同煤二中七年级考试用哪里的题

做图题啊，也是期上期末考试必考题，他相对比较简单，往往容易被同学们忽视，成为易错题。我就发现啊，有这样一道题目，班上竟然一大半同学不会做，原因是他们缺少 数学中非常重要的一种分析思想，划规思想。哎，你们也一起来看看啊，这个题你会不会做？你是不是有划规思想呢？ 看题目啊， abcd 四个点。第一问，我们容易判断 ab 加 ad 与 bd 的 大小关系，那就是 ab 加 ad 大 于 bd， 理由是什么呢？同学们都知道啊，理由就是两点之间线段最短。这是一条公里啊，是我们七上学过的一条公里，非常重要。 我们再来看第二问，好多同学竟然下不了笔，说在平面内找一点 p， 是 p 到 a、 b、 c、 d 四个点距离之和最小。傻眼了，那我们该如何破题呢？你看这道题是不是有两问？ 那放在同一个题里面的两问，他们之间要没有联系，怎么放到一起了，对不对？所以啊，当你看到一个题有两问，你就应该考虑他们之间的联系，这就是重要的数学思考。 如果我们把第二问化简，回归到第一问的知识点，那你就很那你就拥有了数学非常重要的划规思想。我们来看看怎么来运用划规思想解决第二问。 第一问告诉我们两点之间线段最短，第二问却说四个点距离之和，我们把四个点能不能拆成两对两个点呢？好比如说，我们把它拆成 p 到 ab 两点，他们之间的距离之和最小， 好再拆成 p 到 cd 两点之间距离之和最小。拆成这两道小题，你再来看这道题还难不难啊？我们知道 p 到 ab 两点距离之和最小，那就只要 p 在 线段 a、 b 上任意一个位置都行，因为两点之间线段最短， p 到 c、 d 两点之间距离之和最小，也是只要 p 在 c、 d 这个线段上任意一点都行。但现在呢， 要求是到 a、 b、 c、 d 四个点距离之和最小，那不就是他们的交点对不对？同学们，所以 p 点就找到了，那就是他们的交点。 我们把第二问转化回归的第一问，从而把问题解决掉，就是非常重要的数学思想。划归思想，你只有有了这样的思考方式，你才能轻松的解决数学问题，而数学考察的就是这样的分析。 好，那同学们，你们还发现了数学中有哪些重要的数学思想呢？我们可以在评论区里面聊一聊。

寒假在给孩子找同步试卷的家长看过来了，二零二六版初中上分卷专为七到九年级打造，与数英物化、正史必升全科目任选和新教材完全同步， 单元卷打基础，月考、期中、期末卷练节奏，专项卷补短板。二零二六版升级理科新增子母专题， 英语新增教材改编题，语文贴合中考新趋势，答案解析超详细， 踩分点是分点，一目了然，孩子自己就能复盘刷完这套，孩子平时考试稳，中考也不慌，现在入手还能早刷早提，分成一书局有售呦！

啊们，你们有没有这样的经历，动点反弹，动点变速，绝对是方程思路贼清晰，写的咔咔的，答案也算对了，结果老师反手在步骤上扣你几分， 尤其是那种两个绝对是相加等于零这样的题，因为少写了一部分，没了， 你说圆不圆啊？今天咱们就把这个坑给它填了，搞清楚到底哪一步绝对不能少。好，咱们看这道题啊， ab 数字上两个点， a 等于的数 a， b 等于的数 b， ab 满足这样一个关系式，求线段 ab 的 长。 这样的题大家一眼就能看出来， a 等于负八， b 等于十二，可是他是考，你能不能一眼看出来吗？ 他考的是这，他，他一定是考的我们某个知识点，对不对？那这里有个绝对值，这里有个平方，他肯定要考。绝对值有什么特点，平方有什么特点，那因此我们一定要把他的特点写出来，也就是绝对值的性质。平方的性质写出来，这才是他的考察点，这就是他的关键步骤， 绝对不能少。那绝对值具有非负性，平方也有非负性，这两句话是必写的。好，我们来写出那个关键步骤，因为绝对值具有非负性，平方 具有非负性。而现在两个非负数加在一起等于零了。推出 a 加八，这个绝对值是零， b 减十二，平方等于零。 好，这样子 a 等于负八， b 等于十二，才能写出来。最后 a、 b 两点之间的距离有大点减小点，十二 减负八二十。好，每个题先想清楚它的考点，你就知道那一步不能少了。同学们，你们还有什么题因为步骤被扣分了的呢？你可以在评论区里面我们来聊一聊。

hello， 各位同学，各位家长，我刚刚做了二中广雅七上一月九号的周测试卷，那我们来看一下这套试卷里面有哪些题目值得我们去注意，值得我们去做一做。好，我们来放大看一下。 首先是选择题部分啊，前面都很简单，没有坑。好，那么选择题这里唯一要说一下的就是第十题啊，这个题可能有一部分中档学生甚至都不知道怎么去下笔 啊，那这个题目呢，其实它是一个脑题啊，在很多地方都已经考过了。那这个题目想要做出来，最重要的是你要能够想到去设未知数， 他心里想的那个数，把它设出来。然后呢，想到了设未知数之后，那就看你能不能想到去表示，每一个人心里所想的那个数，都用 x 来表示啊。最后建立方程，把每一个数都求出来，所以这个题目啊，如果你之前没有做过，那很非常值得做一做。 然后是填空题啊，这里都非常的简单。嗯，这里可能要说一下的是第十五题啊，嗯，第十五题，这一个时钟的角度问题呢，其实这是一个小学题啊，小学奥数题啊，但是如果小学 的时候呢，这个追击问题没有学好的同学啊，可能会这个地方也会卡一下。好吧，那这个题目啊，如果是有一部分中老学生没有做出来的话，我建议你去专门的训练一下啊，像这个大培优啊，教辅上面都有专门的这类题型。 好，然后这个十六题啊，我觉得反而会简单一些，你直接设一个阿尔法，所有的角度可以表示出来啊，这个没有难度。 好，接下来看到解答题，嗯，解答题第二十题呢，这个也不难啊，重点强调一下啊，画这个辅助线一定要用虚线啊，否则会扣分的。好，然后这里的线段计算，角度计算都很简单，不用说。 好，然后这里应用题啊，二十二题，要说一下，这个地方，我估计很多同学会扣分啊，尤其是这个第二问啊，第二问，有三个笔，到底怎么选择啊？你想到了设未知数，但是这个方程又怎么去列呢？ 啊，那这个地方可能有同学们可能没有想到的，就是啊，其实这三种不同的笔，我们都要去带进去算一下，要分三种情况 啊，那如果你想到了分三种情况，那这个题也是不难的啊，然后第三问，嗯，我觉得还是挺常规的，就是一个与谁无关的问题啊，你只要把式子列出来，就能够作对啊，这个第三问甚至比第二问还要简单一些。 好，接下来看一下最后两个压轴题啊，二十三题啊，这个竖着动点，前两问送分题啊，第三问，这里尤其要注意啊， 他是求一个值啊，这个比值是多少？那这个题目呢，如果你现在考试中想要正常去做，其实很困难的，因为你要分情况 啊，分情况这个 e 和 f 谁在左边，谁在右边，然后还要表示 p 点，所以做出来比较麻烦啊。但因为这个题啊，它是一个填空题 啊，那这个地方需要教给同学们一个非常重要的方法，就是特值法。那既然在整勾过程中，这个值都是可以求出来不变的，那我就假设最开始的时候求一求， 我们假设时间 t 等于零，那这个时候非常简单，可以表示出 p 的 位置啊，以及这个 m n 的 位置都可以求出来，所以直接可以秒杀啊。