什么呀？用 q 点坐标减去 p 点坐标，依旧可以算出来屁股的长度，这个长度是没有变化的，一样的， ok 吧？那两种方法去求这个长度， 因为这道题他最后要的是个直接写出吗？所以我没有要求我们写过程，所以我们怎么算？只要能算对就 ok。 好 了，那这个呢？就是第二十二题的函数压轴题。

深根中考二次函数绝对压轴大题之直抛相交两条线段合最短！今天教你只运一个模型，顺利解决压轴大题，拿去直接用，话不多说，开干，哈哈哈！ 宝子们！继上节课讲完直抛香蕉竖直线段最短，斜线段最短以及总结完解题大招之后，我们这节课继续来学习考点三，直抛香蕉两条线段的和最短。 这里所用到的模型是一线同侧两点及我们的将军仪码问题。首先我们来给大家介绍一下将军仪码模型。将军仪码模型是指 将军和马在点 a 处打完仗，他要带着马去和 l 的 某一点处引马，之后呢，他要回到 l 的 同侧点 b 处的家。那将军怎么走所行驶的路程最短呢？ 我们要解决将军行驶路程最短的问题，思路是可以做点 a 或者点 b 关于 l 的 对称点。这里我们做点 a 关于 l 的 对称点， 找到点 a 关于 l 的 对称点 a 撇，然后连接 a 撇 b， 这时 a 撇 b 与 l 就 有一个交点，我们继承点屁，点屁为将军在 l 上引马的最短路程的位置。那这是为什么呢？ 这是因为此时将军所走的实际线路为 a p 加 b p。 若将军在除点屁以外的任意一点赢码，比方说我们的 q 点， 那将军所要走的线路是 a q 加 b q， 由对称性可得间断。 a q 的 对称线段为 a 撇 q， 换句话说，此时将军所走的线路为 a 撇 q 加 b q， 而 a 撇 q 加 b q 一定是大于 a 撇 p 的 三角形，两边之合大于第三边。也就是说，将军在除了点屁以外的任意一点点 q 赢马的时候，他所走的线路一定是大于在点屁时赢马的 线路，这样一来，我们就找到了将军要想走最短线路，在 l 上赢马的位置为点屁。 在这里，虽然我们做了点 a 关于 l 的 对称点 a 撇，我们也可以做点 b 关于 l 的 对称，点 b 撇连接 a b 撇，不难发现，这时候将军要走最短路程，引马的位置依然是点 p。 所以呢，无论是做点 a 的 对称点，还是点 b 的 对称点，赢码的位置是不变的。 总结一下模型三，在平时做题的过程中，如果我们遇到了一线的同侧有两点，求两条线段的最短。问题就是我们的将军赢码模型， 我们的做法是做其中一点关于河的对称点，然后连接该对称点与另外一点，所形成的线段与河的交点就是将军引马的位置，此时这两条线段的河一定最小。 掌握了将军野马模型，我们将这个模型应用在直抛相交两条线段和最短中，来实战演练一下吧。下面我们来看这道中考题， 一起来看这道中考题。如图，抛物线 y 等于 a， x 方加 b， x 加四，与 x 轴相交于 ab， 两点与 y 轴的交点是 c， 这时我们可以直接在点 c 处标数字四，因为点 c 的 坐标为零 c， c 是 四，已知点 a 的 坐标是负二零。抛物线的对称轴围直线 x 等于一。 第一问，求函数的解析式和点 b 的 坐标，不难发现点 b 的 坐标很好，求求二次函数的对称性，可得点 a 的 对称点为点 b， 这是因为点 a 和点 b 的 纵坐标相同。我们讲二次函数中若两个点的纵坐标相同，那么这两个点一定是关于对称轴对称的。 由于负二到一的距离是三，那点 b 的 横坐标到一的距离也应该是三，所以点 b 的 坐标为四零， b 为四零。知道了点 b 的 坐标之后，要求函数的解析式。虽然题目中给我们给出来的函数的解析式为一般形式，但是 我们现在已经知道函数与 x 轴的两个焦点，我们依然优先选择焦点式。这时我们可以设该函数的解析式为， y 等于 a， 括号 x 减 x 一 乘以 x 减 x 二， 所以就由 y 等于 a， 括号 x 减 x， 一 是负二，那带进去 x 加二，括号 x 减 x 二十四，带进去 x 减四。 下面我们要求 a 的 值，只需要带除了负二零和四零以外的任意一点，不就是我们的点 c 吗？这时我们将 c 零四代入上式，得四等于 a 乘以二，再乘以负四，所以解得 a 就是 负的二分之一。 因此该函数的解析式为， y 等于负二分之一， x 加二，括号 x 减四。 这时候我们就求出了该函数的解析式，可以把它化成一般形式，所以 y 就是 负二分之一， x 方加 x 加四。 同学们，在这里你一定体会到了二次函数焦点式的重要性。接着我们来看第二问，第二问说在对称轴上找一点 p， 使得 p a 加 p， c 的 值最小。很明显，这就是将军野马模型啊， 有一条线，在线的同侧有两点 a 和 c， 要求两条线段和的最短值 是我们标准的模型三。接着提取第二问，给大家详细解答一下。 模型三告诉我们这道题的解决思路是做点 a 或者点 c 关于直线 x 等于一的对称点。 那这道题中，我们究竟是选择做点 a 关于直线 x 等于一的对称点呢？还是选择做点 c 关于直线 x 等于一的对称点呢？ 从第一问中，我们已经找到了点 a 关于直线 x 等于一的对称点为点 b。 因此呢，这道题我们优先选择点 a 关于直线 x 等于一的对称点。然后我们连接 bc， 这时直线 bc 就 与 x 等于一有个交点，为点 p。 这时候点 p 就是 我们所要找的 pa 加 pc 的 值最小时点 p 的 位置 要求点 p 的 坐标，很明显，点 p 的 横坐标为一， 那点 p 的 纵坐标该怎么去求呢？点 p， 它在直线 bc 上。