安徽数学中考真题几何画板

下面我们来讲解一道九年级刚刚考过的一道几何压轴题，如图，矩形 a、 b、 c、 d 全等于矩形 a、 e、 f、 g 且点 g 在 b i 的 延长线上连接 i f i c c f， 这里 ab 等于二， bc 等于一。 首先叫我们推理证明三角形 i、 c、 f 为等腰直角三角形 i、 c、 f 这个三角形是等腰直角三角形。接下来更深入的探求一下，当矩形 i、 e、 f、 g 绕点 i 顺时针旋转 r 画度啊，就是这个角是 r 画度， 这里阿法是大于零度，小于九十度的。就是，我们看如图二，当边 a、 e 与 c、 d 交于点 p 时，哎，交于点 p， 若存在角 i p b 加角 i p c 等于一百八十度。让你猜想 pb 与 ib 的 数量关系，并说明理由，也就是 这里的 b、 p 与 ip 的 数量关系。从图上看像等腰。 第二题，那就是在一的条件下，这里求旋转角 r 画旋转角 r 的 值。好，我们来看第三问， 如图三，当点 e 落在边 c、 d 上时，请直接写出三角形呃 b， e、 t 的 面积， 它的值啊。下面我们来一道一道讲好。先来看第一问，证明三角形 i、 c、 f 为等腰直角三角形。先写个证明。 呃，首先我们从已知入手，因为矩形 a、 b， c、 d 全等于矩形 a、 e、 f， g， 那 么能得到它的对应边相等，这里的 g i 等于这里的 b， c， f， g 等于 a， b 对 应角相等角 g 等于角 b。 明显这两个三角形怎么样？是全等的，对吧？这个全等我们就能得到这里的什么 i、 c 等于 f。 好， 我们来证明三角形全等 是在呃，三角形 i、 g、 f 和三角形 c、 b、 i 中， 我们这里的 i g 等于这里的什么？ bc？ 角 g 等于角 b f g 等于 ab， 所以 三角形 i g f 全等于三角形 c b i。 我 们用的是边角边， 全程过后我们能得到什么呢？这里的角 g i f 应该等于角 b c i 边，那就是 i f 等于 i c。 又因为我们讲矩形，这里的角 b 是 九十度，所以我们这里可以得到什么？角 a c b 加上角 b i c 是 不是等于这里的九十度的啊？因为它两个是什么？这两个角是相等的，那我们就可以得到这里的角 g i f 加上角 b i c 等于九十度，所以这里的角 f i c 应该等于一百八十度。减去角 g i f 与角 b i c 的 和， 也就等于一百八度。减九十度等于九十度。 哎，所以这里面我们找到了这个角 f i c 等于九十度。都有 i f 等于 i c， 所以 三角形 i c f 为等腰 直角三角形。 好，下面我们接着来讲第二问解。 第一小题， 这里面我们猜想 p b 与 ab 是 相等的，就是 ab 应该等于这里的 b p， 理由 如下， 呃，因为我们讲角 a p b 加上角 a p c 等于一百八十度， 这里面角 i p b 加上这个角也是一百八十度，所以我们能得到这两个角什么相等？ 角 i p b 加上角 e p b 也等于一百八十度，所以我们能得到角 a p c 等于角 e p b 就是 同角的补角相等。 嗯，这两个角相等，我们把公共部分去掉，那么就会得到这两个角相等， 这个角和这个角应该是同位角，所以我们能得证明它是一个等腰三角形，从而我们证明 a b 等于 p b。 我 们来书写一下， 角 a p c 减去角 b p c 等于角 e p b 减去角 b p c， 那 么 g， 这里的角 a p b 应该等于角 e p c 又因为 dc 和 ab 是 矩形的对边，所以它俩平行， 又因为 ab 是 平行于 cd 的， 所以这里的角 p i b 也等于角 e p c， 所以， 哎，角 a p b 等于角 p i b。 所以 一个三角形 a b p 是 等腰三角形，也记 a b 等于这里的什么 p b。 好，第一问，我们就说明了一下，现在我们来看，在一的条件下求旋转角度 r 画的值。第二问， 这里面一的条件就是我们这里的什么 a b 是 等于这里的 b p 的 a b 是 二吗？ b c 是 什么 e， 所以 我们这里很容易看到 这里直角三角形中的斜边是他的什么直角边的什么啊？背，那么可以得到啊，这里的角度应该是三十度。好，我们来书写一下， 就是因为这里的呃 b p 等于 a b 等于二， b c 等于一，所以角 b p c 应该等于三十度。 好，我们来看一下，它等于三十度，我们看这个是一个平角，对吧？那我们把这写一下，角 a p b 加上角 b p c 加上角 e p c 是不是等于一百八十度？我们发现它俩是相等的，所以也就是两倍的角 a p b 加上这里的三十度，等于一百八十度， 所以这个角 a p b 应该等于七十五度，它是七十五度。那这里的角 p i b 也是七十五度，是等腰三角形吗？所以这里的角 d i p 也就是旋转角，应该等于这里的什么九十度。减去角 p i b 也就等于这里的什么九十度减去七十五度等于十五度，而所以这里的阿帕应该等于什么？十五度，阿帕的值应该是十五度。 好，我们接着来讲第三问。先来看看思路，当点 e 落在 c d 上时，请直接写出三角形 b e g 的 面积 b e g 的 面积。 那么来看点 e 在 c d 上时，那你这个 a e 和这个 a b 是 相等的，那这不是一个等腰三角形吗？ 然后这里面有个平行，那我们想到，呃，等腰加平行会出现角平分线，那这里面我们想到向这边做一个垂直，那你看这边是一，那你这个垂线段也是一，那这里面又有一个特殊的直角三角形， 所以我们想到，哎，我们的辅助线应该是做垂线，做垂线，你这个垂直，这个垂直 i g 是 不是等于这一段长的？那我们看到这个四边形应该是一个平行四边， 那我们看看整个题就衔接起来了，那整个问题就可以得到解决。下面我们来书写一下 解，先把辅助线做出来过 b 做 b h 垂直， i e 交于点 h 连接 这里的 g h。 好， 假设让我们设这里的 i e 与 b t 交于电容。 好，因为这里的 a b 是 等于 a e 的， 所以这里的角 a e d 等于角 a b e。 又因为 a b 和 c d 是 平行的边，那它呢？应该是平行的，所以我们能得到角 c e b 也等于角 a b e， 所以 我们就能得到什么角 a e b 等于角 c e b。 那 所以能得到这里的什么 b h 等于 bc 等于一。 