浙大奥数宋老师 几何模型

我的天呐，笑。

向右平移三角形 e、 b、 e 得到这块面积等于八乘十二除二等于四十八。构造蝴蝶模型求出蝴蝶翅膀等于四乘十二除二等于二十四。头尾乘积等于双翅乘积，求出 e、 f、 g 等于十二。梯形面积等于九十六，求出阴影面积等于一百零八。

按照顺时针方向旋转直角三角形组成一个大的正方形，可以发现阴影三角形的高与底边相等等于六，所以阴影面积等于六，乘六除二等于十八。动态演示简单明了。

连接对角线平分长方形，三角形的高相等面积之比就等于底边之比。上面部分也是同理，三角形 e、 c、 f 的 面积就是三分之一， b、 c 乘三分之一， c、 d 的 面积除二求出阴影面积等于一百。

拉窗帘的方法，确定顶点与底边在两条平行线上，第一次拉窗帘，顶点与底边在平行线上，第二次拉窗帘，顶点与底边在平行线上，第三次拉窗帘，顶点与底边在平行线上。第四次拉窗帘，求出阴影面积等于六。

你可能会困惑，假设一根蚊香的宽度为一，如何求蚊香的面积？我们只要中间咔嚓割一刀，旋转拼接，不断的旋转拼接，答案就出来了。这根蚊香的面积等于半圆，半径等于七，面积等于七十六点九三。这道题其实考的就是超经典的几何题， 很多孩子觉得少条件，根本原因是没看透图形背后的结构。这本奥数经典五百例的几何篇，就把各种图形问题讲的明明白白。里面精选了五百道奥数经典题， 全都是按模型分类讲解的，每道题都有拆解思路，还配了多种解法，帮孩子真正做到举一反三。这本几何片从角的度量开始讲起，像多边形的内角和外角和共边定律里的风筝形、蝴蝶形、燕尾形，还有调和定律，这些内容全都有， 知识点特别丰富。每个知识点都有思路讲解、例题分析和配套练习，让孩子不光会做题，还能吃透背后的数学逻辑，真正培养有深度的数学思维，用来查漏补缺或者提升数学能力都特别合 适。不管孩子是刚接触奥数，还是想冲刺更高难度，这套书都能帮他搭起一套系统的数学认知体系。

已知长方形 a、 b、 c、 d 的 面积是三十， f、 g 等于两倍的 b、 f。 求阴影部分面积？这题很多同学没有思路，其实只要一条辅助线，然后用等高模型就能轻松搞定 这两个黄色三角形的高相等，那它们的面积比就等于底边比，等于一比二。再来看这组等高模型也是一样，两个三角形的面积比等于底边比，等于一比二，两组的比值都是一比二， 那把它们合并后的面积比也应该是一比二，即绿色部分与蓝色部分的面积比是一比二，也就是说蓝色部分占三角形 b、 c、 e 的 三分之二。根据一半模型可知，三角形 b、 c、 e 的 面积等于长方形面积的一半，等于十五，从而就能算出蓝色部分的面积是十。