下一步我们就要求出 bc 的 表达式，设 b， c 的 表达式为 y 等于 k， x 加 b， 括号 k 不 等于零。 b， c 上除了点 p 以外，还有知道的两点为 c 零四， 点， b 为四零。这时我们将 c 点零四， b 点四零代入 以上的表达式中可得。那我们先带哪个点呢？我们都讲过，无论是二次函数还是一次函数， 优先带的点都是零几，因为零几就找到了一次函数中的 b， 二次函数中的 c。 所以呢，该函数的表达式就变成了 y 等于 k， x 加四， 再将四零带进去，就得到零等于四， k 加四，所以 k 就是 负一， 因此 bc 的 表达式为 y 等于负， x 加四，知道了 bc 的 表达式，相应的，点 p 的 纵坐标就知道了。将 x 等于一带入 bc 的 表达式中，得 y 等于负，一加四， y 就 等于三，因此点 b 的 纵坐标为三。 这在模型三的加持下，这道题就被我们丝滑地解决出来了。但有时候呢，他也会追加疑问，会问此时 pa 加 pc 的 最小值究竟是多少呢？我们一起来看一下 要求 pa pc 的 最小值。我们先连接 pa pc， 由对称性可得 p a 的 长度一定是等于 p b 的， 即 p b 加 pc 最小， 而 p b 加 pc 要最小，两点之间线段最短，即为我们的 bc 的 长度。 bc 呢，我们就可以在 r t 三角形 b、 c、 o 中由勾股定律可得 bc 就是 根号下四方加四方，等于根号三十二， 为四倍的根号二。所以，宝子们，将军赢马在二次函数中的应用问题你掌握了吗？记得点赞关注哦！

今天我们来看一道西港驱魔的二次函数压轴体，已知一个抛物线， 如果它与 y 轴的交点到原点的距离等于它其中一个与 x 轴的交点到原点的距离，那么就称这个二次函数为和谐二次函数。 括号一，我们要判断这个函数是不是和谐二次函数，那么我们就可以求一下它与 y 轴的交点坐标是零负。二，再求一下它与 x 轴的交点坐标， 那么我们通过判断就可以发现它是奇和和谐二次函数，那么我们再看括号二，如果这个抛物线是和谐二次函数，那么我们要求 b 的 值， 那么既然它是和谐二次函数，就说明它与 y 轴的交点，也就是零三，等于与 x 轴的交点的横坐标， 那么因为 b 点的值我们是不确定的，它可以大于零，可以小于零，那么当它大于零的时候，二和负 b 就是 一号的， 那么对称轴就在 y 轴的右侧，这时候他与 x 轴的焦点一定在正半轴，也就是有可能一个焦点是三零，我们把 x 等于三代入，就可以得到 b 等于七。 那么另一种情况， b 小 于零的时候，二和负 b 是 同号的，所以对称轴在 y 轴的左边， 那么它与 x 轴的交点就应该在左侧，也就是把 x 等于负三代入，可以求出 b 等于负七。那么我们再来看一下第三问 圈一，那么这个抛物线直线的 b c 上方有两个点，我们要找到 p 点，也就是三角形 p b c， 它的面积总是大于三角形 q bc， 那么我们可以先求一下 bc 的 解析式，也就是 y 等于负 x 加三，而我们通过观察这两个三角形可以发现， 如果我们使用牵垂法来求它俩的面积的话，我们可以过 p 点做一个数值的线，与 b， c 交于点 m， 过 q 点再做一个数值的线，交 b， c 于点 n， 那 么 三角形的面积就等于 pm 乘上 o b 或者是 q n 乘 o b， 因为 o b 它是一定的，所以我们只要比较 pm 和 q n 的 长度就可以。我们想让 pm 的 长度最大，并且要求出这个值， 我们可以设 p 点，坐标为 m 度，负 m 方加二， m 加三， 然后再设 q 点的坐标啊，再设 m 点的坐标为 m 到负 m 加三， 那么 pm 的 长度就是 p 的 纵坐标，减去 m 的 纵坐标。经过配方，最后我们可以求出当 pm 最大为四分之九的时候， p 点的坐标为二分之三到四分之十五。 我们再看圈二，逆时针旋转 c b， 使它恰好经过抛射的零点 d， 那 么因为 c 和 d 我 们都知道它的点坐标，所以就可以求出 c d 的 解析式为 y 等于 x 加三， 那么我们再沿着 c d 的 方向平移抛物线，得到了一个新的抛物线 y 二顶点为 e， 这时候它平移的距离就应该是 d e， 我 们要求出 d e 的 长度， 那么如果要在这个平面直角坐标系里面求出线段长度，我们必须要知道这两个点的坐标，现在我们不知道 e 点的坐标， 然后我们再观察这两个抛物线，它都交于 f 点，说明我们可以利用 f 点的坐标去求得 e 点的坐标， 而又给了一个角 c f， e 等于九十度。我们可以想到要构造 k 形图，那么我就过 f 点构造了一个 k 形图， 我们可以先设 m 点的坐标为 m 负 m 方加二， m 加三， f g 就 等于 m g o 就 等于负 m 方加二， m 加三，因为 c o 是 三，所以 c g 就是 m 方减二 m， 我 们再设 e 点为 n 到 n 加三，那么 f h 就是 n 减 m， eh 就 应该是 n 加上 m 方减二 m， 这时候我们需要通过 f 点的坐标去求得 m 和 n 的 关系， 那么我们可以把 f 点带到这两个解析式里面，也就是连力， 我们可以得到 n 等于二 m， 我 们再把这个 n 等于二 m 带入我们之前列的这个式子里，就能求出 m 和 n 的 值，也就是 e 点和 d 点的坐标。这时候我们可以根据勾股定律 做 e 点垂直外周与点 m， 那么因为 d 点的坐标是一到四， c 点是零到三，那么我们就能得出 dm 和 cm 都等于一， 那么所以说三角形 dm c 就是 一个等腰直角三角形， 这个角是四十五度，那么因为我们过 e 点做的也是垂，所以这个大三角形 c， n， e 也是一个等腰直角三角形，那么同理 d k e 也是等腰直角三角形。 n m 就 等于 n 减一等于 d k， 那 么 d e 的 长度就可以用勾股定律可以求出 d e 的 长度是根号二加四。