好，那我们可以得到这里的什么 i h。 那 就是在 r t 三角形 i h b 中， 你这里的 i h 应该等于根号 i b 的 平方减去 b h 的 平方，也就是二的平方，减一的平方等于根号三。好，我们接着来看， 你这里的 b h 是 不是应该等于这里的 i g 都等于一，它们是矩形的边嘛，对吧？ i g 也是矩形的边。那所以我们来看看 你又，因为这里的 gi h 是 不是等于角 b h i 是 不是都等于九十度呀？那所以这个什么 b h 平行且等于这里的 g i， 那 所以这个四边形什么 a b h g 应该是平行四边， 它是平行四边形，那么就可以得到这里的什么 o h 是 不是应该等于这里的什么二分之一倍的 i h 应该等于二分之二三， 对吧？就是 i o 等于这里的 o h 等于二分之一倍的 i h 等于二分之二三，所以这里的 o h， 因为我们来看看它 o e 就 应该等于这里的 i e 减去 i o， 它不就是二减二分之根号三。所以这里的三角形 b e、 g 的 面积就可以写成什么三角形积 o e 加上三角形 b o e， 也就等于这里的什么二分之一 乘以 o e o e， 就是 我们可以直接代数二减二分之根号三 乘以这里的高是一，你发现这两三角形面积是一样的，所以我们直接写乘以二就行了。所以最终我们就求数三角形 b e、 g 的 面积应该是二减二分之二三。 好，下面我们来看看这三道题之间的联系。这三道题之间啊，第一问是比较简单的啊，就是通过全等 可以得到，呃，这个边相等对应边相等对应角相等，通过角的逻辑推理可以得到这里的 f i c 是 一个什么直角，从而证明它是一个等腰直角三角形比较简单。 然后第二问，相对来讲难度有所提升，但总体难度也不大。总体难度也不大，很容易求出来。通过什么叠角问题啊？去倒角对吧？平行线倒角，总体来讲难度不大。 第三问啊，可能辅助线难想，但是我们通过这个什么等腰加平行，从而想到做这个什么 垂直构成啊，角平线啊，这个什么啊，他的常见辅助线的做法，从而把这道题就做了。

同学们好，我们今天来看安徽省的一个中考的压轴题，那么这一题呢，有的同学读完题之后可能十秒钟就做完了，有的同学可能十分钟也没有完全搞定，那就看我们怎么啊理解这些基本的题型。那先我们来看题， 说在一个四边形 abcd 当中啊，有角 a， 还有角 b， 角 abc 啊，都是九十度， ab 等于四， bc 等于三， ab 是 等于一的， 一呢，是这个 bc 边上的一个动点啊，将这个 d 绕 d 点，逆时针旋转九十度，就得到了这个 f 啊，得到了 d f， 那 连接 f b f， 嗯， f c 还有 ec， 现在结论中错误的是，那第一个说 ec 减 e d， 也就是 e 点呢，它可以是这样动的啊， ec 减 e d， 那 我们这个都不用管 f 点了，因为它问的是 ec 减 e， d 最大，那在三角形 ec d 当中，我们知道 ec 减 e d， 它总是小于 c d 的， 所以呢，三角形的两边之差，那是小于第三边的，那注意是小于啊，如果是一个三角形，它总是小于第三边，也就是小于 dc， 那 而我们能算出来这个 dc 等于多少呢？好，根据这里面，我们是不是可以过 d 点做一个呢？这个 我们只要做一个垂线就可以了啊，过 d 点做一个，这个 d m 垂直于 bc， 交 bc 于点 m， 那 我们可以算出来 c m 是 不是等于二， d m 等于 ab 等于四，那这个是二，这个是四，所以这个 dc， 那 二四嘛，二倍根号五哎，所以它的最大值是不是二倍根号五呢？那除非能让 ecd ecd 是 重合的，但是这个 e 点在哪呢？我们看看题目，题目给的是什么 e 这句话啊，他说点 e 为边， ab 上的动点边是一条线段呢，所以呢，没有办法呢， 让 d c e 重，让 d c e 在 一条直线上，那什么时候能让 d c e 在 一条直线？除非我们延长 a b 啊，延长 b a 啊，延长 c d， 那 他们的焦点呢？是这个 l， 那 除非 e 点能与 l 重合的时候，那这个 a 选项再对，所以啊，这也就是为什么有的同学十秒钟就能算完啊，这个看一下就能知道这个 d c 是 最大值，但是不能呢， 哎，三点贡献，也就是说 c d e 不 可能贡献的，所以这题错误的结论就是 a 啊， 那这是要，要是分析，要是做这一题的话，做到这样的就已经完了啊，所以知道呢，这个我们就应该是选这个 a， 但其余的选项我们也看一下， 那现在他要说 f b 的 最小值，我们啊，如果运动的时候我们都知道啊，让这个 d， 让这个 t 点啊，让这个 e 点啊，如果再动起来的话啊，那我们呢，这个 f 点也就跟着这个动， 那 f 点在这个运动的过程中，他的这个轨迹是什么样的呢？你看那我们 f 点运动过的这个轨迹，哎，是不是就是这样的一条线段，那这条线段我们怎么证明呢？好， f 点的轨迹为什么是这个呢？ 那这其实这是如果要用网络上的方法来讲呢，想讲简单一点呢，我们当然知道是一个，也就是所谓的流行的叫做刮痘原理啊， 那其实这里面也不用呢，创造这些名词啊，讲这是刮豆原理，那其实这我们完全可以用最基本的东西就是什么呢？啊，你也不，那最基本的是什么？因为 d e f 是 个等腰直角三角形，那所以我们就想到了， 是不是就可以做一个什么一线三垂啊？那过这个 f 做一个呢？ a d 的 延长线 的垂线过 f 点做 f g 啊，这个 f g 垂直于 a d 的 延长线与点 g， 那 我们就可以得到 这样的三角形 a d g 和三角形 d a e 是 全等的两个角，一个边，所以呢，这个 g f 始终就等于一的。 那既然 g f 到这个固定的这条直线 a d 的 距离是相等的啊，那距离是不变的，说明 f 点就应该是在平行于 a d 的，是一个线段还是一个直线上，那就要看这个主动点 e 运动的范围啊，那我们现在这个 f 点呢？因为 e 点，当 e 点运动到了 b， 那 f 点就在这样的 一个点，那我们可以呢，就是这时候啊， f 点就在这个点点接的位置，那当 e 点呢？运动到 当 e 点啊，不是这个 b 点，当 e 点运动到了呢这个 a 点的位置，那 f 点就运动到了 k 点，所以这个 f 点运动的轨迹呢？就是这条 线段 k j 啊，为什么是 k j 呢？因为 e 是 这个 ab 上任意的一个动点嘛。 嗯， e 点啊，这样的 e 点就可以代表这个线段 ab， 那 就相当于把线段 ab 绕 d 点逆时针旋转九十度，那就得到了 k j， 所以 f 点运动的轨迹就是 k j。 