那我觉得这个题目啊，如果你想到特指法，基本上就是一分钟就可以把它解决啊，这也是跟同学们强调的啊，选填题啊，一定要多用特指法 好，那么来到最后一题啊，这个动脚问题啊，嗯，这个题呢，比较的常规啊，就是一个非常常规的动脚的分类讨论压轴题。好吧，如果你平时动脚没有学好的话，可以重点看一下我这个地方给大家写的思路啊，其实你要想要把这个动脚的题目啊， 把它做对，你重点就是要学会分类讨论啊，我觉得我这个地方的两个黑色框框就是同学们需要吸收的东西啊，就是 什么时候，几秒钟，哪一个角发生突变，我这里给你写的非常清楚，那么你只要看懂了每一个突变，那么接下来就是在每一个分段的时间内去表示这个角度就可以了，然后正常的就是按照题目中的这个式子去列式就可以了啊，所以同学们重点要学的啊，是像我这样的分段。 然后这里强调一下啊，如果是重合凸变啊，凸变前和凸变后，他的角度的表示是相反数啊，那你可以直接带去对直啊，但是平角凸变那就不一样了，平角凸变那一定是用这个三百六十度去减掉你之前的角度的计算方法。 好，那这个就是这个动脚的压轴题啊，那这个题目我觉得也非常适合中档偏上的学生啊，平时动脚分类不到位的同学啊，可以重点去好好练习一下。好，那本期视频就给大家说这么多，我们下期再见。

hello， 七年级的小伙伴，大家注意了，期末考试倒计时了，是不是感觉整学期的知识又多又杂又乱，刷题毫无头绪？今天崔老师把去年的真题搬出来了，咱们一道一道地进行拆解，一个知识点，一个知识点地进行缕， 这样就可以通过一道题去覆盖整个学期的重难点。话不多说，我们来看题。先看第一题， 负五的绝对值，负五的绝对值是五，那这里呢？我们把相反数的概念也进行一个复习。相反数， 什么叫相反数呢？只有符号不同的两个数叫互为相反数，五的相反数是二。那么什么是倒数呢？ 三的倒数是三分之一，二分之一的倒数是二，负二的倒数是负的二分之一。 乘积为一的两个数互为倒数。这里大家一定要区分绝对值、相反数和倒数的概念。我们来看第二题，将平面图形绕 l 旋转一周，得到的图形是， 那这个是选 d 的 啊，他的上窄下宽啊。我们来看第三题，二零二四年十二月十二日是南水北调东中线一期工程全面通水十年，截止十二日，该工程累计调水超过七百六十七亿平方米， 数据七百六十七亿，用科学计数法表示。那大家注意，科学计数法表示，我们是 a 乘以十的 n 次方，那这里的 a 有 一个范围， 它是要求 a 是 必须大于一小于十的一个数。那首先可以排除 a 和 d 的 答案，那这个时候我们来看 七百六十七 e， 那 么大家都知道 e 后面呢是八个零，那么就是十的八次方。那这里呢？需要补充两位，也就是七点六七乘以十的十次方，那这个答案是选 c 的。 我们来看第四题。下列应用等式的性质不正确的是等式的性质 a。 如果 a 等于 b， 那 么 a 减三等于 b 减三，就是等式的性质一、左右两边同时加或减去同一个数，等式仍然成立，这个是正确的。 如果 a 等于 b， 那 么 a 除以 m 等于 b 除以 m 啊，这个是错误的。等式的性质二中强调等式两边同时乘或除以一个不为零的数，等式仍然成立，那么这里的 m 他 没有强调是否等于零，所以这个是不正确的。 那我们看 c 选项 a b m 等于 b b m， 那 么这里 m 既然已经作为一个分母，那说明它是一个不为零的数，所以等式两边是成立的。 如果 a 等于 b， 那 么负四， a 等于负四， b 等式的性质二正确，所以这个答案是选 b 的。 我们来看第五题。已知有理数 a b， c 在 数轴上的位置，如图所示，则下列结论正确的是， 那这考察的是有理数和数轴的关系。我们来看 c 是 大于 a 的， 那么在数轴上， c 是 在 a 的 左边，所以 c 大 于 a 是 错误的。数轴上越往右的数越大。 看 b 选项 c 大 于负 b， 这里出现了负 b 在 数轴上互为相反数的两个数到原点的距离是相等的，那 b 在 这个位置，那负 b 大 概就在这个位置， 那我们看到负 b 是 在 c 的 右边，所以 c 是 小于负 b 的， 所以 b 选项是错误的。看 c 选项 a 加 b 小 于零， 那 a 是 在圆点的左边， a 是 一个负数， b 是 一个正数，那么我们观察 a 到圆点的距离是小于 b 到圆点的距离，所以它最终的结果是一个大于零的数， c 是 错误的。看 d 选项， b 大 于 a， 那 b 在 a 的 右边， b 大 于 a 是 正确的。 我们看第六题。现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员 孤独性的印章，如图一。图二是该印章的几何图形，它由十八个相同的正方形和八个相同的等边三角形围成，其中正方形的边长和等边三角形的边长都是 m m， 等边三角形的高是 n， 等边三角形的高是 n。 嗯，则这个印章的表面积为，那它的表面积是由十八个正方形和八个等边三角形围成，那正方形呢？它的边长是 m， 面积就是 m 方，十八个正方形就是十八 m 方 加上八个三角形，八乘以等边三角形的面积等于 底是 m 乘以高， n 再乘以二分之一，化简一下就是十八 m 方加上四 m n。 那 这个答案是选 b 的。 我们接着看第七题。如图一个正方形的展开图， 该正方体相对的面所注的数字互为相反数，则 a 加 b 的 值。 既然互为相反数，互为相反数的两个数相加是等于零的，那这里负三和二 a 减七是互为相反数的。那说明二 a 减七加上负三是等于零的。 二 a 减七减三等于零，二 a 减十等于零，二 a 等于十，所以 a 等于五。 我们再来看 b， 那 b 的 相对面在哪里啊？是在这里，所以 b 减二加上负五是等于零的， b 减七等于零，所以 b 等于七。那这里他问我们 a 加 b 的 和，那 a 加 b 是 等于十二呢？选 c。 我 们来看第八题九张。算术是中国古代一部重要的数学著作，全书共分为九张，其中赢不足一张，记载了一道数学问题， 题目大意是，有人合伙买狗，每人出五钱，还差九十钱，每人出五十钱，则刚好够问合伙人的人数有多少。这里若设人数有 x 人，则可列方程为。 那么同学们要注意了，这里的等量关系在哪里呢？ 在于狗的价钱是一样的，那我们先看之前每年出五钱，还差九十钱， 那一共有 x 个人，就是五 x 钱，还差九十钱，那我们加上九十钱，就是狗的价钱。那么第二次呢？是每年出五十钱，那就是五十 x 钱，那么它们都表示的是狗的价格，所以是相等的。 那这个时候我们选择 a， 那 我们看第九题。遗传是影响身高的重要因素之一，有学者总结用父母身高预测 子女身高的经验公式，成年男性的身高等于二分之 a 加 b 乘以一点零八。成年女性的身高等于二分之零点九二三。 a 加 b， a 为父亲的身高， b 为母亲的身高。