一分钟之内拿不下这道题的啊，那就证明你二次函数基础问题肯定还是没有过关啊。来，我们看一下这道题给了一个二次函数关系式，这里面含有参数 a， 它经过三个点，分别是负，一逗 m， 一 逗 n， 三逗 p， 然后若在 m n p 中只有一个正数啊，只有一个正数，最后让我们求这个参数 a 的 取值范围。 好，那我们来分一下这道题应该如何处理呢？好，虽然呢，它这里面有一个参数 a 啊，但是它的对称轴是可以确定的。 你无论根据对称轴公式，负的二 a 分 之 b， 还是将系数 a 提出之后进行配方，都可以求出它的对称轴是一个定值吧， 最终求出它的对称轴一定是 x 等于一啊。然后我们观察一下这三点，其中这个一逗 n， 你 看它的横坐标，恰好就是这个对称轴一啊， 并且有没有发现另外两点的横坐标负一与三是关于这个对称轴一对称的， 那说明什么问题？那就说明负一对应的函数值 m 与三对应的函数值 p 一定是相等的。哎，在这里面就有一个什么，我们会得出 m 一定等于 p， 哎，就是因为这两点是关于对称轴对称啊，对称的两个点，那么它的对应的函数值一定是相等的，对不对？ 然后又因为这三个函数值啊， m， n， p 中只有一个正数，那就说明那个正数得是谁啊？ 那必须得是 n 了，不可能是 m， 对 不对？因为 m 和 p， 呃，它俩是相等的啊， m 要是正 p 就是 正， p 要是正 m 一定也是正，那既然这三个数当中只有一个正数，那那个正数一定就得是 n， 说明 n 是 大于零的啊。那从而 m 与 p 呢，就一定得小于等于零，一定得小于等于零啊，因为它只有一个正数， 所以呢，我们只需要将这三点的横坐标带入这个函数关系式。带入函数关系式啊，就会得到它的函数值。比方说，我先把这个横坐标一带进来，那就变成了 a 减二， a 加一，它就是 x 等于一时的函数值，对不对？也就是这个 n 值啊， n 就 应该等于它啊，它必须得大于零。同理，另外的负一与三也给他带进去，你把负一带进来，那就变成了 a 加二， a 再加个一，他必须得满足什么 小于等于零，而这个，当自变量等于三十，同样给他带进来，那就变成九， a 减去六， a 再加一，哎，他就是谁了？他就是个 p 值吧，是 x 等于三十的函数值，他也必须得小于等于零。然后你分别解这三个不等式，那就好解了啊， 我们最终取它的交集啊。你比方说，我们解第一个，你会解出 a 是 小于一的啊。第三个，同样是 a 小 于等于负三分之一， 所以最终这三个解的交集是什么？就是 a 小 于等于负三分之一吧。所以最终最终这道题的答案啊，就是小于等于负的三分之一。

各章节的必考题型给大家做了一个梳理，前面我们二次函数其实已经讲过一讲了，讲的是那些终极题、中档题和基础，接下来我们接下来要给大家分享的是二次函数压轴题当中的必考三大题型，好吧，压轴题当中必考的三大题型。 另外再跟大家说一件事情，我们这场直播也给大家准备了一份小礼物，我们的初三期末复习宝典，把这个宝典把我们整个初三上下册全部内容整理成了十二大专体，里边有知识讲解，也有对应的题型， 有基础的题，也有压轴的题，所以非常适合我们现在去做，哪怕你期末考试完了，我们接下来去备考中考的时候，你想还有五个月之后就中考了。利用这个寒假，首先把我们初三刚学的这个部分拿初三期末复习宝典去查了补缺一下，也是非常好使。 那么大家如果需要这个期末复习宝典，就去看我们直播画面，看直播画面去找到我们的小助理，好吧，找到我们的小助理就可以免费去领取了，这个东西是 含有答案的，大家做完之后可以自己去对一对，我在这就不上图片给大家去展示了，好吧，接下来我们就来看二次函数压轴题的三大题，叫做等腰三角形的存在性问题，你去中考复习我告诉你，那么这个也是必会的 好吧，包括下边你做中考的复习，他也是避讳的。卧槽，这个图稍微有点磕碜，太小了， 这不利于一会儿我们发挥把它搁哪去。先先不管它，我们先来解决第一问的问题，说这有一个抛物线与 x 轴交于 a， b 两点， a 在 d 的 左边与外轴交于点 c， 顶点坐标是一等负四，求抛物线的解析式，我相信求抛物线的解析式大家应该都没有什么问题， 对不对？来告诉我。当我知道顶点坐标的时候，我要求抛物线的解析式用一般是顶点式还是焦点式来在讨论区敲出来 新来的小伙伴们，大家关注一下。毛毛老师，我们接下来给大家分享的是初三期末复习当中，期末各章节当中的必考题型，那么 现在正在进行的是初二这个叫什么？二次函数压轴题的部分顶点式，没错，这个是顶点式，那我们顶点式叫做 y 等于 a 倍的 x 减 h 的 平方加 k， 对 不对？是吧？那么 顶点式当中的横坐标就是 h， 纵坐标就是 k， 所以 我们把 h k 带进去，那就是 a 倍的 x 减，减 h 就是 减一， 加 k 就是 加负四，那也就是减四。那为什么要用零点式？原因很简单，就是零点式能够解决我们这个里边的两个字母，一个零点，解决了两个字母，我再去解决一个字母 a， 这个二次函数的解析式就求出来了，那么这个 a 怎么办？