那 现在要找的啊，这其他的选项说 f b 的 最小值，那 f b 什么时候最小 啊？还有 f c 的 最大值， f b 要最小，那不就是 f 点运动到这个 k 点的位置，那也就算出这个 kb 等于多少？ kb 等于多少？ 这个是不是很直接啊？那我们就可以过 f 点做一个这个垂线啊， 我们过 f 点做一个垂线，也就是过 k 点啊，做一个垂线，那这个 k a e 是 不是等于一？那 a e b 是 不是等于这个三？那所以 kb 呢？是不是就等于根号十啊？所以 b 选项肯定是对的。好，这两个点我们不要， 那然后 f c 什么时候最大呢？那 f c 最短的是在这个位置，那 f c 最大值有可能是在 这个 k 点，也有可能是在呢 j 点，那我们会发现其实 j c 是 等于 k c 的 啊，因为这样的两，这个当他们呢，这个如果 f c 垂直的时候，这个 f j 是 等于 f k 等于 r 的， 所以 j c k 是 个等幺三角形，所以 j c 等于 k c， 那介 c 等于 k c 等于多少呢？那我算一下，这个 ffk 是 不是二 f c 这时候垂直的时候， f c 是 不是三二三呢？根号十三，所以呢，这就是最大值，就是根号十三啊，所以我们能得到 这个 fc 的 最大值是根号十三。那然后啊，还有最后一小问，最后一个问题呢，其实也就是 c 选项的啊， c 选项其实就是一个更简单的问题吧，那我们就是一个将军引马的问题，那我们只要做一个地点，关于 ab 的 对称点，这个第一撇， 做出第一撇呢，我们再连接第一撇 e， 那 第一撇 e 就 等于第一，那要求 ec 加 e d 的 最小值，那也就是 e 一 撇 啊 d， 呃，也就是 e d 一 撇加上呢，这个 ec 那 是不是就大于等于这个 d 一 撇 c， 那 d 一 撇 c， 也就是当 e 点运动到这个三点可以共线，所以它这时候是最小值是可以取得到的啊。 e 点恰好运动到 d 一 撇 c 和 ab 的 交点的位置，这时候就是最小，那我们只要算出 d 一 撇 c 就 好了，那怎么算 d 一 撇 c 呢？过 d 一 撇点和做一个这个 bc 的 呢？垂线，也就是做一个 d 一 撇 t 垂直于 c， b 于点 t， 那 d 一 撇 t 肯定等于四， 那 c t 也等于四，所以最小值就是四倍，根号二啊。好，所以纵观一下这一题啊 啊， a 选项啊，只要你基本功好一点，那我们就知道呢，这个 e 点是不可能使得 d， c e 三点共线的，所以 a 选项百分之百是错误的啊。那其余的每一个呢？这个也都是考了 最基础的两种几何最值，什么两点之间线段最短和这个垂线段最短，这是我们思考呢几何最值的问题里面啊，最根本的两个原理啊，这是几何法当中呢两个基础的原理啊，那我们这一题呢，就分析到这。

安徽中考生必须要掌握哪些几何模型啊？中考数学里面啊，整个真真正正的需要常用的一些模型，包括考到的模型呢，有大几十个，上百个，你如果说想让孩子把这些模型都掌握，那需要花太多的时间了，所以真正安徽中考生要掌握哪些模型，你就看安徽考哪些模型就行了呀。 你比如说在我们安徽中考智力卷模拟里面，最出现的最多的，排在前五的啊，你比如说翻折模型，旋转模型， 矩形内的十字架模型，双八字或者三八字的这种模型，再包括呢，将军马这些模型，最常考的大概也就不到五六个，而可能考的呢，加起来也就十五六个。作为安徽的中考车呢，你去掌握大概这十五六个几何模型就完全足够了。 而且呢，王老师，我强调一下啊，你去掌握这些模型的时候呢，最好呢是配套着用模拟卷和整理卷里面的这些题目来做，因为这些模型他不会单独考的，所以呢，你需要用这些整理卷，模拟卷的题目去训练，你才能真正知道 到底他该怎么考。所以呢，王老师呢，我之前呢，就花时间呢，把我们的安徽近三年的这些卷子里面呢，各种考试的模型给它整理分类整理出来了啊。如果说呢，你家孩子呢，也想掌握安徽中老年的这些卷子里面呢，各种考试的模型啊，打出模型两个字。

我来把这个动画制作过程啊，详细的制作过程给大家讲解一遍啊，希望对大家这个理解这个简化版能有更进一步的帮助啊，能把动画停下来，然后呢把它复位，把它放到一边去啊，好，我们制作这个动画效果呢，我们需要三条线段啊， 一条两条啊。第三条线段呢，我们要制作出来，先点击这两个点，然后呢在这个变换里面标记向量，然后我们点击一个点，然后把这个点呢按照刚才标记的向量进行平移， 好，再点击两个点啊，那么下面这个线段是受中间那条线段控制的啊，呃，我制作这条线呢，主要用来控制这个圆的半径啊，圆的大小，上面这个线段呢是用来控制动画的速度的， 然后第一步呢，我们先度量一下第一个线段的长度，在度量里面度量长度，然后度量出长度以后我们要需要计算一下，说要在数据计算，然后点击这个度量长度，然后乘以二，再乘以数值里面有个派，再乘以派， 那现在有个计算结果，然后呢我们把这个点啊进行一个平移啊变换，里面有平移，平移呢平移的角度是零度，然后平移的距离呢？点击这个计算结果，那么他就按平移了周长， 那么也就是说我这两个线段呢，这个是半径，这个呢是周长，这个时候我需要从起点到终点呢，把它连接起来， 那这里面有三条线段啊，分别是半径一条线段，然后周长一条线段，然后整个是一条线段， 那这时候我们点击这个点，然后当你把这个点放到这个线段上的时候，你观察一下，他这个时候是选中了整条线段，也就是说我这个点呢，是在整条线段上创造的，但是你如果离开一下，再放上去的时候， 它显示的呢，就选中了这个周长这个线段了，所以同样道理，我放到这边也是一样的，这时候就选中了这个半径这个线段，但是我要求是选中整条线段，所以我再次放上去好了，选中整条线段， 那这个点呢就可以在整条线段上移动，那这样我就可以分别度量它在半径和周长上的值啊。度量，这时候需要按住 shift， 先度量一个在半径上点的值，在移动这这边呢， 点击这个周长，再来度量一个在周长上点的值。好，度量了两个点的值以后，我需要利用第一个点的值呢，在半径上创造一个点，点击半径，在绘图里面线段上绘制点，然后点击这个第一个点的值， 那就做出一个点的值了，这个点呢就是受这个点来控制的，对吧？当他移到半径移到周长上的时候，我需要让他进行旋转，让他做出一个圆来，这时候呢，我首先要计算一下，在数据计算， 点击这个周长上点的值，然后乘以三百六十，注意加个单位啊，度三百六十度 啊，这个计算出一个结果来，然后把它移到这边来呢，这时候注意啊，我们要选中刚才生成的这个点啊，先不要把它移走啊，先点击生成这个点，然后再先双击这个点作为中心啊，旋转中心，然后点击这个生成点呢，来变化里面有个旋转， 然后旋转的角度呢？