若男生小轩的爸爸身高为一米七五，妈妈的身高为一米六五，则根据这个公式预测成年以后小轩的身高精确到零点零一米，那他是男孩子。所以我们要带入这个公式当中。 那小春的身高就等于一点七五，加上妈妈的身高一点六五，去除以二乘以一点零八， 那他是等于一点七五加一点六五是三点四，除以二是一点七，也就是一点七乘以一点零八。那这个时候我们需要计算一下，一点零八乘以一点七 七八五十六五一七得七八零一六十三八一三位小数是一点八三六，那么精确到零点零一， 那他的后一位是六，向前进一是一点八四，所以选 a。 这里大家一定要注意啊！答案有一个迷惑选项，一米八三，如果同学们看到幺八三，就直接去选了 b 选项，就掉到了出题人的坑里了。要注意这个问题， 我们看第十题，如图，角 a、 o、 b 是 钝角， a、 o、 d 是 九十度， o、 c 平分 a、 o、 b， 那 这两个角是相等的，那则下列结论一定正确的。是角 b、 o、 d 等于 c o d b、 o d 在这里， c、 o、 d 在 这里。不对 a、 o c 加 b o d 等于九十度， a、 o c 加 b o d a、 o c 在 这里， b、 o、 d 在 这里。 那如果它俩加起来等于九十度的话，那说明 a 选项也是正确的。冲突，所以这个是错误的。 a、 o b 加 b， o c 等于一百八十度。我们猜一下， a、 o、 b 在 这里，加上 b、 o、 c 等于一百八十度， 那这个是不确定的啊。我们暂时先搁着在这里看 d 选项， c o d 加 b， o c 是 等于九十度的，那么因为 o、 c 是 平分角 a、 o、 b 的， 所以 b、 o、 c 是 等于角 a、 o c 的， 那么 c、 o d 加 a、 o c 等于九十度，也就是 a、 o、 d 等于九十度是题目已知的，所以 d 选项是正确的， 那么他让我们选择的是一定正确的，那么我们只能选 d。 看十一题， 七十二度二十四分等于多少度，那我们知道分和度之间的净率是六十，所以用二十四去除于六十是等于零点四的，所以七十二度二十四分就是七十二点四度。 十二题，若单项式 a m 减一次方， b 四次方与 a 的 平方， b 的 n 次方的和，仍然是单项式，这说明什么呀？这说明它们是同类项啊。 那这里既然是同类项，说明 m 减一等于二， m 是 等于三的，所以 m 加是等于七的。 这里复习了一下同类项的概念，如图，点 o 表示学校的教学楼的位置。图书馆在教学楼的南偏东五十度，由南向东偏五十度，那这里是四十度，所以这里就是五十度。 则图中最有可能表示图书馆的位置的是点地。 好，我们接着看十四题。如图，形状大小完全相同的梅花，按下列规律进行摆放，其中第一个图形中有五朵梅花，第二个图形中有八朵梅花，第三个图形中有十三朵梅花， 第四个图形中有二十朵梅花，以此规律。第 n 个图形中还有多少朵梅花？那这是一道找规律题。我们来观察一下这四个图中，我们发现每个图都是由周边的 四个图形，你看第一个图，它是由一加四得到的。第二个图呢，是由 四加四得到的。那第三个图是由中间这一部分加上四个，中间是多少个呢？我们发现它是有规律的，三乘以三是九加四得到的。那么再看第四个图， 它是由四乘以四是十六加四得到的。那么看到这里，大家应该是已经发现规律了。 那第 n 个图，我们猜测一下，第五个图应该是由五乘以五加四得到的，也就是五的平方加四得到的，所以第 n 个图是由 n 的 平方加四得到的， 所以第 n 个图形的梅花树是 n 方加四。大家在做这种找规律题的时候，一定要注意前后两个图它的区别在哪里，或者共同点在哪里，有助于大家发现它的规律。 我们来看第十五题，整理一批数据，由一个人完成需要四十小时，先安排一些人整理两小时，再增加四人一起整理两小时，可完成这项工作的五分之二。 假设这些人的工作效率是相同的，则先安排整理的人数为多少人，那这里是一个工程问题。我们可以设先安排的一些人为 x 人， 那么一个人完成需要四十小时，那么一个人的工作效率就是四十分之一， x 个人的工作效率就是四十分之 x， 那 么他们工作了两小时乘以二加上。接下来呢，他们又增加了四个人，那他的工作效率就变成了四十分之 x 加四， 那么他们一起又整理了两个小时，这样完成了工作的五分之二是等于五分之二的，那我们来计算一下，二十分之 x 加上二十分之 x 加四是等于五分之二的。 左右两边同时乘以二十会得到 x 加上 x 加四是等于八的二， x 等于四， x 等于二啊，说明之前先安排了两个人在进行工作。 好，我们接着看十六题那了，那么到了十六题就是一个计算题，在计算的时候，大家一定要注意计算的先后顺序以及它的易错点。那我们来看第一题。 那这里元是等于负二，乘以四是等于负二的， 那这里是等于负八加上负四是等于负十二的， 我们来看第二题，负二分之一的绝对值的相反数是负的二分之一乘以负一的三次方，还是负一 减去二乘以负三，那是等于减去负六，也就是加上六，那它是等于二分之一，加上六的等于六分之十三。我们看第十七题 解方程，那么要注意解方程的顺序，那首先我们先去括号，五 x 加上四十减去五是等于负十二 x 加上四十二， 那把未知数移到等号的左边。五 x 加上十二 x 是 等于四十二。减四十加五一项，那十七 x 就 等于七 x 就 等于十七分之七。 那看第二个。首先我们要进行区分母，区分母的时候不要忘记这个整数项左右两边同时乘以公分母六，会得到二倍的二 x 减一，减去十二，等于三倍的五 x 加二 去括号会得到四 x 减二减十二等于十五 x 加上六 一项，会得到四 x 减十五 x 等于六，加十二加二。负十一 x 会等于二十 x 会等于负的十一分之二十。好，我们接着看十八题， 下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务。十、减去括号， a 方 b 加上三， a b 减四，加上二倍的括号， a 方 b 减 a， b 减二。 那第一步进行了一个去括号，那么括号外边是符号，去掉括号要变符号，正的变成负的， 正的变成负的，负的变成正的。正确括号外边是加号，去掉括号不变号，正的还是正的，负的还是负的，正的还是正的，没有问题。看第二步合并同类项，它们是同类项， 这是同类项。长竖项是同类项也没有问题，那我们看合并同类项 等于正的 a 方 b 没有问题。负三 ab 减二 ab 是 负五 ab， 那 这里出现了一个错误，应该是负五 ab 加上十八是没有问题的。那我们来看题目。以上化简过程中，第一步主要依据的运算率是，这个是乘法分配率吧。 以上化简步骤中第几步开始出现错误？第三步 大家这里要注意啊，要写汉字三，不要写数字三。这一步错误的原因是和病同类象时，负三 a， b 减二， a、 b 是 等于负五 a、 b， 那 这个大家描述清楚就可以了。 这个答案是唯一的，但是描述的方法大家只要说清楚就可以。