随便找一个点子坐标带进去就 ok 了， 好吧，当然你不能把顶点再带进去，顶点再带进去就没有意义了，好吧，你带进去这个什么负四等于负四那种等等式，所以我们需要再找一个点带进去，把零度负三带进去，负三等于 a 倍的零减一的平方再减四， 那零减一的平方就是一，所以 a 减四等于负三， a 就 等于四减三， a 就 等于一，没问题。那这样这个解析式我们也就求出来了，叫做 y 等于 x 减一括起来的平方减四， ok 吗？ 这是我们的第一步。零点式求出来之后，接下来我们来看第二个问，说在外头上找一点 e， 让 a e a c 为等腰三角形，那让我们直接写出 e 点坐标， 所以像这样的题目呢，他就叫做等腰三角形的存在性问题。在外头上这个找一点意义，让他成为等腰三角形，我们给他叫做等腰三角形的存在性问题。 那么做这种等腰三角形的存在性问题的时候，有些同学可能想着，老师我去画图，这不是 a 在 这， c 在 这吗？那在外头上找一点 e， 那 e 在 哪的时候，我想想他能是等腰三角形， e 在 这的时候 eac 是 等腰三角形啊，然后我再找一个 e 在 下边的时候也行， eac 也有可能是等腰三角形， 对吧？这个时候你会发现有些同学就容易把这个这个找漏了，一般这种这种问题他都不止一个答案，对吧？他都是好多种情况，很多同学都会漏找，所以那有没有一种方法能够让我不漏找， 能够让我通过计算把所有的这种情况都给算出来呢？实际上是有的，好吧，所以接下来给大家讲的这个逻辑就是我们用一个解决等腰三角形存在性问题的通法， 把所有这种类似这道题的等腰三角形的存在性问题全都能够解决，而且一个都不漏的全都把它找出来， 好吧，那么这个通法是什么呢？我们需要先给大家做一个铺垫，好吧，那么做一个什么铺垫呢？就在这画吧，我就不再翻页了。比如说，那我要让 eac 是 等腰三角形，来，大家帮我思考一个问题， 它满足什么条件？它就是等腰三角形呢？ eac 要想成为等腰三角形，它必须满足一个什么样的条件？ 你不能说随便来一个三角形，欢迎等腰三角形光临，对吧？那他必须有他自身的特点，他才能成为等腰三角形，他必须满足什么样的条件呢？我们我们一定要，一定要一层一层的去认识我们的问题，什么样的条件？两条边相等， 或者叫做任意两条边相等，是不是这个逻辑？大家想想， 在一个三角形当中，只要任意两条边相乘，它一定就是等腰三角形。有没有抬杠的？有没有抬杠的？我原来上课的时候就有抬杠的，你知道他们怎么抬杠吗？说老师举起手来了，那等边三角形呢？ 你只说任意两边相等，那第三条边呢？来，各位，等边三角形，是不是等腰三角形？是。所以那你第三条边跟他们不相等，他是等腰三角形，你第三条边跟他们相等，他就不是等腰三角形了， 他是不是还是等腰三角形？所以需不需要管第三条边？不需要。好吧，所以那我们做这种等腰三角形的存在性问题，我们首先得知道，那什么样的是等腰三角形呢？只要任意两边相等就可以。好了，那么继续我们这个话题，任意两条边相等。同学们， 那这就是我们分类讨论的依据了，你想想，那我哪两条边相等？我哪两条边相等呢？任意两条边相等，那我这里边都有哪些边呢？是不有 e a， 对 吧？是不还有 a， c？ 是不还有 e， c？ 是 不是三条边？三条边当中任意两条边相等？来，你告诉我分几种情况讨论，来讨论区，告诉我几种情况讨论，是不是三种情况讨论，对吧？没错，三种情况讨论，对不对？任意两条边相等，那我让 e 当这个顶点 是不就代表着 e a 等于 ac， 那 然后 c 当这个顶点是不是 c e 等于 c a 是不三种情况，对吧？那么接下来既然是三种情况，那同学们想想一个问题，如果我知道 e a 多长，我知道 e c 多长，它俩相等我一列方程，它俩相等我一列方程，我是不就能求出来了， 对吧？那 a， e 和 a c 呢？ c e 跟 c a 呢？所以你会发现，当我把这三种情况总结起来的话， 实际上就变成了一个什么样的问题呢？来，关键的来了，关键的来了。你想想我这个三角形就三条边，这三条边叫做，我在上面写的这有点，这三条边叫做 a， e， a， c 和 e c， 对 吧？ 也就是说我们画图是这样去画，但如果我用线段表示任意两条边相等，是不是要么他俩相等，要么他俩相等，要么他俩相等，对吧？那么既然如此，那是不是就代表着我只要把 ec 和 a， e 和 a c 这三条边， 他们的各自的长度都表示出来？我让他俩相等的方程，他俩相等的方程，他俩相等的方程，三个方程是不是就把所有的情况都覆盖了，对不对？那么接下来处理完这一层， 就是你首先知道等式三角形的这个这个这个存在性问题，你要想解决他，第一层你得知道他分这三种情况讨论，分这三种情况讨论，其实就是三个方程，就是他俩相等，他俩相等或他俩相等，这是第一层。那么第二层就是我在表示 什么？ ec、 a、 e 和 ac 的 时候怎么表示？你需要知道一个公式，这个公式叫做两点间距离公式，你只需要知道这两个东西，所有的这种等腰三角形的存在性问题都能解决。两点间距离公式是什么？ 我在原来上课的时候呢，还有一个，还有很多孩子会问我说，老师，你这个两点间距离公式我们课本上没有，那么我在做题的时候能不能直接用？我告诉你，放心的用。好吧，一般出等腰等腰三角形的存在性问题出在什么位置你知道吗？ 一定是出在最后一道题的倒数第二问，或者是最后一问压轴题的压轴题里边，像这种公式可以直接用的，好吧，不解释。那么什么叫两点间距离公式呢？就是在平面直角坐标系上，我任意有两个点，比如说他的坐标叫 x 一 y 一， 他的坐标叫 x 二 y， 这个叫 a， 这个叫 b， 我 要求 ab 这两点间距离公式，好吧，这叫两点间距离公式。 