点击这个计算结果啊，那现在是零度，没关系，是因为我移到点的值以后，他就有度数了，那这时候他就会生成一个点了啊， 好，那这个时候我们有了在半径上移动，并且有画圆的这样一动作了啊，所以我只需要把画半径和画圆的这个线表示出来就行了，这时候呢，我把这个之前这个线段隐藏起来，然后呢连接啊圆心和这个动点， 那这时候他会有画半径的动作了，对吧？那现在我是不是还需要有画圆的动作啊？那画圆动作呢？我们先要有一个圆啊，我们先来画一个圆， 然后呢点击这个半径的端点和这个点，再选中这个圆，然后在构造里面有一个圆上的弧 啊，这时候呢，我们自己画这个圆就变成虚线了，然后把这个圆隐藏起来，那这个时候我们手动来拖动一下，就会发现，哎，这时候已经有动画效果了，对不对？那我们先把动画按钮做出来，点击这个动点，点击啊，端点在编辑里面呢 啊，有一个移动按钮，确定啊，把这个按钮制作出来放在这里啊，等会我们来移动一下它，对不对？好，然后呢我们再做一个复位键，点击这个点，再点击起点，在编辑里面呢，再操作按钮有个移动，我们把它起个名字叫做复位， 叫做复位。同时呢在移动里面呢，把这个速度啊改成高速啊，让他瞬间复位啊，我点击复位，他就复位了，我点击这个移动，他现在就有画圆的这个整个过程了。 但是呢大家会发现出现一个问题，就是当我画这个圆，整个画完了以后，这个圆会消失，这个圆会消失的原因是什么呢？是因为我们刚才做， 大家如果注意我们画圆的时候，我们怎么画圆的？我们是通过这两个点，其实是画了一段圆弧，就这两个点之间控制的一段圆弧，但是当这两个点重合的时候，他就没有办法来控制圆弧了，所以这个圆弧就消失了啊，那我们表示这个是可以控制速度的，对不对？我们把拉短一点，让速度控制 啊，这两个点其实不要了，点和线段都不要了啊，我们只留这个控制线段的这个就可以了啊。好，然后这个时候呢，所以当我们移动到终点的时候，他这个叫 整个圆弧会消失，那我们怎么处理这个问题呢？我们再点击再生成一个动画的按钮吧，放在这啊，操作里，按钮 有个动画按钮，动画呢，可以让他循环往复的来操作，这时候动点我们要隐藏起来啊。好，那，那我们怎么来做这个最后的圆，不要让他消失呢？因为这个圆他整个动画结束以后，他的圆会消失吗？对吧？他运动到终点以后，他的圆会消失，对不对？ 好，我们怎么不让他消失呢？这是我们需要用到一个这个工具啊，我们来第二个点的值啊，我们来记再重新计算一下数据计算， 我们先让他减点击这个点的值，然后呢？减去零点九九五啊，减去零点九九五，那就约等于零点五吗？ 啊？不是零点九九五啊，是零点四九九五啊，零点四九九五。好，那时候他就约等于零点五，然后呢我们还要用到另外一个函数，叫做取整函数，新建函数啊， 呃，然后呢？不是新建函数，是计算啊，在数据里面有个计算，然后呢在函数里面选择这个取整函数叫 round， 然后点击刚才这个计算的结果，减去零点一九九五以后的结果啊，那么这个时候实际上它是一个开关啊，这个开关是什么意思呢？就是我们移动这个点，你会发现我们复位啊，那么这个这个计算结果一直是零，它取整一直是零， 他一直到这个运动结束的时候，他会突然变成一，这是取整结果，那突然变成一，这就最后我们让他从零到一这个开关来控制这个圆的生成，那怎么生成这个圆呢？我们来点击这个圆心，然后再点击这个线段 让。呃，我们还要先测量一下这个半径的长度啊，这个度量，测量一下这长度， 然后呢我们点击这个取整啊，计算啊，数据计算，点击这个取整的结果，然后再乘以这个半径， 乘以这个半径啊，这时候度量出一个结果来，那所以在运动初时的时候，他一直是零，所以这个半径也是零，那什么时候才会变成一呢？也就是说 他一直到运动结果的时候，这个取整函数突然变成一，那么这时候也还才会突然有半径，那所以呢，我们这个时候就点击圆心，然后点击这个半径来制作一个圆，构造圆， 那运动结果的结束的时候，他因为这个开关变成一了，他才会出现圆嘛，所以你复位的时候他是不是不会有圆的啊？然后我们现在来移动这个结果， 那这个时候运动结束以后，这个圆就出现了，其实呢他等于是覆盖了那个做的圆弧的结果啊，复位那动画点这个圆就产生了啊。 啊，那当然，我们可以通过什么，我们可以通过这个半径按钮来控制这个圆的大小啊，也可以通过这个速度来控制速度，对吧？我可以控制圆的大小，可以让他画大一点，对吧？可以画大一点啊，复位重新画一个啊， 那速度呢？你也可以调整大小。那下面再讲一下怎么把这个小人哈，这个图片，这个和这个动点啊结合起来啊？好，我们先把这个移动到某一个点，好，在这个位置，那我们需要我们复制一下啊 c， 哎， 我们先复制出来一个，哎啊，他怎么变这么小，这小人啊 啊？我们复制出一个小人出来，我们需要把这个小人呢和这个点啊结合在一起，那点这个图片点击这个点呢，然后在编辑里面有一个合并图片到点， 但是大家会发现呢，它合并到这个图片的几何中心去了啊，我们希望它合到合并到这个笔尖这个位置比较好嘛，那怎么办呢？那这个时候呢，我们需要啊，这样我们先把它合并到几何中心去啊。 哎，这个图片怎么回事啊？我们先来看一下几何中心和笔尖之间的距离啊，所以这个时候呢，需要你自己尝试一下了，我们先拿一个点来和这个图片呢合并在一起 啊，在编辑里面一个合并点到图片，然后呢我们这时候用这点击这个点在构造，在变化里面呢，有一个移动啊，有个平移， 我们来观察一下，他用极坐标，然后固定距离，固定角度，固定角度，我们看一下是多少，大概是负的一百一十度，然后呢距离呢？我们来测量一下，一点四厘米， 好，这时候你会发现他没到这个点，那调整一下这个长度和角度啊，大概一百一十二度，一百一十三啊，一百一十五啊，一百一十六，差不多了，距离呢调整一下，一百啊， 大概一点五二啊，五五五六五七五八，好，大概 一点五八厘米，然后呢角度差不多啊，有九吧，六零 一百一十六点五，好，那就是这个距离叫一点六零厘米，然后这个角度，这时候呢，我们把这个点啊给他 变换里面平移一下，按照刚才标记呢，给他平移一个负的，这个时候我们把这个图片啊和刚才的点啊先分离一下， 然后再把这个图片和这个点合并起来，编辑合并图片好了，那这时候把这个点隐藏一下。 好，我们整个制作过程就制作完了，这两个点不需要把半径调小一点啊，然后呢开始移动，那绘画就完成了啊， 啊，复位，那当然我可以动画点来，不停的让他动啊，把这个调整一下速度，对不对啊？他就不停的在画啊，他回头 啊啊，复位，然后这是移动，这画一次，对吧？画一次啊，复位。而这个点呢其实不需要隐藏一下， 好了，这个就是整个制作过程啊，然后这个可以调整圆的大小，然后呢这个可以调整这个运动速度 啊，复位。好的啊，那这个过程就讲到这里啊，其实最终呢需要注意的就是最终这个显示圆啊，这是几何画板一个一个小缺陷吧。 那通过这个取整函数来显示这个圆，好吧，那整个过程就讲到这里啊，希望对大家能有所帮助。