请写出该整式正确的化简过程，并计算当 a 等于负一， b 等于二十的值，那么这里大家要注意啊， 他说请写出该整式正确的化简过程啊！就说明这个题需要我们重新抄下来，去写下它的化简过程，而不能直接去用正确的结论。所以原式 等于十，减去 a 方， b 加上三， a， b 减四，加上二倍的 a 方 b 减 a， b 减二等于十，减去 a 方 b 减去三， a， b 加上四加上二， a 放 b 减二， a， b 加四。合并同类项 会得到 a 方 b 减五， a， b 加十八。那这个时候，当 a 等于负一， b 等于二十， 原式等于负一的平方乘以二减去五，乘以负一，乘以二加十八，那是等于 负一的平方是一二加上十加上十八是等于三十的。好，我们看下一个题， 如图， a、 b、 c 在 同直线上，线段 a、 b 等于八点， c 为线段 a、 b 的 中点，那说明是四四。 请你运用所学的知识完成下列任务，尺规作图，在线段 a、 b 的 延长线上作线段 b、 d， 使得 b、 d 等于二倍的 a、 b， 那 这个时候同学们可以利用圆规， 我们以点 b 为圆心， a、 b 为半径，这样就确定了半径的长度，然后在 b 的 延长线上去作弧，这样就截取了一段， 这样就截取了一段等于 ab 长度的线段，那再以同样的半径，再以这个点为圆心， ab 的 半径 为长度，继续画弧，这样的话我们会得到点 d。 看第二问，在一的条件下求出 cd 的 长度， 那因为 ab 是 等于八的， bd 是 ab 的 两倍，所以 bd 是 等于十六的，那 bc 是 等于 ab 的 一半四，所以 cd 的 长度是二十。 再看第三题，将一中所画的图放在竖轴上，若点 b 对 应的数是三，那这里我们需要重新画一下这个图竖轴 点 b 对 应的点是三，点 a 对 应的点是负五，那么 c 是 ab 的 中点。我们知道 c 所表示的数是负一， 那那么他问我们的就是 c 点对应的数，那 ab 一 共长是八，这里 bc 的 长度是四。从点 b 向左数四个单位，会得到点 c 是 负一，那么点 d 对 应的数是， 那么我们刚刚擦掉了点 d、 d 在 这个地方，那我们知道 b、 d 的 长度是 ab 的 两倍，是十六，那么 点 b 对 应的数是三，则 d 点对应的数字就是十九，加上十六就好了。那么我们接着看第二十题。 如图，点 o 是 直线， ab 上的一点 o， e 是 角 b o d 的 平分线，说明这两个角是相等的，我们可以记作角一等于角二， 角 b o e b o e 和角 a o f 互余， a o f 在 这里，角三 b o e， 也就是角一和角三互余，求角 e、 o f 的 度数 在这里， 那我们来看一下 结，如图所示啊。为了方便我们进行一个标记，这里是角四吧。 那么因为 o e 是 角 b、 o d 的 平分线， 所以角一等于角二。又因为角 b o e 和角 a o f 互为于角， 所以角一加角三是等于九十度的。 又因为角一加角三加角二加角四是等于一百八十度的， 所以角二加角四也等于九十度。那么角二加角四就是我们要求的 u f， 所以 角 e、 o f 等于九十度。 那么我们看第二问比角 a o f 和 d o f 的 大小， a o f 和 d o f， 那 么 因为角 a o f 加上角 e 是 等于九十度的， 角 d o f 加上角二是等于九十度的。这个是我们第一问证明出来的结论。 那又因为角一等于角二，所以角 a、 o f 是 等于角 d o f 的， 那么它俩的大小关系是相等的。我们来看第二十一题。 窗户的形状如图所示，其上半部分是半圆形，半圆形，下半部分是边长相同的四个小正方形所组成的。这么一个窗户 已知下部分小正方形的边长是 a。 嗯，派去三求窗户的面积，那窗户的面积是由四个小正方形加上一个半圆得到的。所以第一问 四个小正方的面积就是四 a 方加上半圆的面积，整圆的面积是 pi 乘以 a 的 平方，半圆的面积就是二分之 pi 乘以 a 的 平方，那么这里他说 pi 是 取三的，所以我们整理一下 四 a 方加上二分之三 a 方继续整理会得到二分之十一 a 方，那这是窗户的面积。我们看第二问， 求窗户框的总长，图中所有黑线的长度和，那么所有黑线 四、五、六，他们有六条一样长的线，那就是二 a 乘以六，加上这个半圆的长度， 那半圆的长度是周长的一半，所以就是二 pi r 的 一半，那就是 pi a， 整理一下会得到十二 a 加上 pi a， 那 pi 是 取三的，所以等于十五 a， 那这就是窗户框的总和。我们来看第三位，为了隔音保暖，窗户安装是带有分割线的双层玻璃，每层这样的玻璃每平米的价格是二十元，大家注意啊！这里出题人给我们留了一个陷阱， 他竟然说每层玻璃每平方米是二十元，这里又说双层，所以要注意了啊！安装时用到的窗户框材料每平米是三十元，若 a 等于零点五， 则安装好这样一个窗户需要的总费用是多少？那我们来看总费用 是等于玻伦的费用，那玻伦的费用是每平米二十元，二分之十一 a 方乘以二十 乘以二啊，要注意，双层玻璃加上窗框的总比数是十五， a 乘以三十，那它是等于。我们来看一下， 二百二十 a 方加上四百五十 a， 那当 a 等于零点五时，会得到二百二十，乘以零点五的平方是零点二五是四分之一，加上 二分之一是二百二十五，那这样的话是等于 五十五，加上二百二十五等于二百八十元。好，总费用一共是二百八十元。 我们来看第二十二题。某中学准备组织七年级的同学参加冰雪大世界，学生门票为一百二十元。 冰雪大世界的经营方为学校推出了两种优惠方案。方案一，所有学生门票打九折。方案二，如果学生总人数超过一百人，则超出部分打八折。 若该校的学生人数为 x， 人是大于一百人的，请解决下列问题。这是一个方案问题， 请下列表格中填写两种方案，购买门票分别需要支付的费用用含 x 的 代数式表示。那方案一， 方案一呢，是所有学生打九折，那就是一百二十乘以零点九乘以 x， 那 化简一下就是幺零八 x， 所以是幺零八 x。 那 方案二是超过一百人的人数要打八折，那 x 减一百人就是超过的人数。超过的人数是打八折，是乘以一百二十乘以零点八， 那这是超过人数需要支付的费用。再加上一百乘以一百二十，整理一下是 九十六 x 减去九千六百，加上一万二，继续整理会得到九十六 x 加上两千四。所以方案二需要支付的费用是九十六 x 加两千四。 第二问，求参观人数为多少时，两种方案购买的门票所支付的费用是一样的，那就是令幺零八 x 等于九十六 x 加两千四百，那会得到十二 x 等于二四零零 x 等于二百。也就是说当人数为两百人时， 需要支付的费用是一样的。那我们看第三问， 若该中学七年级的人数有三百人，则采用哪种方案购买门票更省钱？三百人，我们看按第一种方案去购的话，是， 万一是三百乘以幺零八等于 三二四零零元。