那么这个两点间距离公式等于什么呢？等于横坐标差的平方 加上纵坐标差的平方再开平方。好吧，横差的平方加纵差的平方再开平方再开平方。为什么？为什么？为什么是横差的平方加纵差的平方再开平方呢？ 为什么是这个样子呢？那它是怎么来的呢？比如说老师，有一天如果我把它忘了的话，我能不能自己把它想起来呢？实际上是可以的来，怎么想起来？就是你要求这两点间距离 ab， 那 你就过 a 和 b 分 别做 x 轴或 y 轴的平行线，让它形成这样的一个直角三角形， 你会发现你要求的这两点间距离 ab， 实际上就是这个直角三角形的斜边。为什么是横差的平方？再开平方其实就是勾股定律， 你会发现，那么你这条水平的线段就是横叉的平方，你这条竖直的线段就是纵叉的平方，然后你再开平方就是我这个斜边 a b， 看出来了没？为什么是两点间距离公式？为什么两点间距离公式是这样的一个东西？原因是什么？原因就是 勾股定力，你在平面直角坐标系里边求一条线段长度，你就把它放在直角三角形里边，把这条线段长度当做斜边不就解决了吗？对吧？那么现在你知道他是为什么是这个样子的了？同学们，那么这个公式对你来讲，那么以后忘了就忘了呗，忘了自个去推导一下， ok 吗？ 所以不是说现在很多很多家长都会都会被一些什么什么什么什么什么什么什么什么各种账号误导啊，说，哎呦，这个大大招，什么什么模型都烂大街了，我是不是见到他就赶紧躲一边去？不是那么回事啊， 就是各位，你一定要正确看待这个东西，不管是大招也好，还是模型也好，还是这些方法总结也好，它其实都是同一个东西，甚至有些老师把它给包装成说，这就是本质，我告诉你，他们都是一样的，好吧，换了个名字忽悠你而已。 所以你要了解一件事，就是所有的这些东西既然都是一样的，我在学习的时候应该怎么正确学习他？你要知道他是怎么来的，听懂没有？就是我知道他 这结论，我还知道他是怎么来的，他怎么推导出来的，那么这个东西你就学透了，学透了，你再遇到他之后，你就会做题，就这么简单， ok 吗？ 这就说到这了，这是我们两点间距离公式，给大家做了一个简单的介绍。好了，那么接下来呢，我们利用这个两点间距离公式，现在要做的事是不就是把 ec， a， e 和 ac 这三条线段给表示出来，对不对？那么接下来我们首先来看 ec， 我 表示 ec 的 时候呢？我不表示 ec， 我 表示谁呢？我表示 ec 的 平方，好吧，为什么表示平方？因为平方就没根号了吗？对不对？来 c 点的坐标我们我们知道吗？知道零到负三，对不对？零到负三， a 点的坐标我们知道吗？我们好像不知道。我们的解析式是什么来着？ y 等于 x 减一括起来的平方减四，对不对？是吧？我要求这个 a 与 x 轴的交点就是让 y 得零，那就是 x 减一呢，等于正负二，对吧？所以 x 一 呢，等于负二加一就是负一， x 二呢，就等于二加一，也就是三，对吧？所以 a 点坐标负一就零，没问题吧？那么最后 e 在 哪呢？ e 它告诉我们在哪，在外轴上， 在在外头上找一点 e， 所以 我把这个 e 点呀，随便设出来好不好？我都不怕土，我就直接写数零到小 m， ok 吗？ e 点我们也就写出来了，那么写出来之后，那你看我 a 点这个 ec， c 点坐标在这， e 点坐标在这，那我要求 ec 的 平方不就是横差的平方加纵差的平方吗？横差就是横坐标差的平方，零减零的平方， 纵差就是纵坐标差的平方， m 减负三就是 m 加三的平方，那整理完了之后，他是谁？整理完了之后他就是 m 加三的平方吧？我先不展开，就这样放着好不好？那么 e c 方你会，你会了？那接下来我们再来看 e a 方，是不一样的道理， 对吧？就是他跟他嘛，横差的平方，零减负一的平方就是零加一的平方，纵差呢？ m 减零的平方，对不对？整理出来，这个是 m 方，这个就是 e a 的 平方，也有了， 那么接下来还有谁的平方？你看 ec 有 了， e a 有 了，还差 ac 呗？那我再表示一个 ac 的 平方， a c 的 平方，那不就是横差的平方？这个负一减零的平方，谁减谁无所谓，因为有平方嘛。再加上纵差的平方，零减负三，零减负三，不就是零加三吗？ 对吧？这个是一，这个是九，加起来就是十， ok， 那 你看看我们刚刚所说的那三条线段，都给大家已经在这说完了，那剩下的是什么？ 不就是三个方程吗？第一个方程，我们说 e c 等于 a c， 同学们， e c 和 a c 相等，那 e c 方和 a c 方相等，相等不相等是不是也相等，对吧？ e c 方等于 a c 方， 是不就是一个方程，它等于它 m 加三的平方等于十。 那么第二个呢？那就是 ec 刚才等于 ac 了，那 ec 等于 ae 呗，那也就是 ec 方等于 ea 方， 那这是 ec， 这是 ea， 就是 前两个相等呗。 m 加一的平方等于 m 方加一，那么第三个，那剩下的不就该他俩了吗？对吧？ ea 方等于 ac 方，那就是后两个相等呗， m 方加一等于十， ok， 那 么到这大家能不能看出来， 我最后其实压根就没有从图上干一点事，对吧？只是做了两个步骤，第一个步骤就是把这个三角形 a、 c 的 三条边的长度表示出来， 那么第二件事就是按照我们等腰三角形的逻辑列了三个方程，那最后不就是计算吗？ 对吧？最后就是计算，好吧，那这个我们就说到这了，但是还有坑，这里边还有一个坑， 这个坑是什么呢？就是有一些出题老师在给我们设置等腰三角形的存在性问题的时候，记住他会给我们设置一个坑，这个坑是什么呢？ 