接下来呢，我们去看第二十三题的几何压轴题，老规矩，还是先读题，他说这个问题情景，在数学活动课上，老师呢，提出了如下问题，将图一中两个全等的直角三角形直板 a、 b、 c 和 呃，这个三角形 e、 b、 d 重合放置，往下翻一翻，找找图哈，那我们往下翻一翻，看到这个图一的位置哈，然后呢，其中这个 a、 c、 b、 e、 b、 b 都是九十度， a、 c 的 长度呢，和 e、 d 的 长度重合是四， bc 和这个 b、 d 的 长度重合是三，也就是说这个三角形，而两个三角形啊，都是什么呀？都是三四五形三角形，对吧？我们这写一下要小心哈，三四五形三角形比较特殊，后续用法过程可能会用到哈， 然后呢，将三角形 e、 d、 b 绕点 b 进行顺时针旋转，旋转角度为 r 法呢，这个度数哈，然后呢，如图二，当什么呀？当 b、 d、 e 这个三角形的直角顶点 d 恰好落在边 a、 b 上的时候， 然后 e、 d 的 延长线交 a、 c 与 d、 f， 然后是判断 d、 f 与 f、 c 的 数量关系啊，数量关系重点啊，然后呢，并说明理由。然后这个问题一，请解决老师提出的问题，这个就比较简单了，数量关系无非就是那么几种嘛，对吧，我们常见到的相等 是吧？这道题目里面比较简单的这个证法就是什么呀，连接 b、 f 去证 b、 d、 f 和 b、 c、 f 是 全等关系。这的话，我需要给你去分析一下一个条件哈，因为本身前提条件现在已经给我了，叫做 b、 d 等于 bc， 然后呢，这个 呃， e、 d， b 等于 a， c、 b 等于九十度，这已经有两个天然性条件，我要去证 d f 和 c f 的 数量关系，那我把它放到两个三角形里面的话，那直接点 b f 做公共边就可以了，对吧？所以我直接 把 b f 给它连起来，然后呢，去证明三角形什么呀？然后去折三角形 b， d， f 全等于三角形 b， c f， ok 吧？呃， h l 定律啊， b f 做公共边， b c， b d 相等九十度，然后挣到权呢，以后的话就可以得到谁了，就可以得到 d f 的 长度和 c f 的 长度，它是对应边相等， ok， 第一问结束之后的话来看，第二问，他说将三角形 e， b， d 接着绕点 b 进行旋转，旋转到图三的位置，然后呢？做射线 c d 啊，做射线 c d， 然后呢？ 呃，交 a e 与点 n， 然后此时这个小组的同学认为 n 点是 a e 的 终点，请判断他的观点是否正确，并说明理由。我们常规性的这个判断方式的话，我要去判断终点， 就是要去正 e n 等于 a n， 也就是说我这道题目要判断是否为终点，我们给他转换一下证明的这个结论。我只要能够正到什么呀？正到 e n 的 长度和 a n 的 长度是相等的， 是不是我就能够得到 n 点是 a e 的 中点了，对吧？那我们要去证明这两个角度相等，依旧是常规性方法，要么找全等，要么呢去利用特殊关系，然后去 呃，证明他， ok 吧？那这个题目里边的话，我们相对来说不太好做的就是这一点，因为他本身题目里面并没有给到我过多的信息。那我反过来要去正中点的话，我们其实可以用一下逆向思维，我们在我们在有终点的前提条件下，我们的做法相对来说就会比较多了，对吧？ 比如说我可以做中位线，我也可以做背长中线，那反过来，如果让我去正中点的话，那我是不是依旧可以假借这个信息，然后去给他做一个这个思路？ 那我们这的话，因为他本身没有什么中位线性的信息，所以我这先不考虑中位线，然后呢去给他做什么呢？做这个背长中线，那既然要做背长中线的话，那我就直接去连就好了，对吧？ 连就好了，然后呢把 c n 他 已经给我连下来，这条线呢？给他延长出去。延长出去以后的话 到底要延多长？有交点就行哈。与谁有交点呢？叫过点 e 做 a c 的 平行线，有交点就行，为什么？因为我要去做一个八字全等，然后呢以八字全等帮助去干什么呢？证明这个全等就可以了。那我们这标一个 m， 也就是说我只要正到 m e n 和这个，呃， c n 这两个三角形是全等的，那是不是就可以正到我想要的 e n a n 对 应相等， 对吧？那关键信息来了，我在做辅助线的时候要说明清楚，我要延长 c n 过点 e 呢？做这个 e m 平行于 a c 交 c n 的 延长线于点 m， 那 这个时候的话有平行角相等啊，因为本身这个地方是有对应角相等的，对吧？ 有对顶角相等，还有什么呀？我们答内错角相等，对吧？内错角相等，那这个地方的话还有一个内错角在这里， 对吧？还有个内错角在这里。然后的话我们去关注一下，我想要这两个三角形，全等三个角都过来，但关键问题是我想要正全等是缺边长条件的，那我想要去正边长条件，有没有信心？ 这我们要去关注一个点，叫做我做射线 c、 d 交 a、 e 于点 n， 那 这个时候的话，相当于是我是把 c 和 d 这两个点连起来之后延长出去的，对吧？那这个时候的话，我们要知道 bc 和 b、 d 这两条边角对应边， 是啊，本身就相等的，那我连起来以后的话，代表着三角形 b、 c、 d， 它是一个等腰三角形呀，那等腰三角形以后的话， b、 d、 e 又是个九十度，那我这就可以去假借谁的呢？叫假借啊， 九十度的互余关系，帮助我去证明线段相等，来看一看我这是怎么去正的哈。首先呢，我们知道 b、 c、 d 的 话，它是一个等幺三角形，那说明等边对等角是不是就有了什么了？叫做这个角和 这个角是 b、 c、 d 和 b、 d、 c 这两个角度是相等的。然后呢，我们要去注意 b、 d、 c 加上 edm 这个角度正好是个互余关系，也是相等的。然后呢，同时这个 b、 c、 d 加上 a、 c、 n 又是一个互余关系，也是相等的， 能不能反应过来叫等角的与角相等吗？所以我们会发现 a、 c、 n 和什么呀？和 e、 d、 n 这两个角度它是相等的。哎，这个时候我们再关注 我这打双杠的角度是不是就出现了三个？