看万二， 那是九十六乘以三百，加上两千四，是等于 十八三九二十七二八八加上二四零零，是等于 是三万一千两百元，那很明显是方案二比较合适。看最后一个题， 在综合与实践课上，老师想让同学们探求与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动。已知，角 aob 是 等于一百二十度的， oc 是 一条射线，射线 o、 eof 分 别是 aoc 和 cob 的 角平分线， 那 aob 是 等于一百二十度的。 o、 e 和 o f 分 别是角平分线，那说明角一等于角二， 角三等于角四，那我们接着看。如图一，若射线 o、 c 在 a、 o、 b 内部，且 a、 o、 c 等于四十度， a、 o、 c 是 四十度，说明角三是二十度，角四也是二十度， 那 a、 o、 b 是 一百二十度，说明 b、 o、 c 就是 八十度，那既然是角平分线，所以角一是四十度，角二也是四十度，那我们来看，则 e、 o、 f 等于多少度？ e、 o、 f， 那 从图中我们观察， e、 o、 f 就是 角二和角三的和是六十度。 我们看第二问，如图二，当射线 o、 c 在 角 a、 o、 b 的 内部绕点 o 任意旋转一个位置，则角 e、 f 的， 则角 e、 o、 f 的 度数是否会发生变化，请说明理由。 o、 e、 o、 f 分 别是 a、 o、 c 和 b o、 c 的 角平分线， 那我们来看，因为 o、 e、 o、 f 是 角 a、 o、 c 和角 b、 o、 c 的 平分线， 所以我们标一下吧。角一、角二、角三、角四，所以角四等于角三，角二等于角一， 那又因为角 a、 o、 b 是 等于一百二十度的， 所以角一加角二加角三加角四是等于一百二十度的， 那又因为角三等于角四，角一等于角二，所以角二加角三就等于二分之一，乘以一百二十度，仍然是等于六十度的，所以是没有变化的。 我们看第三问答案。 若射线 o、 c 从 o a 出发，绕点 o 顺时针旋转，旋转的角度不超过一百八十度，其余条件不变。设角 a、 o、 c 为 r 法 则，当 c、 o、 f 为三分之一角 b、 o、 e 时，请借助备用途去探救 a、 o、 f 的 大小， 那么他说 o c 是 绕点 o 顺时针旋转，那它的旋转的角度不超过一百八十度。那么一百八十度是到哪了呢？ 是在这个方向上，你说它旋转的角度是不超过这个角度的，那这样的话，我们得分情况讨论。一个呢，是它在角 a、 o、 b 的 内部， 一个呢是它在角 a、 o、 b 的 外部。所以我们先看第一种情况，假如它在角 a、 o、 b 的 内部，那假如它旋转到了这里， 那么我们来看 o e 还是 a c 的 角平分线， o f 还是角 b o c 的 角平分线。 那么这个时候它说 c、 o、 f 是 等于三分之一 b o e 的 c o f， 这在这里， bo e 在 这里等于三分之一。那如果我们设 c、 o、 f 的 度数为 x 度，那因为 o、 f 是 b o c 的 角平分线，所以这里也是 x， 那 么他说 c、 o、 f 是 三分之一 bo e， 那 说明 c、 o e 也是 x， 那这个时候我们看，他说 a、 o、 c 是 等于 alpha 的， 那因为 o、 e 是 角 a、 o、 c 的 平分线嘛，所以 a、 o、 e 也是 x， 那 其余条件不变，那 a、 o、 b 是 一百二十度，那么说明四 x 等于一百二十度， x 就 等于三十度， 那 x 等于三十度。我们来看一下 a、 o、 f 的 度数， a、 o f， a o f 是 三个 x， 所以 讲 a、 o f 是 等于三乘以三十度，是九十度。 那我们再看第二种情况， 那 a、 c 如果超过了 a、 o b， 假如说在这个地方， 那这个时候同样的 a e 还是 a o c 的 角平分线， o f 还是 b o c 的 角平分线， 那这个时候我们来看 c、 o f 等于三分之一 b o e c o f 在 这里， b o e 在 这里，那我们知道 o f 还是角 b o c 的 角平分线，所以我们还是设 b o f 为 x， 所以 c o f 也是 x， 那 b、 o e 是 三倍的 c、 o f， 所以 这里是三 x， 那 o e 是 a o c 的 角平分线，那 c、 o e 是 五个 x， 所以 a、 o e 也是五 x， 那这里我们来看其余条件不变，说明 aob 还是一百二十度，那么这里的 aob 是 八个 x， 八 x 是 等于一百二十度的，所以 x 是 等于十五度。那这个时候他问的是什么呢？ 问的是 aof 的 度数， aof 是 几个 x 呢？从图中我们可以看到， aof 是 九个 x， 九 x 就 等于九乘以十五度，等于一百三十五度。 所以通过我们分情况讨论，我们得到了 aof 的 度数是九十度或一百三十五度。 那么同学们这套题就刷完了。老师想要提醒大家的是，刷一套真题要比你盲目刷很多题都管用，所以老师今天梳理的这些知识点和题型都是考试的重中之重， 考试前大家可以再翻一遍分数，指定往上走。还没点关注的同学，点个关注，提分不迷路！

速推一下 b， 二七年级上册期末数学。首先第一个，我们说这个相反数，那相反数是只有符号不同的两个数，对吧？那第一题得没毛病，做的很好。然后呢，我们科学计数法是不是从第一个数往后数？你有几个几位数， 我们数下来，这是一二三四五六七八，所以是四点四乘十的八次。一定要注意，你前面的这个数是一到十之间的数，然后从左边看的话，可能就是 a 了。 然后呢？第四题，哇，这个东西是非常非常非常容易错的一个点，就他说的是这个互余，互余意味着九十度，那有东西去标注的时候，哎，你也去标了这个九十度，但为什么依旧做错呢？你看，我跟你说小 bug， 第一个， 这是九十，整个一百八，那话的意思，阿尔法加贝塔不也是谁九十吗？那不就互余直接 a 就 选了吗？那为什么有些人会选 b 呢？ b 很 有误导性，你可以看到这个 r 法点点角加叉叉角是等于九十多， b 加叉叉角也是九十多，那说明这也是点点。你看到的是 r 法跟 b 它相等，但它不互余，这个呢，也是这个角跟这个角是相等，那么这个 r 法和这边的这个 b 叉也怎么了？ 相等？为啥？这就是等角的补角相等，你这是幺八零，减掉一个四十五是不等于这边的幺三五，这是幺八零，减掉一个四十五是不等于这边的幺三五。这阿尔法跟贝塔依旧相等。嗯，还有同学选得，那就混淆了，因为你看到这个阿尔法跟贝塔，他俩加起来多少多？他俩加起来是一百八十多哦，给他俩是互补的， 所以只有 a 选项，它是互余的。那我们做第五题这个余角，那我只需要拿九十度减它，那九十减的时候，我把九十度先降为八十九度六十分，借位的时候把它借明白就可以了。 ok， 一 看到这个十五秒 b 嘛， 然后这种题我怎么做能让自己做的快一点？ ok， 那 我首先先观察， a 是 一个负数， b 是 一个正数， c 也是正数，那负正正，那 g 一定是个负数， a 就 错了， a 是 负的， b 减 c， 你 注意是左边的数减右边的数，是不是左减就左减，右是小减大，那一定是负的，负负得正，所以照填 b。 第七题，怎么样才能让自己做的比别人快，且就不花太多的时间去盘？标注符号特别重要啊，玩角就是标注符号的 o m 平分了 a o b， 点点跟点点相等， 然后呢？那那个 o n 平分 c o d 叉叉叉相等，他平分他，然后呢？其中他说这个 f o n 是 alpha， m o n 是 alpha， 那 还有个 beta 是 beta 是 b o c， 那 b o c 是 小格拉米是 b o c。 哎，你发现 alpha 减 beta 是 啥东西啊？ 这个 alpha 减 beta 是 个啥？是不是点点加叉叉？那就是一个点加一个叉，就是 alpha 加 beta， 你要表示啥？你要表示 a o 得呀，那 a o 得是不就相当于是一个阿尔法？看角 a o 得就直接能看成一个阿尔法加上一个啥点一个叉，那一个点一个叉，刚才说的是什么东西啊？阿尔法减贝塔，你听话过来。哎，阿尔法加阿尔法减贝塔二，阿尔法减贝塔秒了。 第八题怎么做？第八题的逻辑是，它是一个工程问题，那工程问题我知道这个甲的工作效率是不是？甲的工作时间是十天，所以甲的功效是十分之一，那乙是八天，干完乙的功效就是八分之一。他说甲先做一天， 那就是十分之一乘上一，然后呢？甲乙在合作，那就是什么叫合作？你的加上我的，然后一共干了几天？干了 x 天，然后完成了是不等于一， 那我就可以写成十分之一加上十分之 x， 再加上一个八分之 x， 等于一，整理下来十跟十通分。哎，那是不是就刚好它是个规律型的东西？ 我的那个玩法是怎么玩？我们这个题玩的高级是观察，这是个三角形，倒三角，四加上三角形，一加二，倒三角，还是有谁？有个四加上一加二加三这边的倒三角，然后是四加上一加二加三加四， 倒三角，四加上一加二加三加四加五，那我倒第几个数？第十个数，对吧？嗯，那就是四从一加到几加二，一直加到几，你第四个的数的时候，最后一个数是不是五？嗯，那第十个数最后一个数应该是几？ 是一，对吧？嗯，那也就是说四不动，首项加末项乘项数除以二， ok， 四加上 十二乘十一除以二，整理他跟他约一下是六，嗯，六十六，六十六加四，七十。这个是啊，挑出正的零点一，二点一，二记作这个，再挑出这个，那就是负的零点零五。正确。这个考察的是钟点公式是数种类，正确的是负一加七除以二，六除以二，我三， 所以 a 的 数是三。然后下面这个，这个是玩整体思想，这个是整体是二，所以他差的几倍，他差的三倍，所以这是六减四，然后最后还是二。嗯，第十三题，第十三题你需要考察的一个点是有一个公式，售价等于售价。 啥意思？他有两种表达形式，第一种呢，售价他是以标价乘上折扣。那第二种售价呢？就是进价乘上一加利率， 利用这个等量关系去做题。那题目里面他说告诉我了，标价是多少钱，标价是四百块， 所以对应下来这是四百乘折扣。打折呀，打几折？我不知道啊。那于是我就乘一个，那个 x 折等于 x 折，你们还得写成什么？ x 比上十折，然后等于进价。进价多少钱？进价是两百，然后乘上一加利率，一加百分之二 四十。那所以我就可以怎么写？他跟他约掉边乘四十，四十， x 等于， 嗯，二百乘上一点四，二百八， ok， 算出来这个二八零 x 等于几？是七打几折打七折大写。 然后第十四题 b 的 平分了， a 撇 b e， b 的 平分了， a 撇 b e， 就是 告诉我这两个点点相等，然后呢？折痕折叠。是不是告诉我叉叉叉相等那话的意思，那两个点两个叉一百八，一百八，那一个点一个叉就是九十度啊。对啊，你是不是已经知道这一个点加一个叉是不是九十？那我这九十，那 我现在要求啥？ abc， 我 现在求 abc， 那 已知 a 撇 b 得， a 撇 b 得，比如这个是七十多，那 abc 多少多？那旁边这个角是不是二十啊？ abc 不 也二十吗？那不二十多万。然后呢，第十五题呢？十五题怎么做？十五题就是标条件， ab 是 四， bc 是 三， e 是 终点，那这是二，这是二。 p 从哪出发？ p 是 从 a 出发走，速度是一，所以时间是 x， 那 从这到这就是 x， a 五就是。他是不是告诉我时间是 x， 速度是一，那路程是不是 x？ 那 现在他在这上面动的时候，那么这个时候 p 的 ape 的 面积就是几？ a p e 的 面积是不是五啊？那于是我可以怎么表示？三 x， 哎，为什么是三 x？ x 底乘高，是不是三？底乘高除以二，然后让这个面积是几？五，我是不能解出来。第一个，三 x 等于十， x 等于三分之十， ok， 拿两分。这第一种情况，那还有一种情况呢？ 此时你的这个，呃，图形大概是这个长方形，只不过他现在跑哪了？跑到 b c 上，那也就是说屁在这个位置上，屁在这。来，我们再去看 a p e 这个面积长这样，那就有点难了，比刚才要难一点了，那哪是 x， 看，好啊，从这到这，这是 x， 那 这是四，那这段就是 x 减四。我再画一遍，因为屁是从这出发的，从这到这，整个是 x， 那 这是四，剩余的部分是不是 x 减四， 这整个是几？ x 加四，这是整个七，哦哦，对，对对，对，这是三，这是七，对吧？对，那这是几？这是 x， x， 这是七，那这段是不是七减 x， 对， 好，然后呢，这是一点，这是中点，二，二，这是三，这是五。来，我们可以表示一下面积了。怎么表示面积？ 整个的面积是多少？先告诉我，把全部的面积加到一块，这是三，这是四。长方形，面积是三乘四，三乘四十二，对吧？对，然后那它是由这一、二、三、四四个部分构成的。四乘上 x 减四乘以二，二除以二加上七，七减 x， 二七减 x 除以二 加加上三，乘以二除以二，你就加个三，再加一个五，等于等于十二，然后他跟他约掉二倍的 x 减四，加上七减 x， 加上八等于十二。这次再整理，二 x 减八，加上七减 x 等于 嗯，四，往这放一下，一负一，二 x x 负一加一，五， x 等于五，所以答案嗯或五。然后还有一个，但是这个，这个其实他不可以，他他可他有，但是不合理，就是 p 在 这，这是 e， 三角形变到这来了， 这个面积其实不合理的原因是因为你想你这是三，对吧？你这是三，你最多是几？你这就算，你屁，刚才到这的时候你这是几？比如在这，嗯，呃，这是二，那你求这个三角形面积是不是底乘高？怎么算都是几？ 底乘高除以二，二乘三是不是？除以二是不是三？你最多是三，他变成五是不合理了，我就不用讨论了。没这答案。哦，就这两个答案，行。