前两次课我们学习了三角形和长方形中的倍数关系，今天我们就利用三角形中的倍数关系来学习几何中的一类特殊模型。风车模型。风车大家都见过，有这样的，这样的，还有这样的， 那我们今天学的模型和风车有什么关系呢？这个得从画图说起。首先有一个三角形，然后从三角形的三条边伸出三个手臂，你看现在的样子，像不像一个有三个叶片的风车，所以叫风车模型。然后把剩下三条线连起来，就是完整的图形。 已知中间小三角形 a、 b、 c 面积为一，而且各边都延长一倍，也就是说 b、 c 等于 af， ab 等于 b、 d。 接下来我们在风车模型中计算三角形 d、 e、 f 的 面积。除了中间部分，整个图形还有三个三角形，那么只要能算出这三部分的面积，就能求出整个图形的面积。 我们先计算右边三角形 c、 e、 f 的 面积，它的面积无法直接计算，所以先把 a、 e 连起来，把它切成两个小三角形。 因为 a、 b、 c 和 a、 c、 e 是 等高三角形，它们的底 bc 等于 c、 e， 于是三角形 a、 b、 c 和 a、 c、 e 面积相等，都是一。接下来看看上面的部分， 由于 a、 e、 f 和 a、 c、 e 也是等高三角形，底 a、 f 等于 ac， 所以 面积也相等，说明 a、 e、 f 面积也是一，于是右边的三角形面积是二。 计算左边三角形 a、 d、 f 的 方法和前面一样，把 b、 f 连起来，因为 a、 c 等于 af， 所以 a、 b、 f 和 abc 面积相等是一。又因为 ab 等于 b、 d， 所以 b、 d、 f 和 ab、 f 面积也相等，都是一，所以左边三角形面积也是二。 左右的面积都是二，这是肯定会有同学猜下面的三角形面积也是二。没错，你猜对了， 把 c、 d 连起来，因为 ab 等于 b、 d， 所以 三角形 b、 c、 d 和 abc 面积相等。又因为 bc 等于 c、 e， 所以 三角形 c、 d、 e 和 b、 c、 d 面积也相等，于是它们都是一， 那么总面积就是二。至此，我们已经算出三角形 d、 e、 f 中每一部分的面积，相加之后便可以得出 d、 e、 f 的 面积是七。 从上面的例子可以看出，求解风车模型关键是通过添加辅助线，算出外面三个三角形的面积。在这个例子中，因为三个风车叶片都是延长一倍，所以面积都是二。下面我们来看一个延长倍数不同的 中间小三角形 abc 面积为一，把 bc 延长一倍到 f， ab 延长三倍到 d， 得到大三角形 df。 这时外面三个三角形面积不同，但求解方法和前面相同。连 b、 f， 因为 af 是 由 ac 延长两倍得到的，所以 af 是 ac 的 两倍，于是 abf 的 面积是 abc 的 两倍十二， 而 bd 是 ab 的 三倍，说明 bdf 面积是 abf 的 三倍。十六、再连 ae， 因为 bc 等于 c、 e， 所以 a、 c、 e 面积等于 abc 的 面积十一。又因为 af 是 ac 的 两倍，所以 a、 e、 f 的 面积是 ac、 e 的 两倍十二、 最后连 c、 d， 因为 b、 d 是 ab 的 三倍，所以 b、 c、 d 的 面积是 abc 的 三倍，是三。又因为 bc 等于 c、 e， 所以 c、 d、 e 和 bc、 d 面积相等也是三。此时因求出 d、 e、 f 中每部分的面积，把它们相加，便可以算出 d、 e、 f 的 总面积十八。 根据这两个例子，我想各位同学也对等高三角形有了更深刻的了解。风车模型是等高三角形的重要应用，学好这个，对今后大家学习三角形的比例，包括燕尾模型、沙漏模型都会有很好的促进。

我们看一道小学的几何问题，这红色的是一个平行四边形， 呃，其中一个点呢？在平行平行四边形内部，然后问这个绿色的三角形和这两和这个绿色三角形，这两个绿色三角形的和 这面积的和和这个平行四边形的面积有什么关系？评论区回复。

组合图形，弯角变形三。 组合图形，弯角变形四。 组合图形，弯角变形五。

添加辅助线分割阴影可得三角形 b、 c、 f 的 面积等于十二。将三角形 b、 c、 f 转化成三角形 b、 e、 h 求出 c、 h 等于二点四， h、 d 等于一点六。将两个梯形的阴影面积加在一起求出结果。

对角线平分长方形蝴蝶模型翅膀相等，二者相互抵消，剩余部分相等。九，减去八，得到空白面积等于一平方厘米，双翅沉积等于头尾沉积，求出翅膀面积等于三，求出长方形面积等于二十四。