首先的话，我们刚开始给到的平行线内错角相等，角 m 和角 a、 c、 n 就是 相等的， 然后这个时候我又通过等角的与角相等，从而推到了 a、 c， n 和 e、 d， n 这两个角度是相等的，那从而得到的在三角形 e， m， d 这个三角形里边叫等角对等边，我们就可以得到 m， e 和 b， e 是 相等的。然后呢，由我们刚开始题目当中给我们的体概念信息叫做 e， d 和 a， c 是 对应边相等，从而正到什么呀？正到 m， e 和 a， c 是 对应相等的，那这样的话，我在三角形想，正的这个三角形 a， c， n， a， c， n 和三角形 e， m， n 当中 除了有三个角对应相等，我要两个就可以了，对吧？以及我正到的 a， c 和 m， e 是 对应边相等的，是不是就从而正到了这两个三角形全等， 对吧？这两个三角形全等以后的话，是不是就有了对应边相等倒过来就正到了 e， n 等于 a n， e， n 等于 n n 以后的话，我就可以得到 n， 是 啊， a， e 的 中点， ok 吧？这是我们假借被场中线的这样一个思路去 帮助我去正中点的，正好是一个逆向思维的去做法哈，那这个呢，就是第二问。好，第二问结束以后的话呢，我们再看第三问，他说当三角形 e， b， d 再绕点 b 进行顺时针旋转的过程当中，连接 a， d， a， e 是 否存在某一时刻使得三角形 a， d， e 是以 a， e 为直角边的直角三角形啊？那我们要连接 a， d， a， e 以后去关注这个三角形了，那我这给了两个图哈，正好是在它旋转一周的过程当中所形成的两种特殊情况，那如果存在呢，请直接写出此时 a， e 的 长度，若不存在，请说明理由，那这的话就， 嗯，存在是肯定存在的了，对吧？我图都给大家画出来了，然后我们就借这两个图去算一下 a、 d 的 长度就可以了， ok 吧？那第一种情况当什么呀？当这个，呃三角形 b、 d、 e 还在 b、 c 这条直线啊，在它左半边旋转的时候，我们要此时达到什么呢？叫做 a e 是 a d e 这个三角形的直角边长，呃，直角边，对吧？那这个时候的话，我们会发现它有一个旋转前后的对应边关系， 叫做 b e 和 b a 是 对应相等的，那就间接告诉我这个三角形 b、 e、 a 是 一个等腰三角形，我们有等腰三角形要去小型等腰三角形，它其实是有什么呀？有 三线合一的嘛，对吧？所以我们还是去借助等腰三角形的三线合一帮助我去求这个题。那我们把这个三线合一给他画出来，三线合一画出来以后的话，这个地方是有垂直的， ok 吧？我们还是去 呃标一下这个字母吧。那我们把这个地方呢？还是给他标一个 m 吧，常规性习惯用的一个字母哈。然后的话，我们在这个呃 bm 这条三线合一的基础之上，我们去倒回去分析我们能得到的某些信息啊。首先第一个 三线合一有垂直，所以 emb 是 九十度。我们刚刚说过了，我在旋转的过程当中，我要使得 a、 d、 e 是 一个以 a e 为直角边的直角三角形，那此时这个直角三角形的直角在哪里呢？在 a、 e、 d 上，也就是说 a、 e、 d 此时这个地方是一个九十度， ok 吧？那我们就会发现一个问题，叫做 a、 d 的 这个位置关系和 b、 m 的 位置， 这个，然后这个时候的话，我们就会发现 a、 d 和 b、 m 它的位置关系的话就是一个平行关系，那此时因为 m 点的话，做三线合一的交点出现，那 m 正好是 a、 e 的 中点，那说明平行关系以后有一比二，那这个时候 bm 与 a、 d 的 呃， b， m 与 e、 d 的 交点，我们标一个字母哈，我们标一个 f 吧，标一个 f 哈， m f 的 话就是这个三角形 a、 d、 e 的 中位线，那 f 的 话恰好就是 ed 的 终点， 那此时的 m 这个 f 的 话就是 e、 d 的 中点， ok 吧？表哥，相当题目当中刚刚告诉过我们， e、 d 的 长度的话是等于四的呢，中点的话就各是二，对吧？各是二，然后的话继续 三角形 abc 也好还是 b、 d、 e 也好，都是三四五型三角形本身它的三四五是存在的，所以这个地方是三， ok， 这个地方是 五，就是 b、 d 的 长为三，然后 b、 e 的 长为五，那这样的话我们本身在三角形 e、 d、 b 这个直角三角形里边， b、 d、 e 就是 九十度，然后还给了我，或者说我推出来了这个 d、 f 的 长度是二， b、 d 的 长度已知本来就是三，然后通过勾股定律的话，我们就可以求出来， b、 f 的 长度的话是一个根号十三，对吧？是一个根号十三， 然后的话我们要去求这个 ad 的 长度，其实直接求 ad 也行，然后间接 先求 m、 f， 再求 ad 也行， ok 吧？然后的话我这是先求的中位线 m、 f 的 长度，因为这个三角形比较好看的原因在哪？哈？这个地方是 b、 d， e 是 九十度，然后呢？这个，嗯， b， m、 e 也是九十度，还有一个对顶， 还有个对平角，对吧？然后这两个三角形的话一定是相似的，那相似完以后的话，我就可以直接去呃，求这个什么相似比了，对吧？那相似以后，我这哎写下吧，叫三角形 b， d、 f， 和什么呀？ 和三角形 e， m、 f 是 相似的，然后呢，我要求的是 m、 f 的 长度，所以我们先求 m f， 对 应边的话是 f， 对 应边的话是 d f， 已知的线段长度呢，是 e f， 然后呢，对应的边长是 b f， 我 就可以得到 m f 的 长度， 对吧？然后我们求出来的 m 长这个 m、 f 的 长度，呃，这还是老规矩哈，大家自己往前带一下数据去算一下就可以了，我这直接给答案哈，这算下来的话，正好是一个这个十三分之四倍，根号十三 啊，十三分之四倍，根号十三。然后 m、 f 的 话恰好是 a、 d 这个长度的一半，所以 a、 d 的 长度的话，就等于二倍的 m f， 也就等于多少呀？等于十分十三分之八倍，根号十三。 那这个呢，就是第一种情况，第一种情况结束以后的话，我们来看第二种情况，也就是我再再继续往这个顺时针方向往右旋转，旋转到， 呃，三角形 b， d， e 恰好落在这个线段 bc 右侧的时候，它又有一种情况，叫做以 a e 为直角边的直角三角形。 那此时的话，我们要注意，本身三角形 b、 d， e 就是 一个直角三角形，而且叫 d， 是 九十度，对吧？