前两天有个学生给我留言说冻脚好难啊，我想跟大家探讨一下，冻脚到底难不难？ 好，什么是难呢？没有方法，一点都没有办法，我们叫难处理。冻脚是不是没有办法呢？冻脚有两个地方容易卡到。同学们，第一个呢，分类讨论不知道有多少类。 第二个呢，就脚之间的逻辑关系不太好梳理。我们一个一个来看好分类讨论的角度。在运动过程中，我们跟一个边一个边的去比较，看看哪里需要分类讨论，最终将多少种情况定下来好。所以有办法呀， 无非就是慢一点，耐心一点。好。那角度的逻辑关系，我们把它分成两个梯队，第一个梯队不含角平分线， 那这些角之间呢，都是和差关系。和差很简单啊，没有的度数是个未知数，每一个角都有了，和和差也很容易算出来啊。这是第一题的，我们进入第二题，对，带入角平分线，一个角平分线，一个角平分线的看， 每个角平分线都是某个大角的一半，所以这个度数也有了。最后，我们的目标角也是和差关系，所以梯对称法都可以轻松的把角度逻辑关系梳理出来。 那这样看来，冻脚是有办法的，同学们还说他难，所以难。在我看来是一种心理描述，是自己害怕，是自己懒惰的一种表现。 那你说你心里的这问题谁帮你解决的了？但是如果我们说冻脚是复杂的好，复杂情况多，逻辑关系不好梳理，那就成为复杂。复杂是用客观描述，用办法想办法， 可以化繁为简。所以这就是学习的技巧，以后我们在学习过程中应该少说难，可以说复杂，然后想办法化繁为简。

零二七上数学期末考试卷啊，这个卷呢，我讲四道题，第一道题呢啊，是一个角度关系，这道比较简单。第二道题呢，是一个竖列啊，它涉及到一个竖列。第三道题呢，我们讲一个 动点啊，这是填空最后一道动点。好，第四道题呢，我们讲一个动角的问题啊，好，我们分为两个视频来讲解，各位家长呢，收藏一下视频，需要试卷的呢，找胡老师领取前年兵二七上式考卷啊，讲几道题。 第一道题呢，是第七题 m 这个 mod 啊，它等于二法啊，然后呢， o m 平分这个 b o d 啊， d o c o m 平分 d o c 啊，这两个角相等对不对？ o 呢？平分啊， a o b， 那这两个角相等对吧？然后 m o n 呢，这个角啊，等于阿尔法， 然后 p o c 中间这个角啊，等于中间这个角呢，等于贝塔 啊，则 a o d 是多少？好，我们来看这道题啊，这道题比较简单，这两个角是不是相等，这两个角相等是吧？那所以呢，我们要把 n o c 加上 b o m 先求出来。好，那是不是角 n o c 加上角 b b o m， 它等于多少呢？是不是等于一个等于阿尔法减贝塔？ 好，那这样子的阿尔法减贝塔是不是就等于这两个角呀？你看， n o c 等于这个嘛，这面的等于这个嘛，所以它是不是就等于这两个角？好，那这个 d o n 加上一个 m o a 啊，这两个角再加上 m o n 再加 m o n 是不就等于 a o d， 所以角 a o d， 它等于什么呢？是不是阿尔法减掉贝塔，再加上阿尔法等于二，阿尔法减贝塔 选 a 啊，这道题相对不难，咱们讲快一点来看第九题啊，好，十个图案中点的个数，我们来看一下啊，你看这个点呢，它增加的是什么呢？增加是这一排，这一排，这一排，所以我们从这取出来一个图形，你看 这样图形来看啊，好，那这样图形的话，那第一个图形是不是有三个点？中间这个这四个先不看啊，第二个图形呢，是不是又加了三个？ 第三个图形加四个，那我们只看这样的图形，那第十个图形，你看第一个图形两第二排吗？第十个图形，最后这一点是不是十一个呀？ 是不是有十一个？所以呢，红色这个倒三角，他应该是从一加二，一直加三，一直加到十一，然后呢，我们再加上四个点，这四个点再给他加四啊，这边加四，待会再加，我们来看，从一加到十一怎么算？首尾相加 是不是一加上十一啊？等于二加十嘛？所以呢，平均数给他平均一下除以二，是不是自己组数的平均数，然后乘以几呢？是不是乘以十一？所以呢，他是不是等于六十六， 再加上四就等于七十 c， 好 的，我们继续啊，看一下这个第十五题啊，这道题呢，其实挺好的，特别好，他考察了 第一个是动点，第二个呢，是考察我们的，就是有没有漏解啊，会不会算漏解，让我们来看看。好的，第一个， 首先呢， ab 等于四， bc 呢？它是等于三 e 呢？为 cd 的 中点，那这段是不是二，这段是不是二点 p 呢？从 a 出发，以每秒一个单位速度，是 a， b， c 啊， e 一直走到点 e， 是不是一直走到点 e， a， b， c， e 啊，这样走的， a， b， c， e 啊，这样走就顺时针一圈啊， 四三。好，然后我们再来看下一个问题，最终走到点 e 就停了啊，不是整圈转啊， p 的运动时间为 x， p 点运动时间则啊，几个单位呢？一个单位是吧？则 a b， a， p， c 的面积为五的时候啊， x 值为多少？好，来，我们来看一下啊， a p， c 面积为五啊，把这图放大一点来讲 一个单位啊。好，那第一个，首先呢，你这段是三吗？五的话，好，那这段高是不是三，所以呢，这个底呢啊？ ap， 第一种情况，点 p 在 ab 上的时候，点 p 在 ab 上的时候是不是 ap， 你看 ap 啊，乘以一个啊，三角形面积 s 啊，它应该等于 a p 二分之一的 a p 乘一个 b c 啊，他是不是等于五？好，这个 b c 等于什么呢？是不是二分之三呀？ b c， 因为等于三嘛，三倍的 a p 啊，他是不是等于五，所以 a p 等于几呢？ 这种情况下， a p 是不是等于啊？三分之十， 对不对？好啊，那你来看看这个边是多少，这个边长是不是四，三分之十，三点三几，所以点 p 大概在这个位置到这个位置了啊，所以呢，时间 t 是不等于一秒，运动距离等于一秒，所以 x 呢，是不是？ x 是不是就等于 三分之十？这是第一个答案啊，第二个答案，我们来看，假设，如果是走到这个位置的时候，你看这是不是四，这个位置值呢？三， 这三，四是几啊？十二除以，这不是六，到，这是不是六？好，我们再来看下一个问题啊，你如果走到这个位置，当 p 到达这个点的时候是六，到这个点的时候是多少？到 c 点的时候又等于多少？ c 点的时候这一块是不是二？三 到这一点就是 p 到 c 点的时候是多少呢？是不是？你看 p 到 c 点的时候是不是二和，这是二吗？这是三吗？高是三吗？所以呢，这段时候 p 在 b 点的时候六， s 等于六， p 在这面的时候呢， s 是不是等于三？ 好，所以说你看在三和六之间，是不是肯定有个等于五的点，对不对？还有一个点啊，不要漏气啊。好，那这样的话， 如果到 c 点再往这个地方走呢？你看是底是不是都是三？这个高是三吗？这个底是不是在减小，所以这块是没了啊？所以在 bc 之中肯定有一个点，千万不要漏角。为啥会肯定呢？你简单一算，是不是就有？所以呢，我们来看，这样， 假设这个点在这个位置啊，好，是这样子的，嗯，我们设，你看这是二，设，这是 a， 这段是 a， 这呢是不是三减 a 啊，对不对？这呢是不是四 啊？好，那这种情况下，这个面积，这是不是三？这是二，所以二三得六，这块是三嘛？ 是不是三，那我们整个的面积呢？是不是三？四？一，十二，我们用十二减掉什么呢？十二，那中间这一块是六吗？ 