正方形与扇形二者相减，可以得到弯角阴影组合图形，弯角变形一。 组合图形，弯角变形二。

空白三角形的面积等于三十，做辅助线构造一半模型面积等于十八，另一半三角形的面积等于十二，求出高等于二点四，求出阴影的高等于三点六，所以阴影面积等于十点八。

这是道经典的一半模型加蝴蝶模型，几何题已知图中橙色和绿色面积，求蓝色，你可以暂停试试。 好，我们一起看看。首先根据一半模型，我们从图中拆细出这两个部分，两者都是长方形，一半面积大小相等， 我们将两者的共同部分蓝色减去，剩下部分肯定也相等。可以得出三角形 a、 d、 f 面积为十六。我们回到图中，将多余部分隐藏， 再做辅助线 a、 e。 这下很熟悉了吧，妥妥的梯形一半模型，两尺面积相等，且两尺相乘之积等于头尾相乘之积，从而我们便可以求出蓝色部分面积是八了。

添加辅助线分割阴影，构造蝴蝶模型。以半模型蝴蝶翅膀面积相等等于二十四，根据三角形 a、 e、 f 的 面积求出它的高等于六，求出三角形 e、 b、 f 的 面积等于十二，三块面积相加求出结果。

平移长与宽，添加辅助线，把阴影分成三份，拉窗帘等积变形得到右上角长方形面积等于三十，剩余长方形面积等于八十，减三十等于五十，阴影各占一半，求出结果等于二十五。

想啊，三角形 a、 b、 c 是 四十二的面积，那如果说你要构造成一维模型的话，是需要连接 c、 f 的 啊，燕尾的话，是不是需要尾巴 b、 d 和 d、 c？ 那 现在就是说如果按份数来说，那这个的话是可以被分成两份和一份的，按蓝色来说啊，然后又按照这个绿色来说，你这个一份呢，又分为三分之一 和这里的三分之二，对吗？好在紧接着呢，我们下面按理说也是二比一，但并不是一加的二比一，所以我这里就写绿色啊，是吧？这也是二比零， 那我你要写成一加的，你要分数才能在一起相加呀，所以你要按绿色的来看，按绿色的来看的话，它是一比二的关系，所以这个整体相加还得是四分蓝色， 也就是说这一块区域相加得是四，二比四才会得一比二，对吧？所以蓝色要变成四分，那而这里是被分成了一比三，那所以四被分成了三份呢？一份是不是就是三分之四，所以这可以写成三分之四，这就可以写成三分之八了啊， 所以这里的每一块的面积就可以在一起，分数之间就可以在一起相加了。如果说你颜色不同，不是一家的，那就不能在一起相加，那 e、 f、 d、 c 的 占的分数是 三分之四，那也就是说四十二被分成几分呢？二加上三分之一，加上三分之二，加上三分之四加上三分之八，而这里面的 e、 f、 d、 c 占了三分 之二和三分之四的和。再来看一下这个阴影面积， 首先连线的话，如果说连接 d、 b 就 会也有燕尾模型赛啊，然后变成这里是三等分点的话，就是一比二，这是一比一，不是一样一加的，比如换种颜色啊， 现在他说整个边长的面积是十二，那也就是说我只要求出这一块是不是就行了？这一块这个面积就决定了，因为你这里就是正方形的一半嘛，是非常简单的， 所以咱们要解决的是 b o d 的 面积啊。那你要构造燕尾眉模型的话，你必须这样连线，对吧？ hello， 那 经过连线的话就可以知道就是 b o d 和 d o c 是 一比二的关系， 你下面是不是也是一比二？那按照这里一比一，右边这里是不是还有个一比一，所以你这里的二就会被分成一份和一份，然后组成了两份，那你因为我们要这边也要写成黄色，那你就再还是看这边一比一，那就是说 d o b 和 o b c 也是一比一，对吧？也是黄色，那么你这两块部分是不是还要继续分？ 其实也不用分了，因为我们只需要知道三角形 d o b 就 行了啊。起，如果说还要想知道这里的，这里的，那你就要把一被分成三分，那么这里就占了三分之一， 这就占三分之二啊，三分之一加三分之二正好的圆一，那现在我只需要知道 d o b， 那 就说明，嗯，二这个一半的面积被平均分成了几分呢？ 一加一加一，再加一，三分之二加三分之一也是一嘛，对吧？而它是占了其中的一份，你就再乘一就可以了，这是 d o b 的， 然后整体阴影的面积呢？就等于 d o b 加上一半它的面积的一半，左边 a b、 d 不 就一半吗？剩下的一道题就给大家当做作业吧！