然后呢，我现在又是以 a、 e 为直角边长的 a、 e、 d 又是一个九十度，它也就是平行关系，所以这个时候的话，我为了方便计算的话，把这个不规则型或者叫把这个 直角梯形给他补成一个我们比较熟悉的图形出来啊，往外延一下，给他补一个什么？给他补一个这个这个矩形出来，好吧，比较熟悉的一个图形 补一个矩形出来，相当不太好看。做垂线， ok 吧？做垂线哈。然后呢，我们形成一个矩形，形成矩形以后的话，我们就会发现这个 b 点的话，恰好是， 嗯，标个 n 吧，没用过哈。然后这个焦点标点 n， 那 此时的 b 点的话，恰好正好是 d、 n 这条线段长度的中点， ok 吧？正好是中点，我们可以用全等去正一下哈，用这个 a、 b、 n 和 e、 b、 d 这两个三角形全等去正哈。正完以后的话， b、 d 的 长度和 b、 n 的 长度是相等的，都是等于几啊？都是等于三，那 这个 a、 n 的 长度和 d、 e 的 长度相等等于四，那说明 a、 e 的 长度就等于六，对吧？ a 的 长度和 d、 n 的 长度相等的嘛，就等于六，那这样的话我再去求 a、 d 是 不直接一步就出来了， 对吧？所以这个一步的 a、 d 的 长度就直接勾股就出来了，就是个二倍根号十三，不需要花费多长时间啊？ ok， 那 这样的话我们就把两种情况都给他算出来了，所以算出来以后的话，上面要给他一个结论的话，叫综上所述， ok 吧，因为他是直接写出吗？我们这可以直接答的哈，综上所述 所数，这个 a、 d 的 长度的话，要么是等于一个十三分之八倍根号十三，要么呢？是等于什么呀？等于一个二倍根号十三， ok 吧？那这个呢？就是两种情况所得到的答案，那这个呢？是二十三题的几何压轴题，如果还有别的问题的话，我们可以私信探讨， ok。

安徽中考数学最后两道压轴题到底怎么破？大部分合肥初中家长和孩子都头疼，没有好的办法，今天咱就分析一下最后两道压轴题的命题趋势和一些复习策略。安徽中考数学试卷在二十年之前呢， 最后一道题一直是几何综合倒数第二题目是二次函数，从二二年开始呢，他们两个位置换了一下，并且你看一下，二二年和二三年的二次函数里还有几何的影子，但到了二四年和二五年，就逐渐变成纯粹的函数和代数的题目。这是一个信号啊， 压轴题向函数靠拢，因为函数它就是高中数学的天下，而高中的空间几何它就是小菜。但是这个变化呢，对于怎么应付安徽中考影响其实不大。我之前有说过， 八项是初中数学的分水岭，其中一部分原因就是因为四边形，因为四边形可以和三角形契合，题目难度和灵活性立马就上来了 一个辅助线，想不起来整个题目就能卡住。以我个人的教学经验呢，几何压轴可以从以下三点展开复习。第一点，做好规划总结，画好思维导图。因为校内他是按章节进行学习的，每个学期都学一点，比较分散。那么你复习的时候呢，就要把从七年级到九年级所有的几何知识点 梳理归类一下，把能想到的每个知识点背后的啊性质都写出来。比如说角平分线，你要想到由角平分线上任何一点向两边做垂线所得到的垂线段相等所形成的两个三角形全等。如果你只能想到角平分线所形成的两个角相等，那后面的压轴题你不要想了， 到中考的时候要形成条件反射，就是给你一个条件，他背后的一连串性质立马就能在你脑子里浮现出来。第二点呢，是按题型进行专项突破。几何压轴体主要分为 图形、动态研究、存在性问题和坠子。对于某一类体型，你要先做基础辨识啊，再做整体压轴，总结记录该体型的思路框架。这个其实很重要，你比如说动态问题，你要先找到不变量啊，存在性问题你要先假设它存在，再进行推导。第三点呢，就是强化解析技巧与规范。书写 解析的时候务必务必审好题，最好把条件标在图上，再联想模型，最后分布推导。证明题要步步啊，有理有序。计算题呢，要写明公式和代入过程。另外我跟学生讲的比较多的一点就是 平常要多积累辅助线的添加技巧，比如说遇到角平行线啊，咱们经常做垂线啊，或者是平行线，那么遇到圆的直径呢，要构造直角三角形。 我讲的这三个点其实和天赋没有什么太大的关系，纯粹的是解析技巧，都是可以通过训练啊，可以掌握的。下个视频呢，我会讲安徽中考二字函数的复习策略啊，和一些解析技巧。

这些是集合画板，课间是平时上课用的，这边可以选联集。 我今天要讲刮豆模型，找到它，在这里打开， 这上面是模型解读。这三个是线形的主动点， a 在 直线上运动，我们拖着 a 动起来，可以看到 b 的 轨迹是一条直线，这条红线就是 b 的 轨迹， 这个是圆形的，纵圆得圆。这是武汉的一道中考题，主动点在圆弧上运动，我们可以看到重动点的轨迹，也是一道圆弧。我们这样演示一下，学生理解起来也快一些，教学效果也好一些。 初中的几何模型都在这里呢，扩展的、培优的、基础的都在这里。非常好的一个资料， 做一个课间要花很多时间的，能一劳永逸，花点小钱解决再好不过了。你收到货是一本书，一本答案，一个 u 盘和一份安装说明，操作很简单的，如果你电脑上装了几盒画板， u 盘插上去就可以用了。 这本书里面所有例题，所有题型都是有画板课件的，课件是不能复制粘贴的，不能编辑的。这个我跟你讲清楚了哈。

好，同学们，好啊，那临近期末，那个我们一起来看一看几何题啊。那题目跟我们讲了啊，在正方形 a、 b、 c、 d 中， e 点呢，是 b、 c 靠近 b 点的这个三等分点， 那然后呢，将 a、 b 啊，绕着 a 点逆时针旋转，得到线段 a、 f， 那 逆时针旋转以后， a、 b 必然等于 f， 然后三角形 a、 b、 e 和三角形 a、 f、 e 又都是直角三角形，是不是？那还有 a、 e 是 公共边，那必然这两个三角形也就全等了，他还跟我们讲使得角 b、 a、 e 等于角 f、 a、 e 啊，那这里 三角形首先全等，我们是不是把它放在我们的口袋里面了？是不是 a、 b、 e 全等于 三角形？直角三角形啊， a、 f、 e 是 吧？怎么证明全等的呢？是我的 h、 l 是 吧？搞定。然后呢，现在跟我们讲啊， pa 等于 r f 对 吧？那 b、 e 角 pa 等于 r f 是 不是意味着这边的角也是等于 r f 对 吧？那所以啊，我们把它写一下，角 b、 e、 a 也就等于角什么 a、 e、 f 等于 r、 f 是 吧？ 好，它等于 r 法以后我们能还知道什么呢？是不是推导出什么角 c、 e、 f 等于什么？等于我的一百八十度减去 r r 法，因为去掉两个角以后，剩下的平角是不是我的角 c、 e、 f 这样一件事情 致辞后面呢？后面的脚表达是不是就进入困难了？