就是贡献，好吧，或者叫重合，就比如说你这个 m 求出来如果跟 c 点重合，那 c 点跟 c 点重合的时候，你的 a e 跟 a c 是 不是也相等， 对吧？所以从计算的角度来讲，从计算的角度来讲，没有看不出来什么，但是从这个这个图形的角度来讲，他就出现问题了，所以你会发现在等腰三角形的存在性问题，你除了会这些逻辑之外，你还得知道书的老师会在哪里给我们挖坑， 所以你一定要注意，那你求出来那个点 e， 因为是在外轴上，那么它一定不在 a c 这条线跟外轴的交点，也就是独共线，好吧，就是 a、 c、 e 这三个点不在同一条直线上， 而在这道题里边不在同一条直线上，就是不跟 c 重合。好吧，这就是我们今天给大家分享的关于二次函数压轴题的第一类题型，叫做二次函数与等腰三角形的存在性问题。来听会的扣一，听会的扣一。所以怎么怎么，怎么把一些复杂的题 能够在最快的速度之内把它给做出来，这是我们要追求的东西， 对吧？而不是说我，我就我就比我比别人做的题多，那有什么用呢？是吧？你不总结，那，那就相当于你一天吃十天的饭， 那你撑得慌不撑得慌，自个也撑得慌，你还消化不了是吧？你还消化不了。所以那么在做这种这种这种压轴题的时候呢，我们其实还是要寻求一些解密方法和这个解解解，解密通法。什么叫通法？各位，什么叫通法？ 所谓的通法其实就是你会了这一道题的方法，然后自己把这一道题的方法反反复复的研究明白了之后， 你会发现，我在做等腰三角形的存在性问题的时候，我都可以用这个方法去去去做，这就是所谓的通法，就是我们所说的可复用的解题逻辑。好吧，在这道题里边能用，在其他题里边也能用。

二次函数的多结论问题一定是期末考试还有中考的压轴题的必考题型，这类问题解决起来看似复杂，但是也有它的方法和技巧。今天我们来分享一道非常具有代表性的多结论问题，我们来看一看这类题型到底该怎么解决 好。我们来看题目，首先抛物线是 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 其中 a 是 大于零的，它与 x 轴交于 m， 零还有二零，其中零是小于 m 小 于一的。那么下列四个结论正确的是 拿到这种二次函数的多节的问题，我们优先先把它的图像尝试着画一下。好，我们来看一下它的图像是一个具有什么样的特点呢？我们根据题目中所给的信息， a 是 大于零的，所以它是一个开口向上的抛物线。 再然后呢，与 x 轴交于零啊， m 零还有二零，二零的话呢，我们大概画到这里来，那么 m 零呢？因为 m 是 大于零小于一的，所以我们把 m 呢就放在零和一之间， 也就是说这个抛物线是经过了这个点，还有这一个点开口向上的，所以说它的图像大致的我们就可以画一下，就应该是这样的。 好拿拿这个图像以后，我们再来看下面的结论。第一个结论， b 乘以 c 大 于零，那我们就要去研究 b 和 c 的 正负。首先我们来看一下这个 c， c 的 话呢，在二次函数里面所代表的就是与 y 轴的交点，这个地方就是 c， 所以 很明显 c 是 大于零的。 然后再来看 b 怎么来研究 b 的 正负呢？我们就来看二次函数的对数轴对正轴的话是负的，二 a 分 之 b， 很明显这个对准轴是比零大的，所以在对准轴大于零的条件下，题目又告诉我们 a 是 正的，所以很明显这个地方的 b 就 应该是负的，所以呢就可以得到 b 是 小于零的，那么 b 小 于零， c 大 于零，它们的乘积应该小于零，所以第一个是错误的。 接下来我们来看第二个。第二个是一个非常经典的考法，当我们只要研究 bc 呀， ac 呀以及 abc 它们的不等式关系的时候，我们就一定要注意一个非常重要的方法， 那就是首先这个地方我们来看图像的特点是什么？图像的特点就是什么呢？首先它过了一个二零，所以通过二零我们可以得到一个 a、 b、 c 之间的关系。我们将二零代入以后，可以得到的是四 a 加上二 b 加上 c 是 等于零的， 那么它还有一个焦点是什么？还有一个焦点是 m， 而这个 m 呢，它并不是一个具体的值，它在零和一之间，所以在这个地方就会出现不等式，不等式是什么呢？那就你看 m 是 零和一之间，那么在零和一的位置就会出现正负的问题， 那在零的位置对应的是 c， c 大 于零我们已经用到了。那么现在当如果横坐标取 e 的 时候呢？那么你会发现此时的抛物线的这个重坐标就应该是小于零的，也就是说当 x 等于一的时候，对应的 y 小 于零，那么这就是一个不等式了呀。 好，我们带进去就可以得到 a 加 b 加上 c 是 小于零的。 好，那么这个时候我们得到了一个方程，我们又得到了一个不等式，而我们所研究的对象是什么呢？是 b 和 c 的 不等关系。那么这个时候我们就可以把不要的或者没有涉及到的 a 给它换掉。 好，根据这个方程我们可以来看一看，此时的 a 就 可以写成等于负的 四分之二， b 加上 c， 然后将其代入到不等式里面去，我们就可以得到负的四分之二， b 加上 c， 再加 b 加上 c 小 于零。 然后呢，我们将它进行一个化简，化减之后，你就可以得到二 b 加上三 c 小 于零，和我们第二个一模一样， 所以第二个就是正确的，而且第二个考察概率非常高，只要涉及到了关于两个字母、三个字母的这个不等关系的时候，我们可以根据他过了某一个点去确定一个方程，然后再根据他的一些焦点，在某一个范围内去确定一个不等式就可以 了。首先我们看第三个，他说不等式得解围， 我们这道题是一个二次函数的题，但他让我们解一个不等式，那你不可能真的去硬算吧，对不对？