哦，中间这是五，对，这是五，你看这一块是不是三，那十二是不是减掉八啊？是不等于四呀？所以呢，得到的结果是什么呢？就这两个三角形啊， 是不是这两个三角形之合是不等于四，对不对啊？好的，这两个三角形之合等于四啊，我们来看这两个三角形之合怎么做啊？好，你看，这样的话，我们算出来它等于四。 好，这是二，这是 a， 这是三减 a， 这个呢？是不是四？所以呢？ 我们给他求和，在这面求和就可以了。好，嗯，你看这面，这个边，这是屁啊， 这个三角形 s， 三角形 p c e， 它是不等于二？ a 除以二啊，加上一个什么呢？加上这一块是不是四？乘以三减 a 除以二，是不是二倍的三减 a， 对不对？这是不是就是 a 加上六减二， a 啊，等于啊，等于几呢？是不是六减 a 等于四， 就六减 a 等于四吗？是不是？好，那 a 等于几？ a 呢？ a 是 不等于二， 对不对？ a 是 等于二。好，那这一段呢？你看这是等于二，那这一段是不等于一？左侧这一段是不就等于一啊？那这一段呢？是不是四？你看他从这这样走走走走到这来啊，四加一等于五，所以呢？ x 是 不等于五， 所以这道题呢，就是两个解啊，第一个是 x 等于三分之十，第二个是 x 等于五。我们再把这题拓展一下啊，你看，假设 他是一圈走的，那是不是说点 p 还可以走到这个位置来？你看，刚才我们算了，到这个位置，这时候 到这一块，这一块是不是你还需要去算一下，对不对？假设点 p 在 这，你看拐角上，是吧？这一块是不是三，所以不满足五吗？ 对不对？所以你一圈一圈转的时候呢？这个时候你就要去看，其实我们这个题还可以延伸有个周期， 如果是整个整圈啊，下册的时候我们会学周期就是 t 在 几秒几秒，是不是加每圈啊？这个里面是不是要加上每圈，你看一圈是多少，这是不是四三四三一圈是多少呢啊？一圈是二十四 啊，所以二十四整圈加上这些是不是他都是可以到达五的？好的啊，我们呢这个分为两个视频讲解啊，另外一个呢？我们第二个视频再讲最后一道题啊，就最后就这道啊啊？最后一道题一个动脚啊。

冰二期上期末数学考试卷啊，最后一道题动脚的讲解，这道题呢，出的非常好，各位家长呢，收藏一下这个视频给孩子看一下，如果需要试卷呢，找胡老师领取。好，接上一个视频啊，冰二的期末考数学卷啊，我们讲一下最后一道题， 他说的是射线 oc 在 aob 内部啊， aob 内部共有三个角啊，第一个 aob 这个角，第二个是呢， oc 这个角，第二个 oc 是 不是这个角，这三个角？好的，我们来看一下 他说的这三个角呢，如果有一个角是另外一个角两倍可以是他是，你看这两个角啊，这个和这个可以是两倍的关系，还有一个呢，是这两个之间两倍，还有一个是大角，是他们 啊，某一个的两倍，那这样的话，这是角平分线啊，所以说这个呢，有啊，三种情况啊，三种情况就是他们两个角是两倍，他是他两倍，还有一个是他角平分线的情况啊。好， 然后呢，这个里面呢？下一个一个角平分线，是不是奇妙射线？肯定是吗？一分为二吗？所以大角是他们两倍吗？小小角的两倍，这肯定没问题。第一个，第二个问题呢，我们继续来看，若 mpn 这个角度六十度啊， pq 呢？绕着啊，点 p 从 pn 位置， q 是 不是在这？ q 刚开始在这吗？然后呢？以每秒十个度的速度这样转，然后当 qn qpn 啊 q p n 首次等于一百八十度停止，那转到哪停啊？是不转这头来，这点 q 是不是转另外一侧来？ q 在这就停了啊？设旋转时间为 t 好 t 为何之时啊？这个 p m 是啊 q 啊， p n 的奇妙射线。第一个问题啊，它这个，这里面 p m 是奇妙射线，这里头有个重要的问题在这，你看 这个射线呢，必须在角内部啊，所以说这个 q 呢？它在哪呢？你看这个角是六十度吗？是吧？那 q 是 不是第一种情况下，他们俩两边的关系是不是这样？ q 在 这，这个角三十，这是第一种，这样的话，时间整个是多少？是不是九十度？所以第一个 t 是 不是等于九啊？第一种情况，第二个呢，我们继续来看下一个，你这是六十，好，那 如果说我们满足这个，这个也是六十啊，这两个相等嘛，这 q 那 p n 啊，是不是 q p 啊？ p m 是不是 q p n 起冒射线对角平分线也是，所以一百二，这样的话， t 等于多少呢？ t 是不等于一百二 啊？ t 等于十二啊，一百二嘛，说的是十二，好。第三个问题啊，我们来看第三种情况啊，下一个继续转， 他们俩之间乘两倍，所以我们到这位置六十， q 到这的时候，这个角是不是一百二，他们俩乘两倍关系。所以呢， t 是不是等于全部？是十八吗？一百八十度， t 等于十八啊，所以第二问呢，就是这三种情况啊。好，我们再来看看第三问啊，他说的什么意思？ 第三个呢，这个 p n 绕点 p 啊， p n 再转，这样子的逆时针啊，六度再转，然后 p q 呢，也在转 啊 p 并与 p q 同时停止旋转啊， p q 意思是 p q 也在转，他是啊， 这种情况下嘛，还在转，这样，这个也在转，对不对？当射线 p q 是 啊， pm 的 奇妙射线 t 时， t 的 值，是吧？那好，那这个 p q 是 不是在 pm 中间呀？ 对不对？好，那就几种情况，第一个你看，比如说他转到这，打个比方吧，啊，他转到这个位置的时候，是吧？我们在中间 角平分线是不是一种情况？这两个是什么呢？哎，他转到这个位置的时候，好，这一分，然后这两个角是他他两倍，还有一种呢，是颠倒过来是他是他的两倍，三种情况啊，好，那我们来看，先来看看角平分线 的时候啊，好，我们先来看。这个点呢是，呃， m 是 不是啊？那角这个啊？ p m 啊？ mp， 第一种啊，角平分线的情况下，是不是角 mp 它是不是等于这个角六十 加上一个多少？每秒钟转六都是六 t 啊，加这个角六 t 啊，加六 t 对 不对？好，那等于多少呢？是不是等于啊？二倍的啊？ q 在 这啊，二倍多少呢？这个角是不是十 t 啊？直接乘以十 t 就 行了。 好，第一种情况啊，角平分线情况下，这是第一种啊，好，角平分线它呢等于两倍的它。第二种情况，我们继续来看第二种。我写到这啊二， 好，我们 来看后面这一块啊， 我们先来看看这个，嗯，叫 m p q， 它等于什么？它是不是还是等于啊？等于一个 m p n 是 不是减掉一个 q p n m p n 等于多少？是不等于六十？ 等于六十加上六 t 是 不是减掉？ 减掉这个 q 平 q 平呢？是不是十 t 啊？好，那它等于它的两倍啊，这个是不是等于二乘以十 t 啊？ 啊，这样子的。好，我们再来看第三种情况啊，这是第二种。 好，第三种情况是不是角 m p q 是 不是一样的，它是不是还是六十加上一个六 t 减掉十 t 啊？用它乘以二 啊。就是他颠倒的吗？这个角是这个角的二分之一吗？我们直接写二分之一吧。二分之一倍的是 t。 啊。好，三种情况。然后呢我们把这个 t 呢？哎，分别去解出来就可以了。好，这个地方呢？我就不解了啊。好的。