我的脚 e、 f、 c 我 不知道怎么表达，如果我知道怎么表达的话，游戏就结束了，是不是因为知道他，那这个脚也有了，这个脚也有了，以后我的脚 f、 c、 d 不 就找到了吗？ 关键就是这里的脚我们不知道怎么去表达，那是不是意味着我得怎么样？ 得想一想辅助线的事情了是不是？那好，那这里的图形呢？我们就一起来看看辅助线该怎么做。 那首先角 f c d 一定是要放到直角，放到三角形里面去看的，是不是？那目前来讲，我们这个垂直是不是还有啊？那目前我们看到了这三条边是相等的，那我延长 ef 以后啊， 那这里假设交的交 c d 于 g 点，那你看一下，我们这里垂直有，垂直有，那这边 af 是 等于 ad 的， 那 ag 作为斜边，它又是一个什么公共边？那对于我来讲是 可就相当于又一个直角三角形全等出现啦。三角形 af g 也就全等于什么？全等于直角三角形啊，我们把这个删掉一下啊。 afg 全等于哪个三角形？是不是全等于我的 a d g 啊？是吧？是不是还是我的 h l？ 那 这个全等以后了，我们会得到什么？得到 f g 等于 d g 这样一件事情， 那是不是我仍然没有办法去写下面的东西啊？那这里角 c e f 啊， c e f 我 们已经表达出来了，那目前来讲，在 r t 三角形什么 ecg 中，我是不是可以表达我的角 egc 了？ egc 等于什么？是不是等于九十度 减去什么？我的角 cef， 也就是我们照写 rf 减去九十度就是我的角 egc 啊， egc 这个角已经知 知道可以用 r 法表达了，那唯一的 f c d 我 们想一想怎么表达？那这里是不是涉及到这个 f g 跟 c g 的 问题啊？我画的图形看上去像是等腰三角形啊？那但是呢，我们得去证明啊，那这个时候怎么证呢？那不就想到我们的勾股定律了吗？ 我设 b e 为 x， 那 ef 是 不是也是 x 啊？那么这边写啊， b e 等于 ef 等于 x， 可以 吧？那这里 f g 呢？ f g 是 不知道的，那我们就设 y 呗， 那 f g 一定等于 d， g 这边也是 y， 是 吧？那它是三等分点，并且是靠近 b 点的，所以 c e 是 r x， 可以吧？那这里 c d 等于多少？ c d 可就三 x 啊，那 c g 等于多少？是不是很明确了？ c g 也就是我的三 x 减 y， 那至此我该表达的这个式子是不是都有了？那所以这里的 eg 的 平方是不是等于 ec 的 平方？加上什么？加上我 c g 的 平方。那 eg 的 平方是多少？ x 加 y 括的平方？ e c 呢？ e c 平方是四 x 平方，再加上什么 c g 的 平方，也就是三 x 减 y 括的平方。那这里计算，我们把它走一下啊， x 平方加上 加上什么？ r x y 再加 y 平方等于什么？等于我这边的 四 x 平方，加上九 x 平方，然后呢？减去减去六 x y 再加 y 平方，那 y 平方是不是都约掉了？约掉以后啊，我们就剩 x 平方跟 y 了， 那这里我们把它抵一下，是不是四 x 平方？这边移过来，都移过来啊，那这里是我什么？我的十二 x 平方，减去八 x， y 等于零，提出 x， 十二 x 减八 y 等于零， 是吧？那这里 y 等于多少？ y 是 不是等于我的二分之三 x 啊？这里我们就把 y 求出来了啊？八分之十二嘛，通出四，对吧？二分之三，那 y 既然等于二分之三 x， 那 整个 c d 是 等于什么？三 x 的？ 那 y 等于二分之三 x， 那 是不是意味着 g 为 c d 的 中点啊，是吧，那既然既为 c d 的 中点，我们就好解决这个问题了啊，那既为 c d 的 中点以后，那我这里的 f g 可就等于 d g 啊，也就等于 g c 啊，所以我们就推出 f c 等于 c g， 那这里的角 egc 是 等于二 r 法减去九十度的，那我的角 fcd 就 等于什么？是不是等于一百八十度减去我的角 egc 啊，也就是二 r 法减九十度啊，然后再除以二，是不是就搞定了？二百七除以二 就是我的一百三十五度，然后呢，减去 r r 除以 r 减 r 法，最终呢，这一题我们选 b 啊，是不是这里呢，我们运用了很多的知识去解决啊， 当然一定是看出了辅助线的做法才能解决我们这一题啊，那辅助线是怎么做的呢？一定是通过我们可以看到未来的全等，最终呢， 找到边长的数量关系，是不是通通过这个勾股定律啊，最终解决我们的问题啊，非常有 深度的一道题目啊，建议大家如果不会的话啊，再多看一看啊，好，那这一题呢，我们就分析到这里啊，这节课我们就讲到这里啊，好，下课。

对于初中的几何题，也就是平面几何，我整体上是非常提倡大家多学模型，活用模型的。 我们解题速度的提升往往是建立在你对于模型非常熟悉的基础之上的。就像这道题，你如果用构造相似的方法，可能需要十分钟，但是如果用托勒密不等式来解的话，可能只需要一分钟。首先给大家普及一下什么是托勒密不等式。 对于一个凸四边形 abcd， 如果我们连接对角线 bd 和 ac， 那 么这里会有一个数量关系，对边的乘积之和是大于等于对角线的乘积的。 对边的乘积在这里指的是 ab 乘以 cd 以及 bc 乘以 ad。 对 角线的乘积肯定是 bd 乘 ac， 也即是 ab 乘以 c d， 加上 bc 乘以 ad 大 于等于 ac 乘以 b d。 所以 如果我们看到一道题，他给出了这样一个四边形，并且连接了对角线， 并且研究的是中间的某条线段的长度的最值，那么这道题我们可以考虑使用陀螺仪不等式来我们读题。他说在三角形 abc 当中， ab 是 等于一的， bc 是 等于根三，告诉我两条线段的长度在 a、 c 的 右侧构造含三十度角的直角三角形 a、 c、 d， 在 这里是一个三十六十九十度的特殊直角三角形，那么 a c、 c、 d 和 a d 它的三边的长度比就是一根三比二的关系。接下来连接 b、 d， 让我求 b、 d 长的最大值， 我们不妨是 a、 c， 这段为 x， 那 么 cd 是 根三 x， 则 ad 就是 二 x， 我 们把 ac 带入到这里，把 cd 根三 x 带入到这里，然后把 ad 二 x 带到这里。那这样的话呢，就会建立一个不等式， 也即是一乘以根三， x 加上根三乘以二， x 大 于等于 x 乘以 b d， 此时 x 是 可以约掉的，那么这个不等式就变成了根三加上二倍的根三大于等于 b d， 也即是 b d 小 于等于三倍的根三，所以此时 b d 的 最大值直接就是三倍的根三。

全等三角形加勾股定律，两步轻松搞定这个动点线段关系题。