我们就应该把这个函数和不等式做一个结合，从函数的角度来看待这个不等式， 那我们看看这个不等式具有什么特点没有呢？你会发现它的左边就是二次函数呀，而右边的话呢，也好像不知道是啥，是吧？我们题目中没有提到，但是如果你从函数的角度来看的话，左边是我们题干中的二次函数， 那么右边就可以看作是一个关于 x 的 一式函数，对吧？那么现在就相当于是二式函数要小于一式函数，那么用函数的角度看待不等式，其实就是看函数图像的高和低的问题。 那么现在二式函数图像已经有了，我们只需要将右边的一式函数图像给他画到里面去，就可以进行大小比较了。 好，那么这个一次函数有什么特点没有呢？我们来看一下这个一次函数，我写的旁边就是 y 等于负的二分之 c， x 加上 c， 那 么你会发现这一个一次函数它是过定点的，你会发现当 x 如果取二的时候， y 就是 取零的， 所以说它过了一个定点二零，而这个二零呢，又刚好那么巧，就是我们这个抛物线与 x 轴的一个交点。 然后再看一下还有什么特点没有呢？因为你过一个点的直线是确定不了的，它会转动的呀。那你再看一下我们的一式函数中，它涉及到了二式函数里面的 c， 对 不对？那你看这个 c 和我们的一式函数什么特点？当 x 取到零的时候， y 就是 等于 c 的， 也就是说它与 y 轴的交点是零 c， 而这个 c 正好就是我们二次函数与 y 轴的交点。所以说呀，现在我们这个一次函数过了两个点，我们就可以把它完全确定下来， 将这两点连接起来，那么这就是我们的一次函数 y 等于负的二分之 c， x 加上 c， 那么现在我们要让二次函数小于一次函数，那就让二次函数的图像在一次函数图像的下方，那你看在这条直线下方的抛线，是不是就是这一段呐？ 对不对？那么这一段我们要解的是关于 x 的 不等式啊，那我们就看这一段里面横坐标是零，而这个地方对横坐标是二， 所以当 x 大 于零小于二的时候，就是我们的二次函数小于一次函数，所以第三个也是正确的，所以我们要从函数的角度来研究不等式。 好，接下来我们再看最后一个，那就是函数与方程的关系，所以这道题非常的经典。好，我们看一下他说关于 x 的 方程，这个东西等于负一，他是有实数根的，那么这个时候我们就可以得到 b 方减四 a， c 大 于等于四 a， 那这个时候怎么办呢？如果你只从方程的角度去看这个题，你会发现未知数很多，你很难把它算出来，那这个时候我们来看看他和函数之间的关系。来，我们看一下这个方程的左边是这一个东西， 这个东西和我们的题目中二次函数好像不是一样的呀。那你看看这一个方程里面的左边，这里有个 m， 这里有个二， 你没有发现它其实就是与 x 轴的两个交点吗？也就是说这一个形式其实就是我们的二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加上 c， 它改写成为一个交点式， 因为它经过了 m 零和二零嘛，所以它可以直接写成 a 倍的 x 减 m 乘以 x 减二， 也就是说这一个就是我们的二次函数。好，那么右边是等于负一的， 那么二，左边是二次函数，右边是负一，这怎么理解它呢？那就相当于是这一个方程，它有时数根的本质就是左边的二次函数和右边负一。 负一是什么？重坐标等于负一，是不是一条水平的直线呢？一条水平的 y 等于负一的直线，所以就相当于是左边的二次函数和右边的 y 等于负一的水平直线有交点， 对吧？那有交点怎么体现出来呢？那我们把这个水平的这个负一的这个直接画一下，和这一个二次函数要有交点，那就说明我们这个直线 y 零负一啊，必须是是这样的一个方式， 也就是他的位置必须比这个顶点要高一点，这样才能有交点呢，所以这一个方程有根，实际上就是这条直线与抛物线有交点， 那么这个有焦点，我们怎么去推出后面这个呢？有焦点，那就说明我们这个 y 等于负一，这个直线比这个二十函数的顶点要高，那就是负一要比二十函数的顶点重度标要大，或者刚刚相等，就是一个焦点。 所以说我们想那二次函数的顶点纵轴标是什么？是不是有公式的？二次函数的顶点纵轴标是四 a 分 之四 a， c 减 b 方， 那么这个顶点应该比这个负一要低，或者刚刚好，也就是小于等于负一，所以我们就相当于把这个地方的有根转化为有焦点，再转化为了一个不等式。好，那这个不等式我们来化解一下，把这个四 a 乘过去，因为 a 是 大于零的，所以直接乘 四 a， c 减 b 方小于等于负四 a。 好， 那我们这个题目中是 b 方减 c a c 啊，那把两边同时乘一个负一，不就可以换过来了吗？所以就是 b 方减四 a， c 大 于等于四 a， 所以第四个也是正确的，那么这道题确确实实非常的经典，考察的知识点也非常广，你一定要注意，不要忘了这是一道函数题，你要从函数的角度来理解这里面的每一个问题，你就可以轻松解决，你学会了吗？

同学们大家好，我是本次主题金奖人魏老师，本次讲解的题目来自于一中二零二五级九上消化作业六第二十五题的第三问， 是二零二四级中考改革的重要题型，将二次函数第三问原本的几何图形存在性改成了我们现在的角度问题。改革之后，这个题对题目的拆解分析要求更高了， 不再是原来等幺三角形、菱形等存在性问题那么固定的套路了。现在这个问题需要数形结合，具体问题具体分析。接下来就和老师一起来看看这个题目的处理方法吧。 如下图所示，二次函数 y 等于 a x 平方加 b， x 轴相交于 ab 两点， y 轴相交于 c 点。 那我们首先题目给出了一个一般式，知道了我们的 c， 这第二句已知 a 负一动零，抛物线的对称轴为直线， x 等于一。那么关键性的一句话就出现了， a 是 负一动零是 直线，是抛物线与 x 轴的一个焦点。又知道我们的对称轴，那就根据我们抛物线的对称性能够找到什么呢？哎，很好，找到我们的抛物线与对称轴的 另一个焦点，他们三个点有终点关系对不对？利用我们的终点坐标公式，所以去找到 b 点的横坐标， 那就是一乘以二减去负一，得到我们的横坐标是三，所以 b 点的坐标是什么呢？ 三斗零。那根据我们的待定系数法，一般是只有 ab 不知道那带两个点，那带哪两个点呢？就是我们的 ab 两点。对了，将 a 点 b 点代入我们的解析式，得到什么呢？得到一个关于 a b 的 二元一次方程组对不对？那就是 a 减 b 减三，零等于 九， a 加上三， b 减三，那么解得我们的 a 和 b 就 可以得到我们的抛物线解析式了，复习一下我们的待定系数法，所以我们的抛物线解析是什么呢？ y 等于 x 方减 二， x 减三，那么我们的第一问就解决了。接下来我们一起来看一下我们的第三问。跳过第二问，我们直接来看一下第三问啊。 将抛物线沿射线 c、 b 方向平移二倍根号二个单位，那么这一句话是我们真正处理这个问题之前的一个重点知识，就是我们函数的平移， 我们的平移一般是上下移，左右移，才记得斜方向移是什么原理吗？ 哎，对了，很好啊，沿着我们射线 c、 b 方向，它是一个斜的方向，对不对？那斜的我们要干嘛？要转化为水平和数值的，那根据什么来转化呢？根据我们这个三角形的特征，我们的 b、 o、 c 是 个什么算数？对了，等腰值，那么我们的 沿着 c、 b 方向平移二倍根号二个单位，其实就是沿着什么移呢？对了，很好哈，右移二，上移二对不对？那根据我们这个移动，我们是不是可以找到移动后的抛物线？上加 下减，左加右减是我们的函数平移口诀对不对？根据我们的这个点，得到了我们的新的抛物线， x 减二的平方减去二倍的， x 减二减去三，加上二化简之后得到 x 方减六， x 加七，就得到我们的新抛物线。那得到了我们的新抛物线之后，我们是不是就可以处理下一步了？ 对了，这个时候他说 m 是 平移后抛物线上任意一点，若 mc 等于十五度，那现现在要抓住我们的重点就是 mc 等于十五度， m b c 中 m 是 动的， b 和 c 已经固定了，且 b 是 这个角的什么点顶点，那我们观察下图， c 固定， b 固定，然后 m 是 在我们这个新抛物线上， 那在这个新抛物线上，我们相当于有一个角角度固定，有一边不定，顶点也固定，对不对？那我们接着是不是可以在图中做出来我们这个角等于十五度的情形有哪些，对吧？可以根据我们的图看出来第一种情况是什么？ 对了，是不是这样的一个角， cbm 等于十五度，那这个时候 m 在 哪里呢？对了， m 就 在这条边与我们抛新抛物线的一个交点处，这就是我们的 m 一， 对不对？那还有呢？还有吗？ 对了，还有右边，是不是右边也可能有十五度的情况呀？是不是？那这个时候我们画一个 大致的，那我们这个时候焦点在 m 点在哪里呢？对了，在这个新的边的与我们这个抛物线的交点处，对不对？这就是我们的二。 那通过我们刚才的作图，我们都知道了， m 其实是直线抛物线的交点，对不对？那我们抛线其实已经有了，只要找到什么就可以了。对了，找到 m 一 b 和 m 二 b 的 直线解析式就可以了。那在我们的二次函数里面找直线的解析式，特别是在第三问中，一般直接写出答案的题目中， 找直线的解析，是是不是就不需要写过程了？那现在我们一起来观察一下，我们刚才画了一个十五度，对不对？然后在我们本来图形中 o b、 c 是 不是又有四十五度，那可以知道。对了，我们知道这个角是多少度啊？对了，三十度，那知道这个角是三十度， 我们的第一种情况是不是就可以有了？ y 一 撇等于 x 方减六， x 加七，这个时候我们的 y m b 一 m 一 b 的 解析式就是我们什么三分之根号三， x 减根号三， 那我们的一次函数与我们的抛物线正常算出来是有几个焦点的？对了，因为是解二次方程，肯定是有两个焦点，但是从图中看出来有几个，只有一个，对不对？那我们要注意舍去不符合题意的那一个哦， 是不是右边这个我们需要舍去对不对？那所以说算出来之后解得我们的 第一个 x 一 等于我们的什么呢？我们的 x 一 等于三，加根号三，是不是比三大了？ b 的 右边了，干嘛舍去 x 二等于什么呢？三减三分之二倍根号三，那是不是这个就要，那同时我们算出什么呢？算出我们的 y 二等于负的三分之二，那我们的第一个 m 的 坐标有了吗？ 对了，第一个 m 的 坐标就有了，那我们的第二种情况是什么呢？对了，第二种情况就是我们刚画的另外一边，对不对？这个时候我们的 obm 二这个角是不是也是一个特殊的角？四十五度加上一个十五度，得到了我们的什么呢？六十度。对了，那得到我们的六十度解析式是什么知道吗？ 对了，我一般算的比较快的同学啊，基本上已经知道了，这个时候 k 是 不是变成了我们的根号三？ 根号三 x 减去我们的三倍，根号三就是我们这条直线的解析式，然后解出来也是需要干嘛的？对了，需要舍去一个的，我们的 x 一 舍去之后留下了我们的 x 二，是什么呢？被留下的是我们的 x 二等于二分之六加根号三，减根号十一，那算出我们的 y 等于我们的二分之三减三倍，根号十一。所以说我们的 m 二是不是就出来了？ 那这个题我们就结束了，我们一般只需要写我们的答案即可，不需要把我们的完整过程写下来，但平时练习尽可能 多写一写。好了，同学们都学会了吗？自己再消化消化吧。